ಎಕ್ಸೆಲ್ ನಲ್ಲಿ ಅಂದಾಜು ಸರಾಸರಿ ದೋಷವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಹೇಗೆ. ಫಿಶರ್ಸ್ ಎಫ್ ಪರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ರಿಗ್ರೆಶನ್ ಮಾಡೆಲಿಂಗ್ ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳ ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹತೆಯ ಅಂದಾಜು

ಪ್ರಾಮುಖ್ಯತೆಯ ಮಟ್ಟದಲ್ಲಿ ಬಿ = 0.05 ನಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ (ಪರ್ಯಾಯವು H 1 ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ) ವೈಯಕ್ತಿಕ ಹಿಂಜರಿತ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಸಮಾನತೆಯ ಬಗ್ಗೆ H 0 ಊಹೆಯನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ.

ಮುಖ್ಯ ಊಹೆಯು ತಪ್ಪಾಗಿದ್ದರೆ, ನಾವು ಪರ್ಯಾಯವನ್ನು ಸ್ವೀಕರಿಸುತ್ತೇವೆ. ಈ ಊಹೆಯನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸಲು, ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಯ ಟಿ-ಪರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ವೀಕ್ಷಣಾ ದತ್ತಾಂಶದಿಂದ ಕಂಡುಬರುವ ಟಿ-ಮಾನದಂಡ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು (ಇದನ್ನು ಗಮನಿಸಿದ ಅಥವಾ ವಾಸ್ತವ ಎಂದೂ ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ) ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿ ವಿತರಣಾ ಕೋಷ್ಟಕಗಳಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾದ ಕೋಷ್ಟಕ (ನಿರ್ಣಾಯಕ) ಮೌಲ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಹೋಲಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ (ಇವುಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕಗಳು ಮತ್ತು ಅಂಕಿಅಂಶಗಳು ಅಥವಾ ಆರ್ಥಿಕತೆಯ ಕಾರ್ಯಾಗಾರಗಳ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ).

ಟೇಬಲ್ ಮೌಲ್ಯಪ್ರಾಮುಖ್ಯತೆಯ ಮಟ್ಟ (ಬಿ) ಮತ್ತು ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದ ಡಿಗ್ರಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ರೇಖೀಯ ಜೋಡಿ ಹಿಂಜರಿತದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ (n-2) ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, n ಎಂಬುದು ವೀಕ್ಷಣೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ.

t-ಪರೀಕ್ಷೆಯ ನಿಜವಾದ ಮೌಲ್ಯವು ಟೇಬಲ್ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕಿಂತ (ಮಾಡ್ಯುಲೋ) ಹೆಚ್ಚಿದ್ದರೆ, ಮುಖ್ಯ ಊಹೆಯನ್ನು ತಿರಸ್ಕರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸಂಭವನೀಯತೆಯೊಂದಿಗೆ (1-b) ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್ ಅಥವಾ ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಜನಸಂಖ್ಯೆಶೂನ್ಯದಿಂದ ಗಮನಾರ್ಹವಾಗಿ ಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ.

ಟಿ-ಪರೀಕ್ಷೆಯ ನಿಜವಾದ ಮೌಲ್ಯವು ಟೇಬಲ್ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕಿಂತ (ಮಾಡ್ಯುಲೋ) ಕಡಿಮೆಯಿದ್ದರೆ, ಮುಖ್ಯ ಊಹೆಯನ್ನು ತಿರಸ್ಕರಿಸಲು ಯಾವುದೇ ಕಾರಣವಿಲ್ಲ, ಅಂದರೆ. ಜನಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿನ ನಿಯತಾಂಕ ಅಥವಾ ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣವು ಪ್ರಾಮುಖ್ಯತೆಯ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯದಿಂದ ಗಮನಾರ್ಹವಾಗಿ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ b.

t ಕ್ರಿಟ್ (n-m-1;b/2) = (30;0.025) = 2.042

1.7 ರಿಂದ< 2.042, то статистическая значимость коэффициента регрессии b не подтверждается (принимаем гипотезу о равенстве нулю этого коэффициента). Это означает, что в ಈ ವಿಷಯದಲ್ಲಿಗುಣಾಂಕ b ಅನ್ನು ನಿರ್ಲಕ್ಷಿಸಬಹುದು.

0.56 ರಿಂದ< 2.042, то статистическая значимость коэффициента регрессии a не подтверждается (принимаем гипотезу о равенстве нулю этого коэффициента). Это означает, что в данном случае коэффициентом a можно пренебречь.

ರಿಗ್ರೆಷನ್ ಸಮೀಕರಣ ಗುಣಾಂಕಗಳಿಗೆ ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹ ಮಧ್ಯಂತರ.

ರಿಗ್ರೆಷನ್ ಗುಣಾಂಕಗಳ ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹ ಮಧ್ಯಂತರಗಳನ್ನು ನಾವು ನಿರ್ಧರಿಸೋಣ, ಅದು 95% ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹತೆಯೊಂದಿಗೆ ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿರುತ್ತದೆ:

• (ಬಿ - ಟಿ ಕ್ರಿಟ್ ಎಸ್ ಬಿ; ಬಿ + ಟಿ ಕ್ರಿಟ್ ಎಸ್ ಬಿ)
• (0.64 - 2.042 * 0.38; 0.64 + 2.042 * 0.38)
• (-0.13;1.41)

ಪಾಯಿಂಟ್ 0 (ಶೂನ್ಯ) ಒಳಗೆ ಇರುವುದರಿಂದ ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹ ಮಧ್ಯಂತರ, ನಂತರ ಗುಣಾಂಕ b ನ ಮಧ್ಯಂತರ ಅಂದಾಜು ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯವಾಗಿ ಅತ್ಯಲ್ಪವಾಗಿದೆ.

• (ಎ - ಟಿ ಕ್ರಿಟ್ ಎಸ್ ಎ ; ಎ + ಟಿ ಕ್ರಿಟ್ ಎಸ್ ಎ)
• (24.56 - 2.042 * 44.25; 24.56 + 2.042 * 44.25)
• (-65.79;114.91)

95% ಸಂಭವನೀಯತೆಯೊಂದಿಗೆ ಈ ನಿಯತಾಂಕದ ಮೌಲ್ಯವು ಕಂಡುಬರುವ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳಬಹುದು.

ಪಾಯಿಂಟ್ 0 (ಶೂನ್ಯ) ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಇರುವುದರಿಂದ, ಗುಣಾಂಕ a ನ ಮಧ್ಯಂತರ ಅಂದಾಜು ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯವಾಗಿ ಅತ್ಯಲ್ಪವಾಗಿದೆ.

2) ಎಫ್-ಅಂಕಿಅಂಶಗಳು. ಮೀನುಗಾರರ ಮಾನದಂಡ.

ಸಮೀಕರಣದ ಮಹತ್ವವನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸಲು ನಿರ್ಣಯದ ಗುಣಾಂಕ R2 ಅನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ ರೇಖಾತ್ಮಕ ಹಿಂಜರಿತಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ.

ಫಿಶರ್ಸ್ ಎಫ್ ಪರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಹಿಂಜರಿತ ಮಾದರಿಯ ಪ್ರಾಮುಖ್ಯತೆಯನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅದರ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲಾದ ಸೂಚಕದ ಮೂಲ ಸರಣಿಯ ಅವಲೋಕನಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಅನುಪಾತ ಮತ್ತು ಉಳಿದ ಅನುಕ್ರಮದ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಪಕ್ಷಪಾತವಿಲ್ಲದ ಅಂದಾಜು ಎಂದು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಮಾದರಿಗಾಗಿ.

k 1 =(m) ಮತ್ತು k 2 =(n-m-1) ಡಿಗ್ರಿಗಳ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿದ ಮೌಲ್ಯವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪ್ರಾಮುಖ್ಯತೆಯ ಮಟ್ಟದಲ್ಲಿ ಕೋಷ್ಟಕ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಮಹತ್ವದ್ದಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಇಲ್ಲಿ m ಎಂಬುದು ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿನ ಅಂಶಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ.

ಜೋಡಿಯಾಗಿರುವ ರೇಖಾತ್ಮಕ ಹಿಂಜರಿತದ ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಪ್ರಾಮುಖ್ಯತೆಯನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಬಳಸಿ ನಿರ್ಣಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

• 1. ಒಟ್ಟಾರೆಯಾಗಿ ಸಮೀಕರಣವು ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯವಾಗಿ ಅತ್ಯಲ್ಪವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಶೂನ್ಯ ಊಹೆಯನ್ನು ಮುಂದಿಡಲಾಗಿದೆ: H 0: R 2 =0 ಪ್ರಾಮುಖ್ಯತೆಯ ಮಟ್ಟದಲ್ಲಿ b.
• 2. ಮುಂದೆ, F- ಮಾನದಂಡದ ನಿಜವಾದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ:

ಇಲ್ಲಿ m=1 ಜೋಡಿಯಾಗಿ ಹಿಂಜರಿತಕ್ಕೆ.

3. ಫಿಶರ್ ವಿತರಣಾ ಕೋಷ್ಟಕಗಳಿಂದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪ್ರಾಮುಖ್ಯತೆಯ ಮಟ್ಟಕ್ಕೆ ಕೋಷ್ಟಕ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಒಟ್ಟು ಚೌಕಗಳ (ದೊಡ್ಡ ವ್ಯತ್ಯಾಸ) ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದ ಡಿಗ್ರಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ 1 ಮತ್ತು ಉಳಿದಿರುವ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದ ಡಿಗ್ರಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ. ರೇಖೀಯ ಹಿಂಜರಿತದಲ್ಲಿ ಚೌಕಗಳ ಮೊತ್ತ (ಸಣ್ಣ ವ್ಯತ್ಯಾಸ) n-2 ಆಗಿದೆ.

ಎಫ್ ಟೇಬಲ್ ಎನ್ನುವುದು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಂಶಗಳ ಪ್ರಭಾವದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಮಾನದಂಡದ ಗರಿಷ್ಠ ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದ್ದು, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮಟ್ಟದ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯ ಮತ್ತು ಪ್ರಾಮುಖ್ಯತೆಯ ಮಟ್ಟದಲ್ಲಿ ಬಿ. ಪ್ರಾಮುಖ್ಯತೆಯ ಮಟ್ಟ ಬಿ - ಸರಿಯಾದ ಊಹೆಯನ್ನು ತಿರಸ್ಕರಿಸುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ, ಅದು ನಿಜವೆಂದು ಒದಗಿಸಲಾಗಿದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ b ಅನ್ನು 0.05 ಅಥವಾ 0.01 ಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ.

4. ಎಫ್-ಪರೀಕ್ಷೆಯ ನಿಜವಾದ ಮೌಲ್ಯವು ಟೇಬಲ್ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿದ್ದರೆ, ಶೂನ್ಯ ಊಹೆಯನ್ನು ತಿರಸ್ಕರಿಸಲು ಯಾವುದೇ ಕಾರಣವಿಲ್ಲ ಎಂದು ಅವರು ಹೇಳುತ್ತಾರೆ.

ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಶೂನ್ಯ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ತಿರಸ್ಕರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸಂಭವನೀಯತೆಯೊಂದಿಗೆ (1-b) ಒಟ್ಟಾರೆಯಾಗಿ ಸಮೀಕರಣದ ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಪ್ರಾಮುಖ್ಯತೆಯ ಪರ್ಯಾಯ ಊಹೆಯನ್ನು ಅಂಗೀಕರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

k 1 =1 ಮತ್ತು k 2 =30, F ಕೋಷ್ಟಕ = 4.17 ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದ ಡಿಗ್ರಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಮಾನದಂಡದ ಟೇಬಲ್ ಮೌಲ್ಯ

F ನ ನಿಜವಾದ ಮೌಲ್ಯದಿಂದ< F табл, то коэффициент детерминации статистически не значим (Найденная оценка уравнения регрессии статистически не надежна).

ಫಿಶರ್ ಎಫ್-ಟೆಸ್ಟ್ ಮತ್ತು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿ ಟಿ-ಅಂಕಿಅಂಶದ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಸಮಾನತೆಯಿಂದ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

ರಿಗ್ರೆಶನ್ ಸಮೀಕರಣದ ಗುಣಮಟ್ಟದ ಸೂಚಕಗಳು.

ಶೇಷಗಳ ಸ್ವಯಂ ಸಂಬಂಧಕ್ಕಾಗಿ ಪರೀಕ್ಷೆ.

OLS ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಗುಣಾತ್ಮಕ ಹಿಂಜರಿತ ಮಾದರಿಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಪ್ರಮುಖ ಪೂರ್ವಾಪೇಕ್ಷಿತವೆಂದರೆ ಎಲ್ಲಾ ಇತರ ಅವಲೋಕನಗಳಲ್ಲಿನ ವಿಚಲನಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಂದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವಿಚಲನಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯ. ಯಾವುದೇ ವಿಚಲನಗಳ ನಡುವೆ ಮತ್ತು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಪಕ್ಕದ ವಿಚಲನಗಳ ನಡುವೆ ಯಾವುದೇ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧವಿಲ್ಲ ಎಂದು ಇದು ಖಚಿತಪಡಿಸುತ್ತದೆ.

ಸ್ವಯಂ-ಸಂಬಂಧ (ಸರಣಿ ಸಂಬಂಧ) ಸಮಯ (ಸಮಯ ಸರಣಿ) ಅಥವಾ ಜಾಗದಲ್ಲಿ (ಅಡ್ಡ ಸರಣಿ) ಆದೇಶಿಸಿದ ಗಮನಿಸಿದ ಸೂಚಕಗಳ ನಡುವಿನ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಸಮಯದ ಸರಣಿ ಡೇಟಾವನ್ನು ಬಳಸುವಾಗ ರಿಗ್ರೆಶನ್ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಲ್ಲಿ ಅವಶೇಷಗಳ (ವ್ಯತ್ಯಯಗಳು) ಸ್ವಯಂ-ಸಂಬಂಧವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅಡ್ಡ-ವಿಭಾಗದ ಡೇಟಾವನ್ನು ಬಳಸುವಾಗ ಬಹಳ ಅಪರೂಪ.

ಆರ್ಥಿಕ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ, ಋಣಾತ್ಮಕ ಸ್ವಯಂಸಂಬಂಧಕ್ಕಿಂತ ಧನಾತ್ಮಕ ಸ್ವಯಂಸಂಬಂಧವು ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ. ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ಧನಾತ್ಮಕ ಸ್ವಯಂ ಸಂಬಂಧವು ನಿರ್ದೇಶನದಿಂದ ಉಂಟಾಗುತ್ತದೆ ನಿರಂತರ ಮಾನ್ಯತೆಮಾದರಿಯಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ಅಂಶಗಳನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದಿಲ್ಲ.

ಋಣಾತ್ಮಕ ಸ್ವಯಂ-ಸಂಬಂಧವು ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ಧನಾತ್ಮಕ ವಿಚಲನವನ್ನು ಋಣಾತ್ಮಕ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯಾಗಿ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಅರ್ಥ. ಕಾಲೋಚಿತ ಡೇಟಾ (ಚಳಿಗಾಲ-ಬೇಸಿಗೆ) ಪ್ರಕಾರ ತಂಪು ಪಾನೀಯಗಳ ಬೇಡಿಕೆ ಮತ್ತು ಆದಾಯದ ನಡುವಿನ ಅದೇ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿದರೆ ಈ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯು ಸಂಭವಿಸಬಹುದು.

ಸ್ವಯಂ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಉಂಟುಮಾಡುವ ಮುಖ್ಯ ಕಾರಣಗಳಲ್ಲಿ ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳಿವೆ:

• 1. ವಿವರಣೆ ದೋಷಗಳು. ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿನ ಯಾವುದೇ ಪ್ರಮುಖ ವಿವರಣಾತ್ಮಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಅನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲು ವಿಫಲವಾದರೆ ಅಥವಾ ಅವಲಂಬನೆಯ ರೂಪದ ತಪ್ಪಾದ ಆಯ್ಕೆಯು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಹಿಂಜರಿತ ರೇಖೆಯಿಂದ ವೀಕ್ಷಣಾ ಬಿಂದುಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥಿತ ವಿಚಲನಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಸ್ವಯಂ-ಸಂಬಂಧಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗಬಹುದು.
• 2. ಜಡತ್ವ. ಅನೇಕ ಆರ್ಥಿಕ ಸೂಚಕಗಳು(ಹಣದುಬ್ಬರ, ನಿರುದ್ಯೋಗ, GNP, ಇತ್ಯಾದಿ) ವ್ಯಾಪಾರ ಚಟುವಟಿಕೆಯ ಏರಿಳಿತಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಆವರ್ತಕ ಸ್ವಭಾವವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಸೂಚಕಗಳಲ್ಲಿನ ಬದಲಾವಣೆಯು ತಕ್ಷಣವೇ ಸಂಭವಿಸುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಜಡತ್ವವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.
• 3. ಸ್ಪೈಡರ್ ವೆಬ್ ಪರಿಣಾಮ. ಅನೇಕ ಉತ್ಪಾದನೆ ಮತ್ತು ಇತರ ಪ್ರದೇಶಗಳಲ್ಲಿ, ಆರ್ಥಿಕ ಸೂಚಕಗಳು ವಿಳಂಬದೊಂದಿಗೆ ಆರ್ಥಿಕ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಲ್ಲಿನ ಬದಲಾವಣೆಗಳಿಗೆ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯಿಸುತ್ತವೆ (ಸಮಯ ವಿಳಂಬ).
• 4. ಡೇಟಾ ಮೃದುಗೊಳಿಸುವಿಕೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ದೀರ್ಘಾವಧಿಯ ಡೇಟಾವನ್ನು ಅದರ ಘಟಕದ ಮಧ್ಯಂತರಗಳಲ್ಲಿ ಸರಾಸರಿ ಡೇಟಾವನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ಪರಿಗಣನೆಯಲ್ಲಿರುವ ಅವಧಿಯಲ್ಲಿ ಸಂಭವಿಸಿದ ಏರಿಳಿತಗಳ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸುಗಮತೆಗೆ ಕಾರಣವಾಗಬಹುದು, ಅದು ಪ್ರತಿಯಾಗಿ ಸ್ವಯಂ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಉಂಟುಮಾಡಬಹುದು.

ಸ್ವಯಂ-ಸಂಬಂಧದ ಪರಿಣಾಮಗಳು ಹೆಟೆರೋಸ್ಕೆಡಾಸ್ಟಿಸಿಟಿಯ ಪರಿಣಾಮಗಳಿಗೆ ಹೋಲುತ್ತವೆ: ರಿಗ್ರೆಷನ್ ಗುಣಾಂಕ ಮತ್ತು ನಿರ್ಣಯದ ಗುಣಾಂಕದ ಮಹತ್ವವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವ ಟಿ- ಮತ್ತು ಎಫ್-ಅಂಕಿಅಂಶಗಳ ತೀರ್ಮಾನಗಳು ತಪ್ಪಾಗಿರುವ ಸಾಧ್ಯತೆಯಿದೆ.

5. ಎಫ್-ಪರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಜೋಡಿಯಾಗಿರುವ ರಿಗ್ರೆಷನ್ ಸಮೀಕರಣವು ಒಟ್ಟಾರೆಯಾಗಿ ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯವಾಗಿ ಅತ್ಯಲ್ಪವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಮಾಸಿಕ ಪಿಂಚಣಿ ಮೌಲ್ಯ y ಮತ್ತು ಜೀವನ ವೆಚ್ಚ x ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧದ ಅಧ್ಯಯನ ವಿದ್ಯಮಾನವನ್ನು ಸಮರ್ಪಕವಾಗಿ ವಿವರಿಸುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಸ್ಥಾಪಿಸಲಾಯಿತು.

6. ಎಕನಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಮಲ್ಟಿಪಲ್ ಲೀನಿಯರ್ ರಿಗ್ರೆಷನ್ ಮಾದರಿಯನ್ನು ರಚಿಸಲಾಗಿದೆ, ಇದು ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ಸಂಸ್ಥೆಯ ನಿವ್ವಳ ಆದಾಯದ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಬಂಡವಾಳ ವಹಿವಾಟು x1 ಮತ್ತು ಬಳಸಿದ ಬಂಡವಾಳ x2 ನೊಂದಿಗೆ ಲಿಂಕ್ ಮಾಡುತ್ತದೆ

7. ಸ್ಥಿತಿಸ್ಥಾಪಕತ್ವ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ, ಬಂಡವಾಳದ ವಹಿವಾಟು 1% ರಷ್ಟು ಬದಲಾದಾಗ, ಕಂಪನಿಯ ನಿವ್ವಳ ಆದಾಯದ ಪ್ರಮಾಣವು 0.0008% ರಷ್ಟು ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಬಳಸಿದ ಬಂಡವಾಳವು 1% ರಷ್ಟು ಬದಲಾದಾಗ, ಕಂಪನಿಯ ನಿವ್ವಳ ಆದಾಯದ ಮೊತ್ತವು ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ. 0.56% ರಷ್ಟು ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ.

8. ಟಿ-ಪರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ರಿಗ್ರೆಶನ್ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಪ್ರಾಮುಖ್ಯತೆಯನ್ನು ನಿರ್ಣಯಿಸಲಾಗಿದೆ, ವಿವರಣಾತ್ಮಕ ವೇರಿಯಬಲ್ x 1 ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯವಾಗಿ ಅತ್ಯಲ್ಪವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ರಿಗ್ರೆಷನ್ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಹೊರಗಿಡಬಹುದು, ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ವಿವರಣಾತ್ಮಕ ವೇರಿಯಬಲ್ x 2 ಆಗಿದೆ ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯವಾಗಿ ಗಮನಾರ್ಹವಾಗಿದೆ.

9. ಎಫ್-ಪರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಜೋಡಿಯಾಗಿರುವ ರಿಗ್ರೆಶನ್ ಸಮೀಕರಣವು ಒಟ್ಟಾರೆಯಾಗಿ ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯವಾಗಿ ಮಹತ್ವದ್ದಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸ್ಥಾಪಿಸಲಾಯಿತು ಮತ್ತು ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ಸಂಸ್ಥೆಯ ನಿವ್ವಳ ಆದಾಯ ಮತ್ತು ಬಂಡವಾಳ ವಹಿವಾಟು x 1 ಮತ್ತು ಬಳಸಿದ ಬಂಡವಾಳದ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧದ ಅಧ್ಯಯನದ ವಿದ್ಯಮಾನವನ್ನು ಸಮರ್ಪಕವಾಗಿ ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ. x 2.

10. ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳ ದತ್ತಾಂಶದ ಅಂದಾಜಿನ ಸರಾಸರಿ ದೋಷವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗಿದೆ ಬಹು ಹಿಂಜರಿತ, ಇದು 29.8% ನಷ್ಟಿತ್ತು. ಅಂಕಿಅಂಶಗಳ ಡೇಟಾಬೇಸ್‌ನಲ್ಲಿ ಈ ದೋಷದ ಪ್ರಮಾಣವು ಅನುಮತಿಸುವ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಮೀರುವ ವೀಕ್ಷಣೆಯ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ.

14. EXCEL ಅನ್ನು ಬಳಸದೆಯೇ ಜೋಡಿಯಾಗಿರುವ ರಿಗ್ರೆಷನ್ ಮಾದರಿಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವುದು.

ಬಳಸಿ ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ವಸ್ತುಕೋಷ್ಟಕ 3.5 ರಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾಗಿದೆ ಇದು ಅವಶ್ಯಕ:

2. ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧ ಮತ್ತು ನಿರ್ಣಯದ ಸೂಚಕಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಂಪರ್ಕದ ನಿಕಟತೆಯನ್ನು ನಿರ್ಣಯಿಸಿ.

3. ಸ್ಥಿತಿಸ್ಥಾಪಕತ್ವ ಗುಣಾಂಕವನ್ನು ಬಳಸಿ, ಅಂಶದ ಗುಣಲಕ್ಷಣ ಮತ್ತು ಫಲಿತಾಂಶದ ನಡುವಿನ ಸಂಪರ್ಕದ ಮಟ್ಟವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ.

4. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿ ಸರಾಸರಿ ದೋಷಅಂದಾಜುಗಳು.

5.ಫಿಶರ್ಸ್ ಎಫ್-ಟೆಸ್ಟ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಮಾಡೆಲಿಂಗ್‌ನ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳ ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹತೆಯನ್ನು ನಿರ್ಣಯಿಸಿ.

ಕೋಷ್ಟಕ 3.5. ಆರಂಭಿಕ ಡೇಟಾ.

	ಸರಾಸರಿ ತಲಾ ನಗದು ಆದಾಯದ ಒಟ್ಟು ಮೊತ್ತದಲ್ಲಿ ಠೇವಣಿ, ಸಾಲ, ಪ್ರಮಾಣಪತ್ರಗಳು ಮತ್ತು ವಿದೇಶಿ ಕರೆನ್ಸಿ ಖರೀದಿಯಲ್ಲಿ ಉಳಿತಾಯವನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸುವ ಗುರಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ನಗದು ಆದಾಯದ ಪಾಲು, ಶೇ.	ಸರಾಸರಿ ಮಾಸಿಕ ಸಂಚಿತ ವೇತನಗಳು, c.u.
ಕಲುಜ್ಸ್ಕಯಾ
ಕೋಸ್ಟ್ರೋಮ್ಸ್ಕಯಾ
ಓರ್ಲೋವ್ಸ್ಕಯಾ
ರಿಯಾಜಾನ್
ಸ್ಮೋಲೆನ್ಸ್ಕಾಯಾ

ಜೋಡಿಯಾಗಿರುವ ರೇಖೀಯ ಹಿಂಜರಿತ ಸಮೀಕರಣದ ಅಜ್ಞಾತ ನಿಯತಾಂಕಗಳನ್ನು b 0 , b 1 ನಿರ್ಧರಿಸಲು, ನಾವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಪ್ರಮಾಣಿತ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ, ಅದು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ

(3.7)

ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು, Sx 2 ಮತ್ತು Sxy ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಇದು ಮೊದಲು ಅಗತ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಮೂಲ ಡೇಟಾ ಟೇಬಲ್‌ನಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅದನ್ನು ಸೂಕ್ತವಾದ ಕಾಲಮ್‌ಗಳೊಂದಿಗೆ ಪೂರಕಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ (ಕೋಷ್ಟಕ 3.6).

ಕೋಷ್ಟಕ 3.6. ರಿಗ್ರೆಷನ್ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ಕಡೆಗೆ.

ನಂತರ ಸಿಸ್ಟಮ್ (3.7) ರೂಪವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತದೆ

ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ b 0 ಅನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಫಲಿತಾಂಶದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಎರಡನೇ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸುವುದು ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಟರ್ಮ್-ಬೈ-ಟರ್ಮ್ ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳನ್ನು ತೆರೆಯುವುದು, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ಸರಾಸರಿ ಮಾಸಿಕ ಸಂಚಿತ ವೇತನದೊಂದಿಗೆ y ಉಳಿತಾಯವನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸುವ ಗುರಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ನಗದು ಆದಾಯದ ಪಾಲಿನ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಸಂಪರ್ಕಿಸುವ ಜೋಡಿ ರೇಖೀಯ ಹಿಂಜರಿತ ಸಮೀಕರಣವು x ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ:

ಆದ್ದರಿಂದ, ಜೋಡಿಯಾಗಿರುವ ರೇಖೀಯ ಹಿಂಜರಿತದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿದಂತೆ, ಅವಲಂಬನೆಯ ಪ್ರಕಾರ ನಾವು ರೇಖೀಯ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧದ ಗುಣಾಂಕವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತೇವೆ:

ಅನುಗುಣವಾದ ನಿಯತಾಂಕಗಳ ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಎಲ್ಲಿವೆ.

ಅವಲಂಬನೆ (3.9) ನಿಂದ ರೇಖೀಯ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧದ ಗುಣಾಂಕವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು, ನಾವು ಮಧ್ಯಂತರ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಕಂಡುಬರುವ ನಿಯತಾಂಕಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗೆ (3.9) ಬದಲಿಸಿ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

.

ರೇಖೀಯ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧದ ಗುಣಾಂಕದ ಪಡೆದ ಮೌಲ್ಯವು ಉಳಿತಾಯವನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸುವ ಗುರಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ನಗದು ಆದಾಯದ ಪಾಲು ಮತ್ತು ಸರಾಸರಿ ಮಾಸಿಕ ಸಂಚಿತ ವೇತನದ ಮೊತ್ತ x ನಡುವಿನ ದುರ್ಬಲ ವಿಲೋಮ ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಸಂಬಂಧದ ಉಪಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ.

ನಿರ್ಣಯದ ಗುಣಾಂಕವು y ನಲ್ಲಿ ವಿವರಣಾತ್ಮಕ ವೇರಿಯಬಲ್ x ಅನ್ನು ಹಿಮ್ಮೆಟ್ಟಿಸುವ ಮೂಲಕ ಕೇವಲ 9.6% ಅನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ. ಅಂತೆಯೇ, 90.4% ಗೆ ಸಮಾನವಾದ 1 ಮೌಲ್ಯವು ಇಕೊನೊಮೆಟ್ರಿಕ್ ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿ ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳದ ಎಲ್ಲಾ ಇತರ ವಿವರಣಾತ್ಮಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಪ್ರಭಾವದಿಂದ ಉಂಟಾಗುವ ವೇರಿಯಬಲ್ y ನ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಪಾಲನ್ನು ನಿರೂಪಿಸುತ್ತದೆ.

ಸ್ಥಿತಿಸ್ಥಾಪಕತ್ವ ಗುಣಾಂಕವಾಗಿದೆ

ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಸರಾಸರಿ ಮಾಸಿಕ ಸಂಚಿತ ವೇತನವು 1% ರಷ್ಟು ಬದಲಾದಾಗ, ಉಳಿತಾಯವನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸುವ ಗುರಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ನಗದು ಆದಾಯದ ಪಾಲು ಸಹ 1% ರಷ್ಟು ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ವೇತನದ ಹೆಚ್ಚಳದೊಂದಿಗೆ, ನಗದು ಆದಾಯದ ಪಾಲನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಜನಸಂಖ್ಯೆಯು ಉಳಿತಾಯವನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸುವ ಗುರಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಈ ತೀರ್ಮಾನವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಜ್ಞಾನಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ರಚಿಸಲಾದ ಗಣಿತದ ಮಾದರಿಯ ತಪ್ಪಿನಿಂದ ಮಾತ್ರ ವಿವರಿಸಬಹುದು.

ಸರಾಸರಿ ಅಂದಾಜು ದೋಷವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ.

ಕೋಷ್ಟಕ 3.7. ಸರಾಸರಿ ಅಂದಾಜು ದೋಷದ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ಕಡೆಗೆ.

ಪಡೆದ ಮೌಲ್ಯವು (12 ... 15)% ಮೀರಿದೆ, ಇದು ಎಕನೋಮೆಟ್ರಿಕ್ ಮಾದರಿಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿದ ನೈಜ ಡೇಟಾದಿಂದ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿದ ಡೇಟಾದ ಸರಾಸರಿ ವಿಚಲನದ ಮಹತ್ವವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ.

ಫಿಶರ್‌ನ ಎಫ್-ಪರೀಕ್ಷೆಯ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಮಾಡೆಲಿಂಗ್‌ನ ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹತೆಯನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಫಿಶರ್ ಮಾನದಂಡ ಎಫ್ ಕ್ಯಾಲ್ಕ್‌ನ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಸೂತ್ರದ ಪ್ರಕಾರ ಒಂದು ಡಿಗ್ರಿ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿದ ಅಂಶ ಮತ್ತು ಉಳಿದ ಪ್ರಸರಣಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಅನುಪಾತದಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಇಲ್ಲಿ n ಎಂಬುದು ವೀಕ್ಷಣೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ;

m ಎಂಬುದು ವಿವರಣಾತ್ಮಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ m m =1 ಪರಿಗಣನೆಯಲ್ಲಿದೆ).

ನಿರ್ಣಾಯಕ ಮೌಲ್ಯ F ಕ್ರಿಟ್ ಅನ್ನು ಅಂಕಿಅಂಶಗಳ ಕೋಷ್ಟಕಗಳಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಪ್ರಾಮುಖ್ಯತೆಯ ಮಟ್ಟಕ್ಕೆ a = 0.05 10.13 ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಎಫ್ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದಿಂದ

15. EXCEL ಅನ್ನು ಬಳಸದೆಯೇ ಬಹು ಹಿಂಜರಿತ ಮಾದರಿಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವುದು.

ಕೋಷ್ಟಕ 3.8 ರಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾದ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನೀವು ಮಾಡಬೇಕು:

1. ನಿರ್ಮಿಸಿ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಬಹು ಹಿಂಜರಿತ, ಅದರ ನಿಯತಾಂಕಗಳ ಆರ್ಥಿಕ ಅರ್ಥವನ್ನು ವಿವರಿಸಿ.

2. ಸರಾಸರಿ (ಸಾಮಾನ್ಯ) ಸ್ಥಿತಿಸ್ಥಾಪಕತ್ವ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅಂಶಗಳು ಮತ್ತು ಫಲಿತಾಂಶದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧದ ನಿಕಟತೆಯ ತುಲನಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನವನ್ನು ನೀಡಿ.

3. ದರ ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಮಹತ್ವ t-ಪರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಹಿಂಜರಿತ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಮತ್ತು F-ಪರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಮೀಕರಣದ ಮಹತ್ವವಿಲ್ಲದ ಶೂನ್ಯ ಕಲ್ಪನೆ.

4. ಅಂದಾಜಿನ ಸರಾಸರಿ ದೋಷವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಸಮೀಕರಣದ ಗುಣಮಟ್ಟವನ್ನು ನಿರ್ಣಯಿಸಿ.

ಕೋಷ್ಟಕ 3.8. ಆರಂಭಿಕ ಡೇಟಾ.

ನಿವ್ವಳ ಆದಾಯ, ಮಿಲಿಯನ್ US ಡಾಲರ್	ಬಂಡವಾಳ ವಹಿವಾಟು ಮಿಲಿಯನ್ US ಡಾಲರ್	ಬಳಸಿದ ಬಂಡವಾಳ, ಮಿಲಿಯನ್ US ಡಾಲರ್

ಬಹು ಲೀನಿಯರ್ ರಿಗ್ರೆಷನ್ ಸಮೀಕರಣದ ಅಜ್ಞಾತ ನಿಯತಾಂಕಗಳನ್ನು b 0, b 1, b 2 ನಿರ್ಧರಿಸಲು, ನಾವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಪ್ರಮಾಣಿತ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ, ಅದು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.

(3.11)

ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು, Sx 1 2, Sx 2 2, Sx 1 y, Sx 2 y, Sx 1 x 2 ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಇದು ಮೊದಲು ಅಗತ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಮೂಲ ಡೇಟಾ ಟೇಬಲ್‌ನಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅದನ್ನು ಸೂಕ್ತವಾದ ಕಾಲಮ್‌ಗಳೊಂದಿಗೆ ಪೂರಕಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ (ಕೋಷ್ಟಕ 3.9).

ಕೋಷ್ಟಕ 3.9. ರಿಗ್ರೆಷನ್ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ಕಡೆಗೆ.

ನಂತರ ಸಿಸ್ಟಮ್ (3.11) ರೂಪವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತದೆ

ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು, ನಾವು ಗೌಸ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ, ಇದು ಅಪರಿಚಿತರನ್ನು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ತೆಗೆದುಹಾಕುವುದನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ: ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು 10 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ, ನಂತರ ಫಲಿತಾಂಶದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು 370.6 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿ ಮತ್ತು ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಎರಡನೇ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಕಳೆಯಿರಿ, ನಂತರ ಗುಣಿಸಿ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು 158.20 ರಿಂದ ಮತ್ತು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಮೂರನೇ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಕಳೆಯಿರಿ. ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ರೂಪಾಂತರಗೊಂಡ ಎರಡನೇ ಮತ್ತು ಮೂರನೇ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗಾಗಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿಸಿ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

Þ Þ

Þ .

ರೂಪಾಂತರದ ನಂತರ ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ:

ನಂತರ ಬಂಡವಾಳ ವಹಿವಾಟು ಮತ್ತು ಬಂಡವಾಳದ ಮೇಲಿನ ನಿವ್ವಳ ಆದಾಯದ ಅಂತಿಮ ಅವಲಂಬನೆಯು ರೇಖೀಯ ಬಹು ಹಿಂಜರಿತ ಸಮೀಕರಣದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬಳಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆ:

ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಎಕನಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಬಳಸಿದ ಬಂಡವಾಳದ ಹೆಚ್ಚಳದೊಂದಿಗೆ, ನಿವ್ವಳ ಆದಾಯವು ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ, ಬಂಡವಾಳದ ವಹಿವಾಟಿನ ಹೆಚ್ಚಳದೊಂದಿಗೆ, ನಿವ್ವಳ ಆದಾಯವು ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಇದರ ಜೊತೆಗೆ, ರಿಗ್ರೆಷನ್ ಗುಣಾಂಕವು ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ, ಅವಲಂಬಿತ ವೇರಿಯಬಲ್ ಮೇಲೆ ವಿವರಣಾತ್ಮಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಪ್ರಭಾವವು ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ. ಪರಿಗಣನೆಯಲ್ಲಿರುವ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ, ರಿಗ್ರೆಷನ್ ಗುಣಾಂಕದ ಮೌಲ್ಯವು ಗುಣಾಂಕದ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಬಳಸಿದ ಬಂಡವಾಳವು ಬಂಡವಾಳದ ವಹಿವಾಟುಗಿಂತ ನಿವ್ವಳ ಆದಾಯದ ಮೇಲೆ ಗಮನಾರ್ಹವಾಗಿ ಹೆಚ್ಚಿನ ಪರಿಣಾಮವನ್ನು ಬೀರುತ್ತದೆ. ಈ ತೀರ್ಮಾನವನ್ನು ಪ್ರಮಾಣೀಕರಿಸಲು, ನಾವು ಭಾಗಶಃ ಸ್ಥಿತಿಸ್ಥಾಪಕತ್ವ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಬಳಸಿದ ಬಂಡವಾಳವು ನಿವ್ವಳ ಆದಾಯದ ಮೇಲೆ ಹೆಚ್ಚಿನ ಪ್ರಭಾವ ಬೀರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, 1% ಬಳಸಿದ ಬಂಡವಾಳದ ಹೆಚ್ಚಳದೊಂದಿಗೆ, ನಿವ್ವಳ ಆದಾಯವು 1.17% ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ. ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ಬಂಡವಾಳದ ವಹಿವಾಟಿನಲ್ಲಿ 1% ರಷ್ಟು ಹೆಚ್ಚಳದೊಂದಿಗೆ, ನಿವ್ವಳ ಆದಾಯವು 0.5% ರಷ್ಟು ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ.

ಫಿಶರ್ ಮಾನದಂಡದ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಮೌಲ್ಯ ಎಫ್ ಕ್ಯಾಲ್ಕ್.

ನಿರ್ಣಾಯಕ ಮೌಲ್ಯದ F ಕ್ರಿಟ್ನ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಅಂಕಿಅಂಶಗಳ ಕೋಷ್ಟಕಗಳಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು a = 0.05 ರ ಪ್ರಾಮುಖ್ಯತೆಯ ಮಟ್ಟವು 4.74 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಎಫ್ ಕ್ಯಾಲ್ಕ್ > ಎಫ್ ಕ್ರಿಟ್ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ, ಶೂನ್ಯ ಊಹೆಯನ್ನು ತಿರಸ್ಕರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ರಿಗ್ರೆಶನ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯವಾಗಿ ಮಹತ್ವದ್ದಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸ್ವೀಕರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ರಿಗ್ರೆಷನ್ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಪ್ರಾಮುಖ್ಯತೆಯನ್ನು ನಿರ್ಣಯಿಸುವುದು ಮತ್ತು t- ಮಾನದಂಡವು ಈ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಅವುಗಳ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ದೋಷಗಳ ಪ್ರಮಾಣದೊಂದಿಗೆ ಮತ್ತು ಸಂಬಂಧದ ಪ್ರಕಾರ ಹೋಲಿಸಲು ಬರುತ್ತದೆ:

ಟಿ-ಅಂಕಿಅಂಶಗಳ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಕಾರ್ಯ ಸೂತ್ರ:

, (3.13)

ಅಲ್ಲಿ ಜೋಡಿ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಮತ್ತು ಬಹು ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧ ಗುಣಾಂಕವನ್ನು ಅವಲಂಬನೆಗಳಿಂದ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ:

ನಂತರ ಟಿ-ಅಂಕಿಅಂಶಗಳ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ (ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ) ಮೌಲ್ಯಗಳು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ:

t-ಅಂಕಿಅಂಶಗಳ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಮೌಲ್ಯವು, ಪ್ರಾಮುಖ್ಯತೆಯ ಮಟ್ಟ a = 0.05 t ಕ್ರಿಟ್ = 2.36 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಕೋಷ್ಟಕಗಳಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿರುವುದರಿಂದ, = - 1.798 ಗಿಂತ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯದಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಿನದಾಗಿದೆ, ನಂತರ ಶೂನ್ಯ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ತಿರಸ್ಕರಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ವಿವರಣಾತ್ಮಕ ವೇರಿಯಬಲ್ x 1 ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯವಾಗಿ ಅತ್ಯಲ್ಪವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ರಿಗ್ರೆಶನ್ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಇದನ್ನು ಹೊರಗಿಡಬಹುದು. ವ್ಯತಿರಿಕ್ತವಾಗಿ, ಎರಡನೇ ರಿಗ್ರೆಷನ್ ಗುಣಾಂಕ > t ಕ್ರಿಟ್ (3.3 > 2.36), ಮತ್ತು ವಿವರಣಾತ್ಮಕ ವೇರಿಯಬಲ್ x 2 ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯವಾಗಿ ಮಹತ್ವದ್ದಾಗಿದೆ.

ಸರಾಸರಿ ಅಂದಾಜು ದೋಷವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ.

ಕೋಷ್ಟಕ 3.10. ಸರಾಸರಿ ಅಂದಾಜು ದೋಷದ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ಕಡೆಗೆ.

ನಂತರ ಸರಾಸರಿ ಅಂದಾಜು ದೋಷ

ಪಡೆದ ಮೌಲ್ಯವು (12…15)% ಗೆ ಸಮಾನವಾದ ಅನುಮತಿಸುವ ಮಿತಿಯನ್ನು ಮೀರುವುದಿಲ್ಲ.

16. ಮಾಪನ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಯ ಇತಿಹಾಸ

TI ಅನ್ನು ಮೊದಲು ಸೈಕೋಫಿಸಿಕಲ್ ಮಾಪನಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತವಾಗಿ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಲಾಯಿತು. ಯುದ್ಧಾನಂತರದ ಪ್ರಕಟಣೆಗಳಲ್ಲಿ, ಅಮೇರಿಕನ್ ಮನಶ್ಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ ಎಸ್.ಎಸ್. ಸ್ಟೀವನ್ಸ್ ಮಾಪನ ಮಾಪಕಗಳ ಮೇಲೆ ಕೇಂದ್ರೀಕರಿಸಿದರು. 20 ನೇ ಶತಮಾನದ ದ್ವಿತೀಯಾರ್ಧದಲ್ಲಿ. TI ಯ ಅನ್ವಯದ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯು ವೇಗವಾಗಿ ವಿಸ್ತರಿಸುತ್ತಿದೆ. 50 ರ ದಶಕದಲ್ಲಿ USA ನಲ್ಲಿ ಪ್ರಕಟವಾದ "ಎನ್ಸೈಕ್ಲೋಪೀಡಿಯಾ ಆಫ್ ಸೈಕಲಾಜಿಕಲ್ ಸೈನ್ಸಸ್" ನ ಸಂಪುಟಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು "ಮಾನಸಿಕ ಮಾಪನಗಳು" ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಯಿತು. ಈ ಪ್ರಕಟಣೆಯ ಲೇಖಕರು TI ಯ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯನ್ನು ಸೈಕೋಫಿಸಿಕ್ಸ್‌ನಿಂದ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಮನೋವಿಜ್ಞಾನಕ್ಕೆ ವಿಸ್ತರಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಈ ಸಂಗ್ರಹದ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ, "ಮಾಪನ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಮೂಲಭೂತ", ಪ್ರಸ್ತುತಿಯು ಯಾವುದೇ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅನ್ವಯಿಕ ಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖಿಸದೆ ಅಮೂರ್ತ ಗಣಿತದ ಮಟ್ಟದಲ್ಲಿದೆ. ಅದರಲ್ಲಿ, "ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಸಂಬಂಧಗಳೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ಸಮರೂಪತೆಗಳು" (ಈ ಗಣಿತದ ಪದಗಳಿಗೆ ಇಲ್ಲಿ ಹೋಗುವ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ) ಒತ್ತು ನೀಡಲಾಯಿತು, ಮತ್ತು ಪ್ರಸ್ತುತಿಯ ಗಣಿತದ ಸಂಕೀರ್ಣತೆಯು S.S ಅವರ ಕೃತಿಗಳಿಗೆ ಹೋಲಿಸಿದರೆ ಹೆಚ್ಚಾಯಿತು. ಸ್ಟೀವನ್ಸ್.

TI ಯ ಮೊದಲ ದೇಶೀಯ ಲೇಖನಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದರಲ್ಲಿ (60 ರ ದಶಕದ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ), ಪರೀಕ್ಷೆಯ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ನಿರ್ಣಯಿಸುವಾಗ ತಜ್ಞರು ನಿಗದಿಪಡಿಸಿದ ಅಂಕಗಳನ್ನು ನಿಯಮದಂತೆ, ಆರ್ಡಿನಲ್ ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿ ಅಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಸ್ಥಾಪಿಸಲಾಯಿತು. 70 ರ ದಶಕದ ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಂಡ ಕೃತಿಗಳು TI ಬಳಕೆಯ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯ ಗಮನಾರ್ಹ ವಿಸ್ತರಣೆಗೆ ಕಾರಣವಾಯಿತು. ಇದನ್ನು ಶಿಕ್ಷಣದ ಗುಣಮಟ್ಟಕ್ಕೆ (ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳ ಜ್ಞಾನದ ಗುಣಮಟ್ಟವನ್ನು ಅಳೆಯಲು), ಸಿಸ್ಟಮ್ಸ್ ಸಂಶೋಧನೆಯಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ವಿವಿಧ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸಲಾಗಿದೆ. ತಜ್ಞ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನಗಳು, ಉತ್ಪನ್ನದ ಗುಣಮಟ್ಟದ ಸೂಚಕಗಳನ್ನು ಒಟ್ಟುಗೂಡಿಸಲು, ಸಮಾಜಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಅಧ್ಯಯನಗಳಲ್ಲಿ, ಇತ್ಯಾದಿ.

TI ಯ ಎರಡು ಪ್ರಮುಖ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಂತೆ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಡೇಟಾವನ್ನು ಅಳೆಯಲು ಪ್ರಮಾಣದ ಪ್ರಕಾರವನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸುವುದರ ಜೊತೆಗೆ, ಡೇಟಾ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್‌ಗಳ ಹುಡುಕಾಟವನ್ನು ಮುಂದಿಡಲಾಯಿತು, ಅದರ ಫಲಿತಾಂಶವು ಪ್ರಮಾಣದ ಯಾವುದೇ ಸ್ವೀಕಾರಾರ್ಹ ರೂಪಾಂತರದೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ (ಅಂದರೆ, ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಈ ರೂಪಾಂತರಕ್ಕೆ) ಭೌಗೋಳಿಕದಲ್ಲಿ ಆರ್ಡಿನಲ್ ಮಾಪಕಗಳು ಬ್ಯೂಫೋರ್ಟ್ ಮಾಪಕ ಗಾಳಿಗಳು ("ಶಾಂತ", "ತಿಳಿ ಗಾಳಿ", "ಮಧ್ಯಮ ಗಾಳಿ", ಇತ್ಯಾದಿ), ಭೂಕಂಪದ ಶಕ್ತಿಯ ಪ್ರಮಾಣ. ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, 2 ರ ತೀವ್ರತೆಯ ಭೂಕಂಪ (ಸೀಲಿಂಗ್ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಒಂದು ದೀಪ) 10 ರ ಭೂಕಂಪಕ್ಕಿಂತ ನಿಖರವಾಗಿ 5 ಪಟ್ಟು ದುರ್ಬಲವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ (ಭೂಮಿಯ ಮೇಲ್ಮೈಯಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲದರ ಸಂಪೂರ್ಣ ನಾಶ).

ವೈದ್ಯಕೀಯದಲ್ಲಿ, ಆರ್ಡಿನಲ್ ಮಾಪಕಗಳು ಅಧಿಕ ರಕ್ತದೊತ್ತಡದ ಹಂತಗಳ ಪ್ರಮಾಣವಾಗಿದೆ (ಮೈಯಾಸ್ನಿಕೋವ್ ಪ್ರಕಾರ), ಹೃದಯ ವೈಫಲ್ಯದ ಡಿಗ್ರಿಗಳ ಪ್ರಮಾಣ (ಸ್ಟ್ರಾಜೆಸ್ಕೊ-ವಾಸಿಲೆಂಕೊ-ಲ್ಯಾಂಗ್ ಪ್ರಕಾರ), ಪರಿಧಮನಿಯ ಕೊರತೆಯ ತೀವ್ರತೆಯ ಪ್ರಮಾಣ (ಫೋಗೆಲ್ಸನ್ ಪ್ರಕಾರ) ಇತ್ಯಾದಿ. . ಈ ಎಲ್ಲಾ ಮಾಪಕಗಳನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಯೋಜನೆಯ ಪ್ರಕಾರ ನಿರ್ಮಿಸಲಾಗಿದೆ: ಯಾವುದೇ ರೋಗ ಪತ್ತೆಯಾಗಿಲ್ಲ; ರೋಗದ ಮೊದಲ ಹಂತ; ಎರಡನೇ ಹಂತ; ಮೂರನೇ ಹಂತ... ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಹಂತಗಳು 1a, 16, ಇತ್ಯಾದಿಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಹಂತವು ತನ್ನದೇ ಆದ ವೈದ್ಯಕೀಯ ಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಅಂಗವೈಕಲ್ಯ ಗುಂಪುಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸುವಾಗ, ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ವಿರುದ್ಧ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ: ಅತ್ಯಂತ ತೀವ್ರವಾದ ಮೊದಲ ಅಂಗವೈಕಲ್ಯ ಗುಂಪು, ನಂತರ ಎರಡನೆಯದು, ಹಗುರವಾದದ್ದು ಮೂರನೆಯದು.

ಮನೆ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸಹ ಆರ್ಡಿನಲ್ ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿ ಅಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ - ಮನೆಗಳು ಬೀದಿಯಲ್ಲಿ ಯಾವ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಅವು ತೋರಿಸುತ್ತವೆ. ಬರಹಗಾರನ ಸಂಗ್ರಹಿಸಿದ ಕೃತಿಗಳಲ್ಲಿನ ಸಂಪುಟ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಅಥವಾ ಎಂಟರ್‌ಪ್ರೈಸ್ ಆರ್ಕೈವ್‌ನಲ್ಲಿರುವ ಕೇಸ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಅವುಗಳ ರಚನೆಯ ಕಾಲಾನುಕ್ರಮದೊಂದಿಗೆ ಸಂಬಂಧ ಹೊಂದಿವೆ.

ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಮತ್ತು ಸೇವೆಗಳ ಗುಣಮಟ್ಟವನ್ನು ನಿರ್ಣಯಿಸುವಾಗ, ಆರ್ಡಿನಲ್ ಮಾಪಕಗಳು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಕ್ವಾಲಿಮೆಟ್ರಿಯಲ್ಲಿ ಜನಪ್ರಿಯವಾಗಿವೆ (ಅಕ್ಷರಶಃ ಅನುವಾದ - ಗುಣಮಟ್ಟದ ಮಾಪನ). ಅವುಗಳೆಂದರೆ, ಉತ್ಪಾದನೆಯ ಘಟಕವನ್ನು ರವಾನಿಸಬಹುದಾದ ಅಥವಾ ಅನರ್ಹವೆಂದು ನಿರ್ಣಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚು ಸಂಪೂರ್ಣವಾದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಗಾಗಿ, ಮೂರು ಹಂತಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಮಾಪಕವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ: ಗಮನಾರ್ಹ ದೋಷಗಳಿವೆ - ಸಣ್ಣ ದೋಷಗಳು ಮಾತ್ರ ಇವೆ - ಯಾವುದೇ ದೋಷಗಳಿಲ್ಲ. ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ನಾಲ್ಕು ಹಂತಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ: ನಿರ್ಣಾಯಕ ದೋಷಗಳಿವೆ (ಬಳಸಲು ಅಸಾಧ್ಯವಾಗುವಂತೆ) - ಗಮನಾರ್ಹ ದೋಷಗಳಿವೆ - ಕೇವಲ ಸಣ್ಣ ದೋಷಗಳಿವೆ - ಯಾವುದೇ ದೋಷಗಳಿಲ್ಲ. ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಶ್ರೇಣೀಕರಣವು ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಅರ್ಥವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ - ಪ್ರೀಮಿಯಂ, ಮೊದಲ ದರ್ಜೆ, ಎರಡನೇ ದರ್ಜೆ,...

ಪರಿಸರದ ಪರಿಣಾಮಗಳನ್ನು ನಿರ್ಣಯಿಸುವಾಗ, ಮೊದಲ, ಸಾಮಾನ್ಯ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಆರ್ಡಿನಲ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ: ನೈಸರ್ಗಿಕ ಪರಿಸರವು ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ - ನೈಸರ್ಗಿಕ ಪರಿಸರವು ತುಳಿತಕ್ಕೊಳಗಾಗುತ್ತದೆ (ಅಧಃಪತನಗೊಂಡಿದೆ). ಪರಿಸರ-ವೈದ್ಯಕೀಯ ಪ್ರಮಾಣವು ಹೋಲುತ್ತದೆ: ಮಾನವನ ಆರೋಗ್ಯದ ಮೇಲೆ ಯಾವುದೇ ಉಚ್ಚಾರಣಾ ಪರಿಣಾಮವಿಲ್ಲ - ಆರೋಗ್ಯದ ಮೇಲೆ ನಕಾರಾತ್ಮಕ ಪ್ರಭಾವವನ್ನು ಗುರುತಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಆರ್ಡಿನಲ್ ಸ್ಕೇಲ್ ಅನ್ನು ಇತರ ಪ್ರದೇಶಗಳಲ್ಲಿಯೂ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅರ್ಥಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಇವು ಪ್ರಾಥಮಿಕವಾಗಿ ತಜ್ಞರ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನದ ವಿವಿಧ ವಿಧಾನಗಳಾಗಿವೆ.

ಎಲ್ಲಾ ಮಾಪನ ಮಾಪಕಗಳನ್ನು ಎರಡು ಗುಂಪುಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗಿದೆ - ಗುಣಾತ್ಮಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಮಾಪಕಗಳು ಮತ್ತು ಪರಿಮಾಣಾತ್ಮಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಮಾಪಕಗಳು. ಆರ್ಡಿನಲ್ ಸ್ಕೇಲ್ ಮತ್ತು ಹೆಸರಿಸುವ ಪ್ರಮಾಣವು ಗುಣಾತ್ಮಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಮುಖ್ಯ ಮಾಪಕಗಳಾಗಿವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಅನೇಕ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪ್ರದೇಶಗಳಲ್ಲಿ ಗುಣಾತ್ಮಕ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಈ ಮಾಪಕಗಳ ಮೇಲೆ ಮಾಪನಗಳಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು. ಪರಿಮಾಣಾತ್ಮಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಮಾಪಕಗಳು ಮಧ್ಯಂತರಗಳ ಮಾಪಕಗಳು, ಅನುಪಾತಗಳು, ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳು, ಸಂಪೂರ್ಣ. ಮಧ್ಯಂತರ ಮಾಪಕವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಸಂಭಾವ್ಯ ಶಕ್ತಿಯ ಪ್ರಮಾಣ ಅಥವಾ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕವನ್ನು ಅಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ನೈಸರ್ಗಿಕ ಮೂಲ ಅಥವಾ ಮಾಪನದ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಘಟಕವನ್ನು ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿ ಗುರುತಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಸಂಶೋಧಕನು ಆರಂಭಿಕ ಹಂತವನ್ನು ಹೊಂದಿಸಬೇಕು ಮತ್ತು ಮಾಪನದ ಘಟಕವನ್ನು ಸ್ವತಃ ಆರಿಸಿಕೊಳ್ಳಬೇಕು. ಮಧ್ಯಂತರ ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿ ಸ್ವೀಕಾರಾರ್ಹ ರೂಪಾಂತರಗಳು ರೇಖೀಯ ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವ ರೂಪಾಂತರಗಳಾಗಿವೆ, ಅಂದರೆ. ರೇಖೀಯ ಕಾರ್ಯಗಳು. ಸೆಲ್ಸಿಯಸ್ ಮತ್ತು ಫ್ಯಾರನ್‌ಹೀಟ್ ತಾಪಮಾನ ಮಾಪಕಗಳು ನಿಖರವಾಗಿ ಈ ಅವಲಂಬನೆಯಿಂದ ಸಂಪರ್ಕ ಹೊಂದಿವೆ: °C = 5/9 (°F - 32), ಇಲ್ಲಿ °C ಎಂಬುದು ಸೆಲ್ಸಿಯಸ್ ಮಾಪಕದಲ್ಲಿನ ತಾಪಮಾನ (ಡಿಗ್ರಿಗಳಲ್ಲಿ) ಮತ್ತು °F ಎಂಬುದು ಫ್ಯಾರನ್‌ಹೀಟ್‌ನಲ್ಲಿನ ತಾಪಮಾನವಾಗಿದೆ. ಪ್ರಮಾಣದ.

ಪರಿಮಾಣಾತ್ಮಕ ಮಾಪಕಗಳಲ್ಲಿ, ವಿಜ್ಞಾನ ಮತ್ತು ಅಭ್ಯಾಸದಲ್ಲಿ ಅತ್ಯಂತ ಸಾಮಾನ್ಯವಾದವು ಅನುಪಾತ ಮಾಪಕಗಳು. ಅವರು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಉಲ್ಲೇಖ ಬಿಂದುವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದಾರೆ - ಶೂನ್ಯ, ಅಂದರೆ. ಪ್ರಮಾಣದ ಅನುಪಸ್ಥಿತಿ, ಆದರೆ ಮಾಪನದ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಘಟಕವಿಲ್ಲ. ಹೆಚ್ಚಿನ ಭೌತಿಕ ಘಟಕಗಳನ್ನು ಅನುಪಾತದ ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿ ಅಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ: ದೇಹದ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ, ಉದ್ದ, ಚಾರ್ಜ್, ಹಾಗೆಯೇ ಆರ್ಥಿಕತೆಯಲ್ಲಿ ಬೆಲೆಗಳು. ಅನುಪಾತದ ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿ ಸ್ವೀಕಾರಾರ್ಹ ರೂಪಾಂತರಗಳು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತವೆ (ಮಾಪಕವನ್ನು ಮಾತ್ರ ಬದಲಾಯಿಸುವುದು). ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಉಚಿತ ಪದವಿಲ್ಲದೆ ರೇಖೀಯ ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವ ರೂಪಾಂತರಗಳು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಬೆಲೆಗಳನ್ನು ಒಂದು ಕರೆನ್ಸಿಯಿಂದ ಇನ್ನೊಂದಕ್ಕೆ ಸ್ಥಿರ ದರದಲ್ಲಿ ಪರಿವರ್ತಿಸುವುದು. ನಾವು ರೂಬಲ್ಸ್ನಲ್ಲಿ ಬೆಲೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಎರಡು ಹೂಡಿಕೆ ಯೋಜನೆಗಳ ಆರ್ಥಿಕ ದಕ್ಷತೆಯನ್ನು ಹೋಲಿಸುತ್ತೇವೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ಮೊದಲ ಯೋಜನೆಯು ಎರಡನೆಯದಕ್ಕಿಂತ ಉತ್ತಮವಾಗಿ ಹೊರಹೊಮ್ಮಲಿ. ಈಗ ನಾವು ಚೀನೀ ಕರೆನ್ಸಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸೋಣ - ಯುವಾನ್, ಸ್ಥಿರ ಪರಿವರ್ತನೆ ದರವನ್ನು ಬಳಸಿ. ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ಮೊದಲ ಯೋಜನೆಯು ಎರಡನೆಯದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಲಾಭದಾಯಕವಾಗಿರಬೇಕು. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ಕ್ರಮಾವಳಿಗಳು ಈ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪೂರೈಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸ್ವಯಂಚಾಲಿತವಾಗಿ ಖಚಿತಪಡಿಸುವುದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಪೂರೈಸಲಾಗಿದೆಯೇ ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ. ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗಾಗಿ ಅಂತಹ ಪರೀಕ್ಷೆಯ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಕೆಳಗೆ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ.

ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಪ್ರಮಾಣವು ಮಾಪನದ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಘಟಕವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಆದರೆ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಉಲ್ಲೇಖ ಬಿಂದುವಿಲ್ಲ. ವರ್ಷವನ್ನು (ಅಥವಾ ದಿನ - ಮಧ್ಯಾಹ್ನದಿಂದ ಮಧ್ಯಾಹ್ನದವರೆಗೆ) ಮಾಪನದ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಘಟಕವಾಗಿ ಮತ್ತು ಮಧ್ಯಂತರಗಳ ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿ ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ ಸಮಯವನ್ನು ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳ ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿ ಅಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯ ಪ್ರಕರಣ. ಪ್ರಸ್ತುತ ಜ್ಞಾನದ ಮಟ್ಟದಲ್ಲಿ, ನೈಸರ್ಗಿಕ ಆರಂಭಿಕ ಹಂತವನ್ನು ಸೂಚಿಸುವುದು ಅಸಾಧ್ಯ. ವಿಭಿನ್ನ ಲೇಖಕರು ಪ್ರಪಂಚದ ಸೃಷ್ಟಿಯ ದಿನಾಂಕವನ್ನು ವಿಭಿನ್ನ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುತ್ತಾರೆ, ಹಾಗೆಯೇ ನೇಟಿವಿಟಿ ಆಫ್ ಕ್ರೈಸ್ಟ್ನ ಕ್ಷಣ.

ಸಂಪೂರ್ಣ ಅಳತೆಗೆ ಮಾತ್ರ ಮಾಪನ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ಪದದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿವೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಕೋಣೆಯಲ್ಲಿನ ಜನರ ಸಂಖ್ಯೆ. ಸಂಪೂರ್ಣ ಪ್ರಮಾಣಕ್ಕಾಗಿ, ಗುರುತಿನ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಮಾತ್ರ ಅನುಮತಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಜ್ಞಾನದ ಅನುಗುಣವಾದ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ, ಪ್ರಮಾಣದ ಪ್ರಕಾರವು ಬದಲಾಗಬಹುದು. ಆದ್ದರಿಂದ, ಮೊದಲಿಗೆ ತಾಪಮಾನವನ್ನು ಆರ್ಡಿನಲ್ ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿ ಅಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ (ಶೀತ - ಬೆಚ್ಚಗಿರುತ್ತದೆ). ನಂತರ - ಮಧ್ಯಂತರ ಪ್ರಕಾರ (ಸೆಲ್ಸಿಯಸ್, ಫ್ಯಾರನ್ಹೀಟ್, ರಿಯಾಮುರ್ ಮಾಪಕಗಳು). ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ಸಂಪೂರ್ಣ ಶೂನ್ಯದ ಆವಿಷ್ಕಾರದ ನಂತರ, ತಾಪಮಾನವನ್ನು ಅನುಪಾತ ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿ (ಕೆಲ್ವಿನ್ ಸ್ಕೇಲ್) ಅಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು. ಅಳೆಯಲಾದ ಕೆಲವು ನೈಜ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಲು ಯಾವ ಮಾಪಕಗಳನ್ನು ಬಳಸಬೇಕು ಎಂಬುದರ ಕುರಿತು ತಜ್ಞರಲ್ಲಿ ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಭಿನ್ನಾಭಿಪ್ರಾಯಗಳಿವೆ ಎಂದು ಗಮನಿಸಬೇಕು. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಮಾಪನ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ಅಳತೆಯ ಪ್ರಕಾರವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವುದನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ (ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ರೀತಿಯ ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು ಆಯ್ಕೆಮಾಡುವ ತಾರ್ಕಿಕತೆಯ ಜೊತೆಗೆ). ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಲಾದ ಆರು ಮುಖ್ಯ ವಿಧದ ಮಾಪಕಗಳ ಜೊತೆಗೆ, ಇತರ ಮಾಪಕಗಳನ್ನು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

17. ಬದಲಾಗದ ಕ್ರಮಾವಳಿಗಳು ಮತ್ತು ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯಗಳು.

TI ಯಲ್ಲಿ ಡೇಟಾ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್‌ಗಳಿಗೆ ಮುಖ್ಯ ಅವಶ್ಯಕತೆಯನ್ನು ನಾವು ರೂಪಿಸೋಣ: ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪ್ರಕಾರದ ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿ ಅಳೆಯಲಾದ ಡೇಟಾದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಮಾಡಲಾದ ತೀರ್ಮಾನಗಳು ಈ ಡೇಟಾದ ಮಾಪನ ಪ್ರಮಾಣವು ಅನುಮತಿಸಿದಾಗ ಬದಲಾಗಬಾರದು. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಮಾನ್ಯ ಪ್ರಮಾಣದ ರೂಪಾಂತರಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ತೀರ್ಮಾನಗಳು ಅಸ್ಥಿರವಾಗಿರಬೇಕು.

ಹೀಗಾಗಿ, ನೈಜ ವಸ್ತುಗಳಿಗೆ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ನಿಯೋಜಿಸುವಾಗ ಸಂಶೋಧಕರ ವ್ಯಕ್ತಿನಿಷ್ಠತೆಯನ್ನು ಎದುರಿಸುವುದು ಮಾಪನ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಮುಖ್ಯ ಗುರಿಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ದೂರವನ್ನು ಅರ್ಶಿನ್‌ಗಳು, ಮೀಟರ್‌ಗಳು, ಮೈಕ್ರಾನ್‌ಗಳು, ಮೈಲುಗಳು, ಪಾರ್ಸೆಕ್ಸ್ ಮತ್ತು ಇತರ ಅಳತೆಯ ಘಟಕಗಳಲ್ಲಿ ಅಳೆಯಬಹುದು. ಮಾಸ್ (ತೂಕ) - ಪೌಡ್‌ಗಳು, ಕಿಲೋಗ್ರಾಂಗಳು, ಪೌಂಡ್‌ಗಳು, ಇತ್ಯಾದಿ. ಸರಕುಗಳು ಮತ್ತು ಸೇವೆಗಳ ಬೆಲೆಗಳನ್ನು ಯುವಾನ್, ರೂಬಲ್ಸ್, ಟೆಂಗೆ, ಹ್ರಿವ್ನಿಯಾ, ಲ್ಯಾಟ್ಸ್, ಕ್ರೂನ್‌ಗಳು, ಮಾರ್ಕ್‌ಗಳು, US ಡಾಲರ್‌ಗಳು ಮತ್ತು ಇತರ ಕರೆನ್ಸಿಗಳಲ್ಲಿ (ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿವರ್ತನಾ ದರಗಳಿಗೆ ಒಳಪಟ್ಟಿರುತ್ತದೆ) ಸೂಚಿಸಬಹುದು. ನಾವು ಬಹಳ ಮುಖ್ಯವಾದುದನ್ನು ಒತ್ತಿಹೇಳೋಣ, ಆದರೂ ಸಾಕಷ್ಟು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ: ಮಾಪನದ ಘಟಕಗಳ ಆಯ್ಕೆಯು ಸಂಶೋಧಕರ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. ವ್ಯಕ್ತಿನಿಷ್ಠ. ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ತೀರ್ಮಾನಗಳು ಅವು ಸಂಶೋಧಕರು ಆದ್ಯತೆ ನೀಡುವ ಮಾಪನದ ಘಟಕದ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿಲ್ಲದಿದ್ದಾಗ ಮಾತ್ರ ವಾಸ್ತವಕ್ಕೆ ಸಮರ್ಪಕವಾಗಿರಬಹುದು, ಅವರು ಪ್ರಮಾಣದ ಅನುಮತಿಸುವ ರೂಪಾಂತರಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಅಸ್ಥಿರವಾಗಿರುವಾಗ. ಇಕೊನೊಮೆಟ್ರಿಕ್ ಡೇಟಾ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಗಾಗಿ ಹಲವಾರು ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್‌ಗಳಲ್ಲಿ, ಕೆಲವು ಮಾತ್ರ ಈ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತವೆ. ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹೋಲಿಸುವ ಮೂಲಕ ಇದನ್ನು ತೋರಿಸೋಣ.

X 1, X 2,.., X n ಪರಿಮಾಣ n ನ ಮಾದರಿಯಾಗಿರಲಿ. ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿಯ ಬಳಕೆಯು ತುಂಬಾ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ, ಪದದಲ್ಲಿನ ಎರಡನೆಯ ಪದವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಬಿಟ್ಟುಬಿಡಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಜನರು ಸರಾಸರಿ ಸಂಬಳ, ಸರಾಸರಿ ಆದಾಯ ಮತ್ತು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಆರ್ಥಿಕ ಡೇಟಾಕ್ಕಾಗಿ ಇತರ ಸರಾಸರಿಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡುತ್ತಾರೆ, ಅಂದರೆ ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿ "ಸರಾಸರಿ". ಈ ಸಂಪ್ರದಾಯವು ತಪ್ಪಾದ ತೀರ್ಮಾನಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗಬಹುದು. ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಉದ್ಯಮದ ಉದ್ಯೋಗಿಗಳ ಸರಾಸರಿ ವೇತನವನ್ನು (ಸರಾಸರಿ ಆದಾಯ) ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಇದನ್ನು ತೋರಿಸೋಣ. 100 ಕಾರ್ಮಿಕರಲ್ಲಿ, ಕೇವಲ 5 ಜನರು ಅದನ್ನು ಮೀರಿದ ಸಂಬಳವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದಾರೆ ಮತ್ತು ಉಳಿದ 95 ರ ವೇತನವು ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿಗಿಂತ ಗಮನಾರ್ಹವಾಗಿ ಕಡಿಮೆಯಾಗಿದೆ. ಕಾರಣ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ - ಒಬ್ಬ ವ್ಯಕ್ತಿಯ ಸಂಬಳ - ಸಾಮಾನ್ಯ ನಿರ್ದೇಶಕ - 95 ಕಾರ್ಮಿಕರ ಸಂಬಳವನ್ನು ಮೀರಿದೆ - ಕಡಿಮೆ ಕೌಶಲ್ಯ ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚು ನುರಿತ ಕೆಲಸಗಾರರು, ಎಂಜಿನಿಯರ್‌ಗಳು ಮತ್ತು ಕಚೇರಿ ಕೆಲಸಗಾರರು. 10 ರೋಗಿಗಳಿರುವ ಆಸ್ಪತ್ರೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಕಥೆಯಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಿದ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ನೆನಪಿಸುತ್ತದೆ, ಅವರಲ್ಲಿ 9 ಜನರು 40 ° C ತಾಪಮಾನವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದಾರೆ ಮತ್ತು ಒಬ್ಬರು ಈಗಾಗಲೇ ಬಳಲುತ್ತಿದ್ದಾರೆ, 0 ° ತಾಪಮಾನದೊಂದಿಗೆ ಶವಾಗಾರದಲ್ಲಿ ಮಲಗಿದ್ದಾರೆ. ಸಿ. ಏತನ್ಮಧ್ಯೆ, ಆಸ್ಪತ್ರೆಯಲ್ಲಿ ಸರಾಸರಿ ತಾಪಮಾನವು 36 ° C ಆಗಿದೆ - ಇದು ಉತ್ತಮವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ!

ಹೀಗಾಗಿ, ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿಯನ್ನು ತಕ್ಕಮಟ್ಟಿಗೆ ಏಕರೂಪದ ಜನಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಮಾತ್ರ ಬಳಸಬಹುದಾಗಿದೆ (ಒಂದು ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಅಥವಾ ಇನ್ನೊಂದರಲ್ಲಿ ದೊಡ್ಡ ಹೊರಹರಿವುಗಳಿಲ್ಲದೆ). ವೇತನವನ್ನು ವಿವರಿಸಲು ಯಾವ ಸರಾಸರಿಗಳನ್ನು ಬಳಸಬೇಕು? 50ನೇ ಮತ್ತು 51ನೇ ಉದ್ಯೋಗಿಗಳ ಸರಾಸರಿ ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿಯನ್ನು ಬಳಸುವುದು ಸಹಜ. ಸಂಬಳಅವರೋಹಣವಲ್ಲದ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಜೋಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ಮೊದಲು 40 ಕಡಿಮೆ ಕೌಶಲ್ಯದ ಕಾರ್ಮಿಕರ ಸಂಬಳ ಬರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ನಂತರ - 41 ರಿಂದ 70 ನೇ ಕೆಲಸಗಾರರಿಗೆ - ಹೆಚ್ಚು ನುರಿತ ಕೆಲಸಗಾರರ ಸಂಬಳ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಸರಾಸರಿಯು ಅವುಗಳ ಮೇಲೆ ನಿಖರವಾಗಿ ಬೀಳುತ್ತದೆ ಮತ್ತು 200 ಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. 50 ಕೆಲಸಗಾರರಿಗೆ, ಸಂಬಳವು 200 ಅನ್ನು ಮೀರುವುದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು 50 - ಕನಿಷ್ಠ 200, ಆದ್ದರಿಂದ ಸರಾಸರಿಯು "ಕೇಂದ್ರ" ವನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ, ಅದರ ಸುತ್ತಲೂ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಬಹುಪಾಲು ಗುಂಪು ಮಾಡಲಾಗಿದೆ. ಮತ್ತೊಂದು ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯವು ಮೋಡ್ ಆಗಿದೆ, ಇದು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಸಂಭವಿಸುವ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ. ಪರಿಗಣನೆಯಲ್ಲಿರುವ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಇವುಗಳು ಕಡಿಮೆ ಕೌಶಲ್ಯದ ಕಾರ್ಮಿಕರ ವೇತನಗಳಾಗಿವೆ, ಅಂದರೆ. 100. ಹೀಗಾಗಿ, ಸಂಬಳವನ್ನು ವಿವರಿಸಲು ನಾವು ಮೂರು ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ - ಮೋಡ್ (100 ಘಟಕಗಳು), ಸರಾಸರಿ (200 ಘಟಕಗಳು) ಮತ್ತು ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿ (400 ಘಟಕಗಳು).

ನಿಜ ಜೀವನದಲ್ಲಿ ಗಮನಿಸಿದ ಆದಾಯ ಮತ್ತು ವೇತನ ವಿತರಣೆಗಳಿಗೆ, ಅದೇ ಮಾದರಿಯು ನಿಜವಾಗಿದೆ: ಮೋಡ್ ಮಧ್ಯಮಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಸರಾಸರಿ ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿಗಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಾಗಿದೆ.

ಅರ್ಥಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಸರಾಸರಿಗಳನ್ನು ಏಕೆ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ? ಸರಾಸರಿಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಜನಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹೋಲಿಸಲು ಒಂದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯೊಂದಿಗೆ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಂಗ್ರಹವನ್ನು ಬದಲಿಸಲು ವಿಶಿಷ್ಟವಾಗಿ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, Y 1, Y 2,..., Y n ಒಂದು ಪರಿಣತಿಯ ವಸ್ತುವಿಗೆ "ನೀಡಿರುವ" ಪರಿಣಿತ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನಗಳ ಗುಂಪಾಗಿರಲಿ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಕಂಪನಿಯ ಕಾರ್ಯತಂತ್ರದ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಯ ಆಯ್ಕೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ), Z 1 , Z 2,..., Z n -ಎರಡನೆಯದು (ಈ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಯ ಇನ್ನೊಂದು ಆವೃತ್ತಿ). ಈ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹೇಗೆ ಹೋಲಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ? ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಂದ ಸುಲಭವಾದ ಮಾರ್ಗವಾಗಿದೆ.

ಸರಾಸರಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದು ಹೇಗೆ? ಪರಿಚಿತ ವಿವಿಧ ರೀತಿಯಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯಗಳು: ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿ, ಮಧ್ಯಮ, ಮೋಡ್, ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಸರಾಸರಿ, ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಸರಾಸರಿ, ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸರಾಸರಿ. ಅದನ್ನು ನಿಮಗೆ ನೆನಪಿಸೋಣ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು 19 ನೇ ಶತಮಾನದ ಮೊದಲಾರ್ಧದ ಫ್ರೆಂಚ್ ಗಣಿತಜ್ಞ ಪರಿಚಯಿಸಿದರು. ಶಿಕ್ಷಣತಜ್ಞ O. ಕೌಚಿ. ಇದು ಕೆಳಕಂಡಂತಿದೆ: ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯವು ಯಾವುದೇ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ Ф(Х 1, Х 2,..., Х n) ಅಂದರೆ ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯಗಳುವಾದಗಳು, ಈ ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯವು X 1, X 2,..., X n ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕನಿಷ್ಠಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಈ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗರಿಷ್ಠಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿಲ್ಲ. ಮೇಲೆ ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಲಾದ ಎಲ್ಲಾ ರೀತಿಯ ಸರಾಸರಿಗಳು ಕೌಚಿ ಸರಾಸರಿಗಳಾಗಿವೆ.

ಸ್ವೀಕಾರಾರ್ಹ ಪ್ರಮಾಣದ ರೂಪಾಂತರದೊಂದಿಗೆ, ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯವು ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ಯಾವ ಜನಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸರಾಸರಿ ಹೆಚ್ಚು ಮತ್ತು ಅದು ಕಡಿಮೆ ಎಂಬ ತೀರ್ಮಾನಗಳು ಬದಲಾಗಬಾರದು (ತೀರ್ಮಾನಗಳ ಅಸ್ಥಿರತೆಯ ಅವಶ್ಯಕತೆಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ, ಟಿಐನಲ್ಲಿ ಮುಖ್ಯ ಅವಶ್ಯಕತೆಯಾಗಿ ಸ್ವೀಕರಿಸಲಾಗಿದೆ). ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಪ್ರಕಾರವನ್ನು ಹುಡುಕುವ ಅನುಗುಣವಾದ ಗಣಿತದ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ನಾವು ರೂಪಿಸೋಣ, ಅದರ ಹೋಲಿಕೆಯ ಫಲಿತಾಂಶವು ಸ್ವೀಕಾರಾರ್ಹ ಪ್ರಮಾಣದ ರೂಪಾಂತರಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

Ф(Х 1 Х 2 ,..., Х n) ಕೌಚಿ ಸರಾಸರಿಯಾಗಿರಲಿ. ಮೊದಲ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ಸರಾಸರಿಯು ಎರಡನೇ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ಸರಾಸರಿಗಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿರಲಿ: ನಂತರ, TI ಪ್ರಕಾರ, ಸರಾಸರಿಗಳನ್ನು ಹೋಲಿಸುವ ಫಲಿತಾಂಶದ ಸ್ಥಿರತೆಗಾಗಿ, ಸ್ವೀಕಾರಾರ್ಹ ರೂಪಾಂತರಗಳ ಗುಂಪಿನಿಂದ ಯಾವುದೇ ಸ್ವೀಕಾರಾರ್ಹ ರೂಪಾಂತರಕ್ಕಾಗಿ g. ಅನುಗುಣವಾದ ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿ ಮೊದಲ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ರೂಪಾಂತರಗೊಂಡ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸರಾಸರಿಯು ಎರಡನೇ ಸೆಟ್‌ಗೆ ರೂಪಾಂತರಗೊಂಡ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸರಾಸರಿಗಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಾಗಿದೆ ಎಂಬುದು ನಿಜ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಸೆಟ್ Y 1, Y 2,...,Y n ಮತ್ತು Z 1, Z 2,..., Z n ಮತ್ತು, ಮರುಪಡೆಯಲು, ಯಾವುದೇ ಸ್ವೀಕಾರಾರ್ಹ ರೂಪಾಂತರಕ್ಕೆ ಸೂತ್ರೀಕರಿಸಿದ ಸ್ಥಿತಿಯು ನಿಜವಾಗಿರಬೇಕು. ನಾವು ರೂಪಿಸಿದ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪೂರೈಸುವ ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಸ್ವೀಕಾರಾರ್ಹ (ಸೂಕ್ತ ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿ) ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ. TI ಪ್ರಕಾರ, ಪರಿಗಣನೆಯಲ್ಲಿರುವ ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿ ಅಳೆಯಲಾದ ತಜ್ಞರ ಅಭಿಪ್ರಾಯಗಳು ಮತ್ತು ಇತರ ಡೇಟಾವನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸುವಾಗ ಅಂತಹ ಸರಾಸರಿಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಬಳಸಬಹುದು.

ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಗಣಿತದ ಸಿದ್ಧಾಂತ, 1970 ರ ದಶಕದಲ್ಲಿ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಲಾಯಿತು, ಮೂಲಭೂತ ಮಾಪಕಗಳಲ್ಲಿ ಸ್ವೀಕಾರಾರ್ಹ ಸರಾಸರಿಗಳ ಪ್ರಕಾರವನ್ನು ವಿವರಿಸಲು ನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ. ಹೆಸರುಗಳ ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿ ಅಳೆಯಲಾದ ಡೇಟಾಗೆ, ಸರಾಸರಿಯಾಗಿ ಮೋಡ್ ಮಾತ್ರ ಸೂಕ್ತವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ.

18. ಆರ್ಡಿನಲ್ ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿ ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯಗಳು

ಆರ್ಡಿನಲ್ ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿ ಅಳೆಯಲಾದ ತಜ್ಞರ ಅಭಿಪ್ರಾಯಗಳ ಸಂಸ್ಕರಣೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ. ಕೆಳಗಿನ ಹೇಳಿಕೆ ನಿಜವಾಗಿದೆ.

ಪ್ರಮೇಯ1 . ಎಲ್ಲಾ ಕೌಚಿ ಸರಾಸರಿಗಳಲ್ಲಿ, ಆರ್ಡಿನಲ್ ಸ್ಕೇಲ್‌ನಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಸ್ವೀಕಾರಾರ್ಹ ಸರಾಸರಿಗಳು ನಿಯಮಗಳಾಗಿವೆ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಸರಣಿ(ಆರ್ಡಿನಲ್ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳು).

ಸರಾಸರಿ Ф(Х 1 Х 2 ,..., Х n) ನಿರಂತರ (ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಗುಂಪಿನ ಮೇಲೆ) ಮತ್ತು ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಒದಗಿಸಿದರೆ ಪ್ರಮೇಯ 1 ಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ. ಎರಡನೆಯದು ಎಂದರೆ ವಾದಗಳನ್ನು ಮರುಹೊಂದಿಸಿದಾಗ, Ф(Х 1 Х 2 ,..., Х n) ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯವು ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಈ ಸ್ಥಿತಿಯು ಸಾಕಷ್ಟು ಸ್ವಾಭಾವಿಕವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ನಾವು ಒಟ್ಟು (ಸೆಟ್) ಗೆ ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಅನುಕ್ರಮಕ್ಕಾಗಿ ಅಲ್ಲ. ನಾವು ಅದರ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡುವ ಕ್ರಮವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ ಸೆಟ್ ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ.

ಪ್ರಮೇಯ 1 ರ ಪ್ರಕಾರ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಆರ್ಡಿನಲ್ ಮಾಪಕದಲ್ಲಿ (ಮಾದರಿ ಗಾತ್ರವು ಬೆಸವಾಗಿದ್ದರೆ) ಮಾಪನ ಮಾಡಲಾದ ಡೇಟಾಗೆ ಸರಾಸರಿಯನ್ನು ಸರಾಸರಿಯಾಗಿ ಬಳಸಬಹುದು. ಪರಿಮಾಣವು ಸಮವಾಗಿದ್ದರೆ, ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಸರಣಿಯ ಎರಡು ಕೇಂದ್ರ ಪದಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಬಳಸಬೇಕು - ಅವುಗಳನ್ನು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಎಡ ಮಧ್ಯದ ಅಥವಾ ಬಲ ಮಧ್ಯದ. ಫ್ಯಾಷನ್ ಅನ್ನು ಸಹ ಬಳಸಬಹುದು - ಇದು ಯಾವಾಗಲೂ ಬದಲಾವಣೆಯ ಸರಣಿಯ ಸದಸ್ಯ. ಆದರೆ ನೀವು ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿ, ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಸರಾಸರಿ ಇತ್ಯಾದಿಗಳನ್ನು ಎಂದಿಗೂ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ.

ಕೆಳಗಿನ ಪ್ರಮೇಯವು ನಿಜವಾಗಿದೆ.

ಪ್ರಮೇಯ 2. Y 1, Y 2,...,Y m ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯ F(x) ನೊಂದಿಗೆ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ವಿತರಿಸಲಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳಾಗಿರಲಿ, ಮತ್ತು Z 1, Z 2,..., Zn ಫಂಕ್ಷನ್ ವಿತರಣೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ವಿತರಿಸಲಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳಾಗಿರಲಿ H(x), ಮತ್ತು ಮಾದರಿಗಳು Y 1, Y 2,...,Y m ಮತ್ತು Z 1, Z 2,..., Z n ಪರಸ್ಪರ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು MY X > MZ X. ಯಾವುದೇ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವ ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ಈವೆಂಟ್‌ನ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು 1 ನಿಮಿಷಕ್ಕೆ (m, n) ಒಲವು ಹೊಂದಲು g ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ |g i |>X ಅಸಮಾನತೆ F(x) ಎಲ್ಲರಿಗೂ ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ ಮತ್ತು ಸಾಕಾಗುತ್ತದೆ X< Н(х), причем существовало число х 0 , для которого F(x 0)

ಸೂಚನೆ.ಮೇಲಿನ ಮಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸ್ಥಿತಿಯು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಅಂತರ್-ಗಣಿತದ ಸ್ವರೂಪದಲ್ಲಿದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, g ಕಾರ್ಯವು ಆರ್ಡಿನಲ್ ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ವೀಕಾರಾರ್ಹ ರೂಪಾಂತರವಾಗಿದೆ.

ಪ್ರಮೇಯ 2 ರ ಪ್ರಕಾರ, ಪ್ರಮೇಯದಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾದ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪೂರೈಸುವ ಎರಡು ವಿತರಣೆಗಳ ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ಹೋಲಿಸಿದಾಗ ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿಯನ್ನು ಆರ್ಡಿನಲ್ ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿ ಬಳಸಬಹುದು. ಸರಳವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಯಾವಾಗಲೂ ಇನ್ನೊಂದಕ್ಕಿಂತ ಮೇಲಿರಬೇಕು. ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯಗಳು ಛೇದಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ, ಅವುಗಳನ್ನು ಪರಸ್ಪರ ಸ್ಪರ್ಶಿಸಲು ಮಾತ್ರ ಅನುಮತಿಸಲಾಗಿದೆ. ಈ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪೂರೈಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯಗಳು ಶಿಫ್ಟ್‌ನಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಭಿನ್ನವಾಗಿದ್ದರೆ:

F(x) = Н(x + ∆)

ಕೆಲವರಿಗೆ ∆.

ಒಂದೇ ಅಳತೆ ಸಾಧನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪ್ರಮಾಣದ ಎರಡು ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಅಳೆಯಿದರೆ ಕೊನೆಯ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಪ್ರಶ್ನೆಯ ಪ್ರಮಾಣದ ಒಂದು ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಅಳೆಯುವುದರಿಂದ ಇನ್ನೊಂದನ್ನು ಅಳೆಯಲು ಚಲಿಸುವಾಗ ದೋಷಗಳ ವಿತರಣೆಯು ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ.

ಕೊಲ್ಮೊಗೊರೊವ್ ಪ್ರಕಾರ ಸರಾಸರಿ

ಮೇಲೆ ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಲಾದ ಹಲವಾರು ಸರಾಸರಿಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವು ಕೊಲ್ಮೊಗೊರೊವ್ ಸರಾಸರಿಯಾಗಿದೆ. ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ X 1, X 2,..., X n, ಕೊಲ್ಮೊಗೊರೊವ್ ಸರಾಸರಿ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ

G((F(X l) + F(X 2)+...F(X n))/n),

ಅಲ್ಲಿ ಎಫ್ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಏಕತಾನತೆಯ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ (ಅಂದರೆ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಹೆಚ್ಚಿಸುವುದು ಅಥವಾ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಕಡಿಮೆಯಾಗುವುದು),

G ಎಂಬುದು F ನ ವಿಲೋಮ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ.

ಕೊಲ್ಮೊಗೊರೊವ್ ಅವರ ಸರಾಸರಿಗಳಲ್ಲಿ ಅನೇಕ ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಪಾತ್ರಗಳಿವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, F(x) = x ಆಗಿದ್ದರೆ, ಕೋಲ್ಮೊಗೊರೊವ್ ಸರಾಸರಿ ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿ, F(x) = lnx ಆಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಸರಾಸರಿ, F(x) = 1/x ಆಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಸರಾಸರಿ, F( x) = x 2, ನಂತರ ಸರಾಸರಿ ಚೌಕ, ಇತ್ಯಾದಿ. ಕೊಲ್ಮೊಗೊರೊವ್ ಸರಾಸರಿಯು ಕೌಚಿ ಸರಾಸರಿಯ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವಾಗಿದೆ. ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, ಸರಾಸರಿ ಮತ್ತು ಮೋಡ್‌ನಂತಹ ಜನಪ್ರಿಯ ಸರಾಸರಿಗಳನ್ನು ಕೊಲ್ಮೊಗೊರೊವ್ ಸರಾಸರಿಗಳಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಕೆಳಗಿನ ಹೇಳಿಕೆಗಳು ಮೊನೊಗ್ರಾಫ್ನಲ್ಲಿ ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ.

ಪ್ರಮೇಯ3 . ಮಧ್ಯಂತರ ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿ ಕ್ರಮಬದ್ಧತೆಯ ಕೆಲವು ಅಂತರ್ಗಣಿತದ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳು ಮಾನ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ, ಎಲ್ಲಾ ಕೋಲ್ಮೊಗೊರೊವ್ ವಿಧಾನಗಳಲ್ಲಿ, ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿ ಮಾತ್ರ ಸ್ವೀಕಾರಾರ್ಹವಾಗಿದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಸರಾಸರಿ ಅಥವಾ ಮೂಲ ಸರಾಸರಿ ವರ್ಗದ ತಾಪಮಾನಗಳು (ಸೆಲ್ಸಿಯಸ್‌ನಲ್ಲಿ) ಅಥವಾ ದೂರಗಳು ಅರ್ಥಹೀನವಾಗಿವೆ. ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿಯನ್ನು ಸರಾಸರಿಯಾಗಿ ಬಳಸಬೇಕು. ನೀವು ಮಧ್ಯಮ ಅಥವಾ ಮೋಡ್ ಅನ್ನು ಸಹ ಬಳಸಬಹುದು.

ಪ್ರಮೇಯ 4. ಅನುಪಾತಗಳ ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿ ಕ್ರಮಬದ್ಧತೆಯ ಕೆಲವು ಇಂಟ್ರಾಮ್ಯಾಥೆಮ್ಯಾಟಿಕಲ್ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳು ಮಾನ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ, ಎಲ್ಲಾ ಕೊಲ್ಮೊಗೊರೊವ್ನ ಸರಾಸರಿಗಳಲ್ಲಿ, F(x) = x c ಮತ್ತು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಸರಾಸರಿಯೊಂದಿಗೆ ವಿದ್ಯುತ್ ಸರಾಸರಿಗಳು ಮಾತ್ರ ಸ್ವೀಕಾರಾರ್ಹ.

ಕಾಮೆಂಟ್ ಮಾಡಿ. ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಸರಾಸರಿಯು ಸಿ > 0 ಗೆ ಶಕ್ತಿಯ ಮಿತಿಯಾಗಿದೆ.

ಅನುಪಾತ ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗದ ಕೊಲ್ಮೊಗೊರೊವ್ ಸರಾಸರಿಗಳಿವೆಯೇ? ಸಹಜವಾಗಿ ಹೊಂದಿವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ F(x) = e x.

ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯಗಳಂತೆಯೇ, ಇತರ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಬಹುದು - ಸ್ಕ್ಯಾಟರ್, ಸಂಪರ್ಕ, ದೂರ, ಇತ್ಯಾದಿಗಳ ಸೂಚಕಗಳು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಪ್ರಸರಣಗಳ ಅನುಪಾತದಂತೆಯೇ, ಅಂತರಗಳ ಬೌಲ್‌ನಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಸ್ವೀಕಾರಾರ್ಹ ರೂಪಾಂತರದೊಂದಿಗೆ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧದ ಗುಣಾಂಕವು ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ತೋರಿಸುವುದು ಕಷ್ಟವೇನಲ್ಲ, ಪ್ರಸರಣವು ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳ ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿ ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಗುಣಾಂಕ ಅನುಪಾತಗಳ ಪ್ರಮಾಣ, ಇತ್ಯಾದಿ.

ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಮೇಲಿನ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಅರ್ಥಶಾಸ್ತ್ರ, ನಿರ್ವಹಣೆ, ತಜ್ಞರ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಅಥವಾ ಸಮಾಜಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರವಲ್ಲದೆ ಎಂಜಿನಿಯರಿಂಗ್‌ನಲ್ಲಿಯೂ ಸಹ ವ್ಯಾಪಕವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಬ್ಲಾಸ್ಟ್ ಫರ್ನೇಸ್‌ಗಳ ಸ್ವಯಂಚಾಲಿತ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ ನಿಯಂತ್ರಣ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಲ್ಲಿ ಸಂವೇದಕಗಳನ್ನು ಒಟ್ಟುಗೂಡಿಸುವ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸಲು. TI ಪ್ರಮಾಣೀಕರಣ ಮತ್ತು ಗುಣಮಟ್ಟ ನಿರ್ವಹಣೆಯ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಿನ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಪ್ರಾಮುಖ್ಯತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಕ್ವಾಲಿಮೆಟ್ರಿಯಲ್ಲಿ, ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಉತ್ಪನ್ನದ ಗುಣಮಟ್ಟದ ವೈಯಕ್ತಿಕ ಸೂಚಕಗಳ ತೂಕದ ಗುಣಾಂಕಗಳಲ್ಲಿನ ಯಾವುದೇ ಬದಲಾವಣೆಯು ತೂಕದ ಸರಾಸರಿ ಸೂಚಕದ ಪ್ರಕಾರ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಬದಲಾವಣೆಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ (ಈ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಪ್ರೊ. ವಿ.ವಿ. ಪೊಡಿನೋವ್ಸ್ಕಿ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದ್ದಾರೆ). ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, TI ಮತ್ತು ಅದರ ವಿಧಾನಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಮೇಲಿನ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ಮಾಹಿತಿಯು ಅರ್ಥಶಾಸ್ತ್ರ, ಸಮಾಜಶಾಸ್ತ್ರ ಮತ್ತು ಎಂಜಿನಿಯರಿಂಗ್ ವಿಜ್ಞಾನಗಳನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಪರಿಣಾಮಕಾರಿ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಗೆ ಹಿಂದೆ ಸೂಕ್ತವಲ್ಲದ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಸಾಕಷ್ಟು ಸಾಧನವಾಗಿದೆ, ಮೇಲಾಗಿ, ಹೀಗೆ ವಾಸ್ತವಿಕ ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಮತ್ತು ಮುನ್ಸೂಚನೆ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ದಾರಿ ತೆರೆಯುತ್ತದೆ.

22. ಜೋಡಿ ರೇಖೀಯ ಹಿಂಜರಿತ

ಈಗ ನಾವು ಜೋಡಿಯಾಗಿ ರೇಖೀಯ ಹಿಂಜರಿತದ ಸರಳ ಪ್ರಕರಣದ ಹೆಚ್ಚು ವಿವರವಾದ ಅಧ್ಯಯನಕ್ಕೆ ತಿರುಗೋಣ. ಲೀನಿಯರ್ ರಿಗ್ರೆಶನ್ ಅನ್ನು ಸರಳ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಸರಳವಾದ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಸಂಬಂಧದಿಂದ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಮಾದರಿ ನಿಯತಾಂಕಗಳ (ಸಮೀಕರಣ ಗುಣಾಂಕಗಳು) ಪಾರದರ್ಶಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ನಿರೂಪಿಸಲಾಗಿದೆ. ಸಮೀಕರಣದ ಬಲಭಾಗವು ರಿಗ್ರೆಸರ್ (ವಿವರಣಾತ್ಮಕ ವೇರಿಯಬಲ್) ನೀಡಿದ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಫಲಿತಾಂಶದ (ವಿವರಿಸಿದ) ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ (ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಿದ) ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲು ನಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಭವಿಷ್ಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ (ಅದೇ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ), ಅಂದರೆ. ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಸೂತ್ರಗಳಿಂದ ಪಡೆಯಲಾಗಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಅವಲಂಬನೆಯ ಸ್ವರೂಪದ ಬಗ್ಗೆ ಒಂದು ಊಹೆಯನ್ನು ಮುಂದಿಡುವಾಗ, ಸಮೀಕರಣದ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಇನ್ನೂ ತಿಳಿದಿಲ್ಲ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಈ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಅಂದಾಜು ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುವುದು ವಿವಿಧ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಾಧ್ಯ.

ಆದರೆ ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಅತ್ಯಂತ ಮುಖ್ಯವಾದ ಮತ್ತು ವ್ಯಾಪಕವಾದ ವಿಧಾನವಾಗಿದೆ ಅತಿ ಕಡಿಮೆ ಚೌಕಗಳು(MNC). ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ (ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ) ಮೌಲ್ಯಗಳಿಂದ ಫಲಿತಾಂಶದ ಗುಣಲಕ್ಷಣದ ನಿಜವಾದ ಮೌಲ್ಯಗಳ ವರ್ಗದ ವಿಚಲನಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವ ಅಗತ್ಯವನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ (ಈಗಾಗಲೇ ವಿವರಿಸಿದಂತೆ). ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಬದಲಿಗೆ (ಅವುಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲು), ಹಿಂಜರಿತ ಸಮೀಕರಣದ ಬಲಭಾಗವನ್ನು ವರ್ಗದ ವಿಚಲನಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸಿ, ತದನಂತರ ಈ ಕ್ರಿಯೆಯ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ (ವಾಸ್ತವ ಮೌಲ್ಯಗಳ ವರ್ಗ ವಿಚಲನಗಳ ಮೊತ್ತ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕವಾದವುಗಳಿಂದ ಉಂಟಾಗುವ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು). ಈ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು x ಮತ್ತು y ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ a ಮತ್ತು b ನಿಯತಾಂಕಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿ ಹೊಂದಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಸರಳ ಆದರೆ ತೊಡಕಿನ ರೂಪಾಂತರಗಳ ನಂತರ, ನಿಯತಾಂಕಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ವೇರಿಯಬಲ್ x ಗಾಗಿ ಗುಣಾಂಕ, ಅಂದರೆ. b ಅನ್ನು ರಿಗ್ರೆಷನ್ ಗುಣಾಂಕ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಒಂದು ಘಟಕದಿಂದ ಅಂಶದಲ್ಲಿನ ಬದಲಾವಣೆಯೊಂದಿಗೆ ಫಲಿತಾಂಶದಲ್ಲಿ ಸರಾಸರಿ ಬದಲಾವಣೆಯನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್ a ಆರ್ಥಿಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲದಿರಬಹುದು, ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಈ ಗುಣಾಂಕದ ಚಿಹ್ನೆಯು ನಕಾರಾತ್ಮಕವಾಗಿದ್ದರೆ.

ಬಳಕೆಯ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ಜೋಡಿಯಾಗಿ ರೇಖೀಯ ಹಿಂಜರಿತವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಗುಣಕವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಬಳಕೆಯ ಕಾರ್ಯದಲ್ಲಿನ ಹಿಂಜರಿತ ಗುಣಾಂಕವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಬಹುತೇಕ ಯಾವಾಗಲೂ, ರಿಗ್ರೆಷನ್ ಸಮೀಕರಣವು ಸಂಪರ್ಕದ ನಿಕಟತೆಯ ಸೂಚಕದೊಂದಿಗೆ ಪೂರಕವಾಗಿದೆ. ರೇಖೀಯ ಹಿಂಜರಿತದ ಸರಳವಾದ ಪ್ರಕರಣಕ್ಕಾಗಿ, ಸಂಪರ್ಕದ ನಿಕಟತೆಯ ಈ ಸೂಚಕವಾಗಿದೆ ರೇಖೀಯ ಗುಣಾಂಕಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧಗಳು. ಆದರೆ ರೇಖೀಯ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧ ಗುಣಾಂಕವು ರೇಖೀಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧದ ನಿಕಟತೆಯನ್ನು ನಿರೂಪಿಸುವುದರಿಂದ, ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ರೇಖೀಯ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧದ ಗುಣಾಂಕದ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯದ ಸಾಮೀಪ್ಯವು ಇನ್ನೂ ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಪರ್ಕದ ಅನುಪಸ್ಥಿತಿಯ ಸೂಚಕವಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವುದಿಲ್ಲ.

ಇದು ವಿಭಿನ್ನ ಮಾದರಿಯ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಆಯ್ಕೆಯೊಂದಿಗೆ ಮತ್ತು, ಆದ್ದರಿಂದ, ನಿಜವಾದ ಸಂಬಂಧವು ಏಕತೆಗೆ ಸಾಕಷ್ಟು ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿ ಹೊರಹೊಮ್ಮುವ ಅವಲಂಬನೆಯ ಪ್ರಕಾರವಾಗಿದೆ. ಆದರೆ ಆಯ್ಕೆಯ ಗುಣಮಟ್ಟ ರೇಖೀಯ ಕಾರ್ಯರೇಖೀಯ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧ ಗುಣಾಂಕದ ಚೌಕವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ - ನಿರ್ಣಯದ ಗುಣಾಂಕ. ಪರಿಣಾಮಕಾರಿ ಗುಣಲಕ್ಷಣದ ಒಟ್ಟು ವ್ಯತ್ಯಾಸದಲ್ಲಿನ ಹಿಂಜರಿತದಿಂದ ವಿವರಿಸಲಾದ ಪರಿಣಾಮಕಾರಿ ಗುಣಲಕ್ಷಣ y ನ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು ಇದು ನಿರೂಪಿಸುತ್ತದೆ. 1 ಗೆ ನಿರ್ಣಯದ ಗುಣಾಂಕವನ್ನು ಪೂರೈಸುವ ಮೌಲ್ಯವು ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿ ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳದ ಇತರ ಅಂಶಗಳ ಪ್ರಭಾವದಿಂದ ಉಂಟಾಗುವ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಪಾಲನ್ನು ನಿರೂಪಿಸುತ್ತದೆ (ಉಳಿದ ವ್ಯತ್ಯಾಸ).

ಜೋಡಿಯಾಗಿರುವ ರಿಗ್ರೆಶನ್ ಅನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ರೂಪದ y ಮತ್ತು x ಎಂಬ ಎರಡು ಅಸ್ಥಿರಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

ಇಲ್ಲಿ y ಅವಲಂಬಿತ ವೇರಿಯೇಬಲ್ (ಪರಿಣಾಮಕಾರಿ ಗುಣಲಕ್ಷಣ), ಮತ್ತು x ಸ್ವತಂತ್ರ ವೇರಿಯಬಲ್ (ವಿವರಣಾತ್ಮಕ ವೇರಿಯಬಲ್, ಅಥವಾ ಗುಣಲಕ್ಷಣ-ಅಂಶ). ರೇಖಾತ್ಮಕ ಹಿಂಜರಿತ ಮತ್ತು ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಹಿಂಜರಿಕೆಗಳಿವೆ. ಲೀನಿಯರ್ ರಿಗ್ರೆಶನ್ ಅನ್ನು ರೂಪದ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ:

y = a+ bx + .

ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಹಿಂಜರಿಕೆಯು ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಲ್ಲಿ ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ವಿವರಣಾತ್ಮಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದದ್ದಾಗಿರಬಹುದು, ಆದರೆ ಅಂದಾಜು ನಿಯತಾಂಕಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ರೇಖಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಅಥವಾ ಅಂದಾಜು ಮಾಡಲಾದ ನಿಯತಾಂಕಗಳ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ ಹಿಂಜರಿಕೆಯು ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದಿರಬಹುದು. ವಿವರಣಾತ್ಮಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳಲ್ಲಿ ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ, ಆದರೆ ಅಂದಾಜು ನಿಯತಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ ರೇಖಾತ್ಮಕವಾದ ಹಿಂಜರಿತದ ಉದಾಹರಣೆಗಳು, ವಿವಿಧ ಡಿಗ್ರಿಗಳ ಬಹುಪದೀಯ ಅವಲಂಬನೆಗಳು (ಬಹುಪದಿಗಳು) ಮತ್ತು ಸಮಬಾಹು ಹೈಪರ್ಬೋಲಾವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿವೆ.

ಅಂದಾಜು ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್‌ಗಳಿಗೆ ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಹಿಂಜರಿಕೆಯು ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್‌ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಪವರ್ ಅವಲಂಬನೆಯಾಗಿದೆ (ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್ ಘಾತಾಂಕದಲ್ಲಿದೆ), ಘಾತೀಯ ಅವಲಂಬನೆ, ಅಲ್ಲಿ ನಿಯತಾಂಕವು ಘಾತಾಂಕದ ತಳದಲ್ಲಿದೆ ಮತ್ತು ಘಾತೀಯ ಅವಲಂಬನೆ, ಸಂಪೂರ್ಣ ರೇಖೀಯ ಅವಲಂಬನೆಯು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಇದ್ದಾಗ ಘಾತದಲ್ಲಿ. ಈ ಎಲ್ಲಾ ಮೂರು ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಘಟಕ (ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಉಳಿದ)  ಅನ್ನು ಸೇರಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ ಬಲಭಾಗದಒಂದು ಅಂಶದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಸಮೀಕರಣಗಳು, ಮತ್ತು ಸಾರಾಂಶದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಅಲ್ಲ, ಅಂದರೆ. ಗುಣಾತ್ಮಕವಾಗಿ! ಫಲಿತಾಂಶದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸರಾಸರಿ ವಿಚಲನವು ನೈಜವಾದವುಗಳಿಂದ ಸರಾಸರಿ ಅಂದಾಜು ದೋಷದಿಂದ ನಿರೂಪಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ. ಇದನ್ನು ಶೇಕಡಾವಾರು ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು 7-8% ಮೀರಬಾರದು. ಅಂದಾಜಿನ ಈ ಸರಾಸರಿ ದೋಷವು ನಿಜವಾದ ಮತ್ತು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ಮೌಲ್ಯಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳ ಸಾಪೇಕ್ಷ ಪ್ರಮಾಣಗಳ ಶೇಕಡಾವಾರು ಸರಾಸರಿಯಾಗಿದೆ.

ಅನೇಕ ಆರ್ಥಿಕ ವಿದ್ಯಮಾನಗಳು ಮತ್ತು ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳ ಪ್ರಮುಖ ಲಕ್ಷಣವಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವ ಸರಾಸರಿ ಸ್ಥಿತಿಸ್ಥಾಪಕತ್ವ ಗುಣಾಂಕವು ಮುಖ್ಯವಾಗಿದೆ. ಇದನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಸಂಬಂಧದ ಉತ್ಪನ್ನದ ಮೌಲ್ಯದ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿ ಮತ್ತು x ನ ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯದ ಅನುಪಾತವು y ನ ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸ್ಥಿತಿಸ್ಥಾಪಕತ್ವ ಗುಣಾಂಕವು ಅದರ (ಫ್ಯಾಕ್ಟರ್ x) ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯದಿಂದ ಫ್ಯಾಕ್ಟರ್ x 1% ರಷ್ಟು ಬದಲಾದಾಗ y ಅದರ ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯದಿಂದ ಸರಾಸರಿ ಎಷ್ಟು ಶೇಕಡಾವಾರು ಫಲಿತಾಂಶವು ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ.

ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ಜೋಡಿಯಾಗಿ ಹಿಮ್ಮೆಟ್ಟುವಿಕೆ ಮತ್ತು ಬಹು ಹಿಂಜರಿತ (ಅನೇಕ ಅಂಶಗಳಿರುವಾಗ) ಮತ್ತು ಉಳಿದಿರುವ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳಿಗೆ ನಿಕಟ ಸಂಬಂಧ ಹೊಂದಿವೆ. ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಅವಲಂಬಿತ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ವರ್ಗದ ವಿಚಲನಗಳ ಒಟ್ಟು ಮೊತ್ತವನ್ನು ಎರಡು ಭಾಗಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ಮೊದಲ ಪದವು ಹಿಂಜರಿತದ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ ವರ್ಗ ವಿಚಲನಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ, ಅಥವಾ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ (ಅಪವರ್ತನೀಯ). ಎರಡನೆಯ ಪದವು ಅಂಶದ ಹಿಂಜರಿತದಿಂದ ವಿವರಿಸಲಾಗದ ವರ್ಗದ ವಿಚಲನಗಳ ಉಳಿದ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ.

ಫಲಿತಾಂಶದ ಗುಣಲಕ್ಷಣ y ಯ ಒಟ್ಟು ವ್ಯತ್ಯಾಸದಲ್ಲಿ ಹಿಂಜರಿತದಿಂದ ವಿವರಿಸಲಾದ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಪಾಲನ್ನು ನಿರ್ಣಯದ ಗುಣಾಂಕ (ಸೂಚ್ಯಂಕ) ನಿಂದ ನಿರೂಪಿಸಲಾಗಿದೆ, ಇದು ವರ್ಗ ವಿಚಲನಗಳ ಒಟ್ಟು ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಹಿಂಜರಿತದಿಂದಾಗಿ ವರ್ಗ ವಿಚಲನಗಳ ಮೊತ್ತದ ಅನುಪಾತಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚೇನೂ ಅಲ್ಲ. (ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಮೊದಲ ಪದ).

ಕನಿಷ್ಠ ಚೌಕಗಳ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಮಾದರಿ ನಿಯತಾಂಕಗಳನ್ನು (ಅಪರಿಚಿತರ ಗುಣಾಂಕಗಳು) ನಿರ್ಧರಿಸಿದಾಗ, ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ, ಕೆಲವು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳು ಕಂಡುಬರುತ್ತವೆ (ಅಂದಾಜುಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ). ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪ್ರಾಮುಖ್ಯತೆಯು ರಿಗ್ರೆಷನ್ ಗುಣಾಂಕದ ಅಂದಾಜು ಆಗಿದೆ, ಇದು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಕೆಲವು ವಿಶೇಷ ರೂಪವಾಗಿದೆ. ಈ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ (ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿ) ಉಳಿದಿರುವ ಪದದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ. ಜೋಡಿಯಾಗಿರುವ ಲೀನಿಯರ್ ರಿಗ್ರೆಷನ್ ಮಾದರಿಗಾಗಿ, ವಿವರಣಾತ್ಮಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ x ಅನ್ನು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಲ್ಲದ ಬಾಹ್ಯ ವೇರಿಯಬಲ್ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಇದರರ್ಥ ಎಲ್ಲಾ ಅವಲೋಕನಗಳಲ್ಲಿನ ವೇರಿಯಬಲ್ x ನ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಪೂರ್ವನಿರ್ಧರಿತವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಅಧ್ಯಯನದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಅವಲಂಬನೆಗೆ ಯಾವುದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಸಂಬಂಧಿಸಿಲ್ಲ. ಹೀಗಾಗಿ, ವಿವರಿಸಿದ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ನಿಜವಾದ ಮೌಲ್ಯವು ಎರಡು ಘಟಕಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ: ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಲ್ಲದ ಮತ್ತು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಘಟಕ (ಉಳಿದಿರುವ ಪದ).

ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, ಕನಿಷ್ಠ ಚೌಕಗಳ ವಿಧಾನವನ್ನು (OLS) ಬಳಸಿ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾದ ಹಿಂಜರಿತ ಗುಣಾಂಕವು ವೇರಿಯಬಲ್ x ನ ವ್ಯತ್ಯಾಸದಿಂದ x ಮತ್ತು y ವೇರಿಯಬಲ್‌ಗಳ ಕೋವೇರಿಯನ್ಸ್ ಅನ್ನು ಭಾಗಿಸುವ ಅಂಶಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಇದು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಘಟಕವನ್ನು ಸಹ ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ಎಲ್ಲಾ ನಂತರ, ಕೋವೇರಿಯನ್ಸ್ ವೇರಿಯೇಬಲ್ y ನ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ವೇರಿಯಬಲ್ y ನ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಉಳಿದಿರುವ ಪದದ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ . ಇದಲ್ಲದೆ, x ಮತ್ತು y ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ಗಳ ಸಹವರ್ತಿಯು ಅಂದಾಜು ರಿಗ್ರೆಷನ್ ಗುಣಾಂಕದ ಬೀಟಾ () ಮತ್ತು ವೇರಿಯಬಲ್ x ನ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುವುದು ಸುಲಭ, ಜೊತೆಗೆ ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ಗಳ x ಮತ್ತು . ಹೀಗಾಗಿ, ರಿಗ್ರೆಷನ್ ಗುಣಾಂಕ ಬೀಟಾದ ಅಂದಾಜು ಈ ಅಜ್ಞಾತ ರಿಗ್ರೆಷನ್ ಗುಣಾಂಕಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ವೇರಿಯಬಲ್ x ನ ವ್ಯತ್ಯಾಸದಿಂದ x ಮತ್ತು  ವೇರಿಯಬಲ್‌ಗಳ ಕೋವೇರಿಯನ್ಸ್ ಅನ್ನು ಭಾಗಿಸುವ ಅಂಶಕ್ಕೆ ಸೇರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆ. ಯಾವುದೇ ಮಾದರಿಯಿಂದ ಪಡೆದ ರಿಗ್ರೆಶನ್ ಗುಣಾಂಕ b ಯ ಅಂದಾಜು ಎರಡು ಪದಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ: ಗುಣಾಂಕದ ನಿಜವಾದ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ಸ್ಥಿರ ಮೌಲ್ಯ (ಬೀಟಾ), ಮತ್ತು ಅಸ್ಥಿರ x ಮತ್ತು  ಸಹವರ್ತಿತ್ವವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಘಟಕ .

23. ಗಣಿತದ ಗಾಸ್-ಮಾರ್ಕೊವ್ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳು ಮತ್ತು ಅವರ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್.

ಉತ್ತಮ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ನೀಡಲು ಸಾಮಾನ್ಯ OLS ಆಧಾರಿತ ಹಿಂಜರಿತ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಗಾಗಿ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪದವು ನಾಲ್ಕು ಗಾಸ್-ಮಾರ್ಕೊವ್ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸಬೇಕು.

ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪದದ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. ಇದು ನಿಷ್ಪಕ್ಷಪಾತವಾಗಿದೆ. ಹಿಂಜರಿತ ಸಮೀಕರಣವು ಸ್ಥಿರವಾದ ಪದವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದ್ದರೆ, ಈ ಅವಶ್ಯಕತೆಯನ್ನು ಪೂರೈಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸುವುದು ಸ್ವಾಭಾವಿಕವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ನಿರಂತರ ಪದವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ವೇರಿಯಬಲ್ y ನ ಮೌಲ್ಯಗಳಲ್ಲಿನ ಯಾವುದೇ ವ್ಯವಸ್ಥಿತ ಪ್ರವೃತ್ತಿಯನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬೇಕು, ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ, ರಿಗ್ರೆಷನ್ ಸಮೀಕರಣದ ವಿವರಣಾತ್ಮಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳಲ್ಲಿ ಒಳಗೊಂಡಿರಬಾರದು.

ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪದದ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಎಲ್ಲಾ ಅವಲೋಕನಗಳಿಗೆ ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸಹವರ್ತಿತ್ವ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರ, ಮಾದರಿಯನ್ನು ರೂಪಿಸುವುದು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರಬೇಕು, ಅಂದರೆ. ಯಾವುದೇ ಎರಡು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಲೋಕನಗಳಲ್ಲಿ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪದದ ಮೌಲ್ಯಗಳ ನಡುವೆ ಯಾವುದೇ ವ್ಯವಸ್ಥಿತ ಸಂಬಂಧವಿಲ್ಲ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಸದಸ್ಯರು ಪರಸ್ಪರ ಸ್ವತಂತ್ರರಾಗಿರಬೇಕು.

ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪದದ ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನು ವಿವರಣಾತ್ಮಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳಿಂದ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿರಬೇಕು.

ಇದಲ್ಲದೆ, ಅನೇಕ ಅನ್ವಯಗಳಲ್ಲಿ ವಿವರಣಾತ್ಮಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳು ಸ್ಥಿರವಾಗಿಲ್ಲ, ಅಂದರೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಘಟಕವನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ. ಪ್ರತಿ ವೀಕ್ಷಣೆಯಲ್ಲಿನ ಯಾವುದೇ ಸ್ವತಂತ್ರ ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ನ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಬಾಹ್ಯವಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಬೇಕು, ರಿಗ್ರೆಶನ್ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳದ ಬಾಹ್ಯ ಕಾರಣಗಳಿಂದ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದ ಗಾಸ್-ಮಾರ್ಕೊವ್ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳೊಂದಿಗೆ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪದವು ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಸಹ ಊಹಿಸಲಾಗಿದೆ. ಇದು ಅತ್ಯಂತ ವಿಶಾಲವಾದ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಲ್ಲಿ ಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಕೇಂದ್ರೀಯ ಮಿತಿ ಪ್ರಮೇಯ (CLT) ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಮೇಲೆ ಆಧಾರಿತವಾಗಿದೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಇತರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಪರಸ್ಪರ ಕ್ರಿಯೆಯ ಒಟ್ಟಾರೆ ಫಲಿತಾಂಶವಾಗಿದ್ದರೆ, ಈ ಒಟ್ಟಾರೆ ಫಲಿತಾಂಶದ ವರ್ತನೆಯ ಮೇಲೆ ಯಾವುದೂ ಪ್ರಧಾನವಾಗಿ ಪ್ರಭಾವ ಬೀರುವುದಿಲ್ಲ, ನಂತರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ವಿವರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದು ಈ ಪ್ರಮೇಯದ ಸಾರವಾಗಿದೆ. ಸರಿಸುಮಾರು ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಯಿಂದ. ಗೆ ಈ ಸಾಮೀಪ್ಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಅಂದಾಜುಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಬಳಸಲು ನಿಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಆಗಿದೆ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿಅದರ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿ ವಿತರಣೆಯಾಗಿದೆ, ಇದು ಸಾಮಾನ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಮುಖ್ಯವಾಗಿ "ಟೈಲ್ಸ್" ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಮೇಲೆ ಗಮನಾರ್ಹವಾಗಿ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. ಸಣ್ಣ ಮಾದರಿ ಗಾತ್ರಗಳಿಗೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪದವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ವಿತರಿಸಿದರೆ, ಹಿಂಜರಿತ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಸಹ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ವಿತರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದು ಸಹ ಮುಖ್ಯವಾಗಿದೆ.

ಸ್ಥಾಪಿತ ರಿಗ್ರೆಷನ್ ಕರ್ವ್ (ರಿಗ್ರೆಷನ್ ಸಮೀಕರಣ) ಪಾಯಿಂಟ್ ಮುನ್ಸೂಚನೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ನಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳಲ್ಲಿ, x ನ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲಾದ ವೀಕ್ಷಣಾ ಮಧ್ಯಂತರದ ಹೊರಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ರಿಗ್ರೆಷನ್ ಸಮೀಕರಣದ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ ಬದಲಿಯಾಗಿ (ಎಕ್ಸ್‌ಟ್ರಾಪೋಲೇಷನ್ ವಿಧಾನ). ಏಕೆಂದರೆ ರಿಗ್ರೆಷನ್ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಅಂದಾಜುಗಳು ಈಗಾಗಲೇ ತಿಳಿದಿವೆ, ನಂತರ x ನ ತೆಗೆದುಕೊಂಡ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ ವಿವರಿಸಿದ ವೇರಿಯಬಲ್ y ನ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ. ಸ್ವಾಭಾವಿಕವಾಗಿ, ಮುನ್ಸೂಚನೆಯ (ಮುನ್ಸೂಚನೆ) ಅರ್ಥಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ, ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಮುಂದಕ್ಕೆ (ಭವಿಷ್ಯದ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಪ್ರದೇಶಕ್ಕೆ) ಕೈಗೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಆದಾಗ್ಯೂ, ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ದೋಷದಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಇದು ಆಸಕ್ತಿಯಿಲ್ಲ ಪಾಯಿಂಟ್ ಅಂದಾಜು(ಪಾಯಿಂಟ್ ಮುನ್ಸೂಚನೆ) ಪರಿಣಾಮಕಾರಿ ಗುಣಲಕ್ಷಣ ಮತ್ತು ಮಿತಿಗಳ ಜ್ಞಾನಕ್ಕಾಗಿ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಭವನೀಯತೆಯೊಂದಿಗೆ, ಪರಿಣಾಮಕಾರಿ ಗುಣಲಕ್ಷಣದ ಮೌಲ್ಯಗಳು x ಅಂಶದ ತೆಗೆದುಕೊಂಡ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ ಇರುತ್ತದೆ.

ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ಪ್ರಮಾಣಿತ ದೋಷ (ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನ) ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಕೆಳಕಂಡಂತೆ ಈಗಲೇ ಹೇಳಿರುವ ಆತ್ಮದಲ್ಲಿ ಅದನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು. ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಮೂಲಕ ಅಂದಾಜುಗಳಿಂದ ಉಚಿತ ಪದದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ರೇಖೀಯ ಹಿಂಜರಿತ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಂತರ ಪ್ರಮಾಣಿತ ದೋಷವು ಸರಾಸರಿ ಪರಿಣಾಮಕಾರಿ ಅಂಶದ ದೋಷವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ತಿರುಗುತ್ತದೆ y ಮತ್ತು ಸಂಯೋಜಕವಾಗಿ ಹಿಂಜರಿತ ಗುಣಾಂಕದ ದೋಷದ ಮೇಲೆ b. ಸರಳವಾಗಿ ಈ ಪ್ರಮಾಣಿತ ದೋಷದ ವರ್ಗ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯ y ನ ವರ್ಗ ದೋಷ ಮತ್ತು x ಮತ್ತು ಅದರ ಸರಾಸರಿ ಅಂಶದ ಮೌಲ್ಯದ ವರ್ಗ ವಿಚಲನದಿಂದ ಹಿಂಜರಿತ ಗುಣಾಂಕದ ವರ್ಗ ದೋಷದ ಉತ್ಪನ್ನ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಅಂಕಿಅಂಶಗಳ ನಿಯಮಗಳ ಪ್ರಕಾರ ಮೊದಲ ಪದವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಮಾದರಿಯ ಗಾತ್ರದಿಂದ (ಪರಿಮಾಣ) ಭಾಗಿಸುವ ಅಂಶಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಅಜ್ಞಾತ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಬದಲಿಗೆ, ಮಾದರಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಅಂದಾಜಿನಂತೆ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂತೆಯೇ, ರಿಗ್ರೆಷನ್ ಗುಣಾಂಕದ ದೋಷವನ್ನು ಫ್ಯಾಕ್ಟರ್ x ನ ವ್ಯತ್ಯಾಸದಿಂದ ಮಾದರಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಭಾಗಿಸುವ ಅಂಶವೆಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ನೀವು ಪ್ರಮಾಣಿತ ದೋಷ (ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನ) ಮತ್ತು ರೇಖೀಯ ಹಿಂಜರಿತ ಮಾದರಿಯಿಂದ ಹೆಚ್ಚು ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿರುವ ಇತರ ಪರಿಗಣನೆಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ಸರಾಸರಿ ದೋಷ ಮತ್ತು ಕನಿಷ್ಠ ದೋಷದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಆದರೆ ಪ್ರಮಾಣಿತ ದೋಷವನ್ನು ಪಡೆದ ನಂತರವೂ, ಊಹಿಸಲಾದ ಮೌಲ್ಯವು ಇರುವ ಗಡಿಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಪ್ರಶ್ನೆ ಉಳಿದಿದೆ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಮಾಪನ ದೋಷದ ಮಧ್ಯಂತರದ ಬಗ್ಗೆ, ನೈಸರ್ಗಿಕ ಊಹೆಯಲ್ಲಿ ಅನೇಕ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಈ ಮಧ್ಯಂತರದ ಮಧ್ಯವನ್ನು ಪರಿಣಾಮಕಾರಿ ಅಂಶ y ಯ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ (ಸರಾಸರಿ) ಮೌಲ್ಯದಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇಲ್ಲಿ ಕೇಂದ್ರ ಮಿತಿ ಪ್ರಮೇಯವು ಪಾರುಗಾಣಿಕಾಕ್ಕೆ ಬರುತ್ತದೆ, ಇದು ಈ ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಅಜ್ಞಾತ ಪ್ರಮಾಣವು ಯಾವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯೊಂದಿಗೆ ನಿಖರವಾಗಿ ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ.

ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ, ಪ್ರಮಾಣಿತ ದೋಷ ಸೂತ್ರವು, ಅದನ್ನು ಹೇಗೆ ಮತ್ತು ಯಾವ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದರ ಹೊರತಾಗಿಯೂ, ಹಿಂಜರಿತ ರೇಖೆಯ ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿ ದೋಷವನ್ನು ನಿರೂಪಿಸುತ್ತದೆ. ಫ್ಯಾಕ್ಟರ್ x ನ ಮೌಲ್ಯವು ಅಂಶದ ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾದಾಗ ಪ್ರಮಾಣಿತ ದೋಷವು ಕನಿಷ್ಠವನ್ನು ತಲುಪುತ್ತದೆ.

24. ಫಿಶರ್ ಮಾನದಂಡವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಊಹೆಗಳ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳ ಪರೀಕ್ಷೆ ಮತ್ತು ರೇಖಾತ್ಮಕ ಹಿಂಜರಿತದ ಪ್ರಾಮುಖ್ಯತೆಯ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ.

ರೇಖೀಯ ಹಿಂಜರಿತ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡ ನಂತರ, ಒಟ್ಟಾರೆಯಾಗಿ ಸಮೀಕರಣದ ಮಹತ್ವ ಮತ್ತು ಅದರ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ನಿಯತಾಂಕಗಳನ್ನು ನಿರ್ಣಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಒಟ್ಟಾರೆಯಾಗಿ ರಿಗ್ರೆಶನ್ ಸಮೀಕರಣದ ಮಹತ್ವವನ್ನು ನಿರ್ಣಯಿಸುವುದು ವಿವಿಧ ಮಾನದಂಡಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಮಾಡಬಹುದು. ಫಿಶರ್ಸ್ ಎಫ್ ಪರೀಕ್ಷೆಯ ಬಳಕೆ ಸಾಕಷ್ಟು ಸಾಮಾನ್ಯ ಮತ್ತು ಪರಿಣಾಮಕಾರಿಯಾಗಿದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ರಿಗ್ರೆಷನ್ ಗುಣಾಂಕವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಶೂನ್ಯ ಊಹೆಯನ್ನು ಮುಂದಿಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. b=0, ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ x ಅಂಶವು y ಫಲಿತಾಂಶದ ಮೇಲೆ ಯಾವುದೇ ಪರಿಣಾಮ ಬೀರುವುದಿಲ್ಲ. ಎಫ್-ಪರೀಕ್ಷೆಯ ತಕ್ಷಣದ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರವು ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಿಂದ ಮುಂಚಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಅದರಲ್ಲಿರುವ ಕೇಂದ್ರ ಸ್ಥಾನವು ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯ y ಯಿಂದ ವೇರಿಯಬಲ್ y ನ ವರ್ಗ ವಿಚಲನಗಳ ಒಟ್ಟು ಮೊತ್ತವನ್ನು ಎರಡು ಭಾಗಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸುವ ಮೂಲಕ ಆಕ್ರಮಿಸಿಕೊಂಡಿದೆ - "ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ" ಮತ್ತು "ವಿವರಿಸದ":

ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯ y ನಿಂದ ಫಲಿತಾಂಶದ ಗುಣಲಕ್ಷಣ y ಯ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಮೌಲ್ಯಗಳ ವರ್ಗ ವಿಚಲನಗಳ ಒಟ್ಟು ಮೊತ್ತವು ಅನೇಕ ಅಂಶಗಳ ಪ್ರಭಾವದಿಂದ ಉಂಟಾಗುತ್ತದೆ.

ನಾವು ಷರತ್ತುಬದ್ಧವಾಗಿ ಸಂಪೂರ್ಣ ಕಾರಣಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಎರಡು ಗುಂಪುಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸೋಣ: ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ ಅಂಶ x ಮತ್ತು ಇತರ ಅಂಶಗಳು. ಅಂಶವು ಫಲಿತಾಂಶದ ಮೇಲೆ ಪ್ರಭಾವ ಬೀರದಿದ್ದರೆ, ಗ್ರಾಫ್‌ನಲ್ಲಿನ ಹಿಂಜರಿತ ರೇಖೆಯು OX ಮತ್ತು y=y ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ನಂತರ ಫಲಿತಾಂಶದ ಗುಣಲಕ್ಷಣದ ಸಂಪೂರ್ಣ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಇತರ ಅಂಶಗಳ ಪ್ರಭಾವದ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ವರ್ಗದ ವಿಚಲನಗಳ ಒಟ್ಟು ಮೊತ್ತವು ಶೇಷದೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಇತರ ಅಂಶಗಳು ಫಲಿತಾಂಶದ ಮೇಲೆ ಪ್ರಭಾವ ಬೀರದಿದ್ದರೆ, y ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕವಾಗಿ x ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ ಮತ್ತು ವರ್ಗಗಳ ಉಳಿದ ಮೊತ್ತವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಹಿಂಜರಿತದಿಂದ ವಿವರಿಸಲಾದ ವರ್ಗದ ವಿಚಲನಗಳ ಮೊತ್ತವು ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ ಒಟ್ಟು ಮೊತ್ತಚೌಕಗಳು. ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಎಲ್ಲಾ ಬಿಂದುಗಳು ಹಿಂಜರಿತದ ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಇರುವುದಿಲ್ಲವಾದ್ದರಿಂದ, ಅವುಗಳ ಚದುರುವಿಕೆಯು ಯಾವಾಗಲೂ x ಅಂಶದ ಪ್ರಭಾವದಿಂದ ಉಂಟಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. x ನಲ್ಲಿ y ನ ಹಿನ್ನಡೆ ಮತ್ತು ಇತರ ಕಾರಣಗಳಿಂದ ಉಂಟಾಗುತ್ತದೆ (ವಿವರಿಸಲಾಗದ ವ್ಯತ್ಯಾಸ). ಮುನ್ಸೂಚನೆಗಾಗಿ ರಿಗ್ರೆಶನ್ ಲೈನ್‌ನ ಸೂಕ್ತತೆಯು ವಿವರಿಸಿದ ವ್ಯತ್ಯಾಸದಿಂದ y ಲಕ್ಷಣದಲ್ಲಿನ ಒಟ್ಟು ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಎಷ್ಟು ಲೆಕ್ಕಹಾಕುತ್ತದೆ ಎಂಬುದರ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ಹಿಂಜರಿತದ ಕಾರಣದ ವರ್ಗದ ವಿಚಲನಗಳ ಮೊತ್ತವು ವರ್ಗಗಳ ಉಳಿದ ಮೊತ್ತಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಹಿಂಜರಿತ ಸಮೀಕರಣವು ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯವಾಗಿ ಮಹತ್ವದ್ದಾಗಿದೆ ಮತ್ತು x ಅಂಶವು ಫಲಿತಾಂಶದ ಮೇಲೆ ಗಮನಾರ್ಹ ಪರಿಣಾಮ ಬೀರುತ್ತದೆ. ನಿರ್ಣಯದ ಗುಣಾಂಕವು ಏಕತೆಯನ್ನು ಸಮೀಪಿಸುತ್ತದೆ ಎಂಬ ಅಂಶಕ್ಕೆ ಇದು ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ವರ್ಗದ ವಿಚಲನಗಳ ಯಾವುದೇ ಮೊತ್ತವು ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದ ಡಿಗ್ರಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ, ಅಂದರೆ. ವಿಶಿಷ್ಟತೆಯ ಸ್ವತಂತ್ರ ಬದಲಾವಣೆಯ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದ ಸಂಖ್ಯೆ. ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದ ಡಿಗ್ರಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ಘಟಕಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯೊಂದಿಗೆ ಅಥವಾ ಅದರಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾದ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯೊಂದಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ. ಅಧ್ಯಯನದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ, ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದ ಡಿಗ್ರಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು n ನಿಂದ ಎಷ್ಟು ಸ್ವತಂತ್ರ ವಿಚಲನಗಳನ್ನು ತೋರಿಸಬೇಕು [(y 1 -y), (y 2 -y),...(y n -y)] ವರ್ಗಗಳ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮೊತ್ತವನ್ನು ರೂಪಿಸಲು. ಹೀಗಾಗಿ, ಒಟ್ಟು ವರ್ಗಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ∑(y-y sr) 2, (n-1) ಸ್ವತಂತ್ರ ವಿಚಲನಗಳು ಬೇಕಾಗುತ್ತವೆ, ಏಕೆಂದರೆ n ಘಟಕಗಳ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿ, ಸರಾಸರಿ ಮಟ್ಟವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿದ ನಂತರ, ಕೇವಲ (n-1) ಸಂಖ್ಯೆಯ ವಿಚಲನಗಳು ಮುಕ್ತವಾಗಿ ಬದಲಾಗುತ್ತವೆ. ∑(y-y avg) 2 ವರ್ಗಗಳ ವಿವರಿಸಿದ ಅಥವಾ ಅಂಶದ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವಾಗ, ರಿಗ್ರೆಷನ್ ಲೈನ್‌ನಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುವ ಫಲಿತಾಂಶದ ಗುಣಲಕ್ಷಣ y* ನ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ (ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಿದ) ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ: y(x)=a+bx.

ಈಗ ಈ ಮೌಲ್ಯದ ಸರಾಸರಿಯಿಂದ ಪರಿಣಾಮಕಾರಿ ಅಂಶದ ವರ್ಗದ ವಿಚಲನಗಳ ಒಟ್ಟು ಮೊತ್ತದ ವಿಸ್ತರಣೆಗೆ ಹಿಂತಿರುಗಿ ನೋಡೋಣ. ಈ ಮೊತ್ತವು ಈಗಾಗಲೇ ಮೇಲೆ ವಿವರಿಸಿರುವ ಎರಡು ಭಾಗಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ: ಹಿಂಜರಿತದಿಂದ ವಿವರಿಸಲಾದ ವರ್ಗ ವಿಚಲನಗಳ ಮೊತ್ತ ಮತ್ತು ವರ್ಗದ ವಿಚಲನಗಳ ಉಳಿದ ಮೊತ್ತ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುವ ಮತ್ತೊಂದು ಮೊತ್ತ. ಈ ವಿಘಟನೆಯೊಂದಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ, ಇದು ಮೂಲಭೂತ ಪ್ರಶ್ನೆಗೆ ನೇರವಾಗಿ ಉತ್ತರಿಸುತ್ತದೆ: ಒಟ್ಟಾರೆಯಾಗಿ ಹಿಂಜರಿತ ಸಮೀಕರಣದ ಮಹತ್ವವನ್ನು ಮತ್ತು ಅದರ ವೈಯಕ್ತಿಕ ನಿಯತಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ನಿರ್ಣಯಿಸುವುದು? ಇದು ಈ ಪ್ರಶ್ನೆಯ ಅರ್ಥವನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ. ಒಟ್ಟಾರೆಯಾಗಿ ಹಿಂಜರಿತ ಸಮೀಕರಣದ ಮಹತ್ವವನ್ನು ನಿರ್ಣಯಿಸಲು, ಫಿಶರ್ ಮಾನದಂಡವನ್ನು (ಎಫ್-ಟೆಸ್ಟ್) ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಫಿಶರ್ ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಿದ ವಿಧಾನದ ಪ್ರಕಾರ, ಶೂನ್ಯ ಊಹೆಯನ್ನು ಮುಂದಿಡಲಾಗಿದೆ: ಹಿಂಜರಿತ ಗುಣಾಂಕವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. ಮೌಲ್ಯb=0. ಇದರರ್ಥ ಅಂಶವು Y ಫಲಿತಾಂಶದ ಮೇಲೆ ಯಾವುದೇ ಪರಿಣಾಮ ಬೀರುವುದಿಲ್ಲ.

ಅಂಕಿಅಂಶಗಳ ಅಧ್ಯಯನದ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಪಡೆದ ಅಂಕಗಳು ಯಾವಾಗಲೂ ಹಿಂಜರಿತದ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ನಿಖರವಾಗಿ ಇರುವುದಿಲ್ಲ ಎಂಬುದನ್ನು ನಾವು ನೆನಪಿನಲ್ಲಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳೋಣ. ಅವು ಚದುರಿಹೋಗಿವೆ, ಹಿಂಜರಿತ ರೇಖೆಯಿಂದ ಹೆಚ್ಚು ಅಥವಾ ಕಡಿಮೆ ದೂರದಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ. ರಿಗ್ರೆಶನ್ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳದ ವಿವರಣಾತ್ಮಕ ಅಂಶ X ಗಿಂತ ಭಿನ್ನವಾದ ಇತರ ಅಂಶಗಳ ಪ್ರಭಾವದಿಂದಾಗಿ ಇಂತಹ ಪ್ರಸರಣವು ಉಂಟಾಗುತ್ತದೆ. ವರ್ಗ ವಿಚಲನಗಳ ವಿವರಿಸಿದ ಅಥವಾ ಅಂಶದ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವಾಗ, ರಿಗ್ರೆಷನ್ ಲೈನ್‌ನಿಂದ ಕಂಡುಬರುವ ಗುಣಲಕ್ಷಣದ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

Y ಮತ್ತು X ಅಸ್ಥಿರಗಳ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸೆಟ್ಗಾಗಿ, ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯ Y ಯ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ಮೌಲ್ಯವು ರೇಖೀಯ ಹಿಂಜರಿತದಲ್ಲಿ ಕೇವಲ ಒಂದು ನಿಯತಾಂಕದ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ - ಹಿಂಜರಿತ ಗುಣಾಂಕ. ಇದಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ, ವರ್ಗದ ವಿಚಲನಗಳ ಅಂಶದ ಮೊತ್ತವು 1 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದ ಡಿಗ್ರಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಮತ್ತು ರೇಖೀಯ ಹಿಂಜರಿತದಲ್ಲಿ ಉಳಿದಿರುವ ವರ್ಗದ ವಿಚಲನಗಳ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದ ಡಿಗ್ರಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ n-2 ಆಗಿದೆ.

ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಮೂಲ ವಿಸ್ತರಣೆಯಲ್ಲಿನ ವರ್ಗದ ವಿಚಲನಗಳ ಪ್ರತಿ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಅದರ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದ ಡಿಗ್ರಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ, ನಾವು ಸರಾಸರಿ ವರ್ಗ ವಿಚಲನಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ (ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದ ಒಂದು ಡಿಗ್ರಿಗೆ ವ್ಯತ್ಯಾಸ). ಮುಂದೆ, ಅಂಶದ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಒಂದು ಹಂತದ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದಿಂದ ಉಳಿದ ವ್ಯತ್ಯಾಸದಿಂದ ಒಂದು ಡಿಗ್ರಿ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ, ಶೂನ್ಯ ಊಹೆಯನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸಲು ನಾವು ಮಾನದಂಡವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ, ಎಫ್-ಅನುಪಾತ ಅಥವಾ ಅದೇ ಹೆಸರಿನ ಮಾನದಂಡ. ಅವುಗಳೆಂದರೆ, ಶೂನ್ಯ ಕಲ್ಪನೆಯು ನಿಜವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅಂಶ ಮತ್ತು ಉಳಿದಿರುವ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳು ಸರಳವಾಗಿ ಪರಸ್ಪರ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಶೂನ್ಯ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ತಿರಸ್ಕರಿಸಲು, ಅಂದರೆ. ಅಧ್ಯಯನದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಸಂಬಂಧದ ಪ್ರಾಮುಖ್ಯತೆಯ (ಉಪಸ್ಥಿತಿ) ಸತ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುವ ವಿರುದ್ಧವಾದ ಊಹೆಯನ್ನು ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳುವುದು, ಮತ್ತು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲದ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಅನುಕರಿಸುವ ಅಂಶಗಳ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಕಾಕತಾಳೀಯವಲ್ಲ, ನಿರ್ಣಾಯಕ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಕೋಷ್ಟಕಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದ ಸಂಬಂಧ. ಕೋಷ್ಟಕಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ, ಫಿಶರ್ ಮಾನದಂಡದ ನಿರ್ಣಾಯಕ (ಮಿತಿ) ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಎಂದೂ ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ. ನಂತರ ಅವರು ಅನುಪಾತದ ನೈಜ ಮೌಲ್ಯವು ಕೋಷ್ಟಕಗಳಿಂದ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಮೀರಿದೆಯೇ ಎಂದು ವೀಕ್ಷಣಾ ಡೇಟಾದಿಂದ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿದ ಮಾನದಂಡದ ಅನುಗುಣವಾದ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ (ವಾಸ್ತವ) ಮೌಲ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಹೋಲಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪರಿಶೀಲಿಸುತ್ತಾರೆ.

ಇದನ್ನು ಈ ರೀತಿ ಹೆಚ್ಚು ವಿವರವಾಗಿ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಶೂನ್ಯ ಊಹೆಯ ಉಪಸ್ಥಿತಿಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮಟ್ಟವನ್ನು ಆಯ್ಕೆಮಾಡಿ ಮತ್ತು F- ಮಾನದಂಡದ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕೋಷ್ಟಕಗಳಿಂದ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ, ಇದರಲ್ಲಿ 1 ಡಿಗ್ರಿ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದಿಂದ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಇನ್ನೂ ಸಂಭವಿಸಬಹುದು, ಅಂದರೆ. ಅಂತಹ ಗರಿಷ್ಠ ಮೌಲ್ಯ. ನಂತರ ಎಫ್-ಅನುಪಾತದ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ (ಅಂದರೆ, ನಿಜವಾದ ಮತ್ತು ಉಳಿದ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುವುದು) ಈ ಅನುಪಾತವು ಕೋಷ್ಟಕಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿದ್ದರೆ. ನಂತರ ಶೂನ್ಯ ಊಹೆಯನ್ನು ತಿರಸ್ಕರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ (ಸಂಪರ್ಕದ ಯಾವುದೇ ಚಿಹ್ನೆಗಳಿಲ್ಲ ಎಂಬುದು ನಿಜವಲ್ಲ) ಮತ್ತು ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ, ಸಂಪರ್ಕವಿದೆ ಮತ್ತು ಅದು ಮಹತ್ವದ್ದಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ತೀರ್ಮಾನಕ್ಕೆ ಬರುತ್ತೇವೆ (ಇದು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಲ್ಲದ, ಗಮನಾರ್ಹವಾಗಿದೆ).

ಸಂಬಂಧದ ಮೌಲ್ಯವು ಕೋಷ್ಟಕಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿದ್ದರೆ, ಶೂನ್ಯ ಕಲ್ಪನೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ನಿಗದಿತ ಮಟ್ಟಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ಇದನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ) ಮತ್ತು ಶೂನ್ಯ ಊಹೆಯನ್ನು ಗಮನಾರ್ಹ ಅಪಾಯವಿಲ್ಲದೆ ತಿರಸ್ಕರಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಸಂಬಂಧದ ಉಪಸ್ಥಿತಿಯ ಬಗ್ಗೆ ತಪ್ಪಾದ ತೀರ್ಮಾನವನ್ನು ಪಡೆಯುವುದು. ಅಂತೆಯೇ, ಹಿಂಜರಿತ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಅತ್ಯಲ್ಪವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

F- ಮಾನದಂಡದ ಮೌಲ್ಯವು ನಿರ್ಣಯದ ಗುಣಾಂಕಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ. ಒಟ್ಟಾರೆಯಾಗಿ ಹಿಂಜರಿತ ಸಮೀಕರಣದ ಮಹತ್ವವನ್ನು ನಿರ್ಣಯಿಸುವುದರ ಜೊತೆಗೆ, ಹಿಂಜರಿತ ಸಮೀಕರಣದ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ನಿಯತಾಂಕಗಳ ಮಹತ್ವವನ್ನು ಸಹ ನಿರ್ಣಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ರಿಗ್ರೆಷನ್ ಗುಣಾಂಕದ ಪ್ರಮಾಣಿತ ದೋಷವನ್ನು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ನಿಜವಾದ ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನ ಮತ್ತು ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದ ಪ್ರತಿ ಹಂತದ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಅದರ ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹ ಮಧ್ಯಂತರಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಹಿಂಜರಿತ ಗುಣಾಂಕದ ಮಹತ್ವವನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳ ಟಿ-ಪರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಹಿಂಜರಿತ ಮತ್ತು ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧದ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಪ್ರಾಮುಖ್ಯತೆಯನ್ನು ನಿರ್ಣಯಿಸುವುದು ಈ ಪ್ರಮಾಣಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಪ್ರಮಾಣಿತ ದೋಷವನ್ನು ಹೋಲಿಸುವ ಮೂಲಕ ನಡೆಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ರೇಖೀಯ ಹಿಂಜರಿತದ ನಿಯತಾಂಕಗಳ ದೋಷದ ಪ್ರಮಾಣ ಮತ್ತು ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧದ ಗುಣಾಂಕವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸೂತ್ರಗಳಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

ಇಲ್ಲಿ S ಎಂಬುದು ರೂಟ್ ಮೀನ್ ಸ್ಕ್ವೇರ್ ಶೇಷ ಮಾದರಿ ವಿಚಲನವಾಗಿದೆ,

r xy - ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧ ಗುಣಾಂಕ.

ಅಂತೆಯೇ, ಹಿಂಜರಿತ ರೇಖೆಯಿಂದ ಊಹಿಸಲಾದ ಪ್ರಮಾಣಿತ ದೋಷದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಸೂತ್ರದಿಂದ ನೀಡಲಾಗಿದೆ:

ರಿಗ್ರೆಷನ್ ಮತ್ತು ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧದ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಅನುಗುಣವಾದ ಅನುಪಾತಗಳು ಅವುಗಳ ಪ್ರಮಾಣಿತ ದೋಷವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ ಟಿ-ಅಂಕಿಅಂಶಗಳು, ಮತ್ತು ಅನುಗುಣವಾದ ಕೋಷ್ಟಕ (ನಿರ್ಣಾಯಕ) ಮೌಲ್ಯ ಮತ್ತು ಅದರ ನಿಜವಾದ ಮೌಲ್ಯದ ಹೋಲಿಕೆಯು ಶೂನ್ಯವನ್ನು ಸ್ವೀಕರಿಸಲು ಅಥವಾ ತಿರಸ್ಕರಿಸಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ. ಕಲ್ಪನೆ. ಆದರೆ ನಂತರ, ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹ ಮಧ್ಯಂತರವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು, ಪ್ರತಿ ಸೂಚಕಕ್ಕೆ ಗರಿಷ್ಠ ದೋಷವು ಅನುಗುಣವಾದ ಸೂಚಕದ ಸರಾಸರಿ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ದೋಷದಿಂದ ಟಿ ಅಂಕಿ ಅಂಶದ ಕೋಷ್ಟಕ ಮೌಲ್ಯದ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿ ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ನಾವು ಅದನ್ನು ಸ್ವಲ್ಪ ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿ ಮೇಲೆ ಬರೆದಿದ್ದೇವೆ. ನಂತರ ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹ ಮಧ್ಯಂತರಗಳ ಗಡಿಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ: ಕಡಿಮೆ ಮಿತಿಯು ಅನುಗುಣವಾದ ಗುಣಾಂಕಗಳಿಂದ (ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಸರಾಸರಿ) ಅನುಗುಣವಾದ ಕನಿಷ್ಠ ದೋಷವನ್ನು ಕಳೆಯುವುದರ ಮೂಲಕ ಮತ್ತು ಮೇಲಿನ ಮಿತಿಯು ಸೇರ್ಪಡೆಯ ಮೂಲಕ (ಸೇರಿಸುವಿಕೆ) ಆಗಿದೆ.

ರೇಖೀಯ ಹಿಂಜರಿತದಲ್ಲಿ ∑(y x -y avg) 2 =b 2 ∑(x-x avg) 2. ರೇಖೀಯ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧ ಗುಣಾಂಕದ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖಿಸುವ ಮೂಲಕ ಇದನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಲು ಸುಲಭವಾಗಿದೆ: r 2 xy = b 2 *σ 2 x /σ 2 y

ಇಲ್ಲಿ σ 2 y ಎಂಬುದು y ಗುಣಲಕ್ಷಣದ ಒಟ್ಟು ವ್ಯತ್ಯಾಸವಾಗಿದೆ;

σ 2 x - x ಅಂಶದ ಕಾರಣ y ಗುಣಲಕ್ಷಣದ ಪ್ರಸರಣ. ಅಂತೆಯೇ, ರೇಖೀಯ ಹಿಂಜರಿತದ ಕಾರಣದ ವರ್ಗದ ವಿಚಲನಗಳ ಮೊತ್ತವು ಹೀಗಿರುತ್ತದೆ:

∑(y x -y avg) 2 =b 2 ∑(x-x avg) 2 .

x ಮತ್ತು y ನಲ್ಲಿನ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಮಾಣದ ಅವಲೋಕನಗಳಿಗೆ, ರೇಖೀಯ ಹಿಂಜರಿತದಲ್ಲಿನ ವರ್ಗಗಳ ಅಂಶದ ಮೊತ್ತವು ಹಿಂಜರಿತ ಗುಣಾಂಕದ b ಯ ಒಂದು ಸ್ಥಿರಾಂಕವನ್ನು ಮಾತ್ರ ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ, ನಂತರ ಈ ವರ್ಗಗಳ ಮೊತ್ತವು ಒಂದು ಹಂತದ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. y ಗುಣಲಕ್ಷಣದ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ಮೌಲ್ಯದ ವಿಷಯದ ಭಾಗವನ್ನು ನಾವು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ i.e. y x y x ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ರೇಖೀಯ ಹಿಂಜರಿತ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ: y x ​​= a + bx.

a ನಿಯತಾಂಕವನ್ನು a=y-bx ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್ a ಗಾಗಿ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ರೇಖೀಯ ಮಾದರಿಗೆ ಬದಲಿಸಿ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: y x ​​= y-bx+bx avg =y-b(x-x avg).

y ಮತ್ತು x ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ಗಳ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸೆಟ್‌ಗೆ, ರೇಖೀಯ ಹಿಂಜರಿತದಲ್ಲಿ y x ನ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ಮೌಲ್ಯವು ಕೇವಲ ಒಂದು ನಿಯತಾಂಕದ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ - ರಿಗ್ರೆಷನ್ ಗುಣಾಂಕ. ಅಂತೆಯೇ, ವರ್ಗದ ವಿಚಲನಗಳ ಅಂಶದ ಮೊತ್ತವು 1 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದ ಹಲವಾರು ಡಿಗ್ರಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ.

ಚೌಕಗಳ ಒಟ್ಟು, ಅಂಶ ಮತ್ತು ಉಳಿದ ಮೊತ್ತಗಳ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದ ಡಿಗ್ರಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ನಡುವೆ ಸಮಾನತೆ ಇದೆ. ರೇಖೀಯ ಹಿಂಜರಿತದಲ್ಲಿ ಉಳಿದಿರುವ ಚೌಕಗಳ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದ ಡಿಗ್ರಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ (n-2). ಚೌಕಗಳ ಒಟ್ಟು ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದ ಡಿಗ್ರಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಒಂದರ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಮಾದರಿ ಡೇಟಾದಿಂದ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿದ ಸರಾಸರಿಯನ್ನು ನಾವು ಬಳಸುವುದರಿಂದ, ನಾವು ಒಂದು ಡಿಗ್ರಿ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯವನ್ನು ಕಳೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ, ಅಂದರೆ. (ಎನ್-1). ಆದ್ದರಿಂದ, ನಮಗೆ ಎರಡು ಸಮಾನತೆಗಳಿವೆ: ಮೊತ್ತಗಳಿಗೆ ಮತ್ತು ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದ ಡಿಗ್ರಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ. ಮತ್ತು ಇದು ಪ್ರತಿಯಾಗಿ, ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದ ಮಟ್ಟಕ್ಕೆ ಹೋಲಿಸಬಹುದಾದ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳಿಗೆ ನಮ್ಮನ್ನು ಮರಳಿ ತರುತ್ತದೆ, ಅದರ ಅನುಪಾತವು ಫಿಶರ್ ಮಾನದಂಡವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ.

25. ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳ ಪರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಹಿಂಜರಿತ ಸಮೀಕರಣ ಮತ್ತು ಗುಣಾಂಕಗಳ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ನಿಯತಾಂಕಗಳ ಮಹತ್ವವನ್ನು ನಿರ್ಣಯಿಸುವುದು.

27. ರೇಖೀಯ ಮತ್ತು ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಹಿಂಜರಿಕೆ ಮತ್ತು ಅವರ ಅಧ್ಯಯನದ ವಿಧಾನಗಳು.

ಲೀನಿಯರ್ ರಿಗ್ರೆಷನ್ ಮತ್ತು ಅದರ ಸಂಶೋಧನೆ ಮತ್ತು ಮೌಲ್ಯಮಾಪನದ ವಿಧಾನಗಳು ಅಷ್ಟು ಮುಖ್ಯವಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಈ ಅತ್ಯಂತ ಮುಖ್ಯವಾದ, ಆದರೆ ಇನ್ನೂ ಸರಳವಾದ ಪ್ರಕರಣದ ಜೊತೆಗೆ, ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಅವಲಂಬನೆಗಳನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸುವ ಸಾಧನವನ್ನು ನಾವು ಅವರ ಸಹಾಯದಿಂದ ಪಡೆಯದಿದ್ದರೆ. ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಹಿಂಜರಿಕೆಗಳನ್ನು ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ವರ್ಗಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಬಹುದು. ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಸರಳವಾದವು ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಅವಲಂಬನೆಗಳ ವರ್ಗವಾಗಿದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ವಿವರಣಾತ್ಮಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ರೇಖಾತ್ಮಕತೆಯಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಲಾದ ನಿಯತಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ ರೇಖಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಉಳಿಯುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಮೌಲ್ಯಮಾಪನಕ್ಕೆ ಒಳಪಟ್ಟಿರುತ್ತದೆ. ಇದು ವಿವಿಧ ಡಿಗ್ರಿಗಳ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಸಮಬಾಹು ಹೈಪರ್ಬೋಲಾವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ.

ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಸರಳವಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸುವ ಮೂಲಕ (ಬದಲಿಯಾಗಿ) ವಿವರಣೆಯಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಲಾದ ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ಗಳಿಗೆ ಅಂತಹ ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಹಿಂಜರಿಕೆಯನ್ನು ಹೊಸ ಅಸ್ಥಿರಗಳಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೇಖೀಯ ಹಿಂಜರಿತಕ್ಕೆ ಸುಲಭವಾಗಿ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಬಹುದು. ಆದ್ದರಿಂದ, ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ನಿಯತಾಂಕಗಳ ಅಂದಾಜು ಕನಿಷ್ಠ ಚೌಕಗಳಿಂದ ಸರಳವಾಗಿ ನಿರ್ವಹಿಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ನಿಯತಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ ಅವಲಂಬನೆಗಳು ರೇಖೀಯವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಸಮಬಾಹು ಹೈಪರ್ಬೋಲಾ ವಿವರಿಸಿದ ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಅವಲಂಬನೆಯಿಂದ ಅರ್ಥಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಪ್ರಮುಖ ಪಾತ್ರವನ್ನು ವಹಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

ಅದರ ನಿಯತಾಂಕಗಳನ್ನು ಕನಿಷ್ಠ ಚೌಕಗಳ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಉತ್ತಮವಾಗಿ ನಿರ್ಣಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಈ ಅವಲಂಬನೆಯು ಕಚ್ಚಾ ವಸ್ತುಗಳ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವೆಚ್ಚಗಳು, ಇಂಧನ, ಉತ್ಪಾದನೆಯ ಪರಿಮಾಣದೊಂದಿಗೆ ವಸ್ತುಗಳು, ಸರಕುಗಳ ಚಲಾವಣೆಯಲ್ಲಿರುವ ಸಮಯ ಮತ್ತು ವ್ಯಾಪಾರದ ಪ್ರಮಾಣದೊಂದಿಗೆ ಈ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಪರ್ಕವನ್ನು ನಿರೂಪಿಸುತ್ತದೆ. ವಹಿವಾಟು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಫಿಲಿಪ್ಸ್ ಕರ್ವ್ ನಿರುದ್ಯೋಗ ದರ ಮತ್ತು ವೇತನ ಬೆಳವಣಿಗೆಯ ಶೇಕಡಾವಾರು ನಡುವಿನ ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ನಿರೂಪಿಸುತ್ತದೆ.

ಅಂದಾಜು ಮಾಡಲಾದ ನಿಯತಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಹಿಂಜರಿಕೆಯೊಂದಿಗೆ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಪವರ್ ಫಂಕ್ಷನ್‌ನಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಪದವಿ ಸ್ವತಃ (ಅದರ ಘಾತ) ಒಂದು ನಿಯತಾಂಕವಾಗಿದೆ, ಅಥವಾ ನಿಯತಾಂಕವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ. ಇದು ಘಾತೀಯ ಕಾರ್ಯವೂ ಆಗಿರಬಹುದು, ಅಲ್ಲಿ ಪದವಿಯ ಆಧಾರವು ಒಂದು ನಿಯತಾಂಕ ಮತ್ತು ಘಾತೀಯ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ಸೂಚಕವು ನಿಯತಾಂಕ ಅಥವಾ ನಿಯತಾಂಕಗಳ ಸಂಯೋಜನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಈ ವರ್ಗವು ಪ್ರತಿಯಾಗಿ, ಎರಡು ಉಪವರ್ಗಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗಿದೆ: ಒಂದು ಬಾಹ್ಯವಾಗಿ ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ, ಆದರೆ ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ಆಂತರಿಕವಾಗಿ ರೇಖಾತ್ಮಕವಾಗಿದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನೀವು ಮಾದರಿಯನ್ನು ರೇಖೀಯ ರೂಪಕ್ಕೆ ತರಬಹುದು. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಮಾದರಿಯು ಆಂತರಿಕವಾಗಿ ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಅದನ್ನು ರೇಖಾತ್ಮಕ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಇಳಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ.

ಹೀಗಾಗಿ, ರಿಗ್ರೆಷನ್ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಲ್ಲಿ ಆಂತರಿಕವಾಗಿ ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ನಿಜವಾದ ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ರೂಪಾಂತರಗಳ ಮೂಲಕ ರೇಖಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಬಹುದಾದ ಎಲ್ಲಾ ಇತರವುಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಮತ್ತು ಇಕೊನೊಮೆಟ್ರಿಕ್ ಅಧ್ಯಯನಗಳಲ್ಲಿ ಅವರನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ಅರ್ಥಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಅವಲಂಬನೆಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವುದು ಅಸಾಧ್ಯವೆಂದು ಇದರ ಅರ್ಥವಲ್ಲ. ಮಾದರಿಯು ಅದರ ನಿಯತಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ ಆಂತರಿಕವಾಗಿ ರೇಖಾತ್ಮಕವಾಗಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ನಿಯತಾಂಕಗಳನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡಲು ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಕಾರ್ಯವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅದರ ಯಶಸ್ಸು ಬಳಸಿದ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ವಿಧಾನದ ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯಗಳಿಗೆ ಸಮೀಕರಣದ ಪ್ರಕಾರವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ.

ರೇಖೀಯಕ್ಕೆ ಇಳಿಸಿದ ಅವಲಂಬನೆಗಳಿಗೆ ಹಿಂತಿರುಗೋಣ. ಅವು ನಿಯತಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ರೇಖಾತ್ಮಕವಾಗಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ರೂಪ y = a X ನ ಶಕ್ತಿಯಿಂದ ಗುಣಿಸಿದರೆ, ಅದರ ಘಾತವು ನಿಯತಾಂಕವಾಗಿದೆ -  (ಬೀಟಾ):

ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ಅಂತಹ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಸರಳ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಮೂಲಕ ಸುಲಭವಾಗಿ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಬಹುದು.

ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸುವ ಹೊಸ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಿದ ನಂತರ, ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹಿಂಜರಿತವನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡುವ ವಿಧಾನವು ನಂತರ ಮೂಲ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಮೂಲಕ ಪ್ರತಿ ವೀಕ್ಷಣೆಗೆ ಹೊಸ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ನಂತರ ಹೊಸ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಹಿಂಜರಿತ ಅವಲಂಬನೆಯನ್ನು ಅಂದಾಜಿಸಲಾಗಿದೆ. ಮೂಲ ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ಗಳಿಗೆ ಹೋಗಲು, ನೀವು ಆಂಟಿಲಾಗರಿದಮ್ ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬೇಕು, ಅಂದರೆ, ಅವುಗಳ ಘಾತಾಂಕಗಳ ಬದಲಿಗೆ ಅಧಿಕಾರಗಳಿಗೆ ಹಿಂತಿರುಗಿ (ಎಲ್ಲಾ ನಂತರ, ಲಾಗರಿಥಮ್ ಘಾತಾಂಕವಾಗಿದೆ). ಘಾತೀಯ ಅಥವಾ ಘಾತೀಯ ಕಾರ್ಯಗಳ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಇದೇ ರೀತಿ ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು.

ಗಮನಾರ್ಹವಾಗಿ ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಹಿಂಜರಿಕೆಗಾಗಿ, ಸಾಮಾನ್ಯ ರಿಗ್ರೆಷನ್ ಅಂದಾಜು ವಿಧಾನವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ ಏಕೆಂದರೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ರೇಖೀಯವಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಕ್ರಿಯೆಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ಯೋಜನೆ ಹೀಗಿದೆ:

1. ಕೆಲವು ತೋರಿಕೆಯ ಆರಂಭಿಕ ನಿಯತಾಂಕ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಸ್ವೀಕರಿಸಲಾಗಿದೆ;

2. ಊಹಿಸಲಾದ Y ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಈ ನಿಯತಾಂಕ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಿಜವಾದ X ಮೌಲ್ಯಗಳಿಂದ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ;

3. ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ಅವಲೋಕನಗಳಿಗೆ ಉಳಿಕೆಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ನಂತರ ಶೇಷಗಳ ವರ್ಗಗಳ ಮೊತ್ತ;

4. ಒಂದು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಿನ ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್ ಅಂದಾಜುಗಳಿಗೆ ಸಣ್ಣ ಬದಲಾವಣೆಗಳನ್ನು ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ;

5. Y ನ ಹೊಸ ಭವಿಷ್ಯ ಮೌಲ್ಯಗಳು, ಅವಶೇಷಗಳು ಮತ್ತು ಶೇಷಗಳ ವರ್ಗಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ;

6. ಅವಶೇಷಗಳ ಚೌಕಗಳ ಮೊತ್ತವು ಮೊದಲಿಗಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿದ್ದರೆ, ಹೊಸ ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್ ಅಂದಾಜುಗಳು ಹಿಂದಿನವುಗಳಿಗಿಂತ ಉತ್ತಮವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಹೊಸ ಆರಂಭಿಕ ಹಂತವಾಗಿ ಬಳಸಬೇಕು;

7. 4, 5 ಮತ್ತು 6 ಹಂತಗಳನ್ನು ಮತ್ತೆ ಪುನರಾವರ್ತಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ನಿಯತಾಂಕಗಳ ಅಂದಾಜುಗಳಿಗೆ ಅಂತಹ ಬದಲಾವಣೆಗಳನ್ನು ಮಾಡಲು ಅಸಾಧ್ಯವಾಗುವವರೆಗೆ ಅದು ಚೌಕಗಳ ಉಳಿಕೆಗಳ ಮೊತ್ತದಲ್ಲಿ ಬದಲಾವಣೆಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ;

8. ವರ್ಗದ ಶೇಷಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅಂತಿಮ ನಿಯತಾಂಕದ ಅಂದಾಜುಗಳು ಕನಿಷ್ಠ ಚೌಕಗಳ ಅಂದಾಜುಗಳಾಗಿವೆ ಎಂದು ತೀರ್ಮಾನಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಬಹುದಾದ ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಕಾರ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ರೇಖೀಯ ರೂಪ, ವಿದ್ಯುತ್ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಇಕೊನೊಮೆಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಪಕವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅದರಲ್ಲಿರುವ ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್ ಬಿ ಸ್ಪಷ್ಟವಾದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಇದು ಸ್ಥಿತಿಸ್ಥಾಪಕತ್ವ ಗುಣಾಂಕವಾಗಿದೆ. ಅಂದಾಜು ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಮಾದರಿಗಳಲ್ಲಿ, ಆದರೆ ರೇಖೀಯ ರೂಪಕ್ಕೆ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಬಹುದು, ರೂಪಾಂತರಗೊಂಡ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಕನಿಷ್ಠ ಚೌಕಗಳ ವಿಧಾನವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಬಳಕೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಪ್ರಕಾರ, ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಚಿಹ್ನೆಯು ನಕಾರಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರದಿದ್ದಾಗ ಘಾತಾಂಕಗಳು ಸಾಧ್ಯ. ಫಲಿತಾಂಶದ ಗುಣಲಕ್ಷಣದ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಕಾರ್ಯಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವಾಗ, ವಿದ್ಯುತ್-ಕಾನೂನು ಅವಲಂಬನೆಗಳು ಆರ್ಥಿಕತೆಯಲ್ಲಿ ಮೇಲುಗೈ ಸಾಧಿಸುತ್ತವೆ (ಬೇಡಿಕೆ ಮತ್ತು ಪೂರೈಕೆ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳು, ಉತ್ಪಾದನಾ ಕಾರ್ಯಗಳು, ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಕಾರ್ಮಿಕ ತೀವ್ರತೆ, ಉತ್ಪಾದನೆಯ ಪ್ರಮಾಣ, ಅವಲಂಬನೆಯ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ನಿರೂಪಿಸಲು ಹೀರಿಕೊಳ್ಳುವ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳು. ಉದ್ಯೋಗದ ಮಟ್ಟದಲ್ಲಿ GNI, ಎಂಗಲ್ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳು).

28. ವಿಲೋಮ ಮಾದರಿ ಮತ್ತು ಅದರ ಬಳಕೆ

ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ವಿಲೋಮ ಮಾದರಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವದನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಆಂತರಿಕವಾಗಿ ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದದ್ದಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಅದರಲ್ಲಿ, ಸಮಬಾಹು ಹೈಪರ್ಬೋಲಾದಂತೆ, ಇದು ರೂಪಾಂತರಕ್ಕೆ ಒಳಪಟ್ಟಿರುವ ವಿವರಣಾತ್ಮಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಅಲ್ಲ, ಆದರೆ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಗುಣಲಕ್ಷಣ Y. ಆದ್ದರಿಂದ, ವಿಲೋಮ ಮಾದರಿಯು ತಿರುಗುತ್ತದೆ ಆಂತರಿಕವಾಗಿ ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಮತ್ತು OLS ಅಗತ್ಯತೆಯು Y ಗುಣಲಕ್ಷಣದ ನಿಜವಾದ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ವಿಲೋಮ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ತೃಪ್ತಿ ಹೊಂದಿಲ್ಲ. ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಹಿಂಜರಿಕೆಗಾಗಿ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧದ ಅಧ್ಯಯನವು ವಿಶೇಷ ಗಮನಕ್ಕೆ ಅರ್ಹವಾಗಿದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಉನ್ನತ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಗಳಂತೆ ಎರಡನೇ ಪದವಿಯ ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾ, ರೇಖಾತ್ಮಕಗೊಳಿಸಿದಾಗ, ಬಹು ಹಿಂಜರಿತ ಸಮೀಕರಣದ ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ರೇಖಾತ್ಮಕಗೊಳಿಸಿದಾಗ, ವಿವರಿಸಿದ ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ರಿಗ್ರೆಷನ್ ಸಮೀಕರಣವು ರೇಖೀಯ ಜೋಡಿಯಾದ ರಿಗ್ರೆಷನ್ ಸಮೀಕರಣದ ರೂಪವನ್ನು ಪಡೆದರೆ, ಸಂಬಂಧದ ನಿಕಟತೆಯನ್ನು ನಿರ್ಣಯಿಸಲು ರೇಖೀಯ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧದ ಗುಣಾಂಕವನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು.

ರಿಗ್ರೆಷನ್ ಸಮೀಕರಣದ ರೇಖೀಯ ರೂಪಕ್ಕೆ ರೂಪಾಂತರಗಳು ಅವಲಂಬಿತ ವೇರಿಯಬಲ್ (ಪರಿಣಾಮಕಾರಿ ಗುಣಲಕ್ಷಣ) ನೊಂದಿಗೆ ಸಂಬಂಧ ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ರೂಪಾಂತರಗೊಂಡ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ರೇಖೀಯ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧದ ಗುಣಾಂಕವು ಸಂಬಂಧದ ಅಂದಾಜು ಅಂದಾಜು ಮಾತ್ರ ನೀಡುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧ ಸೂಚ್ಯಂಕ. ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧದ ಸೂಚ್ಯಂಕವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವಾಗ, ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ Y ಯ ವರ್ಗದ ವಿಚಲನಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳಲ್ಲ ಎಂದು ಮನಸ್ಸಿನಲ್ಲಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಬೇಕು. ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧದ ಗುಣಾಂಕದ ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹತೆಯನ್ನು (ಮಹತ್ವ) ನಿರ್ಣಯಿಸುವ ರೀತಿಯಲ್ಲಿಯೇ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧ ಸೂಚ್ಯಂಕದ ಮಹತ್ವವನ್ನು ನಿರ್ಣಯಿಸುವುದು. ಫಿಶರ್ ಎಫ್ ಪರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ರಿಗ್ರೆಷನ್ ಸಮೀಕರಣದ ಒಟ್ಟಾರೆ ಪ್ರಾಮುಖ್ಯತೆಯನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸಲು ಡಿಟರ್ಮಿನೇಷನ್ ಇಂಡೆಕ್ಸ್‌ನಂತೆ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧ ಸೂಚ್ಯಂಕವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವ ಸಾಧ್ಯತೆಯನ್ನು ರೇಖಾತ್ಮಕ ರೂಪಕ್ಕೆ ಇಳಿಸುವ ಮೂಲಕ ಮತ್ತು ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಹಿಂಜರಿಕೆಯನ್ನು ಬಳಸುವುದರ ಮೂಲಕ, ಒಂದು ಕಡೆ ರಿಗ್ರೆಷನ್ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕತೆಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, ಇದು ಸಂಶೋಧಕರ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಗಮನಾರ್ಹವಾಗಿ ಸಂಕೀರ್ಣಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ. ಜೋಡಿಯಾಗಿರುವ ರಿಗ್ರೆಷನ್ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಗೆ ನಮ್ಮನ್ನು ನಾವು ಸೀಮಿತಗೊಳಿಸಿಕೊಂಡರೆ, ನಾವು Y ಮತ್ತು X ಅನ್ನು ಸ್ಕ್ಯಾಟರ್ ಪ್ಲಾಟ್‌ನಂತೆ ರೂಪಿಸಬಹುದು. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಹಲವಾರು ವಿಭಿನ್ನ ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಕಾರ್ಯಗಳು ಕೆಲವು ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಇದ್ದರೆ ಅಂದಾಜು ವೀಕ್ಷಣೆಗಳು. ಆದರೆ ಬಹು ಹಿಂಜರಿತ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಅಂತಹ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ.

ಅವಲಂಬಿತ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಅದೇ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದೊಂದಿಗೆ ಪರ್ಯಾಯ ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವಾಗ, ಆಯ್ಕೆಯ ವಿಧಾನವು ತುಲನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಸರಳವಾಗಿದೆ. ಊಹಿಸಬಹುದಾದ ಎಲ್ಲಾ ತೋರಿಕೆಯ ಕಾರ್ಯಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಹಿಂಜರಿತವನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡಬಹುದು ಮತ್ತು ಅವಲಂಬಿತ ವೇರಿಯಬಲ್ನಲ್ಲಿನ ಬದಲಾವಣೆಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ವಿವರಿಸುವ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬಹುದು. ರೇಖೀಯ ಕಾರ್ಯವು y ನಲ್ಲಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಸರಿಸುಮಾರು 64% ಅನ್ನು ವಿವರಿಸಿದಾಗ ಮತ್ತು ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಫಂಕ್ಷನ್ 99.9% ಅನ್ನು ವಿವರಿಸಿದಾಗ, ಎರಡನೆಯದನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬೇಕು. ಆದರೆ ಯಾವಾಗ ವಿವಿಧ ಮಾದರಿಗಳುವಿಭಿನ್ನ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ರೂಪಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ, ಮಾದರಿಯನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುವ ಸಮಸ್ಯೆ ಗಮನಾರ್ಹವಾಗಿ ಹೆಚ್ಚು ಜಟಿಲವಾಗಿದೆ.

29. ಬಾಕ್ಸ್-ಕಾಕ್ಸ್ ಪರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಬಳಸುವುದು.

ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಅವಲಂಬಿತ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಅದೇ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದೊಂದಿಗೆ ಪರ್ಯಾಯ ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವಾಗ, ಆಯ್ಕೆಯು ಸರಳವಾಗಿದೆ. ಅವಲಂಬಿತ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನಲ್ಲಿನ ಬದಲಾವಣೆಯನ್ನು ವಿವರಿಸುವ ಕಾರ್ಯದ ಮೇಲೆ ಕೇಂದ್ರೀಕರಿಸುವ ಎಲ್ಲಾ ತೋರಿಕೆಯ ಕಾರ್ಯಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಹಿಂಜರಿತವನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡುವುದು ಅತ್ಯಂತ ಸಮಂಜಸವಾಗಿದೆ. ನಿರ್ಣಯದ ಗುಣಾಂಕವು ಒಂದು ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಹಿಮ್ಮೆಟ್ಟುವಿಕೆಯಿಂದ ವಿವರಿಸಲಾದ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಅನುಪಾತವನ್ನು ಅಳೆಯುತ್ತಿದ್ದರೆ, ಮತ್ತು ಇನ್ನೊಂದರಲ್ಲಿ, ಈ ಅವಲಂಬಿತ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನಲ್ಲಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಅನುಪಾತವು ಹಿಂಜರಿತದಿಂದ ವಿವರಿಸಿದರೆ, ನಂತರ ಆಯ್ಕೆಯು ಕಷ್ಟವಿಲ್ಲದೆ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಎರಡು ಮಾದರಿಗಳಿಗೆ ಈ ಮೌಲ್ಯಗಳು ತುಂಬಾ ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿದ್ದಾಗ ಮತ್ತು ಆಯ್ಕೆಯ ಸಮಸ್ಯೆ ಗಮನಾರ್ಹವಾಗಿ ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣವಾದಾಗ ಇದು ಮತ್ತೊಂದು ವಿಷಯವಾಗಿದೆ.

ಬಾಕ್ಸ್-ಕಾಕ್ಸ್ ಪರೀಕ್ಷೆಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಧಾನವನ್ನು ನಂತರ ಅನ್ವಯಿಸಬೇಕು. ಅವಲಂಬಿತ ವೇರಿಯೇಬಲ್ನ ರೂಪಾಂತರದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪರಿಣಾಮಕಾರಿ ಅಂಶ ಮತ್ತು ಅದರ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನೀವು ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ಹೋಲಿಸಬೇಕಾದರೆ, ಜರೆಂಬ್ಕಾ ಪರೀಕ್ಷೆಯ ಆವೃತ್ತಿಯನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ವೀಕ್ಷಣಾ ಪ್ರಮಾಣದ Y ನ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ರೇಖೀಯ ಮತ್ತು ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಮಾದರಿಗಳಲ್ಲಿ ರೂಟ್ ಮೀನ್ ಸ್ಕ್ವೇರ್ ಎರರ್ (MSE) ಯ ನೇರ ಹೋಲಿಕೆಯನ್ನು ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ. ಅನುಗುಣವಾದ ಕಾರ್ಯವಿಧಾನವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಹಂತಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ:

ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿ Y ಮೌಲ್ಯಗಳ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಸರಾಸರಿಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು Y ನ ಲಾಗರಿಥಮ್ನ ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿ ಘಾತದೊಂದಿಗೆ ಸೇರಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ;

ಅವಲೋಕನಗಳು Y ಅನ್ನು ಮೊದಲ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಪಡೆದ ಮೌಲ್ಯದಿಂದ ಭಾಗಿಸುವ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಮರು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ;

ಮೂಲ Y ಮೌಲ್ಯಗಳ ಬದಲಿಗೆ ಸ್ಕೇಲ್ಡ್ Y ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ರೇಖೀಯ ಮಾದರಿಗೆ ಮತ್ತು ಸ್ಕೇಲ್ಡ್ Y ಮೌಲ್ಯಗಳ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ಬಳಸುವ ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಮಾದರಿಗೆ ಹಿಂಜರಿತವನ್ನು ಅಂದಾಜಿಸಲಾಗಿದೆ. ವರ್ಗದ ವಿಚಲನಗಳ ಸಣ್ಣ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಮಾದರಿಯು ಗಮನಿಸಿದ ಮೌಲ್ಯಗಳ ನಿಜವಾದ ಸಂಬಂಧಕ್ಕೆ ಉತ್ತಮವಾದ ಫಿಟ್ ಅನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ;

ಮಾದರಿಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಗಣನೀಯವಾಗಿ ಉತ್ತಮವಾದ ಫಿಟ್ ಅನ್ನು ಒದಗಿಸುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸಲು, ಒಬ್ಬರು ಅವಲೋಕನಗಳ ಅರ್ಧದಷ್ಟು ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಮತ್ತು ಮರು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ಹಿಂಜರಿತಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನದ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಅನುಪಾತದ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು, ಮತ್ತು ನಂತರ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು ಈ ಮೌಲ್ಯದ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯ.

30. ಅಂಶಗಳ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧ ಮತ್ತು ಮಲ್ಟಿಕಾಲಿನಿಯರಿಟಿಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು.

34. MNC ಯ ಮೂಲಭೂತ ಅಂಶಗಳು ಮತ್ತು ಅದರ ಅನ್ವಯದ ಸಿಂಧುತ್ವ.

ನಾವು ಈಗ OLS ನ ಮೂಲಭೂತ ಅಂಶಗಳಿಗೆ ತಿರುಗೋಣ, ಅದರ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್‌ನ ಸಿಂಧುತ್ವ (ಬಹು ರಿಗ್ರೆಶನ್ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ಸೇರಿದಂತೆ) ಮತ್ತು OLS ಬಳಸಿ ಪಡೆದ ಅಂದಾಜುಗಳ ಪ್ರಮುಖ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು. ರಿಗ್ರೆಶನ್ ಸಮೀಕರಣದ ಬಲಭಾಗದ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಅವಲಂಬನೆಯೊಂದಿಗೆ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪದವು ಪ್ರಮುಖ ಪಾತ್ರವನ್ನು ವಹಿಸುತ್ತದೆ ಎಂಬ ಅಂಶದೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾರಂಭಿಸೋಣ. ಈ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಘಟಕವು ಗಮನಿಸಲಾಗದ ಪ್ರಮಾಣವಾಗಿದೆ. ಸಾಮಿ ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳುಹಿಮ್ಮೆಟ್ಟುವಿಕೆಯ ನಿಯತಾಂಕಗಳು ಮತ್ತು ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧದ ಕ್ರಮಗಳು ಬಹು ಹಿಂಜರಿತದ ಈ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಘಟಕದ ವಿತರಣೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಪರೀಕ್ಷಿಸಲಾಗದ ಊಹೆಗಳನ್ನು ಆಧರಿಸಿವೆ. ಈ ಊಹೆಗಳು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಮಾತ್ರ. ರಿಗ್ರೆಷನ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿದ ನಂತರವೇ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅವಶೇಷಗಳ ಅಂದಾಜುಗಳು (ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಘಟಕದ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಸಾದೃಶ್ಯಗಳು) ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಪೂರ್ವಭಾವಿಯಾಗಿ ಊಹಿಸಲಾಗಿದೆಯೇ ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ, ಮಾದರಿ ನಿಯತಾಂಕಗಳನ್ನು ಅಂದಾಜಿಸಿದಾಗ, ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಗುಣಲಕ್ಷಣದ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಮತ್ತು ವಾಸ್ತವಿಕ ಮೌಲ್ಯಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳನ್ನು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಘಟಕವನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡಲು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣದ ಅಜ್ಞಾತ ಶೇಷದ ಮಾದರಿ ಅನುಷ್ಠಾನವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೆನಪಿನಲ್ಲಿಡುವುದು ಮುಖ್ಯ.

ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಿಂದ ಪಡೆದ ರಿಗ್ರೆಷನ್ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಸಂಬಂಧದ ಬಲದ ಮಾದರಿ ಅಂದಾಜುಗಳಾಗಿವೆ. ನಿಷ್ಪಕ್ಷಪಾತವಾಗಿದ್ದಾಗ ಮಾತ್ರ ಅವರಿಗೆ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಮಹತ್ವವಿದೆ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಶೇಷಗಳ ಸರಾಸರಿ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಥವಾ, ಇದು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದಾಜಿನ ಸರಾಸರಿಯು ಅಂದಾಜು ನಿಯತಾಂಕಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳೋಣ. ನಂತರ ಶೇಷಗಳು ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮಾದರಿ ಅಂದಾಜುಗಳ ಮೇಲೆ ಸಂಗ್ರಹವಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಮತ್ತು ಕಂಡುಬರುವ ರಿಗ್ರೆಷನ್ ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್ ಅನ್ನು ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪಕ್ಷಪಾತವಿಲ್ಲದ ಅಂದಾಜುಗಳ ಸರಾಸರಿ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು.

ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ, ಅಂದಾಜುಗಳು ಚಿಕ್ಕ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಹೊಂದಿರಬೇಕು, ಅಂದರೆ. ಪರಿಣಾಮಕಾರಿಯಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ನಂತರ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗದ ಪಾಯಿಂಟ್ ಅಂದಾಜುಗಳಿಂದ ಮಧ್ಯಂತರ ಅಂದಾಜುಗೆ ಚಲಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ನಿಯತಾಂಕದ ನಿಜವಾದ (ಅಜ್ಞಾತ) ಮೌಲ್ಯದಿಂದ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ದೂರದಲ್ಲಿ ಅಂದಾಜು ಪಡೆಯುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ಒಂದಕ್ಕೆ ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿದ್ದಾಗ ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹ ಮಧ್ಯಂತರಗಳು ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿವೆ. ಅಂತಹ ಅಂದಾಜುಗಳನ್ನು ಸ್ಥಿರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸ್ಥಿರತೆಯ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವ ಮಾದರಿ ಗಾತ್ರದೊಂದಿಗೆ ಅವುಗಳ ನಿಖರತೆಯ ಹೆಚ್ಚಳದಿಂದ ನಿರೂಪಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಆದಾಗ್ಯೂ, ಸ್ಥಿರತೆಯ ಸ್ಥಿತಿಯು ಸ್ವಯಂಚಾಲಿತವಾಗಿ ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವುದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಎರಡು ಪ್ರಮುಖ ಅವಶ್ಯಕತೆಗಳ ನೆರವೇರಿಕೆಯನ್ನು ಗಮನಾರ್ಹವಾಗಿ ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ. ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ಶೇಷಗಳು ಸ್ವತಃ ಹೆಚ್ಚು ಸ್ಪಷ್ಟವಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕತೆಯೊಂದಿಗೆ ಸ್ಥಾಪಿತವಾಗಿರಬೇಕು, ಅಂದರೆ. ಎಲ್ಲಾ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವ ಅವಲಂಬನೆಗಳನ್ನು ಬಹು ಹಿಂಜರಿತದ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಘಟಕದಲ್ಲಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಸೇರಿಸಬೇಕು ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ, ಅವಶೇಷಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ವಿಭಿನ್ನ ಮಾದರಿಗಳಿಗಾಗಿ ಪರಸ್ಪರ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ವಿತರಿಸಬೇಕು (ಉಳಿಕೆಗಳ ಸ್ವಯಂ ಸಂಬಂಧವಿಲ್ಲ). ಎರಡನೆಯದು, ಕಡಿಮೆ ಪ್ರಾಮುಖ್ಯತೆಯಿಲ್ಲದ ಅವಶ್ಯಕತೆಯೆಂದರೆ, ಪ್ರತಿ ವಿಚಲನದ (ಉಳಿದಿರುವ) ವ್ಯತ್ಯಾಸವು X ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಎಲ್ಲಾ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ (ಹೋಮೋಸ್ಸೆಡಾಸ್ಟಿಸಿಟಿ) ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಆ. ಸಲಿಂಗಕಾಮವು ಎಲ್ಲಾ ಅವಲೋಕನಗಳಿಗೆ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಸ್ಥಿರತೆಯಿಂದ ವ್ಯಕ್ತವಾಗುತ್ತದೆ:

ಇದಕ್ಕೆ ವ್ಯತಿರಿಕ್ತವಾಗಿ, ವಿಭಿನ್ನ ಅವಲೋಕನಗಳಿಗೆ ಭಿನ್ನಾಭಿಪ್ರಾಯದ ಅಂತಹ ಸ್ಥಿರತೆಯ ಉಲ್ಲಂಘನೆಯಾಗಿದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿನ ವಿಭಿನ್ನ ಅವಲೋಕನಗಳಿಗೆ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪದದ ವಿಭಿನ್ನ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ವಿತರಣೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಹೆಚ್ಚು ವಿಚಲನ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುವ ಒಂದು ಪ್ರಿಯರಿ (ವೀಕ್ಷಣೆಗಳ ಮೊದಲು) ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ತುಲನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಅವಶೇಷಗಳ ಸ್ವಯಂ-ಸಂಬಂಧ, ಅಥವಾ ಪ್ರಸ್ತುತ ಮತ್ತು ಹಿಂದಿನ (ನಂತರದ) ಅವಲೋಕನಗಳ ಅವಶೇಷಗಳ ನಡುವಿನ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧದ ಉಪಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ರೇಖೀಯ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧದ ಗುಣಾಂಕದ ಮೌಲ್ಯದಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ಶೂನ್ಯದಿಂದ ಗಮನಾರ್ಹವಾಗಿ ಭಿನ್ನವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅವಶೇಷಗಳು ಸ್ವಯಂ-ಸಂಬಂಧಿತವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ, ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಕಾರ್ಯ (ಉಳಿಕೆಗಳ ವಿತರಣೆ) ವೀಕ್ಷಣಾ ಬಿಂದು ಮತ್ತು ಇತರ ವೀಕ್ಷಣಾ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಉಳಿದ ಮೌಲ್ಯಗಳ ವಿತರಣೆಯ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಅಂಶ X ನಿಂದ ಅವಲೋಕನಗಳ ಆದೇಶವಿದ್ದರೆ ಲಭ್ಯವಿರುವ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅವಶೇಷಗಳ ಸ್ವಯಂ-ಸಂಬಂಧವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ. ಅವಶೇಷಗಳ ಸ್ವಯಂ-ಸಂಬಂಧದ ಅನುಪಸ್ಥಿತಿಯು ಹಿಂಜರಿತ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಅಂದಾಜುಗಳ ಸ್ಥಿರತೆ ಮತ್ತು ಪರಿಣಾಮಕಾರಿತ್ವವನ್ನು ಖಾತ್ರಿಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ.

35. ಹೋಮೋಸ್ಸೆಡಾಸ್ಟಿಸಿಟಿ ಮತ್ತು ಹೆಟೆರೊಸೆಡೆಸ್ಟಿಸಿಟಿ, ಅವಶೇಷಗಳ ಸ್ವಯಂ ಸಂಬಂಧ, ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಿದ ಕನಿಷ್ಠ ಚೌಕಗಳು (GLM).

OLS ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಹಿಂಜರಿತ ನಿಯತಾಂಕಗಳ ಸ್ಥಿರ ಅಂದಾಜುಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲು X ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ಗಳ ಎಲ್ಲಾ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಶೇಷಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳ ಸಮಾನತೆ ಅಥವಾ ಹೋಮೋಸ್ಸೆಡಾಸ್ಟಿಸಿಟಿ ಸಹ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಅವಶ್ಯಕವಾಗಿದೆ. ಹೋಮೋಸ್ಸೆಡಾಸ್ಟಿಸಿಟಿ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪೂರೈಸಲು ವಿಫಲವಾದರೆ ಹೆಟೆರೊಸೆಡೆಸ್ಟಿಸಿಟಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುತ್ತದೆ. ಇದು ಹಿಂಜರಿತ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಪಕ್ಷಪಾತದ ಅಂದಾಜುಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗಬಹುದು. ಹೆಟೆರೊಸೆಡೆಸ್ಟಿಸಿಟಿಯು ರಿಗ್ರೆಷನ್ ಗುಣಾಂಕದ ಅಂದಾಜಿನ ದಕ್ಷತೆಯ ಕಡಿತದ ಮೇಲೆ ಮುಖ್ಯವಾಗಿ ಪರಿಣಾಮ ಬೀರುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ರಿಗ್ರೆಷನ್ ಗುಣಾಂಕದ ಪ್ರಮಾಣಿತ ದೋಷಕ್ಕಾಗಿ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸುವುದು ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಕಷ್ಟಕರವಾಗುತ್ತದೆ, ಇದರ ಬಳಕೆಯು ಅಂಶದ ಯಾವುದೇ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಉಳಿಕೆಗಳ ಏಕರೂಪದ ಪ್ರಸರಣವನ್ನು ಊಹಿಸುತ್ತದೆ. ಹಿಂಜರಿತ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಅಂದಾಜುಗಳ ಪಕ್ಷಪಾತವಿಲ್ಲದಿರುವಿಕೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ, ಇದು ಪ್ರಾಥಮಿಕವಾಗಿ ಅವಶೇಷಗಳ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯ ಮತ್ತು ಅಂಶಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ.

ಸಮಂಜಸತೆಯನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸಲು ಸಾಕಷ್ಟು ಸ್ಪಷ್ಟವಾದ, ಕಠಿಣವಲ್ಲದ ಮತ್ತು ಕೌಶಲ್ಯ-ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಮಾರ್ಗವೆಂದರೆ ಸರಾಸರಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ (ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ) ಫಲಿತಾಂಶದ ಗುಣಲಕ್ಷಣ ಅಥವಾ ಅನುಗುಣವಾದ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧದ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಮೇಲೆ ಅವಶೇಷಗಳ ಅವಲಂಬನೆಯ ಸ್ವರೂಪವನ್ನು ಸಚಿತ್ರವಾಗಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವುದು. ಹೆಟೆರೊಸೆಡೆಸ್ಟಿಸಿಟಿಯನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ಮತ್ತು ನಿರ್ಣಯಿಸಲು ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ವಿಧಾನಗಳು ಹೆಚ್ಚು ಕಠಿಣವಾಗಿವೆ. ಹೆಟೆರೊಸೆಡೆಸ್ಟಿಸಿಟಿಯ ಗಮನಾರ್ಹ ಉಪಸ್ಥಿತಿ ಇದ್ದರೆ, OLS ಬದಲಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಿದ OLS (GLM) ಅನ್ನು ಬಳಸುವುದು ಸೂಕ್ತವಾಗಿದೆ.

OLS ನ ಬಳಕೆಯಿಂದ ಉಂಟಾಗುವ ಬಹು ಹಿಂಜರಿತದ ಅವಶ್ಯಕತೆಗಳ ಜೊತೆಗೆ, ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಲಾದ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಮೇಲಿನ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಅನುಸರಿಸುವುದು ಸಹ ಅಗತ್ಯವಾಗಿದೆ. ಇವುಗಳು, ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪ್ರಮಾಣದ ಅವಲೋಕನಗಳಿಗೆ (1 ರಿಂದ 7) ಮಾದರಿ ಅಂಶಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅವಶ್ಯಕತೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿವೆ. ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಹಿಂಜರಿತದ ನಿಯತಾಂಕಗಳು ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯವಾಗಿ ಅತ್ಯಲ್ಪವಾಗಿರುತ್ತವೆ. LSM ಅನ್ನು ಕಾರ್ಯಗತಗೊಳಿಸುವಾಗ ಅನುಗುಣವಾದ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವ ಪರಿಣಾಮಕಾರಿತ್ವದ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ, ಅವಲೋಕನಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಅಂದಾಜು ನಿಯತಾಂಕಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಮೀರುವುದು ಅವಶ್ಯಕ (ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ, ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಬಯಸಿದ ಸಂಖ್ಯೆಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಅಸ್ಥಿರ).

ಅಜ್ಞಾತ ನಿಯತಾಂಕಗಳನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡುವ ವಿಧಾನಗಳ ಗಮನಾರ್ಹ ಅಭಿವೃದ್ಧಿ ಮತ್ತು ಪರಿಗಣನೆಯಲ್ಲಿರುವ ಪರಿಣಾಮಗಳ ಸ್ಥಿರ ಪ್ರಾಮುಖ್ಯತೆಯನ್ನು ಗುರುತಿಸುವ ಮಾನದಂಡಗಳ ಸುಧಾರಣೆಯು ಅರ್ಥಶಾಸ್ತ್ರದ ಅತ್ಯಂತ ಮಹತ್ವದ ಸಾಧನೆಯಾಗಿದೆ. ಈ ನಿಟ್ಟಿನಲ್ಲಿ, ಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕ OLS ಅನ್ನು ಬಳಸುವ ಅಸಮರ್ಥತೆ ಅಥವಾ ಅಸಮರ್ಥತೆಯು ವಿಭಿನ್ನ ಹಂತಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರಕಟವಾದ ಹೆಟೆರೋಸ್ಕೆಡಾಸ್ಟಿಸಿಟಿಯು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಿದ OLS (GLM) ಅಭಿವೃದ್ಧಿಗೆ ಕಾರಣವಾಯಿತು. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಇದು ಮಾದರಿಯನ್ನು ಸರಿಹೊಂದಿಸುವುದು, ಅದರ ನಿರ್ದಿಷ್ಟತೆಯನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಹಿಂಜರಿತ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಪಕ್ಷಪಾತವಿಲ್ಲದ, ಪರಿಣಾಮಕಾರಿ ಮತ್ತು ಸ್ಥಿರವಾದ ಅಂದಾಜುಗಳನ್ನು ಖಚಿತಪಡಿಸಿಕೊಳ್ಳಲು ಮೂಲ ಡೇಟಾವನ್ನು ಪರಿವರ್ತಿಸುವುದನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ.

ಶೇಷಗಳ ಸರಾಸರಿ ಶೂನ್ಯವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸಲಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಅವುಗಳ ಪ್ರಸರಣವು ಇನ್ನು ಮುಂದೆ ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ K i ನ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಈ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಅನುಪಾತದ ಗುಣಾಂಕಗಳಾಗಿವೆ, ಅದು ವಿಭಿನ್ನ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಅಂಶ x. ಹೀಗಾಗಿ, ಈ ಗುಣಾಂಕಗಳು (K i ಮೌಲ್ಯಗಳು) ಪ್ರಸರಣದ ವೈವಿಧ್ಯತೆಯನ್ನು ನಿರೂಪಿಸುತ್ತವೆ. ಸ್ವಾಭಾವಿಕವಾಗಿ, ಈ ಅನುಪಾತದ ಗುಣಾಂಕಗಳಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಂಶವಾಗಿರುವ ಪ್ರಸರಣದ ಪ್ರಮಾಣವು ತಿಳಿದಿಲ್ಲ ಎಂದು ನಂಬಲಾಗಿದೆ.

ಮೂಲ ಮಾದರಿ, ಈ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಬಹು ಹಿಂಜರಿತ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿಚಯಿಸಿದ ನಂತರ, ಹೆಟೆರೊಸ್ಕೆಡಾಸ್ಟಿಕ್ ಆಗಿ ಉಳಿಯುತ್ತದೆ (ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾಗಿ, ಇವು ಮಾದರಿಯ ಉಳಿದ ಮೌಲ್ಯಗಳು). ಈ ಉಳಿಕೆಗಳು (ಉಳಿಕೆಗಳು) ಸ್ವಯಂ-ಸಂಬಂಧವಾಗದಿರಲಿ. I-th ವೀಕ್ಷಣೆಯ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ದಾಖಲಿಸಲಾದ ಆರಂಭಿಕ ಮಾದರಿ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಅನುಪಾತದ ಗುಣಾಂಕಗಳ ವರ್ಗಮೂಲದಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ ಪಡೆದ ಹೊಸ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸೋಣ K i . ನಂತರ ನಾವು ರೂಪಾಂತರಗೊಂಡ ಅಸ್ಥಿರಗಳಲ್ಲಿ ಹೊಸ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ, ಅದರಲ್ಲಿ ಶೇಷಗಳು ಹೋಮೋಸ್ಕೆಡಾಸ್ಟಿಕ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ. ಹೊಸ ಅಸ್ಥಿರಗಳು ಸ್ವತಃ ತೂಕದ ಹಳೆಯ (ಮೂಲ) ಅಸ್ಥಿರಗಳಾಗಿವೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ, ಹೋಮೋಸ್ಸೆಡಾಸ್ಟಿಕ್ ಅವಶೇಷಗಳೊಂದಿಗೆ ಈ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಪಡೆದ ಹೊಸ ಸಮೀಕರಣದ ನಿಯತಾಂಕಗಳ ಅಂದಾಜು ತೂಕದ ಕನಿಷ್ಠ ಚೌಕಗಳ ವಿಧಾನಕ್ಕೆ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ (ಮೂಲತಃ, ಇದು OLS ವಿಧಾನವಾಗಿದೆ). ರಿಗ್ರೆಶನ್ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಬದಲಿಗೆ ಬಳಸಿದಾಗ, ಸರಾಸರಿಗಳಿಂದ ಅವುಗಳ ವಿಚಲನಗಳು, ರಿಗ್ರೆಷನ್ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು ಸರಳ ಮತ್ತು ಪ್ರಮಾಣಿತ (ಏಕರೂಪ) ರೂಪವನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ, OLS ಮತ್ತು OLS ಗಳಿಗೆ ನ್ಯೂಮರೇಟರ್ ಮತ್ತು ಛೇದದಲ್ಲಿನ ತಿದ್ದುಪಡಿ ಅಂಶ 1/K ಮೂಲಕ ಸ್ವಲ್ಪ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಹಿಮ್ಮುಖ ಗುಣಾಂಕವನ್ನು ನೀಡುವ ಭಿನ್ನರಾಶಿ.

ರೂಪಾಂತರಗೊಂಡ (ಸರಿಹೊಂದಿಸಲಾದ) ಮಾದರಿಯ ನಿಯತಾಂಕಗಳು K i ಅನುಪಾತದ ಗುಣಾಂಕಗಳಿಗೆ ಯಾವ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಆಧಾರವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದರ ಮೇಲೆ ಗಮನಾರ್ಹವಾಗಿ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಮನಸ್ಸಿನಲ್ಲಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಬೇಕು. ಶೇಷಗಳು ಅಂಶ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಸರಳವಾಗಿ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ ಎಂದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಊಹಿಸಲಾಗಿದೆ. ದೋಷಗಳು ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಕೊನೆಯ ಅಂಶದ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ ಎಂಬ ಊಹೆಯನ್ನು ಒಪ್ಪಿಕೊಂಡಾಗ ಮಾದರಿಯು ಅದರ ಸರಳ ರೂಪವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತದೆ. ಮೂಲ ಮೂಲ ಅಸ್ಥಿರಗಳೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಮಾಣಿತ OLS ನ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗೆ ಹೋಲಿಸಿದರೆ ರಿಗ್ರೆಷನ್ ನಿಯತಾಂಕಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವಾಗ ರೂಪಾಂತರಗೊಂಡ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಸಣ್ಣ ಮೌಲ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ ಅವಲೋಕನಗಳ ತೂಕವನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸಲು OLS ಸಾಧ್ಯವಾಗಿಸುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ಈ ಹೊಸ ಅಸ್ಥಿರಗಳು ಈಗಾಗಲೇ ವಿಭಿನ್ನ ಆರ್ಥಿಕ ವಿಷಯವನ್ನು ಸ್ವೀಕರಿಸುತ್ತವೆ.

ಅಂಶದ ಗಾತ್ರಕ್ಕೆ ಶೇಷಗಳ ಅನುಪಾತದ ಬಗ್ಗೆ ಊಹೆಯು ನಿಜವಾದ ಆಧಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿರಬಹುದು. ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಾಕಷ್ಟು ಏಕರೂಪದ ಡೇಟಾವನ್ನು ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗೊಳಿಸಲಿ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ದೊಡ್ಡ ಮತ್ತು ಸಣ್ಣ ಉದ್ಯಮಗಳು ಸೇರಿದಂತೆ. ನಂತರ ಅಂಶದ ದೊಡ್ಡ ವಾಲ್ಯೂಮೆಟ್ರಿಕ್ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಫಲಿತಾಂಶದ ಗುಣಲಕ್ಷಣದ ದೊಡ್ಡ ಪ್ರಸರಣ ಮತ್ತು ಉಳಿದ ಮೌಲ್ಯಗಳ ದೊಡ್ಡ ಪ್ರಸರಣ ಎರಡಕ್ಕೂ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗಬಹುದು. ಇದಲ್ಲದೆ, OLS ನ ಬಳಕೆ ಮತ್ತು ಸಂಬಂಧಿತ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಪರಿವರ್ತನೆಯು ಅಂಶದ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ದೋಷ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ರಿಗ್ರೆಷನ್ ಮಾದರಿಗಳಲ್ಲಿ ಹೆಟೆರೋಸ್ಕೆಡಾಸ್ಟಿಸಿಟಿಯನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಮತ್ತು ಸರಿಪಡಿಸುವ ಸರಳವಾದ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು OLS ಬಳಕೆಯ ಮೂಲಕ ಅರಿತುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ.

ತೂಕದ OLS ರೂಪದಲ್ಲಿ OLS ಅನ್ನು ಕಾರ್ಯಗತಗೊಳಿಸಲು ಮೇಲಿನ ವಿಧಾನವು ಸಾಕಷ್ಟು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿದೆ - ಇದು ಸರಳವಾಗಿ ಅಳವಡಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಪಾರದರ್ಶಕ ಆರ್ಥಿಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಸಹಜವಾಗಿ, ಇದು ಅತ್ಯಂತ ಸಾಮಾನ್ಯವಾದ ವಿಧಾನವಲ್ಲ, ಮತ್ತು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಅರ್ಥಶಾಸ್ತ್ರದ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಆಧಾರವಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ, ನಮಗೆ OLS ಅನ್ನು ಕಾರ್ಯಗತಗೊಳಿಸುವ ಹೆಚ್ಚು ಕಠಿಣವಾದ ವಿಧಾನವನ್ನು ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯ ನೋಟ. ಅದರಲ್ಲಿ, ದೋಷ ವೆಕ್ಟರ್ (ಉಳಿದ ಕಾಲಮ್) ನ ಕೋವೇರಿಯನ್ಸ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ನೀವು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಬೇಕು. ಮತ್ತು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಇದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಅನ್ಯಾಯವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಈ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಅಸಾಧ್ಯ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಬದಲಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಸೂತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಅಂತಹ ಅಂದಾಜನ್ನು ಬಳಸಲು ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಹೇಗಾದರೂ ಅಂದಾಜು ಮಾಡುವುದು ಅವಶ್ಯಕ. ಹೀಗಾಗಿ, OMNC ಯ ಅನುಷ್ಠಾನದ ವಿವರಿಸಿದ ಆವೃತ್ತಿಯು ಅಂತಹ ಅಂದಾಜುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಪ್ರವೇಶಿಸಬಹುದಾದ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಿದ ಕನಿಷ್ಠ ಚೌಕಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

OLS ಅನ್ನು ಬಳಸುವಾಗ ನಿರ್ಣಯದ ಗುಣಾಂಕವು ಫಿಟ್‌ನ ಗುಣಮಟ್ಟದ ತೃಪ್ತಿದಾಯಕ ಅಳತೆಯಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಸಹ ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬೇಕು. OLS ಬಳಕೆಗೆ ಹಿಂತಿರುಗಿ, ಬಿಳಿ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನಗಳನ್ನು (ಸ್ಟ್ಯಾಂಡರ್ಡ್ ದೋಷಗಳು) ಬಳಸುವ ವಿಧಾನವು ಸಾಕಷ್ಟು ಸಾಮಾನ್ಯತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಗಮನಿಸುತ್ತೇವೆ (ಹೆಟೆರೊಸೆಡೆಸ್ಟಿಸಿಟಿಯ ಉಪಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿ ಸ್ಥಿರವಾದ ಪ್ರಮಾಣಿತ ದೋಷಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುತ್ತವೆ). ದೋಷ ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ಕೋವೇರಿಯನ್ಸ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಕರ್ಣೀಯವಾಗಿದ್ದರೆ ಈ ವಿಧಾನವು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ. ಅವಶೇಷಗಳ (ದೋಷಗಳು) ಸ್ವಯಂ-ಸಂಬಂಧವು ಇದ್ದರೆ, ಕೋವೇರಿಯನ್ಸ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಮುಖ್ಯ ಕರ್ಣೀಯದ ಹೊರಗೆ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಅಂಶಗಳು (ಗುಣಾಂಕಗಳು) ಇದ್ದಾಗ, ನೆವ್ ವೆಸ್ಟ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯ ಪ್ರಮಾಣಿತ ದೋಷ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಬೇಕು. ಗಮನಾರ್ಹವಾದ ಮಿತಿಯಿದೆ: ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಅಂಶಗಳು, ಮುಖ್ಯ ಕರ್ಣಕ್ಕೆ ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ, ಪಕ್ಕದ ಕರ್ಣಗಳಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಕಂಡುಬರುತ್ತವೆ, ಮುಖ್ಯ ಕರ್ಣದಿಂದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮೊತ್ತಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಅಂತರವಿಲ್ಲ.

ಮೇಲಿನಿಂದ ಇದು ಹೆಟೆರೋಸೆಡೆಸ್ಟಿಸಿಟಿಗಾಗಿ ಡೇಟಾವನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ. ಕೆಳಗಿನ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳು ಈ ಉದ್ದೇಶಕ್ಕಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತವೆ. ಅವರು ಪರ್ಯಾಯ ಊಹೆಯ ವಿರುದ್ಧ (ಈ ಊಹೆಗಳ ಅಸಮಾನತೆಯ ಬಗ್ಗೆ) ಶೇಷಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳ ಸಮಾನತೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಮುಖ್ಯ ಊಹೆಯನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸುತ್ತಾರೆ. ಇದರ ಜೊತೆಯಲ್ಲಿ, ಹೆಟೆರೋಸೆಡೆಸ್ಟಿಸಿಟಿಯ ಸ್ವರೂಪದ ಮೇಲೆ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ರಚನಾತ್ಮಕ ನಿರ್ಬಂಧಗಳಿವೆ. ಗೋಲ್ಡ್‌ಫೆಲ್ಡ್-ಕ್ವಾಂಡ್ಟ್ ಪರೀಕ್ಷೆಯು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ದೋಷದ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು (ಉಳಿದಿರುವ) ಕೆಲವು ಸ್ವತಂತ್ರ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನೇರವಾಗಿ ಅವಲಂಬಿಸಿದೆ ಎಂಬ ಊಹೆಯನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ. ಈ ಪರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಬಳಸುವ ಯೋಜನೆಯು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿರುತ್ತದೆ. ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ದತ್ತಾಂಶವನ್ನು ಸ್ವತಂತ್ರ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಅವರೋಹಣ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಕ್ರಮಗೊಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಹೆಟೆರೋಸೆಡೆಸ್ಟಿಸಿಟಿಯನ್ನು ಶಂಕಿಸಲಾಗಿದೆ. ಈ ಆದೇಶಿಸಿದ ಡೇಟಾ ಸೆಟ್ ನಂತರ ಸರಾಸರಿ ಕೆಲವು ಅವಲೋಕನಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ "ಕೆಲವು" ಪದವು ಸುಮಾರು ಕಾಲು (25%) ಒಟ್ಟು ಸಂಖ್ಯೆಎಲ್ಲಾ ಅವಲೋಕನಗಳು. ಮುಂದೆ, ಎರಡು ಸ್ವತಂತ್ರ ಹಿಂಜರಿತಗಳು ಉಳಿದಿರುವ (ನಿರ್ಮೂಲನೆಯ ನಂತರ) ಸರಾಸರಿ ಅವಲೋಕನಗಳಲ್ಲಿ ಮೊದಲನೆಯದರಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಈ ಉಳಿದ ಸರಾಸರಿ ಅವಲೋಕನಗಳ ಕೊನೆಯ ಎರಡು ಮೇಲೆ ನಡೆಸಲ್ಪಡುತ್ತವೆ. ಇದರ ನಂತರ, ಎರಡು ಅನುಗುಣವಾದ ಶೇಷಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲಾಗಿದೆ. ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ಫಿಶರ್ ಎಫ್ ಅಂಕಿಅಂಶವನ್ನು ಸಂಕಲಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅಧ್ಯಯನದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಊಹೆಯು ನಿಜವಾಗಿದ್ದರೆ, ಎಫ್ ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಸೂಕ್ತವಾದ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದ ಫಿಶರ್ ವಿತರಣೆಯಾಗಿದೆ. ನಂತರ ಈ ಅಂಕಿಅಂಶದ ದೊಡ್ಡ ಮೌಲ್ಯವು ಪರೀಕ್ಷಿಸಲ್ಪಡುವ ಊಹೆಯನ್ನು ತಿರಸ್ಕರಿಸಬೇಕು ಎಂದರ್ಥ. ಎಲಿಮಿನೇಷನ್ ಹಂತವಿಲ್ಲದೆ, ಈ ಪರೀಕ್ಷೆಯ ಶಕ್ತಿಯು ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ.

ಬ್ರೂಶ್-ಪ್ಯಾಗನ್ ಪರೀಕ್ಷೆಯು ಪೂರ್ವಭಾವಿಯಾಗಿರುವ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳು ಕೆಲವು ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಊಹಿಸಲಾಗಿದೆ. ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ಸಾಮಾನ್ಯ (ಪ್ರಮಾಣಿತ) ಹಿಂಜರಿತವನ್ನು ನಡೆಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅವಶೇಷಗಳ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಂತರ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಅಂದಾಜು ನಿರ್ಮಿಸಲಾಗಿದೆ. ಮುಂದೆ, ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ವ್ಯತ್ಯಾಸದಿಂದ (ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಅಂದಾಜು) ಭಾಗಿಸಿದ ಅವಶೇಷಗಳ ವರ್ಗದ ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ಹಿಂಜರಿತವನ್ನು ನಡೆಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅದಕ್ಕೆ (ರಿಗ್ರೆಶನ್), ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ವಿವರಿಸಿದ ಭಾಗವು ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ. ಮತ್ತು ಇದಕ್ಕಾಗಿ ವಿವರಿಸಿದ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಭಾಗವನ್ನು ಅರ್ಧದಷ್ಟು ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗಿದೆ, ಅಂಕಿಅಂಶಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲಾಗಿದೆ. ಶೂನ್ಯ ಕಲ್ಪನೆಯು ನಿಜವಾಗಿದ್ದರೆ (ಯಾವುದೇ ಹೆಟೆರೋಸ್ಕೆಡಾಸ್ಟಿಸಿಟಿ ನಿಜವಲ್ಲ), ಆಗ ಈ ಮೌಲ್ಯವು ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಹೀ-ಚದರ. ಪರೀಕ್ಷೆಯು ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ, ಹೆಟೆರೋಸ್ಕೆಡಾಸ್ಟಿಸಿಟಿಯನ್ನು ಬಹಿರಂಗಪಡಿಸಿದರೆ, ಮೂಲ ಮಾದರಿಯು ಅವಶೇಷಗಳ ವೆಕ್ಟರ್ನ ಘಟಕಗಳನ್ನು ಗಮನಿಸಿದ ಸ್ವತಂತ್ರ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ವೆಕ್ಟರ್ನ ಅನುಗುಣವಾದ ಘಟಕಗಳಿಂದ ಭಾಗಿಸುವ ಮೂಲಕ ರೂಪಾಂತರಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ.

36. ವೈಟ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನ ವಿಧಾನ.

ಕೆಳಗಿನ ತೀರ್ಮಾನಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಹೆಟೆರೋಸ್ಕೆಡಾಸ್ಟಿಸಿಟಿಯ ಉಪಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿ OLS ನ ಬಳಕೆಯು ತೂಕದ ವರ್ಗದ ವಿಚಲನಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲು ಬರುತ್ತದೆ. ಲಭ್ಯವಿರುವ OLS ನ ಬಳಕೆಯು ಅಂದಾಜು ನಿಯತಾಂಕಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಮೀರಿದ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವೀಕ್ಷಣೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದುವ ಅಗತ್ಯತೆಯೊಂದಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ. ದೋಷವು (ಉಳಿಕೆಗಳು) ಸ್ವತಂತ್ರ ವೇರಿಯಬಲ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಕ್ಕೆ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿದ್ದಾಗ ಮತ್ತು ಫಲಿತಾಂಶದ ಅಂದಾಜುಗಳು ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುವಾಗ OLS ಅನ್ನು ಬಳಸಲು ಅತ್ಯಂತ ಅನುಕೂಲಕರ ಸಂದರ್ಭವಾಗಿದೆ. ಅದೇನೇ ಇದ್ದರೂ, ಭಿನ್ನಾಭಿಪ್ರಾಯದ ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿ OLS ಅಲ್ಲ, ಆದರೆ ಪ್ರಮಾಣಿತ OLS ಅನ್ನು ಬಳಸುವುದು ಅಗತ್ಯವಿದ್ದರೆ, ಸ್ಥಿರವಾದ ಅಂದಾಜುಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲು, ವೈಟ್ ಅಥವಾ ನೆವಿಯರ್-ವೆಸ್ಟ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ ದೋಷ ಅಂದಾಜುಗಳನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು.

ಸಮಯದ ಸರಣಿಯನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸುವಾಗ, ಸಮಯದ ವಿವಿಧ ಹಂತಗಳಲ್ಲಿ ಅವಲೋಕನಗಳ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳ ಅವಲಂಬನೆಯನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದು ಅಗತ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧವಿಲ್ಲದ ದೋಷಗಳ ಊಹೆಯು ತೃಪ್ತಿ ಹೊಂದಿಲ್ಲ. ಪರಿಗಣಿಸೋಣ ಸರಳ ಮಾದರಿ, ಇದರಲ್ಲಿ ದೋಷಗಳು ಮೊದಲ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಸ್ವಯಂಪ್ರೇರಿತ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ದೋಷಗಳು ಸರಳ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತವೆ, ಅದರ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಪದವು ಶೂನ್ಯ ಸರಾಸರಿ ಮತ್ತು ಸ್ಥಿರ ವ್ಯತ್ಯಾಸದೊಂದಿಗೆ ಸ್ವತಂತ್ರ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ವಿತರಿಸಲಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿದೆ. ಎರಡನೆಯ ಪದವು ನಿಯತಾಂಕದ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ (ಆಟೋರೆಗ್ರೆಷನ್ ಗುಣಾಂಕ) ಮತ್ತು ಹಿಂದಿನ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಶೇಷಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳು. ದೋಷ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಅನುಕ್ರಮ (ಉಳಿಕೆಗಳು) ಸ್ವತಃ ಸ್ಥಾಯಿ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ. ಸ್ಥಾಯಿ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ಕಾಲಾನಂತರದಲ್ಲಿ ಅದರ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಸ್ಥಿರತೆಯಿಂದ ನಿರೂಪಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಸರಾಸರಿ ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ನಮಗೆ ಆಸಕ್ತಿಯ ಕೋವೇರಿಯನ್ಸ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ (ಅದರ ನಿಯಮಗಳು) ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್ನ ಅಧಿಕಾರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸುಲಭವಾಗಿ ಬರೆಯಬಹುದು.

ತಿಳಿದಿರುವ ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್‌ಗಾಗಿ ಆಟೋರೆಗ್ರೆಸಿವ್ ಮಾದರಿಯ ಅಂದಾಜು OLS ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಿರ್ವಹಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಸ್ಟ್ಯಾಂಡರ್ಡ್ ರಿಗ್ರೆಷನ್ ಮಾದರಿಯ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸುವ ದೋಷಗಳ ಮಾದರಿಗೆ ಸರಳ ರೂಪಾಂತರದ ಮೂಲಕ ಮೂಲ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಸರಳವಾಗಿ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲು ಸಾಕು. ಇದು ಬಹಳ ಅಪರೂಪ, ಆದರೆ ಇನ್ನೂ ಆಟೋರಿಗ್ರೆಷನ್ ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್ ತಿಳಿದಿರುವ ಪರಿಸ್ಥಿತಿ ಇದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಅಜ್ಞಾತ ಆಟೋರೆಗ್ರೆಸಿವ್ ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್‌ನೊಂದಿಗೆ ಅಂದಾಜು ಮಾಡುವುದು ಅವಶ್ಯಕ. ಅಂತಹ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನಕ್ಕಾಗಿ ಮೂರು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಬಳಸುವ ಕಾರ್ಯವಿಧಾನಗಳಿವೆ. ಕೊಕ್ರೇನ್-ಆರ್ಕಟ್ ವಿಧಾನ, ಹಿಲ್ಡ್ರೆತ್-ಲು ವಿಧಾನ ಮತ್ತು ಡರ್ಬಿನ್ ವಿಧಾನ.

ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ತೀರ್ಮಾನಗಳು ನಿಜ. ಸಮಯ ಸರಣಿಯ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಗೆ ಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕ OLS ನ ತಿದ್ದುಪಡಿ ಅಗತ್ಯವಿರುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ದೋಷಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧ ಹೊಂದಿವೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಈ ದೋಷಗಳು ಮೊದಲ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಸ್ಥಾಯಿ ಆಟೋರೆಗ್ರೆಸಿವ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ. ಫಸ್ಟ್-ಆರ್ಡರ್ ಆಟೋರೆಗ್ರೆಶನ್‌ಗಾಗಿ OLS ಅಂದಾಜುಗಾರರು ಪಕ್ಷಪಾತವಿಲ್ಲದ, ಸ್ಥಿರವಾದ, ಆದರೆ ನಿಷ್ಪರಿಣಾಮಕಾರಿಯಾಗಿರುತ್ತಾರೆ. ತಿಳಿದಿರುವ ಆಟೋರಿಗ್ರೆಶನ್ ಗುಣಾಂಕದೊಂದಿಗೆ, OLS ಮೂಲ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಸರಳ ರೂಪಾಂತರಗಳಿಗೆ (ತಿದ್ದುಪಡಿಗಳು) ಮತ್ತು ನಂತರ ಪ್ರಮಾಣಿತ OLS ನ ಅನ್ವಯಕ್ಕೆ ತಗ್ಗಿಸುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಸಂಭವಿಸಿದಂತೆ, ಆಟೋರೆಗ್ರೆಸಿವ್ ಗುಣಾಂಕವು ತಿಳಿದಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, OLS ಗೆ ಹಲವಾರು ಕಾರ್ಯವಿಧಾನಗಳು ಲಭ್ಯವಿವೆ, ಇದು ಅಜ್ಞಾತ ನಿಯತಾಂಕವನ್ನು (ಗುಣಾಂಕ) ಅಂದಾಜು ಮಾಡುವುದನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ, ಅದರ ನಂತರ ತಿಳಿದಿರುವ ಹಿಂದಿನ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಅದೇ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಿಯತಾಂಕ.

37. ಬ್ರೂಶ್-ಪ್ಯಾಗನ್ ಪರೀಕ್ಷೆಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆ, ಗೋಲ್ಡ್‌ಫೆಲ್ಡ್ಟ್-ಕ್ವಾಂಡ್ಟ್ ಪರೀಕ್ಷೆ

ಮೂಲ ಡೇಟಾದ ಅಂದಾಜಿನ ಕೆಲವು ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವಾಗ ಅಂದಾಜು ದೋಷವು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಉದ್ಭವಿಸುವ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ. ವಿವಿಧ ರೀತಿಯ ಅಂದಾಜು ದೋಷಗಳಿವೆ:

ಮೂಲ ಡೇಟಾ ದೋಷಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ದೋಷಗಳು;

ಅಂದಾಜು ಮಾಡೆಲ್ ಮತ್ತು ಅಂದಾಜು ಡೇಟಾದ ರಚನೆಯ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸದೊಂದಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ದೋಷಗಳು.

ಎಕ್ಸೆಲ್ ಡೇಟಾ ಸಂಸ್ಕರಣೆ ಮತ್ತು ಅತ್ಯಾಧುನಿಕ ಗಣಿತವನ್ನು ಬಳಸುವ ಅಂದಾಜುಗಳಿಗಾಗಿ ಉತ್ತಮವಾಗಿ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿದ ಲೀನಿಯರ್ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಅದರ ಬಗ್ಗೆ ಒಂದು ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಲು, ನಾವು ಈ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಯ ವಿವರಣಾತ್ಮಕ ಭಾಗಕ್ಕೆ (F1 ಮೂಲಕ) ತಿರುಗೋಣ, ನಾವು ಸಂಕ್ಷೇಪಣಗಳು ಮತ್ತು ಸಂಕೇತಗಳಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ಬದಲಾವಣೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಲಭ್ಯವಿರುವ ಡೇಟಾಗೆ ಉತ್ತಮವಾಗಿ ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳುವ ಸರಳ ರೇಖೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಕನಿಷ್ಠ ಚೌಕಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸರಣಿಯ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಕಾರ್ಯವು ಫಲಿತಾಂಶದ ಸಾಲನ್ನು ವಿವರಿಸುವ ಒಂದು ಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು ಹಿಂದಿರುಗಿಸುತ್ತದೆ. ಮೌಲ್ಯಗಳ ಒಂದು ಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು ಹಿಂತಿರುಗಿಸಿದ ಕಾರಣ, ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಅರೇ ಸೂತ್ರದಂತೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಬೇಕು.

ನೇರ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣವು ಹೀಗಿದೆ:

y=a+b1*x1+b2*x2+...bn*xn

ವಾಕ್ಯ ರಚನೆ:

LINEST(y;x;const;statistics)

ಅರೇ y - ತಿಳಿದಿರುವ ಮೌಲ್ಯಗಳುವೈ.

ಅರೇ x - x ನ ತಿಳಿದಿರುವ ಮೌಲ್ಯಗಳು. x ಅರೇಯು ಒಂದು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಿನ ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ಗಳ ಸೆಟ್‌ಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರಬಹುದು.

ಕಾನ್ಸ್ಟ್ ಆಗಿದೆ ಬೂಲಿಯನ್ ಮೌಲ್ಯ, ಇದು ನಕಲಿ ಪದವು 0 ಗೆ ಸಮನಾಗಿರಬೇಕು ಎಂಬುದನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸುತ್ತದೆ.

const ವಾದವು ನಿಜವಾಗಿದ್ದರೆ, 1, ಅಥವಾ ಬಿಟ್ಟುಬಿಡಲಾಗಿದೆ, ಆಗ a ಅನ್ನು ಎಂದಿನಂತೆ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. const ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್ FALSE ಅಥವಾ 0 ಆಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ a ಅನ್ನು 0 ಗೆ ಹೊಂದಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಅಂಕಿಅಂಶಗಳು ಬೂಲಿಯನ್ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದ್ದು ಅದು ಹೆಚ್ಚುವರಿ ರಿಗ್ರೆಶನ್ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳನ್ನು ಹಿಂತಿರುಗಿಸಬೇಕೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಅಂಕಿಅಂಶದ ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್ ಸರಿ ಅಥವಾ 1 ಆಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ LINEST ಹೆಚ್ಚುವರಿ ರಿಗ್ರೆಶನ್ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳನ್ನು ಹಿಂತಿರುಗಿಸುತ್ತದೆ. ಅಂಕಿಅಂಶಗಳು ತಪ್ಪಾಗಿದ್ದರೆ, 0 ಅಥವಾ ಬಿಟ್ಟುಬಿಟ್ಟರೆ, ನಂತರ LINEST ಗುಣಾಂಕಗಳು ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಬಂಧವನ್ನು ಮಾತ್ರ ಹಿಂತಿರುಗಿಸುತ್ತದೆ.

ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಹಿಂಜರಿತ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳು:

se1,se2,...,sen - ಗುಣಾಂಕಗಳಿಗೆ ಪ್ರಮಾಣಿತ ದೋಷ ಮೌಲ್ಯಗಳು b1,b2,...,bn.

ಸಮುದ್ರ - ಸ್ಥಿರ a ಗಾಗಿ ಪ್ರಮಾಣಿತ ದೋಷ ಮೌಲ್ಯ (ಸಮುದ್ರ = #N/A const ತಪ್ಪಾಗಿದ್ದರೆ).

r2 ನಿರ್ಣಾಯಕತೆಯ ಗುಣಾಂಕವಾಗಿದೆ. y ನ ನಿಜವಾದ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಪಡೆದ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹೋಲಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ; ಹೋಲಿಕೆಯ ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ, ನಿರ್ಣಾಯಕತೆಯ ಗುಣಾಂಕವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ, 0 ರಿಂದ 1 ರವರೆಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅದು 1 ಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಮಾದರಿಯೊಂದಿಗೆ ಸಂಪೂರ್ಣ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧವಿದೆ, ಅಂದರೆ. y ನ ನಿಜವಾದ ಮತ್ತು ಅಂದಾಜು ಮೌಲ್ಯಗಳ ನಡುವೆ ಯಾವುದೇ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಿಲ್ಲ. ವಿರುದ್ಧವಾದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ನಿರ್ಣಯದ ಗುಣಾಂಕವು 0 ಆಗಿದ್ದರೆ, y ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಊಹಿಸಲು ಹಿಂಜರಿತ ಸಮೀಕರಣವು ವಿಫಲವಾಗಿದೆ. r2 ಅನ್ನು ಹೇಗೆ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದರ ಕುರಿತು ಮಾಹಿತಿಗಾಗಿ, ಈ ವಿಭಾಗದ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ "ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು" ನೋಡಿ.

y ಅನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡಲು sey ಪ್ರಮಾಣಿತ ದೋಷವಾಗಿದೆ.

ಎಫ್-ಸ್ಟಾಟಿಸ್ಟಿಕ್, ಅಥವಾ ಎಫ್-ವೀಕ್ಷಿಸಿದ ಮೌಲ್ಯ. ಅವಲಂಬಿತ ಮತ್ತು ಸ್ವತಂತ್ರ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ನಡುವಿನ ಗಮನಿಸಿದ ಸಂಬಂಧವು ಅವಕಾಶದಿಂದಾಗಿ ಅಥವಾ ಇಲ್ಲವೇ ಎಂಬುದನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಎಫ್-ಅಂಕಿಅಂಶವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

df - ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದ ಡಿಗ್ರಿ. ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿ ಎಫ್-ನಿರ್ಣಾಯಕ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದ ಡಿಗ್ರಿಗಳು ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿವೆ. ಮಾದರಿಯ ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹತೆಯ ಮಟ್ಟವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು, ನೀವು ಟೇಬಲ್‌ನಲ್ಲಿನ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು LINEST ಕಾರ್ಯದಿಂದ ಹಿಂತಿರುಗಿಸಿದ F- ಅಂಕಿಅಂಶದೊಂದಿಗೆ ಹೋಲಿಸಿ.

ssreg ಎಂಬುದು ಚೌಕಗಳ ಹಿಂಜರಿತದ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ.

ssresid ಎಂಬುದು ಚೌಕಗಳ ಉಳಿದ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ.

ಕೆಳಗಿನ ಚಿತ್ರವು ಹೆಚ್ಚುವರಿ ರಿಗ್ರೆಶನ್ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳನ್ನು ಹಿಂದಿರುಗಿಸುವ ಕ್ರಮವನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ.

ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು

ಕಾರ್ಯದಿಂದ ಆಯ್ದ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು INDEX ಫಂಕ್ಷನ್ ಮೂಲಕ ಪಡೆಯಬಹುದು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ:

Y-ಇಂಟರ್ಸೆಪ್ಟ್ (ಉಚಿತ ಪದ):

ಸೂಚ್ಯಂಕ(LINEST(y,x),2)

LINEST ಫಂಕ್ಷನ್‌ನಿಂದ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲಾದ ನೇರ ರೇಖೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅಂದಾಜಿನ ನಿಖರತೆಯು ಡೇಟಾ ಸ್ಕ್ಯಾಟರ್‌ನ ಮಟ್ಟವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ. ಡೇಟಾವು ನೇರ ರೇಖೆಗೆ ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿದೆ, LINEST ಕಾರ್ಯದಿಂದ ಬಳಸಲಾಗುವ ಮಾದರಿಯು ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಡೇಟಾಗೆ ಉತ್ತಮವಾದ ಫಿಟ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು LINEST ಕಾರ್ಯವು ಕನಿಷ್ಠ ಚೌಕಗಳನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ.

ರಿಗ್ರೆಷನ್ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯನ್ನು ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ, ಮೈಕ್ರೋಸಾಫ್ಟ್ ಎಕ್ಸೆಲ್ಪ್ರತಿ ಬಿಂದುವಿಗೆ ಊಹಿಸಲಾದ y ಮೌಲ್ಯ ಮತ್ತು ನಿಜವಾದ y ಮೌಲ್ಯದ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ವರ್ಗವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಈ ವರ್ಗ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ವರ್ಗಗಳ ಉಳಿದ ಮೊತ್ತ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮೈಕ್ರೋಸಾಫ್ಟ್ ಎಕ್ಸೆಲ್ ನಂತರ ನಿಜವಾದ y ಮೌಲ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಸರಾಸರಿ y ಮೌಲ್ಯದ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳ ವರ್ಗಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಚೌಕಗಳ ಒಟ್ಟು ಮೊತ್ತ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ (ಚೌಕಗಳ ಹಿಂಜರಿತ ಮೊತ್ತ + ವರ್ಗಗಳ ಉಳಿದ ಮೊತ್ತ). ಚೌಕಗಳ ಒಟ್ಟು ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಹೋಲಿಸಿದರೆ ಚೌಕಗಳ ಉಳಿದ ಮೊತ್ತವು ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದೆ, ನಿರ್ಣಯದ ಗುಣಾಂಕದ ಮೌಲ್ಯವು ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ r2, ಇದು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪಡೆದ ಸಮೀಕರಣವು ಎಷ್ಟು ಉತ್ತಮವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ ಹಿಂಜರಿತ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ, ಅಸ್ಥಿರಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ.

ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು ಬಳಸಿದ y ಮೌಲ್ಯಗಳ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯಿಂದ ಹೊರಗಿದ್ದರೆ ಹಿಂಜರಿತ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಊಹಿಸಲಾದ y ಮೌಲ್ಯಗಳು ಸರಿಯಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ.

ಉದಾಹರಣೆ 1 ಇಳಿಜಾರು ಮತ್ತು Y-ಇಂಟರ್ಸೆಪ್ಟ್

LINEST((1;9;5;7);(0;4;2;3)) ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ (2;1), ಇಳಿಜಾರು = 2 ಮತ್ತು y-ಇಂಟರ್ಸೆಪ್ಟ್ = 1.

F ಮತ್ತು R2 ಅಂಕಿಅಂಶಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದು

ಹೆಚ್ಚಿನ r2 ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಫಲಿತಾಂಶವು ಅವಕಾಶದಿಂದ ಬಂದಿದೆಯೇ ಎಂದು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ನೀವು F ಅಂಕಿಅಂಶವನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. ಎಫ್-ಅಬ್ಸರ್ವ್ಡ್ ಎಫ್-ಕ್ರಿಟಿಕಲ್ ಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿದ್ದರೆ, ಅಸ್ಥಿರಗಳ ನಡುವೆ ಸಂಬಂಧವಿರುತ್ತದೆ. ಗಣಿತದ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳ ಯಾವುದೇ ಉಲ್ಲೇಖ ಪುಸ್ತಕದಲ್ಲಿ ಎಫ್-ಕ್ರಿಟಿಕಲ್ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಕೋಷ್ಟಕದಿಂದ ಎಫ್-ಕ್ರಿಟಿಕಲ್ ಅನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು. ಒಂದು ಬಾಲದ ಪರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಈ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ಆಲ್ಫಾದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿಸಿ (ಬಲವಾದ ಸಂಬಂಧವಿದೆ ಎಂದು ತಪ್ಪಾಗಿ ತೀರ್ಮಾನಿಸುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸಲು ಆಲ್ಫಾದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ) 0.05 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದ ಡಿಗ್ರಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ( ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ v1 ಮತ್ತು v2 ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ), ನಾವು v1 = k = 4 ಮತ್ತು v2 = n - (k + 1) = 11 - (4 + 1) = 6 ಅನ್ನು ಇಡೋಣ, ಇಲ್ಲಿ k ಎಂಬುದು ಅಸ್ಥಿರ ಸಂಖ್ಯೆ ಮತ್ತು n ಎಂಬುದು ಡೇಟಾ ಬಿಂದುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ . ಉಲ್ಲೇಖ ಕೋಷ್ಟಕದಿಂದ, ಎಫ್-ಕ್ರಿಟಿಕಲ್ 4.53 ಆಗಿದೆ. ಗಮನಿಸಿದ ಎಫ್-ಮೌಲ್ಯವು 459.753674 ಆಗಿದೆ (ನಾವು ಬಿಟ್ಟುಬಿಟ್ಟ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ಈ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗಿದೆ), ಇದು ಗಮನಾರ್ಹವಾಗಿ ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ ಎಫ್-ನಿರ್ಣಾಯಕ ಮೌಲ್ಯ 4.53. ಆದ್ದರಿಂದ, ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಹಿಂಜರಿತ ಸಮೀಕರಣಅಪೇಕ್ಷಿತ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಊಹಿಸಲು ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ.

ನಿರ್ಮಿಸಿದ ಇಕೊನೊಮೆಟ್ರಿಕ್‌ನ ಗುಣಮಟ್ಟದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನಕ್ಕಾಗಿ, ನಿರ್ಣಯದ ಗುಣಾಂಕ, ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧ ಸೂಚ್ಯಂಕ, ಸರಾಸರಿಯಂತಹ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಸಂಬಂಧಿತ ದೋಷಅಂದಾಜು, ಮತ್ತು ಬಳಸಿ ರಿಗ್ರೆಷನ್ ಸಮೀಕರಣದ ಮಹತ್ವವನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸುತ್ತದೆ ಎಫ್- ಮೀನುಗಾರರ ಮಾನದಂಡ. ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಲಾದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಸಾಕಷ್ಟು ಸಾರ್ವತ್ರಿಕವಾಗಿವೆ ಮತ್ತು ರೇಖೀಯ ಮತ್ತು ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಮಾದರಿಗಳಿಗೆ, ಹಾಗೆಯೇ ಎರಡು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಿನ ಅಂಶದ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಮಾದರಿಗಳಿಗೆ ಬಳಸಬಹುದು. ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಲಾದ ಎಲ್ಲಾ ಗುಣಮಟ್ಟದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವಲ್ಲಿ ಹಲವಾರು ಅವಶೇಷಗಳು ನಿರ್ಣಾಯಕ ಪಾತ್ರವನ್ನು ವಹಿಸುತ್ತವೆ ε i, ಇದನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತಿರುವ ಗುಣಲಕ್ಷಣದ ನೈಜ (ಅವಲೋಕನಗಳಿಂದ ಪಡೆದ) ಮೌಲ್ಯಗಳಿಂದ ಕಳೆಯುವ ಮೂಲಕ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ ವೈ ಐಮಾದರಿ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ ವೈ RI.

ನಿರ್ಣಯ ಗುಣಾಂಕ

ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲಾದ ಗುಣಲಕ್ಷಣದಲ್ಲಿನ ಬದಲಾವಣೆಯ ಯಾವ ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿ ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಫ್ಯಾಕ್ಟರ್ ವೇರಿಯಬಲ್‌ಗಳನ್ನು ಸಂಪರ್ಕಿಸುವ ಆಯ್ದ ಪ್ರಕಾರದ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಲಾದ ಫ್ಯಾಕ್ಟರ್ ವೇರಿಯಬಲ್‌ಗಳಲ್ಲಿನ ಬದಲಾವಣೆಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲಾದ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನಲ್ಲಿನ ಬದಲಾವಣೆಯ ಯಾವ ಭಾಗವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಬಹುದು ಎಂಬುದನ್ನು ನಿರ್ಣಯದ ಗುಣಾಂಕ ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಮಾದರಿ ಸಮೀಕರಣ.

ನಿರ್ಣಯ ಗುಣಾಂಕ ಆರ್ 2 0 ರಿಂದ 1 ರವರೆಗಿನ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ನಿರ್ಣಯದ ಗುಣಾಂಕವು ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿದೆ ಆರ್ 2ಒಬ್ಬರಿಗೆ, ದಿ ಉತ್ತಮ ಗುಣಮಟ್ಟಮಾದರಿಗಳು.

ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧ ಸೂಚ್ಯಂಕ ನಿರ್ಣಯದ ಗುಣಾಂಕವನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಂಡು ಸುಲಭವಾಗಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಬಹುದು:

ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧ ಸೂಚ್ಯಂಕ ಆರ್ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿ ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡ ಅಂಶಗಳು ಮತ್ತು ಅಧ್ಯಯನದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ವೇರಿಯಬಲ್ ನಡುವೆ ಮಾದರಿಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವಾಗ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲಾದ ಸಂಪರ್ಕದ ಪ್ರಕಾರದ ನಿಕಟತೆಯನ್ನು ನಿರೂಪಿಸುತ್ತದೆ. ರೇಖೀಯ ಜೋಡಿ ಹಿಂಜರಿತದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಅದರ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯವು ಜೋಡಿ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧ ಗುಣಾಂಕದೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ ಆರ್(x, y), ನಾವು ಮೊದಲೇ ಪರಿಶೀಲಿಸಿದ್ದೇವೆ ಮತ್ತು ನಡುವಿನ ರೇಖೀಯ ಸಂಬಂಧದ ನಿಕಟತೆಯನ್ನು ನಿರೂಪಿಸುತ್ತದೆ Xಮತ್ತು ವೈ. ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧ ಸೂಚ್ಯಂಕದ ಮೌಲ್ಯಗಳು, ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, 0 ರಿಂದ 1 ರ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ. ಮೌಲ್ಯವು ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿದೆ ಆರ್ಏಕತೆಗೆ, ಆಯ್ದ ಪ್ರಕಾರದ ಕಾರ್ಯವು ಫ್ಯಾಕ್ಟರ್ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಅಧ್ಯಯನದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ನಿಕಟವಾಗಿ ಸಂಪರ್ಕಿಸುತ್ತದೆ, ಮಾದರಿಯ ಗುಣಮಟ್ಟ ಉತ್ತಮವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

(2.11)

ಶೇಕಡಾವಾರು ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಮಾದರಿಯ ನಿಖರತೆಯನ್ನು ನಿರೂಪಿಸುತ್ತದೆ. ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ ಮಾದರಿಯ ಸ್ವೀಕಾರಾರ್ಹ ನಿಖರತೆಯನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ಆರ್ಥಿಕ ಕಾರ್ಯಸಾಧ್ಯತೆಯ ಪರಿಗಣನೆಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ನಿರ್ಧರಿಸಬಹುದು. ವ್ಯಾಪಕವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುವ ಮಾನದಂಡವೆಂದರೆ ಸರಾಸರಿ ಸಾಪೇಕ್ಷ ದೋಷವು 15% ಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿದ್ದರೆ ನಿಖರತೆಯನ್ನು ತೃಪ್ತಿಕರವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಒಂದು ವೇಳೆ ಸರಾಸರಿ. 5% ಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ, ನಂತರ ಮಾದರಿಯು ಹೆಚ್ಚಿನ ನಿಖರತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಮತ್ತು ಮುನ್ಸೂಚನೆಗಾಗಿ ಅತೃಪ್ತಿಕರ ನಿಖರತೆಯೊಂದಿಗೆ ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ಬಳಸಲು ಶಿಫಾರಸು ಮಾಡುವುದಿಲ್ಲ, ಅಂದರೆ, ಯಾವಾಗ ಸರಾಸರಿ. 15% ಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು.

ಫಿಶರ್ಸ್ ಎಫ್ ಪರೀಕ್ಷೆ ರಿಗ್ರೆಶನ್ ಸಮೀಕರಣದ ಮಹತ್ವವನ್ನು ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. F- ಮಾನದಂಡದ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಸಂಬಂಧದಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

. (2.12)

ನಿರ್ಣಾಯಕ ಮೌಲ್ಯ ಎಫ್- ಮಾನದಂಡವನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪ್ರಾಮುಖ್ಯತೆಯ ಮಟ್ಟ α ಮತ್ತು ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದ ಡಿಗ್ರಿಗಳಲ್ಲಿ ಕೋಷ್ಟಕಗಳಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ (ನೀವು ಎಕ್ಸೆಲ್‌ನಲ್ಲಿ FRIST ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು). ಇಲ್ಲಿ, ಮೊದಲಿನಂತೆ, ಮೀ- ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿ ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡ ಅಂಶಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ, ಎನ್- ಅವಲೋಕನಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ. ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ಮೌಲ್ಯವು ನಿರ್ಣಾಯಕ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಮಾದರಿ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಗಮನಾರ್ಹವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚಿನ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ಮೌಲ್ಯ ಎಫ್- ಮಾನದಂಡ, ಮಾದರಿಯ ಗುಣಮಟ್ಟ ಉತ್ತಮವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ನಾವು ನಿರ್ಮಿಸಿದ ರೇಖೀಯ ಮಾದರಿಯ ಗುಣಮಟ್ಟದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ನಾವು ನಿರ್ಧರಿಸೋಣ ಉದಾಹರಣೆ 1. ಟೇಬಲ್ 2 ರಿಂದ ಡೇಟಾವನ್ನು ಬಳಸೋಣ. ನಿರ್ಣಯ ಗುಣಾಂಕ:

ಆದ್ದರಿಂದ, ರೇಖೀಯ ಮಾದರಿಯ ಚೌಕಟ್ಟಿನೊಳಗೆ, 90.1% ನಷ್ಟು ಮಾರಾಟದ ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿ ಬದಲಾವಣೆಯು ಗಾಳಿಯ ಉಷ್ಣಾಂಶದಲ್ಲಿನ ಬದಲಾವಣೆಗಳಿಂದ ವಿವರಿಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆ.

ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧ ಸೂಚ್ಯಂಕ

.

ಜೋಡಿಯಾಗಿರುವ ರೇಖೀಯ ಮಾದರಿಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧ ಸೂಚ್ಯಂಕದ ಮೌಲ್ಯ, ನಾವು ನೋಡುವಂತೆ, ಅನುಗುಣವಾದ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ನಡುವಿನ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧ ಗುಣಾಂಕಕ್ಕೆ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯದಲ್ಲಿ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಮಾರಾಟದ ಪ್ರಮಾಣ ಮತ್ತು ತಾಪಮಾನ). ಪಡೆದ ಮೌಲ್ಯವು ಏಕತೆಗೆ ಹತ್ತಿರವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಅಧ್ಯಯನದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ವೇರಿಯೇಬಲ್ (ಮಾರಾಟದ ಪ್ರಮಾಣ) ಮತ್ತು ಫ್ಯಾಕ್ಟರ್ ವೇರಿಯಬಲ್ (ತಾಪಮಾನ) ನಡುವೆ ನಿಕಟ ರೇಖೀಯ ಸಂಬಂಧವಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ತೀರ್ಮಾನಿಸಬಹುದು.

ಫಿಶರ್ಸ್ ಎಫ್ ಪರೀಕ್ಷೆ

ನಿರ್ಣಾಯಕ ಮೌಲ್ಯ ಎಫ್ ಸಿಆರ್α = 0.1 ನಲ್ಲಿ; ν 1 =1; ν 2 =7-1-1=5 4.06 ಆಗಿದೆ. ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ಮೌಲ್ಯ ಎಫ್- ಮಾನದಂಡವು ಕೋಷ್ಟಕಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಮಾದರಿ ಸಮೀಕರಣವು ಗಮನಾರ್ಹವಾಗಿದೆ.

ಅಂದಾಜಿನ ಸರಾಸರಿ ಸಾಪೇಕ್ಷ ದೋಷ

ನಿರ್ಮಿಸಲಾದ ಲೀನಿಯರ್ ಪೇರ್ಡ್ ರಿಗ್ರೆಷನ್ ಮಾದರಿಯು ಅತೃಪ್ತಿಕರ ನಿಖರತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ (>15%) ಮತ್ತು ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಮತ್ತು ಮುನ್ಸೂಚನೆಗಾಗಿ ಬಳಸಲು ಶಿಫಾರಸು ಮಾಡುವುದಿಲ್ಲ.

ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಹೆಚ್ಚಿನ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಅವುಗಳಿಗೆ ಮಾನದಂಡಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತವೆ ಎಂಬ ಅಂಶದ ಹೊರತಾಗಿಯೂ, ರೇಖೀಯ ಜೋಡಿಯಾಗಿ ಹಿಂಜರಿತ ಮಾದರಿಯು ಗಾಳಿಯ ಉಷ್ಣತೆಯನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ ಮಾರಾಟದ ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು ಊಹಿಸಲು ಸೂಕ್ತವಲ್ಲ. ವೀಕ್ಷಣಾ ಮಾಹಿತಿಯ ಪ್ರಕಾರ ಈ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧದ ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸ್ವಭಾವವು ಅಂಜೂರ 1 ರಲ್ಲಿ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಗೋಚರಿಸುತ್ತದೆ. ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಇದನ್ನು ದೃಢಪಡಿಸಿದೆ.

MS ಎಕ್ಸೆಲ್ ಸ್ಪ್ರೆಡ್‌ಶೀಟ್ ಪ್ರೊಸೆಸರ್‌ನ "ಡೇಟಾ ಅನಾಲಿಸಿಸ್" ಆಡ್-ಇನ್‌ನ "ರಿಗ್ರೆಶನ್" ಟೂಲ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಾವು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ರಿಗ್ರೆಷನ್ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು b 0, b 1 ಅನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿರುತ್ತದೆ.

1. MS ಎಕ್ಸೆಲ್ ಸ್ಪ್ರೆಡ್‌ಶೀಟ್ ಪ್ರೊಸೆಸರ್‌ಗೆ ಆರಂಭಿಕ ಡೇಟಾವನ್ನು ನಮೂದಿಸಿ.

2. ಡೇಟಾ ಅನಾಲಿಸಿಸ್ ಆಡ್-ಇನ್‌ಗೆ ಕರೆ ಮಾಡಿ (ಚಿತ್ರ 2).

3. ವಿಶ್ಲೇಷಣಾ ಸಾಧನ ರಿಗ್ರೆಶನ್ ಅನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿ (ಚಿತ್ರ 3).

4. ರಿಗ್ರೆಷನ್ ವಿಂಡೋದ ಅನುಗುಣವಾದ ಸ್ಥಾನಗಳನ್ನು ಭರ್ತಿ ಮಾಡಿ (ಚಿತ್ರ 4).

5. ರಿಗ್ರೆಷನ್ ವಿಂಡೋದಲ್ಲಿ ಸರಿ ಬಟನ್ ಕ್ಲಿಕ್ ಮಾಡಿ ಮತ್ತು ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಪ್ರೋಟೋಕಾಲ್ ಅನ್ನು ಪಡೆಯಿರಿ (ಚಿತ್ರ 5)

ಚಿತ್ರ 3 - ರಿಗ್ರೆಷನ್ ಟೂಲ್ ಅನ್ನು ಆಯ್ಕೆಮಾಡುವುದು

ಚಿತ್ರ 4 - ರಿಗ್ರೆಷನ್ ವಿಂಡೋ

ಚಿತ್ರ 5 - ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಪ್ರೋಟೋಕಾಲ್

ಚಿತ್ರ 5 ರಿಂದ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಹಿಂಜರಿತ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ನೋಡಬಹುದು

b 0 = 223,

b1 = 0.0088.

ನಂತರ ಮಾಸಿಕ ಪಿಂಚಣಿ y ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಜೀವನಾಧಾರ ಕನಿಷ್ಠ ಮೌಲ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಸಂಪರ್ಕಿಸುವ ಜೋಡಿ ರೇಖೀಯ ಹಿಂಜರಿತದ ಸಮೀಕರಣವು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ

.(3.2)

ಮುಂದೆ, ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ, ಜೀವನ ವೆಚ್ಚದ ಮೌಲ್ಯ x ಮತ್ತು ಮಾಸಿಕ ಪಿಂಚಣಿ y ಮೌಲ್ಯದ ನಡುವಿನ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳ ಸಂಬಂಧದ ನಿಕಟತೆಯನ್ನು ನಿರ್ಣಯಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ. ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧ ಗುಣಾಂಕವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಈ ಅಂದಾಜನ್ನು ಮಾಡಬಹುದು. ಚಿತ್ರ 5 ರಲ್ಲಿನ ಈ ಗುಣಾಂಕದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಬಹು R ಎಂದು ಗೊತ್ತುಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಪ್ರಕಾರ, 0.038 ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕವಾಗಿ ಈ ಗುಣಾಂಕದ ಮೌಲ್ಯವು -1 ರಿಂದ +1 ವರೆಗಿನ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯಲ್ಲಿರುವುದರಿಂದ, ಜೀವನ ವೆಚ್ಚದ ಮೌಲ್ಯ x ಮತ್ತು ಮಾಸಿಕ ಪಿಂಚಣಿ y ಮೌಲ್ಯದ ನಡುವಿನ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳ ಸಂಪರ್ಕವು ಗಮನಾರ್ಹವಾಗಿಲ್ಲ ಎಂದು ನಾವು ತೀರ್ಮಾನಿಸಬಹುದು.

ಚಿತ್ರ 5 ರಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲಾದ ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್ "ಆರ್ - ಸ್ಕ್ವೇರ್", ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧದ ಗುಣಾಂಕದ ಚೌಕವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ನಿರ್ಣಯದ ಗುಣಾಂಕ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಗುಣಾಂಕದ ಮೌಲ್ಯವು ರಿಗ್ರೆಶನ್ ಮೂಲಕ ವಿವರಿಸಲಾದ ಅವಲಂಬಿತ ವೇರಿಯಬಲ್ y ನ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಪಾಲನ್ನು ನಿರೂಪಿಸುತ್ತದೆ (ವಿವರಣಾತ್ಮಕ ವೇರಿಯಬಲ್ x). ಅಂತೆಯೇ, ಮೌಲ್ಯ 1- ಎಕನಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿ ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳದ ಎಲ್ಲಾ ಇತರ ವಿವರಣಾತ್ಮಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಪ್ರಭಾವದಿಂದ ಉಂಟಾಗುವ ವೇರಿಯಬಲ್ y ನಲ್ಲಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಪಾಲನ್ನು ನಿರೂಪಿಸುತ್ತದೆ. ಚಿತ್ರ 5 ರಿಂದ ಫಲಿತಾಂಶದ ಅರ್ಥಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿ ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳದ ಎಲ್ಲಾ ವಿವರಣಾತ್ಮಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಪಾಲು ಸರಿಸುಮಾರು 1 - 0.00145 = 0.998 ಅಥವಾ 99.8% ಆಗಿದೆ.

ಮುಂದಿನ ಹಂತದಲ್ಲಿ, ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ, ಸ್ಥಿತಿಸ್ಥಾಪಕತ್ವ ಗುಣಾಂಕವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವಿವರಣಾತ್ಮಕ ವೇರಿಯಬಲ್ x ಮತ್ತು ಅವಲಂಬಿತ ವೇರಿಯಬಲ್ y ನಡುವಿನ ಸಂಪರ್ಕದ ಮಟ್ಟವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ. ಜೋಡಿಯಾಗಿರುವ ರೇಖಾತ್ಮಕ ಹಿಂಜರಿತ ಮಾದರಿಯ ಸ್ಥಿತಿಸ್ಥಾಪಕತ್ವ ಗುಣಾಂಕವನ್ನು ಹೀಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ:

ಆದ್ದರಿಂದ, ಜೀವನ ವೆಚ್ಚವು 1% ರಷ್ಟು ಬದಲಾದರೆ, ಮಾಸಿಕ ಪಿಂಚಣಿ 0.000758% ರಷ್ಟು ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ.

. (3.4)

ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನಾವು ಮೂಲ ಟೇಬಲ್ 1 ಅನ್ನು ಎರಡು ಕಾಲಮ್‌ಗಳೊಂದಿಗೆ ಪೂರಕಗೊಳಿಸುತ್ತೇವೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಅವಲಂಬನೆ (3.2) ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿದ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ನಾವು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಕೋಷ್ಟಕ 3.2. ಸರಾಸರಿ ಅಂದಾಜು ದೋಷದ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ.

ನಂತರ ಸರಾಸರಿ ಅಂದಾಜು ದೋಷ

.

ಸರಾಸರಿ ಅಂದಾಜು ದೋಷದ ಮೌಲ್ಯವು (12...15)% ಮೀರಬಾರದು ಎಂದು ಅಭ್ಯಾಸದಿಂದ ತಿಳಿದಿದೆ.

ಕೊನೆಯ ಹಂತದಲ್ಲಿ, ಫಿಶರ್ಸ್ ಎಫ್ ಪರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಮಾಡೆಲಿಂಗ್‌ನ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳ ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹತೆಯನ್ನು ನಾವು ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನಾವು ಷರತ್ತಿನ ಪ್ರಕಾರ ಫಲಿತಾಂಶದ ಹಿಂಜರಿತ ಸಮೀಕರಣದ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳ ಅತ್ಯಲ್ಪತೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಶೂನ್ಯ ಕಲ್ಪನೆ H 0 ಅನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸುತ್ತೇವೆ:

ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪ್ರಾಮುಖ್ಯತೆಯ ಮಟ್ಟದಲ್ಲಿ a = 0.05 ಎಫ್-ಮಾನದಂಡದ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ (ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಿದ) ಮೌಲ್ಯವು ಅದರ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಮೌಲ್ಯ F ಕ್ರಿಟ್ (ಟ್ಯಾಬ್ಯುಲೇಟೆಡ್) ಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಶೂನ್ಯ ಊಹೆಯನ್ನು ತಿರಸ್ಕರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಹಿಮ್ಮೆಟ್ಟುವಿಕೆಯ ಸಮೀಕರಣವು ಮಹತ್ವದ್ದಾಗಿದೆ.

ಚಿತ್ರ 5 ರಿಂದ ಎಫ್ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ = 0.0058 ಎಂದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. F-ಮಾನದಂಡದ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ FASTER (ಚಿತ್ರ 6). ಕಾರ್ಯದ ಇನ್‌ಪುಟ್ ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್‌ಗಳೆಂದರೆ ಪ್ರಾಮುಖ್ಯತೆಯ ಮಟ್ಟ (ಸಂಭವನೀಯತೆ) ಮತ್ತು ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದ ಡಿಗ್ರಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ 1 ಮತ್ತು 2. ಜೋಡಿಯಾಗಿರುವ ರಿಗ್ರೆಷನ್ ಮಾದರಿಗೆ, ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದ ಡಿಗ್ರಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಕ್ರಮವಾಗಿ 1 (ಒಂದು ವಿವರಣಾತ್ಮಕ ವೇರಿಯಬಲ್) ಮತ್ತು n-2 = 6 -2=4.

ಚಿತ್ರ 6 - ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಕಾರ್ಯದ ವಿಂಡೋ ವೇಗವಾಗಿರುತ್ತದೆ

ಚಿತ್ರ 6 ರಿಂದ ಎಫ್-ಪರೀಕ್ಷೆಯ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಮೌಲ್ಯವು 7.71 ಆಗಿದೆ ಎಂದು ನೋಡಬಹುದು.

ಎಫ್ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದಿಂದ< F крит, то нулевая гипотеза не отвергается и полученное регрессионное уравнение статистически незначимо.

13. EXCEL ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಬಹು ಹಿಂಜರಿತ ಮಾದರಿಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವುದು.

ನಿಯೋಜನೆ ಆಯ್ಕೆಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ, ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ.

1. ರೇಖೀಯ ಬಹು ಹಿಂಜರಿತ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿ ಮತ್ತು ಅದರ ನಿಯತಾಂಕಗಳ ಆರ್ಥಿಕ ಅರ್ಥವನ್ನು ವಿವರಿಸಿ.

2. ಸರಾಸರಿ (ಸಾಮಾನ್ಯ) ಸ್ಥಿತಿಸ್ಥಾಪಕತ್ವ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅಂಶಗಳು ಮತ್ತು ಫಲಿತಾಂಶದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧದ ನಿಕಟತೆಯ ತುಲನಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನವನ್ನು ನೀಡಿ.

3. ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಯ ಟಿ-ಪರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಹಿಂಜರಿತ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳ ಪ್ರಾಮುಖ್ಯತೆಯನ್ನು ಮತ್ತು ಎಫ್-ಪರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಮೀಕರಣದ ಮಹತ್ವದ ಬಗ್ಗೆ ಶೂನ್ಯ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ನಿರ್ಣಯಿಸಿ.

4. ಅಂದಾಜಿನ ಸರಾಸರಿ ದೋಷವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಸಮೀಕರಣದ ಗುಣಮಟ್ಟವನ್ನು ನಿರ್ಣಯಿಸಿ.

ಜೋಡಿಯಾಗಿರುವ ರಿಗ್ರೆಷನ್ ಮಾದರಿಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಆರಂಭಿಕ ಡೇಟಾವನ್ನು ಟೇಬಲ್ 3.3 ರಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾಗಿದೆ.

ಕೋಷ್ಟಕ 3.3. ಆರಂಭಿಕ ಡೇಟಾ.

ನಿವ್ವಳ ಆದಾಯ, ಮಿಲಿಯನ್ US ಡಾಲರ್	ಬಂಡವಾಳ ವಹಿವಾಟು, ಮಿಲಿ. US ಡಾಲರ್, x 1	ಬಳಸಿದ ಬಂಡವಾಳ, ಮಿಲಿ. US ಡಾಲರ್ x 2
6,6	6,9	83,6
2,7	93,6	25,4
1,6	10,0	6,4
2,4	31,5	12,5
3,3	36,7	14,3
1,8	13,8	6,5
2,4	64,8	22,7
1,6	30,4	15,8
1,4	12,1	9,3
0,9	31,3	18,9

ರಿಗ್ರೆಷನ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವ ತಂತ್ರಜ್ಞಾನವು ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್ 3.1 ರಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಿದ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಹೋಲುತ್ತದೆ. ರಿಗ್ರೆಷನ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವ ಪ್ರೋಟೋಕಾಲ್ ಅನ್ನು ಚಿತ್ರ 7 ರಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ತೀರ್ಮಾನ
ಹಿಂಜರಿತ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳು
ಬಹುವಚನ ಆರ್	0,901759207
ಆರ್-ಸ್ಕ್ವೇರ್	0,813169667
ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಿದ R- ವರ್ಗ	0,759789572
ಪ್ರಮಾಣಿತ ದೋಷ	0,789962026
ಅವಲೋಕನಗಳು
ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ
	df	ಎಂ.ಎಸ್	ಎಫ್
ಹಿಂಜರಿತ		9,50635999	15,23357468
ಉಳಿದ		0,624040003
ಒಟ್ಟು
	ಆಡ್ಸ್	ಟಿ-ಅಂಕಿಅಂಶ
ವೈ-ಛೇದಕ	1,113140304	2,270238114
ವೇರಿಯೇಬಲ್ X 1	-0,000592199	-0,061275574
ವೇರಿಯೇಬಲ್ X 2	0,063902851	5,496523193

ಚಿತ್ರ 7. ತೀರ್ಮಾನ.