ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಸಮೀಕರಣಗಳಂತಹ ಅದ್ಭುತವಾದ ಗಣಿತದ ಸಾಧನದ ಇತಿಹಾಸದೊಂದಿಗೆ ನಾವು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಬೇಕು ಎಂದು ನಾನು ಭಾವಿಸುತ್ತೇನೆ. ಎಲ್ಲಾ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಮತ್ತು ಸಮಗ್ರ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದಂತೆ, ಈ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು 17 ನೇ ಶತಮಾನದ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ನ್ಯೂಟನ್ ಕಂಡುಹಿಡಿದನು. ಅವರ ಈ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಆವಿಷ್ಕಾರವನ್ನು ಅವರು ಬಹಳ ಮುಖ್ಯವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಿದರು, ಅವರು ಸಂದೇಶವನ್ನು ಎನ್‌ಕ್ರಿಪ್ಟ್ ಮಾಡಿದರು, ಇದನ್ನು ಇಂದು ಈ ರೀತಿಯಾಗಿ ಅನುವಾದಿಸಬಹುದು: "ಪ್ರಕೃತಿಯ ಎಲ್ಲಾ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ವಿಭಿನ್ನ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ." ಇದು ಉತ್ಪ್ರೇಕ್ಷೆಯಂತೆ ತೋರಬಹುದು, ಆದರೆ ಇದು ನಿಜ. ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರ, ರಸಾಯನಶಾಸ್ತ್ರ, ಜೀವಶಾಸ್ತ್ರದ ಯಾವುದೇ ನಿಯಮವನ್ನು ಈ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ವಿವರಿಸಬಹುದು.

ಗಣಿತಜ್ಞರಾದ ಯೂಲರ್ ಮತ್ತು ಲಾಗ್ರೇಂಜ್ ಅವರು ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಅಭಿವೃದ್ಧಿ ಮತ್ತು ರಚನೆಗೆ ಭಾರಿ ಕೊಡುಗೆ ನೀಡಿದ್ದಾರೆ. ಈಗಾಗಲೇ 18 ನೇ ಶತಮಾನದಲ್ಲಿ, ಅವರು ಈಗ ಹಿರಿಯ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾನಿಲಯ ಕೋರ್ಸ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುತ್ತಿರುವುದನ್ನು ಅವರು ಕಂಡುಹಿಡಿದರು ಮತ್ತು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿದರು.

ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಅಧ್ಯಯನದಲ್ಲಿ ಹೊಸ ಮೈಲಿಗಲ್ಲು ಹೆನ್ರಿ ಪಾಯಿಂಕೇರ್ ಅವರಿಗೆ ಧನ್ಯವಾದಗಳು. ಅವರು "ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಗುಣಾತ್ಮಕ ಸಿದ್ಧಾಂತ" ವನ್ನು ರಚಿಸಿದರು, ಇದು ಸಂಕೀರ್ಣ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಕಾರ್ಯಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತದೊಂದಿಗೆ ಸಂಯೋಜಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ, ಟೋಪೋಲಜಿಯ ಅಡಿಪಾಯಕ್ಕೆ ಗಮನಾರ್ಹ ಕೊಡುಗೆಯನ್ನು ನೀಡಿದೆ - ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ವಿಜ್ಞಾನ ಮತ್ತು ಅದರ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು.

ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಯಾವುವು?

ಆದಾಗ್ಯೂ, ಅನೇಕ ಜನರು ಒಂದು ಪದಗುಚ್ಛಕ್ಕೆ ಹೆದರುತ್ತಾರೆ, ಈ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ನಾವು ಈ ಅತ್ಯಂತ ಉಪಯುಕ್ತವಾದ ಗಣಿತದ ಉಪಕರಣದ ಸಂಪೂರ್ಣ ಸಾರವನ್ನು ವಿವರವಾಗಿ ವಿವರಿಸುತ್ತೇವೆ, ಅದು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಹೆಸರಿನಿಂದ ತೋರುವಷ್ಟು ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗಿಲ್ಲ. ಮೊದಲ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಲು, ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದೊಂದಿಗೆ ಅಂತರ್ಗತವಾಗಿ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಮೂಲಭೂತ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳೊಂದಿಗೆ ನೀವು ಮೊದಲು ಪರಿಚಿತರಾಗಿರಬೇಕು. ಮತ್ತು ನಾವು ವಿಭಿನ್ನತೆಯೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾರಂಭಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಭೇದಾತ್ಮಕ

ಶಾಲೆಯಿಂದಲೂ ಅನೇಕ ಜನರು ಈ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ತಿಳಿದಿದ್ದಾರೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಅದನ್ನು ಹತ್ತಿರದಿಂದ ನೋಡೋಣ. ಕ್ರಿಯೆಯ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಕಲ್ಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ. ಅದರ ಯಾವುದೇ ಭಾಗವು ಸರಳ ರೇಖೆಯ ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವಷ್ಟು ನಾವು ಅದನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸಬಹುದು. ಪರಸ್ಪರ ಅನಂತವಾಗಿ ಹತ್ತಿರವಿರುವ ಎರಡು ಅಂಶಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ. ಅವುಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ (x ಅಥವಾ y) ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಅನಂತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು dy (y ನ ವ್ಯತ್ಯಾಸ) ಮತ್ತು dx (x ನ ವ್ಯತ್ಯಾಸ) ಚಿಹ್ನೆಗಳಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಭೇದಾತ್ಮಕತೆಯು ಸೀಮಿತ ಪ್ರಮಾಣವಲ್ಲ ಎಂದು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಬಹಳ ಮುಖ್ಯ, ಮತ್ತು ಇದು ಅದರ ಅರ್ಥ ಮತ್ತು ಮುಖ್ಯ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ.

ಈಗ ನಾವು ಮುಂದಿನ ಅಂಶವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ, ಇದು ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ವಿವರಿಸುವಲ್ಲಿ ನಮಗೆ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ. ಇದು ಒಂದು ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ.

ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ

ನಾವೆಲ್ಲರೂ ಬಹುಶಃ ಶಾಲೆಯಲ್ಲಿ ಈ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಕೇಳಿದ್ದೇವೆ. ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಒಂದು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸುವ ಅಥವಾ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವ ದರ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ಹೆಚ್ಚು ಅಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ. ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ಗಳ ಮೂಲಕ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ವಿವರಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸೋಣ. ಆನ್ ಆಗಿರುವ ಎರಡು ಪಾಯಿಂಟ್‌ಗಳೊಂದಿಗೆ ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಅನಂತವಾದ ವಿಭಾಗಕ್ಕೆ ಹಿಂತಿರುಗೋಣ ಕನಿಷ್ಠ ದೂರಪರಸ್ಪರ. ಆದರೆ ಈ ದೂರದಲ್ಲಿಯೂ ಸಹ ಕಾರ್ಯವು ಸ್ವಲ್ಪ ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿ ಬದಲಾಗಲು ನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ. ಮತ್ತು ಈ ಬದಲಾವಣೆಯನ್ನು ವಿವರಿಸಲು ಅವರು ಒಂದು ವ್ಯುತ್ಪನ್ನದೊಂದಿಗೆ ಬಂದರು, ಅದನ್ನು ವಿಭಿನ್ನತೆಗಳ ಅನುಪಾತವಾಗಿ ಬರೆಯಬಹುದು: f(x)"=df/dx.

ಈಗ ಉತ್ಪನ್ನದ ಮೂಲ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವುದು ಯೋಗ್ಯವಾಗಿದೆ. ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಕೇವಲ ಮೂರು ಇವೆ:

1. ಮೊತ್ತ ಅಥವಾ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಮೊತ್ತ ಅಥವಾ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು: (a+b)"=a"+b" ಮತ್ತು (a-b)"=a"-b".
2. ಎರಡನೆಯ ಆಸ್ತಿ ಗುಣಾಕಾರಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ. ಒಂದು ಉತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಒಂದು ಕಾರ್ಯದ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಇನ್ನೊಂದರ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ: (a*b)"=a"*b+a*b".
3. ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಮಾನತೆ ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು: (a/b)"=(a"*b-a*b")/b 2 .

ಮೊದಲ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಈ ಎಲ್ಲಾ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ನಮಗೆ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗುತ್ತವೆ.

ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳೂ ಇವೆ. ನಾವು x ಮತ್ತು y ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ಗಳ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುವ z ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಎಂದು ಹೇಳೋಣ. ಈ ಕ್ರಿಯೆಯ ಭಾಗಶಃ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು, x ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ನಾವು y ಅನ್ನು ಸ್ಥಿರವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬೇಕು ಮತ್ತು ಸರಳವಾಗಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗೊಳಿಸಬೇಕು.

ಅವಿಭಾಜ್ಯ

ಮತ್ತೊಂದು ಪ್ರಮುಖ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯು ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾಗಿದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಇದು ಉತ್ಪನ್ನದ ನಿಖರವಾದ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿದೆ. ಹಲವಾರು ವಿಧದ ಸಮಗ್ರತೆಗಳಿವೆ, ಆದರೆ ಸರಳವಾದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ನಮಗೆ ಅತ್ಯಂತ ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಾದವುಗಳು ಬೇಕಾಗುತ್ತವೆ

ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು x ಮೇಲೆ ಎಫ್ ಕೆಲವು ಅವಲಂಬನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಎಂದು ಹೇಳೋಣ. ನಾವು ಅದರಿಂದ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು F(x) ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ (ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ), ಅದರ ಉತ್ಪನ್ನವು ಮೂಲ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಹೀಗೆ F(x)"=f(x) ವ್ಯುತ್ಪನ್ನದ ಅವಿಭಾಜ್ಯವು ಮೂಲ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಸಹ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ.

ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ, ಸಮಗ್ರತೆಯ ಅರ್ಥ ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಬಹಳ ಮುಖ್ಯ, ಏಕೆಂದರೆ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ನೀವು ಅವುಗಳನ್ನು ಆಗಾಗ್ಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ.

ಸಮೀಕರಣಗಳು ಅವುಗಳ ಸ್ವಭಾವವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ ಬದಲಾಗುತ್ತವೆ. ಮುಂದಿನ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಮೊದಲ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಪ್ರಕಾರಗಳನ್ನು ನೋಡುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ನಂತರ ಅವುಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರಿಹರಿಸಬೇಕೆಂದು ಕಲಿಯುತ್ತೇವೆ.

ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವರ್ಗಗಳು

ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಕ್ರಮಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ "ಡಿಫರ್ಸ್" ಅನ್ನು ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ಹೀಗಾಗಿ ಮೊದಲ, ಎರಡನೇ, ಮೂರನೇ ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚಿನ ಕ್ರಮವಿದೆ. ಅವುಗಳನ್ನು ಹಲವಾರು ವರ್ಗಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಬಹುದು: ಸಾಮಾನ್ಯ ಮತ್ತು ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು.

ಈ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ನಾವು ಮೊದಲ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ನೋಡುತ್ತೇವೆ. ಕೆಳಗಿನ ವಿಭಾಗಗಳಲ್ಲಿ ನಾವು ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಮಾರ್ಗಗಳನ್ನು ಸಹ ಚರ್ಚಿಸುತ್ತೇವೆ. ನಾವು ODE ಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಇವುಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯ ರೀತಿಯ ಸಮೀಕರಣಗಳಾಗಿವೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾದವುಗಳನ್ನು ಉಪಜಾತಿಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗಿದೆ: ಬೇರ್ಪಡಿಸಬಹುದಾದ ಅಸ್ಥಿರಗಳೊಂದಿಗೆ, ಏಕರೂಪದ ಮತ್ತು ವೈವಿಧ್ಯಮಯ. ಮುಂದೆ, ಅವರು ಪರಸ್ಪರ ಹೇಗೆ ಭಿನ್ನರಾಗಿದ್ದಾರೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರಿಹರಿಸಬೇಕೆಂದು ಕಲಿಯುವಿರಿ.

ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ, ಈ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸಬಹುದು ಇದರಿಂದ ನಾವು ಮೊದಲ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯೊಂದಿಗೆ ಕೊನೆಗೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ನಾವು ಅಂತಹ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರಿಹರಿಸಬೇಕೆಂದು ಕಲಿಯುತ್ತೇವೆ.

ನಾವು ಮೊದಲ ಆದೇಶವನ್ನು ಮಾತ್ರ ಏಕೆ ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತಿದ್ದೇವೆ? ಏಕೆಂದರೆ ನೀವು ಸರಳವಾದ ಯಾವುದನ್ನಾದರೂ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಒಂದು ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ವಿವರಿಸಲು ಅಸಾಧ್ಯವಾಗಿದೆ.

ಬೇರ್ಪಡಿಸಬಹುದಾದ ಸಮೀಕರಣಗಳು

ಇವುಗಳು ಬಹುಶಃ ಸರಳವಾದ ಮೊದಲ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳಾಗಿವೆ. ಇವುಗಳು ಈ ರೀತಿ ಬರೆಯಬಹುದಾದ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿವೆ: y"=f(x)*f(y). ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು, ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್‌ಗಳ ಅನುಪಾತವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲು ನಮಗೆ ಸೂತ್ರದ ಅಗತ್ಯವಿದೆ: y"=dy/dx. ಇದನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: dy/dx=f(x)*f(y). ಈಗ ನಾವು ಪರಿಹಾರ ವಿಧಾನಕ್ಕೆ ತಿರುಗಬಹುದು ಪ್ರಮಾಣಿತ ಉದಾಹರಣೆಗಳು: ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಭಾಗಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸೋಣ, ಅಂದರೆ, y ವೇರಿಯೇಬಲ್ನೊಂದಿಗೆ ಎಲ್ಲವನ್ನೂ dy ಇರುವ ಭಾಗಕ್ಕೆ ಸರಿಸಿ ಮತ್ತು x ವೇರಿಯಬಲ್ನೊಂದಿಗೆ ಅದೇ ರೀತಿ ಮಾಡಿ. ನಾವು ರೂಪದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: dy/f(y)=f(x)dx, ಇದನ್ನು ಎರಡೂ ಬದಿಗಳ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಮೂಲಕ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡ ನಂತರ ಹೊಂದಿಸಬೇಕಾದ ಸ್ಥಿರತೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಮರೆಯಬೇಡಿ.

ಯಾವುದೇ "ಡಿಫ್ಯೂರ್" ಗೆ ಪರಿಹಾರವು y ಮೇಲೆ x ಅವಲಂಬನೆಯ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ (ನಮ್ಮ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ) ಅಥವಾ, ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಸ್ಥಿತಿ ಇದ್ದರೆ, ನಂತರ ಸಂಖ್ಯೆಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಉತ್ತರ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಂಪೂರ್ಣ ಪರಿಹಾರ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ನೋಡೋಣ:

ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ವಿವಿಧ ದಿಕ್ಕುಗಳಲ್ಲಿ ಸರಿಸೋಣ:

ಈಗ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ. ಅವೆಲ್ಲವನ್ನೂ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ವಿಶೇಷ ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿ ಕಾಣಬಹುದು. ಮತ್ತು ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ln(y) = -2*cos(x) + C

ಅಗತ್ಯವಿದ್ದರೆ, ನಾವು "y" ಅನ್ನು "x" ನ ಕಾರ್ಯವಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು. ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸದಿದ್ದರೆ ನಮ್ಮ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಈಗ ನಾವು ಹೇಳಬಹುದು. ಒಂದು ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಬಹುದು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, y(n/2)=e. ನಂತರ ನಾವು ಈ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಪರಿಹಾರಕ್ಕೆ ಸರಳವಾಗಿ ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಸ್ಥಿರ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುತ್ತೇವೆ. ನಮ್ಮ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ಇದು 1.

ಮೊದಲ ಕ್ರಮದ ಏಕರೂಪದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳು

ಈಗ ಹೆಚ್ಚು ಕಷ್ಟಕರವಾದ ಭಾಗಕ್ಕೆ ಹೋಗೋಣ. ಏಕರೂಪದ ಮೊದಲ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಬರೆಯಬಹುದು ಸಾಮಾನ್ಯ ನೋಟಈ ರೀತಿ: y"=z(x,y). ಇದನ್ನು ಗಮನಿಸಬೇಕು ಸರಿಯಾದ ಕಾರ್ಯಎರಡು ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಮೇಲೆ ಏಕರೂಪವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಎರಡು ಅವಲಂಬನೆಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ: x ಮೇಲೆ z ಮತ್ತು y ಮೇಲೆ z. ಸಮೀಕರಣವು ಏಕರೂಪವಾಗಿದೆಯೇ ಅಥವಾ ಇಲ್ಲವೇ ಎಂಬುದನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸುವುದು ತುಂಬಾ ಸರಳವಾಗಿದೆ: ನಾವು x=k*x ಮತ್ತು y=k*y ಅನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತೇವೆ. ಈಗ ನಾವು ಎಲ್ಲಾ k ಅನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ. ಈ ಎಲ್ಲಾ ಅಕ್ಷರಗಳನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಿದರೆ, ಸಮೀಕರಣವು ಏಕರೂಪವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ನೀವು ಅದನ್ನು ಸುರಕ್ಷಿತವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಬಹುದು. ಮುಂದೆ ನೋಡುವಾಗ, ನಾವು ಹೇಳೋಣ: ಈ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ತತ್ವವು ತುಂಬಾ ಸರಳವಾಗಿದೆ.

ನಾವು ಬದಲಿಯನ್ನು ಮಾಡಬೇಕಾಗಿದೆ: y=t(x)*x, ಇಲ್ಲಿ t ಎಂಬುದು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದ್ದು ಅದು x ಅನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ. ನಂತರ ನಾವು ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು: y"=t"(x)*x+t. ಇದೆಲ್ಲವನ್ನೂ ನಮ್ಮದಕ್ಕೆ ಬದಲಾಯಿಸುವುದು ಮೂಲ ಸಮೀಕರಣಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸಿ, ನಾವು ಬೇರ್ಪಡಿಸಬಹುದಾದ ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ಗಳಾದ t ಮತ್ತು x ನೊಂದಿಗೆ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ನಾವು ಅದನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಅವಲಂಬನೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ t (x). ನಾವು ಅದನ್ನು ಸ್ವೀಕರಿಸಿದಾಗ, ನಾವು ನಮ್ಮ ಹಿಂದಿನ ಬದಲಿಯಾಗಿ y=t(x)*x ಅನ್ನು ಸರಳವಾಗಿ ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ. ನಂತರ ನಾವು x ಮೇಲೆ y ಅವಲಂಬನೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.

ಅದನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟಪಡಿಸಲು, ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ನೋಡೋಣ: x*y"=y-x*e y/x .

ಬದಲಿಯೊಂದಿಗೆ ಪರಿಶೀಲಿಸುವಾಗ, ಎಲ್ಲವೂ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಇದರರ್ಥ ಸಮೀಕರಣವು ನಿಜವಾಗಿಯೂ ಏಕರೂಪವಾಗಿದೆ. ಈಗ ನಾವು ಮಾತನಾಡಿದ ಇನ್ನೊಂದು ಬದಲಿಯನ್ನು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ: y=t(x)*x ಮತ್ತು y"=t"(x)*x+t(x). ಸರಳೀಕರಣದ ನಂತರ, ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: t"(x)*x=-e t. ನಾವು ಬೇರ್ಪಡಿಸಿದ ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ಗಳೊಂದಿಗೆ ಫಲಿತಾಂಶದ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: e -t =ln(C*x). ನಾವು ಮಾಡಬೇಕಾಗಿರುವುದು ಬದಲಿಸುವುದು t y/x ನೊಂದಿಗೆ (ಎಲ್ಲಾ ನಂತರ, y =t*x, ನಂತರ t=y/x), ಮತ್ತು ನಾವು ಉತ್ತರವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: e -y/x =ln(x*C).

ಮೊದಲ ಕ್ರಮಾಂಕದ ರೇಖೀಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳು

ಇನ್ನೊಂದು ವಿಶಾಲವಾದ ವಿಷಯವನ್ನು ನೋಡುವ ಸಮಯ ಬಂದಿದೆ. ನಾವು ಮೊದಲ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಅಸಮಂಜಸ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸುತ್ತೇವೆ. ಹಿಂದಿನ ಎರಡಕ್ಕಿಂತ ಅವು ಹೇಗೆ ಭಿನ್ನವಾಗಿವೆ? ಅದನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ. ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಮೊದಲ ಕ್ರಮಾಂಕದ ರೇಖೀಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಬರೆಯಬಹುದು: y" + g(x)*y=z(x) z(x) ಮತ್ತು g(x) ಸ್ಥಿರ ಪ್ರಮಾಣಗಳಾಗಿರಬಹುದು ಎಂದು ಸ್ಪಷ್ಟಪಡಿಸುವುದು ಯೋಗ್ಯವಾಗಿದೆ.

ಮತ್ತು ಈಗ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆ: y" - y*x=x 2 .

ಎರಡು ಪರಿಹಾರಗಳಿವೆ, ಮತ್ತು ನಾವು ಎರಡನ್ನೂ ಕ್ರಮವಾಗಿ ನೋಡುತ್ತೇವೆ. ಮೊದಲನೆಯದು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುವ ವಿಧಾನವಾಗಿದೆ.

ಈ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು, ನೀವು ಮೊದಲು ಸಮೀಕರಿಸಬೇಕು ಬಲಭಾಗದಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಮತ್ತು ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ, ಇದು ಭಾಗಗಳನ್ನು ವರ್ಗಾಯಿಸಿದ ನಂತರ ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ:

ln|y|=x 2/2 + C;

y=e x2/2 *y C =C 1 *e x2/2.

ಈಗ ನಾವು ಸ್ಥಿರವಾದ C 1 ಅನ್ನು v(x) ಕಾರ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ, ಅದನ್ನು ನಾವು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು.

ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸೋಣ:

y"=v"*e x2/2 -x*v*e x2/2 .

ಮತ್ತು ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಮೂಲ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸಿ:

v"*e x2/2 - x*v*e x2/2 + x*v*e x2/2 = x 2 .

ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ ಎರಡು ಪದಗಳನ್ನು ರದ್ದುಗೊಳಿಸುವುದನ್ನು ನೀವು ನೋಡಬಹುದು. ಕೆಲವು ಉದಾಹರಣೆಗಳಲ್ಲಿ ಇದು ಸಂಭವಿಸದಿದ್ದರೆ, ನೀವು ಏನಾದರೂ ತಪ್ಪು ಮಾಡಿದ್ದೀರಿ. ಮುಂದುವರೆಸೋಣ:

v"*e x2/2 = x 2 .

ಈಗ ನಾವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುತ್ತೇವೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ನಾವು ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ:

dv/dx=x 2 /e x2/2 ;

dv = x 2 *e - x2/2 dx.

ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯಲು, ನಾವು ಇಲ್ಲಿ ಭಾಗಗಳ ಮೂಲಕ ಏಕೀಕರಣವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಇದು ನಮ್ಮ ಲೇಖನದ ವಿಷಯವಲ್ಲ. ನಿಮಗೆ ಆಸಕ್ತಿ ಇದ್ದರೆ, ಅಂತಹ ಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ನೀವೇ ಹೇಗೆ ಮಾಡಬೇಕೆಂದು ನೀವು ಕಲಿಯಬಹುದು. ಇದು ಕಷ್ಟವಲ್ಲ, ಮತ್ತು ಸಾಕಷ್ಟು ಕೌಶಲ್ಯ ಮತ್ತು ಕಾಳಜಿಯೊಂದಿಗೆ ಇದು ಹೆಚ್ಚು ಸಮಯ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದಿಲ್ಲ.

ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಎರಡನೇ ವಿಧಾನಕ್ಕೆ ತಿರುಗೋಣ: ಬರ್ನೌಲ್ಲಿ ವಿಧಾನ. ಯಾವ ವಿಧಾನವು ವೇಗವಾಗಿ ಮತ್ತು ಸುಲಭವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ನಿಮಗೆ ಬಿಟ್ಟದ್ದು.

ಆದ್ದರಿಂದ, ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ, ನಾವು ಪರ್ಯಾಯವನ್ನು ಮಾಡಬೇಕಾಗಿದೆ: y=k*n. ಇಲ್ಲಿ k ಮತ್ತು n ಕೆಲವು x-ಅವಲಂಬಿತ ಕಾರ್ಯಗಳಾಗಿವೆ. ನಂತರ ಉತ್ಪನ್ನವು ಈ ರೀತಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ: y"=k"*n+k*n". ನಾವು ಎರಡೂ ಬದಲಿಗಳನ್ನು ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ:

k"*n+k*n"+x*k*n=x 2 .

ಗುಂಪುಗಾರಿಕೆ:

k"*n+k*(n"+x*n)=x 2 .

ಈಗ ನಾವು ಆವರಣದಲ್ಲಿರುವುದನ್ನು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮೀಕರಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ. ಈಗ, ನಾವು ಎರಡು ಫಲಿತಾಂಶದ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸಿದರೆ, ನಾವು ಮೊದಲ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ, ಅದನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ:

ನಾವು ಮೊದಲ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸುತ್ತೇವೆ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನೀವು ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ:

ನಾವು ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: ln(n)=x 2/2. ನಂತರ, ನಾವು n ಅನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಿದರೆ:

ಈಗ ನಾವು ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಎರಡನೇ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ:

k"*e x2/2 =x 2 .

ಮತ್ತು ರೂಪಾಂತರಗೊಳ್ಳುವುದರಿಂದ, ನಾವು ಮೊದಲ ವಿಧಾನದಂತೆಯೇ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

dk=x 2 /e x2/2.

ನಾವು ಕೂಡ ಡಿಸ್ಅಸೆಂಬಲ್ ಮಾಡುವುದಿಲ್ಲ ಮುಂದಿನ ಕ್ರಮಗಳು. ಮೊದಲ-ಕ್ರಮಾಂಕದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಲ್ಲಿ ಮೊದಲಿಗೆ ಗಮನಾರ್ಹ ತೊಂದರೆಗಳನ್ನು ಉಂಟುಮಾಡುತ್ತದೆ ಎಂದು ಹೇಳುವುದು ಯೋಗ್ಯವಾಗಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ನೀವು ವಿಷಯವನ್ನು ಆಳವಾಗಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವಾಗ, ಅದು ಉತ್ತಮವಾಗಿ ಮತ್ತು ಉತ್ತಮವಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸುತ್ತದೆ.

ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಎಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ?

ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಬಹಳ ಸಕ್ರಿಯವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಬಹುತೇಕ ಎಲ್ಲಾ ಮೂಲಭೂತ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ ಭೇದಾತ್ಮಕ ರೂಪ, ಮತ್ತು ನಾವು ನೋಡುವ ಸೂತ್ರಗಳು ಈ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ. ರಸಾಯನಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಅವುಗಳನ್ನು ಅದೇ ಕಾರಣಕ್ಕಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ: ಮೂಲಭೂತ ಕಾನೂನುಗಳನ್ನು ಅವರ ಸಹಾಯದಿಂದ ಪಡೆಯಲಾಗಿದೆ. ಜೀವಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಪರಭಕ್ಷಕ ಮತ್ತು ಬೇಟೆಯಂತಹ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ನಡವಳಿಕೆಯನ್ನು ರೂಪಿಸಲು ವಿಭಿನ್ನ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸೂಕ್ಷ್ಮಜೀವಿಗಳ ವಸಾಹತುಗಳ ಸಂತಾನೋತ್ಪತ್ತಿ ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ರಚಿಸಲು ಸಹ ಅವುಗಳನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು.

ವಿಭಿನ್ನ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಜೀವನದಲ್ಲಿ ನಿಮಗೆ ಹೇಗೆ ಸಹಾಯ ಮಾಡಬಹುದು?

ಈ ಪ್ರಶ್ನೆಗೆ ಉತ್ತರ ಸರಳವಾಗಿದೆ: ಇಲ್ಲವೇ ಇಲ್ಲ. ನೀವು ವಿಜ್ಞಾನಿ ಅಥವಾ ಇಂಜಿನಿಯರ್ ಅಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಅವರು ನಿಮಗೆ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಆದಾಗ್ಯೂ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಸಮೀಕರಣ ಎಂದರೇನು ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ತಿಳಿಯಲು ಇದು ನೋಯಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ತದನಂತರ ಮಗ ಅಥವಾ ಮಗಳ ಪ್ರಶ್ನೆಯೆಂದರೆ "ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಸಮೀಕರಣ ಎಂದರೇನು?" ನಿಮ್ಮನ್ನು ಗೊಂದಲಗೊಳಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಸರಿ, ನೀವು ವಿಜ್ಞಾನಿ ಅಥವಾ ಎಂಜಿನಿಯರ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಯಾವುದೇ ವಿಜ್ಞಾನದಲ್ಲಿ ಈ ವಿಷಯದ ಪ್ರಾಮುಖ್ಯತೆಯನ್ನು ನೀವೇ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೀರಿ. ಆದರೆ ಅತ್ಯಂತ ಮುಖ್ಯವಾದ ವಿಷಯವೆಂದರೆ ಈಗ "ಮೊದಲ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರಿಹರಿಸುವುದು?" ನೀವು ಯಾವಾಗಲೂ ಉತ್ತರವನ್ನು ನೀಡಬಹುದು. ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳಿ, ಜನರು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಸಹ ಭಯಪಡುವ ವಿಷಯವನ್ನು ನೀವು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಂಡಾಗ ಅದು ಯಾವಾಗಲೂ ಸಂತೋಷವಾಗುತ್ತದೆ.

ಅಧ್ಯಯನದಲ್ಲಿ ಮುಖ್ಯ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು

ಈ ವಿಷಯವನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವಲ್ಲಿ ಮುಖ್ಯ ಸಮಸ್ಯೆಯು ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸುವ ಮತ್ತು ವಿಭಿನ್ನಗೊಳಿಸುವಲ್ಲಿ ಕಳಪೆ ಕೌಶಲ್ಯವಾಗಿದೆ. ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಮತ್ತು ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವಲ್ಲಿ ನೀವು ಕೆಟ್ಟವರಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದು ಬಹುಶಃ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ಮತ್ತು ಮಾಸ್ಟರಿಂಗ್ ಮಾಡಲು ಯೋಗ್ಯವಾಗಿದೆ ವಿವಿಧ ವಿಧಾನಗಳುಏಕೀಕರಣ ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸ, ಮತ್ತು ನಂತರ ಮಾತ್ರ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಿದ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿ.

dx ಅನ್ನು ಸಾಗಿಸಬಹುದೆಂದು ತಿಳಿದಾಗ ಕೆಲವರು ಆಶ್ಚರ್ಯ ಪಡುತ್ತಾರೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಹಿಂದೆ (ಶಾಲೆಯಲ್ಲಿ) dy/dx ಭಾಗವು ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗಿದೆ. ಇಲ್ಲಿ ನೀವು ವ್ಯುತ್ಪನ್ನದ ಸಾಹಿತ್ಯವನ್ನು ಓದಬೇಕು ಮತ್ತು ಇದು ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ ಕುಶಲತೆಯಿಂದ ಮಾಡಬಹುದಾದ ಅಪರಿಮಿತ ಪ್ರಮಾಣಗಳ ಅನುಪಾತ ಎಂದು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಬೇಕು.

ಮೊದಲ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಒಂದು ಕಾರ್ಯ ಅಥವಾ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಅನೇಕ ಜನರು ತಕ್ಷಣವೇ ತಿಳಿದಿರುವುದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಈ ತಪ್ಪುಗ್ರಹಿಕೆಯು ಅವರಿಗೆ ಬಹಳಷ್ಟು ತೊಂದರೆಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ.

ಉತ್ತಮ ತಿಳುವಳಿಕೆಗಾಗಿ ನೀವು ಇನ್ನೇನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಬಹುದು?

ವಿಶೇಷ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಜಗತ್ತಿನಲ್ಲಿ ಮತ್ತಷ್ಟು ಮುಳುಗುವಿಕೆಯನ್ನು ಪ್ರಾರಂಭಿಸುವುದು ಉತ್ತಮವಾಗಿದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಆನ್ ಗಣಿತದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಗಣಿತವಲ್ಲದ ವಿಶೇಷತೆಗಳ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ. ನಂತರ ನೀವು ಹೆಚ್ಚು ವಿಶೇಷ ಸಾಹಿತ್ಯಕ್ಕೆ ಹೋಗಬಹುದು.

ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಜೊತೆಗೆ, ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಮೀಕರಣಗಳೂ ಇವೆ ಎಂದು ಹೇಳುವುದು ಯೋಗ್ಯವಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ನೀವು ಯಾವಾಗಲೂ ಪ್ರಯತ್ನಿಸಲು ಏನಾದರೂ ಮತ್ತು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ಏನನ್ನಾದರೂ ಹೊಂದಿರುತ್ತೀರಿ.

ತೀರ್ಮಾನ

ಈ ಲೇಖನವನ್ನು ಓದಿದ ನಂತರ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಯಾವುವು ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಸರಿಯಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸುವುದು ಹೇಗೆ ಎಂಬ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ನೀವು ಹೊಂದಿದ್ದೀರಿ ಎಂದು ನಾವು ಭಾವಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಯಾವುದೇ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಗಣಿತವು ನಮಗೆ ಜೀವನದಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದು ತರ್ಕ ಮತ್ತು ಗಮನವನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ, ಅದು ಇಲ್ಲದೆ ಪ್ರತಿಯೊಬ್ಬ ವ್ಯಕ್ತಿಯು ಕೈಗಳಿಲ್ಲದೆಯೇ ಇರುತ್ತಾನೆ.

ಉಪನ್ಯಾಸ ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು

ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳು

ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳು

ಪರಿಚಯ

ಕೆಲವು ವಿದ್ಯಮಾನಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವಾಗ, y=f(x) ಅಥವಾ F(x;y)=0 ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ವಿವರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗದಿದ್ದಾಗ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತದೆ. ವೇರಿಯಬಲ್ x ಮತ್ತು ಅಜ್ಞಾತ ಕಾರ್ಯದ ಜೊತೆಗೆ, ಈ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪ್ರವೇಶಿಸುತ್ತದೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ:ವೇರಿಯೇಬಲ್ x, ಅಜ್ಞಾತ ಕಾರ್ಯ y(x) ಮತ್ತು ಅದರ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಸಂಪರ್ಕಿಸುವ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವು ಈ ರೀತಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ:

F(x;y(x); ;;...;y (n))=0

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ:ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದ ಕ್ರಮವು ಅದರಲ್ಲಿ ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಅತ್ಯುನ್ನತ ಉತ್ಪನ್ನದ ಕ್ರಮವಾಗಿದೆ.

- 1 ನೇ ಕ್ರಮದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣ

- 3 ನೇ ಕ್ರಮದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣ

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ:ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಸಮೀಕರಣದ ಪರಿಹಾರವು ಒಂದು ಕಾರ್ಯವಾಗಿದ್ದು, ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಬದಲಿಯಾಗಿ ಅದನ್ನು ಗುರುತಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸುತ್ತದೆ.

ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳು 1 ನೇ ಆದೇಶ

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ:ರೂಪದ ಸಮೀಕರಣ =f(x;y) ಅಥವಾ F(x;y; )=01 ನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ: 1 ನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವೆಂದರೆ y=γ(x;c), ಅಲ್ಲಿ (c-const), ಇದು ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಬದಲಿಯಾಗಿ ಅದನ್ನು ಗುರುತಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸುತ್ತದೆ. ಜ್ಯಾಮಿತೀಯವಾಗಿ, ಸಮತಲದಲ್ಲಿ, ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವು ಸಿ ನಿಯತಾಂಕವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ ಸಮಗ್ರ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ಕುಟುಂಬಕ್ಕೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ:ಸಮತಲದ ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ (x 0 ; y 0) ಹಾದುಹೋಗುವ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ವಕ್ರರೇಖೆಯು ಆರಂಭಿಕ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪೂರೈಸುವ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರಕ್ಕೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ:

1 ನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರದ ಅನನ್ಯತೆಯ ಅಸ್ತಿತ್ವದ ಪ್ರಮೇಯ

1 ನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ
ಮತ್ತು F(x;y) ಕಾರ್ಯವು XOY ಸಮತಲದ ಕೆಲವು ಪ್ರದೇಶದಲ್ಲಿ D ನಲ್ಲಿ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳೊಂದಿಗೆ ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ನಂತರ M 0 (x 0 ;y 0) ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಆರಂಭಿಕ ಸ್ಥಿತಿ y(x 0)=y 0 ಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಸಮೀಕರಣದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಏಕೈಕ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಮೂಲಕ D ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ.

ಒಂದು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ವಕ್ರರೇಖೆಯು ಸಮತಲದಲ್ಲಿನ ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ.

ನೀವು ಪಡೆಯಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗದಿದ್ದರೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ನಿರ್ಧಾರಸ್ಪಷ್ಟ ರೂಪದಲ್ಲಿ 1 ನೇ ಕ್ರಮದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣ, ಅಂದರೆ.
, ನಂತರ ಅದನ್ನು ಸೂಚ್ಯವಾಗಿ ಪಡೆಯಬಹುದು:

F(x; y; c) =0 - ಸೂಚ್ಯ ರೂಪ

ಈ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣ.

1 ನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ, 2 ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಒಡ್ಡಲಾಗುತ್ತದೆ:

1) ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹುಡುಕಿ (ಸಾಮಾನ್ಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯ)

2) ನೀಡಿದ ಆರಂಭಿಕ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪೂರೈಸುವ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವನ್ನು (ಭಾಗಶಃ ಅವಿಭಾಜ್ಯ) ಹುಡುಕಿ. ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕಾಗಿ ಕೌಚಿ ಸಮಸ್ಯೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಬೇರ್ಪಡಿಸಬಹುದಾದ ಅಸ್ಥಿರಗಳೊಂದಿಗೆ ವಿಭಿನ್ನ ಸಮೀಕರಣಗಳು

ರೂಪದ ಸಮೀಕರಣಗಳು:
ಬೇರ್ಪಡಿಸಬಹುದಾದ ಅಸ್ಥಿರಗಳೊಂದಿಗೆ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಸಮೀಕರಣ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಬದಲಿ ಮಾಡೋಣ

dx ನಿಂದ ಗುಣಿಸಿ

ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸೋಣ

ಭಾಗಿಸಿ

ಗಮನಿಸಿ: ಯಾವಾಗ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ

ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಲಾಗಿದೆ

ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸೋಣ

- ಸಾಮಾನ್ಯ ನಿರ್ಧಾರ

ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಬಹುದಾದ ಅಸ್ಥಿರಗಳೊಂದಿಗಿನ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಹೀಗೆ ಬರೆಯಬಹುದು:

ಒಂದು ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಪ್ರಕರಣ
!

ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸೋಣ:

1)

2)
ಆರಂಭ ಷರತ್ತುಗಳು:

1 ನೇ ಕ್ರಮದ ಏಕರೂಪದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳು

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ:ಕಾರ್ಯ
n ವೇಳೆ ಕ್ರಮದ ಏಕರೂಪ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ

ಉದಾಹರಣೆ: - ಆದೇಶ = 2 ನ ಏಕರೂಪದ ಕಾರ್ಯ

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ:ಆರ್ಡರ್ 0 ನ ಏಕರೂಪದ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಏಕರೂಪದ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ:ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಸಮೀಕರಣ
ಒಂದು ವೇಳೆ ಏಕರೂಪ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ
- ಏಕರೂಪದ ಕಾರ್ಯ, ಅಂದರೆ.

ಹೀಗಾಗಿ, ಏಕರೂಪದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಹೀಗೆ ಬರೆಯಬಹುದು:

ಬದಲಿ ಬಳಸುವುದು , ಇಲ್ಲಿ t ಎಂಬುದು ವೇರಿಯಬಲ್ x ನ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ, ಏಕರೂಪದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬೇರ್ಪಡಿಸಬಹುದಾದ ಅಸ್ಥಿರಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಇಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

- ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಬದಲಿ

ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಲಾಗಿದೆ, ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸೋಣ

ಬದಲಿಯಾಗಿ ರಿವರ್ಸ್ ಪರ್ಯಾಯವನ್ನು ಮಾಡೋಣ , ನಾವು ಸೂಚ್ಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.

ಏಕರೂಪದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಭೇದಾತ್ಮಕ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಬಹುದು.

M(x;y)dx+N(x;y)dy=0, ಇಲ್ಲಿ M(x;y) ಮತ್ತು N(x;y) ಒಂದೇ ಕ್ರಮದ ಏಕರೂಪದ ಕಾರ್ಯಗಳಾಗಿವೆ.

dx ಮತ್ತು ಎಕ್ಸ್‌ಪ್ರೆಸ್‌ನಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ

1)

1 (x)y" + a 0 (x)y = b(x) ರೂಪದ ಮೊದಲ-ಕ್ರಮದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ರೇಖೀಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. b(x) ≡ 0 ಆಗಿದ್ದರೆ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಏಕರೂಪ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ - ವೈವಿಧ್ಯಮಯ. ರೇಖೀಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕಾಗಿ, ಅಸ್ತಿತ್ವ ಮತ್ತು ಅನನ್ಯತೆಯ ಪ್ರಮೇಯವು ಹೆಚ್ಚು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.

ಸೇವೆಯ ಉದ್ದೇಶ. ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಲು ಆನ್‌ಲೈನ್ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು ಏಕರೂಪದ ಮತ್ತು ಏಕರೂಪದ ರೇಖೀಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳುರೂಪ y"+y=b(x) .

=

ವೇರಿಯಬಲ್ ಪರ್ಯಾಯವನ್ನು ಬಳಸಿ y=u*v
ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ಥಿರಾಂಕದ ಬದಲಾವಣೆಯ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿ
y ಗಾಗಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹುಡುಕಿ ) = .

ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಪಡೆಯಲು, ಮೂಲ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ರೂಪಕ್ಕೆ ಇಳಿಸಬೇಕು: a 1 (x)y" + a 0 (x)y = b(x). ಉದಾಹರಣೆಗೆ, y"-exp(x)=2*y ಅದು y"-2 *y=exp(x) ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

ಪ್ರಮೇಯ. ಒಂದು 1 (x) , a 0 (x) , b(x) ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ [α,β], ∀x∈[α,β] ಗೆ 1 ≠0 ನಿರಂತರವಾಗಿರಲಿ. ನಂತರ ಯಾವುದೇ ಬಿಂದುವಿಗೆ (x 0 , y 0), x 0 ∈[α,β], ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಒಂದು ಅನನ್ಯ ಪರಿಹಾರವಿದೆ ಅದು y(x 0) = y 0 ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸಂಪೂರ್ಣ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ [α ,β].
ಏಕರೂಪದ ರೇಖೀಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ a 1 (x)y"+a 0 (x)y=0.
ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಿ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ , ಅಥವಾ, ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸುವುದು, ಎಕ್ಸ್ (x) = e x ಎಂಬ ಸಂಕೇತವನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ಕೊನೆಯ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ

ನಾವು ಈಗ ಸೂಚಿಸಲಾದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸೋಣ, ಇದರಲ್ಲಿ ಸ್ಥಿರವಾದ C ಬದಲಿಗೆ C (x) ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಬದಲಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ ರೂಪದಲ್ಲಿ

ಈ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಮೂಲಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸಿ, ಅಗತ್ಯ ರೂಪಾಂತರಗಳ ನಂತರ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ ಎರಡನೆಯದನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸುವುದು, ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ

ಅಲ್ಲಿ C 1 ಕೆಲವು ಹೊಸ ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಸಿ(x) ಗೆ ಫಲಿತಾಂಶದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಬದಲಿಸಿ, ನಾವು ಅಂತಿಮವಾಗಿ ಮೂಲ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ
.

ಉದಾಹರಣೆ. y" + 2y = 4x ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ. ಅನುಗುಣವಾದ ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣ y" + 2y = 0 ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಅದನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ, ನಾವು y = Ce -2 x ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ನಾವು ಈಗ y = C(x)e -2 x ರೂಪದಲ್ಲಿ ಮೂಲ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹುಡುಕುತ್ತಿದ್ದೇವೆ. y ಮತ್ತು y" = C"(x)e -2 x - 2C(x)e -2 x ಅನ್ನು ಮೂಲ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸಿದರೆ, ನಾವು C"(x) = 4xe 2 x ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ, ಅಲ್ಲಿಂದ C(x) = 2xe 2 x - e 2 x + C 1 ಮತ್ತು y(x) = (2xe 2 x - e 2 x + C 1)e -2 x = 2x - 1 + C 1 e -2 x ಮೂಲ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ ಈ ಪರಿಹಾರ, y 1 (. x) = 2x-1 - ಬಲದ ಪ್ರಭಾವದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ವಸ್ತುವಿನ ಚಲನೆ b (x) = 4x, y 2 (x) = C 1 e -2 x - ವಸ್ತುವಿನ ಸರಿಯಾದ ಚಲನೆ.

ಉದಾಹರಣೆ ಸಂಖ್ಯೆ 2. ಮೊದಲ ಆರ್ಡರ್ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಸಮೀಕರಣ y"+3 y tan(3x)=2 cos(3x)/sin 2 2x ಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹುಡುಕಿ.
ಇದು ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣವಲ್ಲ. ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಬದಲಾವಣೆಯನ್ನು ಮಾಡೋಣ: y=u v, y" = u"v + uv".
3u v tg(3x)+u v"+u" v = 2cos(3x)/sin 2 2x ಅಥವಾ u(3v tg(3x)+v") + u" v= 2cos(3x)/sin 2 2x
ಪರಿಹಾರವು ಎರಡು ಹಂತಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ:
1. u(3v tan(3x)+v") = 0
2. u"v = 2cos(3x)/sin 2 2x
1. u=0 ಅನ್ನು ಸಮೀಕರಿಸಿ, 3v ಟ್ಯಾನ್ (3x)+v" = 0 ಗೆ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳಿ
ಅದನ್ನು ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸೋಣ: v" = -3v tg(3x)

ಏಕೀಕರಣ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ln(v) = ln(cos(3x))
v = cos(3x)
2. v ತಿಳಿಯುವುದು, ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯಿಂದ ನಿಮ್ಮನ್ನು ಹುಡುಕಿ: u"v = 2cos(3x)/sin 2 2x
u" cos(3x) = 2cos(3x)/sin 2 2x
ಯು" = 2/ಸಿನ್ 2 2x
ಏಕೀಕರಣ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:
y=u v ಸ್ಥಿತಿಯಿಂದ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:
y = u v = (C-cos(2x)/sin(2x)) cos(3x) ಅಥವಾ y = C cos(3x)-cos(2x) cot(3x)

ಶಿಕ್ಷಣ ಸಂಸ್ಥೆ "ಬೆಲರೂಸಿಯನ್ ರಾಜ್ಯ

ಕೃಷಿ ಅಕಾಡೆಮಿ"

ಉನ್ನತ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರ ವಿಭಾಗ

ಮೊದಲ ಆದೇಶದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳು

ಲೆಕ್ಕಪರಿಶೋಧಕ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ ಉಪನ್ಯಾಸ ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು

ಶಿಕ್ಷಣದ ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರ ರೂಪ (NISPO)

ಗೋರ್ಕಿ, 2013

ಮೊದಲ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳು

ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಸಮೀಕರಣದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆ. ಸಾಮಾನ್ಯ ಮತ್ತು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರಗಳು

ವಿವಿಧ ವಿದ್ಯಮಾನಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವಾಗ, ಸ್ವತಂತ್ರ ವೇರಿಯಬಲ್ ಮತ್ತು ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ನೇರವಾಗಿ ಸಂಪರ್ಕಿಸುವ ಕಾನೂನನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಕಾರ್ಯ ಮತ್ತು ಅದರ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ನಡುವೆ ಸಂಪರ್ಕವನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ.

ಸ್ವತಂತ್ರ ವೇರಿಯಬಲ್, ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಕಾರ್ಯ ಮತ್ತು ಅದರ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಸಂಪರ್ಕಿಸುವ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣ :

ಇಲ್ಲಿ X- ಸ್ವತಂತ್ರ ವೇರಿಯಬಲ್, ವೈ- ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಕಾರ್ಯ,
- ಬಯಸಿದ ಕಾರ್ಯದ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಸಂಬಂಧ (1) ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹೊಂದಿರಬೇಕು.

ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದ ಕ್ರಮ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಲಾದ ಅತ್ಯುನ್ನತ ಉತ್ಪನ್ನದ ಕ್ರಮ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ

. (2)

ಈ ಸಮೀಕರಣವು ಮೊದಲ-ಕ್ರಮದ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಮಾತ್ರ ಒಳಗೊಂಡಿರುವುದರಿಂದ, ಇದನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮೊದಲ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ.

ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಸಮೀಕರಣ (2) ಅನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಬಹುದು

, (3)

ನಂತರ ಅಂತಹ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಮೊದಲ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಅನೇಕ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ರೂಪದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಲು ಸಲಹೆ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ

ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲಾದ ಮೊದಲ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣ.

ಏಕೆಂದರೆ
, ನಂತರ ಸಮೀಕರಣ (3) ಅನ್ನು ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಬಹುದು
ಅಥವಾ
, ಅಲ್ಲಿ ನಾವು ಎಣಿಸಬಹುದು
ಮತ್ತು
. ಇದರರ್ಥ ಸಮೀಕರಣ (3) ಅನ್ನು ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ (4) ಪರಿವರ್ತಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ನಾವು ಸಮೀಕರಣ (4) ಅನ್ನು ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯೋಣ
. ನಂತರ
,
,
, ಅಲ್ಲಿ ನಾವು ಎಣಿಸಬಹುದು
, ಅಂದರೆ ರೂಪ (3) ನ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಸಮೀಕರಣಗಳು (3) ಮತ್ತು (4) ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು (2) ಅಥವಾ (3) ಅನ್ನು ಯಾವುದೇ ಕಾರ್ಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ
, ಅದನ್ನು ಸಮೀಕರಣ (2) ಅಥವಾ (3) ಗೆ ಬದಲಿಸಿದಾಗ, ಅದನ್ನು ಗುರುತಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸುತ್ತದೆ:

ಅಥವಾ
.

ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಎಲ್ಲಾ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಅದರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಏಕೀಕರಣ , ಮತ್ತು ಪರಿಹಾರ ಗ್ರಾಫ್
ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಕರ್ವ್ ಈ ಸಮೀಕರಣ.

ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಸೂಚ್ಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪಡೆದರೆ
, ನಂತರ ಅದನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ.

ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರ ಮೊದಲ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವು ರೂಪದ ಕಾರ್ಯಗಳ ಕುಟುಂಬವಾಗಿದೆ
, ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ಥಿರಾಂಕವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ ಜೊತೆಗೆ, ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ಥಿರಾಂಕದ ಯಾವುದೇ ಸ್ವೀಕಾರಾರ್ಹ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ನೀಡಿದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ ಜೊತೆಗೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವು ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.

ಖಾಸಗಿ ನಿರ್ಧಾರ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಸಮೀಕರಣವು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ಥಿರಾಂಕದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರ ಸೂತ್ರದಿಂದ ಪಡೆದ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ ಜೊತೆಗೆ, ಸೇರಿದಂತೆ
.

ಕೌಚಿ ಸಮಸ್ಯೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ

ಸಮೀಕರಣವು (2) ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಖಾಸಗಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಈ ಸೆಟ್‌ನಿಂದ ಒಂದು ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲು, ನೀವು ಕೆಲವು ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ.

ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಲ್ಲಿ ಸಮೀಕರಣ (2) ಗೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಕೌಚಿ ಸಮಸ್ಯೆ . ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯು ಅತ್ಯಂತ ಪ್ರಮುಖವಾಗಿದೆ.

ಕೌಚಿ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ರೂಪಿಸಲಾಗಿದೆ: ಸಮೀಕರಣದ ಎಲ್ಲಾ ಪರಿಹಾರಗಳಲ್ಲಿ (2) ಅಂತಹ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳಿ
, ಇದರಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯ
ನೀಡಿದ ಸಂಖ್ಯಾ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ , ಸ್ವತಂತ್ರ ವೇರಿಯಬಲ್ ಆಗಿದ್ದರೆ X ನೀಡಿದ ಸಂಖ್ಯಾ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ , ಅಂದರೆ

,
, (5)

ಎಲ್ಲಿ ಡಿ- ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್
.

ಅರ್ಥ ಎಂದು ಕರೆದರು ಕಾರ್ಯದ ಆರಂಭಿಕ ಮೌಲ್ಯ , ಎ – ಸ್ವತಂತ್ರ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಆರಂಭಿಕ ಮೌಲ್ಯ . ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು (5) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಆರಂಭಿಕ ಸ್ಥಿತಿ ಅಥವಾ ಕೌಚಿಯ ಸ್ಥಿತಿ .

ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ, ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣ (2) ಗಾಗಿ ಕೌಚಿ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ರೂಪಿಸಬಹುದು: ಸಮೀಕರಣದ ಸಮಗ್ರ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ಗುಂಪಿನಿಂದ (2), ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ಒಂದನ್ನು ಆಯ್ಕೆಮಾಡಿ
.

ಬೇರ್ಪಡಿಸಬಹುದಾದ ಅಸ್ಥಿರಗಳೊಂದಿಗೆ ವಿಭಿನ್ನ ಸಮೀಕರಣಗಳು

ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸರಳ ವಿಧಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾದ ಮೊದಲ-ಕ್ರಮಾಂಕದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವು ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ:

. (6)

ಅದನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ
, ನಾವು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ
ಅಥವಾ
. ಕೊನೆಯ ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸಿ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:
ಅಥವಾ

. (7)

ಹೀಗಾಗಿ, (7) ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ (6) ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 1 . ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ
.

ಪರಿಹಾರ . ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯೋಣ
ಅಥವಾ
. ಫಲಿತಾಂಶದ ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸೋಣ:
,
. ನಾವು ಅಂತಿಮವಾಗಿ ಅದನ್ನು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ
.

ಉದಾಹರಣೆ 2 . ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹುಡುಕಿ
ಎಂದು ನೀಡಲಾಗಿದೆ
.

ಪರಿಹಾರ . ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ:
,
,
,
. ಷರತ್ತಿನ ಪ್ರಕಾರ
,
. ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಬದಲಿಸೋಣ:
ಅಥವಾ
. ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರಕ್ಕಾಗಿ ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ಥಿರಾಂಕದ ಕಂಡುಬಂದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನಾವು ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ:
. ಇದು ನೀಡಿದ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ.

ಸಮೀಕರಣ

(8)

ಕರೆ ಮಾಡಿದೆ ಮೊದಲ ಆರ್ಡರ್ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಸಮೀಕರಣವು ಸ್ವತಂತ್ರ ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ . ಅದನ್ನು ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯೋಣ
ಅಥವಾ
. ಕೊನೆಯ ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸೋಣ:
ಅಥವಾ
- ಸಮೀಕರಣದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರ (8).

ಉದಾಹರಣೆ . ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹುಡುಕಿ
.

ಪರಿಹಾರ . ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯೋಣ:
ಅಥವಾ
. ನಂತರ
,
,
,
. ಹೀಗಾಗಿ,
ಈ ಸಮೀಕರಣದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ.

ರೂಪದ ಸಮೀಕರಣ

(9)

ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಪ್ರತ್ಯೇಕತೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಂಯೋಜಿಸುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನಾವು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ
, ಮತ್ತು ನಂತರ ಗುಣಾಕಾರ ಮತ್ತು ವಿಭಜನೆಯ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಾವು ಅದನ್ನು ಅಂತಹ ರೂಪಕ್ಕೆ ತರುತ್ತೇವೆ, ಒಂದು ಭಾಗವು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಮಾತ್ರ ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ Xಮತ್ತು ಭೇದಾತ್ಮಕ dx, ಮತ್ತು ಎರಡನೇ ಭಾಗದಲ್ಲಿ - ಕಾರ್ಯ ನಲ್ಲಿಮತ್ತು ಭೇದಾತ್ಮಕ dy. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ dxಮತ್ತು ಭಾಗಿಸಿ
. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ನಾವು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

, (10)

ಇದರಲ್ಲಿ ಅಸ್ಥಿರ Xಮತ್ತು ನಲ್ಲಿಬೇರ್ಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸೋಣ (10):
. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಸಂಬಂಧವು ಸಮೀಕರಣದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾಗಿದೆ (9).

ಉದಾಹರಣೆ 3 . ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸಿ
.

ಪರಿಹಾರ . ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿವರ್ತಿಸೋಣ ಮತ್ತು ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸೋಣ:
,
. ನಾವು ಸಂಯೋಜಿಸೋಣ:
,
ಅಥವಾ ಈ ಸಮೀಕರಣದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾಗಿದೆ.
.

ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ರೂಪದಲ್ಲಿ ನೀಡೋಣ

ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಬೇರ್ಪಡಿಸಬಹುದಾದ ಅಸ್ಥಿರಗಳೊಂದಿಗೆ ಮೊದಲ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ.

ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಲು, ನೀವು ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ಭಾಗಿಸಬೇಕು
:

. (12)

ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಿದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣ . ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಏಕೀಕರಿಸೋಣ (12):

.(13)

ಸಂಬಂಧ (13) ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾಗಿದೆ (11).

ಉದಾಹರಣೆ 4 . ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ . ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯೋಣ

ಮತ್ತು ಎರಡೂ ಭಾಗಗಳನ್ನು ಭಾಗಿಸಿ
,
. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಸಮೀಕರಣ:
ಬೇರ್ಪಟ್ಟ ವೇರಿಯಬಲ್ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ. ಅದನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸೋಣ:

,
,

,
. ಕೊನೆಯ ಸಮಾನತೆಯು ಈ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 5 . ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹುಡುಕಿ
, ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವುದು
.

ಪರಿಹಾರ . ಅದನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ
, ನಾವು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ
ಅಥವಾ
. ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸೋಣ:
. ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸೋಣ:
,
,
. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಸಂಬಂಧವು ಈ ಸಮೀಕರಣದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾಗಿದೆ. ಷರತ್ತಿನ ಪ್ರಕಾರ
. ಅದನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸೋಣ ಮತ್ತು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ ಜೊತೆಗೆ:
,ಜೊತೆಗೆ=1. ನಂತರ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ
ನೀಡಿದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದ ಭಾಗಶಃ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ಭಾಗಶಃ ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾಗಿ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ.

ಮೊದಲ ಕ್ರಮಾಂಕದ ರೇಖೀಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳು

ಸಮೀಕರಣ

(14)

ಎಂದು ಕರೆದರು ಮೊದಲ ಕ್ರಮಾಂಕದ ರೇಖೀಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣ . ಅಜ್ಞಾತ ಕಾರ್ಯ
ಮತ್ತು ಅದರ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ರೇಖೀಯವಾಗಿ ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಪ್ರವೇಶಿಸುತ್ತದೆ
ಮತ್ತು
ನಿರಂತರ.

ಒಂದು ವೇಳೆ
, ನಂತರ ಸಮೀಕರಣ

(15)

ಎಂದು ಕರೆದರು ರೇಖೀಯ ಏಕರೂಪದ . ಒಂದು ವೇಳೆ
, ನಂತರ ಸಮೀಕರಣ (14) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ರೇಖೀಯ ಅಸಮಂಜಸ .

ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು (14) ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಬಳಸುತ್ತಾರೆ ಪರ್ಯಾಯ ವಿಧಾನ (ಬರ್ನೌಲ್ಲಿ) , ಇದರ ಸಾರವು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿರುತ್ತದೆ.

ನಾವು ಎರಡು ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ (14) ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹುಡುಕುತ್ತೇವೆ

, (16)

ಎಲ್ಲಿ
ಮತ್ತು
- ಕೆಲವು ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯಗಳು. ಬದಲಿ ಮಾಡೋಣ
ಮತ್ತು ಉತ್ಪನ್ನ
ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ (14):

ಕಾರ್ಯ vಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ನಾವು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ
. ನಂತರ
. ಹೀಗಾಗಿ, ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು (14), ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ

ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣವು ರೇಖೀಯ ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಬೇರ್ಪಡಿಸುವ ವಿಧಾನದಿಂದ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು:
,
,
,
,
. ಒಂದು ಕಾರ್ಯವಾಗಿ
ನೀವು ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣದ ಭಾಗಶಃ ಪರಿಹಾರಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು, ಅಂದರೆ. ನಲ್ಲಿ ಜೊತೆಗೆ=1:
. ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಎರಡನೇ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸೋಣ:
ಅಥವಾ
.ನಂತರ
. ಹೀಗಾಗಿ, ಮೊದಲ ಕ್ರಮಾಂಕದ ರೇಖೀಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ
.

ಉದಾಹರಣೆ 6 . ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ
.

ಪರಿಹಾರ . ನಾವು ರೂಪದಲ್ಲಿ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹುಡುಕುತ್ತೇವೆ
. ನಂತರ
. ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ ನೋಡೋಣ:

ಅಥವಾ
. ಕಾರ್ಯ vಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಆಯ್ಕೆಮಾಡಿ
. ನಂತರ
. ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಬೇರ್ಪಡಿಸುವ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಈ ಸಮೀಕರಣಗಳಲ್ಲಿ ಮೊದಲನೆಯದನ್ನು ಪರಿಹರಿಸೋಣ:
,
,
,
,. ಕಾರ್ಯ vಎರಡನೇ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ ನೋಡೋಣ:
,
,
,
. ಈ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವೆಂದರೆ
.

ಜ್ಞಾನದ ಸ್ವಯಂ ನಿಯಂತ್ರಣಕ್ಕಾಗಿ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳು

ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಸಮೀಕರಣ ಎಂದರೇನು?

ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದ ಕ್ರಮವೇನು?

ಯಾವ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಮೊದಲ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ?

ಮೊದಲ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಭೇದಾತ್ಮಕ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಹೇಗೆ ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ?

ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರವೇನು?

ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಕರ್ವ್ ಎಂದರೇನು?

ಮೊದಲ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವೇನು?

ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಸಮೀಕರಣದ ಭಾಗಶಃ ಪರಿಹಾರ ಎಂದು ಏನು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ?

ಮೊದಲ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕಾಗಿ ಕೌಚಿ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಹೇಗೆ ರೂಪಿಸಲಾಗಿದೆ?

ಕೌಚಿ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಏನು?

ಸಮ್ಮಿತೀಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬೇರ್ಪಡಿಸಬಹುದಾದ ಅಸ್ಥಿರಗಳೊಂದಿಗೆ ವಿಭಿನ್ನ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬರೆಯುವುದು ಹೇಗೆ?

ಯಾವ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಮೊದಲ ಕ್ರಮಾಂಕದ ರೇಖೀಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ?

ಮೊದಲ ಕ್ರಮಾಂಕದ ರೇಖೀಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಯಾವ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಈ ವಿಧಾನದ ಮೂಲತತ್ವ ಏನು?

ಸ್ವತಂತ್ರ ಕೆಲಸಕ್ಕಾಗಿ ಕಾರ್ಯಗಳು

ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಬಹುದಾದ ಅಸ್ಥಿರಗಳೊಂದಿಗೆ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ:

ಎ)
; b)
;

ವಿ)
; ಜಿ)
.

2. ಮೊದಲ ಕ್ರಮಾಂಕದ ರೇಖೀಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ:

ಎ)
; b)
; ವಿ)
;

ಜಿ)
; d)
.

ಮೊದಲ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳು. ಪರಿಹಾರಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳು.
ಬೇರ್ಪಡಿಸಬಹುದಾದ ಅಸ್ಥಿರಗಳೊಂದಿಗೆ ವಿಭಿನ್ನ ಸಮೀಕರಣಗಳು

ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು (DE). ಈ ಎರಡು ಪದಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಭಯಭೀತಗೊಳಿಸುತ್ತವೆ. ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಅನೇಕ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ ನಿಷೇಧಿಸುವ ಮತ್ತು ಕರಗತ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಕಷ್ಟಕರವೆಂದು ತೋರುತ್ತದೆ. Uuuuu... ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು, ನಾನು ಇದನ್ನೆಲ್ಲ ಹೇಗೆ ಬದುಕಲಿ?!

ಈ ಅಭಿಪ್ರಾಯ ಮತ್ತು ಈ ವರ್ತನೆ ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ತಪ್ಪಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು - ಇದು ಸರಳ ಮತ್ತು ವಿನೋದಮಯವಾಗಿದೆ. ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರಿಹರಿಸಬೇಕೆಂದು ತಿಳಿಯಲು ನೀವು ಏನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಬೇಕು ಮತ್ತು ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ? ಪ್ರಸರಣಗಳನ್ನು ಯಶಸ್ವಿಯಾಗಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು, ನೀವು ಏಕೀಕರಿಸುವ ಮತ್ತು ವಿಭಿನ್ನಗೊಳಿಸುವಲ್ಲಿ ಉತ್ತಮರಾಗಿರಬೇಕು. ವಿಷಯಗಳನ್ನು ಉತ್ತಮವಾಗಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ ಒಂದು ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ನ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಮತ್ತು ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯ, ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಸುಲಭವಾಗುತ್ತದೆ. ನಾನು ಹೆಚ್ಚು ಹೇಳುತ್ತೇನೆ, ನೀವು ಹೆಚ್ಚು ಅಥವಾ ಕಡಿಮೆ ಯೋಗ್ಯವಾದ ಏಕೀಕರಣ ಕೌಶಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ವಿಷಯವನ್ನು ಬಹುತೇಕ ಮಾಸ್ಟರಿಂಗ್ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ! ಹೆಚ್ಚು ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳು ವಿವಿಧ ರೀತಿಯಹೇಗೆ ನಿರ್ಧರಿಸಬೇಕೆಂದು ನಿಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ - ತುಂಬಾ ಉತ್ತಮ. ಏಕೆ? ನೀವು ಬಹಳಷ್ಟು ಸಂಯೋಜಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ. ಮತ್ತು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಿ. ಅಲ್ಲದೆ ಹೆಚ್ಚು ಶಿಫಾರಸುಹುಡುಕಲು ಕಲಿಯಿರಿ.

95% ಪ್ರಕರಣಗಳಲ್ಲಿ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳುಮೊದಲ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳಲ್ಲಿ 3 ವಿಧಗಳಿವೆ: ಬೇರ್ಪಡಿಸಬಹುದಾದ ಸಮೀಕರಣಗಳುಈ ಪಾಠದಲ್ಲಿ ನಾವು ನೋಡೋಣ; ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣಗಳುಮತ್ತು ರೇಖೀಯ ಅಸಮಂಜಸ ಸಮೀಕರಣಗಳು. ಡಿಫ್ಯೂಸರ್‌ಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸುವವರಿಗೆ, ಪಾಠಗಳನ್ನು ನಿಖರವಾಗಿ ಈ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಓದಲು ನಾನು ನಿಮಗೆ ಸಲಹೆ ನೀಡುತ್ತೇನೆ ಮತ್ತು ಮೊದಲ ಎರಡು ಲೇಖನಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ ನಂತರ, ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಕಾರ್ಯಾಗಾರದಲ್ಲಿ ನಿಮ್ಮ ಕೌಶಲ್ಯಗಳನ್ನು ಕ್ರೋಢೀಕರಿಸಲು ಇದು ನೋಯಿಸುವುದಿಲ್ಲ - ಸಮೀಕರಣಗಳು ಏಕರೂಪಕ್ಕೆ ತಗ್ಗಿಸುತ್ತವೆ.

ಇನ್ನೂ ಅಪರೂಪದ ರೀತಿಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳಿವೆ: ಒಟ್ಟು ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳು, ಬರ್ನೌಲ್ಲಿ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಮತ್ತು ಕೆಲವು. ಕೊನೆಯ ಎರಡು ವಿಧಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರಮುಖವಾದವುಗಳು ಸಮೀಕರಣಗಳು ಪೂರ್ಣ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳು, ಈ ರಿಮೋಟ್ ಕಂಟ್ರೋಲ್ ಜೊತೆಗೆ ನಾನು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತಿದ್ದೇನೆ ಹೊಸ ವಸ್ತು – ಭಾಗಶಃ ಏಕೀಕರಣ.

ನಿಮಗೆ ಕೇವಲ ಒಂದು ಅಥವಾ ಎರಡು ದಿನಗಳು ಉಳಿದಿದ್ದರೆ, ಅದು ಅತಿ ವೇಗದ ತಯಾರಿಗಾಗಿಇದೆ ಬ್ಲಿಟ್ಜ್ ಕೋರ್ಸ್ pdf ರೂಪದಲ್ಲಿ.

ಆದ್ದರಿಂದ, ಹೆಗ್ಗುರುತುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಸಲಾಗಿದೆ - ಹೋಗೋಣ:

ಮೊದಲಿಗೆ, ಸಾಮಾನ್ಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ನೆನಪಿಸೋಣ. ಅವು ಅಸ್ಥಿರ ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತವೆ. ಸರಳ ಉದಾಹರಣೆ: . ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದರ ಅರ್ಥವೇನು? ಇದರರ್ಥ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸೆಟ್, ಇದು ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತದೆ. ಮಕ್ಕಳ ಸಮೀಕರಣವು ಒಂದೇ ಮೂಲವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸುವುದು ಸುಲಭ: . ಕೇವಲ ವಿನೋದಕ್ಕಾಗಿ, ನಮ್ಮ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬಂದ ಮೂಲವನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ ಮತ್ತು ಬದಲಿಸೋಣ:

- ಸರಿಯಾದ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಸರಿಯಾಗಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲಾಗಿದೆ.

ಡಿಫ್ಯೂಸರ್‌ಗಳನ್ನು ಅದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ವಿನ್ಯಾಸಗೊಳಿಸಲಾಗಿದೆ!

ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಸಮೀಕರಣ ಮೊದಲ ಆದೇಶವಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪ್ರಕರಣ ಒಳಗೊಂಡಿದೆ:
1) ಸ್ವತಂತ್ರ ವೇರಿಯಬಲ್;
2) ಅವಲಂಬಿತ ವೇರಿಯಬಲ್ (ಕಾರ್ಯ);
3) ಕಾರ್ಯದ ಮೊದಲ ಉತ್ಪನ್ನ: .

ಕೆಲವು 1 ನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಸಮೀಕರಣಗಳಲ್ಲಿ "x" ಮತ್ತು/ಅಥವಾ "y" ಇಲ್ಲದಿರಬಹುದು, ಆದರೆ ಇದು ಗಮನಾರ್ಹವಲ್ಲ - ಪ್ರಮುಖನಿಯಂತ್ರಣ ಕೊಠಡಿಗೆ ಹೋಗಲು ಆಗಿತ್ತುಮೊದಲ ಉತ್ಪನ್ನ, ಮತ್ತು ಇರಲಿಲ್ಲಉನ್ನತ ಆದೇಶಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು -, ಇತ್ಯಾದಿ.

ಏನು ಅಂದರೆ ?ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು ಎಂದರೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಎಲ್ಲಾ ಕಾರ್ಯಗಳ ಸೆಟ್, ಇದು ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ಕಾರ್ಯಗಳ ಒಂದು ಸೆಟ್ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ (- ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ಥಿರ), ಇದನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರ.

ಉದಾಹರಣೆ 1

ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ

ಪೂರ್ಣ ಮದ್ದುಗುಂಡು. ಎಲ್ಲಿ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಬೇಕು ಪರಿಹಾರ?

ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ನೀವು ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಸ್ವಲ್ಪ ವಿಭಿನ್ನ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪುನಃ ಬರೆಯಬೇಕಾಗಿದೆ. ನಿಮ್ಮಲ್ಲಿ ಅನೇಕರು ಬಹುಶಃ ಹಾಸ್ಯಾಸ್ಪದ ಮತ್ತು ಅನಗತ್ಯವೆಂದು ತೋರುವ ತೊಡಕಿನ ಪದನಾಮವನ್ನು ನಾವು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಡಿಫ್ಯೂಸರ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಇದು ನಿಯಮಗಳು!

ಎರಡನೇ ಹಂತದಲ್ಲಿ, ಅದು ಸಾಧ್ಯವೇ ಎಂದು ನೋಡೋಣ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಅಸ್ಥಿರ?ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುವುದು ಇದರ ಅರ್ಥವೇನು? ಸ್ಥೂಲವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿನಾವು ಹೊರಡಬೇಕಾಗಿದೆ ಕೇವಲ "ಗ್ರೀಕರು", ಎ ಬಲ ಭಾಗದಲ್ಲಿಸಂಘಟಿಸಿ ಕೇವಲ "ಎಕ್ಸ್". ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ಗಳ ವಿಭಜನೆಯನ್ನು "ಶಾಲಾ" ಮ್ಯಾನಿಪ್ಯುಲೇಷನ್‌ಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಡೆಸಲಾಗುತ್ತದೆ: ಅವುಗಳನ್ನು ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳಿಂದ ಹೊರಗಿಡುವುದು, ಚಿಹ್ನೆಯ ಬದಲಾವಣೆಯೊಂದಿಗೆ ಪದಗಳನ್ನು ಭಾಗದಿಂದ ಭಾಗಕ್ಕೆ ವರ್ಗಾಯಿಸುವುದು, ಅನುಪಾತದ ನಿಯಮದ ಪ್ರಕಾರ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಭಾಗದಿಂದ ಭಾಗಕ್ಕೆ ವರ್ಗಾಯಿಸುವುದು ಇತ್ಯಾದಿ.

ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳು ಮತ್ತು ಪೂರ್ಣ ಗುಣಕಗಳು ಮತ್ತು ಹಗೆತನದಲ್ಲಿ ಸಕ್ರಿಯ ಭಾಗವಹಿಸುವವರು. ಪರಿಗಣನೆಯಲ್ಲಿರುವ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ, ಅನುಪಾತದ ನಿಯಮದ ಪ್ರಕಾರ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಟಾಸ್ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಬೇರ್ಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಲಾಗಿದೆ. ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ "Y" ಗಳು ಮಾತ್ರ ಇವೆ, ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ - "X" ಮಾತ್ರ.

ಮುಂದಿನ ಹಂತ - ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದ ಏಕೀಕರಣ. ಇದು ಸರಳವಾಗಿದೆ, ನಾವು ಎರಡೂ ಬದಿಗಳಲ್ಲಿ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳನ್ನು ಹಾಕುತ್ತೇವೆ:

ಸಹಜವಾಗಿ, ನಾವು ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬೇಕಾಗಿದೆ. IN ಈ ವಿಷಯದಲ್ಲಿಅವು ಕೋಷ್ಟಕಗಳಾಗಿವೆ:

ನಮಗೆ ನೆನಪಿರುವಂತೆ, ಯಾವುದೇ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್‌ಗೆ ಸ್ಥಿರಾಂಕವನ್ನು ನಿಗದಿಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ಇಲ್ಲಿ ಎರಡು ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳಿವೆ, ಆದರೆ ಸ್ಥಿರವನ್ನು ಒಮ್ಮೆ ಬರೆದರೆ ಸಾಕು (ಸ್ಥಿರ + ಸ್ಥಿರ ಇನ್ನೂ ಮತ್ತೊಂದು ಸ್ಥಿರಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುವುದರಿಂದ). ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಇದನ್ನು ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ ಇರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡ ನಂತರ, ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಒಂದೇ ವಿಷಯವೆಂದರೆ ನಮ್ಮ “y” ಅನ್ನು “x” ಮೂಲಕ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ, ಅಂದರೆ, ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ ಒಂದು ಸೂಚ್ಯವಾಗಿರೂಪ. ಸೂಚ್ಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯ. ಅಂದರೆ, ಇದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾಗಿದೆ.

ಈ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಉತ್ತರವು ಸಾಕಷ್ಟು ಸ್ವೀಕಾರಾರ್ಹವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಉತ್ತಮ ಆಯ್ಕೆ ಇದೆಯೇ? ಪಡೆಯಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸೋಣ ಸಾಮಾನ್ಯ ನಿರ್ಧಾರ.

ದಯವಿಟ್ಟು, ಮೊದಲ ತಂತ್ರವನ್ನು ನೆನಪಿಡಿ, ಇದು ತುಂಬಾ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಕಾರ್ಯಗಳು: ಏಕೀಕರಣದ ನಂತರ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಕಾಣಿಸಿಕೊಂಡರೆ, ಅನೇಕ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ (ಆದರೆ ಯಾವಾಗಲೂ ಅಲ್ಲ!) ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಸ್ಥಿರವನ್ನು ಬರೆಯಲು ಸಹ ಸಲಹೆ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ..

ಅದು, ಬದಲಾಗಿನಮೂದುಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ .

ಇದು ಏಕೆ ಅಗತ್ಯ? ಮತ್ತು "ಆಟ" ವನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲು ಸುಲಭವಾಗುವಂತೆ ಮಾಡಲು. ಲಾಗರಿಥಮ್ಸ್ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಬಳಸುವುದು . ಈ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ:

ಈಗ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳು ಮತ್ತು ಮಾಡ್ಯೂಲ್‌ಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಬಹುದು:

ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ಇದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ.

ಉತ್ತರ: ಸಾಮಾನ್ಯ ನಿರ್ಧಾರ: .

ಅನೇಕ ವಿಭಿನ್ನ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಉತ್ತರಗಳನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಲು ಸಾಕಷ್ಟು ಸುಲಭ. ನಮ್ಮ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಇದನ್ನು ಸರಳವಾಗಿ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ನಾವು ಕಂಡುಕೊಂಡ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುತ್ತೇವೆ:

ನಂತರ ನಾವು ಮೂಲ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ:

- ಸರಿಯಾದ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದರರ್ಥ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತದೆ, ಇದು ಪರಿಶೀಲಿಸಬೇಕಾದದ್ದು.

ಸ್ಥಿರವಾದ ವಿಭಿನ್ನ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ನೀಡುವ ಮೂಲಕ, ನೀವು ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು ಖಾಸಗಿ ಪರಿಹಾರಗಳುಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣ. ಯಾವುದೇ ಕಾರ್ಯಗಳು , ಇತ್ಯಾದಿ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ. ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತದೆ.

ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಕಾರ್ಯಗಳ ಕುಟುಂಬ. ಈ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ, ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರ - ಇದು ಒಂದು ಕುಟುಂಬ ರೇಖೀಯ ಕಾರ್ಯಗಳು, ಅಥವಾ ಬದಲಿಗೆ, ನೇರ ಅನುಪಾತದ ಕುಟುಂಬ.

ಮೊದಲ ಉದಾಹರಣೆಯ ಸಂಪೂರ್ಣ ವಿಮರ್ಶೆಯ ನಂತರ, ವಿಭಿನ್ನ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಹಲವಾರು ನಿಷ್ಕಪಟ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳಿಗೆ ಉತ್ತರಿಸುವುದು ಸೂಕ್ತವಾಗಿದೆ:

1)ಈ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ, ನಾವು ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಯಿತು. ಇದನ್ನು ಯಾವಾಗಲೂ ಮಾಡಬಹುದೇ?ಇಲ್ಲ ಯಾವಾಗಲೂ ಅಲ್ಲ. ಮತ್ತು ಇನ್ನೂ ಹೆಚ್ಚಾಗಿ, ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಬೇರ್ಪಡಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಇನ್ ಏಕರೂಪದ ಮೊದಲ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಸಮೀಕರಣಗಳು, ನೀವು ಮೊದಲು ಅದನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸಬೇಕು. ಇತರ ರೀತಿಯ ಸಮೀಕರಣಗಳಲ್ಲಿ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮೊದಲ ಕ್ರಮಾಂಕದ ರೇಖೀಯ ಅಸಮಂಜಸ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ, ನೀವು ಬಳಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ ವಿವಿಧ ತಂತ್ರಗಳುಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ವಿಧಾನಗಳು. ಬೇರ್ಪಡಿಸಬಹುದಾದ ಅಸ್ಥಿರಗಳೊಂದಿಗಿನ ಸಮೀಕರಣಗಳು, ನಾವು ಮೊದಲ ಪಾಠದಲ್ಲಿ ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ - ಸರಳ ವಿಧಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳು.

2) ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸಲು ಯಾವಾಗಲೂ ಸಾಧ್ಯವೇ?ಇಲ್ಲ ಯಾವಾಗಲೂ ಅಲ್ಲ. ಸಂಯೋಜಿಸಲಾಗದ "ಅಲಂಕಾರಿಕ" ಸಮೀಕರಣದೊಂದಿಗೆ ಬರಲು ಇದು ತುಂಬಾ ಸುಲಭ, ಜೊತೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗದ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳಿವೆ. ಆದರೆ ಇದೇ ರೀತಿಯ DE ಗಳನ್ನು ಸರಿಸುಮಾರು ಬಳಸಿ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು ವಿಶೇಷ ವಿಧಾನಗಳು. ಡಿ'ಅಲೆಂಬರ್ಟ್ ಮತ್ತು ಕೌಚಿ ಗ್ಯಾರಂಟಿ... ...ಉಫ್, lurkmore.ಇದೀಗ ಬಹಳಷ್ಟು ಓದಲು, ನಾನು ಬಹುತೇಕ "ಇತರ ಪ್ರಪಂಚದಿಂದ" ಸೇರಿಸಿದ್ದೇನೆ.

3) ಈ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ, ನಾವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ . ಸಾಮಾನ್ಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯದಿಂದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಯಾವಾಗಲೂ ಸಾಧ್ಯವೇ, ಅಂದರೆ, "y" ಅನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲು?ಇಲ್ಲ ಯಾವಾಗಲೂ ಅಲ್ಲ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ: . ಸರಿ, ನೀವು ಇಲ್ಲಿ "ಗ್ರೀಕ್" ಅನ್ನು ಹೇಗೆ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು?! ಅಂತಹ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ಉತ್ತರವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾಗಿ ಬರೆಯಬೇಕು. ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ, ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಸಾಧ್ಯ, ಆದರೆ ಅದನ್ನು ತುಂಬಾ ತೊಡಕಿನ ಮತ್ತು ವಿಕಾರವಾಗಿ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ ಎಂದರೆ ಉತ್ತರವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬಿಡುವುದು ಉತ್ತಮ.

4) ... ಬಹುಶಃ ಸದ್ಯಕ್ಕೆ ಸಾಕು. ನಾವು ಎದುರಿಸಿದ ಮೊದಲ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ಮತ್ತೊಂದು ಪ್ರಮುಖ ಅಂಶ , ಆದರೆ "ಡಮ್ಮೀಸ್" ಅನ್ನು ಹಿಮಪಾತದಿಂದ ಮುಚ್ಚದಂತೆ ಹೊಸ ಮಾಹಿತಿ, ಮುಂದಿನ ಪಾಠದವರೆಗೆ ನಾನು ಅದನ್ನು ಬಿಡುತ್ತೇನೆ.

ನಾವು ಅವಸರ ಮಾಡುವುದಿಲ್ಲ. ಮತ್ತೊಂದು ಸರಳ ರಿಮೋಟ್ ಕಂಟ್ರೋಲ್ ಮತ್ತು ಇನ್ನೊಂದು ವಿಶಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರ:

ಉದಾಹರಣೆ 2

ಆರಂಭಿಕ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪೂರೈಸುವ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹುಡುಕಿ

ಪರಿಹಾರ: ಸ್ಥಿತಿಯ ಪ್ರಕಾರ, ನೀವು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು ಖಾಸಗಿ ಪರಿಹಾರನೀಡಿದ ಆರಂಭಿಕ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪೂರೈಸುವ DE. ಪ್ರಶ್ನೆಯ ಈ ಸೂತ್ರೀಕರಣವನ್ನು ಸಹ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಕೌಚಿ ಸಮಸ್ಯೆ.

ಮೊದಲು ನಾವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ "x" ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಇಲ್ಲ, ಆದರೆ ಇದು ಗೊಂದಲಕ್ಕೀಡಾಗಬಾರದು, ಮುಖ್ಯ ವಿಷಯವೆಂದರೆ ಅದು ಮೊದಲ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.

ನಾವು ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಅಗತ್ಯವಿರುವ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪುನಃ ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ:

ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಬಹುದು, ಹುಡುಗರು ಎಡಕ್ಕೆ, ಹುಡುಗಿಯರು ಬಲಕ್ಕೆ:

ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸೋಣ:

ಸಾಮಾನ್ಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇಲ್ಲಿ ನಾನು ನಕ್ಷತ್ರದೊಂದಿಗೆ ಸ್ಥಿರಾಂಕವನ್ನು ಚಿತ್ರಿಸಿದ್ದೇನೆ, ವಾಸ್ತವವೆಂದರೆ ಶೀಘ್ರದಲ್ಲೇ ಅದು ಮತ್ತೊಂದು ಸ್ಥಿರವಾಗಿ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಈಗ ನಾವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುತ್ತೇವೆ ("y" ಅನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಿ). ಶಾಲೆಯ ಹಳೆಯ ವಿಷಯಗಳನ್ನು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳೋಣ: . ಈ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ:

ಸೂಚಕದಲ್ಲಿನ ಸ್ಥಿರವು ಹೇಗಾದರೂ ಅನ್ಕೋಷರ್ ಆಗಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಇದನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಭೂಮಿಗೆ ತರಲಾಗುತ್ತದೆ. ವಿವರವಾಗಿ, ಇದು ಹೇಗೆ ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ. ಡಿಗ್ರಿಗಳ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ನಾವು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಪುನಃ ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಸ್ಥಿರವಾಗಿದ್ದರೆ, ಕೆಲವು ಸ್ಥಿರವೂ ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಅದನ್ನು ಅಕ್ಷರದೊಂದಿಗೆ ಮರುವಿನ್ಯಾಸಗೊಳಿಸೋಣ:

"ಕೆಡವುವುದು" ಒಂದು ಸ್ಥಿರ ಎಂದು ನೆನಪಿಡಿ ಎರಡನೇ ತಂತ್ರ, ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ ಇದನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ, ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವೆಂದರೆ: . ಇದು ಘಾತೀಯ ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ತಮ ಕುಟುಂಬವಾಗಿದೆ.

ಅಂತಿಮ ಹಂತದಲ್ಲಿ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಆರಂಭಿಕ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪೂರೈಸುವ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ನೀವು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು. ಇದು ಕೂಡ ಸರಳವಾಗಿದೆ.

ಕಾರ್ಯವೇನು? ಎತ್ತಿಕೊಳ್ಳಬೇಕು ಅಂತಹಸ್ಥಿರತೆಯ ಮೌಲ್ಯವು ಇದರಿಂದ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ.

ಇದನ್ನು ವಿವಿಧ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಫಾರ್ಮ್ಯಾಟ್ ಮಾಡಬಹುದು, ಆದರೆ ಇದು ಬಹುಶಃ ಸ್ಪಷ್ಟವಾದ ಮಾರ್ಗವಾಗಿದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರದಲ್ಲಿ, "X" ಬದಲಿಗೆ ನಾವು ಶೂನ್ಯವನ್ನು ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು "Y" ಬದಲಿಗೆ ನಾವು ಎರಡನ್ನು ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ:



ಅದು,

ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿನ್ಯಾಸ ಆವೃತ್ತಿ:

ಈಗ ನಾವು ಸ್ಥಿರದ ಕಂಡುಬಂದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ:
- ಇದು ನಮಗೆ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ.

ಉತ್ತರ: ಖಾಸಗಿ ಪರಿಹಾರ:

ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ. ಖಾಸಗಿ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸುವುದು ಎರಡು ಹಂತಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ:

ಮೊದಲು ನೀವು ಕಂಡುಕೊಂಡ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವು ಆರಂಭಿಕ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ನಿಜವಾಗಿಯೂ ಪೂರೈಸುತ್ತದೆಯೇ ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸಬೇಕು? "X" ಬದಲಿಗೆ ನಾವು ಶೂನ್ಯವನ್ನು ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಏನಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೋಡಿ:
- ಹೌದು, ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಎರಡು ಸ್ವೀಕರಿಸಲಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ ಆರಂಭಿಕ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪೂರೈಸಲಾಗಿದೆ.

ಎರಡನೇ ಹಂತವು ಈಗಾಗಲೇ ಪರಿಚಿತವಾಗಿದೆ. ನಾವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುತ್ತೇವೆ:

ನಾವು ಮೂಲ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ:

- ಸರಿಯಾದ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗಿದೆ.

ತೀರ್ಮಾನ: ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಸರಿಯಾಗಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲಾಗಿದೆ.

ಹೆಚ್ಚು ಅರ್ಥಪೂರ್ಣ ಉದಾಹರಣೆಗಳಿಗೆ ಹೋಗೋಣ.

ಉದಾಹರಣೆ 3

ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ

ಪರಿಹಾರ:ನಮಗೆ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ರೂಪದಲ್ಲಿ ನಾವು ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಪುನಃ ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವೇ ಎಂದು ನಾವು ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ? ಮಾಡಬಹುದು. ಚಿಹ್ನೆಯ ಬದಲಾವಣೆಯೊಂದಿಗೆ ನಾವು ಎರಡನೇ ಪದವನ್ನು ಬಲಭಾಗಕ್ಕೆ ಸರಿಸುತ್ತೇವೆ:

ಮತ್ತು ನಾವು ಅನುಪಾತದ ನಿಯಮದ ಪ್ರಕಾರ ಗುಣಕಗಳನ್ನು ವರ್ಗಾಯಿಸುತ್ತೇವೆ:

ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಲಾಗಿದೆ, ನಾವು ಎರಡೂ ಭಾಗಗಳನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸೋಣ:

ನಾನು ನಿಮಗೆ ಎಚ್ಚರಿಕೆ ನೀಡಬೇಕು, ತೀರ್ಪಿನ ದಿನ ಸಮೀಪಿಸುತ್ತಿದೆ. ನೀವು ಚೆನ್ನಾಗಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡದಿದ್ದರೆ ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳು, ಕೆಲವು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲಾಗಿದೆ, ನಂತರ ಹೋಗಲು ಎಲ್ಲಿಯೂ ಇಲ್ಲ - ನೀವು ಈಗ ಅವುಗಳನ್ನು ಕರಗತ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಬೇಕು.

ಎಡಭಾಗದ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಸುಲಭ; ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸುವುದುಹಿಂದಿನ ವರ್ಷ:

ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ ನಾವು ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಮತ್ತು ನನ್ನ ಮೊದಲ ತಾಂತ್ರಿಕ ಶಿಫಾರಸಿನ ಪ್ರಕಾರ ಸ್ಥಿರವನ್ನು ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಬರೆಯಬೇಕು.

ಈಗ ನಾವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಸರಳೀಕರಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುತ್ತೇವೆ. ನಾವು ಕೇವಲ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದರಿಂದ, ಅವುಗಳನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕಲು ಸಾಕಷ್ಟು ಸಾಧ್ಯ (ಮತ್ತು ಅಗತ್ಯ). ಬಳಸಿಕೊಂಡು ತಿಳಿದಿರುವ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳುನಾವು ಲಾಗರಿಥಮ್ಗಳನ್ನು ಸಾಧ್ಯವಾದಷ್ಟು "ಪ್ಯಾಕ್" ಮಾಡುತ್ತೇವೆ. ನಾನು ಅದನ್ನು ಬಹಳ ವಿವರವಾಗಿ ಬರೆಯುತ್ತೇನೆ:

ಪ್ಯಾಕೇಜಿಂಗ್ ಅನಾಗರಿಕವಾಗಿ ಹದಗೆಟ್ಟಿದೆ:

"ಆಟ" ವನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವೇ? ಮಾಡಬಹುದು. ಎರಡೂ ಭಾಗಗಳನ್ನು ಸ್ಕ್ವೇರ್ ಮಾಡುವುದು ಅವಶ್ಯಕ.

ಆದರೆ ನೀವು ಇದನ್ನು ಮಾಡುವ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ.

ಮೂರನೇ ತಾಂತ್ರಿಕ ಸಲಹೆ:ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಪಡೆಯಲು, ಅದನ್ನು ಶಕ್ತಿಗೆ ಏರಿಸುವುದು ಅಥವಾ ಬೇರುಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದು ಅವಶ್ಯಕ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿನೀವು ಈ ಕ್ರಿಯೆಗಳಿಂದ ದೂರವಿರಬೇಕು ಮತ್ತು ಉತ್ತರವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬಿಡಬೇಕು. ಸತ್ಯವೆಂದರೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವು ಸರಳವಾಗಿ ಭಯಾನಕವಾಗಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ - ದೊಡ್ಡ ಬೇರುಗಳು, ಚಿಹ್ನೆಗಳು ಮತ್ತು ಇತರ ಕಸದೊಂದಿಗೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಉತ್ತರವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ. ಅದನ್ನು ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲು ಉತ್ತಮ ಅಭ್ಯಾಸವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ, ಸಾಧ್ಯವಾದರೆ, ಸ್ಥಿರವನ್ನು ಮಾತ್ರ ಬಿಡಿ. ಇದನ್ನು ಮಾಡುವುದು ಅನಿವಾರ್ಯವಲ್ಲ, ಆದರೆ ಪ್ರಾಧ್ಯಾಪಕರನ್ನು ಮೆಚ್ಚಿಸಲು ಇದು ಯಾವಾಗಲೂ ಪ್ರಯೋಜನಕಾರಿಯಾಗಿದೆ ;-)

ಉತ್ತರ:ಸಾಮಾನ್ಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯ:

! ಸೂಚನೆ: ಯಾವುದೇ ಸಮೀಕರಣದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮಗ್ರತೆಯನ್ನು ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಬರೆಯಬಹುದು. ಹೀಗಾಗಿ, ನಿಮ್ಮ ಫಲಿತಾಂಶವು ಹಿಂದೆ ತಿಳಿದಿರುವ ಉತ್ತರದೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗದಿದ್ದರೆ, ನೀವು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ತಪ್ಪಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಿದ್ದೀರಿ ಎಂದು ಇದರ ಅರ್ಥವಲ್ಲ.

ಸಾಮಾನ್ಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯವು ಪರಿಶೀಲಿಸಲು ತುಂಬಾ ಸುಲಭ, ಮುಖ್ಯ ವಿಷಯವೆಂದರೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಸೂಚ್ಯವಾಗಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ. ಉತ್ತರವನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸೋಣ:

ನಾವು ಎರಡೂ ಪದಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸುತ್ತೇವೆ:

ಮತ್ತು ಭಾಗಿಸಿ:

ಮೂಲ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನಿಖರವಾಗಿ ಪಡೆಯಲಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಸರಿಯಾಗಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲಾಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 4

ಆರಂಭಿಕ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪೂರೈಸುವ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹುಡುಕಿ. ಪರಿಶೀಲನೆ ನಡೆಸು.

ಇದು ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ ಸ್ವತಂತ್ರ ನಿರ್ಧಾರ.

ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಎರಡು ಹಂತಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ ಎಂದು ನಾನು ನಿಮಗೆ ನೆನಪಿಸುತ್ತೇನೆ:
1) ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು;
2) ಅಗತ್ಯವಿರುವ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು.

ಚೆಕ್ ಅನ್ನು ಎರಡು ಹಂತಗಳಲ್ಲಿ ಸಹ ಕೈಗೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ (ಉದಾಹರಣೆ ಸಂಖ್ಯೆ 2 ರಲ್ಲಿನ ಮಾದರಿಯನ್ನು ನೋಡಿ), ನೀವು ಹೀಗೆ ಮಾಡಬೇಕಾಗಿದೆ:
1) ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವು ಆರಂಭಿಕ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಖಚಿತಪಡಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ;
2) ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತದೆಯೇ ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸಿ.

ಪಾಠದ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ಪೂರ್ಣ ಪರಿಹಾರ ಮತ್ತು ಉತ್ತರ.

ಉದಾಹರಣೆ 5

ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹುಡುಕಿ , ಆರಂಭಿಕ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪೂರೈಸುವುದು. ಪರಿಶೀಲನೆ ನಡೆಸು.

ಪರಿಹಾರ:ಮೊದಲಿಗೆ, ಈ ಸಮೀಕರಣವು ಈಗಾಗಲೇ ಸಿದ್ಧವಾದ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ, ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಸರಳೀಕರಿಸಲಾಗಿದೆ. ನಾವು ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುತ್ತೇವೆ:

ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸೋಣ:

ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಅವಿಭಾಜ್ಯವು ಕೋಷ್ಟಕವಾಗಿದೆ, ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಚಿಹ್ನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಒಳಗೊಳ್ಳುವ ವಿಧಾನ:

ಸಾಮಾನ್ಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗಿದೆ, ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಯಶಸ್ವಿಯಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವೇ? ಮಾಡಬಹುದು. ನಾವು ಎರಡೂ ಬದಿಗಳಲ್ಲಿ ಲಾಗರಿಥಮ್ಗಳನ್ನು ಸ್ಥಗಿತಗೊಳಿಸುತ್ತೇವೆ. ಅವು ಸಕಾರಾತ್ಮಕವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ಚಿಹ್ನೆಗಳು ಅನಗತ್ಯವಾಗಿವೆ:

(ಪ್ರತಿಯೊಬ್ಬರೂ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುತ್ತಾರೆ ಎಂದು ನಾನು ಭಾವಿಸುತ್ತೇನೆ, ಅಂತಹ ವಿಷಯಗಳನ್ನು ಈಗಾಗಲೇ ತಿಳಿದಿರಬೇಕು)

ಆದ್ದರಿಂದ, ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವೆಂದರೆ:

ನೀಡಿರುವ ಆರಂಭಿಕ ಸ್ಥಿತಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ.
ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರದಲ್ಲಿ, "X" ಬದಲಿಗೆ ನಾವು ಶೂನ್ಯವನ್ನು ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು "Y" ಬದಲಿಗೆ ನಾವು ಎರಡರ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ:

ಹೆಚ್ಚು ಪರಿಚಿತ ವಿನ್ಯಾಸ:

ಸ್ಥಿರಾಂಕದ ಕಂಡುಬರುವ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನಾವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಉತ್ತರ:ಖಾಸಗಿ ಪರಿಹಾರ:

ಪರಿಶೀಲಿಸಿ: ಮೊದಲಿಗೆ, ಆರಂಭಿಕ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪೂರೈಸಲಾಗಿದೆಯೇ ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ:
- ಎಲ್ಲವೂ ಒಳ್ಳೆಯದು.

ಈಗ ಕಂಡುಕೊಂಡ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವು ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತದೆಯೇ ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ. ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು:

ಮೂಲ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನೋಡೋಣ: - ಇದನ್ನು ಭೇದಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ಪರಿಶೀಲಿಸಲು ಎರಡು ಮಾರ್ಗಗಳಿವೆ. ಕಂಡುಬರುವ ಉತ್ಪನ್ನದಿಂದ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ:

ನಾವು ಕಂಡುಕೊಂಡ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಮತ್ತು ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಮೂಲ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸೋಣ :

ನಾವು ಮೂಲ ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಗುರುತನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ:

ಸರಿಯಾದ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಸರಿಯಾಗಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲಾಗಿದೆ.

ತಪಾಸಣೆಯ ಎರಡನೇ ವಿಧಾನವು ಪ್ರತಿಬಿಂಬಿತವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚು ಪರಿಚಿತವಾಗಿದೆ: ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸೋಣ, ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು ನಾವು ಎಲ್ಲಾ ತುಣುಕುಗಳನ್ನು ವಿಂಗಡಿಸುತ್ತೇವೆ:

ಮತ್ತು ರೂಪಾಂತರಗೊಂಡ DE ಗೆ ನಾವು ಪಡೆದ ಭಾಗಶಃ ಪರಿಹಾರ ಮತ್ತು ಕಂಡುಬರುವ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ. ಸರಳೀಕರಣಗಳ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಸರಿಯಾದ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸಹ ಪಡೆಯಬೇಕು.

ಉದಾಹರಣೆ 6

ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ. ಉತ್ತರವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಿ.

ನಿಮ್ಮ ಸ್ವಂತ, ಸಂಪೂರ್ಣ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಮತ್ತು ಪಾಠದ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ಉತ್ತರಿಸಲು ಇದು ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ.

ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಬಹುದಾದ ಅಸ್ಥಿರಗಳೊಂದಿಗೆ ವಿಭಿನ್ನ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ ಯಾವ ತೊಂದರೆಗಳು ಕಾಯುತ್ತಿವೆ?

1) ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಬಹುದು ಎಂಬುದು ಯಾವಾಗಲೂ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿಲ್ಲ (ವಿಶೇಷವಾಗಿ "ಟೀಪಾಟ್" ಗೆ). ಪರಿಗಣಿಸೋಣ ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ಉದಾಹರಣೆ: . ಇಲ್ಲಿ ನೀವು ಅಂಶಗಳನ್ನು ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳಿಂದ ಹೊರತೆಗೆಯಬೇಕು: ಮತ್ತು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಿ: . ಮುಂದೆ ಏನು ಮಾಡಬೇಕೆಂದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ.

2) ಏಕೀಕರಣದೊಂದಿಗಿನ ತೊಂದರೆಗಳು. ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸರಳವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ, ಮತ್ತು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಕೌಶಲ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ನ್ಯೂನತೆಗಳಿದ್ದರೆ ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯ, ನಂತರ ಇದು ಅನೇಕ ಡಿಫ್ಯೂಸರ್ಗಳೊಂದಿಗೆ ಕಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ, "ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವು ಸರಳವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಕನಿಷ್ಠ ಪಕ್ಷ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳು ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗಿರಲಿ" ಎಂಬ ತರ್ಕವು ಸಂಗ್ರಹಣೆಗಳು ಮತ್ತು ತರಬೇತಿ ಕೈಪಿಡಿಗಳ ಸಂಕಲನಕಾರರಲ್ಲಿ ಜನಪ್ರಿಯವಾಗಿದೆ.

3) ಸ್ಥಿರದೊಂದಿಗೆ ರೂಪಾಂತರಗಳು. ಪ್ರತಿಯೊಬ್ಬರೂ ಗಮನಿಸಿದಂತೆ, ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಸಮೀಕರಣಗಳಲ್ಲಿನ ಸ್ಥಿರತೆಯನ್ನು ಸಾಕಷ್ಟು ಮುಕ್ತವಾಗಿ ನಿರ್ವಹಿಸಬಹುದು, ಮತ್ತು ಕೆಲವು ರೂಪಾಂತರಗಳು ಯಾವಾಗಲೂ ಹರಿಕಾರನಿಗೆ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿಲ್ಲ. ಮತ್ತೊಂದು ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ನೋಡೋಣ: . ಎಲ್ಲಾ ಪದಗಳನ್ನು 2 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಲು ಸಲಹೆ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ: . ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಬರುವ ಸ್ಥಿರವು ಕೆಲವು ರೀತಿಯ ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಹೀಗೆ ಸೂಚಿಸಬಹುದು: . ಹೌದು, ಮತ್ತು ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಇರುವುದರಿಂದ, ಸ್ಥಿರವನ್ನು ಮತ್ತೊಂದು ಸ್ಥಿರ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪುನಃ ಬರೆಯಲು ಸಲಹೆ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ: .

ತೊಂದರೆ ಎಂದರೆ ಅವರು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ತಲೆಕೆಡಿಸಿಕೊಳ್ಳುವುದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಅದೇ ಅಕ್ಷರವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತಾರೆ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ನಿರ್ಧಾರದ ದಾಖಲೆಯು ಈ ಕೆಳಗಿನ ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ:

ಯಾವ ರೀತಿಯ ಧರ್ಮದ್ರೋಹಿ? ಅಲ್ಲಿಯೇ ತಪ್ಪುಗಳಿವೆ! ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಹೌದು. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಒಂದು ವಸ್ತುನಿಷ್ಠ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ, ಯಾವುದೇ ದೋಷಗಳಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ವೇರಿಯಬಲ್ ಸ್ಥಿರವನ್ನು ಪರಿವರ್ತಿಸುವ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ವೇರಿಯಬಲ್ ಸ್ಥಿರಾಂಕವನ್ನು ಇನ್ನೂ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಅಥವಾ ಇನ್ನೊಂದು ಉದಾಹರಣೆ, ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ಈ ಉತ್ತರವು ಅಸಹ್ಯವಾಗಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಪ್ರತಿ ಪದದ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸಲು ಸಲಹೆ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ: . ಔಪಚಾರಿಕವಾಗಿ, ಇಲ್ಲಿ ಮತ್ತೊಂದು ತಪ್ಪು ಇದೆ - ಅದನ್ನು ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಬೇಕು. ಆದರೆ ಅನೌಪಚಾರಿಕವಾಗಿ "ಮೈನಸ್ ಸಿಇ" ಇನ್ನೂ ಸ್ಥಿರವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾಗಿದೆ ( ಇದು ಯಾವುದೇ ಅರ್ಥವನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು!), ಆದ್ದರಿಂದ "ಮೈನಸ್" ಅನ್ನು ಹಾಕುವುದು ಅರ್ಥವಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ನೀವು ಅದೇ ಅಕ್ಷರವನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು.

ನಾನು ಅಸಡ್ಡೆ ವಿಧಾನವನ್ನು ತಪ್ಪಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುತ್ತೇನೆ, ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಪರಿವರ್ತಿಸುವಾಗ ವಿಭಿನ್ನ ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳನ್ನು ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳಿಗೆ ನಿಯೋಜಿಸುತ್ತೇನೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 7

ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ. ಪರಿಶೀಲನೆ ನಡೆಸಿ.

ಪರಿಹಾರ:ಈ ಸಮೀಕರಣವು ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಲು ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ. ನಾವು ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುತ್ತೇವೆ:

ನಾವು ಸಂಯೋಜಿಸೋಣ:

ಇಲ್ಲಿ ಸ್ಥಿರತೆಯನ್ನು ಲಾಗರಿಥಮ್ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವುದು ಅನಿವಾರ್ಯವಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಇದರಿಂದ ಉಪಯುಕ್ತವಾದ ಏನೂ ಬರುವುದಿಲ್ಲ.

ಉತ್ತರ:ಸಾಮಾನ್ಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯ:

ಪರಿಶೀಲಿಸಿ: ಉತ್ತರವನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಿ (ಸೂಚ್ಯ ಕಾರ್ಯ):

ಎರಡೂ ಪದಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸುವ ಮೂಲಕ ನಾವು ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕುತ್ತೇವೆ:

ಮೂಲ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಸರಿಯಾಗಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲಾಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 8

DE ಯ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹುಡುಕಿ.
,

ನೀವೇ ಪರಿಹರಿಸಲು ಇದು ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಒಂದೇ ಸುಳಿವು ಎಂದರೆ ಇಲ್ಲಿ ನೀವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೀರಿ ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚು ಸರಿಯಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ನೀವು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಭಾಗಶಃ ಅವಿಭಾಜ್ಯ. ಪಾಠದ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ಪೂರ್ಣ ಪರಿಹಾರ ಮತ್ತು ಉತ್ತರ.