Pārliecības intervāls matemātiskām cerībām. Ticamības intervāls vidējā (variance ir zināma) novērtēšanai MS EXCEL

Bieži vien vērtētājam ir jāanalizē tā segmenta nekustamā īpašuma tirgus, kurā atrodas vērtējamais īpašums. Ja tirgus ir attīstīts, var būt grūti analizēt visu uzrādīto objektu kopu, tāpēc analīzei tiek izmantots objektu paraugs. Šis paraugs ne vienmēr izrādās viendabīgs, dažreiz ir nepieciešams to attīrīt no galējiem punktiem - pārāk augstiem vai pārāk zemiem tirgus piedāvājumiem. Šim nolūkam to izmanto ticamības intervāls. Mērķis šis pētījums- veikt divu ticamības intervāla aprēķināšanas metožu salīdzinošu analīzi un izvēlēties optimālo aprēķina iespēju, strādājot ar dažādiem paraugiem sistēmā estimatica.pro.

Ticamības intervāls- atribūtu vērtību intervāls, kas aprēķināts, pamatojoties uz paraugu, kas ar zināmu varbūtību satur aprēķināto parametru populācija.

Uzticamības intervāla aprēķināšanas mērķis ir izveidot šādu intervālu, pamatojoties uz izlases datiem, lai ar noteiktu varbūtību varētu norādīt, ka aplēstā parametra vērtība atrodas šajā intervālā. Citiem vārdiem sakot, ticamības intervāls satur ar noteiktu varbūtību nezināma vērtība paredzamā vērtība. Jo plašāks intervāls, jo lielāka ir neprecizitāte.

Ir dažādas metodes ticamības intervāla noteikšanai. Šajā rakstā mēs apskatīsim 2 metodes:

• caur vidējo un standarta novirzi;
• cauri kritiskā vērtība t-statistika (Studenta koeficients).

Posmi salīdzinošā analīze Dažādi ceļi CI aprēķins:

1. veido datu paraugu;

2. apstrādājam, izmantojot statistikas metodes: aprēķinām vidējo vērtību, mediānu, dispersiju utt.;

3. aprēķina ticamības intervālu divos veidos;

4. analizē iztīrītos paraugus un iegūtos ticamības intervālus.

1. posms. Datu izlase

Izlase veidota, izmantojot estimatica.pro sistēmu. Izlasē tika iekļauts 91 piedāvājums 1-istabas dzīvokļu pārdošanai 3.cenu zonā ar “Hruščova” tipa plānojumu.

1. tabula. Sākotnējais paraugs

	Cena 1 kv.m, vienība

1. att. Sākotnējais paraugs

2. posms. Sākotnējā parauga apstrāde

Lai apstrādātu paraugu, izmantojot statistikas metodes, ir jāaprēķina šādas vērtības:

1. Vidējais aritmētiskais

2. Mediāna ir izlasi raksturojošs skaitlis: tieši puse izlases elementu ir lielāki par mediānu, otra puse ir mazāka par mediānu.

(paraugam ar nepāra vērtību skaitu)

3. Diapazons - starpība starp maksimālo un minimālo vērtību paraugā

4. Variance – izmanto, lai precīzāk novērtētu datu variācijas

5. Parauga standartnovirze (turpmāk - SD) ir visizplatītākais korekcijas vērtību izkliedes rādītājs ap vidējo aritmētisko.

6. Variācijas koeficients - atspoguļo korekcijas vērtību izkliedes pakāpi

7. svārstību koeficients - atspoguļo ekstrēmo cenu vērtību relatīvās svārstības paraugā ap vidējo

2. tabula. Sākotnējās izlases statistiskie rādītāji

Variācijas koeficients, kas raksturo datu viendabīgumu, ir 12,29%, bet svārstību koeficients ir pārāk augsts. Tādējādi mēs varam teikt, ka sākotnējais paraugs nav viendabīgs, tāpēc pāriesim pie ticamības intervāla aprēķināšanas.

3. posms. Pārliecības intervāla aprēķins

1. metode. Aprēķins, izmantojot vidējo un standartnovirzi.

Ticamības intervālu nosaka šādi: minimālā vērtība - no mediānas tiek atņemta standartnovirze; maksimālā vērtība - mediānai tiek pievienota standartnovirze.

Tādējādi ticamības intervāls (47179 CU; 60689 CU)

Rīsi. 2. Vērtības, kas ietilpst 1. ticamības intervālā.

2. metode. Ticamības intervāla konstruēšana, izmantojot t-statistikas kritisko vērtību (Studenta koeficients)

S.V. Gribovskis grāmatā " Matemātiskās metodesĪpašuma vērtības novērtēšana" apraksta metodi ticamības intervāla aprēķināšanai, izmantojot Studenta koeficientu. Aprēķinot, izmantojot šo metodi, novērtētājam pašam jāiestata nozīmīguma līmenis ∝, kas nosaka varbūtību, ar kādu ticamības intervāls tiks konstruēts. Parasti tiek izmantoti nozīmīguma līmeņi 0,1; 0,05 un 0,01. Tās atbilst ticamības varbūtībām 0,9; 0,95 un 0,99. Izmantojot šo metodi, tiek pieņemtas patiesās vērtības matemātiskās cerības un dispersijas praktiski nav zināmas (kas gandrīz vienmēr ir taisnība, risinot praktiskas aplēses problēmas).

Pārliecības intervāla formula:

n - izlases lielums;

t-statistikas (Studentu sadalījuma) kritiskā vērtība ar nozīmības līmeni ∝, brīvības pakāpju skaits n-1, ko nosaka no speciālām statistikas tabulām vai izmantojot MS Excel (→"Statistical"→ STUDIST);

∝ - nozīmīguma līmenis, ņem ∝=0,01.

Rīsi. 2. Vērtības, kas ietilpst 2. ticamības intervālā.

4. posms. Dažādu ticamības intervāla aprēķināšanas metožu analīze

Divas metodes ticamības intervāla aprēķināšanai - caur mediānu un Stjudenta koeficientu - noveda pie dažādas nozīmes intervāli. Attiecīgi mēs saņēmām divus dažādus iztīrītus paraugus.

3. tabula. Statistika par trim paraugiem.

Rādītājs	Sākotnējais paraugs	1 variants	2. iespēja
Vidējā vērtība
Izkliede
Koef. variācijas
Koef. svārstības
Atbrīvoto objektu skaits, gab.

Pamatojoties uz veiktajiem aprēķiniem, varam teikt, ka iegūtais dažādas metodes ticamības intervālu vērtības krustojas, tāpēc jūs varat izmantot jebkuru no aprēķina metodēm pēc vērtētāja ieskatiem.

Tomēr mēs uzskatām, ka, strādājot estimatica.pro sistēmā, ieteicams izvēlēties metodi ticamības intervāla aprēķināšanai atkarībā no tirgus attīstības pakāpes:

• ja tirgus nav attīstīts, izmantojiet aprēķina metodi, izmantojot mediānu un standartnovirzi, jo izlietoto objektu skaits šajā gadījumā ir mazs;
• ja tirgus ir attīstīts, aprēķinu izmantot caur t-statistikas kritisko vērtību (Studenta koeficients), jo ir iespējams izveidot lielu sākotnējo izlasi.

Sagatavojot rakstu, tika izmantots:

1. Gribovsky S.V., Sivets S.A., Levykina I.A. Matemātiskās metodes īpašuma vērtības noteikšanai. Maskava, 2014

2. Sistēmas dati estimatica.pro

Pārliecības intervāls matemātiskām cerībām - šis ir intervāls, kas aprēķināts no datiem, kas ar zināmu varbūtību satur vispārējās populācijas matemātisko cerību. Matemātiskās cerības dabiskais novērtējums ir tās novēroto vērtību vidējais aritmētiskais. Tāpēc visas nodarbības laikā izmantosim terminus “vidējā” un “vidējā vērtība”. Uzticamības intervāla aprēķināšanas uzdevumos visbiežāk prasītā atbilde ir šāda: “Vidējā skaitļa [vērtība konkrētā uzdevumā] ticamības intervāls ir no [mazāka vērtība] līdz [lielāka vērtība]. Izmantojot ticamības intervālu, varat novērtēt ne tikai vidējās vērtības, bet arī konkrēta raksturlieluma īpatsvaru vispārējā populācijā. Vidējie rādītāji, dispersija, standarta novirze un kļūdas, caur kurām mēs nonāksim pie jaunām definīcijām un formulām, tiek apspriestas nodarbībā Izlases un populācijas raksturojums .

Punktu un intervālu aplēses par vidējo

Ja kopas vidējo vērtību novērtē pēc skaitļa (punkta), tad par kopas nezināmās vidējās vērtības novērtējumu tiek ņemts konkrēts vidējais, kas tiek aprēķināts no novērojumu izlases. Šajā gadījumā izlases vidējā vērtība – gadījuma mainīgais – nesakrīt ar vispārējās populācijas vidējo vērtību. Tāpēc, norādot izlases vidējo vērtību, vienlaikus jānorāda izlases kļūda. Izlases kļūdas mērs ir standarta kļūda, ko izsaka tajās pašās vienībās kā vidējo. Tāpēc bieži tiek lietots šāds apzīmējums: .

Ja vidējā aplēse ir jāsaista ar noteiktu varbūtību, tad populācijā interesējošais parametrs jānovērtē nevis pēc viena skaitļa, bet pēc intervāla. Ticamības intervāls ir intervāls, kurā ar noteiktu varbūtību P tiek atrasta aplēstā iedzīvotāju skaita rādītāja vērtība. Pārliecības intervāls, kurā tas ir iespējams P = 1 - α nejaušo lielumu atrod, aprēķina šādi:

,

α = 1 - P, kuru var atrast gandrīz jebkuras statistikas grāmatas pielikumā.

Praksē populācijas vidējā vērtība un dispersija nav zināma, tāpēc populācijas dispersiju aizstāj ar izlases dispersiju, bet populācijas vidējo ar izlases vidējo. Tādējādi ticamības intervālu vairumā gadījumu aprēķina šādi:

.

Ticamības intervāla formulu var izmantot, lai novērtētu populācijas vidējo vērtību, ja

• ir zināma populācijas standartnovirze;
• vai arī populācijas standartnovirze nav zināma, bet izlases lielums ir lielāks par 30.

Izlases vidējais rādītājs ir objektīvs populācijas vidējā aprēķins. Savukārt izlases dispersija nav objektīvs populācijas dispersijas novērtējums. Lai iegūtu objektīvu populācijas dispersijas novērtējumu izlases dispersijas formulā, izlases lielums n jāaizstāj ar n-1.

1. piemērs. No 100 nejauši izvēlētām kafejnīcām noteiktā pilsētā tika apkopota informācija, ka vidējais darbinieku skaits tajās ir 10,5 ar standartnovirzi 4,6. Nosakiet 95% ticamības intervālu kafejnīcas darbinieku skaitam.

kur ir standarta kritiskā vērtība normālais sadalījums nozīmes līmenim α = 0,05 .

Tādējādi 95% ticamības intervāls vidējam kafejnīcu darbinieku skaitam bija robežās no 9,6 līdz 11,4.

2. piemērs. Nejaušam paraugam no 64 novērojumu kopas tika aprēķinātas šādas kopējās vērtības:

novērojumu vērtību summa,

vērtību kvadrātu noviržu summa no vidējā .

Aprēķiniet 95% ticamības intervālu matemātiskajai cerībai.

Aprēķināsim standarta novirzi:

,

Aprēķināsim vidējo vērtību:

.

Mēs aizstājam vērtības ticamības intervāla izteiksmē:

kur ir nozīmīguma līmeņa standarta normālā sadalījuma kritiskā vērtība α = 0,05 .

Mēs iegūstam:

Tādējādi šīs izlases matemātiskās cerības 95% ticamības intervāls svārstījās no 7,484 līdz 11,266.

3. piemērs. Nejaušai populācijas izlasei ar 100 novērojumiem aprēķinātais vidējais ir 15,2 un standarta novirze ir 3,2. Aprēķiniet paredzamās vērtības 95% ticamības intervālu, pēc tam 99% ticamības intervālu. Ja izlases jauda un tās variācijas paliek nemainīgas un ticamības koeficients palielinās, vai ticamības intervāls sašaurinās vai paplašināsies?

Mēs aizstājam šīs vērtības ticamības intervāla izteiksmē:

kur ir nozīmīguma līmeņa standarta normālā sadalījuma kritiskā vērtība α = 0,05 .

Mēs iegūstam:

.

Tādējādi šīs izlases vidējais 95% ticamības intervāls bija no 14,57 līdz 15,82.

Mēs atkal aizstājam šīs vērtības ticamības intervāla izteiksmē:

kur ir nozīmīguma līmeņa standarta normālā sadalījuma kritiskā vērtība α = 0,01 .

Mēs iegūstam:

.

Tādējādi šīs izlases vidējais 99% ticamības intervāls bija no 14,37 līdz 16,02.

Kā redzam, pieaugot ticamības koeficientam, pieaug arī standarta normālā sadalījuma kritiskā vērtība, un līdz ar to intervāla sākuma un beigu punkti atrodas tālāk no vidējā, un līdz ar to palielinās matemātiskās cerības ticamības intervāls. .

Īpatnējā smaguma punktu un intervālu aprēķini

Kāda parauga atribūta daļu var interpretēt kā punktu novērtējumu īpaša gravitāte lpp tāda pati īpašība vispārējā populācijā. Ja šī vērtība ir jāsaista ar varbūtību, tad jāaprēķina īpatnējā smaguma ticamības intervāls lpp raksturīgs populācijā ar varbūtību P = 1 - α :

.

4. piemērs. Dažās pilsētās ir divi kandidāti A Un B kandidē uz mēra amatu. Nejauši tika aptaujāti 200 pilsētas iedzīvotāji, no kuriem 46% atbildēja, ka balsotu par kandidātu A, 26% - kandidātam B un 28% nezina, par ko balsos. Nosakiet 95% ticamības intervālu to pilsētas iedzīvotāju īpatsvaram, kuri atbalsta kandidātu A.

Ticamības intervāls– robežvērtības statistiskā vērtība, kas ar noteiktu ticamības varbūtību γ atradīsies šajā intervālā, ņemot paraugus lielākam tilpumam. Apzīmēts kā P(θ - ε. Praksē ticamības varbūtību γ izvēlas no vērtībām, kas ir diezgan tuvu vienībai: γ = 0,9, γ = 0,95, γ = 0,99.

Pakalpojuma mērķis. Izmantojot šo pakalpojumu, varat noteikt:

• ticamības intervāls vispārējam vidējam, ticamības intervāls dispersijai;
• ticamības intervāls standarta novirzei, ticamības intervāls vispārējai akcijai;

Iegūtais risinājums tiek saglabāts Word failā (skatiet piemēru). Zemāk ir video instrukcija, kā aizpildīt sākotnējos datus.

Piemērs Nr.1. Kolhozā no kopējā 1000 aitu ganāmpulka 100 aitām tika veikta selektīva kontroles cirpšana. Rezultātā tika noteikts vidējais vilnas apcirpums 4,2 kg uz vienu aitu. Nosaka ar varbūtību 0,99 parauga vidējo kvadrātveida kļūdu, nosakot vidējo vilnas cirpumu uz vienu aitu, un robežas, kurās iekļaujas cirpšanas vērtība, ja dispersija ir 2,5. Paraugs neatkārtojas.
Piemērs Nr.2. No ievestās produkcijas partijas Maskavas Ziemeļu muitas postenī izlases veidā tika paņemti 20 preces “A” paraugi. Pārbaudes rezultātā tika noteikts produkta “A” vidējais mitruma saturs paraugā, kas izrādījās vienāds ar 6% ar standartnovirzi 1%.
Noteikt ar varbūtību 0,683 produkta vidējā mitruma satura robežas visā ievestās produkcijas partijā.
Piemērs Nr.3. Aptauja, kurā piedalījās 36 skolēni, parādīja, ka vidējais mācību grāmatu skaits, ko viņi izlasa gadā akadēmiskais gads, izrādījās vienāds ar 6. Pieņemot, ka studenta izlasīto mācību grāmatu skaitam semestrī ir normālsadalījuma likums ar standartnovirzi, kas vienāda ar 6, atrodiet: A) ar ticamību 0,99, intervāla aprēķinu matemātiskajam. šī nejaušā mainīgā lieluma gaidīšana; B) ar kādu varbūtību varam teikt, ka vidējais studenta izlasīto mācību grāmatu skaits semestrī, kas aprēķināts no šīs izlases, absolūtā vērtībā novirzīsies no matemātiskās cerības ne vairāk kā par 2.

Uzticamības intervālu klasifikācija

Pēc novērtējamā parametra veida:

Pēc parauga veida:

1. Pārliecības intervāls bezgalīgam paraugam;
2. Pārliecības intervāls gala paraugam;

Paraugu sauc par resampling, ja atlasītais objekts tiek atgriezts populācijā pirms nākamā atlases. Paraugu sauc par neatkārtojamu, ja atlasītais objekts netiek atgriezts populācijā. Praksē mēs parasti nodarbojamies ar paraugiem, kas neatkārtojas.

Vidējās izlases kļūdas aprēķins nejaušai izlasei

Tiek saukta neatbilstība starp paraugā iegūto rādītāju vērtībām un atbilstošajiem vispārējās populācijas parametriem reprezentativitātes kļūda.
Vispārējās un izlases populācijas galveno parametru apzīmējumi.

Vidējās izlases kļūdu formulas
atkārtota atlase		atkārtojiet atlasi
vidēji	par daļu	vidēji	par daļu

Attiecība starp izlases kļūdas robežu (Δ) garantēta ar zināmu varbūtību Р(t), Un vidējā kļūda paraugam ir forma: vai Δ = t·μ, kur t– ticamības koeficients, kas noteikts atkarībā no varbūtības līmeņa P(t) pēc Laplasa integrālfunkcijas tabulas.

Formulas izlases lieluma aprēķināšanai, izmantojot tīri nejaušas izlases metodi

Lai gadījuma lielums (var runāt par vispārējo populāciju) ir sadalīts pēc normāla likuma, kuram ir zināma dispersija D = 2 (> 0). No vispārējās populācijas (uz objektu kopas, no kurām noteikts gadījuma lielums) tiek veidota n izmēra izlase. Paraugs x 1 , x 2 ,..., x n tiek uzskatīts par n neatkarīgu gadījuma lielumu kopu, kas sadalīta tādā pašā veidā kā (pieeja, kas tekstā izskaidrota iepriekš).

Iepriekš tika apspriestas un pierādītas arī šādas vienādības:

Mx1 = Mx2 = ... = Mx n = M;

Dx 1 = Dx 2 = ... = Dx n = D;

Pietiek vienkārši pierādīt (pierādījumu izlaižam), ka nejaušais mainīgais in šajā gadījumā tiek izplatīts arī saskaņā ar parasto likumu.

Nezināmo lielumu M apzīmēsim ar a un, pamatojoties uz doto ticamību, izvēlamies skaitli d > 0, lai nosacījums būtu izpildīts:

P(- a< d) = (1)

Tā kā gadījuma lielums ir sadalīts saskaņā ar normālu likumu ar matemātisko paredzējumu M = M = a un dispersiju D = D / n = 2 / n, mēs iegūstam:

P(- a< d) =P(a - d < < a + d) =

Atliek izvēlēties d tādu, lai vienlīdzība būtu spēkā

Jebkuram no tiem varat izmantot tabulu, lai atrastu tādu skaitli t, ka (t)= / 2. Šo skaitli t dažreiz sauc kvantile.

Tagad no vienlīdzības

noteiksim d vērtību:

Gala rezultātu iegūstam, formulu (1) uzrādot šādā formā:

Pēdējās formulas nozīme ir šāda: ar uzticamību, ticamības intervāls

aptver nezināmo populācijas parametru a = M. Jūs varat to pateikt savādāk: punktu tāme nosaka parametra M vērtību ar precizitāti d= t / un ticamību.

Uzdevums. Lai ir vispārēja populācija ar noteiktu raksturlielumu, kas sadalīta saskaņā ar normālu likumu ar dispersiju, kas vienāda ar 6,25. Tika ņemts izlases lielums n = 27 un iegūta raksturlieluma vidējā izlases vērtība = 12. Atrodiet ticamības intervālu, kas aptver pētāmā vispārējās populācijas raksturlieluma nezināmo matemātisko cerību ar ticamību = 0,99.

Risinājums. Pirmkārt, izmantojot Laplasa funkcijas tabulu, mēs atrodam t vērtību no vienādības (t) = / 2 = 0,495. Pamatojoties uz iegūto vērtību t = 2,58, mēs nosakām novērtējuma precizitāti (vai pusi no ticamības intervāla garuma) d: d = 2,52,58 / 1,24. No šejienes mēs iegūstam nepieciešamo ticamības intervālu: (10,76; 13,24).

statistiskā hipotēze vispārējā variācija

Ticamības intervāls matemātiskajam normāla sadalījuma sagaidāmajam, ja tā nav zināmā dispersija

Ļaut ir nejaušs lielums, kas sadalīts saskaņā ar normālu likumu ar nezināmu matemātisko cerību M, ko apzīmējam ar burtu a. Izveidosim paraugu ar tilpumu n. Izmantojot zināmās formulas, noteiksim vidējo izlasi un koriģēto izlases dispersiju s 2.

Izlases vērtība

sadalīts pēc Stjudenta likuma ar n - 1 brīvības pakāpi.

Uzdevums ir atrast skaitli t noteiktai ticamībai un brīvības pakāpju skaitu n - 1, lai vienādība

vai līdzvērtīga vienlīdzība

Šeit iekavās ir rakstīts nosacījums, ka nezināmā parametra a vērtība pieder noteiktam intervālam, kas ir ticamības intervāls. Tās robežas ir atkarīgas no uzticamības, kā arī no paraugu ņemšanas parametriem un s.

Lai noteiktu t vērtību pēc lieluma, mēs pārveidojam vienādību (2) formā:

Tagad, izmantojot tabulu nejaušam mainīgajam t, kas sadalīts saskaņā ar Stjudenta likumu, izmantojot varbūtību 1 - un brīvības pakāpju skaitu n - 1, mēs atrodam t. Formula (3) sniedz atbildi uz izvirzīto problēmu.

Uzdevums. 20 elektrisko lampu kontroles testu laikā vidējais ilgums viņu darbs bija vienāds ar 2000 stundām ar standarta novirzi (ko aprēķina kā kvadrātsakni no koriģētās izlases dispersijas), kas vienāda ar 11 stundām. Ir zināms, ka lampas darbības ilgums ir normāli sadalīts nejaušais mainīgais. Ar ticamību 0,95 nosakiet ticamības intervālu šī nejaušā mainīgā matemātiskajai cerībai.

Risinājums. Vērtība 1 - šajā gadījumā ir vienāda ar 0,05. Saskaņā ar Studentu sadalījuma tabulu ar brīvības pakāpju skaitu, kas vienāds ar 19, mēs atrodam: t = 2,093. Tagad aprēķināsim tāmes precizitāti: 2,093121/ = 56,6. No šejienes mēs iegūstam nepieciešamo ticamības intervālu: (1943.4; 2056.6).

Pieņemsim, ka populācijas gadījuma lielums X ir normāli sadalīts, ņemot vērā, ka ir zināma šī sadalījuma dispersija un standartnovirze s. Ir nepieciešams novērtēt nezināmo matemātisko cerību, izmantojot izlases vidējo. Šajā gadījumā uzdevums ir atrast ticamības intervālu matemātiskajai cerībai ar ticamību b. Ja iestatāt vērtību ticamības varbūtība(uzticamība) b, tad jūs varat atrast varbūtību iekrist nezināmas matemātiskās cerības intervālā, izmantojot formulu (6.9a):

kur Ф(t) ir Laplasa funkcija (5.17a).

Rezultātā mēs varam formulēt algoritmu ticamības intervāla robežu atrašanai matemātiskajai cerībai, ja ir zināma dispersija D = s 2:

1. Iestatiet uzticamības vērtību – b.
2. No (6.14) izteikt Ф(t) = 0,5× b. Laplasa funkcijas tabulā atlasiet t vērtību, pamatojoties uz vērtību Ф(t) (sk. 1. pielikumu).
3. Aprēķina novirzi e, izmantojot formulu (6.10.).
4. Pierakstiet ticamības intervālu, izmantojot formulu (6.12), lai ar varbūtību b pastāvētu nevienādība:

.

5. piemērs.

Nejaušajam lielumam X ir normāls sadalījums. Atrodiet ticamības intervālus aplēsei ar ticamību b = 0,96 no nezināmās matemātiskās cerības a, ja ir:

1) vispārējā standartnovirze s = 5;

2) izlases vidējais rādītājs;

3) izlases lielums n = 49.

Matemātiskās gaidas intervāla novērtējuma formulā (6.15). A ar ticamību b ir zināmi visi lielumi, izņemot t. T vērtību var atrast, izmantojot (6.14): b = 2Ф(t) = 0.96. Ф(t) = 0,48.

Izmantojot Laplasa funkcijas Ф(t) = 0,48 tabulu 1. pielikumā, atrodiet atbilstošo vērtību t = 2,06. Tāpēc . Aizvietojot aprēķināto e vērtību formulā (6.12), var iegūt ticamības intervālu: 30-1.47< a < 30+1,47.

Nepieciešamais ticamības intervāls aplēsei ar ticamību b = 0,96 no nezināmas matemātiskās cerības ir vienāds ar: 28,53< a < 31,47.