Punktu tāme un tās īpašības. Gadījuma lieluma matemātiskās cerības novērtējums

s x =(1.11)

Tālāk mēs apsvērsim svarīgu problēmu novērojama gadījuma mainīgā lieluma izpētei. Lai ir kāds paraugs (mēs to apzīmēsim S) nejaušais mainīgais X. No esošā parauga ir jānovērtē nezināmās vērtības. m x Un .

Aizņem dažādu parametru aplēšu teoriju matemātiskā statistika nozīmīga vieta. Tāpēc vispirms apsvērsim kopīgs uzdevums. Lai būtu nepieciešams novērtēt kādu parametru a pēc parauga S. Katrs šāds novērtējums a* ir kāda funkcija a*=a*(S) no parauga vērtībām. Izlases vērtības ir nejaušas, tāpēc pati aplēse a* ir nejaušs mainīgais. Ir iespējams uzbūvēt daudz dažādas aplēses(t.i., funkcijas) a*, bet tajā pašā laikā ir vēlams “labs” vai pat “labākais”, savā ziņā vērtējums. Novērtējumiem parasti tiek izvirzītas šādas trīs dabiskās prasības.

1. Nepārvietots. Matemātiskā novērtējuma cerība a* jābūt vienādam ar precīzu parametra vērtību: M = a. Citiem vārdiem sakot, rezultāts a* nedrīkst būt sistemātiskas kļūdas.

2. Bagātība. Bezgalīgi palielinoties izlases lielumam, aplēse a* jākonverģē uz precīzu vērtību, tas ir, pieaugot novērojumu skaitam, novērtējuma kļūdai ir tendence uz nulli.

3. Efektivitāte. Novērtējums a* Tiek uzskatīts, ka tas ir efektīvs, ja tas ir objektīvs un tam ir mazākā iespējamā kļūdu atšķirība. Šajā gadījumā aplēšu izplatība ir minimāla a* attiecībā pret precīzu vērtību un aplēse zināmā mērā ir “visprecīzākā”.

Diemžēl ne vienmēr ir iespējams izveidot novērtējumu, kas vienlaikus atbilst visām trim prasībām.

Lai novērtētu matemātisko cerību, visbiežāk izmanto aplēses.

= , (1.12)

tas ir, izlases vidējais aritmētiskais. Ja nejaušais mainīgais X ir ierobežots m x Un s x, tad novērtējums (1.12) nav neobjektīvs un konsekvents. Šī aplēse ir efektīva, piemēram, ja X ir normāls sadalījums (1.4. attēls, 1. pielikums). Citiem sadalījumiem tas var nebūt efektīvs. Piemēram, vienmērīga sadalījuma gadījumā (1.1. attēls, 1. pielikums) būs objektīvs, konsekvents aprēķins.

(1.13)

Tajā pašā laikā aplēse (1.13) normālajam sadalījumam nebūs ne konsekventa, ne efektīva, un pat pasliktināsies, palielinoties izlases lielumam.

Tādējādi katram nejaušā lieluma sadalījuma veidam X jums vajadzētu izmantot savu matemātiskās cerības aplēsi. Taču mūsu situācijā izplatīšanas veidu var zināt tikai provizoriski. Tāpēc mēs izmantosim tāmi (1.12), kas ir diezgan vienkārša un kurai ir visvairāk svarīgas īpašības objektīvums un konsekvence.

Lai novērtētu matemātisko cerību grupētai izlasei, tiek izmantota šāda formula:

= , (1.14)

ko var iegūt no iepriekšējā, ja ņemam vērā visu m i parauga vērtības, kas iekļautas i-th intervāls, kas vienāds ar pārstāvi z išis intervāls. Šis aprēķins, protams, ir aptuvenāks, taču prasa ievērojami mazāk aprēķinu, jo īpaši ar lielu izlases lielumu.

Visbiežāk izmantotais aprēķins, lai novērtētu dispersiju, ir:

= , (1.15)

Šis novērtējums nav neobjektīvs un ir derīgs jebkuram nejaušam mainīgajam X, kam ir ierobežoti momenti līdz ceturtajai pakāpei ieskaitot.

Grupētas izlases gadījumā izmantotā aplēse ir šāda:

= (1.16)

Aprēķini (1.14) un (1.16) parasti ir neobjektīvi un nepamatoti, jo to matemātiskās cerības un robežas, kurām tās tuvojas, atšķiras no m x un sakarā ar visu iekļauto paraugu vērtību aizstāšanu i-th intervāls, katra intervāla pārstāvis z i.

Ņemiet vērā, ka lieliem n, koeficients n/(n-1) izteiksmēs (1.15) un (1.16) ir tuvu vienībai, tāpēc to var izlaist.

Intervālu aprēķini.

Ļaujiet precīza vērtība kāds parametrs ir vienāds ar a un tā aplēse tika atrasta a*(S) pēc parauga S. Novērtēšana a* atbilst punktam uz skaitliskās ass (1.5. att.), tāpēc šo novērtējumu sauc punktu. Visas iepriekšējā punktā aplūkotās aplēses ir punktveida aplēses. Gandrīz vienmēr, nejaušības dēļ

a* ¹ a, un mēs varam tikai cerēt, ka punkts a* ir kaut kur tuvumā a. Bet cik tuvu? Jebkurai citai punktveida aplēsei būs tāds pats trūkums - rezultāta ticamības mēra trūkums.

1.5.att. Punkta parametru novērtējums.

Konkrētāki šajā ziņā ir intervālu aplēses. Intervāla rādītājs apzīmē intervālu I b = (a , b), kurā ar noteiktu varbūtību tiek atrasta precīza aprēķinātā parametra vērtība b. Intervāls Ib sauca ticamības intervāls, un varbūtību b sauca ticamības varbūtība un to var uzskatīt par novērtējuma ticamību.

Ticamības intervāls ir balstīts uz pieejamo paraugu S, tas ir nejaušs tādā nozīmē, ka tā robežas ir nejaušas a(S) Un b(S), ko aprēķināsim no (nejaušas) izlases. Tāpēc b pastāv iespēja, ka nejaušs intervāls Ib aptvers negadījuma punktu a. Attēlā 1.6. intervāls Ib aptvēra būtību a, A Ib*- Nē. Tāpēc tā teikt nav gluži pareizi a " iekrīt" intervālā.

Ja ticamības varbūtība b liels (piemēram, b = 0,999), tad gandrīz vienmēr ir precīza vērtība a atrodas konstruētajā intervālā.

Att.1.6. Parametra ticamības intervāli a dažādiem paraugiem.

Apskatīsim metodi ticamības intervāla konstruēšanai nejauša lieluma matemātiskajai gaidīšanai X, balstoties uz centrālā robežu teorēma.

Ļaujiet nejaušajam mainīgajam X ir nezināma matemātiskā cerība m x Un zināmā dispersija. Tad, pamatojoties uz centrālās robežas teorēmu, vidējais aritmētiskais ir:

= , (1.17)

rezultātus n neatkarīgi lieluma testi X ir nejaušs lielums, kura sadalījums kopumā n, tuvu normālais sadalījums ar vidējo m x un standarta novirze. Tāpēc nejaušais mainīgais

(1.18)

ir varbūtības sadalījums, ko var apsvērt standarta normāls ar sadalījuma blīvumu j(t), kura grafiks parādīts 1.7. att. (kā arī 1. pielikuma 1.4. att.).

1.7.att. Gadījuma lieluma varbūtības blīvuma sadalījums t.

Ļaujiet norādīt ticamības varbūtību b Un t b - skaitlis, kas apmierina vienādojumu

b = Ф 0 (t b) – Ф 0 (-t b) = 2 Ф 0 (t b),(1.19)

Kur - Laplasa funkcija. Tad varbūtība iekrist intervālā (-t b , t b) būs vienāds ar iekrāsoto 1.7. attēlā. laukums, un, pamatojoties uz izteiksmi (1.19), ir vienāds ar b. Līdz ar to

b = P(-t b< < t b) = P( – t b< m x < + t b) =

= P( – t b< m x < + t b) .(1.20)

Tādējādi kā ticamības intervālu mēs varam ņemt intervālu

I b = ( – t b ; + t b ) , (1.21)

jo izteiksme (1.20) nozīmē, ka nezināmā precīzā vērtība m x ir iekšā Ib ar noteiktu ticamības varbūtību b. Celtniecībai Ib nepieciešams, kā norādīts b atrast t b no vienādojuma (1.19). Dosim dažas vērtības t b nepieciešams nākotnē :

t 0,9 = 1,645; t 0,95 = 1,96; t 0,99 = 2,58; t 0,999 = 3,3.

Atvasinot izteiksmi (1.21), tika pieņemts, ka ir zināma precīza standartnovirzes vērtība s x. Tomēr tas ne vienmēr ir zināms. Tāpēc izmantosim viņa novērtējumu (1.15) un iegūsim:

I b = ( – t b ; +tb). (1.22)

Attiecīgi grupētās izlases aplēses un iegūtās no tā sniedz šādu ticamības intervāla formulu:

I b = ( – t b ; +tb). (1.23)

LEKCIJAS MĒRĶIS: iepazīstināt ar nezināma sadalījuma parametra novērtēšanas jēdzienu un sniegt šādu novērtējumu klasifikāciju; iegūt matemātiskās cerības un dispersijas punktu un intervālu aprēķinus.

Praksē vairumā gadījumu nejauša lieluma sadalījuma likums nav zināms, un saskaņā ar novērojumu rezultātiem
nepieciešams novērtēt skaitliskos raksturlielumus (piemēram, matemātisko cerību, dispersiju vai citus momentus) vai nezināmu parametru , kas nosaka sadalījuma likumu (sadales blīvumu)
nejaušais mainīgais tiek pētīts. Tādējādi eksponenciālajam sadalījumam jeb Puasona sadalījumam pietiek novērtēt vienu parametru, bet normālam sadalījumam jānovērtē divi parametri - matemātiskā gaida un dispersija.

Novērtējumu veidi

Izlases vērtība
ir varbūtības blīvums
, Kur – nezināms sadalījuma parametrs. Eksperimenta rezultātā tika iegūtas šī nejaušā lieluma vērtības:
. Novērtējuma veikšana būtībā nozīmē, ka nejaušā lieluma izlases vērtībām jābūt saistītām ar noteiktu parametra vērtību , t.i., izveidot kādu novērošanas rezultātu funkciju
, kuras vērtība tiek ņemta par aptuvenu parametrs . Rādītājs norāda veikto eksperimentu skaitu.

Tiek izsaukta jebkura funkcija, kas ir atkarīga no novērojumu rezultātiem statistika. Tā kā novērojumu rezultāti ir gadījuma lielumi, arī statistika būs gadījuma lielums. Tāpēc novērtējums
nezināms parametrs jāuzskata par nejaušu mainīgo lielumu, un tā vērtība, kas aprēķināta no eksperimentāliem apjoma datiem , – kā viena no iespējamām šī nejaušā lieluma vērtībām.

Sadalījuma parametru aprēķini (gadījuma lieluma skaitliskie raksturlielumi) tiek sadalīti punktos un intervālos. Punktu aprēķins parametrs nosaka viens skaitlis , un tā precizitāti raksturo novērtējuma dispersija. Intervāla novērtējums ko sauc par rezultātu, ko nosaka divi skaitļi, Un – intervāla beigas, kas aptver aprēķināto parametru ar noteiktu ticamības varbūtību.

Punktu aplēšu klasifikācija

Nezināma parametra punktveida aplēsei
vislabākā precizitātes ziņā, tai jābūt konsekventai, objektīvai un efektīvai.

Turīgs sauc par novērtējumu
parametrs , ja tas pēc varbūtības konverģē uz aprēķināto parametru, t.i.

. (8.8)

Pamatojoties uz Čebiševa nevienlīdzību, to var pierādīt pietiekamā stāvoklī attiecības (8.8) piepildījums ir vienādība

.

Konsekvence ir novērtējuma asimptotisks raksturlielums
.

Neobjektīvs sauc par novērtējumu
(tāme bez sistemātiskas kļūdas), kuras matemātiskā cerība ir vienāda ar novērtēto parametru, t.i.

. (8.9)

Ja vienādība (8.9) nav izpildīta, tad novērtējumu sauc par neobjektīvu. Atšķirība
ko sauc par novirzi vai sistemātisku kļūdu novērtējumā. Ja vienlīdzība (8.9) ir apmierināta tikai attiecībā uz
, tad atbilstošo novērtējumu sauc par asimptotiski objektīvu.

Jāņem vērā, ka, ja konsekvence ir gandrīz obligāts nosacījums visām praksē izmantotajām aplēsēm (nekonsekventas aplēses tiek izmantotas ārkārtīgi reti), tad neobjektīvuma īpašība ir tikai vēlama. Daudzām bieži izmantotajām aplēsēm nav objektīvas īpašības.

IN vispārējs gadījums kāda parametra novērtējuma precizitāte , kas iegūts, pamatojoties uz eksperimentāliem datiem
, ko raksturo vidējā kvadrātā kļūda

,

ko var reducēt līdz formai

,

kur ir atšķirība,
– aplēses kvadrātā.

Ja aplēse ir objektīva, tad

Pie galīga aplēses var atšķirties pēc vidējās kvadrātiskās kļūdas . Protams, jo mazāka ir šī kļūda, jo ciešāk novērtējuma vērtības tiek grupētas ap aplēsto parametru. Tāpēc vienmēr ir vēlams, lai novērtējuma kļūda būtu pēc iespējas mazāka, t.i., nosacījums ir izpildīts

. (8.10)

Novērtēšana , kas atbilst nosacījumam (8.10), tiek saukts par aplēsi ar minimālo kļūdu kvadrātā.

Efektīvs sauc par novērtējumu
, kurai vidējā kvadrātiskā kļūda nav lielāka par jebkura cita novērtējuma vidējo kvadrātā kļūdu, t.i.

Kur – jebkura cita parametra aplēse .

Ir zināms, ka jebkura viena parametra objektīva novērtējuma dispersija apmierina Cramer-Rao nevienlīdzību

,

Kur
– nejaušā lieluma iegūto vērtību nosacītā varbūtības blīvuma sadalījums pie parametra patiesās vērtības .

Tādējādi objektīvs novērtējums
, kurai Krāmera–Rao nevienlīdzība kļūst par vienlīdzību, būs efektīva, t.i., šādam aprēķiniem ir minimāla dispersija.

Punktu aprēķini par cerībām un dispersiju

Ja ņem vērā gadījuma lielumu
, kam ir matemātiskas cerības un dispersiju , tad abi šie parametri tiek uzskatīti par nezināmiem. Tāpēc pāri nejaušam mainīgajam
ražots neatkarīgi eksperimenti, kas dod rezultātus:
. Ir jāatrod konsekventi un objektīvi nezināmu parametru aprēķini Un .

Kā aplēses Un Parasti statistisko (izlases) vidējo un statistisko (izlases) dispersiju izvēlas attiecīgi:

; (8.11)

. (8.12)

Matemātiskās cerības (8.11) aprēķins ir konsekvents saskaņā ar lielo skaitļu likumu (Čebiševa teorēma):

.

Gaidāmais gadījuma lielums

.

Tāpēc tāme ir objektīvs.

Matemātiskās cerības aplēses izkliede:

Ja nejaušais mainīgais
tiek sadalīts pēc parastā likuma, tad tāme ir arī efektīva.

Sagaidāmais dispersijas novērtējums

Tajā pašā laikā

.

Jo
, A
, tad mēs saņemam

. (8.13)

Tādējādi
– neobjektīvs novērtējums, lai gan tas ir konsekvents un efektīvs.

No formulas (8.13.) izriet, ka, lai iegūtu objektīvu novērtējumu
izlases dispersija (8.12.) jāgroza šādi:

kas tiek uzskatīts par “labāku” salīdzinājumā ar aplēsi (8.12), lai gan kopumā šīs aplēses ir gandrīz vienādas viena ar otru.

Sadalījuma parametru aplēšu iegūšanas metodes

Bieži vien praksē, pamatojoties uz fiziskā mehānisma analīzi, kas ģenerē nejaušo mainīgo
, varam izdarīt secinājumu par šī gadījuma lieluma sadalījuma likumu. Tomēr šī sadalījuma parametri nav zināmi, un tie ir jānovērtē no eksperimentālajiem rezultātiem, kas parasti tiek parādīti ierobežota parauga veidā.
. Lai atrisinātu šo problēmu, visbiežāk tiek izmantotas divas metodes: momentu metode un maksimālās iespējamības metode.

Momentu metode. Metode sastāv no teorētisko momentu pielīdzināšanas atbilstošiem tādas pašas kārtas empīriskiem momentiem.

Empīriskie sākuma punkti - secību nosaka pēc formulām:

,

un atbilstošie teorētiskie sākuma momenti -kārtība - formulas:

diskrētiem gadījuma mainīgajiem,

nepārtrauktiem nejaušiem mainīgajiem,

Kur – aprēķinātais sadalījuma parametrs.

Iegūt divu nezināmu parametru sadalījuma parametru aplēses Un , tiek sastādīta divu vienādojumu sistēma

Kur Un – otrās kārtas teorētiskie un empīriskie centrālie momenti.

Vienādojumu sistēmas risinājums ir aplēses Un nezināmi sadalījuma parametri Un .

Pielīdzinot pirmās kārtas teorētiskos un empīriskos sākuma momentus, iegūstam, ka, novērtējot nejaušā mainīgā lieluma matemātisko cerību
, kam ir patvaļīgs sadalījums, būs izlases vidējais rādītājs, t.i.
. Tad, pielīdzinot otrās kārtas teorētiskos un empīriskos centrālos momentus, iegūstam, ka nejaušā lieluma dispersijas novērtējums
, kam ir patvaļīgs sadalījums, nosaka pēc formulas

.

Līdzīgā veidā var atrast jebkuras kārtas teorētisko momentu aplēses.

Momentu metode ir vienkārša un neprasa sarežģītus aprēķinus, taču ar šo metodi iegūtie aprēķini bieži vien ir neefektīvi.

Maksimālās varbūtības metode. Nezināmu sadalījuma parametru punktu novērtēšanas maksimālās iespējamības metode ir saistīta ar viena vai vairāku novērtēto parametru funkcijas maksimuma atrašanu.

Ļaujiet
ir nepārtraukts gadījuma lielums, kura rezultātā testos tika ņemtas vērtības
. Lai iegūtu nezināma parametra novērtējumu ir jāatrod tāda vērtība , pie kura iegūtās izlases ieviešanas varbūtība būtu maksimāla. Jo
apzīmē savstarpēji neatkarīgus lielumus ar tādu pašu varbūtības blīvumu
, Tas varbūtības funkcija izsaukt argumentu funkciju :

Pēc parametra maksimālās varbūtības novērtējuma šo vērtību sauc , pie kura varbūtības funkcija sasniedz maksimumu, t.i., ir vienādojuma risinājums

,

kas noteikti ir atkarīgs no testa rezultātiem
.

Tā kā funkcijas
Un
sasniegt maksimumu pie tām pašām vērtībām
, tad, lai vienkāršotu aprēķinus, viņi bieži izmanto logaritmiskās varbūtības funkciju un meklē atbilstošā vienādojuma sakni

,

ko sauc varbūtības vienādojums.

Ja nepieciešams novērtēt vairākus parametrus
izplatīšana
, tad varbūtības funkcija būs atkarīga no šiem parametriem. Lai atrastu aplēses
sadalījuma parametri ir nepieciešams atrisināt sistēmu varbūtības vienādojumi

.

Maksimālās varbūtības metode nodrošina konsekventus un asimptotiski efektīvus aprēķinus. Taču aprēķini, kas iegūti ar maksimālās varbūtības metodi, ir neobjektīvi, turklāt, lai atrastu aplēses, bieži vien ir jāatrisina diezgan sarežģītas vienādojumu sistēmas.

Intervālu parametru aplēses

Punktu aplēšu precizitāti raksturo to dispersija. Tomēr nav informācijas par to, cik tuvu iegūtie aprēķini ir parametru patiesajām vērtībām. Vairākos uzdevumos jums ne tikai jāatrod parametrs piemērotu skaitlisko vērtību, bet arī novērtēt tās precizitāti un uzticamību. Jums ir jānoskaidro, kādas kļūdas var izraisīt parametra aizstāšana tā punktu aplēse un ar kādu pārliecības pakāpi mums vajadzētu sagaidīt, ka šīs kļūdas nepārsniegs zināmās robežas.

Šādi uzdevumi ir īpaši aktuāli, ja ir neliels eksperimentu skaits. , kad punktu aplēse lielākoties nejauša un aptuvena nomaiņa ieslēgts var izraisīt būtiskas kļūdas.

Pilnīgāka un uzticams veids sadalījumu parametru novērtēšana sastāv no nevis vienas punkta vērtības noteikšanas, bet gan intervāla, kas ar noteiktu varbūtību aptver novērtētā parametra patieso vērtību.

Ļaujiet pēc rezultātiem eksperimentiem, tika iegūts objektīvs novērtējums
parametrs . Ir nepieciešams novērtēt iespējamo kļūdu. Ir izvēlēta kāda pietiekami liela varbūtība
(piemēram), lai notikumu ar šādu varbūtību varētu uzskatīt par praktiski noteiktu notikumu, un šāda vērtība tiek atrasta , par kuru

. (8.15)

Šajā gadījumā nomaiņas laikā radušās kļūdas praktiski iespējamo vērtību diapazons ieslēgts , gribas
, un kļūdas, kuru absolūtā vērtība ir liela, parādīsies tikai ar mazu varbūtību .

Izteiksme (8.15) nozīmē, ka ar varbūtību
nezināma parametra vērtība iekrīt intervālā

. (8.16)

Varbūtība
sauca ticamības varbūtība, un intervāls , kas aptver ar varbūtību tiek izsaukta parametra patiesā vērtība ticamības intervāls. Ņemiet vērā, ka nav pareizi teikt, ka parametra vērtība atrodas ticamības intervālā ar varbūtību . Izmantotais formulējums (aptver) nozīmē, ka, lai gan novērtētais parametrs nav zināms, tam ir nemainīga vērtība un tāpēc tam nav izplatības, jo tas nav nejaušs mainīgais.

Gaidīšana ir nejauša lieluma varbūtības sadalījums

Matemātiskā cerība, definīcija, diskrētu un nepārtrauktu gadījuma lielumu matemātiskā gaida, izlase, nosacītā gaidīšana, aprēķins, īpašības, problēmas, gaidu novērtējums, dispersija, sadalījuma funkcija, formulas, aprēķinu piemēri

Paplašināt saturu

Sakļaut saturu

Matemātiskās cerības ir definīcija

Viens no svarīgākajiem jēdzieniem matemātiskajā statistikā un varbūtību teorijā, kas raksturo nejauša lieluma vērtību vai varbūtību sadalījumu. Parasti izsaka kā visu iespējamo nejaušā lieluma parametru vidējo svērto vērtību. Plaši izmanto tehniskajā analīzē, skaitļu sēriju izpētē un nepārtrauktu un laikietilpīgu procesu izpētē. Tā ir svarīgs novērtējot riskus, prognozējot cenu rādītājus, tirgojoties finanšu tirgos, tas tiek izmantots azartspēļu teorijas spēļu taktikas stratēģiju un metožu izstrādē.

Matemātiskās cerības ir nejauša lieluma vidējā vērtība, varbūtības teorijā aplūkots gadījuma lieluma varbūtības sadalījums.

Matemātiskās cerības ir nejauša lieluma vidējās vērtības mērs varbūtības teorijā. Gaidāmais gadījuma lielums x apzīmē ar M(x).

Matemātiskās cerības ir

Matemātiskās cerības ir varbūtības teorijā visu iespējamo vērtību vidējais svērtais lielums, ko var iegūt nejaušais mainīgais.

Matemātiskās cerības ir nejauša lieluma visu iespējamo vērtību un šo vērtību varbūtību reizinājumu summa.

Matemātiskās cerības ir vidējais ieguvums no konkrēta lēmuma, ja šādu lēmumu var izskatīt lielo skaitļu un tālsatiksmes teorijas ietvaros.

Matemātiskās cerības ir azartspēļu teorijā laimesta summa, ko spēlētājs var nopelnīt vai zaudēt vidēji par katru likmi. Azartspēļu valodā to dažreiz sauc par "spēlētāja malu" (ja tā ir pozitīva spēlētājam) vai "mājas malu" (ja tā ir negatīva spēlētājam).

Matemātiskās cerības ir peļņas procents uz vienu uzvaru, kas reizināts ar vidējo peļņu, mīnus zaudējuma varbūtība, kas reizināta ar vidējo zaudējumu.

Gadījuma mainīgā matemātiskā sagaidāmība iekšā matemātiskā teorija

Viens no svarīgākajiem nejaušā lieluma skaitliskiem raksturlielumiem ir tā matemātiskā prognoze. Ieviesīsim gadījuma lielumu sistēmas jēdzienu. Apskatīsim nejaušo mainīgo kopu, kas ir viena un tā paša nejauša eksperimenta rezultāti. Ja ir viena no iespējamām sistēmas vērtībām, tad notikums atbilst noteiktai varbūtībai, kas apmierina Kolmogorova aksiomas. Funkciju, kas definēta jebkurām iespējamām nejaušo mainīgo vērtībām, sauc par kopīga sadalījuma likumu. Šī funkcija ļauj aprēķināt jebkuru notikumu varbūtību no. Jo īpaši nejaušo mainīgo un kopējo sadalījuma likumu, kas ņem vērtības no kopas un, nosaka varbūtības.

Terminu “matemātiskā cerība” ieviesa Pjērs Saimons Marķīzs de Laplass (1795), un tas nāk no jēdziena “laimesta paredzamā vērtība”, kas pirmo reizi parādījās 17. gadsimtā azartspēļu teorijā Blēza Paskāla un Kristiana darbos. Huigenss. Tomēr pirmo pilnīgu šīs koncepcijas teorētisko izpratni un novērtējumu sniedza Pafnutijs Ļvovičs Čebiševs (19. gadsimta vidus).

Nejaušo skaitlisko lielumu sadalījuma likums (sadales funkcija un sadalījuma rinda vai varbūtības blīvums) pilnībā apraksta nejaušā lieluma uzvedību. Bet vairākās problēmās pietiek zināt dažus pētāmā daudzuma skaitliskos raksturlielumus (piemēram, tā vidējo vērtību un iespējamā novirze no viņa), lai atbildētu uz uzdoto jautājumu. Galvenie nejaušo mainīgo skaitliskie raksturlielumi ir matemātiskā prognoze, dispersija, režīms un mediāna.

Diskrēta gadījuma lieluma matemātiskā cerība ir tā iespējamo vērtību un to atbilstošo varbūtību produktu summa. Dažreiz matemātisko cerību sauc par vidējo svērto, jo tas ir aptuveni vienāds ar nejaušā mainīgā lieluma novēroto vērtību vidējo aritmētisko lielu skaitu eksperimentu. No matemātiskās gaidas definīcijas izriet, ka tā vērtība nav mazāka par mazāko iespējamo nejaušā mainīgā lieluma vērtību un ne lielāka par lielāko. Gadījuma mainīgā matemātiskā cerība ir nejaušs (konstants) mainīgais.

Matemātiskajai cerībai ir vienkārša fiziskā nozīme: ja novietojat masas vienību uz taisnas līnijas, novietojot masu dažos punktos (par diskrēts sadalījums), vai “iesmērējot” to ar noteiktu blīvumu (absolūti nepārtrauktam sadalījumam), tad matemātiskajai cerībai atbilstošais punkts būs līnijas “smaguma centra” koordināte.

Gadījuma lieluma vidējā vērtība ir noteikts skaitlis, kas it kā ir tā “reprezentatīvs” un aizvieto to aptuveni aptuvenos aprēķinos. Kad mēs sakām: "vidējais luktura darbības laiks ir 100 stundas" vai "vidējais trieciena punkts ir nobīdīts attiecībā pret mērķi par 2 m pa labi", mēs norādām noteiktu gadījuma lieluma skaitlisko raksturlielumu, kas raksturo tā atrašanās vietu. uz skaitliskās ass, t.i. "pozīcijas raksturojums".

No pozīcijas īpašībām varbūtību teorijā svarīga loma izspēlē nejauša lieluma matemātisko cerību, ko dažreiz sauc vienkārši par nejaušā lieluma vidējo vērtību.

Apsveriet nejaušo mainīgo X, kam ir iespējamās vērtības x1, x2, …, xn ar varbūtībām p1, p2, …, pn. Mums ar kādu skaitli jāraksturo nejauša lieluma vērtību atrašanās vieta uz x ass, ņemot vērā to, ka šīm vērtībām ir dažādas varbūtības. Šim nolūkam ir dabiski izmantot tā saukto vērtību “vidējo svērto”. xi, un katra vidējā vērtība xi jāņem vērā ar “svaru”, kas ir proporcionāls šīs vērtības varbūtībai. Tādējādi mēs aprēķināsim nejaušā lieluma vidējo lielumu X, ko mēs apzīmējam M |X|:

Šo vidējo svērto sauc par nejaušā mainīgā lieluma matemātisko cerību. Tādējādi mēs ieviesām vienu no svarīgākajiem varbūtības teorijas jēdzieniem - matemātiskās gaidas jēdzienu. Gadījuma lieluma matemātiskā cerība ir nejaušā lieluma visu iespējamo vērtību un šo vērtību varbūtību reizinājumu summa.

Ļaujiet tai ražot N neatkarīgi eksperimenti, katrā no kuriem vērtība X iegūst noteiktu vērtību. Pieņemsim, ka vērtība x1 parādījās m1 reizes, vērtība x2 parādījās m2 laiki, vispārīga nozīme xi parādījās mi reizes. Aprēķināsim vērtības X novēroto vērtību vidējo aritmētisko, kas atšķirībā no matemātiskās cerības M|X| mēs apzīmējam M*|X|:

Pieaugot eksperimentu skaitam N frekvences pi tuvosies (konverģēs varbūtībā) atbilstošajām varbūtībām. Līdz ar to nejaušā lieluma novēroto vērtību vidējais aritmētiskais M|X| palielinoties eksperimentu skaitam, tas tuvosies (konverģēs pēc varbūtības) savām matemātiskajām cerībām. Iepriekš formulētā saikne starp vidējo aritmētisko un matemātisko gaidu veido vienas no lielo skaitļu likuma formām saturu.

Mēs jau zinām, ka visas lielo skaitļu likuma formas nosaka faktu, ka daži vidējie rādītāji ir stabili daudzos eksperimentos. Šeit mēs runājam par vidējā aritmētiskā stabilitāti no viena un tā paša lieluma novērojumu sērijas. Ar nelielu eksperimentu skaitu to rezultātu vidējais aritmētiskais ir nejaušs; ar pietiekamu eksperimentu skaita pieaugumu tas kļūst “gandrīz nejaušs” un, stabilizējoties, tuvojas nemainīgai vērtībai - matemātiskajai cerībai.

Vidējo vērtību stabilitāti daudzos eksperimentos var viegli pārbaudīt eksperimentāli. Piemēram, sverot ķermeni laboratorijā uz precīziem svariem, svēršanas rezultātā mēs katru reizi iegūstam jaunu vērtību; Lai samazinātu novērošanas kļūdu, mēs vairākas reizes nosveram ķermeni un izmantojam iegūto vērtību vidējo aritmētisko. Ir viegli redzēt, ka, turpmāk palielinoties eksperimentu (svērumu) skaitam, vidējais aritmētiskais uz šo pieaugumu reaģē arvien retāk un, veicot pietiekami lielu eksperimentu skaitu, praktiski pārstāj mainīties.

Jāpiebilst, ka vissvarīgākā īpašība gadījuma lieluma pozīcija - matemātiskā cerība - nepastāv visiem gadījuma mainīgajiem. Ir iespējams sastādīt piemērus tādiem nejaušiem mainīgajiem, kuriem matemātiskās cerības nepastāv, jo atbilstošā summa vai integrālis atšķiras. Tomēr šādi gadījumi praksē nav īpaši ieinteresēti. Parasti nejaušajiem mainīgajiem, ar kuriem mēs strādājam, ir ierobežots iespējamo vērtību diapazons, un, protams, tiem ir matemātiskas cerības.

Papildus svarīgākajām gadījuma lieluma pozīcijas pazīmēm - matemātiskajai cerībai - praksē dažreiz tiek izmantotas arī citas pozīcijas pazīmes, jo īpaši nejaušā mainīgā lieluma režīms un mediāna.

Gadījuma lieluma režīms ir tā visticamākā vērtība. Termins "visticamākā vērtība" strikti runājot attiecas tikai uz nepārtrauktiem daudzumiem; Priekš nepārtraukta vērtība Režīms ir vērtība, pie kuras varbūtības blīvums ir maksimālais. Attēlos parādīts attiecīgi pārtraukto un nepārtraukto nejaušo mainīgo režīms.

Ja sadalījuma daudzstūrim (sadales līknei) ir vairāk nekā viens maksimums, sadalījumu sauc par "multimodālu".

Dažreiz ir sadalījumi, kuru vidū ir minimums, nevis maksimums. Šādus sadalījumus sauc par “antimodāliem”.

Vispārīgā gadījumā nejauša lieluma režīms un matemātiskā cerība nesakrīt. Konkrētajā gadījumā, kad sadalījums ir simetrisks un modāls (t.i., tam ir režīms) un ir matemātiska cerība, tad tas sakrīt ar sadalījuma režīmu un simetrijas centru.

Bieži tiek izmantots cits pozīcijas raksturlielums - tā sauktā nejaušā mainīgā mediāna. Šo raksturlielumu parasti izmanto tikai nepārtrauktiem nejaušiem mainīgajiem, lai gan to var formāli definēt pārtrauktam mainīgajam. Ģeometriski mediāna ir tā punkta abscisa, kurā sadalījuma līknes aptvertais laukums tiek dalīts uz pusēm.

Simetriska modālā sadalījuma gadījumā mediāna sakrīt ar matemātisko cerību un režīmu.

Matemātiskā cerība ir nejauša lieluma vidējā vērtība - nejauša lieluma varbūtības sadalījuma skaitliskais raksturlielums. Vispārīgākajā veidā, gadījuma mainīgā matemātiskā sagaidīšana X(w) ir definēts kā Lēbesga integrālis attiecībā uz varbūtības mēru R sākotnējā varbūtības telpā:

Matemātisko cerību var aprēķināt arī kā Lēbesga integrāli X pēc varbūtības sadalījuma px daudzumus X:

Jēdzienu par nejaušu lielumu ar bezgalīgu matemātisku cerību var definēt dabiskā veidā. Tipisks piemērs kalpo kā atgriešanās laiki dažos nejaušos piegājienos.

Ar matemātiskās gaidīšanas palīdzību tika izveidotas daudzas skaitliskās un funkcionālās īpašības sadalījumi (kā atbilstošo funkciju matemātiskā sagaidīšana no gadījuma lieluma), piemēram, ģenerēšanas funkcija, raksturīgā funkcija, jebkuras kārtas momenti, jo īpaši dispersija, kovariācija.

Matemātiskā cerība ir gadījuma lieluma vērtību atrašanās vietas īpašība (tā sadalījuma vidējā vērtība). Šajā kvalitātē matemātiskā gaida kalpo kā kāds “tipisks” sadalījuma parametrs, un tā loma ir līdzīga statiskā momenta – masas sadalījuma smaguma centra koordinātes – lomai mehānikā. No citiem vietas raksturlielumiem, ar kuru palīdzību sadalījums tiek aprakstīts vispārīgi - mediānas, režīmi, matemātiskā gaida atšķiras ar lielāku vērtību, kāda tai un atbilstošajam izkliedes raksturlielumam - dispersijai - ir varbūtības teorijas robežteorēmās. Matemātiskās gaidīšanas nozīmi vispilnīgāk atklāj lielo skaitļu likums (Čebiševa nevienlīdzība) un pastiprinātais lielo skaitļu likums.

Sagaidāms diskrēts gadījuma mainīgais

Lai ir kāds nejaušs mainīgais, kuram var būt viena no vairākām skaitliskām vērtībām (piemēram, punktu skaits, metot kauli, var būt 1, 2, 3, 4, 5 vai 6). Bieži vien praksē šādai vērtībai rodas jautājums: kāda vērtība ir “vidēji” ar lielu testu skaitu? Kādi būs mūsu vidējie ienākumi (vai zaudējumi) no katra riskantā darījuma?

Pieņemsim, ka ir kaut kāda loterija. Mēs vēlamies saprast, vai ir izdevīgi tajā piedalīties (vai pat piedalīties atkārtoti, regulāri). Pieņemsim, ka katra ceturtā biļete ir uzvarētāja, balva būs 300 rubļu, bet jebkuras biļetes cena būs 100 rubļu. Ar bezgala lielu dalību skaitu tas notiek. Trīs ceturtdaļās gadījumu mēs zaudēsim, katri trīs zaudējumi maksās 300 rubļu. Katrā ceturtajā gadījumā mēs laimēsim 200 rubļus. (balva mīnus izmaksas), tas ir, par četrām dalībām mēs zaudējam vidēji 100 rubļus, par vienu - vidēji 25 rubļus. Kopumā mūsu drupas vidējā likme būs 25 rubļi par biļeti.

Mēs metam kauliņi. Ja tā nav krāpšanās (nepārvietojot smaguma centru utt.), tad cik punktu mums būs vidēji vienā reizē? Tā kā katra iespēja ir vienlīdz iespējama, mēs vienkārši ņemam vidējo aritmētisko un iegūstam 3,5. Tā kā šis ir VIDĒJS, tad nevajag sašutināt, ka neviens konkrēts rullītis nedos 3,5 punktus - nu, šim kubam nav seja ar tādu numuru!

Tagad apkoposim mūsu piemērus:

Apskatīsim tikko sniegto attēlu. Kreisajā pusē ir izlases lieluma sadalījuma tabula. Vērtībai X var būt viena no n iespējamām vērtībām (parādīta augšējā rindā). Citas nozīmes nevar būt. Zem katra iespējamā nozīme tā varbūtība ir uzrakstīta zemāk. Labajā pusē ir formula, kur M(X) sauc par matemātisko cerību. Šīs vērtības nozīme ir tāda, ka ar lielu pārbaužu skaitu (ar lielu izlasi) vidējā vērtība tiecas uz to pašu matemātisko cerību.

Atgriezīsimies atkal pie tā paša spēlēšanas kuba. Matemātiskā sagaidāmais punktu skaits metot ir 3,5 (ja neticat, aprēķiniet to pats, izmantojot formulu). Pieņemsim, ka jūs to iemetāt pāris reizes. Rezultāti bija 4 un 6. Vidējais rādītājs bija 5, kas ir tālu no 3,5. Uzmeta vēl vienu reizi, dabūja 3, tas ir, vidēji (4 + 6 + 3)/3 = 4,3333... Kaut kā tālu no matemātiskās cerības. Tagad veiciet traku eksperimentu - ripiniet kubu 1000 reizes! Un pat ja vidējais rādītājs nav tieši 3,5, tas būs tuvu tam.

Aprēķināsim matemātisko cerību iepriekš aprakstītajai loterijai. Plāksne izskatīsies šādi:

Tad matemātiskās cerības būs, kā mēs noskaidrojām iepriekš:

Cita lieta, ka darīt to “uz pirkstiem”, bez formulas, būtu grūti, ja būtu vairāk iespēju. Nu, pieņemsim, ka būtu 75% zaudēto biļešu, 20% laimētu biļešu un 5% īpaši laimējošo.

Tagad dažas matemātiskās cerības īpašības.

To ir viegli pierādīt:

Pastāvīgo faktoru var izņemt kā matemātiskās cerības zīmi, tas ir:

Šis ir īpašs matemātiskās gaidas linearitātes īpašības gadījums.

Vēl viena matemātiskās cerības linearitātes sekas:

tas ir, gadījuma lielumu summas matemātiskā cerība ir vienāda ar nejaušo mainīgo matemātisko gaidu summu.

Lai X, Y ir neatkarīgi gadījuma mainīgie, Tad:

To arī ir viegli pierādīt) Darbs XY pats par sevi ir nejaušs mainīgais, un, ja sākotnējās vērtības varētu būt n Un m vērtības, attiecīgi XY var ņemt nm vērtības. Katras vērtības varbūtība tiek aprēķināta, pamatojoties uz faktu, ka neatkarīgu notikumu varbūtības tiek reizinātas. Rezultātā mēs iegūstam šo:

Nepārtraukta gadījuma lieluma gaidīšana

Nepārtrauktiem gadījuma mainīgajiem ir tāds raksturlielums kā sadalījuma blīvums (varbūtības blīvums). Tas būtībā raksturo situāciju, ka nejaušs mainīgais biežāk ņem dažas vērtības no reālo skaitļu kopas, bet dažas retāk. Piemēram, apsveriet šo grafiku:

Šeit X- faktiskais gadījuma lielums, f(x)- sadalījuma blīvums. Spriežot pēc šī grafika, eksperimentu laikā vērtība X bieži vien būs skaitlis, kas tuvs nullei. Izredzes ir pārsniegtas 3 vai būt mazākam -3 drīzāk tīri teorētiski.

Piemēram, lai būtu vienmērīgs sadalījums:

Tas pilnībā atbilst intuitīvai izpratnei. Teiksim, ja tiksim plkst vienmērīgs sadalījums daudzi nejauši reāli skaitļi, katrs no segmenta |0; 1| , tad vidējam aritmētiskajam jābūt apmēram 0,5.

Šeit ir piemērojamas arī diskrētiem gadījuma mainīgajiem piemērojamās matemātiskās gaidas īpašības - linearitāte utt.

Saistība starp matemātisko gaidu un citiem statistikas rādītājiem

Statistiskajā analīzē līdzās matemātiskajai cerībai pastāv savstarpēji atkarīgu rādītāju sistēma, kas atspoguļo parādību viendabīgumu un procesu stabilitāti. Izmaiņu indikatoriem bieži nav neatkarīgas nozīmes, un tos izmanto turpmākai datu analīzei. Izņēmums ir variācijas koeficients, kas raksturo datu viendabīgumu, kas ir vērtīgs statistiskais raksturlielums.

Procesu mainīguma vai stabilitātes pakāpi statistikas zinātnē var izmērīt, izmantojot vairākus rādītājus.

Lielākā daļa svarīgs rādītājs, kas raksturo gadījuma lieluma mainīgumu, ir Izkliede, kas visciešāk un tiešāk ir saistīts ar matemātisko cerību. Šis parametrs tiek aktīvi izmantots cita veida statistiskajā analīzē (hipotēžu pārbaude, cēloņu un seku attiecību analīze utt.). Tāpat kā vidējā lineārā novirze, arī dispersija atspoguļo datu izplatības apmēru ap vidējo vērtību.

Ir lietderīgi pārtulkot zīmju valodu vārdu valodā. Izrādās, ka dispersija ir noviržu vidējais kvadrāts. Tas ir, vispirms aprēķina vidējo vērtību, pēc tam ņem starpību starp katru sākotnējo un vidējo vērtību, dala kvadrātā, pievieno un pēc tam dala ar vērtību skaitu populācijā. Atšķirība starp individuālo vērtību un vidējo atspoguļo novirzes mēru. Tas ir kvadrātā tā, lai visas novirzes kļūtu tikai par pozitīviem skaitļiem un lai izvairītos no pozitīvo un negatīvo noviržu savstarpējas iznīcināšanas, tos summējot. Pēc tam, ņemot vērā novirzes kvadrātā, mēs vienkārši aprēķinām vidējo aritmētisko. Vidējās - kvadrātveida - novirzes. Novirzes ir kvadrātā un aprēķina vidējo. Atbilde uz burvju vārdu “dispersija” slēpjas tikai trīs vārdos.

Tomēr iekšā tīrā formā, piemēram, vidējais aritmētiskais vai indekss, dispersija netiek izmantota. Tas drīzāk ir palīg- un starpposma rādītājs, ko izmanto cita veida statistiskai analīzei. Tam pat nav normālas mērvienības. Spriežot pēc formulas, tas ir sākotnējo datu mērvienības kvadrāts.

Izmērīsim gadījuma lielumu N reizes, piemēram, mēs desmit reizes izmērām vēja ātrumu un vēlamies atrast vidējo vērtību. Kā vidējā vērtība ir saistīta ar sadalījuma funkciju?

Vai arī mēs metīsim kauliņus lielu skaitu reižu. Punktu skaits, kas parādīsies uz kauliņa ar katru metienu, ir nejaušs lielums, un tas var iegūt jebkuru dabisku vērtību no 1 līdz 6. Izmesto punktu vidējais aritmētiskais, kas aprēķināts visiem kauliņu metieniem, ir arī nejaušs lielums, bet lieliem N tas tiecas uz ļoti konkrētu skaitli – matemātisko gaidu Mx. IN šajā gadījumā Mx = 3,5.

Kā jūs ieguvāt šo vērtību? Ielaist N testiem n1 kad saņemat 1 punktu, n2 vienreiz - 2 punkti un tā tālāk. Pēc tam rezultātu skaits, kurā krita viens punkts:

Līdzīgi rezultātiem, kad tiek izmesti 2, 3, 4, 5 un 6 punkti.

Tagad pieņemsim, ka mēs zinām nejaušā lieluma x sadalījuma likumu, tas ir, mēs zinām, ka gadījuma lielums x var iegūt vērtības x1, x2, ..., xk ar varbūtībām p1, p2, ..., pk.

Gadījuma lieluma x matemātiskā sagaidāmā vērtība Mx ir vienāda ar:

Matemātiskās cerības ne vienmēr ir kāda nejauša mainīgā saprātīgs novērtējums. Tātad, lai novērtētu vidējo algas saprātīgāk ir lietot mediānas jēdzienu, tas ir, tādu vērtību, lai sakristu to cilvēku skaits, kuri saņem algu, kas ir zemāka par mediānu un lielāku.

Varbūtība p1, ka gadījuma lielums x būs mazāks par x1/2, un varbūtība p2, ka gadījuma lielums x būs lielāks par x1/2, ir vienāda un vienāda ar 1/2. Mediāna nav noteikta unikāli visiem sadalījumiem.

Standarta vai standarta novirze statistikā sauc novērojumu datu vai kopu novirzes pakāpi no VIDĒJĀS vērtības. Apzīmē ar burtiem s vai s. Neliela standarta novirze norāda, ka dati grupējas ap vidējo, savukārt liela standarta novirze norāda, ka sākotnējie dati atrodas tālu no tā. Standarta novirze vienāds kvadrātsakne daudzums, ko sauc par dispersiju. Tā ir sākotnējo datu kvadrātu atšķirību summas vidējā vērtība, kas atšķiras no vidējās vērtības. Gadījuma lieluma standarta novirze ir dispersijas kvadrātsakne:

Piemērs. Pārbaudes apstākļos, šaujot pa mērķi, aprēķiniet nejaušā lieluma izkliedi un standarta novirzi:

Variācija- raksturlieluma vērtības svārstības, mainīgums starp populācijas vienībām. Atsevišķi skaitliskās vērtības pētāmajā populācijā sastopamās īpašības sauc par nozīmes variantiem. Nepietiekama vidējā vērtība pilnas īpašības populācija liek mums papildināt vidējās vērtības ar rādītājiem, kas ļauj novērtēt šo vidējo rādītāju tipiskumu, mērot pētāmā raksturlieluma mainīgumu (variāciju). Variācijas koeficientu aprēķina pēc formulas:

Variāciju diapazons(R) apzīmē atšķirību starp atribūta maksimālo un minimālo vērtību pētāmajā populācijā. Šis rādītājs dod visvairāk vispārēja ideja par pētāmā raksturlieluma mainīgumu, jo tas parāda atšķirību tikai starp iespēju robežvērtībām. Atkarība no raksturlieluma galējām vērtībām piešķir variācijas jomai nestabilu, nejaušu raksturu.

Vidējā lineārā novirze atspoguļo visu analizētās populācijas vērtību absolūto (modulo) noviržu vidējo aritmētisko no to vidējās vērtības:

Matemātiskās cerības azartspēļu teorijā

Matemātiskās cerības ir Vidējā naudas summa, ko spēlētājs var laimēt vai zaudēt, veicot noteiktu likmi. Spēlētājam tas ir ļoti svarīgs jēdziens, jo tas ir būtiski, lai novērtētu lielāko daļu spēļu situāciju. Matemātiskās cerības ir arī optimāls rīks pamata karšu izkārtojumu un spēļu situāciju analīzei.

Pieņemsim, ka jūs spēlējat monētu spēli ar draugu, katru reizi veicot vienādas likmes 1 dolāra apmērā, neatkarīgi no tā, kas notiek. Astes nozīmē, ka jūs uzvarat, galvas nozīmē, ka jūs zaudējat. Izredzes ir viens pret vienu, ka tas nāks klajā ar galvu, tāpēc jūs uzliekat likmi no $1 līdz $1. Tādējādi jūsu matemātiskās cerības ir nulle, jo No matemātiskā viedokļa nevar zināt, vai būsi vadībā vai zaudēs pēc diviem metieniem vai pēc 200.

Jūsu stundas peļņa ir nulle. Stundas laimests ir naudas summa, kuru jūs plānojat laimēt stundas laikā. Tu vari mest monētu 500 reizes stundas laikā, bet tu neuzvarēsi vai nezaudēsi, jo... jūsu izredzes nav ne pozitīvas, ne negatīvas. Ja paskatās, tad no nopietna spēlētāja viedokļa šī likmju sistēma nav slikta. Bet tā ir vienkārši laika izšķiešana.

Bet pieņemsim, ka kāds vēlas veikt likmi $2 pret jūsu $1 tajā pašā spēlē. Tad jums uzreiz ir pozitīvas cerības uz 50 centiem no katras likmes. Kāpēc 50 centi? Vidēji jūs uzvarat vienu likmi un zaudējat otro. Likmi uz pirmo dolāru un tu zaudēsi 1$, bet uz otro un laimēsi 2$. Jūs divreiz veicat likmi $1 un esat priekšā par $1. Tātad katra jūsu viena dolāra likme jums deva 50 centus.

Ja monēta vienas stundas laikā parādās 500 reizes, jūsu stundas laimests jau būs $250, jo... Vidēji jūs zaudējāt vienu dolāru 250 reizes un laimējāt divus dolārus 250 reizes. $500 mīnus $250 ir vienāds ar $250, kas ir kopējais laimests. Lūdzu, ņemiet vērā, ka paredzamā vērtība, kas ir vidējā summa, kuru jūs laimējat par likmi, ir 50 centi. Jūs laimējāt $250, veicot likmi uz vienu dolāru 500 reizes, kas ir vienāds ar 50 centiem par likmi.

Matemātiskām cerībām nav nekā kopīga ar īstermiņa rezultātiem. Jūsu pretinieks, kurš nolēma likt pret jums 2 dolārus, varētu pārspēt jūs pirmajos desmit metienos pēc kārtas, bet jūs, ja jums ir likmju likmju priekšrocība 2 pret 1, ja visas pārējās lietas ir vienādas, jūs nopelnīsiet 50 centus par katru likmi uz $1. apstākļiem. Nav nozīmes tam, vai jūs uzvarat vai zaudējat vienu likmi vai vairākas likmes, ja vien jums ir pietiekami daudz naudas, lai ērti segtu izmaksas. Ja turpināsi likt likmes tāpat, tad par ilgs periods Ar laiku jūsu laimesti tuvosies paredzamo vērtību summai atsevišķos metienos.

Katru reizi, kad veicat labāko likmi (likmi, kas var izrādīties ienesīga ilgtermiņā), kad izredzes ir jums labvēlīgas, jūs noteikti kaut ko uzvarēsit neatkarīgi no tā, vai jūs to zaudējat vai nē. dota roka. Un otrādi, ja jūs veicat likmi, kas ir neizdevīga (ilgtermiņā nerentabla), kad izredzes ir pret jums, jūs kaut ko zaudējat neatkarīgi no tā, vai uzvarat vai zaudējat kombināciju.

Jūs veicat likmi ar labāko iznākumu, ja jūsu cerības ir pozitīvas, un tās ir pozitīvas, ja izredzes ir jūsu pusē. Veicot likmi ar sliktāko iznākumu, jums ir negatīvas cerības, kas notiek, ja izredzes ir pret jums. Nopietni spēlētāji liek likmes tikai uz labāko iznākumu; ja notiek sliktākais, viņi atmet. Ko izredzes nozīmē jūsu labā? Jūs varat uzvarēt vairāk, nekā dod reālās izredzes. Reālās izredzes uz nosēšanās galvu ir 1 pret 1, bet jūs saņemat 2 pret 1 izredžu attiecības dēļ. Šajā gadījumā izredzes ir jūsu labā. Jūs noteikti iegūsit vislabāko iznākumu, cerot uz 50 centiem par likmi.

Šeit ir sarežģītāks matemātiskās gaidīšanas piemērs. Draugs pieraksta skaitļus no viena līdz pieci un uzliek likmi $5 pret jūsu $1, ka jūs neuzminēsit skaitli. Vai jums vajadzētu piekrist šādai derībai? Kādas ir cerības šeit?

Vidēji jūs kļūdīsities četras reizes. Pamatojoties uz to, izredzes pret jums uzminēt skaitli ir 4 pret 1. Izredzes pret jums zaudēt dolāru vienā mēģinājumā. Tomēr jūs uzvarat 5 pret 1, ar iespēju zaudēt 4 pret 1. Tātad izredzes ir jūsu labā, jūs varat pieņemt likmi un cerēt uz labāko iznākumu. Veicot šo likmi piecas reizes, vidēji četras reizes zaudēsit $1 un vienreiz laimēsiet $5. Pamatojoties uz to, par visiem pieciem mēģinājumiem jūs nopelnīsiet $ 1 ar pozitīvu matemātisku cerību 20 centi par likmi.

Spēlētājs, kurš gatavojas laimēt vairāk, nekā liek, kā iepriekš minētajā piemērā, izmanto iespējas. Gluži pretēji, viņš sabojā savas izredzes, ja cer uzvarēt mazāk, nekā liek. Likmes slēdzējam var būt gan pozitīvas, gan negatīvas cerības, kas ir atkarīgas no tā, vai viņš uzvar vai sagrauj izredzes.

Ja jūs uzliekat likmi 50 USD, lai laimētu 10 USD ar iespēju laimēt 4 pret 1, jūs saņemsit negatīvas cerības USD 2, jo Vidēji jūs četras reizes laimēsiet $10 un vienu reizi zaudēsiet $50, kas liecina, ka zaudējums uz vienu likmi būs $10. Bet, ja jūs uzliekat likmi 30 USD, lai laimētu 10 USD ar tādu pašu izredzes uzvarēt 4 pret 1, tad šajā gadījumā jums ir pozitīvas cerības uz USD 2, jo jūs atkal laimējat 10 $ četras reizes un zaudējat 30 $ vienreiz, iegūstot 10 $ peļņu. Šie piemēri parāda, ka pirmā likme ir slikta, bet otrā ir laba.

Matemātiskās cerības ir jebkuras spēles situācijas centrā. Kad bukmeikers mudina futbola līdzjutējus likt likmes uz 11 USD, lai laimētu 10 USD, viņam ir pozitīvas cerības uz 50 centiem uz katriem 10 USD. Ja kazino maksā pat naudu no caurlaides līnijas, tad kazino pozitīvās cerības būs aptuveni 1,40 USD par katriem 100 USD, jo Šī spēle ir strukturēta tā, ka ikviens, kurš veic likmes uz šo līniju, vidēji zaudē 50,7% un uzvar 49,3% no kopējā laika. Neapšaubāmi, tieši šīs šķietami minimālās pozitīvās cerības nes milzīgu peļņu kazino īpašniekiem visā pasaulē. Kā atzīmēja Vegas World kazino īpašnieks Bobs Stupaks, “viena procenta tūkstošdaļa negatīva varbūtība pietiekami lielā attālumā sagraus bagātākais cilvēks pasaulē".

Cerības spēlējot pokeru

Pokera spēle ir ilustratīvākais un ilustratīvākais piemērs no matemātisko gaidu teorijas un īpašību izmantošanas viedokļa.

Paredzamā vērtība pokerā ir vidējais ieguvums no konkrēta lēmuma, ar nosacījumu, ka šādu lēmumu var apsvērt lielu skaitļu un tālsatiksmes teorijas ietvaros. Veiksmīga pokera spēle ir vienmēr pieņemt gājienus ar pozitīvu paredzamo vērtību.

Matemātiskās cerības matemātiskā nozīme, spēlējot pokeru, ir tāda, ka mēs bieži sastopamies ar nejaušiem mainīgajiem, pieņemot lēmumus (mēs nezinām, kādas kārtis ir pretinieka rokās, kādas kārtis nāks nākamajās likmju likmju kārtās). Katrs no risinājumiem ir jāaplūko no lielo skaitļu teorijas viedokļa, kas nosaka, ka ar pietiekami lielu izlasi nejaušā lieluma vidējā vērtība atbilst tā matemātiskajai gaidīšanai.

Starp konkrētajām formulām matemātiskās cerības aprēķināšanai pokerā ir vispiemērotākās šādas:

Spēlējot pokeru, paredzamo vērtību var aprēķināt gan likmēm, gan zvaniem. Pirmajā gadījumā jāņem vērā pašu kapitāls, otrajā gadījumā pašas bankas izredzes. Novērtējot konkrēta gājiena matemātiskās cerības, jums jāatceras, ka locījumam vienmēr ir nulle cerības. Tādējādi kāršu izmešana vienmēr būs izdevīgāks lēmums nekā jebkurš negatīvs solis.

Gaidāmība norāda, ko jūs varat sagaidīt (peļņu vai zaudējumus) par katru riskēto dolāru. Kazino pelna naudu, jo visu tajos spēlēto spēļu matemātiskās cerības ir par labu kazino. Ar pietiekami ilgu spēļu sēriju jūs varat sagaidīt, ka klients zaudēs savu naudu, jo "izredzes" ir par labu kazino. Tomēr profesionāli kazino spēlētāji ierobežo savas spēles ar īsu laika periodu, tādējādi sadalot izredzes sev par labu. Tas pats attiecas uz investīcijām. Ja jūsu cerības ir pozitīvas, jūs varat nopelnīt vairāk naudas, veicot daudzus darījumus īsā laika periodā. Gaidāmais ir jūsu peļņas procents uz vienu uzvaru, kas reizināts ar jūsu vidējo peļņu, mīnus jūsu zaudējuma varbūtība, kas reizināta ar jūsu vidējo zaudējumu.

Pokeru var aplūkot arī no matemātisko gaidu viedokļa. Jūs varat pieņemt, ka noteikta kustība ir izdevīga, taču dažos gadījumos tas var nebūt labākais, jo cits gājiens ir izdevīgāks. Pieņemsim, ka piecu kāršu izlozē jūs sasniedzāt pilnu māju. Jūsu pretinieks veic likmi. Jūs zināt, ka, ja paaugstināsiet likmi, viņš atbildēs. Tāpēc paaugstināšana šķiet labākā taktika. Bet, ja jūs paaugstināsiet likmi, atlikušie divi spēlētāji noteikti atmetīs likmi. Bet, ja jūs piezvanāt, jums ir pilnīga pārliecība, ka pārējie divi spēlētāji aiz jums darīs to pašu. Palielinot likmi, jūs saņemat vienu vienību, un, vienkārši piezvanot, jūs saņemat divas. Tādējādi zvanīšana sniedz augstāku pozitīvu sagaidāmo vērtību un būs labākā taktika.

Matemātiskās cerības var arī sniegt priekšstatu par to, kura pokera taktika ir mazāk izdevīga un kura ir izdevīgāka. Piemēram, ja jūs izspēlējat noteiktu kombināciju un domājat, ka jūsu zaudējums būs vidēji 75 centi, ieskaitot ante, tad jums ir jāizspēlē šī kombinācija, jo tas ir labāk nekā locīšana, ja ante ir 1 USD.

Vēl viens svarīgs iemesls, lai saprastu sagaidāmās vērtības jēdzienu, ir tas, ka tas sniedz jums sirdsmieru neatkarīgi no tā, vai uzvarat likmi vai nē: ja izdarījāt labu likmi vai atlaidāt likmi īstajā laikā, jūs zināt, ka esat nopelnījis vai nē. ietaupīja noteiktu naudas summu, kuru vājākais spēlētājs nevarēja ietaupīt. Ir daudz grūtāk atmest, ja esat sarūgtināts, jo jūsu pretinieks izvilka spēcīgāku kombināciju. Līdz ar to visa nauda, ​​ko ietaupīsi, nespēlējot likmju likšanas vietā, tiek pievienota tavam nakts vai mēneša laimestam.

Vienkārši atcerieties, ka, ja jūs mainījāt savas rokas, pretinieks jums būtu piezvanījis, un, kā jūs redzēsit rakstā Pokera pamatteorēma, šī ir tikai viena no jūsu priekšrocībām. Jums vajadzētu būt laimīgam, kad tas notiek. Jūs pat varat iemācīties izbaudīt izspēles zaudēšanu, jo zināt, ka citi spēlētāji jūsu pozīcijā būtu zaudējuši daudz vairāk.

Kā minēts sākumā monētu spēles piemērā, stundas peļņas koeficients ir saistīts ar matemātisko cerību un šo koncepcijuīpaši svarīgi profesionāliem spēlētājiem. Kad jūs dodaties spēlēt pokeru, jums vajadzētu garīgi novērtēt, cik daudz jūs varat laimēt spēles stundā. Vairumā gadījumu jums būs jāpaļaujas uz savu intuīciju un pieredzi, taču varat arī izmantot matemātiku. Piemēram, jūs spēlējat draw lowball un redzat, ka trīs spēlētāji liek 10 USD un pēc tam maina divas kārtis, kas ir ļoti slikta taktika, jūs varat saprast, ka katru reizi, kad viņi liek 10 USD, viņi zaudē apmēram USD 2. Katrs no viņiem to dara astoņas reizes stundā, kas nozīmē, ka visi trīs zaudē aptuveni 48 USD stundā. Jūs esat viens no atlikušajiem četriem spēlētājiem, kuri ir aptuveni vienādi, tāpēc šiem četriem spēlētājiem (un jums starp viņiem) ir jāsadala 48 $, katrs gūstot peļņu 12 $ stundā. Jūsu stundas izredzes šajā gadījumā ir vienkārši vienādas ar jūsu daļu no naudas summas, ko stundas laikā zaudējuši trīs slikti spēlētāji.

Ilgākā laika periodā spēlētāja kopējie laimesti ir viņa matemātisko cerību summa atsevišķās izspēlēs. Jo vairāk roku jūs spēlējat ar pozitīvām cerībām, jo ​​vairāk jūs uzvarat, un otrādi, jo vairāk roku jūs spēlējat ar negatīvām cerībām, jo ​​vairāk jūs zaudējat. Rezultātā jums vajadzētu izvēlēties spēli, kas var palielināt jūsu pozitīvo gaidu vai noliegt jūsu negatīvās gaidas, lai jūs varētu maksimāli palielināt stundas laimestu.

Pozitīvas matemātiskās cerības spēļu stratēģijā

Ja jūs zināt, kā skaitīt kārtis, jums var būt priekšrocības salīdzinājumā ar kazino, ja vien viņi to nepamana un izmetīs jūs ārā. Kazino mīl piedzērušos spēlētājus un nepieļauj kāršu skaitīšanas spēlētājus. Priekšrocība ļaus jums uzvarēt laika gaitā. lielāks skaits reizes nekā zaudēt. Laba vadība kapitāls, izmantojot paredzamās vērtības aprēķinus, var palīdzēt iegūt lielāku peļņu no priekšrocībām un samazināt zaudējumus. Bez priekšrocībām jūs labāk atdodat naudu labdarībai. Spēlē biržā priekšrocības dod spēļu sistēma, kas rada lielāku peļņu nekā zaudējumi, cenu atšķirības un komisijas maksas. Nekāda naudas pārvaldība nevar glābt sliktu spēļu sistēmu.

Pozitīva cerība tiek definēta kā vērtība, kas ir lielāka par nulli. Jo lielāks šis skaitlis, jo spēcīgāka ir statistika. Ja vērtība ir mazāka par nulli, tad arī matemātiskā cerība būs negatīva. Jo lielāks ir negatīvās vērtības modulis, jo sliktāka ir situācija. Ja rezultāts ir nulle, tad gaidīšana ir līdzsvarota. Jūs varat uzvarēt tikai tad, ja jums ir pozitīvas matemātiskas cerības un saprātīga spēles sistēma. Spēlēšana pēc intuīcijas noved pie katastrofas.

Matemātiskās cerības un akciju tirdzniecība

Matemātiskās cerības ir diezgan plaši izmantots un populārs statistikas rādītājs, veicot biržas tirdzniecību finanšu tirgos. Pirmkārt, šis parametrs tiek izmantots, lai analizētu tirdzniecības panākumus. Nav grūti uzminēt, jo augstāka šī vērtība, jo vairāk iemeslu uzskatīt, ka pētāmā tirdzniecība ir veiksmīga. Protams, tirgotāja darba analīzi nevar veikt, izmantojot tikai šo parametru. Tomēr aprēķinātā vērtība kombinācijā ar citām darba kvalitātes novērtēšanas metodēm var ievērojami palielināt analīzes precizitāti.

Tirdzniecības kontu uzraudzības pakalpojumos bieži tiek aprēķināta matemātiskā cerība, kas ļauj ātri novērtēt ar depozītu veikto darbu. Izņēmumi ietver stratēģijas, kurās tiek izmantoti nerentabli darījumi. Tirgotājam kādu laiku var paveicies, un tāpēc viņa darbā var nebūt nekādu zaudējumu. Šajā gadījumā nevarēs vadīties tikai pēc matemātiskās gaidas, jo netiks ņemti vērā darbā izmantotie riski.

Tirgus tirdzniecībā matemātiskās cerības visbiežāk tiek izmantotas, prognozējot jebkuras tirdzniecības stratēģijas rentabilitāti vai prognozējot tirgotāja ienākumus, pamatojoties uz viņa iepriekšējās tirdzniecības statistikas datiem.

Runājot par naudas pārvaldību, ir ļoti svarīgi saprast, ka, veicot darījumus ar negatīvām cerībām, nav tādas naudas pārvaldības shēmas, kas noteikti varētu nest lielu peļņu. Ja turpināsiet spēlēt akciju tirgū šādos apstākļos, tad neatkarīgi no tā, kā jūs pārvaldāt savu naudu, jūs zaudēsiet visu savu kontu neatkarīgi no tā, cik liels tas bija sākumā.

Šī aksioma attiecas ne tikai uz spēlēm vai darījumiem ar negatīvām cerībām, bet arī uz spēlēm ar vienādām izredzēm. Tāpēc vienīgā reize, kad jums ir iespēja gūt peļņu ilgtermiņā, ir tad, ja veicat darījumus ar pozitīvu paredzamo vērtību.

Atšķirība starp negatīvajām un pozitīvajām cerībām ir atšķirība starp dzīvību un nāvi. Nav svarīgi, cik pozitīvas vai negatīvas ir cerības; Svarīgi ir tikai tas, vai tas ir pozitīvs vai negatīvs. Tāpēc, pirms apsvērt naudas pārvaldību, jums vajadzētu atrast spēli ar pozitīvām cerībām.

Ja jums nav šīs spēles, tad visa pasaules naudas pārvaldība jūs neglābs. No otras puses, ja jums ir pozitīvas cerības, jūs, pareizi pārvaldot naudu, varat pārvērst to par eksponenciālas izaugsmes funkciju. Nav svarīgi, cik mazas ir pozitīvas cerības! Citiem vārdiem sakot, nav nozīmes tam, cik ienesīga ir tirdzniecības sistēma, kuras pamatā ir viens līgums. Ja jums ir sistēma, kas uzvar 10 ASV dolāru par līgumu par darījumu (pēc komisijas maksas un novirzes), varat izmantot naudas pārvaldības paņēmienus, lai padarītu to ienesīgāku nekā sistēma, kas vidēji maksā 1000 ASV dolāru par darījumu (pēc komisijas maksas un izslīdēšanas atskaitīšanas).

Svarīgi ir nevis sistēmas rentabilitāte, bet gan tas, cik droši var teikt, ka sistēma nākotnē rādīs vismaz minimālu peļņu. Tāpēc vissvarīgākā sagatavošanās, ko tirgotājs var veikt, ir nodrošināt, lai sistēma nākotnē uzrādīs pozitīvu paredzamo vērtību.

Lai nākotnē būtu pozitīva sagaidāmā vērtība, ir ļoti svarīgi neierobežot savas sistēmas brīvības pakāpes. Tas tiek panākts ne tikai likvidējot vai samazinot optimizējamo parametru skaitu, bet arī samazinot pēc iespējas vairāk sistēmas noteikumu. Katrs jūsu pievienotais parametrs, katrs noteikums, ko veicat, katra niecīga sistēma, ko veicat, samazina brīvības pakāpju skaitu. Ideālā gadījumā jums ir jāizveido diezgan primitīva un vienkārša sistēma, kas konsekventi nesīs nelielu peļņu gandrīz jebkurā tirgū. Atkal ir svarīgi, lai jūs saprastu, ka nav svarīgi, cik izdevīga ir sistēma, ja vien tā ir izdevīga. Tirdzniecībā nopelnītā nauda tiks nopelnīta caur efektīva vadība naudu.

Tirdzniecības sistēma ir vienkārši rīks, kas sniedz pozitīvu sagaidāmo vērtību, lai jūs varētu izmantot naudas pārvaldību. Sistēmas, kas darbojas (uzrāda vismaz minimālu peļņu) tikai vienā vai dažos tirgos vai kurām ir atšķirīgi noteikumi vai parametri dažādiem tirgiem, visticamāk, nedarbosies reāllaikā pietiekami ilgi. Problēma ar lielāko daļu tehniski orientētu tirgotāju ir tā, ka viņi tērē pārāk daudz laika un pūļu optimizācijai dažādi noteikumi un tirdzniecības sistēmas parametru vērtības. Tas dod pilnīgi pretējus rezultātus. Tā vietā, lai tērētu enerģiju un datora laiku tirdzniecības sistēmas peļņas palielināšanai, virziet savu enerģiju uz minimālās peļņas iegūšanas uzticamības līmeņa paaugstināšanu.

Zinot, ka naudas pārvaldība ir tikai skaitļu spēle, kurā ir jāizmanto pozitīvas cerības, tirgotājs var beigt meklēt akciju tirdzniecības "svēto grālu". Tā vietā viņš var sākt pārbaudīt savu tirdzniecības metodi, noskaidrot, cik šī metode ir loģiska un vai tā rada pozitīvas cerības. Pareizās metodes naudas pārvaldīšana, piemērojot jebkuru, pat ļoti viduvēju tirdzniecības metodi, pārējo darbu paveiks paši.

Lai jebkurš tirgotājs gūtu panākumus savā darbā, viņam jāatrisina trīs svarīgākie uzdevumi: . Nodrošināt, ka veiksmīgo darījumu skaits pārsniedz neizbēgamās kļūdas un aprēķinus; Iestatiet savu tirdzniecības sistēmu tā, lai jums būtu iespēja nopelnīt naudu pēc iespējas biežāk; Sasniedziet stabilus pozitīvus rezultātus no savām darbībām.

Un šeit mums, strādājošajiem tirgotājiem, matemātiskās cerības var būt ļoti noderīgas. Šis termins ir viens no galvenajiem varbūtību teorijā. Ar tās palīdzību jūs varat sniegt kādu nejaušas vērtības vidējo novērtējumu. Gadījuma lieluma matemātiskā cerība ir līdzīga smaguma centram, ja visas iespējamās varbūtības iedomājas kā punktus ar dažādu masu.

Saistībā ar tirdzniecības stratēģiju, lai novērtētu tās efektivitāti, visbiežāk tiek izmantota matemātiskā peļņas (vai zaudējumu) cerība. Šis parametrs tiek definēts kā noteiktu peļņas un zaudējumu līmeņu produktu summa un to rašanās varbūtība. Piemēram, izstrādātā tirdzniecības stratēģija paredz, ka 37% no visiem darījumiem nesīs peļņu, bet pārējā daļa - 63% - būs nerentabla. Tajā pašā laikā vidējie ienākumi no veiksmīga darījuma būs 7 USD, un vidējie zaudējumi būs 1,4 USD. Aprēķināsim tirdzniecības matemātiskās cerības, izmantojot šo sistēmu:

Ko šis skaitlis nozīmē? Tajā teikts, ka, ievērojot šīs sistēmas noteikumus, vidēji no katra noslēgtā darījuma saņemsim 1708 USD. Tā kā iegūtais efektivitātes rādītājs ir lielāks par nulli, šādu sistēmu var izmantot reālam darbam. Ja aprēķinu rezultātā matemātiskā cerība izrādās negatīva, tad tas jau norāda uz vidējiem zaudējumiem un šāda tirdzniecība novedīs pie izpostīšanas.

Peļņas summu uz vienu darījumu var izteikt arī kā relatīvo vērtību % formā. Piemēram:

– ienākumu procents uz 1 darījumu - 5%;

– veiksmīgo tirdzniecības operāciju procentuālais daudzums - 62%;

– zaudējumu procents par 1 darījumu - 3%;

– neveiksmīgo darījumu procents - 38%;

Tas ir, vidējā tirdzniecība ienesīs 1,96%.

Ir iespējams izstrādāt sistēmu, kas, neskatoties uz nerentablo darījumu pārsvaru, dos pozitīvs rezultāts, jo tā MO>0.

Tomēr ar gaidīšanu vien nepietiek. Ir grūti pelnīt naudu, ja sistēma dod ļoti maz tirdzniecības signālu. Šajā gadījumā tā rentabilitāte būs salīdzināma ar bankas procentiem. Lai katra operācija saražotu vidēji tikai 0,5 dolārus, bet ja sistēma ietver 1000 operācijas gadā? Tā būs ļoti ievērojama summa salīdzinoši īsā laikā. No tā loģiski izriet, ka var apsvērt vēl vienu labas tirdzniecības sistēmas atšķirīgu iezīmi īstermiņa ieņemot amatus.

Avoti un saites

dic.academic.ru – akadēmiskā tiešsaistes vārdnīca

mathematics.ru – matemātikas izglītības vietne

nsu.ru – Novosibirskas izglītības vietne valsts universitāte

webmath.ru - izglītības portāls studentiem, pretendentiem un skolēniem.

exponenta.ru izglītības matemātikas vietne

ru.tradimo.com – bezmaksas tiešsaistes tirdzniecības skola

crypto.hut2.ru – daudznozaru informācijas resurss

poker-wiki.ru – bezmaksas pokera enciklopēdija

sernam.ru - Zinātnes bibliotēka izvēlētās dabaszinātņu publikācijas

reshim.su – vietne MĒS ATRISINĀSIM testa kursa darbu problēmas

unfx.ru – Forex uz UNFX: apmācība, tirdzniecības signāli, uzticības pārvaldība

slovopedia.com – liels enciklopēdiskā vārdnīca Slovākija

pokermansion.3dn.ru – Jūsu ceļvedis pokera pasaulē

statanaliz.info – informācijas emuārs “Statistisko datu analīze”

forex-trader.rf – Forex-Trader portāls

megafx.ru – pašreizējā Forex analītika

fx-by.com – viss tirgotājam