Garākais vietniekvārds krievu valodā. Maskavas Valsts poligrāfijas mākslas universitāte

Skalāro lielumu T, kas vienāds ar visu sistēmas punktu kinētisko enerģiju summu, sauc par sistēmas kinētisko enerģiju.

Kinētiskā enerģija ir sistēmas translācijas un rotācijas kustības īpašība. Tās izmaiņas ietekmē ārējo spēku darbība un, tā kā tas ir skalārs, tas nav atkarīgs no sistēmas daļu kustības virziena.

Atradīsim kinētisko enerģiju dažādiem kustības gadījumiem:

1.Kustība uz priekšu

Visu sistēmas punktu ātrumi ir vienādi ar masas centra ātrumu. Tad

Sistēmas kinētiskā enerģija translācijas kustības laikā ir vienāda ar pusi no sistēmas masas un masas centra ātruma kvadrāta reizinājuma.

2. Rotācijas kustība (77. att.)

Ātrums jebkurā ķermeņa punktā: . Tad

vai izmantojot formulu (15.3.1.):

Ķermeņa kinētiskā enerģija rotācijas laikā ir vienāda ar pusi no ķermeņa inerces momenta reizinājuma attiecībā pret rotācijas asi un tā leņķiskā ātruma kvadrātu.

3. Plakne-paralēla kustība

Noteiktai kustībai kinētiskā enerģija sastāv no translācijas un rotācijas kustību enerģijas

Vispārējais kustības gadījums sniedz formulu kinētiskās enerģijas aprēķināšanai, kas ir līdzīga pēdējai.

Darba un jaudas definīcija ir sniegta 14. nodaļas 3. punktā. Šeit apskatīsim piemērus, kā aprēķināt spēkus, kas iedarbojas uz mehānisku sistēmu, darba un jaudas.

1.Gravitācijas spēku darbs. Ļaujiet , ķermeņa punkta k sākuma un beigu pozīcijas koordinātas. Darbs, ko veic gravitācijas spēks, kas iedarbojas uz šo svara daļiņu, būs . Tad pilnas slodzes darbs:

kur P ir materiālo punktu sistēmas svars, ir smaguma centra C vertikālā nobīde.

2. Rotējošam ķermenim pielikto spēku darbs.

Atbilstoši relācijai (14.3.1.) varam rakstīt , bet ds pēc 74. attēla tās bezgalīgā mazuma dēļ var attēlot formā - bezgalīgi mazs ķermeņa griešanās leņķis. Tad

Lielums sauc par griezes momentu.

Mēs pārrakstām formulu (19.1.6) kā

Elementārais darbs ir vienāds ar griezes momenta un elementārās rotācijas reizinājumu.

Pagriežot pa galīgo leņķi, mums ir:

Ja griezes moments tad ir nemainīgs

un jaudu nosakām no attiecības (14.3.5.)

kā griezes momenta laiku reizinājums leņķiskais ātrumsķermeņi.

Teorēma par kinētiskās enerģijas izmaiņām, kas pierādīta punktam (§ 14.4), būs derīga jebkuram sistēmas punktam

Sastādot šādus vienādojumus visiem sistēmas punktiem un saskaitot tos pa vārdam, mēs iegūstam:

vai saskaņā ar (19.1.1.):

kas ir teorēmas izteiksme par sistēmas kinētisko enerģiju in diferenciālā forma.

Integrējot (19.2.2), mēs iegūstam:

Teorēma par kinētiskās enerģijas izmaiņām tās galīgajā formā: sistēmas kinētiskās enerģijas izmaiņas dažas galīgās pārvietošanas laikā ir vienādas ar visu sistēmai pielikto ārējo un iekšējo spēku nobīdi veiktā darba summu.

Uzsvērsim to iekšējie spēki nav izslēgti. Nemainīgai sistēmai visu iekšējo spēku veiktā darba summa ir nulle un

Ja sistēmai uzliktie ierobežojumi laika gaitā nemainās, tad gan ārējos, gan iekšējos spēkus var iedalīt aktīvajos un reakcijas ierobežojumos, un tagad var uzrakstīt vienādojumu (19.2.2):

Dinamikā tiek ieviests jēdziens “ideāla” mehāniskā sistēma. Šī ir sistēma, kurā savienojumu klātbūtne neietekmē kinētiskās enerģijas izmaiņas, tas ir

Tādus savienojumus, kas laika gaitā nemainās un kuru darba summa elementārai nobīdei ir nulle, sauc par ideāliem, un vienādojums (19.2.5) tiks uzrakstīts:

Materiāla punkta potenciālā enerģija noteiktā pozīcijā M ir skalārais lielums P, kas vienāds ar darbu, ko radīs lauka spēki, pārvietojot punktu no pozīcijas M uz nulli

P = A (mēn.) (19.3.1.)

Potenciālā enerģija ir atkarīga no punkta M atrašanās vietas, tas ir, no tā koordinātām

P = P(x,y,z) (19.3.2.)

Šeit paskaidrosim, ka spēka lauks ir telpiskā tilpuma daļa, kuras katrā punktā uz daļiņu iedarbojas noteikta lieluma un virziena spēks atkarībā no daļiņas stāvokļa, tas ir, uz koordinātām x, y, z. Piemēram, Zemes gravitācijas lauks.

Tiek izsaukta koordinātu funkcija U, kuras diferenciāle ir vienāda ar darbu jaudas funkcija. Spēka lauks, kuram ir spēka funkcija, zvanīja potenciālais spēka lauks, un spēki, kas darbojas šajā laukā, ir potenciālie spēki.

Ļaujiet nulle punktu divām spēka funkcijām P(x,y,z) un U(x,y,z) sakrīt.

Izmantojot formulu (14.3.5) iegūstam, t.i. dA = dU(x,y,z) un

kur U ir spēka funkcijas vērtība punktā M. Tātad

П(x,y,z) = -U(x,y,z) (19.3.5)

Potenciālā enerģija jebkurā spēka lauka punktā ir vienāda ar spēka funkcijas vērtību šajā punktā, kas ņemta ar pretēju zīmi.

Tas nozīmē, ka, ņemot vērā spēka lauka īpašības, spēka funkcijas vietā mēs varam ņemt vērā potenciālo enerģiju un jo īpaši vienādojums (19.3.3) tiks pārrakstīts kā

Darbs, ko veic potenciāls spēks, ir vienāds ar starpību starp kustīga punkta potenciālās enerģijas vērtībām sākuma un beigu pozīcijās.

Jo īpaši gravitācijas darbs:

Lai visi spēki, kas iedarbojas uz sistēmu, ir potenciāli. Tad katram sistēmas punktam k darbs ir vienāds ar

Tad būs visiem spēkiem, gan ārējiem, gan iekšējiem

kur ir visas sistēmas potenciālā enerģija.

Šīs summas aizstājam kinētiskās enerģijas izteiksmē (19.2.3):

vai visbeidzot:

Pārvietojoties potenciālo spēku ietekmē, sistēmas kinētiskās un potenciālās enerģijas summa katrā tās pozīcijā paliek nemainīga. Šis ir mehāniskās enerģijas nezūdamības likums.

Krava, kas sver 1 kg, brīvi svārstās saskaņā ar likumu x = 0,1sinl0t. Atsperes stinguma koeficients c = 100 N/m. Nosakiet slodzes kopējo mehānisko enerģiju pie x = 0,05 m, ja pie x = 0 potenciālā enerģija ir nulle . (0,5)

Slodze ar masu m = 4 kg, krītot uz leju, ar vītnes palīdzību liek griezties cilindram ar rādiusu R = 0,4 m. Cilindra inerces moments attiecībā pret griešanās asi ir I = 0,2. Noteikt ķermeņu sistēmas kinētisko enerģiju laika momentā, kad slodzes ātrums v = 2m/s . (10,5)

Iestatiet ķermeņa svara vērtības, izmantojot slīdņusm, plaknes slīpuma leņķisa, ārējais spēks F tālr , berzes koeficientsmun paātrinājums A Jūsu komandai norādīts 1. tabulā.

Tajā pašā laikā ieslēdziet hronometru un nospiediet pogu "Sākt". Izslēdziet hronometru, kad jūsu ķermenis apstājas beigās slīpa plakne.

Veiciet šo eksperimentu 10 reizes un tabulā ierakstiet rezultātus, kas iegūti, mērot laiku, kad ķermenis slīd no slīpās plaknes. 2.

TABULA 1. Eksperimenta sākotnējie parametri

Brig.nr.
m, kg
m	0,10
a, gr
F iekšā, N
a, m/s 2

2. TABULA. Mērījumu un aprēķinu rezultāti

W p = - ķermeņa potenciālā enerģija slīpās plaknes augšējā punktā;

D) - berzes spēka darbs uz nolaišanās posmu;

E) - ārējā spēka darbs nolaišanās posmā

un ierakstiet šīs vērtības attiecīgajās tabulas rindās. 2. Aprēķiniet šo parametru vidējās vērtības un pierakstiet tās 2. tabulas ailē “vidējās vērtības”.

Izmantojot formulu (7), pārbaudiet mehāniskās enerģijas nezūdamības likuma izpildi, ķermenim pārvietojoties pa slīpu plakni. Aprēķiniet kļūdas un izdariet secinājumus, pamatojoties uz eksperimentu rezultātiem.

Jautājumi un uzdevumi paškontrolei

1. Kāds ir mehāniskās enerģijas nezūdamības likums?

2. Kurām sistēmām ir spēkā mehāniskās enerģijas nezūdamības likums?

3.Kāda ir atšķirība starp enerģijas un darba jēdzieniem?

4.Kas izraisa potenciālās enerģijas izmaiņas?

5.Kas izraisa kinētiskās enerģijas izmaiņas?

6. Vai ir jāizpilda ķermeņu mehāniskās sistēmas noslēgtības nosacījums, lai izpildītu mehāniskās enerģijas nezūdamības likumu?

7. Kādus spēkus sauc par konservatīvajiem?

8. Kādus spēkus sauc par izkliedējošiem?

9.Ķermenis lēnām tiek vilkts kalnā. Vai kalna profila forma ir atkarīga no: a) gravitācijas darba; b) darbs, ko veic berzes spēks? Ķermeņa kustības sākuma un beigu punkti ir fiksēti.

10. Ķermenis slīd no slīpas plaknes augšdaļas bez sākuma ātruma. Veic berzes spēka darbu pa visu ķermeņa kustības ceļu, līdz tas apstājas uz horizontālā griezuma: a) uz plaknes slīpuma leņķi; b) par berzes koeficientu?

11. Divi ķermeņi slīd lejup pa slīpu plakni no viena augstuma: viens ar masu m , cits ar masu 2 m . Kurš ķermenis veiks vislielāko attālumu pa horizontālo posmu, lai apstāties, un cik reizes? Berzes koeficienti abiem korpusiem ir vienādi.

12.Ragavas ar masu m noripoja no kalna ar augstumu H un apstājās uz horizontāla posma. Kādi darbi jāveic, lai tos paceltu kalnā pa slīpuma līniju.

13. Ar tādu pašu sākuma ātrumu ķermenis pārvar: a) padziļinājumu; b) slīdni ar identiskiem trajektorijas lokiem un identiskiem berzes koeficientiem. Abos gadījumos salīdziniet ķermeņa ātrumu ceļa beigās.

Literatūra

1. Trofimova T.I. Fizikas kurss. 3. nodaļas 12.,13.

Bez izmaiņām

Vidēji nozīmē

Pogr.

t, s

v , m/s

S, m

W k, Dž

Wp, Dž

A tr, Dž

A in, Dž

W pilns, Dž

Teorēma par punkta kinētisko enerģiju diferenciālā formā

Skalāri reizinot materiāla punkta kustības vienādojuma abas puses ar iegūtā punkta elementāro nobīdi

vai kopš tā laika

Skalāru lielumu jeb pusi no punkta masas un tā ātruma kvadrāta reizinājuma sauc par punkta kinētisko enerģiju vai punkta dzīvo spēku.

Pēdējā vienādība veido teorēmas saturu par punkta kinētisko enerģiju diferenciālā formā, kas nosaka: punkta kinētiskās enerģijas diferenciālis ir vienāds ar elementāru darbu, kas iedarbojas uz spēka punktu.

Kinētiskās enerģijas teorēmas fiziskā nozīme ir tāda, ka darbs, ko veic spēks, kas iedarbojas uz punktu, uzkrājas tajā kā kustības kinētiskā enerģija.

Teorēma par punkta kinētisko enerģiju integrālā formā

Ļaujiet punktam pārvietoties no pozīcijas A uz pozīciju B, ejot pa savu trajektoriju gala lokam AB (113. att.). Vienādības integrēšana no A līdz B:

kur ir punkta ātrumi attiecīgi pozīcijās A un B.

Pēdējā vienādība veido teorēmas saturu par punkta kinētisko enerģiju integrālā formā, kas nosaka: punkta kinētiskās enerģijas izmaiņas noteiktā laika periodā ir vienādas ar darbu, ko tajā pašā laikā paveicis punkts. spēks, kas uz to iedarbojas.

Iegūtā teorēma ir spēkā, kad punkts pārvietojas jebkura spēka ietekmē. Tomēr, kā norādīts, lai aprēķinātu kopējo spēku paveikto darbu, ir nepieciešams vispārējs gadījums zināt punkta kustības vienādojumus.

Tāpēc teorēma par kinētisko enerģiju, vispārīgi runājot, nedod pirmo kustības vienādojumu integrāli.

Enerģijas integrālis

Kinētiskās enerģijas teorēma dod punkta kustības vienādojumu pirmo integrāli, ja kopējo spēka veikto darbu var noteikt, neizmantojot kustības vienādojumus. Pēdējais ir iespējams, kā norādīts iepriekš, ja spēks, kas iedarbojas uz punktu, pieder spēka laukam. Šajā gadījumā pietiek zināt tikai punkta trajektoriju. Ļaujiet punkta trajektorijai būt kaut kāda veida līknei, tad tā punktu koordinātas var izteikt caur trajektorijas loku, un tāpēc spēku atkarībā no punkta koordinātām var izteikt caur

un kinētiskās enerģijas teorēma dod formas pirmo integrāli

kur ir punktiem A atbilstošās trajektorijas loki un ir spēka projekcija uz trajektorijas pieskares (113. att.).

Potenciālā enerģija un punkta mehāniskās enerģijas nezūdamības likums

Īpaši interesanta ir punkta kustība potenciālā laukā, jo kinētiskās enerģijas teorēma sniedz ļoti svarīgu kustības vienādojumu integrāli.

Potenciālā laukā kopējais spēka veiktais darbs ir vienāds ar starpību starp spēka funkcijas vērtībām ceļa beigās un sākumā:

Tāpēc kinētiskās enerģijas teorēma šajā gadījumā tiek uzrakstīta šādi:

Spēka funkciju, kas ņemta ar pretēju zīmi, sauc par punkta potenciālo enerģiju un apzīmē ar burtu P:

Potenciālā enerģija, kā arī spēka funkcija ir norādīta līdz patvaļīgai konstantei, kuras vērtību nosaka nulles līmeņa virsmas izvēle. Punkta kinētiskās un potenciālās enerģijas summu sauc par punkta kopējo mehānisko enerģiju.

Teorēmu par punkta kinētisko enerģiju, ja spēks pieder potenciālajam laukam, raksta šādi:

kur ir potenciālās enerģijas vērtības, kas atbilst punktiem A un B. Iegūtais vienādojums veido punkta mehāniskās enerģijas nezūdamības likuma saturu, kas nosaka: pārvietojoties potenciālā laukā, kinētiskā un punkta potenciālā enerģija paliek nemainīga.

Tā kā mehāniskās enerģijas nezūdamības likums ir spēkā tikai spēkiem, kas pieder pie potenciālajiem laukiem, tad šāda lauka spēkus sauc par konservatīviem (no latīņu darbības vārda conservare — saglabāt), kas šajā gadījumā uzsver formulētā likuma izpildi. Ņemiet vērā, ka, ja kinētiskās enerģijas jēdzienam ir zināmi fiziski pamati savā definīcijā, tad potenciālās enerģijas jēdzienam to nav. Potenciālās enerģijas jēdziens noteiktā nozīmē ir fiktīvs lielums, kas definēts tā, lai tā vērtības izmaiņas precīzi atbilstu kinētiskās enerģijas izmaiņām. Šī ar kustību saistītā lieluma ieviešana palīdz kustības aprakstu un tāpēc spēlē būtisku lomu t.s. enerģijas apraksts kustība, ko izstrādājusi analītiskā mehānika. Pēdējā ir šīs vērtības ieviešanas nozīme.

Visu ķermenim pielikto spēku rezultāts ir vienāds ar ķermeņa kinētiskās enerģijas izmaiņām.

Šī teorēma attiecas ne tikai uz stingra ķermeņa translācijas kustību, bet arī uz tā patvaļīgu kustību.

Tikai kustīgiem ķermeņiem ir kinētiskā enerģija, tāpēc to sauc par kustības enerģiju.

§ 8. Konservatīvie (potenciālie) spēki.

Konservatīvo spēku lauks

Def.

Spēkus, kuru darbība nav atkarīga no ceļa, pa kuru pārvietojās ķermenis, bet nosaka tikai ķermeņa sākuma un beigu stāvoklis, sauc par konservatīvajiem (potenciālajiem) spēkiem.

Def.

Spēka lauks ir telpas apgabals, kura katrā punktā uz tur novietotu ķermeni tiek pielikts spēks, kas dabiski mainās no telpas punkta uz punktu.

Def.

Lauku, kas laika gaitā nemainās, sauc par stacionāru.

Var pierādīt šādus 3 apgalvojumus

1) Konservatīvo spēku darbs pa jebkuru slēgtu ceļu ir vienāds ar 0.

Pierādījums:

2) Homogēns spēku lauks ir konservatīvs.

Def.

Lauku sauc par viendabīgu, ja visos lauka punktos spēki, kas iedarbojas uz tur novietotu ķermeni, ir vienādi pēc lieluma un virziena.

Pierādījums:

3) Centrālo spēku lauks, kurā spēka lielums ir atkarīgs tikai no attāluma līdz centram, ir konservatīvs.

Def.

Centrālo spēku lauks ir spēka lauks, kura katrā punktā spēks, kas vērsts pa līniju, kas iet caur to pašu fiksēto punktu - lauka centru - iedarbojas uz tajā kustīgu punktveida ķermeni.

Vispārīgā gadījumā šāds centrālo spēku lauks nav konservatīvs. Ja centrālo spēku laukā spēka lielums ir atkarīgs tikai no attāluma līdz spēka lauka centram (O), t.i. , tad šāds lauks ir konservatīvs (potenciāls).

Pierādījums:

kur ir antiatvasinājums .

§ 9. Potenciālā enerģija.

Spēka un potenciālās enerģijas attiecības

konservatīvo spēku jomā

Par konservatīvo spēku lauku izvēlēsimies koordinātu izcelsmi, t.i.

Ķermeņa potenciālā enerģija konservatīvu spēku laukā. Šī funkcija tiek noteikta unikāli (atkarīga tikai no koordinātām), jo konservatīvo spēku darbs nav atkarīgs no ceļa veida.

Atradīsim savienojumu konservatīvo spēku laukā, pārvietojot ķermeni no punkta 1 uz punktu 2.

Konservatīvo spēku darbs ir vienāds ar potenciālās enerģijas izmaiņām ar pretēju zīmi.

Konservatīvo spēku lauka ķermeņa potenciālā enerģija ir enerģija, kas rodas no spēka lauka klātbūtnes, kas rodas noteiktas mijiedarbības rezultātā dots ķermenis ar ārēju ķermeni (ķermeņiem), kas it kā rada spēka lauku.

Konservatīvo spēku lauka potenciālā enerģija raksturo ķermeņa spēju veikt darbu un ir skaitliski vienāda ar konservatīvo spēku darbu, lai ķermeni pārvietotu uz koordinātu sākumpunktu (vai uz punktu ar nulles enerģiju). Tas ir atkarīgs no nulles līmeņa izvēles un var būt negatīvs. Jebkurā gadījumā un līdz ar to arī uz elementāru darbu, t.i. vai , kur ir spēka projekcija uz kustības virzienu vai elementāru nobīdi. Līdz ar to,. Jo mēs varam kustināt ķermeni jebkurā virzienā, tad jebkuram virzienam tā ir taisnība. Konservatīvā spēka projekcija patvaļīgā virzienā ir vienāda ar potenciālās enerģijas atvasinājumu šajā virzienā ar pretēju zīmi.

Ņemot vērā vektoru izplešanos un bāzes izteiksmē , iegūstam, ka

No otras puses no matemātiskā analīze tas ir zināms pilns diferenciālis vairāku mainīgo funkcijas vienāds ar summu daļēju atvasinājumu produkti attiecībā uz argumentiem un argumentu diferenciāļiem, t.i. , kas nozīmē no attiecības, ko iegūstam

Lai rakstītu šīs attiecības kompaktāk, varat izmantot funkcijas gradienta jēdzienu.

Def.

Dažas skalārās koordinātu funkcijas gradients ir vektors ar koordinātām, kas ir vienādas ar šīs funkcijas atbilstošajiem daļējiem atvasinājumiem.

Mūsu gadījumā

Def.

Ekvipotenciāla virsma ir punktu ģeometriskais lokuss konservatīvu spēku laukā, kuru potenciālās enerģijas vērtības ir vienādas, t.i. .

Jo no ekvipotenciālas virsmas definīcijas izriet, ka punktiem uz šīs virsmas, tad , kā konstantes atvasinājums, tāpēc .

Tādējādi konservatīvais spēks vienmēr ir perpendikulārs ekvipotenciāla virsmai un ir vērsts potenciālās enerģijas samazināšanās virzienā. (P 1 > P 2 > P 3).

§ 10. Mijiedarbības potenciālā enerģija.

Konservatīvas mehāniskās sistēmas

Apskatīsim divu mijiedarbojošu daļiņu sistēmu. Lai to mijiedarbības spēki ir centrālie un spēka lielums ir atkarīgs no attāluma starp daļiņām (tādi spēki ir gravitācijas un elektriskie Kulona spēki). Ir skaidrs, ka divu daļiņu mijiedarbības spēki ir iekšēji.

Ņemot vērā Ņūtona trešo likumu (), iegūstam, t.i. divu daļiņu mijiedarbības iekšējo spēku darbu nosaka attāluma izmaiņas starp tām.

Tas pats darbs tiktu veikts, ja pirmā daļiņa būtu miera stāvoklī, bet otrā saņemtu nobīdi, kas vienāda ar tās rādiusa vektora pieaugumu, t.i., iekšējo spēku veikto darbu var aprēķināt, uzskatot vienu daļiņu nekustīgu, un otrā kustība centrālo spēku laukā, kuru lielumu unikāli nosaka attālums starp daļiņām. §8 pierādījām, ka šādu spēku lauks (t.i. centrālo spēku lauks, kurā spēka lielums ir atkarīgs tikai no attāluma līdz centram) ir konservatīvs, kas nozīmē, ka to darbu var uzskatīt par samazinājumu potenciālā enerģija (definēta saskaņā ar §9, konservatīvo spēku laukam).

Izskatāmajā gadījumā šī enerģija ir saistīta ar divu daļiņu mijiedarbību, kas veido slēgtu sistēmu. To sauc par mijiedarbības potenciālo enerģiju (vai savstarpējo potenciālo enerģiju). Tas ir atkarīgs arī no nulles līmeņa izvēles un var būt negatīvs.

Def.

Stingru ķermeņu mehānisko sistēmu, kuru iekšējie spēki ir konservatīvi, sauc par konservatīvu mehānisko sistēmu.

Var parādīt, ka konservatīvas N daļiņu sistēmas potenciālā mijiedarbības enerģija sastāv no daļiņu potenciālās mijiedarbības enerģijām, kas ņemtas pa pāriem, kuras var iedomāties.

Kur ir divu i-to un j-to daļiņu mijiedarbības potenciālā enerģija. Indeksiem i un j summējot ir neatkarīgas vērtības 1,2,3, ..., N. Ņemot vērā, ka i-tās un j-tās daļiņas savstarpējās mijiedarbības potenciālā enerģija ir vienāda, tad summējot , enerģija tiks reizināta ar 2, kā rezultātā summas priekšā parādās koeficients. Kopumā N daļiņu sistēmas iespējamā mijiedarbības enerģija būs atkarīga no visu daļiņu atrašanās vietas vai koordinātām. Ir viegli saprast, ka daļiņas potenciālā enerģija konservatīvo spēku laukā ir daļiņu sistēmas mijiedarbības potenciālās enerģijas veids, jo spēka lauks ir ķermeņu savstarpējās mijiedarbības rezultāts.

§ 11. Enerģijas nezūdamības likums mehānikā.

Ļaujiet ciets virzās uz priekšu konservatīvu un nekonservatīvu spēku ietekmē, t.i. vispārējs gadījums. Tad visu spēku, kas iedarbojas uz ķermeni, rezultāts ir . Visu spēku rezultāta darbs šajā gadījumā.

Ar teorēmu par kinētisko enerģiju un arī ņemot vērā to, mēs iegūstam

Ķermeņa kopējā mehāniskā enerģija

Ja tad. Tā tas ir matemātiskais apzīmējums atsevišķa ķermeņa enerģijas nezūdamības likums mehānikā.

Enerģijas nezūdamības likuma formulējums:

Ķermeņa kopējā mehāniskā enerģija nemainās, ja nedarbojas nekonservatīvi spēki.

N daļiņu mehāniskai sistēmai ir viegli parādīt, ka (*) notiek.

Kurā

Pirmā summa šeit ir daļiņu sistēmas kopējā kinētiskā enerģija.

Otrais ir daļiņu kopējā potenciālā enerģija konservatīvo spēku ārējā laukā

Trešā ir sistēmas daļiņu savstarpējās mijiedarbības potenciālā enerģija.

Otrā un trešā summa atspoguļo sistēmas kopējo potenciālo enerģiju.

Nekonservatīvo spēku darbs sastāv no diviem terminiem, kas apzīmē iekšējo un ārējo nekonservatīvo spēku darbu.

Tāpat kā atsevišķa ķermeņa kustības gadījumā N ķermeņu mehāniskai sistēmai, ja , tad , un enerģijas nezūdamības likums vispārīgā gadījumā mehāniskai sistēmai nosaka:

Daļiņu sistēmas kopējā mehāniskā enerģija, kas atrodas tikai konservatīvu spēku ietekmē, tiek saglabāta.

Tādējādi nekonservatīvu spēku klātbūtnē kopējā mehāniskā enerģija netiek saglabāta.

Nekonservatīvie spēki ir, piemēram, berzes spēks, pretestības spēks un citi spēki, kuru darbība izraisa enerģijas dezinizāciju (mehāniskās enerģijas pāreju siltumā).

Spēkus, kas noved pie desinizācijas, sauc par desinatīviem. Daži spēki ne vienmēr ir mērķtiecīgi.

Enerģijas nezūdamības likums ir universāls un attiecas ne tikai uz mehāniskām parādībām, bet arī uz visiem procesiem dabā. Kopējais enerģijas daudzums izolētā ķermeņu un lauku sistēmā vienmēr paliek nemainīgs. Enerģija var pārvietoties tikai no vienas formas uz otru.

Ņemot vērā šo vienlīdzību

Ja jums ir nepieciešams papildu materiāls par šo tēmu vai jūs neatradāt to, ko meklējāt, mēs iesakām izmantot meklēšanu mūsu darbu datubāzē:

Ko darīsim ar saņemto materiālu:

Ja šis materiāls jums bija noderīgs, varat to saglabāt savā lapā sociālajos tīklos:

ķermenim pielikto rezultējošo spēku darbs ir vienāds ar ķermeņa kinētiskās enerģijas izmaiņām.

Tā kā kinētiskās enerģijas izmaiņas ir vienādas ar spēka darbu (3), ķermeņa kinētiskā enerģija tiek izteikta tādās pašās vienībās kā darbs, t.i., džoulos.

Ja masas ķermeņa sākotnējais kustības ātrums m ir nulle, un ķermenis palielina ātrumu līdz vērtībai υ , tad spēka veiktais darbs ir vienāds ar ķermeņa kinētiskās enerģijas galīgo vērtību:

A=Ek 2−Ek 1=m⋅υ 22−0=m⋅υ 22 .

42) Potenciālie lauki

Potenciālais lauks

konservatīvais lauks, vektoru lauks, kura cirkulācija pa jebkuru slēgtu trajektoriju ir nulle. Ja spēka lauks ir spēka lauks, tas nozīmē, ka lauka spēku darbs pa slēgtu trajektoriju ir vienāds ar nulli. Par P. p. A(M) ir tik unikāla funkcija u(M)(Lauka potenciāls), ka A= grāds u(skatiet Gradientu). Ja lauka lauks ir dots vienkārši savienotā domēnā Ω, tad šī lauka potenciālu var atrast, izmantojot formulu

kurā AM- jebkura gluda līkne, kas savieno fiksētu punktu A no Ω ar punktu M, t - pieskares līknes vienības vektors A.M. un / - loka garums A.M. punktu A. Ja A(M) - P. p., tad puvi a= 0 (sk. Vektora lauka virpulis). Un otrādi, ja puvi A= 0, un lauks ir definēts vienkārši savienotā domēnā un ir diferencējams A(M) - P.p. Potenciāli ir, piemēram, elektrostatiskais lauks, gravitācijas lauks un ātruma lauks irrotācijas kustības laikā.

43) Potenciālā enerģija

Potenciālā enerģija- skalārs fiziskais daudzums, kas raksturo noteikta ķermeņa (vai materiālā punkta) spēju veikt darbu, pateicoties tā novietojumam spēku darbības laukā. Vēl viena definīcija: potenciālā enerģija ir koordinātu funkcija, kas ir termins Lagranža sistēmā un apraksta sistēmas elementu mijiedarbību. Terminu "potenciālā enerģija" 19. gadsimtā ieviesa skotu inženieris un fiziķis Viljams Rankins.

Enerģijas SI mērvienība ir džouls.

Tiek pieņemts, ka potenciālā enerģija ir nulle noteiktai ķermeņu konfigurācijai telpā, kuras izvēli nosaka turpmāko aprēķinu ērtība. Šīs konfigurācijas izvēles process tiek saukts potenciālās enerģijas normalizācija.

Pareizu potenciālās enerģijas definīciju var dot tikai spēku laukā, kura darbība ir atkarīga tikai no ķermeņa sākotnējās un beigu pozīcijas, bet ne no tā kustības trajektorijas. Šādus spēkus sauc par konservatīviem.

Arī potenciālā enerģija ir vairāku ķermeņu jeb ķermeņa un lauka mijiedarbības īpašība.

Jebkurš fiziskā sistēma tiecas uz stāvokli ar viszemāko potenciālo enerģiju.

Potenciālā enerģija elastīga deformācija raksturo mijiedarbību starp ķermeņa daļām.

Potenciālo enerģiju Zemes gravitācijas laukā virsmas tuvumā aptuveni izsaka ar formulu:

Kur E lpp- ķermeņa potenciālā enerģija, m- ķermeņa masa, g- gravitācijas paātrinājums, h- ķermeņa masas centra augstums virs patvaļīgi izvēlēta nulles līmeņa.

44) Spēka un potenciālās enerģijas attiecības

Katrs potenciālā lauka punkts atbilst, no vienas puses, noteiktai spēka vektora vērtībai, kas iedarbojas uz ķermeni, un, no otras puses, noteiktai potenciālās enerģijas vērtībai. Tāpēc starp spēku un potenciālo enerģiju ir jābūt noteiktām attiecībām.

Lai izveidotu šo savienojumu, aprēķināsim elementāro darbu, ko veic lauka spēki neliela ķermeņa pārvietošanās laikā, kas notiek patvaļīgi izvēlētā virzienā telpā, ko apzīmējam ar burtu . Šis darbs ir vienāds ar

kur ir spēka projekcija virzienā.

Kopš gada šajā gadījumā darbs tiek veikts potenciālās enerģijas rezerves dēļ, tas ir vienāds ar potenciālās enerģijas zudumu ass segmentā:

No pēdējiem diviem izteicieniem mēs iegūstam

Pēdējā izteiksme sniedz intervāla vidējo vērtību. Uz

Lai iegūtu vērtību punktā, jums jāiet līdz robežai:

matemātikas vektorā,

kur a ir x, y, z skalāra funkcija, ko sauc par šī skalāra gradientu un apzīmē ar simbolu . Tāpēc spēks ir vienāds ar potenciālās enerģijas gradientu, kas ņemts ar pretēju zīmi

45) Mehāniskās enerģijas nezūdamības likums