Novosibirskas Valsts arhitektūras un būvniecības institūts
Universitāte (Sibstrīna)
LEKCIJAS PAR TEORĒTISKO MEHĀNIKU.
KINEMĀTIKA
3. LEKCIJA.
CIEVIELAS PLAKANA KUSTĪBA
ĶERMEŅI
Teorētiskās mehānikas katedra

Lekcijas konspekts

Ievads.
Plaknes kustības likums.
Ķermeņa punktu ātrumi.
Ķermeņa punktu paātrinājumi.
.
Secinājums.

Iepriekšējās lekcijās

Mēs jau esam pētījuši:
-Punkta kinemātika
- Kustība uz priekšu ciets
-Rotācijas kustība ciets
Šodienas lekcijas tēma:
Cietās vielas plaknes kustība
ķermeni
J
O
Definīcija. Plakans
šo kustību sauc
P
stingrs korpuss, kuram visi x
tā punkti M(t) pārvietojas iekšā
plaknes Q paralēlas
daži fiksēti
lidmašīna P.
M
A S
y

Lekcijas mērķis

Apgūstiet plaknes kustību
ciets

Ievads
Piemēri:
- Rotācijas kustība (plakne P -
perpendikulāri rotācijas asij)
-Lidmašīnas kustība kreisēšanas režīmā
(plakne P ir perpendikulāra spārnu platumam)
-Automašīnas riteņu kustība pa taisnu ceļu
(plakne P – gar automašīnas virsbūvi)
-Plakano mehānismu kustība:
vB
vA
C
A
B
N
M
D
E

Ievads
J
O
P
M
A S
y
x
Paziņojums, apgalvojums. Visi taisnes AM punkti,
perpendikulāri P, pārvietojiet tāpat.
Pierādījums. Jo ķermenis ir ciets, tad AM=const;
Jo P ir paralēls Q, tad segments AM paliek
perpendikulāri P. Tātad viņa kustība
pakāpeniski. Tāpēc visi tā punkti
pārvietoties tāpat.
Secinājums: uzdevums ir kustību izpēte
S sekcijas plaknē P.

y
Kustība plakana figūra S
attiecībā pret Oxy sistēmu
tiks pilnībā noteikts
A
yA
segmenta AB kustība
O
xA (t), y A (t)
B
φ
xA
- noteikt pola A kustību.
t - nosaka AB rotāciju ap polu A.
xA xA (t), y A y A (t), (t)
- stingra ķermeņa plaknes kustības likums
x

Stingra ķermeņa plaknes kustības likums
Interpretācija. Ieviesīsim palīgu Y y
propelentu sistēma:
Ax1 y1; Ax1 ir paralēla Ox,
B
1
x1
A
Ay1 ir paralēla Oy;
O
Sistēmā Ax1 y1 ķermenis griežas
X
ķermeņa kustība. Sistēma Ax1 y1 kustas
attiecībā pret Oxy pakāpeniski
Plaknes kustība ir translācijas summa
kustība kopā ar polu A un rotācijas
kustība attiecībā pret polu A
x A (t), y A (t) norāda translācijas kustību
(t) norāda rotācijas kustību

Interpretācija

1
A)
A
B
2
B"
1"
1
b)
φ
A"
1"
2
B
A
B"
φ
A"
Sadaļu var pārvietot no 1. pozīcijas uz 2. pozīciju
tiek uzskatīts par divu kustību superpozīciju:
translācijas no 1 līdz 1" un rotācijas no 1" līdz 2
ap punktu A."
Kā stabu varat izvēlēties jebkuru punktu. Ieslēgts
rīsi. b) punkts B ir izvēlēts par polu.
Uzmanību: Trajektorijas garums translācijas kustības laikā ir mainījies, bet griešanās leņķis paliek nemainīgs!
Tie. translatīvā daļa ir atkarīga no staba izvēles, un
rotācijas daļa nav atkarīga!

Kustības likums un ķermeņa punktu trajektorijas

rM (t) rA (t) (t)
xM (t) x A (t) (t) cos (t))
y1
y
rM
yM (t) y A (t) (t) grēks ((t))
Piemērs (elipsogrāfa kustība)
AB l, AM b;
y
O
rA
B
x1
x
Nosakiet kustības likumu
un punkta M trajektorija
M
B
xM (t) (b l) cos (t)
A
A
M
ρ
O
x
yM (t) b sin (t) kustības likums
xM2
yM2
2 1 elipse
2
(b l)
b

Ķermeņa punktu ātrumi

y1
rM (t) rA (t) (t)
y
rM
Atšķirot, mēs iegūstam:
M
ρ
B
x1
A
v M v A pret MA
x
r
O
v A pola ātrums
d
pret MA
griešanās ātrums ap polu
dt
(v MA ātrums M sistēmā Ax1 y1).
A
vM
vMA AM
pret MA
vA
A
M
vA

Formulas sekas punktu ātrumiem

Secinājums 1. Cietvielas divu punktu ātrumu projekcijas
vB
ķermeņi uz taisnes, kas tos savieno, ir vienādi.
Pierādījums.
v B pret A v BA
v B cos v A cos
Secinājums 2. Ja punkti
A,B,C guļ uz viena
taisni, tad gali
vektori v A , v B , v C
gulēt uz vienas taisnas līnijas
un ab/bc AB/BC
vA
A
vBA
β
α
α
B
vA

MCS ir punkts, kura ātrums
A
vienāds ar nulli collu Šis brīdis laiks.
C
Piemērs. Ripo bez slīdēšanas
Vania disks. MCS-punkts C.
Paziņojums, apgalvojums. Ja leņķiskais ātrums nav vienāds ar nulli
uz doto t, tad MCS pastāv un ir unikāls.
vA
Pierādījums.
A
Jo 0, tad A un B, v A v B.
C
Ja v A un v B nav paralēli: B A
v A v C v AC ; v B v C v BC
Ja v C 0, tad v A AC , v B BC
C atrasts.
B
vB

Momentānā ātruma centrs (IVC)

Ja v A un vB ir paralēli:
A
B
C
V)
b)
a)
vA
A
vA
vB
C
vB
vA
A
B
vB
B
Ja 0, tad gadījums c) nav iespējams
(pēc projekcijas teorēmas)
Ja 0, tad visiem A, B: v A pret B
un MCS neeksistē

MCS īpašības.
Ļaujiet P ir MCS. Izvēloties P kā stabu, mēs iegūstam:
v A ω PA; v B ω PB;
v A PA; v B PB
vB
vA vB vC
Vai:
...
AP BP CP
Turklāt v Ar datoru
v B PB
A
P
vA
ω
B
Secinājums. Ja MCS (punktu P) ņem par polu, tad
plaknes kustība uz doto t ir
tīra rotācija ap punktu P

MCU (piemērs)
Piemērs. Ritenis ripo bez slīdēšanas
taisns ceļš.
A
B
vA
C
vB
vC
D
ω
vD
P E
vA
A
B
vB
D
vD

Piemērs (plakana mehānisma ātrumu aprēķins)
Dots: OA , r1 r2 r, BD CD l
Noteikt v A, v B, v D, BD; CD
Risinājums.
A
O
OA: v A OA OA ;
AB: P1 - MCS AB pret B BP1 ;
vA
P1
vB
D
B
45ºP
BD
vD
ω AB v A /AP1 v B /BP1 v B 2 2r OA
BD: PBD МЦСBD BD v B / BPBD v D / DPBD
BD 4r OA / l , v D 2 2r OA
CD: v D CD, CD v D / CD 2 2r OA / l
C

Ķermeņa punktu paātrinājumi.

Mums ir vienādība: v B v A ω ρ
Atšķirsim to:
d v B dv A dω d ρ
aB
ρ ω
dt
dt
dt
dt
z
aA ε ρ ω ω ρ
y
B
aizliegums
aBA
vBA
A
O
z1
ω
aA
ɛ
x
n
aBA ; aBA vBA
n
aB a A aBA aBA
Punkta B paātrinājums ir vienāds ar pola A un paātrinājuma summu
punkta B rotācijas paātrinājums ap polu A

Punktu paātrinājumu formulas secinājums

c
a
aA
A
b
aB
B
aC
Cx
Rīsi. 13.19
Sekas. Ja punkti
uz vienas taisnas līnijas
A, B, C
meli
tad vektoru aA , aB , aC galus
atrodas uz vienas taisnes un ab/bc AB/BC

Instant Acceleration Center (IAC)

MCU ir punkts Q, kura paātrinājums pie noteikta
laiks t ir nulle.
Paziņojums, apgalvojums. MCU netranslācijas kustībai
IN
pastāv un ir unikāls.
a
B
A
aA
Pierādījums.
aA aQ a AQ ; Q MCU
2
aA a AQ ; tg/;
aC
C
J
a A AQ 2 4 AQ a A / 2 4
Paātrinājumu sadalījums ir tāds pats kā rotējot ap Q.
aA / AQ aB / BQ aC / CQ
2
komentēt. MCS un MCU ir dažādi punkti!
4

Plakanā mehānisma kinemātiskais aprēķins

Piemērs. Dots: OA , OA
Definēt:
v A , v B , AB ,
BC, aA, aB, AB, AB
Risinājuma diagramma.
1. Ātrumu aprēķins.
OA: v A OA; v A OA;
AB: v B BC PAB MCS AB ; ωAB v A /APAB v B /BPAB
BC: ωBC pret B /BC

Plakanā mehānisma kinemātiskais aprēķins

2. Paātrinājumu aprēķināšana.
OA: a An 2OA; a A OA;
n n
2
AB: aB a A aBA aBA ; aBA AB
AB; a BA AB AB;
n
2
BC: aB aB aB (*); aBn BC
B.C.; a B BC BC
n n
n
aB aB a A a A aBA aBA (**)
(**) ir divi nezināmie: AB, BC. Izvirzīšana (**) uz
divas asis, atradīsim tās. Mēs atrodam paātrinājumu aB no (*).

Vēl viens piemērs

OA 0, OA l1; AB l2 ; BD l3; DE l4
Noteikt pret E
Ņemot vērā:

Secinājums

Secinājums
1. Tiek atvasināts plaknes kustības likums.
2. Parādīts, ka plaknes kustību attēlo ar
vienkāršāko kustību summa - translācijas
kopā ar stabu un rotējot apkārt
stabi.
3. Atvasināta ātruma attiecības formula
punktus un tā sekas.
4. Ir definēts un parādīts MCS jēdziens
svotstva.
5. Atvasināta paātrinājumu savienojuma formula
punktus un tā sekas.
6. Aplūkoti kinemātisko aprēķinu piemēri
plakanie mehānismi.

Testa jautājumi lekcijai

1. Cik brīvības pakāpju ir stingram ķermenim?
veicot plaknes kustību?
2. Uzrakstiet stingra ķermeņa plaknes kustības likumu.
3. Kā ir saistīti stingra ķermeņa divu punktu ātrumi?
ķermenis plaknē kustībā?
4. Kāds ir stingra ķermeņa rotācijas leņķiskais ātrums?
5. Formulējiet teorēmu par divu ātrumu projekcijām
stingra ķermeņa punkti plaknē kustībā.
6. Ko sauc par momentāno ātrumu centru?
7. Kas jāzina, lai noteiktu MCS?
8. Kādi komponenti veido punkta paātrinājumu?
stingrs ķermenis, kas pakļauts plaknei kustībai?
9. Kāds ir punkta rotācijas kustības paātrinājums?
kopā ar ķermeni ap stabu?

Stingra ķermeņa plakanparalēla kustība.

1. Plaknes paralēlās kustības vienādojumi

Plakne - paralēla (vai plakana) ir stingra ķermeņa kustība, kurā visi tā punkti pārvietojas paralēli kādai fiksētai plaknei P.

Apskatīsim ķermeņa daļu S pēc kādas plaknes Oxy, paralēli plaknei P. Plakanā paralēlā kustībā visi ķermeņa punkti atrodas uz taisnas līnijas MM / , perpendikulāri griezumam (S) , tas ir, uz lidmašīnu P kustēties identiski un katrā laika brīdī tiem ir vienādi ātrumi un paātrinājumi. Tāpēc, lai izpētītu visa ķermeņa kustību, pietiek izpētīt, kā sadaļa pārvietojas S ķermeņi plaknē Oxy.

(4.1)

Vienādojumi (4.1) nosaka notiekošās kustības likumu un tiek izsaukti stingra ķermeņa plaknes paralēlās kustības vienādojumi.

2. Plaknes paralēlās kustības sadalīšana translācijas kustībā

kopā ar stabu un griežoties ap stabu

Parādīsim, ka plaknes kustība sastāv no translācijas un rotācijas kustības. Lai to izdarītu, apsveriet divas secīgas I un II pozīcijas, kuras sadaļa ieņem S kustīgs ķermenis brīžos t 1 Un t 2= t 1 + Δt . Ir viegli redzēt, ka sadaļa S, un ar to visu ķermeni no I pozīcijas var novest uz II pozīciju šādi: vispirms pārvietojam ķermeni translācijas veidā, lai pols A, virzoties pa savu trajektoriju, nonāca stāvoklī A 2. Šajā gadījumā segments A 1 B 1 ieņems pozīciju un pēc tam pagrieziet sekciju ap stabu A 2 leņķī Δφ 1.

Līdz ar to stingra ķermeņa plaknes-paralēlā kustība sastāv no translācijas kustības, kurā visi ķermeņa punkti pārvietojas tāpat kā pols Un arī no rotācijas kustības ap šo polu.

Jāņem vērā, ka ķermeņa rotācijas kustība notiek ap asi, kas ir perpendikulāra plaknei P un izejot cauri stabam A. Tomēr īsuma labad mēs turpmāk šo kustību sauksim vienkārši par rotāciju ap polu A.

Plaknes paralēlās kustības translācijas daļu acīmredzami apraksta pirmie divi vienādojumi (2.1) un rotācija ap polu A - trešais no vienādojumiem (2.1).

Plaknes kustības pamata kinemātiskie raksturlielumi

Kā stabu varat izvēlēties jebkuru ķermeņa punktu

Secinājums : plaknes kustības rotācijas komponents nav atkarīgs no pola izvēles, tāpēc leņķiskais ātrumsω un leņķiskais paātrinājumseir kopīgi visiem poliem un tiek sauktiplaknes figūras leņķiskais ātrums un leņķiskais paātrinājums

Vektori un ir vērsti pa asi, kas iet caur polu un ir perpendikulāra figūras plaknei

3D attēls

3. Ķermeņa punktu ātrumu noteikšana

Teorēma: jebkura plaknes figūras punkta ātrums ir vienāds ar ģeometriskā summa staba ātrums un šī punkta rotācijas ātrums ap polu.

Pierādījumā mēs balstīsimies uz faktu, ka stingra ķermeņa plaknes-paralēlā kustība sastāv no translācijas kustības, kurā visi ķermeņa punkti pārvietojas ar ātrumu v A un no rotācijas kustības ap šo polu. Lai atdalītu šos divus kustības veidus, mēs ieviešam divas atskaites sistēmas: Oxy — stacionāra un Ox 1 y 1 — pārvietojas translatīvi kopā ar polu. A. Attiecībā pret kustīgo atskaites rāmi, punkta kustība M būs "rotācija ap polu A».

Tādējādi jebkura ķermeņa punkta M ātrums ģeometriski ir kāda cita punkta ātruma summa A, ņemts par stabu, un punkta ātrums M savā rotācijas kustībā kopā ar ķermeni ap šo polu.

Teorēmas ģeometriskā interpretācija

Secinājums 1. Stingra ķermeņa divu punktu ātrumu projekcijas uz taisnes, kas savieno šos punktus, ir vienādas viena ar otru.

Šis rezultāts ļauj viegli atrast noteikta ķermeņa punkta ātrumu, ja ir zināms šī punkta kustības virziens un kāda cita tā paša ķermeņa punkta ātrums.

Izglītības un zinātnes ministrija Krievijas Federācija

Federālā valsts budžeta izglītības iestāde

augstākā profesionālā izglītība

"Kubanas Valsts tehnoloģiskā universitāte"

Teorētiskā mehānika

Lekciju piezīmes

bakalauriem ZiDO

tehniskās jomas

KINEMĀTIKA

Sastādījis: Tehnisko zinātņu doktors, Prof. Smelyagin A.I.

Ph.D., asociētais profesors Kegeles V.L.

Krasnodara 2011

1 Kinemātika. Vispārīgi jēdzieni 2

2 2. punkta kinemātika

3 Cieta ķermeņa kinemātika 7

3.1. Stingra ķermeņa translācijas kustība 7

3.2 Cieta korpusa griešanās ap fiksētu asi 7

3.3. Cieta ķermeņa plaknes paralēla (plaknes) kustība 9

3.4. Sfēriska kustība 15

4 17. punkta sarežģīta kustība

1 Kinemātika. Vispārīgi jēdzieni

Kinemātika ir teorētiskās mehānikas sadaļa, kas pēta materiālo ķermeņu kustību, neņemot vērā iemeslus, kas izraisa šo kustību.

Klasiskajā mehānikā materiālo ķermeņu kustība tiek aplūkota trīsdimensiju eiklīda telpā, un laiks tiek uzskatīts par absolūtu, neatkarīgi no atskaites sistēmas.

Atsauces sistēma ir koordinātu sistēma, kas vienmēr ir saistīta ar ķermeni, attiecībā uz kuru tiek aplūkota pētāmo objektu kustība.

Ja atskaites sistēma atrodas miera stāvoklī, tad objekta kustību attiecībā pret to sauc par absolūtu. Objekta kustību attiecībā pret kustīgu atskaites rāmi sauc par relatīvu.

Kinemātikas metodes ļauj noteikt pētāmā objekta pozīciju apskatāmajā atskaites sistēmā, kā arī jebkurā brīdī atrast tā ātrumu un paātrinājumu.

Sadaļas izpēte sākas ar punkta (izolēta, kas pieder pie cieta ķermeņa vai nepārtrauktas vides) kinemātiku, pēc tam pāriet uz cieto ķermeņu un to sistēmu kustības apsvēršanu.

2 punktu kinemātika

Punkta kustības raksturlielumi jebkurā laikā ir tā pozīcija, ātrums un paātrinājums.

Punkta secīgu pozīciju ģeometrisko lokusu sauc par trajektoriju.

Lai noteiktu punkta kustības un trajektorijas raksturlielumus, parasti tiek izmantotas trīs tā kustības noteikšanas metodes - vektors, koordinātas un dabiskā.

Kustības noteikšanas vektora metode

Pozīcija punktus jebkurā laikā nosaka rādiusa vektors , vilkts no kāda fiksēta centra.

Kustības vienādojums:
.

Trajektorija punkti ir vektorhodogrāfs .

Punkta vidējais ātrums laikā Δt

, Kur
.

Ātrums punkti laikā t

.

IN ātruma vektors ir vērsts tangenciāli trajektorijai dotajā punktā.

Punkta vidējais paātrinājums laikā Δt

, Kur
.

Paātrinājums punkti laikā t

.

Šo metodi parasti izmanto kustību modeļu teorētiskajā analīzē.

Tātad,
;
;
.

Kustības noteikšanas koordinātu metode

Lai aprakstītu punkta kustību, tiek izmantotas koordinātu sistēmas: Dekarta, polārā, cilindriskā, sfēriskā utt.

Pozīcija punkts Dekarta koordinātu sistēmā jebkurā brīdī tiek noteikts ar tā koordinātām x, y, z.

punkta kustības vienādojums

Šie vienādojumi definē punkta trajektoriju parametriskā formā.

Punkta trajektorijas vienādojumus koordinātu formā var iegūt ar

izslēdzot parametru t no kustības vienādojumiem vienādojumu sistēmas veidā
,
.

Ātrums .

Tādējādi
,
,
.

Ātruma modulis
.

Virziena kosinusi

;
;
.

Paātrinājums ,

Tad
,
,
.

Paātrinājuma modulis
.

Virziena kosinusi
;
;
.

Krievijas Federācijas Izglītības un zinātnes ministrija Ņižņijnovgorodas štatsarhitektūra un būvniecība universitāte

Atvērtās tālmācības institūts

Aistovs A.S., Baranova A.S., Tryanina N.Yu.

Teorētiskā mehānika

II daļa. Kinemātika un stingrā ķermeņa dinamika

Apstiprinājusi Universitātes Redakcijas un izdevējdarbības padome

kā mācību līdzeklis

Ņižņijnovgoroda - 2004

BBK 22,21 T 11

Aistovs A.S., Baranova A.S., Tryanina N.Yu. Teorētiskā mehānika. II daļa. Stingra ķermeņa kinemātika un dinamika. Apmācība.– N. Novgoroda: Ņižņijnovgoroda. Valsts arhitekts-ēkas univ., 2004.– 69 lpp.

ISBN 5-87941-303-9

Mācību grāmata satur pamatinformāciju un stingra ķermeņa kinemātikas un dinamikas teorētiskos principus. Ietver uzdevumus testiem par kinemātiku un dinamiku, īsa informācija no teorijas, ieteikumi problēmu risināšanai, tipisku problēmu risināšanas piemēri.

ISBN 5-87941-303-9

1. NODAĻA. KINEMĀTIKA

Ievads

Kinemātika ir teorētiskās mehānikas nozare, kas pēta mehānisko kustību, t.i. viena ķermeņa stāvokļa maiņa attiecībā pret citu ķermeni, ar kuru ir saistīta atskaites sistēma, kas var būt gan kustīga, gan nekustīga, neņemot vērā iedarbīgos spēkus.

Piederot fundamentālo zinātņu sadaļai, svarīga ir teorētiskā mehānika un kinemātika komponents tas ir pamats daudzu augstākajās tehniskajās skolās apgūto disciplīnu apguvei.

Ir atrasti teorētiskās mehānikas likumi un metodes plašs pielietojums mācībās svarīgākajiem uzdevumiem tehnikas, piemēram, dažādu konstrukciju, mašīnu un mehānismu projektēšana, kosmisko ķermeņu kustības izpēte, aerodinamikas, ballistikas un citu problēmu risināšana.

Teorētiskā mehānika, kas balstīta uz Aristoteļa, Arhimēda, Galileja un Ņūtona darbiem, tiek saukta par klasisko mehāniku, tā uzskata ķermeņu kustību ar ātrumu, kas ir daudz mazāks par gaismas ātrumu.

Mehāniskā kustība notiek laikā telpā, savukārt klasiskajā mehānikā telpa tiek uzskatīta par trīsdimensiju, kas ir pakļauta Eiklīda ģeometrijai; tiek uzskatīts, ka laiks plūst nepārtraukti un identiski visās atskaites sistēmās.

1. KINEMĀTIKAS PAMATJĒDZIENI

Visi kinemātiskie lielumi, kas raksturo ķermeņa vai tā atsevišķā punkta kustību (attālums, ātrums, paātrinājums utt.), tiek uzskatīti par laika funkcijām.

Kinemātikas problēmas risināšana nozīmē katra ķermeņa punkta trajektorijas, pozīcijas, ātruma un paātrinājuma atrašanu.

Punkta trajektorija- tas ir secīgu pozīciju ģeometriskais lokuss, ko aizņem telpas punkts, kad tas kustas.

Punkta ātrums ir vektora lielums, kas raksturo punkta pozīcijas izmaiņu ātrumu telpā.

Punkta paātrinājums ir vektora lielums, kas raksturo ātruma izmaiņu ātrumu.

2. STINGA ĶERMEŅA VIENKĀRŠĀS KUSTĪBAS

2.1. Stingra ķermeņa translācijas kustība

Translācijas kustība ir tāda stingra ķermeņa kustība, kurā segments, kas savieno jebkurus divus ķermeņa punktus, pārvietojas paralēli sev.

Stingra ķermeņa translācijas kustības laikā visu ķermeņa punktu ātrumi un paātrinājumi ir ģeometriski vienādi un visu punktu trajektorijas ir identiskas, t.i. kad tie ir uzlikti, tie sakrīt, tāpēc pietiek precīzi zināt viena ķermeņa punkta kustības īpašības.

2.2. Stingra ķermeņa rotācijas kustība

2.2.1. Leņķiskais ātrums un leņķiskais paātrinājums

Rotācijas kustība ir stingra ķermeņa kustība, kurā vismaz divi ķermeņa punkti paliek nekustīgi. Taisnu līniju, kas iet caur šiem punktiem, sauc par rotācijas asi. Visi ķermeņa punkti, kas atrodas uz ass, rotācijas laikā paliek nekustīgi. Visi pārējie ķermeņa punkti pārvietojas plaknēs, kas ir perpendikulāras rotācijas asij un apraksta apļus, kuru centri atrodas uz ass, un rādiusi ir vienādi ar attālumiem no punktiem līdz asij (1. att.). Punktus A un B nekustīgi notur attiecīgi vilces gultnis un gultnis.

Izvēlēsimies z ass pozitīvo virzienu un caur to novelsim fiksētu plakni I, bet caur asi novelsim otru plakni II un savienosim ar ķermeni. Rotējot, plakne II veidos leņķi ar plakni I. Šī kustīgā leņķa lineāro leņķi ϕ sauc par griešanās leņķi. Ja ir zināma funkcija ϕ = f (t), tad rotācijas kustība tiek uzskatīta par dotu. Tiek saukts lielums, kas raksturo griešanās leņķa maiņas ātrumu leņķiskais ātrums. Leņķiskais ātrums ω ir definēts kā griešanās leņķa laika atvasinājums

ω= d dt ϕ = ϕ& (rad/s) vai (s-1)

Tiek saukts lielums, kas raksturo leņķiskā ātruma izmaiņu ātrumu leņķiskais paātrinājums, kas ir definēts kā rotācijas leņķa otrais atvasinājums attiecībā pret laiku vai pirmais leņķiskā ātruma atvasinājums

	d 2 ϕ
	dt 2 dt

ε=ϕ&&=ω& (rad/sek2) vai (s-2)

Ja leņķa ϕ pirmajam un otrajam atvasinājumam attiecībā pret laiku ir vienāda zīme, tad rotācija tiek paātrināta, ja atšķirīga zīme- kaut kas lēns. Ja leņķiskais ātrums ir nemainīgs, tad rotācija ir vienmērīga (šajā gadījumā leņķiskais paātrinājums ε = 0).

2.2.2. Rotējoša ķermeņa punkta ātrums un paātrinājums

Par ķermeņa punkta kustības ātrumu riņķī sauc rotācijas ātrums, un tā modulis ir atkarīgs no attāluma no punkta līdz rotācijas asij.

V = ω OM

Ātruma vektors ir vērsts perpendikulāri apļa rādiusam, ko apraksta punkts griešanās virzienā (2. att.).

Punkta paātrinājumam uz rotējoša ķermeņa ir divas sastāvdaļas - centripetālais un rotācijas paātrinājums.

Acs = ω 2 OM avr = ε OM

Vektors a cs ir vērsts no punkta uz rotācijas asi, vektors a bp ir vērsts perpendikulāri rādiusam virzienā uz ε.

Kopējais paātrinājuma vektors a ir vienāds ar cs un a wr ģeometrisko summu

a = a cs + a vr,

un kopējo paātrinājuma moduli nosaka pēc formulas

a = OM ω 4 + ε 2

2.2.3. Rotējoša ķermeņa punktu ātruma, centripetālo un rotācijas paātrinājumu vektorizteiksme

Ir vispārpieņemts, ka leņķiskais ātrums un leņķiskais paātrinājums ir vektori, kas vērsti pa rotācijas asi, un vektors ω ir vērsts pa asi tā, ka no tā gala šķiet, ka rotācija notiek pretēji pulksteņrādītāja virzienam, leņķiskā paātrinājuma vektors ε ir arī virzīts pa asi uz to pašu virzienā kā ω paātrinātas rotācijas laikā vai pretējā virzienā lēnas griešanās laikā.

Punkta rotācijas ātrumu, centripetālo un rotācijas paātrinājumu var attēlot vektoru reizinājumu veidā (3. att.).

v =ω x r,

a cs = ω x v = ω x ω x r

a laiks = ε x r

Teorētiskā mehānika ir mehānikas sadaļa, kas nosaka materiālo ķermeņu mehāniskās kustības un mehāniskās mijiedarbības pamatlikumus.

Teorētiskā mehānika ir zinātne, kas pēta ķermeņu kustību laikā (mehāniskās kustības). Tas kalpo par pamatu citām mehānikas nozarēm (elastības teorija, materiālu izturība, plastiskuma teorija, mehānismu un mašīnu teorija, hidroaerodinamika) un daudzām tehniskajām disciplīnām.

Mehāniskā kustība- tās ir materiālo ķermeņu relatīvā stāvokļa izmaiņas laika gaitā.

Mehāniskā mijiedarbība- tā ir mijiedarbība, kuras rezultātā mainās mehāniskā kustība vai mainās ķermeņa daļu relatīvais stāvoklis.

Stingra ķermeņa statika

Statika ir teorētiskās mehānikas sadaļa, kas aplūko cieto ķermeņu līdzsvara problēmas un vienas spēku sistēmas pārveidošanu citā, tai līdzvērtīgā.

Statikas pamatjēdzieni un likumi
• Absolūti stingrs korpuss(cietais ķermenis, ķermenis) ir materiāls ķermenis, attālums starp jebkuriem punktiem, kurā nemainās.
• Materiāls punkts ir ķermenis, kura izmērus atbilstoši problēmas apstākļiem var neievērot.
• Brīvs ķermenis- tas ir ķermenis, kura kustībai nav noteikti nekādi ierobežojumi.
• Nebrīvs (saistīts) ķermenis ir ķermenis, kura kustība ir pakļauta ierobežojumiem.
• Savienojumi– tie ir ķermeņi, kas kavē attiecīgā objekta (ķermeņa vai ķermeņu sistēmas) kustību.
• Komunikācijas reakcija ir spēks, kas raksturo saites darbību uz cietu ķermeni. Ja mēs uzskatām spēku, ar kādu ciets ķermenis iedarbojas uz saiti, par darbību, tad saites reakcija ir reakcija. Šajā gadījumā spēks - darbība tiek pielietota savienojumam, un savienojuma reakcija tiek piemērota cietam ķermenim.
• Mehāniskā sistēma ir savstarpēji saistītu ķermeņu vai materiālu punktu kopums.
• Ciets var uzskatīt par mehānisku sistēmu, kuras pozīcijas un attālumi starp punktiem nemainās.
• Spēks ir vektora lielums, kas raksturo viena materiāla ķermeņa mehānisko iedarbību uz citu.
  Spēku kā vektoru raksturo pielietojuma punkts, darbības virziens un absolūtā vērtība. Spēka moduļa mērvienība ir Ņūtons.
• Spēka darbības līnija ir taisna līnija, pa kuru ir vērsts spēka vektors.
• Koncentrēts spēks– vienā punktā pielikts spēks.
• Sadalītie spēki (sadalītā slodze)- tie ir spēki, kas iedarbojas uz visiem ķermeņa tilpuma, virsmas vai garuma punktiem.
  Sadalīto slodzi nosaka spēks, kas iedarbojas uz tilpuma vienību (virsmu, garumu).
  Sadalītās slodzes izmērs ir N/m 3 (N/m 2, N/m).
• Ārējais spēks ir spēks, kas iedarbojas no ķermeņa, kas nepieder pie aplūkojamās mehāniskās sistēmas.
• Iekšējais spēks ir spēks, kas iedarbojas uz mehāniskas sistēmas materiālu punktu no cita materiāla punkta, kas pieder aplūkojamai sistēmai.
• Spēka sistēma ir spēku kopums, kas iedarbojas uz mehānisku sistēmu.
• Plakanā spēka sistēma ir spēku sistēma, kuras darbības līnijas atrodas vienā plaknē.
• Telpiskā spēku sistēma ir spēku sistēma, kuras darbības līnijas neatrodas vienā plaknē.
• Saplūstošo spēku sistēma ir spēku sistēma, kuras darbības līnijas krustojas vienā punktā.
• Patvaļīga spēku sistēma ir spēku sistēma, kuras darbības līnijas nekrustojas vienā punktā.
• Ekvivalentas spēka sistēmas- tās ir spēku sistēmas, kuru aizstāšana ar otru nemaina ķermeņa mehānisko stāvokli.
  Pieņemtais apzīmējums: .
• Līdzsvars- tas ir stāvoklis, kurā ķermenis spēku iedarbībā paliek nekustīgs vai vienmērīgi kustas taisnā līnijā.
• Līdzsvarota spēku sistēma- šī ir spēku sistēma, kas, iedarbojoties uz brīvu cietu ķermeni, nemaina tā mehānisko stāvokli (neizsit no līdzsvara).
  .
• Iegūtais spēks ir spēks, kura darbība uz ķermeni ir līdzvērtīga spēku sistēmas darbībai.
  .
• Spēka mirklis ir lielums, kas raksturo spēka rotācijas spēju.
• Pāris spēku ir divu vienāda lieluma paralēlu spēku sistēma, kas vērsta pretēji.
  Pieņemtais apzīmējums: .
  Spēku pāra ietekmē ķermenis veiks rotācijas kustību.
• Spēka projekcija uz asi- šis ir segments, kas atrodas starp perpendikuliem, kas novilkti no spēka vektora sākuma un beigām uz šo asi.
  Projekcija ir pozitīva, ja segmenta virziens sakrīt ar ass pozitīvo virzienu.
• Spēka projekcija uz plakni ir vektors uz plaknes, kas atrodas starp perpendikuliem, kas novilkti no spēka vektora sākuma un beigām uz šo plakni.
• 1. likums (inerces likums). Izolēts materiāla punkts atrodas miera stāvoklī vai pārvietojas vienmērīgi un taisni.
  Materiāla punkta vienmērīga un taisnvirziena kustība ir kustība ar inerci. Materiāla punkta un stingra ķermeņa līdzsvara stāvoklis tiek saprasts ne tikai kā miera stāvoklis, bet arī kā kustība ar inerci. Cietam ķermenim ir Dažādi kustība ar inerci, piemēram, stingra ķermeņa vienmērīga rotācija ap fiksētu asi.
• 2. likums. Stingrs ķermenis atrodas līdzsvarā divu spēku iedarbībā tikai tad, ja šie spēki ir vienādi pēc lieluma un ir vērsti pretējos virzienos pa kopēju darbības līniju.
  Šos divus spēkus sauc par līdzsvarošanu.
  Parasti spēkus sauc par līdzsvarotiem, ja cietais ķermenis, kuram šie spēki tiek pielietoti, atrodas miera stāvoklī.
• 3. likums. Netraucējot stingra ķermeņa stāvokli (vārds "stāvoklis" šeit nozīmē kustības vai atpūtas stāvokli), var pievienot un noraidīt līdzsvarošanas spēkus.
  Sekas. Netraucējot cietā ķermeņa stāvokli, spēku var pārnest pa tā darbības līniju uz jebkuru ķermeņa punktu.
  Divas spēku sistēmas sauc par ekvivalentām, ja vienu no tām var aizstāt ar otru, netraucējot cietā ķermeņa stāvokli.
• 4. likums. Divu vienā punktā pieliktu spēku rezultants, kas pielikts vienā punktā, ir vienāds ar uz šiem spēkiem konstruēta paralelograma diagonāli un ir vērsts pa šo spēku.
  diagonāles.
  Rezultāta absolūtā vērtība ir:
  
• 5. likums (rīcības un reakcijas vienlīdzības likums). Spēki, ar kuriem divi ķermeņi iedarbojas viens uz otru, ir vienādi pēc lieluma un vērsti pretējos virzienos pa vienu un to pašu taisni.
  Tas jāpatur prātā darbība- spēks, kas pielikts ķermenim B, Un opozīcija- spēks, kas pielikts ķermenim A, nav līdzsvaroti, jo tiek piemēroti dažādiem korpusiem.
• 6. likums (sacietēšanas likums). Necieta ķermeņa līdzsvars netiek traucēts, kad tas sacietē.
  Nedrīkst aizmirst, ka līdzsvara apstākļi, kas ir nepieciešami un pietiekami cietam ķermenim, ir nepieciešami, bet nepietiekami atbilstošajam necietam ķermenim.
• 7. likums (likums par emancipāciju no saitēm). Nebrīvu cietu ķermeni var uzskatīt par brīvu, ja tas ir garīgi atbrīvots no saitēm, aizvietojot saišu darbību ar atbilstošām saišu reakcijām.

Savienojumi un to reakcijas
• Gluda virsma ierobežo kustību, kas ir normāla pret atbalsta virsmu. Reakcija ir vērsta perpendikulāri virsmai.
• Šarnīrveida kustīgs atbalsts ierobežo ķermeņa kustību, kas ir normāla pret atskaites plakni. Reakcija ir vērsta normāli pret atbalsta virsmu.
• Šarnīrveida fiksēts atbalsts neitralizē jebkuru kustību plaknē, kas ir perpendikulāra rotācijas asij.
• Šarnīrveida bezsvara stienis neitralizē ķermeņa kustību pa stieņa līniju. Reakcija tiks virzīta gar stieņa līniju.
• Akls zīmogs neitralizē jebkuru kustību un rotāciju plaknē. Tās darbību var aizstāt ar spēku, kas attēlots divu komponentu un spēku pāra veidā ar momentu.

Kinemātika

Kinemātika- teorētiskās mehānikas sadaļa, kurā aplūkotas mehāniskās kustības kā telpā un laikā notiekoša procesa vispārējās ģeometriskās īpašības. Kustīgi objekti tiek uzskatīti par ģeometriskiem punktiem vai ģeometriskiem ķermeņiem.

Kinemātikas pamatjēdzieni
• Punkta (ķermeņa) kustības likums– tā ir punkta (ķermeņa) stāvokļa atkarība telpā no laika.
• Punkta trajektorija– šī ir punkta ģeometriskā atrašanās vieta telpā tā kustības laikā.
• Punkta (ķermeņa) ātrums– tas ir raksturīgs punkta (ķermeņa) stāvokļa izmaiņām laikā telpā.
• Punkta (ķermeņa) paātrinājums– tā ir punkta (ķermeņa) ātruma maiņas īpašība laikā.

Punkta kinemātisko raksturlielumu noteikšana
• Punkta trajektorija
  Vektoru atskaites sistēmā trajektoriju apraksta ar izteiksmi: .
  Koordinātu atskaites sistēmā trajektoriju nosaka punkta kustības likums un apraksta ar izteiksmēm z = f(x,y)- kosmosā vai y = f(x)- lidmašīnā.
  Dabiskā atskaites sistēmā trajektorija tiek noteikta iepriekš.
• Punkta ātruma noteikšana vektoru koordinātu sistēmā
  Norādot punkta kustību vektoru koordinātu sistēmā, kustības attiecību pret laika intervālu sauc par ātruma vidējo vērtību šajā laika intervālā: .
  Ņemot laika intervālu par bezgalīgi mazu vērtību, mēs iegūstam ātruma vērtību noteiktā laikā (momentānā ātruma vērtība): .
  Vidējā ātruma vektors ir vērsts pa vektoru punkta kustības virzienā, momentānā ātruma vektors ir vērsts tangenciāli trajektorijai punkta kustības virzienā.
  Secinājums: punkta ātrums ir vektora lielums, kas vienāds ar kustības likuma laika atvasinājumu.
  Atvasināts īpašums: jebkura lieluma atvasinājums attiecībā pret laiku nosaka šī daudzuma izmaiņu ātrumu.
• Punkta ātruma noteikšana koordinātu atskaites sistēmā
  Punktu koordinātu maiņas ātrums:
  .
  Punkta ar taisnstūra koordinātu sistēmu kopējā ātruma modulis būs vienāds ar:
  .
  Ātruma vektora virzienu nosaka virziena leņķu kosinuss:
  ,
  kur ir leņķi starp ātruma vektoru un koordinātu asīm.
• Punkta ātruma noteikšana dabiskās atskaites sistēmā
  Punkta ātrums dabiskajā atskaites sistēmā tiek definēts kā punkta kustības likuma atvasinājums: .
  Saskaņā ar iepriekšējiem secinājumiem ātruma vektors ir vērsts tangenciāli trajektorijai punkta kustības virzienā un asīs nosaka tikai viena projekcija.

Cietā ķermeņa kinemātika
• Cieto ķermeņu kinemātikā tiek atrisinātas divas galvenās problēmas:
  1) kustības iestatīšana un ķermeņa kinemātisko īpašību noteikšana kopumā;
  2) ķermeņa punktu kinemātisko raksturlielumu noteikšana.
• Stingra ķermeņa translācijas kustība
  Translācijas kustība ir kustība, kurā taisna līnija, kas novilkta caur diviem ķermeņa punktiem, paliek paralēla tās sākotnējam stāvoklim.
  Teorēma: translācijas kustības laikā visi ķermeņa punkti pārvietojas pa identiskām trajektorijām un katrā laika momentā tiem ir vienāds ātruma un paātrinājuma lielums un virziens.
  Secinājums: stingra ķermeņa translācijas kustību nosaka jebkura tā punkta kustība, un tāpēc tā kustības uzdevums un izpēte tiek reducēta līdz punkta kinemātikai.
• Stingra ķermeņa rotācijas kustība ap fiksētu asi
  Stingra ķermeņa rotācijas kustība ap fiksētu asi ir stingra ķermeņa kustība, kurā divi ķermenim piederošie punkti paliek nekustīgi visu kustības laiku.
  Ķermeņa stāvokli nosaka griešanās leņķis. Leņķa mērvienība ir radiāns. (Radiāns ir apļa centrālais leņķis, kura loka garums ir vienāds ar rādiusu; kopējais apļa leņķis satur 2π radiāns.)
  Ķermeņa rotācijas kustības ap fiksētu asi likums.
  Mēs nosakām ķermeņa leņķisko ātrumu un leņķisko paātrinājumu, izmantojot diferenciācijas metodi:
  — leņķiskais ātrums, rad/s;
  — leņķiskais paātrinājums, rad/s².
  Ja jūs sadalāt ķermeni ar plakni, kas ir perpendikulāra asij, izvēlieties punktu uz rotācijas ass AR un patvaļīgs punkts M, tad norādiet M aprakstīs ap punktu AR apļa rādiuss R. Laikā dt ir elementāra rotācija pa leņķi , un punkts M virzīsies pa trajektoriju kādu attālumu .
  Lineārā ātruma modulis:
  .
  Punkta paātrinājums M ar zināmu trajektoriju to nosaka tās sastāvdaļas:
  ,
  Kur .
  Rezultātā mēs iegūstam formulas
  tangenciālais paātrinājums: ;
  normāls paātrinājums: .

Dinamika

Dinamika ir teorētiskās mehānikas sadaļa, kurā tiek pētītas materiālo ķermeņu mehāniskās kustības atkarībā no cēloņiem, kas tās izraisa.

Dinamikas pamatjēdzieni
• Inerce- tas ir materiālo ķermeņu īpašums, lai uzturētu miera vai formastērpu taisnvirziena kustība, Čau ārējie spēki nemainīs šo nosacījumu.
• Svars ir ķermeņa inerces kvantitatīvais mērs. Masas mērvienība ir kilograms (kg).
• Materiāls punkts- tas ir ķermenis ar masu, kura izmēri tiek ignorēti, risinot šo problēmu.
• Mehāniskās sistēmas masas centrs — ģeometriskais punkts, kuru koordinātas nosaka pēc formulas:
  
  Kur m k , x k , y k , z k— masa un koordinātas k- mehāniskās sistēmas punkts, m— sistēmas masa.
  Vienmērīgā smaguma laukā masas centra pozīcija sakrīt ar smaguma centra pozīciju.
• Materiāla ķermeņa inerces moments attiecībā pret asi ir kvantitatīvs inerces mērs rotācijas kustības laikā.
  Materiāla punkta inerces moments attiecībā pret asi ir vienāds ar punkta masas reizinājumu ar punkta attāluma no ass kvadrātu:
  .
  Sistēmas (ķermeņa) inerces moments attiecībā pret asi ir vienāds ar visu punktu inerces momentu aritmētisko summu:
  
• Materiāla punkta inerces spēks ir vektora lielums, kas modulī vienāds ar punkta masas un paātrinājuma moduļa reizinājumu un ir vērsts pretī paātrinājuma vektoram:
• Materiāla ķermeņa inerces spēks ir vektora lielums, kas vienāds ar ķermeņa masas un ķermeņa masas centra paātrinājuma moduļa reizinājumu un ir vērsts pretī masas centra paātrinājuma vektoram:
  kur ir ķermeņa masas centra paātrinājums.
• Elementārs spēka impulss ir vektora lielums, kas vienāds ar spēka vektora un bezgalīgi maza laika perioda reizinājumu dt:
  .
  Kopējais spēka impulss Δt ir vienāds ar elementāro impulsu integrāli:
  .
• Elementārs spēka darbs ir skalārs lielums dA, vienāds ar skalāro proi