5.2. Diskrēta gadījuma lieluma sadalījuma likums. Izplatības daudzstūris
No pirmā acu uzmetiena var šķist, ka, lai definētu diskrētu gadījuma lielumu, pietiek uzskaitīt visas tā iespējamās vērtības. Patiesībā tas tā nav: nejaušajiem mainīgajiem var būt vienādi saraksti iespējamās vērtības, un to varbūtība ir atšķirīga. Tāpēc, lai norādītu diskrētu gadījuma mainīgo, nepietiek tikai ar visu tā iespējamo vērtību uzskaitījumu, ir jānorāda arī to varbūtības.
Diskrēta gadījuma lieluma sadalījuma likums izsaukt atbilstību starp iespējamām vērtībām un to varbūtībām; to var norādīt tabulas veidā, analītiski (formulas veidā) un grafiski.
Definīcija. Jebkurš noteikums (tabula, funkcija, grafiks), kas ļauj atrast patvaļīgu notikumu varbūtības A S (S– -notikumu algebra telpā ), jo īpaši, kas norāda gadījuma lieluma vai šo vērtību kopas atsevišķu vērtību varbūtības. gadījuma lieluma sadalījuma likums(vai vienkārši: izplatīšana). Par s.v. viņi saka, ka "tas pakļaujas noteiktam sadales likumam".
Ļaujiet X– d.s.v., kas ņem vērtības X 1 , X 2 , …, x n,… (šo vērtību kopa ir ierobežota vai saskaitāma) ar zināmu varbūtību lpp i, Kur i = 1,2,…, n,… Sadales likums d.s.v. ērti iestatīt, izmantojot formulu lpp i = P{X = x i) Kur i = 1,2,…, n,..., kas nosaka varbūtību, ka eksperimenta rezultātā r.v. Xņems vērtību x i. Par d.s.v. X sadales likumu var dot formā sadales tabulas:
|
x n | |||||
|
R n |
Norādot tabulā diskrēta gadījuma lieluma sadalījuma likumu, tabulas pirmajā rindā ir iespējamās vērtības, bet otrajā – to varbūtības. šādu tabulu sauc tuvu izplatīšanai.
Ņemot vērā, ka vienā izmēģinājumā nejaušais mainīgais ņem vienu un tikai vienu iespējamo vērtību, secinām, ka notikumi X = x 1 , X = x 2 , ..., X = x n izveidot pilnu grupu; tāpēc šo notikumu varbūtību summa, t.i. tabulas otrās rindas varbūtību summa ir vienāda ar vienu, tas ir .
Ja iespējamo vērtību kopa X bezgalīgi (skaitāmi), tad sērija R 1 + R 2 + ... saplūst un tā summa ir vienāda ar vienu.
Piemērs. Uz naudas loteriju ir izsniegtas 100 biļetes. Tiek izlozēts viens laimests 50 rubļu apmērā. un desmit laimesti 1 rub. Atrodiet nejauša lieluma sadalījuma likumu X– vienas loterijas biļetes īpašnieka iespējamo laimestu izmaksas.
Risinājums. Uzrakstīsim iespējamās vērtības X: X 1 = 50, X 2 = 1, X 3 = 0. Šo iespējamo vērtību varbūtības ir šādas: R 1 = 0,01, R 2 = 0,01, R 3 = 1 – (R 1 + R 2)=0,89.
Uzrakstīsim nepieciešamo izplatīšanas likumu:
Kontrole: 0,01 + 0,1 + 0,89 =1.
Piemērs. Urnā ir 8 bumbiņas, no kurām 5 ir baltas, pārējās melnas. No tā nejauši tiek izvilktas 3 bumbiņas. Atrodiet balto bumbiņu skaita sadalījuma likumu paraugā.
Risinājums. Iespējamās r.v vērtības. X– paraugā ir balto bumbiņu skaits X 1 = 0, X 2 = 1, X 3 = 2, X 4 = 3. Viņu varbūtības būs attiecīgi
;
;
.
Sadales likumu uzrakstīsim tabulas veidā.
|
|
|
|
|
Kontrole: 
.
Izplatīšanas likums d.s.v. var norādīt grafiski, ja iespējamās r.v vērtības ir attēlotas uz abscisu ass, un šo vērtību varbūtības ir attēlotas uz ordinātu ass. pārtraukta līnija, kas savieno punktus pēc kārtas ( X 1 , R 1), (X 2 , R 2),... sauc daudzstūris(vai daudzstūris) izplatīšana(skat. 5.1. att.).
Rīsi. 5.1. Izplatības daudzstūris
Tagad jūs varat dot vairāk precīza definīcija d.s.v.
Definīcija. Izlases vērtība X ir diskrēts, ja ir ierobežota vai saskaitāma skaitļu kopa X 1 , X 2 , ... tāds, ka P{X = x i } = lpp i > 0 (i= 1,2,…) un lpp 1 + lpp 2 + R 3 +… = 1.
Definēsim matemātiskās operācijas ar diskrētu r.v.
Definīcija.Summa (atšķirība, strādāt) d.s.v. X, ņemot vērtības x i ar varbūtībām lpp i = P{X = x i }, i = 1, 2, …, n, un d.s.v. Y, ņemot vērtības y j ar varbūtībām lpp j = P{Y = y j }, j = 1, 2, …, m, sauc par d.s.v. Z = X + Y (Z = X – Y, Z = X Y), ņemot vērtības z ij = x i + y j (z ij = x i – y j , z ij = x i y j) ar varbūtībām lpp ij = P{X = x i , Y = y j) visām norādītajām vērtībām i Un j. Ja dažas summas sakrīt x i + y j (atšķirības x i – y j, darbojas x i y j) tiek pievienotas atbilstošās varbūtības.
Definīcija.Darbs d.s.v. ieslēgts numurs s sauc d.s.v. cX, ņemot vērtības Arx i ar varbūtībām lpp i = P{X = x i }.
Definīcija. Divi d.s.v. X Un Y tiek saukti neatkarīgs, ja notikumi ( X = x i } = A i Un ( Y = y j } = B j neatkarīgs jebkuram i = 1, 2, …, n, j = 1, 2, …, m, tas ir
Citādi r.v. sauca atkarīgi. Vairāki r.v. tiek saukti par savstarpēji neatkarīgiem, ja neviena no tiem sadalījuma likums nav atkarīgs no tā, kādas iespējamās vērtības ir ieguvuši citi lielumi.
Apskatīsim vairākus visbiežāk izmantotos izplatīšanas likumus.
Kursa sadaļā, kas veltīta varbūtību teorijas pamatjēdzieniem, mēs jau esam iepazīstinājuši ar ārkārtīgi svarīgo nejaušā lieluma jēdzienu. Šeit mēs dosim tālākai attīstībaišo jēdzienu un norāda veidus, kā var aprakstīt un raksturot nejaušos mainīgos.
Kā jau minēts, nejaušais lielums ir lielums, kas eksperimenta rezultātā var iegūt vienu vai otru vērtību, bet iepriekš nav zināms, kuru. Mēs arī vienojāmies atšķirt nejaušos mainīgos nepārtrauktos (diskrētos) un nepārtraukts veids. Nepārtraukto daudzumu iespējamās vērtības var uzskaitīt iepriekš. Nepārtraukto daudzumu iespējamās vērtības nevar uzskaitīt iepriekš un nepārtraukti aizpildīt noteiktu plaisu.
Nepārtrauktu gadījuma mainīgo piemēri:
1) ģerboņa parādīšanos skaits trīs monētu mešanas reižu laikā (iespējamās vērtības 0, 1, 2, 3);
2) ģerboņa parādīšanās biežums tajā pašā eksperimentā (iespējamie lielumi);
3) bojāto elementu skaits ierīcē, kas sastāv no pieciem elementiem (iespējamās vērtības ir 0, 1, 2, 3, 4, 5);
4) gaisa kuģa trāpījumu skaits, kas ir pietiekams, lai to atspējotu (iespējamās vērtības 1, 2, 3, ..., n, ...);
5) gaisa kaujā notriekto lidmašīnu skaits (iespējamās vērtības 0, 1, 2, ..., N, kur ir kopējais kaujā iesaistīto lidmašīnu skaits).
Nepārtrauktu nejaušo mainīgo piemēri:
1) trieciena punkta abscisa (ordināta) izšaujot;
2) attālums no trieciena punkta līdz mērķa centram;
3) augstuma mērītāja kļūda;
4) radiolampas bezatteices darbības laiks.
Vienosimies turpmāk nejaušos mainīgos apzīmēt ar lielajiem burtiem un to iespējamās vērtības ar atbilstošiem mazajiem burtiem. Piemēram, – sitienu skaits ar trim metieniem; iespējamās vērtības: .
Apskatīsim nepārtrauktu gadījuma lielumu ar iespējamām vērtībām. Katra no šīm vērtībām ir iespējama, bet nav noteikta, un vērtība X var pieņemt katru no tām ar zināmu varbūtību. Eksperimenta rezultātā vērtība X pieņems vienu no šīm vērtībām, t.i. Notiks viens no visas nesaderīgo notikumu grupas:
Apzīmēsim šo notikumu varbūtības ar burtiem p ar atbilstošajiem indeksiem:
Tā kā nesaderīgi notikumi (5.1.1.) veido pilnīgu grupu, tad
tie. nejauša lieluma visu iespējamo vērtību varbūtību summa ir vienāda ar vienu. Šī kopējā varbūtība ir kaut kādā veidā sadalīta starp atsevišķām vērtībām. Nejaušais lielums tiks pilnībā aprakstīts no varbūtības viedokļa, ja precizēsim šo sadalījumu, t.i. Norādīsim, kāda ir katra notikuma (5.1.1.) iespējamība. Ar to mēs izveidosim tā saukto nejaušā lieluma sadalījuma likumu.
Gadījuma lieluma sadalījuma likums ir jebkura sakarība, kas nosaka saikni starp nejaušā lieluma iespējamām vērtībām un atbilstošajām varbūtībām. Par nejaušu mainīgo teiksim, ka uz to attiecas noteikts sadalījuma likums.
Nosakīsim formu, kādā var norādīt pārtraukta gadījuma lieluma sadalījuma likumu. Vienkāršākā formaŠī likuma definīcija ir tabula, kurā uzskaitītas iespējamās nejaušā lieluma vērtības un atbilstošās varbūtības:
Šādu tabulu sauksim par nejauša lieluma sadalījuma sēriju.
Lai piešķirtu sadalījuma sērijai vizuālāku izskatu, viņi bieži izmanto tās grafisko attēlojumu: iespējamās nejaušā mainīgā vērtības tiek attēlotas pa abscisu asi, un šo vērtību varbūtības tiek attēlotas pa ordinātu asi. Skaidrības labad iegūtie punkti ir savienoti ar taisniem segmentiem. Šādu figūru sauc par sadalījuma daudzstūri (5.1.1. att.). Sadalījuma daudzstūris, tāpat kā sadalījuma rinda, pilnībā raksturo nejaušo mainīgo; tā ir viena no sadales likuma formām.
Dažreiz ir ērta izplatīšanas sērijas tā sauktā “mehāniskā” interpretācija. Iedomāsimies, ka noteikta masa, kas vienāda ar vienu, tiek sadalīta pa abscisu asi tā, ka masas tiek koncentrētas attiecīgi atsevišķos punktos. Tad sadalījuma sērija tiek interpretēta kā materiālu punktu sistēma ar dažām masām, kas atrodas uz abscisu ass.
Apskatīsim vairākus piemērus par nepārtrauktiem gadījuma mainīgajiem ar to sadalījuma likumiem.
Piemērs 1. Tiek veikts viens eksperiments, kurā notikums var parādīties un var nebūt. Notikuma iespējamība ir 0,3. Tiek aplūkots nejaušs mainīgais - notikuma gadījumu skaits dotajā eksperimentā (t.i. raksturīgs notikuma gadījuma lielums, ņemot vērtību 1, ja tas parādās, un 0, ja tas neparādās). Izveidojiet sadalījuma sēriju un lielumu sadalījuma daudzstūri.
Risinājums. Vērtībai ir tikai divas vērtības: 0 un 1.
Izplatības daudzstūris ir parādīts attēlā. 5.1.2.
2. piemērs. Šāvējs izšauj trīs šāvienus mērķī. Varbūtība trāpīt mērķī ar katru šāvienu ir 0,4. Par katru sitienu šāvējs saņem 5 punktus. Izveidojiet iegūto punktu skaita sadalījuma sēriju.
Risinājums. Apzīmēsim iegūto punktu skaitu. Iespējamās vērtības: .
Mēs atrodam šo vērtību varbūtību, izmantojot teorēmu par eksperimentu atkārtošanu:
Vērtību sadalījuma sērijai ir šāda forma:
Izplatības daudzstūris ir parādīts attēlā. 5.1.3.
3. piemērs. Notikuma varbūtība vienā eksperimentā ir vienāda ar . Tiek veikta virkne neatkarīgu eksperimentu, kas turpinās līdz pirmajam notikuma gadījumam, pēc kura eksperimenti tiek pārtraukti. Nejaušais lielums – veikto eksperimentu skaits. Izveidojiet vērtības sadalījuma sēriju.
Risinājums. Iespējamās vērtības: 1, 2, 3, ... (teorētiski tās nekas neierobežo). Lai daudzums iegūtu vērtību 1, ir nepieciešams, lai notikums notiktu pirmajā eksperimentā; tā varbūtība ir vienāda. Lai daudzums iegūtu vērtību 2, ir nepieciešams, lai notikums neparādītos pirmajā eksperimentā, bet parādās otrajā; tā varbūtība ir vienāda ar , kur utt. Vērtību sadalījuma sērijai ir šāda forma:
Pirmās piecas gadījuma sadalījuma daudzstūra ordinātas ir parādītas attēlā. 5.1.4.
4. piemērs. Šāvējs šauj pa mērķi līdz pirmajam trāpījumam, viņam ir 4 patronas. Sitiena iespējamība katram šāvienam ir 0,6. Izveidojiet neizlietotās munīcijas daudzuma sadales sēriju.
Risinājums. Nejaušajam lielumam - neizlietoto kasetņu skaitam - ir četras iespējamās vērtības: 0, 1, 2 un 3. Šo vērtību varbūtības ir attiecīgi vienādas:
Vērtību sadalījuma sērijai ir šāda forma:
Izplatības daudzstūris ir parādīts attēlā. 5.1.5.
Piemērs 5. Tehnisku ierīci var izmantot dažādos apstākļos, un atkarībā no tā laiku pa laikam nepieciešama pielāgošana. Lietojot ierīci vienreiz, tā var nejauši pāriet labvēlīgā vai nelabvēlīgā režīmā. Labvēlīgā režīmā ierīce bez regulēšanas var izturēt trīs lietošanas reizes; pirms ceturtās tas ir jāpielāgo. Nelabvēlīgā režīmā ierīce ir jānoregulē pēc pirmās lietošanas reizes. Varbūtība, ka ierīce nonāks labvēlīgā režīmā, ir 0,7, un iespēja, ka tā nonāks nelabvēlīgā režīmā, ir 0,3. Tiek ņemts vērā nejaušais lielums - ierīces lietošanas reižu skaits pirms regulēšanas. Izveidojiet tās izplatīšanas sēriju.
Risinājums. Nejaušajam lielumam ir trīs iespējamās vērtības: 1, 2 un 3. Varbūtība, ka , ir vienāda ar varbūtību, ka pirmo reizi lietojot ierīci, tā nonāks nelabvēlīgā režīmā, t.i. . Lai vērtība iegūtu vērtību 2, ierīcei pirmajā lietošanas reizē jābūt labvēlīgā režīmā, bet otrās lietošanas laikā — nelabvēlīgā režīmā; šī iespējamība 
. Lai vērtība iegūtu vērtību 3, ierīcei pirmās divas reizes jābūt labvēlīgā režīmā (pēc trešās reizes tā joprojām būs jāregulē). Tā iespējamība ir vienāda 
.
Vērtību sadalījuma sērijai ir šāda forma:
Izplatības daudzstūris ir parādīts attēlā. 5.1.6.
Sadales funkcija
Iepriekšējā n° mēs ieviesām sadalījuma sēriju kā izsmeļošu raksturlielumu (sadales likumu) pārtrauktam nejaušam mainīgajam. Tomēr šī īpašība nav universāla; tas pastāv tikai pārtrauktiem gadījuma mainīgajiem. Ir viegli redzēt, ka nav iespējams izveidot šādu raksturlielumu nepārtrauktam gadījuma mainīgajam. Patiešām, nepārtrauktam nejaušam mainīgajam ir bezgalīgs skaits iespējamo vērtību, kas pilnībā aizpilda noteiktu intervālu (tā saukto “skaitāmo kopu”). Nav iespējams izveidot tabulu, kurā uzskaitītas visas iespējamās šāda nejaušā mainīgā vērtības. Turklāt, kā mēs redzēsim vēlāk, katrai atsevišķai nepārtraukta gadījuma mainīgā vērtībai parasti nav nekādas nulles atšķirības. Līdz ar to nepārtrauktam gadījuma mainīgajam nav sadalījuma sērijas tādā nozīmē, kādā tā pastāv pārtrauktam mainīgajam. Tomēr dažādas nejauša lieluma iespējamo vērtību apgabali joprojām nav vienādi ticami, un nepārtrauktam mainīgajam pastāv “varbūtības sadalījums”, lai gan ne tādā pašā nozīmē kā pārtrauktajam.
Lai kvantitatīvi raksturotu šo varbūtības sadalījumu, ir ērti izmantot notikuma varbūtību un notikuma varbūtību , kur ir kāds pašreizējais mainīgais. Šī notikuma iespējamība acīmredzami ir atkarīga no , ir kāda funkcija . Šo funkciju sauc par gadījuma lieluma sadalījuma funkciju, un to apzīmē ar:
. (5.2.1)
Sadalījuma funkciju dažreiz sauc arī par kumulatīvā sadalījuma funkciju vai kumulatīvā sadalījuma likumu.
Sadalījuma funkcija ir visuniversālākā gadījuma lieluma īpašība. Tas pastāv visiem nejaušajiem mainīgajiem: gan nepārtrauktiem, gan nepārtrauktiem. Sadalījuma funkcija pilnībā raksturo nejaušu lielumu no varbūtības viedokļa, t.i. ir viena no sadales likuma formām.
Formulēsim dažas sadales funkcijas vispārīgās īpašības.
1. Sadalījuma funkcija ir tās argumenta nesamazināma funkcija, t.i. plkst.
2. Pie mīnus bezgalības sadalījuma funkcija ir vienāda ar nulli: .
3. Pie plus bezgalības sadalījuma funkcija ir vienāda ar vienu: .
Nesniedzot šo īpašību stingru pierādījumu, mēs tās ilustrēsim, izmantojot vizuālu ģeometrisku interpretāciju. Lai to izdarītu, par nejaušu punktu uz Vērša ass uzskatīsim nejaušu lielumu (5.2.1. att.), kas eksperimenta rezultātā var ieņemt vienu vai otru pozīciju. Tad sadalījuma funkcija ir varbūtība, ka nejaušs punkts eksperimenta rezultātā nokritīs pa kreisi no punkta.
Mēs palielināsim , tas ir, virzīsim punktu pa labi pa abscisu asi. Acīmredzot šajā gadījumā varbūtība, ka nejaušs punkts nokritīs pa kreisi, nevar samazināties; tāpēc sadalījuma funkcija nevar samazināties, palielinoties.
Lai par to pārliecinātos , mēs uz nenoteiktu laiku pārvietosim punktu pa abscisu pa kreisi. Šajā gadījumā trāpījums nejaušā punktā pa kreisi limitā kļūst par neiespējamu notikumu; Ir dabiski uzskatīt, ka šī notikuma iespējamība tiecas uz nulli, t.i. .
Tāpat, uz nenoteiktu laiku pārvietojot punktu pa labi, mēs pārliecināmies, ka , jo notikums limitā kļūst uzticams.
Sadales funkcijas grafiks iekšā vispārējs gadījums ir nesamazinošas funkcijas grafiks (5.2.2. att.), kuras vērtības sākas no 0 un sasniedz 1, un atsevišķos punktos funkcijai var būt lēcieni (pārtraukumi).
Zinot pārtraukta gadījuma lieluma sadalījuma sēriju, var viegli izveidot šī mainīgā sadalījuma funkciju. Tiešām,
,
kur nevienlīdzība zem summas zīmes norāda, ka summēšana attiecas uz visām vērtībām, kas ir mazākas par .
Kad pašreizējais mainīgais iet caur kādu no iespējamām pārtrauktās vērtības vērtībām, sadalījuma funkcija pēkšņi mainās, un lēciena lielums ir vienāds ar šīs vērtības varbūtību.
Piemērs 1. Tiek veikts viens eksperiments, kurā notikums var parādīties un var nebūt. Notikuma iespējamība ir 0,3. Nejaušs mainīgais – notikuma gadījumu skaits eksperimentā (raksturīgs notikuma gadījuma mainīgais). Izveidojiet tās sadales funkciju.
Pieredze ir jebkura noteiktu nosacījumu un darbību īstenošana, saskaņā ar kurām tiek novērota pētāmā nejaušība. Eksperimentus var raksturot kvalitatīvi un kvantitatīvi. Nejaušs lielums ir lielums, kas eksperimenta rezultātā var iegūt vienu vai otru vērtību, un iepriekš nav zināms, kuru.
Nejaušie mainīgie parasti tiek apzīmēti (X,Y,Z) un atbilstošās vērtības (x,y,z)
Diskrēti ir nejauši mainīgie, kas ņem atsevišķas vērtības, kas izolētas viena no otras un kuras var pārvērtēt. Nepārtraukti daudzumi kuru iespējamās vērtības nepārtraukti aizpilda noteiktu diapazonu. Gadījuma lieluma sadalījuma likums ir jebkura sakarība, kas nosaka saikni starp iespējamām gadījuma lieluma vērtībām un atbilstošajām varbūtībām. Sadalījuma rinda un daudzstūris. Vienkāršākā sadales likuma forma diskrēta vērtība ir izplatīšanas sērija. Sadalījuma sērijas grafiskā interpretācija ir sadalījuma daudzstūris.
Jūs interesējošo informāciju varat atrast arī zinātniskajā meklētājā Otvety.Online. Izmantojiet meklēšanas formu:
Vairāk par tēmu 13. Diskrēts gadījuma mainīgais. Izplatības daudzstūris. Darbības ar nejaušiem mainīgajiem, piemēram:
- 13. Diskrēts gadījuma lielums un tā sadalījuma likums. Izplatības daudzstūris. Darbības ar nejaušiem mainīgajiem. Piemērs.
- Jēdziens “nejaušais mainīgais” un tā apraksts. Diskrēts gadījuma lielums un tā sadalījuma likums (rinda). Neatkarīgi nejauši mainīgie. Piemēri.
- 14. Nejaušie lielumi, to veidi. Diskrētā gadījuma lieluma (DRV) varbūtības sadalījuma likums. Nejaušo lielumu (SV) konstruēšanas metodes.
- 16. Diskrētā gadījuma lieluma sadalījuma likums. Diskrēta gadījuma lieluma skaitliskie raksturlielumi: matemātiskā cerība, dispersija un standartnovirze.
- Matemātiskās darbības ar diskrētiem gadījuma mainīgajiem un KX, X"1, X + K, XV sadalījuma likumu konstruēšanas piemēri, pamatojoties uz dotajiem neatkarīgo gadījuma lielumu X un Y sadalījumiem.
- Gadījuma lieluma jēdziens. Diskrētu gadījumu sadales likums. daudzumus. Matemātiskās darbības pēc nejaušības principa. daudzumus.
Nejaušie mainīgie: diskrēti un nepārtraukti.
Veicot stohastisko eksperimentu, veidojas elementāru notikumu telpa - iespējamie rezultātišis eksperiments. Tiek uzskatīts, ka šai elementāru notikumu telpai ir dota nejauša vērtība X, ja ir dots likums (noteikums), saskaņā ar kuru katrs elementārs notikums ir saistīts ar skaitli. Tādējādi nejaušo lielumu X var uzskatīt par funkciju, kas definēta elementāru notikumu telpā.
■ Nejaušs mainīgais- daudzums, kas katram testam ņem vienu vai otru skaitliskā vērtība(iepriekš nav zināms, kurš), atkarībā no nejaušiem iemesliem, kurus iepriekš nevar ņemt vērā. Nejaušie mainīgie ir norādīti ar lielajiem burtiem Latīņu alfabēts, un nejaušā lieluma iespējamās vērtības ir mazas. Tātad, metot kauliņu, notiek notikums, kas saistīts ar skaitli x, kur x ir izmesto punktu skaits. Punktu skaits ir nejaušs lielums, un skaitļi 1, 2, 3, 4, 5, 6 ir šīs vērtības iespējamās vērtības. Attālums, ko lādiņš nobrauks, izšaujot no pistoles, arī ir nejaušs lielums (atkarībā no tēmēekļa uzstādīšanas, vēja stipruma un virziena, temperatūras un citiem faktoriem), un šīs vērtības iespējamās vērtības pieder. līdz noteiktam intervālam (a; b).
■ Diskrēts gadījuma lielums– nejaušs mainīgais, kas ar noteiktām varbūtībām iegūst atsevišķas, izolētas iespējamās vērtības. Diskrēta gadījuma lieluma iespējamo vērtību skaits var būt ierobežots vai bezgalīgs.
■ Nepārtraukts gadījuma mainīgais– nejaušs mainīgais, kas var ņemt visas vērtības no kāda ierobežota vai bezgalīga intervāla. Nepārtraukta gadījuma lieluma iespējamo vērtību skaits ir bezgalīgs.
Piemēram, izmesto punktu skaits, metot kauliņu, pārbaudes rezultāts ir diskrēti nejauši mainīgie; attālums, kādu lido šāviņš, šaujot no pistoles, mācību materiāla apguves laika rādītāja mērījuma kļūda, cilvēka augums un svars ir nepārtraukti gadījuma lielumi.
Gadījuma lieluma sadalījuma likums– atbilstība starp iespējamām gadījuma lieluma vērtībām un to varbūtībām, t.i. Katra iespējamā vērtība x i ir saistīta ar varbūtību p i, ar kādu nejaušais mainīgais var iegūt šo vērtību. Gadījuma lieluma sadalījuma likumu var norādīt tabulas veidā (tabulas veidā), analītiski (formulas veidā) un grafiski.
Ļaujiet diskrētam gadījuma lielumam X ņemt vērtības x 1 , x 2 , …, x n ar varbūtībām attiecīgi p 1 , p 2 , …, p n, t.i. P(X=x 1) = p 1, P(X=x 2) = p 2, …, P(X=x n) = p n. Norādot tabulā šī lieluma sadalījuma likumu, tabulas pirmajā rindā ir iespējamās vērtības x 1 , x 2 , ..., x n , bet otrajā rindā ir to varbūtības.
| X | x 1 | x 2 | … | x n |
| lpp | 1. lpp | p2 | … | p n |
Testa rezultātā diskrētais gadījuma lielums X iegūst vienu un tikai vienu no iespējamajām vērtībām, tāpēc notikumi X=x 1, X=x 2, ..., X=x n veido pilnīgu pāru nesaderīgu grupu. notikumus, un tāpēc šo notikumu varbūtību summa ir vienāda ar vienu, t.i. p 1 + p 2 +… + p n =1.
Diskrēta gadījuma lieluma sadalījuma likums. Izplatības daudzstūris (daudzstūris).
Kā jūs zināt, nejaušais mainīgais ir mainīgais, kas var iegūt noteiktas vērtības atkarībā no gadījuma. Nejaušie mainīgie apzīmē ar lielajiem burtiem Latīņu alfabēts (X, Y, Z), un to nozīmes - ar atbilstošajiem mazajiem burtiem (x, y, z). Nejaušie mainīgie tiek sadalīti nepārtrauktos (diskrētos) un nepārtrauktos.
Diskrēts gadījuma lielums ir nejaušs lielums, kas ņem tikai ierobežotu vai bezgalīgu (skaitāmu) vērtību kopu ar noteiktu varbūtību, kas nav nulle.
Diskrēta gadījuma lieluma sadalījuma likums ir funkcija, kas savieno nejauša lieluma vērtības ar tām atbilstošajām varbūtībām. Izplatīšanas likumu var precizēt vienā no šiem veidiem.
1. Sadales likumu var norādīt tabulā:
kur λ>0, k = 0, 1, 2, … .
c) izmantojot sadalījuma funkciju F(x), kas katrai vērtībai x nosaka varbūtību, ka gadījuma lielums X pieņems vērtību, kas mazāka par x, t.i. F(x) = P(X< x).
 |
Funkcijas F(x) īpašības
3. Sadales likumu var norādīt grafiski - ar sadalījuma daudzstūri (daudzstūri) (skat. 3. uzdevumu).
Ņemiet vērā, ka dažu problēmu risināšanai nav nepieciešams zināt sadales likumu. Dažos gadījumos pietiek zināt vienu vai vairākus skaitļus, kas atspoguļo visvairāk svarīgas funkcijas sadales likums. Tas var būt skaitlis, kam ir nejauša lieluma "vidējais" nozīme, vai skaitlis, kas norāda vidējais izmērs nejauša lieluma novirze no tā vidējās vērtības. Šāda veida skaitļus sauc par nejauša lieluma skaitliskiem raksturlielumiem.
Diskrēta gadījuma lieluma galvenie skaitliskie raksturlielumi:
- Diskrētā gadījuma lieluma M(X)=Σ x i p i matemātiskā cerība (vidējā vērtība).
Binomiālajam sadalījumam M(X)=np, Puasona sadalījumam M(X)=λ - Diskrētā nejaušā lieluma D(X)= M 2 vai D(X) = M(X 2)− 2 izkliede. Atšķirību X–M(X) sauc par nejauša lieluma novirzi no tā matemātiskās cerības.
Binomiālajam sadalījumam D(X)=npq, Puasona sadalījumam D(X)=λ - Standarta novirze ( standarta novirze) σ(X)=√D(X).
· Variāciju sērijas prezentācijas skaidrībai liela nozīme ir tā grafiskie attēli. Grafiski variāciju sēriju var attēlot kā daudzstūri, histogrammu un kumulatīvu.
· Sadalījuma daudzstūri (burtiski sadales daudzstūri) sauc par lauztu līniju, kas tiek konstruēta taisnstūra koordinātu sistēmā. Atribūta vērtība tiek uzzīmēta uz abscisu, atbilstošās frekvences (vai relatīvās frekvences) - uz ordinātām. Punkti (vai) tiek savienoti ar taisnu līniju segmentiem un iegūts sadalījuma daudzstūris. Visbiežāk daudzstūri tiek izmantoti, lai attēlotu diskrētu variāciju sērija, bet tos var arī izmantot intervālu sērijas. Šajā gadījumā uz abscisu ass tiek uzzīmēti punkti, kas atbilst šo intervālu viduspunktiem.
