Nejaušs mainīgais ir lielums, kas eksperimenta rezultātā iegūst iepriekš nezināmu vērtību.
Lekcijā klātesošo studentu skaits.
Ekspluatācijā nodoto māju skaits kārtējā mēnesī.
Apkārtējās vides temperatūra.
Sprāgstoša čaulas fragmenta svars.
Nejaušie mainīgie ir sadalīti diskrētos un nepārtrauktos.
Diskrēts (pārtraukts) To sauc par nejaušu mainīgo, kas iegūst atsevišķas vērtības, izolētas viena no otras ar noteiktām varbūtībām.
Diskrēta gadījuma lieluma iespējamo vērtību skaits var būt ierobežots vai saskaitāms.
Nepārtraukta sauc par nejaušu mainīgo, kas var iegūt jebkuru vērtību no kāda ierobežota vai bezgalīga intervāla.
Acīmredzot nepārtraukta gadījuma lieluma iespējamo vērtību skaits ir bezgalīgs.
Dotajos piemēros: 1 un 2 ir diskrēti gadījuma lielumi, 3 un 4 ir nepārtraukti gadījuma lielumi.
Nākotnē vārdu “gadījuma mainīgais” vietā bieži izmantosim saīsinājumu c. V.
Parasti nejaušie mainīgie tiks apzīmēti ar lielajiem burtiem un tiem iespējamās vērtības- mazs.
Varbūtību teorijas pamatjēdzienu kopteorētiskajā interpretācijā gadījuma lielums X ir elementāra notikuma funkcija: X =φ(ω), kur ω ir telpai Ω (ω Ω) piederošs elementārs notikums. Šajā gadījumā c iespējamo vērtību kopa Ξ. V. X sastāv no visām vērtībām, ko iegūst funkcija φ(ω).
Gadījuma lieluma sadalījuma likums ir jebkurš noteikums (tabula, funkcija), kas ļauj atrast visu veidu notikumu, kas saistīti ar nejaušu mainīgo, varbūtību (piemēram, varbūtību, ka tas iegūs noteiktu vērtību vai iekritīs noteiktā intervālā).
Formas gadījuma lielumu sadalījuma likumu precizēšanai. Izplatīšanas sērija.
Šī ir tabula, kuras augšējā rindā ir norādītas visas iespējamās nejaušā lieluma X vērtības augošā secībā: x 1, x 2, ..., x n, bet apakšējā rindā - šo vērtību varbūtības: p 1, p 2, ..., p n, kur p i = Р(Х = x i ).
Tā kā notikumi (X = x 1 ), (X = x 2 ), ... ir nekonsekventi un veido pilnīgu grupu, visu varbūtību summa sadalījuma sērijas apakšējā rindā ir vienāda ar vienu
Sadalījuma sērija tiek izmantota, lai norādītu sadalījuma likumu tikai diskrētiem gadījuma mainīgajiem.
Izplatības daudzstūris
Sadalījuma sērijas grafisko attēlojumu sauc par sadalījuma daudzstūri. Tas ir konstruēts šādi: katrai iespējamai c vērtībai. V. tiek atjaunots perpendikuls x asij, uz kura uzzīmēta dotās vērtības c varbūtība. V. Skaidrības labad (un tikai skaidrības labad!) iegūtos punktus savieno taisni segmenti.
Kumulatīvā sadalījuma funkcija (vai vienkārši sadales funkcija).
Šī ir funkcija, kas katrai argumenta x vērtībai ir skaitliski vienāda ar varbūtību, ka nejaušais mainīgais būs mazāks par argumenta x vērtību.
Sadalījuma funkciju apzīmē ar F(x): F(x) = P (X x).
Tagad jūs varat dot vairāk precīza definīcija nepārtraukts gadījuma lielums: gadījuma lielumu sauc par nepārtrauktu, ja tā sadalījuma funkcija ir nepārtraukta, pa daļām diferencējama funkcija ar nepārtrauktu atvasinājumu.
Sadales funkcija ir visuniversālākais veids, kā norādīt c. v., ko var izmantot, lai norādītu sadales likumus gan diskrētiem, gan nepārtrauktiem s. V.
14. problēma. Naudas loterijā tiek izspēlēts 1 laimests 1 000 000 rubļu apmērā, 10 laimesti 100 000 rubļu apmērā. un 100 uzvaras pa 1000 rubļiem katrs. ar kopējo biļešu skaitu 10 000 Atrodi nejaušo laimestu sadales likumu X vienas loterijas biļetes īpašniekam.
Risinājums. Iespējamās vērtības priekš X: X 1 = 0; X 2 = 1000; X 3 = 100000;
X 4 = 1000000. To varbūtības ir attiecīgi vienādas: r 2 = 0,01; r 3 = 0,001; r 4 = 0,0001; r 1 = 1 – 0,01 – 0,001 – 0,0001 = 0,9889.
Tāpēc laimestu sadales likums X var norādīt pēc šādas tabulas:
Izveidojiet sadalījuma daudzstūri.
Risinājums. Izveidosim taisnstūra koordinātu sistēmu un uzzīmēsim iespējamās vērtības gar abscisu asi x i, un pa ordinātu asi - atbilstošās varbūtības p i. Uzzīmēsim punktus M 1 (1;0,2), M 2 (3;0,1), M 3 (6;0,4) un M 4 (8;0,3). Savienojot šos punktus ar taisnu līniju segmentiem, mēs iegūstam vēlamo sadalījuma daudzstūri.
§2. Nejaušo lielumu skaitliskās īpašības
Gadījuma lielumu pilnībā raksturo tā sadalījuma likums. Gadījuma lieluma vidējo aprakstu var iegūt, izmantojot tā skaitliskos raksturlielumus
2.1. Gaidīšana. Izkliede.
Ļaujiet nejaušam mainīgajam attiecīgi ņemt vērtības ar varbūtībām.
Definīcija. Diskrēta gadījuma lieluma matemātiskā cerība ir visu tā iespējamo vērtību un atbilstošo varbūtību produktu summa:
.
Matemātiskās gaidīšanas īpašības.
Gadījuma lieluma izkliedi ap vidējo vērtību raksturo dispersija un standarta novirze.
Gadījuma lieluma dispersija ir nejaušā mainīgā lieluma kvadrātiskās novirzes no tā matemātiskās cerības matemātiskā sagaidāmais rādītājs:
Aprēķiniem tiek izmantota šāda formula
Izkliedes īpašības.
2. , kur ir savstarpēji neatkarīgi gadījuma lielumi.
3. Standarta novirze 
.
16. problēma. Atrodiet nejauša lieluma matemātisko cerību Z = X+ 2Y, ja ir zināmas nejaušo mainīgo matemātiskās cerības X Un Y: M(X) = 5, M(Y) = 3.
Risinājums. Mēs izmantojam matemātiskās gaidīšanas īpašības. Tad mēs iegūstam:
M(X+ 2Y)= M(X) + M(2Y) = M(X) + 2M(Y) = 5 + 2 . 3 = 11.
17. problēma. Gadījuma lieluma dispersija X ir vienāds ar 3. Atrodi gadījuma lielumu dispersiju: a) –3 X; b) 4 X + 3.
Risinājums. Pielietosim dispersijas īpašības 3, 4 un 2. Mums ir:
A) D(–3X) = (–3) 2 D(X) = 9D(X) = 9 . 3 = 27;
b) D(4X+ 3) = D(4X) + D(3) = 16D(X) + 0 = 16 . 3 = 48.
18. problēma. Dots neatkarīgs gadījuma mainīgais Y– metot nokrita punktu skaits kauliņi. Atrodiet sadalījuma likumu, matemātisko cerību, dispersiju un vidējo standarta novirze nejaušais mainīgais Y.
Risinājums. Gadījuma lieluma sadalījuma tabula Y ir šāda forma:
| Y | ||||||
| r | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 |
Tad M(Y) = 1 1/6 + 2 1/6 + 3 1/6+ 4 1/6+ 5 1/6 + 6 1/6 = 3,5;
D(Y) = (1 – 3,5) 2 1/6 + (2 – 3,5) 2/6 + (3 – 3,5) 2 1/6 + (4 – 3,5) 2/6 + (5 – –3,5) 2 1/6 + (6 – 3,5) 2. 1/6 = 2,917; σ (Y) =Ö 2,917 = 1,708.
Atbilde: Apsveriet nepārtrauktu gadījuma mainīgo X ar iespējamām vērtībām. Katra no šīm vērtībām ir iespējama, bet nav noteikta, un vērtība X var pieņemt katru no tiem ar zināmu varbūtību. Eksperimenta rezultātā vērtība X izmantos vienu no šīm vērtībām, t.i., notiks viena no visas nesaderīgo notikumu grupas:
Apzīmēsim šo notikumu varbūtības ar burtiem r ar atbilstošajiem indeksiem:
Tas nozīmē, ka dažādu vērtību varbūtības sadalījumu var norādīt ar sadalījuma tabulu, kurā augšējā rindā ir norādītas visas vērtības, kas iegūtas ar noteiktu diskrētu gadījuma lielumu, un atbilstošo vērtību varbūtības. ir norādīti apakšējā rindā. Tā kā nesaderīgi notikumi (3.1) veido pilnīgu grupu, tad, t.i., nejaušā lieluma visu iespējamo vērtību varbūtību summa ir vienāda ar vienu. Nepārtraukto gadījuma lielumu varbūtības sadalījumu nevar uzrādīt tabulas veidā, jo šādu gadījuma lielumu vērtību skaits ir bezgalīgs pat ierobežotā intervālā. Turklāt varbūtība iegūt kādu konkrētu vērtību ir nulle. Gadījuma lielums tiks pilnībā aprakstīts no varbūtības viedokļa, ja mēs precizēsim šo sadalījumu, tas ir, mēs precīzi norādīsim, kāda ir katra notikuma varbūtība. Ar to mēs izveidosim tā saukto nejaušā lieluma sadalījuma likumu. Gadījuma lieluma sadalījuma likums ir jebkura sakarība, kas nosaka saikni starp nejaušā lieluma iespējamām vērtībām un atbilstošajām varbūtībām. Par nejaušu mainīgo teiksim, ka uz to attiecas noteikts sadalījuma likums. Nosakīsim formu, kādā var norādīt pārtraukta gadījuma lieluma sadalījuma likumu X. Vienkāršākā formaŠī likuma definīcija ir tabula, kurā uzskaitītas iespējamās nejaušā lieluma vērtības un atbilstošās varbūtības:
| x i | x 1 | x 2 | × × × | x n |
| p i | lpp 1 | lpp 2 | × × × | p n |
Šādu tabulu sauksim par nejauša lieluma sadalījumu sēriju X.
Rīsi. 3.1
Lai piešķirtu sadalījuma sērijai vizuālāku izskatu, viņi bieži izmanto tās grafisko attēlojumu: iespējamās nejaušā mainīgā vērtības tiek attēlotas pa abscisu asi, un šo vērtību varbūtības tiek attēlotas pa ordinātu asi. Skaidrības labad iegūtie punkti ir savienoti ar taisniem segmentiem. Šādu figūru sauc par sadalījuma daudzstūri (3.1. att.). Sadalījuma daudzstūris, kā arī sadalījuma rinda pilnībā raksturo nejaušo mainīgo. tā ir viena no sadales likuma formām. Dažreiz ir ērta izplatīšanas sērijas tā sauktā “mehāniskā” interpretācija. Iedomāsimies, ka noteikta masa, kas vienāda ar vienotību, tiek sadalīta pa abscisu asi tā, lai iekšā n masas tiek koncentrētas attiecīgi atsevišķos punktos 
. Tad sadalījuma sērija tiek interpretēta kā materiālu punktu sistēma ar dažām masām, kas atrodas uz abscisu ass.
Pieredze ir jebkura noteiktu nosacījumu un darbību īstenošana, saskaņā ar kurām tiek novērota pētāmā nejaušība. Eksperimentus var raksturot kvalitatīvi un kvantitatīvi. Nejaušs lielums ir lielums, kas eksperimenta rezultātā var iegūt vienu vai otru vērtību, un iepriekš nav zināms, kuru.
Nejaušie mainīgie parasti tiek apzīmēti (X,Y,Z) un atbilstošās vērtības (x,y,z)
Diskrēti ir nejauši mainīgie, kas ņem atsevišķas vērtības, kas izolētas viena no otras un kuras var pārvērtēt. Nepārtraukti daudzumi kuru iespējamās vērtības nepārtraukti aizpilda noteiktu diapazonu. Gadījuma lieluma sadalījuma likums ir jebkura sakarība, kas nosaka saikni starp iespējamām gadījuma lieluma vērtībām un atbilstošajām varbūtībām. Sadalījuma rinda un daudzstūris. Vienkāršākā diskrēta lieluma sadales likuma forma ir sadalījuma sērija. Sadalījuma sērijas grafiskā interpretācija ir sadalījuma daudzstūris.
Jūs interesējošo informāciju varat atrast arī zinātniskajā meklētājā Otvety.Online. Izmantojiet meklēšanas formu:
Vairāk par tēmu 13. Diskrēts gadījuma mainīgais. Izplatības daudzstūris. Darbības ar nejaušiem mainīgajiem, piemēram:
- 13. Diskrēts gadījuma lielums un tā sadalījuma likums. Izplatības daudzstūris. Darbības ar nejaušiem mainīgajiem. Piemērs.
- Jēdziens “nejaušais mainīgais” un tā apraksts. Diskrēts gadījuma lielums un tā sadalījuma likums (rinda). Neatkarīgi nejauši mainīgie. Piemēri.
- 14. Nejaušie lielumi, to veidi. Diskrētā gadījuma lieluma (DRV) varbūtības sadalījuma likums. Nejaušo lielumu (SV) konstruēšanas metodes.
- 16. Diskrētā gadījuma lieluma sadalījuma likums. Diskrēta gadījuma lieluma skaitliskie raksturlielumi: matemātiskā cerība, dispersija un standartnovirze.
- Matemātiskās darbības ar diskrētiem gadījuma lielumiem un KX, X"1, X + K, XV sadalījuma likumu konstruēšanas piemēri, pamatojoties uz dotajiem neatkarīgo gadījuma lielumu X un Y sadalījumiem.
- Gadījuma lieluma jēdziens. Diskrētu gadījumu sadales likums. daudzumus. Matemātiskās darbības pēc nejaušības principa. daudzumus.
5.2. Diskrēta gadījuma lieluma sadalījuma likums. Izplatības daudzstūris
No pirmā acu uzmetiena var šķist, ka, lai definētu diskrētu gadījuma lielumu, pietiek uzskaitīt visas tā iespējamās vērtības. Patiesībā tas tā nav: nejaušajiem mainīgajiem var būt vienādi iespējamo vērtību saraksti, taču to varbūtības var būt dažādas. Tāpēc, lai norādītu diskrētu gadījuma mainīgo, nepietiek ar visu tā iespējamo vērtību uzskaitījumu, ir jānorāda arī to varbūtības.
Diskrēta gadījuma lieluma sadalījuma likums izsaukt atbilstību starp iespējamām vērtībām un to varbūtībām; to var norādīt tabulas veidā, analītiski (formulas veidā) un grafiski.
Definīcija. Jebkurš noteikums (tabula, funkcija, grafiks), kas ļauj atrast patvaļīgu notikumu varbūtības A S (S– -notikumu algebra telpā ), jo īpaši, kas norāda gadījuma lieluma vai šo vērtību kopas atsevišķu vērtību varbūtības. gadījuma lieluma sadalījuma likums(vai vienkārši: izplatīšana). Par s.v. viņi saka, ka "tas pakļaujas noteiktam sadales likumam".
Ļaujiet X– d.s.v., kas ņem vērtības X 1 , X 2 , …, x n,... (šo vērtību kopa ir ierobežota vai saskaitāma) ar zināmu varbūtību lpp i, Kur i = 1,2,…, n,… Sadales likums d.s.v. ērti iestatīt, izmantojot formulu lpp i = P{X = x i) Kur i = 1,2,…, n,..., kas nosaka varbūtību, ka eksperimenta rezultātā r.v. Xņems vērtību x i. Par d.s.v. X sadales likumu var dot formā sadales tabulas:
|
x n | |||||
|
r n |
Norādot tabulā diskrēta gadījuma lieluma sadalījuma likumu, tabulas pirmajā rindā ir iespējamās vērtības, bet otrajā – to varbūtības. šādu tabulu sauc tuvu izplatīšanai.
Ņemot vērā, ka vienā izmēģinājumā nejaušais mainīgais ņem vienu un tikai vienu iespējamo vērtību, secinām, ka notikumi X = x 1 , X = x 2 , ..., X = x n izveidot pilnu grupu; tāpēc šo notikumu varbūtību summa, t.i. tabulas otrās rindas varbūtību summa ir vienāda ar vienu, tas ir .
Ja iespējamo vērtību kopa X bezgalīgi (skaitāmi), tad sērija r 1 + r 2 + ... saplūst un tā summa ir vienāda ar vienu.
Piemērs. Uz naudas loteriju ir izsniegtas 100 biļetes. Tiek izlozēts viens laimests 50 rubļu apmērā. un desmit laimesti 1 rub. Atrodiet nejauša lieluma sadalījuma likumu X– vienas loterijas biļetes īpašnieka iespējamo laimestu izmaksas.
Risinājums. Uzrakstīsim iespējamās vērtības X: X 1 = 50, X 2 = 1, X 3 = 0. Šo iespējamo vērtību varbūtības ir šādas: r 1 = 0,01, r 2 = 0,01, r 3 = 1 – (r 1 + r 2)=0,89.
Uzrakstīsim nepieciešamo izplatīšanas likumu:
Kontrole: 0,01 + 0,1 + 0,89 =1.
Piemērs. Urnā ir 8 bumbiņas, no kurām 5 ir baltas, pārējās melnas. No tā nejauši tiek izvilktas 3 bumbiņas. Atrodiet balto bumbiņu skaita sadalījuma likumu paraugā.
Risinājums. Iespējamās r.v vērtības. X– paraugā ir balto bumbiņu skaits X 1 = 0, X 2 = 1, X 3 = 2, X 4 = 3. Viņu varbūtības būs attiecīgi
;
;
.
Sadales likumu uzrakstīsim tabulas veidā.
|
|
|
|
|
Kontrole: 
.
Sadales likums d.s.v. var norādīt grafiski, ja iespējamās r.v vērtības ir attēlotas uz abscisu ass, un šo vērtību varbūtības ir attēlotas uz ordinātu ass. pārtraukta līnija, kas savieno punktus pēc kārtas ( X 1 , r 1), (X 2 , r 2),... sauc daudzstūris(vai daudzstūris) izplatīšana(skat. 5.1. att.).
Rīsi. 5.1. Izplatības daudzstūris
Tagad mēs varam sniegt precīzāku d.s.v definīciju.
Definīcija. Nejaušs mainīgais X ir diskrēts, ja ir ierobežota vai saskaitāma skaitļu kopa X 1 , X 2 , ... tāds, ka P{X = x i } = lpp i > 0 (i= 1,2,…) un lpp 1 + lpp 2 + r 3 +… = 1.
Definēsim matemātiskās operācijas ar diskrētu r.v.
Definīcija.Summa (atšķirība, strādāt) d.s.v. X, ņemot vērtības x i ar varbūtībām lpp i = P{X = x i }, i = 1, 2, …, n, un d.s.v. Y, ņemot vērtības y j ar varbūtībām lpp j = P{Y = y j }, j = 1, 2, …, m, sauc par d.s.v. Z = X + Y (Z = X – Y, Z = X Y), ņemot vērtības z ij = x i + y j (z ij = x i – y j , z ij = x i y j) ar varbūtībām lpp ij = P{X = x i , Y = y j) visām norādītajām vērtībām i Un j. Ja dažas summas sakrīt x i + y j (atšķirības x i – y j, darbojas x i y j) tiek pievienotas atbilstošās varbūtības.
Definīcija.Darbs d.s.v. ieslēgts numurs s sauc d.s.v. cX, ņemot vērtības Arx i ar varbūtībām lpp i = P{X = x i }.
Definīcija. Divi d.s.v. X Un Y tiek saukti neatkarīgs, ja notikumi ( X = x i } = A i Un ( Y = y j } = B j neatkarīgs jebkuram i = 1, 2, …, n, j = 1, 2, …, m, tas ir
Citādi r.v. sauca atkarīgi. Vairāki r.v. tiek saukti par savstarpēji neatkarīgiem, ja neviena no tiem sadalījuma likums nav atkarīgs no tā, kādas iespējamās vērtības ir ieguvuši citi lielumi.
Apskatīsim vairākus visbiežāk izmantotos izplatīšanas likumus.
