Lekcija: Krustošas, paralēlas un krustojošas līnijas; līniju perpendikularitāte

Krustošas ​​līnijas

Ja plaknē ir vairākas taisnas līnijas, tad agrāk vai vēlāk tās vai nu patvaļīgi krustosies, vai taisnā leņķī, vai būs paralēlas. Apskatīsim katru gadījumu.

Tās taisnes, kurām ir vismaz viens krustošanās punkts, var saukt par krustojošām.

Jūs varat jautāt, kāpēc vismaz viena taisne nevar šķērsot citu taisni divas vai trīs reizes. Tev taisnība! Bet taisnas līnijas var pilnībā sakrist viena ar otru. Šajā gadījumā būs bezgalīgi daudz kopīgu punktu.

Paralēlisms

Paralēli Jūs varat nosaukt tās līnijas, kuras nekad nekrustosies pat bezgalībā.

Citiem vārdiem sakot, paralēli ir tie, kuriem nav viena kopīga punkta. Lūdzu, ņemiet vērā, ka šī definīcija ir spēkā tikai tad, ja taisnes atrodas vienā plaknē, bet, ja tām nav kopīgu punktu, atrodoties dažādās plaknēs, tad tās tiek uzskatītas par krustojošām.

Paralēlu līniju piemēri dzīvē: divas pretējās monitora ekrāna malas, līnijas piezīmjdatoros, kā arī daudzas citas lietu daļas, kurām ir kvadrāta, taisnstūra un citas formas.

Ja viņi vēlas rakstiski parādīt, ka viena rinda ir paralēla citai, viņi izmanto šādu apzīmējumu a||b. Šis ieraksts saka, ka līnija a ir paralēla līnijai b.

Studējot šo tēmu, ir svarīgi saprast vēl vienu apgalvojumu: caur noteiktu punktu plaknē, kas nepieder noteiktai taisnei, var novilkt vienu paralēlu līniju. Bet pievērsiet uzmanību, atkal korekcija ir lidmašīnā. Ja ņemam vērā trīsdimensiju telpu, tad mēs varam novilkt bezgalīgi daudz līniju, kas nekrustos, bet krustosies.

Iepriekš aprakstītais apgalvojums tiek saukts paralēlu līniju aksioma.

Perpendikularitāte

Tiešās līnijas var izsaukt tikai tad, ja perpendikulāri, ja tie krustojas leņķī, kas vienāds ar 90 grādiem.

Telpā caur noteiktu punktu uz līnijas var novilkt bezgalīgu skaitu perpendikulāru līniju. Tomēr, ja mēs runājam par plakni, tad caur vienu punktu uz līnijas var novilkt vienu perpendikulāru līniju.

Šķērsotas taisnas līnijas. Sekants

Ja dažas taisnes krustojas noteiktā punktā patvaļīgā leņķī, tās var izsaukt krustošanās.

Jebkurām krustojošām līnijām ir vertikāli un blakus esošie leņķi.

Ja leņķiem, ko veido divas krustojošās taisnes, ir viena kopīga puse, tad tos sauc par blakus esošajiem:

Blakus esošie leņķi tiek pievienoti līdz 180 grādiem.

Teorēma. Ja viena taisne atrodas dotajā plaknē un cita taisne šķērso šo plakni punktā, kas nepieder pirmajai taisnei, tad šīs divas taisnes krustojas. Šķērsošanas līniju zīme Pierādījums. Ļaujiet līnijai a atrodas plaknē, un taisne b krusto plakni punktā B, kas nepieder pie taisnes a. Ja taisnes a un b atrastos vienā plaknē, tad šajā plaknē atrastos arī punkts B. Tā kā taisnei iet tikai viena plakne un punkts ārpus šīs taisnes, tad šai plaknei ir jābūt plaknei. Bet tad taisne b atrastos plaknē, kas ir pretrunā ar nosacījumu. Līdz ar to taisnes a un b neatrodas vienā plaknē, t.i. krustojas.

Cik ir šķību līniju pāru, kas satur regulāras trīsstūra prizmas malas? Risinājums: katrai pamatnes malai ir trīs malas, kas ar to krustojas. Katrai sānu malai ir divas ribas, kas ar to krustojas. Tāpēc nepieciešamais šķību līniju pāru skaits ir 5. uzdevums

Cik ir šķību līniju pāru, kas satur regulāras sešstūra prizmas malas? Risinājums: Katra pamatu mala piedalās 8 krustošanās līniju pāros. Katra sānu mala piedalās 8 krustošanās līniju pāros. Tāpēc nepieciešamais šķību līniju pāru skaits ir 6. uzdevums

Divu līniju relatīvais novietojums telpā.

Divu līniju relatīvo stāvokli telpā raksturo šādas trīs iespējas.

Līnijas atrodas vienā plaknē un tām nav kopīgu punktu - paralēlas līnijas.

Līnijas atrodas vienā plaknē, un tām ir viens kopīgs punkts - līnijas krustojas.

Telpā divas taisnas līnijas var atrasties arī tā, lai tās neatrastos nevienā plaknē. Šādas līnijas sauc par šķībām (tās nekrustojas vai ir paralēlas).

PIEMĒRS:

434. UZDEVUMS Trijstūris ABC atrodas plaknē, a

Trijstūris ABC atrodas plaknē, bet punkts D neatrodas šajā plaknē. Punkti M, N un K ir attiecīgi segmentu DA, DB un DC viduspunkti

Teorēma. Ja viena no divām taisnēm atrodas noteiktā plaknē, bet otra šķērso šo plakni punktā, kas neatrodas pirmajā taisnē, tad šīs taisnes krustojas.

Attēlā 26 taisne a atrodas plaknē, un taisne c krustojas punktā N. Taisnes a un c krustojas.

Teorēma. Caur katru no divām krustojošām taisnēm iet tikai viena plakne, kas ir paralēla otrai taisnei.

Attēlā 26 taisnes a un b krustojas. Tiek novilkta taisne un novilkta plakne (alfa) || b (plaknē B (beta) ir norādīta taisne a1 || b).

Teorēma 3.2.

Divas taisnes, kas ir paralēlas trešajai, ir paralēlas.

Šo īpašumu sauc tranzitivitāte līniju paralēlisms.

Pierādījums

Ļaujiet taisnēm a un b vienlaikus būt paralēlas taisnei c. Pieņemsim, ka a nav paralēla b, tad taisne a krusto taisni b kādā punktā A, kas pēc nosacījuma neatrodas uz taisnes c. Līdz ar to mums ir divas taisnes a un b, kas iet caur punktu A, neatrodas uz dotās taisnes c un tajā pašā laikā ir tai paralēlas. Tas ir pretrunā ar 3.1. aksiomu. Teorēma ir pierādīta.

Teorēma 3.3.

Caur punktu, kas neatrodas uz noteiktas taisnes, paralēli dotajai var novilkt vienu un tikai vienu taisni.

Pierādījums

Lai (AB) ir dota taisne, C punkts, kas uz tās neatrodas. Līnija AC sadala plakni divās pusplaknēs. Vienā no tiem atrodas punkts B. Saskaņā ar 3.2. aksiomu ir iespējams novietot leņķi (ACD) no stara C A vienādu ar leņķi (CAB) citā pusplaknē. ACD un CAB ir vienādi iekšēji šķērsām ar taisnēm AB un CD un sekantu (AC) Tad pēc teorēmas 3.1 (AB) || (CD). Ņemot vērā aksiomu 3.1. Teorēma ir pierādīta.

Paralēlu līniju īpašība tiek dota ar sekojošu teorēmu, pretēji teorēmai 3.1.

Teorēma 3.4.

Ja divas paralēlas līnijas krusto trešā taisne, tad krustojošie iekšējie leņķi ir vienādi.

Pierādījums

Let (AB) || (CD). Pieņemsim, ka ACD ≠ BAC. Caur punktu A novelkam taisni AE tā, lai EAC = ACD. Bet tad, pēc teorēmas 3.1 (AE ) || (CD ), un pēc nosacījuma – (AB ) || (CD). Saskaņā ar 3.2. teorēmu (AE ) || (AB). Tas ir pretrunā ar teorēmu 3.3, saskaņā ar kuru caur punktu A, kas neatrodas uz taisnes CD, var novilkt unikālu līniju, kas ir paralēla tam. Teorēma ir pierādīta.

Attēls 3.3.1.

Pamatojoties uz šo teorēmu, var viegli pamatot šādas īpašības.

Ja divas paralēlas taisnes krustojas ar trešo taisni, tad attiecīgie leņķi ir vienādi.

Ja divas paralēlas līnijas krusto trešā taisne, tad iekšējo vienpusējo leņķu summa ir 180°.

Secinājums 3.2.

Ja taisne ir perpendikulāra vienai no paralēlajām taisnēm, tad tā ir perpendikulāra arī otrai.

Paralēlisma jēdziens ļauj ieviest šādu jaunu jēdzienu, kas būs nepieciešams vēlāk 11. nodaļā.

Divus starus sauc vienlīdz vērsta, ja ir tāda taisne, ka, pirmkārt, tie ir perpendikulāri šai taisnei, un, otrkārt, stari atrodas vienā pusplaknē attiecībā pret šo taisni.

Divus starus sauc pretēji vērsta, ja katrs no tiem ir vienādi vērsts ar otru komplementāru staru.

Apzīmēsim vienādi vērstus starus AB un CD: un pretējā virzienā vērstus starus AB un CD -

Attēls 3.3.2.

Līniju šķērsošanas zīme.

Ja viena no divām taisnēm atrodas noteiktā plaknē un otra taisne šķērso šo plakni punktā, kas neatrodas pirmajā taisnē, tad šīs taisnes krustojas.

Līniju savstarpējas izkārtošanās gadījumi telpā.

1. Ir četri dažādi divu līniju izvietojuma gadījumi telpā:

   
   

   – taisnais krustojums, t.i. neguļ vienā plaknē;

   – taisnes krustojas, t.i. atrodas vienā plaknē un tiem ir viens kopīgs punkts;

   – paralēlas līnijas, t.i. atrodas vienā plaknē un nekrustojas;

   - līnijas sakrīt.

   
   

   Iegūsim šo ar kanonisko vienādojumu doto līniju relatīvās pozīcijas gadījumu raksturlielumus

   
   
   Kur — punkti, kas pieder līnijām Un attiecīgi a— virziena vektori (4.34. att.). Apzīmēsim arvektors, kas savieno dotos punktus.
   
   

   Sekojošie raksturlielumi atbilst iepriekš uzskaitītajiem līniju relatīvā novietojuma gadījumiem:

   
   

   – taisnie un krustojuma vektori nav koplanāri;

   
   

   – taisnes un krustojošie vektori ir koplanāri, bet vektori nav kolineāri;

   
   

   – tiešie un paralēlie vektori ir kolineāri, bet vektori nav kolineāri;

   
   

   – taisnes un sakritības vektori ir kolineāri.

   
   

   Šos nosacījumus var uzrakstīt, izmantojot jaukto un vektorproduktu īpašības. Atgādiniet, ka vektoru jaukto reizinājumu labās taisnstūra koordinātu sistēmā atrod pēc formulas:

   
   
   un determinants krustojas ir nulle, un tā otrā un trešā rinda nav proporcionālas, t.i.
   

   – taisnas un paralēlas determinanta otrā un trešā līnija ir proporcionālas, t.i. un pirmās divas rindas nav proporcionālas, t.i.

   
   

   – taisnes un visas determinanta taisnes sakrīt un ir proporcionālas, t.i.

Slīpās līnijas testa pierādījums.

Ja viena no divām taisnēm atrodas plaknē, bet otra šķērso šo plakni punktā, kas nepieder pirmajai taisnei, tad šīs divas taisnes krustojas.

Pierādījums

Lai a pieder pie α, b krustojas ar α = A, A nepieder pie a (Zīmējums 2.1.2.). Pieņemsim, ka taisnes a un b nekrustojas, tas ir, tās krustojas. Tad eksistē plakne β, kurai pieder taisnes a un b. Šajā plaknē β atrodas taisne a un punkts A. Tā kā taisne a un punkts A ārpus tās nosaka vienu plakni, tad β = α. Bet b dzen β un b nepieder pie α, tāpēc vienādība β = α nav iespējama.

Ja divām līnijām telpā ir kopīgs punkts, tad tiek uzskatīts, ka šīs divas līnijas krustojas. Nākamajā attēlā taisnes a un b krustojas punktā A. Taisnes a un c nekrustojas.

Jebkurām divām taisnēm ir tikai viens kopīgs punkts, vai arī tām nav kopīgu punktu.

Paralēlas līnijas

Divas līnijas telpā sauc par paralēlām, ja tās atrodas vienā plaknē un nekrustojas. Lai apzīmētu paralēlas līnijas, izmantojiet īpašu ikonu - ||.

Apzīmējums a||b nozīmē, ka taisne a ir paralēla taisnei b. Iepriekš parādītajā attēlā līnijas a un c ir paralēlas.

Paralēlo līniju teorēma

Caur jebkuru telpas punktu, kas neatrodas uz noteiktas taisnes, iet tai paralēla taisne un turklāt tikai viena.

Līniju šķērsošana

Divas taisnes, kas atrodas vienā plaknē, var krustoties vai būt paralēlas. Bet telpā divas taisnas līnijas ne vienmēr pieder šai plaknei. Tās var atrasties divās dažādās plaknēs.

Ir skaidrs, ka līnijas, kas atrodas dažādās plaknēs, nekrustojas un nav paralēlas līnijas. Tiek izsauktas divas līnijas, kas neatrodas vienā plaknē šķērsojot taisnas līnijas.

Nākamajā attēlā parādītas divas krustojošas taisnes a un b, kas atrodas dažādās plaknēs.

Pārbaudījums un teorēma par šķībām līnijām

Ja viena no divām taisnēm atrodas noteiktā plaknē un otra taisne šķērso šo plakni punktā, kas neatrodas pirmajā taisnē, tad šīs taisnes krustojas.

Teorēma par šķībām līnijām: caur katru no divām krustojošām taisnēm iet plakne, kas ir paralēla otrai taisnei, turklāt tikai viena.

Tādējādi mēs esam apsvēruši visus iespējamos līniju relatīvo pozīciju gadījumus telpā. Tās ir tikai trīs.

1. Līnijas krustojas. (Tas ir, tiem ir tikai viens kopīgs punkts.)

2. Līnijas ir paralēlas. (Tas ir, tiem nav kopīgu punktu un tie atrodas vienā plaknē.)

3. Taisnas līnijas krustojas. (Tas ir, tie atrodas dažādās plaknēs.)