Šodien viņa ir pelnījusi tikt dziedāta dzejā
Vietas teorēma par sakņu īpašībām.
Kas ir labāk, pastāstiet man, šāda konsekvence:
Jūs pavairojāt saknes - un frakcija ir gatava
Skaitītājā Ar, saucējā A.
Un arī frakcijas sakņu summa ir vienāda
Pat ar mīnusu šo daļu
Kāda problēma
Skaitītājos V, saucējā A.
(No skolas folkloras)
Epigrāfā Fransuā Vietas ievērojamā teorēma nav sniegta pilnīgi precīzi. Patiesībā mēs varam rakstīt kvadrātvienādojums, kam nav sakņu, un pierakstiet to summu un reizinājumu. Piemēram, vienādojumam x 2 + 2x + 12 = 0 nav reālu sakņu. Bet, izmantojot formālu pieeju, mēs varam pierakstīt to reizinājumu (x 1 · x 2 = 12) un summu (x 1 + x 2 = -2). Mūsu panti atbildīs teorēmai ar piebildi: “ja vienādojumam ir saknes”, t.i. D ≥ 0.
Pirmais šīs teorēmas praktiskais pielietojums ir izveidot kvadrātvienādojumu, kuram ir dotas saknes. Otrkārt, tas ļauj mutiski atrisināt daudzus kvadrātvienādojumus. Skolas mācību grāmatas galvenokārt koncentrējas uz šo prasmju attīstīšanu.
Šeit mēs aplūkosim sarežģītākas problēmas, kas atrisinātas, izmantojot Vietas teorēmu.
1. piemērs.
Viena no vienādojuma 5x 2 – 12x + c = 0 saknēm ir trīs reizes lielāka par otro. Atrast s.
Risinājums.
Lai otrā sakne ir x 2.
Tad pirmā sakne x1 = 3x2.
Saskaņā ar Vietas teorēmu sakņu summa ir 12/5 = 2,4.
Izveidosim vienādojumu 3x 2 + x 2 = 2,4.
Tādējādi x 2 = 0,6. Tāpēc x 1 = 1,8.
Atbilde: c = (x 1 x 2) a = 0,6 1,8 5 = 5,4.
2. piemērs.
Ir zināms, ka x 1 un x 2 ir vienādojuma x 2 saknes – 8x + p = 0, ar 3x 1 + 4x 2 = 29. Atrodiet p.
Risinājums.
Saskaņā ar Vietas teorēmu x 1 + x 2 = 8 un pēc nosacījuma 3x 1 + 4x 2 = 29.
Atrisinot šo divu vienādojumu sistēmu, mēs atrodam vērtību x 1 = 3, x 2 = 5.
Un tāpēc p = 15.
Atbilde: p = 15.
3. piemērs.
Neaprēķinot saknes vienādojumam 3x 2 + 8 x – 1 = 0, atrodiet x 1 4 + x 2 4
Risinājums.
Ņemiet vērā, ka pēc Vietas teorēmas x 1 + x 2 = -8/3 un x 1 x 2 = -1/3 un pārveidojiet izteiksmi
a) x 1 4 + x 2 4 = (x 1 2 + x 2 2) 2 – 2 x 1 2 x 2 2 = ((x 1 + x 2) 2 – 2 x 1 x 2) 2 – 2 (x 1 x 2) 2 = ((-8/3) 2 - 2 · (-1/3)) 2 - 2 · (-1/3) 2 = 4898/9
Atbilde: 4898/9.
4. piemērs.
Pie kādām parametra a vērtībām ir atšķirība starp vienādojuma lielāko un mazāko sakni
2x 2 – (a + 1)x + (a – 1) = 0 ir vienāds ar to reizinājumu.
Risinājums.
Šis ir kvadrātvienādojums. Tam būs 2 dažādas saknes, ja D > 0. Citiem vārdiem sakot, (a + 1) 2 – 8(a – 1) > 0 vai (a – 3) 2 > 0. Tāpēc mums ir 2 saknes visiem a, jo izņemot a = 3.
Noteiktības labad pieņemsim, ka x 1 > x 2 un iegūsim x 1 + x 2 = (a + 1)/2 un x 1 x 2 = (a – 1)/2. Pamatojoties uz uzdevuma nosacījumiem x 1 – x 2 = (a – 1)/2. Vienlaicīgi jāizpilda visi trīs nosacījumi. Apskatīsim pirmo un pēdējo vienādojumu kā sistēmu. To var viegli atrisināt ar algebrisko pievienošanu.
Mēs iegūstam x 1 = a/2, x 2 = 1/2. Pārbaudīsim, ko A tiks izpildīta otrā vienādība: x 1 · x 2 = (a – 1)/2. Aizstāsim iegūtās vērtības, un mums būs: a/4 = (a – 1)/2. Tad a = 2. Ir skaidrs, ka ja a = 2, tad visi nosacījumi ir izpildīti.
Atbilde: kad a = 2.
5. piemērs.
Kas ir vienāds ar mazākā vērtība a, kurā vienādojuma sakņu summa
x 2 – 2a(x – 1) – 1 = 0 ir vienāds ar tā sakņu kvadrātu summu.
Risinājums.
Vispirms izveidosim vienādojumu kanoniskā formā: x 2 – 2ax + 2a – 1 = 0. Tam būs saknes, ja D/4 ≥ 0. Tāpēc: a 2 – (2a – 1) ≥ 0. Vai (a – 1 ) 2 ≥ 0. Un šis nosacījums ir spēkā jebkuram a.
Pielietosim Vietas teorēmu: x 1 + x 2 = 2a, x 1 x 2 = 2a – 1. Aprēķināsim
x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 – 2 x 1 x 2. Vai arī pēc aizstāšanas x 1 2 + x 2 2 = (2a) 2 – 2 · (2a – 1) = 4a 2 – 4a + 2. Atliek izveidot vienādību, kas atbilst uzdevuma nosacījumiem: x 1 + x 2 = x 1 2 + x 2 2 . Iegūstam: 2a = 4a 2 – 4a + 2. Šim kvadrātvienādojumam ir 2 saknes: a 1 = 1 un a 2 = 1/2. Mazākais no tiem ir –1/2.
Atbilde: 1/2.
6. piemērs.
Atrodiet sakarību starp vienādojuma ax 2 + bx + c = 0 koeficientiem, ja tā sakņu kubu summa ir vienāda ar šo sakņu kvadrātu reizinājumu.
Risinājums.
Mēs pieņemsim, ka šim vienādojumam ir saknes, un tāpēc tam var piemērot Vietas teorēmu.
Tad uzdevuma nosacījums tiks uzrakstīts šādi: x 1 3 + x 2 3 = x 1 2 · x 2 2. Vai arī: (x 1 + x 2) (x 1 2 – x 1 x 2 + x 2 2) = (x 1 x 2) 2.
Otrais faktors ir jāpārvērš. x 1 2 – x 1 x 2 + x 2 2 = ((x 1 + x 2) 2 – 2 x 1 x 2) – x 1 x 2.
Mēs iegūstam (x 1 + x 2) ((x 1 + x 2) 2 – 3x 1 x 2) = (x 1 x 2) 2. Atliek nomainīt sakņu summas un produktus caur koeficientiem.
(-b/a)((b/a) 2–3 c/a) = (c/a) 2 . Šo izteiksmi var viegli pārvērst formā b(3ac – b 2)/a = c 2. Attiecības ir atrastas.
komentēt. Jāņem vērā, ka iegūto sakarību ir jēga izskatīt tikai pēc tam, kad ir izpildīta otra: D ≥ 0.
7. piemērs.
Atrodiet mainīgā a vērtību, kurai vienādojuma x 2 + 2ax + 3a 2 – 6a – 2 = 0 sakņu kvadrātu summa ir lielākā vērtība.
Risinājums.
Ja šim vienādojumam ir saknes x 1 un x 2, tad to summa ir x 1 + x 2 = -2a, un reizinājums x 1 x 2 = 3a 2 – 6a – 2.
Mēs aprēķinām x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 – 2x 1 x 2 = (-2a) 2 – 2(3a 2 – 6a – 2) = -2a 2 + 12a + 4 = -2 (a – 3) 2 + 22.
Tagad ir skaidrs, ka šis izteiciens tiek pieņemts augstākā vērtība pie a = 3.
Atliek pārbaudīt, vai sākotnējam kvadrātvienādojumam tiešām ir saknes pie a = 3. Pārbaudām ar aizstāšanu un iegūstam: x 2 + 6x + 7 = 0 un tam D = 36 – 28 > 0.
Tāpēc atbilde ir: ja a = 3.
8. piemērs.
Vienādojumam 2x 2 – 7x – 3 = 0 ir saknes x 1 un x 2. Atrodi trīskāršoto koeficientu summu dotajam kvadrātvienādojumam, kura saknes ir skaitļi X 1 = 1/x 1 un X 2 = 1/x 2. (*)
Risinājums.
Acīmredzot x 1 + x 2 = 7/2 un x 1 x 2 = -3/2. Sastādīsim otro vienādojumu no tā saknēm formā x 2 + px + q = 0. Lai to izdarītu, mēs izmantojam Vietas teorēmas apgriezto variantu. Mēs iegūstam: p = -(X 1 + X 2) un q = X 1 · X 2.
Pēc aizvietošanas šajās formulās, pamatojoties uz (*), tad: p = -(x 1 + x 2)/(x 1 x 2) = 7/3 un q = 1/(x 1 x 2) = - 2 /3.
Nepieciešamais vienādojums būs šāds: x 2 + 7/3 x – 2/3 = 0. Tagad mēs varam viegli aprēķināt tā koeficientu trīskāršoto summu:
3(1 + 7/3 – 2/3) = 8. Atbilde ir saņemta.
Vai joprojām ir jautājumi? Vai neesat pārliecināts, kā izmantot Vietas teorēmu?
Lai saņemtu palīdzību no pasniedzēja -.
Pirmā nodarbība bez maksas!
blog.site, kopējot materiālu pilnībā vai daļēji, ir nepieciešama saite uz oriģinālo avotu.
Pirmkārt, formulēsim pašu teorēmu: Iegūsim reducētu kvadrātvienādojumu formā x^2+b*x + c = 0. Pieņemsim, ka šajā vienādojumā ir saknes x1 un x2. Tad saskaņā ar teorēmu ir spēkā šādi apgalvojumi:
1) Sakņu x1 un x2 summa būs vienāda ar koeficienta b negatīvo vērtību.
2) Šo pašu sakņu reizinājums dos mums koeficientu c.
Bet kāds ir dotais vienādojums?
Reducēts kvadrātvienādojums ir kvadrātvienādojums, kura augstākās pakāpes koeficients ir vienāds ar vienu, t.i. šis ir vienādojums formā x^2 + b*x + c = 0. (un vienādojums a*x^2 + b*x + c = 0 ir nereducēts). Citiem vārdiem sakot, lai vienādojumu izveidotu dotajā formā, mums šis vienādojums ir jāsadala ar lielākās pakāpes koeficientu (a). Uzdevums ir izveidot šo vienādojumu šādā formā:
3*x^2 12*x + 18 = 0;
−4*x^2 + 32*x + 16 = 0;
1,5*x^2 + 7,5*x + 3 = 0; 2*x^2 + 7*x − 11 = 0.
Izdalot katru vienādojumu ar augstākās pakāpes koeficientu, iegūstam:
X^2 4*x + 6 = 0; X^2 8*x − 4 = 0; X^2 + 5*x + 2 = 0;
X^2 + 3,5*x − 5,5 = 0.
Kā redzams piemēros, pat vienādojumus, kas satur daļskaitļus, var reducēt līdz norādītajai formai.
Izmantojot Vietas teorēmu
X^2 5*x + 6 = 0 ⇒ x1 + x2 = − (−5) = 5; x1*x2 = 6;
mēs iegūstam saknes: x1 = 2; x2 = 3;
X^2 + 6*x + 8 = 0 ⇒ x1 + x2 = -6; x1*x2 = 8;
rezultātā iegūstam saknes: x1 = -2 ; x2 = -4;
X^2 + 5*x + 4 = 0 ⇒ x1 + x2 = –5; x1*x2 = 4;
iegūstam saknes: x1 = −1; x2 = –4.
Vietas teorēmas nozīme
Vietas teorēma ļauj gandrīz sekundēs atrisināt jebkuru kvadrātvienādojumu. No pirmā acu uzmetiena šķiet, ka tas ir diezgan grūts uzdevums, taču pēc 5 10 vienādojumiem jūs varat iemācīties saskatīt saknes uzreiz.
No sniegtajiem piemēriem un izmantojot teorēmu ir skaidrs, kā var būtiski vienkāršot kvadrātvienādojumu atrisināšanu, jo, izmantojot šo teorēmu, kvadrātvienādojumu var atrisināt praktiski bez sarežģītiem aprēķiniem un diskriminanta aprēķināšanas, un, kā zināms, mazāk aprēķinu, jo grūtāk ir kļūdīties, kas ir svarīgi.
Visos piemēros mēs izmantojām šo noteikumu, pamatojoties uz diviem svarīgiem pieņēmumiem:
Dotais vienādojums, t.i. augstākās pakāpes koeficients ir vienāds ar vienu (no šī nosacījuma ir viegli izvairīties. Var izmantot vienādojuma nereducēto formu, tad derīgi būs šādi apgalvojumi x1+x2=-b/a; x1*x2=c/ a, bet tas parasti ir grūtāk atrisināms :))
Kad vienādojumā ir divi dažādas saknes. Mēs pieņemam, ka nevienlīdzība ir patiesa un diskriminants ir stingri lielāks par nulli.
Tāpēc mēs varam samierināties vispārējs algoritms risinājumus, izmantojot Vietas teorēmu.
Vispārīgais risinājuma algoritms, izmantojot Vietas teorēmu
Kvadrātvienādojumu reducējam uz reducētu formu, ja vienādojums mums ir dots nereducētā formā. Kad koeficienti kvadrātvienādojumā, ko mēs iepriekš uzrādījām kā dotu, izrādās daļskaitļi (nevis decimāldaļskaitļi), tad šajā gadījumā mūsu vienādojums ir jāatrisina, izmantojot diskriminantu.
Ir arī gadījumi, kad atgriešanās pie sākotnējā vienādojuma ļauj strādāt ar “ērtiem” skaitļiem.
Vietas teorēma (precīzāk, teorēma, kas ir apgriezta Vietas teorēmai) ļauj samazināt kvadrātvienādojumu atrisināšanas laiku. Jums vienkārši jāzina, kā to izmantot. Kā iemācīties atrisināt kvadrātvienādojumus, izmantojot Vietas teorēmu? Tas nav grūti, ja par to nedaudz padomā.
Tagad mēs runāsim tikai par reducētā kvadrātvienādojuma atrisināšanu, izmantojot Vietas teorēmu. Reducēts kvadrātvienādojums ir vienādojums, kurā a, tas ir, x² koeficients ir vienāds ar vienu. Ir iespējams atrisināt arī kvadrātvienādojumus, kas nav doti, izmantojot Vietas teorēmu, bet vismaz viena no saknēm nav vesels skaitlis. Tos ir grūtāk uzminēt.
Vietas teorēmas apgrieztā teorēma nosaka: ja skaitļi x1 un x2 ir tādi, ka
tad x1 un x2 ir kvadrātvienādojuma saknes
Atrisinot kvadrātvienādojumu, izmantojot Vietas teorēmu, ir iespējami tikai 4 varianti. Ja atceraties argumentācijas līniju, jūs varat ļoti ātri iemācīties atrast veselas saknes.
I. Ja q ir pozitīvs skaitlis,
tas nozīmē, ka saknes x1 un x2 ir vienas zīmes skaitļi (jo tikai reizinot skaitļus ar vienādām zīmēm, tiek iegūts pozitīvs skaitlis).
I.a. Ja -p ir pozitīvs skaitlis, (attiecīgi, lpp<0), то оба корня x1 и x2 — положительные числа (поскольку складывали числа одного знака и получили положительное число).
I.b. Ja -p - negatīvs skaitlis, (attiecīgi p>0), tad abas saknes ir negatīvi skaitļi (pievienojām vienas zīmes skaitļus un ieguvām negatīvu skaitli).
II. Ja q ir negatīvs skaitlis,
tas nozīmē, ka saknēm x1 un x2 ir dažādas zīmes (reizinot skaitļus, negatīvu skaitli iegūst tikai tad, ja faktoru zīmes ir atšķirīgas). Šajā gadījumā x1+x2 vairs nav summa, bet gan starpība (galu galā, saskaitot skaitļus ar dažādas zīmes mēs atņemam mazāko no lielākā). Tāpēc x1+x2 parāda, cik ļoti atšķiras saknes x1 un x2, tas ir, cik viena sakne ir lielāka par otru (absolūtā vērtībā).
II.a. Ja -p ir pozitīvs skaitlis, (tas ir, lpp<0), то больший (по модулю) корень — положительное число.
II.b. Ja -p ir negatīvs skaitlis, (p>0), tad lielākā (modulo) sakne ir negatīvs skaitlis.
Apsvērsim kvadrātvienādojumu risināšanu, izmantojot Vietas teorēmu, izmantojot piemērus.
Atrisiniet doto kvadrātvienādojumu, izmantojot Vietas teorēmu:
Šeit q=12>0, tātad saknes x1 un x2 ir vienas zīmes skaitļi. To summa ir -p=7>0, tātad abas saknes ir pozitīvi skaitļi. Mēs izvēlamies veselus skaitļus, kuru reizinājums ir vienāds ar 12. Tie ir 1 un 12, 2 un 6, 3 un 4. Pārim 3 un 4 summa ir 7. Tas nozīmē, ka 3 un 4 ir vienādojuma saknes.
Šajā piemērā q=16>0, kas nozīmē, ka saknes x1 un x2 ir vienas zīmes skaitļi. To summa ir -p=-10<0, поэтому оба корня — отрицательные числа. Подбираем числа, произведение которых равно 16. Это 1 и 16, 2 и 8, 4 и 4. Сумма 2 и 8 равна 10, а раз нужны отрицательные числа, то искомые корни — это -2 и -8.
Šeit q=-15<0, что означает, что корни x1 и x2 — числа разных знаков. Поэтому 2 — это уже не их сумма, а разность, то есть числа отличаются на 2. Подбираем числа, произведение которых равно 15, отличающиеся на 2. Произведение равно 15 у 1 и 15, 3 и 5. Отличаются на 2 числа в паре 3 и 5. Поскольку -p=2>0, tad lielākais skaitlis ir pozitīvs. Tātad saknes ir 5 un -3.
q=-36<0, значит, корни x1 и x2 имеют разные знаки. Тогда 5 — это то, насколько отличаются x1 и x2 (по модулю, то есть пока что без учета знака). Среди чисел, произведение которых равно 36: 1 и 36, 2 и 18, 3 и 12, 4 и 9 — выбираем пару, в которой числа отличаются на 5. Это 4 и 9. Осталось определить их знаки. Поскольку -p=-5<0, бОльшее число имеет знак минус. Поэтому корни данного уравнения равны -9 и 4.
Starp kvadrātvienādojuma saknēm un koeficientiem papildus sakņu formulām ir arī citas noderīgas attiecības, kas tiek dotas Vietas teorēma. Šajā rakstā mēs sniegsim Vjetas teorēmas formulējumu un pierādījumu kvadrātvienādojumam. Tālāk mēs uzskatām, ka teorēma ir pretēja Vietas teorēmai. Pēc tam mēs analizēsim tipiskāko piemēru risinājumus. Visbeidzot, mēs pierakstām Vieta formulas, kas nosaka attiecības starp reālajām saknēm algebriskais vienādojums n grāds un tā koeficienti.
Lapas navigācija.
Vietas teorēma, formulējums, pierādījums
No formas kvadrātvienādojuma a·x 2 +b·x+c=0 sakņu formulām, kur D=b 2 −4·a·c, izriet šādas attiecības: x 1 +x 2 =− b/a, x 1 · x 2 = c/a . Šie rezultāti tiek apstiprināti Vietas teorēma:
Teorēma.
Ja x 1 un x 2 ir kvadrātvienādojuma a x 2 +b x+c=0 saknes, tad sakņu summa ir vienāda ar koeficientu b un a attiecību, kas ņemta ar pretēju zīmi, un reizinājumu saknes ir vienādas ar koeficientu c un a attiecību, tas ir, .
Pierādījums.
Vietas teorēmas pierādīšanu veiksim pēc šādas shēmas: sastādām kvadrātvienādojuma sakņu summu un reizinājumu, izmantojot zināmās sakņu formulas, pēc tam pārveidojam iegūtās izteiksmes un pārliecināmies, ka tās ir vienādas ar −b/ a un c/a, attiecīgi.
Sāksim ar sakņu summu un veidosim to. Tagad mēs apvienojam daļskaitļus līdz kopsaucējam, mums ir . Rezultātā iegūtās daļskaitļa skaitītājā, pēc kura:. Visbeidzot, pēc 2, mēs iegūstam . Tas pierāda Vietas teorēmas pirmo sakarību kvadrātvienādojuma sakņu summai. Pārejam pie otrā.
Sastādām kvadrātvienādojuma sakņu reizinājumu: . Saskaņā ar daļskaitļu reizināšanas likumu pēdējo reizinājumu var rakstīt kā . Tagad mēs reizinām iekavu ar iekava skaitītājā, taču šo produktu ir ātrāk sakļaut par kvadrātveida atšķirības formula, Tātad. Tad, atceroties, mēs veicam nākamo pāreju. Un tā kā kvadrātvienādojuma diskriminants atbilst formulai D=b 2 −4·a·c, tad pēdējā daļā D vietā varam aizstāt b 2 −4·a·c, iegūstam. Atverot iekavas un ienesot līdzīgus terminus, mēs nonākam pie daļskaitļa , un tās samazināšana par 4·a dod . Tas pierāda otro Vietas teorēmas sakarību sakņu reizinājumam.
Ja izlaidīsim paskaidrojumus, Vietas teorēmas pierādījums iegūs lakonisku formu:
,
.
Atliek tikai atzīmēt, ka, ja diskriminants ir vienāds ar nulli, kvadrātvienādojumam ir viena sakne. Taču, ja pieņemam, ka vienādojumam šajā gadījumā ir divas identiskas saknes, tad spēkā ir arī Vietas teorēmas vienādības. Patiešām, ja D=0 kvadrātvienādojuma sakne ir vienāda ar , tad un , un tā kā D=0, tas ir, b 2 −4·a·c=0, no kurienes b 2 =4·a·c, tad .
Praksē Vietas teorēmu visbiežāk izmanto attiecībā uz reducēto kvadrātvienādojumu (ar vadošo koeficientu a vienāds ar 1) formā x 2 +p·x+q=0. Dažreiz tas tiek formulēts tikai šāda veida kvadrātvienādojumiem, kas neierobežo vispārīgumu, jo jebkuru kvadrātvienādojumu var aizstāt ar līdzvērtīgu vienādojumu, abas puses dalot ar skaitli, kas nav nulle a. Sniegsim atbilstošo Vietas teorēmas formulējumu:
Teorēma.
Reducētā kvadrātvienādojuma sakņu summa x 2 +p x+q=0 ir vienāda ar koeficientu x, kas ņemts ar pretēju zīmi, un sakņu reizinājums ir vienāds ar brīvo terminu, tas ir, x 1 +x 2 =-p, x 1 x 2 = q.
Teorēma ir pretēja Vietas teorēmai
Otrais Vietas teorēmas formulējums, kas sniegts iepriekšējā punktā, norāda, ka, ja x 1 un x 2 ir reducētā kvadrātvienādojuma x 2 +p x+q=0 saknes, tad attiecības x 1 +x 2 =−p , x 1 x 2 =q. Savukārt no uzrakstītajām attiecībām x 1 +x 2 =−p, x 1 x 2 =q izriet, ka x 1 un x 2 ir kvadrātvienādojuma x 2 +p x+q=0 saknes. Citiem vārdiem sakot, Vietas teorēmas otrādi ir taisnība. Formulēsim to teorēmas veidā un pierādīsim.
Teorēma.
Ja skaitļi x 1 un x 2 ir tādi, ka x 1 +x 2 =−p un x 1 · x 2 =q, tad x 1 un x 2 ir reducētā kvadrātvienādojuma x 2 +p · x+q saknes. =0.
Pierādījums.
Pēc koeficientu p un q aizstāšanas vienādojumā x 2 +p·x+q=0 ar to izteiksmēm caur x 1 un x 2, tas tiek pārveidots par līdzvērtīgu vienādojumu.
Aizstāsim iegūtajā vienādojumā skaitli x 1, nevis x, un mums būs vienādība x 1 2 − (x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 =0, kas jebkuram x 1 un x 2 apzīmē pareizo skaitlisko vienādību 0=0, jo x 1 2 − (x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 = x 1 2 −x 1 2 −x 2 · x 1 +x 1 · x 2 =0. Tāpēc x 1 ir vienādojuma sakne x 2 −(x 1 + x 2) x+x 1 x 2 =0, kas nozīmē, ka x 1 ir ekvivalentā vienādojuma sakne x 2 +p·x+q=0.
Ja vienādojumā x 2 −(x 1 + x 2) x+x 1 x 2 =0 aizstājot skaitli x 2, nevis x, mēs iegūstam vienādību x 2 2 − (x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 =0. Tā ir patiesa vienlīdzība, jo x 2 2 −(x 1 +x 2) x 2 +x 1 x 2 = x 2 2 −x 1 · x 2 −x 2 2 +x 1 · x 2 =0. Tāpēc x 2 ir arī vienādojuma sakne x 2 −(x 1 + x 2) x+x 1 x 2 =0, un tāpēc vienādojumi x 2 +p·x+q=0.
Tas pabeidz teorēmas pierādīšanu pretēji Vietas teorēmai.
Vietas teorēmas izmantošanas piemēri
Ir pienācis laiks runāt par Vietas teorēmas un tās apgrieztās teorēmas praktisko pielietojumu. Šajā sadaļā mēs analizēsim risinājumus vairākiem tipiskākajiem piemēriem.
Sāksim ar teorēmas apgriezto piemērošanu Vietas teorēmai. To ir ērti izmantot, lai pārbaudītu, vai dotie divi skaitļi ir dotā kvadrātvienādojuma saknes. Šajā gadījumā tiek aprēķināta to summa un starpība, pēc kuras tiek pārbaudīts attiecību derīgums. Ja abas šīs attiecības ir izpildītas, tad, pamatojoties uz teorēmu pretēji Vietas teorēmai, tiek secināts, ka šie skaitļi ir vienādojuma saknes. Ja vismaz viena no attiecībām nav izpildīta, tad šie skaitļi nav kvadrātvienādojuma saknes. Šo pieeju var izmantot, risinot kvadrātvienādojumus, lai pārbaudītu atrastās saknes.
Piemērs.
Kurš no skaitļu pāriem 1) x 1 =−5, x 2 =3 vai 2) vai 3) ir kvadrātvienādojuma 4 x 2 −16 x+9=0 sakņu pāris?
Risinājums.
Dotā kvadrātvienādojuma 4 x 2 −16 x+9=0 koeficienti ir a=4, b=−16, c=9. Saskaņā ar Vietas teorēmu kvadrātvienādojuma sakņu summai jābūt vienādai ar −b/a, tas ir, 16/4=4, un sakņu reizinājumam jābūt vienādam ar c/a, tas ir, 9 /4.
Tagad aprēķināsim skaitļu summu un reizinājumu katrā no trim dotajiem pāriem un salīdzināsim tos ar tikko iegūtajām vērtībām.
Pirmajā gadījumā mums ir x 1 +x 2 =−5+3=−2. Rezultātā iegūtā vērtība atšķiras no 4, tāpēc turpmāku pārbaudi nevar veikt, bet, izmantojot teorēmu, kas ir apgriezta Vietas teorēmai, uzreiz var secināt, ka pirmais skaitļu pāris nav dotā kvadrātvienādojuma sakņu pāris.
Pāriesim pie otrā gadījuma. Lūk, tas ir, pirmais nosacījums ir izpildīts. Mēs pārbaudām otro nosacījumu: iegūtā vērtība atšķiras no 9/4. Līdz ar to otrais skaitļu pāris nav kvadrātvienādojuma sakņu pāris.
Ir palicis pēdējais gadījums. Šeit un . Abi nosacījumi ir izpildīti, tāpēc šie skaitļi x 1 un x 2 ir dotā kvadrātvienādojuma saknes.
Atbilde:
Vietas teorēmas apvērsumu var izmantot praksē, lai atrastu kvadrātvienādojuma saknes. Parasti tiek atlasītas doto kvadrātvienādojumu veselas skaitļu saknes ar veselu skaitļu koeficientiem, jo citos gadījumos tas ir diezgan grūti izdarāms. Šajā gadījumā viņi izmanto faktu, ka, ja divu skaitļu summa ir vienāda ar kvadrātvienādojuma otro koeficientu, kas ņemts ar mīnusa zīmi, un šo skaitļu reizinājums ir vienāds ar brīvo vārdu, tad šie skaitļi ir šī kvadrātvienādojuma saknes. Sapratīsim to ar piemēru.
Ņemsim kvadrātvienādojumu x 2 −5 x+6=0. Lai skaitļi x 1 un x 2 būtu šī vienādojuma saknes, ir jāizpilda divas vienādības: x 1 + x 2 =5 un x 1 ·x 2 =6. Atliek tikai atlasīt šādus skaitļus. IN šajā gadījumā to izdarīt ir pavisam vienkārši: šādi skaitļi ir 2 un 3, jo 2+3=5 un 2·3=6. Tādējādi 2 un 3 ir šī kvadrātvienādojuma saknes.
Vietas teorēmai apgrieztā teorēma ir īpaši ērti lietojama, lai atrastu dotā kvadrātvienādojuma otro sakni, kad viena no saknēm jau ir zināma vai acīmredzama. Šajā gadījumā otro sakni var atrast no jebkuras attiecības.
Piemēram, ņemsim kvadrātvienādojumu 512 x 2 −509 x −3=0. Šeit ir viegli redzēt, ka vienotība ir vienādojuma sakne, jo šī kvadrātvienādojuma koeficientu summa ir vienāda ar nulli. Tātad x 1 = 1. Otro sakni x 2 var atrast, piemēram, no relācijas x 1 ·x 2 =c/a. Mums ir 1 x 2 = −3/512, no kura x 2 = −3/512. Tādā veidā mēs noteicām abas kvadrātvienādojuma saknes: 1 un −3/512.
Ir skaidrs, ka sakņu atlase ir ieteicama tikai visvienkāršākajos gadījumos. Citos gadījumos, lai atrastu saknes, varat izmantot kvadrātvienādojuma sakņu formulas, izmantojot diskriminantu.
Vēl viens praktisks Vietas teorēmas apvērsta pielietojums ir kvadrātvienādojumu konstruēšana, ņemot vērā saknes x 1 un x 2 . Lai to izdarītu, pietiek aprēķināt sakņu summu, kas dod koeficientu x ar pretējo zīmi dotajam kvadrātvienādojumam, un sakņu reizinājumu, kas dod brīvo terminu.
Piemērs.
Uzrakstiet kvadrātvienādojumu, kura saknes ir −11 un 23.
Risinājums.
Apzīmēsim x 1 =−11 un x 2 =23. Mēs aprēķinām šo skaitļu summu un reizinājumu: x 1 +x 2 =12 un x 1 ·x 2 =−253. Tāpēc norādītie skaitļi ir reducētā kvadrātvienādojuma saknes ar otro koeficientu –12 un brīvo terminu –253. Tas nozīmē, ka x 2 −12·x−253=0 ir nepieciešamais vienādojums.
Atbilde:
x 2 −12·x−253=0 .
Vietas teorēmu ļoti bieži izmanto, risinot uzdevumus, kas saistīti ar kvadrātvienādojumu sakņu zīmēm. Kā Vietas teorēma ir saistīta ar reducētā kvadrātvienādojuma x 2 +p·x+q=0 sakņu zīmēm? Šeit ir divi atbilstoši paziņojumi:
- Ja krustpunkts q ir pozitīvs skaitlis un kvadrātvienādojumam ir reālas saknes, tad tie abi ir pozitīvi vai negatīvi.
- Ja brīvais termins q ir negatīvs skaitlis un ja kvadrātvienādojumam ir reālas saknes, tad to zīmes ir atšķirīgas, citiem vārdiem sakot, viena sakne ir pozitīva, bet otra ir negatīva.
Šie apgalvojumi izriet no formulas x 1 · x 2 =q, kā arī pozitīvo, negatīvo skaitļu un skaitļu ar dažādām zīmēm reizināšanas noteikumiem. Apskatīsim to pielietojuma piemērus.
Piemērs.
R tas ir pozitīvs. Izmantojot diskriminanta formulu, atrodam D=(r+2) 2 −4 1 (r−1)= r 2 +4 r+4−4 r+4=r 2 +8, izteiksmes vērtību r 2 +8 ir pozitīvs jebkuram reālam r, tādējādi D>0 jebkuram reālam r. Līdz ar to sākotnējam kvadrātvienādojumam ir divas saknes jebkurai parametra r reālajai vērtībai.
Tagad noskaidrosim, kad saknēm ir dažādas pazīmes. Ja sakņu zīmes ir atšķirīgas, tad to reizinājums ir negatīvs, un saskaņā ar Vietas teorēmu reducētā kvadrātvienādojuma sakņu reizinājums ir vienāds ar brīvo terminu. Tāpēc mūs interesē tās r vērtības, kurām brīvais termins r−1 ir negatīvs. Tādējādi, lai atrastu mūs interesējošās r vērtības, mums ir nepieciešams atrisināt lineāro nevienlīdzību r-1<0 , откуда находим r<1 .
Atbilde:
pie r<1 .
Vietas formulas
Iepriekš mēs runājām par Vietas teorēmu kvadrātvienādojumam un analizējām tajā noteiktās attiecības. Bet ir formulas, kas savieno ne tikai kvadrātvienādojumu, bet arī kubisko vienādojumu, ceturtās pakāpes vienādojumu reālās saknes un koeficientus un vispār, algebriskie vienādojumi grāds n. Tos sauc Vietas formulas.
Uzrakstīsim Vietas formulu formas n pakāpes algebriskajam vienādojumam un pieņemsim, ka tam ir n reālas saknes x 1, x 2, ..., x n (tostarp var būt arī tādas, kas sakrīt): 
Vietas formulas var iegūt teorēma par polinoma sadalīšanos lineāros faktoros, kā arī vienādu polinomu definīcija, izmantojot visu to atbilstošo koeficientu vienādību. Tātad polinoms un tā izplešanās formas lineāros faktoros ir vienādi. Atverot iekavas pēdējā produktā un pielīdzinot atbilstošos koeficientus, iegūstam Vietas formulas.
Konkrēti, n=2 mums ir jau pazīstamās Vieta formulas kvadrātvienādojumam.
Kubiskā vienādojumam Vietas formulām ir forma 
Atliek tikai atzīmēt, ka Vietas formulu kreisajā pusē ir tā sauktās elementārās simetriski polinomi.
Bibliogrāfija.
- Algebra: mācību grāmata 8. klasei. vispārējā izglītība iestādes / [Yu. N. Makaričevs, N. G. Mindjuks, K. I. Neškovs, S. B. Suvorova]; rediģēja S. A. Teļakovskis. - 16. izd. - M.: Izglītība, 2008. - 271 lpp. : slim. - ISBN 978-5-09-019243-9.
- Mordkovičs A.G. Algebra. 8. klase. 2 stundās.1.daļa.Mācību grāmata vispārējās izglītības iestāžu audzēkņiem / A. G. Mordkovičs. - 11. izd., dzēsts. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 lpp.: ill. ISBN 978-5-346-01155-2.
- Algebra un matemātiskās analīzes sākums. 10. klase: mācību grāmata. vispārējai izglītībai institūcijas: pamata un profils. līmeņi / [Yu. M. Koļagins, M. V. Tkačova, N. E. Fedorova, M. I. Šabuņins]; rediģēja A. B. Žižčenko. - 3. izdevums. - M.: Izglītība, 2010.- 368 lpp. : slim. - ISBN 978-5-09-022771-1.
Pirmajā apgalvojumā teikts, ka šī vienādojuma sakņu summa ir vienāda ar mainīgā x koeficienta vērtību (šajā gadījumā tas ir b), bet ar pretēju zīmi. Vizuāli tas izskatās šādi: x1 + x2 = −b.
Otrais apgalvojums vairs nav saistīts ar summu, bet gan ar šo pašu divu sakņu reizinājumu. Šis produkts tiek pielīdzināts brīvajam koeficientam, t.i. c. Vai arī x1 * x2 = c. Abi šie piemēri ir atrisināti sistēmā.
Vietas teorēma ievērojami vienkāršo risinājumu, taču tai ir viens ierobežojums. Kvadrātvienādojums, kura saknes var atrast, izmantojot šo metodi, ir jāsamazina. Iepriekš minētajā vienādojumā koeficients a, kas ir pirms x2, ir vienāds ar vienu. Jebkuru vienādojumu var iegūt līdzīgā formā, dalot izteiksmi ar pirmo koeficientu, taču šī darbība ne vienmēr ir racionāla.
Teorēmas pierādījums
Vispirms jāatceras, kā tradicionāli ir ierasts meklēt kvadrātvienādojuma saknes. Tiek atrasta pirmā un otrā sakne, proti: x1 = (-b-√D)/2, x2 = (-b+√D)/2. Kopumā tas dalās ar 2a, bet, kā jau minēts, teorēmu var pielietot tikai tad, ja a=1.No Vietas teorēmas ir zināms, ka sakņu summa ir vienāda ar otro koeficientu ar mīnusa zīmi. Tas nozīmē, ka x1 + x2 = (-b-√D)/2 + (-b+√D)/2 = −2b/2 = −b.
Tas pats attiecas uz nezināmu sakņu reizinājumu: x1 * x2 = (-b-√D)/2 * (-b+√D)/2 = (b2-D)/4. Savukārt D = b2-4c (atkal ar a=1). Izrādās, ka rezultāts ir: x1 * x2 = (b2- b2)/4+c = c.
No sniegtā vienkāršā pierādījuma var izdarīt tikai vienu secinājumu: Vietas teorēma ir pilnībā apstiprināta.
Otrais formulējums un pierādījums
Vietas teorēmai ir cita interpretācija. Precīzāk sakot, tā nav interpretācija, bet gan formulējums. Fakts ir tāds, ka, ja ir izpildīti tādi paši nosacījumi kā pirmajā gadījumā: ir divas dažādas reālās saknes, tad teorēmu var uzrakstīt ar citu formulu.Šī vienādība izskatās šādi: x2 + bx + c = (x - x1) (x - x2). Ja funkcija P(x) krustojas divos punktos x1 un x2, tad to var uzrakstīt kā P(x) = (x - x1)(x - x2) * R(x). Gadījumā, ja P ir otrā pakāpe, un tieši tā izskatās sākotnējā izteiksme, tad R ir pirmskaitlis, proti, 1. Šis apgalvojums ir patiess tādēļ, ka pretējā gadījumā vienādība nepildīsies. Koeficients x2, atverot iekavas, nedrīkst būt lielāks par vienu, un izteiksmei jāpaliek kvadrātveida.
