Jangkaan dan varians adalah ciri berangka yang paling biasa digunakan pembolehubah rawak. Mereka mencirikan ciri pengedaran yang paling penting: kedudukan dan tahap penyebarannya. Dalam banyak masalah praktikal, ciri lengkap dan menyeluruh bagi pembolehubah rawak - undang-undang taburan - sama ada tidak boleh diperolehi sama sekali, atau tidak diperlukan sama sekali. Dalam kes ini, seseorang terhad kepada penerangan anggaran pembolehubah rawak menggunakan ciri berangka.

Nilai jangkaan sering dipanggil hanya nilai purata pembolehubah rawak. Penyerakan pembolehubah rawak adalah ciri penyebaran, penyebaran pembolehubah rawak di sekitar jangkaan matematiknya.

Jangkaan pembolehubah rawak diskret

Marilah kita mendekati konsep jangkaan matematik, pertama berdasarkan tafsiran mekanikal taburan pembolehubah rawak diskret. Biarkan jisim unit diedarkan di antara titik-titik paksi-x x1 , x 2 , ..., x n, dan setiap titik bahan mempunyai jisim yang sepadan hlm1 , hlm 2 , ..., hlm n. Ia dikehendaki memilih satu titik pada paksi absis, mencirikan kedudukan keseluruhan sistem titik material, dengan mengambil kira jisimnya. Adalah wajar untuk mengambil pusat jisim sistem titik bahan sebagai titik sedemikian. Ini ialah purata wajaran pembolehubah rawak X, yang mana absis setiap titik xi masuk dengan "berat" sama dengan kebarangkalian yang sepadan. Nilai purata pembolehubah rawak yang diperoleh dengan cara ini X dipanggil jangkaan matematiknya.

Jangkaan matematik pembolehubah rawak diskret ialah jumlah hasil darab semua nilai yang mungkin dan kebarangkalian nilai ini:

Contoh 1. Loteri menang-menang telah dianjurkan. Terdapat 1000 kemenangan, di mana 400 adalah 10 rubel. 300 - 20 rubel setiap satu. 200 - 100 rubel setiap satu. dan 100 - 200 rubel setiap satu. Apa saiz purata kemenangan bagi mereka yang membeli satu tiket?

Penyelesaian. Purata kemenangan kita akan dapati jika jumlah keseluruhan kemenangan, yang sama dengan 10*400 + 20*300 + 100*200 + 200*100 = 50,000 rubel, bahagikan dengan 1000 (jumlah kemenangan). Kemudian kita mendapat 50000/1000 = 50 rubel. Tetapi ungkapan untuk mengira purata kemenangan boleh dibentangkan dalam bentuk berikut:

Sebaliknya, dalam keadaan ini, jumlah kemenangan adalah pembolehubah rawak, yang boleh mengambil nilai 10, 20, 100 dan 200 rubel. dengan kebarangkalian sama dengan 0.4, masing-masing; 0.3; 0.2; 0.1. Oleh itu, pulangan purata yang dijangkakan sama dengan jumlah produk dengan saiz kemenangan dan kebarangkalian untuk menerimanya.

Contoh 2. Penerbit memutuskan untuk menerbitkan buku baharu. Dia merancang untuk menjual buku itu dengan harga 280 rubel, yang mana dia sendiri akan menerima 200, 50 - kedai buku dan 30 - pengarang. Jadual menyediakan maklumat tentang kos penerbitan buku dan kebarangkalian menjual sejumlah salinan buku tersebut.

Cari keuntungan jangkaan penerbit.

Penyelesaian. Pembolehubah rawak "keuntungan" adalah sama dengan perbezaan antara pendapatan daripada jualan dan kos perbelanjaan. Sebagai contoh, jika 500 salinan buku dijual, maka pendapatan daripada jualan adalah 200 * 500 = 100,000, dan kos penerbitan ialah 225,000 rubel. Oleh itu, penerbit menghadapi kerugian sebanyak 125,000 rubel. Jadual berikut meringkaskan nilai jangkaan pembolehubah rawak - keuntungan:

Nombor	Untung xi	Kebarangkalian hlmi	xi hlm i
500	-125000	0,20	-25000
1000	-50000	0,40	-20000
2000	100000	0,25	25000
3000	250000	0,10	25000
4000	400000	0,05	20000
Jumlah:		1,00	25000

Oleh itu, kita mendapat nilai yang dijangkakan keuntungan penerbit:

.

Contoh 3. Kebarangkalian memukul dengan satu pukulan hlm= 0.2. Tentukan penggunaan peluru yang memberikan jangkaan matematik bilangan pukulan bersamaan dengan 5.

Penyelesaian. Daripada formula jangkaan matematik yang sama yang telah kami gunakan setakat ini, kami nyatakan x- penggunaan cangkerang:

.

Contoh 4. Tentukan jangkaan matematik pembolehubah rawak x bilangan pukulan dengan tiga pukulan, jika kebarangkalian pukulan dengan setiap pukulan hlm = 0,4 .

Petunjuk: cari kebarangkalian nilai pembolehubah rawak dengan Formula Bernoulli .

Sifat jangkaan matematik

Mari kita pertimbangkan sifat jangkaan matematik.

Harta 1. Jangkaan matematik bagi nilai pemalar adalah sama dengan pemalar ini:

Harta 2. Faktor malar boleh diambil daripada tanda jangkaan matematik:

Hartanah 3. Jangkaan matematik jumlah (perbezaan) pembolehubah rawak adalah sama dengan jumlah (perbezaan) jangkaan matematiknya:

Harta benda 4. Jangkaan matematik hasil darab pembolehubah rawak adalah sama dengan hasil jangkaan matematiknya:

Harta 5. Jika semua nilai pembolehubah rawak X menurun (meningkat) dengan bilangan yang sama DENGAN, maka jangkaan matematiknya akan berkurangan (meningkat) dengan nombor yang sama:

Apabila anda tidak boleh mengehadkan diri anda hanya kepada jangkaan matematik

Dalam kebanyakan kes, hanya jangkaan matematik tidak dapat mencirikan pembolehubah rawak dengan secukupnya.

Biarkan pembolehubah rawak X Dan Y diberikan oleh undang-undang pengedaran berikut:

Maknanya X	Kebarangkalian
-0,1	0,1
-0,01	0,2
0	0,4
0,01	0,2
0,1	0,1

Maknanya Y	Kebarangkalian
-20	0,3
-10	0,1
0	0,2
10	0,1
20	0,3

Jangkaan matematik bagi kuantiti ini adalah sama - sama dengan sifar:

Walau bagaimanapun, corak pengedaran mereka berbeza. Nilai rawak X hanya boleh mengambil nilai yang berbeza sedikit daripada jangkaan matematik, dan pembolehubah rawak Y boleh mengambil nilai yang menyimpang dengan ketara daripada jangkaan matematik. Contoh yang sama: gaji purata tidak memungkinkan untuk menilai graviti tertentu pekerja bergaji tinggi dan rendah. Dalam erti kata lain, seseorang tidak boleh menilai dari jangkaan matematik apakah penyelewengan daripadanya, sekurang-kurangnya secara purata, mungkin. Untuk melakukan ini, anda perlu mencari varians pembolehubah rawak.

Varians pembolehubah rawak diskret

Varians pembolehubah rawak diskret X dipanggil jangkaan matematik bagi kuasa dua sisihan daripada jangkaan matematik:

Sisihan piawai pembolehubah rawak X nilai aritmetik punca kuasa dua variansnya dipanggil:

.

Contoh 5. Kira varians dan sisihan piawai pembolehubah rawak X Dan Y, undang-undang pengedaran yang diberikan dalam jadual di atas.

Penyelesaian. Jangkaan matematik pembolehubah rawak X Dan Y, seperti yang terdapat di atas, adalah sama dengan sifar. Mengikut formula serakan di E(X)=E(y)=0 kita dapat:

Kemudian sisihan piawai pembolehubah rawak X Dan Y mekap

.

Oleh itu, dengan jangkaan matematik yang sama, varians pembolehubah rawak X sangat kecil, tetapi pembolehubah rawak Y- ketara. Ini adalah akibat daripada perbezaan dalam pengedaran mereka.

Contoh 6. Pelabur mempunyai 4 projek pelaburan alternatif. Jadual meringkaskan jangkaan keuntungan dalam projek ini dengan kebarangkalian yang sepadan.

Projek 1	Projek 2	Projek 3	Projek 4
500, P=1	1000, P=0,5	500, P=0,5	500, P=0,5
	0, P=0,5	1000, P=0,25	10500, P=0,25
		0, P=0,25	9500, P=0,25

Cari jangkaan matematik, varians dan sisihan piawai bagi setiap alternatif.

Penyelesaian. Mari kita tunjukkan bagaimana nilai ini dikira untuk alternatif ke-3:

Jadual meringkaskan nilai yang ditemui untuk semua alternatif.

Semua alternatif mempunyai jangkaan matematik yang sama. Ini bermakna dalam jangka masa panjang semua orang mempunyai pendapatan yang sama. Sisihan piawai boleh ditafsirkan sebagai ukuran risiko - semakin tinggi, semakin besar risiko pelaburan. Pelabur yang tidak mahukan banyak risiko akan memilih projek 1 kerana ia mempunyai sisihan piawai terkecil (0). Jika pelabur lebih suka risiko dan pulangan tinggi dalam tempoh yang singkat, maka dia akan memilih projek yang paling besar sisihan piawai- projek 4.

Sifat serakan

Marilah kita membentangkan sifat-sifat serakan.

Harta 1. Varians nilai tetap ialah sifar:

Harta 2. Faktor malar boleh dikeluarkan daripada tanda serakan dengan mengkuadratkannya:

.

Hartanah 3. Varians pembolehubah rawak adalah sama dengan jangkaan matematik bagi kuasa dua nilai ini, dari mana kuasa dua jangkaan matematik bagi nilai itu sendiri dikurangkan:

,

di mana .

Harta benda 4. Varians jumlah (perbezaan) pembolehubah rawak adalah sama dengan jumlah (perbezaan) variansnya:

Contoh 7. Adalah diketahui bahawa pembolehubah rawak diskret X hanya mengambil dua nilai: −3 dan 7. Di samping itu, jangkaan matematik diketahui: E(X) = 4 . Cari varians pembolehubah rawak diskret.

Penyelesaian. Mari kita nyatakan dengan hlm kebarangkalian pembolehubah rawak mengambil nilai x1 = −3 . Kemudian kebarangkalian nilai x2 = 7 akan menjadi 1 − hlm. Mari kita terbitkan persamaan untuk jangkaan matematik:

E(X) = x 1 hlm + x 2 (1 − hlm) = −3hlm + 7(1 − hlm) = 4 ,

di mana kita mendapat kebarangkalian: hlm= 0.3 dan 1 − hlm = 0,7 .

Hukum taburan pembolehubah rawak:

X	−3	7
hlm	0,3	0,7

Kami mengira varians pembolehubah rawak ini menggunakan formula daripada sifat 3 penyebaran:

D(X) = 2,7 + 34,3 − 16 = 21 .

Cari sendiri jangkaan matematik pembolehubah rawak, dan kemudian lihat penyelesaiannya

Contoh 8. Pembolehubah rawak diskret X hanya mengambil dua nilai. Ia menerima yang lebih besar daripada nilai 3 dengan kebarangkalian 0.4. Selain itu, varians pembolehubah rawak diketahui D(X) = 6 . Cari jangkaan matematik bagi pembolehubah rawak.

Contoh 9. Terdapat 6 bola putih dan 4 bola hitam di dalam urn. 3 biji bola dikeluarkan dari urn. Bilangan bola putih di antara bola yang ditarik ialah pembolehubah rawak diskret X. Cari jangkaan dan varians matematik bagi pembolehubah rawak ini.

Penyelesaian. Nilai rawak X boleh mengambil nilai 0, 1, 2, 3. Kebarangkalian yang sepadan boleh dikira daripada peraturan pendaraban kebarangkalian. Hukum taburan pembolehubah rawak:

X	0	1	2	3
hlm	1/30	3/10	1/2	1/6

Oleh itu jangkaan matematik pembolehubah rawak ini:

M(X) = 3/10 + 1 + 1/2 = 1,8 .

Varians pembolehubah rawak yang diberikan ialah:

D(X) = 0,3 + 2 + 1,5 − 3,24 = 0,56 .

Jangkaan dan varians pembolehubah rawak berterusan

Untuk pembolehubah rawak berterusan, tafsiran mekanikal jangkaan matematik akan mengekalkan makna yang sama: pusat jisim untuk jisim unit yang diedarkan secara berterusan pada paksi-x dengan ketumpatan. f(x). Tidak seperti pembolehubah rawak diskret, yang hujah fungsinya xi berubah secara mendadak; untuk pembolehubah rawak berterusan, hujah berubah secara berterusan. Tetapi jangkaan matematik pembolehubah rawak berterusan juga berkaitan dengan nilai puratanya.

Untuk mencari jangkaan dan varians matematik pembolehubah rawak berterusan, anda perlu mencari kamiran pasti . Jika fungsi ketumpatan pembolehubah rawak selanjar diberikan, maka ia terus masuk ke dalam integrand. Jika fungsi taburan kebarangkalian diberikan, maka dengan membezakannya, anda perlu mencari fungsi ketumpatan.

Purata aritmetik semua nilai yang mungkin bagi pembolehubah rawak berterusan dipanggilnya jangkaan matematik, dilambangkan dengan atau .

Penyelesaian.

Sebagai ukuran penyebaran nilai pembolehubah rawak, kami menggunakan penyebaran

Penyerakan (perkataan penyebaran bermaksud "penyebaran") ialah ukuran serakan nilai pembolehubah rawak berbanding jangkaan matematiknya. Serakan ialah jangkaan matematik bagi sisihan kuasa dua pembolehubah rawak daripada jangkaan matematiknya

Jika pembolehubah rawak adalah diskret dengan set nilai yang tidak terhingga tetapi boleh dikira, maka

jika siri di sebelah kanan kesamaan itu menumpu.

Sifat serakan.

• 1. Varians nilai malar ialah sifar
• 2. Varians jumlah pembolehubah rawak adalah sama dengan jumlah varians
• 3. Faktor pemalar boleh dikeluarkan daripada tanda serakan kuasa dua

Varians perbezaan pembolehubah rawak adalah sama dengan jumlah varians

Harta ini adalah akibat daripada sifat kedua dan ketiga. Varians hanya boleh ditambah.

Adalah mudah untuk mengira serakan menggunakan formula yang boleh didapati dengan mudah menggunakan sifat serakan

Varians sentiasa positif.

Varian mempunyai dimensi dimensi kuasa dua pembolehubah rawak itu sendiri, yang tidak selalunya mudah. Oleh itu, kuantiti

Sisihan piawai(sisihan piawai atau piawai) pembolehubah rawak ialah nilai aritmetik punca kuasa dua variansnya

Baling dua syiling dalam denominasi 2 dan 5 rubel. Jika syiling mendarat sebagai jata, maka mata sifar diberikan, dan jika ia mendarat sebagai nombor, maka bilangan mata sama dengan denominasi syiling. Cari jangkaan matematik dan varians bilangan mata.

Penyelesaian. Mari kita cari taburan pembolehubah rawak X - bilangan mata. Semua kombinasi - (2;5),(2;0),(0;5),(0;0) - adalah berkemungkinan sama dan hukum taburan ialah:

Nilai yang dijangkakan:

Kami mencari varians menggunakan formula

kenapa kita berkira

Contoh 2.

Cari kebarangkalian yang tidak diketahui R, jangkaan matematik dan varians bagi pembolehubah rawak diskret, jadual yang diberi taburan kebarangkalian

Kami mendapati jangkaan dan varians matematik:

M(X) = 00,0081 + 10,0756 + 20,2646 + 3 0,4116 + +40,2401=2,8

Untuk mengira serakan, kami menggunakan formula (19.4)

D(X) = 020 ,0081 + 120,0756 + 220,2646 + 320,4116 + 420,2401 - 2,82 = 8,68 -

Contoh 3. Dua atlet yang sama kuat mengadakan kejohanan yang berlangsung sama ada sehingga kemenangan pertama salah seorang daripada mereka, atau sehingga lima perlawanan telah dimainkan. Kebarangkalian untuk memenangi satu perlawanan bagi setiap atlet ialah 0.3, dan kebarangkalian seri ialah 0.4. Cari hukum taburan, jangkaan matematik dan serakan bilangan permainan yang dimainkan.

Penyelesaian. Nilai rawak X- bilangan permainan yang dimainkan, mengambil nilai dari 1 hingga 5, i.e.

Mari kita tentukan kebarangkalian untuk menamatkan perlawanan. Perlawanan akan berakhir pada set pertama jika salah seorang atlet mereka menang. Kebarangkalian untuk menang adalah

R(1) = 0,3+0,3 =0,6.

Jika terdapat seri (kebarangkalian seri ialah 1 - 0.6 = 0.4), maka perlawanan diteruskan. Perlawanan akan berakhir dalam permainan kedua jika yang pertama adalah seri dan seseorang memenangi yang kedua. Kebarangkalian

R(2) = 0,4 0,6=0,24.

Begitu juga, perlawanan akan berakhir pada perlawanan ketiga jika terdapat dua seri berturut-turut dan sekali lagi seseorang menang

R(3) = 0,4 0,4 0,6 = 0,096. R(4)= 0,4 0,4 0,4 0,6=0,0384.

Permainan kelima adalah yang terakhir dalam mana-mana varian.

R(5)= 1 - (R(1)+R(2)+R(3)+R(4)) = 0,0256.

Mari letakkan semuanya dalam meja. Hukum taburan pembolehubah rawak "bilangan permainan yang dimenangi" mempunyai bentuk

Nilai yang dijangkakan

Kami mengira varians menggunakan formula (19.4)

Taburan diskret piawai.

Taburan binomial. Biarkan skema eksperimen Bernoulli dilaksanakan: n eksperimen bebas yang sama, di mana setiap satu peristiwa itu A mungkin muncul dengan kebarangkalian yang berterusan hlm dan tidak akan muncul dengan kebarangkalian

(lihat kuliah 18).

Bilangan kejadian peristiwa A dalam ini n eksperimen terdapat pembolehubah rawak diskret X, nilai yang mungkin adalah:

0; 1; 2; ... ;m; ... ; n.

Kebarangkalian penampilan m peristiwa A dalam siri tertentu n eksperimen dengan dan hukum taburan pembolehubah rawak sedemikian diberikan oleh formula Bernoulli (lihat kuliah 18)

Ciri berangka pembolehubah rawak X diedarkan mengikut hukum binomial:

Jika n adalah hebat (), maka, apabila, formula (19.6) masuk ke dalam formula

dan fungsi Gaussian yang dijadualkan (jadual nilai fungsi Gaussian diberikan pada akhir kuliah 18).

Dalam amalan, apa yang sering penting bukanlah kebarangkalian kejadian itu sendiri. m peristiwa A dalam siri tertentu daripada n eksperimen, dan kebarangkalian kejadian itu A tidak kurang yang akan muncul

kali dan tidak lebih daripada masa, iaitu kebarangkalian bahawa X mengambil nilai

Untuk melakukan ini, kita perlu merumuskan kebarangkalian

Jika n adalah hebat (), maka, apabila, formula (19.9) bertukar menjadi formula anggaran

fungsi jadual. Jadual diberikan pada akhir Kuliah 18.

Apabila menggunakan jadual, adalah perlu untuk mengambil kira itu

Contoh 1. Sebuah kereta yang menghampiri persimpangan boleh terus bergerak di sepanjang mana-mana tiga jalan: A, B atau C dengan kebarangkalian yang sama. Lima buah kereta menghampiri simpang. Cari purata bilangan kereta yang akan melalui jalan A dan kebarangkalian bahawa tiga buah kereta akan melalui jalan B.

Penyelesaian. Bilangan kereta yang melalui setiap jalan adalah pembolehubah rawak. Jika kita mengandaikan bahawa semua kereta yang menghampiri persimpangan bergerak secara bebas antara satu sama lain, maka pembolehubah rawak ini diedarkan mengikut hukum binomial dengan

n= 5 dan hlm = .

Oleh itu, purata bilangan kereta yang akan mengikut jalan A adalah mengikut formula (19.7)

dan kebarangkalian yang dikehendaki pada

Contoh 2. Kebarangkalian kegagalan peranti semasa setiap ujian ialah 0.1. 60 ujian peranti dijalankan. Apakah kebarangkalian kegagalan peranti akan berlaku: a) 15 kali; b) tidak lebih daripada 15 kali?

A. Oleh kerana bilangan ujian ialah 60, kami menggunakan formula (19.8)

Mengikut jadual 1 lampiran kuliah 18 kita dapati

b. Kami menggunakan formula (19.10).

Mengikut jadual 2 lampiran kuliah 18

• - 0,495
• 0,49995

Taburan Poisson) hukum kejadian jarang berlaku). Jika n besar dan R sedikit (), dan produk dan lain-lain mengekalkan nilai tetap, yang kita nyatakan dengan l,

maka formula (19.6) menjadi formula Poisson

Undang-undang taburan Poisson mempunyai bentuk:

Jelas sekali, takrifan undang-undang Poisson adalah betul, kerana sifat utama siri pengedaran

Selesai, kerana jumlah siri

Peluasan siri fungsi di

Teorem. Jangkaan dan varians matematik pembolehubah rawak yang diedarkan mengikut hukum Poisson bertepatan dan sama dengan parameter undang-undang ini, i.e.

Bukti.

Contoh. Untuk mempromosikan produknya ke pasaran, syarikat itu meletakkan risalah dalam peti mel. Pengalaman terdahulu menunjukkan bahawa dalam kira-kira satu kes daripada 2,000 satu pesanan mengikuti. Cari kebarangkalian bahawa apabila meletakkan 10,000 iklan, sekurang-kurangnya satu pesanan akan tiba, purata bilangan pesanan yang diterima, dan varians bilangan pesanan yang diterima.

Penyelesaian. Di sini

Kebarangkalian bahawa sekurang-kurangnya satu pesanan akan tiba akan didapati melalui kebarangkalian peristiwa bertentangan, iaitu

Aliran acara rawak. Aliran peristiwa ialah urutan peristiwa yang berlaku pada masa rawak. Contoh biasa aliran ialah kegagalan dalam rangkaian komputer, panggilan di bursa telefon, aliran permintaan untuk pembaikan peralatan, dsb.

Aliran peristiwa dipanggil pegun, jika kebarangkalian bilangan peristiwa tertentu jatuh ke dalam selang masa panjang bergantung hanya pada panjang selang dan tidak bergantung pada lokasi selang masa pada paksi masa.

Keadaan pegun dipenuhi oleh aliran permintaan, ciri-ciri kebarangkalian yang tidak bergantung pada masa. Khususnya, aliran pegun dicirikan oleh ketumpatan malar (bilangan purata permintaan setiap unit masa). Dalam amalan, selalunya terdapat aliran permintaan yang (sekurang-kurangnya untuk tempoh masa terhad) boleh dianggap pegun. Sebagai contoh, aliran panggilan di pertukaran telefon bandar dalam tempoh masa dari 12 hingga 13 jam boleh dianggap sebagai talian tetap. Aliran yang sama sepanjang hari sepanjang hari tidak lagi boleh dianggap pegun (pada waktu malam ketumpatan panggilan jauh lebih rendah daripada pada siang hari).

Aliran peristiwa dipanggil aliran tanpa kesan sampingan, jika untuk mana-mana tempoh masa yang tidak bertindih bilangan acara yang jatuh pada salah satu daripadanya tidak bergantung pada bilangan acara yang jatuh pada yang lain.

Keadaan ketiadaan kesan selepas - yang paling penting untuk aliran paling mudah - bermakna aplikasi memasuki sistem secara bebas antara satu sama lain. Sebagai contoh, aliran penumpang yang memasuki stesen metro boleh dianggap sebagai aliran tanpa kesan susulan kerana sebab yang menentukan ketibaan penumpang individu pada satu ketika tertentu dan bukan yang lain, sebagai peraturan, tidak berkaitan dengan sebab yang sama untuk penumpang lain. . Walau bagaimanapun, keadaan tiada kesan selepas itu boleh dilanggar dengan mudah kerana kemunculan pergantungan sedemikian. Sebagai contoh, aliran penumpang yang meninggalkan stesen metro tidak lagi boleh dianggap sebagai aliran tanpa kesan susulan, kerana detik keluar penumpang yang tiba di kereta api yang sama adalah bergantung antara satu sama lain.

Aliran peristiwa dipanggil biasa, jika kebarangkalian dua atau lebih peristiwa berlaku dalam selang masa yang singkat t boleh diabaikan berbanding dengan kebarangkalian satu kejadian berlaku (dalam hal ini, hukum Poisson dipanggil undang-undang kejadian jarang).

Keadaan biasa bermaksud pesanan tiba secara tunggal, dan bukan secara berpasangan, tiga kali ganda, dsb. sisihan varians taburan Bernoulli

Sebagai contoh, aliran pelanggan yang memasuki salon dandanan rambut boleh dianggap hampir biasa. Jika dalam aplikasi aliran luar biasa tiba hanya secara berpasangan, hanya dalam tiga kali ganda, dsb., maka aliran luar biasa boleh dengan mudah dikurangkan kepada yang biasa; Untuk melakukan ini, cukup untuk mempertimbangkan aliran pasangan, kembar tiga, dsb. dan bukannya aliran permintaan individu. Ia akan menjadi lebih sukar jika setiap permintaan secara rawak boleh berubah menjadi dua kali ganda, tiga kali ganda, dsb. Kemudian anda perlu menangani aliran peristiwa yang tidak homogen, tetapi heterogen.

Jika aliran peristiwa mempunyai ketiga-tiga sifat (iaitu, pegun, biasa, dan tidak mempunyai kesan selepas), maka ia dipanggil aliran mudah (atau pegun Poisson). Nama "Poisson" adalah disebabkan oleh fakta bahawa jika syarat yang disenaraikan dipenuhi, bilangan acara yang jatuh pada mana-mana selang masa tetap akan diedarkan undang-undang Poisson

Berikut ialah purata bilangan acara A, muncul setiap unit masa.

Undang-undang ini adalah satu parameter, i.e. untuk menetapkannya, anda hanya perlu mengetahui satu parameter. Ia boleh ditunjukkan bahawa jangkaan dan varians dalam hukum Poisson adalah sama secara berangka:

Contoh. Katakan pada pertengahan hari bekerja purata bilangan permintaan ialah 2 sesaat. Apakah kebarangkalian bahawa 1) tiada permohonan akan diterima dalam satu saat, 2) 10 permohonan akan tiba dalam masa dua saat?

Penyelesaian. Memandangkan kesahihan penggunaan hukum Poisson tidak diragui dan parameternya diberikan (= 2), penyelesaian masalah dikurangkan kepada penggunaan formula Poisson (19.11)

1) t = 1, m = 0:

2) t = 2, m = 10:

Undang-undang bilangan yang besar. Asas matematik untuk fakta bahawa nilai kelompok pembolehubah rawak di sekeliling beberapa nilai malar adalah hukum nombor besar.

Dari segi sejarah, rumusan pertama hukum nombor besar ialah teorem Bernoulli:

"Dengan peningkatan tanpa had dalam bilangan eksperimen yang sama dan bebas n, kekerapan kejadian A menumpu dalam kebarangkalian kepada kebarangkaliannya," i.e.

di manakah kekerapan kejadian A dalam n eksperimen,

Pada dasarnya, ungkapan (19.10) bermaksud bahawa dengan sejumlah besar eksperimen, kekerapan kejadian kejadian A boleh menggantikan kebarangkalian yang tidak diketahui bagi peristiwa ini, dan semakin banyak bilangan eksperimen yang dilakukan, semakin hampir p* kepada p. Menarik fakta sejarah. K. Pearson melambung duit syiling sebanyak 12,000 kali dan jata tangannya naik 6,019 kali (frekuensi 0.5016). Apabila membaling duit syiling yang sama sebanyak 24,000 kali, dia mendapat 12,012 jata, i.e. kekerapan 0.5005.

Bentuk hukum nombor besar yang paling penting ialah teorem Chebyshev: dengan peningkatan tanpa had dalam bilangan eksperimen bebas yang mempunyai varians terhingga dan dijalankan dalam keadaan yang sama, min aritmetik bagi nilai yang diperhatikan bagi pembolehubah rawak menumpu dalam kebarangkalian kepada jangkaan matematiknya.. Dalam bentuk analisis, teorem ini boleh ditulis seperti berikut:

Sebagai tambahan kepada kepentingan teori asasnya, teorem Chebyshev juga mempunyai aplikasi praktikal yang penting, contohnya, dalam teori pengukuran. Selepas mengambil n ukuran kuantiti tertentu X, dapatkan nilai tidak sepadan yang berbeza X 1, X 2, ..., xn. Untuk nilai anggaran kuantiti yang diukur X ambil min aritmetik bagi nilai yang diperhatikan

Di mana, Lebih banyak eksperimen dijalankan, lebih tepat hasilnya. Hakikatnya ialah penyebaran kuantiti berkurangan dengan peningkatan bilangan eksperimen yang dilakukan, kerana

D(x 1) = D(x 2)=…= D(xn) D(x), Itu

Perkaitan (19.13) menunjukkan bahawa walaupun dengan ketidaktepatan tinggi alat pengukur (nilai besar), dengan menambah bilangan ukuran, adalah mungkin untuk memperoleh keputusan dengan ketepatan tinggi sewenang-wenangnya.

Menggunakan formula (19.10) anda boleh mencari kebarangkalian bahawa kekerapan statistik menyimpang daripada kebarangkalian tidak lebih daripada

Contoh. Kebarangkalian kejadian dalam setiap percubaan ialah 0.4. Berapa banyak ujian yang anda perlu lakukan untuk menjangkakan, dengan kebarangkalian tidak kurang daripada 0.8, bahawa kekerapan relatif sesuatu peristiwa akan menyimpang daripada kebarangkalian dalam nilai mutlak kurang daripada 0.01?

Penyelesaian. Mengikut formula (19.14)

oleh itu, mengikut jadual terdapat dua aplikasi

oleh itu, n 3932.

Dalam yang sebelumnya, kami membentangkan beberapa formula yang membolehkan kami mencari ciri berangka bagi fungsi apabila undang-undang pengedaran hujah diketahui. Walau bagaimanapun, dalam banyak kes, untuk mencari ciri berangka fungsi, ia tidak perlu untuk mengetahui undang-undang pengedaran hujah, tetapi cukup untuk mengetahui hanya beberapa ciri berangkanya; pada masa yang sama, kami biasanya melakukannya tanpa sebarang undang-undang pengedaran. Menentukan ciri berangka fungsi daripada ciri berangka yang diberikan bagi argumen digunakan secara meluas dalam teori kebarangkalian dan boleh memudahkan penyelesaian beberapa masalah dengan ketara. Kebanyakan kaedah yang dipermudahkan ini berkaitan dengan fungsi linear; walau bagaimanapun, beberapa fungsi tak linear asas juga membenarkan pendekatan yang serupa.

Pada masa ini kami akan membentangkan beberapa teorem mengenai ciri berangka fungsi, yang bersama-sama mewakili radas yang sangat mudah untuk mengira ciri-ciri ini, terpakai dalam pelbagai keadaan.

1. Jangkaan matematik bagi nilai bukan rawak

Sifat yang dirumuskan agak jelas; ia boleh dibuktikan dengan menganggap pembolehubah bukan rawak sebagai jenis rawak khas, dengan satu makna yang mungkin dengan kebarangkalian satu; kemudian mengikut formula umum untuk jangkaan matematik:

.

2. Serakan pembolehubah bukan rawak

Jika ialah nilai bukan rawak, maka

3. Menggantikan nilai bukan rawak untuk tanda jangkaan matematik

, (10.2.1)

iaitu nilai bukan rawak boleh diambil sebagai tanda jangkaan matematik.

Bukti.

a) Untuk kuantiti tak selanjar

b) Bagi kuantiti berterusan

.

4. Menggantikan nilai bukan rawak untuk tanda serakan dan sisihan piawai

Jika ialah kuantiti bukan rawak, dan adalah rawak, maka

, (10.2.2)

iaitu, nilai bukan rawak boleh diambil daripada tanda serakan dengan menduakannya.

Bukti. Mengikut takrif varians

Akibat

,

iaitu, nilai bukan rawak boleh dikeluarkan daripada tanda sisihan piawai dengan nilai mutlaknya. Kami mendapatkan bukti dengan mengambil punca kuasa dua daripada formula (10.2.2) dan mengambil kira bahawa r.s.o. - nilai positif yang ketara.

5. Jangkaan matematik jumlah pembolehubah rawak

Mari kita buktikan bahawa bagi mana-mana dua pembolehubah rawak dan

iaitu jangkaan matematik hasil tambah dua pembolehubah rawak adalah sama dengan jumlah jangkaan matematiknya.

Sifat ini dikenali sebagai teorem penambahan jangkaan matematik.

Bukti.

a) Biarkan sistem pembolehubah rawak tak selanjar. Guna pada jumlah pembolehubah rawak formula am(10.1.6) untuk jangkaan matematik bagi fungsi dua hujah:

.

Ho mewakili tidak lebih daripada jumlah kebarangkalian bahawa kuantiti akan mengambil nilai :

;

oleh itu,

.

Kami juga akan membuktikannya

,

dan teorem itu terbukti.

b) Biarkan sistem pembolehubah rawak selanjar. Mengikut formula (10.1.7)

. (10.2.4)

Mari kita tukar yang pertama daripada kamiran (10.2.4):

;

serupa

,

dan teorem itu terbukti.

Perlu diberi perhatian khusus bahawa teorem untuk menambah jangkaan matematik adalah sah untuk sebarang pembolehubah rawak - kedua-duanya bersandar dan bebas.

Teorem untuk menambah jangkaan matematik digeneralisasikan kepada bilangan istilah yang sewenang-wenangnya:

, (10.2.5)

iaitu jangkaan matematik hasil tambah beberapa pembolehubah rawak adalah sama dengan jumlah jangkaan matematiknya.

Untuk membuktikannya, cukup menggunakan kaedah induksi lengkap.

6. Jangkaan matematik fungsi linear

Pertimbangkan fungsi linear beberapa argumen rawak:

di manakah pekali bukan rawak. Mari kita buktikan

, (10.2.6)

iaitu jangkaan matematik bagi fungsi linear adalah sama dengan fungsi linear yang sama bagi jangkaan matematik bagi hujah.

Bukti. Menggunakan teorem penambahan m.o. dan peraturan meletakkan kuantiti bukan rawak di luar tanda m.o., kami memperoleh:

.

7. Dispepjumlah pembolehubah rawak ini

Varians jumlah dua pembolehubah rawak adalah sama dengan jumlah variansnya ditambah dua kali momen korelasi:

Bukti. Mari kita nyatakan

Mengikut teorem penambahan jangkaan matematik

Mari kita beralih daripada pembolehubah rawak ke pembolehubah berpusat yang sepadan. Menolak kesamaan (10.2.9) sebutan dengan sebutan daripada kesamaan (10.2.8), kita ada:

Mengikut definisi varians

Q.E.D.

Formula (10.2.7) untuk varians jumlah boleh digeneralisasikan kepada sebarang bilangan istilah:

, (10.2.10)

di mana adalah momen korelasi bagi kuantiti, tanda di bawah jumlah bermakna penjumlahan meluas kepada semua kemungkinan gabungan berpasangan pembolehubah rawak .

Buktinya adalah serupa dengan yang sebelumnya dan mengikuti formula untuk kuasa dua polinomial.

Formula (10.2.10) boleh ditulis dalam bentuk lain:

, (10.2.11)

di mana jumlah berganda meluas kepada semua elemen matriks korelasi sistem kuantiti , yang mengandungi kedua-dua momen korelasi dan varians.

Jika semua pembolehubah rawak , termasuk dalam sistem, tidak berkorelasi (iaitu, apabila ), formula (10.2.10) mengambil bentuk:

, (10.2.12)

iaitu varians jumlah pembolehubah rawak yang tidak berkorelasi adalah sama dengan jumlah varians istilah.

Kedudukan ini dikenali sebagai teorem penambahan varians.

8. Varians fungsi linear

Mari kita pertimbangkan fungsi linear beberapa pembolehubah rawak.

di manakah kuantiti bukan rawak.

Mari kita buktikan bahawa serakan fungsi linear ini dinyatakan oleh formula

, (10.2.13)

di manakah momen korelasi bagi kuantiti , .

Bukti. Mari kita perkenalkan notasi:

. (10.2.14)

Menggunakan formula (10.2.10) untuk penyebaran jumlah ke sebelah kanan ungkapan (10.2.14) dan mengambil kira bahawa , kita memperoleh:

di manakah momen korelasi bagi kuantiti:

.

Mari kita kira detik ini. Kami ada:

;

serupa

Menggantikan ungkapan ini kepada (10.2.15), kita sampai pada formula (10.2.13).

Dalam kes khas apabila semua kuantiti adalah tidak berkorelasi, formula (10.2.13) mengambil bentuk:

, (10.2.16)

iaitu, varians fungsi linear pembolehubah rawak tidak berkorelasi adalah sama dengan hasil tambah hasil kuasa dua pekali dan varians hujah yang sepadan.

9. Jangkaan matematik hasil darab pembolehubah rawak

Jangkaan matematik hasil darab dua pembolehubah rawak adalah sama dengan hasil jangkaan matematiknya ditambah dengan momen korelasi:

Bukti. Kami akan meneruskan dari definisi momen korelasi:

Mari kita ubah ungkapan ini menggunakan sifat jangkaan matematik:

yang jelas bersamaan dengan formula (10.2.17).

Jika pembolehubah rawak tidak berkorelasi, maka formula (10.2.17) mengambil bentuk:

iaitu jangkaan matematik hasil darab dua pembolehubah rawak tidak berkorelasi adalah sama dengan hasil jangkaan matematiknya.

Kedudukan ini dikenali sebagai teorem pendaraban jangkaan matematik.

Formula (10.2.17) adalah tidak lebih daripada ungkapan momen pusat campuran kedua sistem melalui campuran kedua detik permulaan dan jangkaan matematik:

. (10.2.19)

Ungkapan ini sering digunakan dalam amalan apabila mengira momen korelasi dengan cara yang sama seperti untuk satu pembolehubah rawak varians sering dikira melalui momen awal kedua dan jangkaan matematik.

Teorem pendaraban jangkaan matematik digeneralisasikan kepada bilangan faktor yang sewenang-wenangnya, hanya dalam kes ini, untuk penggunaannya, tidak cukup bahawa kuantiti tidak berkorelasi, tetapi diperlukan beberapa momen bercampur yang lebih tinggi, yang bilangannya bergantung pada bilangan istilah dalam produk, lenyap. Syarat-syarat ini pastinya berpuas hati jika pembolehubah rawak yang termasuk dalam produk adalah bebas. Dalam kes ini

, (10.2.20)

iaitu jangkaan matematik hasil darab pembolehubah rawak bebas adalah sama dengan hasil darab jangkaan matematiknya.

Cadangan ini boleh dibuktikan dengan mudah dengan induksi lengkap.

10. Varians hasil darab pembolehubah rawak bebas

Mari kita buktikan bahawa untuk kuantiti bebas

Bukti. Mari kita nyatakan. Mengikut definisi varians

Oleh kerana kuantiti adalah bebas, dan

Apabila bebas, kuantiti juga bebas; oleh itu,

,

Tetapi tidak ada yang lebih daripada momen awal kedua magnitud, dan, oleh itu, dinyatakan melalui penyebaran:

;

serupa

.

Menggantikan ungkapan ini ke dalam formula (10.2.22) dan membawa istilah yang serupa, kita tiba di formula (10.2.21).

Dalam kes apabila pembolehubah rawak berpusat (pembolehubah dengan jangkaan matematik sama dengan sifar) didarab, formula (10.2.21) mengambil bentuk:

, (10.2.23)

iaitu varians hasil darab pembolehubah rawak berpusat bebas adalah sama dengan hasil darab variansnya.

11. Momen yang lebih tinggi daripada jumlah pembolehubah rawak

Dalam sesetengah kes, adalah perlu untuk mengira momen tertinggi bagi jumlah pembolehubah rawak bebas. Mari kita buktikan beberapa hubungan yang berkaitan di sini.

1) Jika kuantiti adalah bebas, maka

Bukti.

dari mana, mengikut teorem pendaraban jangkaan matematik

Tetapi momen pusat pertama untuk sebarang kuantiti ialah sifar; dua istilah tengah hilang, dan formula (10.2.24) terbukti.

Perkaitan (10.2.24) mudah digeneralisasikan dengan induksi kepada bilangan sebutan bebas yang sewenang-wenangnya:

. (10.2.25)

2) Momen pusat keempat hasil tambah dua pembolehubah rawak bebas dinyatakan oleh formula

di manakah varians kuantiti dan .

Buktinya sama sekali dengan yang sebelumnya.

Menggunakan kaedah aruhan lengkap, adalah mudah untuk membuktikan generalisasi formula (10.2.26) kepada bilangan sebutan bebas yang sewenang-wenangnya.