Dom Pokryty język Znajdź punkt symetryczny do punktu a. Jak znaleźć punkt symetryczny względem prostej

Pokryty język

Znajdź punkt symetryczny do punktu a. Jak znaleźć punkt symetryczny względem prostej

Dana będzie nam pewna prosta określona równaniem liniowym oraz punkt określony przez jej współrzędne (x0, y0) i nie leżący na tej prostej. Należy znaleźć punkt, który byłby symetryczny do danego punktu na danej prostej, czyli pokrywałby się z nią, gdyby płaszczyzna była mentalnie zagięta w połowie wzdłuż tej prostej.

Instrukcje

1. Oczywiste jest, że oba punkty - dany i pożądany - muszą leżeć na tej samej linii, a linia ta musi być prostopadła do danej. Zatem pierwszą częścią problemu jest znalezienie równania prostej, która byłaby prostopadła do danej prostej i jednocześnie przechodziłaby przez dany punkt.

2. Linię prostą można określić na dwa sposoby. Równanie kanoniczne prostej wygląda następująco: Ax + By + C = 0, gdzie A, B i C są stałymi. Możesz także zdefiniować linię prostą za pomocą funkcja liniowa: y = kx + b, gdzie k jest wykładnikiem kątowym, b jest przemieszczeniem.Te dwie metody są wymienne i możliwe jest przejście od jednej do drugiej. Jeśli Ax + By + C = 0, to y = – (Ax + C)/B. Innymi słowy, w funkcji liniowej y = kx + b wykładnik kątowy k = -A/B i przemieszczenie b = -C/B. W przypadku danego zadania wygodniej jest opierać się na rozumowaniu równanie kanoniczne prosty.

3. Jeżeli dwie proste są do siebie prostopadłe, a równanie pierwszej prostej to Ax + By + C = 0, to równanie drugiej prostej powinno wyglądać jak Bx – Ay + D = 0, gdzie D jest stałą. Aby wykryć określoną wartość D, należy dodatkowo wiedzieć, przez który punkt przechodzi prosta prostopadła. W w tym przypadku to jest punkt (x0, y0), zatem D musi spełniać równość: Bx0 – Ay0 + D = 0, czyli D = Ay0 – Bx0.

4. Po odkryciu prostej prostopadłej należy obliczyć współrzędne punktu jej przecięcia z zadaną. Aby to zrobić, musimy rozwiązać system równania liniowe:Ax + By + C = 0,Bx – Ay + Ay0 – Bx0 = 0. Rozwiązanie da liczby (x1, y1), które służą jako współrzędne punktu przecięcia prostych.

5. Pożądany punkt musi leżeć na wykrytej linii, a jego odległość od punktu przecięcia musi być równa odległości od punktu przecięcia do punktu (x0, y0). Współrzędne punktu symetrycznego do punktu (x0, y0) można zatem znaleźć rozwiązując układ równań: Bx – Ay + Ay0 – Bx0 = 0,?((x1 – x0)^2 + (y1 – y0) ^2 = ?((x – x1)^2 + (y – y1)^2).

6. Ale możesz to zrobić łatwiej. Jeżeli punkty (x0, y0) i (x, y) znajdują się w równych odległościach od punktu (x1, y1), a wszystkie trzy punkty leżą na tej samej prostej, to: x – x1 = x1 – x0,y – y1 = y1 – y0. W konsekwencji x = 2×1 – x0, y = 2y1 – y0. Podstawiając te wartości do drugiego równania pierwszego układu i upraszczając wyrażenia, łatwo upewnić się, że jego prawa strona stanie się taka sama jak lewa. Poza tym nie ma sensu dalej rozważać pierwszego równania, gdyż wiadomo, że punkty (x0, y0) i (x1, y1) je spełniają, a punkt (x, y) oczywiście leży na tej samej prostej .

Zadanie polega na znalezieniu współrzędnych punktu, który jest symetryczny względem punktu względem prostej . Sugeruję wykonanie kroków samodzielnie, ale przedstawię algorytm rozwiązania z wynikami pośrednimi:

1) Znajdź linię prostopadłą do tej linii.

2) Znajdź punkt przecięcia linii: .

Obydwa działania zostały szczegółowo omówione w tej lekcji.

3) Punkt jest środkiem odcinka. Znamy współrzędne środka i jednego z końców. Przez wzory na współrzędne środka odcinka znaleźliśmy .

Dobrze byłoby sprawdzić, czy odległość wynosi również 2,2 jednostki.

W obliczeniach mogą pojawić się tutaj trudności, ale w wieży bardzo pomocny jest mikrokalkulator, pozwalający obliczyć ułamki zwykłe. Doradzałem już wiele razy i będę polecał jeszcze raz.

Jak znaleźć odległość między dwiema równoległymi liniami?

Przykład 9

Znajdź odległość między dwiema równoległymi liniami

To kolejny przykład dla niezależna decyzja. Dam ci małą wskazówkę: istnieje nieskończenie wiele sposobów rozwiązania tego problemu. Podsumowanie lekcji na koniec lekcji, ale lepiej spróbować zgadnąć samodzielnie, myślę, że twoja pomysłowość była dobrze rozwinięta.

Kąt między dwiema prostymi

Każdy narożnik jest ościeżem:

W geometrii za kąt pomiędzy dwiema prostymi przyjmuje się MNIEJSZY kąt, z czego automatycznie wynika, że nie może być rozwarty. Na rysunku kąt wskazany przez czerwony łuk nie jest uważany za kąt pomiędzy przecinającymi się liniami. I jego „zielony” sąsiad lub zorientowany przeciwnie kącik „malinowy”.

Jeśli linie są prostopadłe, to dowolny z 4 kątów można przyjąć jako kąt między nimi.

Czym różnią się kąty? Orientacja. Po pierwsze, kierunek, w którym kąt jest „przewijany”, ma fundamentalne znaczenie. Po drugie, kąt zorientowany negatywnie jest zapisywany znakiem minus, na przykład jeśli .

Dlaczego ci to powiedziałem? Wydaje się, że możemy obejść się przy zwykłym pojęciu kąta. Faktem jest, że wzory, dzięki którym znajdziemy kąty, mogą łatwo dać wynik ujemny i nie powinno Cię to dziwić. Kąt ze znakiem minus nie jest gorszy i ma bardzo specyficzny charakter znaczenie geometryczne. Na rysunku dla kąta ujemnego należy wskazać jego orientację strzałką (zgodnie z ruchem wskazówek zegara).

Jak znaleźć kąt między dwiema liniami prostymi? Istnieją dwie działające formuły:

Przykład 10

Znajdź kąt między liniami

Rozwiązanie I Metoda pierwsza

Rozważ dwie linie proste określone przez równania w ogólna perspektywa:

Jeśli prosto nie prostopadle, To zorientowany Kąt między nimi można obliczyć ze wzoru:

Zwróćmy szczególną uwagę na mianownik - dokładnie tak produkt skalarny wektory kierujące prostych:

Jeśli , to mianownik wzoru wyniesie zero, a wektory będą ortogonalne, a proste będą prostopadłe. Dlatego też zgłoszono zastrzeżenie dotyczące nieprostopadłości linii prostych w sformułowaniu.

W związku z powyższym wygodnie jest sformalizować rozwiązanie w dwóch etapach:

1) Obliczmy iloczyn skalarny wektorów kierunkowych prostych:

2) Znajdź kąt między prostymi, korzystając ze wzoru:

Korzystając z funkcji odwrotnej, łatwo jest znaleźć sam kąt. W tym przypadku używamy nieparzystości arcustangens (patrz. Wykresy i właściwości funkcje elementarne ):

Odpowiedź:

W odpowiedzi wskazujemy Dokładna wartość, a także wartość przybliżoną (najlepiej w stopniach i radianach), obliczoną za pomocą kalkulatora.

No cóż, minus, minus, nic wielkiego. Oto ilustracja geometryczna:

Nic dziwnego, że kąt okazał się mieć negatywną orientację, ponieważ w opisie problemu pierwsza liczba jest linią prostą i właśnie od niej rozpoczęło się „odkręcanie” kąta.

Jeśli naprawdę chcesz uzyskać kąt dodatni, musisz zamienić linie, to znaczy wziąć współczynniki z drugiego równania i weź współczynniki z pierwszego równania. Krótko mówiąc, musisz zacząć od bezpośredniego .

Nie będę tego ukrywał, sam wybieram proste w takiej kolejności, aby kąt okazał się dodatni. Jest piękniej, ale nic więcej.

Aby sprawdzić rozwiązanie, możesz wziąć kątomierz i zmierzyć kąt.

Metoda druga

Jeśli linie proste są dane przez równania z nachyleniem i nie prostopadle, To zorientowany Kąt między nimi można obliczyć korzystając ze wzoru:

Warunek prostopadłości prostych wyraża się równością, z której, nawiasem mówiąc, wynika bardzo przydatna zależność między współczynnikami kątowymi prostych prostopadłych: , która jest wykorzystywana w niektórych zagadnieniach.

Algorytm rozwiązania jest podobny do poprzedniego akapitu. Ale najpierw przepiszemy nasze proste w wymaganej formie:

Zatem nachylenia są następujące:

1) Sprawdźmy, czy proste są prostopadłe:
, co oznacza, że linie nie są prostopadłe.

2) Skorzystaj ze wzoru:

Odpowiedź:

Drugą metodę można zastosować, gdy równania prostych są początkowo określane za pomocą współczynnika kątowego. Należy zauważyć, że jeśli co najmniej jedna prosta jest równoległa do osi rzędnych, wówczas wzór w ogóle nie ma zastosowania, ponieważ dla takich prostych nachylenie nie jest określone (patrz artykuł Równanie prostej na płaszczyźnie).

Istnieje trzecie rozwiązanie. Pomysł polega na obliczeniu kąta pomiędzy wektorami kierunkowymi linii, korzystając ze wzoru omawianego na lekcji Iloczyn skalarny wektorów:

Tutaj nie mówimy już o zorientowanym kącie, ale „tylko o kącie”, to znaczy wynik z pewnością będzie pozytywny. Problem polega na tym, że możesz otrzymać kąt rozwarty (nie ten, którego potrzebujesz). W takim przypadku będziesz musiał zastrzec, że kąt między prostymi jest mniejszym kątem i odjąć powstały łuk cosinus od radianów „pi” (180 stopni).

Ci, którzy chcą, mogą rozwiązać problem na trzeci sposób. Ale nadal zalecam trzymanie się pierwszego podejścia z zorientowanym kątem, ponieważ jest ono powszechne.

Przykład 11

Znajdź kąt między liniami.

To jest przykład, który możesz rozwiązać samodzielnie. Spróbuj rozwiązać to na dwa sposoby.

Jakoś bajka po drodze ucichła... Bo nie ma Kaszczeja Nieśmiertelnego. Jestem ja i nie jestem szczególnie zaparowany. Szczerze mówiąc, myślałem, że artykuł będzie znacznie dłuższy. Ale i tak wezmę mój niedawno nabyty kapelusz i okulary i pójdę popływać we wrześniowej wodzie jeziora. Doskonale łagodzi zmęczenie i negatywną energię.

Zanim do zobaczenia wkrótce!

I pamiętajcie, Baba Jaga nie została odwołana =)

Rozwiązania i odpowiedzi:

Przykład 3:Rozwiązanie : Znajdźmy wektor kierunkowy linii :

Ułóżmy równanie żądanej linii za pomocą punktu i wektor kierunkowy . Ponieważ jedna ze współrzędnych wektora kierunku wynosi zero, równanie. przepiszemy to w postaci:

Odpowiedź :

Przykład 5:Rozwiązanie :
1) Równanie prostej ustalmy dwa punkty :

2) Równanie prostej ustalmy dwa punkty :

3) Odpowiednie współczynniki dla zmiennych nieproporcjonalne: , co oznacza, że linie się przecinają.
4) Znajdź punkt :

Notatka : tutaj pierwsze równanie układu jest mnożone przez 5, następnie drugie równanie jest odejmowane wyraz po wyrazie od pierwszego równania.
Odpowiedź :

Och, och, och, och… no cóż, jest ciężko, jakby sam sobie czytał zdanie =) Jednak relaks przyda się później, tym bardziej, że dzisiaj kupiłem odpowiednie akcesoria. Przejdźmy zatem do pierwszej części, mam nadzieję, że do końca artykułu utrzymam pogodny nastrój.

Względne położenie dwóch linii prostych

Dzieje się tak, gdy publiczność śpiewa razem z chórem. Dwie linie proste mogą:

1) mecz;

2) być równoległe: ;

3) lub przecinają się w jednym punkcie: .

Pomoc dla manekinów : Proszę pamiętać o matematycznym znaku przecięcia, będzie on pojawiał się bardzo często. Oznaczenie oznacza, że linia przecina się z linią w punkcie .

Jak określić względne położenie dwóch linii?

Zacznijmy od pierwszego przypadku:

Dwie linie pokrywają się wtedy i tylko wtedy, gdy odpowiadające im współczynniki są proporcjonalne, czyli istnieje liczba „lambda”, która spełnia równość

Rozważmy linie proste i utwórz trzy równania z odpowiednich współczynników: . Z każdego równania wynika, że zatem te linie się pokrywają.

Rzeczywiście, jeśli wszystkie współczynniki równania pomnóż przez –1 (zmień znak) i wszystkie współczynniki równania po przecięciu przez 2 otrzymasz to samo równanie: .

Drugi przypadek, gdy linie są równoległe:

Dwie linie są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy ich współczynniki zmiennych są proporcjonalne: , Ale.

Jako przykład rozważmy dwie linie proste. Sprawdzamy proporcjonalność odpowiednich współczynników dla zmiennych:

Jednakże jest to całkiem oczywiste.

I trzeci przypadek, gdy linie się przecinają:

Dwie linie przecinają się wtedy i tylko wtedy, gdy ich współczynniki zmiennych NIE są proporcjonalne, czyli NIE ma takiej wartości „lambda”, aby równości były spełnione

Zatem dla prostych stworzymy układ:

Z pierwszego równania wynika, że , a z drugiego równania: , co oznacza system jest niespójny(brak rozwiązań). Zatem współczynniki zmiennych nie są proporcjonalne.

Wniosek: linie się przecinają

W przypadku problemów praktycznych można skorzystać z omówionego właśnie schematu rozwiązania. Nawiasem mówiąc, bardzo przypomina algorytm sprawdzania wektorów pod kątem współliniowości, który oglądaliśmy na zajęciach Pojęcie liniowej (nie)zależności wektorów. Baza wektorów. Ale jest bardziej cywilizowane opakowanie:

Przykład 1

Rozwiązać wzajemne porozumienie bezpośredni:

Rozwiązanie na podstawie badania wektorów kierunku prostych:

a) Z równań znajdujemy wektory kierunkowe linii: .

, co oznacza, że wektory nie są współliniowe, a linie przecinają się.

Na wszelki wypadek postawię na skrzyżowaniu kamień z napisami:

Reszta przeskakuje kamień i podąża dalej, prosto do Nieśmiertelnego Kaszczeja =)

b) Znajdź wektory kierunkowe linii:

Linie mają ten sam wektor kierunkowy, co oznacza, że są równoległe lub pokrywają się. Nie ma tu potrzeby liczenia wyznacznika.

Jest oczywiste, że współczynniki niewiadomych są proporcjonalne, a .

Sprawdźmy, czy równość jest prawdziwa:

Zatem,

c) Znajdź wektory kierunkowe linii:

Obliczmy wyznacznik złożony ze współrzędnych tych wektorów:
dlatego wektory kierunkowe są współliniowe. Linie są równoległe lub pokrywają się.

Współczynnik proporcjonalności „lambda” można łatwo zobaczyć bezpośrednio ze stosunku współliniowych wektorów kierunkowych. Można to jednak również znaleźć na podstawie współczynników samych równań: .

Sprawdźmy teraz, czy równość jest prawdziwa. Obydwa wolne terminy mają wartość zerową, zatem:

Wynikowa wartość spełnia to równanie (na ogół spełnia je dowolna liczba).

W ten sposób linie się pokrywają.

Odpowiedź:

Już wkrótce nauczysz się (a nawet już nauczyłeś się), jak rozwiązać problem omawiany ustnie dosłownie w ciągu kilku sekund. W związku z tym nie widzę sensu proponowania czegokolwiek w zamian za samodzielne rozwiązanie, lepiej włożyć w geometryczny fundament kolejną ważną cegłę:

Jak skonstruować prostą równoległą do danej?

Za nieznajomość tego najprostszego zadania Słowik Zbójca surowo karze.

Przykład 2

Linię prostą wyznacza równanie. Napisz równanie prostej równoległej przechodzącej przez ten punkt.

Rozwiązanie: Oznaczmy nieznaną linię literą . Co mówi o niej ten stan? Prosta przechodzi przez ten punkt. A jeśli linie są równoległe, to oczywiste jest, że wektor kierunkowy linii prostej „tse” nadaje się również do zbudowania linii prostej „de”.

Wyciągamy wektor kierunkowy z równania:

Odpowiedź:

Przykładowa geometria wygląda prosto:

Testowanie analityczne składa się z następne kroki:

1) Sprawdzamy, czy proste mają ten sam wektor kierunkowy (jeśli równanie prostej nie zostanie odpowiednio uproszczone, to wektory będą współliniowe).

2) Sprawdź, czy punkt spełnia otrzymane równanie.

W większości przypadków badania analityczne można łatwo przeprowadzić ustnie. Spójrz na te dwa równania, a wielu z Was szybko określi równoległość linii bez żadnego rysunku.

Przykłady samodzielnych rozwiązań będą dziś kreatywne. Bo nadal będziesz musiał konkurować z Babą Jagą, a ona, jak wiadomo, jest miłośniczką wszelkiego rodzaju zagadek.

Przykład 3

Napisz równanie prostej przechodzącej przez punkt równoległy do prostej jeśli

Istnieje racjonalny i niezbyt racjonalny sposób rozwiązania tego problemu. Najkrótsza droga jest na końcu lekcji.

Pracowaliśmy trochę z liniami równoległymi i wrócimy do nich później. Przypadek zbiegających się linii jest mało interesujący, więc rozważmy problem, który jest ci znany program nauczania:

Jak znaleźć punkt przecięcia dwóch linii?

Jeśli prosto przecinają się w punkcie , to jego współrzędne są rozwiązaniem układy równań liniowych

Jak znaleźć punkt przecięcia prostych? Rozwiąż system.

Proszę bardzo znaczenie geometryczne układu dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi- są to dwie przecinające się (najczęściej) linie na płaszczyźnie.

Przykład 4

Znajdź punkt przecięcia linii

Rozwiązanie: Istnieją dwa sposoby rozwiązania - graficzny i analityczny.

Metoda graficzna polega po prostu na narysowaniu podanych linii i ustaleniu punktu przecięcia bezpośrednio z rysunku:

Oto nasz punkt widzenia: . Aby to sprawdzić należy podstawić jego współrzędne do każdego równania prostej, powinny pasować zarówno tam, jak i tam. Innymi słowy, współrzędne punktu są rozwiązaniem układu. Zasadniczo przyjrzeliśmy się rozwiązaniu graficznemu układy równań liniowych z dwoma równaniami i dwiema niewiadomymi.

Metoda graficzna nie jest oczywiście zła, ale zauważalne są wady. Nie, nie chodzi o to, że siódmoklasiści tak decydują, chodzi o to, że stworzenie prawidłowego i DOKŁADNEGO rysunku zajmie trochę czasu. Poza tym niektóre linie proste nie są tak łatwe do skonstruowania, a sam punkt przecięcia może znajdować się gdzieś w trzydziestym królestwie poza kartką zeszytu.

Dlatego bardziej celowe jest poszukiwanie punktu przecięcia metodą analityczną. Rozwiążmy układ:

Do rozwiązania układu wykorzystano metodę dodawania równań wyraz po wyrazie. Aby rozwinąć odpowiednie umiejętności, weź lekcję Jak rozwiązać układ równań?

Odpowiedź:

Sprawdzenie jest banalne – współrzędne punktu przecięcia muszą spełniać każde równanie układu.

Przykład 5

Znajdź punkt przecięcia prostych, jeśli się przecinają.

To jest przykład, który możesz rozwiązać samodzielnie. Wygodnie jest podzielić zadanie na kilka etapów. Analiza warunku sugeruje, że konieczne jest:
1) Zapisz równanie prostej.
2) Zapisz równanie prostej.
3) Znajdź względne położenie linii.
4) Jeśli linie przecinają się, znajdź punkt przecięcia.

Opracowanie algorytmu działania jest typowe dla wielu problemów geometrycznych i będę się na tym wielokrotnie skupiał.

Kompletne rozwiązanie i odpowiedź na końcu lekcji:

Zanim dotarliśmy do drugiej części lekcji, nie zużyła się nawet para butów:

Prostopadłe linie. Odległość punktu od linii.
Kąt pomiędzy liniami prostymi

Zacznijmy od typowego i bardzo ważne zadanie. W pierwszej części nauczyliśmy się budować linię prostą równoległą do tej, a teraz chatka na udkach kurczaka obróci się o 90 stopni:

Jak skonstruować prostą prostopadłą do danej?

Przykład 6

Linię prostą wyznacza równanie. Zapisz równanie prostopadłe do prostej przechodzącej przez ten punkt.

Rozwiązanie: Pod warunkiem wiadomo , że . Byłoby miło znaleźć wektor kierujący linii. Ponieważ linie są prostopadłe, sztuczka jest prosta:

Z równania „usuwamy” wektor normalny: , który będzie wektorem kierującym prostej.

Ułóżmy równanie linii prostej za pomocą punktu i wektora kierunku:

Odpowiedź:

Rozwińmy szkic geometryczny:

Hmmm... Pomarańczowe niebo, pomarańczowe morze, pomarańczowy wielbłąd.

Analityczna weryfikacja rozwiązania:

1) Wyciągamy wektory kierunkowe z równań i z pomocą Iloczyn skalarny wektorów dochodzimy do wniosku, że proste są rzeczywiście prostopadłe: .

Nawiasem mówiąc, możesz użyć normalnych wektorów, jest to jeszcze łatwiejsze.

2) Sprawdź, czy punkt spełnia otrzymane równanie .

Test ponownie można łatwo przeprowadzić ustnie.

Przykład 7

Znajdź punkt przecięcia prostych prostopadłych, jeśli równanie jest znane i okres.

To jest przykład, który możesz rozwiązać samodzielnie. Problem obejmuje kilka działań, dlatego wygodnie jest formułować rozwiązanie punkt po punkcie.

Nasza ekscytująca podróż trwa:

Odległość od punktu do linii

Przed nami prosty pas rzeki i naszym zadaniem jest dotarcie do niego najkrótszą drogą. Nie ma żadnych przeszkód, a najbardziej optymalną trasą będzie poruszanie się po prostopadle. Oznacza to, że odległość punktu od linii to długość odcinka prostopadłego.

Odległość w geometrii tradycyjnie oznacza się grecką literą „rho”, na przykład: – odległość od punktu „em” do prostej „de”.

Odległość od punktu do linii wyrażone wzorem

Przykład 8

Znajdź odległość punktu od linii

Rozwiązanie: wystarczy ostrożnie podstawić liczby do wzoru i wykonać obliczenia:

Odpowiedź:

Zróbmy rysunek:

Znaleziona odległość punktu od linii jest dokładnie równa długości czerwonego odcinka. Jeśli narysujesz rysunek na papierze w kratkę w skali 1 jednostki. = 1 cm (2 komórki), wówczas odległość można zmierzyć zwykłą linijką.

Rozważmy inne zadanie oparte na tym samym rysunku:

1) Znajdź linię prostopadłą do tej linii.

2) Znajdź punkt przecięcia linii: .

Obydwa działania zostały szczegółowo omówione w tej lekcji.

3) Punkt jest środkiem odcinka. Znamy współrzędne środka i jednego z końców. Przez wzory na współrzędne środka odcinka znaleźliśmy .

Dobrze byłoby sprawdzić, czy odległość wynosi również 2,2 jednostki.

W obliczeniach mogą pojawić się tutaj trudności, ale w wieży dużą pomocą jest mikrokalkulator, pozwalający obliczyć ułamki zwykłe. Doradzałem już wiele razy i będę polecał jeszcze raz.

Jak znaleźć odległość między dwiema równoległymi liniami?

Przykład 9

Znajdź odległość między dwiema równoległymi liniami

To kolejny przykład, który możesz podjąć samodzielnie. Dam ci małą wskazówkę: istnieje nieskończenie wiele sposobów rozwiązania tego problemu. Podsumowanie lekcji na koniec lekcji, ale lepiej spróbować zgadnąć samodzielnie, myślę, że twoja pomysłowość była dobrze rozwinięta.

Kąt między dwiema prostymi

Jeśli linie są prostopadłe, to dowolny z 4 kątów można przyjąć jako kąt między nimi.

Dlaczego ci to powiedziałem? Wydaje się, że możemy obejść się przy zwykłym pojęciu kąta. Faktem jest, że wzory, dzięki którym znajdziemy kąty, mogą łatwo dać wynik ujemny i nie powinno Cię to dziwić. Kąt ze znakiem minus nie jest gorszy i ma bardzo specyficzne znaczenie geometryczne. Na rysunku dla kąta ujemnego należy wskazać jego orientację strzałką (zgodnie z ruchem wskazówek zegara).

Jak znaleźć kąt między dwiema liniami prostymi? Istnieją dwie działające formuły:

Przykład 10

Znajdź kąt między liniami

Rozwiązanie I Metoda pierwsza

Rozważmy dwie linie proste określone równaniami w postaci ogólnej:

Jeśli prosto nie prostopadle, To zorientowany Kąt między nimi można obliczyć ze wzoru:

Zwróćmy szczególną uwagę na mianownik - dokładnie tak produkt skalarny wektory kierujące prostych:

W związku z powyższym wygodnie jest sformalizować rozwiązanie w dwóch etapach:

1) Obliczmy iloczyn skalarny wektorów kierunkowych prostych:
, co oznacza, że linie nie są prostopadłe.

2) Znajdź kąt między prostymi, korzystając ze wzoru:

Korzystając z funkcji odwrotnej, łatwo jest znaleźć sam kąt. W tym przypadku używamy nieparzystości arcustangens (patrz. Wykresy i własności funkcji elementarnych):

Odpowiedź:

W Twojej odpowiedzi podajemy wartość dokładną, a także wartość przybliżoną (najlepiej w stopniach i radianach), obliczoną za pomocą kalkulatora.

Sformułowanie problemu. Znajdź współrzędne punktu symetrycznego do punktu względem samolotu.

Plan rozwiązania.

1. Znajdź równanie prostej prostopadłej do danej płaszczyzny i przechodzącej przez ten punkt . Ponieważ linia prosta jest prostopadła do danej płaszczyzny, wówczas wektor normalny płaszczyzny można przyjąć jako jej wektor kierunkowy, tj.

Zatem równanie prostej będzie wyglądało

2. Znajdź punkt przecięcie linii prostej i samoloty (patrz zadanie 13).

3. Punkt jest środkiem odcinka, w którym znajduje się punkt jest punktem symetrycznym do punktu , Dlatego

Problem 14. Znajdź punkt symetryczny do punktu względem płaszczyzny.

Równanie prostej przechodzącej przez punkt prostopadły do danej płaszczyzny będzie miało postać:

Znajdźmy punkt przecięcia prostej i płaszczyzny.

Gdzie – punkt przecięcia prostej i płaszczyzny jest zatem środkiem odcinka

Te. .

Jednorodne współrzędne płaszczyzny. Transformacje afiniczne na płaszczyźnie.

Pozwalać M X I Na

M(X, NaMae (X, Na, 1) w przestrzeni (ryc. 8).

Mae (X, Na

Mae (X, Na hu.

(hx, hy, h), h  0,

Komentarz

H(Na przykład, H

Właściwie, biorąc pod uwagę H

Komentarz

Przykład 1.

B) pod kątem (ryc. 9).

1. krok.

2. krok. Obróć o kąt 

macierz odpowiedniej transformacji.

Trzeci krok. Przenieś do wektora A(a, B)

macierz odpowiedniej transformacji.

Przykład 3

 wzdłuż osi x i

1. krok.

macierz odpowiedniej transformacji.

2. krok.

Trzeci krok.

w końcu to dostaniemy

Komentarz

[R], [D], [M], [T],

Pozwalać M- dowolny punkt płaszczyzny ze współrzędnymi X I Na, obliczony względem danego prostoliniowego układu współrzędnych. Jednorodne współrzędne tego punktu to dowolna trójka jednocześnie niezerowych liczb x 1, x 2, x 3, powiązanych z danymi liczbami x i y następującymi zależnościami:

Przy rozwiązywaniu problemów grafiki komputerowej jednorodne współrzędne są zwykle wprowadzane w następujący sposób: do dowolnego punktu M(X, Na) płaszczyzna ma przypisany punkt Mae (X, Na, 1) w przestrzeni (ryc. 8).

Zauważ, że dowolny punkt na linii łączącej początek układu współrzędnych, punkt 0(0, 0, 0), z punktem Mae (X, Na, 1), można podać za pomocą trójki liczb w postaci (hx, hy, h).

Wektor o współrzędnych hx, hy, jest wektorem kierunkowym linii prostej łączącej punkty 0 (0, 0, 0) i Mae (X, Na, 1). Linia ta przecina płaszczyznę z = 1 w punkcie (x, y, 1), który jednoznacznie definiuje punkt (x, y) płaszczyzny współrzędnych hu.

Zatem pomiędzy dowolnym punktem o współrzędnych (x, y) a zbiorem trójek liczb postaci

(hx, hy, h), h  0,

ustala się zgodność (jeden do jednego), która pozwala nam uwzględnić liczby hx, hy, h jako nowe współrzędne tego punktu.

Komentarz

Powszechnie stosowane w geometrii rzutowej współrzędne jednorodne pozwalają skutecznie opisywać tzw. elementy niewłaściwe (głównie takie, w których płaszczyzna rzutowa różni się od znanej nam płaszczyzny euklidesowej). Więcej szczegółów na temat nowych możliwości, jakie dają wprowadzone współrzędne jednorodne, omówiono w czwartej części tego rozdziału.

W geometrii rzutowej dla współrzędnych jednorodnych przyjmuje się następującą notację:

x:y:1 lub, bardziej ogólnie, x1:x2:x3

(pamiętaj, że tutaj jest absolutnie wymagane, aby liczby x 1, x 2, x 3 nie zmieniały się jednocześnie na zero).

Stosowanie współrzędnych jednorodnych okazuje się wygodne nawet przy rozwiązywaniu najprostszych problemów.

Rozważmy na przykład kwestie związane ze zmianami skali. Jeśli urządzenie wyświetlające działa tylko z liczbami całkowitymi (lub jeśli musisz pracować tylko z liczbami całkowitymi), to dla dowolnej wartości H(Na przykład, H= 1) punkt o jednorodnych współrzędnych

niemożliwe do wyobrażenia. Jednak przy rozsądnym wyborze h można zapewnić, że współrzędne tego punktu są liczbami całkowitymi. W szczególności dla h = 10 dla rozważanego przykładu mamy

Rozważmy inny przypadek. Aby wyniki transformacji nie prowadziły do przepełnienia arytmetycznego, dla punktu o współrzędnych (80000 40000 1000) można przyjąć np. h=0,001. W rezultacie otrzymujemy (80 40 1).

Podane przykłady pokazują użyteczność stosowania współrzędnych jednorodnych przy przeprowadzaniu obliczeń. Jednak głównym celem wprowadzenia współrzędnych jednorodnych w grafice komputerowej jest ich niewątpliwa wygoda w zastosowaniu do przekształceń geometrycznych.

Za pomocą trójek jednorodnych współrzędnych i macierzy trzeciego rzędu można opisać dowolną transformację afiniczną płaszczyzny.

Właściwie, biorąc pod uwagę H= 1, porównaj dwa wpisy: oznaczone symbolem * i następującą macierz:

Łatwo zauważyć, że po pomnożeniu wyrażeń po prawej stronie ostatniej relacji otrzymujemy oba wzory (*) i poprawną równość liczbową 1=1.

Komentarz

Czasami w literaturze stosuje się inną notację - notację kolumnową:

Notacja ta jest równoważna powyższej notacji linia po linii (i jest z niej uzyskiwana poprzez transpozycję).

Elementy dowolnej macierzy transformacji afinicznej nie mają wyraźnego znaczenia geometrycznego. Dlatego, aby wdrożyć to lub inne mapowanie, czyli znaleźć elementy odpowiedniej macierzy zgodnie z danym opisem geometrycznym, potrzebne są specjalne techniki. Zazwyczaj konstrukcja tej macierzy, zgodnie ze złożonością rozpatrywanego problemu i opisanymi powyżej szczególnymi przypadkami, dzieli się na kilka etapów.

Na każdym etapie szukana jest macierz odpowiadająca jednemu lub drugiemu z powyższych przypadków A, B, C lub D, które mają dobrze określone właściwości geometryczne.

Zapiszmy odpowiednie macierze trzeciego rzędu.

A. Macierz rotacji

B. Macierz dylatacyjna

B. Matryca refleksji

D. Macierz transferu (tłumaczenie)

Rozważmy przykłady przekształceń afinicznych płaszczyzny.

Przykład 1.

Skonstruuj macierz rotacji wokół punktu A (a,B) pod kątem (ryc. 9).

1. krok. Przejście na wektor – A (-a, -b) w celu zrównania środka obrotu z początkiem współrzędnych;

macierz odpowiedniej transformacji.

2. krok. Obróć o kąt 

macierz odpowiedniej transformacji.

Trzeci krok. Przenieś do wektora A(a, B) przywrócić środek obrotu do poprzedniego położenia;

macierz odpowiedniej transformacji.

Pomnóżmy macierze w tej samej kolejności, w jakiej zostały zapisane:

W rezultacie okazuje się, że pożądana transformacja (w notacji macierzowej) będzie wyglądać następująco:

Elementy powstałej macierzy (zwłaszcza w ostatnim wierszu) nie są tak łatwe do zapamiętania. Jednocześnie każdą z trzech pomnożonych macierzy można łatwo skonstruować na podstawie opisu geometrycznego odpowiedniego odwzorowania.

Przykład 3

Skonstruuj macierz rozciągania ze współczynnikami rozciągania wzdłuż osi x i wzdłuż osi rzędnych i ze środkiem w punkcie A(a, b).

1. krok. Przenieś do wektora -A(-a, -b), aby zrównać środek rozciągania z początkiem współrzędnych;

macierz odpowiedniej transformacji.

2. krok. Rozciąganie wzdłuż osi współrzędnych odpowiednio o współczynnikach  i ; macierz transformacji ma postać

Trzeci krok. Przejdź do wektora A(a, b), aby przywrócić środek napięcia do poprzedniego położenia; macierz odpowiedniej transformacji –

Mnożenie macierzy w tej samej kolejności

w końcu to dostaniemy

Komentarz

Rozumowanie w podobny sposób, czyli rozbicie proponowanej transformacji na etapy wsparte macierzami[R], [D], [M], [T], na podstawie jej opisu geometrycznego można skonstruować macierz dowolnej transformacji afinicznej.

Przesunięcie jest realizowane przez dodawanie, a skalowanie i obrót poprzez mnożenie.

Transformacja skalowania (dylatacja) względem początku ma postać:

lub w formie macierzowej:

Gdzie DX,Dy są współczynnikami skalowania wzdłuż osi, oraz

- macierz skalowania.

Gdy D > 1, następuje rozwinięcie, gdy 0<=D<1- сжатие

Transformacja rotacyjna względem początku ma postać:

lub w formie macierzowej:

gdzie φ jest kątem obrotu, oraz

- macierz rotacji.

Komentarz: Kolumny i wiersze macierzy rotacji są wzajemnie ortogonalnymi wektorami jednostkowymi. W rzeczywistości kwadraty długości wektorów wierszowych są równe jeden:

cosφ cosφ+sinφ sinφ = 1 i (-sinφ) (-sinφ)+cosφ cosφ = 1,

a iloczyn skalarny wektorów wierszowych wynosi

cosφ (-sinφ) + sinφ cosφ= 0.

Ponieważ iloczyn skalarny wektorów A · B = |A| ·| B| ·cosψ, gdzie | A| - długość wektora A, |B| - długość wektora B, a ψ jest najmniejszym dodatnim kątem między nimi, to z równości 0 iloczynu skalarnego dwóch wektorów wierszowych o długości 1 wynika, że kąt między nimi wynosi 90 °.

Linię prostą w przestrzeni można zawsze zdefiniować jako linię przecięcia dwóch nierównoległych płaszczyzn. Jeżeli równanie jednej płaszczyzny jest równaniem drugiej płaszczyzny, wówczas równanie prostej podaje się jako

Tutaj niewspółliniowy
. Równania te nazywane są równania ogólne prosto w przestrzeń.

Równania kanoniczne prostej

Wektor kierunkowy tej linii nazywa się dowolny niezerowy wektor leżący na danej linii lub do niej równoległy.

Jeśli punkt jest znany
linia prosta i jej wektor kierunkowy
, wówczas równania kanoniczne prostej mają postać:

. (9)

Równania parametryczne prostej

Niech zostaną podane równania kanoniczne prostej

Stąd otrzymujemy równania parametryczne prostej:

(10)

Równania te są przydatne do znajdowania punktu przecięcia linii i płaszczyzny.

Równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty
I
ma postać:

Kąt pomiędzy liniami prostymi

Kąt pomiędzy liniami prostymi

równy kątowi między ich wektorami kierunkowymi. Można więc to obliczyć korzystając ze wzoru (4):

Warunek dla prostych równoległych:

Warunek na prostopadłość płaszczyzn:

Odległość punktu od prostej

P powiedzmy, że punkt został podany
i proste

Z równań kanonicznych prostej znamy punkt
, należący do linii i jej wektor kierunkowy
. Następnie odległość punktu
od prostej jest równa wysokości równoległoboku zbudowanego na wektorach I
. Stąd,

Warunek przecięcia linii

Dwie nierównoległe linie

przecinają się wtedy i tylko wtedy, gdy

Względne położenie linii prostej i płaszczyzny.

Niech zostanie podana prosta
i samolot. Narożnik między nimi można znaleźć za pomocą wzoru

Zadanie 73. Zapisz równania kanoniczne prostej

(11)

Rozwiązanie. Aby zapisać równania kanoniczne prostej (9), należy znać dowolny punkt należący do tej prostej oraz wektor kierunkowy tej prostej.

Znajdźmy wektor , równolegle do tej linii. Ponieważ musi być prostopadły do wektorów normalnych tych płaszczyzn, tj.

,
, To

Z ogólnych równań prostej mamy to
,
. Następnie

Od tego momentu
dowolny punkt na prostej, wówczas jego współrzędne muszą spełniać równania prostej i można określić jedno z nich, np.
, znajdujemy pozostałe dwie współrzędne z układu (11):

Stąd,
.

Zatem równania kanoniczne pożądanej linii mają postać:

Lub
.

Zadanie 74.

I
.

Rozwiązanie. Z równań kanonicznych pierwszej prostej znane są współrzędne punktu
należące do linii oraz współrzędne wektora kierunku
. Z równań kanonicznych drugiej prostej znane są także współrzędne punktu
i współrzędne wektora kierunku
.

Odległość między liniami równoległymi jest równa odległości punktu
z drugiej prostej. Odległość tę oblicza się ze wzoru

Znajdźmy współrzędne wektora
.

Obliczmy iloczyn wektorowy
:

Zadanie 75. Znajdź punkt punkt symetryczny
stosunkowo proste

Rozwiązanie. Zapiszmy równanie płaszczyzny prostopadłej do danej prostej i przechodzącej przez punkt . Jako jego wektor normalny możesz wziąć wektor kierunkowy linii prostej. Następnie
. Stąd,

Znajdźmy punkt
punkt przecięcia tej prostej i płaszczyzny P. W tym celu zapisujemy równania parametryczne prostej za pomocą równań (10), otrzymujemy

Stąd,
.

Pozwalać
punkt symetryczny do punktu
względem tej linii. Następnie wskaż
punkt środkowy
. Aby znaleźć współrzędne punktu Korzystamy ze wzorów na współrzędne środka odcinka:

,
,
.

Więc,
.

Zadanie 76. Napisz równanie płaszczyzny przechodzącej przez prostą
I

a) przez punkt
;

b) prostopadle do płaszczyzny.

Rozwiązanie. Zapiszmy ogólne równania tej prostej. Aby to zrobić, rozważ dwie równości:

Oznacza to, że pożądana płaszczyzna należy do wiązki płaszczyzn z generatorami i jej równanie można zapisać w postaci (8):

a) Znajdźmy
I od warunku, że płaszczyzna przechodzi przez punkt
dlatego jego współrzędne muszą spełniać równanie płaszczyzny. Podstawmy współrzędne punktu
do równania wiązki płaszczyzn:

Znaleziono wartość
Podstawmy to do równania (12). otrzymujemy równanie pożądanej płaszczyzny:

b) Znajdźmy
I z warunku, że żądana płaszczyzna jest prostopadła do płaszczyzny. Wektor normalny danej płaszczyzny
, wektor normalny żądanej płaszczyzny (patrz równanie wiązki płaszczyzn (12).