"ஒரு கணிதவியலாளர், ஒரு கலைஞர் அல்லது கவிஞரைப் போலவே, வடிவங்களை உருவாக்குகிறார். மேலும் அவரது வடிவங்கள் இன்னும் நிலையானதாக இருந்தால், அது கருத்துக்களால் ஆனது மட்டுமே ... ஒரு கணிதவியலாளரின் வடிவங்கள், ஒரு கலைஞர் அல்லது ஒரு கவிஞரின் வடிவங்களைப் போலவே, அழகாக இருக்க வேண்டும்; கருத்துக்கள், வண்ணங்கள் அல்லது சொற்களைப் போலவே, ஒருவருக்கொருவர் ஒத்திருக்க வேண்டும். அழகு முதல் தேவை: அசிங்கமான கணிதத்திற்கு உலகில் இடமில்லை».
ஜி.எச்.ஹார்டி
முதல் அத்தியாயத்தில் அது மிகவும் பழமையான உள்ளன என்று குறிப்பிட்டார் எளிய செயல்பாடுகள், இதன் மூலம் வெளிப்படுத்த முடியாது அடிப்படை செயல்பாடுகள். இது சம்பந்தமாக, அவற்றின் ஆண்டிடெரிவேடிவ்கள் அடிப்படை செயல்பாடுகள் என்று துல்லியமாகச் சொல்லக்கூடிய செயல்பாடுகளின் அந்த வகுப்புகள் மகத்தான நடைமுறை முக்கியத்துவத்தைப் பெறுகின்றன. இந்த வகை செயல்பாடுகள் அடங்கும் பகுத்தறிவு செயல்பாடுகள், இரண்டு இயற்கணித பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் விகிதத்தைக் குறிக்கிறது. பல சிக்கல்கள் பகுத்தறிவு பின்னங்களின் ஒருங்கிணைப்புக்கு வழிவகுக்கும். எனவே, அத்தகைய செயல்பாடுகளை ஒருங்கிணைக்க முடியும் என்பது மிகவும் முக்கியம்.
2.1.1. பகுதியளவு பகுத்தறிவு செயல்பாடுகள்
பகுத்தறிவு பின்னம்(அல்லது பகுதியளவு பகுத்தறிவு செயல்பாடு) இரண்டு இயற்கணித பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் தொடர்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது:
எங்கே மற்றும் பல்லுறுப்புக்கோவைகள் உள்ளன.
அதை உங்களுக்கு நினைவூட்டுவோம் பல்லுறுப்புக்கோவை (பல்லுறுப்புக்கோவை, முழு பகுத்தறிவு செயல்பாடு) nவது பட்டம்படிவத்தின் செயல்பாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது
எங்கே 
- உண்மையான எண்கள். உதாரணத்திற்கு,
- முதல் பட்டத்தின் பல்லுறுப்புக்கோவை;
- நான்காவது பட்டத்தின் பல்லுறுப்புக்கோவை, முதலியன.
பகுத்தறிவு பின்னம் (2.1.1) அழைக்கப்படுகிறது சரி, பட்டம் பட்டத்தை விட குறைவாக இருந்தால், அதாவது. n<மீ, இல்லையெனில் பின்னம் அழைக்கப்படுகிறது தவறு.
எந்தவொரு முறையற்ற பின்னமும் ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவை (முழு பகுதி) மற்றும் சரியான பின்னம் (பின்னமான பகுதி) ஆகியவற்றின் கூட்டுத்தொகையாகக் குறிப்பிடப்படலாம்."மூலையில்" பல்லுறுப்புக்கோவைகளை பிரிப்பதற்கான விதியின்படி ஒரு முறையற்ற பின்னத்தின் முழு மற்றும் பகுதியளவு பகுதிகளை பிரிக்கலாம்.
எடுத்துக்காட்டு 2.1.1.பின்வரும் முறையற்ற பகுத்தறிவு பின்னங்களின் முழு மற்றும் பகுதியளவு பகுதிகளை அடையாளம் காணவும்:
A) 
, b) 
.
தீர்வு . a) "மூலை" பிரிவு அல்காரிதம் பயன்படுத்தி, நாம் பெறுகிறோம்
இவ்வாறு, நாம் பெறுகிறோம்
.
b) இங்கே நாம் “மூலை” பிரிவு அல்காரிதத்தையும் பயன்படுத்துகிறோம்:
இதன் விளைவாக, நாம் பெறுகிறோம்
.
சுருக்கமாகக் கூறுவோம். பொது வழக்கில், ஒரு பகுத்தறிவு பின்னத்தின் காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பானது பல்லுறுப்புக்கோவையின் ஒருங்கிணைப்புகளின் கூட்டுத்தொகை மற்றும் சரியான பகுத்தறிவு பின்னம் என குறிப்பிடப்படுகிறது. பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் ஆன்டிடெரிவேடிவ்களைக் கண்டறிவது கடினம் அல்ல. எனவே, பின்வருவனவற்றில் நாம் முக்கியமாக சரியான பகுத்தறிவு பின்னங்களைக் கருத்தில் கொள்வோம்.
2.1.2. எளிமையான பகுத்தறிவு பின்னங்கள் மற்றும் அவற்றின் ஒருங்கிணைப்பு
சரியான பகுத்தறிவு பின்னங்களில், நான்கு வகைகள் உள்ளன, அவை வகைப்படுத்தப்படுகின்றன எளிமையான (தொடக்க) பகுத்தறிவு பின்னங்கள்:
|
3) |
4) |
,
,ஒரு முழு எண் எங்கே, 
, அதாவது இருபடி முக்கோணம் 
உண்மையான வேர்கள் இல்லை.
1 வது மற்றும் 2 வது வகைகளின் எளிய பின்னங்களை ஒருங்கிணைப்பது பெரிய சிரமங்களை ஏற்படுத்தாது:
, (2.1.3)
. (2.1.4)
இப்போது 3 வது வகையின் எளிய பின்னங்களின் ஒருங்கிணைப்பைக் கருத்தில் கொள்வோம், ஆனால் 4 வது வகையின் பின்னங்களை நாங்கள் கருத்தில் கொள்ள மாட்டோம்.
படிவத்தின் ஒருங்கிணைப்புகளுடன் ஆரம்பிக்கலாம்
.
இந்த ஒருங்கிணைப்பு பொதுவாக தனிமைப்படுத்துவதன் மூலம் கணக்கிடப்படுகிறது முழு சதுரம்வகுப்பில். இதன் விளைவாக பின்வரும் படிவத்தின் ஒருங்கிணைந்த அட்டவணை உள்ளது
அல்லது 
.
எடுத்துக்காட்டு 2.1.2.ஒருங்கிணைப்புகளைக் கண்டறியவும்:
A) 
, b) 
.
தீர்வு . a) இருபடி முக்கோணத்திலிருந்து ஒரு முழுமையான சதுரத்தைத் தேர்ந்தெடுக்கவும்:
இங்கிருந்து நாம் கண்டுபிடிக்கிறோம்
b) ஒரு முழு சதுரத்தை ஒரு இருபடி முக்கோணத்திலிருந்து தனிமைப்படுத்துவதன் மூலம், நாம் பெறுகிறோம்:
இதனால்,
.
ஒருங்கிணைப்பைக் கண்டறிய
நீங்கள் வகுப்பின் வழித்தோன்றலை எண்களில் தனிமைப்படுத்தலாம் மற்றும் ஒருங்கிணைப்பை இரண்டு ஒருங்கிணைப்புகளின் கூட்டுத்தொகையாக விரிவாக்கலாம்: அவற்றில் முதலாவது மாற்றீடு மூலம் 
தோற்றத்திற்கு வரும்
,
மற்றும் இரண்டாவது - மேலே விவாதிக்கப்பட்ட ஒன்றுக்கு.
எடுத்துக்காட்டு 2.1.3.ஒருங்கிணைப்புகளைக் கண்டறியவும்:
.
தீர்வு
. அதை கவனி 
. எண்களில் வகுப்பின் வழித்தோன்றலை தனிமைப்படுத்துவோம்:
முதல் ஒருங்கிணைப்பு மாற்றீட்டைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடப்படுகிறது 
:
இரண்டாவது ஒருங்கிணைப்பில், வகுப்பில் சரியான சதுரத்தைத் தேர்ந்தெடுக்கிறோம்
இறுதியாக, நாம் பெறுகிறோம்
2.1.3. சரியான பகுத்தறிவு பின்னம் விரிவாக்கம்
எளிய பின்னங்களின் கூட்டுத்தொகைக்கு
ஏதேனும் சரியான பகுத்தறிவு பின்னம் 
எளிமையான பின்னங்களின் கூட்டுத்தொகையாக ஒரு தனித்துவமான வழியில் குறிப்பிடப்படலாம். இதைச் செய்ய, வகுப்பினை காரணியாக்க வேண்டும். உயர் இயற்கணிதத்திலிருந்து ஒவ்வொரு பல்லுறுப்புக்கோவையும் உண்மையான குணகங்களைக் கொண்டதாக அறியப்படுகிறது
ஒரு பகுத்தறிவு செயல்பாடு என்பது படிவத்தின் ஒரு பகுதி ஆகும், இதன் எண் மற்றும் வகுப்பானது பல்லுறுப்புக்கோவைகள் அல்லது பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் தயாரிப்புகள் ஆகும்.
எடுத்துக்காட்டு 1. படி 2.
.
இந்த தனிப் பின்னத்தில் இல்லாத, ஆனால் பிற விளைவான பின்னங்களில் உள்ள பல்லுறுப்புக்கோவைகளால் தீர்மானிக்கப்படாத குணகங்களைப் பெருக்குகிறோம்:
அடைப்புக்குறிகளைத் திறந்து, அசல் ஒருங்கிணைப்பின் எண்ணிக்கையை விளைவான வெளிப்பாட்டிற்கு சமன் செய்கிறோம்:
சமத்துவத்தின் இரு பக்கங்களிலும், x இன் ஒரே சக்திகளைக் கொண்ட சொற்களைத் தேடுகிறோம், அவற்றிலிருந்து சமன்பாடுகளின் அமைப்பை உருவாக்குகிறோம்:
.
நாங்கள் அனைத்து x களையும் ரத்து செய்து, சமமான சமன்பாடு அமைப்பைப் பெறுகிறோம்:
.
எனவே, எளிய பின்னங்களின் கூட்டுத்தொகையின் இறுதி விரிவாக்கம்:
.
எடுத்துக்காட்டு 2. படி 2.படி 1 இல், எண்களில் தீர்மானிக்கப்படாத குணகங்களைக் கொண்ட எளிய பின்னங்களின் கூட்டுத்தொகையாக அசல் பின்னத்தின் பின்வரும் சிதைவைப் பெற்றோம்:
.
இப்போது நாம் நிச்சயமற்ற குணகங்களைத் தேட ஆரம்பிக்கிறோம். இதைச் செய்ய, செயல்பாடு வெளிப்பாட்டில் உள்ள அசல் பின்னத்தின் எண்ணிக்கையை பின்னங்களின் கூட்டுத்தொகையை ஒரு பொதுவான வகுப்பிற்குக் குறைத்த பிறகு பெறப்பட்ட வெளிப்பாட்டின் எண்ணுக்கு சமன் செய்கிறோம்:
இப்போது நீங்கள் சமன்பாடுகளின் அமைப்பை உருவாக்கி தீர்க்க வேண்டும். இதைச் செய்ய, செயல்பாட்டின் அசல் வெளிப்பாட்டின் எண் மற்றும் முந்தைய கட்டத்தில் பெறப்பட்ட வெளிப்பாட்டின் ஒத்த குணகங்களின் எண்ணிக்கையில் மாறியின் குணகங்களை நாங்கள் சமன் செய்கிறோம்:
இதன் விளைவாக வரும் அமைப்பை நாங்கள் தீர்க்கிறோம்:
எனவே, இங்கிருந்து
.
எடுத்துக்காட்டு 3. படி 2.படி 1 இல், எண்களில் தீர்மானிக்கப்படாத குணகங்களைக் கொண்ட எளிய பின்னங்களின் கூட்டுத்தொகையாக அசல் பின்னத்தின் பின்வரும் சிதைவைப் பெற்றோம்:
நிச்சயமற்ற குணகங்களைத் தேடத் தொடங்குகிறோம். இதைச் செய்ய, செயல்பாடு வெளிப்பாட்டில் உள்ள அசல் பின்னத்தின் எண்ணிக்கையை பின்னங்களின் கூட்டுத்தொகையை ஒரு பொதுவான வகுப்பிற்குக் குறைத்த பிறகு பெறப்பட்ட வெளிப்பாட்டின் எண்ணுக்கு சமன் செய்கிறோம்:
முந்தைய எடுத்துக்காட்டுகளைப் போலவே, நாங்கள் சமன்பாடுகளின் அமைப்பை உருவாக்குகிறோம்:
நாம் x ஐக் குறைத்து, சமன்பாட்டின் சமமான அமைப்பைப் பெறுகிறோம்:
அமைப்பைத் தீர்ப்பதன் மூலம், நிச்சயமற்ற குணகங்களின் பின்வரும் மதிப்புகளைப் பெறுகிறோம்:
எளிய பின்னங்களின் கூட்டுத்தொகையின் இறுதிச் சிதைவை நாம் பெறுகிறோம்:
.
எடுத்துக்காட்டு 4. படி 2.படி 1 இல், எண்களில் தீர்மானிக்கப்படாத குணகங்களைக் கொண்ட எளிய பின்னங்களின் கூட்டுத்தொகையாக அசல் பின்னத்தின் பின்வரும் சிதைவைப் பெற்றோம்:
.
முந்தைய உதாரணங்களில் இருந்து, அசல் பின்னத்தின் எண்ணிக்கையை எவ்வாறு எளிய பின்னங்களின் கூட்டுத்தொகையாக சிதைத்து, இந்தத் தொகையை ஒரு பொதுவான வகுப்பிற்குக் கொண்டுவந்த பிறகு பெறப்பட்ட எண்ணில் உள்ள வெளிப்பாட்டுடன் எவ்வாறு சமன் செய்வது என்பதை ஏற்கனவே அறிந்திருக்கிறோம். எனவே, கட்டுப்பாட்டு நோக்கங்களுக்காக, சமன்பாடுகளின் விளைவான அமைப்பை நாங்கள் முன்வைக்கிறோம்:
அமைப்பைத் தீர்ப்பதன் மூலம், நிச்சயமற்ற குணகங்களின் பின்வரும் மதிப்புகளைப் பெறுகிறோம்:
எளிய பின்னங்களின் கூட்டுத்தொகையின் இறுதிச் சிதைவை நாம் பெறுகிறோம்:
எடுத்துக்காட்டு 5. படி 2.படி 1 இல், எண்களில் தீர்மானிக்கப்படாத குணகங்களைக் கொண்ட எளிய பின்னங்களின் கூட்டுத்தொகையாக அசல் பின்னத்தின் பின்வரும் சிதைவைப் பெற்றோம்:
.
இந்தத் தொகையை ஒரு பொதுவான வகுப்பாகக் குறைக்கிறோம், இந்த வெளிப்பாட்டின் எண்ணை அசல் பின்னத்தின் எண்ணுடன் சமன் செய்கிறோம். இதன் விளைவாக பின்வரும் சமன்பாடுகளின் அமைப்பு இருக்க வேண்டும்:
அமைப்பைத் தீர்ப்பதன் மூலம், நிச்சயமற்ற குணகங்களின் பின்வரும் மதிப்புகளைப் பெறுகிறோம்:
.
எளிய பின்னங்களின் கூட்டுத்தொகையின் இறுதிச் சிதைவை நாம் பெறுகிறோம்:
.
எடுத்துக்காட்டு 6. படி 2.படி 1 இல், எண்களில் தீர்மானிக்கப்படாத குணகங்களைக் கொண்ட எளிய பின்னங்களின் கூட்டுத்தொகையாக அசல் பின்னத்தின் பின்வரும் சிதைவைப் பெற்றோம்:
முந்தைய உதாரணங்களில் உள்ள அதே செயல்களை இந்தத் தொகையுடன் செய்கிறோம். இதன் விளைவாக பின்வரும் சமன்பாடுகளின் அமைப்பு இருக்க வேண்டும்:
அமைப்பைத் தீர்ப்பதன் மூலம், நிச்சயமற்ற குணகங்களின் பின்வரும் மதிப்புகளைப் பெறுகிறோம்:
.
எளிய பின்னங்களின் கூட்டுத்தொகையின் இறுதிச் சிதைவை நாம் பெறுகிறோம்:
.
எடுத்துக்காட்டு 7. படி 2.படி 1 இல், எண்களில் தீர்மானிக்கப்படாத குணகங்களைக் கொண்ட எளிய பின்னங்களின் கூட்டுத்தொகையாக அசல் பின்னத்தின் பின்வரும் சிதைவைப் பெற்றோம்:
.
விளைந்த தொகையுடன் சில செயல்களுக்குப் பிறகு, பின்வரும் சமன்பாடுகளின் அமைப்பு பெறப்பட வேண்டும்:
அமைப்பைத் தீர்ப்பதன் மூலம், நிச்சயமற்ற குணகங்களின் பின்வரும் மதிப்புகளைப் பெறுகிறோம்:
எளிய பின்னங்களின் கூட்டுத்தொகையின் இறுதிச் சிதைவை நாம் பெறுகிறோம்:
.
எடுத்துக்காட்டு 8. படி 2.படி 1 இல், எண்களில் தீர்மானிக்கப்படாத குணகங்களைக் கொண்ட எளிய பின்னங்களின் கூட்டுத்தொகையாக அசல் பின்னத்தின் பின்வரும் சிதைவைப் பெற்றோம்:
.
சமன்பாடுகளின் அமைப்பைப் பெற ஏற்கனவே தன்னியக்கத்திற்கு கொண்டு வரப்பட்ட செயல்களில் சில மாற்றங்களைச் செய்வோம். சில சந்தர்ப்பங்களில் தேவையற்ற கணக்கீடுகளைத் தவிர்க்க உதவும் ஒரு செயற்கை நுட்பம் உள்ளது. பின்னங்களின் கூட்டுத்தொகையை ஒரு பொதுவான வகுப்பிற்குக் கொண்டுவந்து, இந்த வெளிப்பாட்டின் எண்ணிக்கையை அசல் பின்னத்தின் எண்ணிக்கையுடன் நாம் பெற்று சமப்படுத்துகிறோம்.
தலைப்பு: பகுத்தறிவு பின்னங்களின் ஒருங்கிணைப்பு.
கவனம்! ஒருங்கிணைப்பின் அடிப்படை முறைகளில் ஒன்றைப் படிக்கும் போது: பகுத்தறிவு பின்னங்களின் ஒருங்கிணைப்பு, கடுமையான ஆதாரங்களைச் செயல்படுத்த சிக்கலான களத்தில் உள்ள பல்லுறுப்புக்கோவைகளைக் கருத்தில் கொள்ள வேண்டும். எனவே இது அவசியம் முன்கூட்டியே படிக்கவும் சிக்கலான எண்களின் சில பண்புகள் மற்றும் அவற்றின் செயல்பாடுகள்.
எளிய பகுத்தறிவு பின்னங்களின் ஒருங்கிணைப்பு.
என்றால் பி(z) மற்றும் கே(z) சிக்கலான களத்தில் உள்ள பல்லுறுப்புக்கோவைகள், பின்னர் அவை பகுத்தறிவு பின்னங்கள். அது அழைக்கபடுகிறது சரி, பட்டம் என்றால் பி(z) குறைந்த பட்டம் கே(z) , மற்றும் தவறு, பட்டம் என்றால் ஆர் பட்டத்துக்குக் குறையாது கே.
எந்தவொரு தவறான பின்னமும் இவ்வாறு குறிப்பிடப்படலாம்: 
,
P(z) = Q(z) S(z) + R(z),
அ ஆர்(z) – பல்லுறுப்புக்கோவை, அதன் பட்டம் பட்டத்தை விட குறைவாக உள்ளது கே(z).
எனவே, பகுத்தறிவு பின்னங்களின் ஒருங்கிணைப்பு என்பது பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் ஒருங்கிணைப்புக்கு வரும், அதாவது சக்தி செயல்பாடுகள் மற்றும் சரியான பின்னங்கள், ஏனெனில் இது சரியான பின்னம்.
வரையறை 5. எளிமையான (அல்லது அடிப்படை) பின்னங்கள் பின்வரும் வகை பின்னங்களாகும்:
1) , 2) , 3) , 4) 
.
அவை எவ்வாறு ஒருங்கிணைக்கப்படுகின்றன என்பதைக் கண்டுபிடிப்போம்.
3) 
(முன்பு படித்தது).
தேற்றம் 5. ஒவ்வொரு சரியான பின்னமும் எளிய பின்னங்களின் கூட்டுத்தொகையாக (ஆதாரம் இல்லாமல்) குறிப்பிடப்படலாம்.
முடிவு 1. சரியான பகுத்தறிவு பின்னமாக இருந்தால், மற்றும் பல்லுறுப்புக்கோவையின் வேர்களில் எளிய உண்மையான வேர்கள் மட்டுமே இருந்தால், பின்னத்தின் சிதைவில் எளிய பின்னங்களின் கூட்டுத்தொகையில் 1 வது வகையின் எளிய பின்னங்கள் மட்டுமே இருக்கும்:
எடுத்துக்காட்டு 1.
தொடர்ச்சி 2. சரியான பகுத்தறிவு பின்னமாக இருந்தால், மற்றும் பல்லுறுப்புக்கோவையின் வேர்களில் பல உண்மையான வேர்கள் மட்டுமே இருந்தால், பின்னத்தின் சிதைவின் போது எளிய பின்னங்களின் கூட்டுத்தொகையில் 1 மற்றும் 2 வது வகைகளின் எளிய பின்னங்கள் மட்டுமே இருக்கும். :
எடுத்துக்காட்டு 2.
தொடர்ச்சி 3. சரியான பகுத்தறிவு பின்னமாக இருந்தால், மற்றும் பல்லுறுப்புக்கோவையின் வேர்களில் எளிமையான சிக்கலான இணைந்த வேர்கள் மட்டுமே இருந்தால், பின்னத்தை எளிய பின்னங்களின் கூட்டுத்தொகையாக சிதைப்பதில் 3 வது வகையின் எளிய பின்னங்கள் மட்டுமே இருக்கும்:
எடுத்துக்காட்டு 3.
தொடர்ச்சி 4. சரியான பகுத்தறிவு பின்னமாக இருந்தால், மற்றும் பல்லுறுப்புக்கோவையின் வேர்களில் பல சிக்கலான இணைந்த வேர்கள் மட்டுமே இருந்தால், பின்னத்தின் சிதைவில் எளிய பின்னங்களின் கூட்டுத்தொகையில் 3 மற்றும் 4 வது எளிய பின்னங்கள் மட்டுமே இருக்கும். வகைகள்:
கொடுக்கப்பட்ட விரிவாக்கங்களில் அறியப்படாத குணகங்களைத் தீர்மானிக்க, பின்வருமாறு தொடரவும். அறியப்படாத குணகங்களைக் கொண்ட விரிவாக்கத்தின் இடது மற்றும் வலது பக்கங்கள் இரண்டு பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் சமத்துவத்தால் பெருக்கப்படுகின்றன. அதிலிருந்து, தேவையான குணகங்களுக்கான சமன்பாடுகள் இதைப் பயன்படுத்தி பெறப்படுகின்றன:
1. X இன் எந்த மதிப்புகளுக்கும் சமத்துவம் உண்மையானது (பகுதி மதிப்பு முறை). இந்த வழக்கில், எத்தனை சமன்பாடுகள் பெறப்படுகின்றன, அவற்றில் ஏதேனும் ஒரு மீ அறியப்படாத குணகங்களைக் கண்டறிய அனுமதிக்கிறது.
2. குணகங்கள் X இன் அதே டிகிரிக்கு ஒத்துப்போகின்றன (முறை நிச்சயமற்ற குணகங்கள்) இந்த வழக்கில், m - சமன்பாடுகளின் அமைப்பு m - unknowns உடன் பெறப்படுகிறது, அதில் இருந்து அறியப்படாத குணகங்கள் காணப்படுகின்றன.
3. ஒருங்கிணைந்த முறை.
எடுத்துக்காட்டு 5. ஒரு பகுதியை விரிவாக்குங்கள் 
எளிமையானது.
தீர்வு:
A மற்றும் B குணகங்களைக் கண்டுபிடிப்போம்.
முறை 1 - தனிப்பட்ட மதிப்பு முறை:
முறை 2 - தீர்மானிக்கப்படாத குணகங்களின் முறை:
பதில்: 
பகுத்தறிவு பின்னங்களை ஒருங்கிணைத்தல்.
தேற்றம் 6. எந்தவொரு பகுத்தறிவு பின்னத்தின் காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பு, அதன் வகுப்பானது பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இல்லாத எந்த இடைவெளியில் உள்ளது மற்றும் அடிப்படை செயல்பாடுகள், அதாவது பகுத்தறிவு பின்னங்கள், மடக்கைகள் மற்றும் ஆர்க்டஜெண்டுகள் மூலம் வெளிப்படுத்தப்படுகிறது.
ஆதாரம்.
வடிவத்தில் ஒரு பகுத்தறிவு பகுதியை கற்பனை செய்வோம்: 
. இந்த வழக்கில், கடைசி சொல் சரியான பின்னமாகும், மேலும் தேற்றம் 5 இன் படி இது எளிய பின்னங்களின் நேரியல் கலவையாக குறிப்பிடப்படலாம். இவ்வாறு, ஒரு பகுத்தறிவு பின்னத்தின் ஒருங்கிணைப்பு ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையின் ஒருங்கிணைப்பாக குறைக்கப்படுகிறது. எஸ்(எக்ஸ்)
மற்றும் எளிய பின்னங்கள், இவற்றின் ஆன்டிடெரிவேடிவ்கள், காட்டப்பட்டுள்ளபடி, தேற்றத்தில் சுட்டிக்காட்டப்பட்ட வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளன.
கருத்து. இந்த வழக்கில் முக்கிய சிரமம் என்னவென்றால், வகுப்பினை காரணிகளாக சிதைப்பது, அதாவது அதன் அனைத்து வேர்களையும் தேடுவது.
எடுத்துக்காட்டு 1. ஒருங்கிணைப்பைக் கண்டறியவும்
முந்தைய பத்திகளில் மேலே உள்ள அனைத்தும் பகுத்தறிவு பின்னங்களின் ஒருங்கிணைப்புக்கான அடிப்படை விதிகளை உருவாக்க அனுமதிக்கிறது.
1. ஒரு பகுத்தறிவு பின்னம் முறையற்றதாக இருந்தால், அது ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவை மற்றும் சரியான பகுத்தறிவு பின்னத்தின் கூட்டுத்தொகையாக குறிப்பிடப்படுகிறது (பத்தி 2 ஐப் பார்க்கவும்).
இது ஒரு முறையற்ற பகுத்தறிவுப் பகுதியின் ஒருங்கிணைப்பை பல்லுறுப்புக்கோவை மற்றும் சரியான பகுத்தறிவு பின்னத்தின் ஒருங்கிணைப்பைக் குறைக்கிறது.
2. சரியான பின்னத்தின் வகுப்பினைக் காரணி.
3. ஒரு சரியான பகுத்தறிவு பின்னம் எளிய பின்னங்களின் கூட்டுத்தொகையாக சிதைகிறது. இது ஒரு சரியான பகுத்தறிவு பின்னத்தின் ஒருங்கிணைப்பை எளிய பின்னங்களின் ஒருங்கிணைப்புக்கு குறைக்கிறது.
உதாரணங்களைப் பார்ப்போம்.
எடுத்துக்காட்டு 1. கண்டுபிடி.
தீர்வு. ஒருங்கிணைப்புக்குக் கீழே ஒரு முறையற்ற பகுத்தறிவு பின்னம் உள்ளது. முழு பகுதியையும் தேர்ந்தெடுத்து, நாம் பெறுகிறோம்
எனவே,
அதைக் குறிப்பிட்டு, சரியான பகுத்தறிவுப் பகுதியை விரிவுபடுத்துவோம்
எளிய பின்னங்களுக்கு:
(சூத்திரத்தைப் பார்க்கவும் (18)). அதனால் தான்
இவ்வாறு, நாம் இறுதியாக
எடுத்துக்காட்டு 2. கண்டுபிடி
தீர்வு. ஒருங்கிணைப்புக்குக் கீழே சரியான பகுத்தறிவு பின்னம் உள்ளது.
அதை எளிய பின்னங்களாக விரிவுபடுத்துவது (சூத்திரத்தைப் பார்க்கவும் (16)), நாங்கள் பெறுகிறோம்
இந்த தலைப்பில் வழங்கப்பட்ட பொருள் "பகுத்தறிவு பின்னங்கள். பகுத்தறிவு பின்னங்களை அடிப்படை (எளிய) பின்னங்களாக சிதைத்தல்" என்ற தலைப்பில் வழங்கப்பட்ட தகவலை அடிப்படையாகக் கொண்டது. இந்தத் தலைப்பைப் படிப்பதற்கு முன், குறைந்தபட்சம் இந்தத் தலைப்பைப் படிக்குமாறு நான் மிகவும் பரிந்துரைக்கிறேன். கூடுதலாக, காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்புகளின் அட்டவணை நமக்குத் தேவைப்படும்.
ஓரிரு சொற்களை உங்களுக்கு நினைவூட்டுகிறேன். அவை தொடர்புடைய தலைப்பில் விவாதிக்கப்பட்டன, எனவே இங்கே நான் ஒரு சுருக்கமான சூத்திரத்திற்கு என்னை மட்டுப்படுத்துகிறேன்.
இரண்டு பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் விகிதம் $\frac(P_n(x))(Q_m(x))$ ஒரு பகுத்தறிவு செயல்பாடு அல்லது பகுத்தறிவு பின்னம் எனப்படும். பகுத்தறிவு பின்னம் என்று அழைக்கப்படுகிறது சரி, $n என்றால்< m$, т.е. если степень многочлена, стоящего в числителе, меньше степени многочлена, стоящего в знаменателе. В противном случае (если $n ≥ m$) дробь называется தவறு.
அடிப்படை (எளிமையான) பகுத்தறிவு பின்னங்கள் நான்கு வகைகளின் பகுத்தறிவு பின்னங்கள்:
- $\frac(A)(x-a)$;
- $\frac(A)((x-a)^n)$ ($n=2,3,4, \ldots$);
- $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ ($p^2-4q< 0$);
- $\frac(Mx+N)((x^2+px+q)^n)$ ($p^2-4q< 0$; $n=2,3,4,\ldots$).
குறிப்பு (உரை பற்றிய முழுமையான புரிதலுக்கு விரும்பத்தக்கது): காட்டு\மறை
நிபந்தனை $p^2-4q ஏன் தேவை?< 0$ в дробях третьего и четвертого типов? Рассмотрим квадратное уравнение $x^2+px+q=0$. Дискриминант этого уравнения $D=p^2-4q$. По сути, условие $p^2-4q < 0$ означает, что $D < 0$. Если $D < 0$, то уравнение $x^2+px+q=0$ не имеет действительных корней. Т.е. выражение $x^2+px+q$ неразложимо на множители. Именно эта неразложимость нас и интересует.
எடுத்துக்காட்டாக, $x^2+5x+10$ வெளிப்பாட்டிற்கு நாம் பெறுவது: $p^2-4q=5^2-4\cdot 10=-15$. $p^2-4q=-15 முதல்< 0$, то выражение $x^2+5x+10$ нельзя разложить на множители.
மூலம், இந்தச் சரிபார்ப்பிற்கு $x^2$க்கு முந்தைய குணகம் 1க்கு சமமாக இருக்க வேண்டிய அவசியமில்லை. எடுத்துக்காட்டாக, $5x^2+7x-3=0$க்கு நாம் பெறுவது: $D=7^ 2-4\cdot 5 \cdot (-3)=$109. $D > 0$ என்பதால், $5x^2+7x-3$ என்ற வெளிப்பாடு காரணிப்படுத்தக்கூடியது.
பகுத்தறிவு பின்னங்களின் எடுத்துக்காட்டுகள் (சரியான மற்றும் முறையற்றவை), அத்துடன் பகுத்தறிவு பின்னத்தை அடிப்படைப் பகுதிகளாக சிதைப்பதற்கான எடுத்துக்காட்டுகளைக் காணலாம். இங்கே நாம் அவர்களின் ஒருங்கிணைப்பு பற்றிய கேள்விகளில் மட்டுமே ஆர்வமாக இருப்போம். அடிப்படை பின்னங்களின் ஒருங்கிணைப்புடன் ஆரம்பிக்கலாம். எனவே, மேலே உள்ள நான்கு வகையான அடிப்படை பின்னங்கள் ஒவ்வொன்றும் கீழே உள்ள சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி ஒருங்கிணைக்க எளிதானது. (2) மற்றும் (4) வகைகளின் பின்னங்களை ஒருங்கிணைக்கும்போது, $n=2,3,4,\ldots$ என்று கருதப்படுவதை உங்களுக்கு நினைவூட்டுகிறேன். சூத்திரங்கள் (3) மற்றும் (4) நிபந்தனையை $p^2-4q பூர்த்தி செய்ய வேண்டும்< 0$.
\begin(சமன்பாடு) \int \frac(A)(x-a) dx=A\cdot \ln |x-a|+C \end(சமன்பாடு) \begin(சமன்பாடு) \int\frac(A)((x-a)^n )dx=-\frac(A)((n-1)(x-a)^(n-1))+C \end(சமன்பாடு) \begin(சமன்பாடு) \int \frac(Mx+N)(x^2) +px+q) dx= \frac(M)(2)\cdot \ln (x^2+px+q)+\frac(2N-Mp)(\sqrt(4q-p^2))\arctg\ frac(2x+p)(\sqrt(4q-p^2))+C \end(சமன்பாடு)
$\int\frac(Mx+N)((x^2+px+q)^n)dx$க்கு மாற்று $t=x+\frac(p)(2)$ ஆனது, அதன் பிறகு விளையும் இடைவெளி இரண்டாக பிரிக்கப்பட்டுள்ளது. முதலாவது வேறுபட்ட குறியின் கீழ் உள்ளிடுவதன் மூலம் கணக்கிடப்படும், இரண்டாவது $I_n=\int\frac(dt)((t^2+a^2)^n)$ வடிவத்தைக் கொண்டிருக்கும். இந்த ஒருங்கிணைப்பு மறுநிகழ்வு உறவைப் பயன்படுத்தி எடுக்கப்படுகிறது
\begin(சமன்பாடு) I_(n+1)=\frac(1)(2na^2)\frac(t)((t^2+a^2)^n)+\frac(2n-1)(2na ^2)I_n,\; n\in N\end(சமன்பாடு)
அத்தகைய ஒருங்கிணைப்பின் கணக்கீடு எடுத்துக்காட்டு எண் 7 இல் விவாதிக்கப்படுகிறது (மூன்றாம் பகுதியைப் பார்க்கவும்).
பகுத்தறிவு செயல்பாடுகளின் ஒருங்கிணைப்புகளை கணக்கிடுவதற்கான திட்டம் (பகுத்தறிவு பின்னங்கள்):
- ஒருங்கிணைப்பு ஆரம்பமானது என்றால், சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தவும் (1)-(4).
- ஒருங்கிணைப்பு அடிப்படையாக இல்லாவிட்டால், அதை அடிப்படை பின்னங்களின் கூட்டுத்தொகையாகக் குறிக்கவும், பின்னர் சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி ஒருங்கிணைக்கவும் (1)-(4).
பகுத்தறிவு பின்னங்களை ஒருங்கிணைப்பதற்கான மேலே உள்ள வழிமுறை மறுக்க முடியாத நன்மையைக் கொண்டுள்ளது - இது உலகளாவியது. அந்த. இந்த அல்காரிதத்தைப் பயன்படுத்தி நீங்கள் ஒருங்கிணைக்க முடியும் ஏதேனும்பகுத்தறிவு பின்னம். அதனால்தான் காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பில் (யூலர், செபிஷேவ், உலகளாவிய முக்கோணவியல் மாற்று) மாறிகளின் கிட்டத்தட்ட அனைத்து மாற்றங்களும் இந்த மாற்றத்திற்குப் பிறகு இடைவெளியின் கீழ் ஒரு பகுத்தறிவு பகுதியைப் பெறும் வகையில் செய்யப்படுகின்றன. பின்னர் அதற்கு அல்காரிதத்தைப் பயன்படுத்தவும். ஒரு சிறிய குறிப்பை உருவாக்கிய பிறகு, இந்த வழிமுறையின் நேரடி பயன்பாட்டை எடுத்துக்காட்டுகளைப் பயன்படுத்தி பகுப்பாய்வு செய்வோம்.
$$ \int\frac(7dx)(x+9)=7\ln|x+9|+C. $$
கொள்கையளவில், சூத்திரத்தின் இயந்திர பயன்பாடு இல்லாமல் இந்த ஒருங்கிணைப்பைப் பெறுவது எளிது. ஒருங்கிணைந்த குறியிலிருந்து $7$ என்ற மாறிலியை எடுத்து $dx=d(x+9)$ என்று கணக்கில் எடுத்துக் கொண்டால், நமக்குக் கிடைக்கும்:
$$ \int\frac(7dx)(x+9)=7\cdot \int\frac(dx)(x+9)=7\cdot \int\frac(d(x+9))(x+9) )=|u=x+9|=7\cdot\int\frac(du)(u)=7\ln|u|+C=7\ln|x+9|+C. $$
விரிவான தகவலுக்கு, தலைப்பைப் பார்க்க பரிந்துரைக்கிறேன். அத்தகைய ஒருங்கிணைப்புகள் எவ்வாறு தீர்க்கப்படுகின்றன என்பதை இது விரிவாக விளக்குகிறது. மூலம், "கைமுறையாக" தீர்க்கும் போது இந்த பத்தியில் பயன்படுத்தப்பட்ட அதே மாற்றங்களால் சூத்திரம் நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது.
2) மீண்டும், இரண்டு வழிகள் உள்ளன: ஆயத்த சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தவும் அல்லது அது இல்லாமல் செய்யவும். நீங்கள் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தினால், $x$ (எண் 4) க்கு முன்னால் உள்ள குணகம் அகற்றப்பட வேண்டும் என்பதை நீங்கள் கணக்கில் எடுத்துக்கொள்ள வேண்டும். இதைச் செய்ய, அடைப்புக்குறிக்குள் இருந்து இந்த நான்கை எடுத்துக்கொள்வோம்:
$$ \int\frac(11dx)((4x+19)^8)=\int\frac(11dx)(\left(4\left(x+\frac(19)(4)\வலது)\வலது)^ 8)= \int\frac(11dx)(4^8\இடது(x+\frac(19)(4)\வலது)^8)=\int\frac(\frac(11)(4^8)dx) (\இடது(x+\frac(19)(4)\வலது)^8). $$
இப்போது சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துவதற்கான நேரம் இது:
$$ \int\frac(\frac(11)(4^8)dx)(\இடது(x+\frac(19)(4)\வலது)^8)=-\frac(\frac(11)(4 ^8))((8-1)\இடது(x+\frac(19)(4) \வலது)^(8-1))+C= -\frac(\frac(11)(4^8)) (7\left(x+\frac(19)(4) \right)^7)+C=-\frac(11)(7\cdot 4^8 \left(x+\frac(19)(4) \right )^7)+சி. $$
நீங்கள் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தாமல் செய்யலாம். மேலும் நிலையான $4$ஐ அடைப்புக்குறிக்குள் எடுக்காமல் கூட. $dx=\frac(1)(4)d(4x+19)$ என்று கணக்கில் எடுத்துக் கொண்டால், நமக்குக் கிடைக்கும்:
$$ \int\frac(11dx)((4x+19)^8)=11\int\frac(dx)((4x+19)^8)=\frac(11)(4)\int\frac( d(4x+19))((4x+19)^8)=|u=4x+19|=\\ =\frac(11)(4)\int\frac(du)(u^8)=\ frac(11)(4)\int u^(-8)\;du=\frac(11)(4)\cdot\frac(u^(-8+1))(-8+1)+C= \\ =\frac(11)(4)\cdot\frac(u^(-7))(-7)+C=-\frac(11)(28)\cdot\frac(1)(u^7) )+C=-\frac(11)(28(4x+19)^7)+C. $$
அத்தகைய ஒருங்கிணைப்புகளைக் கண்டறிவதற்கான விரிவான விளக்கங்கள் "பதிலீடு மூலம் ஒருங்கிணைப்பு (வேறுபட்ட அடையாளத்தின் கீழ் மாற்றீடு)" என்ற தலைப்பில் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன.
3) நாம் $\frac(4x+7)(x^2+10x+34)$ என்ற பகுதியை ஒருங்கிணைக்க வேண்டும். இந்தப் பின்னமானது $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ என்ற அமைப்பைக் கொண்டுள்ளது, இங்கு $M=4$, $N=7$, $p=10$, $q=34$. இருப்பினும், இது உண்மையில் மூன்றாம் வகையின் ஒரு அடிப்படைப் பகுதி என்பதை உறுதிப்படுத்த, $p^2-4q நிபந்தனையை நீங்கள் சரிபார்க்க வேண்டும்< 0$. Так как $p^2-4q=10^2-4\cdot 34=-16 < 0$, то мы действительно имеем дело с интегрированием элементарной дроби третьего типа. Как и в предыдущих пунктах есть два пути для нахождения $\int\frac{4x+7}{x^2+10x+34}dx$. Первый путь - банально использовать формулу . Подставив в неё $M=4$, $N=7$, $p=10$, $q=34$ получим:
$$ \int\frac(4x+7)(x^2+10x+34)dx = \frac(4)(2)\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(2\cdot 7-4\cdot 10)(\sqrt(4\cdot 34-10^2)) \arctg\frac(2x+10)(\sqrt(4\cdot 34-10^2))+C=\\ = 2\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(-26)(\sqrt(36)) \arctg\frac(2x+10)(\sqrt(36))+C =2\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(-26)(6) \arctg\frac(2x+10)(6)+C=\\ =2\cdot \ln (x^2+10x +34)-\frac(13)(3) \arctg\frac(x+5)(3)+C. $$
அதே உதாரணத்தைத் தீர்ப்போம், ஆனால் ஆயத்த சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தாமல். எண்களில் வகுப்பின் வழித்தோன்றலை தனிமைப்படுத்த முயற்சிப்போம். இதன் பொருள் என்ன? $(x^2+10x+34)"=2x+10$ என்பது எங்களுக்குத் தெரியும். இது $2x+10$ என்ற சொற்றொடரைத்தான் நாம் எண்ணில் தனிமைப்படுத்த வேண்டும். இதுவரை எண்ணில் $4x+7$ மட்டுமே உள்ளது, ஆனால் இது நீண்ட காலம் நீடிக்காது, பின்வரும் மாற்றத்தை எண்ணுக்குப் பயன்படுத்துவோம்:
$$ 4x+7=2\cdot 2x+7=2\cdot (2x+10-10)+7=2\cdot(2x+10)-2\cdot 10+7=2\cdot(2x+10) -13. $$
இப்போது தேவையான எக்ஸ்பிரஷன் $2x+10$ எண்ணில் தோன்றும். எங்கள் ஒருங்கிணைப்பை பின்வருமாறு மீண்டும் எழுதலாம்:
$$ \int\frac(4x+7)(x^2+10x+34) dx= \int\frac(2\cdot(2x+10)-13)(x^2+10x+34)dx. $$
ஒருங்கிணைப்பை இரண்டாகப் பிரிப்போம். சரி, மற்றும், அதன்படி, ஒருங்கிணைப்பும் "இரண்டாக" உள்ளது:
$$ \int\frac(2\cdot(2x+10)-13)(x^2+10x+34)dx=\int \left(\frac(2\cdot(2x+10))(x^2 +10x+34)-\frac(13)(x^2+10x+34) \வலது)\; dx=\\ =\int \frac(2\cdot(2x+10))(x^2+10x+34)dx-\int\frac(13dx)(x^2+10x+34)=2\cdot \int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(dx)(x^2+10x+34). $$
முதலில் முதல் ஒருங்கிணைப்பு பற்றி பேசலாம், அதாவது. சுமார் $\int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)$. $d(x^2+10x+34)=(x^2+10x+34)"dx=(2x+10)dx$ என்பதால், ஒருங்கிணைப்பின் எண் வகுப்பின் வேறுபாட்டைக் கொண்டுள்ளது. சுருக்கமாக, அதற்குப் பதிலாக $(2x+10)dx$ என்ற வெளிப்பாட்டின் $d(x^2+10x+34)$ என்று எழுதுகிறோம்.
இப்போது இரண்டாவது ஒருங்கிணைப்பு பற்றி சில வார்த்தைகள் சொல்லலாம். வகுப்பில் ஒரு முழுமையான சதுரத்தைத் தேர்ந்தெடுப்போம்: $x^2+10x+34=(x+5)^2+9$. கூடுதலாக, நாங்கள் $dx=d(x+5)$ கணக்கில் எடுத்துக்கொள்கிறோம். இப்போது நாம் முன்பு பெற்ற ஒருங்கிணைப்புகளின் கூட்டுத்தொகை சற்று வித்தியாசமான வடிவத்தில் மீண்டும் எழுதப்படலாம்:
$$ 2\cdot\int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(dx)(x^2+10x+34) =2\cdot \int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(d(x+5))((x+5)^2+ 9) $$
முதல் ஒருங்கிணைப்பில் $u=x^2+10x+34$ என்று மாற்றினால், அது $\int\frac(du)(u)$ வடிவத்தை எடுத்து எடுக்கும் பயன்படுத்த எளிதானதுஇலிருந்து இரண்டாவது சூத்திரம். இரண்டாவது ஒருங்கிணைப்பைப் பொறுத்தவரை, $u=x+5$ மாற்றம் சாத்தியமாகும், அதன் பிறகு அது $\int\frac(du)(u^2+9)$ வடிவத்தை எடுக்கும். இது சுத்தமான தண்ணீர்காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்புகளின் அட்டவணையில் இருந்து பதினொன்றாவது சூத்திரம். எனவே, ஒருங்கிணைப்புகளின் கூட்டுத்தொகைக்குத் திரும்புகையில், எங்களிடம் உள்ளது:
$$ 2\cdot\int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(d(x+5))((x+ 5) )^2+9) =2\cdot\ln(x^2+10x+34)-\frac(13)(3)\arctg\frac(x+5)(3)+C. $$
சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தும்போது அதே பதிலைப் பெற்றோம், இது கண்டிப்பாகச் சொன்னால் ஆச்சரியமில்லை. பொதுவாக, இந்த ஒருங்கிணைப்பைக் கண்டறிய நாம் பயன்படுத்திய அதே முறைகளால் சூத்திரம் நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது. கவனமுள்ள வாசகருக்கு இங்கே ஒரு கேள்வி இருக்கலாம் என்று நான் நம்புகிறேன், எனவே நான் அதை உருவாக்குவேன்:
கேள்வி எண். 1
காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்புகளின் அட்டவணையில் இருந்து ஒருங்கிணைந்த $\int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)$ வரை இரண்டாவது சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தினால், பின்வருவனவற்றைப் பெறுவோம்:
$$ \int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)=|u=x^2+10x+34|=\int\frac(du)(u) =\ln|u|+C=\ln|x^2+10x+34|+C. $$
தீர்வில் ஏன் தொகுதி இல்லை?
கேள்வி எண் 1க்கான பதில்
கேள்வி முற்றிலும் இயற்கையானது. R$ இல் எந்த $x\க்கு $x^2+10x+34$ என்ற வெளிப்பாடு பூஜ்ஜியத்தை விட அதிகமாக இருப்பதால் மட்டுமே தொகுதி காணவில்லை. இது பல வழிகளில் காட்ட மிகவும் எளிதானது. எடுத்துக்காட்டாக, $x^2+10x+34=(x+5)^2+9$ மற்றும் $(x+5)^2 ≥ 0$, பிறகு $(x+5)^2+9 > 0$ . ஒரு முழுமையான சதுரத்தின் தேர்வைப் பயன்படுத்தாமல், நீங்கள் வித்தியாசமாக சிந்திக்கலாம். $10^2-4\cdot 34=-16 முதல்< 0$, то $x^2+10x+34 >R$ இல் உள்ள எந்த $xக்கும் 0$ (இது இருந்தால் தருக்க சங்கிலிஇது ஆச்சரியமாக இருக்கிறது, அதைப் பார்க்க பரிந்துரைக்கிறேன் வரைகலை முறைஇருபடி ஏற்றத்தாழ்வுகளுக்கான தீர்வுகள்). எப்படியிருந்தாலும், $x^2+10x+34 > 0$, பிறகு $|x^2+10x+34|=x^2+10x+34$, அதாவது. தொகுதிக்கு பதிலாக, நீங்கள் வழக்கமான அடைப்புக்குறிகளைப் பயன்படுத்தலாம்.
எடுத்துக்காட்டு எண் 1 இன் அனைத்து புள்ளிகளும் தீர்க்கப்பட்டுள்ளன, பதிலை எழுதுவது மட்டுமே எஞ்சியுள்ளது.
பதில்:
- $\int\frac(7dx)(x+9)=7\ln|x+9|+C$;
- $\int\frac(11dx)((4x+19)^8)=-\frac(11)(28(4x+19)^7)+C$;
- $\int\frac(4x+7)(x^2+10x+34)dx=2\cdot\ln(x^2+10x+34)-\frac(13)(3)\arctg\frac(x +5)(3)+C$.
எடுத்துக்காட்டு எண். 2
ஒருங்கிணைந்த $\int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx$ ஐக் கண்டறியவும்.
முதல் பார்வையில், ஒருங்கிணைந்த பின்னம் $\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)$ மூன்றாம் வகையின் அடிப்படைப் பகுதிக்கு மிகவும் ஒத்திருக்கிறது, அதாவது. $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ மூலம். $x^2$ க்கு முன்னால் $3$ இன் குணகம் மட்டுமே வித்தியாசம் என்று தெரிகிறது, ஆனால் குணகத்தை அகற்ற அதிக நேரம் எடுக்காது (அடைப்புக்கு வெளியே வைக்கவும்). இருப்பினும், இந்த ஒற்றுமை வெளிப்படையானது. $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ என்ற பின்னத்திற்கு $p^2-4q நிபந்தனை கட்டாயம்< 0$, которое гарантирует, что знаменатель $x^2+px+q$ нельзя разложить на множители. Проверим, как обстоит дело с разложением на множители у знаменателя нашей дроби, т.е. у многочлена $3x^2-5x-2$.
$x^2$க்கு முன் எங்களின் குணகம் ஒன்றுக்கு சமமாக இல்லை, எனவே $p^2-4q நிபந்தனையை சரிபார்க்கவும்< 0$ напрямую мы не можем. Однако тут нужно вспомнить, откуда взялось выражение $p^2-4q$. Это всего лишь дискриминант இருபடி சமன்பாடு$x^2+px+q=0$. பாகுபாடு பூஜ்ஜியத்தை விடக் குறைவாக இருந்தால், $x^2+px+q$ என்ற வெளிப்பாட்டை காரணியாக்க முடியாது. எங்கள் பின்னத்தின் வகுப்பில் அமைந்துள்ள $3x^2-5x-2$ என்ற பல்லுறுப்புக்கோவையின் பாகுபாட்டைக் கணக்கிடுவோம்: $D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=49$. எனவே, $D > 0$, எனவே வெளிப்பாடு $3x^2-5x-2$ காரணியாக்கப்படலாம். இதன் பொருள் $\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)$ என்பது மூன்றாம் வகையின் தனிமப் பின்னம் அல்ல, மேலும் $\int\frac(7x+12)(3x^2-) ) ஒருங்கிணைந்த 5x-2)dx$ சூத்திரம் சாத்தியமில்லை.
சரி, கொடுக்கப்பட்ட பகுத்தறிவு பின்னம் ஒரு அடிப்படை பின்னம் இல்லை என்றால், அது அடிப்படை பின்னங்களின் கூட்டுத்தொகையாக குறிப்பிடப்பட்டு பின்னர் ஒருங்கிணைக்கப்பட வேண்டும். சுருக்கமாக, பாதையைப் பயன்படுத்திக் கொள்ளுங்கள். ஒரு பகுத்தறிவுப் பகுதியை அடிப்படைப் பகுதிகளாக எவ்வாறு சிதைப்பது என்பது விரிவாக எழுதப்பட்டுள்ளது. வகுப்பினை காரணியாக்குவதன் மூலம் ஆரம்பிக்கலாம்:
$$ 3x^2-5x-2=0;\\ \begin(aligned) & D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=49;\\ & x_1=\frac( -(-5)-\sqrt(49))(2\cdot 3)=\frac(5-7)(6)=\frac(-2)(6)=-\frac(1)(3); \\ & x_2=\frac(-(-5)+\sqrt(49))(2\cdot 3)=\frac(5+7)(6)=\frac(12)(6)=2.\ \\ முடிவு(சீரமைக்கப்பட்டது)\\ 3x^2-5x-2=3\cdot\left(x-\left(-\frac(1)(3)\right)\right)\cdot (x-2)= 3\cdot\left(x+\frac(1)(3)\வலது)(x-2). $$
இந்த வடிவத்தில் துணை இடைவெளியை நாங்கள் வழங்குகிறோம்:
$$ \frac(7x+12)(3x^2-5x-2)=\frac(7x+12)(3\cdot\left(x+\frac(1)(3)\வலது)(x-2) )=\frac(\frac(7)(3)x+4)(\இடது(x+\frac(1)(3)\வலது)(x-2)). $$
இப்போது $\frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))$ என்ற பின்னத்தை அடிப்படையானவைகளாக சிதைப்போம்:
$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\இடது(x+\frac(1)(3)\வலது)(x-2)) =\frac(A)(x+\frac( 1)(3))+\frac(B)(x-2)=\frac(A(x-2)+B\இடது(x+\frac(1)(3)\வலது))(\இடது(x+) \frac(1)(3)\வலது)(x-2));\\ \frac(7)(3)x+4=A(x-2)+B\இடது(x+\frac(1)( 3)\வலது). $$
$A$ மற்றும் $B$ குணகங்களைக் கண்டறிய இரண்டு நிலையான வழிகள் உள்ளன: தீர்மானிக்கப்படாத குணகங்களின் முறை மற்றும் பகுதி மதிப்புகளை மாற்றும் முறை. $x=2$ மற்றும் $x=-\frac(1)(3)$ ஆகியவற்றை மாற்றுவதன் மூலம் பகுதி மதிப்பு மாற்று முறையைப் பயன்படுத்துவோம்:
$$ \frac(7)(3)x+4=A(x-2)+B\left(x+\frac(1)(3)\right).\\ x=2;\; \frac(7)(3)\cdot 2+4=A(2-2)+B\இடது(2+\frac(1)(3)\வலது); \; \frac(26)(3)=\frac(7)(3)B;\; B=\frac(26)(7).\\ x=-\frac(1)(3);\; \frac(7)(3)\cdot \left(-\frac(1)(3) \right)+4=A\left(-\frac(1)(3)-2\வலது)+B\இடது (-\frac(1)(3)+\frac(1)(3)\வலது); \; \frac(29)(9)=-\frac(7)(3)A;\; A=-\frac(29\cdot 3)(9\cdot 7)=-\frac(29)(21).\\ $$
குணகங்கள் கண்டுபிடிக்கப்பட்டதால், முடிக்கப்பட்ட விரிவாக்கத்தை எழுதுவது மட்டுமே எஞ்சியுள்ளது:
$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\இடது(x+\frac(1)(3)\வலது)(x-2))=\frac(-\frac(29)( 21))(x+\frac(1)(3))+\frac(\frac(26)(7))(x-2). $$
கொள்கையளவில், நீங்கள் இந்த பதிவை விட்டுவிடலாம், ஆனால் நான் மிகவும் துல்லியமான விருப்பத்தை விரும்புகிறேன்:
$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\இடது(x+\frac(1)(3)\வலது)(x-2))=-\frac(29)(21)\ cdot\frac(1)(x+\frac(1)(3))+\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2). $$
அசல் ஒருங்கிணைப்புக்குத் திரும்பி, அதன் விளைவாக வரும் விரிவாக்கத்தை அதில் மாற்றுகிறோம். பின்னர் நாம் ஒருங்கிணைப்பை இரண்டாகப் பிரித்து, ஒவ்வொன்றிற்கும் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம். ஒருங்கிணைந்த அடையாளத்திற்கு வெளியே மாறிலிகளை உடனடியாக வைக்க விரும்புகிறேன்:
$$ \int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx =\int\left(-\frac(29)(21)\cdot\frac(1)(x+\frac(1) (3))+\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2)\right)dx=\\ =\int\left(-\frac(29)(21)\cdot\ frac(1)(x+\frac(1)(3))\right)dx+\int\left(\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2)\right)dx =- \frac(29)(21)\cdot\int\frac(dx)(x+\frac(1)(3))+\frac(26)(7)\cdot\int\frac(dx)(x-2 )dx=\\ =-\frac(29)(21)\cdot\ln\left|x+\frac(1)(3)\வலது|+\frac(26)(7)\cdot\ln|x- 2|+C. $$
பதில்: $\int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx=-\frac(29)(21)\cdot\ln\left|x+\frac(1)(3)\வலது| +\frac(26)(7)\cdot\ln|x-2|+C$.
எடுத்துக்காட்டு எண். 3
ஒருங்கிணைந்த $\int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx$ ஐக் கண்டறியவும்.
நாம் $\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))$ என்ற பகுதியை ஒருங்கிணைக்க வேண்டும். எண்ணில் இரண்டாம் பட்டத்தின் பல்லுறுப்புக்கோவை உள்ளது, மற்றும் வகுப்பில் மூன்றாம் பட்டத்தின் பல்லுறுப்புக்கோவை உள்ளது. தொகுதியில் உள்ள பல்லுறுப்புக்கோவையின் பட்டம் வகுப்பில் உள்ள பல்லுறுப்புக்கோவையின் அளவை விட குறைவாக இருப்பதால், அதாவது. $2< 3$, то подынтегральная дробь является правильной. Разложение этой дроби на элементарные (простейшие) было получено в примере №3 на странице, посвящённой разложению рациональных дробей на элементарные. Полученное разложение таково:
$$ \frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))=-\frac(3)(x-1)+\frac(5)(x +4)-\frac(1)(x-9). $$
நாம் செய்ய வேண்டியது, கொடுக்கப்பட்ட ஒருங்கிணைப்பை மூன்றாகப் பிரித்து ஒவ்வொன்றிற்கும் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துங்கள். ஒருங்கிணைந்த அடையாளத்திற்கு வெளியே மாறிலிகளை உடனடியாக வைக்க விரும்புகிறேன்:
$$ \int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx=\int\left(-\frac(3)(x-1) +\frac(5)(x+4)-\frac(1)(x-9) \right)dx=\\=-3\cdot\int\frac(dx)(x-1)+ 5\cdot \int\frac(dx)(x+4)-\int\frac(dx)(x-9)=-3\ln|x-1|+5\ln|x+4|-\ln|x- 9|+C. $$
பதில்: $\int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx=-3\ln|x-1|+5\ln|x+ 4 |-\ln|x-9|+C$.
இந்த தலைப்பின் எடுத்துக்காட்டுகளின் பகுப்பாய்வின் தொடர்ச்சி இரண்டாவது பகுதியில் அமைந்துள்ளது.
