விநியோக சட்டம். விநியோக பலகோணம்

பக்கம் 2

வரைபட ரீதியாக விநியோக சட்டம் தனித்துவமான மதிப்புவிநியோக பலகோணம் என்று அழைக்கப்படும் வடிவத்தில் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.

ஒரு விநியோகத் தொடரின் வரைகலைப் பிரதிநிதித்துவம் (படம் 5 ஐப் பார்க்கவும்) விநியோகப் பலகோணம் என்று அழைக்கப்படுகிறது.

விநியோகச் சட்டத்தை வகைப்படுத்த, இடைவிடாது சீரற்ற மாறிபெரும்பாலும் ஒரு வரிசை (அட்டவணை) மற்றும் ஒரு விநியோக பலகோணம் பயன்படுத்தப்படுகிறது.

அதை சித்தரிக்க, புள்ளிகள் (Y Pi) (x - i Pa) ஒரு செவ்வக ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் கட்டமைக்கப்பட்டு வரி பிரிவுகளால் இணைக்கப்பட்டுள்ளன. பரவலான பலகோணம் ஒரு சீரற்ற மாறியின் பரவலின் தன்மையின் தோராயமான காட்சிப் பிரதிநிதித்துவத்தை அளிக்கிறது.

தெளிவுக்காக, ஒரு தனித்த சீரற்ற மாறியின் விநியோக விதியை வரைபடமாக சித்தரிக்கலாம், அதற்கான புள்ளிகள் (x/, p) ஒரு செவ்வக ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் கட்டமைக்கப்படுகின்றன, பின்னர் வரிப் பிரிவுகளால் இணைக்கப்படுகின்றன.

M (xn; pn) (hp - - சாத்தியமான மதிப்புகள் Xt pi - தொடர்புடைய நிகழ்தகவுகள்) மற்றும் அவற்றை நேரான பிரிவுகளுடன் இணைக்கவும். இதன் விளைவாக உருவானது ஒரு விநியோக பலகோணம் என்று அழைக்கப்படுகிறது.

புள்ளிகளின் கூட்டுத்தொகையின் நிகழ்தகவு பரவலைக் கவனியுங்கள் பகடை. கீழே உள்ள புள்ளிவிவரங்கள் ஒன்று, இரண்டு மற்றும் மூன்று எலும்புகளின் விநியோக பலகோணங்களைக் காட்டுகின்றன.

இந்த வழக்கில், ஒரு சீரற்ற மாறியின் விநியோக பலகோணத்திற்கு பதிலாக, ஒரு விநியோக அடர்த்தி சார்பு கட்டமைக்கப்படுகிறது, இது வேறுபட்ட விநியோக செயல்பாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது மற்றும் வேறுபட்ட விநியோக சட்டத்தை குறிக்கிறது. நிகழ்தகவுக் கோட்பாட்டில், ஒரு சீரற்ற மாறி x (x Xr) இன் பரவலான அடர்த்தியானது x மதிப்பின் நிகழ்தகவின் விகிதத்தின் வரம்பாகப் புரிந்து கொள்ளப்படுகிறது, இது ஆக்ஸுக்கு இடைவெளியில் (x, x - Ax) விழும் போது Al; பூஜ்ஜியத்தை நோக்கி செல்கிறது. வேறுபட்ட செயல்பாட்டிற்கு கூடுதலாக, ஒரு சீரற்ற மாறியின் விநியோகத்தை வகைப்படுத்துவதற்கு, பெரும்பாலும் விநியோக செயல்பாடு அல்லது ஒருங்கிணைந்த விநியோக விதி என்று அழைக்கப்படும் ஒருங்கிணைந்த விநியோக செயல்பாடு பயன்படுத்தப்படுகிறது.

இந்தக் கட்டுமானத்துடன், நிகழ்தகவுகள் தொடர்புடைய வளைவு ட்ரெப்சாய்டுகளின் பகுதிகளுக்குச் சமமாக இருப்பதைப் போலவே, இடைவெளிகளில் விழும் சார்பு அதிர்வெண்கள் தொடர்புடைய ஹிஸ்டோகிராம் பார்களின் பகுதிகளுக்குச் சமமாக இருக்கும். கருதப்படும் கோட்பாட்டுப் பரவல் சோதனையுடன் நன்றாக ஒத்துப்போகிறது. போதுமான அளவு பெரிய n மற்றும் வெற்றிகரமான தேர்வு இடைவெளிகளுடன் (YJ-I, y சில நேரங்களில், ஒப்பீட்டின் தெளிவுக்காக, ஹிஸ்டோகிராம் பார்களின் மேல் தளங்களின் நடுப்புள்ளிகளை வரிசையாக இணைப்பதன் மூலம் ஒரு விநியோக பலகோணம் கட்டமைக்கப்படுகிறது.

m க்கு 0 முதல் i வரை வெவ்வேறு மதிப்புகளைக் கொடுப்பதன் மூலம், PQ, P RF - Pn நிகழ்தகவுகள் பெறப்படுகின்றன, அவை வரைபடத்தில் வரையப்பட்டுள்ளன. கொடுக்கப்பட்ட p; z11, ஒரு நிகழ்தகவு விநியோக பலகோணத்தை உருவாக்கவும்.

ஒரு தனித்த சீரற்ற மாறியின் விநியோக விதி என்பது அதன் சாத்தியமான மதிப்புகள் மற்றும் அவற்றின் நிகழ்தகவுகளுக்கு இடையிலான எந்தவொரு கடிதப் பரிமாற்றமாகும். சட்டத்தை அட்டவணையாக (விநியோகத் தொடர்), வரைபடமாக (விநியோக பலகோணம், முதலியன) மற்றும் பகுப்பாய்வு முறையில் குறிப்பிடலாம்.

விநியோக வளைவைக் கண்டறிதல், வேறுவிதமாகக் கூறினால், சீரற்ற மாறியின் விநியோகத்தை நிறுவுவது, கொடுக்கப்பட்ட குறிப்பிட்ட விநியோகத் தொடரால் முழுமையாக வெளிப்படுத்தப்படாத ஒரு நிகழ்வை இன்னும் ஆழமாகப் படிப்பதை சாத்தியமாக்குகிறது. கண்டுபிடிக்கப்பட்ட சமன்படுத்தும் விநியோக வளைவு மற்றும் பகுதி மக்கள்தொகையிலிருந்து கட்டப்பட்ட விநியோக பலகோணம் இரண்டையும் வரைவதன் மூலம், ஆராய்ச்சியாளர் தெளிவாகக் காணலாம் பண்புகள்ஆய்வு செய்யப்படும் நிகழ்வுக்கு உள்ளார்ந்தவை. இதற்கு நன்றி, புள்ளிவிவர பகுப்பாய்வு நிகழ்வின் சில இயற்கை மாற்றங்களிலிருந்து கவனிக்கப்பட்ட தரவுகளின் விலகல்களில் ஆராய்ச்சியாளரின் கவனத்தை செலுத்துகிறது, மேலும் இந்த விலகல்களுக்கான காரணங்களைக் கண்டறியும் பணியை ஆராய்ச்சியாளர் எதிர்கொள்கிறார்.

பின்னர், இந்த இடைவெளியில் நுகர்வு கொண்ட மாதங்களின் எண்ணிக்கையுடன் தொடர்புடைய இடைவெளிகளின் நடுவில் இருந்து abscissas (ஒரு அளவில்) வரையப்படுகின்றன. இந்த அப்சிசாக்களின் முனைகள் இணைக்கப்பட்டு, பலகோணம் அல்லது விநியோக பலகோணம் பெறப்படுகிறது.

அளவின் மதிப்பின் ஒருங்கிணைப்பு விமானத்தில் ஒரு தனித்த சீரற்ற மாறியின் விநியோக விதியின் வரைகலை பிரதிநிதித்துவத்தை அளிக்கும் புள்ளிகள் - மதிப்புகளின் நிகழ்தகவு, பொதுவாக நேரான பிரிவுகளால் இணைக்கப்பட்டு அதன் விளைவாக அழைக்கப்படுகிறது வடிவியல் உருவம்விநியோக பலகோணம். படத்தில். அட்டவணை 46 இல் 3 (அத்துடன் புள்ளிவிவரங்கள் 4 மற்றும் 5 இல்) விநியோக பலகோணங்கள் காட்டப்பட்டுள்ளன.

தனித்தனி ஒரு சீரற்ற மாறி என்று அழைக்கப்படுகிறது, இது சில நிகழ்தகவுகளுடன் தனித்தனி, தனிமைப்படுத்தப்பட்ட மதிப்புகளை எடுக்க முடியும்.

எடுத்துக்காட்டு 1.கோட் ஆஃப் ஆர்ம்ஸ் மூன்று காயின் டாஸ்களில் எத்தனை முறை தோன்றும். சாத்தியமான மதிப்புகள்: 0, 1, 2, 3, அவற்றின் நிகழ்தகவுகள் முறையே சமம்:

பி(0) = ; Р(1) = ; Р(2) = ; Р(3) = .

எடுத்துக்காட்டு 2.ஐந்து கூறுகளைக் கொண்ட சாதனத்தில் தோல்வியுற்ற உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை. சாத்தியமான மதிப்புகள்: 0, 1, 2, 3, 4, 5; அவற்றின் நிகழ்தகவுகள் ஒவ்வொரு தனிமத்தின் நம்பகத்தன்மையைப் பொறுத்தது.

தனித்த சீரற்ற மாறி எக்ஸ்விநியோகத் தொடர் அல்லது விநியோகச் செயல்பாடு (ஒருங்கிணைந்த விநியோகச் சட்டம்) மூலம் வழங்கப்படலாம்.

விநியோகத்திற்கு அருகில் சாத்தியமான அனைத்து மதிப்புகளின் தொகுப்பாகும் எக்ஸ்நான்மற்றும் அவற்றின் தொடர்புடைய நிகழ்தகவுகள் ஆர்நான் = பி(X = xநான்), அதை ஒரு அட்டவணையாக குறிப்பிடலாம்:

x i				x n
p i				р n

அதே நேரத்தில், நிகழ்தகவுகள் ஆர்நான்நிலைமையை திருப்திப்படுத்த

ஆர்நான்= 1 ஏனெனில்

சாத்தியமான மதிப்புகளின் எண்ணிக்கை எங்கே nவரையறுக்கப்பட்ட அல்லது எல்லையற்றதாக இருக்கலாம்.

விநியோகத் தொடரின் வரைகலைப் பிரதிநிதித்துவம் விநியோக பலகோணம் என்று அழைக்கப்படுகிறது . அதை உருவாக்க, சீரற்ற மாறியின் சாத்தியமான மதிப்புகள் ( எக்ஸ்நான்) x-அச்சு, மற்றும் நிகழ்தகவுகள் ஆகியவற்றுடன் திட்டமிடப்பட்டுள்ளது ஆர்நான்- ஆர்டினேட் அச்சில்; புள்ளிகள் ஏநான்ஒருங்கிணைப்புகளுடன் ( எக்ஸ்நான், рநான்) உடைந்த கோடுகளால் இணைக்கப்பட்டுள்ளது.

விநியோக செயல்பாடு சீரற்ற மாறி எக்ஸ்செயல்பாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது எஃப்(எக்ஸ்), புள்ளியில் யாருடைய மதிப்பு எக்ஸ்சீரற்ற மாறியின் நிகழ்தகவுக்கு சமம் எக்ஸ்இந்த மதிப்பை விட குறைவாக இருக்கும் எக்ஸ், அது

F(x) = P(X< х).

செயல்பாடு எஃப்(எக்ஸ்) க்கு தனித்த சீரற்ற மாறிசூத்திரத்தால் கணக்கிடப்படுகிறது

எஃப்(எக்ஸ்) = ஆர்நான் , (1.10.1)

அனைத்து மதிப்புகளின் மீதும் கூட்டுத்தொகை மேற்கொள்ளப்படுகிறது நான், எதற்காக எக்ஸ்நான்< х.

எடுத்துக்காட்டு 3. 100 தயாரிப்புகளைக் கொண்ட ஒரு தொகுப்பிலிருந்து, 10 குறைபாடுகள் உள்ளன, அவற்றின் தரத்தைச் சரிபார்க்க ஐந்து தயாரிப்புகள் தோராயமாகத் தேர்ந்தெடுக்கப்படுகின்றன. தொடர் விநியோகங்களை உருவாக்கவும் சீரற்ற எண் எக்ஸ்மாதிரியில் உள்ள குறைபாடுள்ள பொருட்கள்.

தீர்வு. மாதிரியில் குறைபாடுள்ள தயாரிப்புகளின் எண்ணிக்கை 0 முதல் 5 வரையிலான எந்த முழு எண்ணாகவும் இருக்கலாம், பின்னர் சாத்தியமான மதிப்புகள் எக்ஸ்நான்சீரற்ற மாறி எக்ஸ்சமம்:

x 1 = 0, x 2 = 1, x 3 = 2, x 4 = 3, x 5 = 4, x 6 = 5.

நிகழ்தகவு ஆர்(எக்ஸ் = கே) அந்த மாதிரி சரியாக உள்ளது கே(கே = 0, 1, 2, 3, 4, 5) குறைபாடுள்ள பொருட்கள், சமம்

பி (எக்ஸ் = கே) = .

0.001 துல்லியத்துடன் இந்த சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கணக்கீடுகளின் விளைவாக, நாங்கள் பெறுகிறோம்:

ஆர் 1 = பி(X = 0) @ 0,583;ஆர் 2 = பி(X = 1) @ 0,340;ஆர் 3 = பி(X = 2) @ 0,070;

ஆர் 4 = பி(X = 3) @ 0,007;ஆர் 5 = பி(எக்ஸ்= 4) @ 0;ஆர் 6 = பி(X = 5) @ 0.

சரிபார்க்க சமத்துவத்தைப் பயன்படுத்துதல் ஆர்கே=1, கணக்கீடுகள் மற்றும் ரவுண்டிங் சரியாக செய்யப்பட்டன என்பதை உறுதிசெய்கிறோம் (அட்டவணையைப் பார்க்கவும்).

x i
p i

எடுத்துக்காட்டு 4.சீரற்ற மாறியின் விநியோகத் தொடர் கொடுக்கப்பட்டது எக்ஸ் :

x i
p i

நிகழ்தகவு பரவல் செயல்பாட்டைக் கண்டறியவும் எஃப்(எக்ஸ்) இந்த சீரற்ற மாறி மற்றும் அதை உருவாக்க.

தீர்வு. என்றால் எக்ஸ்அப்போது £10 எஃப்(எக்ஸ்)= பி(எக்ஸ்<எக்ஸ்) = 0;

10 என்றால்<எக்ஸ்அப்போது £20 எஃப்(எக்ஸ்)= பி(எக்ஸ்<எக்ஸ்) = 0,2 ;

20 என்றால்<எக்ஸ்அப்போது £30 எஃப்(எக்ஸ்)= பி(எக்ஸ்<எக்ஸ்) = 0,2 + 0,3 = 0,5 ;

30 என்றால்<எக்ஸ்அப்போது £40 எஃப்(எக்ஸ்)= பி(எக்ஸ்<எக்ஸ்) = 0,2 + 0,3 + 0,35 = 0,85 ;

40 என்றால்<எக்ஸ்அப்போது £50 எஃப்(எக்ஸ்)= பி(எக்ஸ்<எக்ஸ்) = 0,2 + 0,3 + 0,35 + 0,1=0,95 ;

என்றால் எக்ஸ்> 50, பின்னர் எஃப்(எக்ஸ்)= பி(எக்ஸ்<எக்ஸ்) = 0,2 + 0,3 + 0,35 + 0,1 + 0,05 = 1.

பதில்: ஒரு இடைவிடாத சீரற்ற மாறியைக் கவனியுங்கள் எக்ஸ்சாத்தியமான மதிப்புகளுடன். இந்த மதிப்புகள் ஒவ்வொன்றும் சாத்தியம், ஆனால் நிச்சயமாக இல்லை, மற்றும் மதிப்பு எக்ஸ்அவை ஒவ்வொன்றையும் சில நிகழ்தகவுடன் ஏற்றுக்கொள்ளலாம். சோதனையின் விளைவாக, மதிப்பு எக்ஸ்இந்த மதிப்புகளில் ஒன்றை எடுக்கும், அதாவது பொருந்தாத நிகழ்வுகளின் முழுமையான குழுவில் ஒன்று நிகழும்:

இந்த நிகழ்வுகளின் நிகழ்தகவுகளை கடிதங்கள் மூலம் குறிப்போம் ஆர்தொடர்புடைய குறியீடுகளுடன்:

அதாவது, பல்வேறு மதிப்புகளின் நிகழ்தகவு விநியோகம் ஒரு விநியோக அட்டவணையால் குறிப்பிடப்படலாம், இதில் கொடுக்கப்பட்ட தனித்த சீரற்ற மாறியால் எடுக்கப்பட்ட அனைத்து மதிப்புகளும் மேல் வரியில் குறிக்கப்படுகின்றன, மேலும் தொடர்புடைய மதிப்புகளின் நிகழ்தகவுகள் கீழ் வரியில் குறிப்பிடப்பட்டுள்ளன. பொருந்தாத நிகழ்வுகள் (3.1) ஒரு முழுமையான குழுவை உருவாக்குவதால், அதாவது, சீரற்ற மாறியின் சாத்தியமான அனைத்து மதிப்புகளின் நிகழ்தகவுகளின் கூட்டுத்தொகை ஒன்றுக்கு சமம். தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறிகளின் நிகழ்தகவு விநியோகத்தை அட்டவணையின் வடிவத்தில் வழங்க முடியாது, ஏனெனில் அத்தகைய சீரற்ற மாறிகளின் மதிப்புகளின் எண்ணிக்கை ஒரு குறிப்பிட்ட இடைவெளியில் கூட எல்லையற்றது. மேலும், எந்தவொரு குறிப்பிட்ட மதிப்பையும் பெறுவதற்கான நிகழ்தகவு பூஜ்ஜியமாகும். இந்த விநியோகத்தைக் குறிப்பிட்டால், ஒரு சீரற்ற மாறி ஒரு நிகழ்தகவுக் கண்ணோட்டத்தில் முழுமையாக விவரிக்கப்படும், அதாவது, ஒவ்வொரு நிகழ்வுக்கும் என்ன நிகழ்தகவு உள்ளது என்பதைக் குறிப்பிடுகிறோம். இதனுடன் நாம் ஒரு சீரற்ற மாறியின் விநியோக விதி என்று அழைக்கப்படுவதை நிறுவுவோம். சீரற்ற மாறியின் விநியோக விதி என்பது ஒரு சீரற்ற மாறியின் சாத்தியமான மதிப்புகள் மற்றும் அதனுடன் தொடர்புடைய நிகழ்தகவுகளுக்கு இடையேயான தொடர்பை நிறுவும் எந்தவொரு உறவாகும். ஒரு சீரற்ற மாறியைப் பற்றி நாம் கூறுவோம், அது கொடுக்கப்பட்ட விநியோகச் சட்டத்திற்கு உட்பட்டது. ஒரு இடைவிடாத சீரற்ற மாறியின் விநியோகச் சட்டத்தைக் குறிப்பிடக்கூடிய படிவத்தை நிறுவுவோம் எக்ஸ்.இந்தச் சட்டத்தைக் குறிப்பிடுவதற்கான எளிய வடிவம் ஒரு சீரற்ற மாறியின் சாத்தியமான மதிப்புகள் மற்றும் அவற்றின் தொடர்புடைய நிகழ்தகவுகளை பட்டியலிடும் அட்டவணை ஆகும்:

x i	எக்ஸ் 1	எக்ஸ் 2	× × ×	x n
p i	ப 1	ப 2	× × ×	ப என்

அத்தகைய அட்டவணையை சீரற்ற மாறியின் தொடர் விநியோகம் என்று அழைப்போம் எக்ஸ்.

அரிசி. 3.1

விநியோகத் தொடருக்கு அதிக காட்சித் தோற்றத்தை வழங்க, அவை பெரும்பாலும் அதன் வரைகலை பிரதிநிதித்துவத்தை நாடுகின்றன: சீரற்ற மாறியின் சாத்தியமான மதிப்புகள் அப்சிஸ்ஸா அச்சில் திட்டமிடப்படுகின்றன, மேலும் இந்த மதிப்புகளின் நிகழ்தகவுகள் ஆர்டினேட் அச்சில் திட்டமிடப்படுகின்றன. தெளிவுக்காக, இதன் விளைவாக வரும் புள்ளிகள் நேரான பிரிவுகளால் இணைக்கப்பட்டுள்ளன. அத்தகைய உருவம் ஒரு விநியோக பலகோணம் என்று அழைக்கப்படுகிறது (படம் 3.1). விநியோக பலகோணமும், விநியோகத் தொடர்களும் சீரற்ற மாறியை முழுமையாக வகைப்படுத்துகின்றன. இது விநியோக சட்டத்தின் வடிவங்களில் ஒன்றாகும். சில நேரங்களில் விநியோகத் தொடரின் "மெக்கானிக்கல்" விளக்கம் என்று அழைக்கப்படுவது வசதியானது. ஒற்றுமைக்கு சமமான ஒரு குறிப்பிட்ட நிறை abscissa அச்சில் விநியோகிக்கப்படுகிறது என்று கற்பனை செய்வோம். nவெகுஜனங்கள் முறையே தனிப்பட்ட புள்ளிகளில் குவிந்துள்ளன . பின்னர் விநியோகத் தொடர் என்பது அப்சிஸ்ஸா அச்சில் அமைந்துள்ள சில வெகுஜனங்களைக் கொண்ட பொருள் புள்ளிகளின் அமைப்பாக விளக்கப்படுகிறது.

சீரற்ற மாறிசோதனையின் விளைவாக, முன்கூட்டியே அறியப்படாத ஒன்று அல்லது மற்றொரு மதிப்பைப் பெறக்கூடிய அளவு. சீரற்ற மாறிகள் உள்ளன இடைவிடாத (தனிப்பட்ட)மற்றும் தொடர்ச்சியானவகை. இடைவிடாத அளவுகளின் சாத்தியமான மதிப்புகள் முன்கூட்டியே பட்டியலிடப்படலாம். தொடர்ச்சியான அளவுகளின் சாத்தியமான மதிப்புகளை முன்கூட்டியே பட்டியலிட முடியாது மற்றும் தொடர்ந்து ஒரு குறிப்பிட்ட இடைவெளியை நிரப்பவும்.

தனித்த சீரற்ற மாறிகளின் எடுத்துக்காட்டு:

1) கோட் ஆஃப் ஆர்ம்ஸ் மூன்று காயின் டாஸ்களில் எத்தனை முறை தோன்றும். (சாத்தியமான மதிப்புகள் 0;1;2;3)

2) அதே பரிசோதனையில் கோட் ஆஃப் ஆர்ம்ஸ் தோற்றத்தின் அதிர்வெண். (சாத்தியமான மதிப்புகள்)

3) ஐந்து கூறுகளைக் கொண்ட சாதனத்தில் தோல்வியுற்ற உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை. (சாத்தியமான மதிப்புகள் 0;1;2;3;4;5)

தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறிகளின் எடுத்துக்காட்டுகள்:

1) சுடும்போது ஏற்படும் தாக்கத்தின் புள்ளியின் அப்சிஸ்ஸா (ஆர்டினேட்).

2) தாக்கத்தின் புள்ளியிலிருந்து இலக்கின் மையத்திற்கான தூரம்.

3) சாதனத்தின் இயக்க நேரம் (ரேடியோ விளக்கு).

சீரற்ற மாறிகள் பெரிய எழுத்துக்களால் குறிக்கப்படுகின்றன, மேலும் அவற்றின் சாத்தியமான மதிப்புகள் தொடர்புடைய சிறிய எழுத்துக்களால் குறிக்கப்படுகின்றன. எடுத்துக்காட்டாக, X என்பது மூன்று ஷாட்களைக் கொண்ட வெற்றிகளின் எண்ணிக்கை; சாத்தியமான மதிப்புகள்: X 1 =0, X 2 =1, X 3 =2, X 4 =3.

சாத்தியமான மதிப்புகள் X 1, X 2, ..., X n உடன் தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறி X ஐக் கருத்தில் கொள்வோம். இந்த மதிப்புகள் ஒவ்வொன்றும் சாத்தியம், ஆனால் நிச்சயமாக இல்லை, மேலும் X மதிப்பு ஒவ்வொன்றையும் சில நிகழ்தகவுடன் எடுக்கலாம். சோதனையின் விளைவாக, X இன் மதிப்பு இந்த மதிப்புகளில் ஒன்றை எடுக்கும், அதாவது, பொருந்தாத நிகழ்வுகளின் முழுமையான குழுவில் ஒன்று நிகழும்.

இந்த நிகழ்வுகளின் நிகழ்தகவுகளை p என்ற எழுத்துக்களால் தொடர்புடைய குறியீடுகளுடன் குறிப்போம்:

பொருந்தாத நிகழ்வுகள் ஒரு முழுமையான குழுவை உருவாக்குவதால், பின்னர்

அதாவது, ஒரு சீரற்ற மாறியின் அனைத்து சாத்தியமான மதிப்புகளின் நிகழ்தகவுகளின் கூட்டுத்தொகை 1 க்கு சமம். இந்த மொத்த நிகழ்தகவு தனிப்பட்ட மதிப்புகளுக்கு இடையில் எப்படியாவது விநியோகிக்கப்படுகிறது. இந்த விநியோகத்தை நாம் வரையறுத்தால், ஒரு சீரற்ற மாறி ஒரு நிகழ்தகவுக் கண்ணோட்டத்தில் முழுமையாக விவரிக்கப்படும், அதாவது, ஒவ்வொரு நிகழ்வுக்கும் என்ன நிகழ்தகவு உள்ளது என்பதைக் குறிப்பிடுகிறோம். (இது சீரற்ற மாறிகளின் விநியோக விதி என்று அழைக்கப்படும்.)

சீரற்ற மாறியின் விநியோக சட்டம்ஒரு சீரற்ற மாறியின் சாத்தியமான மதிப்புகள் மற்றும் தொடர்புடைய நிகழ்தகவு ஆகியவற்றுக்கு இடையேயான தொடர்பை நிறுவும் எந்தவொரு தொடர்பும் ஆகும். (ஒரு சீரற்ற மாறியைப் பற்றி அது கொடுக்கப்பட்ட விநியோகச் சட்டத்திற்கு உட்பட்டது என்று கூறுவோம்)

சீரற்ற மாறியின் பரவல் விதியைக் குறிப்பிடுவதற்கான எளிய வடிவம் சீரற்ற மாறியின் சாத்தியமான மதிப்புகள் மற்றும் தொடர்புடைய நிகழ்தகவுகளை பட்டியலிடும் அட்டவணை ஆகும்.

அட்டவணை 1.

X i	X 1	X 2	…	எக்ஸ் என்
பி ஐ	பி 1	பி2	…	Pn

இந்த அட்டவணை அழைக்கப்படுகிறது விநியோகத்திற்கு அருகில்சீரற்ற மாறிகள்.

விநியோகத் தொடருக்கு அதிக காட்சித் தோற்றத்தை வழங்க, அவர்கள் அதன் வரைகலை பிரதிநிதித்துவத்தை நாடுகிறார்கள்: சீரற்ற மாறியின் சாத்தியமான மதிப்புகள் அப்சிஸ்ஸா அச்சில் திட்டமிடப்படுகின்றன, மேலும் இந்த மதிப்புகளின் நிகழ்தகவுகள் ஆர்டினேட் அச்சில் திட்டமிடப்படுகின்றன. (தெளிவுக்காக, இதன் விளைவாக வரும் புள்ளிகள் நேர் கோடு பிரிவுகளால் இணைக்கப்பட்டுள்ளன.)

படம் 1 - விநியோக பலகோணம்

இந்த எண்ணிக்கை அழைக்கப்படுகிறது விநியோக பலகோணம். விநியோகத் தொடரைப் போலவே விநியோகப் பலகோணமும், சீரற்ற மாறியை முழுமையாக வகைப்படுத்துகிறது; இது விநியோக சட்டத்தின் வடிவங்களில் ஒன்றாகும்.

உதாரணமாக:

நிகழ்வு A தோன்றலாம் அல்லது தோன்றாமல் இருக்கக்கூடிய ஒரு பரிசோதனை செய்யப்படுகிறது, A நிகழ்வின் நிகழ்தகவு = 0.3. ஒரு சீரற்ற மாறி X ஐக் கருதுகிறோம் - கொடுக்கப்பட்ட பரிசோதனையில் நிகழ்வு A இன் நிகழ்வுகளின் எண்ணிக்கை. X மதிப்பின் பரவலின் தொடர் மற்றும் பலகோணத்தை உருவாக்குவது அவசியம்.

அட்டவணை 2.

X i
பி ஐ	0,7	0,3

படம் 2 - விநியோக செயல்பாடு

விநியோக செயல்பாடுஒரு சீரற்ற மாறியின் உலகளாவிய பண்பு. இது அனைத்து சீரற்ற மாறிகளுக்கும் உள்ளது: இடைவிடாத மற்றும் தொடர்ச்சியற்றவை. விநியோகச் செயல்பாடு ஒரு நிகழ்தகவுக் கண்ணோட்டத்தில் ஒரு சீரற்ற மாறியை முழுமையாக வகைப்படுத்துகிறது, அதாவது இது விநியோகச் சட்டத்தின் வடிவங்களில் ஒன்றாகும்.

இந்த நிகழ்தகவு விநியோகத்தை அளவுகோலாக வகைப்படுத்த, X=x நிகழ்வின் நிகழ்தகவை அல்ல, ஆனால் X நிகழ்வின் நிகழ்தகவைப் பயன்படுத்துவது வசதியானது.

விநியோகச் செயல்பாடு F(x) சில நேரங்களில் ஒட்டுமொத்த விநியோகச் செயல்பாடு அல்லது ஒட்டுமொத்த விநியோகச் சட்டம் என்றும் அழைக்கப்படுகிறது.

சீரற்ற மாறியின் பரவல் செயல்பாட்டின் பண்புகள்

1. விநியோகச் செயல்பாடு F(x) என்பது அதன் வாதத்தின் குறையாத செயல்பாடாகும், அதாவது ;

2. மைனஸ் இன்ஃபினிட்டியில்:

3. பிளஸ் இன்ஃபினிட்டியில்:

படம் 3 - விநியோக செயல்பாடு வரைபடம்

விநியோக செயல்பாடு வரைபடம்பொதுவாக, இது ஒரு குறையாத செயல்பாட்டின் வரைபடமாகும், அதன் மதிப்புகள் 0 இலிருந்து தொடங்கி 1 க்கு செல்கின்றன.

சீரற்ற மாறியின் விநியோகத் தொடரை அறிந்தால், சீரற்ற மாறியின் விநியோகச் செயல்பாட்டை உருவாக்க முடியும்.

உதாரணமாக:

முந்தைய உதாரணத்தின் நிபந்தனைகளுக்கு, சீரற்ற மாறியின் விநியோக செயல்பாட்டை உருவாக்கவும்.

விநியோக செயல்பாடு X ஐ உருவாக்குவோம்:

படம் 4 - விநியோக செயல்பாடு X

விநியோக செயல்பாடுஎந்த ஒரு தொடர்ச்சியற்ற தனித்த சீரற்ற மாறிக்கும் எப்போதும் இடைவிடாத படி செயல்பாடு இருக்கும், இதன் தாவல்கள் சீரற்ற மாறியின் சாத்தியமான மதிப்புகளுடன் தொடர்புடைய புள்ளிகளில் நிகழ்கின்றன மற்றும் இந்த மதிப்புகளின் நிகழ்தகவுகளுக்கு சமமாக இருக்கும். அனைத்து விநியோக செயல்பாடு தாவல்களின் கூட்டுத்தொகை 1 க்கு சமம்.

ஒரு சீரற்ற மாறியின் சாத்தியமான மதிப்புகளின் எண்ணிக்கை அதிகரிக்கும் மற்றும் அவற்றுக்கிடையேயான இடைவெளிகள் குறைவதால், தாவல்களின் எண்ணிக்கை பெரிதாகிறது, மேலும் தாவல்கள் சிறியதாக மாறும்:

படம் 5

படிநிலை வளைவு மென்மையாக மாறும்:

படம் 6

சீரற்ற மாறி படிப்படியாக ஒரு தொடர்ச்சியான மதிப்பை அணுகுகிறது, மேலும் அதன் விநியோக செயல்பாடு தொடர்ச்சியான செயல்பாட்டை அணுகுகிறது. சீரற்ற மாறிகளும் உள்ளன, அவற்றின் சாத்தியமான மதிப்புகள் ஒரு குறிப்பிட்ட இடைவெளியை தொடர்ந்து நிரப்புகின்றன, ஆனால் விநியோக செயல்பாடு எல்லா இடங்களிலும் தொடர்ந்து இல்லை. மற்றும் சில புள்ளிகளில் அது உடைகிறது. இத்தகைய சீரற்ற மாறிகள் கலப்பு என்று அழைக்கப்படுகின்றன.

படம் 7

ஒரு சீரற்ற மாறியின் கருத்து. சீரற்ற மாறியின் விநியோக விதி

சீரற்ற மாறிகள் (சுருக்கமாக: r.v.) பெரிய லத்தீன் எழுத்துக்கள் X, Y, மூலம் குறிக்கப்படுகின்றன. Z,...(அல்லது சிற்றெழுத்து கிரேக்க எழுத்துக்கள் ξ (xi), η (eta), θ (தீட்டா), ψ (psi), முதலியன), மற்றும் அவை எடுக்கும் மதிப்புகள் சிறிய எழுத்துக்களில் x 1 ஆகும் , x 2 ,…, 1 மணிக்கு , 2 மணிக்கு , 3 மணிக்கு …

எடுத்துக்காட்டுகள்உடன். வி. சேவை செய்யலாம்: 1) எக்ஸ்- ஒரு டை எறியும் போது தோன்றும் புள்ளிகளின் எண்ணிக்கை; 2) Y - இலக்கில் முதல் வெற்றிக்கு முன் ஷாட்களின் எண்ணிக்கை; 3) Z- சாதனம் சிக்கலற்ற செயல்பாட்டின் நேரம், முதலியன (நபரின் உயரம், டாலர் மாற்று விகிதம், ஒரு தொகுதியில் உள்ள குறைபாடுள்ள பகுதிகளின் எண்ணிக்கை, காற்றின் வெப்பநிலை, வீரரின் வெற்றிகள், தோராயமாகத் தேர்ந்தெடுக்கப்பட்டால் ஒரு புள்ளியின் ஒருங்கிணைப்பு, நிறுவனத்தின் லாபம், . ..)

சீரற்ற மாறி XΏ டபிள்யூ

X(w), அதாவது. எக்ஸ்= X(w), wО Ώ (அல்லது X = f(w)) (31)

எடுத்துக்காட்டு 1. சோதனையானது ஒரு நாணயத்தை 2 முறை தூக்கி எறிவதைக் கொண்டுள்ளது. PES இல் Ώ=(w 1, w 2, w 3, w 4), இங்கு w 1 = ஜிஜி, டபிள்யூ 2 = GR, w 3 = RG, w 4 = RR, நீங்கள் p கருத்தில் கொள்ளலாம். வி. எக்ஸ்- கோட் ஆஃப் ஆர்ம்ஸ் தோற்றங்களின் எண்ணிக்கை. எஸ்.வி. எக்ஸ்ஆரம்ப நிகழ்வின் ஒரு செயல்பாடு w i : எக்ஸ்( w 1 ) = 2, எக்ஸ்( w 2 ) = 1, எக்ஸ்( w 3 ) = 1, எக்ஸ்( w 4 )= 0; எக்ஸ்- டி.எஸ். வி. x 1 மதிப்புகளுடன் = 0, x 2 =1 , x 3 = 2.

X(w) S Р(А) = Р(Х< எக்ஸ்).

எக்ஸ்- டி.எஸ். வி.,

x 1 , x 2 , x 3 ,…,x n ,…

p i,எங்கே நான் = 1,2,3, ...,n,... .

விநியோக சட்டம்டி.எஸ். வி. p i =P(X=x i}, i=1,2,3,... ,n,...,

உடன். வி. எக்ஸ்எக்ஸ் நான். :

எக்ஸ்	x 1	x 2	….	x n	…
பி	ப 1	ப2	….	ப என்	…

நிகழ்வுகளிலிருந்து (எக்ஸ் = x 1), (எக்ஸ் = x 2),…, (எக்ஸ் = x n), அதாவது. .

(x 1 , ப 1 ), (x 2 , p 2),…, (x n , p n) என்று அழைக்கப்படுகின்றன பலகோணம்(அல்லது பலகோணம்) பரவல்(படம் 17 ஐப் பார்க்கவும்).

சீரற்ற மதிப்பு X என்பது தனித்துவமானது,வரையறுக்கப்பட்ட அல்லது எண்ணக்கூடிய எண்கள் x 1 இருந்தால் , x 2 , ..., x n அப்படி பி(எக்ஸ் = x i) = p i > 0 (நான் = 1,2,...) ப 1 + ப2 + ப 3 +…= 1 (32)

தொகைடி.எஸ். வி. X, நிகழ்தகவுகளுடன் x i மதிப்புகளை எடுத்து p i = Р(Х = x i), i = 1,2,3,...,n, மற்றும் d.s. வி. Y, p i = Р(Y = y j), j = 1,2,3,... ,m, நிகழ்தகவுகளுடன் y j மதிப்புகளை எடுப்பது d.s எனப்படும். வி. Z = X + Y, நிகழ்தகவுகள் p ij = P( X = x i,Y = y j), அனைத்து குறிப்பிட்ட மதிப்புகளுக்கும் z ij = x i + y j மதிப்புகளை எடுத்துக்கொள்வது நான்மற்றும் ஜே. சில தொகைகள் x i + y j இணைந்தால், தொடர்புடைய நிகழ்தகவுகள் சேர்க்கப்படும்.

வித்தியாசத்தால்டி.எஸ். வி. X, நிகழ்தகவுகளுடன் x i மதிப்புகளை எடுத்து p i = Р(Х = x i), i = 1,2,3,...,n, மற்றும் d.s. வி. Y, p i = Р(Y = y j), j = 1,2,3,... ,m, நிகழ்தகவுகளுடன் y j மதிப்புகளை எடுப்பது d.s எனப்படும். வி. Z = X - Y, நிகழ்தகவுகள் p ij = P (X = x i ,Y = y j ) உடன் z ij = x i – y j , அனைத்து குறிப்பிட்ட மதிப்புகளுக்கும் எடுத்துக்கொள்வது நான்மற்றும் ஜே. சில வேறுபாடுகள் x i – y j இணைந்தால், தொடர்புடைய நிகழ்தகவுகள் சேர்க்கப்படும்.

வேலைடி.எஸ். வி. X, நிகழ்தகவுகளுடன் x i மதிப்புகளை எடுத்து p i = Р(Х = x i), i = 1,2,3,...,n, மற்றும் d.s. வி. Y, p i = Р(Y = y j), j = 1,2,3,... ,m, நிகழ்தகவுகளுடன் y j மதிப்புகளை எடுப்பது d.s எனப்படும். வி. Z = X × Y, நிகழ்தகவுகள் p ij = P( X = x i,Y = y j), அனைத்து குறிப்பிட்ட மதிப்புகளுக்கும் z ij = x i × y j மதிப்புகளை எடுத்துக்கொள்வது நான்மற்றும் ஜே. சில தயாரிப்புகள் x i × y j இணைந்தால், தொடர்புடைய நிகழ்தகவுகள் சேர்க்கப்படும்.

டி.எஸ். வி. сХ, с x i р i = Р(Х = x i ).

X மற்றும் Y நிகழ்வுகள் (X = x i) = A i மற்றும் (Y = y j) = B j எந்த i= 1,2,...,n j = l,2,...,m, i.e.

P(X = x i ;Y = y j) =P(X = x i) ×P (Y = y j) (33)

எடுத்துக்காட்டு 2.கலசத்தில் 8 பந்துகள் உள்ளன, அவற்றில் 5 வெள்ளை, மீதமுள்ளவை கருப்பு. அதிலிருந்து 3 பந்துகள் சீரற்ற முறையில் எடுக்கப்படுகின்றன. மாதிரியில் உள்ள வெள்ளை பந்துகளின் எண்ணிக்கையின் விநியோக விதியைக் கண்டறியவும்.