தீர்வு.
சின்னங்கள் வரையப்படாத நிகழ்தகவு: P(0) = 0.5*0.5*0.5= 0.125
பி(1) = 0,5 *0,5*0,5 + 0,5*0,5 *0,5 + 0,5*0,5*0,5 = 3*0,125=0,375
பி(2) = 0,5 *0,5 *0,5 + 0,5 *0,5*0,5 + 0,5*0,5 *0,5 = 3*0,125=0,375
மூன்று பூச்சுகளைப் பெறுவதற்கான நிகழ்தகவு: P(3) = 0.5*0.5*0.5 = 0.125
சீரற்ற மாறி X இன் விநியோக விதி:
| எக்ஸ் | 0 | 1 | 2 | 3 |
| பி | 0,125 | 0,375 | 0,375 | 0,125 |
எடுத்துக்காட்டு எண். 2. முதல் துப்பாக்கி சுடும் வீரருக்கு ஒரு ஷாட் மூலம் இலக்கைத் தாக்கும் நிகழ்தகவு 0.8, இரண்டாவது துப்பாக்கி சுடும் வீரருக்கு - 0.85. துப்பாக்கிச் சூடு நடத்தியவர்கள் இலக்கை நோக்கி ஒரு முறை சுட்டனர். தனிப்பட்ட துப்பாக்கி சுடும் வீரர்களுக்கு இலக்கைத் தாக்குவதை சுயாதீனமான நிகழ்வுகளாகக் கருத்தில் கொண்டு, A நிகழ்வின் நிகழ்தகவைக் கண்டறியவும் - இலக்கில் சரியாக ஒரு வெற்றி.
தீர்வு.
நிகழ்வை கருத்தில் கொள்ளுங்கள் - இலக்கில் ஒரு வெற்றி. சாத்தியமான விருப்பங்கள்இந்த நிகழ்வின் நிகழ்வு பின்வருமாறு:
- முதல் சுடும் வெற்றி, இரண்டாவது துப்பாக்கி சுடும் வீரர் தவறவிட்டார்: P(A/H1)=p 1 *(1-p 2)=0.8*(1-0.85)=0.12
- முதல் துப்பாக்கி சுடும் வீரர் தவறவிட்டார், இரண்டாவது துப்பாக்கி சுடும் இலக்கை தாக்கினார்: P(A/H2)=(1-p 1)*p 2 =(1-0.8)*0.85=0.17
- முதல் மற்றும் இரண்டாவது அம்புகள் ஒருவருக்கொருவர் சுயாதீனமாக இலக்கைத் தாக்கும்: P(A/H1H2)=p 1 *p 2 =0.8*0.85=0.68
அறியப்பட்டபடி, சீரற்ற மாறி வழக்கைப் பொறுத்து சில மதிப்புகளைப் பெறக்கூடிய மாறி அளவு என்று அழைக்கப்படுகிறது. சீரற்ற மாறிகள் குறிக்கின்றன பெரிய எழுத்துக்களில் லத்தீன் எழுத்துக்கள்(X, Y, Z), மற்றும் அவற்றின் மதிப்புகள் தொடர்புடைய சிறிய எழுத்துக்களில் (x, y, z) குறிக்கப்படுகின்றன. சீரற்ற மாறிகள் இடைவிடாத (தனிப்பட்ட) மற்றும் தொடர்ச்சியானதாக பிரிக்கப்படுகின்றன.
தனித்த சீரற்ற மாறி அழைக்கப்பட்டது சீரற்ற மதிப்பு, குறிப்பிட்ட பூஜ்ஜியம் அல்லாத நிகழ்தகவுகளுடன் வரையறுக்கப்பட்ட அல்லது முடிவிலா (எண்ணக்கூடிய) மதிப்புகளின் தொகுப்பை மட்டுமே எடுத்துக்கொள்வது.
தனித்த சீரற்ற மாறியின் விநியோகச் சட்டம் சீரற்ற மாறியின் மதிப்புகளை அவற்றின் தொடர்புடைய நிகழ்தகவுகளுடன் இணைக்கும் ஒரு செயல்பாடு ஆகும். விநியோகச் சட்டத்தை பின்வரும் வழிகளில் ஒன்றில் குறிப்பிடலாம்.
1 . விநியோக சட்டத்தை அட்டவணை மூலம் வழங்கலாம்:
எங்கே λ>0, k = 0, 1, 2, … .
V)பயன்படுத்தி விநியோக செயல்பாடு F(x) , இது ஒவ்வொரு மதிப்பு x க்கும் நிகழ்தகவை தீர்மானிக்கிறது சீரற்ற மாறி X x ஐ விட குறைவான மதிப்பை எடுக்கும், அதாவது. F(x) = P(X< x).
F(x) செயல்பாட்டின் பண்புகள்
3 . விநியோக சட்டத்தை வரைபடமாக குறிப்பிடலாம் - விநியோக பலகோணம் (பலகோணம்) (சிக்கல் 3 ஐப் பார்க்கவும்).
சில சிக்கல்களைத் தீர்க்க விநியோகச் சட்டத்தை அறிந்து கொள்ள வேண்டிய அவசியமில்லை என்பதை நினைவில் கொள்க. சில சந்தர்ப்பங்களில், மிகவும் பிரதிபலிக்கும் ஒன்று அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட எண்களை அறிந்தால் போதும் முக்கியமான அம்சங்கள்விநியோக சட்டம். இது ஒரு சீரற்ற மாறியின் "சராசரி" என்ற பொருளைக் கொண்ட எண்ணாக இருக்கலாம் அல்லது குறிக்கும் எண்ணாக இருக்கலாம். சராசரி அளவுஒரு சீரற்ற மாறி அதன் சராசரி மதிப்பிலிருந்து விலகல். இந்த வகையான எண்கள் ஒரு சீரற்ற மாறியின் எண் பண்புகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன.
தனித்த சீரற்ற மாறியின் அடிப்படை எண் பண்புகள் :
- கணித எதிர்பார்ப்பு
தனித்த சீரற்ற மாறியின் (சராசரி மதிப்பு). M(X)=Σ x i p i.
இருவகைப் பரவலுக்கு M(X)=np, Poisson விநியோகம் M(X)=λ - சிதறல்
தனித்த சீரற்ற மாறி D(X)=M2அல்லது D(X) = M(X 2)− 2. வித்தியாசம் X–M(X) என்பது ஒரு சீரற்ற மாறி அதன் கணித எதிர்பார்ப்பில் இருந்து விலகல் எனப்படும்.
இருவகைப் பரவலுக்கு D(X)=npq, Poisson விநியோகம் D(X)=λ - நிலையான விலகல் (நிலையான விலகல்) σ(X)=√D(X).
"தனிப்பட்ட சீரற்ற மாறியின் விநியோக சட்டம்" என்ற தலைப்பில் சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதற்கான எடுத்துக்காட்டுகள்
பணி 1.
1000 லாட்டரி சீட்டுகள் வழங்கப்பட்டன: அவர்களில் 5 பேர் 500 ரூபிள், 10 பேர் 100 ரூபிள், 20 பேர் 50 ரூபிள், 50 பேர் 10 ரூபிள் வெல்வார்கள். ரேண்டம் மாறி X - வெற்றிகள் ஒரு டிக்கெட்டின் நிகழ்தகவு விநியோக விதியை தீர்மானிக்கவும்.
தீர்வு. சிக்கலின் நிலைமைகளின்படி, சீரற்ற X இன் பின்வரும் மதிப்புகள் சாத்தியமாகும்: 0, 10, 50, 100 மற்றும் 500.
வெற்றி பெறாத டிக்கெட்டுகளின் எண்ணிக்கை 1000 – (5+10+20+50) = 915, பின்னர் P(X=0) = 915/1000 = 0.915.
இதேபோல், மற்ற எல்லா நிகழ்தகவுகளையும் நாங்கள் காண்கிறோம்: P(X=0) = 50/1000=0.05, P(X=50) = 20/1000=0.02, P(X=100) = 10/1000=0.01 , P(X =500) = 5/1000=0.005. இதன் விளைவாக வரும் சட்டத்தை அட்டவணை வடிவில் வழங்குவோம்:
X மதிப்பின் கணித எதிர்பார்ப்பைக் கண்டுபிடிப்போம்: M(X) = 1*1/6 + 2*1/6 + 3*1/6 + 4*1/6 + 5*1/6 + 6*1/6 = (1+ 2+3+4+5+6)/6 = 21/6 = 3.5
பணி 3.
சாதனம் மூன்று சுயாதீனமாக செயல்படும் கூறுகளைக் கொண்டுள்ளது. ஒரு பரிசோதனையில் ஒவ்வொரு தனிமத்தின் தோல்வியின் நிகழ்தகவு 0.1 ஆகும். ஒரு பரிசோதனையில் தோல்வியுற்ற உறுப்புகளின் எண்ணிக்கைக்கான விநியோகச் சட்டத்தை வரையவும், விநியோக பலகோணத்தை உருவாக்கவும். F(x) என்ற விநியோகச் செயல்பாட்டைக் கண்டறிந்து அதைத் திட்டமிடவும். தனித்த சீரற்ற மாறியின் கணித எதிர்பார்ப்பு, மாறுபாடு மற்றும் நிலையான விலகல் ஆகியவற்றைக் கண்டறியவும்.
தீர்வு. 1. தனித்த சீரற்ற மாறி X=(ஒரு பரிசோதனையில் தோல்வியுற்ற உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை) பின்வருவனவற்றைக் கொண்டுள்ளது சாத்தியமான மதிப்புகள்: x 1 =0 (சாதன உறுப்புகள் எதுவும் தோல்வியடையவில்லை), x 2 =1 (ஒரு உறுப்பு தோல்வியடைந்தது), x 3 =2 (இரண்டு உறுப்புகள் தோல்வியடைந்தது) மற்றும் x 4 =3 (மூன்று கூறுகள் தோல்வியடைந்தன).
உறுப்புகளின் தோல்விகள் ஒன்றுக்கொன்று சார்பற்றவை, ஒவ்வொரு தனிமத்தின் தோல்வியின் நிகழ்தகவுகள் சமமாக இருக்கும், எனவே இது பொருந்தும் பெர்னோலியின் சூத்திரம்
. நிபந்தனையின்படி, n=3, p=0.1, q=1-p=0.9 ஆகியவற்றைக் கருத்தில் கொண்டு, மதிப்புகளின் நிகழ்தகவுகளை நாங்கள் தீர்மானிக்கிறோம்:
P 3 (0) = C 3 0 p 0 q 3-0 = q 3 = 0.9 3 = 0.729;
P 3 (1) = C 3 1 p 1 q 3-1 = 3*0.1*0.9 2 = 0.243;
P 3 (2) = C 3 2 p 2 q 3-2 = 3*0.1 2 *0.9 = 0.027;
P 3 (3) = C 3 3 p 3 q 3-3 = p 3 =0.1 3 = 0.001;
சரிபார்க்கவும்: ∑p i = 0.729+0.243+0.027+0.001=1.
எனவே, X இன் விரும்பிய இருவகைப் பரவல் விதி வடிவம் கொண்டது:
x i இன் சாத்தியமான மதிப்புகளை abscissa அச்சிலும், அதனுடன் தொடர்புடைய p i ஐ ஆர்டினேட் அச்சிலும் திட்டமிடுகிறோம். M 1 (0; 0.729), M 2 (1; 0.243), M 3 (2; 0.027), M 4 (3; 0.001) புள்ளிகளைக் கட்டமைப்போம். இந்த புள்ளிகளை நேர் கோடு பிரிவுகளுடன் இணைப்பதன் மூலம், நாம் விரும்பிய விநியோக பலகோணத்தைப் பெறுகிறோம்.
3. விநியோக செயல்பாடு F(x) = Р(Х
x ≤ 0க்கு F(x) = Р(Х<0) = 0;0க்கு< x ≤1 имеем F(x) = Р(Х<1) = Р(Х = 0) = 0,729;
1க்கு< x ≤ 2 F(x) = Р(Х<2) = Р(Х=0) + Р(Х=1) =0,729+ 0,243 = 0,972;
2க்கு< x ≤ 3 F(x) = Р(Х<3) = Р(Х = 0) + Р(Х = 1) + Р(Х = 2) = 0,972+0,027 = 0,999;
x > 3க்கு F(x) = 1 இருக்கும், ஏனெனில் நிகழ்வு நம்பகமானது.
 |
செயல்பாட்டின் வரைபடம் F(x)
4.
இருவகைப் பரவலுக்கு X:
- கணித எதிர்பார்ப்பு M(X) = np = 3*0.1 = 0.3;
- மாறுபாடு D(X) = npq = 3*0.1*0.9 = 0.27;
- நிலையான விலகல் σ(X) = √D(X) = √0.27 ≈ 0.52.
தனித்த சீரற்றமாறிகள் என்பது சீரற்ற மாறிகள் ஆகும், அவை ஒருவருக்கொருவர் தொலைவில் உள்ள மதிப்புகளை மட்டுமே எடுத்துக்கொள்கின்றன, அவை முன்கூட்டியே பட்டியலிடப்படலாம்.
விநியோக சட்டம்
சீரற்ற மாறியின் விநியோக விதி என்பது ஒரு சீரற்ற மாறியின் சாத்தியமான மதிப்புகள் மற்றும் அவற்றின் தொடர்புடைய நிகழ்தகவுகளுக்கு இடையே ஒரு தொடர்பை நிறுவும் ஒரு உறவாகும்.
ஒரு தனித்துவமான சீரற்ற மாறியின் விநியோகத் தொடர் அதன் சாத்தியமான மதிப்புகள் மற்றும் தொடர்புடைய நிகழ்தகவுகளின் பட்டியல் ஆகும்.
ஒரு தனித்த சீரற்ற மாறியின் பரவல் செயல்பாடு செயல்பாடு ஆகும்:
,
வாதத்தின் ஒவ்வொரு மதிப்பிற்கும் x ரேண்டம் மாறி X இந்த x ஐ விட குறைவான மதிப்பை எடுக்கும் நிகழ்தகவை தீர்மானிக்கிறது.
தனித்த சீரற்ற மாறியின் எதிர்பார்ப்பு
,
ஒரு தனித்த சீரற்ற மாறியின் மதிப்பு எங்கே; - X மதிப்புகளை ஏற்றுக்கொள்ளும் சீரற்ற மாறியின் நிகழ்தகவு.
ஒரு சீரற்ற மாறி சாத்தியமான மதிப்புகளின் கணக்கிடக்கூடிய தொகுப்பை எடுத்தால், பின்: 
.
n சுயாதீன சோதனைகளில் ஒரு நிகழ்வின் நிகழ்வுகளின் எண்ணிக்கையின் கணித எதிர்பார்ப்பு:
,
ஒரு தனித்த சீரற்ற மாறியின் சிதறல் மற்றும் நிலையான விலகல்
தனித்த சீரற்ற மாறியின் பரவல்: 
அல்லது 
.
n சுயாதீன சோதனைகளில் ஒரு நிகழ்வின் நிகழ்வுகளின் எண்ணிக்கையின் மாறுபாடு 
,
இங்கு p என்பது நிகழ்வின் நிகழ்தகவு.
தனித்த சீரற்ற மாறியின் நிலையான விலகல்: 
.
எடுத்துக்காட்டு 1
ஒரு தனித்த சீரற்ற மாறி (DRV) X க்கான நிகழ்தகவு விநியோக விதியை வரையவும் - ஒரு ஜோடி பகடையின் n = 8 வீசுதல்களில் குறைந்தது ஒரு "ஆறு" k நிகழ்வுகளின் எண்ணிக்கை. விநியோக பலகோணத்தை உருவாக்கவும். விநியோகத்தின் எண் பண்புகளைக் கண்டறியவும் (விநியோக முறை, கணித எதிர்பார்ப்பு M(X), சிதறல் D(X), நிலையான விலகல் s(X)). தீர்வு:குறியீட்டை அறிமுகப்படுத்துவோம்: நிகழ்வு A - "ஒரு ஜோடி பகடைகளை வீசும்போது, குறைந்தபட்சம் ஒரு முறை சிக்ஸர் தோன்றியது." நிகழ்வு A இன் P(A) = p நிகழ்தகவைக் கண்டறிய, எதிர் நிகழ்வின் P(Ā) = q நிகழ்தகவை முதலில் கண்டுபிடிப்பது மிகவும் வசதியானது - "ஒரு ஜோடி பகடை வீசும்போது, ஒரு சிக்ஸர் தோன்றவில்லை."
ஒரு டையை வீசும்போது "ஆறு" தோன்றாத நிகழ்தகவு 5/6 என்பதால், நிகழ்தகவு பெருக்கல் தேற்றத்தின் படி
P(Ā) = q = = .
முறையே,
P(A) = p = 1 – P(Ā) = .
சிக்கலில் உள்ள சோதனைகள் பெர்னோல்லி திட்டத்தைப் பின்பற்றுகின்றன, எனவே டி.எஸ்.வி. அளவு எக்ஸ்- எண் கேஇரண்டு பகடைகளை வீசும்போது குறைந்தபட்சம் ஒரு ஆறு ஏற்படுவது நிகழ்தகவு விநியோகத்தின் பைனோமியல் விதிக்குக் கீழ்ப்படிகிறது: 
எங்கே = என்பது சேர்க்கைகளின் எண்ணிக்கை nமூலம் கே.
இந்த சிக்கலுக்கான கணக்கீடுகளை அட்டவணையின் வடிவத்தில் வசதியாக வழங்கலாம்:
நிகழ்தகவு விநியோகம் d.s.v. எக்ஸ் º கே (n = 8; ப = ; கே = )
| கே | ||||||||||
Pn(கே) |
ஒரு தனித்த சீரற்ற மாறியின் நிகழ்தகவு பரவலின் பலகோணம் (பலகோணம்). எக்ஸ்படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளது:
அரிசி. நிகழ்தகவு பரவல் பலகோணம் d.s.v. எக்ஸ்=கே.
செங்குத்து கோடு விநியோகத்தின் கணித எதிர்பார்ப்பைக் காட்டுகிறது எம்(எக்ஸ்).
d.s.v இன் நிகழ்தகவு விநியோகத்தின் எண் பண்புகளைக் கண்டுபிடிப்போம். எக்ஸ். விநியோக முறை 2 (இங்கே பி 8(2) = 0.2932 அதிகபட்சம்). வரையறையின்படி கணித எதிர்பார்ப்பு இதற்கு சமம்:
எம்(எக்ஸ்) = = 2,4444,
எங்கே xk = கே– d.s.v எடுத்த மதிப்பு எக்ஸ். மாறுபாடு டி(எக்ஸ்) சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி விநியோகத்தைக் காண்கிறோம்:
டி(எக்ஸ்) = 
= 4,8097.
நிலையான விலகல் (RMS):
கள்( எக்ஸ்) = = 2,1931.
எடுத்துக்காட்டு2
தனித்த சீரற்ற மாறி எக்ஸ்விநியோக சட்டத்தால் வழங்கப்படுகிறது
தீர்வு.என்றால் , பின்னர் (மூன்றாவது சொத்து).
என்றால், பின்னர். உண்மையில், எக்ஸ்நிகழ்தகவு 0.3 உடன் மதிப்பு 1 ஐ எடுக்கலாம்.
என்றால், பின்னர். உண்மையில், அது சமத்துவமின்மையை திருப்திப்படுத்தினால்
, பின்னர் நிகழக்கூடிய நிகழ்வின் நிகழ்தகவுக்கு சமம் எக்ஸ்மதிப்பை 1 (இந்த நிகழ்வின் நிகழ்தகவு 0.3) அல்லது மதிப்பு 4 (இந்த நிகழ்வின் நிகழ்தகவு 0.1) எடுக்கும். இந்த இரண்டு நிகழ்வுகளும் பொருந்தாதவை என்பதால், கூட்டல் தேற்றத்தின்படி, ஒரு நிகழ்வின் நிகழ்தகவு 0.3 + 0.1 = 0.4 நிகழ்தகவுகளின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம். என்றால், பின்னர். உண்மையில், நிகழ்வு உறுதியானது, எனவே அதன் நிகழ்தகவு ஒன்றுக்கு சமம். எனவே, விநியோக செயல்பாட்டை பின்வருமாறு பகுப்பாய்வு செய்யலாம்: 
இந்த செயல்பாட்டின் வரைபடம்:
இந்த மதிப்புகளுடன் தொடர்புடைய நிகழ்தகவுகளைக் கண்டுபிடிப்போம். நிபந்தனையின்படி, சாதனங்களின் தோல்வியின் நிகழ்தகவுகள் சமம்: பின்னர் உத்தரவாதக் காலத்தில் சாதனங்கள் செயல்படும் நிகழ்தகவுகள் சமம்: 
விநியோகச் சட்டம் பின்வரும் வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளது:
கல்வி நிறுவனம் "பெலாரசிய மாநிலம்
விவசாய அகாடமி"
உயர் கணிதத் துறை
வழிகாட்டுதல்கள்
கடிதக் கல்விக்கான கணக்கியல் பீடத்தின் மாணவர்களால் "ரேண்டம் மாறிகள்" என்ற தலைப்பைப் படிக்க (NISPO)
கோர்கி, 2013
சீரற்ற மாறிகள்
தனித்துவமான மற்றும் தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறிகள்
நிகழ்தகவு கோட்பாட்டின் முக்கிய கருத்துக்களில் ஒன்று கருத்து ஆகும் சீரற்ற மாறி . சீரற்ற மாறி சோதனையின் விளைவாக, அதன் பல சாத்தியமான மதிப்புகளில் ஒன்றை மட்டுமே எடுக்கும் அளவு, மேலும் எது என்பது முன்கூட்டியே தெரியவில்லை.
சீரற்ற மாறிகள் உள்ளன தனித்துவமான மற்றும் தொடர்ச்சியான . தனித்த சீரற்ற மாறி (DRV) ஒரு ரேண்டம் மாறி, இது ஒன்றோடொன்று தனிமைப்படுத்தப்பட்ட வரையறுக்கப்பட்ட எண்ணிக்கையிலான மதிப்புகளை எடுக்க முடியும், அதாவது. இந்த அளவின் சாத்தியமான மதிப்புகள் மீண்டும் கணக்கிடப்பட்டால். தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறி (CNV) ஒரு சீரற்ற மாறி, சாத்தியமான அனைத்து மதிப்புகளும் எண் கோட்டின் ஒரு குறிப்பிட்ட இடைவெளியை முழுமையாக நிரப்புகின்றன.
சீரற்ற மாறிகள் இலத்தீன் எழுத்துக்கள் X, Y, Z, முதலியவற்றின் பெரிய எழுத்துக்களால் குறிக்கப்படுகின்றன. சீரற்ற மாறிகளின் சாத்தியமான மதிப்புகள் தொடர்புடைய சிறிய எழுத்துக்களால் குறிக்கப்படுகின்றன.
பதிவு 
அதாவது "ஒரு சீரற்ற மாறியின் நிகழ்தகவு எக்ஸ் 0.28க்கு சமமான 5 மதிப்பை எடுக்கும்.
எடுத்துக்காட்டு 1 . பகடைகள் ஒரு முறை வீசப்படுகின்றன. இந்த வழக்கில், 1 முதல் 6 வரையிலான எண்கள் தோன்றக்கூடும், இது புள்ளிகளின் எண்ணிக்கையைக் குறிக்கிறது. சீரற்ற மாறியைக் குறிப்போம் எக்ஸ்=(சுருட்டப்பட்ட புள்ளிகளின் எண்ணிக்கை). சோதனையின் விளைவாக இந்த சீரற்ற மாறி ஆறு மதிப்புகளில் ஒன்றை மட்டுமே எடுக்க முடியும்: 1, 2, 3, 4, 5 அல்லது 6. எனவே, சீரற்ற மாறி எக்ஸ் DSV உள்ளது.
எடுத்துக்காட்டு 2 . ஒரு கல் எறியப்பட்டால், அது குறிப்பிட்ட தூரம் பயணிக்கும். சீரற்ற மாறியைக் குறிப்போம் எக்ஸ்=(கல் பறக்கும் தூரம்). இந்த சீரற்ற மாறி ஒரு குறிப்பிட்ட இடைவெளியில் இருந்து எந்த ஒரு மதிப்பையும் எடுக்கலாம். எனவே, சீரற்ற மாறி எக்ஸ் NSV உள்ளது.
தனித்த சீரற்ற மாறியின் விநியோகச் சட்டம்
ஒரு தனித்துவமான சீரற்ற மாறி, அது எடுக்கக்கூடிய மதிப்புகள் மற்றும் இந்த மதிப்புகள் எடுக்கப்படும் நிகழ்தகவுகளால் வகைப்படுத்தப்படுகிறது. தனித்த சீரற்ற மாறியின் சாத்தியமான மதிப்புகளுக்கும் அவற்றின் தொடர்புடைய நிகழ்தகவுகளுக்கும் இடையிலான கடித தொடர்பு அழைக்கப்படுகிறது தனித்த சீரற்ற மாறியின் விநியோக சட்டம் .
சாத்தியமான அனைத்து மதிப்புகளும் தெரிந்திருந்தால் 
சீரற்ற மாறி எக்ஸ்மற்றும் நிகழ்தகவுகள் 
இந்த மதிப்புகள் தோற்றம், பின்னர் அது DSV விநியோக சட்டம் என்று நம்பப்படுகிறது எக்ஸ்அறியப்படுகிறது மற்றும் அட்டவணை வடிவத்தில் எழுதலாம்:
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
செவ்வக ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் புள்ளிகள் சித்தரிக்கப்பட்டால் DSV விநியோகச் சட்டத்தை வரைபடமாக சித்தரிக்கலாம். 
,
,
…,
மற்றும் அவற்றை நேர் கோடு பிரிவுகளுடன் இணைக்கவும். இதன் விளைவாக உருவானது ஒரு விநியோக பலகோணம் என்று அழைக்கப்படுகிறது.
எடுத்துக்காட்டு 3 . சுத்தம் செய்யும் தானியத்தில் 10% களைகள் உள்ளன. 4 தானியங்கள் சீரற்ற முறையில் தேர்ந்தெடுக்கப்பட்டன. சீரற்ற மாறியைக் குறிப்போம் எக்ஸ்=(தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட நான்கு களைகளின் எண்ணிக்கை). DSV விநியோக சட்டத்தை உருவாக்கவும் எக்ஸ்மற்றும் விநியோக பலகோணம்.
தீர்வு . எடுத்துக்காட்டு நிலைமைகளின்படி. பிறகு:
DSV X இன் விநியோகச் சட்டத்தை அட்டவணை வடிவில் எழுதி, விநியோக பலகோணத்தை உருவாக்குவோம்:
|
|
தனித்த சீரற்ற மாறியின் எதிர்பார்ப்பு
தனித்த சீரற்ற மாறியின் மிக முக்கியமான பண்புகள் அதன் பண்புகளால் விவரிக்கப்படுகின்றன. இந்த பண்புகளில் ஒன்று எதிர்பார்க்கப்படும் மதிப்பு சீரற்ற மாறி.
DSV விநியோகச் சட்டம் தெரியட்டும் எக்ஸ்:
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
கணித எதிர்பார்ப்பு
டி.எஸ்.வி எக்ஸ்தொடர்புடைய நிகழ்தகவு மூலம் இந்த அளவின் ஒவ்வொரு மதிப்பின் தயாரிப்புகளின் கூட்டுத்தொகை: 
.
ஒரு சீரற்ற மாறியின் கணித எதிர்பார்ப்பு அதன் அனைத்து மதிப்புகளின் எண்கணித சராசரிக்கும் தோராயமாக சமமாக இருக்கும். எனவே, நடைமுறைச் சிக்கல்களில், இந்த சீரற்ற மாறியின் சராசரி மதிப்பு பெரும்பாலும் கணித எதிர்பார்ப்பாக எடுத்துக்கொள்ளப்படுகிறது.
உதாரணமாக 8 . 0.1, 0.45, 0.3 மற்றும் 0.15 நிகழ்தகவுகளுடன் துப்பாக்கி சுடும் வீரர் 4, 8, 9 மற்றும் 10 புள்ளிகளைப் பெறுகிறார். ஒரு ஷாட் மூலம் புள்ளிகளின் எண்ணிக்கையின் கணித எதிர்பார்ப்பைக் கண்டறியவும்.
தீர்வு . சீரற்ற மாறியைக் குறிப்போம் எக்ஸ்=(அடித்த புள்ளிகளின் எண்ணிக்கை). பிறகு . எனவே, ஒரு ஷாட்டில் சராசரியாக 8.2 புள்ளிகளைப் பெறலாம், மேலும் 10 ஷாட்கள் - 82 ஆகும்.
முக்கிய பண்புகள் கணித எதிர்பார்ப்பு:
.
.
, எங்கே 
,
.
.
, எங்கே எக்ஸ்மற்றும் ஒய்சுயாதீன சீரற்ற மாறிகள்.
வேறுபாடு 
அழைக்கப்பட்டது விலகல்
சீரற்ற மாறி எக்ஸ்அதன் கணித எதிர்பார்ப்பில் இருந்து. இந்த வேறுபாடு ஒரு சீரற்ற மாறி மற்றும் அதன் கணித எதிர்பார்ப்பு பூஜ்ஜியமாகும், அதாவது. 
.
தனித்த சீரற்ற மாறியின் மாறுபாடு
ஒரு சீரற்ற மாறியை வகைப்படுத்த, கணித எதிர்பார்ப்புடன் கூடுதலாக, நாங்கள் பயன்படுத்துகிறோம் சிதறல் , இது ஒரு சீரற்ற மாறியின் மதிப்புகளின் சிதறலை (பரவலை) அதன் கணித எதிர்பார்ப்பைச் சுற்றி மதிப்பிடுவதை சாத்தியமாக்குகிறது. இரண்டு ஒரே மாதிரியான சீரற்ற மாறிகளை சமமான கணித எதிர்பார்ப்புகளுடன் ஒப்பிடும் போது, "சிறந்த" மதிப்பு குறைவான பரவலைக் கொண்ட ஒன்றாகக் கருதப்படுகிறது, அதாவது. குறைவான சிதறல்.
மாறுபாடு சீரற்ற மாறி எக்ஸ்அதன் கணித எதிர்பார்ப்பில் இருந்து ஒரு சீரற்ற மாறியின் வர்க்க விலகலின் கணித எதிர்பார்ப்பு என அழைக்கப்படுகிறது: .
நடைமுறைச் சிக்கல்களில், மாறுபாட்டைக் கணக்கிட சமமான சூத்திரம் பயன்படுத்தப்படுகிறது.
சிதறலின் முக்கிய பண்புகள்:
.
தனித்த சீரற்ற மாறிகளின் விநியோகத்தின் பொதுவான விதிகளை நாம் முன்னிலைப்படுத்தலாம்:
- இருபக்க விநியோக சட்டம்
- விஷம் விநியோக சட்டம்
- வடிவியல் விநியோக சட்டம்
- ஹைபர்ஜியோமெட்ரிக் விநியோக சட்டம்
தனித்த சீரற்ற மாறிகளின் கொடுக்கப்பட்ட விநியோகங்களுக்கு, அவற்றின் மதிப்புகளின் நிகழ்தகவுகளின் கணக்கீடு, அத்துடன் எண்ணியல் பண்புகள் (கணித எதிர்பார்ப்பு, மாறுபாடு போன்றவை) சில "சூத்திரங்களைப்" பயன்படுத்தி மேற்கொள்ளப்படுகிறது. எனவே, இந்த வகையான விநியோகங்கள் மற்றும் அவற்றின் அடிப்படை பண்புகளை அறிந்து கொள்வது மிகவும் முக்கியம்.
1. இருபக்க விநியோக சட்டம்.
$P\left(X=k\right)= நிகழ்தகவுகளுடன் $0,\ 1,\ 2,\ \dts ,\ n$ மதிப்புகளை எடுத்தால், $X$ ஒரு தனித்த சீரற்ற மாறி, ஈருறுப்பு நிகழ்தகவு விநியோக சட்டத்திற்கு உட்பட்டது. C^k_n\cdot p^k\cdot (\left(1-p\right))^(n-k)$. உண்மையில், சீரற்ற மாறி $X$ என்பது $n$ சுயாதீன சோதனைகளில் $A$ நிகழ்வின் எண்ணிக்கையாகும். சீரற்ற மாறி $X$ இன் நிகழ்தகவு விநியோக விதி:
$\begin(array)(|c|c|)
\hline
X_i & 0 & 1 & \dts & n \\
\hline
p_i & P_n\left(0\right) & P_n\left(1\right) & \dots & P_n\left(n\right) \\
\hline
\end(வரிசை)$
அத்தகைய சீரற்ற மாறிக்கு, கணித எதிர்பார்ப்பு $M\left(X\right)=np$, மாறுபாடு $D\left(X\right)=np\left(1-p\right)$ ஆகும்.
உதாரணமாக . குடும்பத்தில் இரண்டு குழந்தைகள் உள்ளனர். $0.5$ க்கு சமமான ஒரு ஆண் மற்றும் ஒரு பெண்ணைப் பெறுவதற்கான நிகழ்தகவுகளைக் கருத்தில் கொண்டு, $\xi$ என்ற சீரற்ற மாறியின் விநியோக விதியைக் கண்டறியவும் - குடும்பத்தில் உள்ள ஆண் குழந்தைகளின் எண்ணிக்கை.
சீரற்ற மாறி $\xi $ குடும்பத்தில் உள்ள ஆண் குழந்தைகளின் எண்ணிக்கையாக இருக்கட்டும். $\xi எடுக்கக்கூடிய மதிப்புகள்:\ 0,\ 1,\ 2$. $P\left(\xi =k\right)=C^k_n\cdot p^k\cdot (\left(1-p\right))^(n-k) சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி இந்த மதிப்புகளின் நிகழ்தகவுகளைக் கண்டறியலாம் )$, இங்கு $n =2$ என்பது சுயாதீன சோதனைகளின் எண்ணிக்கை, $p=0.5$ என்பது $n$ சோதனைகளின் தொடரில் நிகழும் நிகழ்வின் நிகழ்தகவு ஆகும். நாங்கள் பெறுகிறோம்:
$P\left(\xi =0\right)=C^0_2\cdot (0,5)^0\cdot (\left(1-0,5\right))^(2-0)=(0, 5)^2=0.25;$
$P\left(\xi =1\right)=C^1_2\cdot 0.5\cdot (\left(1-0.5\right))^(2-1)=2\cdot 0.5\ cdot 0.5=0.5;$
$P\left(\xi =2\right)=C^2_2\cdot (0.5)^2\cdot (\left(1-0.5\right))^(2-2)=(0, 5)^2 =0.25.$
பின்னர் $\xi $ என்ற சீரற்ற மாறியின் விநியோக விதியானது $0,\ 1,\ 2$ மதிப்புகள் மற்றும் அவற்றின் நிகழ்தகவுகளுக்கு இடையிலான கடிதப் பரிமாற்றம் ஆகும், அதாவது:
$\begin(array)(|c|c|)
\hline
\xi & 0 & 1 & 2 \\
\hline
பி(\xi) & 0.25 & 0.5 & 0.25 \\
\hline
\end(வரிசை)$
விநியோகச் சட்டத்தில் உள்ள நிகழ்தகவுகளின் கூட்டுத்தொகை $1$ க்கு சமமாக இருக்க வேண்டும், அதாவது $\sum _(i=1)^(n)P(\xi _((\rm i)))=0.25+0.5+ 0, 25=$1.
எதிர்பார்ப்பு $M\left(\xi \right)=np=2\cdot 0.5=1$, மாறுபாடு $D\left(\xi \right)=np\left(1-p\right)=2\ cdot 0.5\ cdot 0.5=0.5$, நிலையான விலகல் $\sigma \left(\xi \right)=\sqrt(D\left(\xi \right))=\sqrt(0.5 )\தோராயமாக $0.707.
2. விஷம் விநியோக சட்டம்.
ஒரு தனித்த சீரற்ற மாறி $X$ ஆனது எதிர்மறையான முழு எண் மதிப்புகளை $0,\ 1,\ 2,\ \dts ,\ n$ நிகழ்தகவுகளுடன் மட்டுமே எடுக்க முடியும் என்றால் $P\left(X=k\right)=((( \lambda )^k )\over (k}\cdot e^{-\lambda }$, то говорят, что она подчинена закону распределения Пуассона с параметром $\lambda $. Для такой случайной величины математическое ожидание и дисперсия равны между собой и равны параметру $\lambda $, то есть $M\left(X\right)=D\left(X\right)=\lambda $.!}
கருத்து. இந்த விநியோகத்தின் தனித்தன்மை என்னவென்றால், சோதனைத் தரவுகளின் அடிப்படையில், $M\left(X\right),\ D\left(X\right)$ மதிப்பீட்டைக் கண்டறிந்துள்ளோம், பெறப்பட்ட மதிப்பீடுகள் ஒன்றுக்கொன்று நெருக்கமாக இருந்தால், எங்களிடம் உள்ளது சீரற்ற மாறி பாய்சன் விநியோகச் சட்டத்திற்கு உட்பட்டது என்று வலியுறுத்துவதற்கான காரணம்.
உதாரணமாக . பாய்சன் விநியோகச் சட்டத்திற்கு உட்பட்ட சீரற்ற மாறிகளின் எடுத்துக்காட்டுகள்: நாளை ஒரு எரிவாயு நிலையத்தால் வழங்கப்படும் கார்களின் எண்ணிக்கை; தயாரிக்கப்பட்ட பொருட்களில் குறைபாடுள்ள பொருட்களின் எண்ணிக்கை.
உதாரணமாக . தொழிற்சாலை தளத்திற்கு $500$ தயாரிப்புகளை அனுப்பியது. போக்குவரத்தில் தயாரிப்புக்கு சேதம் ஏற்படுவதற்கான நிகழ்தகவு $0.002$ ஆகும். சேதமடைந்த பொருட்களின் எண்ணிக்கைக்கு சமமான $X$ சீரற்ற மாறியின் விநியோக விதியைக் கண்டறியவும்; $M\left(X\right),\ D\left(X\right)$ என்றால் என்ன.
தனிப்பட்ட சீரற்ற மாறி $X$ சேதமடைந்த தயாரிப்புகளின் எண்ணிக்கையாக இருக்கட்டும். அத்தகைய சீரற்ற மாறி $\lambda =np=500\cdot 0.002=1$ அளவுருவுடன் Poisson விநியோக விதிக்கு உட்பட்டது. மதிப்புகளின் நிகழ்தகவுகள் $P\left(X=k\right)=(((\lambda )^k)\over (k)க்கு சமம்}\cdot e^{-\lambda }$. Очевидно, что все вероятности всех значений $X=0,\ 1,\ \dots ,\ 500$ перечислить невозможно, поэтому мы ограничимся лишь первыми несколькими значениями.!}
$P\left(X=0\right)=((1^0)\மேல் (0}\cdot e^{-1}=0,368;$!}
$P\left(X=1\right)=((1^1)\over (1}\cdot e^{-1}=0,368;$!}
$P\left(X=2\right)=((1^2)\over (2}\cdot e^{-1}=0,184;$!}
$P\left(X=3\right)=((1^3)\over (3}\cdot e^{-1}=0,061;$!}
$P\left(X=4\right)=((1^4)\over (4}\cdot e^{-1}=0,015;$!}
$P\இடது(X=5\வலது)=((1^5)\மேல் (5}\cdot e^{-1}=0,003;$!}
$P\left(X=6\right)=((1^6)\over (6}\cdot e^{-1}=0,001;$!}
$P\left(X=k\right)=(((\lambda )^k)\over (k)}\cdot e^{-\lambda }$!}
சீரற்ற மாறி $X$ இன் விநியோக விதி:
$\begin(array)(|c|c|)
\hline
X_i & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & ... & k \\
\hline
P_i & 0.368; & 0.368 & 0.184 & 0.061 & 0.015 & 0.003 & 0.001 & ... & (((\lambda )^k)\over (k}\cdot e^{-\lambda } \\!}
\hline
\end(வரிசை)$
அத்தகைய சீரற்ற மாறிக்கு, கணித எதிர்பார்ப்பு மற்றும் மாறுபாடு ஆகியவை ஒன்றுக்கொன்று சமமாக இருக்கும் மற்றும் $\lambda $ அளவுருவிற்கு சமமாக இருக்கும், அதாவது $M\left(X\right)=D\left(X\right)=\lambda =1$.
3. வடிவியல் விநியோக சட்டம்.
ஒரு தனித்த சீரற்ற மாறி $X$ ஆனது $1,\ 2,\ \\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ வலது)) ^(k-1),\ k=1,\ 2,\ 3,\ \dts $, அப்படியான ஒரு சீரற்ற மாறி $X$ நிகழ்தகவு விநியோகத்தின் வடிவியல் விதிக்கு உட்பட்டது என்று கூறுகிறார்கள். உண்மையில், வடிவியல் விநியோகம் முதல் வெற்றி வரை பெர்னோலி சோதனை.
உதாரணமாக . வடிவியல் பரவலைக் கொண்ட சீரற்ற மாறிகளின் எடுத்துக்காட்டுகள் பின்வருமாறு: இலக்கை முதலில் தாக்கும் முன் ஷாட்களின் எண்ணிக்கை; முதல் தோல்வி வரை சாதன சோதனைகளின் எண்ணிக்கை; முதல் தலை மேலே வரும் வரை நாணயங்களை வீசியவர்களின் எண்ணிக்கை, முதலியன.
வடிவியல் பரவலுக்கு உட்பட்ட ஒரு சீரற்ற மாறியின் கணித எதிர்பார்ப்பு மற்றும் மாறுபாடு முறையே $M\left(X\right)=1/p$, $D\left(X\right)=\left(1-p\right )/p^ $2.
உதாரணமாக . முட்டையிடும் இடத்திற்கு மீன் நகரும் வழியில் $4$ பூட்டு உள்ளது. ஒவ்வொரு பூட்டு வழியாக மீன் கடக்கும் நிகழ்தகவு $p=3/5$ ஆகும். $X$ என்ற சீரற்ற மாறியின் தொடர் விநியோகத்தை உருவாக்கவும் - பூட்டில் முதல் தடுப்புக்கு முன் மீன் அனுப்பிய பூட்டுகளின் எண்ணிக்கை. $M\left(X\right),\ D\left(X\right),\ \sigma \left(X\right)$ஐக் கண்டறியவும்.
ரேண்டம் மாறி $X$ என்பது பூட்டில் முதல் கைது செய்யப்படுவதற்கு முன் மீன் கடக்கும் பூட்டுகளின் எண்ணிக்கையாக இருக்கட்டும். இத்தகைய சீரற்ற மாறி நிகழ்தகவு விநியோகத்தின் வடிவியல் விதிக்கு உட்பட்டது. சீரற்ற மாறி $X எடுக்கக்கூடிய மதிப்புகள்:$ 1, 2, 3, 4. இந்த மதிப்புகளின் நிகழ்தகவுகள் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடப்படுகிறது: $P\left(X=k\right)=pq^(k -1)$, எங்கே: $ p=2/5$ - பூட்டு வழியாக மீன் பிடிக்கப்படுவதற்கான நிகழ்தகவு, $q=1-p=3/5$ - பூட்டைக் கடந்து செல்லும் மீன்களின் நிகழ்தகவு, $k=1,\ 2,\ 3,\ 4$.
$P\left(X=1\right)=((2)\over (5))\cdot (\left((3)\over (5))\right))^0=(2)\ மேல் (5))=0.4;$
$P\left(X=2\right)=((2)\over (5))\cdot ((3)\over (5))=((6)\over (25))=0.24; $
$P\left(X=3\right)=((2)\over (5))\cdot (\left((3)\over (5))\right))^2=(2)\ மேல் (5))\cdot ((9)\over (25))=((18)\over (125))=0.144;$
$P\left(X=4\right)=((2)\over (5))\cdot (\left(((3)\over (5))\right))^3+(\left(( (3)\மேல் (5))\வலது))^4=((27)\ஓவர் (125))=0.216.$
$\begin(array)(|c|c|)
\hline
X_i & 1 & 2 & 3 & 4 \\
\hline
பி\இடது(X_i\வலது) & 0.4 & 0.24 & 0.144 & 0.216 \\
\hline
\end(வரிசை)$
எதிர்பார்க்கப்படும் மதிப்பு:
$M\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(x_ip_i)=1\cdot 0.4+2\cdot 0.24+3\cdot 0.144+4\cdot 0.216=2.176.$
சிதறல்:
$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\ right)\right))^2=)0.4\cdot (\ left(\ left( 1-2,176\வலது))^2+0,24\cdot (\இடது(2-2,176\வலது))^2+0,144\cdot (\இடது(3-2,176\வலது))^2+$
$+\0.216\cdot (\இடது(4-2,176\வலது))^2\தோராயமாக 1.377.$
நிலையான விலகல்:
$\sigma \left(X\right)=\sqrt(D\left(X\right))=\sqrt(1,377)\தோராயமாக 1,173.$
4. ஹைபர்ஜியோமெட்ரிக் விநியோக சட்டம்.
$N$ பொருள்கள் என்றால், இவற்றில் $m$ பொருள்கள் கொடுக்கப்பட்ட சொத்து. $n$ பொருள்கள் திரும்பப் பெறாமல் தோராயமாக மீட்டெடுக்கப்படுகின்றன, அவற்றில் கொடுக்கப்பட்ட சொத்துக்களைக் கொண்ட $k$ பொருட்கள் இருந்தன. ஹைப்பர்ஜியோமெட்ரிக் விநியோகமானது, மாதிரியில் உள்ள $k$ பொருள்கள் கொடுக்கப்பட்ட சொத்தை கொண்டிருக்கும் நிகழ்தகவை மதிப்பிடுவதை சாத்தியமாக்குகிறது. ரேண்டம் மாறி $X$ என்பது கொடுக்கப்பட்ட சொத்தை கொண்ட மாதிரியில் உள்ள பொருட்களின் எண்ணிக்கையாக இருக்கட்டும். பின்னர் சீரற்ற மாறி $X$ மதிப்புகளின் நிகழ்தகவுகள்:
$P\left(X=k\right)=((C^k_mC^(n-k)_(N-m))\over (C^n_N))$
கருத்து. எக்செல் $f_x$ செயல்பாட்டு வழிகாட்டியின் புள்ளியியல் செயல்பாடு HYPERGEOMET ஒரு குறிப்பிட்ட எண்ணிக்கையிலான சோதனைகள் வெற்றிபெறுவதற்கான நிகழ்தகவைத் தீர்மானிக்க உங்களை அனுமதிக்கிறது.
$f_x\to$ புள்ளியியல்$\to$ ஹைபர்ஜியோமெட்$\to$ சரி. நீங்கள் நிரப்ப வேண்டிய உரையாடல் பெட்டி தோன்றும். நெடுவரிசையில் மாதிரியில்_வெற்றிகளின்_எண்$k$ மதிப்பைக் குறிக்கவும். மாதிரி அளவு$n$ சமம். நெடுவரிசையில் ஒன்றாக_வெற்றிகளின்_எண்$m$ மதிப்பைக் குறிக்கவும். மக்கள்தொகை_அளவு$N$ சமம்.
ஜியோமெட்ரிக் விநியோக விதிக்கு உட்பட்ட $X$ ஒரு தனித்த சீரற்ற மாறியின் கணித எதிர்பார்ப்பு மற்றும் மாறுபாடு முறையே $M\left(X\right)=nm/N$, $D\left(X\right)= க்கு சமமாக இருக்கும். ((nm\left(1 -(m)\over (N))\right)\left(1-(n)\over (N))\right))\over (N-1))$.
உதாரணமாக . வங்கியின் கடன் துறை உயர் நிதிக் கல்வியுடன் 5 நிபுணர்களையும், உயர் சட்டக் கல்வியுடன் 3 நிபுணர்களையும் பணியமர்த்துகிறது. வங்கி நிர்வாகம் 3 நிபுணர்களை அவர்களின் தகுதிகளை மேம்படுத்துவதற்காக அனுப்ப முடிவு செய்தது, அவர்களை சீரற்ற முறையில் தேர்வு செய்தது.
a) அவர்களின் திறன்களை மேம்படுத்த அனுப்பப்படும் உயர் நிதிக் கல்வி கொண்ட நிபுணர்களின் எண்ணிக்கைக்கான விநியோகத் தொடரை உருவாக்கவும்;
b) இந்த விநியோகத்தின் எண் பண்புகளைக் கண்டறியவும்.
ரேண்டம் மாறி $X$ தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட மூன்று பேரில் அதிக நிதிக் கல்வியைக் கொண்ட நிபுணர்களின் எண்ணிக்கையாக இருக்கட்டும். $X எடுக்கக்கூடிய மதிப்புகள்: 0,\ 1,\ 2,\ 3$. இந்த சீரற்ற மாறி $X$ பின்வரும் அளவுருக்கள் கொண்ட ஹைப்பர்ஜியோமெட்ரிக் விநியோகத்தின் படி விநியோகிக்கப்படுகிறது: $N=8$ - மக்கள்தொகை அளவு, $m=5$ - மக்கள்தொகையில் வெற்றிகளின் எண்ணிக்கை, $n=3$ - மாதிரி அளவு, $ k=0,\ 1, \2,\3$ - மாதிரியில் உள்ள வெற்றிகளின் எண்ணிக்கை. பின் $P\left(X=k\right)$ நிகழ்தகவுகளை சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடலாம்: $P(X=k)=(C_(m)^(k) \cdot C_(N-m)^(n-k) \ C_(N)^(n) ) $க்கு மேல். எங்களிடம் உள்ளது:
$P\left(X=0\right)=((C^0_5\cdot C^3_3)\over (C^3_8))=((1)\over (56))\தோராயமாக 0.018;$
$P\left(X=1\right)=((C^1_5\cdot C^2_3)\over (C^3_8))=((15)\over (56))\தோராயமாக 0.268;$
$P\left(X=2\right)=((C^2_5\cdot C^1_3)\over (C^3_8))=((15)\over (28))\தோராயமாக 0.536;$
$P\left(X=3\right)=((C^3_5\cdot C^0_3)\over (C^3_8))=((5)\over (28))\தோராயமாக 0.179.$
பின்னர் சீரற்ற மாறி $X$ இன் விநியோகத் தொடர்:
$\begin(array)(|c|c|)
\hline
X_i & 0 & 1 & 2 & 3 \\
\hline
p_i & 0.018 & 0.268 & 0.536 & 0.179 \\
\hline
\end(வரிசை)$
பொதுவான ஹைப்பர் சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி $X$ சீரற்ற மாறியின் எண் பண்புகளை கணக்கிடுவோம் வடிவியல் விநியோகம்.
$M\left(X\right)=((nm)\over (N))=((3\cdot 5)\over (8))=((15)\over (8))=1,875.$
$D\left(X\right)=((nm\left(1-((m))\over (N))\right)\left(1-(n)\over (N))\right)) \over (N-1))=((3\cdot 5\cdot \left(1-(5)\over (8))\right)\cdot \left(1-(3)\over (8 ))\வலது))\ஓவர் (8-1))=((225)\ஓவர் (448))\தோராயமாக 0.502.$
$\sigma \left(X\right)=\sqrt(D\left(X\right))=\sqrt(0.502)\தோராயமாக 0.7085.$
