தீர்வு.
சின்னங்கள் வரையப்படாத நிகழ்தகவு: P(0) = 0.5*0.5*0.5= 0.125
பி(1) = 0,5 *0,5*0,5 + 0,5*0,5 *0,5 + 0,5*0,5*0,5 = 3*0,125=0,375
பி(2) = 0,5 *0,5 *0,5 + 0,5 *0,5*0,5 + 0,5*0,5 *0,5 = 3*0,125=0,375
மூன்று பூச்சுகளைப் பெறுவதற்கான நிகழ்தகவு: P(3) = 0.5*0.5*0.5 = 0.125
சீரற்ற மாறி X இன் விநியோக விதி:
| எக்ஸ் | 0 | 1 | 2 | 3 |
| பி | 0,125 | 0,375 | 0,375 | 0,125 |
எடுத்துக்காட்டு எண். 2. முதல் துப்பாக்கி சுடும் வீரருக்கு ஒரு ஷாட் மூலம் இலக்கைத் தாக்கும் நிகழ்தகவு 0.8, இரண்டாவது துப்பாக்கி சுடும் வீரருக்கு - 0.85. துப்பாக்கிச் சூடு நடத்தியவர்கள் இலக்கை நோக்கி ஒரு முறை சுட்டனர். தனிப்பட்ட துப்பாக்கி சுடும் வீரர்களுக்கு இலக்கைத் தாக்குவதை சுயாதீனமான நிகழ்வுகளாகக் கருத்தில் கொண்டு, A நிகழ்வின் நிகழ்தகவைக் கண்டறியவும் - இலக்கில் சரியாக ஒரு வெற்றி.
தீர்வு.
நிகழ்வை கருத்தில் கொள்ளுங்கள் - இலக்கில் ஒரு வெற்றி. சாத்தியமான விருப்பங்கள்இந்த நிகழ்வின் நிகழ்வு பின்வருமாறு:
- முதல் சுடும் வெற்றி, இரண்டாவது துப்பாக்கி சுடும் வீரர் தவறவிட்டார்: P(A/H1)=p 1 *(1-p 2)=0.8*(1-0.85)=0.12
- முதல் துப்பாக்கி சுடும் வீரர் தவறவிட்டார், இரண்டாவது துப்பாக்கி சுடும் இலக்கை தாக்கினார்: P(A/H2)=(1-p 1)*p 2 =(1-0.8)*0.85=0.17
- முதல் மற்றும் இரண்டாவது அம்புகள் ஒருவருக்கொருவர் சுயாதீனமாக இலக்கைத் தாக்கும்: P(A/H1H2)=p 1 *p 2 =0.8*0.85=0.68
சீரற்ற மாறி பல்வேறு சூழ்நிலைகளைப் பொறுத்து சில மதிப்புகளைப் பெறக்கூடிய ஒரு மாறியாகும், மேலும், சீரற்ற மதிப்புஅழைக்கப்பட்டது தனித்தனி , அதன் மதிப்புகளின் தொகுப்பு வரையறுக்கப்பட்டதாகவோ அல்லது எண்ணக்கூடியதாகவோ இருந்தால்.
தனித்த சீரற்ற மாறிகள் கூடுதலாக, தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறிகள் உள்ளன.
ஒரு சீரற்ற மாறியின் கருத்தை இன்னும் விரிவாகக் கருதுவோம். நடைமுறையில், சில மதிப்புகளைப் பெறக்கூடிய அளவுகள் பெரும்பாலும் உள்ளன, ஆனால் அவை ஒவ்வொன்றும் பரிசீலனையில் உள்ள அனுபவம், நிகழ்வு அல்லது கவனிப்பில் என்ன மதிப்பை எடுக்கும் என்பதை நம்பத்தகுந்த முறையில் கணிக்க முடியாது. உதாரணமாக, அடுத்த நாளில் மாஸ்கோவில் பிறக்கும் சிறுவர்களின் எண்ணிக்கை மாறுபடலாம். இது பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்கலாம் (ஒரு ஆண் குழந்தை கூட பிறக்காது: எல்லா பெண்களும் பிறப்பார்கள் அல்லது புதிதாகப் பிறந்தவர்கள் இல்லை), ஒன்று, இரண்டு, மற்றும் சில வரையறுக்கப்பட்ட எண்கள் வரை n. அத்தகைய மதிப்புகள் அடங்கும்: தளத்தில் சர்க்கரை பீட் வேர்களின் நிறை, பீரங்கி ஷெல்லின் விமான வரம்பு, ஒரு தொகுப்பில் உள்ள குறைபாடுள்ள பகுதிகளின் எண்ணிக்கை மற்றும் பல. அத்தகைய அளவுகளை நாம் random என்று அழைப்போம். அவை அனைத்தையும் வகைப்படுத்துகின்றன சாத்தியமான முடிவுகள்அளவு பக்கத்திலிருந்து அனுபவம் அல்லது கவனிப்பு.
தனித்த சீரற்ற மாறிகளின் எடுத்துக்காட்டுகள் வரையறுக்கப்பட்ட எண்ணிக்கையிலான மதிப்புகள் பகலில் பிறந்த குழந்தைகளின் எண்ணிக்கையாக இருக்கலாம் வட்டாரம், பஸ் பயணிகளின் எண்ணிக்கை, ஒரு நாளைக்கு மாஸ்கோ மெட்ரோ மூலம் கொண்டு செல்லப்படும் பயணிகளின் எண்ணிக்கை போன்றவை.
தனித்த சீரற்ற மாறியின் மதிப்புகளின் எண்ணிக்கை எல்லையற்ற, ஆனால் எண்ணக்கூடிய தொகுப்பாக இருக்கலாம். ஆனால் எப்படியிருந்தாலும், அவை சில வரிசையில் எண்ணப்படலாம், அல்லது இன்னும் துல்லியமாக, சீரற்ற மாறியின் மதிப்புகளுக்கு இடையில் ஒருவருக்கு ஒரு கடிதத்தை நிறுவலாம். இயற்கை எண்கள் 1, 2, 3, ..., n.
கவனம்: நிகழ்தகவு கோட்பாட்டில் ஒரு புதிய, மிக முக்கியமான கருத்து - விநியோக சட்டம்
. விடுங்கள் எக்ஸ்ஏற்றுக்கொள்ள முடியும் nமதிப்புகள்: . அவை அனைத்தும் வேறுபட்டவை (இல்லையெனில் ஒரே மாதிரியானவை ஒன்றிணைக்கப்பட வேண்டும்) மற்றும் ஏறுவரிசையில் அமைக்கப்பட்டன என்று நாம் கருதுவோம். க்கு முழு பண்புகள்தனித்த சீரற்ற மாறி அதன் அனைத்து மதிப்புகள் மட்டும் குறிப்பிடப்பட வேண்டும், ஆனால் நிகழ்தகவுகள்
, சீரற்ற மாறி ஒவ்வொரு மதிப்புகளையும் எடுக்கும், அதாவது. 
.
ஒரு தனித்த சீரற்ற மாறியின் விநியோக சட்டம் எந்த விதி (செயல்பாடு, அட்டவணை) அழைக்கப்படுகிறது ப(எக்ஸ்), இது ஒரு சீரற்ற மாறியுடன் தொடர்புடைய அனைத்து வகையான நிகழ்வுகளின் நிகழ்தகவுகளைக் கண்டறிய உங்களை அனுமதிக்கிறது (உதாரணமாக, இது சில மதிப்பின் எடுத்துக்காட்டு அல்லது சில இடைவெளியில் விழும் நிகழ்தகவு).
தனித்த சீரற்ற மாறியின் விநியோக விதியை பின்வரும் அட்டவணையின் வடிவத்தில் அமைப்பது மிகவும் எளிமையானது மற்றும் வசதியானது:
| பொருள் | ... | |||
| நிகழ்தகவு | ... |
இந்த அட்டவணை அழைக்கப்படுகிறது ஒரு தனித்த சீரற்ற மாறியின் விநியோகத்திற்கு அருகில். விநியோகத் தொடரின் மேல் வரி அனைத்தும் ஏறுவரிசையில் பட்டியலிடப்பட்டுள்ளது சாத்தியமான மதிப்புகள்தனித்த சீரற்ற மாறி (x), மற்றும் கீழ் பகுதியில் - இந்த மதிப்புகளின் நிகழ்தகவு ( ப).
நிகழ்வுகள் 
பொருந்தாதவை மற்றும் சாத்தியமானவை மட்டுமே: அவை நிகழ்வுகளின் முழுமையான அமைப்பை உருவாக்குகின்றன. எனவே, அவற்றின் நிகழ்தகவுகளின் கூட்டுத்தொகை ஒன்றுக்கு சமம்:
.
எடுத்துக்காட்டு 1.மாணவர் குழுவில் ஒரு லாட்டரி ஏற்பாடு செய்யப்பட்டது. RUB 1,000 மதிப்புள்ள இரண்டு பொருட்கள் கைப்பற்றப்பட உள்ளன. மற்றும் ஒன்று 3,000 ரூபிள் விலை. 100 ரூபிள் விலையில் ஒரு டிக்கெட்டை வாங்கிய மாணவருக்கு நிகர வெற்றியின் அளவுக்கான விநியோகச் சட்டத்தை வரையவும். மொத்தம் 50 டிக்கெட்டுகள் விற்கப்பட்டன.
தீர்வு. நாம் ஆர்வமாக உள்ள சீரற்ற மாறி எக்ஸ்மூன்று மதிப்புகளை எடுக்கலாம்: - 100 ரூபிள். (மாணவர் வெற்றி பெறவில்லை என்றால், ஆனால் உண்மையில் டிக்கெட்டுக்கு செலுத்தப்பட்ட 100 ரூபிள் இழந்தால்), 900 ரூபிள். மற்றும் 2900 ரூபிள். (உண்மையான வெற்றிகள் 100 ரூபிள் குறைக்கப்படுகின்றன - டிக்கெட்டின் விலையால்). முதல் முடிவு 50 இல் 47 முறை, இரண்டாவது - 2 மற்றும் மூன்றாவது - ஒன்று. எனவே, அவற்றின் நிகழ்தகவுகள்: பி(எக்ஸ்=-100)=47/50=0,94 , பி(எக்ஸ்=900)=2/50=0,04 , பி(எக்ஸ்=2900)=1/50=0,02 .
தனித்த சீரற்ற மாறியின் விநியோகச் சட்டம் எக்ஸ்போல் தெரிகிறது
| வென்ற தொகை | -100 | 900 | 2900 |
| நிகழ்தகவு | 0,94 | 0,04 | 0,02 |
ஒரு தனித்துவமான சீரற்ற மாறியின் விநியோக செயல்பாடு: கட்டுமானம்
ஒரு தனித்த சீரற்ற மாறிக்கு மட்டுமே விநியோகத் தொடரை உருவாக்க முடியும் (தனிப்பட்ட அல்லாத சீரற்ற மாறிக்கு அதை உருவாக்க முடியாது, அத்தகைய சீரற்ற மாறியின் சாத்தியமான மதிப்புகளின் தொகுப்பு கணக்கிட முடியாததாக இருந்தால், அவற்றை மேலே பட்டியலிட முடியாது. அட்டவணையின் வரிசை).
பெரும்பாலானவை பொது வடிவம்விநியோகச் சட்டம், அனைத்து சீரற்ற மாறிகளுக்கும் (தனிப்பட்ட மற்றும் தனித்தனி அல்லாத) பொருத்தமானது, இது விநியோகச் செயல்பாடு ஆகும்.
ஒரு தனித்த சீரற்ற மாறியின் விநியோக செயல்பாடுஅல்லது ஒருங்கிணைந்த செயல்பாடுசெயல்பாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது 
, இது சீரற்ற மாறியின் மதிப்பு நிகழ்தகவை தீர்மானிக்கிறது எக்ஸ்வரம்பு மதிப்பை விட குறைவாக அல்லது சமமாக எக்ஸ்.
எந்தவொரு தனித்த சீரற்ற மாறியின் விநியோகச் செயல்பாடு ஒரு இடைவிடாத படி செயல்பாடு ஆகும், இதன் தாவல்கள் சீரற்ற மாறியின் சாத்தியமான மதிப்புகளுடன் தொடர்புடைய புள்ளிகளில் நிகழ்கின்றன மற்றும் இந்த மதிப்புகளின் நிகழ்தகவுகளுக்கு சமமாக இருக்கும்.
எடுத்துக்காட்டு 2.தனித்த சீரற்ற மாறி எக்ஸ்- ஒரு டை வீசும்போது பெறப்பட்ட புள்ளிகளின் எண்ணிக்கை. அதன் விநியோக செயல்பாட்டைக் கணக்கிடுங்கள்.
தீர்வு. ஒரு தனித்த சீரற்ற மாறியின் விநியோகத் தொடர் எக்ஸ்வடிவம் உள்ளது:
| பொருள் | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| நிகழ்தகவு | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 |
விநியோக செயல்பாடு எஃப்(எக்ஸ்) 6 தாவல்கள் 1/6 க்கு சமமான அளவில் உள்ளது (கீழே உள்ள படத்தில்).
எடுத்துக்காட்டு 3.கலசத்தில் 6 வெள்ளை பந்துகளும், 4 கருப்பு பந்துகளும் உள்ளன. கலசத்திலிருந்து 3 பந்துகள் எடுக்கப்படுகின்றன. வரையப்பட்ட பந்துகளில் உள்ள வெள்ளைப் பந்துகளின் எண்ணிக்கை தனித்த சீரற்ற மாறியாகும் எக்ஸ். அதற்கேற்ற விநியோகச் சட்டத்தை வரையவும்.
எக்ஸ் 0, 1, 2, 3 மதிப்புகளை எடுத்துக் கொள்ளலாம். தொடர்புடைய நிகழ்தகவுகளைப் பயன்படுத்தி மிக எளிதாகக் கணக்கிடலாம் நிகழ்தகவு பெருக்கல் விதி. தனித்த சீரற்ற மாறியின் விநியோகத்தின் பின்வரும் விதியைப் பெறுகிறோம்:
| பொருள் | 0 | 1 | 2 | 3 |
| நிகழ்தகவு | 1/30 | 3/10 | 1/2 | 1/6 |
எடுத்துக்காட்டு 4.ஒரு தனித்த சீரற்ற மாறிக்கு ஒரு விநியோகச் சட்டத்தை வரையவும் - ஒரு ஷாட்டில் அடிப்பதற்கான நிகழ்தகவு 0.1 ஆக இருந்தால், நான்கு ஷாட்கள் மூலம் இலக்கை தாக்கும் எண்ணிக்கை.
தீர்வு. தனித்த சீரற்ற மாறி எக்ஸ்ஐந்து வெவ்வேறு மதிப்புகளை எடுக்கலாம்: 1, 2, 3, 4, 5. இதைப் பயன்படுத்தி தொடர்புடைய நிகழ்தகவுகளைக் காண்கிறோம் பெர்னோலியின் சூத்திரம்
. மணிக்கு
n = 4 ,
ப = 1,1 ,
கே = 1 - ப = 0,9 ,
மீ = 0, 1, 2, 3, 4
நாம் பெறுகிறோம்
இதன் விளைவாக, ஒரு தனித்த சீரற்ற மாறியின் விநியோக விதி எக்ஸ்போல் தெரிகிறது
ஒரு தனித்த சீரற்ற மாறியின் மதிப்புகளின் நிகழ்தகவுகளை பெர்னௌல்லி சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி தீர்மானிக்க முடியும் என்றால், சீரற்ற மாறியானது இருவகைப் பரவல் .
சோதனைகளின் எண்ணிக்கை போதுமானதாக இருந்தால், இந்த சோதனைகளில் ஆர்வமுள்ள நிகழ்வு நிகழும் நிகழ்தகவு மீமுறை, சட்டத்திற்கு கீழ்ப்படிகிறது விஷம் விநியோகம் .
ஒரு தனித்த சீரற்ற மாறியின் விநியோக செயல்பாடு: கணக்கீடு
தனித்த சீரற்ற மாறியின் பரவல் செயல்பாட்டைக் கணக்கிட எஃப்(எக்ஸ்), எல்லை மதிப்பை விட குறைவாகவோ அல்லது சமமாகவோ இருக்கும் அனைத்து மதிப்புகளின் நிகழ்தகவுகளையும் சேர்க்க வேண்டும் எக்ஸ்.
எடுத்துக்காட்டு 5.திருமணத்தின் காலப்பகுதியில் வருடத்தில் கலைக்கப்பட்ட திருமணங்களின் எண்ணிக்கையின் சார்புநிலையை அட்டவணை காட்டுகிறது. அடுத்த விவாகரத்து திருமணம் 5 ஆண்டுகளுக்கு குறைவாக அல்லது அதற்கு சமமாக நீடித்திருப்பதற்கான நிகழ்தகவைக் கண்டறியவும்.
| திருமண காலம் (ஆண்டுகள்) | எண் | நிகழ்தகவு | எஃப்(எக்ஸ்) |
| 0 | 10 | 0,002 | 0,002 |
| 1 | 80 | 0,013 | 0,015 |
| 2 | 177 | 0,029 | 0,044 |
| 3 | 209 | 0,035 | 0,079 |
| 4 | 307 | 0,051 | 0,130 |
| 5 | 335 | 0,056 | 0,186 |
| 6 | 358 | 0,060 | 0,246 |
| 7 | 413 | 0,069 | 0,314 |
| 8 | 432 | 0,072 | 0,386 |
| 9 | 402 | 0,067 | 0,453 |
| 10 அல்லது அதற்கு மேற்பட்டவை | 3287 | 0,547 | 1,000 |
| மொத்தம் | 6010 | 1 |
தீர்வு. நிகழ்தகவுகள் தொடர்புடைய கலைக்கப்பட்ட திருமணங்களின் எண்ணிக்கையை மொத்த எண்ணிக்கையான 6010 ஆல் வகுத்து கணக்கிடப்படுகிறது. அடுத்த கலைக்கப்பட்ட திருமணம் 5 ஆண்டுகள் நீடித்ததற்கான நிகழ்தகவு 0.056 ஆகும். அடுத்த விவாகரத்து திருமணத்தின் காலம் 5 ஆண்டுகளுக்கு குறைவாகவோ அல்லது அதற்கு சமமாகவோ இருப்பதற்கான நிகழ்தகவு 0.186 ஆகும். மதிப்பைக் கூட்டி அதைப் பெற்றோம் எஃப்(எக்ஸ்) 4 வருட காலவரையறை கொண்ட திருமணங்களுக்கு, 5 வருட காலவரையறை கொண்ட திருமணங்களுக்கான நிகழ்தகவு.
ஒரு தனித்த சீரற்ற மாறியின் விநியோக விதிக்கும் கணித எதிர்பார்ப்பு மற்றும் சிதறலுக்கும் இடையிலான உறவு
தனித்த சீரற்ற மாறியின் அனைத்து மதிப்புகளும் பெரும்பாலும் அறியப்படுவதில்லை, ஆனால் தொடரிலிருந்து சில மதிப்புகள் அல்லது நிகழ்தகவுகள் அறியப்படுகின்றன, அத்துடன் ஒரு சீரற்ற மாறியின் கணித எதிர்பார்ப்பு மற்றும் (அல்லது) மாறுபாடு, ஒரு தனி பாடம் அர்ப்பணிக்கப்பட்டுள்ளது.
தனித்த சீரற்ற மாறியின் விநியோக விதியை வரையும்போது உதவக்கூடிய இந்த பாடத்திலிருந்து சில சூத்திரங்களை இங்கே வழங்குகிறோம், மேலும் இதுபோன்ற சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதற்கான எடுத்துக்காட்டுகளை நாங்கள் பகுப்பாய்வு செய்வோம்.
தனித்த சீரற்ற மாறியின் கணித எதிர்பார்ப்பு என்பது அதன் அனைத்து சாத்தியமான மதிப்புகளின் தயாரிப்புகள் மற்றும் இந்த மதிப்புகளின் நிகழ்தகவுகளின் கூட்டுத்தொகை ஆகும்:
(1)
வரையறையின்படி தனித்த சீரற்ற மாறியின் மாறுபாட்டிற்கான சூத்திரம்:
பெரும்பாலும் பின்வரும் சிதறல் சூத்திரம் கணக்கீடுகளுக்கு மிகவும் வசதியானது:
, (2)
எங்கே 
.
எடுத்துக்காட்டு 6.தனித்த சீரற்ற மாறி எக்ஸ்இரண்டு மதிப்புகளை மட்டுமே எடுக்க முடியும். இது நிகழ்தகவுடன் சிறிய மதிப்பை எடுக்கும் ப= 0.6. தனித்த சீரற்ற மாறியின் விநியோக விதியைக் கண்டறியவும் எக்ஸ், அதன் கணித எதிர்பார்ப்பு மற்றும் மாறுபாடு என்று தெரிந்தால் .
தீர்வு. ஒரு சீரற்ற மாறி ஒரு பெரிய மதிப்பை எடுக்கும் நிகழ்தகவு எக்ஸ்2 , 1 - 0.6 = 4 க்கு சமம். கணித எதிர்பார்ப்பு சூத்திரம் (1) ஐப் பயன்படுத்தி, நாம் ஒரு சமன்பாட்டை உருவாக்குகிறோம், அதில் தெரியாதவை நமது தனித்துவமான சீரற்ற மாறியின் மதிப்புகள்:
சிதறல் சூத்திரம் (2) ஐப் பயன்படுத்தி, மற்றொரு சமன்பாட்டை உருவாக்குகிறோம், அதில் தெரியாதவை ஒரு தனித்துவமான சீரற்ற மாறியின் மதிப்புகளாகும்:
பெறப்பட்ட இரண்டு சமன்பாடுகளின் அமைப்பு
மாற்று முறை மூலம் தீர்க்கவும். முதல் சமன்பாட்டிலிருந்து நாம் பெறுகிறோம்
இந்த வெளிப்பாட்டை இரண்டாவது சமன்பாட்டிற்குப் பதிலாக, எளிய மாற்றங்களுக்குப் பிறகு நாம் பெறுகிறோம் இருபடி சமன்பாடு
,
இதில் இரண்டு வேர்கள் உள்ளன: 7/5 மற்றும் −1. முதல் வேர் பிரச்சனையின் நிபந்தனைகளை பூர்த்தி செய்யவில்லை, ஏனெனில் எக்ஸ்2 < எக்ஸ் 1 . எனவே, ஒரு தனித்துவமான சீரற்ற மாறி எடுக்கக்கூடிய மதிப்புகள் எக்ஸ்எங்கள் உதாரணத்தின் நிபந்தனைகளின்படி, சமம் எக்ஸ்1 = −1 மற்றும் எக்ஸ்2 = 2 .
இந்தப் பக்கத்தில் கல்வித் தீர்வுகளின் உதாரணங்களைச் சேகரித்துள்ளோம் தனித்த சீரற்ற மாறிகள் பற்றிய சிக்கல்கள். இது மிகவும் விரிவான பிரிவாகும்: பல்வேறு விநியோகச் சட்டங்கள் (இருமை, வடிவியல், ஹைப்பர்ஜியோமெட்ரிக், பாய்சன் மற்றும் பிற), பண்புகள் மற்றும் எண் பண்புகள் ஆய்வு செய்யப்படுகின்றன, ஒவ்வொரு விநியோகத் தொடருக்கும் வரைகலை பிரதிநிதித்துவங்கள் உருவாக்கப்படலாம்: நிகழ்தகவுகளின் பலகோணம் (பலகோணம்), விநியோக செயல்பாடு.
ஒரு விநியோகச் சட்டத்தை உருவாக்க, நிகழ்தகவுக் கோட்பாட்டின் முந்தைய பிரிவுகளிலிருந்து அறிவைப் பயன்படுத்த வேண்டும், பின்னர் கணித எதிர்பார்ப்பு, சிதறல், நிலையான விலகல் ஆகியவற்றைக் கணக்கிடவும், விநியோகச் செயல்பாட்டை உருவாக்கவும், பதிலளிக்கவும். DSV பற்றிய கேள்விகள், முதலியன பி.
பிரபலமான நிகழ்தகவு விநியோக சட்டங்களுக்கான எடுத்துக்காட்டுகள்:
DSV பண்புகளுக்கான கால்குலேட்டர்கள்
- DSV இன் கணித எதிர்பார்ப்பு, சிதறல் மற்றும் நிலையான விலகல் ஆகியவற்றின் கணக்கீடு.
DSV பற்றிய சிக்கல்கள் தீர்க்கப்பட்டன
வடிவவியலுக்கு நெருக்கமான விநியோகங்கள்
பணி 1.வாகனத்தின் பாதையில் 4 போக்குவரத்து விளக்குகள் உள்ளன, அவை ஒவ்வொன்றும் 0.5 நிகழ்தகவுடன் வாகனத்தின் மேலும் இயக்கத்தை தடை செய்கிறது. முதல் நிறுத்தத்திற்கு முன் கார் கடந்து செல்லும் போக்குவரத்து விளக்குகளின் எண்ணிக்கையின் விநியோகத் தொடரைக் கண்டறியவும். இந்த சீரற்ற மாறியின் கணித எதிர்பார்ப்பு மற்றும் மாறுபாடு என்ன?
பணி 2.வேட்டைக்காரன் முதல் வெற்றி வரை விளையாட்டில் சுடுகிறான், ஆனால் நான்கு ஷாட்களுக்கு மேல் சுட முடியாது. ஒரு ஷாட் மூலம் இலக்கைத் தாக்கும் நிகழ்தகவு 0.7 ஆக இருந்தால், தவறவிட்ட எண்ணிக்கைக்கான விநியோகச் சட்டத்தை வரையவும். இந்த சீரற்ற மாறியின் மாறுபாட்டைக் கண்டறியவும்.
பணி 3.துப்பாக்கி சுடும் வீரர், 3 தோட்டாக்களைக் கொண்டு, முதலில் தாக்கும் வரை இலக்கை நோக்கிச் சுடுகிறார். முதல், இரண்டாவது மற்றும் மூன்றாவது ஷாட்களுக்கான வெற்றி வாய்ப்புகள் முறையே 0.6, 0.5, 0.4 ஆகும். எஸ்.வி. $\xi$ - மீதமுள்ள தோட்டாக்களின் எண்ணிக்கை. சீரற்ற மாறியின் விநியோகத் தொடரைத் தொகுத்து, கணித எதிர்பார்ப்பு, மாறுபாடு, சராசரி ஆகியவற்றைக் கண்டறியவும் நிலையான விலகல் r.v., r.v விநியோக செயல்பாட்டை உருவாக்கவும், $P(|\xi-m| \le \sigma$) ஐக் கண்டறியவும்.
பணி 4.பெட்டியில் 7 நிலையான மற்றும் 3 குறைபாடுள்ள பாகங்கள் உள்ளன. நிலையானது தோன்றும் வரை, அவற்றைத் திருப்பித் தராமல், பாகங்களை வரிசையாக வெளியே எடுக்கிறார்கள். $\xi$ என்பது மீட்டெடுக்கப்பட்ட குறைபாடுள்ள பகுதிகளின் எண்ணிக்கை.
ஒரு தனித்த சீரற்ற மாறி $\xi$க்கு ஒரு விநியோகச் சட்டத்தை வரையவும், அதன் கணித எதிர்பார்ப்பு, மாறுபாடு, நிலையான விலகல் ஆகியவற்றைக் கணக்கிடவும், விநியோக பலகோணம் மற்றும் விநியோகச் செயல்பாட்டின் வரைபடத்தை வரையவும்.
சுயாதீன நிகழ்வுகளுடன் கூடிய பணிகள்
பணி 5.நிகழ்தகவு கோட்பாட்டில் 3 மாணவர்கள் மறுதேர்வு எழுதினார்கள். முதல் நபர் தேர்வில் தேர்ச்சி பெறுவதற்கான நிகழ்தகவு 0.8, இரண்டாவது - 0.7, மற்றும் மூன்றாவது - 0.9. தேர்வில் தேர்ச்சி பெற்ற மாணவர்களின் எண்ணிக்கையின் சீரற்ற மாறி $\xi$ விநியோகத் தொடரைக் கண்டறியவும், விநியோகச் செயல்பாட்டைத் திட்டமிடவும், $M(\xi), D(\xi)$ ஆகியவற்றைக் கண்டறியவும்.
பணி 6.ஒரு ஷாட் மூலம் இலக்கைத் தாக்கும் நிகழ்தகவு 0.8 மற்றும் ஒவ்வொரு ஷாட்டிலும் 0.1 குறைகிறது. மூன்று ஷாட்கள் சுடப்பட்டால், இலக்கில் அடிக்கப்பட்ட எண்ணிக்கைக்கான விநியோகச் சட்டத்தை வரையவும். எதிர்பார்க்கப்படும் மதிப்பு, மாறுபாடு மற்றும் S.K.O. இந்த சீரற்ற மாறி. விநியோக செயல்பாட்டின் வரைபடத்தை வரையவும்.
பணி 7.இலக்கை நோக்கி 4 ஷாட்கள் சுடப்படுகின்றன. ஒரு வெற்றியின் நிகழ்தகவு பின்வருமாறு அதிகரிக்கிறது: 0.2, 0.4, 0.6, 0.7. $X$ என்ற சீரற்ற மாறியின் விநியோக விதியைக் கண்டறியவும் - வெற்றிகளின் எண்ணிக்கை. $X \ge 1$ நிகழ்தகவைக் கண்டறியவும்.
பணி 8.இரண்டு சமச்சீர் நாணயங்கள் தூக்கி எறியப்பட்டு, நாணயங்களின் மேல் இருபுறமும் உள்ள கோட்டுகளின் எண்ணிக்கை கணக்கிடப்படுகிறது. நாங்கள் ஒரு தனித்துவமான சீரற்ற மாறி $X$ என்று கருதுகிறோம் - இரண்டு நாணயங்களிலும் உள்ள கோட்டுகளின் எண்ணிக்கை. $X$ என்ற சீரற்ற மாறியின் விநியோக விதியை எழுதவும், அதன் கணித எதிர்பார்ப்பைக் கண்டறியவும்.
பிற சிக்கல்கள் மற்றும் DSV விநியோக சட்டங்கள்
பணி 9.இரண்டு கூடைப்பந்து வீரர்கள் கூடைக்குள் மூன்று ஷாட்களை செய்கிறார்கள். முதல் கூடைப்பந்து வீரருக்கு அடிப்பதற்கான நிகழ்தகவு 0.6, இரண்டாவது - 0.7. முதல் மற்றும் இரண்டாவது கூடைப்பந்து வீரர்களின் வெற்றிகரமான ஷாட்களின் எண்ணிக்கைக்கு இடையே $X$ வித்தியாசமாக இருக்கட்டும். $X$ என்ற சீரற்ற மாறியின் விநியோகத் தொடர், பயன்முறை மற்றும் விநியோகச் செயல்பாட்டைக் கண்டறியவும். விநியோக பலகோணம் மற்றும் விநியோக செயல்பாட்டின் வரைபடத்தை உருவாக்கவும். எதிர்பார்க்கப்படும் மதிப்பு, மாறுபாடு மற்றும் நிலையான விலகல் ஆகியவற்றைக் கணக்கிடவும். நிகழ்வின் நிகழ்தகவைக் கண்டறியவும் $(-2 \lt X \le 1)$.
பிரச்சனை 10.ஒரு குறிப்பிட்ட துறைமுகத்தில் ஏற்றிச் செல்வதற்காக தினசரி வரும் குடியுரிமை இல்லாத கப்பல்களின் எண்ணிக்கை $X$ என்ற சீரற்ற மாறி, பின்வருமாறு கொடுக்கப்பட்டுள்ளது:
0 1 2 3 4 5
0,1 0,2 0,4 0,1 0,1 0,1
A) விநியோகத் தொடர் குறிப்பிடப்பட்டுள்ளதா என்பதை உறுதிப்படுத்தவும்,
B) சீரற்ற மாறி $X$ இன் பரவல் செயல்பாட்டைக் கண்டறியவும்,
C) ஒரு குறிப்பிட்ட நாளில் மூன்று கப்பல்களுக்கு மேல் வந்தால், கூடுதல் ஓட்டுநர்கள் மற்றும் ஏற்றிகளை அமர்த்த வேண்டியதன் காரணமாக துறைமுகம் செலவுகளுக்கு பொறுப்பாகும். துறைமுகத்திற்கு கூடுதல் செலவுகள் ஏற்படும் நிகழ்தகவு என்ன?
D) $X$ என்ற சீரற்ற மாறியின் கணித எதிர்பார்ப்பு, மாறுபாடு மற்றும் நிலையான விலகல் ஆகியவற்றைக் கண்டறியவும்.
பிரச்சனை 11.எறிதல் 4 பகடை. எல்லா பக்கங்களிலும் தோன்றும் புள்ளிகளின் எண்ணிக்கையின் கூட்டுத்தொகையின் கணித எதிர்பார்ப்பைக் கண்டறியவும்.
பிரச்சனை 12.கோட் ஆஃப் ஆர்ம்ஸ் முதலில் தோன்றும் வரை இருவரும் மாறி மாறி ஒரு நாணயத்தை வீசுகிறார்கள். கோட் ஆஃப் ஆர்ம்ஸ் பெற்ற வீரர் மற்ற வீரரிடமிருந்து 1 ரூபிள் பெறுகிறார். ஒவ்வொரு வீரருக்கும் வெற்றி பெறுவதற்கான கணித எதிர்பார்ப்பைக் கண்டறியவும்.
அறியப்பட்டபடி, சீரற்ற மாறி வழக்கைப் பொறுத்து சில மதிப்புகளைப் பெறக்கூடிய மாறி அளவு என்று அழைக்கப்படுகிறது. சீரற்ற மாறிகள் குறிக்கின்றன பெரிய எழுத்துக்களில் லத்தீன் எழுத்துக்கள்(X, Y, Z), மற்றும் அவற்றின் மதிப்புகள் தொடர்புடைய சிறிய எழுத்துக்களில் (x, y, z) குறிக்கப்படுகின்றன. சீரற்ற மாறிகள் இடைவிடாத (தனிப்பட்ட) மற்றும் தொடர்ச்சியானதாக பிரிக்கப்படுகின்றன.
தனித்த சீரற்ற மாறி சில பூஜ்ஜியமற்ற நிகழ்தகவுகளுடன் வரையறுக்கப்பட்ட அல்லது எல்லையற்ற (எண்ணக்கூடிய) மதிப்புகளின் தொகுப்பை மட்டுமே எடுக்கும் சீரற்ற மாறி.
ஒரு தனித்த சீரற்ற மாறியின் விநியோக சட்டம் சீரற்ற மாறியின் மதிப்புகளை அவற்றின் தொடர்புடைய நிகழ்தகவுகளுடன் இணைக்கும் ஒரு செயல்பாடு ஆகும். விநியோகச் சட்டத்தை பின்வரும் வழிகளில் ஒன்றில் குறிப்பிடலாம்.
1 . விநியோக சட்டத்தை அட்டவணை மூலம் வழங்கலாம்:
எங்கே λ>0, k = 0, 1, 2, … .
V)பயன்படுத்தி விநியோக செயல்பாடு F(x) , இது ஒவ்வொரு மதிப்பு x க்கும் நிகழ்தகவை தீர்மானிக்கிறது சீரற்ற மாறி X x ஐ விட குறைவான மதிப்பை எடுக்கும், அதாவது. F(x) = P(X< x).
F(x) செயல்பாட்டின் பண்புகள்
3 . விநியோக சட்டத்தை வரைபடமாக குறிப்பிடலாம் - விநியோக பலகோணம் (பலகோணம்) (சிக்கல் 3 ஐப் பார்க்கவும்).
சில சிக்கல்களைத் தீர்க்க விநியோகச் சட்டத்தை அறிந்து கொள்ள வேண்டிய அவசியமில்லை என்பதை நினைவில் கொள்க. சில சந்தர்ப்பங்களில், மிகவும் பிரதிபலிக்கும் ஒன்று அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட எண்களை அறிந்தால் போதும் முக்கியமான அம்சங்கள்விநியோக சட்டம். இது ஒரு சீரற்ற மாறியின் "சராசரி" என்ற பொருளைக் கொண்ட எண்ணாக இருக்கலாம் அல்லது குறிக்கும் எண்ணாக இருக்கலாம். சராசரி அளவுஒரு சீரற்ற மாறி அதன் சராசரி மதிப்பிலிருந்து விலகல். இந்த வகையான எண்கள் ஒரு சீரற்ற மாறியின் எண் பண்புகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன.
தனித்த சீரற்ற மாறியின் அடிப்படை எண் பண்புகள் :
- கணித எதிர்பார்ப்பு
தனித்த சீரற்ற மாறியின் (சராசரி மதிப்பு). M(X)=Σ x i p i.
இருவகைப் பரவலுக்கு M(X)=np, Poisson விநியோகம் M(X)=λ - சிதறல்
தனித்த சீரற்ற மாறி D(X)=M2அல்லது D(X) = M(X 2)− 2. வித்தியாசம் X–M(X) என்பது ஒரு சீரற்ற மாறி அதன் கணித எதிர்பார்ப்பில் இருந்து விலகல் எனப்படும்.
இருவகைப் பரவலுக்கு D(X)=npq, Poisson விநியோகம் D(X)=λ - நிலையான விலகல் (நிலையான விலகல்) σ(X)=√D(X).
"தனிப்பட்ட சீரற்ற மாறியின் விநியோக சட்டம்" என்ற தலைப்பில் சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதற்கான எடுத்துக்காட்டுகள்
பணி 1.
1000 லாட்டரி சீட்டுகள் வழங்கப்பட்டன: அவர்களில் 5 பேர் 500 ரூபிள், 10 பேர் 100 ரூபிள், 20 பேர் 50 ரூபிள், 50 பேர் 10 ரூபிள் வெல்வார்கள். ரேண்டம் மாறி X - வெற்றிகள் ஒரு டிக்கெட்டின் நிகழ்தகவு விநியோக விதியை தீர்மானிக்கவும்.
தீர்வு. சிக்கலின் நிலைமைகளின்படி, சீரற்ற X இன் பின்வரும் மதிப்புகள் சாத்தியமாகும்: 0, 10, 50, 100 மற்றும் 500.
வெற்றி பெறாத டிக்கெட்டுகளின் எண்ணிக்கை 1000 – (5+10+20+50) = 915, பின்னர் P(X=0) = 915/1000 = 0.915.
இதேபோல், மற்ற எல்லா நிகழ்தகவுகளையும் நாங்கள் காண்கிறோம்: P(X=0) = 50/1000=0.05, P(X=50) = 20/1000=0.02, P(X=100) = 10/1000=0.01 , P(X =500) = 5/1000=0.005. இதன் விளைவாக வரும் சட்டத்தை அட்டவணை வடிவில் வழங்குவோம்:
X மதிப்பின் கணித எதிர்பார்ப்பைக் கண்டுபிடிப்போம்: M(X) = 1*1/6 + 2*1/6 + 3*1/6 + 4*1/6 + 5*1/6 + 6*1/6 = (1+ 2+3+4+5+6)/6 = 21/6 = 3.5
பணி 3.
சாதனம் மூன்று சுயாதீனமாக செயல்படும் கூறுகளைக் கொண்டுள்ளது. ஒரு பரிசோதனையில் ஒவ்வொரு தனிமத்தின் தோல்வியின் நிகழ்தகவு 0.1 ஆகும். ஒரு பரிசோதனையில் தோல்வியுற்ற உறுப்புகளின் எண்ணிக்கைக்கான விநியோகச் சட்டத்தை வரையவும், விநியோக பலகோணத்தை உருவாக்கவும். F(x) என்ற விநியோகச் செயல்பாட்டைக் கண்டறிந்து அதைத் திட்டமிடவும். தனித்த சீரற்ற மாறியின் கணித எதிர்பார்ப்பு, மாறுபாடு மற்றும் நிலையான விலகல் ஆகியவற்றைக் கண்டறியவும்.
தீர்வு. 1. தனித்த சீரற்ற மாறி X = (ஒரு பரிசோதனையில் தோல்வியுற்ற உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை) பின்வரும் சாத்தியமான மதிப்புகளைக் கொண்டுள்ளது: x 1 = 0 (சாதன உறுப்புகள் எதுவும் தோல்வியடையவில்லை), x 2 = 1 (ஒரு உறுப்பு தோல்வியடைந்தது), x 3 = 2 ( இரண்டு உறுப்புகள் தோல்வியடைந்தன ) மற்றும் x 4 =3 (மூன்று உறுப்புகள் தோல்வியடைந்தன).
உறுப்புகளின் தோல்விகள் ஒன்றுக்கொன்று சார்பற்றவை, ஒவ்வொரு தனிமத்தின் தோல்வியின் நிகழ்தகவுகள் சமமாக இருக்கும், எனவே இது பொருந்தும் பெர்னோலி சூத்திரம்
. நிபந்தனையின்படி, n=3, p=0.1, q=1-p=0.9 ஆகியவற்றைக் கருத்தில் கொண்டு, மதிப்புகளின் நிகழ்தகவுகளை நாங்கள் தீர்மானிக்கிறோம்:
P 3 (0) = C 3 0 p 0 q 3-0 = q 3 = 0.9 3 = 0.729;
P 3 (1) = C 3 1 p 1 q 3-1 = 3*0.1*0.9 2 = 0.243;
P 3 (2) = C 3 2 p 2 q 3-2 = 3*0.1 2 *0.9 = 0.027;
P 3 (3) = C 3 3 p 3 q 3-3 = p 3 =0.1 3 = 0.001;
சரிபார்க்கவும்: ∑p i = 0.729+0.243+0.027+0.001=1.
எனவே, X இன் விரும்பிய இருவகைப் பரவல் விதி வடிவம் கொண்டது:
x i இன் சாத்தியமான மதிப்புகளை abscissa அச்சிலும், அதனுடன் தொடர்புடைய p i ஐ ஆர்டினேட் அச்சிலும் திட்டமிடுகிறோம். M 1 (0; 0.729), M 2 (1; 0.243), M 3 (2; 0.027), M 4 (3; 0.001) புள்ளிகளை உருவாக்குவோம். இந்த புள்ளிகளை நேர்கோட்டு பிரிவுகளுடன் இணைப்பதன் மூலம், நாம் விரும்பிய விநியோக பலகோணத்தைப் பெறுகிறோம்.
3. விநியோக செயல்பாடு F(x) = Р(Х
x ≤ 0க்கு F(x) = Р(Х<0) = 0;0க்கு< x ≤1 имеем F(x) = Р(Х<1) = Р(Х = 0) = 0,729;
1க்கு< x ≤ 2 F(x) = Р(Х<2) = Р(Х=0) + Р(Х=1) =0,729+ 0,243 = 0,972;
2க்கு< x ≤ 3 F(x) = Р(Х<3) = Р(Х = 0) + Р(Х = 1) + Р(Х = 2) = 0,972+0,027 = 0,999;
x > 3 க்கு F(x) = 1 இருக்கும், ஏனெனில் நிகழ்வு நம்பகமானது.
 |
செயல்பாட்டின் வரைபடம் F(x)
4.
இருவகைப் பரவலுக்கு X:
- கணித எதிர்பார்ப்பு M(X) = np = 3*0.1 = 0.3;
- மாறுபாடு D(X) = npq = 3*0.1*0.9 = 0.27;
- நிலையான விலகல் σ(X) = √D(X) = √0.27 ≈ 0.52.
இந்தப் பக்கத்தில், கல்விச் சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதற்கான ஒரு சுருக்கமான கோட்பாடு மற்றும் எடுத்துக்காட்டுகளை நாங்கள் சேகரித்தோம், அதில் ஒரு தனித்துவமான சீரற்ற மாறி ஏற்கனவே அதன் விநியோகத் தொடரால் (அட்டவணை வடிவம்) குறிப்பிடப்பட்டுள்ளது, மேலும் அதைப் படிக்க வேண்டியது அவசியம்: எண் பண்புகளைக் கண்டறிதல், வரைபடங்களை உருவாக்குதல் போன்றவை. அறியப்பட்ட விநியோக வகைகளின் எடுத்துக்காட்டுகளை பின்வரும் இணைப்புகளில் காணலாம்:
DSV பற்றிய சுருக்கமான கோட்பாடு
ஒரு தனித்துவமான சீரற்ற மாறியானது அதன் விநியோகத் தொடரால் குறிப்பிடப்படுகிறது: $x_i$ மதிப்புகளின் பட்டியல் அது எடுக்கக்கூடிய $p_i=P(X=x_i)$ மற்றும் தொடர்புடைய நிகழ்தகவுகள். ஒரு சீரற்ற மாறியின் மதிப்புகளின் எண்ணிக்கை வரையறுக்கப்பட்டதாகவோ அல்லது எண்ணக்கூடியதாகவோ இருக்கலாம். திட்டவட்டமாக, $i=\overline(1,n)$ என்பதை நாங்கள் கருத்தில் கொள்வோம். பின்னர் தனித்த சீரற்ற மாறியின் அட்டவணைப் பிரதிநிதித்துவம் வடிவம் கொண்டது:
$$ \begin(array)(|c|c|) \hline X_i & x_1 & x_2 & \dots & x_n \\ \hline p_i & p_1 & p_2 & \dots & p_n \\ \hline \end(array) $ $
இந்த வழக்கில், இயல்பாக்குதல் நிலை திருப்தி அடைகிறது: அனைத்து நிகழ்தகவுகளின் கூட்டுத்தொகை ஒன்றுக்கு சமமாக இருக்க வேண்டும்
$$\sum_(i=1)^(n) p_i=1$$
வரைபட ரீதியாக, விநியோகத் தொடரைக் குறிப்பிடலாம் விநியோக பலகோணம்(அல்லது விநியோக பலகோணம்) இதைச் செய்ய, $(x_i,p_i)$ ஆயங்களைக் கொண்ட புள்ளிகள் விமானத்தில் திட்டமிடப்பட்டு, உடைந்த கோடு மூலம் வரிசையாக இணைக்கப்படும். விரிவான எடுத்துக்காட்டுகளை நீங்கள் காணலாம்.
DSV இன் எண்ணியல் பண்புகள்
எதிர்பார்க்கப்படும் மதிப்பு:
$$M(X) = \sum_(i=1)^(n) x_i \cdot p_i$$
சிதறல்:
$$ D(X)=M(X^2)-(M(X))^2 = \sum_(i=1)^(n) x_i^2 \cdot p_i - (M(X))^2$ $
நிலையான விலகல்:
$$\sigma (X) = \sqrt(D(X))$$
மாறுபாட்டின் குணகம்:
$$V(X) = \frac(\sigma(X))(M(X))$$.
பயன்முறை: மதிப்பு $Mo=x_k$ அதிக நிகழ்தகவு $p_k=\max_i(p_i)$.
DSV இன் எதிர்பார்க்கப்படும் மதிப்பு, மாறுபாடு மற்றும் நிலையான விலகல் ஆகியவற்றைக் கணக்கிட, ஆன்லைன் கால்குலேட்டர்களைப் பயன்படுத்தலாம்.
DSV விநியோக செயல்பாடு
விநியோகத் தொடரிலிருந்து ஒருவர் தொகுக்கலாம் விநியோக செயல்பாடுதனித்த சீரற்ற மாறி $F(x)=P(X\lt x)$. சீரற்ற மாறி $X$ ஒரு குறிப்பிட்ட எண்ணான $x$ ஐ விட குறைவான மதிப்பை எடுக்கும் நிகழ்தகவை இந்த செயல்பாடு குறிப்பிடுகிறது. விரிவான கணக்கீடுகள் மற்றும் வரைபடங்களுடன் கூடிய கட்டுமானத்தின் எடுத்துக்காட்டுகளை கீழே உள்ள எடுத்துக்காட்டுகளில் காணலாம்.
தீர்க்கப்பட்ட சிக்கல்களின் எடுத்துக்காட்டுகள்
பணி 1.ஒரு தனித்த சீரற்ற மாறி ஒரு விநியோகத் தொடரால் குறிப்பிடப்படுகிறது:
1 2 3 4 5 6 7
0,05 0,15 0,3 0,2 0,1 0,04 0,16
ஒரு விநியோக பலகோணம் மற்றும் விநியோக செயல்பாடு $F(x)$ உருவாக்கவும். கணக்கிடவும்: $M[X], D[X], \sigma[X]$, அத்துடன் மாறுபாடு, வளைவு, குர்டோசிஸ், பயன்முறை மற்றும் இடைநிலை ஆகியவற்றின் குணகம்.
பணி 2.தனித்த சீரற்ற மாறி X இன் விநியோக விதி தேவை:
a) சீரற்ற மாறி X இன் கணித எதிர்பார்ப்பு M(x), மாறுபாடு D(x) மற்றும் நிலையான விலகல் (x) ஆகியவற்றை தீர்மானிக்கவும்; b) இந்த விநியோகத்தின் வரைபடத்தை உருவாக்கவும்.
xi 0 1 2 3 4 5 6
பை 0.02 0.38 0.30 0.16 0.08 0.04 0.02
பணி 3.கொடுக்கப்பட்ட விநியோகத் தொடருடன் கூடிய சீரற்ற மாறி X க்கு
-1 0 1 8
0.2 0.1 $р_1$ $р_2$
A) $p_1$ மற்றும் $p_2$ ஆகியவற்றைக் கண்டறியவும், அதனால் $M(X)=0.5$
B) இதற்குப் பிறகு, $X$ என்ற சீரற்ற மாறியின் கணித எதிர்பார்ப்பு மற்றும் மாறுபாட்டைக் கணக்கிட்டு அதன் விநியோகச் செயல்பாட்டைத் திட்டமிடவும்.
பணி 4.தனித்துவமான SV $X$ இரண்டு மதிப்புகளை மட்டுமே எடுக்க முடியும்: $x_1$ மற்றும் $x_2$, மற்றும் $x_1 \lt x_2$. சாத்தியமான மதிப்பின் நிகழ்தகவு $P$, கணித எதிர்பார்ப்பு $M(x)$ மற்றும் $D(x)$ மாறுபாடு ஆகியவை அறியப்படுகின்றன. கண்டுபிடி: 1) இந்த சீரற்ற மாறியின் விநியோக விதி; 2) SV விநியோக செயல்பாடு $X$; 3) $F(x)$ இன் வரைபடத்தை உருவாக்கவும்.
$P=0.3; M(x)=6.6; D(x)=13.44.$
பணி 5.சீரற்ற மாறி X மூன்று மதிப்புகளை எடுக்கும்: 2, 4 மற்றும் 6. $M(X)=4.2$, $D(X)=1.96$ எனில் இந்த மதிப்புகளின் நிகழ்தகவுகளைக் கண்டறியவும்.
பணி 6.தனித்துவமான r.v இன் தொடர் விநியோகம் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. $X$. r.v இன் நிலை மற்றும் சிதறலின் எண் பண்புகளைக் கண்டறியவும். $X$. m.o. கண்டுபிடி. மற்றும் சிதறல் ஆர்.வி. $Y=X/2-2$, r.v விநியோகத் தொடரை எழுதாமல். $Y$, உருவாக்கும் செயல்பாட்டைப் பயன்படுத்தி முடிவைச் சரிபார்க்கவும்.
r.v விநியோக செயல்பாட்டை உருவாக்கவும். $X$.
¦ x¦ 8 ¦ 12 ¦ 18 ¦ 24 ¦ 30 ¦
¦ p¦ 0.3¦ 0.1¦ 0.3¦ 0.2¦ 0.1¦
பணி 7.$X$ என்ற தனித்த சீரற்ற மாறியின் விநியோகம் பின்வரும் அட்டவணையில் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது (விநியோக வரிசை):
-6 3 9 15
0,40 0,30 ? 0,10
விநியோக அட்டவணையில் விடுபட்ட மதிப்பைத் தீர்மானிக்கவும். விநியோகத்தின் முக்கிய எண் பண்புகளைக் கணக்கிடவும்: $M_x, D_x, \sigma_x$. $F(x)$ விநியோகச் செயல்பாட்டைக் கண்டுபிடித்து கட்டமைக்கவும். சீரற்ற மாறி $X$ பின்வரும் மதிப்புகளை எடுக்கும் நிகழ்தகவைத் தீர்மானிக்கவும்:
A) 6 க்கு மேல்,
B) 12 க்கும் குறைவாக,
சி) 9 க்கு மேல் இல்லை.
பணி 8.சிக்கலுக்கு கண்டறிதல் தேவை: அ) கணித எதிர்பார்ப்பு; b) சிதறல்; c) ஒரு அட்டவணையில் கொடுக்கப்பட்ட அதன் விநியோகத்தின் கொடுக்கப்பட்ட சட்டத்தின்படி ஒரு தனித்துவமான சீரற்ற மாறி X இன் நிலையான விலகல் (அட்டவணையின் முதல் வரிசை சாத்தியமான மதிப்புகளைக் குறிக்கிறது, இரண்டாவது வரிசை சாத்தியமான மதிப்புகளின் நிகழ்தகவுகளைக் குறிக்கிறது).
பணி 9.ஒரு தனித்துவமான சீரற்ற மாறி $X$ இன் விநியோக விதி கொடுக்கப்பட்டுள்ளது (முதல் வரி $x_i$ இன் சாத்தியமான மதிப்புகளைக் காட்டுகிறது, இரண்டாவது வரி $p_i$ இன் சாத்தியமான மதிப்புகளின் நிகழ்தகவுகளைக் காட்டுகிறது).
கண்டுபிடி:
A) கணித எதிர்பார்ப்பு $M(X)$, மாறுபாடு $D(X)$ மற்றும் நிலையான விலகல் $\sigma(X)$;
B) $F(x)$ என்ற சீரற்ற மாறியின் விநியோகச் செயல்பாட்டை உருவாக்கி அதன் வரைபடத்தை உருவாக்கவும்;
C) $F(x)$ என்ற தொகுக்கப்பட்ட விநியோகச் செயல்பாட்டைப் பயன்படுத்தி $x_2 \lt X \lt x_4$ இடைவெளியில் $X$ விழும் ஒரு சீரற்ற மாறியின் நிகழ்தகவைக் கணக்கிடுக;
D) $Y=100-2X$ மதிப்பிற்கு ஒரு விநியோகச் சட்டத்தை வரையவும்;
D) தொகுக்கப்பட்ட சீரற்ற மாறி $Y$ இன் கணித எதிர்பார்ப்பு மற்றும் மாறுபாட்டை இரண்டு வழிகளில் கணக்கிடுங்கள், அதாவது. பயன்படுத்திக் கொள்கிறது
கணித எதிர்பார்ப்பு மற்றும் சிதறலின் சொத்து, அதே போல் நேரடியாக $Y$ சீரற்ற மாறியின் விநியோகச் சட்டத்தின்படி.
10 20 30 40 50
0,1 0,2 0,1 0,2 0,4
பிரச்சனை 10.ஒரு தனித்த சீரற்ற மாறி ஒரு அட்டவணையில் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. 4வது வரிசையை உள்ளடக்கிய அதன் ஆரம்ப மற்றும் மையத் தருணங்களைக் கணக்கிடவும். $\xi \lt M\xi$, $\xi \ge M \xi$, $\xi \lt 1/2 M \xi$, $\xi \ge 1/2 M \xi நிகழ்வுகளின் நிகழ்தகவுகளைக் கண்டறியவும் $.
X 0 0.3 0.6 0.9 1.2
பி 0.2 0.4 0.2 0.1 0.1
