தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறி x கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. ஒரு தனித்த சீரற்ற மாறியின் விநியோக சட்டம்

9. தொடர்ச்சியான சீரற்ற மதிப்பு, அதன் எண் பண்புகள்

தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறியை இரண்டு செயல்பாடுகளைப் பயன்படுத்தி குறிப்பிடலாம். சீரற்ற மாறி X இன் ஒருங்கிணைந்த நிகழ்தகவு பரவல் செயல்பாடுசமத்துவத்தால் வரையறுக்கப்பட்ட செயல்பாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது
.

ஒருங்கிணைந்த செயல்பாடு கொடுக்கிறது பொது முறைதனித்த மற்றும் தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறிகள் இரண்டின் பணிகள். தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறியின் விஷயத்தில். அனைத்து நிகழ்வுகளும்: ஒரே நிகழ்தகவு, இந்த இடைவெளியில் உள்ள ஒருங்கிணைந்த செயல்பாட்டின் அதிகரிப்புக்கு சமம்

எனவே, பரிசீலனையில் உள்ள செயல்பாட்டின் ஒருங்கிணைந்த செயல்பாட்டின் வரைபடம் இரண்டு கதிர்கள் மற்றும் ஆக்ஸ் அச்சுக்கு இணையான மூன்று பிரிவுகளின் ஒன்றியமாகும்.

எடுத்துக்காட்டு 27. தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறி X என்பது ஒருங்கிணைந்த நிகழ்தகவு பரவல் செயல்பாட்டால் குறிப்பிடப்படுகிறது

.

ஒருங்கிணைந்த செயல்பாட்டின் வரைபடத்தை உருவாக்கி, சோதனையின் விளைவாக, சீரற்ற மாறி X இடைவெளியில் (0.5;1.5) மதிப்பை எடுக்கும் நிகழ்தகவைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு. இடைவெளியில்
வரைபடம் என்பது நேர்கோடு y = 0. 0 முதல் 2 வரையிலான இடைவெளியில் சமன்பாட்டால் கொடுக்கப்பட்ட ஒரு பரவளையம் உள்ளது
. இடைவெளியில்
வரைபடம் y = 1 என்ற நேர்கோடு.

சோதனையின் விளைவாக சீரற்ற மாறி X இடைவெளியில் (0.5;1.5) மதிப்பை எடுக்கும் நிகழ்தகவு சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கண்டறியப்படுகிறது.

இதனால், .

ஒருங்கிணைந்த நிகழ்தகவு பரவல் செயல்பாட்டின் பண்புகள்:

மற்றொரு செயல்பாட்டைப் பயன்படுத்தி தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறியின் விநியோக விதியைக் குறிப்பிடுவது வசதியானது, அதாவது, நிகழ்தகவு அடர்த்தி செயல்பாடுகள்
.

ரேண்டம் மாறி X ஆல் கருதப்படும் மதிப்பு இடைவெளிக்குள் வரும் நிகழ்தகவு
, சமத்துவத்தால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது
.

செயல்பாட்டின் வரைபடம் அழைக்கப்படுகிறது விநியோக வளைவு. வடிவியல் ரீதியாக, ஒரு சீரற்ற மாறி X இடைவெளியில் விழும் நிகழ்தகவு, விநியோக வளைவு, ஆக்ஸ் அச்சு மற்றும் நேர்கோடுகளால் கட்டுப்படுத்தப்பட்ட தொடர்புடைய வளைவு ட்ரேப்சாய்டின் பரப்பளவிற்கு சமம்.
.

நிகழ்தகவு அடர்த்தி செயல்பாட்டின் பண்புகள்:

9.1 தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறிகளின் எண் பண்புகள்

எதிர்பார்த்த மதிப்புதொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறி X இன் (சராசரி மதிப்பு) சமத்துவத்தால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது
.

M(X) என்பதன் மூலம் குறிக்கப்படுகிறது ஏ. தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறியின் கணித எதிர்பார்ப்பு இதைப் போன்றது தனித்த அளவு, பண்புகள்:

மாறுபாடுதனித்த சீரற்ற மாறி X அழைக்கப்படுகிறது எதிர்பார்க்கப்படும் மதிப்புஒரு சீரற்ற மாறி அதன் கணித எதிர்பார்ப்பில் இருந்து விலகும் சதுரம், அதாவது. . தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறிக்கு, மாறுபாடு சூத்திரத்தால் வழங்கப்படுகிறது
.

சிதறல் பின்வரும் பண்புகளைக் கொண்டுள்ளது:

தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறியின் மாறுபாட்டைக் கண்டறிய கடைசி சொத்து மிகவும் வசதியானது.

நிலையான விலகல் கருத்து இதேபோல் அறிமுகப்படுத்தப்பட்டது. தொடர்ச்சியின் நிலையான விலகல்சீரற்ற மாறி X மாறுபாட்டின் வர்க்கமூலம் என்று அழைக்கப்படுகிறது, அதாவது.
.

எடுத்துக்காட்டு 28. ஒரு தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறி X நிகழ்தகவு அடர்த்தி செயல்பாட்டால் குறிப்பிடப்படுகிறது
இடைவெளியில் (10;12), இந்த இடைவெளிக்கு வெளியே செயல்பாட்டின் மதிப்பு 0. கண்டுபிடி 1) அளவுருவின் மதிப்பு ஏ, 2) கணித எதிர்பார்ப்பு M(X), மாறுபாடு
, நிலையான விலகல், 3) ஒருங்கிணைந்த செயல்பாடு
மற்றும் ஒருங்கிணைந்த மற்றும் வேறுபட்ட செயல்பாடுகளின் வரைபடங்களை உருவாக்கவும்.

1) ஒரு அளவுருவைக் கண்டுபிடிக்க ஏசூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தவும்
. நாங்கள் அதைப் பெறுவோம். இதனால்,
.

2) கணித எதிர்பார்ப்பைக் கண்டறிய, நாம் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம்: , அதில் இருந்து அது பின்வருமாறு
.

சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி மாறுபாட்டைக் கண்டுபிடிப்போம்:
, அதாவது .

சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி நிலையான விலகலைக் கண்டுபிடிப்போம்: , அதில் இருந்து நாம் அதைப் பெறுகிறோம்
.

3) ஒருங்கிணைந்த செயல்பாடு நிகழ்தகவு அடர்த்தி செயல்பாட்டின் மூலம் பின்வருமாறு வெளிப்படுத்தப்படுகிறது:
. எனவே,
மணிக்கு
, = 0 மணிக்கு
u = 1 மணிக்கு
.

இந்த செயல்பாடுகளின் வரைபடங்கள் படத்தில் வழங்கப்பட்டுள்ளன. 4. மற்றும் அத்தி. 5.

படம்.4 படம்.5.

9.2 தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறியின் சீரான நிகழ்தகவு பரவல்

தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறி X இன் நிகழ்தகவு பரவல் சமமாகஇடைவெளியில் அதன் நிகழ்தகவு அடர்த்தி இந்த இடைவெளியில் நிலையானதாகவும் இந்த இடைவெளிக்கு வெளியே பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாகவும் இருந்தால், அதாவது. . இந்த விஷயத்தில் காட்டுவது எளிது
.

இடைவெளி என்றால்
இடைவெளியில் அடங்கியுள்ளது, பின்னர்
.

எடுத்துக்காட்டு 29.ஒரு மணி முதல் ஐந்து மணி வரை உடனடி சமிக்ஞை நிகழ்வு நிகழ வேண்டும். சிக்னல் காத்திருக்கும் நேரம் ஒரு சீரற்ற மாறி X. மதியம் இரண்டு முதல் மூன்று மணி வரை சமிக்ஞை கண்டறியப்படும் நிகழ்தகவைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு. சீரற்ற மாறி X ஒரு சீரான விநியோகத்தைக் கொண்டுள்ளது, மேலும் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி மதியம் 2 மணி முதல் 3 மணி வரை சமிக்ஞை இருப்பதற்கான நிகழ்தகவு சமமாக இருப்பதைக் காண்கிறோம்.
.

கல்வி மற்றும் பிற இலக்கியங்களில், அவை பெரும்பாலும் இலக்கியத்தில் குறிக்கப்படுகின்றன
.

9.3 தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறியின் இயல்பான நிகழ்தகவு பரவல்

தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறியின் நிகழ்தகவு பரவலானது அதன் நிகழ்தகவு பரவல் விதி நிகழ்தகவு அடர்த்தியால் தீர்மானிக்கப்பட்டால் அது இயல்பானது என்று அழைக்கப்படுகிறது.
. அத்தகைய அளவுகளுக்கு ஏ- எதிர்பார்க்கப்படும் மதிப்பு,
- நிலையான விலகல்.

தேற்றம். கொடுக்கப்பட்ட இடைவெளியில் பொதுவாக விநியோகிக்கப்படும் தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறியின் நிகழ்தகவு
சூத்திரத்தால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது
, எங்கே
- Laplace செயல்பாடு.

இந்த தேற்றத்தின் ஒரு தொடர்ச்சி மூன்று விதிசிக்மா, அதாவது. பொதுவாக விநியோகிக்கப்படும், தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறி X இடைவெளியில் அதன் மதிப்புகளை எடுக்கும் என்பது கிட்டத்தட்ட உறுதியானது
. இந்த விதியை சூத்திரத்தில் இருந்து பெறலாம்
, இது வடிவமைக்கப்பட்ட தேற்றத்தின் சிறப்பு வழக்கு.

எடுத்துக்காட்டு 30.டிவியின் செயல்பாட்டு வாழ்க்கை சீரற்ற மாறி X ஆகும், இது சாதாரண விநியோக சட்டத்திற்கு உட்பட்டது உத்தரவாத காலம் 15 ஆண்டுகள் மற்றும் 3 ஆண்டுகள் நிலையான விலகல். டிவி 10 முதல் 20 ஆண்டுகள் வரை நீடிக்கும் நிகழ்தகவைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு. சிக்கலின் நிலைமைகளின்படி, கணித எதிர்பார்ப்பு ஏ= 15, நிலையான விலகல்.

கண்டுபிடிப்போம் . இதனால், டிவி 10 முதல் 20 ஆண்டுகள் வரை செயல்படுவதற்கான நிகழ்தகவு 0.9 க்கும் அதிகமாக உள்ளது.

9.4 செபிஷேவின் சமத்துவமின்மை

நிகழும் செபிஷேவின் லெம்மா. ஒரு சீரற்ற மாறி X எதிர்மறை அல்லாத மதிப்புகளை மட்டுமே எடுத்து கணித எதிர்பார்ப்பைக் கொண்டிருந்தால், எந்த நேர்மறைக்கும் வி
.

அதைக் கருத்தில் கொண்டு, எதிர் நிகழ்வுகளின் நிகழ்தகவுகளின் கூட்டுத்தொகையாக, அதைப் பெறுகிறோம்
.

செபிஷேவின் தேற்றம். சீரற்ற மாறி X ஆனது வரையறுக்கப்பட்ட மாறுபாட்டைக் கொண்டிருந்தால்
மற்றும் கணித எதிர்பார்ப்பு M(X), பின்னர் எந்த நேர்மறைக்கும் சமத்துவமின்மை உண்மை
.

அது எங்கிருந்து பின்பற்றப்படுகிறது
.

எடுத்துக்காட்டு 31.ஒரு தொகுதி பாகங்கள் தயாரிக்கப்பட்டுள்ளன. பகுதிகளின் சராசரி நீளம் 100 செ.மீ., மற்றும் நிலையான விலகல் 0.4 செ.மீ. தற்செயலாக எடுக்கப்பட்ட ஒரு பகுதியின் நீளம் குறைந்தது 99 செ.மீ. இருக்கும் என்று நிகழ்தகவைக் கீழே இருந்து மதிப்பிடவும். மற்றும் 101cm க்கு மேல் இல்லை.

தீர்வு. மாறுபாடு. கணித எதிர்பார்ப்பு 100. எனவே, கேள்விக்குரிய நிகழ்வின் நிகழ்தகவைக் கீழே இருந்து மதிப்பிடுவது
செபிஷேவின் சமத்துவமின்மையைப் பயன்படுத்துவோம்
, பிறகு
.

10. கணித புள்ளியியல் கூறுகள்

புள்ளிவிவரத் தொகுப்புஒரே மாதிரியான பொருள்கள் அல்லது நிகழ்வுகளின் தொகுப்பிற்கு பெயரிடுங்கள். எண் பிஇந்த தொகுப்பின் கூறுகள் சேகரிப்பின் தொகுதி என்று அழைக்கப்படுகிறது. கவனிக்கப்பட்ட மதிப்புகள் X பண்பு அழைக்கப்படுகிறது விருப்பங்கள். விருப்பங்கள் அதிகரிக்கும் வரிசையில் அமைக்கப்பட்டிருந்தால், நாம் பெறுவோம் தனித்துவமான மாறுபாடு தொடர். குழுவாக்கும் விஷயத்தில், இடைவெளிகளின் மூலம் விருப்பம் மாறிவிடும் இடைவெளி மாறுபாடு தொடர். கீழ் அதிர்வெண் டிசிறப்பியல்பு மதிப்புகள் கொடுக்கப்பட்ட மாறுபாட்டுடன் மக்கள்தொகையின் உறுப்பினர்களின் எண்ணிக்கையைப் புரிந்துகொள்கின்றன.

புள்ளிவிவர மக்கள்தொகையின் அதிர்வெண் மற்றும் தொகுதி விகிதம் என்று அழைக்கப்படுகிறது தொடர்புடைய அதிர்வெண்அடையாளம்:
.

விருப்பங்களுக்கு இடையிலான உறவு மாறுபாடு தொடர்மற்றும் அவற்றின் அதிர்வெண்கள் அழைக்கப்படுகின்றன மாதிரியின் புள்ளிவிவர விநியோகம். புள்ளிவிவர விநியோகத்தின் வரைகலை பிரதிநிதித்துவம் இருக்கலாம் பலகோணம்அதிர்வெண்

எடுத்துக்காட்டு 32. 25 முதல் ஆண்டு மாணவர்களை ஆய்வு செய்ததன் மூலம், அவர்களின் வயது குறித்த பின்வரும் தகவல்கள் பெறப்பட்டன:
. எழுது புள்ளிவிவர விநியோகம்வயது அடிப்படையில் மாணவர்கள், மாறுபாட்டின் வரம்பைக் கண்டறிந்து, அதிர்வெண் பலகோணத்தை உருவாக்கி, தொடர்புடைய அதிர்வெண்களின் தொடர் விநியோகங்களைத் தொகுக்க வேண்டும்.

தீர்வு. கணக்கெடுப்பில் இருந்து பெறப்பட்ட தரவைப் பயன்படுத்தி, மாதிரியின் புள்ளிவிவர விநியோகத்தை உருவாக்குவோம்

மாறுபாடு மாதிரியின் வரம்பு 23 – 17 = 6. அதிர்வெண் பலகோணத்தை உருவாக்க, ஆயத்தொலைவுகளுடன் புள்ளிகளை உருவாக்கவும்
மற்றும் அவற்றை தொடரில் இணைக்கவும்.

தொடர்புடைய அதிர்வெண் விநியோகத் தொடர் வடிவம் கொண்டது:

10.1. மாறுபாடு தொடரின் எண்ணியல் பண்புகள்

அம்சம் X இன் அதிர்வெண் விநியோகங்களின் தொடர் மூலம் மாதிரி கொடுக்கப்படட்டும்:

அனைத்து அலைவரிசைகளின் கூட்டுத்தொகை சமம் பி.

மாதிரியின் எண்கணித சராசரிஅளவை பெயரிடுங்கள்
.

மாறுபாடுஅல்லது அதன் எண்கணித சராசரி தொடர்பாக ஒரு பண்பு X இன் மதிப்புகளின் பரவலின் அளவீடு மதிப்பு எனப்படும்.
. நிலையான விலகல் என்பது மாறுபாட்டின் வர்க்க மூலமாகும், அதாவது. .

மாதிரியின் எண்கணித சராசரிக்கு நிலையான விலகலின் விகிதம், ஒரு சதவீதமாக வெளிப்படுத்தப்படுகிறது, அழைக்கப்படுகிறது மாறுபாட்டின் குணகம்:
.

அனுபவ சார்பு அதிர்வெண் விநியோக செயல்பாடுஒவ்வொரு மதிப்பிற்கும் நிகழ்வின் ஒப்பீட்டு அதிர்வெண்ணைத் தீர்மானிக்கும் செயல்பாட்டை அழைக்கவும்
, அதாவது
, எங்கே - விருப்பங்களின் எண்ணிக்கை, சிறியது எக்ஸ், ஏ பி- மாதிரி அளவு.

எடுத்துக்காட்டு 33.எடுத்துக்காட்டு 32 இன் நிபந்தனைகளின் கீழ், எண் பண்புகளைக் கண்டறியவும்
.

தீர்வு. சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி மாதிரியின் எண்கணித சராசரியைக் கண்டுபிடிப்போம், பிறகு .

பண்பு X இன் மாறுபாடு சூத்திரத்தால் கண்டறியப்படுகிறது: , அதாவது . மாதிரியின் நிலையான விலகல்
. மாறுபாட்டின் குணகம்
.

10.2 தொடர்புடைய அதிர்வெண் மூலம் நிகழ்தகவு மதிப்பீடு. நம்பக இடைவெளியை

அது நிறைவேற்றப்படட்டும் பிசுயாதீன சோதனைகள், ஒவ்வொன்றிலும் நிகழ்வு A நிகழ்வதற்கான நிகழ்தகவு நிலையானது மற்றும் சமமானது ஆர். இந்த வழக்கில், ஒவ்வொரு சோதனையிலும் நிகழ்வு A நிகழ்வின் நிகழ்தகவுடன் தொடர்புடைய அதிர்வெண் மாறுபடும் நிகழ்தகவு, லாப்லேஸ் ஒருங்கிணைந்த செயல்பாட்டின் மதிப்பை விட தோராயமாக இரண்டு மடங்கு சமமாக இருக்கும்:
.

இடைவெளி மதிப்பீடுஅத்தகைய மதிப்பீட்டை அழைக்கவும், இது புள்ளியியல் மக்கள்தொகையின் மதிப்பிடப்பட்ட அளவுருவை உள்ளடக்கிய இடைவெளியின் முனைகளான இரண்டு எண்களால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது.

நம்பக இடைவெளியைகொடுக்கப்பட்ட இடைவெளி என்று அழைக்கப்படுகிறது நம்பிக்கை நிகழ்தகவு புள்ளிவிவர மக்கள்தொகையின் மதிப்பிடப்பட்ட அளவுருவை உள்ளடக்கியது. அறியப்படாத அளவை மாற்றும் சூத்திரத்தைக் கருத்தில் கொண்டு ஆர்அதன் தோராயமான மதிப்பு மாதிரி தரவுகளிலிருந்து பெறப்பட்டது, நாங்கள் பெறுகிறோம்:
. ஒப்பீட்டு அதிர்வெண் மூலம் நிகழ்தகவை மதிப்பிடுவதற்கு இந்த சூத்திரம் பயன்படுத்தப்படுகிறது. எண்கள்
மற்றும்
கீழ் மற்றும் முறையே மேல் என்று அழைக்கப்படுகிறது நம்பிக்கை எல்லைகள், - கொடுக்கப்பட்ட நம்பிக்கை நிகழ்தகவுக்கான அதிகபட்ச பிழை
.

எடுத்துக்காட்டு 34. தொழிற்சாலை பட்டறை ஒளி விளக்குகளை உற்பத்தி செய்கிறது. 625 விளக்குகளை சோதனை செய்தபோது, ​​40 விளக்குகள் பழுதடைந்திருப்பது கண்டறியப்பட்டது. 0.95 என்ற நம்பிக்கை நிகழ்தகவுடன், தொழிற்சாலைப் பட்டறையில் உற்பத்தி செய்யப்படும் குறைபாடுள்ள ஒளி விளக்குகளின் சதவீதம் எந்த எல்லைக்குள் உள்ளது என்பதைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு. பணியின் நிபந்தனைகளின்படி. நாங்கள் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம்
. பின்னிணைப்பின் அட்டவணை 2 ஐப் பயன்படுத்தி, வாதத்தின் மதிப்பைக் காண்கிறோம், இதில் லாப்லேஸ் ஒருங்கிணைந்த செயல்பாட்டின் மதிப்பு 0.475 க்கு சமம். நமக்கு அது கிடைக்கும்
. இதனால், . எனவே, 0.95 நிகழ்தகவுடன், பட்டறையால் உருவாக்கப்பட்ட குறைபாடுகளின் பங்கு அதிகமாக உள்ளது, அதாவது, இது 6.2% முதல் 6.6% வரை மாறுபடும்.

10.3 புள்ளிவிவரங்களில் அளவுரு மதிப்பீடு

ஆய்வின் கீழ் உள்ள மொத்த மக்கள்தொகையின் அளவு பண்பு X ஐ விடுங்கள் ( மக்கள் தொகை) அது உள்ளது சாதாரண விநியோகம்.

நிலையான விலகல் தெரிந்தால், பிறகு நம்பக இடைவெளியை, கணித எதிர்பார்ப்பை உள்ளடக்கியது ஏ

, எங்கே பி- மாதிரி அளவு, - மாதிரி எண்கணித சராசரி, டிஎன்பது லாப்லேஸ் ஒருங்கிணைந்த செயல்பாட்டின் வாதம்
. இந்த வழக்கில், எண்
கணிப்பு துல்லியம் என்று அழைக்கப்படுகிறது.

நிலையான விலகல் தெரியவில்லை என்றால், மாதிரித் தரவிலிருந்து மாணவர் விநியோகத்தைக் கொண்ட ஒரு சீரற்ற மாறியை உருவாக்க முடியும். பி- 1 டிகிரி சுதந்திரம், இது ஒரே ஒரு அளவுருவால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது பிமற்றும் தெரியாதவற்றைச் சார்ந்து இல்லை ஏமற்றும் . சிறிய மாதிரிகளுக்கு கூட மாணவர்களின் டி-விநியோகம்
மிகவும் திருப்திகரமான மதிப்பீடுகளை அளிக்கிறது. பின்னர் கணித எதிர்பார்ப்பை உள்ளடக்கிய நம்பிக்கை இடைவெளி ஏகொடுக்கப்பட்ட நம்பிக்கை நிகழ்தகவுடன் இந்த அம்சம் நிபந்தனையிலிருந்து கண்டறியப்படுகிறது

, S என்பது சரி செய்யப்பட்ட சராசரி சதுரம், - மாணவர்களின் குணகம், தரவுகளிலிருந்து கண்டறியப்பட்டது
பின்னிணைப்பின் அட்டவணை 3 இலிருந்து.

நம்பிக்கை நிகழ்தகவுடன் இந்த குணாதிசயத்தின் நிலையான விலகலை உள்ளடக்கிய நம்பிக்கை இடைவெளி சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி கண்டறியப்படுகிறது: மற்றும் , எங்கே
மதிப்புகளின் அட்டவணையில் இருந்து கண்டுபிடிக்கப்பட்டது கே படி .

10.4 சீரற்ற மாறிகளுக்கு இடையிலான சார்புகளைப் படிப்பதற்கான புள்ளிவிவர முறைகள்

X இல் Y இன் தொடர்பு சார்பு என்பது நிபந்தனை சராசரியின் செயல்பாட்டு சார்பு ஆகும் இருந்து எக்ஸ்.சமன்பாடு
X இல் Y இன் பின்னடைவு சமன்பாட்டைக் குறிக்கிறது, மற்றும்
- Y இல் X இன் பின்னடைவு சமன்பாடு.

தொடர்பு சார்பு நேரியல் அல்லது வளைவு இருக்க முடியும். நேரியல் தொடர்பு சார்பு நிலையில், நேர் பின்னடைவு கோட்டின் சமன்பாடு வடிவம் கொண்டது:
, அங்கு சாய்வு ஏ X இல் பின்னடைவு Y இன் நேர்கோடு X இல் மாதிரி பின்னடைவு குணகம் Y என அழைக்கப்படுகிறது மற்றும் குறிக்கப்படுகிறது
.

சிறிய மாதிரிகளுக்கு, தரவு குழுவாக இல்லை, அளவுருக்கள்
முறையின் படி காணப்படுகின்றன குறைந்தபட்ச சதுரங்கள்சாதாரண சமன்பாடுகளின் அமைப்பிலிருந்து:

, எங்கே பி- ஒன்றோடொன்று தொடர்புடைய அளவுகளின் ஜோடிகளின் மதிப்புகளின் அவதானிப்புகளின் எண்ணிக்கை.

தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட நேரியல் குணகம்தொடர்புகள் Y மற்றும் X இடையே உள்ள நெருங்கிய உறவைக் காட்டுகிறது. தொடர்பு குணகம் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கண்டறியப்படுகிறது
, மற்றும்
, அதாவது:

X இல் Y நேரான பின்னடைவு கோட்டின் மாதிரி சமன்பாடு வடிவம் கொண்டது:

.

X மற்றும் Y குணாதிசயங்களின் அதிக எண்ணிக்கையிலான அவதானிப்புகளுடன், ஒரே மதிப்புடன் இரண்டு உள்ளீடுகளுடன் ஒரு தொடர்பு அட்டவணை தொகுக்கப்படுகிறது. எக்ஸ்கவனிக்கப்பட்டது முறை, அதே அர்த்தம் மணிக்குகவனிக்கப்பட்டது முறை, அதே ஜோடி
கவனிக்கப்பட்டது ஒருமுறை.

எடுத்துக்காட்டு 35. X மற்றும் Y அறிகுறிகளின் அவதானிப்புகளின் அட்டவணை கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.

X இல் நேர் பின்னடைவு வரி Y இன் மாதிரி சமன்பாட்டைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு. ஆய்வு செய்யப்பட்ட குணாதிசயங்களுக்கிடையிலான உறவை X: இல் Y இன் நேர்கோட்டு பின்னடைவின் சமன்பாட்டின் மூலம் வெளிப்படுத்தலாம். சமன்பாட்டின் குணகங்களைக் கணக்கிட, கணக்கீட்டு அட்டவணையை உருவாக்குவோம்:

கவனிப்பு எண்.

அத்தியாயம் 6. தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறிகள்.

§ 1. தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறியின் அடர்த்தி மற்றும் விநியோக செயல்பாடு.

தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறியின் மதிப்புகளின் தொகுப்பு கணக்கிட முடியாதது மற்றும் பொதுவாக சில வரையறுக்கப்பட்ட அல்லது எல்லையற்ற இடைவெளியைக் குறிக்கிறது.

ஒரு நிகழ்தகவு இடத்தில் (W, S, P) வரையறுக்கப்பட்ட ஒரு சீரற்ற மாறி x(w) அழைக்கப்படுகிறது தொடர்ச்சியான(முற்றிலும் தொடர்ச்சியானது) W, எதிர்மறையான செயல்பாடு இருந்தால், எந்த x க்கும் Fx(x) விநியோகச் செயல்பாடு ஒரு ஒருங்கிணைந்ததாகக் குறிப்பிடப்படும்

செயல்பாடு ஒரு செயல்பாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது நிகழ்தகவு பரவல் அடர்த்தி.

வரையறையானது விநியோக அடர்த்தி செயல்பாட்டின் பண்புகளைக் குறிக்கிறது:

1..gif" width="97" height="51">

3. தொடர்ச்சியின் புள்ளிகளில், விநியோக அடர்த்தியானது விநியோகச் செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலுக்குச் சமம்: .

4. விநியோக அடர்த்தியானது ஒரு சீரற்ற மாறியின் விநியோக விதியை தீர்மானிக்கிறது, ஏனெனில் இது ஒரு சீரற்ற மாறி இடைவெளியில் விழும் நிகழ்தகவை தீர்மானிக்கிறது:

5. தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறி ஒரு குறிப்பிட்ட மதிப்பை எடுக்கும் நிகழ்தகவு பூஜ்ஜியம்: . எனவே, பின்வரும் சமத்துவங்கள் செல்லுபடியாகும்:

விநியோக அடர்த்தி செயல்பாட்டின் வரைபடம் அழைக்கப்படுகிறது விநியோக வளைவு, மற்றும் விநியோக வளைவு மற்றும் x-அச்சு ஆகியவற்றால் கட்டுப்படுத்தப்பட்ட பகுதி ஒற்றுமைக்கு சமம். பின்னர், வடிவியல் ரீதியாக, x0 புள்ளியில் உள்ள விநியோகச் செயல்பாட்டின் Fx(x) மதிப்பானது, விநியோக வளைவு மற்றும் x-அச்சு ஆகியவற்றால் கட்டுப்படுத்தப்பட்ட பகுதி மற்றும் புள்ளி x0 க்கு இடதுபுறமாக உள்ளது.

பணி 1.தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறியின் அடர்த்தி செயல்பாடு வடிவம் கொண்டது:

மாறிலி C ஐத் தீர்மானித்து, Fx(x) என்ற விநியோகச் செயல்பாட்டைக் கட்டமைத்து, நிகழ்தகவைக் கணக்கிடவும்.

தீர்வு. C நிலையானது நம்மிடம் உள்ள நிலையில் இருந்து காணப்படுகிறது:

எங்கிருந்து C=3/8.

Fx(x) விநியோகச் செயல்பாட்டைக் கட்டமைக்க, இடைவெளியானது வாதத்தின் மதிப்புகளின் வரம்பை x (எண் அச்சு) மூன்று பகுதிகளாகப் பிரிக்கிறது: https://pandia.ru/text/78/107/images/image017_17 .gif" width="264 " height="49">

அரை அச்சில் அடர்த்தி x பூஜ்ஜியமாக இருப்பதால். இரண்டாவது வழக்கில்

இறுதியாக, கடைசி வழக்கில், x>2,

அரை அச்சில் அடர்த்தி மறைந்து விடுவதால். எனவே, விநியோக செயல்பாடு பெறப்படுகிறது

நிகழ்தகவு சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடுவோம். இதனால்,

§ 2. தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறியின் எண்ணியல் பண்புகள்

எதிர்பார்த்த மதிப்புதொடர்ச்சியாக விநியோகிக்கப்படும் சீரற்ற மாறிகள் சூத்திரத்தால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது https://pandia.ru/text/78/107/images/image028_11.gif" width="205" height="56 src=">,

வலதுபுறத்தில் உள்ள ஒருங்கிணைப்பு முற்றிலும் ஒன்றிணைந்தால்.

சிதறல் x சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடலாம் , மேலும், தனித்தனி வழக்கைப் போலவே, சூத்திரத்தின்படி https://pandia.ru/text/78/107/images/image031_11.gif" width="123" height="49 src=">.

தனித்த சீரற்ற மாறிகளுக்கு அத்தியாயம் 5 இல் கொடுக்கப்பட்டுள்ள கணித எதிர்பார்ப்பு மற்றும் சிதறலின் அனைத்து பண்புகளும் தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறிகளுக்கு செல்லுபடியாகும்.

பிரச்சனை 2. சிக்கல் 1 இலிருந்து சீரற்ற மாறி x க்கு, கணித எதிர்பார்ப்பு மற்றும் மாறுபாட்டைக் கணக்கிடவும் .

தீர்வு.

மற்றும் அர்த்தம்

https://pandia.ru/text/78/107/images/image035_9.gif" width="184" height="69 src=">

அடர்த்தி வரைபடம் சீரான விநியோகம்பார்க்க அத்தி. .

படம்.6.2. விநியோக செயல்பாடு மற்றும் விநியோக அடர்த்தி. சீரான சட்டம்

சீராக விநியோகிக்கப்படும் சீரற்ற மாறியின் விநியோக செயல்பாடு Fx(x) சமமாக இருக்கும்

Fx(x)=

எதிர்பார்ப்பு மற்றும் மாறுபாடு; .

அதிவேக (அதிவேக) விநியோகம்.ரேண்டம் மாறியின் நிகழ்தகவு அடர்த்தி விநியோகம் சமமாக இருந்தால், ஒரு தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறி x எதிர்மறை அல்லாத மதிப்புகளை எடுக்கும் அளவுரு l>0 உடன் அதிவேகப் பரவலைக் கொண்டுள்ளது.

рx(x)=

அரிசி. 6.3 அதிவேக விதியின் விநியோக செயல்பாடு மற்றும் விநியோக அடர்த்தி.

அதிவேக விநியோகத்தின் பரவல் செயல்பாடு வடிவம் கொண்டது

Fx(x)=https://pandia.ru/text/78/107/images/image041_8.gif" width="17" height="41">.gif" width="13" height="15"> மற்றும் அதன் பரவல் அடர்த்தி சமமாக இருந்தால்

.

அளவுருக்கள் மற்றும் .

பொதுவாக விநியோகிக்கப்படும் சீரற்ற மாறியின் விநியோக செயல்பாடு சமமாக இருக்கும்

.

அரிசி. 6.4 விநியோக செயல்பாடு மற்றும் சாதாரண விநியோக அடர்த்தி

சாதாரண விநியோகத்தின் அளவுருக்கள் கணித எதிர்பார்ப்பு https://pandia.ru/text/78/107/images/image048_6.gif" width="64 height=24" height="24">

சிறப்பு வழக்கில் போது https://pandia.ru/text/78/107/images/image050_6.gif" width="44" height="21 src="> சாதாரண விநியோகம் என்று அழைக்கப்படுகிறது தரநிலை, மற்றும் அத்தகைய விநியோகங்களின் வகுப்பு https://pandia.ru/text/78/107/images/image052_6.gif" width="119" height="49"> ஆல் குறிக்கப்படுகிறது,

மற்றும் விநியோக செயல்பாடு

அத்தகைய ஒருங்கிணைப்பை பகுப்பாய்வு ரீதியாக கணக்கிட முடியாது (இது "குவாட்ரேச்சர்களில்" எடுக்கப்படவில்லை), எனவே செயல்பாட்டிற்காக அட்டவணைகள் தொகுக்கப்பட்டுள்ளன. இந்த செயல்பாடு அத்தியாயம் 4 இல் அறிமுகப்படுத்தப்பட்ட Laplace செயல்பாட்டுடன் தொடர்புடையது

,

பின்வரும் உறவின் மூலம் . தன்னிச்சையான அளவுரு மதிப்புகளின் விஷயத்தில் https://pandia.ru/text/78/107/images/image043_5.gif" width="21" height="21 src="> ஒரு சீரற்ற மாறியின் விநியோகச் செயல்பாடு, லாப்லேஸ் செயல்பாட்டுடன் தொடர்புடையது:

.

எனவே, பொதுவாக விநியோகிக்கப்படும் சீரற்ற மாறி ஒரு இடைவெளியில் விழும் நிகழ்தகவை சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடலாம்

.

எதிர்மறை அல்லாத சீரற்ற மாறி x அதன் மடக்கை h=lnx சாதாரண சட்டத்திற்குக் கீழ்ப்படிந்தால் அது lognormally distribution எனப்படும். lognormally விநியோகிக்கப்படும் சீரற்ற மாறியின் எதிர்பார்க்கப்படும் மதிப்பு மற்றும் மாறுபாடு Mx= மற்றும் Dx= ஆகும்.

பணி 3.ஒரு சீரற்ற மாறிக்கு https://pandia.ru/text/78/107/images/image065_5.gif" width="81" height="23"> வழங்கப்பட வேண்டும்.

தீர்வு.இங்கே https://pandia.ru/text/78/107/images/image068_5.gif" width="573" height="45">

Laplace விநியோகம் fx(x)=https://pandia.ru/text/78/107/images/image070_5.gif" width="23" height="41"> செயல்பாட்டின் மூலம் வழங்கப்படுகிறது மற்றும் குர்டோசிஸ் gx=3 ஆகும்.

படம்.6.5. Laplace விநியோக அடர்த்தி செயல்பாடு.

ரேண்டம் மாறி x பரவியது வெய்புல் சட்டம், அது https://pandia.ru/text/78/107/images/image072_5.gif" width="189" height="53">க்கு சமமான விநியோக அடர்த்தி செயல்பாடு இருந்தால்

வெய்புல் விநியோகமானது பல தொழில்நுட்ப சாதனங்களின் தோல்வி-இல்லாத செயல்பாட்டு நேரங்களை நிர்வகிக்கிறது. இந்த சுயவிவரத்தின் பணிகளில் முக்கியமான பண்புவயது t இன் ஆய்வு கூறுகளின் தோல்வி விகிதம் (இறப்பு விகிதம்) l(t) ஆகும், இது l(t)= உறவால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது. a=1 எனில், வெய்புல் பரவலானது அதிவேகப் பரவலாகவும், a=2 எனில் - விநியோகம் எனப்படும் ரேலி.

வெய்புல் விநியோகத்தின் கணித எதிர்பார்ப்பு: -https://pandia.ru/text/78/107/images/image075_4.gif" width="219" height="45 src=">, இங்கு Г(а) என்பது யூலர் செயல்பாடு.

IN பல்வேறு பணிகள்பயன்பாட்டு புள்ளிவிவரங்களில், "துண்டிக்கப்பட்ட" விநியோகங்கள் என்று அழைக்கப்படுபவை பெரும்பாலும் சந்திக்கப்படுகின்றன. எடுத்துக்காட்டாக, வரிச் சட்டங்களால் நிறுவப்பட்ட ஒரு குறிப்பிட்ட வரம்பு c0 ஐ விட ஆண்டு வருமானம் உள்ள தனிநபர்களின் வருமான விநியோகத்தில் வரி அதிகாரிகள் ஆர்வமாக உள்ளனர். இந்த விநியோகங்கள் பரேட்டோ விநியோகத்துடன் தோராயமாக ஒத்துப்போகின்றன. பரேட்டோ விநியோகம்செயல்பாடுகளால் வழங்கப்படுகிறது

Fx(x)=P(x .gif" width="44" height="25"> ஒரு சீரற்ற மாறி x மற்றும் ஒரு மோனோடோனிக் வேறுபட்ட செயல்பாடு ..gif" width="200" height="51">

இங்கே https://pandia.ru/text/78/107/images/image081_4.gif" width="60" height="21 src=">.

பணி 4.சீரற்ற மாறியானது பிரிவில் ஒரே சீராக விநியோகிக்கப்படுகிறது. சீரற்ற மாறியின் அடர்த்தியைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு.சிக்கல் நிலைமைகளில் இருந்து அது பின்வருமாறு

அடுத்து, செயல்பாடு ஒரு மோனோடோன் மற்றும் ஒரு இடைவெளியில் வேறுபடுத்தக்கூடிய செயல்பாடு மற்றும் ஒரு தலைகீழ் செயல்பாடு உள்ளது , அதன் வழித்தோன்றல் எனவே,

§ 5. தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறிகளின் ஜோடி

இரண்டு தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறிகள் x மற்றும் h கொடுக்கப்பட வேண்டும். பின்னர் ஜோடி (x, h) விமானத்தில் ஒரு "சீரற்ற" புள்ளியை வரையறுக்கிறது. ஜோடி (x, h) அழைக்கப்படுகிறது சீரற்ற திசையன்அல்லது இரு பரிமாண சீரற்ற மாறி.

கூட்டு விநியோக செயல்பாடுசீரற்ற மாறிகள் x மற்றும் h மற்றும் செயல்பாடு F(x, y)=Phttps://pandia.ru/text/78/107/images/image093_3.gif" width="173" height="25"> என அழைக்கப்படுகிறது. கூட்டு அடர்த்திசீரற்ற மாறிகள் x மற்றும் h இன் நிகழ்தகவு விநியோகம் ஒரு செயல்பாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது .

கூட்டு விநியோக அடர்த்தியின் இந்த வரையறையின் பொருள் பின்வருமாறு. ஒரு "ரேண்டம் பாயிண்ட்" (x, h) ஒரு விமானத்தில் ஒரு பகுதியில் விழும் நிகழ்தகவு முப்பரிமாண உருவத்தின் கன அளவாக கணக்கிடப்படுகிறது - மேற்பரப்பால் கட்டுப்படுத்தப்பட்ட "வளைவு" உருளை https://pandia.ru/ text/78/107/images/image098_3 அகலம்="211" உயரம்="39 src=">

இரண்டு சீரற்ற மாறிகளின் கூட்டு விநியோகத்தின் எளிய உதாரணம் இரு பரிமாணமாகும் தொகுப்பில் சீரான விநியோகம்ஏ. ஒரு வரம்பிற்குட்பட்ட தொகுதி M ஆனது, பின்வரும் கூட்டு அடர்த்தியால் வரையறுக்கப்பட்ட ஜோடியின் (x, h) பரவலாக வரையறுக்கப்படுகிறது.

பணி 5.இரு பரிமாண சீரற்ற திசையன் (x, h) முக்கோணத்திற்குள் ஒரே சீராக விநியோகிக்கப்படட்டும். சமமின்மையின் நிகழ்தகவைக் கணக்கிடவும் x>h.

தீர்வு.சுட்டிக்காட்டப்பட்ட முக்கோணத்தின் பரப்பளவு சமம் (படம் எண்.? பார்க்கவும்). இரு பரிமாண சீரான விநியோகத்தின் வரையறையின் அடிப்படையில், சீரற்ற மாறிகள் x, h ஆகியவற்றின் கூட்டு அடர்த்தி சமம்

ஒரு நிகழ்வு ஒரு தொகுப்பிற்கு ஒத்திருக்கிறது ஒரு விமானத்தில், அதாவது ஒரு அரை விமானம். பின்னர் நிகழ்தகவு

அரை-தளம் B இல், https://pandia.ru/text/78/107/images/image102_2.gif" width="15" height="17">க்கு வெளியே கூட்டு அடர்த்தி பூஜ்ஜியமாகும். எனவே, அரை-விமானம் B இரண்டு தொகுப்புகளாக பிரிக்கப்பட்டுள்ளது மற்றும் https://pandia.ru/text/78/107/images/image110_1.gif" width="17" height="23"> மற்றும் , மற்றும் இரண்டாவது ஒருங்கிணைப்பு சமம் பூஜ்ஜியம், அங்கு கூட்டு அடர்த்தி பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருப்பதால். அதனால் தான்

ஒரு ஜோடிக்கான கூட்டுப் பரவல் அடர்த்தி (x, h) கொடுக்கப்பட்டால், x மற்றும் h ஆகிய இரு கூறுகளின் அடர்த்தியும் அழைக்கப்படுகிறது. தனிப்பட்ட அடர்த்திமற்றும் சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடப்படுகிறது:

https://pandia.ru/text/78/107/images/image116_1.gif" width="224" height="23 src=">

rx(х), рh(у) அடர்த்தி கொண்ட சீரற்ற மாறிகள் தொடர்ச்சியாக விநியோகிக்கப்பட்டால், சுதந்திரம் என்பது

பணி 6.முந்தைய சிக்கலின் நிலைமைகளில், சீரற்ற திசையன் x மற்றும் h இன் கூறுகள் சுயாதீனமானதா என்பதை தீர்மானிக்கவும்?

தீர்வு. பகுதி அடர்த்தி மற்றும் . எங்களிடம் உள்ளது:

https://pandia.ru/text/78/107/images/image119_1.gif" width="283" height="61 src=">

வெளிப்படையாக, எங்கள் விஷயத்தில் https://pandia.ru/text/78/107/images/image121_1.gif" width="64" height="25"> என்பது x மற்றும் h அளவுகளின் கூட்டு அடர்த்தி மற்றும் j( x, y) என்பது இரண்டு வாதங்களின் செயல்பாடாகும்

https://pandia.ru/text/78/107/images/image123_1.gif" width="184" height="152 src=">

பணி 7.முந்தைய சிக்கலின் நிலைமைகளில், கணக்கிடுங்கள்.

தீர்வு.மேலே உள்ள சூத்திரத்தின் படி எங்களிடம் உள்ளது:

.

முக்கோணத்தைக் குறிக்கும்

https://pandia.ru/text/78/107/images/image127_1.gif" width="479" height="59">

§ 5. இரண்டு தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறிகளின் கூட்டுத்தொகையின் அடர்த்தி

x மற்றும் h ஆகியவை அடர்த்தியுடன் கூடிய சுயாதீன சீரற்ற மாறிகளாக இருக்கட்டும் https://pandia.ru/text/78/107/images/image128_1.gif" width="43" height="25">. சீரற்ற மாறியின் அடர்த்தி x + h என்பது சூத்திரத்தால் கணக்கிடப்படுகிறது வளைவு

https://pandia.ru/text/78/107/images/image130_0.gif" width="39" height="19 src=">. தொகையின் அடர்த்தியைக் கணக்கிடவும்.

தீர்வு. x மற்றும் h அளவுருவுடன் அதிவேக விதியின்படி விநியோகிக்கப்படுவதால், அவற்றின் அடர்த்தி சமமாக இருக்கும்

எனவே,

https://pandia.ru/text/78/107/images/image134_0.gif" width="339 height=51" height="51">

x என்றால்<0, то в этой формуле аргумент https://pandia.ru/text/78/107/images/image136_0.gif" width="65" height="25">எதிர்மறையானது, எனவே . எனவே, https://pandia.ru/text/78/107/images/image140_0.gif" width="359 height=101" height="101"> எனில்

எனவே எங்களுக்கு பதில் கிடைத்தது:

https://pandia.ru/text/78/107/images/image142_0.gif" width="40" height="41 "> பொதுவாக 0 மற்றும் 1 அளவுருக்களுடன் விநியோகிக்கப்படுகிறது. ரேண்டம் மாறிகள் x1 மற்றும் x2 ஆகியவை சுயாதீனமானவை மற்றும் சாதாரண விநியோகங்களைக் கொண்டுள்ளன x1 + x2 அளவுருக்கள் முறையே x1, x2, ... xn ஆகியவை பொதுவான விநியோகத்தைக் கொண்டுள்ளன மற்றும் அதே விநியோக அடர்த்தி செயல்பாட்டைக் கொண்டுள்ளன.

.

மதிப்புகளின் விநியோகத்தின் பரவல் செயல்பாடு மற்றும் அடர்த்தியைக் கண்டறியவும்:

a) h1 = நிமிடம் (x1, x2, ...xn) ; b) h(2) = அதிகபட்சம் (x1,x2, ... xn)

சீரற்ற மாறிகள் x1, x2, ... xn ஆகியவை சுயாதீனமானவை மற்றும் [a, b] இடைவெளியில் ஒரே மாதிரியாக விநியோகிக்கப்படுகின்றன. அளவுகளின் விநியோகங்களின் விநியோக செயல்பாடுகள் மற்றும் அடர்த்தி செயல்பாடுகளைக் கண்டறியவும்

x(1) = நிமிடம் (x1,x2, ... xn) மற்றும் x(2)= அதிகபட்சம்(x1, x2, ...xn).

Mhttps://pandia.ru/text/78/107/images/image147_0.gif" width="176" height="47"> என்பதை நிரூபிக்கவும்.

சீரற்ற மாறி Cauchy சட்டத்தின் படி விநியோகிக்கப்படுகிறது கண்டுபிடி: a) குணகம் a; b) விநியோக செயல்பாடு; c) இடைவெளியில் விழும் நிகழ்தகவு (-1, 1). x இன் கணித எதிர்பார்ப்பு இல்லை என்பதைக் காட்டு. ரேண்டம் மாறி லாப்லேஸ் விதிக்கு உட்பட்டது l (l>0) அளவுருவுடன்: குணகத்தைக் கண்டுபிடி a; விநியோக அடர்த்தி வரைபடங்கள் மற்றும் விநியோக செயல்பாடுகளை உருவாக்குதல்; Mx மற்றும் Dx ஐக் கண்டறியவும்; நிகழ்வுகளின் நிகழ்தகவுகளைக் கண்டறியவும் (|x|< и {çxç<}. Случайная величина x подчинена закону Симпсона на отрезке [-а, а], т. е. график её плотности распределения имеет вид:

விநியோக அடர்த்திக்கான சூத்திரத்தை எழுதவும், Mx மற்றும் Dx ஐக் கண்டறியவும்.

கணக்கீட்டு பணிகள்.

ஒரு சீரற்ற புள்ளி A ஆனது R ஆரம் வட்டத்தில் சீரான விநியோகத்தைக் கொண்டுள்ளது. வட்டத்தின் மையத்திற்கான புள்ளியின் தூரம் r இன் கணித எதிர்பார்ப்பு மற்றும் மாறுபாட்டைக் கண்டறியவும். r2 மதிப்பானது பிரிவில் ஒரே சீராக விநியோகிக்கப்படுவதைக் காட்டு.

சீரற்ற மாறியின் பரவல் அடர்த்தி வடிவம் கொண்டது:

மாறிலி C, விநியோக செயல்பாடு F(x) மற்றும் நிகழ்தகவு ஆகியவற்றைக் கணக்கிடவும் சீரற்ற மாறியின் பரவல் அடர்த்தி வடிவம் கொண்டது:

மாறிலி C, விநியோக செயல்பாடு F(x) மற்றும் நிகழ்தகவு ஆகியவற்றைக் கணக்கிடவும் சீரற்ற மாறியின் பரவல் அடர்த்தி வடிவம் கொண்டது:
நிலையான C ஐக் கணக்கிடவும், F(x), , மாறுபாடு மற்றும் நிகழ்தகவு ஒரு பரவல் செயல்பாட்டைக் கொண்டுள்ளது

சீரற்ற மாறியின் அடர்த்தியைக் கணக்கிடவும், கணித எதிர்பார்ப்பு, மாறுபாடு மற்றும் நிகழ்தகவு செயல்பாடு = என்பதைச் சரிபார்க்கவும்
ஒரு சீரற்ற மாறியின் பரவல் செயல்பாடாக இருக்கலாம். இந்த அளவின் எண் பண்புகளைக் கண்டறியவும்: Mx மற்றும் Dx. சீரற்ற மாறியானது பிரிவில் ஒரே சீராக விநியோகிக்கப்படுகிறது. விநியோக அடர்த்தியை எழுதுங்கள். விநியோக செயல்பாட்டைக் கண்டறியவும். ஒரு சீரற்ற மாறியின் நிகழ்தகவு பிரிவு மற்றும் பிரிவின் மீது விழும். விநியோக அடர்த்தி x சமம்

.

மாறிலி c, பரவல் அடர்த்தி h = மற்றும் நிகழ்தகவு ஆகியவற்றைக் கண்டறியவும்

பி (0.25

ஒரு கணினியின் தோல்வி-இல்லாத செயல்பாட்டு நேரம், அளவுரு l = 0.05 (ஒரு மணி நேரத்திற்கு தோல்விகள்) கொண்ட அதிவேக விதியின் படி விநியோகிக்கப்படுகிறது, அதாவது, இது ஒரு அடர்த்தி செயல்பாட்டைக் கொண்டுள்ளது.

p(x) = .

ஒரு குறிப்பிட்ட சிக்கலைத் தீர்க்க, 15 நிமிடங்களுக்கு இயந்திரத்தின் சிக்கல் இல்லாத செயல்பாடு தேவைப்படுகிறது. ஒரு சிக்கலைத் தீர்க்கும் போது தோல்வி ஏற்பட்டால், தீர்வு முடிந்த பின்னரே பிழை கண்டறியப்பட்டு, சிக்கல் மீண்டும் தீர்க்கப்படும். கண்டுபிடி: அ) பிரச்சனையின் தீர்வின் போது ஒரு தோல்வி கூட ஏற்படாத நிகழ்தகவு; b) பிரச்சனை தீர்க்கப்படும் சராசரி நேரம்.

24 செமீ நீளமுள்ள ஒரு கம்பி இரண்டு பகுதிகளாக உடைக்கப்படுகிறது; பிரேக் பாயிண்ட் தடியின் முழு நீளத்திலும் சமமாக விநியோகிக்கப்படுகிறது என்று நாங்கள் கருதுவோம். பெரும்பாலான தடியின் சராசரி நீளம் என்ன? 12 செமீ நீளமுள்ள ஒரு துண்டு தோராயமாக இரண்டு பகுதிகளாக வெட்டப்படுகிறது. வெட்டுப் புள்ளி பிரிவின் முழு நீளத்திலும் சமமாக விநியோகிக்கப்படுகிறது. பிரிவின் சிறிய பகுதியின் சராசரி நீளம் என்ன? சீரற்ற மாறியானது பிரிவில் ஒரே சீராக விநியோகிக்கப்படுகிறது. சீரற்ற மாறியின் பரவல் அடர்த்தியைக் கண்டறியவும் a) h1 = 2x + 1; b) h2 =-ln(1-x); c) h3 = .

x தொடர்ச்சியான விநியோகச் செயல்பாட்டைக் கொண்டிருந்தால் என்பதைக் காட்டு

F(x) = P(x

பிரிவுகளில் சீரான விநியோகச் சட்டங்கள் மற்றும் முறையே x மற்றும் h ஆகிய இரண்டு சார்பற்ற அளவுகளின் தொகையின் அடர்த்தி செயல்பாடு மற்றும் விநியோகச் செயல்பாட்டைக் கண்டறியவும். சீரற்ற மாறிகள் x மற்றும் h ஆகியவை தனித்தனியாகவும், பிரிவுகளில் சீராக விநியோகிக்கப்படுகின்றன. x+h தொகையின் அடர்த்தியைக் கணக்கிடவும். சீரற்ற மாறிகள் x மற்றும் h ஆகியவை தனித்தனியாகவும் பிரிவுகளில் சீராக விநியோகிக்கப்படுகின்றன மற்றும் முறையே. x+h தொகையின் அடர்த்தியைக் கணக்கிடவும். சீரற்ற மாறிகள் x மற்றும் h ஆகியவை தனித்தனியாகவும் பிரிவுகளில் சீராக விநியோகிக்கப்படுகின்றன மற்றும் முறையே. x+h தொகையின் அடர்த்தியைக் கணக்கிடவும். சீரற்ற மாறிகள் சுயாதீனமானவை மற்றும் அடர்த்தியுடன் கூடிய அதிவேகப் பரவலைக் கொண்டுள்ளன . அவற்றின் தொகையின் பரவல் அடர்த்தியைக் கண்டறியவும். சார்பற்ற சீரற்ற மாறிகள் x மற்றும் h ஆகியவற்றின் தொகையின் பரவலைக் கண்டறியவும், அங்கு x இடைவெளியில் ஒரு சீரான பரவலைக் கொண்டுள்ளது, மேலும் h அளவுரு l உடன் அதிவேக விநியோகத்தைக் கொண்டுள்ளது. பி கண்டுபிடிக்கவும் , x இருந்தால்: a) a மற்றும் s2 அளவுருக்கள் கொண்ட இயல்பான விநியோகம்; b) அளவுரு l உடன் அதிவேக விநியோகம்; c) பிரிவில் [-1;1] சீரான விநியோகம். x, h இன் கூட்டுப் பரவலானது சதுர சீருடையது
K = (x, y): |x| +|y|£ 2). நிகழ்தகவைக் கண்டறியவும் . x மற்றும் h ஆகியவை சுயாதீனமானதா? ஒரு ஜோடி சீரற்ற மாறிகள் x மற்றும் h ஆகியவை K= முக்கோணத்திற்குள் ஒரே மாதிரியாக விநியோகிக்கப்படுகின்றன. x மற்றும் h அடர்த்தியைக் கணக்கிடவும். இந்த சீரற்ற மாறிகள் சுயாதீனமானதா? நிகழ்தகவைக் கண்டறியவும். ரேண்டம் மாறிகள் x மற்றும் h ஆகியவை சுயாதீனமானவை மற்றும் பிரிவுகளில் ஒரே சீராக விநியோகிக்கப்படுகின்றன மற்றும் [-1,1]. நிகழ்தகவைக் கண்டறியவும். இரு பரிமாண சீரற்ற மாறி (x, h) செங்குத்துகள் (2,0), (0,2), (-2, 0), (0,-2) கொண்ட ஒரு சதுரத்தில் ஒரே மாதிரியாக விநியோகிக்கப்படுகிறது. புள்ளியில் (1, -1) கூட்டு விநியோகச் செயல்பாட்டின் மதிப்பைக் கண்டறியவும். ஒரு சீரற்ற திசையன் (x, h) ஆரம் 3 வட்டத்திற்குள் ஒரே மாதிரியாக விநியோகிக்கப்படுகிறது. கூட்டுப் பரவல் அடர்த்திக்கான வெளிப்பாட்டை எழுதவும். இந்த சீரற்ற மாறிகள் சார்ந்துள்ளதா என்பதைத் தீர்மானிக்கவும். நிகழ்தகவைக் கணக்கிடுங்கள். ஒரு ஜோடி சீரற்ற மாறிகள் x மற்றும் h ஆகியவை ஒரு ட்ரேப்சாய்டுக்குள் ஒரே மாதிரியான புள்ளிகளில் (-6,0), (-3,4), (3,4), (6,0) செங்குத்துகளுடன் விநியோகிக்கப்படுகின்றன. இந்த ஜோடி சீரற்ற மாறிகளின் கூட்டுப் பரவல் அடர்த்தி மற்றும் கூறுகளின் அடர்த்தியைக் கண்டறியவும். x மற்றும் h சார்புடையதா? ஒரு சீரற்ற ஜோடி (x, h) ஒரு அரை வட்டத்திற்குள் ஒரே மாதிரியாக விநியோகிக்கப்படுகிறது. x மற்றும் h அடர்த்திகளைக் கண்டறிந்து, அவற்றின் சார்பு பற்றிய கேள்வியை ஆராயுங்கள். x மற்றும் h ஆகிய இரண்டு சீரற்ற மாறிகளின் கூட்டு அடர்த்தி சமம் .
x, h அடர்த்திகளைக் கண்டறியவும். x மற்றும் h இன் சார்பு பற்றிய கேள்வியை ஆராயுங்கள். ஒரு சீரற்ற ஜோடி (x, h) தொகுப்பில் ஒரே மாதிரியாக விநியோகிக்கப்படுகிறது. x மற்றும் h அடர்த்திகளைக் கண்டறிந்து, அவற்றின் சார்பு பற்றிய கேள்வியை ஆராயுங்கள். M(xh)ஐக் கண்டறியவும். ரேண்டம் மாறிகள் x மற்றும் h ஆகியவை சுயாதீனமானவை மற்றும் Find என்ற அளவுருவுடன் கூடிய அதிவேக விதியின்படி விநியோகிக்கப்படுகின்றன

விநியோக செயல்பாடுசீரற்ற மாறி எக்ஸ்ஒரு செயல்பாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது எஃப்(எக்ஸ்), ஒவ்வொன்றிற்கும் வெளிப்படுத்துகிறது எக்ஸ்ரேண்டம் மாறி நிகழ்தகவு எக்ஸ்விட குறைவான மதிப்பை எடுக்கும் எக்ஸ்:.

செயல்பாடு எஃப்(எக்ஸ்) சில நேரங்களில் அழைக்கப்படுகிறது ஒருங்கிணைந்த விநியோக செயல்பாடு,அல்லது விநியோகத்தின் ஒருங்கிணைந்த சட்டம்.

சீரற்ற மதிப்பு எக்ஸ்அழைக்கப்பட்டது தொடர்ச்சியான, அதன் விநியோகச் செயல்பாடு எந்தப் புள்ளியிலும் தொடர்ச்சியாகவும் எல்லா இடங்களிலும் வேறுபடக்கூடியதாகவும் இருந்தால், ஒருவேளை, தனிப்பட்ட புள்ளிகளைத் தவிர.

எடுத்துக்காட்டுகள்தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறிகள்: டர்னர் கொடுக்கப்பட்ட அளவிற்கு மாறும் பகுதியின் விட்டம், ஒரு நபரின் உயரம், ஒரு எறிபொருளின் விமான வரம்பு போன்றவை.

தேற்றம்.தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறியின் தனிப்பட்ட மதிப்பின் நிகழ்தகவு பூஜ்ஜியமாகும்

.

விளைவு.என்றால் எக்ஸ்ஒரு தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறி, பின்னர் சீரற்ற மாறி இடைவெளியில் விழும் நிகழ்தகவு
இந்த இடைவெளி திறந்ததா அல்லது மூடப்பட்டதா என்பதைப் பொறுத்தது அல்ல, அதாவது.

தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறி என்றால் எக்ஸ்இடையே மதிப்புகளை மட்டுமே எடுக்க முடியும் ஏமுன் பி(எங்கே ஏமற்றும் பி- சில மாறிலிகள்), பின்னர் அதன் விநியோக செயல்பாடு அனைத்து மதிப்புகளுக்கும் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம்
மற்றும் மதிப்புகளுக்கான அலகு
.

தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறிக்கு

தனித்த சீரற்ற மாறிகளின் விநியோகச் செயல்பாடுகளின் அனைத்துப் பண்புகளும் தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறிகளின் விநியோகச் செயல்பாடுகளுக்கும் திருப்தி அளிக்கின்றன.

விநியோகச் செயல்பாட்டைப் பயன்படுத்தி தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறியைக் குறிப்பிடுவது ஒரே வழி அல்ல.

நிகழ்தகவு அடர்த்தி (விநியோக அடர்த்திஅல்லது அடர்த்தி) ஆர்(எக்ஸ்) தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறி எக்ஸ்அதன் பரவல் செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் என்று அழைக்கப்படுகிறது

.

நிகழ்தகவு அடர்த்தி ஆர்(எக்ஸ்), அத்துடன் விநியோக செயல்பாடு எஃப்(எக்ஸ்), விநியோகச் சட்டத்தின் வடிவங்களில் ஒன்றாகும், ஆனால் விநியோகச் செயல்பாட்டைப் போலல்லாமல், இது மட்டுமே உள்ளது தொடர்ச்சியானசீரற்ற மாறிகள்.

நிகழ்தகவு அடர்த்தி சில நேரங்களில் அழைக்கப்படுகிறது வேறுபட்ட செயல்பாடு, அல்லது வேறுபட்ட விநியோக சட்டம்.

நிகழ்தகவு அடர்த்தி வரைபடம் ஒரு விநியோக வளைவு என்று அழைக்கப்படுகிறது.

பண்புகள்தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறியின் நிகழ்தகவு அடர்த்தி:

அரிசி. 8.1

அரிசி. 8.2

4.
.

வடிவியல் ரீதியாக, நிகழ்தகவு அடர்த்தியின் பண்புகள் அதன் வரைபடம் - விநியோக வளைவு - abscissa அச்சுக்குக் கீழே இல்லை, மேலும் விநியோக வளைவு மற்றும் abscissa அச்சு ஆகியவற்றால் கட்டுப்படுத்தப்பட்ட உருவத்தின் மொத்த பரப்பளவு ஒன்றுக்கு சமம்.

எடுத்துக்காட்டு 8.1.மின் கடிகாரத்தின் நிமிட முள் ஒவ்வொரு நிமிடமும் தாவி நகர்கிறது. உங்கள் கைக்கடிகாரத்தைப் பார்த்தீர்கள். காட்டுகிறார்கள் ஏநிமிடங்கள். உங்களுக்கு ஒரு குறிப்பிட்ட தருணத்தில் உண்மையான நேரம் ஒரு சீரற்ற மாறியாக இருக்கும். அதன் விநியோக செயல்பாட்டைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு.வெளிப்படையாக, உண்மையான நேர விநியோக செயல்பாடு அனைவருக்கும் 0 க்கு சமம்
மற்றும் அலகு
. நேரம் சீராக ஓடுகிறது. எனவே, உண்மையான நேரம் குறைவாக இருப்பதற்கான நிகழ்தகவு ஏ+ 0.5 நிமிடம், 0.5க்கு சமம், ஏனெனில் அது கடந்து சென்றதா என்பது சமமாக சாத்தியமாகும் ஏகுறைவாக அல்லது அரை நிமிடத்திற்கு மேல். உண்மையான நேரம் குறைவாக இருப்பதற்கான நிகழ்தகவு ஏ+ 0.25 நிமிடம், 0.25க்கு சமம் (இந்த நேரத்தின் நிகழ்தகவு உண்மையான நேரம் அதிகமாக இருக்கும் நிகழ்தகவை விட மூன்று மடங்கு குறைவு ஏ+ 0.25 நிமிடம், மற்றும் அவற்றின் கூட்டுத்தொகை ஒன்றுக்கு சமம், எதிர் நிகழ்வுகளின் நிகழ்தகவுகளின் கூட்டுத்தொகை). இதேபோல் நியாயப்படுத்தினால், உண்மையான நேரம் குறைவாக இருப்பதற்கான நிகழ்தகவு இருப்பதைக் காண்கிறோம் ஏ+ 0.6 நிமிடம், 0.6க்கு சமம். பொதுவாக, உண்மையான நேரம் குறைவாக இருப்பதற்கான நிகழ்தகவு ஏ + + α நிமிடம்
, சமமாக உள்ளது α . எனவே, உண்மையான நேர விநியோக செயல்பாடு பின்வரும் வெளிப்பாட்டைக் கொண்டுள்ளது:

பற்றி ஆன் எல்லா இடங்களிலும் தொடர்கிறது, மேலும் அதன் வழித்தோன்றல் இரண்டைத் தவிர, எல்லாப் புள்ளிகளிலும் தொடர்கிறது: x = aமற்றும் x = a+ 1. இந்தச் செயல்பாட்டின் வரைபடம் இப்படித் தெரிகிறது (படம் 8.3):

அரிசி. 8.3

எடுத்துக்காட்டு 8.2.சில சீரற்ற மாறியின் பரவல் சார்பு செயல்பாடாக உள்ளது

தீர்வு.

இந்த செயல்பாட்டின் அனைத்து மதிப்புகளும் பிரிவுக்கு சொந்தமானது
, அதாவது
. செயல்பாடு எஃப்(எக்ஸ்) குறையாதது: இடைவெளியில்
அது நிலையானது, பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம், இடைவெளியில்
இடையில் அதிகரிக்கிறது
நிலையானது, ஒற்றுமைக்கு சமம் (படம் 8.4 ஐப் பார்க்கவும்). செயல்பாடு ஒவ்வொரு புள்ளியிலும் தொடர்கிறது எக்ஸ்அதன் வரையறையின் 0 பகுதி - இடைவெளி
, எனவே இடதுபுறத்தில் தொடர்ச்சியாக உள்ளது, அதாவது. சமத்துவம் உள்ளது

,
.

சமத்துவங்களும் உள்ளன:

,
.

எனவே, செயல்பாடு
விநியோக செயல்பாட்டின் அனைத்து பண்புகளையும் பூர்த்தி செய்கிறது. எனவே இந்த செயல்பாடு
சில சீரற்ற மாறிகளின் பரவல் செயல்பாடு ஆகும் எக்ஸ்.

எடுத்துக்காட்டு 8.3.சில சீரற்ற மாறியின் பரவல் சார்பு செயல்பாடாக உள்ளது

தீர்வு.இடையில் இருந்து இந்தச் சார்பு ஒரு சீரற்ற மாறியின் பரவல் சார்பு அல்ல
அது குறைகிறது மற்றும் தொடர்ச்சியாக இல்லை. செயல்பாட்டு வரைபடம் படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளது. 8.5

அரிசி. 8.5

எடுத்துக்காட்டு 8.4.சீரற்ற மதிப்பு எக்ஸ்விநியோக செயல்பாடு மூலம் கொடுக்கப்பட்டது

குணகத்தைக் கண்டறியவும் ஏமற்றும் சீரற்ற மாறியின் நிகழ்தகவு அடர்த்தி எக்ஸ். சமத்துவமின்மையின் நிகழ்தகவைத் தீர்மானிக்கவும்
.

தீர்வு.விநியோக அடர்த்தியானது விநியோகச் செயல்பாட்டின் முதல் வழித்தோன்றலுக்குச் சமம்

குணகம் ஏசமத்துவத்தைப் பயன்படுத்தி வரையறுக்கிறோம்

,

.

செயல்பாட்டின் தொடர்ச்சியைப் பயன்படுத்தி அதே முடிவைப் பெறலாம்
புள்ளியில்

,
.

எனவே,
.

எனவே நிகழ்தகவு அடர்த்தி வடிவம் கொண்டது

நிகழ்தகவு
சீரற்ற மாறியின் வெற்றிகள் எக்ஸ்ஒரு குறிப்பிட்ட காலத்தில் சூத்திரத்தால் கணக்கிடப்படுகிறது

எடுத்துக்காட்டு 8.5.சீரற்ற மதிப்பு எக்ஸ்நிகழ்தகவு அடர்த்தி உள்ளது (கௌச்சியின் சட்டம்)

.

குணகத்தைக் கண்டறியவும் ஏமற்றும் ரேண்டம் மாறி என்று நிகழ்தகவு எக்ஸ்இடைவெளியில் இருந்து சில மதிப்பை எடுக்கும்
. இந்த சீரற்ற மாறியின் பரவல் செயல்பாட்டைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு.குணகத்தைக் கண்டுபிடிப்போம் ஏசமத்துவத்தில் இருந்து

,

எனவே,
.

அதனால்,
.

ஒரு சீரற்ற மாறி என்று நிகழ்தகவு எக்ஸ்இடைவெளியில் இருந்து சில மதிப்பை எடுக்கும்
, சமம்

இந்த சீரற்ற மாறியின் பரவல் செயல்பாட்டைக் கண்டுபிடிப்போம்

பி எடுத்துக்காட்டு 8.6.ஒரு சீரற்ற மாறியின் நிகழ்தகவு அடர்த்தி சதி எக்ஸ்படம் காட்டப்பட்டுள்ளது. 8.6 (சிம்சனின் சட்டம்). இந்த சீரற்ற மாறியின் நிகழ்தகவு அடர்த்தி மற்றும் பரவல் செயல்பாட்டிற்கான வெளிப்பாட்டை எழுதவும்.

அரிசி. 8.6

தீர்வு.வரைபடத்தைப் பயன்படுத்தி, கொடுக்கப்பட்ட சீரற்ற மாறியின் நிகழ்தகவு பரவல் அடர்த்திக்கான பகுப்பாய்வு வெளிப்பாட்டை எழுதுகிறோம்.

விநியோக செயல்பாட்டைக் கண்டுபிடிப்போம்.

என்றால்
, அந்த
.

என்றால்
, அந்த .

என்றால்
, அந்த

என்றால்
, அந்த

எனவே, விநியோக செயல்பாடு வடிவம் உள்ளது

அத்தியாயம் 1. தனித்த சீரற்ற மாறி

§ 1. சீரற்ற மாறியின் கருத்துக்கள்.

தனித்த சீரற்ற மாறியின் விநியோகச் சட்டம்.

வரையறை : ரேண்டம் என்பது, சோதனையின் விளைவாக, முன்கூட்டியே அறியப்படாத மற்றும் சீரற்ற காரணங்களைப் பொறுத்து, சாத்தியமான மதிப்புகளின் தொகுப்பில் இருந்து ஒரே ஒரு மதிப்பை மட்டுமே எடுக்கும் அளவு.

இரண்டு வகையான சீரற்ற மாறிகள் உள்ளன: தனி மற்றும் தொடர்ச்சியான.

வரையறை : சீரற்ற மாறி X அழைக்கப்படுகிறது தனித்தனி அதன் மதிப்புகளின் தொகுப்பு வரையறுக்கப்பட்ட அல்லது எல்லையற்றதாக இருந்தால், ஆனால் எண்ணக்கூடியது.

வேறுவிதமாகக் கூறினால், சாத்தியமான மதிப்புகள்ஒரு தனித்த சீரற்ற மாறியை மறுபெயரிடலாம்.

ஒரு சீரற்ற மாறியை அதன் விநியோகச் சட்டத்தைப் பயன்படுத்தி விவரிக்கலாம்.

வரையறை : ஒரு தனித்த சீரற்ற மாறியின் விநியோக சட்டம் ஒரு சீரற்ற மாறியின் சாத்தியமான மதிப்புகளுக்கும் அவற்றின் நிகழ்தகவுகளுக்கும் இடையிலான கடிதப் பரிமாற்றத்தை அழைக்கவும்.

தனித்த சீரற்ற மாறி X இன் விநியோக விதியை அட்டவணை வடிவில் குறிப்பிடலாம், முதல் வரிசையில் சீரற்ற மாறியின் சாத்தியமான அனைத்து மதிப்புகளும் ஏறுவரிசையில் குறிக்கப்படுகின்றன, இரண்டாவது வரிசையில் இவற்றின் தொடர்புடைய நிகழ்தகவுகள். மதிப்புகள், அதாவது.

இங்கு р1+ р2+…+ рn=1

அத்தகைய அட்டவணையானது தனித்த சீரற்ற மாறியின் விநியோகத் தொடர் என அழைக்கப்படுகிறது.

சீரற்ற மாறியின் சாத்தியமான மதிப்புகளின் தொகுப்பு எல்லையற்றதாக இருந்தால், p1+ p2+...+ pn+... தொடர் ஒன்றுசேர்கிறது மற்றும் அதன் கூட்டுத்தொகை 1 க்கு சமம்.

ஒரு தனித்த சீரற்ற மாறி X இன் விநியோக விதியை வரைபடமாக சித்தரிக்கலாம், இதற்காக ஒரு செவ்வக ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் உடைந்த கோடு கட்டமைக்கப்படுகிறது, இது தொடர்ச்சியாக புள்ளிகளை ஒருங்கிணைப்புகளுடன் இணைக்கிறது (xi; pi), i=1,2,…n. இதன் விளைவாக வரும் வரி அழைக்கப்படுகிறது விநியோக பலகோணம் (வரைபடம். 1).

ஆர்கானிக் கெமிஸ்ட்ரி" href="/text/category/organicheskaya_hiimya/" rel="bookmark">ஆர்கானிக் கெமிஸ்ட்ரி முறையே 0.7 மற்றும் 0.8 ஆகும். சீரற்ற மாறி X க்கான விநியோகச் சட்டத்தை வரையவும் - மாணவர் தேர்ச்சி பெறும் தேர்வுகளின் எண்ணிக்கை.

தீர்வு. தேர்வின் விளைவாகக் கருதப்படும் சீரற்ற மாறி X பின்வரும் மதிப்புகளில் ஒன்றை எடுக்கலாம்: x1=0, x2=1, x3=2.

இந்த மதிப்புகளின் நிகழ்தகவைக் கண்டுபிடிப்போம்: நிகழ்வுகளைக் குறிக்கவும்.

https://pandia.ru/text/78/455/images/image004_81.jpg" width="259" height="66 src=">

எனவே, சீரற்ற மாறி X இன் விநியோக விதி அட்டவணையில் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது:

கட்டுப்பாடு: 0.6+0.38+0.56=1.

§ 2. விநியோக செயல்பாடு

ஒரு சீரற்ற மாறியின் முழுமையான விளக்கமும் விநியோகச் செயல்பாட்டின் மூலம் வழங்கப்படுகிறது.

வரையறை: ஒரு தனித்த சீரற்ற மாறி X இன் விநியோக செயல்பாடு ஒரு சார்பு F(x) என அழைக்கப்படுகிறது, இது ஒவ்வொரு மதிப்பு x க்கும் நிகழ்தகவை தீர்மானிக்கிறது சீரற்ற மாறி X x ஐ விட குறைவான மதிப்பை எடுக்கும்:

F(x)=P(X<х)

வடிவியல் ரீதியாக, விநியோகச் சார்பு, ரேண்டம் மாறி X ஆனது, எண் கோட்டில் குறிப்பிடப்படும் மதிப்பை, புள்ளி x இன் இடதுபுறத்தில் உள்ள ஒரு புள்ளியால் எடுக்கும் நிகழ்தகவு என விளக்கப்படுகிறது.

1)0≤ F(x) ≤1;

2) F(x) என்பது (-∞;+∞) இல் குறையாத செயல்பாடு;

3) F(x) - x= xi (i=1,2,...n) புள்ளிகளில் இடதுபுறத்தில் தொடர்ச்சியாகவும் மற்ற எல்லாப் புள்ளிகளிலும் தொடர்ச்சியாகவும்;

4) F(-∞)=P (X<-∞)=0 как вероятность невозможного события Х<-∞,

F(+∞)=P(X<+∞)=1 как вероятность достоверного события Х<-∞.

ஒரு தனித்த சீரற்ற மாறி X இன் விநியோக விதி அட்டவணையின் வடிவத்தில் கொடுக்கப்பட்டால்:

பின்னர் விநியோக செயல்பாடு F(x) சூத்திரத்தால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image007_76.gif" height="110">

x≤ x1க்கு 0,

x1 இல் р1< х≤ x2,

x2 இல் F(x)= р1 + р2< х≤ х3

x> xnக்கு 1.

அதன் வரைபடம் படம் 2 இல் காட்டப்பட்டுள்ளது:

§ 3. தனித்த சீரற்ற மாறியின் எண்ணியல் பண்புகள்.

முக்கியமான எண் பண்புகளில் ஒன்று கணித எதிர்பார்ப்பு.

வரையறை: கணித எதிர்பார்ப்பு M(X) தனித்த சீரற்ற மாறி X என்பது அதன் அனைத்து மதிப்புகளின் தயாரிப்புகள் மற்றும் அவற்றின் தொடர்புடைய நிகழ்தகவுகளின் கூட்டுத்தொகை ஆகும்:

எம்(எக்ஸ்) = ∑ xiri= x1р1 + x2р2+…+ xnрn

கணித எதிர்பார்ப்பு ஒரு சீரற்ற மாறியின் சராசரி மதிப்பின் பண்பாக செயல்படுகிறது.

கணித எதிர்பார்ப்பின் பண்புகள்:

1)M(C)=C, C என்பது ஒரு நிலையான மதிப்பு;

2)எம்(சி எக்ஸ்)=சி எம்(எக்ஸ்),

3)M(X±Y)=M(X) ±M(Y);

4)M(X Y)=M(X) M(Y), இங்கு X, Y ஆகியவை சுயாதீன சீரற்ற மாறிகள்;

5)M(X±C)=M(X)±C, C என்பது ஒரு நிலையான மதிப்பு;

ஒரு தனித்துவமான சீரற்ற மாறியின் சாத்தியமான மதிப்புகளின் சிதறலின் அளவை அதன் சராசரி மதிப்பைச் சுற்றி வகைப்படுத்த, சிதறல் பயன்படுத்தப்படுகிறது.

வரையறை: மாறுபாடு டி ( எக்ஸ் ) சீரற்ற மாறி X என்பது அதன் கணித எதிர்பார்ப்பிலிருந்து சீரற்ற மாறியின் வர்க்க விலகலின் கணித எதிர்பார்ப்பு:

சிதறல் பண்புகள்:

1)D(C)=0, C என்பது ஒரு நிலையான மதிப்பு;

2)D(X)>0, X என்பது ஒரு சீரற்ற மாறி;

3)D(C X)=C2 D(X), இங்கு C என்பது ஒரு நிலையான மதிப்பு;

4)D(X+Y)=D(X)+D(Y), இங்கு X, Y ஆகியவை சுயாதீன சீரற்ற மாறிகள்;

மாறுபாட்டைக் கணக்கிட, சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துவது பெரும்பாலும் வசதியானது:

D(X)=M(X2)-(M(X))2,

இங்கு M(X)=∑ xi2рi= x12р1 + x22р2+…+ xn2рn

டி(எக்ஸ்) மாறுபாடு ஒரு சதுர சீரற்ற மாறியின் பரிமாணத்தைக் கொண்டுள்ளது, இது எப்போதும் வசதியாக இருக்காது. எனவே, மதிப்பு √D(X) ஒரு சீரற்ற மாறியின் சாத்தியமான மதிப்புகளின் சிதறலின் குறிகாட்டியாகவும் பயன்படுத்தப்படுகிறது.

வரையறை: நிலையான விலகல் σ(X) சீரற்ற மாறி X மாறுபாட்டின் வர்க்கமூலம் என்று அழைக்கப்படுகிறது:

பணி எண் 2.தனித்த சீரற்ற மாறி X என்பது விநியோகச் சட்டத்தால் குறிப்பிடப்படுகிறது:

P2, விநியோக செயல்பாடு F(x) ஐக் கண்டறிந்து அதன் வரைபடத்தையும், M(X), D(X), σ(X) ஆகியவற்றையும் வரையவும்.

தீர்வு: சீரற்ற மாறி X இன் சாத்தியமான மதிப்புகளின் நிகழ்தகவுகளின் கூட்டுத்தொகை 1 க்கு சமமாக இருப்பதால், பின்னர்

Р2=1- (0.1+0.3+0.2+0.3)=0.1

F(x)=P(X) விநியோகச் செயல்பாட்டைக் கண்டுபிடிப்போம்

வடிவியல் ரீதியாக, இந்த சமத்துவத்தை பின்வருமாறு விளக்கலாம்: F(x) என்பது ரேண்டம் மாறியானது எண் அச்சில் குறிப்பிடப்படும் மதிப்பை x புள்ளியின் இடதுபுறத்தில் உள்ள புள்ளியால் எடுக்கும் நிகழ்தகவு ஆகும்.

x≤-1 என்றால், F(x)=0, ஏனெனில் இந்த சீரற்ற மாறியின் ஒரு மதிப்பு கூட (-∞;x) இல் இல்லை;

என்றால் -1<х≤0, то F(х)=Р(Х=-1)=0,1, т. к. в промежуток (-∞;х) попадает только одно значение x1=-1;

0 என்றால்<х≤1, то F(х)=Р(Х=-1)+ Р(Х=0)=0,1+0,1=0,2, т. к. в промежуток

(-∞;x) x1=-1 மற்றும் x2=0 ஆகிய இரண்டு மதிப்புகள் உள்ளன;

என்றால் 1<х≤2, то F(х)=Р(Х=-1) + Р(Х=0)+ Р(Х=1)= 0,1+0,1+0,3=0,5, т. к. в промежуток (-∞;х) попадают три значения x1=-1, x2=0 и x3=1;

என்றால் 2<х≤3, то F(х)=Р(Х=-1) + Р(Х=0)+ Р(Х=1)+ Р(Х=2)= 0,1+0,1+0,3+0,2=0,7, т. к. в промежуток (-∞;х) попадают четыре значения x1=-1, x2=0,x3=1 и х4=2;

x>3 எனில், F(x)=P(X=-1) + P(X=0)+ P(X=1)+ P(X=2)+P(X=3)= 0.1 +0.1 +0.3+0.2+0.3=1, ஏனெனில் நான்கு மதிப்புகள் x1=-1, x2=0, x3=1, x4=2 இடைவெளியில் (-∞;x) மற்றும் x5=3 விழும்.

https://pandia.ru/text/78/455/images/image006_89.gif" width="14 height=2" height="2"> 0 இல் x≤-1,

0.1 இல் -1<х≤0,

0.2 இல் 0<х≤1,

F(x)= 0.5 இல் 1<х≤2,

2 மணிக்கு 0.7<х≤3,

1 இல் x>3

F(x) செயல்பாட்டை வரைபடமாகப் பிரதிநிதித்துவப்படுத்துவோம் (படம் 3):

https://pandia.ru/text/78/455/images/image014_24.jpg" width="158 height=29" height="29">≈1.2845.

§ 4. பினாமி விநியோக சட்டம்

தனித்த சீரற்ற மாறி, பாய்சன் விதி.

வரையறை: இருவகை ஒரு தனித்த சீரற்ற மாறி X இன் விநியோக விதி என்று அழைக்கப்படுகிறது - n சுயாதீனமான தொடர்ச்சியான சோதனைகளில் நிகழ்வு A இன் நிகழ்வுகளின் எண்ணிக்கை, ஒவ்வொரு நிகழ்விலும் A நிகழ்தகவு p உடன் நிகழலாம் அல்லது நிகழ்தகவு q = 1-p உடன் நிகழாது. பின்னர் P(X=m) - நிகழ்வு A நிகழ்வதற்கான நிகழ்தகவு n சோதனைகளில் சரியாக m முறை பெர்னௌல்லி சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடப்படுகிறது:

Р(Х=m)=Сmnpmqn-m

ஒரு பைனரி விதியின் படி விநியோகிக்கப்படும் ஒரு சீரற்ற மாறி X இன் கணித எதிர்பார்ப்பு, சிதறல் மற்றும் நிலையான விலகல் முறையே, சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்திக் காணப்படுகின்றன:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image016_31.gif" width="26"> நிகழ்வின் நிகழ்தகவு A - ஒவ்வொரு சோதனையிலும் “ஒரு ஐந்தை வெளியிடுதல்” 1/6 க்கு சமமாக இருக்கும் , அதாவது P(A)=p=1/6, பின்னர் P(A)=1-p=q=5/6, எங்கே

- "ஐந்தில் இருந்து விழும்."

சீரற்ற மாறி X பின்வரும் மதிப்புகளை எடுக்கலாம்: 0;1;2;3.

பெர்னோலியின் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி X இன் சாத்தியமான மதிப்புகள் ஒவ்வொன்றின் நிகழ்தகவையும் நாங்கள் காண்கிறோம்:

Р(Х=0)=Р3(0)=С03р0q3=1 (1/6)0 (5/6)3=125/216;

Р(Х=1)=Р3(1)=С13р1q2=3 (1/6)1 (5/6)2=75/216;

Р(Х=2)=Р3(2)=С23р2q =3 (1/6)2 (5/6)1=15/216;

Р(Х=3)=Р3(3)=С33р3q0=1 (1/6)3 (5/6)0=1/216.

அந்த. சீரற்ற மாறி X இன் பரவல் விதி வடிவம் கொண்டது:

கட்டுப்பாடு: 125/216+75/216+15/216+1/216=1.

சீரற்ற மாறி X இன் எண்ணியல் பண்புகளைக் கண்டறியலாம்:

M(X)=np=3 (1/6)=1/2,

D(X)=npq=3 (1/6) (5/6)=5/12,

பணி எண். 4.ஒரு தானியங்கி இயந்திரம் பாகங்களை முத்திரையிடுகிறது. தயாரிக்கப்பட்ட பகுதி குறைபாடுடையதாக இருக்கும் நிகழ்தகவு 0.002 ஆகும். தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட 1000 பாகங்களில் இருப்பதற்கான நிகழ்தகவைக் கண்டறியவும்:

a) 5 குறைபாடு;

b) குறைந்தது ஒன்று குறைபாடுடையது.

தீர்வு: எண் n=1000 பெரியது, ஒரு குறைபாடுள்ள பகுதியை உருவாக்குவதற்கான நிகழ்தகவு p=0.002 சிறியது, மற்றும் பரிசீலனையில் உள்ள நிகழ்வுகள் (பகுதி குறைபாடுள்ளதாக மாறிவிடும்) சுயாதீனமானவை, எனவே பாய்சன் சூத்திரம் உள்ளது:

Рn(m)= இ- λ λm

λ=np=1000 0.002=2ஐக் கண்டுபிடிப்போம்.

a) 5 குறைபாடுள்ள பாகங்கள் (m=5) இருப்பதற்கான நிகழ்தகவைக் கண்டறியவும்:

ரூ1000(5)= இ-2 25 = 32 0,13534 = 0,0361

b) குறைந்தது ஒரு குறைபாடுள்ள பகுதி இருப்பதற்கான நிகழ்தகவைக் கண்டறியவும்.

நிகழ்வு A - "தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட பகுதிகளில் குறைந்தபட்சம் ஒன்று குறைபாடுடையது" எதிர் நிகழ்வு- "தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட அனைத்து பகுதிகளும் குறைபாடுடையவை அல்ல, P(A) = 1-P(). எனவே தேவையான நிகழ்தகவு இதற்கு சமம்: P(A)=1-P1000(0)=1- இ-2 20 = 1- இ-2=1-0.13534≈0.865.

சுயாதீன வேலைக்கான பணிகள்.

1.1

1.2. பரவலான சீரற்ற மாறி X என்பது விநியோகச் சட்டத்தால் குறிப்பிடப்படுகிறது:

p4, பரவல் செயல்பாடு F(X) மற்றும் அதன் வரைபடத்தை, அதே போல் M(X), D(X), σ(X) ஆகியவற்றைக் கண்டறியவும்.

1.3. பெட்டியில் 9 குறிப்பான்கள் உள்ளன, அவற்றில் 2 இனி எழுதுவதில்லை. சீரற்ற முறையில் 3 குறிப்பான்களை எடுத்துக் கொள்ளுங்கள். ரேண்டம் மாறி X என்பது எடுக்கப்பட்டவற்றில் எழுதும் குறிப்பான்களின் எண்ணிக்கை. சீரற்ற மாறியின் விநியோக விதியை வரையவும்.

1.4. ஒரு நூலக அலமாரியில் 6 பாடப்புத்தகங்கள் சீரற்ற முறையில் அமைக்கப்பட்டிருக்கின்றன, அவற்றில் 4 கட்டப்பட்டுள்ளன. நூலகர் 4 பாடப்புத்தகங்களை சீரற்ற முறையில் எடுக்கிறார். ரேண்டம் மாறி X என்பது எடுக்கப்பட்ட பாடப்புத்தகங்களின் எண்ணிக்கை. சீரற்ற மாறியின் விநியோக விதியை வரையவும்.

1.5. டிக்கெட்டில் இரண்டு பணிகள் உள்ளன. முதல் சிக்கலை சரியாக தீர்ப்பதற்கான நிகழ்தகவு 0.9, இரண்டாவது 0.7. ரேண்டம் மாறி எக்ஸ் என்பது டிக்கெட்டில் சரியாக தீர்க்கப்பட்ட சிக்கல்களின் எண்ணிக்கை. விநியோகச் சட்டத்தை வரையவும், இந்த சீரற்ற மாறியின் கணித எதிர்பார்ப்பு மற்றும் மாறுபாட்டைக் கணக்கிடவும், மேலும் F(x) என்ற விநியோகச் செயல்பாட்டைக் கண்டறிந்து அதன் வரைபடத்தை உருவாக்கவும்.

1.6. மூன்று துப்பாக்கி சுடும் வீரர்கள் ஒரு இலக்கை நோக்கி சுடுகிறார்கள். ஒரு ஷாட் மூலம் இலக்கைத் தாக்கும் நிகழ்தகவு முதல் துப்பாக்கி சுடும் வீரருக்கு 0.5, இரண்டாவது 0.8 மற்றும் மூன்றாவது 0.7 ஆகும். ரேண்டம் மாறி X என்பது துப்பாக்கி சுடும் வீரர்கள் ஒரு நேரத்தில் ஒரு ஷாட்டைச் சுட்டால், இலக்கை தாக்கும் எண்ணிக்கையாகும். விநியோகச் சட்டத்தைக் கண்டறியவும், M(X),D(X).

1.7. ஒரு கூடைப்பந்து வீரர் ஒவ்வொரு ஷாட்டையும் 0.8 அடிக்கும் நிகழ்தகவுடன் பந்தை கூடைக்குள் வீசுகிறார். ஒவ்வொரு வெற்றிக்கும், அவர் 10 புள்ளிகளைப் பெறுகிறார், அவர் தவறவிட்டால், அவருக்கு எந்தப் புள்ளிகளும் வழங்கப்படாது. சீரற்ற மாறி X க்கான விநியோகச் சட்டத்தை வரையவும் - 3 ஷாட்களில் கூடைப்பந்து வீரர் பெற்ற புள்ளிகளின் எண்ணிக்கை. M(X),D(X), அத்துடன் அவர் 10 புள்ளிகளுக்கு மேல் பெறும் நிகழ்தகவைக் கண்டறியவும்.

1.8. அட்டைகளில் எழுத்துக்கள் எழுதப்பட்டுள்ளன, மொத்தம் 5 உயிரெழுத்துக்கள் மற்றும் 3 மெய் எழுத்துக்கள். 3 கார்டுகள் சீரற்ற முறையில் தேர்ந்தெடுக்கப்பட்டு, ஒவ்வொரு முறையும் எடுக்கப்பட்ட கார்டு திரும்பப் பெறப்படும். ரேண்டம் மாறி X என்பது எடுக்கப்பட்ட உயிரெழுத்துக்களின் எண்ணிக்கை. விநியோகச் சட்டத்தை வரைந்து, M(X),D(X),σ(X) ஆகியவற்றைக் கண்டறியவும்.

1.9. சராசரியாக, 60% ஒப்பந்தங்கள் காப்பீட்டு நிறுவனம்காப்பீடு செய்யப்பட்ட நிகழ்வின் நிகழ்வு தொடர்பாக காப்பீட்டுத் தொகையை செலுத்துகிறது. சீரற்ற மாறி X க்கான விநியோகச் சட்டத்தை வரையவும் - சீரற்ற முறையில் தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட நான்கு ஒப்பந்தங்களில் காப்பீட்டுத் தொகை செலுத்தப்பட்ட ஒப்பந்தங்களின் எண்ணிக்கை. இந்த அளவின் எண்ணியல் பண்புகளைக் கண்டறியவும்.

1.10. வானொலி நிலையம் இருவழி தொடர்பு நிறுவப்படும் வரை குறிப்பிட்ட இடைவெளியில் அழைப்பு அறிகுறிகளை (நான்குக்கு மேல் இல்லை) அனுப்புகிறது. அழைப்பு அடையாளத்திற்கான பதிலைப் பெறுவதற்கான நிகழ்தகவு 0.3 ஆகும். ரேண்டம் மாறி X என்பது அனுப்பப்பட்ட அழைப்பு அறிகுறிகளின் எண்ணிக்கை. விநியோகச் சட்டத்தை வரைந்து F(x)ஐக் கண்டறியவும்.

1.11. 3 விசைகள் உள்ளன, அவற்றில் ஒன்று மட்டுமே பூட்டுக்கு பொருந்தும். முயற்சித்த விசை அடுத்தடுத்த முயற்சிகளில் பங்கேற்கவில்லை என்றால், பூட்டைத் திறக்கும் முயற்சிகளின் சீரற்ற மாறி X-எண் விநியோகத்திற்கான சட்டத்தை வரையவும். M(X),D(X)ஐக் கண்டறியவும்.

1.12. நம்பகத்தன்மைக்காக மூன்று சாதனங்களின் தொடர்ச்சியான சுயாதீன சோதனைகள் மேற்கொள்ளப்படுகின்றன. முந்தையது நம்பகமானதாக மாறினால் மட்டுமே ஒவ்வொரு அடுத்தடுத்த சாதனமும் சோதிக்கப்படும். ஒவ்வொரு சாதனத்திற்கும் சோதனையில் தேர்ச்சி பெறுவதற்கான நிகழ்தகவு 0.9 ஆகும். சோதனை செய்யப்பட்ட சாதனங்களின் சீரற்ற மாறி X-எண்களுக்கான விநியோகச் சட்டத்தை வரையவும்.

1.13 .தனிப்பட்ட சீரற்ற மாறி X மூன்று சாத்தியமான மதிப்புகளைக் கொண்டுள்ளது: x1=1, x2, x3 மற்றும் x1<х2<х3. Вероятность того, что Х примет значения х1 и х2, соответственно равны 0,3 и 0,2. Известно, что М(Х)=2,2, D(X)=0,76. Составить закон распределения случайной величины.

1.14. மின்னணு சாதனத் தொகுதி 100 ஒத்த கூறுகளைக் கொண்டுள்ளது. T நேரத்தில் ஒவ்வொரு தனிமத்தின் தோல்வியின் நிகழ்தகவு 0.002 ஆகும். உறுப்புகள் சுயாதீனமாக வேலை செய்கின்றன. T நேரத்தில் இரண்டு உறுப்புகளுக்கு மேல் தோல்வியடையாத நிகழ்தகவைக் கண்டறியவும்.

1.15. பாடநூல் 50,000 பிரதிகள் புழக்கத்தில் வெளியிடப்பட்டது. பாடப்புத்தகம் தவறாக பிணைக்கப்பட்டுள்ள நிகழ்தகவு 0.0002 ஆகும். சுழற்சி கொண்டிருக்கும் நிகழ்தகவைக் கண்டறியவும்:

அ) நான்கு குறைபாடுள்ள புத்தகங்கள்,

b) இரண்டுக்கும் குறைவான குறைபாடுள்ள புத்தகங்கள்.

1 .16. ஒவ்வொரு நிமிடமும் PBX க்கு வரும் அழைப்புகளின் எண்ணிக்கை பாய்சனின் விதியின்படி λ=1.5 அளவுருவுடன் விநியோகிக்கப்படுகிறது. ஒரு நிமிடத்தில் பின்வருபவை வருவதற்கான நிகழ்தகவைக் கண்டறியவும்:

a) இரண்டு அழைப்புகள்;

b) குறைந்தது ஒரு அழைப்பு.

1.17.

Z=3X+Y எனில் M(Z),D(Z)ஐக் கண்டறியவும்.

1.18. இரண்டு சுயாதீன சீரற்ற மாறிகளின் விநியோக விதிகள் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன:

Z=X+2Y எனில் M(Z),D(Z) ஐக் கண்டறியவும்.

பதில்கள்:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image007_76.gif" height="110"> 1.1. p3=0.4; x≤-2 இல் 0,

0.3 மணிக்கு -2<х≤0,

F(x)= 0.5 இல் 0<х≤2,

0.9 மணிக்கு 2<х≤5,

1 இல் x>5

1.2. p4=0.1; x≤-1 இல் 0,

0.3 மணிக்கு -1<х≤0,

0.4 இல் 0<х≤1,

F(x)= 0.6 இல் 1<х≤2,

2 மணிக்கு 0.7<х≤3,

1 இல் x>3

எம்(எக்ஸ்)=1; D(X)=2.6; σ(X) ≈1.612.

https://pandia.ru/text/78/455/images/image025_24.gif" width="2 height=98" height="98"> 0 இல் x≤0,

0.03 இல் 0<х≤1,

F(x)= 0.37 இல் 1<х≤2,

x>2க்கு 1

எம்(எக்ஸ்)=2; D(X)=0.62

எம்(எக்ஸ்)=2.4; D(X)=0.48, P(X>10)=0.896

1. 8 .

எம்(எக்ஸ்)=15/8; D(X)=45/64; σ(X) ≈

எம்(எக்ஸ்)=2.4; D(X)=0.96

https://pandia.ru/text/78/455/images/image008_71.gif" width="14"> 1.11.

எம்(எக்ஸ்)=2; D(X)=2/3

1.14. 1.22 இ-0.2≈0.999

1.15. a)0.0189; b) 0.00049

1.16. a)0.0702; b)0.77687

1.17. 3,8; 14,2

1.18. 11,2; 4.

பாடம் 2. தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறி

வரையறை: தொடர்ச்சியான அனைத்து சாத்தியமான மதிப்புகளும் எண் கோட்டின் வரையறுக்கப்பட்ட அல்லது எல்லையற்ற இடைவெளியை முழுமையாக நிரப்பும் அளவு.

வெளிப்படையாக, தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறியின் சாத்தியமான மதிப்புகளின் எண்ணிக்கை எல்லையற்றது.

ஒரு தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறியை விநியோகச் செயல்பாட்டைப் பயன்படுத்தி குறிப்பிடலாம்.

வரையறை:எஃப் விநியோக செயல்பாடு ஒரு தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறி X ஆனது F(x) செயல்பாடு என அழைக்கப்படுகிறது, இது ஒவ்வொரு மதிப்பையும் xhttps://pandia.ru/text/78/455/images/image028_11.jpg" width="14" height="13"> தீர்மானிக்கிறது ஆர்

விநியோக செயல்பாடு சில நேரங்களில் ஒட்டுமொத்த விநியோக செயல்பாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது.

விநியோக செயல்பாட்டின் பண்புகள்:

1)1≤ F(x) ≤1

2) தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறிக்கு, விநியோகச் செயல்பாடு எந்தப் புள்ளியிலும் தொடர்ச்சியாக இருக்கும் மற்றும் தனிப்பட்ட புள்ளிகளைத் தவிர, எல்லா இடங்களிலும் வேறுபடக்கூடியது.

3) ஒரு சீரற்ற மாறி X இடைவெளியில் (a;b), [a;b], [a;b] விழும் நிகழ்தகவு, F(x) செயல்பாட்டின் மதிப்புகளுக்கு இடையிலான வேறுபாட்டிற்கு சமம். a மற்றும் b புள்ளிகளில், அதாவது. ஆர்(அ)<Х

4) ஒரு தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறி X ஒரு தனி மதிப்பை எடுக்கும் நிகழ்தகவு 0 ஆகும்.

5) F(-∞)=0, F(+∞)=1

விநியோகச் செயல்பாட்டைப் பயன்படுத்தி தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறியைக் குறிப்பிடுவது ஒரே வழி அல்ல. நிகழ்தகவு பரவல் அடர்த்தி (விநியோக அடர்த்தி) என்ற கருத்தை அறிமுகப்படுத்துவோம்.

வரையறை : நிகழ்தகவு பரவல் அடர்த்தி f ( எக்ஸ் ) தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறி X என்பது அதன் பரவல் செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலாகும், அதாவது:

நிகழ்தகவு அடர்த்தி செயல்பாடு சில நேரங்களில் வேறுபட்ட விநியோக செயல்பாடு அல்லது வேறுபட்ட விநியோக சட்டம் என்று அழைக்கப்படுகிறது.

நிகழ்தகவு அடர்த்தி பரவலின் வரைபடம் f(x) எனப்படும் நிகழ்தகவு பரவல் வளைவு .

நிகழ்தகவு அடர்த்தி பரவலின் பண்புகள்:

1) f(x) ≥0, xhttps://pandia.ru/text/78/455/images/image029_10.jpg" width="285" height="141">.gif" width="14" உயரம் x≤2 இல் ="62 src="> 0,

f(x)= c(x-2) at 2<х≤6,

x>6க்கு 0.

கண்டுபிடி: a) c இன் மதிப்பு; ஆ) விநியோக செயல்பாடு F(x) மற்றும் அதை சதி; c) பி(3≤x<5)

தீர்வு:

+ ∞

a) c இன் மதிப்பை இயல்பாக்குதல் நிலையில் இருந்து காண்கிறோம்: ∫ f(x)dx=1.

எனவே, -∞

https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38 src="> -∞ 2 2 x

என்றால் 2<х≤6, то F(x)= ∫ 0dx+∫ 1/8(х-2)dx=1/8(х2/2-2х) = 1/8(х2/2-2х - (4/2-4))=

1/8(x2/2-2x+2)=1/16(x-2)2;

x≤2 இல் Gif" width="14" height="62"> 0,

F(x)= (x-2)2/16 at 2<х≤6,

x>6க்கு 1.

F(x) செயல்பாட்டின் வரைபடம் படம் 3 இல் காட்டப்பட்டுள்ளது

https://pandia.ru/text/78/455/images/image034_23.gif" width="14" height="62 src="> 0 இல் x≤0,

F(x)= (3 arctan x)/π இல் 0<х≤√3,

x>√3க்கு 1.

வேறுபட்ட விநியோக செயல்பாட்டைக் கண்டறியவும் f(x)

தீர்வு: f(x)= F’(x) என்பதால்

https://pandia.ru/text/78/455/images/image011_36.jpg" width="118" height="24">

சிதறிய சீரற்ற மாறிகளுக்கு முன்னர் விவாதிக்கப்பட்ட கணித எதிர்பார்ப்பு மற்றும் சிதறலின் அனைத்து பண்புகளும் தொடர்ச்சியானவற்றிற்கும் செல்லுபடியாகும்.

பணி எண் 3.சீரற்ற மாறி X ஆனது f(x) என்ற வேற்றுமைச் செயல்பாட்டால் குறிப்பிடப்படுகிறது:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image036_19.gif" height="38"> -∞ 2

X3/9 + x2/6 = 8/9-0+9/6-4/6=31/18,

https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38"> +∞

D(X)= ∫ x2 f(x)dx-(M(x))2=∫ x2 x/3 dx+∫1/3x2 dx=(31/18)2=x4/12 + x3/9 -

- (31/18)2=16/12-0+27/9-8/9-(31/18)2=31/9- (31/18)2==31/9(1-31/36)=155/324,

https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38">

பி(1<х<5)= ∫ f(x)dx=∫ х/3 dx+∫ 1/3 dx+∫ 0 dx= х2/6 +1/3х =

4/6-1/6+1-2/3=5/6.

சுயாதீன தீர்வுக்கான சிக்கல்கள்.

2.1. தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறி X என்பது விநியோகச் செயல்பாட்டால் குறிப்பிடப்படுகிறது:

0 இல் x≤0,

x≤ π/6க்கு F(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86"> 0,

F(x)= - π/6 இல் 3x<х≤ π/3,

x> π/3க்கு 1.

f(x) மற்றும் வேறுபட்ட விநியோகச் செயல்பாட்டைக் கண்டறியவும்

ஆர்(2π /9<Х< π /2).

2.3.

x≤2 இல் 0,

2 மணிக்கு f(x)= c x<х≤4,

x>4க்கு 0.

2.4. ஒரு தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறி X பரவலான அடர்த்தியால் குறிப்பிடப்படுகிறது:

0 இல் x≤0,

f(x)= c √x இல் 0<х≤1,

x>1க்கு 0.

கண்டுபிடி: a) எண் c; b) M(X), D(X).

2.5.

x இல் https://pandia.ru/text/78/455/images/image041_3.jpg" width="36" height="39">,

x இல் 0.

கண்டுபிடி: அ) F(x) மற்றும் அதை சதி; b) M(X),D(X), σ(X); c) நான்கில் இருக்கும் நிகழ்தகவு சுயாதீன சோதனைகள் X மதிப்பு இடைவெளியை (1;4) சேர்ந்த மதிப்பை விட சரியாக 2 மடங்கு எடுக்கும்.

2.6. தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறி X இன் நிகழ்தகவு பரவல் அடர்த்தி கொடுக்கப்பட்டுள்ளது:

f(x)= 2(x-2) இல் x,

x இல் 0.

கண்டுபிடி: அ) F(x) மற்றும் அதை சதி; b) M(X),D(X), σ (X); c) மூன்று சுயாதீன சோதனைகளில் X இன் மதிப்பு பிரிவின் மதிப்பை விட சரியாக 2 மடங்கு எடுக்கும் நிகழ்தகவு .

2.7. f(x) சார்பு பின்வருமாறு கொடுக்கப்பட்டுள்ளது:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image045_4.jpg" width="43" height="38 src=">.jpg" width="16" height="15">[-√ 3/2; √3/2].

2.8. f(x) செயல்பாடு பின்வருமாறு கொடுக்கப்பட்டுள்ளது:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image046_5.jpg" width="45" height="36 src="> .jpg" width="16" height="15">[- π /4 ; π /4].

கண்டுபிடி: a) சில சீரற்ற மாறி X இன் நிகழ்தகவு அடர்த்தியாக இருக்கும் செயல்பாடு c மாறிலியின் மதிப்பு; b) விநியோக செயல்பாடு F(x).

2.9. ரேண்டம் மாறி X, இடைவெளியில் (3;7) செறிவூட்டப்பட்டது, F(x)= என்ற பரவல் செயல்பாட்டால் குறிப்பிடப்படுகிறது. அதற்கான நிகழ்தகவைக் கண்டறியவும்

சீரற்ற மாறி X மதிப்பை எடுக்கும்: a) 5 க்கும் குறைவாக, b) 7 க்கு குறையாது.

2.10. ரேண்டம் மாறி X, இடைவெளியில் குவிந்துள்ளது (-1;4),

விநியோக செயல்பாடு F(x)= மூலம் வழங்கப்படுகிறது. அதற்கான நிகழ்தகவைக் கண்டறியவும்

சீரற்ற மாறி X மதிப்பை எடுக்கும்: a) 2 க்கும் குறைவாக, b) 4 க்கு குறையாது.

2.11.

https://pandia.ru/text/78/455/images/image049_6.jpg" width="43" height="44 src="> .jpg" width="16" height="15">.

கண்டுபிடி: a) எண் c; b) M(X); c) நிகழ்தகவு P(X> M(X)).

2.12. சீரற்ற மாறியானது வேறுபட்ட விநியோகச் செயல்பாட்டால் குறிப்பிடப்படுகிறது:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image050_3.jpg" width="60" height="38 src=">.jpg" width="16 height=15" height="15"> .

கண்டுபிடி: அ) எம்(எக்ஸ்); b) நிகழ்தகவு P(X≤M(X))

2.13. ரெம் விநியோகம் நிகழ்தகவு அடர்த்தியால் வழங்கப்படுகிறது:

x ≥0க்கு https://pandia.ru/text/78/455/images/image052_5.jpg" width="46" height="37">.

f(x) உண்மையில் ஒரு நிகழ்தகவு அடர்த்தி சார்பு என்பதை நிரூபிக்கவும்.

2.14. தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறி X இன் நிகழ்தகவு பரவல் அடர்த்தி கொடுக்கப்பட்டுள்ளது:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image054_3.jpg" width="174" height="136 src=">(படம் 4) (படம்.5)

2.16. சீரற்ற மாறி X சட்டத்தின் படி விநியோகிக்கப்படுகிறது " வலது முக்கோணம்"இடைவெளியில் (0;4) (படம் 5). முழு எண் வரியிலும் நிகழ்தகவு அடர்த்தி f(x)க்கான பகுப்பாய்வு வெளிப்பாட்டைக் கண்டறியவும்.

பதில்கள்

0 இல் x≤0,

x≤ π/6க்கு f(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86"> 0,

F(x)= 3sin 3x இல் π/6<х≤ π/3,

x> π/3க்கு 0. ஒரு தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறி X உள்ளது சீரான சட்டம்இந்த இடைவெளியில் நிகழ்தகவு பரவல் அடர்த்தி f(x) நிலையானதாகவும் அதற்கு வெளியே 0 க்கு சமமாகவும் இருந்தால், X இன் சாத்தியமான அனைத்து மதிப்புகளையும் கொண்ட ஒரு குறிப்பிட்ட இடைவெளியில் (a;b) விநியோகம்.

x≤aக்கு 0,

f(x)= ஒரு<х

x≥bக்கு 0.

f(x) செயல்பாட்டின் வரைபடம் படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளது. 1

x≤aக்கு https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86"> 0,

F(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image077_3.jpg" width="30" height="37">, D(X)=, σ(X)=.

பணி எண் 1.சீரற்ற மாறி X பிரிவில் ஒரே சீராக விநியோகிக்கப்படுகிறது. கண்டுபிடி:

a) நிகழ்தகவு பரவல் அடர்த்தி f(x) மற்றும் அதை சதி;

b) விநியோக செயல்பாடு F(x) மற்றும் அதைத் திட்டமிடுங்கள்;

c) M(X),D(X), σ(X).

தீர்வு: மேலே விவாதிக்கப்பட்ட சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி, a=3, b=7 உடன், நாம் கண்டுபிடிப்போம்:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image081_2.jpg" width="22" height="39"> இல் 3≤х≤7,

x>7க்கு 0

அதன் வரைபடத்தை உருவாக்குவோம் (படம் 3):

x≤3 இல் https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86 src="> 0,

F(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image084_3.jpg" width="203" height="119 src=">படம் 4

D(X) = ==https://pandia.ru/text/78/455/images/image089_1.jpg" width="37" height="43">==https://pandia.ru/text/ 78/455/images/image092_10.gif" width="14" height="49 src="> x இல் 0<0,

x≥0க்கு f(x)= λе-λх.

ஒரு சீரற்ற மாறி X இன் பரவல் செயல்பாடு, அதிவேக விதியின்படி விநியோகிக்கப்படுகிறது, இது சூத்திரத்தால் வழங்கப்படுகிறது:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image094_4.jpg" width="191" height="126 src=">fig..jpg" width="22" height="30"> , D(X)=, σ (Х)=

எனவே, அதிவேகப் பரவலின் கணித எதிர்பார்ப்பு மற்றும் நிலையான விலகல் ஆகியவை ஒன்றுக்கொன்று சமமாக இருக்கும்.

X இடைவெளியில் (a;b) விழும் நிகழ்தகவு சூத்திரத்தால் கணக்கிடப்படுகிறது:

பி(அ<Х

பணி எண் 2.சாதனத்தின் தோல்வி-இல்லாத செயல்பாட்டு நேரம் சராசரியாக 100 மணிநேரம் ஆகும்.

a) நிகழ்தகவு பரவல் அடர்த்தி;

b) விநியோக செயல்பாடு;

c) சாதனத்தின் செயலிழப்பு இல்லாத இயக்க நேரம் 120 மணிநேரத்தை தாண்டுவதற்கான நிகழ்தகவு.

தீர்வு: நிபந்தனையின்படி, கணிதப் பரவல் M(X)=https://pandia.ru/text/78/455/images/image098_10.gif" height="43 src="> 0 இல் x<0,

a) f(x)= x≥0க்கு 0.01e -0.01x.

b) F(x)= 0 இல் x<0,

x≥0 இல் 1-e -0.01x.

c) விநியோகச் செயல்பாட்டைப் பயன்படுத்தி விரும்பிய நிகழ்தகவைக் காண்கிறோம்:

பி(X>120)=1-எஃப்(120)=1-(1- இ -1.2)= இ -1.2≈0.3.

§ 3.சாதாரண விநியோக சட்டம்

வரையறை: ஒரு தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறி X உள்ளது சாதாரண விநியோக சட்டம் (காஸ் சட்டம்), அதன் பரவல் அடர்த்தி வடிவம் இருந்தால்:

,

இங்கு m=M(X), σ2=D(X), σ>0.

சாதாரண விநியோக வளைவு அழைக்கப்படுகிறது சாதாரண அல்லது காஸியன் வளைவு (படம்.7)

சாதாரண வளைவு x=m என்ற நேர்கோட்டைப் பொறுத்து சமச்சீராக இருக்கும், அதிகபட்சம் x=a, க்கு சமம்.

ஒரு சீரற்ற மாறி X இன் பரவல் செயல்பாடு, சாதாரண சட்டத்தின்படி விநியோகிக்கப்படுகிறது, இது சூத்திரத்தின்படி Laplace செயல்பாடு Ф (x) மூலம் வெளிப்படுத்தப்படுகிறது:

,

Laplace செயல்பாடு எங்கே.

கருத்து: Ф(x) செயல்பாடு ஒற்றைப்படை (Ф(-х)=-Ф(х)), கூடுதலாக, x>5 க்கு நாம் Ф(х) ≈1/2 எனக் கொள்ளலாம்.

F(x) விநியோகச் செயல்பாட்டின் வரைபடம் படம். 8

https://pandia.ru/text/78/455/images/image106_4.jpg" width="218" height="33">

நிகழ்தகவு துல்லியமான மதிப்புநேர்மறை எண் δ ஐ விட குறைவான விலகல்கள் சூத்திரத்தால் கணக்கிடப்படுகின்றன:

குறிப்பாக, m=0க்கு பின்வரும் சமத்துவம் உள்ளது:

"மூன்று சிக்மா விதி"

ஒரு சீரற்ற மாறி X ஆனது m ​​மற்றும் σ அளவுருக்கள் கொண்ட இயல்பான விநியோக விதியைக் கொண்டிருந்தால், அதன் மதிப்பு இடைவெளியில் (a-3σ; a+3σ) இருக்கும் என்பது கிட்டத்தட்ட உறுதியாகிறது, ஏனெனில்

https://pandia.ru/text/78/455/images/image110_2.jpg" width="157" height="57 src=">a)

b) சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துவோம்:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image112_2.jpg" width="369" height="38 src=">

செயல்பாட்டு மதிப்புகளின் அட்டவணையில் இருந்து Ф(х) Ф(1.5)=0.4332, Ф(1)=0.3413.

எனவே, விரும்பிய நிகழ்தகவு:

பி(28

சுயாதீன வேலைக்கான பணிகள்

3.1. சீரற்ற மாறி X இடைவெளியில் (-3;5) சீராக விநியோகிக்கப்படுகிறது. கண்டுபிடி:

b) விநியோக செயல்பாடு F(x);

c) எண்ணியல் பண்புகள்;

ஈ) நிகழ்தகவு பி(4<х<6).

3.2. சீரற்ற மாறி X பிரிவில் ஒரே சீராக விநியோகிக்கப்படுகிறது. கண்டுபிடி:

a) விநியோக அடர்த்தி f(x);

b) விநியோக செயல்பாடு F(x);

c) எண்ணியல் பண்புகள்;

ஈ) நிகழ்தகவு P(3≤х≤6).

3.3. நெடுஞ்சாலையில் ஒரு தானியங்கி போக்குவரத்து விளக்கு உள்ளது, அதில் பச்சை விளக்கு 2 நிமிடங்கள், மஞ்சள் 3 வினாடிகள், சிவப்பு 30 வினாடிகள், முதலியன. ஒரு கார் நெடுஞ்சாலையில் சீரற்ற தருணத்தில் செல்கிறது. ஒரு கார் போக்குவரத்து விளக்கை நிறுத்தாமல் கடந்து செல்லும் நிகழ்தகவைக் கண்டறியவும்.

3.4. சுரங்கப்பாதை ரயில்கள் வழக்கமாக 2 நிமிட இடைவெளியில் இயக்கப்படுகின்றன. ஒரு பயணி சீரற்ற நேரத்தில் நடைமேடைக்குள் நுழைகிறார். ஒரு பயணி ரயிலுக்காக 50 வினாடிகளுக்கு மேல் காத்திருக்க வேண்டிய நிகழ்தகவு என்ன? ரேண்டம் மாறி X இன் கணித எதிர்பார்ப்பைக் கண்டறியவும் - ரயிலுக்கான காத்திருப்பு நேரம்.

3.5. பரவல் செயல்பாட்டால் கொடுக்கப்பட்ட அதிவேக விநியோகத்தின் மாறுபாடு மற்றும் நிலையான விலகலைக் கண்டறியவும்:

F(x)= x இல் 0<0,

x≥0க்கு 1வது-8x.

3.6. ஒரு தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறி X நிகழ்தகவு பரவல் அடர்த்தியால் குறிப்பிடப்படுகிறது:

f(x)= x இல் 0<0,

x≥0 இல் 0.7 e-0.7x.

a) பரிசீலனையில் உள்ள சீரற்ற மாறியின் விநியோக விதிக்கு பெயரிடவும்.

b) F(X) பரவல் செயல்பாடு மற்றும் X என்ற சீரற்ற மாறியின் எண் பண்புகளைக் கண்டறியவும்.

3.7. நிகழ்தகவு பரவல் அடர்த்தியால் குறிப்பிடப்பட்ட அதிவேக விதியின்படி சீரற்ற மாறி X விநியோகிக்கப்படுகிறது:

f(x)= x இல் 0<0,

x≥0 இல் 0.4 e-0.4 x.

சோதனையின் விளைவாக X இடைவெளியில் (2.5;5) மதிப்பை எடுக்கும் நிகழ்தகவைக் கண்டறியவும்.

3.8. ஒரு தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறி X ஆனது விநியோகச் செயல்பாட்டால் குறிப்பிடப்பட்ட அதிவேக விதியின்படி விநியோகிக்கப்படுகிறது:

F(x)= x இல் 0<0,

x≥0 இல் 1வது-0.6x

சோதனையின் விளைவாக, X பிரிவில் இருந்து ஒரு மதிப்பை எடுக்கும் நிகழ்தகவைக் கண்டறியவும்.

3.9. பொதுவாக விநியோகிக்கப்படும் சீரற்ற மாறியின் எதிர்பார்க்கப்படும் மதிப்பு மற்றும் நிலையான விலகல் முறையே 8 மற்றும் 2 ஆகும்.

a) விநியோக அடர்த்தி f(x);

b) சோதனையின் விளைவாக X இடைவெளியில் இருந்து ஒரு மதிப்பை எடுக்கும் நிகழ்தகவு (10;14).

3.10. சீரற்ற மாறி X பொதுவாக 3.5 என்ற கணித எதிர்பார்ப்பு மற்றும் 0.04 மாறுபாட்டுடன் விநியோகிக்கப்படுகிறது. கண்டுபிடி:

a) விநியோக அடர்த்தி f(x);

b) சோதனையின் விளைவாக X பிரிவில் இருந்து ஒரு மதிப்பை எடுக்கும் நிகழ்தகவு .

3.11. சீரற்ற மாறி X பொதுவாக M(X)=0 மற்றும் D(X)=1 உடன் விநியோகிக்கப்படுகிறது. நிகழ்வுகளில் எது: |X|≤0.6 அல்லது |X|≥0.6 அதிகமாக இருக்கலாம்?

3.12. சீரற்ற மாறி X ஆனது M(X)=0 மற்றும் D(X)=1 உடன் பொதுவாக விநியோகிக்கப்படுகிறது எந்த இடைவெளியில் இருந்து (-0.5;-0.1) அல்லது (1;2) ஒரு சோதனையின் போது ஒரு மதிப்பை எடுக்கும்?

3.13. M(X)=10 den உடன் சாதாரண விநியோகச் சட்டத்தைப் பயன்படுத்தி ஒரு பங்கின் தற்போதைய விலையை மாதிரியாகக் கொள்ளலாம். அலகுகள் மற்றும் σ (X)=0.3 டென். அலகுகள் கண்டுபிடி:

a) தற்போதைய பங்கின் விலை 9.8 டெனில் இருக்கும் நிகழ்தகவு. அலகுகள் 10.4 நாட்கள் வரை அலகுகள்;

b) "மூன்று சிக்மா விதி"யைப் பயன்படுத்தி, தற்போதைய பங்கு விலை இருக்கும் எல்லைகளைக் கண்டறியவும்.

3.14. பொருள் முறையான பிழைகள் இல்லாமல் எடைபோடப்படுகிறது. சீரற்ற எடையிடல் பிழைகள் சராசரி சதுர விகிதம் σ=5g உடன் சாதாரண சட்டத்திற்கு உட்பட்டது. நான்கு சுயாதீன சோதனைகளில் மூன்று எடைகளில் ஒரு பிழை முழுமையான மதிப்பு 3r இல் ஏற்படாத நிகழ்தகவைக் கண்டறியவும்.

3.15. சீரற்ற மாறி X பொதுவாக M(X)=12.6 உடன் விநியோகிக்கப்படுகிறது. ஒரு சீரற்ற மாறி இடைவெளியில் (11.4;13.8) விழும் நிகழ்தகவு 0.6826 ஆகும். நிலையான விலகலைக் கண்டறியவும் σ.

3.16. ரேண்டம் மாறி X ஆனது M(X)=12 மற்றும் D(X)=36 உடன் பொதுவாக விநியோகிக்கப்படுகிறது, 0.9973 நிகழ்தகவு கொண்ட சோதனையின் விளைவாக ரேண்டம் மாறி X விழும் இடைவெளியைக் கண்டறியவும்.

3.17. ஒரு தானியங்கி இயந்திரத்தால் தயாரிக்கப்படும் ஒரு பகுதி, அதன் கட்டுப்படுத்தப்பட்ட அளவுருவின் பெயரளவு மதிப்பிலிருந்து விலகல் X மாடுலோ 2 யூனிட் அளவீட்டை விட அதிகமாக இருந்தால், அது குறைபாடுடையதாகக் கருதப்படுகிறது. சீரற்ற மாறி X என்பது பொதுவாக M(X)=0 மற்றும் σ(X)=0.7 உடன் விநியோகிக்கப்படும் என்று கருதப்படுகிறது. இயந்திரம் எந்த சதவீத குறைபாடுள்ள பாகங்களை உருவாக்குகிறது?

3.18. பகுதியின் X அளவுரு பொதுவாக கணித எதிர்பார்ப்பு 2 மற்றும் பெயரளவு மதிப்புக்கு சமம் மற்றும் 0.014 இன் நிலையான விலகலுடன் விநியோகிக்கப்படுகிறது. பெயரளவு மதிப்பில் இருந்து X இன் விலகல் பெயரளவு மதிப்பின் 1% ஐ விட அதிகமாக இருக்காது என்ற நிகழ்தகவைக் கண்டறியவும்.

பதில்கள்

https://pandia.ru/text/78/455/images/image116_9.gif" width="14" height="110 src=">

b) x≤-3க்கு 0,

F(x)= left">

3.10. a)f(x)= ,

b) Р(3.1≤Х≤3.7) ≈0.8185.

3.11. |x|≥0.6.

3.12. (-0,5;-0,1).

3.13. a) பி(9.8≤Х≤10.4) ≈0.6562.

3.14. 0,111.

3.15. σ=1.2.

3.16. (-6;30).

3.17. 0,4%.

எதிர்பார்த்த மதிப்பு

சிதறல்தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறி X, முழு ஆக்ஸ் அச்சுக்குச் சொந்தமான சாத்தியமான மதிப்புகள் சமத்துவத்தால் தீர்மானிக்கப்படுகின்றன:

சேவையின் நோக்கம். ஆன்லைன் கால்குலேட்டர் இதில் உள்ள சிக்கல்களைத் தீர்க்க வடிவமைக்கப்பட்டுள்ளது விநியோக அடர்த்தி f(x) அல்லது விநியோக செயல்பாடு F(x) (உதாரணத்தைப் பார்க்கவும்). பொதுவாக இதுபோன்ற பணிகளில் நீங்கள் கண்டுபிடிக்க வேண்டும் கணித எதிர்பார்ப்பு, நிலையான விலகல், f(x) மற்றும் F(x) செயல்பாடுகளின் வரைபட வரைபடங்கள்.

வழிமுறைகள். மூலத் தரவின் வகையைத் தேர்ந்தெடுக்கவும்: விநியோக அடர்த்தி f(x) அல்லது விநியோக செயல்பாடு F(x).

விநியோக அடர்த்தி f(x) கொடுக்கப்பட்ட விநியோக செயல்பாடு F(x) கொடுக்கப்பட்டது

விநியோக அடர்த்தி f(x) கொடுக்கப்பட்டுள்ளது:

விநியோக செயல்பாடு F(x) கொடுக்கப்பட்டுள்ளது:

தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறியானது நிகழ்தகவு அடர்த்தியால் குறிப்பிடப்படுகிறது
(ரேலி விநியோக சட்டம் - ரேடியோ பொறியியலில் பயன்படுத்தப்படுகிறது). M(x) , D(x) .

சீரற்ற மாறி X அழைக்கப்படுகிறது தொடர்ச்சியான , அதன் விநியோக செயல்பாடு F(X)=P(X< x) непрерывна и имеет производную.
தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறியின் விநியோகச் செயல்பாடு, கொடுக்கப்பட்ட இடைவெளியில் ஒரு சீரற்ற மாறி விழும் நிகழ்தகவைக் கணக்கிடப் பயன்படுகிறது:
பி(α< X < β)=F(β) - F(α)
மேலும், தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறிக்கு, அதன் எல்லைகள் இந்த இடைவெளியில் சேர்க்கப்பட்டுள்ளதா இல்லையா என்பது முக்கியமல்ல:
பி(α< X < β) = P(α ≤ X < β) = P(α ≤ X ≤ β)
விநியோக அடர்த்தி தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறி ஒரு செயல்பாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது
f(x)=F’(x) , பரவல் செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல்.

விநியோக அடர்த்தியின் பண்புகள்

1. சீரற்ற மாறியின் பரவலான அடர்த்தியானது x இன் அனைத்து மதிப்புகளுக்கும் எதிர்மறை அல்லாத (f(x) ≥ 0) ஆகும்.
2. இயல்பாக்குதல் நிலை:

இயல்பான நிலையின் வடிவியல் பொருள்: விநியோக அடர்த்தி வளைவின் கீழ் உள்ள பகுதி ஒற்றுமைக்கு சமம்.
3. ஒரு சீரற்ற மாறி X α இலிருந்து β வரையிலான இடைவெளியில் விழும் நிகழ்தகவை சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடலாம்

வடிவியல் ரீதியாக, தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறி X இடைவெளியில் (α, β) விழும் நிகழ்தகவு இந்த இடைவெளியின் அடிப்படையில் விநியோக அடர்த்தி வளைவின் கீழ் உள்ள வளைவு ட்ரேப்சாய்டின் பகுதிக்கு சமம்.
4. விநியோக செயல்பாடு பின்வருமாறு அடர்த்தியின் அடிப்படையில் வெளிப்படுத்தப்படுகிறது:

புள்ளி x இல் உள்ள பரவல் அடர்த்தியின் மதிப்பு, இந்த மதிப்பை ஏற்றுக்கொள்ளும் நிகழ்தகவுக்கு சமமாக இல்லை; விடுங்கள்)