சீரான விநியோகம்.சீரற்ற மதிப்பு எக்ஸ்ஒரு பிரிவில் சீரற்ற முறையில் தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட ஒரு புள்ளியின் ஆயங்களின் பொருளைக் கொண்டுள்ளது

[a, b. சீரான அடர்த்திசீரற்ற மாறி விநியோகம் எக்ஸ்(படம் 10.5, A)என வரையறுக்கலாம்:

அரிசி. 10.5 சீரற்ற மாறியின் சீரான விநியோகம்: ஏ- விநியோக அடர்த்தி; பி- விநியோக செயல்பாடு

சீரற்ற மாறி விநியோக செயல்பாடு எக்ஸ்வடிவம் உள்ளது:

சீரான விநியோக செயல்பாட்டின் வரைபடம் படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளது. 10.5, பி.

(10.3):

எதிர்பார்க்கப்படும் மதிப்பு மற்றும் மாறுபாடு ஆகியவை தொடர்புடைய வரையறைகளிலிருந்து நேரடியாகக் கணக்கிடப்படுகின்றன:

கணித எதிர்பார்ப்பு மற்றும் சிதறலுக்கான ஒத்த சூத்திரங்கள் சூத்திரங்கள் (10.8), (10.9) பயன்படுத்தி லாப்லேஸ் உருமாற்றத்தைப் பயன்படுத்தி பெறலாம்.

ஒரு சீரான விநியோகம் மூலம் விவரிக்கக்கூடிய ஒரு சேவை அமைப்பின் உதாரணத்தைக் கருத்தில் கொள்வோம்.

குறுக்குவெட்டில் போக்குவரத்து ஒரு தானியங்கி போக்குவரத்து விளக்கு மூலம் கட்டுப்படுத்தப்படுகிறது, இதில் பச்சை விளக்கு 1 நிமிடம் மற்றும் சிவப்பு 0.5 நிமிடங்கள். ஓட்டுநர்கள் ஒரு சந்திப்பை நெருங்குகிறார்கள் சீரற்ற தருணங்கள்போக்குவரத்து விளக்கின் செயல்பாட்டுடன் தொடர்பில்லாத சீரான விநியோகத்துடன் கூடிய நேரம். ஒரு கார் நிற்காமல் குறுக்கு வழியில் செல்லும் நிகழ்தகவைக் கண்டுபிடிப்போம்.

ஒரு கார் குறுக்குவெட்டு வழியாக செல்லும் தருணம் 1 + 0.5 = 1.5 நிமிட இடைவெளியில் ஒரே மாதிரியாக விநியோகிக்கப்படுகிறது. குறுக்குவெட்டைக் கடக்கும் தருணம் நேர இடைவெளிக்குள் விழுந்தால், கார் நிற்காமல் குறுக்குவெட்டு வழியாகச் செல்லும். ஒரு இடைவெளியில் சீராக விநியோகிக்கப்படும் சீரற்ற மாறிக்கு, இடைவெளியில் விழுவதற்கான நிகழ்தகவு 1/1.5=2/3 ஆகும். காத்திருக்கும் நேரம் Гож ஒரு கலப்பு சீரற்ற மாறி. நிகழ்தகவு 2/3 உடன் இது பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம், மற்றும் நிகழ்தகவு 0.5/1.5 உடன் எந்த மதிப்பையும் 0 மற்றும் 0.5 நிமிடங்களுக்கு இடையில் எடுக்கும். எனவே, சந்திப்பில் சராசரியாக காத்திருக்கும் நேரம் மற்றும் மாறுபாடு

அதிவேக (அதிவேக) விநியோகம்.ஒரு அதிவேக விநியோகத்திற்கு, ஒரு சீரற்ற மாறியின் பரவல் அடர்த்தியை இவ்வாறு எழுதலாம்:

இதில் A என்பது விநியோக அளவுரு என்று அழைக்கப்படுகிறது.

அதிவேக விநியோகத்தின் நிகழ்தகவு அடர்த்தி வரைபடம் படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளது. 10.6, ஏ.

அதிவேகப் பரவலுடன் கூடிய சீரற்ற மாறியின் பரவல் செயல்பாடு வடிவம் கொண்டது

அரிசி. 10.6 சீரற்ற மாறியின் அதிவேக விநியோகம்: ஏ- விநியோக அடர்த்தி; b -விநியோக செயல்பாடு

அதிவேக விநியோக செயல்பாட்டின் வரைபடம் படம். 10.6, 6.

(10.3) பயன்படுத்தி அதிவேக விநியோகத்தின் லாப்லேஸ் மாற்றத்தை கணக்கிடுகிறோம்:

ஒரு சீரற்ற மாறிக்கு அதைக் காட்டுவோம் எக்ஸ்,ஒரு அதிவேக விநியோகம் உள்ளது, எதிர்பார்க்கப்படும் மதிப்புநிலையான விலகல் a க்கு சமம் மற்றும் A அளவுருவிற்கு நேர்மாறானது:

எனவே, அதிவேகப் பரவலுக்கு நம்மிடம் உள்ளது: அதையும் காட்டலாம்

அந்த. அதிவேக விநியோகம் முற்றிலும் சராசரி அல்லது அளவுருவால் வகைப்படுத்தப்படுகிறது எக்ஸ் .

அதிவேக விநியோகம் ஒரு எண்ணைக் கொண்டுள்ளது பயனுள்ள பண்புகள், இது மாடலிங் சேவை அமைப்புகளில் பயன்படுத்தப்படுகிறது. உதாரணமாக, இதற்கு நினைவகம் இல்லை. எப்பொழுது , அந்த

வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், சீரற்ற மாறியானது நேரத்திற்கு ஒத்திருந்தால், மீதமுள்ள காலத்தின் விநியோகம் ஏற்கனவே கடந்துவிட்ட நேரத்தை சார்ந்து இருக்காது. இந்த சொத்து படத்தில் விளக்கப்பட்டுள்ளது. 10.7.

அரிசி. 10.7.

இயங்கு அளவுருக்கள் அதிவேக விநியோகத்தால் விவரிக்கப்படும் ஒரு அமைப்பின் உதாரணத்தைக் கருத்தில் கொள்வோம்.

ஒரு சாதனம் செயல்படும் போது, ​​சீரற்ற நேரங்களில் செயலிழப்புகள் ஏற்படும். சாதனத்தின் இயக்க நேரம் டிஅதன் மாறுதலிலிருந்து செயலிழப்பு ஏற்படும் வரை அளவுருவுடன் கூடிய அதிவேகச் சட்டத்தின்படி விநியோகிக்கப்படும் எக்ஸ்.ஒரு செயலிழப்பு கண்டறியப்பட்டால், சாதனம் உடனடியாக பழுதுபார்க்கப்படுகிறது, இது நேரம் / 0 வரை நீடிக்கும். இரண்டு அடுத்தடுத்த தவறுகளுக்கு இடையே உள்ள நேர இடைவெளியின் அடர்த்தி மற்றும் பரவல் செயல்பாடு, கணித எதிர்பார்ப்பு மற்றும் சிதறல், அத்துடன் நேரத்தின் நிகழ்தகவு ஆகியவற்றைக் கண்டுபிடிப்போம். டி எக்ஸ்இன்னும் இருக்கும் 2டி 0.

அன்றிலிருந்து

இயல்பான விநியோகம்.இயல்பான என்பது ஒரு தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறியின் நிகழ்தகவு பரவல் ஆகும், இது அடர்த்தியால் விவரிக்கப்படுகிறது.

(10.48) இருந்து அது பின்வருமாறு சாதாரண விநியோகம்இரண்டு அளவுருக்களால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது - கணித எதிர்பார்ப்பு டிமற்றும் சிதறல் a 2. இல் இயல்பான விநியோகத்துடன் சீரற்ற மாறியின் நிகழ்தகவு அடர்த்தி வரைபடம் t= 0, மற்றும் 2 =1 படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளது. 10.8, ஏ.

அரிசி. 10.8 ஒரு சீரற்ற மாறியின் இயல்பான விநியோக விதி டி= 0, ஸ்டம்ப் 2 = 1: ஏ- நிகழ்தகவு அடர்த்தி; 6 - விநியோக செயல்பாடு

விநியோக செயல்பாடு சூத்திரத்தால் விவரிக்கப்படுகிறது

இல் பொதுவாக விநியோகிக்கப்படும் சீரற்ற மாறியின் நிகழ்தகவு பரவல் செயல்பாட்டின் வரைபடம் டி= 0, மற்றும் 2 = 1 படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளது. 10.8, பி.

அதற்கான நிகழ்தகவை தீர்மானிப்போம் எக்ஸ்இடைவெளிக்கு (a, p) சொந்தமான மதிப்பை எடுக்கும்:

எங்கே Laplace செயல்பாடு, மற்றும் நிகழ்தகவு

என்ன துல்லியமான மதிப்புநேர்மறை எண் 6 ஐ விட குறைவான விலகல்கள்:

குறிப்பாக, எப்போது t = 0 சமத்துவம் உண்மை:

நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, ஒரு சாதாரண விநியோகம் கொண்ட ஒரு சீரற்ற மாறி நேர்மறை மற்றும் எதிர்மறை மதிப்புகளை எடுக்க முடியும். எனவே, தருணங்களைக் கணக்கிடுவதற்கு இருவழி லாப்லேஸ் உருமாற்றத்தைப் பயன்படுத்துவது அவசியம்

இருப்பினும், இந்த ஒருங்கிணைப்பு அவசியம் இல்லை. அது இருந்தால், அதற்கு பதிலாக (10.50) வெளிப்பாடு பொதுவாக பயன்படுத்தப்படுகிறது

என்று அழைக்கப்படும் பண்பு செயல்பாடுஅல்லது தருணங்களின் செயல்பாட்டை உருவாக்குகிறது.

சூத்திரத்தை (10.51) பயன்படுத்தி சாதாரண விநியோகத்தின் தருணங்களின் உருவாக்கும் செயல்பாட்டைக் கணக்கிடுவோம்:

துணை அதிவேக வெளிப்பாட்டின் எண்ணிக்கையை நாம் பெறும் படிவத்திற்கு மாற்றிய பிறகு

ஒருங்கிணைந்த

ஏனெனில் இது அளவுருக்களுடன் இயல்பான நிகழ்தகவு அடர்த்தியின் ஒருங்கிணைந்ததாகும் t + அதனால் 2மற்றும் ஒரு 2. எனவே,

வேறுபடுத்தி (10.52), நாம் பெறுகிறோம்

இந்த வெளிப்பாடுகளிலிருந்து நீங்கள் பின்வரும் புள்ளிகளைக் காணலாம்:

சாதாரண விநியோகம் நடைமுறையில் பரவலாகப் பயன்படுத்தப்படுகிறது, ஏனெனில், மைய வரம்புத் தேற்றத்தின்படி, ஒரு சீரற்ற மாறி என்பது மிகப் பெரிய எண்ணிக்கையிலான பரஸ்பர சார்பற்ற சீரற்ற மாறிகளின் கூட்டுத்தொகையாக இருந்தால், அவை ஒவ்வொன்றின் தாக்கம் முழுத் தொகையிலும் மிகக் குறைவு. இது வழக்கமான விநியோகத்திற்கு அருகில் உள்ளது.

ஒரு சாதாரண விநியோகத்தால் விவரிக்கப்படும் அளவுருக்கள் ஒரு அமைப்பின் உதாரணத்தைக் கருத்தில் கொள்வோம்.

நிறுவனம் கொடுக்கப்பட்ட அளவின் ஒரு பகுதியை உற்பத்தி செய்கிறது. ஒரு பகுதியின் தரம் அதன் அளவை அளவிடுவதன் மூலம் மதிப்பிடப்படுகிறது. சீரற்ற அளவீட்டு பிழைகள் நிலையான விலகலுடன் சாதாரண சட்டத்திற்கு உட்பட்டவை A - Yumkm. அளவீட்டுப் பிழை 15 மைக்ரான்களுக்கு மிகாமல் இருப்பதற்கான நிகழ்தகவைக் கண்டுபிடிப்போம்.

(10.49) இருந்து நாம் கண்டுபிடிக்கிறோம்

கருதப்பட்ட விநியோகங்களைப் பயன்படுத்துவதற்கு எளிதாக, அட்டவணையில் பெறப்பட்ட சூத்திரங்களை சுருக்கமாகக் கூறுகிறோம். 10.1 மற்றும் 10.2.

அட்டவணை 10.1. தொடர்ச்சியான விநியோகத்தின் அடிப்படை பண்புகள்

அட்டவணை 10.2. தொடர்ச்சியான விநியோகங்களின் செயல்பாடுகளை உருவாக்குதல்

கட்டுப்பாட்டு கேள்விகள்

• 1. என்ன நிகழ்தகவு விநியோகங்கள் தொடர்ச்சியாகக் கருதப்படுகின்றன?
• 2. Laplace-Stieltjes உருமாற்றம் என்றால் என்ன? இது எதற்கு பயன்படுகிறது?
• 3. Laplace-Stieltjes உருமாற்றத்தைப் பயன்படுத்தி சீரற்ற மாறிகளின் தருணங்களை எவ்வாறு கணக்கிடுவது?
• 4. சுயாதீன சீரற்ற மாறிகளின் கூட்டுத்தொகையின் லாப்லேஸ் மாற்றம் என்ன?
• 5. சிக்னல் வரைபடங்களைப் பயன்படுத்தி ஒரு அமைப்பானது ஒரு மாநிலத்திலிருந்து மற்றொரு நிலைக்கு மாறும் நேரத்தின் சராசரி நேரம் மற்றும் மாறுபாட்டை எவ்வாறு கணக்கிடுவது?
• 6. சீரான விநியோகத்தின் முக்கிய பண்புகளை கொடுங்கள். சேவைப் பணிகளில் அதன் பயன்பாட்டின் உதாரணங்களைக் கொடுங்கள்.
• 7. அதிவேக விநியோகத்தின் முக்கிய பண்புகளை கொடுங்கள். சேவைப் பணிகளில் அதன் பயன்பாட்டின் உதாரணங்களைக் கொடுங்கள்.
• 8. ஒரு சாதாரண விநியோகத்தின் முக்கிய பண்புகளை கொடுங்கள். சேவைப் பணிகளில் அதன் பயன்பாட்டின் உதாரணங்களைக் கொடுங்கள்.

அத்தியாயம் 6. தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறிகள்.

§ 1. தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறியின் அடர்த்தி மற்றும் விநியோக செயல்பாடு.

தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறியின் மதிப்புகளின் தொகுப்பு கணக்கிட முடியாதது மற்றும் பொதுவாக சில வரையறுக்கப்பட்ட அல்லது எல்லையற்ற இடைவெளியைக் குறிக்கிறது.

ஒரு நிகழ்தகவு இடத்தில் (W, S, P) வரையறுக்கப்பட்ட ஒரு சீரற்ற மாறி x(w) அழைக்கப்படுகிறது தொடர்ச்சியான(முற்றிலும் தொடர்ச்சியாக) W, எதிர்மறையான செயல்பாடு இருந்தால், எந்த x க்கும் Fx(x) விநியோகச் செயல்பாடு ஒரு ஒருங்கிணைந்ததாகக் குறிப்பிடப்படும்

செயல்பாடு ஒரு செயல்பாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது நிகழ்தகவு பரவல் அடர்த்தி.

வரையறையானது விநியோக அடர்த்தி செயல்பாட்டின் பண்புகளைக் குறிக்கிறது:

1..gif" width="97" height="51">

3. தொடர்ச்சியின் புள்ளிகளில், விநியோக அடர்த்தியானது விநியோகச் செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலுக்குச் சமம்: .

4. விநியோக அடர்த்தியானது ஒரு சீரற்ற மாறியின் விநியோக விதியை தீர்மானிக்கிறது, ஏனெனில் இது ஒரு சீரற்ற மாறி இடைவெளியில் விழும் நிகழ்தகவை தீர்மானிக்கிறது:

5. தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறி ஒரு குறிப்பிட்ட மதிப்பை எடுக்கும் நிகழ்தகவு பூஜ்ஜியம்: . எனவே, பின்வரும் சமத்துவங்கள் செல்லுபடியாகும்:

விநியோக அடர்த்தி செயல்பாட்டின் வரைபடம் அழைக்கப்படுகிறது விநியோக வளைவு, மற்றும் விநியோக வளைவு மற்றும் x-அச்சு ஆகியவற்றால் கட்டுப்படுத்தப்பட்ட பகுதி ஒற்றுமைக்கு சமம். பின்னர், வடிவியல் ரீதியாக, x0 புள்ளியில் உள்ள விநியோகச் செயல்பாட்டின் Fx(x) மதிப்பானது, விநியோக வளைவு மற்றும் x-அச்சு ஆகியவற்றால் கட்டுப்படுத்தப்பட்ட பகுதி மற்றும் புள்ளி x0 க்கு இடதுபுறமாக உள்ளது.

பணி 1.தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறியின் அடர்த்தி செயல்பாடு வடிவம் கொண்டது:

மாறிலி C ஐத் தீர்மானித்து, Fx(x) என்ற விநியோகச் செயல்பாட்டைக் கட்டமைத்து, நிகழ்தகவைக் கணக்கிடவும்.

தீர்வு. C நிலையானது நம்மிடம் உள்ள நிலையில் இருந்து காணப்படுகிறது:

எங்கிருந்து C=3/8.

Fx(x) விநியோகச் செயல்பாட்டைக் கட்டமைக்க, இடைவெளியானது வாதம் x (எண் அச்சு) மதிப்புகளின் வரம்பை மூன்று பகுதிகளாகப் பிரிக்கிறது என்பதை நினைவில் கொள்க: https://pandia.ru/text/78/107/images/image017_17 .gif" width="264 " height="49">

அரை அச்சில் அடர்த்தி x பூஜ்ஜியமாக இருப்பதால். இரண்டாவது வழக்கில்

இறுதியாக, கடைசி வழக்கில், x>2,

அரை அச்சில் அடர்த்தி மறைந்து விடுவதால். எனவே, விநியோக செயல்பாடு பெறப்படுகிறது

நிகழ்தகவு சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடுவோம். இதனால்,

§ 2. தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறியின் எண்ணியல் பண்புகள்

எதிர்பார்த்த மதிப்புதொடர்ச்சியாக விநியோகிக்கப்படும் சீரற்ற மாறிகள் சூத்திரத்தால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது https://pandia.ru/text/78/107/images/image028_11.gif" width="205" height="56 src=">,

வலதுபுறத்தில் உள்ள ஒருங்கிணைப்பு முற்றிலும் ஒன்றிணைந்தால்.

சிதறல் x சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடலாம் , மேலும், தனித்தனி வழக்கைப் போலவே, சூத்திரத்தின்படி https://pandia.ru/text/78/107/images/image031_11.gif" width="123" height="49 src=">.

தனித்த சீரற்ற மாறிகளுக்கு அத்தியாயம் 5 இல் கொடுக்கப்பட்டுள்ள கணித எதிர்பார்ப்பு மற்றும் சிதறலின் அனைத்து பண்புகளும் தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறிகளுக்கு செல்லுபடியாகும்.

பிரச்சனை 2. சிக்கல் 1 இலிருந்து சீரற்ற மாறி x க்கு, கணித எதிர்பார்ப்பு மற்றும் மாறுபாட்டைக் கணக்கிடவும் .

தீர்வு.

மற்றும் அர்த்தம்

https://pandia.ru/text/78/107/images/image035_9.gif" width="184" height="69 src=">

சீரான விநியோக அடர்த்தி வரைபடத்திற்கு, படம். .

படம்.6.2. விநியோக செயல்பாடு மற்றும் விநியோக அடர்த்தி. சீரான சட்டம்

சீராக விநியோகிக்கப்படும் சீரற்ற மாறியின் விநியோக செயல்பாடு Fx(x) சமமாக இருக்கும்

Fx(x)=

எதிர்பார்ப்பு மற்றும் மாறுபாடு; .

அதிவேக (அதிவேக) விநியோகம்.ரேண்டம் மாறியின் நிகழ்தகவு அடர்த்தி பரவல் சமமாக இருந்தால், ஒரு தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறி x எதிர்மறை அல்லாத மதிப்புகளை எடுக்கும் அளவுரு l>0 உடன் அதிவேகப் பரவலைக் கொண்டுள்ளது.

рx(x)=

அரிசி. 6.3 அதிவேக விதியின் விநியோக செயல்பாடு மற்றும் விநியோக அடர்த்தி.

அதிவேக விநியோகத்தின் பரவல் செயல்பாடு வடிவம் கொண்டது

Fx(x)=https://pandia.ru/text/78/107/images/image041_8.gif" width="17" height="41">.gif" width="13" height="15"> மற்றும் அதன் பரவல் அடர்த்தி சமமாக இருந்தால்

.

அளவுருக்கள் மற்றும் .

பொதுவாக விநியோகிக்கப்படும் சீரற்ற மாறியின் விநியோக செயல்பாடு சமமாக இருக்கும்

.

அரிசி. 6.4 விநியோக செயல்பாடு மற்றும் சாதாரண விநியோக அடர்த்தி

சாதாரண விநியோகத்தின் அளவுருக்கள் கணித எதிர்பார்ப்பு https://pandia.ru/text/78/107/images/image048_6.gif" width="64 height=24" height="24">

சிறப்பு வழக்கில் போது https://pandia.ru/text/78/107/images/image050_6.gif" width="44" height="21 src="> சாதாரண விநியோகம் என்று அழைக்கப்படுகிறது தரநிலை, மற்றும் அத்தகைய விநியோகங்களின் வகுப்பு https://pandia.ru/text/78/107/images/image052_6.gif" width="119" height="49"> ஆல் குறிக்கப்படுகிறது,

மற்றும் விநியோக செயல்பாடு

அத்தகைய ஒருங்கிணைப்பை பகுப்பாய்வு ரீதியாக கணக்கிட முடியாது (இது "குவாட்ரேச்சர்களில்" எடுக்கப்படவில்லை), எனவே செயல்பாட்டிற்காக அட்டவணைகள் தொகுக்கப்பட்டுள்ளன. இந்த செயல்பாடு அத்தியாயம் 4 இல் அறிமுகப்படுத்தப்பட்ட Laplace செயல்பாட்டுடன் தொடர்புடையது

,

பின்வரும் உறவின் மூலம் . தன்னிச்சையான அளவுரு மதிப்புகளின் விஷயத்தில் https://pandia.ru/text/78/107/images/image043_5.gif" width="21" height="21 src="> ஒரு சீரற்ற மாறியின் விநியோகச் செயல்பாடு லாப்லேஸ் செயல்பாட்டுடன் தொடர்புடையது:

.

எனவே, பொதுவாக விநியோகிக்கப்படும் சீரற்ற மாறி ஒரு இடைவெளியில் விழும் நிகழ்தகவை சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடலாம்

.

எதிர்மறை அல்லாத சீரற்ற மாறி x அதன் மடக்கை h=lnx சாதாரண சட்டத்திற்குக் கீழ்ப்படிந்தால் அது lognormally distribution எனப்படும். lognormally விநியோகிக்கப்படும் சீரற்ற மாறியின் எதிர்பார்க்கப்படும் மதிப்பு மற்றும் மாறுபாடு Mx= மற்றும் Dx= ஆகும்.

பணி 3.ஒரு சீரற்ற மாறிக்கு https://pandia.ru/text/78/107/images/image065_5.gif" width="81" height="23"> வழங்கப்பட வேண்டும்.

தீர்வு.இங்கே https://pandia.ru/text/78/107/images/image068_5.gif" width="573" height="45">

Laplace விநியோகம் fx(x)=https://pandia.ru/text/78/107/images/image070_5.gif" width="23" height="41"> செயல்பாட்டின் மூலம் வழங்கப்படுகிறது மற்றும் குர்டோசிஸ் gx=3 ஆகும்.

படம்.6.5. Laplace விநியோக அடர்த்தி செயல்பாடு.

ரேண்டம் மாறி x பரவியது வெய்புல் சட்டம், அது https://pandia.ru/text/78/107/images/image072_5.gif" width="189" height="53">க்கு சமமான விநியோக அடர்த்தி செயல்பாடு இருந்தால்

வெய்புல் விநியோகமானது பல தொழில்நுட்ப சாதனங்களின் தோல்வி-இல்லாத செயல்பாட்டு நேரங்களை நிர்வகிக்கிறது. இந்த சுயவிவரத்தின் பணிகளில் முக்கியமான பண்புவயது t இன் ஆய்வு கூறுகளின் தோல்வி விகிதம் (இறப்பு விகிதம்) l(t) ஆகும், இது l(t)= உறவால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது. a=1 எனில், வெய்புல் பரவலானது அதிவேகப் பரவலாகவும், a=2 எனில் - விநியோகம் எனப்படும் ரேலி.

வெய்புல் விநியோகத்தின் கணித எதிர்பார்ப்பு: -https://pandia.ru/text/78/107/images/image075_4.gif" width="219" height="45 src=">, இங்கு Г(а) என்பது யூலர் செயல்பாடு..

IN பல்வேறு பணிகள்பயன்பாட்டு புள்ளிவிவரங்களில், "துண்டிக்கப்பட்ட" விநியோகங்கள் என்று அழைக்கப்படுபவை பெரும்பாலும் சந்திக்கப்படுகின்றன. எடுத்துக்காட்டாக, வரிச் சட்டங்களால் நிறுவப்பட்ட ஒரு குறிப்பிட்ட வரம்பு c0 ஐ விட ஆண்டு வருமானம் உள்ள தனிநபர்களின் வருமான விநியோகத்தில் வரி அதிகாரிகள் ஆர்வமாக உள்ளனர். இந்த விநியோகங்கள் பரேட்டோ விநியோகத்துடன் தோராயமாக ஒத்துப்போகின்றன. பரேட்டோ விநியோகம்செயல்பாடுகளால் வழங்கப்படுகிறது

Fx(x)=P(x ஒரு சீரற்ற மாறி x இன் .gif" width="44" height="25"> மற்றும் ஒரு மோனோடோனிக் வேறுபட்ட செயல்பாடு ..gif" width="200" height="51">

இங்கே https://pandia.ru/text/78/107/images/image081_4.gif" width="60" height="21 src=">.

பணி 4.சீரற்ற மாறியானது பிரிவில் ஒரே சீராக விநியோகிக்கப்படுகிறது. சீரற்ற மாறியின் அடர்த்தியைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு.சிக்கல் நிலைமைகளில் இருந்து அது பின்வருமாறு

அடுத்து, செயல்பாடு ஒரு மோனோடோன் மற்றும் ஒரு இடைவெளியில் வேறுபடுத்தக்கூடிய செயல்பாடு மற்றும் ஒரு தலைகீழ் செயல்பாடு உள்ளது , அதன் வழித்தோன்றல் எனவே,

§ 5. தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறிகளின் ஜோடி

இரண்டு தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறிகள் x மற்றும் h கொடுக்கப்பட வேண்டும். பின்னர் ஜோடி (x, h) விமானத்தில் ஒரு "சீரற்ற" புள்ளியை வரையறுக்கிறது. ஜோடி (x, h) அழைக்கப்படுகிறது சீரற்ற திசையன்அல்லது இரு பரிமாண சீரற்ற மாறி.

கூட்டு விநியோக செயல்பாடுசீரற்ற மாறிகள் x மற்றும் h மற்றும் செயல்பாடு F(x, y)=Phttps://pandia.ru/text/78/107/images/image093_3.gif" width="173" height="25"> என அழைக்கப்படுகிறது. கூட்டு அடர்த்திசீரற்ற மாறிகள் x மற்றும் h இன் நிகழ்தகவு விநியோகம் ஒரு செயல்பாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது .

கூட்டு விநியோக அடர்த்தியின் இந்த வரையறையின் பொருள் பின்வருமாறு. ஒரு "சீரற்ற புள்ளி" (x, h) ஒரு விமானத்தில் ஒரு பகுதியில் விழும் நிகழ்தகவு ஒரு முப்பரிமாண உருவத்தின் கன அளவாக கணக்கிடப்படுகிறது - மேற்பரப்புடன் இணைக்கப்பட்ட "வளைவு" உருளை https://pandia.ru/ text/78/107/images/image098_3. gif" width="211" height="39 src=">

இரண்டு சீரற்ற மாறிகளின் கூட்டு விநியோகத்தின் எளிய உதாரணம் இரு பரிமாணமாகும் தொகுப்பில் சீரான விநியோகம்ஏ. ஒரு எல்லைக்குட்பட்ட தொகுதி M பகுதியுடன் கொடுக்கப்பட வேண்டும், இது ஜோடியின் பரவலாக வரையறுக்கப்படுகிறது (x, h), பின்வரும் கூட்டு அடர்த்தியால் வரையறுக்கப்படுகிறது:

பணி 5.இரு பரிமாண சீரற்ற திசையன் (x, h) முக்கோணத்திற்குள் ஒரே சீராக விநியோகிக்கப்படட்டும். சமமின்மையின் நிகழ்தகவைக் கணக்கிடுக x>h.

தீர்வு.சுட்டிக்காட்டப்பட்ட முக்கோணத்தின் பரப்பளவு சமம் (படம் எண்.? பார்க்கவும்). இரு பரிமாண சீரான விநியோகத்தின் வரையறையின் அடிப்படையில், சீரற்ற மாறிகள் x, h ஆகியவற்றின் கூட்டு அடர்த்தி சமம்

ஒரு நிகழ்வு ஒரு தொகுப்பிற்கு ஒத்திருக்கிறது ஒரு விமானத்தில், அதாவது ஒரு அரை விமானம். பின்னர் நிகழ்தகவு

அரை-தளம் B இல், https://pandia.ru/text/78/107/images/image102_2.gif" width="15" height="17">க்கு வெளியே கூட்டு அடர்த்தி பூஜ்ஜியமாகும். எனவே, அரை-விமானம் B இரண்டு செட்களாக பிரிக்கப்பட்டுள்ளது மற்றும் https://pandia.ru/text/78/107/images/image110_1.gif" width="17" height="23"> மற்றும் , மற்றும் இரண்டாவது ஒருங்கிணைப்பு சமம் பூஜ்ஜியம், அங்கு கூட்டு அடர்த்தி பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருப்பதால். அதனால் தான்

ஒரு ஜோடிக்கான கூட்டுப் பரவல் அடர்த்தி (x, h) கொடுக்கப்பட்டால், x மற்றும் h ஆகிய இரு கூறுகளின் அடர்த்தியும் அழைக்கப்படுகிறது. தனிப்பட்ட அடர்த்திமற்றும் சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடப்படுகிறது:

https://pandia.ru/text/78/107/images/image116_1.gif" width="224" height="23 src=">

рx(х), рh(у) அடர்த்தி கொண்ட சீரற்ற மாறிகள் தொடர்ச்சியாக விநியோகிக்கப்பட்டால், சுதந்திரம் என்பது

பணி 6.முந்தைய சிக்கலின் நிலைமைகளில், சீரற்ற திசையன் x மற்றும் h இன் கூறுகள் சுயாதீனமானதா என்பதை தீர்மானிக்கவும்?

தீர்வு. பகுதி அடர்த்தி மற்றும் . எங்களிடம் உள்ளது:

https://pandia.ru/text/78/107/images/image119_1.gif" width="283" height="61 src=">

வெளிப்படையாக, எங்கள் விஷயத்தில் https://pandia.ru/text/78/107/images/image121_1.gif" width="64" height="25"> என்பது x மற்றும் h அளவுகளின் கூட்டு அடர்த்தி மற்றும் j( x, y) என்பது இரண்டு வாதங்களின் செயல்பாடாகும்

https://pandia.ru/text/78/107/images/image123_1.gif" width="184" height="152 src=">

பணி 7.முந்தைய சிக்கலின் நிலைமைகளில், கணக்கிடுங்கள்.

தீர்வு.மேலே உள்ள சூத்திரத்தின் படி எங்களிடம் உள்ளது:

.

முக்கோணத்தைக் குறிக்கும்

https://pandia.ru/text/78/107/images/image127_1.gif" width="479" height="59">

§ 5. இரண்டு தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறிகளின் கூட்டுத்தொகையின் அடர்த்தி

x மற்றும் h ஆகியவை அடர்த்தியுடன் கூடிய சுயாதீன சீரற்ற மாறிகளாக இருக்கட்டும் https://pandia.ru/text/78/107/images/image128_1.gif" width="43" height="25">. சீரற்ற மாறியின் அடர்த்தி x + h என்பது சூத்திரத்தால் கணக்கிடப்படுகிறது வளைவு

https://pandia.ru/text/78/107/images/image130_0.gif" width="39" height="19 src=">. தொகையின் அடர்த்தியைக் கணக்கிடவும்.

தீர்வு. x மற்றும் h அளவுருவுடன் அதிவேக விதியின்படி விநியோகிக்கப்படுவதால், அவற்றின் அடர்த்தி சமமாக இருக்கும்

எனவே,

https://pandia.ru/text/78/107/images/image134_0.gif" width="339 height=51" height="51">

x என்றால்<0, то в этой формуле аргумент https://pandia.ru/text/78/107/images/image136_0.gif" width="65" height="25">எதிர்மறையானது, எனவே . எனவே, https://pandia.ru/text/78/107/images/image140_0.gif" width="359 height=101" height="101"> எனில்

எனவே எங்களுக்கு பதில் கிடைத்தது:

https://pandia.ru/text/78/107/images/image142_0.gif" width="40" height="41 "> பொதுவாக 0 மற்றும் 1 அளவுருக்களுடன் விநியோகிக்கப்படுகிறது. ரேண்டம் மாறிகள் x1 மற்றும் x2 ஆகியவை சுயாதீனமானவை மற்றும் சாதாரண விநியோகங்களைக் கொண்டுள்ளன முறையே a1 மற்றும் a2 அளவுருக்களுடன், x1 + x2 இயல்பான பரவலைக் கொண்டுள்ளது என்பதை நிரூபிக்கவும், சீரற்ற மாறிகள் x1, x2, ... xn ஆகியவை விநியோகிக்கப்படுகின்றன மற்றும் சுயாதீனமானவை மற்றும் அதே அடர்த்தி செயல்பாட்டைக் கொண்டுள்ளன

.

மதிப்புகளின் விநியோகத்தின் பரவல் செயல்பாடு மற்றும் அடர்த்தியைக் கண்டறியவும்:

a) h1 = நிமிடம் (x1, x2, ...xn) ; b) h(2) = அதிகபட்சம் (x1,x2, ... xn)

சீரற்ற மாறிகள் x1, x2, ... xn ஆகியவை சுயாதீனமானவை மற்றும் [a, b] இடைவெளியில் ஒரே மாதிரியாக விநியோகிக்கப்படுகின்றன. அளவுகளின் விநியோகங்களின் விநியோக செயல்பாடுகள் மற்றும் அடர்த்தி செயல்பாடுகளைக் கண்டறியவும்

x(1) = நிமிடம் (x1,x2, ... xn) மற்றும் x(2)= அதிகபட்சம்(x1, x2, ...xn).

Mhttps://pandia.ru/text/78/107/images/image147_0.gif" width="176" height="47"> என்பதை நிரூபிக்கவும்.

சீரற்ற மாறி Cauchy சட்டத்தின் படி விநியோகிக்கப்படுகிறது கண்டுபிடி: a) குணகம் a; b) விநியோக செயல்பாடு; c) இடைவெளியில் விழும் நிகழ்தகவு (-1, 1). x இன் கணித எதிர்பார்ப்பு இல்லை என்பதைக் காட்டு. ரேண்டம் மாறி லாப்லேஸ் விதிக்கு உட்பட்டது l (l>0) அளவுருவுடன்: குணகத்தைக் கண்டுபிடி a; விநியோக அடர்த்தி வரைபடங்கள் மற்றும் விநியோக செயல்பாடுகளை உருவாக்குதல்; Mx மற்றும் Dx ஐக் கண்டறியவும்; நிகழ்வுகளின் நிகழ்தகவுகளைக் கண்டறியவும் (|x|< и {çxç<}. Случайная величина x подчинена закону Симпсона на отрезке [-а, а], т. е. график её плотности распределения имеет вид:

விநியோக அடர்த்திக்கான சூத்திரத்தை எழுதவும், Mx மற்றும் Dx ஐக் கண்டறியவும்.

கணக்கீட்டு பணிகள்.

ஒரு சீரற்ற புள்ளி A ஆனது R ஆரம் வட்டத்தில் சீரான விநியோகத்தைக் கொண்டுள்ளது. வட்டத்தின் மையத்திற்கான புள்ளியின் தூரம் r இன் கணித எதிர்பார்ப்பு மற்றும் மாறுபாட்டைக் கண்டறியவும். r2 மதிப்பானது பிரிவில் ஒரே சீராக விநியோகிக்கப்படுவதைக் காட்டு.

சீரற்ற மாறியின் பரவல் அடர்த்தி வடிவம் கொண்டது:

மாறிலி C, விநியோக செயல்பாடு F(x) மற்றும் நிகழ்தகவு ஆகியவற்றைக் கணக்கிடவும் சீரற்ற மாறியின் பரவல் அடர்த்தி வடிவம் கொண்டது:

மாறிலி C, விநியோக செயல்பாடு F(x) மற்றும் நிகழ்தகவு ஆகியவற்றைக் கணக்கிடவும் சீரற்ற மாறியின் பரவல் அடர்த்தி வடிவம் கொண்டது:
மாறிலி C, பரவல் செயல்பாடு F(x), , மாறுபாடு மற்றும் நிகழ்தகவு ஆகியவற்றைக் கணக்கிடவும். ஒரு சீரற்ற மாறிக்கு ஒரு பரவல் செயல்பாடு உள்ளது

சீரற்ற மாறியின் அடர்த்தியைக் கணக்கிடவும், கணித எதிர்பார்ப்பு, மாறுபாடு மற்றும் நிகழ்தகவு செயல்பாடு = என்பதைச் சரிபார்க்கவும்
ஒரு சீரற்ற மாறியின் பரவல் செயல்பாடாக இருக்கலாம். இந்த அளவின் எண் பண்புகளைக் கண்டறியவும்: Mx மற்றும் Dx. சீரற்ற மாறியானது பிரிவில் ஒரே சீராக விநியோகிக்கப்படுகிறது. விநியோக அடர்த்தியை எழுதுங்கள். விநியோக செயல்பாட்டைக் கண்டறியவும். பிரிவு மற்றும் பிரிவில் ஒரு சீரற்ற மாறி விழும் நிகழ்தகவைக் கண்டறியவும். விநியோக அடர்த்தி x சமம்

.

மாறிலி c, பரவல் அடர்த்தி h = மற்றும் நிகழ்தகவு ஆகியவற்றைக் கண்டறியவும்

பி (0.25

ஒரு கணினியின் தோல்வி-இலவச செயல்பாட்டு நேரம், l = 0.05 (ஒரு மணி நேரத்திற்கு தோல்விகள்) அளவுருவுடன் ஒரு அதிவேக விதியின் படி விநியோகிக்கப்படுகிறது, அதாவது, இது ஒரு அடர்த்தி செயல்பாட்டைக் கொண்டுள்ளது.

p(x) = .

ஒரு குறிப்பிட்ட சிக்கலைத் தீர்க்க, 15 நிமிடங்களுக்கு இயந்திரத்தின் சிக்கல் இல்லாத செயல்பாடு தேவைப்படுகிறது. ஒரு சிக்கலைத் தீர்க்கும் போது தோல்வி ஏற்பட்டால், தீர்வு முடிந்த பின்னரே பிழை கண்டறியப்பட்டு, சிக்கல் மீண்டும் தீர்க்கப்படும். கண்டுபிடி: அ) பிரச்சனையின் தீர்வின் போது ஒரு தோல்வி கூட ஏற்படாத நிகழ்தகவு; b) பிரச்சனை தீர்க்கப்படும் சராசரி நேரம்.

24 செமீ நீளமுள்ள ஒரு கம்பி இரண்டு பகுதிகளாக உடைக்கப்படுகிறது; பிரேக் பாயிண்ட் தடியின் முழு நீளத்திலும் சமமாக விநியோகிக்கப்படுகிறது என்று நாங்கள் கருதுவோம். பெரும்பாலான தடியின் சராசரி நீளம் என்ன? 12 செமீ நீளமுள்ள ஒரு துண்டு தோராயமாக இரண்டு பகுதிகளாக வெட்டப்படுகிறது. வெட்டுப் புள்ளி பிரிவின் முழு நீளத்திலும் சமமாக விநியோகிக்கப்படுகிறது. பிரிவின் சிறிய பகுதியின் சராசரி நீளம் என்ன? சீரற்ற மாறியானது பிரிவில் ஒரே சீராக விநியோகிக்கப்படுகிறது. சீரற்ற மாறியின் பரவல் அடர்த்தியைக் கண்டறியவும் a) h1 = 2x + 1; b) h2 =-ln(1-x); c) h3 = .

x தொடர்ச்சியான விநியோகச் செயல்பாட்டைக் கொண்டிருந்தால் என்பதைக் காட்டு

F(x) = P(x

x மற்றும் h ஆகிய இரண்டு சார்பற்ற அளவுகளின் கூட்டுத்தொகையின் அடர்த்திச் செயல்பாடு மற்றும் விநியோகச் செயல்பாட்டைப் பிரிவுகளில் சீரான விநியோகச் சட்டங்கள் மற்றும் முறையே கண்டறியவும். சீரற்ற மாறிகள் x மற்றும் h ஆகியவை தனித்தனியாகவும், பிரிவுகளில் சீராக விநியோகிக்கப்படுகின்றன. x+h தொகையின் அடர்த்தியைக் கணக்கிடவும். சீரற்ற மாறிகள் x மற்றும் h ஆகியவை தனித்தனியாகவும், பிரிவுகளில் சீராக விநியோகிக்கப்படுகின்றன. x+h தொகையின் அடர்த்தியைக் கணக்கிடவும். சீரற்ற மாறிகள் x மற்றும் h ஆகியவை தனித்தனியாகவும், பிரிவுகளில் சீராக விநியோகிக்கப்படுகின்றன. x+h தொகையின் அடர்த்தியைக் கணக்கிடவும். சீரற்ற மாறிகள் சுயாதீனமானவை மற்றும் அடர்த்தியுடன் கூடிய அதிவேகப் பரவலைக் கொண்டுள்ளன . அவற்றின் தொகையின் பரவல் அடர்த்தியைக் கண்டறியவும். சார்பற்ற சீரற்ற மாறிகள் x மற்றும் h ஆகியவற்றின் தொகையின் பரவலைக் கண்டறியவும், அங்கு x இடைவெளியில் ஒரு சீரான பரவலைக் கொண்டுள்ளது, மேலும் h அளவுரு l உடன் அதிவேக விநியோகத்தைக் கொண்டுள்ளது. பி கண்டுபிடிக்கவும் , x இருந்தால்: a) a மற்றும் s2 அளவுருக்கள் கொண்ட இயல்பான விநியோகம்; b) அளவுரு l உடன் அதிவேக விநியோகம்; c) பிரிவில் [-1;1] சீரான விநியோகம். x, h இன் கூட்டுப் பரவலானது சதுர சீருடையது
K = (x, y): |x| +|y|£ 2). நிகழ்தகவைக் கண்டறியவும் . x மற்றும் h ஆகியவை சுயாதீனமானதா? ஒரு ஜோடி சீரற்ற மாறிகள் x மற்றும் h ஆகியவை K= முக்கோணத்திற்குள் ஒரே மாதிரியாக விநியோகிக்கப்படுகின்றன. x மற்றும் h அடர்த்தியைக் கணக்கிடுங்கள். இந்த சீரற்ற மாறிகள் சுயாதீனமானதா? நிகழ்தகவைக் கண்டறியவும். ரேண்டம் மாறிகள் x மற்றும் h ஆகியவை சுயாதீனமானவை மற்றும் பிரிவுகளில் ஒரே சீராக விநியோகிக்கப்படுகின்றன மற்றும் [-1,1]. நிகழ்தகவைக் கண்டறியவும். இரு பரிமாண சீரற்ற மாறி (x, h) செங்குத்துகள் (2,0), (0,2), (-2, 0), (0,-2) கொண்ட ஒரு சதுரத்தில் ஒரே மாதிரியாக விநியோகிக்கப்படுகிறது. புள்ளியில் (1, -1) கூட்டு விநியோகச் செயல்பாட்டின் மதிப்பைக் கண்டறியவும். ஒரு சீரற்ற திசையன் (x, h) ஆரம் 3 வட்டத்திற்குள் ஒரே மாதிரியாக விநியோகிக்கப்படுகிறது. கூட்டுப் பரவல் அடர்த்திக்கான வெளிப்பாட்டை எழுதவும். இந்த சீரற்ற மாறிகள் சார்ந்துள்ளதா என்பதைத் தீர்மானிக்கவும். நிகழ்தகவைக் கணக்கிடுங்கள். ஒரு ஜோடி சீரற்ற மாறிகள் x மற்றும் h ஆகியவை ஒரு ட்ரேப்சாய்டுக்குள் ஒரே மாதிரியான புள்ளிகளில் (-6,0), (-3,4), (3,4), (6,0) செங்குத்துகளுடன் விநியோகிக்கப்படுகின்றன. இந்த ஜோடி சீரற்ற மாறிகளின் கூட்டுப் பரவல் அடர்த்தி மற்றும் கூறுகளின் அடர்த்தி ஆகியவற்றைக் கண்டறியவும். x மற்றும் h சார்புடையதா? ஒரு சீரற்ற ஜோடி (x, h) ஒரு அரை வட்டத்திற்குள் ஒரே மாதிரியாக விநியோகிக்கப்படுகிறது. x மற்றும் h அடர்த்திகளைக் கண்டறிந்து, அவற்றின் சார்பு பற்றிய கேள்வியை ஆராயுங்கள். x மற்றும் h ஆகிய இரண்டு சீரற்ற மாறிகளின் கூட்டு அடர்த்தி சமம் .
x, h அடர்த்தியைக் கண்டறியவும். x மற்றும் h இன் சார்பு பற்றிய கேள்வியை ஆராயுங்கள். ஒரு சீரற்ற ஜோடி (x, h) தொகுப்பில் ஒரே மாதிரியாக விநியோகிக்கப்படுகிறது. x மற்றும் h அடர்த்திகளைக் கண்டறிந்து, அவற்றின் சார்பு பற்றிய கேள்வியை ஆராயுங்கள். M(xh)ஐக் கண்டறியவும். ரேண்டம் மாறிகள் x மற்றும் h ஆகியவை சுயாதீனமானவை மற்றும் கண்டுபிடிப்பு அளவுருவுடன் அதிவேக விதியின்படி விநியோகிக்கப்படுகின்றன

இதன் உதவியுடன் பல உண்மையான செயல்முறைகள் உருவகப்படுத்தப்படுகின்றன. மற்றும் மிகவும் பொதுவான உதாரணம் பொது போக்குவரத்து அட்டவணை. ஒரு குறிப்பிட்ட பேருந்து என்று வைத்துக்கொள்வோம் (ட்ரோலிபஸ்/டிராம்)ஒவ்வொரு 10 நிமிடங்களுக்கும் இயங்கும், மேலும் நீங்கள் ஒரு சீரற்ற நேரத்தில் நிறுத்தப்படுவீர்கள். 1 நிமிடத்திற்குள் பஸ் வந்து சேருவதற்கான நிகழ்தகவு என்ன? வெளிப்படையாக 1/10 பங்கு. நீங்கள் 4-5 நிமிடங்கள் காத்திருக்க வேண்டிய வாய்ப்பு என்ன? அதே . நீங்கள் 9 நிமிடங்களுக்கு மேல் பேருந்துக்காக காத்திருக்க வேண்டிய நிகழ்தகவு என்ன? பத்தில் ஒரு பங்கு!

சிலவற்றைக் கருத்தில் கொள்வோம் வரையறுக்கப்பட்டஇடைவெளி, திட்டவட்டமாக அது ஒரு பிரிவாக இருக்கட்டும். என்றால் சீரற்ற மதிப்புஉள்ளது நிலையான நிகழ்தகவு பரவல் அடர்த்திகொடுக்கப்பட்ட பிரிவு மற்றும் அதற்கு வெளியே பூஜ்ஜிய அடர்த்தி, பின்னர் அது விநியோகிக்கப்படுகிறது என்று கூறுகிறார்கள் சமமாக. இந்த வழக்கில், அடர்த்தி செயல்பாடு கண்டிப்பாக வரையறுக்கப்படும்:

உண்மையில், பிரிவின் நீளம் என்றால் (வரைபடத்தைப் பார்க்கவும்), பின்னர் மதிப்பு தவிர்க்க முடியாமல் சமமாக இருக்கும் - அதனால் செவ்வகத்தின் அலகு பகுதி பெறப்படுகிறது, மேலும் அது கவனிக்கப்படுகிறது அறியப்பட்ட சொத்து:


முறைப்படி சரிபார்ப்போம்:
, முதலியன நிகழ்தகவுக் கண்ணோட்டத்தில், இது சீரற்ற மாறி என்று பொருள் நம்பகத்தன்மையுடன்பிரிவின் மதிப்புகளில் ஒன்றை எடுத்துக்கொள்வேன் ..., நான் மெதுவாக ஒரு சலிப்பான வயதான மனிதனாக மாறுகிறேன் =)

ஒற்றுமையின் சாராம்சம் என்னவென்றால், உள் இடைவெளி எதுவாக இருந்தாலும் நிலையான நீளம்நாங்கள் கருத்தில் கொள்ளவில்லை ("பஸ்" நிமிடங்களை நினைவில் கொள்க)- இந்த இடைவெளியில் இருந்து ஒரு சீரற்ற மாறி ஒரு மதிப்பை எடுக்கும் நிகழ்தகவு ஒரே மாதிரியாக இருக்கும். வரைபடத்தில் இதுபோன்ற மூன்று நிகழ்தகவுகளை நான் நிழலாடினேன் - மீண்டும் நான் அதை வலியுறுத்துகிறேன் அவை பகுதிகளால் தீர்மானிக்கப்படுகின்றன, செயல்பாட்டு மதிப்புகள் அல்ல!

ஒரு பொதுவான பணியைக் கருத்தில் கொள்வோம்:

எடுத்துக்காட்டு 1

தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறி அதன் பரவல் அடர்த்தியால் குறிப்பிடப்படுகிறது:

மாறிலியைக் கண்டறிந்து, விநியோகச் செயல்பாட்டைக் கணக்கிட்டு உருவாக்கவும். வரைபடங்களை உருவாக்கவும். கண்டுபிடி

வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், நீங்கள் கனவு காணக்கூடிய அனைத்தும் :)

தீர்வு: இடைவெளியில் இருந்து (வரையறுக்கப்பட்ட இடைவெளி) , பின்னர் சீரற்ற மாறி ஒரு சீரான விநியோகத்தைக் கொண்டுள்ளது, மேலும் "ce" இன் மதிப்பை நேரடி சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி காணலாம் . ஆனால் இது ஒரு பொதுவான வழியில் சிறந்தது - ஒரு சொத்தைப் பயன்படுத்துதல்:

... அது ஏன் சிறந்தது? எனவே தேவையற்ற கேள்விகள் எதுவும் இல்லை;)

எனவே, அடர்த்தி செயல்பாடு:

வரைவோம். மதிப்புகள் சாத்தியமற்றது , எனவே தடிமனான புள்ளிகள் கீழே வைக்கப்பட்டுள்ளன:


விரைவான சரிபார்ப்பாக, செவ்வகத்தின் பரப்பளவைக் கணக்கிடுவோம்:
, முதலியன

கண்டுபிடிப்போம் எதிர்பார்க்கப்படும் மதிப்பு, மற்றும் அது எதற்கு சமம் என்பதை நீங்கள் ஏற்கனவே யூகிக்க முடியும். "10 நிமிட" பஸ்ஸை நினைவில் கொள்ளுங்கள்: என்றால் தோராயமாகபல, பல நாட்கள் நிறுத்தத்தை நெருங்குகிறது, பிறகு சராசரிநீங்கள் அவருக்காக 5 நிமிடங்கள் காத்திருக்க வேண்டும்.

ஆம், அது சரி - எதிர்பார்ப்பு "நிகழ்வு" இடைவெளியின் நடுவில் சரியாக இருக்க வேண்டும்:
, எதிர்பார்த்தபடி.

இதைப் பயன்படுத்தி மாறுபாட்டைக் கணக்கிடுவோம் சூத்திரம் . ஒருங்கிணைப்பைக் கணக்கிடும்போது இங்கே உங்களுக்கு ஒரு கண் மற்றும் ஒரு கண் தேவை:

இதனால், சிதறல்:

இசையமைப்போம் விநியோக செயல்பாடு . இங்கு புதிதாக எதுவும் இல்லை:

1) என்றால், பின்னர் மற்றும் ;

2) என்றால், பின்னர் மற்றும்:

3) இறுதியாக, எப்போது , அதனால்தான்:

அதன் விளைவாக:

வரைபடத்தை உருவாக்குவோம்:


"நேரடி" இடைவெளியில், விநியோக செயல்பாடு வளரும் நேரியல், மற்றும் இது ஒரு சீரான சீரற்ற மாறி நம்மிடம் உள்ளது என்பதற்கான மற்றொரு அறிகுறியாகும். நன்றாக, நிச்சயமாக, அனைத்து பிறகு வழித்தோன்றல் நேரியல் செயல்பாடு- ஒரு நிலையான உள்ளது.

காணப்பட்ட விநியோகச் செயல்பாட்டைப் பயன்படுத்தி தேவையான நிகழ்தகவை இரண்டு வழிகளில் கணக்கிடலாம்:

அல்லது ஒரு குறிப்பிட்ட ஒருங்கிணைந்த அடர்த்தியைப் பயன்படுத்துதல்:

யாருக்கு பிடிக்கும்.

மேலும் இங்கே நீங்கள் எழுதலாம் பதில்: ,
, வரைபடங்கள் தீர்வுடன் கட்டப்பட்டுள்ளன.

... "அது சாத்தியம்" ஏனெனில் பொதுவாக அது இல்லாததற்கு எந்த தண்டனையும் இல்லை. பொதுவாக;)

சீரான சீரற்ற மாறியைக் கணக்கிடுவதற்கான சிறப்பு சூத்திரங்கள் உள்ளன, அதை நீங்களே பெறுமாறு நான் பரிந்துரைக்கிறேன்:

எடுத்துக்காட்டு 2

தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறி அடர்த்தியால் வழங்கப்படுகிறது .

கணித எதிர்பார்ப்பு மற்றும் மாறுபாட்டைக் கணக்கிடுங்கள். முடிந்தவரை முடிவுகளை எளிதாக்குங்கள் (சுருக்கமான பெருக்கல் சூத்திரங்கள்உதவ).

இதன் விளைவாக வரும் சூத்திரங்கள் சரிபார்ப்புக்கு பயன்படுத்த வசதியானவை; குறிப்பாக, "a" மற்றும் "b" இன் குறிப்பிட்ட மதிப்புகளை மாற்றுவதன் மூலம் நீங்கள் இப்போது தீர்த்த சிக்கலைச் சரிபார்க்கவும். பக்கத்தின் கீழே சுருக்கமான தீர்வு.

பாடத்தின் முடிவில், இரண்டு "உரை" சிக்கல்களைப் பார்ப்போம்:

எடுத்துக்காட்டு 3

அளவிடும் சாதனத்தின் அளவு பிரிவு மதிப்பு 0.2 ஆகும். கருவி வாசிப்புகள் அருகிலுள்ள முழு பிரிவிற்கும் வட்டமிடப்பட்டுள்ளன. ரவுண்டிங் பிழைகள் ஒரே மாதிரியாக விநியோகிக்கப்படுகின்றன என்று கருதி, அடுத்த அளவீட்டில் அது 0.04 ஐ விட அதிகமாக இருக்காது என்று நிகழ்தகவைக் கண்டறியவும்.

சிறந்த புரிதலுக்காக தீர்வுகள்இது ஒரு அம்புக்குறியுடன் கூடிய சில வகையான இயந்திர சாதனம் என்று கற்பனை செய்வோம், எடுத்துக்காட்டாக, 0.2 கிலோ பிரிவு மதிப்பைக் கொண்ட ஒரு அளவுகோல், மேலும் நாம் ஒரு பன்றியை ஒரு குத்தலில் எடைபோட வேண்டும். ஆனால் அவரது கொழுப்பைக் கண்டுபிடிப்பதற்காக அல்ல - அம்புக்குறி இரண்டு அடுத்தடுத்த பிரிவுகளுக்கு இடையில் எங்கே நிற்கிறது என்பது இப்போது முக்கியமானது.

ஒரு சீரற்ற மாறியைக் கருத்தில் கொள்வோம் - தூரம்இருந்து அம்புகள் அருகில்இடது பிரிவு. அல்லது அருகில் இருந்து வலதுபுறம், அது ஒரு பொருட்டல்ல.

நிகழ்தகவு அடர்த்தி செயல்பாட்டை உருவாக்குவோம்:

1) தூரம் எதிர்மறையாக இருக்க முடியாது என்பதால், இடைவெளியில் . தருக்க.

2) நிலையில் இருந்து அது செதில்களின் அம்பு என்று பின்வருமாறு சம நிகழ்தகவுபிரிவுகளுக்கு இடையில் எங்கும் நிறுத்த முடியும் * , பிரிவுகள் உட்பட, எனவே இடைவெளியில்:

* இது ஒரு இன்றியமையாத நிபந்தனை. எனவே, எடுத்துக்காட்டாக, பருத்தி கம்பளி துண்டுகள் அல்லது கிலோகிராம் உப்பு பொதிகளை எடைபோடும் போது, ​​சீரான தன்மை மிகவும் குறுகிய இடைவெளியில் பராமரிக்கப்படும்.

3) மற்றும் அருகிலுள்ள இடது பிரிவிலிருந்து தூரம் 0.2 ஐ விட அதிகமாக இருக்கக்கூடாது என்பதால், at என்பது பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம்.

இதனால்:

அடர்த்தி செயல்பாட்டைப் பற்றி யாரும் எங்களிடம் கேட்கவில்லை என்பதைக் கவனத்தில் கொள்ள வேண்டும், மேலும் அதன் முழுமையான கட்டுமானத்தை அறிவாற்றல் சங்கிலிகளில் பிரத்தியேகமாக வழங்கினேன். பணியை முடிக்கும்போது, ​​2வது புள்ளியை மட்டும் எழுதி வைத்தால் போதும்.

இப்போது பிரச்சினையின் கேள்விக்கு பதிலளிப்போம். அருகிலுள்ள பிரிவுக்கு ரவுண்டிங் செய்வதில் பிழை எப்போது 0.04 ஐ விட அதிகமாக இருக்காது? இடது பிரிவிலிருந்து 0.04 க்கு மேல் அம்பு நிறுத்தப்படும்போது இது நடக்கும் வலதுபுறம் அல்லதுவலது பிரிவிலிருந்து 0.04 க்கு மேல் இல்லை விட்டு. வரைபடத்தில் நான் தொடர்புடைய பகுதிகளை நிழலாடினேன்:

இந்த பகுதிகளை கண்டுபிடிப்பது இன்னும் உள்ளது ஒருங்கிணைப்புகளைப் பயன்படுத்துதல். கொள்கையளவில், அவை "பள்ளி பாணியில்" (செவ்வகங்களின் பகுதிகள் போன்றவை) கணக்கிடப்படலாம், ஆனால் எளிமை எப்போதும் புரிந்து கொள்ளப்படாது;)

மூலம் பொருந்தாத நிகழ்வுகளின் நிகழ்தகவுகளின் கூட்டல் தேற்றம்:

- ரவுண்டிங் பிழை 0.04 ஐ விட அதிகமாக இருக்காது (எங்கள் உதாரணத்திற்கு 40 கிராம்)

அதிகபட்ச ரவுண்டிங் பிழை 0.1 (100 கிராம்) மற்றும் அதனால் இருப்பதைப் பார்ப்பது எளிது ரவுண்டிங் பிழை 0.1 ஐ விட அதிகமாக இருக்காதுஒன்றுக்கு சமம்.

பதில்: 0,4

மற்ற தகவல் ஆதாரங்களில் இந்த சிக்கலின் மாற்று விளக்கங்கள்/சூத்திரங்கள் உள்ளன, மேலும் எனக்கு மிகவும் புரிந்துகொள்ளக்கூடியதாக தோன்றிய விருப்பத்தை நான் தேர்ந்தெடுத்தேன். சிறப்பு கவனம்இந்த நிலையில் நாம் பிழைகள் பற்றி பேச முடியாது, ஆனால் பற்றி பேசலாம் என்பதில் கவனம் செலுத்த வேண்டியது அவசியம் சீரற்றவழக்கமாக இருக்கும் அளவீட்டு பிழைகள் (ஆனால் எப்போதும் இல்லை), விநியோகிக்கப்பட்டது சாதாரண சட்டம். இதனால், ஒரே ஒரு வார்த்தை உங்கள் முடிவை தீவிரமாக மாற்றும்!எச்சரிக்கையாக இருங்கள் மற்றும் அர்த்தத்தை புரிந்து கொள்ளுங்கள்.

எல்லாம் ஒரு வட்டத்தில் சென்றவுடன், எங்கள் கால்கள் எங்களை அதே பேருந்து நிறுத்தத்திற்கு கொண்டு வருகின்றன:

எடுத்துக்காட்டு 4

ஒரு குறிப்பிட்ட வழித்தடத்தில் பேருந்துகள் கண்டிப்பாக அட்டவணைப்படியும் ஒவ்வொரு 7 நிமிடங்களுக்கும் இயக்கப்படும். சீரற்ற மாறியின் அடர்த்தி செயல்பாட்டை உருவாக்கவும் - தற்செயலாக நிறுத்தத்தை நெருங்கிய பயணி அடுத்த பஸ்ஸிற்காக காத்திருக்கும் நேரம். அவர் பேருந்திற்காக மூன்று நிமிடங்களுக்கு மேல் காத்திருப்பதற்கான நிகழ்தகவைக் கண்டறியவும். விநியோகச் செயல்பாட்டைக் கண்டறிந்து அதன் அர்த்தமுள்ள பொருளை விளக்குங்கள்.

முன்னர் குறிப்பிட்டபடி, நிகழ்தகவு விநியோகங்களின் எடுத்துக்காட்டுகள் தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறி எக்ஸ்:

• தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறியின் சீரான நிகழ்தகவு விநியோகம்;
• தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறியின் அதிவேக நிகழ்தகவு விநியோகம்;
• சாதாரண விநியோகம் தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறியின் நிகழ்தகவுகள்.

சீரான மற்றும் அதிவேக விநியோகச் சட்டங்கள், நிகழ்தகவு சூத்திரங்கள் மற்றும் பரிசீலனையில் உள்ள செயல்பாடுகளின் எண்ணியல் பண்புகள் ஆகியவற்றின் கருத்தை வழங்குவோம்.

குறியீட்டு	சீரான விநியோக சட்டம்	அதிவேக விநியோக சட்டம்
வரையறை	சீருடை என்று அழைக்கப்படுகிறது தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறி X இன் நிகழ்தகவு பரவல், அதன் அடர்த்தியானது பிரிவில் மாறாமல் இருக்கும் மற்றும் வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளது	அதிவேக (அதிவேக) என்று அழைக்கப்படுகிறது ஒரு தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறி X இன் நிகழ்தகவு விநியோகம், இது வடிவம் கொண்ட அடர்த்தியால் விவரிக்கப்படுகிறது
		λ என்பது நிலையான நேர்மறை மதிப்பு
விநியோக செயல்பாடு
நிகழ்தகவு இடைவெளியில் விழுகிறது
எதிர்பார்த்த மதிப்பு
சிதறல்
நிலையான விலகல்

"சீரான மற்றும் அதிவேக விநியோகச் சட்டங்கள்" என்ற தலைப்பில் சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதற்கான எடுத்துக்காட்டுகள்

பணி 1.

பேருந்துகள் கால அட்டவணையில் கண்டிப்பாக இயக்கப்படுகின்றன. இயக்க இடைவெளி 7 நிமிடம். கண்டுபிடி: a) ஒரு நிறுத்தத்திற்கு வரும் பயணி அடுத்த பஸ்ஸிற்கு இரண்டு நிமிடங்களுக்கு குறைவாக காத்திருப்பதற்கான நிகழ்தகவு; b) ஒரு நிறுத்தத்திற்கு வரும் பயணி, அடுத்த பேருந்துக்காக குறைந்தது மூன்று நிமிடங்கள் காத்திருக்கும் நிகழ்தகவு; c) ரேண்டம் மாறி X - பயணிகள் காத்திருக்கும் நேரத்தின் கணித எதிர்பார்ப்பு மற்றும் நிலையான விலகல்.

தீர்வு. 1. சிக்கலின் நிலைமைகளின்படி, தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறி X = (பயணிகள் காத்திருக்கும் நேரம்) சமமாக பகிர்ந்தளிக்கப்பட்டது இரண்டு பேருந்துகளின் வருகைக்கு இடையில். சீரற்ற மாறி X இன் பரவல் இடைவெளியின் நீளம் b-a=7 க்கு சமம், இங்கு a=0, b=7.

2. ரேண்டம் மாறி X இடைவெளியில் (5;7) விழுந்தால் காத்திருக்கும் நேரம் இரண்டு நிமிடங்களுக்கும் குறைவாக இருக்கும். சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கொடுக்கப்பட்ட இடைவெளியில் விழுவதற்கான நிகழ்தகவைக் காண்கிறோம்: பி(x 1<Х<х 2)=(х 2 -х 1)/(b-a) .
பி(5< Х < 7) = (7-5)/(7-0) = 2/7 ≈ 0,286.

3. சீரற்ற மாறி X இடைவெளியில் (0;4) விழுந்தால், காத்திருக்கும் நேரம் குறைந்தது மூன்று நிமிடங்கள் (அதாவது, மூன்று முதல் ஏழு நிமிடங்கள் வரை) இருக்கும். சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கொடுக்கப்பட்ட இடைவெளியில் விழுவதற்கான நிகழ்தகவைக் காண்கிறோம்: பி(x 1<Х<х 2)=(х 2 -х 1)/(b-a) .
பி(0< Х < 4) = (4-0)/(7-0) = 4/7 ≈ 0,571.

4. ஒரு தொடர்ச்சியான, சீராக விநியோகிக்கப்படும் சீரற்ற மாறி X இன் கணித எதிர்பார்ப்பு - பயணிகளின் காத்திருப்பு நேரம் - சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கண்டறியப்படும்: M(X)=(a+b)/2. M(X) = (0+7)/2 = 7/2 = 3.5.

5. தொடர்ச்சியான, சீராக விநியோகிக்கப்படும் சீரற்ற மாறி X இன் நிலையான விலகல் - பயணிகளின் காத்திருப்பு நேரம் - சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கண்டறியப்படும்: σ(X)=√D=(b-a)/2√3. σ(X)=(7-0)/2√3=7/2√3≈2.02.

பணி 2.

அதிவேகப் பரவலானது x ≥ 0 க்கு அடர்த்தி f(x) = 5e – 5x ஆல் வழங்கப்படுகிறது. தேவை: அ) விநியோகச் செயல்பாட்டிற்கான ஒரு வெளிப்பாட்டை எழுதுங்கள்; b) சோதனையின் விளைவாக X இடைவெளியில் (1;4) விழும் நிகழ்தகவைக் கண்டறியவும்; c) சோதனையின் விளைவாக X ≥ 2 நிகழ்தகவைக் கண்டறியவும்; ஈ) எம்(எக்ஸ்), டி(எக்ஸ்), σ(எக்ஸ்) ஆகியவற்றைக் கணக்கிடுங்கள்.

தீர்வு. 1. நிபந்தனை கொடுக்கப்பட்டதால் அதிவேக விநியோகம் , பின்னர் சீரற்ற மாறி X இன் நிகழ்தகவு பரவல் அடர்த்திக்கான சூத்திரத்திலிருந்து நாம் λ = 5 ஐப் பெறுகிறோம். பின்னர் விநியோகச் செயல்பாடு படிவத்தைக் கொண்டிருக்கும்:

2. சோதனையின் விளைவாக X இடைவெளியில் (1;4) விழும் நிகழ்தகவு சூத்திரத்தால் கண்டறியப்படும்:
பி(அ< X < b) = e −λa − e −λb .
பி(1< X < 4) = e −5*1 − e −5*4 = e −5 − e −20 .

3. சோதனையின் விளைவாக X ≥2 சூத்திரத்தால் கண்டறியப்படும் நிகழ்தகவு: P(a< X < b) = e −λa − e −λb при a=2, b=∞.
P(X≥2) = P(1< X < 4) = e −λ*2 − e −λ*∞ = e −2λ − e −∞ = e −2λ - 0 = e −10 (т.к. предел e −х при х стремящемся к ∞ равен нулю).

4. அதிவேக விநியோகத்தைக் கண்டறியவும்:

• M(X) = 1/λ = 1/5 = 0.2 சூத்திரத்தின்படி கணித எதிர்பார்ப்பு;
• D(X) = 1/ λ 2 = 1/25 = 0.04 சூத்திரத்தின் படி மாறுபாடு;
• σ(X) = 1/λ = 1/5 = 1.2 சூத்திரத்தின்படி நிலையான விலகல்.

இந்த பிரச்சினை நீண்ட காலமாக விரிவாக ஆய்வு செய்யப்பட்டு, 1958 இல் ஜார்ஜ் பாக்ஸ், மெர்வின் முல்லர் மற்றும் ஜார்ஜ் மார்சக்லியா ஆகியோரால் முன்மொழியப்பட்ட துருவ ஒருங்கிணைப்பு முறை மிகவும் பரவலாகப் பயன்படுத்தப்படுகிறது. இந்த முறையானது, கணித எதிர்பார்ப்பு 0 மற்றும் மாறுபாடு 1 ஆகியவற்றைக் கொண்ட ஒரு ஜோடி சுயாதீன சாதாரணமாக விநியோகிக்கப்படும் சீரற்ற மாறிகளைப் பெற உங்களை அனுமதிக்கிறது:

Z 0 மற்றும் Z 1 ஆகியவை விரும்பிய மதிப்புகளாக இருந்தால், s = u 2 + v 2, மற்றும் u மற்றும் v ஆகியவை சீரற்ற மாறிகள் இடைவெளியில் (-1, 1) சீராக விநியோகிக்கப்படும், நிபந்தனை 0 திருப்தி அடையும் வகையில் தேர்ந்தெடுக்கப்பட்டது.< s < 1.
பலர் இந்த சூத்திரங்களை சிந்திக்காமல் பயன்படுத்துகிறார்கள், மேலும் பலர் தங்கள் இருப்பை சந்தேகிக்க மாட்டார்கள், ஏனெனில் அவர்கள் ஆயத்த செயலாக்கங்களைப் பயன்படுத்துகிறார்கள். ஆனால் கேள்விகள் உள்ளவர்கள் உள்ளனர்: “இந்த சூத்திரம் எங்கிருந்து வந்தது? நீங்கள் ஏன் ஒரே நேரத்தில் இரண்டு அளவுகளைப் பெறுகிறீர்கள்?" அடுத்து, இந்தக் கேள்விகளுக்கு தெளிவான பதிலைச் சொல்ல முயற்சிக்கிறேன்.

தொடங்குவதற்கு, நிகழ்தகவு அடர்த்தி, சீரற்ற மாறியின் பரவல் செயல்பாடு மற்றும் தலைகீழ் செயல்பாடு என்ன என்பதை உங்களுக்கு நினைவூட்டுகிறேன். ஒரு குறிப்பிட்ட சீரற்ற மாறி உள்ளது என்று வைத்துக்கொள்வோம், அதன் பரவலானது பின்வரும் படிவத்தைக் கொண்ட அடர்த்தி சார்பு f(x) மூலம் குறிப்பிடப்படுகிறது:

இதன் பொருள், கொடுக்கப்பட்ட சீரற்ற மாறியின் மதிப்பு இடைவெளியில் (A, B) இருக்கும் நிகழ்தகவு நிழலாடிய பகுதியின் பகுதிக்கு சமம். இதன் விளைவாக, முழு நிழல் பகுதியின் பரப்பளவு ஒன்றுக்கு சமமாக இருக்க வேண்டும், ஏனெனில் எந்தவொரு சந்தர்ப்பத்திலும் சீரற்ற மாறியின் மதிப்பு f செயல்பாட்டின் வரையறையின் களத்தில் விழும்.
சீரற்ற மாறியின் பரவல் செயல்பாடு அடர்த்தி செயல்பாட்டின் ஒருங்கிணைந்ததாகும். இந்த வழக்கில், அதன் தோராயமான தோற்றம் இப்படி இருக்கும்:

இங்கே பொருள் என்னவென்றால், சீரற்ற மாறியின் மதிப்பு A ஐ விட நிகழ்தகவு B ஐ விட குறைவாக இருக்கும். இதன் விளைவாக, செயல்பாடு ஒருபோதும் குறையாது, மேலும் அதன் மதிப்புகள் இடைவெளியில் இருக்கும்.

தலைகீழ் சார்பு என்பது அசல் செயல்பாட்டின் மதிப்பை அனுப்பினால், அசல் செயல்பாட்டிற்கு ஒரு வாதத்தை வழங்கும் ஒரு சார்பு ஆகும். எடுத்துக்காட்டாக, x 2 செயல்பாட்டிற்கு தலைகீழ் என்பது மூலத்தைப் பிரித்தெடுக்கும் செயல்பாடாகும், sin(x) க்கு இது arcsin(x) போன்றவை.

பெரும்பாலான சூடோராண்டம் எண் ஜெனரேட்டர்கள் ஒரே சீரான விநியோகத்தை வெளியீட்டாக உற்பத்தி செய்வதால், அதை வேறு சிலவற்றிற்கு மாற்ற வேண்டிய அவசியம் அடிக்கடி ஏற்படுகிறது. இந்த வழக்கில், சாதாரண காசியனுக்கு:

ஒரு சீரான விநியோகத்தை வேறு எந்த வகையிலும் மாற்றுவதற்கான அனைத்து முறைகளின் அடிப்படையும் தலைகீழ் உருமாற்ற முறை ஆகும். இது பின்வருமாறு செயல்படுகிறது. தேவையான விநியோகத்தின் செயல்பாட்டிற்கு நேர்மாறான ஒரு செயல்பாடு காணப்படுகிறது, மேலும் ஒரு சீரற்ற மாறி இடைவெளியில் (0, 1) சீராக விநியோகிக்கப்படுகிறது, அது ஒரு வாதமாக அனுப்பப்படுகிறது. வெளியீட்டில், தேவையான விநியோகத்துடன் ஒரு மதிப்பைப் பெறுகிறோம். தெளிவுக்காக, நான் பின்வரும் படத்தை வழங்குகிறேன்.

எனவே, ஒரு சீரான பிரிவு, புதிய விநியோகத்திற்கு ஏற்ப பூசப்பட்டது, ஒரு தலைகீழ் செயல்பாட்டின் மூலம் மற்றொரு அச்சில் திட்டமிடப்பட்டுள்ளது. ஆனால் பிரச்சனை என்னவென்றால், காஸியன் விநியோகத்தின் அடர்த்தியின் ஒருங்கிணைப்பை கணக்கிடுவது எளிதானது அல்ல, எனவே மேலே உள்ள விஞ்ஞானிகள் ஏமாற்ற வேண்டியிருந்தது.

ஒரு சி-சதுர விநியோகம் (பியர்சன் விநியோகம்) உள்ளது, இது k சார்பற்ற சாதாரண சீரற்ற மாறிகளின் சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகையின் பரவலாகும். மேலும் k = 2 ஆக இருக்கும் போது, ​​இந்த விநியோகம் அதிவேகமாக இருக்கும்.

ஒரு செவ்வக ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் உள்ள ஒரு புள்ளியில் சீரற்ற X மற்றும் Y ஆயத்தொலைவுகள் பொதுவாக விநியோகிக்கப்பட்டிருந்தால், இந்த ஆயங்களை துருவ அமைப்பிற்கு (r, θ) மாற்றிய பின், ஆரத்தின் சதுரம் (தோற்றத்திலிருந்து புள்ளி வரையிலான தூரம்) ஆயத்தின் சதுரம் ஆயங்களின் சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகை (பித்தகோரியன் சட்டத்தின்படி) என்பதால், அதிவேக விதியின்படி விநியோகிக்கப்படும். விமானத்தில் அத்தகைய புள்ளிகளின் விநியோக அடர்த்தி இப்படி இருக்கும்:

இது எல்லா திசைகளிலும் சமமாக இருப்பதால், கோணம் 0 முதல் 2π வரையிலான வரம்பில் சீரான விநியோகத்தைக் கொண்டிருக்கும். உரையாடலும் உண்மைதான்: துருவ ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் இரண்டு சுயாதீன சீரற்ற மாறிகளைப் பயன்படுத்தி ஒரு புள்ளியை வரையறுத்தால் (ஒரு கோணம் சீராக விநியோகிக்கப்படுகிறது மற்றும் ஒரு ஆரம் அதிவேகமாக விநியோகிக்கப்படுகிறது), இந்த புள்ளியின் செவ்வக ஆயங்கள் சுயாதீனமான சாதாரண சீரற்ற மாறிகளாக இருக்கும். அதே தலைகீழ் உருமாற்ற முறையைப் பயன்படுத்தி சீரான ஒன்றிலிருந்து அதிவேகப் பரவலைப் பெறுவது மிகவும் எளிதானது. இது போலார் பாக்ஸ்-முல்லர் முறையின் சாராம்சம்.
இப்போது சூத்திரங்களைப் பெறுவோம்.

(1)

r மற்றும் θ ஐப் பெற, இடைவெளியில் ஒரே மாதிரியாக விநியோகிக்கப்படும் இரண்டு சீரற்ற மாறிகளை உருவாக்குவது அவசியம் (0, 1) (அவற்றை u மற்றும் v என்று அழைப்போம்), அவற்றில் ஒன்றின் விநியோகம் (v என்று சொல்லலாம்) அதிவேகமாக மாற்றப்பட வேண்டும். ஆரம் பெற. அதிவேக விநியோக செயல்பாடு இதுபோல் தெரிகிறது:

அதன் தலைகீழ் செயல்பாடு:

சீரான விநியோகம் சமச்சீராக இருப்பதால், மாற்றமானது செயல்பாட்டுடன் ஒத்ததாக வேலை செய்யும்

சி-சதுர விநியோக சூத்திரத்தில் இருந்து λ = 0.5. இந்த செயல்பாட்டில் λ, v ஐ மாற்றவும் மற்றும் ஆரத்தின் சதுரத்தைப் பெறவும், பின்னர் ஆரம்:

அலகு பிரிவை 2πக்கு நீட்டுவதன் மூலம் கோணத்தைப் பெறுகிறோம்:

இப்போது நாம் r மற்றும் θ ஐ சூத்திரங்களாக (1) மாற்றி, பெறுகிறோம்:

(2)

இந்த சூத்திரங்கள் ஏற்கனவே பயன்படுத்த தயாராக உள்ளன. X மற்றும் Y ஆகியவை சுயாதீனமானவை மற்றும் பொதுவாக 1 இன் மாறுபாடு மற்றும் கணித எதிர்பார்ப்பு 0 உடன் விநியோகிக்கப்படும். பிற குணாதிசயங்களுடன் ஒரு விநியோகத்தைப் பெற, செயல்பாட்டின் முடிவை நிலையான விலகலால் பெருக்கி கணித எதிர்பார்ப்பைச் சேர்த்தால் போதும்.
ஆனால் கோணத்தை நேரடியாகக் குறிப்பிடாமல், வட்டத்தில் ஒரு சீரற்ற புள்ளியின் செவ்வக ஆயத்தொலைவுகள் மூலம் மறைமுகமாகக் குறிப்பிடுவதன் மூலம் முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளிலிருந்து விடுபட முடியும். பின்னர், இந்த ஆயத்தொலைவுகள் மூலம், ஆரம் திசையன் நீளத்தை கணக்கிட முடியும், பின்னர் கோசைன் மற்றும் சைன் ஆகியவற்றை முறையே x மற்றும் y ஐ பிரிப்பதன் மூலம் கண்டுபிடிக்க முடியும். எப்படி, ஏன் வேலை செய்கிறது?
யூனிட் ஆரம் வட்டத்தில் ஒரே மாதிரியாக விநியோகிக்கப்பட்டுள்ளவற்றிலிருந்து ஒரு சீரற்ற புள்ளியைத் தேர்ந்தெடுத்து, இந்த புள்ளியின் ஆரம் திசையன் நீளத்தின் சதுரத்தை s என்ற எழுத்தால் குறிப்பிடுவோம்:

சீரற்ற செவ்வக ஆயங்கள் x மற்றும் y ஆகியவற்றைக் குறிப்பிட்டு, இடைவெளியில் (-1, 1) சீராக விநியோகிக்கப்படுவதன் மூலமும், வட்டத்திற்குச் சொந்தமில்லாத புள்ளிகளை நிராகரிப்பதன் மூலமும், அதே போல் ஆரம் திசையன் கோணத்தில் உள்ள மையப் புள்ளியையும் குறிப்பிடுவதன் மூலம் தேர்வு செய்யப்படுகிறது. வரையறுக்கப்படவில்லை. அதாவது, நிபந்தனை 0 ஐ பூர்த்தி செய்ய வேண்டும்< s < 1. Тогда, как и в случае с Гауссовским распределением на плоскости, угол θ будет распределен равномерно. Это очевидно - количество точек в каждом направлении одинаково, значит каждый угол равновероятен. Но есть и менее очевидный факт - s тоже будет иметь равномерное распределение. Полученные s и θ будут независимы друг от друга. Поэтому мы можем воспользоваться значением s для получения экспоненциального распределения, не генерируя третью случайную величину. Подставим теперь s в формулы (2) вместо v, а вместо тригонометрических функций - их расчет делением координаты на длину радиус-вектора, которая в данном случае является корнем из s:

கட்டுரையின் தொடக்கத்தில் உள்ள சூத்திரங்களைப் பெறுகிறோம். இந்த முறையின் தீமை என்னவென்றால், இது வட்டத்தில் சேர்க்கப்படாத புள்ளிகளை நிராகரிக்கிறது. அதாவது, உருவாக்கப்பட்ட சீரற்ற மாறிகளில் 78.5% மட்டுமே பயன்படுத்துகிறது. பழைய கணினிகளில், முக்கோணவியல் செயல்பாடுகள் இல்லாதது இன்னும் பெரிய நன்மையாக இருந்தது. இப்போது, ​​ஒரு செயலி கட்டளை சைன் மற்றும் கொசைன் இரண்டையும் ஒரு நொடியில் கணக்கிடும் போது, ​​இந்த முறைகள் இன்னும் போட்டியிடலாம் என்று நினைக்கிறேன்.

தனிப்பட்ட முறையில், எனக்கு இன்னும் இரண்டு கேள்விகள் உள்ளன:

• s இன் மதிப்பு ஏன் சமமாக விநியோகிக்கப்படுகிறது?
• இரண்டு சாதாரண சீரற்ற மாறிகளின் சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகை ஏன் அதிவேகமாக விநியோகிக்கப்படுகிறது?

s என்பது ஆரத்தின் சதுரம் என்பதால் (எளிமைக்காக, ஆரத்தை ஒரு சீரற்ற புள்ளியின் நிலையைக் குறிப்பிடும் ஆரம் திசையன் நீளம் என்று அழைக்கிறேன்), ஆரங்கள் எவ்வாறு விநியோகிக்கப்படுகின்றன என்பதை முதலில் கண்டுபிடிப்போம். வட்டம் சமமாக நிரப்பப்பட்டிருப்பதால், r ஆரம் கொண்ட புள்ளிகளின் எண்ணிக்கை r ஆரம் வட்டத்தின் நீளத்திற்கு விகிதாசாரமாக இருக்கும் என்பது தெளிவாகிறது. மேலும் ஒரு வட்டத்தின் சுற்றளவு ஆரத்திற்கு விகிதாசாரமாகும். இதன் பொருள் ஆரங்களின் பரவலான அடர்த்தி வட்டத்தின் மையத்திலிருந்து அதன் விளிம்புகளுக்கு ஒரே சீராக அதிகரிக்கிறது. மற்றும் அடர்த்தி செயல்பாடு f(x) = 2x என்ற வடிவத்தை இடைவெளியில் (0, 1) கொண்டுள்ளது. குணகம் 2 எனவே வரைபடத்தின் கீழ் உள்ள உருவத்தின் பரப்பளவு ஒன்றுக்கு சமமாக இருக்கும். இந்த அடர்த்தி சதுரமாக இருக்கும் போது, ​​அது ஒரே மாதிரியாக மாறும். கோட்பாட்டளவில் இந்த வழக்கில் அடர்த்தி செயல்பாட்டை அதன் உருமாற்ற செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலால் (அதாவது x 2) வகுக்க வேண்டும். மற்றும் தெளிவாக இது இப்படி நடக்கிறது:

ஒரு சாதாரண சீரற்ற மாறிக்கு இதே போன்ற மாற்றம் ஏற்பட்டால், அதன் சதுரத்தின் அடர்த்தி செயல்பாடு ஒரு ஹைபர்போலாவைப் போலவே மாறும். சாதாரண சீரற்ற மாறிகளின் இரண்டு சதுரங்களைச் சேர்ப்பது இரட்டை ஒருங்கிணைப்புடன் தொடர்புடைய மிகவும் சிக்கலான செயல்முறையாகும். இதன் விளைவாக ஒரு அதிவேக விநியோகமாக இருக்கும், நான் தனிப்பட்ட முறையில் ஒரு நடைமுறை முறையைப் பயன்படுத்தி சரிபார்க்க வேண்டும் அல்லது ஒரு கோட்பாடாக ஏற்றுக்கொள்ள வேண்டும். ஆர்வமுள்ளவர்களுக்கு, இந்த புத்தகங்களிலிருந்து அறிவைப் பெற்று, தலைப்பைக் கூர்ந்து கவனிக்குமாறு நான் பரிந்துரைக்கிறேன்:

• வென்ட்செல் இ.எஸ். நிகழ்தகவு கோட்பாடு
• நட் டி.இ. தி ஆர்ட் ஆஃப் புரோகிராமிங், தொகுதி 2

முடிவில், ஜாவாஸ்கிரிப்டில் பொதுவாக விநியோகிக்கப்படும் சீரற்ற எண் ஜெனரேட்டரை செயல்படுத்துவதற்கான எடுத்துக்காட்டு இங்கே:

செயல்பாடு Gauss() (var தயார் = தவறானது; var வினாடி = 0.0; this.next = செயல்பாடு (சராசரி, dev) ( சராசரி = சராசரி == வரையறுக்கப்படாதது ? 0.0: அர்த்தம்; dev = dev == வரையறுக்கப்படாதது ? 1.0: dev; என்றால் ( this.ready) ( this.ready = false; return this.second * dev + mean; ) else ( var u, v, s; do ( u = 2.0 * Math.random() - 1.0; v = 2.0 * Math. random() - 1.0; s = u * u + v * v; ) while (s > 1.0 || s == 0.0);var r = Math.sqrt(-2.0 * Math.log(s) / s); this.second = r * u; this.ready = true; திரும்ப r * v * dev + mean;) );) g = new Gauss(); // ஒரு பொருளை உருவாக்கவும் a = g.next(); // ஒரு ஜோடி மதிப்புகளை உருவாக்கி, முதல் ஒன்றைப் பெறுங்கள் b = g.next(); // இரண்டாவது c = g.next(); // மீண்டும் ஒரு ஜோடி மதிப்புகளை உருவாக்கி முதல் ஒன்றைப் பெறுங்கள்
அளவுருக்கள் சராசரி (கணித எதிர்பார்ப்பு) மற்றும் dev (நிலையான விலகல்) விருப்பமானவை. மடக்கை இயற்கையானது என்பதில் உங்கள் கவனத்தை ஈர்க்கிறேன்.