அறியப்பட்ட மாறுபாட்டுடன் கூடிய சாதாரண விநியோகத்தின் கணித எதிர்பார்ப்புக்கான நம்பிக்கை இடைவெளி. கணித எதிர்பார்ப்புக்கான நம்பிக்கை இடைவெளி

MS EXCEL இல் உருவாக்குவோம் நம்பக இடைவெளியைவழக்கில் விநியோகத்தின் சராசரி மதிப்பை மதிப்பிடுவதற்கு அறியப்பட்ட மதிப்புமாறுபாடுகள்.

நிச்சயமாக தேர்வு நம்பிக்கை நிலைமுற்றிலும் தீர்க்கப்படும் சிக்கலைப் பொறுத்தது. எனவே, ஒரு விமானத்தின் நம்பகத்தன்மையில் ஒரு விமானப் பயணியின் நம்பிக்கையின் அளவு சந்தேகத்திற்கு இடமின்றி ஒரு மின் விளக்கின் நம்பகத்தன்மையில் வாங்குபவரின் நம்பிக்கையின் அளவை விட அதிகமாக இருக்க வேண்டும்.

சிக்கல் உருவாக்கம்

இருந்து என்று வைத்துக் கொள்வோம் மக்கள் தொகைஎடுக்கப்பட்டது மாதிரிஅளவு n. என்று கருதப்படுகிறது நிலையான விலகல் இந்த விநியோகம் அறியப்படுகிறது. இதன் அடிப்படையில் இது அவசியம் மாதிரிகள்தெரியாததை மதிப்பிடுங்கள் விநியோக சராசரி(μ, ) மற்றும் அதற்குரியதை உருவாக்கவும் இரட்டை பக்க நம்பக இடைவெளியை.

புள்ளி மதிப்பீடு

இருந்து அறியப்படுகிறது புள்ளிவிவரங்கள்(அதைக் குறிக்கலாம் X சராசரி) இருக்கிறது சராசரியின் பாரபட்சமற்ற மதிப்பீடுஇது மக்கள் தொகைமற்றும் விநியோகம் N(μ;σ 2 /n) உள்ளது.

குறிப்பு: நீங்கள் கட்ட வேண்டும் என்றால் என்ன செய்வது நம்பக இடைவெளியைவிநியோகம் விஷயத்தில் இல்லை சாதாரணமா?இந்த விஷயத்தில், மீட்புக்கு வருகிறது, அது போதும் என்று கூறுகிறது பெரிய அளவு மாதிரிகள்விநியோகத்திலிருந்து n இல்லாமல் சாதாரண, புள்ளிவிவரங்களின் மாதிரி விநியோகம் X சராசரிவிருப்பம் தோராயமாகஒத்துள்ளது சாதாரண விநியோகம்அளவுருக்கள் N(μ;σ 2 /n) உடன்.

அதனால், புள்ளி மதிப்பீடு சராசரி விநியோக மதிப்புகள்எங்களிடம் உள்ளது - இது மாதிரி சராசரி, அதாவது X சராசரி. இப்போது ஆரம்பிக்கலாம் நம்பக இடைவெளியை.

நம்பிக்கை இடைவெளியை உருவாக்குதல்

பொதுவாக, விநியோகம் மற்றும் அதன் அளவுருக்களை அறிந்து, சீரற்ற மாறி நாம் குறிப்பிடும் இடைவெளியில் இருந்து ஒரு மதிப்பை எடுக்கும் நிகழ்தகவை கணக்கிடலாம். இப்போது அதற்கு நேர்மாறாக செய்வோம்: கொடுக்கப்பட்ட நிகழ்தகவுடன் சீரற்ற மாறி விழும் இடைவெளியைக் கண்டறியவும். உதாரணமாக, பண்புகளிலிருந்து சாதாரண விநியோகம் 95% நிகழ்தகவுடன், ஒரு சீரற்ற மாறி விநியோகிக்கப்படுகிறது என்று அறியப்படுகிறது சாதாரண சட்டம், தோராயமாக +/- 2 வரம்பிற்குள் வரும் சராசரி மதிப்பு(இது பற்றிய கட்டுரையைப் பார்க்கவும்). இந்த இடைவெளி நமக்கு ஒரு முன்மாதிரியாக இருக்கும் நம்பக இடைவெளியை.

இப்போது விநியோகம் தெரியுமா என்று பார்ப்போம் , இந்த இடைவெளியை கணக்கிட வேண்டுமா? கேள்விக்கு பதிலளிக்க, விநியோகத்தின் வடிவத்தையும் அதன் அளவுருக்களையும் நாம் குறிப்பிட வேண்டும்.

விநியோகத்தின் வடிவம் எங்களுக்குத் தெரியும் - இது சாதாரண விநியோகம் (நாங்கள் பேசுகிறோம் என்பதை நினைவில் கொள்க மாதிரி விநியோகம் புள்ளிவிவரங்கள் X சராசரி).

μ அளவுரு எங்களுக்குத் தெரியவில்லை (அதை பயன்படுத்தி மதிப்பிட வேண்டும் நம்பக இடைவெளியை), ஆனால் அதற்கான மதிப்பீடு எங்களிடம் உள்ளது X சராசரி,அடிப்படையில் கணக்கிடப்படுகிறது மாதிரிகள்,பயன்படுத்த முடியும்.

இரண்டாவது அளவுரு - மாதிரி சராசரியின் நிலையான விலகல் தெரிந்ததைக் கருதுவோம், இது σ/√nக்கு சமம்.

ஏனெனில் எங்களுக்கு μ தெரியாது, பின்னர் இடைவெளி +/- 2 ஐ உருவாக்குவோம் நிலையான விலகல்கள்இருந்து இல்லை சராசரி மதிப்பு, மற்றும் அதன் அறியப்பட்ட மதிப்பீட்டிலிருந்து X சராசரி. அந்த. கணக்கிடும் போது நம்பக இடைவெளியைஎன்று நாங்கள் கருத மாட்டோம் X சராசரி+/- 2 வரம்பிற்குள் வரும் நிலையான விலகல்கள்μ இலிருந்து 95% நிகழ்தகவு, மற்றும் இடைவெளி +/- 2 என்று வைத்துக்கொள்வோம் நிலையான விலகல்கள்இருந்து X சராசரி 95% நிகழ்தகவுடன் இது μ ஐ உள்ளடக்கும் - பொது மக்களின் சராசரி,அதில் இருந்து எடுக்கப்பட்டது மாதிரி. இந்த இரண்டு அறிக்கைகளும் சமமானவை, ஆனால் இரண்டாவது அறிக்கை நம்மை உருவாக்க அனுமதிக்கிறது நம்பக இடைவெளியை.

கூடுதலாக, இடைவெளியை தெளிவுபடுத்துவோம்: ஒரு சீரற்ற மாறி விநியோகிக்கப்படுகிறது சாதாரண சட்டம், 95% நிகழ்தகவு இடைவெளி +/- 1.960 க்குள் வரும் நிலையான விலகல்கள்,+/- அல்ல 2 நிலையான விலகல்கள். இதை சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடலாம் =NORM.ST.REV((1+0.95)/2), செ.மீ. எடுத்துக்காட்டு கோப்பு தாள் இடைவெளி.

இப்போது நாம் ஒரு நிகழ்தகவு அறிக்கையை உருவாக்கலாம், அது நமக்கு உருவாக்க உதவும் நம்பக இடைவெளியை:
"அதற்கான நிகழ்தகவு மக்கள் தொகை சராசரிஇருந்து அமைந்துள்ளது மாதிரி சராசரி 1,960 "க்குள் மாதிரி சராசரியின் நிலையான விலகல்கள்", 95% க்கு சமம்".

அறிக்கையில் குறிப்பிடப்பட்டுள்ள நிகழ்தகவு மதிப்புக்கு ஒரு சிறப்புப் பெயர் உள்ளது , இது தொடர்புடையதுஒரு எளிய வெளிப்பாடு மூலம் முக்கியத்துவம் நிலை α (ஆல்பா). நம்பிக்கை நிலை =1 -α . எங்கள் விஷயத்தில் முக்கியத்துவம் நிலை α =1-0,95=0,05 .

இப்போது, ​​இந்த நிகழ்தகவு அறிக்கையின் அடிப்படையில், கணக்கிடுவதற்கான ஒரு வெளிப்பாட்டை எழுதுகிறோம் நம்பக இடைவெளியை:

எங்கே Z α/2 – தரநிலை சாதாரண விநியோகம்(சீரற்ற மாறியின் இந்த மதிப்பு z, என்ன பி(z>=Z α/2 )=α/2).

குறிப்பு: மேல் α/2-குவாண்டில்அகலத்தை வரையறுக்கிறது நம்பக இடைவெளியைவி நிலையான விலகல்கள் மாதிரி சராசரி. மேல் α/2-குவாண்டில் தரநிலை சாதாரண விநியோகம்எப்போதும் 0 ஐ விட அதிகமாக உள்ளது, இது மிகவும் வசதியானது.

எங்கள் விஷயத்தில், α=0.05 உடன், மேல் α/2-குவாண்டில் 1.960 க்கு சமம். மற்ற முக்கியத்துவ நிலைகளுக்கு α (10%; 1%) மேல் α/2-குவாண்டில் Z α/2 =NORM.ST.REV(1-α/2) அல்லது தெரிந்தால் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடலாம் நம்பிக்கை நிலை, =NORM.ST.OBR((1+நம்பிக்கை நிலை)/2).

பொதுவாக கட்டும் போது சராசரியை மதிப்பிடுவதற்கான நம்பிக்கை இடைவெளிகள்பயன்படுத்த மட்டுமே மேல் α/2-அளவுமற்றும் பயன்படுத்த வேண்டாம் குறைந்த α/2-அளவு. ஏனெனில் இது சாத்தியம் தரநிலை சாதாரண விநியோகம் x அச்சைப் பற்றி சமச்சீராக ( அதன் பரவல் அடர்த்திபற்றி சமச்சீர் சராசரி, அதாவது. 0). எனவே, கணக்கிட வேண்டிய அவசியமில்லை குறைந்த α/2-குவாண்டில்(இது வெறுமனே α என்று அழைக்கப்படுகிறது /2-அளவு), ஏனெனில் அது சமமானது மேல் α/2-அளவுகழித்தல் அடையாளத்துடன்.

x மதிப்பின் பரவலின் வடிவம் இருந்தபோதிலும், தொடர்புடைய சீரற்ற மாறி என்பதை நினைவுபடுத்துவோம். X சராசரிவிநியோகிக்கப்பட்டது தோராயமாக நன்றாக N(μ;σ 2 /n) (இது பற்றிய கட்டுரையைப் பார்க்கவும்). எனவே, இல் பொது வழக்கு, மேலே உள்ள வெளிப்பாடு நம்பக இடைவெளியைஎன்பது ஒரு தோராயம் மட்டுமே. மதிப்பு x பரவியிருந்தால் சாதாரண சட்டம் N(μ;σ 2 /n), பின்னர் இதற்கான வெளிப்பாடு நம்பக இடைவெளியைதுல்லியமானது.

MS EXCEL இல் நம்பிக்கை இடைவெளி கணக்கீடு

பிரச்சனையை தீர்க்கலாம்.
உள்ளீட்டு சமிக்ஞைக்கு மின்னணு கூறுகளின் மறுமொழி நேரம் முக்கியமான பண்புசாதனங்கள். ஒரு பொறியாளர் 95% நம்பிக்கை அளவில் சராசரி மறுமொழி நேரத்திற்கான நம்பிக்கை இடைவெளியை உருவாக்க விரும்புகிறார். முந்தைய அனுபவத்திலிருந்து, பதிலளிப்பு நேரத்தின் நிலையான விலகல் 8 எம்எஸ் என்பதை பொறியாளர் அறிந்திருக்கிறார். மறுமொழி நேரத்தை மதிப்பிடுவதற்கு, பொறியாளர் 25 அளவீடுகளை செய்தார், சராசரி மதிப்பு 78 எம்.எஸ்.

தீர்வு: பொறியாளர் பதிலளிக்கும் நேரத்தை அறிய விரும்புகிறார் மின்னணு சாதனம், ஆனால் மறுமொழி நேரம் ஒரு நிலையான மதிப்பு அல்ல, ஆனால் அதன் சொந்த விநியோகத்தைக் கொண்ட ஒரு சீரற்ற மாறி என்பதை அவர் புரிந்துகொள்கிறார். எனவே, இந்த விநியோகத்தின் அளவுருக்கள் மற்றும் வடிவத்தை தீர்மானிப்பதே அவர் நம்பக்கூடிய சிறந்தது.

துரதிர்ஷ்டவசமாக, சிக்கல் நிலைமைகளிலிருந்து பதில் நேர விநியோகத்தின் வடிவம் எங்களுக்குத் தெரியாது (அது இருக்க வேண்டியதில்லை சாதாரண) , இந்த விநியோகமும் தெரியவில்லை. அவருக்கு மட்டுமே தெரியும் நிலையான விலகல்σ=8. எனவே, நிகழ்தகவுகளை நாம் கணக்கிட முடியாது மற்றும் கட்டமைக்க முடியாது நம்பக இடைவெளியை.

இருப்பினும், விநியோகம் எங்களுக்குத் தெரியாது என்ற போதிலும் நேரம் தனி பதில், படி என்று எங்களுக்கு தெரியும் CPT, மாதிரி விநியோகம் சராசரி பதில் நேரம்தோராயமாக உள்ளது சாதாரண(நிபந்தனைகள் என்று வைத்துக்கொள்வோம் CPTமேற்கொள்ளப்படுகின்றன, ஏனெனில் அளவு மாதிரிகள்மிகப் பெரியது (n=25)) .

மேலும், சராசரிஇந்த விநியோகம் சமமானது சராசரி மதிப்புஒற்றை பதிலின் விநியோகம், அதாவது. μ. ஏ நிலையான விலகல்இந்த விநியோகத்தின் (σ/√n) =8/ROOT(25) சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடலாம்.

பொறியாளர் பெற்றுக்கொண்டதாகவும் அறியமுடிகிறது புள்ளி மதிப்பீடுஅளவுரு μ 78 எம்எஸ் (எக்ஸ் சராசரி) க்கு சமம். எனவே, இப்போது நாம் நிகழ்தகவுகளை கணக்கிடலாம், ஏனெனில் விநியோக வடிவத்தை நாங்கள் அறிவோம் ( சாதாரண) மற்றும் அதன் அளவுருக்கள் (X சராசரி மற்றும் σ/√n).

பொறியாளர் அறிய விரும்புகிறார் எதிர்பார்க்கப்படும் மதிப்பு μ பதில் நேர விநியோகம். மேலே குறிப்பிட்டுள்ளபடி, இந்த μ சமம் சராசரி மறுமொழி நேரத்தின் மாதிரி விநியோகத்தின் கணித எதிர்பார்ப்பு. நாம் பயன்படுத்தினால் சாதாரண விநியோகம் N(X சராசரி; σ/√n), பின்னர் விரும்பிய μ ஆனது +/-2*σ/√n வரம்பில் தோராயமாக 95% நிகழ்தகவுடன் இருக்கும்.

முக்கியத்துவம் நிலைசமம் 1-0.95=0.05.

இறுதியாக, இடது மற்றும் வலது எல்லையைக் கண்டுபிடிப்போம் நம்பக இடைவெளியை.
இடது கரை: =78-NORM.ST.REV(1-0.05/2)*8/ரூட்(25) = 74,864
வலது எல்லை: =78+NORM.ST.INV(1-0.05/2)*8/ROOT(25)=81.136

இடது கரை: =NORM.REV(0.05/2; 78; 8/ROOT(25))
வலது கரை: =NORM.REV(1-0.05/2; 78; 8/ROOT(25))

பதில்: நம்பக இடைவெளியைமணிக்கு 95% நம்பிக்கை நிலை மற்றும் σ=8msecசமம் 78+/-3.136 ms.

IN சிக்மா தாளில் உள்ள எடுத்துக்காட்டு கோப்புஅறியப்பட்ட, கணக்கீடு மற்றும் கட்டுமானத்திற்கான ஒரு படிவத்தை உருவாக்கியது இரட்டை பக்க நம்பக இடைவெளியைதன்னிச்சையாக மாதிரிகள்கொடுக்கப்பட்ட σ மற்றும் முக்கியத்துவம் நிலை.

CONFIDENCE.NORM() செயல்பாடு

மதிப்புகள் என்றால் மாதிரிகள்வரம்பில் உள்ளன B20:B79 , ஏ முக்கியத்துவம் நிலை 0.05 க்கு சமம்; பின்னர் MS EXCEL சூத்திரம்:
=சராசரி(B20:B79)-CONFIDENCE.NORM(0.05;σ; COUNT(B20:B79))
இடது எல்லையைத் திருப்பித் தரும் நம்பக இடைவெளியை.

அதே வரம்பை சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடலாம்:
=சராசரி(B20:B79)-NORM.ST.REV(1-0.05/2)*σ/ROOT(COUNT(B20:B79))

குறிப்பு: CONFIDENCE.NORM() செயல்பாடு MS EXCEL 2010 இல் தோன்றியது. MS EXCEL இன் முந்தைய பதிப்புகளில், TRUST() செயல்பாடு பயன்படுத்தப்பட்டது.

கணித எதிர்பார்ப்புக்கான நம்பிக்கை இடைவெளி - இது அறியப்பட்ட நிகழ்தகவுடன், பொது மக்களின் கணித எதிர்பார்ப்பைக் கொண்டிருக்கும் தரவுகளிலிருந்து கணக்கிடப்பட்ட இடைவெளியாகும். கணித எதிர்பார்ப்புக்கான இயற்கையான மதிப்பீடு அதன் கவனிக்கப்பட்ட மதிப்புகளின் எண்கணித சராசரி ஆகும். எனவே, பாடம் முழுவதும் "சராசரி" மற்றும் "சராசரி மதிப்பு" என்ற சொற்களைப் பயன்படுத்துவோம். நம்பிக்கை இடைவெளியைக் கணக்கிடுவதில் உள்ள சிக்கல்களில், "சராசரி எண்ணின் நம்பக இடைவெளி [குறிப்பிட்ட சிக்கலில்] [சிறிய மதிப்பில்] இருந்து [பெரிய மதிப்பு] வரை இருக்கும்" என்பது போன்ற பதில் பெரும்பாலும் தேவைப்படுகிறது. நம்பிக்கை இடைவெளியைப் பயன்படுத்தி, நீங்கள் சராசரி மதிப்புகளை மட்டுமல்ல, பொது மக்களின் குறிப்பிட்ட பண்புகளின் விகிதத்தையும் மதிப்பீடு செய்யலாம். சராசரி மதிப்புகள், சிதறல், நிலையான விலகல் மற்றும் பிழை, இதன் மூலம் புதிய வரையறைகள் மற்றும் சூத்திரங்களுக்கு வருவோம், பாடத்தில் விவாதிக்கப்படுகிறது. மாதிரி மற்றும் மக்கள்தொகையின் பண்புகள் .

சராசரியின் புள்ளி மற்றும் இடைவெளி மதிப்பீடுகள்

மக்கள்தொகையின் சராசரி மதிப்பு ஒரு எண்ணால் (புள்ளி) மதிப்பிடப்பட்டால், ஒரு குறிப்பிட்ட சராசரி, அவதானிப்புகளின் மாதிரியிலிருந்து கணக்கிடப்படுகிறது, இது மக்கள்தொகையின் அறியப்படாத சராசரி மதிப்பின் மதிப்பீடாக எடுத்துக் கொள்ளப்படுகிறது. இந்த வழக்கில், மாதிரி சராசரியின் மதிப்பு - ஒரு சீரற்ற மாறி - பொது மக்களின் சராசரி மதிப்புடன் ஒத்துப்போவதில்லை. எனவே, மாதிரி சராசரியைக் குறிக்கும் போது, ​​நீங்கள் ஒரே நேரத்தில் மாதிரி பிழையைக் குறிப்பிட வேண்டும். மாதிரி பிழையின் அளவீடு நிலையான பிழை, இது சராசரியாக அதே அலகுகளில் வெளிப்படுத்தப்படுகிறது. எனவே, பின்வரும் குறியீடு பெரும்பாலும் பயன்படுத்தப்படுகிறது:

சராசரியின் மதிப்பீடு ஒரு குறிப்பிட்ட நிகழ்தகவுடன் தொடர்புடையதாக இருக்க வேண்டும் என்றால், மக்கள்தொகையில் ஆர்வத்தின் அளவுரு ஒரு எண்ணால் அல்ல, ஆனால் ஒரு இடைவெளியால் மதிப்பிடப்பட வேண்டும். நம்பிக்கை இடைவெளி என்பது ஒரு குறிப்பிட்ட நிகழ்தகவு கொண்ட ஒரு இடைவெளி பிமதிப்பிடப்பட்ட மக்கள்தொகை காட்டி மதிப்பு காணப்படுகிறது. நம்பிக்கை இடைவெளியில் அது சாத்தியமாகும் பி = 1 - α சீரற்ற மாறி காணப்படுகிறது, பின்வருமாறு கணக்கிடப்படுகிறது:

,

α = 1 - பி, இது புள்ளிவிவரங்கள் பற்றிய எந்தவொரு புத்தகத்தின் பின்னிணைப்பில் காணலாம்.

நடைமுறையில், மக்கள்தொகை சராசரி மற்றும் மாறுபாடு தெரியவில்லை, எனவே மக்கள்தொகை மாறுபாடு மாதிரி மாறுபாட்டால் மாற்றப்படுகிறது, மேலும் மக்கள் தொகை மாதிரி சராசரியால் மாற்றப்படுகிறது. எனவே, பெரும்பாலான சந்தர்ப்பங்களில் நம்பிக்கை இடைவெளி பின்வருமாறு கணக்கிடப்படுகிறது:

.

நம்பக இடைவெளி சூத்திரம் என்றால் மக்கள்தொகை சராசரியை மதிப்பிடுவதற்கு பயன்படுத்தப்படலாம்

• மக்கள்தொகையின் நிலையான விலகல் அறியப்படுகிறது;
• அல்லது மக்கள்தொகையின் நிலையான விலகல் தெரியவில்லை, ஆனால் மாதிரி அளவு 30 ஐ விட அதிகமாக உள்ளது.

மாதிரி சராசரி என்பது மக்கள்தொகை சராசரியின் பாரபட்சமற்ற மதிப்பீடாகும். இதையொட்டி, மாதிரி மாறுபாடு மக்கள்தொகை மாறுபாட்டின் ஒரு பக்கச்சார்பற்ற மதிப்பீடு அல்ல. மாதிரி மாறுபாடு சூத்திரத்தில், மாதிரி அளவு, மக்கள் தொகை மாறுபாட்டின் நடுநிலை மதிப்பீட்டைப் பெற nமூலம் மாற்றப்பட வேண்டும் n-1.

எடுத்துக்காட்டு 1.ஒரு குறிப்பிட்ட நகரத்தில் தோராயமாக தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட 100 கஃபேக்களில் இருந்து சராசரியாக 10.5 ஊழியர்களின் எண்ணிக்கை 4.6 இன் நிலையான விலகலுடன் இருப்பதாக தகவல் சேகரிக்கப்பட்டது. கஃபே ஊழியர்களின் எண்ணிக்கையில் 95% நம்பிக்கை இடைவெளியைத் தீர்மானிக்கவும்.

முக்கியத்துவ நிலைக்கான நிலையான இயல்பான விநியோகத்தின் முக்கியமான மதிப்பு எங்கே α = 0,05 .

எனவே, சராசரியாக ஓட்டல் ஊழியர்களின் எண்ணிக்கையில் 95% நம்பிக்கை இடைவெளி 9.6 முதல் 11.4 வரை இருந்தது.

எடுத்துக்காட்டு 2. 64 அவதானிப்புகளின் மக்கள்தொகையில் இருந்து ஒரு சீரற்ற மாதிரிக்கு, பின்வரும் மொத்த மதிப்புகள் கணக்கிடப்பட்டன:

அவதானிப்புகளில் உள்ள மதிப்புகளின் கூட்டுத்தொகை,

சராசரியிலிருந்து மதிப்புகளின் வர்க்க விலகல்களின் கூட்டுத்தொகை .

கணித எதிர்பார்ப்புக்கான 95% நம்பிக்கை இடைவெளியைக் கணக்கிடவும்.

நிலையான விலகலைக் கணக்கிடுவோம்:

,

சராசரி மதிப்பைக் கணக்கிடுவோம்:

.

நம்பிக்கை இடைவெளிக்கான வெளிப்பாட்டில் மதிப்புகளை மாற்றுகிறோம்:

முக்கியத்துவ நிலைக்கான நிலையான இயல்பான விநியோகத்தின் முக்கியமான மதிப்பு எங்கே α = 0,05 .

நாங்கள் பெறுகிறோம்:

எனவே, இந்த மாதிரியின் கணித எதிர்பார்ப்புக்கான 95% நம்பிக்கை இடைவெளி 7.484 முதல் 11.266 வரை இருந்தது.

எடுத்துக்காட்டு 3. 100 அவதானிப்புகளின் சீரற்ற மக்கள்தொகை மாதிரிக்கு, கணக்கிடப்பட்ட சராசரி 15.2 மற்றும் நிலையான விலகல் 3.2 ஆகும். எதிர்பார்க்கப்படும் மதிப்பிற்கான 95% நம்பிக்கை இடைவெளியைக் கணக்கிடவும், பின்னர் 99% நம்பிக்கை இடைவெளியைக் கணக்கிடவும். மாதிரி சக்தியும் அதன் மாறுபாடும் மாறாமல், நம்பிக்கைக் குணகம் அதிகரித்தால், நம்பிக்கை இடைவெளி குறுகுமா அல்லது விரிவடையும்?

இந்த மதிப்புகளை நம்பிக்கை இடைவெளிக்கான வெளிப்பாடாக மாற்றுகிறோம்:

முக்கியத்துவ நிலைக்கான நிலையான இயல்பான விநியோகத்தின் முக்கியமான மதிப்பு எங்கே α = 0,05 .

நாங்கள் பெறுகிறோம்:

.

எனவே, இந்த மாதிரியின் சராசரிக்கான 95% நம்பிக்கை இடைவெளி 14.57 முதல் 15.82 வரை இருந்தது.

நம்பிக்கை இடைவெளிக்கான வெளிப்பாடாக இந்த மதிப்புகளை மீண்டும் மாற்றுகிறோம்:

முக்கியத்துவ நிலைக்கான நிலையான இயல்பான விநியோகத்தின் முக்கியமான மதிப்பு எங்கே α = 0,01 .

நாங்கள் பெறுகிறோம்:

.

எனவே, இந்த மாதிரியின் சராசரிக்கான 99% நம்பிக்கை இடைவெளி 14.37 முதல் 16.02 வரை இருந்தது.

நாம் பார்க்கிறபடி, நம்பிக்கைக் குணகம் அதிகரிக்கும்போது, ​​நிலையான இயல்பான விநியோகத்தின் முக்கிய மதிப்பும் அதிகரிக்கிறது, இதன் விளைவாக, இடைவெளியின் தொடக்க மற்றும் முடிவு புள்ளிகள் சராசரியிலிருந்து மேலும் அமைந்துள்ளன, இதனால் கணித எதிர்பார்ப்புக்கான நம்பிக்கை இடைவெளி அதிகரிக்கிறது. .

குறிப்பிட்ட ஈர்ப்பு விசையின் புள்ளி மற்றும் இடைவெளி மதிப்பீடுகள்

சில மாதிரி பண்புகளின் பங்கை இவ்வாறு விளக்கலாம் புள்ளி மதிப்பீடு குறிப்பிட்ட ஈர்ப்பு பபொது மக்களில் அதே பண்பு. இந்த மதிப்பை நிகழ்தகவுடன் தொடர்புபடுத்த வேண்டும் என்றால், குறிப்பிட்ட ஈர்ப்பு விசையின் நம்பக இடைவெளி கணக்கிடப்பட வேண்டும். பநிகழ்தகவு கொண்ட மக்கள்தொகையில் சிறப்பியல்பு பி = 1 - α :

.

எடுத்துக்காட்டு 4.சில நகரங்களில் இரண்டு வேட்பாளர்கள் உள்ளனர் ஏமற்றும் பிமேயர் பதவிக்கு போட்டியிடுகின்றனர். 200 நகரவாசிகள் தோராயமாக கணக்கெடுக்கப்பட்டனர், அதில் 46% பேர் வேட்பாளருக்கு வாக்களிப்பதாக பதிலளித்தனர். ஏ, 26% - வேட்பாளருக்கு பிமேலும் 28% பேர் யாருக்கு வாக்களிப்போம் என்று தெரியவில்லை. வேட்பாளரை ஆதரிக்கும் நகரவாசிகளின் விகிதத்திற்கு 95% நம்பிக்கை இடைவெளியைத் தீர்மானிக்கவும் ஏ.

தொடங்குவதற்கு, பின்வரும் வரையறையை நினைவுபடுத்துவோம்:

பின்வரும் சூழ்நிலையை கருத்தில் கொள்வோம். மக்கள்தொகை மாறுபாடுகள் கணித எதிர்பார்ப்பு $a$ மற்றும் நிலையான விலகல் $\sigma$ உடன் இயல்பான பரவலைக் கொண்டிருக்கட்டும். மாதிரி அர்த்தம் இந்த வழக்கில்சீரற்ற மாறியாகக் கருதப்படும். $X$ அளவு பொதுவாக விநியோகிக்கப்படும் போது, ​​மாதிரி சராசரியும் பொதுவாக அளவுருக்களுடன் விநியோகிக்கப்படும்

$\gamma $ நம்பகத்தன்மையுடன் $a$ மதிப்பை உள்ளடக்கிய ஒரு நம்பிக்கை இடைவெளியைக் கண்டுபிடிப்போம்.

இதைச் செய்ய, எங்களுக்கு சமத்துவம் தேவை

அதிலிருந்து நாம் பெறுகிறோம்

இங்கிருந்து நாம் $Ф\இடது(t\வலது)$ செயல்பாட்டு மதிப்புகளின் அட்டவணையில் இருந்து $t$ ஐ எளிதாகக் கண்டறியலாம், அதன் விளைவாக $\delta $ஐக் கண்டறியலாம்.

$Ф\left(t\right)$ செயல்பாட்டின் மதிப்புகளின் அட்டவணையை நினைவுபடுத்துவோம்:

படம் 1. செயல்பாட்டு மதிப்புகளின் அட்டவணை $Ф\இடது(t\வலது).$

அறியப்படாத $(\mathbf \sigma )$க்கான கணித எதிர்பார்ப்பை மதிப்பிடுவதற்கான நம்பிக்கை ஒருங்கிணைப்பு

இந்த வழக்கில், சரி செய்யப்பட்ட மாறுபாடு மதிப்பான $S^2$ ஐப் பயன்படுத்துவோம். மேலே உள்ள சூத்திரத்தில் $\sigma $ ஐ $S$ உடன் மாற்றினால், நாம் பெறுகிறோம்:

நம்பிக்கை இடைவெளியைக் கண்டறிவதற்கான எடுத்துக்காட்டுச் சிக்கல்கள்

எடுத்துக்காட்டு 1

$\sigma =4$ என்ற மாறுபாட்டுடன் $X$ அளவு சாதாரண விநியோகத்தைக் கொண்டிருக்கட்டும். மாதிரி அளவு $n=64$ ஆகவும், நம்பகத்தன்மை $\gamma =0.95$ ஆகவும் இருக்கட்டும். இந்த விநியோகத்தின் கணித எதிர்பார்ப்பை மதிப்பிடுவதற்கான நம்பிக்கை இடைவெளியைக் கண்டறியவும்.

நாம் இடைவெளியைக் கண்டுபிடிக்க வேண்டும் ($\overline(x)-\delta ,\overline(x)+\delta)$.

நாம் மேலே பார்த்தபடி

\[\டெல்டா =\frac(\sigma t)(\sqrt(n))=\frac(4t)(\sqrt(64))=\frac(\t)(2)\]

$t$ அளவுருவை சூத்திரத்தில் காணலாம்

\[Ф\left(t\right)=\frac(\gamma )(2)=\frac(0.95)(2)=0.475\]

அட்டவணை 1ல் இருந்து $t=1.96$ என்று காண்கிறோம்.

CB X ஒரு பொது மக்கள்தொகையை உருவாக்கி, β அறியப்படாத அளவுரு CB X ஆக இருக்கட்டும். * இல் உள்ள புள்ளிவிவர மதிப்பீடு சீராக இருந்தால், மாதிரி அளவு பெரியதாக இருந்தால், β இன் மதிப்பை மிகத் துல்லியமாகப் பெறுவோம். இருப்பினும், நடைமுறையில், எங்களிடம் மிகப் பெரிய மாதிரிகள் இல்லை, எனவே அதிக துல்லியத்திற்கு உத்தரவாதம் அளிக்க முடியாது.

b* என்பது cக்கான புள்ளிவிவர மதிப்பீடாக இருக்கட்டும். மதிப்பு |in* - in| கணிப்பு துல்லியம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. β* ஒரு சீரற்ற மாறி என்பதால், துல்லியம் CB என்பது தெளிவாகிறது. ஒரு சிறிய நேர்மறை எண் 8 ஐக் குறிப்பிடுவோம் மற்றும் மதிப்பீட்டின் துல்லியம் |в* - в| 8 க்கும் குறைவாக இருந்தது, அதாவது | in* - in |< 8.

நம்பகத்தன்மை g அல்லது நம்பிக்கை நிகழ்தகவு in by in * என்பது நிகழ்தகவு g ஆகும், இதில் சமத்துவமின்மை |in * - in|< 8, т. е.

பொதுவாக, நம்பகத்தன்மை g முன்கூட்டியே குறிப்பிடப்படுகிறது, மேலும் g என்பது 1க்கு நெருக்கமான எண்ணாக எடுத்துக்கொள்ளப்படுகிறது (0.9; 0.95; 0.99; ...).

சமத்துவமின்மை இருந்து |in * - in|< S равносильно двойному неравенству в* - S < в < в* + 8, то получаем:

இடைவெளி (* - 8 இல், * + 5 இல்) நம்பிக்கை இடைவெளி என்று அழைக்கப்படுகிறது, அதாவது நம்பிக்கை இடைவெளியானது நிகழ்தகவு y உடன் தெரியாத அளவுருவை உள்ளடக்கியது. நம்பிக்கை இடைவெளியின் முனைகள் சீரற்றவை மற்றும் மாதிரியிலிருந்து மாதிரிக்கு மாறுபடும் என்பதை நினைவில் கொள்ளவும், எனவே இடைவெளி (* - 8 இல், * + 8 இல்) இதில் உள்ள அறியப்படாத அளவுருவை உள்ளடக்கியது என்று கூறுவது மிகவும் துல்லியமானது. இடைவெளி.

விடுங்கள் மக்கள் தொகைஒரு சீரற்ற மாறி X மூலம் வழங்கப்படுகிறது, இது ஒரு சாதாரண சட்டத்தின் படி விநியோகிக்கப்படுகிறது மற்றும் நிலையான விலகல் a அறியப்படுகிறது. தெரியாதது கணித எதிர்பார்ப்பு a = M (X). கொடுக்கப்பட்ட நம்பகத்தன்மை y க்கான நம்பக இடைவெளியைக் கண்டறிவது அவசியம்.

மாதிரி அர்த்தம்

xr = a க்கான புள்ளிவிவர மதிப்பீடு.

தேற்றம். சீரற்ற மதிப்பு X ஒரு சாதாரண விநியோகம் மற்றும் M(XB) = a, எனில் xB க்கு இயல்பான விநியோகம் இருக்கும்.

A (XB) = a, அங்கு a = y/B (X), a = M (X). l/i

ஒருக்கான நம்பிக்கை இடைவெளி வடிவம் கொண்டது:

8ஐக் காண்கிறோம்.

விகிதத்தைப் பயன்படுத்துதல்

Ф(r) என்பது Laplace செயல்பாடாக இருந்தால், எங்களிடம் உள்ளது:

பி ( | XB - a |<8} = 2Ф

Laplace செயல்பாட்டின் மதிப்புகளின் அட்டவணையில் t இன் மதிப்பைக் காண்கிறோம்.

நியமிக்கப்பட்டது

T, நாம் F(t) = g ஐப் பெறுகிறோம், ஏனெனில் g கொடுக்கப்பட்டதால், பின்னர்

சமத்துவத்தில் இருந்து மதிப்பீடு துல்லியமானது என்பதைக் காண்கிறோம்.

இதன் பொருள், ஒருக்கான நம்பிக்கை இடைவெளி வடிவம் கொண்டது:

X மக்கள்தொகையிலிருந்து ஒரு மாதிரி கொடுக்கப்பட்டது

என்ஜி	செய்ய"	X2	Xm
n	n1	n2	nm

n = U1 + ... + nm, பின் நம்பக இடைவெளி:

எடுத்துக்காட்டு 6.35. மாதிரி சராசரி Xb = 10.43, மாதிரி அளவு n = 100 மற்றும் நிலையான விலகல் s = 5 ஆகியவற்றை அறிந்து, 0.95 நம்பகத்தன்மையுடன் சாதாரண விநியோகத்தின் கணித எதிர்பார்ப்பு a ஐ மதிப்பிடுவதற்கான நம்பிக்கை இடைவெளியைக் கண்டறியவும்.

சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துவோம்

இந்த விநியோகத்தின் மாறுபாடு மற்றும் நிலையான விலகல் கள் அறியப்பட்டிருப்பதைக் கருத்தில் கொண்டு, மக்கள்தொகையின் சீரற்ற மாறி X பொதுவாக விநியோகிக்கப்படட்டும். மாதிரி சராசரியைப் பயன்படுத்தி அறியப்படாத கணித எதிர்பார்ப்பை மதிப்பிடுவது அவசியம். இந்த விஷயத்தில், நம்பகத்தன்மையுடன் கணித எதிர்பார்ப்புக்கான நம்பிக்கை இடைவெளியைக் கண்டறிவதில் பணி வருகிறது. நீங்கள் நம்பக நிகழ்தகவு (நம்பகத்தன்மை) b இன் மதிப்பைக் குறிப்பிட்டால், சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி (6.9a) அறியப்படாத கணித எதிர்பார்ப்புக்கான இடைவெளியில் விழுவதற்கான நிகழ்தகவைக் கண்டறியலாம்:

இதில் Ф(t) என்பது Laplace செயல்பாடு (5.17a) ஆகும்.

இதன் விளைவாக, D = s 2 மாறுபாடு தெரிந்தால், கணித எதிர்பார்ப்புக்கான நம்பிக்கை இடைவெளியின் எல்லைகளைக் கண்டறிவதற்கான வழிமுறையை நாம் உருவாக்கலாம்:

1. நம்பகத்தன்மை மதிப்பை அமைக்கவும் - b.
2. இலிருந்து (6.14) எக்ஸ்பிரஸ் Ф(t) = 0.5× b. Ф(t) மதிப்பின் அடிப்படையில் Laplace செயல்பாட்டிற்கான அட்டவணையில் இருந்து t இன் மதிப்பைத் தேர்ந்தெடுக்கவும் (இணைப்பு 1 ஐப் பார்க்கவும்).
3. சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி விலகலைக் கணக்கிடவும் (6.10).
4. சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி நம்பக இடைவெளியை எழுதவும் (6.12) அதாவது நிகழ்தகவு b சமத்துவமின்மை:

.

எடுத்துக்காட்டு 5.

சீரற்ற மாறி X ஒரு சாதாரண விநியோகத்தைக் கொண்டுள்ளது. அறியப்படாத கணித எதிர்பார்ப்பின் b = 0.96 நம்பகத்தன்மை கொண்ட மதிப்பீட்டிற்கான நம்பிக்கை இடைவெளிகளைக் கண்டறியவும், கொடுக்கப்பட்டால்:

1) பொது நிலையான விலகல் s = 5;

2) மாதிரி சராசரி;

3) மாதிரி அளவு n = 49.

கணித எதிர்பார்ப்பின் இடைவெளி மதிப்பீட்டின் சூத்திரத்தில் (6.15). ஏ நம்பகத்தன்மையுடன் b t தவிர அனைத்து அளவுகளும் அறியப்படுகின்றன. t இன் மதிப்பை (6.14) பயன்படுத்தி காணலாம்: b = 2Ф(t) = 0.96. Ф(t) = 0.48.

Laplace செயல்பாடு Ф(t) = 0.48 க்கு பின் இணைப்பு 1 இல் உள்ள அட்டவணையைப் பயன்படுத்தி, தொடர்புடைய மதிப்பைக் கண்டறியவும் t = 2.06. எனவே, . e இன் கணக்கிடப்பட்ட மதிப்பை சூத்திரத்தில் (6.12) மாற்றுவதன் மூலம், நீங்கள் நம்பக இடைவெளியைப் பெறலாம்: 30-1.47< a < 30+1,47.

அறியப்படாத கணித எதிர்பார்ப்பின் நம்பகத்தன்மை b = 0.96 உடன் மதிப்பீட்டிற்கு தேவையான நம்பிக்கை இடைவெளி சமம்: 28.53< a < 31,47.