அறியப்பட்ட மாறுபாட்டுடன் கூடிய சாதாரண விநியோகத்தின் கணித எதிர்பார்ப்புக்கான நம்பிக்கை இடைவெளி. கணித எதிர்பார்ப்புகளை மதிப்பிடுவதற்கான நம்பிக்கை இடைவெளிகள்

மற்றவை அனைத்தும் அவற்றின் கோட்பாட்டு ஒப்புமைகளின் மதிப்பீடுகளாகும், அவை ஒரு மாதிரியாக இல்லாவிட்டால், பொது மக்கள் தொகை கிடைத்தால் பெறலாம். ஆனால் ஐயோ, பொது மக்கள் மிகவும் விலை உயர்ந்தவர்கள் மற்றும் பெரும்பாலும் அணுக முடியாதவர்கள்.

இடைவெளி மதிப்பீட்டின் கருத்து

எந்த மாதிரி மதிப்பீட்டிலும் சில பரவல் உள்ளது, ஏனெனில் ஒரு குறிப்பிட்ட மாதிரியில் உள்ள மதிப்புகளைப் பொறுத்து ஒரு சீரற்ற மாறி ஆகும். எனவே, மிகவும் நம்பகமான புள்ளிவிவர முடிவுகளுக்கு, புள்ளி மதிப்பீட்டை மட்டுமல்ல, அதிக நிகழ்தகவு கொண்ட இடைவெளியையும் ஒருவர் அறிந்திருக்க வேண்டும். γ (காமா) மதிப்பிடப்பட்ட குறிகாட்டியை உள்ளடக்கியது θ (தீட்டா).

முறையாக, இவை இரண்டு அத்தகைய மதிப்புகள் (புள்ளிவிவரங்கள்) T 1 (X)மற்றும் T 2 (X), என்ன டி 1< T 2 , கொடுக்கப்பட்ட நிகழ்தகவு மட்டத்தில் γ நிபந்தனை பூர்த்தி செய்யப்படுகிறது:

சுருக்கமாக, அது சாத்தியம் γ அல்லது அதற்கு மேல் உண்மையான காட்டி புள்ளிகளுக்கு இடையில் உள்ளது T 1 (X)மற்றும் T 2 (X), இவை கீழ் மற்றும் மேல் எல்லைகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன நம்பக இடைவெளியை.

நம்பிக்கை இடைவெளிகளை உருவாக்குவதற்கான நிபந்தனைகளில் ஒன்று அதன் அதிகபட்ச குறுகலானது, அதாவது. அது முடிந்தவரை குறுகியதாக இருக்க வேண்டும். ஆசை மிகவும் இயற்கையானது, ஏனென்றால் ... ஆராய்ச்சியாளர் விரும்பிய அளவுருவின் இருப்பிடத்தை மிகவும் துல்லியமாக உள்ளூர்மயமாக்க முயற்சிக்கிறார்.

நம்பிக்கை இடைவெளியானது விநியோகத்தின் அதிகபட்ச நிகழ்தகவுகளை உள்ளடக்கியதாக இருக்க வேண்டும். மற்றும் மதிப்பீடு தன்னை மையத்தில் இருக்க வேண்டும்.

அதாவது, விலகல் நிகழ்தகவு (மதிப்பீட்டில் இருந்து உண்மையான காட்டி) மேல்நோக்கி விலகல் நிகழ்தகவு கீழ்நோக்கி சமம். சமச்சீரற்ற விநியோகங்களுக்கு வலதுபுறத்தில் இடைவெளி இல்லை என்பதையும் கவனத்தில் கொள்ள வேண்டும் இடைவெளிக்கு சமம்விட்டு.

மேலே உள்ள படம், அதிக நம்பிக்கை நிகழ்தகவு, பரந்த இடைவெளி - நேரடி உறவு என்பதை தெளிவாகக் காட்டுகிறது.

இது தெரியாத அளவுருக்களின் இடைவெளி மதிப்பீட்டின் கோட்பாட்டின் ஒரு சிறிய அறிமுகமாகும். நம்பிக்கை வரம்புகளைக் கண்டுபிடிப்பதற்குச் செல்லலாம் கணித எதிர்பார்ப்பு.

கணித எதிர்பார்ப்புக்கான நம்பிக்கை இடைவெளி

அசல் தரவு க்கு மேல் விநியோகிக்கப்பட்டால், சராசரியானது சாதாரண மதிப்பாக இருக்கும். சாதாரண மதிப்புகளின் நேரியல் கலவையும் ஒரு சாதாரண விநியோகத்தைக் கொண்டுள்ளது என்ற விதியிலிருந்து இது பின்பற்றப்படுகிறது. எனவே, நிகழ்தகவுகளைக் கணக்கிட, சாதாரண விநியோகச் சட்டத்தின் கணிதக் கருவியைப் பயன்படுத்தலாம்.

இருப்பினும், இதற்கு இரண்டு அளவுருக்களைத் தெரிந்து கொள்ள வேண்டும் - எதிர்பார்ப்பு மற்றும் மாறுபாடு, பொதுவாக அறியப்படாதவை. நீங்கள் நிச்சயமாக, அளவுருக்களுக்குப் பதிலாக மதிப்பீடுகளைப் பயன்படுத்தலாம் (எண்கணித சராசரி மற்றும் ), ஆனால் சராசரியின் விநியோகம் முற்றிலும் சாதாரணமாக இருக்காது, அது சற்று கீழ்நோக்கி தட்டையாக இருக்கும். இந்த உண்மையை அயர்லாந்தில் இருந்து குடிமகன் வில்லியம் கோசெட் புத்திசாலித்தனமாக குறிப்பிட்டார், மார்ச் 1908 பயோமெட்ரிகா இதழில் தனது கண்டுபிடிப்பை வெளியிட்டார். இரகசிய நோக்கங்களுக்காக, Gosset தன்னை மாணவர் என்று கையெழுத்திட்டார். மாணவர் டி-விநியோகம் இப்படித்தான் தோன்றியது.

இருப்பினும், பிழை பகுப்பாய்வில் கே. காஸ் பயன்படுத்திய தரவுகளின் இயல்பான விநியோகம் வானியல் அவதானிப்புகள், பூமிக்குரிய வாழ்க்கையில் மிகவும் அரிதானது மற்றும் நிறுவுவது மிகவும் கடினம் (அதிக துல்லியத்திற்கு சுமார் 2 ஆயிரம் அவதானிப்புகள் தேவை). எனவே, இயல்பான தன்மையின் அனுமானத்தை நிராகரித்து, அசல் தரவின் விநியோகத்தைச் சார்ந்து இல்லாத முறைகளைப் பயன்படுத்துவது சிறந்தது.

கேள்வி எழுகிறது: தரவுகளிலிருந்து கணக்கிடப்பட்டால் எண்கணித சராசரியின் விநியோகம் என்ன அறியப்படாத விநியோகம்? நிகழ்தகவுக் கோட்பாட்டில் நன்கு அறியப்பட்ட பதில் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது மத்திய வரம்பு தேற்றம்(CPT). கணிதத்தில் அதன் பல வகைகள் உள்ளன (முழுவதும் நீண்ட ஆண்டுகளாகசூத்திரங்கள் சுத்திகரிக்கப்பட்டுள்ளன), ஆனால் அவை அனைத்தும், தோராயமாகச் சொன்னால், ஒரு பெரிய எண்ணிக்கையிலான சுயாதீன சீரற்ற மாறிகளின் கூட்டுத்தொகை ஒரு சாதாரண விநியோகச் சட்டத்திற்குக் கீழ்ப்படிகிறது.

எண்கணித சராசரியைக் கணக்கிடும்போது, ​​சீரற்ற மாறிகளின் கூட்டுத்தொகை பயன்படுத்தப்படுகிறது. இங்கிருந்து, எண்கணித சராசரியானது இயல்பான விநியோகத்தைக் கொண்டுள்ளது, இதில் எதிர்பார்ப்பு என்பது அசல் தரவின் எதிர்பார்ப்பு, மற்றும் மாறுபாடு .

புத்திசாலி மக்கள் CLT ஐ எப்படி நிரூபிப்பது என்பது தெரியும், ஆனால் Excel இல் நடத்தப்பட்ட ஒரு பரிசோதனையின் உதவியுடன் இதை சரிபார்ப்போம். 50 சீராக விநியோகிக்கப்பட்ட சீரற்ற மாறிகளின் மாதிரியை உருவகப்படுத்துவோம் (எக்செல் செயல்பாட்டைப் பயன்படுத்தி RANDBETWEEN). பிறகு 1000 மாதிரிகளை உருவாக்கி ஒவ்வொன்றிற்கும் எண்கணித சராசரியைக் கணக்கிடுவோம். அவற்றின் விநியோகத்தைப் பார்ப்போம்.

சராசரியின் விநியோகம் சாதாரண சட்டத்திற்கு அருகில் இருப்பதைக் காணலாம். மாதிரி அளவு மற்றும் எண்ணை இன்னும் பெரிதாக்கினால், ஒற்றுமை இன்னும் சிறப்பாக இருக்கும்.

CLT இன் செல்லுபடியாகும் தன்மையை இப்போது நாம் நம் கண்களால் பார்த்தோம், நிகழ்தகவுடன் உண்மையான சராசரி அல்லது கணித எதிர்பார்ப்புகளை உள்ளடக்கிய எண்கணித சராசரிக்கான நம்பிக்கை இடைவெளிகளைக் கணக்கிடலாம்.

மேல் மற்றும் கீழ் வரம்புகளை அமைக்க, நீங்கள் அளவுருக்களை அறிந்து கொள்ள வேண்டும் சாதாரண விநியோகம். ஒரு விதியாக, எதுவும் இல்லை, எனவே மதிப்பீடுகள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன: எண்கணித சராசரிமற்றும் மாதிரி மாறுபாடு. நான் மீண்டும் சொல்கிறேன், இந்த முறை பெரிய மாதிரிகளுடன் மட்டுமே ஒரு நல்ல தோராயத்தை அளிக்கிறது. மாதிரிகள் சிறியதாக இருக்கும்போது, ​​மாணவர் விநியோகத்தைப் பயன்படுத்த பரிந்துரைக்கப்படுகிறது. நம்பாதே! சராசரிக்கான மாணவர் விநியோகம் அசல் தரவு பொதுவாக விநியோகிக்கப்படும் போது மட்டுமே நிகழ்கிறது, அதாவது கிட்டத்தட்ட ஒருபோதும். எனவே, உடனடியாக போடுவது நல்லது குறைந்தபட்ச பட்டைதேவையான தரவுகளின் அளவு மற்றும் அறிகுறியற்ற சரியான முறைகளைப் பயன்படுத்தவும். 30 அவதானிப்புகள் போதும் என்கிறார்கள். 50 எடுத்துக் கொள்ளுங்கள் - நீங்கள் தவறாகப் போக மாட்டீர்கள்.

டி 1.2- நம்பிக்கை இடைவெளியின் கீழ் மற்றும் மேல் வரம்புகள்

- மாதிரி எண்கணித சராசரி

கள் 0- மாதிரியின் நிலையான விலகல் (பக்கச்சார்பற்றது)

n - மாதிரி அளவு

γ நம்பிக்கை நிகழ்தகவு (பொதுவாக 0.9, 0.95 அல்லது 0.99 க்கு சமம்)

c γ =Φ -1 ((1+γ)/2)நிலையான இயல்பான விநியோக செயல்பாட்டின் தலைகீழ் மதிப்பு. எளிமையாகச் சொன்னால், இது எண்கணித சராசரியிலிருந்து குறைந்த வரையிலான நிலையான பிழைகளின் எண்ணிக்கை அல்லது மேல் வரம்பு(குறிப்பிடப்பட்ட மூன்று நிகழ்தகவுகள் 1.64, 1.96 மற்றும் 2.58 மதிப்புகளுக்கு ஒத்திருக்கும்).

சூத்திரத்தின் சாராம்சம் என்னவென்றால், எண்கணித சராசரி எடுக்கப்பட்டு, அதிலிருந்து ஒரு குறிப்பிட்ட அளவு ஒதுக்கப்படுகிறது ( γ உடன்) நிலையான பிழைகள் ( s 0 /√n) எல்லாம் தெரியும், அதை எடுத்து அதை கருத்தில்.

முன்பு வெகுஜன பயன்பாடுசாதாரண விநியோக செயல்பாடு மற்றும் அதன் தலைகீழ் மதிப்புகளைப் பெற ஒரு PC பயன்படுத்தப்பட்டது. அவை இன்றும் பயன்படுத்தப்படுகின்றன, ஆனால் ஆயத்த எக்செல் சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்துவது மிகவும் பயனுள்ளதாக இருக்கும். மேலே உள்ள சூத்திரத்தின் அனைத்து கூறுகளையும் ( , மற்றும் ) எக்செல் இல் எளிதாகக் கணக்கிடலாம். ஆனால் நம்பிக்கை இடைவெளியைக் கணக்கிடுவதற்கு ஒரு ஆயத்த சூத்திரம் உள்ளது - TRUST.NORM. அதன் தொடரியல் பின்வருமாறு.

CONFIDENCE.NORM(alpha;standard_off;size)

ஆல்பா- முக்கியத்துவம் நிலை அல்லது நம்பிக்கை நிலை, மேலே ஏற்றுக்கொள்ளப்பட்ட குறியீட்டில் 1- γ க்கு சமம், அதாவது. கணிதம் என்று நிகழ்தகவுஎதிர்பார்ப்பு நம்பிக்கை இடைவெளிக்கு வெளியே இருக்கும். மணிக்கு நம்பிக்கை நிகழ்தகவு 0.95, ஆல்பா 0.05, முதலியன.

நிலையான_ஆஃப்- மாதிரி தரவின் நிலையான விலகல். நிலையான பிழையைக் கணக்கிட வேண்டிய அவசியமில்லை, எக்செல் n இன் மூலத்தால் வகுக்கும்.

அளவு- மாதிரி அளவு (n).

கான்ஃபிடன்ஸ் நார்ம் செயல்பாட்டின் முடிவு, நம்பக இடைவெளியைக் கணக்கிடுவதற்கான சூத்திரத்தின் இரண்டாவது காலமாகும், அதாவது. அரை இடைவெளி அதன்படி, கீழ் மற்றும் மேல் புள்ளிகள் சராசரி ± பெறப்பட்ட மதிப்பு.

எனவே, எண்கணித சராசரிக்கான நம்பிக்கை இடைவெளிகளைக் கணக்கிடுவதற்கான உலகளாவிய வழிமுறையை உருவாக்க முடியும், இது அசல் தரவின் விநியோகத்தைப் பொறுத்தது அல்ல. உலகளாவியத்திற்கான விலை அதன் அறிகுறியற்ற தன்மை, அதாவது. ஒப்பீட்டளவில் பெரிய மாதிரிகளைப் பயன்படுத்த வேண்டிய அவசியம். இருப்பினும், வயதில் நவீன தொழில்நுட்பங்கள்தேவையான அளவு தரவுகளை சேகரிப்பது பொதுவாக கடினம் அல்ல.

நம்பிக்கை இடைவெளிகளைப் பயன்படுத்தி புள்ளியியல் கருதுகோள்களைச் சோதித்தல்

(தொகுதி 111)

புள்ளிவிவரங்களில் தீர்க்கப்படும் முக்கிய பிரச்சனைகளில் ஒன்று. அதன் சாராம்சம் சுருக்கமாக பின்வருமாறு. உதாரணமாக, எதிர்பார்ப்பு என்று கருதப்படுகிறது மக்கள் தொகைசில மதிப்புக்கு சமம். பின்னர் மாதிரியின் விநியோகம் என்பது கொடுக்கப்பட்ட எதிர்பார்ப்புக்குக் காணக்கூடியதாகும். அடுத்து, இந்த நிபந்தனை விநியோகத்தில் உண்மையான சராசரி எங்கு உள்ளது என்பதை அவர்கள் பார்க்கிறார்கள். இது ஏற்றுக்கொள்ளக்கூடிய வரம்புகளுக்கு அப்பால் சென்றால், அத்தகைய சராசரியின் தோற்றம் மிகவும் அரிதானது, மேலும் சோதனை ஒரு முறை மீண்டும் மீண்டும் செய்யப்பட்டால், அது கிட்டத்தட்ட சாத்தியமற்றது, இது முன்வைக்கப்பட்ட கருதுகோளுக்கு முரணானது, இது வெற்றிகரமாக நிராகரிக்கப்பட்டது. சராசரியை தாண்டவில்லை என்றால் முக்கியமான நிலை, பின்னர் கருதுகோள் நிராகரிக்கப்படவில்லை (ஆனால் நிரூபிக்கப்படவில்லை!).

எனவே, நம்பிக்கை இடைவெளிகளின் உதவியுடன், எதிர்பார்ப்புக்கான எங்கள் விஷயத்தில், நீங்கள் சில கருதுகோள்களையும் சோதிக்கலாம். செய்வது மிகவும் எளிது. ஒரு குறிப்பிட்ட மாதிரியின் எண்கணித சராசரி 100 க்கு சமம் என்று வைத்துக் கொள்வோம். கருதுகோள் எதிர்பார்க்கப்படும் மதிப்பு, 90 என்று சோதிக்கப்படுகிறது. அதாவது, நாம் கேள்வியை முதன்மையாக முன்வைத்தால், அது இப்படித் தெரிகிறது: அது உண்மையுடன் இருக்க முடியுமா? சராசரியின் மதிப்பு 90 க்கு சமம், கவனிக்கப்பட்ட சராசரி 100 ஆக மாறியது?

இந்த கேள்விக்கு பதிலளிக்க, சராசரியைப் பற்றிய தகவல் கூடுதலாக உங்களுக்குத் தேவைப்படும் சதுர விலகல்மற்றும் மாதிரி அளவு. நிலையான விலகல் 30 என்றும், அவதானிப்புகளின் எண்ணிக்கை 64 என்றும் வைத்துக்கொள்வோம் (வேரை எளிதாகப் பிரித்தெடுக்க). பின்னர் சராசரியின் நிலையான பிழை 30/8 அல்லது 3.75 ஆகும். 95% நம்பிக்கை இடைவெளியைக் கணக்கிட, சராசரியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் இரண்டு நிலையான பிழைகளைச் சேர்க்க வேண்டும் (இன்னும் துல்லியமாக, 1.96). நம்பிக்கை இடைவெளி தோராயமாக 100± 7.5 அல்லது 92.5 முதல் 107.5 வரை இருக்கும்.

மேலும் காரணம் பின்வருமாறு. சோதிக்கப்படும் மதிப்பு நம்பிக்கை இடைவெளிக்குள் வந்தால், அது கருதுகோளுடன் முரண்படாது, ஏனெனில் சீரற்ற ஏற்ற இறக்கங்களின் வரம்புகளுக்குள் விழுகிறது (நிகழ்தகவு 95% உடன்). சரிபார்க்கப்படும் புள்ளி நம்பிக்கை இடைவெளிக்கு வெளியே இருந்தால், அத்தகைய நிகழ்வின் நிகழ்தகவு மிகவும் சிறியதாக இருக்கும், எந்தவொரு சந்தர்ப்பத்திலும் ஏற்றுக்கொள்ளக்கூடிய நிலைக்கு கீழே. கவனிக்கப்பட்ட தரவுகளுக்கு முரணாக கருதுகோள் நிராகரிக்கப்படுகிறது என்பதே இதன் பொருள். எங்கள் விஷயத்தில், எதிர்பார்க்கப்படும் மதிப்பைப் பற்றிய கருதுகோள் நம்பிக்கை இடைவெளிக்கு வெளியே உள்ளது (சோதனை செய்யப்பட்ட மதிப்பு 90 இடைவெளி 100±7.5 இல் சேர்க்கப்படவில்லை), எனவே அது நிராகரிக்கப்பட வேண்டும். மேலே உள்ள பழமையான கேள்விக்கு பதிலளிப்பதன் மூலம், இது கூறப்பட வேண்டும்: இல்லை, அது முடியாது, எந்தவொரு சந்தர்ப்பத்திலும், இது மிகவும் அரிதாகவே நடக்கும். பெரும்பாலும், அவை கருதுகோளை (p-level) தவறாக நிராகரிப்பதற்கான குறிப்பிட்ட நிகழ்தகவைக் குறிக்கின்றன, மேலும் நம்பிக்கை இடைவெளி கட்டமைக்கப்பட்ட குறிப்பிட்ட நிலை அல்ல, ஆனால் மற்றொரு நேரத்தில்.

நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, சராசரி (அல்லது கணித எதிர்பார்ப்பு) ஒரு நம்பிக்கை இடைவெளியை உருவாக்குவது கடினம் அல்ல. முக்கிய விஷயம் என்னவென்றால், சாரத்தை புரிந்துகொள்வது, பின்னர் விஷயங்கள் நகரும். நடைமுறையில், பெரும்பாலான நிகழ்வுகள் 95% நம்பிக்கை இடைவெளியைப் பயன்படுத்துகின்றன, இது சராசரியின் இருபுறமும் தோராயமாக இரண்டு நிலையான பிழைகள் அகலமாக இருக்கும்.

இப்பொழுது இத்துடன் நிறைவடைகிறது. வாழ்த்துகள்!

ஒரு சீரற்ற மாறி (பொது மக்கள்தொகையைப் பற்றி பேசலாம்) ஒரு சாதாரண சட்டத்தின்படி விநியோகிக்கப்படட்டும், இதற்கு மாறுபாடு D = 2 (> 0) அறியப்படுகிறது. பொது மக்களிடமிருந்து (ஒரு சீரற்ற மாறி தீர்மானிக்கப்படும் பொருள்களின் தொகுப்பில்), அளவு n மாதிரி செய்யப்படுகிறது. மாதிரி x 1 , x 2 ,..., x n என்பது n சார்பற்ற சீரற்ற மாறிகளின் தொகுப்பாகக் கருதப்படுகிறது (உரையில் மேலே விவரிக்கப்பட்ட அணுகுமுறை).

பின்வரும் சமத்துவங்களும் முன்னர் விவாதிக்கப்பட்டு நிரூபிக்கப்பட்டன:

Mx 1 = Mx 2 = ... = Mx n = M;

Dx 1 = Dx 2 = ... = Dx n = D;

ரேண்டம் மாறி உள்ளதா என்பதை எளிமையாக நிரூபித்தாலே போதும் (ஆதாரத்தைத் தவிர்க்கிறோம்). இந்த வழக்கில்சாதாரண சட்டத்தின்படியும் விநியோகிக்கப்படுகிறது.

அறியப்படாத M ஐ a ஆல் குறிப்போம் மற்றும் கொடுக்கப்பட்ட நம்பகத்தன்மையின் அடிப்படையில், d > 0 என்ற எண்ணைத் தேர்ந்தெடுக்கவும், இதனால் நிபந்தனை திருப்திகரமாக இருக்கும்:

பி(- ஏ< d) = (1)

கணித எதிர்பார்ப்பு M = M = a மற்றும் மாறுபாடு D = D / n = 2 /n ஆகியவற்றுடன் சாதாரண சட்டத்தின் படி சீரற்ற மாறி விநியோகிக்கப்படுவதால், நாம் பெறுகிறோம்:

பி(- ஏ< d) =P(a - d < < a + d) =

சமத்துவத்தை நிலைநிறுத்தக்கூடிய d ஐத் தேர்ந்தெடுப்பது உள்ளது

எவருக்கும், டேபிளைப் பயன்படுத்தி t எண்ணைக் கண்டறியலாம் (t)= / 2. இந்த எண் t சில நேரங்களில் அழைக்கப்படுகிறது அளவு.

இப்போது சமத்துவத்திலிருந்து

d இன் மதிப்பை நிர்ணயிப்போம்:

படிவத்தில் சூத்திரத்தை (1) வழங்குவதன் மூலம் இறுதி முடிவைப் பெறுகிறோம்:

கடைசி சூத்திரத்தின் பொருள் பின்வருமாறு: நம்பகத்தன்மையுடன், நம்பிக்கை இடைவெளி

மக்கள்தொகையின் அறியப்படாத அளவுரு a = M ஐ உள்ளடக்கியது. நீங்கள் வேறு விதமாக சொல்லலாம்: புள்ளி மதிப்பீடுதுல்லியம் d= t / மற்றும் நம்பகத்தன்மையுடன் M அளவுருவின் மதிப்பை தீர்மானிக்கிறது.

பணி. 6.25 க்கு சமமான மாறுபாட்டுடன் ஒரு சாதாரண சட்டத்தின்படி விநியோகிக்கப்படும் ஒரு குறிப்பிட்ட பண்புடன் கூடிய மக்கள்தொகை இருக்கட்டும். ஒரு மாதிரி அளவு n = 27 எடுக்கப்பட்டது மற்றும் குணாதிசயத்தின் சராசரி மாதிரி மதிப்பு பெறப்பட்டது = 12. நம்பகத்தன்மை = 0.99 உடன் பொது மக்களின் ஆய்வு பண்பின் அறியப்படாத கணித எதிர்பார்ப்புகளை உள்ளடக்கிய நம்பிக்கை இடைவெளியைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு. முதலில், லாப்லேஸ் செயல்பாட்டிற்கான அட்டவணையைப் பயன்படுத்தி, சமத்துவம் (t) =/ 2 = 0.495 இலிருந்து t இன் மதிப்பைக் காண்கிறோம். பெறப்பட்ட மதிப்பின் அடிப்படையில் t = 2.58, மதிப்பீட்டின் துல்லியத்தை நாங்கள் தீர்மானிக்கிறோம் (அல்லது நம்பக இடைவெளியின் பாதி நீளம்) d: d = 2.52.58 / 1.24. இங்கிருந்து நாம் தேவையான நம்பிக்கை இடைவெளியைப் பெறுகிறோம்: (10.76; 13.24).

புள்ளிவிவர கருதுகோள் பொதுவான மாறுபாடு

அறியப்படாத மாறுபாட்டுடன் கூடிய சாதாரண விநியோகத்தின் கணித எதிர்பார்ப்புக்கான நம்பிக்கை இடைவெளி

அறியப்படாத கணித எதிர்பார்ப்பு M உடன் ஒரு சாதாரண சட்டத்தின் படி விநியோகிக்கப்படும் ஒரு சீரற்ற மாறியாக இருக்கட்டும், இதை நாம் a என்ற எழுத்தால் குறிப்பிடுகிறோம். தொகுதி n மாதிரியை உருவாக்குவோம். அறியப்பட்ட சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி சராசரி மாதிரி மற்றும் சரி செய்யப்பட்ட மாதிரி மாறுபாடு s 2 ஐ நிர்ணயிப்போம்.

சீரற்ற மதிப்பு

மாணவர் சட்டத்தின்படி n - 1 டிகிரி சுதந்திரத்துடன் விநியோகிக்கப்படுகிறது.

கொடுக்கப்பட்ட நம்பகத்தன்மைக்கு t என்ற எண்ணையும், சுதந்திரத்தின் அளவு n - 1ஐயும் கண்டுபிடிப்பதே பணியாகும்.

அல்லது சமமான சமத்துவம்

இங்கே அடைப்புக்குறிக்குள் தெரியாத அளவுரு a இன் மதிப்பு ஒரு குறிப்பிட்ட இடைவெளிக்கு சொந்தமானது என்ற நிபந்தனை எழுதப்பட்டுள்ளது, இது நம்பிக்கை இடைவெளி. அதன் வரம்புகள் நம்பகத்தன்மை மற்றும் மாதிரி அளவுருக்கள் மற்றும் s ஆகியவற்றைப் பொறுத்தது.

t இன் மதிப்பை அளவு மூலம் தீர்மானிக்க, சமத்துவத்தை (2) வடிவத்திற்கு மாற்றுகிறோம்:

இப்போது அட்டவணை படி சீரற்ற மாறி t, மாணவர் சட்டத்தின் படி விநியோகிக்கப்படுகிறது, நிகழ்தகவு 1 ஐப் பயன்படுத்தி - மற்றும் சுதந்திரத்தின் டிகிரி எண்ணிக்கை n - 1, நாம் t ஐக் காணலாம். சூத்திரம் (3) முன்வைக்கப்பட்ட பிரச்சனைக்கான பதிலை அளிக்கிறது.

பணி. 20 மின் விளக்குகளின் கட்டுப்பாட்டு சோதனைகளின் போது சராசரி காலம்அவர்களின் பணியானது நிலையான விலகலுடன் 2000 மணிநேரத்திற்கு சமமாக இருந்தது (சரிசெய்யப்பட்ட மாதிரி மாறுபாட்டின் வர்க்க மூலமாக கணக்கிடப்படுகிறது) 11 மணிநேரத்திற்கு சமமாக இருந்தது. ஒரு விளக்கின் இயக்க நேரம் பொதுவாக விநியோகிக்கப்படும் சீரற்ற மாறி என்று அறியப்படுகிறது. இந்த சீரற்ற மாறியின் கணித எதிர்பார்ப்புக்கு 0.95 நம்பகத்தன்மையுடன் ஒரு நம்பிக்கை இடைவெளியைத் தீர்மானிக்கவும்.

தீர்வு. மதிப்பு 1 - இந்த வழக்கில் 0.05 க்கு சமம். மாணவர் விநியோக அட்டவணையின்படி, சுதந்திரத்தின் டிகிரி எண்ணிக்கை 19 க்கு சமமாக, நாம் காண்கிறோம்: t = 2.093. மதிப்பீட்டின் துல்லியத்தை இப்போது கணக்கிடுவோம்: 2.093121/ = 56.6. இங்கிருந்து நாம் தேவையான நம்பிக்கை இடைவெளியைப் பெறுகிறோம்: (1943.4; 2056.6).

சட்டத்திற்கு உட்பட்டு ஒரு பொது மக்களிடம் இருந்து மாதிரி எடுக்கலாம் சாதாரணவிநியோகம் எக்ஸ்N( மீ;  ) கணித புள்ளிவிவரங்களின் இந்த அடிப்படை அனுமானம் மைய வரம்பு தேற்றத்தை அடிப்படையாகக் கொண்டது. பொதுவான நிலையான விலகலை அறியலாம்  , ஆனால் கோட்பாட்டு விநியோகத்தின் கணித எதிர்பார்ப்பு தெரியவில்லை மீ(சராசரி மதிப்பு).

இந்த வழக்கில், மாதிரி சராசரி , பரிசோதனையின் போது பெறப்பட்டது (பிரிவு 3.4.2), ஒரு சீரற்ற மாறியாகவும் இருக்கும் மீ;
) பின்னர் "சாதாரண" விலகல்
N(0;1) - ஒரு நிலையான சாதாரண சீரற்ற மாறி.

இதற்கான இடைவெளி மதிப்பீட்டைக் கண்டுபிடிப்பதே பணி மீ. இரண்டு பக்க நம்பிக்கை இடைவெளியை உருவாக்குவோம் மீ அதனால் உண்மையான கணித எதிர்பார்ப்பு கொடுக்கப்பட்ட நிகழ்தகவுடன் (நம்பகத்தன்மை) அவருக்கு சொந்தமானது  .

மதிப்புக்கு அத்தகைய இடைவெளியை அமைக்கவும்
- இதன் பொருள் இந்த அளவின் அதிகபட்ச மதிப்பைக் கண்டறிதல்
மற்றும் குறைந்தபட்சம்
, முக்கியமான பகுதியின் எல்லைகள்:
.

ஏனெனில் இந்த நிகழ்தகவு சமம்
, பின்னர் இந்த சமன்பாட்டின் வேர்
Laplace செயல்பாட்டு அட்டவணைகளைப் பயன்படுத்தி காணலாம் (அட்டவணை 3, பின் இணைப்பு 1).

பின்னர் நிகழ்தகவுடன்  சீரற்ற மாறி என்று வாதிடலாம்
, அதாவது, விரும்பிய பொது சராசரி இடைவெளிக்கு சொந்தமானது
. (3.13)

அளவு
(3.14)

அழைக்கப்பட்டது துல்லியம்மதிப்பீடுகள்.

எண்
– அளவுஇயல்பான விநியோகம் - லாப்லேஸ் செயல்பாட்டின் ஒரு வாதமாகக் காணலாம் (அட்டவணை 3, பின் இணைப்பு 1), உறவை 2Ф( u)=, அதாவது F( u)=
.

குறிப்பிட்ட விலகல் மதிப்பின் படி, தலைகீழ்  அறியப்படாத பொது சராசரி எந்த நிகழ்தகவுடன் இடைவெளிக்கு சொந்தமானது என்பதைக் கண்டறியலாம்
. இதைச் செய்ய, நீங்கள் கணக்கிட வேண்டும்

. (3.15)

மீண்டும் மீண்டும் தேர்ந்தெடுக்கும் முறையைப் பயன்படுத்தி, பொது மக்களிடமிருந்து சீரற்ற மாதிரியைப் பிரித்தெடுக்கலாம். Eq இலிருந்து
காணலாம் குறைந்தபட்சம்தொகுதி மறு மாதிரி n, கொடுக்கப்பட்ட நம்பகத்தன்மையுடன் நம்பிக்கை இடைவெளிக்கு அவசியம் முன்னமைக்கப்பட்ட மதிப்பை மீறவில்லை  . தேவையான மாதிரி அளவு சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி மதிப்பிடப்படுகிறது:

. (3.16)

ஆராய்வோம் கணிப்பு துல்லியம்
:

1) மாதிரி அளவு அதிகரிக்கும் போது nஅளவு  குறைகிறது, எனவே மதிப்பீட்டின் துல்லியம் அதிகரிக்கிறது.

2) சி அதிகரிமதிப்பீட்டின் நம்பகத்தன்மை வாதத்தின் மதிப்பு அதிகரிக்கிறது u(ஏனெனில் எஃப்(u) ஏகபோகமாக அதிகரிக்கிறது) எனவே அதிகரிக்கிறது  . இந்த வழக்கில், நம்பகத்தன்மை அதிகரிக்கிறது குறைக்கிறதுஅதன் மதிப்பீட்டின் துல்லியம்  .

மதிப்பீடு
(3.17)

அழைக்கப்பட்டது பாரம்பரிய(எங்கே டி- பொறுத்து ஒரு குறிப்பிட்ட அளவுரு மற்றும் n), ஏனெனில் இது அடிக்கடி சந்திக்கும் விநியோக சட்டங்களை வகைப்படுத்துகிறது.

3.5.3 அறியப்படாத நிலையான விலகலுடன் ஒரு சாதாரண விநியோகத்தின் கணித எதிர்பார்ப்புகளை மதிப்பிடுவதற்கான நம்பிக்கை இடைவெளிகள் 

மக்கள்தொகை சாதாரண விநியோக சட்டத்திற்கு உட்பட்டது என்பதை தெரியப்படுத்துங்கள் எக்ஸ்N( மீ; ), எங்கே மதிப்பு வேர் என்றால் சதுரம்விலகல்கள் தெரியவில்லை.

இந்த வழக்கில் பொதுவான சராசரியை மதிப்பிடுவதற்கான நம்பிக்கை இடைவெளியை உருவாக்க, புள்ளிவிவரங்கள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன
, உடன் மாணவர் விநியோகம் உள்ளது கே= n-1 டிகிரி சுதந்திரம். என்ற உண்மையிலிருந்து இது பின்வருமாறு N(0;1) (பிரிவு 3.5.2 ஐப் பார்க்கவும்), மற்றும்
(பிரிவு 3.5.3 ஐப் பார்க்கவும்) மற்றும் மாணவர் விநியோகத்தின் வரையறையிலிருந்து (பகுதி 1.பிரிவு 2.11.2).

மாணவர் விநியோகத்தின் கிளாசிக்கல் மதிப்பீட்டின் துல்லியத்தைக் கண்டுபிடிப்போம்: அதாவது. நாம் கண்டுபிடிப்போம் டிசூத்திரத்திலிருந்து (3.17). சமத்துவமின்மையை நிறைவேற்றுவதற்கான நிகழ்தகவை விடுங்கள்
நம்பகத்தன்மையால் கொடுக்கப்பட்டது  :

. (3.18)

ஏனெனில் டிசெயின்ட் ( n-1), இது வெளிப்படையானது டிபொறுத்தது  மற்றும் n, எனவே அவர்கள் வழக்கமாக எழுதுகிறார்கள்
.

(3.19)

எங்கே
- உடன் மாணவர் விநியோக செயல்பாடு n-1 டிகிரி சுதந்திரம்.

இந்த சமன்பாட்டை தீர்ப்பது மீ, நாம் இடைவெளியைப் பெறுகிறோம்
அறியப்படாத அளவுருவை நம்பகத்தன்மையுடன் உள்ளடக்கியது மீ.

அளவு டி  , n-1, சீரற்ற மாறியின் நம்பக இடைவெளியைத் தீர்மானிக்கப் பயன்படுகிறது டி(n-1), மாணவர்களின் சோதனையின் படி விநியோகிக்கப்பட்டது n-1 டிகிரி சுதந்திரம் என்று அழைக்கப்படுகிறது மாணவர் குணகம். கொடுக்கப்பட்ட மதிப்புகளைப் பயன்படுத்தி அதைக் கண்டறிய வேண்டும் nமற்றும்  "மாணவர் விநியோகத்தின் முக்கிய புள்ளிகள்" அட்டவணையில் இருந்து. (அட்டவணை 6, பின் இணைப்பு 1), இது சமன்பாட்டிற்கான தீர்வுகளைக் குறிக்கிறது (3.19).

இதன் விளைவாக, பின்வரும் வெளிப்பாடு நமக்கு கிடைக்கிறது துல்லியம் மாறுபாடு தெரியவில்லை என்றால், கணித எதிர்பார்ப்பை (பொது சராசரி) மதிப்பிடுவதற்கான நம்பிக்கை இடைவெளி:

(3.20)

எனவே, மக்கள்தொகையின் கணித எதிர்பார்ப்புக்கு நம்பிக்கை இடைவெளிகளை உருவாக்குவதற்கான பொதுவான சூத்திரம் உள்ளது:

நம்பிக்கை இடைவெளியின் துல்லியம் எங்கே  அறியப்பட்ட அல்லது அறியப்படாத சிதறல்களைப் பொறுத்து முறையே சூத்திரங்களின்படி கண்டறியப்படுகிறது, 3.16. மற்றும் 3.20.

பிரச்சனை 10.சில சோதனைகள் மேற்கொள்ளப்பட்டன, அவற்றின் முடிவுகள் அட்டவணையில் பட்டியலிடப்பட்டுள்ளன:

எக்ஸ் நான்

அவர்கள் சாதாரண விநியோக சட்டத்திற்கு கீழ்ப்படிகிறார்கள் என்று அறியப்படுகிறது
. மதிப்பீட்டைக் கண்டறியவும் மீ* கணித எதிர்பார்ப்புக்கு மீ, அதற்கு 90% நம்பிக்கை இடைவெளியை உருவாக்கவும்.

தீர்வு:

அதனால், மீ(2.53;5.47).

பிரச்சனை 11.கடலின் ஆழம் ஒரு சாதனத்தால் அளவிடப்படுகிறது, அதன் முறையான பிழை 0 ஆகும், மேலும் சீரற்ற பிழைகள் சாதாரண சட்டத்தின்படி நிலையான விலகலுடன் விநியோகிக்கப்படுகின்றன.  =15மீ. 90% நம்பிக்கை மட்டத்தில் 5 மீட்டருக்கு மேல் இல்லாத பிழைகளுடன் ஆழத்தை தீர்மானிக்க எத்தனை சுயாதீன அளவீடுகள் செய்யப்பட வேண்டும்?

தீர்வு:

எங்களிடம் உள்ள பிரச்சனையின் நிலைமைகளின்படி எக்ஸ்N( மீ;  ), எங்கே  =15 மீ,  = 5 மீ,  =0.9. தொகுதியைக் கண்டுபிடிப்போம் n.

1) கொடுக்கப்பட்ட நம்பகத்தன்மையுடன் = 0.9, அட்டவணைகள் 3 (இணைப்பு 1) இல் இருந்து லாப்லேஸ் செயல்பாட்டின் வாதத்தைக் காண்கிறோம். u  = 1.65.

2) குறிப்பிட்ட மதிப்பீட்டின் துல்லியத்தை அறிந்திருத்தல்  =u  =5, கண்டுபிடிப்போம்
. எங்களிடம் உள்ளது

. எனவே சோதனைகளின் எண்ணிக்கை n25.

பிரச்சனை 12.வெப்பநிலை மாதிரி டிஜனவரி முதல் 6 நாட்களுக்கு அட்டவணையில் வழங்கப்படுகிறது:

கணித எதிர்பார்ப்புக்கான நம்பிக்கை இடைவெளியைக் கண்டறியவும் மீநம்பிக்கை நிகழ்தகவு கொண்ட மக்கள் தொகை
மற்றும் பொது மதிப்பீடு நிலையான விலகல் கள்.

தீர்வு:

மற்றும்
.

2) பக்கச்சார்பற்ற மதிப்பீடு சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கண்டுபிடிக்கவும்
:

							=-175
							=234.84

;
;

							=-192
							=116

.

3) பொதுவான மாறுபாடு தெரியவில்லை, ஆனால் அதன் மதிப்பீடு அறியப்பட்டதால், கணித எதிர்பார்ப்பை மதிப்பிடுவதற்கு மீநாங்கள் மாணவர் விநியோகம் (அட்டவணை 6, பின் இணைப்பு 1) மற்றும் சூத்திரம் (3.20) ஆகியவற்றைப் பயன்படுத்துகிறோம்.

ஏனெனில் n 1 =n 2 =6, பின்னர்,
, கள் 1 =6.85 எங்களிடம் உள்ளது:
, எனவே -29.2-4.1<மீ 1 < -29.2+4.1.

எனவே -33.3<மீ 1 <-25.1.

அதே போல் எங்களிடம் உள்ளது,
, கள் 2 = 4.8, எனவே

–34.9< மீ 2 < -29.1. Тогда доверительные интервалы примут вид: மீ 1 (-33.3;-25.1) மற்றும் மீ 2 (-34.9;-29.1).

பயன்பாட்டு அறிவியலில், எடுத்துக்காட்டாக, கட்டுமானத் துறைகளில், பொருள்களின் துல்லியத்தை மதிப்பிடுவதற்கு நம்பிக்கை இடைவெளி அட்டவணைகள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன, அவை தொடர்புடைய குறிப்பு இலக்கியத்தில் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன.

CB X ஒரு பொது மக்கள்தொகையை உருவாக்கி, β அறியப்படாத அளவுரு CB X ஆக இருக்கட்டும். * இல் உள்ள புள்ளிவிவர மதிப்பீடு சீராக இருந்தால், மாதிரி அளவு பெரியதாக இருந்தால், β இன் மதிப்பை மிகத் துல்லியமாகப் பெறுவோம். இருப்பினும், நடைமுறையில், எங்களிடம் மிகப் பெரிய மாதிரிகள் இல்லை, எனவே அதிக துல்லியத்திற்கு உத்தரவாதம் அளிக்க முடியாது.

b* என்பது cக்கான புள்ளிவிவர மதிப்பீடாக இருக்கட்டும். மதிப்பு |in* - in| கணிப்பு துல்லியம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. β* ஒரு சீரற்ற மாறி என்பதால், துல்லியம் CB என்பது தெளிவாகிறது. ஒரு சிறிய நேர்மறை எண் 8 ஐக் குறிப்பிடுவோம் மற்றும் மதிப்பீட்டின் துல்லியம் |в* - в| 8 க்கும் குறைவாக இருந்தது, அதாவது | in* - in |< 8.

நம்பகத்தன்மை g அல்லது ஒரு மதிப்பீட்டின் நம்பிக்கை நிகழ்தகவு * இல் உள்ள நிகழ்தகவு g என்பது சமத்துவமின்மை |in * - in|< 8, т. е.

பொதுவாக, நம்பகத்தன்மை g முன்கூட்டியே குறிப்பிடப்படுகிறது, மேலும் g என்பது 1 (0.9; 0.95; 0.99; ...) க்கு நெருக்கமான எண்ணாக எடுத்துக்கொள்ளப்படுகிறது.

சமத்துவமின்மை இருந்து |in * - in|< S равносильно двойному неравенству в* - S < в < в* + 8, то получаем:

இடைவெளி (* - 8 இல், * + 5 இல்) நம்பிக்கை இடைவெளி என்று அழைக்கப்படுகிறது, அதாவது நம்பிக்கை இடைவெளியானது நிகழ்தகவு y உடன் தெரியாத அளவுருவை உள்ளடக்கியது. நம்பிக்கை இடைவெளியின் முனைகள் சீரற்றவை மற்றும் மாதிரியிலிருந்து மாதிரிக்கு மாறுபடும் என்பதை நினைவில் கொள்ளவும், எனவே இடைவெளி (* - 8 இல், * + 8 இல்) இதில் உள்ள அறியப்படாத அளவுருவை உள்ளடக்கியது என்று கூறுவது மிகவும் துல்லியமானது. இடைவெளி.

மக்கள்தொகையை ஒரு சீரற்ற மாறி X ஆல் வரையறுக்கலாம், இது ஒரு சாதாரண சட்டத்தின்படி விநியோகிக்கப்படுகிறது மற்றும் நிலையான விலகல் a அறியப்படுகிறது. தெரியாதது கணித எதிர்பார்ப்பு a = M (X). கொடுக்கப்பட்ட நம்பகத்தன்மை y க்கான நம்பக இடைவெளியைக் கண்டறிவது அவசியம்.

மாதிரி சராசரி

xr = a க்கான புள்ளிவிவர மதிப்பீடு.

தேற்றம். ஒரு சீரற்ற மாறி xB ஆனது சாதாரண பரவலைக் கொண்டிருக்கும், X ஆனது ஒரு சாதாரண விநியோகம் மற்றும் M (XB) = a,

A (XB) = a, அங்கு a = y/B (X), a = M (X). l/i

ஒருக்கான நம்பிக்கை இடைவெளி வடிவம் கொண்டது:

8ஐக் காண்கிறோம்.

விகிதத்தைப் பயன்படுத்துதல்

Ф(r) என்பது Laplace செயல்பாடாக இருந்தால், எங்களிடம் உள்ளது:

பி ( | XB - a |<8} = 2Ф

Laplace செயல்பாட்டின் மதிப்புகளின் அட்டவணை t இன் மதிப்பைக் காண்கிறோம்.

நியமிக்கப்பட்டது

T, நாம் F(t) = g ஐப் பெறுகிறோம், ஏனெனில் g கொடுக்கப்பட்டதால், பின்னர்

சமத்துவத்தில் இருந்து மதிப்பீடு துல்லியமானது என்பதைக் காண்கிறோம்.

இதன் பொருள், ஒருக்கான நம்பிக்கை இடைவெளியில் வடிவம் உள்ளது:

X மக்கள்தொகையிலிருந்து ஒரு மாதிரி கொடுக்கப்பட்டது

என்ஜி	செய்ய"	X2	Xm
n	n1	n2	nm

n = U1 + ... + nm, பின் நம்பக இடைவெளி:

எடுத்துக்காட்டு 6.35. மாதிரி சராசரி Xb = 10.43, மாதிரி அளவு n = 100 மற்றும் நிலையான விலகல் s = 5 ஆகியவற்றை அறிந்து, 0.95 நம்பகத்தன்மையுடன் சாதாரண விநியோகத்தின் கணித எதிர்பார்ப்பு a ஐ மதிப்பிடுவதற்கான நம்பிக்கை இடைவெளியைக் கண்டறியவும்.

சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துவோம்

இந்த விநியோகத்தின் மாறுபாடு மற்றும் நிலையான விலகல் கள் அறியப்பட்டிருப்பதைக் கருத்தில் கொண்டு, மக்கள்தொகையின் சீரற்ற மாறி X பொதுவாக விநியோகிக்கப்படட்டும். மாதிரி சராசரியைப் பயன்படுத்தி அறியப்படாத கணித எதிர்பார்ப்பை மதிப்பிடுவது அவசியம். இந்த வழக்கில், நம்பகத்தன்மையுடன் கணித எதிர்பார்ப்புக்கான நம்பிக்கை இடைவெளியைக் கண்டறிவதில் பணி வருகிறது. நீங்கள் நம்பக நிகழ்தகவு (நம்பகத்தன்மை) b இன் மதிப்பைக் குறிப்பிட்டால், சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி (6.9a) அறியப்படாத கணித எதிர்பார்ப்புக்கான இடைவெளியில் விழுவதற்கான நிகழ்தகவைக் கண்டறியலாம்:

இதில் Ф(t) என்பது Laplace செயல்பாடு (5.17a) ஆகும்.

இதன் விளைவாக, D = s 2 மாறுபாடு தெரிந்தால், கணித எதிர்பார்ப்புக்கான நம்பிக்கை இடைவெளியின் எல்லைகளைக் கண்டறிவதற்கான ஒரு வழிமுறையை உருவாக்கலாம்:

1. நம்பகத்தன்மை மதிப்பை அமைக்கவும் - b.
2. இலிருந்து (6.14) எக்ஸ்பிரஸ் Ф(t) = 0.5× b. Ф(t) மதிப்பின் படி Laplace செயல்பாட்டிற்கான அட்டவணையில் இருந்து t இன் மதிப்பைத் தேர்ந்தெடுக்கவும் (இணைப்பு 1 ஐப் பார்க்கவும்).
3. சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி விலகலைக் கணக்கிடவும் (6.10).
4. சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி நம்பக இடைவெளியை எழுதவும் (6.12) அதாவது நிகழ்தகவு b சமத்துவமின்மை:

.

எடுத்துக்காட்டு 5.

சீரற்ற மாறி X ஒரு சாதாரண விநியோகத்தைக் கொண்டுள்ளது. அறியப்படாத கணித எதிர்பார்ப்பின் b = 0.96 நம்பகத்தன்மையுடன் மதிப்பீட்டிற்கான நம்பிக்கை இடைவெளிகளைக் கண்டறியவும், கொடுக்கப்பட்டால்:

1) பொது நிலையான விலகல் s = 5;

2) மாதிரி சராசரி;

3) மாதிரி அளவு n = 49.

கணித எதிர்பார்ப்பின் இடைவெளி மதிப்பீட்டிற்கான சூத்திரத்தில் (6.15). ஏ நம்பகத்தன்மையுடன் b t தவிர அனைத்து அளவுகளும் அறியப்படுகின்றன. t இன் மதிப்பை (6.14) பயன்படுத்தி காணலாம்: b = 2Ф(t) = 0.96. Ф(t) = 0.48.

Laplace செயல்பாடு Ф(t) = 0.48 க்கு பின் இணைப்பு 1 இல் உள்ள அட்டவணையைப் பயன்படுத்தி, தொடர்புடைய மதிப்பைக் கண்டறியவும் t = 2.06. எனவே, . e இன் கணக்கிடப்பட்ட மதிப்பை சூத்திரத்தில் (6.12) மாற்றுவதன் மூலம், நீங்கள் நம்பிக்கை இடைவெளியைப் பெறலாம்: 30-1.47< a < 30+1,47.

அறியப்படாத கணித எதிர்பார்ப்பின் நம்பகத்தன்மை b = 0.96 உடன் மதிப்பீட்டிற்கு தேவையான நம்பிக்கை இடைவெளி சமம்: 28.53< a < 31,47.