புள்ளிவிபரங்களில் இரண்டு வகையான மதிப்பீடுகள் உள்ளன: புள்ளி மற்றும் இடைவெளி. புள்ளி மதிப்பீடுஒரு அளவுருவை மதிப்பிடுவதற்குப் பயன்படுத்தப்படும் ஒரு தனி மாதிரி புள்ளிவிவரத்தைக் குறிக்கிறது மக்கள் தொகை. உதாரணமாக, மாதிரி சராசரி புள்ளி மதிப்பீடு ஆகும் கணித எதிர்பார்ப்புமக்கள் தொகை மற்றும் மாதிரி மாறுபாடு எஸ் 2- மக்கள்தொகை மாறுபாட்டின் புள்ளி மதிப்பீடு σ 2. மாதிரி சராசரி என்பது மக்கள்தொகையின் கணித எதிர்பார்ப்பின் பாரபட்சமற்ற மதிப்பீடாகும் என்று காட்டப்பட்டுள்ளது. ஒரு மாதிரி சராசரி சார்பற்றது என அழைக்கப்படுகிறது, ஏனெனில் அனைத்து மாதிரி வழிமுறைகளின் சராசரி (ஒரே மாதிரி அளவுடன்) n) என்பது பொது மக்களின் கணித எதிர்பார்ப்புக்கு சமம்.

மாதிரி மாறுபாட்டின் பொருட்டு எஸ் 2மக்கள்தொகை மாறுபாட்டின் பாரபட்சமற்ற மதிப்பீடாக மாறியது σ 2, மாதிரி மாறுபாட்டின் வகுத்தல் சமமாக அமைக்கப்பட வேண்டும் n – 1 , ஆனால் இல்லை n. வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், மக்கள்தொகை மாறுபாடு என்பது சாத்தியமான அனைத்து மாதிரி மாறுபாடுகளின் சராசரியாகும்.

மக்கள்தொகை அளவுருக்களை மதிப்பிடும்போது, ​​மாதிரி புள்ளிவிவரங்கள் போன்றவற்றை மனதில் கொள்ள வேண்டும் , குறிப்பிட்ட மாதிரிகள் சார்ந்தது. இந்த உண்மையை கணக்கில் எடுத்துக்கொள்ள, பெற இடைவெளி மதிப்பீடுபொது மக்களின் கணித எதிர்பார்ப்பு, மாதிரி வழிமுறைகளின் விநியோகத்தை பகுப்பாய்வு செய்யுங்கள் (மேலும் விவரங்களுக்கு, பார்க்கவும்). கட்டப்பட்ட இடைவெளியானது ஒரு குறிப்பிட்ட நம்பிக்கை நிலையால் வகைப்படுத்தப்படுகிறது, இது உண்மையான மக்கள்தொகை அளவுரு சரியாக மதிப்பிடப்பட்ட நிகழ்தகவைக் குறிக்கிறது. ஒரு குணாதிசயத்தின் விகிதத்தை மதிப்பிடுவதற்கு இதே போன்ற நம்பிக்கை இடைவெளிகள் பயன்படுத்தப்படலாம் ஆர்மற்றும் மக்கள்தொகையின் முக்கிய விநியோகிக்கப்பட்ட மக்கள்.

குறிப்பைப் பதிவிறக்கவும் அல்லது வடிவத்தில், எடுத்துக்காட்டுகள் வடிவத்தில்

அறியப்பட்ட நிலையான விலகலுடன் மக்கள்தொகையின் கணித எதிர்பார்ப்புக்கான நம்பிக்கை இடைவெளியை உருவாக்குதல்

மக்கள்தொகையில் ஒரு குணாதிசயத்தின் பங்கிற்கான நம்பிக்கை இடைவெளியை உருவாக்குதல்

இந்த பிரிவு நம்பிக்கை இடைவெளியின் கருத்தை வகைப்படுத்தப்பட்ட தரவுகளுக்கு விரிவுபடுத்துகிறது. இது மக்கள்தொகையில் உள்ள பண்புகளின் பங்கை மதிப்பிட அனுமதிக்கிறது ஆர்மாதிரி பகிர்வைப் பயன்படுத்துதல் ஆர்எஸ்= X/n. குறிப்பிட்டுள்ளபடி, அளவுகள் என்றால் nஆர்மற்றும் n(1 - ப)எண் 5 ஐ விட அதிகமாக, ஈருறுப்புப் பரவலை சாதாரணமாக தோராயமாக மதிப்பிடலாம். எனவே, மக்கள்தொகையில் ஒரு குணாதிசயத்தின் பங்கை மதிப்பிடுவதற்கு ஆர்நம்பிக்கை நிலை சமமாக இருக்கும் ஒரு இடைவெளியை உருவாக்க முடியும் (1 – α)x100%.

எங்கே பஎஸ்- பண்பின் மாதிரி விகிதம் சமம் எக்ஸ்/n, அதாவது வெற்றிகளின் எண்ணிக்கை மாதிரி அளவு மூலம் வகுக்கப்படுகிறது, ஆர்- பொது மக்களில் பண்புகளின் பங்கு, Z- தரப்படுத்தப்பட்ட முக்கிய மதிப்பு சாதாரண விநியோகம், n- மாதிரி அளவு.

எடுத்துக்காட்டு 3. 100 இன்வாய்ஸ்களைக் கொண்ட மாதிரி நிரப்பப்பட்டதாக வைத்துக்கொள்வோம் கடந்த மாதம். இதில் 10 இன்வாய்ஸ்கள் பிழைகளுடன் தொகுக்கப்பட்டவை என்று வைத்துக் கொள்வோம். இதனால், ஆர்= 10/100 = 0.1. 95% நம்பிக்கை நிலை முக்கியமான மதிப்பு Z = 1.96 உடன் ஒத்துள்ளது.

எனவே, 4.12% மற்றும் 15.88% இன்வாய்ஸ்களில் பிழைகள் இருப்பதற்கான நிகழ்தகவு 95% ஆகும்.

கொடுக்கப்பட்ட மாதிரி அளவிற்கு, மக்கள்தொகையில் உள்ள குணாதிசயங்களின் விகிதத்தைக் கொண்ட நம்பிக்கை இடைவெளியானது தொடர்ச்சியை விட அதிகமாகத் தோன்றுகிறது. சீரற்ற மாறி. ஏனென்றால், தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறியின் அளவீடுகள் வகைப்படுத்தப்பட்ட தரவுகளின் அளவீடுகளை விட அதிகமான தகவல்களைக் கொண்டிருக்கும். வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், இரண்டு மதிப்புகளை மட்டுமே எடுக்கும் வகைப்படுத்தப்பட்ட தரவு அவற்றின் விநியோகத்தின் அளவுருக்களை மதிப்பிடுவதற்கு போதுமான தகவலைக் கொண்டிருக்கவில்லை.

INவரையறுக்கப்பட்ட மக்கள்தொகையிலிருந்து பிரித்தெடுக்கப்பட்ட மதிப்பீடுகளைக் கணக்கிடுதல்

கணித எதிர்பார்ப்பு மதிப்பீடு.இறுதி மக்கள்தொகைக்கான திருத்தக் காரணி ( fpc) ஒரு காரணி மூலம் நிலையான பிழையை குறைக்க பயன்படுத்தப்பட்டது. மக்கள் தொகை அளவுரு மதிப்பீடுகளுக்கான நம்பிக்கை இடைவெளிகளைக் கணக்கிடும் போது, ​​மாதிரிகள் திரும்பப் பெறப்படாமல் வரையப்படும் சூழ்நிலைகளில் ஒரு திருத்தக் காரணி பயன்படுத்தப்படுகிறது. எனவே, கணித எதிர்பார்ப்புக்கான நம்பிக்கை இடைவெளி சமமான நம்பிக்கை அளவைக் கொண்டுள்ளது (1 – α)x100%, சூத்திரத்தால் கணக்கிடப்படுகிறது:

எடுத்துக்காட்டு 4.ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட மக்கள்தொகைக்கான திருத்தக் காரணியின் பயன்பாட்டை விளக்குவதற்கு, எடுத்துக்காட்டு 3 இல் மேலே விவாதிக்கப்பட்ட விலைப்பட்டியல்களின் சராசரி அளவுக்கான நம்பிக்கை இடைவெளியைக் கணக்கிடுவதில் உள்ள சிக்கலுக்குத் திரும்புவோம். ஒரு நிறுவனம் மாதத்திற்கு 5,000 இன்வாய்ஸ்களை வெளியிடுகிறது என்று வைத்துக்கொள்வோம். எக்ஸ்=110.27 டாலர்கள், எஸ்= $28.95, என் = 5000, n = 100, α = 0.05, t 99 = 1.9842. சூத்திரம் (6) ஐப் பயன்படுத்தி நாம் பெறுகிறோம்:

ஒரு அம்சத்தின் பங்கின் மதிப்பீடு.திரும்பப் பெறாமல் தேர்ந்தெடுக்கும் போது, ​​பண்பின் விகிதத்திற்கான நம்பிக்கை இடைவெளிக்கு சமமான நம்பிக்கை நிலை உள்ளது (1 – α)x100%, சூத்திரத்தால் கணக்கிடப்படுகிறது:

நம்பிக்கை இடைவெளிகள் மற்றும் நெறிமுறை சிக்கல்கள்

மக்கள்தொகையை மாதிரியாக்கி புள்ளியியல் முடிவுகளை எடுக்கும்போது, ​​நெறிமுறை சிக்கல்கள் அடிக்கடி எழுகின்றன. நம்பக இடைவெளிகள் மற்றும் மாதிரி புள்ளிவிவரங்களின் புள்ளி மதிப்பீடுகள் எவ்வாறு ஒத்துக்கொள்கின்றன என்பது முக்கியமானது. தொடர்புடைய நம்பிக்கை இடைவெளிகளைக் குறிப்பிடாமல் புள்ளி மதிப்பீடுகளை வெளியிடுவது (பொதுவாக 95% நம்பிக்கை மட்டத்தில்) மற்றும் அவை பெறப்பட்ட மாதிரி அளவு குழப்பத்தை உருவாக்கலாம். மொத்த மக்கள்தொகையின் பண்புகளை கணிக்க, புள்ளி மதிப்பீடு சரியாக இருக்கும் என்ற எண்ணத்தை இது பயனருக்கு அளிக்கலாம். எனவே, எந்தவொரு ஆராய்ச்சியிலும் புள்ளி மதிப்பீடுகளில் கவனம் செலுத்தாமல், இடைவெளி மதிப்பீடுகளில் கவனம் செலுத்த வேண்டும் என்பதை புரிந்து கொள்ள வேண்டும். தவிர, சிறப்பு கவனம்கொடுக்கப்பட வேண்டும் சரியான தேர்வுமாதிரி அளவுகள்.

பெரும்பாலும், புள்ளிவிவர கையாளுதலின் பொருள்கள் சில அரசியல் பிரச்சினைகளில் மக்கள்தொகையின் சமூகவியல் ஆய்வுகளின் முடிவுகளாகும். இந்நிலையில், சர்வே முடிவுகள் பத்திரிகைகளின் முதல் பக்கங்களில் வெளியாகி, பிழை ஏற்பட்டுள்ளது மாதிரி ஆய்வுமற்றும் புள்ளியியல் பகுப்பாய்விற்கான வழிமுறை நடுவில் எங்கோ அச்சிடப்பட்டுள்ளது. பெறப்பட்ட புள்ளி மதிப்பீடுகளின் செல்லுபடியை நிரூபிக்க, அவை பெறப்பட்ட மாதிரி அளவு, நம்பிக்கை இடைவெளியின் எல்லைகள் மற்றும் அதன் முக்கியத்துவத்தின் நிலை ஆகியவற்றைக் குறிப்பிடுவது அவசியம்.

அடுத்த குறிப்பு

லெவின் மற்றும் பலர் புத்தகத்தில் இருந்து பொருட்கள். மேலாளர்களுக்கான புள்ளிவிவரங்கள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. – எம்.: வில்லியம்ஸ், 2004. – ப. 448–462

மத்திய வரம்பு தேற்றம்போதுமான அளவு பெரிய மாதிரி அளவுடன், கருவிகளின் மாதிரி விநியோகத்தை ஒரு சாதாரண விநியோகம் மூலம் தோராயமாக மதிப்பிட முடியும் என்று கூறுகிறது. இந்த சொத்து மக்கள்தொகையின் விநியோக வகையைச் சார்ந்தது அல்ல.

முந்தைய துணைப்பிரிவுகளில் அறியப்படாத அளவுருவை மதிப்பிடும் சிக்கலைக் கருத்தில் கொண்டோம் ஏஒரு எண். இது "புள்ளி" மதிப்பீடு என்று அழைக்கப்படுகிறது. பல பணிகளில், நீங்கள் அளவுருவை மட்டும் கண்டுபிடிக்க வேண்டும் ஏபொருத்தமான எண் மதிப்பு, ஆனால் அதன் துல்லியம் மற்றும் நம்பகத்தன்மையை மதிப்பிடுவதற்கும். ஒரு அளவுருவை மாற்றுவது என்ன பிழைகளுக்கு வழிவகுக்கும் என்பதை நீங்கள் அறிந்து கொள்ள வேண்டும் ஏஅதன் புள்ளி மதிப்பீடு ஏஎந்த அளவு நம்பிக்கையுடன் இந்தப் பிழைகள் அறியப்பட்ட வரம்புகளை மீறாது என்று எதிர்பார்க்கலாம்?

புள்ளி மதிப்பீட்டின் போது இந்த வகையான சிக்கல்கள் ஒரு சிறிய எண்ணிக்கையிலான அவதானிப்புகளுடன் குறிப்பாக பொருத்தமானவை மற்றும் உள்ளேபெரும்பாலும் சீரற்ற மற்றும் a ஐ தோராயமாக மாற்றுவது கடுமையான பிழைகளுக்கு வழிவகுக்கும்.

மதிப்பீட்டின் துல்லியம் மற்றும் நம்பகத்தன்மை பற்றி ஒரு யோசனை கொடுக்க ஏ,

வி கணித புள்ளிவிவரங்கள்அவர்கள் நம்பக இடைவெளிகள் மற்றும் நம்பிக்கை நிகழ்தகவுகள் என்று அழைக்கப்படுவதைப் பயன்படுத்துகின்றனர்.

அளவுருவிற்கு விடுங்கள் ஏஅனுபவத்திலிருந்து பெறப்பட்ட பாரபட்சமற்ற மதிப்பீடு ஏ.இந்த வழக்கில் சாத்தியமான பிழையை மதிப்பிட விரும்புகிறோம். போதுமான அளவு பெரிய நிகழ்தகவு p (உதாரணமாக, p = 0.9, 0.95 அல்லது 0.99) நியமிப்போம், அதாவது p நிகழ்தகவு கொண்ட ஒரு நிகழ்வை நடைமுறையில் நம்பகமானதாகக் கருதலாம், மேலும் அதற்கான மதிப்பைக் கண்டறியலாம் s

பின்னர் மாற்றத்தின் போது எழும் பிழையின் நடைமுறையில் சாத்தியமான மதிப்புகளின் வரம்பு ஏஅன்று ஏ, ± s ஆக இருக்கும்; முழுமையான மதிப்பில் பெரிய பிழைகள் குறைந்த நிகழ்தகவுடன் மட்டுமே தோன்றும் a = 1 - p. (14.3.1) இவ்வாறு மீண்டும் எழுதுவோம்:

சமத்துவம் (14.3.2) என்பது நிகழ்தகவுடன் p அறியப்படாத மதிப்புஅளவுரு ஏஇடைவெளிக்குள் விழுகிறது

ஒரு சூழ்நிலையை கவனிக்க வேண்டியது அவசியம். முன்னதாக, ஒரு சீரற்ற மாறியின் நிகழ்தகவு கொடுக்கப்பட்ட சீரற்ற இடைவெளியில் விழுவதை நாங்கள் மீண்டும் மீண்டும் கருதினோம். இங்கே நிலைமை வேறுபட்டது: அளவு ஏசீரற்றது அல்ல, ஆனால் இடைவெளி / p சீரற்றது. x அச்சில் அதன் நிலை சீரற்றது, அதன் மையத்தால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது ஏ; பொதுவாக, இடைவெளி 2s இன் நீளமும் சீரற்றதாக இருக்கும், ஏனெனில் s இன் மதிப்பு ஒரு விதியாக, சோதனைத் தரவுகளிலிருந்து கணக்கிடப்படுகிறது. எனவே உள்ளே இந்த வழக்கில்ஒரு புள்ளியை "அடிக்கும்" நிகழ்தகவு அல்ல, p மதிப்பை விளக்குவது நல்லது ஏஇடைவெளியில் / p, மற்றும் ஒரு சீரற்ற இடைவெளி / p புள்ளியை உள்ளடக்கும் நிகழ்தகவு ஏ(படம் 14.3.1).

அரிசி. 14.3.1

நிகழ்தகவு p பொதுவாக அழைக்கப்படுகிறது நம்பிக்கை நிகழ்தகவு, மற்றும் இடைவெளி / ப - நம்பக இடைவெளியை.இடைவெளி எல்லைகள் என்றால். a x =a-கள் மற்றும் a 2 = a +மற்றும் அழைக்கப்படுகின்றன நம்பிக்கை எல்லைகள்.

நம்பிக்கை இடைவெளியின் கருத்துக்கு மற்றொரு விளக்கத்தை வழங்குவோம்: இது அளவுரு மதிப்புகளின் இடைவெளியாக கருதப்படலாம். ஏ,சோதனை தரவுகளுடன் இணக்கமானது மற்றும் அவற்றுடன் முரண்படாது. உண்மையில், நிகழ்தகவு a = 1-p நடைமுறையில் சாத்தியமற்ற ஒரு நிகழ்வைக் கருத்தில் கொள்ள ஒப்புக்கொண்டால், அளவுருவின் மதிப்புகள் a அதற்கான மதிப்புகள் a - a> கள் முரண்பட்ட சோதனைத் தரவுகளாக அங்கீகரிக்கப்பட வேண்டும், மேலும் அவை |அ - ஏஒரு டி நா 2 .

அளவுருவிற்கு விடுங்கள் ஏஒரு பாரபட்சமற்ற மதிப்பீடு உள்ளது ஏ.அளவு விநியோக விதியை நாம் அறிந்திருந்தால் ஏ, நம்பக இடைவெளியைக் கண்டறியும் பணி மிகவும் எளிமையானதாக இருக்கும்: அதற்கான மதிப்பைக் கண்டறிவது போதுமானது.

சிரமம் என்னவென்றால், மதிப்பீடுகளின் விநியோக சட்டம் ஏஅளவின் விநியோகச் சட்டத்தைப் பொறுத்தது எக்ஸ்எனவே, அதன் அறியப்படாத அளவுருக்கள் மீது (குறிப்பாக, அளவுருவில் A).

இந்தச் சிக்கலைச் சமாளிக்க, நீங்கள் பின்வரும் தோராயமான தோராயமான நுட்பத்தைப் பயன்படுத்தலாம்: s க்கான வெளிப்பாட்டில் தெரியாத அளவுருக்களை அவற்றின் புள்ளி மதிப்பீடுகளுடன் மாற்றவும். ஒப்பீட்டளவில் அதிக எண்ணிக்கையிலான சோதனைகளுடன் பி(சுமார் 20...30) இந்த நுட்பம் பொதுவாக துல்லியத்தின் அடிப்படையில் திருப்திகரமான முடிவுகளை அளிக்கிறது.

உதாரணமாக, கணித எதிர்பார்ப்புக்கான நம்பிக்கை இடைவெளியின் சிக்கலைக் கவனியுங்கள்.

அதை உற்பத்தி செய்யட்டும் பி எக்ஸ்,அதன் பண்புகள் கணித எதிர்பார்ப்பு டிமற்றும் மாறுபாடு டி- தெரியவில்லை. இந்த அளவுருக்களுக்கு பின்வரும் மதிப்பீடுகள் பெறப்பட்டன:

நம்பக இடைவெளி / p தொடர்புடையதாக உருவாக்க இது தேவைப்படுகிறது நம்பிக்கை நிகழ்தகவுப, கணித எதிர்பார்ப்புக்கு டிஅளவுகள் எக்ஸ்.

இந்த சிக்கலை தீர்க்கும் போது, ​​அளவு என்ற உண்மையைப் பயன்படுத்துவோம் டிதொகையைக் குறிக்கிறது பிசுயாதீன ஒரே மாதிரியாக விநியோகிக்கப்படும் சீரற்ற மாறிகள் Xhமற்றும் மைய வரம்பு தேற்றத்தின் படி, போதுமான அளவு பெரியது பிஅதன் விநியோகச் சட்டம் இயல்பான நிலைக்கு அருகில் உள்ளது. நடைமுறையில், ஒப்பீட்டளவில் சிறிய எண்ணிக்கையிலான சொற்கள் (சுமார் 10...20) இருந்தாலும், தொகையின் விநியோகச் சட்டம் தோராயமாக சாதாரணமாகக் கருதப்படலாம். மதிப்பு என்று வைத்துக்கொள்வோம் டிசாதாரண சட்டத்தின் படி விநியோகிக்கப்படுகிறது. இந்த சட்டத்தின் பண்புகள் - கணித எதிர்பார்ப்பு மற்றும் மாறுபாடு - முறையே சமம் டிமற்றும்

(அத்தியாயம் 13 துணைப்பிரிவு 13.3 ஐப் பார்க்கவும்). மதிப்பு என்று வைத்துக் கொள்வோம் டிஎப் என்ற மதிப்பை நாங்கள் அறிவோம் மற்றும் கண்டுபிடிப்போம்

அத்தியாயம் 6 இன் சூத்திரத்தைப் (6.3.5) பயன்படுத்தி, சாதாரண விநியோகச் செயல்பாட்டின் மூலம் (14.3.5) இடது பக்கத்தில் உள்ள நிகழ்தகவை வெளிப்படுத்துகிறோம்.

மதிப்பீட்டின் நிலையான விலகல் எங்கே டி.

Eq இலிருந்து

Sp இன் மதிப்பைக் கண்டறியவும்:

இதில் arg Ф* (х) என்பது Ф* இன் தலைகீழ் செயல்பாடாகும். (எக்ஸ்),அந்த. வாதத்தின் மதிப்பு இயல்பான செயல்பாடுவிநியோகம் சமமாக உள்ளது எக்ஸ்.

சிதறல் டி,இதன் மூலம் அளவு வெளிப்படுத்தப்படுகிறது ஏ 1P, எங்களுக்கு சரியாகத் தெரியாது; அதன் தோராயமான மதிப்பாக, நீங்கள் மதிப்பீட்டைப் பயன்படுத்தலாம் டி(14.3.4) மற்றும் தோராயமாக:

எனவே, நம்பிக்கை இடைவெளியை உருவாக்குவதில் உள்ள சிக்கல் தோராயமாக தீர்க்கப்பட்டது, இது சமம்:

அங்கு gp சூத்திரத்தால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது (14.3.7).

s p ஐக் கணக்கிடும்போது Ф* (l) செயல்பாட்டின் அட்டவணையில் தலைகீழ் இடைக்கணிப்பைத் தவிர்க்க, ஒரு சிறப்பு அட்டவணையை (அட்டவணை 14.3.1) தொகுக்க வசதியாக இருக்கும், இது அளவின் மதிப்புகளை வழங்குகிறது.

ஆர் பொறுத்து. மதிப்பு (p என்பது சாதாரண சட்டத்திற்கு நிலையான விலகல்களின் எண்ணிக்கையை தீர்மானிக்கிறது, அவை சிதறலின் மையத்திலிருந்து வலது மற்றும் இடதுபுறமாக திட்டமிடப்பட வேண்டும், இதனால் விளைந்த பகுதிக்குள் நுழைவதற்கான நிகழ்தகவு p க்கு சமமாக இருக்கும்.

மதிப்பு 7 p ஐப் பயன்படுத்தி, நம்பிக்கை இடைவெளி பின்வருமாறு வெளிப்படுத்தப்படுகிறது:

அட்டவணை 14.3.1

எடுத்துக்காட்டு 1. அளவு மீது 20 சோதனைகள் மேற்கொள்ளப்பட்டன எக்ஸ்;முடிவுகள் அட்டவணையில் காட்டப்பட்டுள்ளன. 14.3.2.

அட்டவணை 14.3.2

அளவின் கணித எதிர்பார்ப்புக்கான மதிப்பீட்டைக் கண்டறிய வேண்டும் எக்ஸ்மற்றும் நம்பக நிகழ்தகவு p = 0.8 உடன் தொடர்புடைய நம்பிக்கை இடைவெளியை உருவாக்கவும்.

தீர்வு.எங்களிடம் உள்ளது:

l: = 10 ஐ குறிப்புப் புள்ளியாகத் தேர்ந்தெடுப்பது, மூன்றாவது சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி (14.2.14) பாரபட்சமற்ற மதிப்பீட்டைக் காண்கிறோம். டி :

அட்டவணையின்படி 14.3.1 நாம் கண்டுபிடிக்கிறோம்

நம்பிக்கை வரம்புகள்:

நம்பக இடைவெளியை:

அளவுரு மதிப்புகள் டி,இந்த இடைவெளியில் உள்ளவை அட்டவணையில் கொடுக்கப்பட்டுள்ள சோதனை தரவுகளுடன் இணக்கமாக இருக்கும். 14.3.2.

மாறுபாட்டிற்கான நம்பிக்கை இடைவெளியை இதே வழியில் கட்டமைக்க முடியும்.

அதை உற்பத்தி செய்யட்டும் பிஒரு சீரற்ற மாறி மீது சுயாதீன சோதனைகள் எக்ஸ் A மற்றும் சிதறல் இரண்டிற்கும் தெரியாத அளவுருக்கள் டிஒரு பாரபட்சமற்ற மதிப்பீடு பெறப்பட்டது:

மாறுபாட்டிற்கான நம்பிக்கை இடைவெளியை தோராயமாக உருவாக்குவது அவசியம்.

சூத்திரத்திலிருந்து (14.3.11) அளவு என்பது தெளிவாகிறது டிபிரதிபலிக்கிறது

தொகை பிபடிவத்தின் சீரற்ற மாறிகள். இந்த மதிப்புகள் இல்லை

சுயாதீனமானது, ஏனெனில் அவற்றில் ஏதேனும் அளவு அடங்கும் டி,எல்லோரையும் சார்ந்து. இருப்பினும், அதிகரிப்பதன் மூலம் அதைக் காட்டலாம் பிஅவற்றின் தொகையின் விநியோகச் சட்டமும் இயல்பானதை நெருங்குகிறது. கிட்டத்தட்ட மணிக்கு பி= 20...30 இது ஏற்கனவே சாதாரணமாக கருதப்படலாம்.

இது அப்படித்தான் என்று வைத்துக்கொள்வோம், மேலும் இந்தச் சட்டத்தின் சிறப்பியல்புகளைக் கண்டுபிடிப்போம்: கணித எதிர்பார்ப்பு மற்றும் சிதறல். மதிப்பீடு முதல் டி- பக்கச்சார்பற்ற, பின்னர் எம்[டி] = டி.

மாறுபாடு கணக்கீடு DDஒப்பீட்டளவில் சிக்கலான கணக்கீடுகளுடன் தொடர்புடையது, எனவே அதன் வெளிப்பாட்டை வழித்தோன்றல் இல்லாமல் வழங்குகிறோம்:

இதில் q 4 நான்காவது மைய புள்ளிஅளவுகள் எக்ஸ்.

இந்த வெளிப்பாட்டைப் பயன்படுத்த, நீங்கள் \u003d 4 மற்றும் மதிப்புகளை மாற்ற வேண்டும் டி(குறைந்தது நெருக்கமானவை). அதற்கு பதிலாக டிநீங்கள் அவரது மதிப்பீட்டைப் பயன்படுத்தலாம் டி.கொள்கையளவில், நான்காவது மைய தருணத்தை மதிப்பீட்டால் மாற்றலாம், எடுத்துக்காட்டாக, படிவத்தின் மதிப்பு:

ஆனால் அத்தகைய மாற்றீடு மிகவும் குறைந்த துல்லியத்தை கொடுக்கும், ஏனெனில் பொதுவாக, குறைந்த எண்ணிக்கையிலான சோதனைகள், தருணங்கள் உயர் ஒழுங்குஇருந்து தீர்மானிக்கப்படுகிறது பெரிய தவறுகள். இருப்பினும், நடைமுறையில் அது அடிக்கடி நிகழும் அளவு விநியோகச் சட்டத்தின் வகை எக்ஸ்முன்கூட்டியே அறியப்படுகிறது: அதன் அளவுருக்கள் மட்டுமே தெரியவில்லை. பின்னர் நீங்கள் μ4 ஐ வெளிப்படுத்த முயற்சி செய்யலாம் டி.

மிகவும் பொதுவான வழக்கை எடுத்துக்கொள்வோம், எப்போது மதிப்பு எக்ஸ்சாதாரண சட்டத்தின் படி விநியோகிக்கப்படுகிறது. அதன் நான்காவது மையத் தருணம் சிதறலின் அடிப்படையில் வெளிப்படுத்தப்படுகிறது (அத்தியாயம் 6, துணைப்பிரிவு 6.2 ஐப் பார்க்கவும்);

மற்றும் சூத்திரம் (14.3.12) கொடுக்கிறது அல்லது

(14.3.14) இல் தெரியாததை மாற்றுதல் டிஅவரது மதிப்பீடு டி, நாம் பெறுகிறோம்: எங்கிருந்து

கணம் μ4 மூலம் வெளிப்படுத்தலாம் டிவேறு சில சந்தர்ப்பங்களில், மதிப்பின் விநியோகம் போது எக்ஸ்சாதாரணமானது அல்ல, ஆனால் அதன் தோற்றம் அறியப்படுகிறது. உதாரணமாக, சட்டத்திற்காக சீரான அடர்த்தி(அத்தியாயம் 5 ஐப் பார்க்கவும்) எங்களிடம் உள்ளது:

இதில் (a, P) என்பது சட்டம் குறிப்பிடப்பட்ட இடைவெளியாகும்.

எனவே,

சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி (14.3.12) நாம் பெறுகிறோம்: தோராயமாக எங்கே காணலாம்

அளவு 26 க்கான விநியோகச் சட்டத்தின் வகை தெரியாத சந்தர்ப்பங்களில், மதிப்பின் தோராயமான மதிப்பீட்டைச் செய்யும்போது, ​​இந்தச் சட்டத்தை நம்புவதற்கு சிறப்புக் காரணங்கள் இல்லாவிட்டால் (14.3.16) சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்த பரிந்துரைக்கப்படுகிறது. இயல்பிலிருந்து மிகவும் வேறுபட்டது (குறிப்பிடத்தக்க நேர்மறை அல்லது எதிர்மறை குர்டோசிஸ் உள்ளது) .

தோராயமான மதிப்பு a/) ஒரு வழியில் அல்லது வேறு வழியில் பெறப்பட்டால், கணித எதிர்பார்ப்புக்கு நாம் உருவாக்கிய அதே வழியில் மாறுபாட்டிற்கான நம்பிக்கை இடைவெளியை உருவாக்கலாம்:

கொடுக்கப்பட்ட நிகழ்தகவு p ஐப் பொறுத்து மதிப்பு அட்டவணையின்படி காணப்படும். 14.3.1.

எடுத்துக்காட்டு 2. ஒரு சீரற்ற மாறியின் மாறுபாட்டிற்கு தோராயமாக 80% நம்பிக்கை இடைவெளியைக் கண்டறியவும் எக்ஸ்எடுத்துக்காட்டு 1 இன் நிபந்தனைகளின் கீழ், மதிப்பு என்று தெரிந்தால் எக்ஸ்வழக்கமான சட்டத்தின்படி விநியோகிக்கப்படுகிறது.

தீர்வு.மதிப்பு அட்டவணையில் உள்ளதைப் போலவே இருக்கும். 14.3.1:

சூத்திரத்தின்படி (14.3.16)

சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி (14.3.18) நம்பிக்கை இடைவெளியைக் காண்கிறோம்:

சராசரி மதிப்புகளின் தொடர்புடைய இடைவெளி சதுர விலகல்: (0,21; 0,29).

14.4. ஒரு சாதாரண சட்டத்தின்படி விநியோகிக்கப்படும் சீரற்ற மாறியின் அளவுருக்களுக்கான நம்பிக்கை இடைவெளிகளை உருவாக்குவதற்கான சரியான முறைகள்

முந்தைய துணைப்பிரிவில், கணித எதிர்பார்ப்பு மற்றும் மாறுபாட்டிற்கான நம்பிக்கை இடைவெளிகளை உருவாக்குவதற்கான தோராயமான தோராயமான முறைகளை ஆய்வு செய்தோம். அதே சிக்கலைத் தீர்ப்பதற்கான சரியான முறைகள் பற்றிய யோசனையை இங்கே தருவோம். நம்பிக்கை இடைவெளிகளைத் துல்லியமாகக் கண்டறிவதற்கு, அளவின் விநியோகச் சட்டத்தின் வடிவத்தை முன்கூட்டியே அறிந்து கொள்வது அவசியம் என்பதை நாங்கள் வலியுறுத்துகிறோம். எக்ஸ்,அதேசமயம் தோராயமான முறைகளைப் பயன்படுத்துவதற்கு இது அவசியமில்லை.

யோசனை துல்லியமான முறைகள்நம்பிக்கை இடைவெளிகளை உருவாக்குவது பின்வருவனவற்றிற்கு வரும். எந்தவொரு நம்பிக்கை இடைவெளியும் நாம் ஆர்வமாக உள்ள மதிப்பீட்டை உள்ளடக்கிய சில ஏற்றத்தாழ்வுகளை நிறைவேற்றுவதற்கான நிகழ்தகவை வெளிப்படுத்தும் நிபந்தனையிலிருந்து கண்டறியப்படுகிறது. ஏ.மதிப்பீட்டு விநியோக சட்டம் ஏவி பொது வழக்குஅறியப்படாத அளவு அளவுருக்கள் சார்ந்தது எக்ஸ்.இருப்பினும், சில சமயங்களில் ஒரு சீரற்ற மாறியிலிருந்து ஏற்றத்தாழ்வுகளில் கடக்க முடியும் ஏகவனிக்கப்பட்ட மதிப்புகளின் வேறு சில செயல்பாடுகளுக்கு X p X 2, ..., எக்ஸ் பக்.விநியோகச் சட்டம் அறியப்படாத அளவுருக்களைச் சார்ந்தது அல்ல, ஆனால் சோதனைகளின் எண்ணிக்கை மற்றும் அளவின் விநியோகச் சட்டத்தின் வகையைப் பொறுத்தது. எக்ஸ்.இந்த வகையான சீரற்ற மாறிகள் கணித புள்ளிவிவரங்களில் முக்கிய பங்கு வகிக்கின்றன; அளவின் இயல்பான விநியோகத்திற்காக அவை மிக விரிவாக ஆய்வு செய்யப்பட்டுள்ளன எக்ஸ்.

எடுத்துக்காட்டாக, மதிப்பின் சாதாரண விநியோகத்துடன் அது நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது எக்ஸ்சீரற்ற மதிப்பு

என்று அழைக்கப்படுவதற்கு கீழ்ப்படிகிறது மாணவர் விநியோக சட்டம்உடன் பி- 1 டிகிரி சுதந்திரம்; இந்த சட்டத்தின் அடர்த்தி வடிவம் கொண்டது

G(x) என்பது அறியப்பட்ட காமா செயல்பாடு:

சீரற்ற மாறி என்பதும் நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது

உடன் "%2 விநியோகம்" உள்ளது பி- 1 டிகிரி சுதந்திரம் (அத்தியாயம் 7 ஐப் பார்க்கவும்), இதன் அடர்த்தி சூத்திரத்தால் வெளிப்படுத்தப்படுகிறது

விநியோகங்களின் வழித்தோன்றல்கள் (14.4.2) மற்றும் (14.4.4) இல் கவனம் செலுத்தாமல், அளவுருக்களுக்கான நம்பிக்கை இடைவெளிகளை உருவாக்கும்போது அவை எவ்வாறு பயன்படுத்தப்படலாம் என்பதைக் காண்பிப்போம். டி டி.

அதை உற்பத்தி செய்யட்டும் பிஒரு சீரற்ற மாறி மீது சுயாதீன சோதனைகள் எக்ஸ்,பொதுவாக அறியப்படாத அளவுருக்களுடன் விநியோகிக்கப்படுகிறது T&O.இந்த அளவுருக்களுக்கு, மதிப்பீடுகள் பெறப்பட்டன

நம்பக நிகழ்தகவு p உடன் தொடர்புடைய இரண்டு அளவுருக்களுக்கும் நம்பிக்கை இடைவெளிகளை உருவாக்குவது அவசியம்.

முதலில் கணித எதிர்பார்ப்புக்கான நம்பிக்கை இடைவெளியை உருவாக்குவோம். இந்த இடைவெளியை சமச்சீராக எடுத்துக்கொள்வது இயற்கையானது டி; s p என்பது இடைவெளியின் பாதி நீளத்தைக் குறிக்கலாம். நிபந்தனையை பூர்த்தி செய்ய, மதிப்பு s p தேர்ந்தெடுக்கப்பட வேண்டும்

சீரற்ற மாறியில் இருந்து சமத்துவத்தின் (14.4.5) இடது பக்கம் செல்ல முயற்சிப்போம் டிஒரு சீரற்ற மாறிக்கு டி,மாணவர் சட்டத்தின்படி விநியோகிக்கப்படுகிறது. இதைச் செய்ய, சமத்துவமின்மையின் இரு பக்கங்களையும் பெருக்கவும் |m-w?|

நேர்மறை மதிப்பு மூலம்: அல்லது, குறியீட்டைப் பயன்படுத்தி (14.4.1),

நிபந்தனையிலிருந்து மதிப்பு / p ஐக் கண்டறியக்கூடிய ஒரு எண்ணை / p ஐக் கண்டுபிடிப்போம்

சூத்திரத்திலிருந்து (14.4.2) தெளிவாகிறது (1) - கூட செயல்பாடு, எனவே (14.4.8) கொடுக்கிறது

சமத்துவம் (14.4.9) p ஐப் பொறுத்து மதிப்பு / p ஐ தீர்மானிக்கிறது. உங்கள் வசம் ஒருங்கிணைந்த மதிப்புகளின் அட்டவணை இருந்தால்

பின்னர் /p இன் மதிப்பை அட்டவணையில் தலைகீழ் இடைக்கணிப்பு மூலம் காணலாம். இருப்பினும், /p மதிப்புகளின் அட்டவணையை முன்கூட்டியே வரைவது மிகவும் வசதியானது. அத்தகைய அட்டவணை பின் இணைப்பு (அட்டவணை 5) இல் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. இந்த அட்டவணை நம்பிக்கை நிலை p மற்றும் சுதந்திரத்தின் அளவுகளின் எண்ணிக்கையைப் பொறுத்து மதிப்புகளைக் காட்டுகிறது பி- 1. அட்டவணையில் இருந்து / p நிர்ணயித்தல். 5 மற்றும் அனுமானம்

நம்பிக்கை இடைவெளி / p மற்றும் இடைவெளியின் பாதி அகலத்தைக் காண்போம்

எடுத்துக்காட்டு 1. ஒரு சீரற்ற மாறியில் 5 சுயாதீன சோதனைகள் செய்யப்பட்டன எக்ஸ்,பொதுவாக அறியப்படாத அளவுருக்களுடன் விநியோகிக்கப்படுகிறது டிமற்றும் பற்றி. சோதனை முடிவுகள் அட்டவணையில் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன. 14.4.1.

அட்டவணை 14.4.1

மதிப்பீட்டைக் கண்டறியவும் டிகணித எதிர்பார்ப்புக்கு 90% நம்பிக்கை இடைவெளி / p ஐ உருவாக்கவும் (அதாவது, நம்பிக்கை நிகழ்தகவு p = 0.9 உடன் தொடர்புடைய இடைவெளி).

தீர்வு.எங்களிடம் உள்ளது:

விண்ணப்பத்தின் அட்டவணை 5 இன் படி பி - 1 = 4 மற்றும் p = 0.9 நாம் கண்டுபிடிக்கிறோம் எங்கே

நம்பிக்கை இடைவெளி இருக்கும்

எடுத்துக்காட்டு 2. துணைப்பிரிவு 14.3 இன் எடுத்துக்காட்டு 1 இன் நிபந்தனைகளுக்கு, மதிப்பைக் கருதி எக்ஸ்பொதுவாக விநியோகிக்கப்படுகிறது, சரியான நம்பிக்கை இடைவெளியைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு.பிற்சேர்க்கையின் அட்டவணை 5 இன் படி நாம் எப்போது கண்டுபிடிக்கிறோம் பி - 1 = 19ir =

0.8 / ப = 1.328; இங்கிருந்து

துணைப்பிரிவு 14.3 (e p = 0.072) உதாரணம் 1 இன் தீர்வுடன் ஒப்பிடுகையில், முரண்பாடு மிகவும் சிறியது என்று நாங்கள் நம்புகிறோம். நாம் இரண்டாவது தசம இடத்திற்குத் துல்லியத்தைப் பராமரித்தால், துல்லியமான மற்றும் தோராயமான முறைகள் மூலம் காணப்படும் நம்பிக்கை இடைவெளிகள் ஒத்துப்போகின்றன:

மாறுபாட்டிற்கான நம்பிக்கை இடைவெளியை உருவாக்குவதற்கு செல்லலாம். பாரபட்சமற்ற மாறுபாடு மதிப்பீட்டாளரைக் கவனியுங்கள்

மற்றும் சீரற்ற மாறியை வெளிப்படுத்தவும் டிஅளவு மூலம் வி(14.4.3), விநியோகம் x 2 (14.4.4):

அளவு விநியோக சட்டத்தை அறிந்திருத்தல் வி,கொடுக்கப்பட்ட நிகழ்தகவு p உடன் விழும் இடைவெளி /(1) ஐ நீங்கள் காணலாம்.

விநியோக சட்டம் kn_x(v)அளவு I 7 படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ள படிவத்தைக் கொண்டுள்ளது. 14.4.1.

அரிசி. 14.4.1

கேள்வி எழுகிறது: இடைவெளி / p ஐ எவ்வாறு தேர்வு செய்வது? அளவு விநியோக சட்டம் என்றால் விசமச்சீரானது (சாதாரண சட்டம் அல்லது மாணவர் விநியோகம் போன்றவை), கணித எதிர்பார்ப்புகளைப் பொறுத்து இடைவெளி /p சமச்சீர்நிலையை எடுப்பது இயல்பானதாக இருக்கும். இந்த வழக்கில் சட்டம் k p_x (v)சமச்சீரற்ற. மதிப்பின் நிகழ்தகவு இடைவெளி /p ஐ தேர்வு செய்ய ஒப்புக்கொள்வோம் விஇடைவெளிக்கு அப்பால் வலது மற்றும் இடது (படம். 14.4.1 இல் உள்ள நிழல் பகுதிகள்) ஒரே மாதிரியாகவும் சமமாகவும் இருந்தன

இந்த சொத்துடன் ஒரு இடைவெளி /p ஐ உருவாக்க, நாங்கள் அட்டவணையைப் பயன்படுத்துகிறோம். 4 பயன்பாடுகள்: இதில் எண்கள் உள்ளன y)அதுபோல்

மதிப்புக்காக வி, x 2 -விநியோகம் r டிகிரி சுதந்திரத்துடன். எங்கள் விஷயத்தில் r = n- 1. சரிசெய்வோம் r = n- 1 மற்றும் அட்டவணையின் தொடர்புடைய வரிசையில் கண்டுபிடிக்கவும். 4 இரண்டு அர்த்தங்கள் x 2 -ஒன்று நிகழ்தகவுடன் தொடர்புடையது மற்றொன்று - நிகழ்தகவு இவற்றைக் குறிப்போம்

மதிப்புகள் 2 மணிக்குமற்றும் xl?இடைவெளி உள்ளது y 2,உங்கள் இடது, மற்றும் y~வலது முனை.

இப்போது நாம் இடைவெளி / p இலிருந்து விரும்பிய நம்பக இடைவெளி /|, எல்லைகள் D உடன் சிதறலுக்கு, மற்றும் D2,இது புள்ளியை உள்ளடக்கியது டிநிகழ்தகவு p:

புள்ளியை உள்ளடக்கிய ஒரு இடைவெளி / (, = (?> ь А) ஐ உருவாக்குவோம் டிமதிப்பு இருந்தால் மட்டுமே வி/r இடைவெளியில் விழுகிறது. இடைவெளி என்று காட்டுவோம்

இந்த நிபந்தனையை பூர்த்தி செய்கிறது. உண்மையில், ஏற்றத்தாழ்வுகள் சமத்துவமின்மைக்கு சமமானவை

மற்றும் இந்த ஏற்றத்தாழ்வுகள் நிகழ்தகவு p உடன் திருப்தி அடைகின்றன. இவ்வாறு, மாறுபாட்டிற்கான நம்பிக்கை இடைவெளி கண்டுபிடிக்கப்பட்டு, சூத்திரத்தால் வெளிப்படுத்தப்படுகிறது (14.4.13).

எடுத்துக்காட்டு 3. துணைப்பிரிவு 14.3 இன் எடுத்துக்காட்டு 2 இன் நிபந்தனைகளின் கீழ் மாறுபாட்டிற்கான நம்பிக்கை இடைவெளியைக் கண்டறியவும், அது மதிப்பு என்று தெரிந்தால் எக்ஸ்பொதுவாக விநியோகிக்கப்படுகிறது.

தீர்வு.எங்களிடம் உள்ளது . பின் இணைப்பு அட்டவணை 4 படி

நாம் கண்டுபிடிக்கிறோம் r = n - 1 = 19

சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி (14.4.13) மாறுபாட்டிற்கான நம்பிக்கை இடைவெளியைக் காண்கிறோம்

நிலையான விலகலுக்கான தொடர்புடைய இடைவெளி (0.21; 0.32). இந்த இடைவெளி தோராயமான முறையைப் பயன்படுத்தி துணைப்பிரிவு 14.3 இன் எடுத்துக்காட்டு 2 இல் பெறப்பட்ட இடைவெளியை (0.21; 0.29) சற்று மீறுகிறது.

• படம் 14.3.1 ஒரு நம்பக இடைவெளி சமச்சீர் பற்றி கருதுகிறது. பொதுவாக, நாம் பின்னர் பார்ப்போம், இது தேவையில்லை.

நம்பக இடைவெளிகள்.

நம்பிக்கை இடைவெளியின் கணக்கீடு தொடர்புடைய அளவுருவின் சராசரி பிழையை அடிப்படையாகக் கொண்டது. நம்பக இடைவெளியை நிகழ்தகவுடன் (1-a) மதிப்பிடப்பட்ட அளவுருவின் உண்மையான மதிப்பு என்ன வரம்புக்குள் உள்ளது என்பதைக் காட்டுகிறது. இங்கே a என்பது முக்கியத்துவ நிலை, (1-a) என்பது நம்பிக்கை நிகழ்தகவு என்றும் அழைக்கப்படுகிறது.

முதல் அத்தியாயத்தில், எடுத்துக்காட்டாக, எண்கணித சராசரியைப் பொறுத்தவரை, ஏறத்தாழ 95% வழக்குகளில் உண்மையான மக்கள்தொகை சராசரி சராசரியின் 2 நிலையான பிழைகளுக்குள் உள்ளது என்பதைக் காட்டினோம். எனவே, சராசரிக்கான 95% நம்பக இடைவெளியின் எல்லைகள் மாதிரி சராசரியிலிருந்து இரு மடங்கு தொலைவில் இருக்கும் சராசரி பிழைசராசரி, அதாவது. நம்பிக்கை அளவைப் பொறுத்து சராசரியின் சராசரி பிழையை ஒரு குறிப்பிட்ட குணகத்தால் பெருக்குகிறோம். சராசரி மற்றும் வேறுபாட்டிற்கு, மாணவர் குணகம் (மாணவர்களின் சோதனையின் முக்கிய மதிப்பு) பங்குகளின் பங்கு மற்றும் வேறுபாட்டிற்கு, z அளவுகோலின் முக்கிய மதிப்பு. குணகத்தின் தயாரிப்பு மற்றும் சராசரி பிழையை கொடுக்கப்பட்ட அளவுருவின் அதிகபட்ச பிழை என்று அழைக்கலாம், அதாவது. அதை மதிப்பிடும்போது நாம் பெறக்கூடிய அதிகபட்சம்.

நம்பிக்கை இடைவெளி எண்கணித சராசரி : .

இங்கே சாம்பிள் பொருள்;

எண்கணித சராசரி பிழை;

கள் -மாதிரி நிலையான விலகல்;

n

f = n-1 (மாணவர்களின் குணகம்).

நம்பிக்கை இடைவெளி எண்கணித வழிமுறைகளின் வேறுபாடுகள் :

மாதிரி வழிமுறைகளுக்கு இடையிலான வேறுபாடு இங்கே உள்ளது;

- எண்கணித வழிமுறைகளுக்கு இடையிலான வித்தியாசத்தின் சராசரி பிழை;

s 1 , s 2 –மாதிரி நிலையான விலகல்கள்;

n1,n2

முக்கியமான மதிப்புகொடுக்கப்பட்ட முக்கியத்துவ நிலை மற்றும் சுதந்திரத்தின் அளவுகளின் எண்ணிக்கைக்கான மாணவர்களின் சோதனை f=n 1 +n 2-2 (மாணவர்களின் குணகம்).

நம்பிக்கை இடைவெளி பங்குகள் :

.

இங்கே d என்பது மாதிரி பின்னம்;

- சராசரி பின்னம் பிழை;

n- மாதிரி அளவு (குழு அளவு);

நம்பிக்கை இடைவெளி பங்கு வேறுபாடு :

மாதிரி பங்குகளில் உள்ள வேறுபாடு இங்கே உள்ளது;

- எண்கணித வழிமுறைகளுக்கு இடையிலான வித்தியாசத்தின் சராசரி பிழை;

n1,n2- மாதிரி தொகுதிகள் (குழுக்களின் எண்ணிக்கை);

கொடுக்கப்பட்ட முக்கியத்துவம் நிலை a ( , , ) இல் z அளவுகோலின் முக்கிய மதிப்பு.

குறிகாட்டிகளுக்கு இடையிலான வேறுபாட்டிற்கான நம்பிக்கை இடைவெளிகளைக் கணக்கிடுவதன் மூலம், முதலில், நாம் நேரடியாகப் பார்க்கிறோம் சாத்தியமான மதிப்புகள்விளைவு, அது மட்டுமல்ல புள்ளி மதிப்பீடு. இரண்டாவதாக, பூஜ்ய கருதுகோளை ஏற்றுக்கொள்வது அல்லது நிராகரிப்பது பற்றி ஒரு முடிவுக்கு வரலாம், மூன்றாவதாக, சோதனையின் சக்தியைப் பற்றி நாம் ஒரு முடிவை எடுக்கலாம்.

நம்பிக்கை இடைவெளிகளைப் பயன்படுத்தி கருதுகோள்களைச் சோதிக்கும்போது, ​​நீங்கள் பின்வரும் விதியைக் கடைப்பிடிக்க வேண்டும்:

பொருள் வேறுபாட்டின் 100(1-a) சதவீத நம்பிக்கை இடைவெளி பூஜ்ஜியத்தைக் கொண்டிருக்கவில்லை என்றால், வேறுபாடுகள் புள்ளியியல் ரீதியாக முக்கியத்துவம் நிலை a இல் குறிப்பிடத்தக்கவை; மாறாக, இந்த இடைவெளியில் பூஜ்ஜியம் இருந்தால், வேறுபாடுகள் புள்ளிவிவர ரீதியாக குறிப்பிடத்தக்கவை அல்ல.

உண்மையில், இந்த இடைவெளியில் பூஜ்ஜியம் இருந்தால், மற்றொன்றுடன் ஒப்பிடும்போது ஒரு குழுவில் ஒப்பிடப்படும் காட்டி அதிகமாகவோ அல்லது குறைவாகவோ இருக்கலாம், அதாவது. கவனிக்கப்பட்ட வேறுபாடுகள் வாய்ப்பு காரணமாகும்.

நம்பிக்கை இடைவெளியில் பூஜ்ஜியத்தின் இருப்பிடத்தின் மூலம் சோதனையின் சக்தியை மதிப்பிடலாம். பூஜ்ஜியம் குறைவாக இருந்தால் அல்லது மேல் வரம்புஇடைவெளி, பின்னர் அதிக எண்ணிக்கையிலான ஒப்பிடப்பட்ட குழுக்களுடன், வேறுபாடுகள் அடையும் புள்ளியியல் முக்கியத்துவம். பூஜ்ஜியம் இடைவெளியின் நடுப்பகுதிக்கு அருகில் இருந்தால், இதன் பொருள் சோதனைக் குழுவில் காட்டி அதிகரிப்பு மற்றும் குறைவு இரண்டும் சமமாக இருக்கும், மேலும் உண்மையில் வேறுபாடுகள் எதுவும் இல்லை.

எடுத்துக்காட்டுகள்:

இரண்டு வெவ்வேறு வகையான மயக்க மருந்துகளைப் பயன்படுத்தும் போது அறுவை சிகிச்சை இறப்பை ஒப்பிட்டுப் பார்க்க: முதல் வகை மயக்க மருந்து மூலம் 61 பேருக்கு அறுவை சிகிச்சை செய்யப்பட்டது, 8 பேர் இறந்தனர், இரண்டாவது வகை - 67 பேர், 10 பேர் இறந்தனர்.

d 1 = 8/61 = 0.131; d2 = 10/67 = 0.149; d1-d2 = - 0.018.

ஒப்பிடப்பட்ட முறைகளின் இறப்பு வேறுபாடு வரம்பில் இருக்கும் (-0.018 - 0.122; -0.018 + 0.122) அல்லது (-0.14; 0.104) நிகழ்தகவு 100(1-a) = 95%. இடைவெளியில் பூஜ்யம் உள்ளது, அதாவது. இரண்டில் ஒரே மரணம் பற்றிய கருதுகோள் பல்வேறு வகையானமயக்க மருந்தை நிராகரிக்க முடியாது.

இதனால், இறப்பு விகிதம் 14% ஆகவும் குறையவும் மற்றும் 10.4% ஆக அதிகரிக்கவும் 95% நிகழ்தகவு உள்ளது, அதாவது. பூஜ்ஜியம் தோராயமாக இடைவெளியின் நடுவில் உள்ளது, எனவே இந்த இரண்டு முறைகளும் உண்மையில் மரணத்தில் வேறுபடுவதில்லை என்று வாதிடலாம்.

முன்னர் விவாதிக்கப்பட்ட எடுத்துக்காட்டில், தட்டுதல் தேர்வின் போது சராசரி அழுத்தும் நேரம் தேர்வு மதிப்பெண்களில் வேறுபடும் மாணவர்களின் நான்கு குழுக்களில் ஒப்பிடப்பட்டது. 2 மற்றும் 5 ஆம் வகுப்புகளுடன் தேர்வில் தேர்ச்சி பெற்ற மாணவர்களுக்கான சராசரி அழுத்த நேரத்திற்கான நம்பிக்கை இடைவெளிகளையும் இந்த சராசரிகளுக்கு இடையிலான வேறுபாட்டிற்கான நம்பிக்கை இடைவெளியையும் கணக்கிடுவோம்.

மாணவர்களின் விநியோக அட்டவணைகளைப் பயன்படுத்தி மாணவர் குணகங்கள் காணப்படுகின்றன (இணைப்பைப் பார்க்கவும்): முதல் குழுவிற்கு: = t(0.05;48) = 2.011; இரண்டாவது குழுவிற்கு: = t(0.05;61) = 2.000. எனவே, முதல் குழுவிற்கான நம்பிக்கை இடைவெளிகள்: = (162.19-2.011*2.18; 162.19+2.011*2.18) = (157.8; 166.6), இரண்டாவது குழுவிற்கு (156.55- 2,000*1.88; 1.80) = 1.80.85 ; 160.3). எனவே, 2 உடன் தேர்வில் தேர்ச்சி பெற்றவர்களுக்கு, சராசரி அழுத்த நேரம் 157.8 ms முதல் 166.6 ms வரை நிகழ்தகவு 95%, தேர்வில் தேர்ச்சி பெற்றவர்களுக்கு 5 - 152.8 ms முதல் 160.3 ms வரை 95% நிகழ்தகவு .

நம்பிக்கை இடைவெளிகளைப் பயன்படுத்தி பூஜ்ய கருதுகோளை நீங்கள் சோதிக்கலாம், மேலும் வழிமுறைகளில் உள்ள வேறுபாட்டிற்காக மட்டும் அல்ல. எடுத்துக்காட்டாக, எங்கள் விஷயத்தைப் போலவே, வழிமுறைகளுக்கான நம்பிக்கை இடைவெளிகள் ஒன்றுடன் ஒன்று இருந்தால், பூஜ்ய கருதுகோளை நிராகரிக்க முடியாது. தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட முக்கியத்துவ மட்டத்தில் ஒரு கருதுகோளை நிராகரிக்க, தொடர்புடைய நம்பிக்கை இடைவெளிகள் ஒன்றுடன் ஒன்று சேரக்கூடாது.

தரம் 2 மற்றும் 5 உடன் தேர்வில் தேர்ச்சி பெற்ற குழுக்களில் சராசரி அழுத்த நேரத்தின் வேறுபாட்டிற்கான நம்பிக்கை இடைவெளியைக் கண்டுபிடிப்போம். சராசரிகளின் வேறுபாடு: 162.19 – 156.55 = 5.64. மாணவர் குணகம்: = t(0.05;49+62-2) = t(0.05;109) = 1.982. குழு நிலையான விலகல்கள் சமமாக இருக்கும்: ; . வழிமுறைகளுக்கு இடையிலான வேறுபாட்டின் சராசரி பிழையை நாங்கள் கணக்கிடுகிறோம்: . நம்பிக்கை இடைவெளி: =(5.64-1.982*2.87; 5.64+1.982*2.87) = (-0.044; 11.33).

எனவே, 2 மற்றும் 5 உடன் தேர்வில் தேர்ச்சி பெற்ற குழுக்களில் சராசரி அழுத்த நேர வித்தியாசம் -0.044 ms முதல் 11.33 ms வரை இருக்கும். இந்த இடைவெளியில் பூஜ்யம் அடங்கும், அதாவது. தேர்வில் நன்றாக தேர்ச்சி பெற்றவர்களுக்கான சராசரி அழுத்தும் நேரம், தேர்வில் திருப்தியற்ற முறையில் தேர்ச்சி பெற்றவர்களுடன் ஒப்பிடும்போது அதிகரிக்கலாம் அல்லது குறையலாம், அதாவது. பூஜ்ய கருதுகோளை நிராகரிக்க முடியாது. ஆனால் பூஜ்ஜியம் குறைந்த வரம்பிற்கு மிக அருகில் உள்ளது, மேலும் நன்றாக தேர்ச்சி பெற்றவர்களுக்கு அழுத்தும் நேரம் குறைவதற்கான வாய்ப்புகள் அதிகம். எனவே, 2 மற்றும் 5 ஐக் கடந்தவர்களிடையே அழுத்தும் சராசரி நேரத்தில் இன்னும் வேறுபாடுகள் உள்ளன என்று நாம் முடிவு செய்யலாம், சராசரி நேரத்தின் மாற்றம், சராசரி நேரத்தின் பரவல் மற்றும் மாதிரி அளவுகள் ஆகியவற்றின் அடிப்படையில் அவற்றைக் கண்டறிய முடியவில்லை.

ஒரு சோதனையின் சக்தி என்பது தவறான பூஜ்ய கருதுகோளை நிராகரிப்பதற்கான நிகழ்தகவு ஆகும், அதாவது. அவை உண்மையில் இருக்கும் வேறுபாடுகளைக் கண்டறியவும்.

முக்கியத்துவத்தின் நிலை, குழுக்களுக்கு இடையிலான வேறுபாடுகளின் அளவு, குழுக்களில் மதிப்புகளின் பரவல் மற்றும் மாதிரிகளின் அளவு ஆகியவற்றின் அடிப்படையில் சோதனையின் சக்தி தீர்மானிக்கப்படுகிறது.

மாணவர் சோதனை மற்றும் மாறுபாட்டின் பகுப்பாய்வுநீங்கள் உணர்திறன் வரைபடங்களைப் பயன்படுத்தலாம்.

தேவையான குழுக்களின் எண்ணிக்கையை முன்கூட்டியே தீர்மானிக்க, அளவுகோலின் சக்தி பயன்படுத்தப்படலாம்.

கொடுக்கப்பட்ட நிகழ்தகவுடன் மதிப்பிடப்பட்ட அளவுருவின் உண்மையான மதிப்பைக் கட்டுப்படுத்தும் நம்பிக்கை இடைவெளியைக் காட்டுகிறது.

நம்பிக்கை இடைவெளிகளைப் பயன்படுத்தி, நீங்கள் புள்ளியியல் கருதுகோள்களை சோதிக்கலாம் மற்றும் அளவுகோல்களின் உணர்திறன் பற்றிய முடிவுகளை எடுக்கலாம்.

இலக்கியம்.

Glanz S. - அத்தியாயம் 6,7.

ரெப்ரோவா ஓ.யு. – ப.112-114, ப.171-173, ப.234-238.

சிடோரென்கோ ஈ.வி. - ப.32-33.

மாணவர்களின் சுய பரிசோதனைக்கான கேள்விகள்.

1. அளவுகோலின் சக்தி என்ன?

2. எந்த சந்தர்ப்பங்களில் அளவுகோல்களின் சக்தியை மதிப்பிடுவது அவசியம்?

3. சக்தியைக் கணக்கிடுவதற்கான முறைகள்.

6. நம்பக இடைவெளியைப் பயன்படுத்தி புள்ளிவிவரக் கருதுகோளை எவ்வாறு சோதிப்பது?

7. நம்பிக்கை இடைவெளியைக் கணக்கிடும் போது அளவுகோலின் சக்தியைப் பற்றி என்ன சொல்ல முடியும்?

பணிகள்.

சில குணாதிசயங்களின் இயல்பான விநியோகத்துடன் கூடிய அதிக எண்ணிக்கையிலான பொருட்கள் எங்களிடம் உள்ளன என்று வைத்துக்கொள்வோம் (உதாரணமாக, அதே வகை காய்கறிகளின் முழு கிடங்கு, அளவு மற்றும் எடை மாறுபடும்). மொத்தப் பொருட்களின் சராசரி குணாதிசயங்களை நீங்கள் அறிய விரும்புகிறீர்கள், ஆனால் ஒவ்வொரு காய்கறியையும் அளவிடுவதற்கும் எடை போடுவதற்கும் உங்களுக்கு நேரமோ விருப்பமோ இல்லை. இது தேவையில்லை என்பதை நீங்கள் புரிந்துகொள்கிறீர்கள். ஆனால் ஸ்பாட் செக்கிற்கு எத்தனை துண்டுகள் எடுக்க வேண்டும்?

இந்த சூழ்நிலைக்கு பயனுள்ள பல சூத்திரங்களை வழங்குவதற்கு முன், சில குறிப்புகளை நினைவுபடுத்துவோம்.

முதலாவதாக, காய்கறிகளின் முழு கிடங்குகளையும் (இந்த உறுப்புகளின் தொகுப்பு பொது மக்கள் தொகை என்று அழைக்கப்படுகிறது) அளந்தால், முழு தொகுப்பின் சராசரி எடையும் நமக்குக் கிடைக்கும் அனைத்து துல்லியத்துடன் நமக்குத் தெரியும். இதை சராசரி என்று வைத்துக் கொள்வோம் X சராசரி .g en . - பொது சராசரி. அதன் சராசரி மதிப்பு மற்றும் விலகல் கள் அறியப்பட்டால் முழுமையாக தீர்மானிக்கப்படுவது என்ன என்பதை நாம் ஏற்கனவே அறிவோம் . உண்மை, நாம் X சராசரி ஜென்மமும் இல்லைகள் எங்களுக்கு பொது மக்களை தெரியாது. நாம் ஒரு குறிப்பிட்ட மாதிரியை மட்டுமே எடுக்க முடியும், நமக்குத் தேவையான மதிப்புகளை அளவிடலாம் மற்றும் இந்த மாதிரியின் சராசரி மதிப்பு X சராசரி மற்றும் நிலையான விலகல் S தேர்வு இரண்டையும் கணக்கிடலாம்.

எங்கள் மாதிரிச் சரிபார்ப்பில் அதிக எண்ணிக்கையிலான உறுப்புகள் இருந்தால் (பொதுவாக n 30 ஐ விட அதிகமாக இருக்கும்) மற்றும் அவை எடுக்கப்படும் என்பது அறியப்படுகிறது. உண்மையில் சீரற்ற, பின்னர் எஸ் பொது மக்கள் எஸ் தேர்வில் இருந்து வேறுபட மாட்டார்கள்.

கூடுதலாக, சாதாரண விநியோகத்திற்கு நாம் பின்வரும் சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தலாம்:

95% நிகழ்தகவுடன்

99% நிகழ்தகவுடன்

IN பொதுவான பார்வைநிகழ்தகவு P (t)

t மதிப்புக்கும் P (t) நிகழ்தகவு மதிப்புக்கும் இடையிலான உறவை, நாம் நம்பிக்கை இடைவெளியை அறிய விரும்புகிறோம், பின்வரும் அட்டவணையில் இருந்து எடுக்கலாம்:

எனவே, மக்கள்தொகைக்கான சராசரி மதிப்பு எந்த வரம்பில் உள்ளது (கொடுக்கப்பட்ட நிகழ்தகவுடன்) என்பதை நாங்கள் தீர்மானித்துள்ளோம்.

எங்களிடம் போதுமான அளவு மாதிரி இல்லை என்றால், மக்கள் தொகையில் s = உள்ளது என்று சொல்ல முடியாது எஸ் தேர்ந்தெடுக்கவும் கூடுதலாக, இந்த வழக்கில் சாதாரண விநியோகத்திற்கு மாதிரியின் நெருக்கம் சிக்கலாக உள்ளது. இந்த வழக்கில், நாங்கள் அதற்கு பதிலாக S தேர்வையும் பயன்படுத்துகிறோம்சூத்திரத்தில் கள்:

ஆனால் நிலையான நிகழ்தகவு P(t)க்கான t இன் மதிப்பு மாதிரி n இல் உள்ள உறுப்புகளின் எண்ணிக்கையைப் பொறுத்தது. பெரிய n, இதன் விளைவாக வரும் நம்பிக்கை இடைவெளி சூத்திரம் (1) வழங்கிய மதிப்புக்கு நெருக்கமாக இருக்கும். இந்த வழக்கில் t மதிப்புகள் மற்றொரு அட்டவணையில் இருந்து எடுக்கப்பட்டது ( மாணவர்களின் டி-டெஸ்ட்), நாங்கள் கீழே வழங்குகிறோம்:

நிகழ்தகவு 0.95 மற்றும் 0.99க்கான மாணவர்களின் டி-டெஸ்ட் மதிப்புகள்

எடுத்துக்காட்டு 3.நிறுவனத்தின் ஊழியர்களில் இருந்து 30 பேர் தோராயமாக தேர்ந்தெடுக்கப்பட்டனர். மாதிரியின் படி, சராசரி சம்பளம் (மாதத்திற்கு) 5 ஆயிரம் ரூபிள் நிலையான விலகலுடன் 30 ஆயிரம் ரூபிள் என்று மாறியது. நிறுவனத்தில் சராசரி சம்பளத்தை 0.99 நிகழ்தகவுடன் தீர்மானிக்கவும்.

தீர்வு:நிபந்தனையின்படி நாம் n = 30, X சராசரி. =30000, S=5000, P = 0.99. நம்பிக்கை இடைவெளியைக் கண்டறிய, மாணவர்களின் t சோதனையுடன் தொடர்புடைய சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துவோம். n = 30 மற்றும் P = 0.99 அட்டவணையில் இருந்து நாம் t = 2.756 ஐக் காண்கிறோம், எனவே,

அந்த. தேடப்பட்ட அறங்காவலர்இடைவெளி 27484< Х ср.ген < 32516.

எனவே, 0.99 நிகழ்தகவுடன், இடைவெளியில் (27484; 32516) நிறுவனத்தில் சராசரி சம்பளம் உள்ளது என்று கூறலாம்.

நீங்கள் இந்த முறையைப் பயன்படுத்துவீர்கள் என்று நாங்கள் நம்புகிறோம், மேலும் ஒவ்வொரு முறையும் உங்களுடன் ஒரு அட்டவணை இருக்க வேண்டிய அவசியமில்லை. எக்செல் இல் கணக்கீடுகள் தானாக மேற்கொள்ளப்படும். எக்செல் கோப்பில் இருக்கும் போது, ​​மேல் மெனுவில் உள்ள fx பட்டனை கிளிக் செய்யவும். பின்னர், செயல்பாடுகளில் "புள்ளிவிவர" வகையைத் தேர்ந்தெடுக்கவும், மற்றும் சாளரத்தில் முன்மொழியப்பட்ட பட்டியலில் இருந்து - STUDAR டிஸ்கவர். பின்னர், வரியில், "நிகழ்தகவு" புலத்தில் கர்சரை வைத்து, தலைகீழ் நிகழ்தகவின் மதிப்பை உள்ளிடவும் (அதாவது எங்கள் விஷயத்தில், நிகழ்தகவு 0.95 க்கு பதிலாக, நீங்கள் 0.05 நிகழ்தகவை தட்டச்சு செய்ய வேண்டும்). வெளிப்படையாக விரிதாள்எந்த நிகழ்தகவுடன் நாம் தவறு செய்யலாம் என்ற கேள்விக்கு முடிவு பதிலளிக்கும் வகையில் தொகுக்கப்பட்டுள்ளது. இதேபோல், சுதந்திரப் பட்டம் புலத்தில், உங்கள் மாதிரிக்கான மதிப்பை (n-1) உள்ளிடவும்.

கணித எதிர்பார்ப்புக்கான நம்பிக்கை இடைவெளி - இது அறியப்பட்ட நிகழ்தகவுடன், பொது மக்களின் கணித எதிர்பார்ப்பைக் கொண்டிருக்கும் தரவுகளிலிருந்து கணக்கிடப்பட்ட இடைவெளியாகும். கணித எதிர்பார்ப்புக்கான இயற்கையான மதிப்பீடு அதன் கவனிக்கப்பட்ட மதிப்புகளின் எண்கணித சராசரி ஆகும். எனவே, பாடம் முழுவதும் "சராசரி" மற்றும் "சராசரி மதிப்பு" என்ற சொற்களைப் பயன்படுத்துவோம். நம்பிக்கை இடைவெளியைக் கணக்கிடுவதில் உள்ள சிக்கல்களில், "சராசரி எண்ணின் நம்பக இடைவெளி [குறிப்பிட்ட சிக்கலில்] [சிறிய மதிப்பில்] இருந்து [பெரிய மதிப்பு] வரை இருக்கும்" என்பது போன்ற பதில் பெரும்பாலும் தேவைப்படுகிறது. நம்பிக்கை இடைவெளியைப் பயன்படுத்தி, நீங்கள் சராசரி மதிப்புகளை மட்டுமல்ல, பொது மக்களின் குறிப்பிட்ட பண்புகளின் விகிதத்தையும் மதிப்பீடு செய்யலாம். சராசரி, மாறுபாடு, நிலையான விலகல்புதிய வரையறைகள் மற்றும் சூத்திரங்களை நாம் அடையும் பிழைகள் பாடத்தில் விவாதிக்கப்படுகின்றன மாதிரி மற்றும் மக்கள்தொகையின் பண்புகள் .

சராசரியின் புள்ளி மற்றும் இடைவெளி மதிப்பீடுகள்

மக்கள்தொகையின் சராசரி மதிப்பு ஒரு எண்ணால் (புள்ளி) மதிப்பிடப்பட்டால், ஒரு குறிப்பிட்ட சராசரி, அவதானிப்புகளின் மாதிரியிலிருந்து கணக்கிடப்படுகிறது, இது மக்கள்தொகையின் அறியப்படாத சராசரி மதிப்பின் மதிப்பீடாக எடுத்துக் கொள்ளப்படுகிறது. இந்த வழக்கில், மாதிரி சராசரியின் மதிப்பு - ஒரு சீரற்ற மாறி - பொது மக்களின் சராசரி மதிப்புடன் ஒத்துப்போவதில்லை. எனவே, மாதிரி சராசரியைக் குறிக்கும் போது, ​​நீங்கள் ஒரே நேரத்தில் மாதிரி பிழையைக் குறிப்பிட வேண்டும். மாதிரி பிழையின் அளவீடு நிலையான பிழை, இது சராசரியாக அதே அலகுகளில் வெளிப்படுத்தப்படுகிறது. எனவே, பின்வரும் குறியீடு பெரும்பாலும் பயன்படுத்தப்படுகிறது:

சராசரியின் மதிப்பீடு ஒரு குறிப்பிட்ட நிகழ்தகவுடன் தொடர்புடையதாக இருக்க வேண்டும் என்றால், மக்கள்தொகையில் ஆர்வத்தின் அளவுரு ஒரு எண்ணால் அல்ல, ஆனால் ஒரு இடைவெளியால் மதிப்பிடப்பட வேண்டும். நம்பிக்கை இடைவெளி என்பது ஒரு குறிப்பிட்ட நிகழ்தகவு கொண்ட ஒரு இடைவெளி பிமதிப்பிடப்பட்ட மக்கள்தொகை காட்டி மதிப்பு காணப்படுகிறது. நம்பிக்கை இடைவெளியில் அது சாத்தியமாகும் பி = 1 - α சீரற்ற மாறி காணப்படுகிறது, பின்வருமாறு கணக்கிடப்படுகிறது:

,

α = 1 - பி, இது புள்ளிவிவரங்கள் பற்றிய எந்தவொரு புத்தகத்தின் பின்னிணைப்பில் காணலாம்.

நடைமுறையில், மக்கள்தொகை சராசரி மற்றும் மாறுபாடு தெரியவில்லை, எனவே மக்கள்தொகை மாறுபாடு மாதிரி மாறுபாட்டால் மாற்றப்படுகிறது, மேலும் மக்கள் தொகை மாதிரி சராசரியால் மாற்றப்படுகிறது. எனவே, பெரும்பாலான சந்தர்ப்பங்களில் நம்பிக்கை இடைவெளி பின்வருமாறு கணக்கிடப்படுகிறது:

.

நம்பக இடைவெளி சூத்திரம் என்றால் மக்கள்தொகை சராசரியை மதிப்பிடுவதற்கு பயன்படுத்தப்படலாம்

• மக்கள்தொகையின் நிலையான விலகல் அறியப்படுகிறது;
• அல்லது மக்கள்தொகையின் நிலையான விலகல் தெரியவில்லை, ஆனால் மாதிரி அளவு 30 ஐ விட அதிகமாக உள்ளது.

மாதிரி சராசரி என்பது மக்கள்தொகை சராசரியின் பாரபட்சமற்ற மதிப்பீடாகும். இதையொட்டி, மாதிரி மாறுபாடு மக்கள்தொகை மாறுபாட்டின் ஒரு பக்கச்சார்பற்ற மதிப்பீடு அல்ல. மாதிரி மாறுபாடு சூத்திரத்தில், மாதிரி அளவு, மக்கள் தொகை மாறுபாட்டின் நடுநிலை மதிப்பீட்டைப் பெற nமூலம் மாற்றப்பட வேண்டும் n-1.

எடுத்துக்காட்டு 1.ஒரு குறிப்பிட்ட நகரத்தில் தோராயமாக தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட 100 கஃபேக்களில் இருந்து சராசரியாக 10.5 ஊழியர்களின் எண்ணிக்கை 4.6 இன் நிலையான விலகலுடன் இருப்பதாக தகவல் சேகரிக்கப்பட்டது. கஃபே ஊழியர்களின் எண்ணிக்கையில் 95% நம்பிக்கை இடைவெளியைத் தீர்மானிக்கவும்.

முக்கியத்துவ நிலைக்கான நிலையான இயல்பான விநியோகத்தின் முக்கியமான மதிப்பு எங்கே α = 0,05 .

எனவே, சராசரியாக ஓட்டல் ஊழியர்களின் எண்ணிக்கையில் 95% நம்பிக்கை இடைவெளி 9.6 முதல் 11.4 வரை இருந்தது.

உதாரணம் 2. 64 அவதானிப்புகளின் மக்கள்தொகையில் இருந்து ஒரு சீரற்ற மாதிரிக்கு, பின்வரும் மொத்த மதிப்புகள் கணக்கிடப்பட்டன:

அவதானிப்புகளில் உள்ள மதிப்புகளின் கூட்டுத்தொகை,

சராசரியிலிருந்து மதிப்புகளின் வர்க்க விலகல்களின் கூட்டுத்தொகை .

கணித எதிர்பார்ப்புக்கான 95% நம்பிக்கை இடைவெளியைக் கணக்கிடவும்.

நிலையான விலகலைக் கணக்கிடுவோம்:

,

சராசரி மதிப்பைக் கணக்கிடுவோம்:

.

நம்பிக்கை இடைவெளிக்கான வெளிப்பாட்டில் மதிப்புகளை மாற்றுகிறோம்:

முக்கியத்துவ நிலைக்கான நிலையான இயல்பான விநியோகத்தின் முக்கியமான மதிப்பு எங்கே α = 0,05 .

நாங்கள் பெறுகிறோம்:

எனவே, இந்த மாதிரியின் கணித எதிர்பார்ப்புக்கான 95% நம்பிக்கை இடைவெளி 7.484 முதல் 11.266 வரை இருந்தது.

எடுத்துக்காட்டு 3. 100 அவதானிப்புகளின் சீரற்ற மக்கள்தொகை மாதிரிக்கு, கணக்கிடப்பட்ட சராசரி 15.2 மற்றும் நிலையான விலகல் 3.2 ஆகும். எதிர்பார்க்கப்படும் மதிப்பிற்கான 95% நம்பிக்கை இடைவெளியைக் கணக்கிடவும், பின்னர் 99% நம்பிக்கை இடைவெளியைக் கணக்கிடவும். மாதிரி சக்தியும் அதன் மாறுபாடும் மாறாமல், நம்பிக்கைக் குணகம் அதிகரித்தால், நம்பிக்கை இடைவெளி குறுகுமா அல்லது விரிவடையும்?

இந்த மதிப்புகளை நம்பிக்கை இடைவெளிக்கான வெளிப்பாடாக மாற்றுகிறோம்:

முக்கியத்துவ நிலைக்கான நிலையான இயல்பான விநியோகத்தின் முக்கியமான மதிப்பு எங்கே α = 0,05 .

நாங்கள் பெறுகிறோம்:

.

எனவே, இந்த மாதிரியின் சராசரிக்கான 95% நம்பிக்கை இடைவெளி 14.57 முதல் 15.82 வரை இருந்தது.

நம்பிக்கை இடைவெளிக்கான வெளிப்பாடாக இந்த மதிப்புகளை மீண்டும் மாற்றுகிறோம்:

முக்கியத்துவ நிலைக்கான நிலையான இயல்பான விநியோகத்தின் முக்கியமான மதிப்பு எங்கே α = 0,01 .

நாங்கள் பெறுகிறோம்:

.

எனவே, இந்த மாதிரியின் சராசரிக்கான 99% நம்பிக்கை இடைவெளி 14.37 முதல் 16.02 வரை இருந்தது.

நாம் பார்க்கிறபடி, நம்பிக்கைக் குணகம் அதிகரிக்கும்போது, ​​நிலையான இயல்பான விநியோகத்தின் முக்கிய மதிப்பும் அதிகரிக்கிறது, இதன் விளைவாக, இடைவெளியின் தொடக்க மற்றும் முடிவு புள்ளிகள் சராசரியிலிருந்து மேலும் அமைந்துள்ளன, இதனால் கணித எதிர்பார்ப்புக்கான நம்பிக்கை இடைவெளி அதிகரிக்கிறது. .

குறிப்பிட்ட ஈர்ப்பு விசையின் புள்ளி மற்றும் இடைவெளி மதிப்பீடுகள்

சில மாதிரி பண்புக்கூறின் பங்கை ஒரு புள்ளி மதிப்பீடாக விளக்கலாம் குறிப்பிட்ட ஈர்ப்பு பபொது மக்களில் அதே பண்பு. இந்த மதிப்பை நிகழ்தகவுடன் தொடர்புபடுத்த வேண்டும் என்றால், குறிப்பிட்ட ஈர்ப்பு விசையின் நம்பக இடைவெளி கணக்கிடப்பட வேண்டும். பநிகழ்தகவு கொண்ட மக்கள்தொகையில் சிறப்பியல்பு பி = 1 - α :

.

எடுத்துக்காட்டு 4.சில நகரங்களில் இரண்டு வேட்பாளர்கள் உள்ளனர் ஏமற்றும் பிமேயர் பதவிக்கு போட்டியிடுகின்றனர். 200 நகரவாசிகள் தோராயமாக கணக்கெடுக்கப்பட்டனர், அதில் 46% பேர் வேட்பாளருக்கு வாக்களிப்பதாக பதிலளித்தனர். ஏ, 26% - வேட்பாளருக்கு பிமேலும் 28% பேர் யாருக்கு வாக்களிப்போம் என்று தெரியவில்லை. வேட்பாளரை ஆதரிக்கும் நகரவாசிகளின் விகிதத்திற்கு 95% நம்பிக்கை இடைவெளியைத் தீர்மானிக்கவும் ஏ.