நம்பிக்கை இடைவெளி உதாரணத்தை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது. நம்பக இடைவெளியை

நம்பக இடைவெளியை- வரம்பு மதிப்புகள் புள்ளியியல் மதிப்பு, கொடுக்கப்பட்ட நம்பிக்கை நிகழ்தகவுடன் γ இந்த இடைவெளியில் ஒரு பெரிய தொகுதியை மாதிரி எடுக்கும்போது இருக்கும். P(θ - ε. நடைமுறையில், நம்பிக்கை நிகழ்தகவு γ ஆனது ஒற்றுமைக்கு மிகவும் நெருக்கமான மதிப்புகளிலிருந்து தேர்ந்தெடுக்கப்படுகிறது: γ = 0.9, γ = 0.95, γ = 0.99.

சேவையின் நோக்கம். இந்த சேவையைப் பயன்படுத்தி, நீங்கள் தீர்மானிக்க முடியும்:

• பொது சராசரிக்கான நம்பிக்கை இடைவெளி, மாறுபாட்டிற்கான நம்பிக்கை இடைவெளி;
• நிலையான விலகலுக்கான நம்பிக்கை இடைவெளி, பொதுப் பங்கிற்கான நம்பிக்கை இடைவெளி;

இதன் விளைவாக தீர்வு வேர்ட் கோப்பில் சேமிக்கப்படுகிறது (உதாரணத்தைப் பார்க்கவும்). ஆரம்ப தரவை எவ்வாறு நிரப்புவது என்பது குறித்த வீடியோ வழிமுறை கீழே உள்ளது.

எடுத்துக்காட்டு எண். 1. ஒரு கூட்டுப் பண்ணையில், மொத்தம் உள்ள 1000 ஆடுகளில், 100 செம்மறி ஆடுகள் தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட கட்டுப்பாட்டு வெட்டுக்கு உட்பட்டன. இதன் விளைவாக, ஒரு ஆடுக்கு சராசரியாக 4.2 கிலோ கம்பளி வெட்டப்பட்டது. ஒரு ஆடுக்கு சராசரியான கம்பளி வெட்டுதலை நிர்ணயிக்கும் போது மாதிரியின் சராசரி சதுரப் பிழையை 0.99 நிகழ்தகவுடன் தீர்மானிக்கவும் மற்றும் மாறுபாடு 2.5 ஆக இருந்தால், வெட்டு மதிப்பு இருக்கும் வரம்புகளை தீர்மானிக்கவும். மாதிரி மீண்டும் மீண்டும் இல்லை.
எடுத்துக்காட்டு எண். 2. மாஸ்கோ வடக்கு சுங்கத்தின் பதவியில் இறக்குமதி செய்யப்பட்ட தயாரிப்புகளின் தொகுப்பிலிருந்து, "A" தயாரிப்பின் 20 மாதிரிகள் சீரற்ற மீண்டும் மீண்டும் மாதிரிகள் மூலம் எடுக்கப்பட்டன. சோதனையின் விளைவாக, மாதிரியில் தயாரிப்பு "A" இன் சராசரி ஈரப்பதம் நிறுவப்பட்டது, இது 1% நிலையான விலகலுடன் 6% க்கு சமமாக மாறியது.
நிகழ்தகவு 0.683 உடன் இறக்குமதி செய்யப்பட்ட தயாரிப்புகளின் முழு தொகுப்பிலும் உற்பத்தியின் சராசரி ஈரப்பதத்தின் வரம்புகளை தீர்மானிக்கவும்.
எடுத்துக்காட்டு எண். 3. 36 மாணவர்களிடம் நடத்திய ஆய்வில், அவர்கள் ஆண்டுக்கு சராசரியாகப் படிக்கும் பாடப்புத்தகங்களின் எண்ணிக்கையைக் காட்டுகிறது கல்வி ஆண்டில், 6 க்கு சமமாக மாறியது. ஒரு செமஸ்டருக்கு ஒரு மாணவர் படிக்கும் பாடப்புத்தகங்களின் எண்ணிக்கையானது 6 க்கு சமமான நிலையான விலகலுடன் ஒரு சாதாரண விநியோகச் சட்டத்தைக் கொண்டிருப்பதாகக் கருதினால், கண்டுபிடிக்கவும்: A) 0.99 நம்பகத்தன்மையுடன், கணிதத்திற்கான இடைவெளி மதிப்பீடு இதற்கான எதிர்பார்ப்பு சீரற்ற மாறி; B) இந்த மாதிரியிலிருந்து கணக்கிடப்பட்ட ஒரு செமஸ்டருக்கு ஒரு மாணவர் படிக்கும் பாடப்புத்தகங்களின் சராசரி எண்ணிக்கை, கணித எதிர்பார்ப்பில் இருந்து விலகும் என்று எந்த நிகழ்தகவுடன் கூறலாம் துல்லியமான மதிப்பு 2 க்கு மேல் இல்லை.

நம்பிக்கை இடைவெளிகளின் வகைப்பாடு

மதிப்பிடப்படும் அளவுரு வகை மூலம்:

மாதிரி வகை மூலம்:

1. எல்லையற்ற மாதிரிக்கான நம்பிக்கை இடைவெளி;
2. இறுதி மாதிரிக்கான நம்பிக்கை இடைவெளி;

மாதிரி மறு மாதிரி என்று அழைக்கப்படுகிறது, தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட பொருள் அடுத்ததைத் தேர்ந்தெடுப்பதற்கு முன் மக்கள்தொகைக்குத் திரும்பினால். மாதிரி மீண்டும் மீண்டும் செய்யப்படாதது என்று அழைக்கப்படுகிறது, தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட பொருள் மக்கள்தொகைக்குத் திரும்பவில்லை என்றால். நடைமுறையில், நாங்கள் வழக்கமாக மீண்டும் மீண்டும் வராத மாதிரிகளைக் கையாளுகிறோம்.

சீரற்ற மாதிரிக்கான சராசரி மாதிரி பிழையின் கணக்கீடு

மாதிரியிலிருந்து பெறப்பட்ட குறிகாட்டிகளின் மதிப்புகள் மற்றும் பொது மக்கள்தொகையின் தொடர்புடைய அளவுருக்களுக்கு இடையிலான வேறுபாடு அழைக்கப்படுகிறது பிரதிநிதித்துவ பிழை.
பொது மற்றும் மாதிரி மக்கள்தொகையின் முக்கிய அளவுருக்களின் பெயர்கள்.

சராசரி மாதிரி பிழை சூத்திரங்கள்
மறு தேர்வு		திரும்பத் திரும்ப வராத தேர்வு
சராசரிக்கு	பங்குக்கு	சராசரிக்கு	பங்குக்கு

மாதிரி பிழை வரம்பு (Δ) க்கு இடையிலான உறவு சில நிகழ்தகவுடன் உத்தரவாதம் அளிக்கப்படுகிறது Р(t),மற்றும் சராசரி பிழைமாதிரி வடிவம் உள்ளது: அல்லது Δ = t·μ, எங்கே டி- நம்பிக்கைக் குணகம், லாப்லேஸ் ஒருங்கிணைந்த செயல்பாட்டின் அட்டவணையின்படி நிகழ்தகவு நிலை P(t) ஐப் பொறுத்து தீர்மானிக்கப்படுகிறது.

முற்றிலும் சீரற்ற மாதிரி முறையைப் பயன்படுத்தி மாதிரி அளவைக் கணக்கிடுவதற்கான சூத்திரங்கள்

முந்தைய துணைப்பிரிவுகளில் அறியப்படாத அளவுருவை மதிப்பிடும் சிக்கலைக் கருத்தில் கொண்டோம் ஏஒரு எண். இது "புள்ளி" மதிப்பீடு என்று அழைக்கப்படுகிறது. பல பணிகளில், நீங்கள் அளவுருவை மட்டும் கண்டுபிடிக்க வேண்டும் ஏபொருத்தமான எண் மதிப்பு, ஆனால் அதன் துல்லியம் மற்றும் நம்பகத்தன்மையை மதிப்பிடுவதற்கும். ஒரு அளவுருவை மாற்றுவது என்ன பிழைகளுக்கு வழிவகுக்கும் என்பதை நீங்கள் அறிந்து கொள்ள வேண்டும் ஏஅதன் புள்ளி மதிப்பீடு ஏஎந்த அளவு நம்பிக்கையுடன் இந்தப் பிழைகள் அறியப்பட்ட வரம்புகளை மீறாது என்று எதிர்பார்க்கலாம்?

புள்ளி மதிப்பீட்டின் போது இந்த வகையான சிக்கல்கள் ஒரு சிறிய எண்ணிக்கையிலான அவதானிப்புகளுடன் குறிப்பாக பொருத்தமானவை மற்றும் உள்ளேபெரும்பாலும் சீரற்ற மற்றும் a ஐ தோராயமாக மாற்றுவது கடுமையான பிழைகளுக்கு வழிவகுக்கும்.

மதிப்பீட்டின் துல்லியம் மற்றும் நம்பகத்தன்மை பற்றி ஒரு யோசனை கொடுக்க ஏ,

வி கணித புள்ளிவிவரங்கள்அவர்கள் நம்பக இடைவெளிகள் மற்றும் நம்பிக்கை நிகழ்தகவுகள் என்று அழைக்கப்படுவதைப் பயன்படுத்துகின்றனர்.

அளவுருவிற்கு விடுங்கள் ஏஅனுபவத்திலிருந்து பெறப்பட்ட பாரபட்சமற்ற மதிப்பீடு ஏ.இந்த வழக்கில் சாத்தியமான பிழையை மதிப்பிட விரும்புகிறோம். போதுமான அளவு பெரிய நிகழ்தகவு p (உதாரணமாக, p = 0.9, 0.95 அல்லது 0.99) ஒதுக்குவோம், அதாவது p நிகழ்தகவு கொண்ட ஒரு நிகழ்வை நடைமுறையில் நம்பகமானதாகக் கருதலாம், மேலும் அதற்கான மதிப்பைக் கண்டறியலாம் s

பின்னர் வரம்பு நடைமுறையில் உள்ளது சாத்தியமான மதிப்புகள்மாற்றும் போது ஏற்படும் பிழை ஏஅன்று ஏ, ± s ஆக இருக்கும்; முழுமையான மதிப்பில் பெரிய பிழைகள் குறைந்த நிகழ்தகவுடன் மட்டுமே தோன்றும் a = 1 - p. (14.3.1) இவ்வாறு மீண்டும் எழுதுவோம்:

சமத்துவம் (14.3.2) என்பது நிகழ்தகவு p உடன் அளவுருவின் அறியப்படாத மதிப்பு ஏஇடைவெளிக்குள் விழுகிறது

ஒரு சூழ்நிலையை கவனிக்க வேண்டியது அவசியம். முன்னதாக, ஒரு சீரற்ற மாறியின் நிகழ்தகவு கொடுக்கப்பட்ட சீரற்ற இடைவெளியில் விழுவதை நாங்கள் மீண்டும் மீண்டும் கருதினோம். இங்கே நிலைமை வேறுபட்டது: அளவு ஏசீரற்றது அல்ல, ஆனால் இடைவெளி / p சீரற்றது. x அச்சில் அதன் நிலை சீரற்றது, அதன் மையத்தால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது ஏ; பொதுவாக, இடைவெளி 2s இன் நீளமும் சீரற்றதாக இருக்கும், ஏனெனில் s இன் மதிப்பு ஒரு விதியாக, சோதனைத் தரவுகளிலிருந்து கணக்கிடப்படுகிறது. எனவே உள்ளே இந்த வழக்கில்ஒரு புள்ளியை "அடிக்கும்" நிகழ்தகவு அல்ல, p மதிப்பை விளக்குவது நல்லது ஏஇடைவெளியில் / p, மற்றும் ஒரு சீரற்ற இடைவெளி / p புள்ளியை உள்ளடக்கும் நிகழ்தகவு ஏ(படம் 14.3.1).

அரிசி. 14.3.1

நிகழ்தகவு p பொதுவாக அழைக்கப்படுகிறது நம்பிக்கை நிகழ்தகவு, மற்றும் இடைவெளி / ப - நம்பக இடைவெளியை.இடைவெளி எல்லைகள் என்றால். a x =a-கள் மற்றும் a 2 = a +மற்றும் அழைக்கப்படுகின்றன நம்பிக்கை எல்லைகள்.

நம்பிக்கை இடைவெளியின் கருத்துக்கு மற்றொரு விளக்கத்தை வழங்குவோம்: இது அளவுரு மதிப்புகளின் இடைவெளியாக கருதப்படலாம். ஏ,சோதனை தரவுகளுடன் இணக்கமானது மற்றும் அவற்றுடன் முரண்படாது. உண்மையில், நிகழ்தகவு a = 1-p நடைமுறையில் சாத்தியமற்ற ஒரு நிகழ்வைக் கருத்தில் கொள்ள ஒப்புக்கொண்டால், அளவுருவின் மதிப்புகள் a அதற்கான மதிப்புகள் a - a> கள் முரண்பட்ட சோதனைத் தரவுகளாக அங்கீகரிக்கப்பட வேண்டும், மேலும் அவை |அ - ஏஒரு டி நா 2 .

அளவுருவிற்கு விடுங்கள் ஏஒரு பாரபட்சமற்ற மதிப்பீடு உள்ளது ஏ.அளவு விநியோக விதியை நாம் அறிந்திருந்தால் ஏ, நம்பக இடைவெளியைக் கண்டறியும் பணி மிகவும் எளிமையானதாக இருக்கும்: அதற்கான மதிப்பைக் கண்டறிவது போதுமானது.

சிரமம் என்னவென்றால், மதிப்பீடுகளின் விநியோக சட்டம் ஏஅளவின் விநியோகச் சட்டத்தைப் பொறுத்தது எக்ஸ்எனவே, அதன் அறியப்படாத அளவுருக்கள் மீது (குறிப்பாக, அளவுருவில் A).

இந்தச் சிக்கலைச் சமாளிக்க, நீங்கள் பின்வரும் தோராயமான தோராயமான நுட்பத்தைப் பயன்படுத்தலாம்: s க்கான வெளிப்பாட்டில் தெரியாத அளவுருக்களை அவற்றின் புள்ளி மதிப்பீடுகளுடன் மாற்றவும். ஒப்பீட்டளவில் அதிக எண்ணிக்கையிலான சோதனைகளுடன் பி(சுமார் 20...30) இந்த நுட்பம் பொதுவாக துல்லியத்தின் அடிப்படையில் திருப்திகரமான முடிவுகளை அளிக்கிறது.

உதாரணமாக, கணித எதிர்பார்ப்புக்கான நம்பிக்கை இடைவெளியின் சிக்கலைக் கவனியுங்கள்.

அதை உற்பத்தி செய்யட்டும் பி எக்ஸ்,அதன் பண்புகள் எதிர்பார்க்கப்படும் மதிப்பு டிமற்றும் மாறுபாடு டி- தெரியவில்லை. இந்த அளவுருக்களுக்கு பின்வரும் மதிப்பீடுகள் பெறப்பட்டன:

கணித எதிர்பார்ப்புக்கு நம்பக நிகழ்தகவு p க்கு இணையான நம்பிக்கை இடைவெளி / p ஐ உருவாக்குவது அவசியம் டிஅளவுகள் எக்ஸ்.

இந்த சிக்கலை தீர்க்கும் போது, ​​அளவு என்ற உண்மையைப் பயன்படுத்துவோம் டிதொகையைக் குறிக்கிறது பிசுயாதீன ஒரே மாதிரியாக விநியோகிக்கப்படும் சீரற்ற மாறிகள் Xhமற்றும் மைய வரம்பு தேற்றத்தின் படி, போதுமான அளவு பெரியது பிஅதன் விநியோகச் சட்டம் இயல்பான நிலைக்கு அருகில் உள்ளது. நடைமுறையில், ஒப்பீட்டளவில் சிறிய எண்ணிக்கையிலான சொற்கள் (சுமார் 10...20) இருந்தாலும், தொகையின் விநியோகச் சட்டம் தோராயமாக சாதாரணமாகக் கருதப்படலாம். மதிப்பு என்று வைத்துக்கொள்வோம் டிசாதாரண சட்டத்தின் படி விநியோகிக்கப்படுகிறது. இந்த சட்டத்தின் பண்புகள் - கணித எதிர்பார்ப்பு மற்றும் மாறுபாடு - முறையே சமம் டிமற்றும்

(அத்தியாயம் 13 துணைப்பிரிவு 13.3 ஐப் பார்க்கவும்). மதிப்பு என்று வைத்துக் கொள்வோம் டிஎப் என்ற மதிப்பை நாங்கள் அறிவோம் மற்றும் கண்டுபிடிப்போம்

அத்தியாயம் 6 இன் சூத்திரத்தைப் (6.3.5) பயன்படுத்தி, சாதாரண விநியோகச் செயல்பாட்டின் மூலம் (14.3.5) இடது பக்கத்தில் உள்ள நிகழ்தகவை வெளிப்படுத்துகிறோம்.

மதிப்பீட்டின் நிலையான விலகல் எங்கே டி.

Eq இலிருந்து

Sp இன் மதிப்பைக் கண்டறியவும்:

இதில் arg Ф* (х) என்பது Ф* இன் தலைகீழ் செயல்பாடாகும். (எக்ஸ்),அந்த. வாதத்தின் மதிப்பு இயல்பான செயல்பாடுவிநியோகம் சமமாக உள்ளது எக்ஸ்.

சிதறல் டி,இதன் மூலம் அளவு வெளிப்படுத்தப்படுகிறது ஏ 1P, எங்களுக்கு சரியாகத் தெரியாது; அதன் தோராயமான மதிப்பாக, நீங்கள் மதிப்பீட்டைப் பயன்படுத்தலாம் டி(14.3.4) மற்றும் தோராயமாக:

எனவே, நம்பிக்கை இடைவெளியை உருவாக்குவதில் உள்ள சிக்கல் தோராயமாக தீர்க்கப்பட்டது, இது சமம்:

அங்கு gp சூத்திரத்தால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது (14.3.7).

s p ஐக் கணக்கிடும்போது Ф* (l) செயல்பாட்டின் அட்டவணையில் தலைகீழ் இடைக்கணிப்பைத் தவிர்க்க, ஒரு சிறப்பு அட்டவணையை (அட்டவணை 14.3.1) தொகுக்க வசதியாக இருக்கும், இது அளவின் மதிப்புகளை வழங்குகிறது.

ஆர் பொறுத்து. மதிப்பு (p என்பது சாதாரண சட்டத்திற்கு நிலையான விலகல்களின் எண்ணிக்கையை தீர்மானிக்கிறது, அவை சிதறலின் மையத்திலிருந்து வலது மற்றும் இடதுபுறமாக திட்டமிடப்பட வேண்டும், இதன் விளைவாக வரும் பகுதிக்குள் நுழைவதற்கான நிகழ்தகவு p க்கு சமமாக இருக்கும்.

மதிப்பு 7 p ஐப் பயன்படுத்தி, நம்பிக்கை இடைவெளி பின்வருமாறு வெளிப்படுத்தப்படுகிறது:

அட்டவணை 14.3.1

எடுத்துக்காட்டு 1. அளவு மீது 20 சோதனைகள் மேற்கொள்ளப்பட்டன எக்ஸ்;முடிவுகள் அட்டவணையில் காட்டப்பட்டுள்ளன. 14.3.2.

அட்டவணை 14.3.2

அளவின் கணித எதிர்பார்ப்புக்கான மதிப்பீட்டைக் கண்டறிய வேண்டும் எக்ஸ்மற்றும் நம்பக நிகழ்தகவு p = 0.8 உடன் தொடர்புடைய நம்பிக்கை இடைவெளியை உருவாக்கவும்.

தீர்வு.எங்களிடம் உள்ளது:

l: = 10 ஐ குறிப்புப் புள்ளியாகத் தேர்ந்தெடுப்பது, மூன்றாவது சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி (14.2.14) பாரபட்சமற்ற மதிப்பீட்டைக் காண்கிறோம். டி :

அட்டவணையின்படி 14.3.1 நாம் கண்டுபிடிக்கிறோம்

நம்பிக்கை வரம்புகள்:

நம்பக இடைவெளியை:

அளவுரு மதிப்புகள் டி,இந்த இடைவெளியில் உள்ளவை அட்டவணையில் கொடுக்கப்பட்டுள்ள சோதனை தரவுகளுடன் இணக்கமாக இருக்கும். 14.3.2.

மாறுபாட்டிற்கான நம்பிக்கை இடைவெளியை இதே வழியில் கட்டமைக்க முடியும்.

அதை உற்பத்தி செய்யட்டும் பிஒரு சீரற்ற மாறி மீது சுயாதீன சோதனைகள் எக்ஸ் A மற்றும் சிதறல் இரண்டிற்கும் தெரியாத அளவுருக்கள் டிஒரு பாரபட்சமற்ற மதிப்பீடு பெறப்பட்டது:

மாறுபாட்டிற்கான நம்பிக்கை இடைவெளியை தோராயமாக உருவாக்குவது அவசியம்.

சூத்திரத்திலிருந்து (14.3.11) அளவு என்பது தெளிவாகிறது டிபிரதிபலிக்கிறது

தொகை பிபடிவத்தின் சீரற்ற மாறிகள். இந்த மதிப்புகள் இல்லை

சுயாதீனமானது, ஏனெனில் அவற்றில் ஏதேனும் அளவு அடங்கும் டி,எல்லோரையும் சார்ந்து. இருப்பினும், அதிகரிப்பதன் மூலம் அதைக் காட்டலாம் பிஅவற்றின் தொகையின் விநியோகச் சட்டமும் இயல்பானதை நெருங்குகிறது. கிட்டத்தட்ட மணிக்கு பி= 20...30 இது ஏற்கனவே சாதாரணமாக கருதப்படலாம்.

இது அவ்வாறு இருப்பதாகக் கருதி, இந்தச் சட்டத்தின் பண்புகளைக் கண்டறியலாம்: கணித எதிர்பார்ப்பு மற்றும் சிதறல். மதிப்பீடு முதல் டி- பக்கச்சார்பற்ற, பின்னர் எம்[டி] = டி.

மாறுபாடு கணக்கீடு DDஒப்பீட்டளவில் சிக்கலான கணக்கீடுகளுடன் தொடர்புடையது, எனவே அதன் வெளிப்பாட்டை வழித்தோன்றல் இல்லாமல் வழங்குகிறோம்:

இதில் q 4 நான்காவது மைய புள்ளிஅளவுகள் எக்ஸ்.

இந்த வெளிப்பாட்டைப் பயன்படுத்த, நீங்கள் \u003d 4 மற்றும் மதிப்புகளை மாற்ற வேண்டும் டி(குறைந்தது நெருக்கமானவை). அதற்கு பதிலாக டிநீங்கள் அவரது மதிப்பீட்டைப் பயன்படுத்தலாம் டி.கொள்கையளவில், நான்காவது மைய தருணத்தை மதிப்பீட்டால் மாற்றலாம், எடுத்துக்காட்டாக, படிவத்தின் மதிப்பு:

ஆனால் அத்தகைய மாற்றீடு மிகவும் குறைந்த துல்லியத்தை கொடுக்கும், ஏனெனில் பொதுவாக, குறைந்த எண்ணிக்கையிலான சோதனைகள், தருணங்கள் உயர் ஒழுங்குஇருந்து தீர்மானிக்கப்படுகிறது பெரிய தவறுகள். இருப்பினும், நடைமுறையில் அது அடிக்கடி நிகழும் அளவு விநியோகச் சட்டத்தின் வகை எக்ஸ்முன்கூட்டியே அறியப்படுகிறது: அதன் அளவுருக்கள் மட்டுமே தெரியவில்லை. பின்னர் நீங்கள் μ4 ஐ வெளிப்படுத்த முயற்சி செய்யலாம் டி.

மிகவும் பொதுவான வழக்கை எடுத்துக்கொள்வோம், எப்போது மதிப்பு எக்ஸ்சாதாரண சட்டத்தின் படி விநியோகிக்கப்படுகிறது. அதன் நான்காவது மையத் தருணம் சிதறலின் அடிப்படையில் வெளிப்படுத்தப்படுகிறது (அத்தியாயம் 6, துணைப்பிரிவு 6.2 ஐப் பார்க்கவும்);

மற்றும் சூத்திரம் (14.3.12) கொடுக்கிறது அல்லது

(14.3.14) இல் தெரியாததை மாற்றுகிறது டிஅவரது மதிப்பீடு டி, நாம் பெறுகிறோம்: எங்கிருந்து

கணம் μ4 மூலம் வெளிப்படுத்தலாம் டிவேறு சில சந்தர்ப்பங்களில், மதிப்பின் விநியோகம் போது எக்ஸ்சாதாரணமானது அல்ல, ஆனால் அதன் தோற்றம் அறியப்படுகிறது. உதாரணமாக, சட்டத்திற்கு சீரான அடர்த்தி(அத்தியாயம் 5 ஐப் பார்க்கவும்) எங்களிடம் உள்ளது:

இதில் (a, P) என்பது சட்டம் குறிப்பிடப்பட்ட இடைவெளியாகும்.

எனவே,

சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி (14.3.12) நாம் பெறுகிறோம்: தோராயமாக எங்கே காணலாம்

அளவு 26 க்கான விநியோகச் சட்டத்தின் வகை தெரியாத சந்தர்ப்பங்களில், மதிப்பின் தோராயமான மதிப்பீட்டைச் செய்யும்போது, ​​இந்தச் சட்டத்தை நம்புவதற்கு சிறப்புக் காரணங்கள் இல்லாவிட்டால் (14.3.16) சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்த பரிந்துரைக்கப்படுகிறது. இயல்பிலிருந்து மிகவும் வேறுபட்டது (குறிப்பிடத்தக்க நேர்மறை அல்லது எதிர்மறை குர்டோசிஸ் உள்ளது) .

தோராயமான மதிப்பு a/) ஒரு வழியில் அல்லது வேறு வழியில் பெறப்பட்டால், கணித எதிர்பார்ப்புக்கு நாம் உருவாக்கிய அதே வழியில் மாறுபாட்டிற்கான நம்பிக்கை இடைவெளியை உருவாக்கலாம்:

கொடுக்கப்பட்ட நிகழ்தகவு p ஐப் பொறுத்து மதிப்பு அட்டவணையின்படி காணப்படும். 14.3.1.

எடுத்துக்காட்டு 2. ஒரு சீரற்ற மாறியின் மாறுபாட்டிற்கு தோராயமாக 80% நம்பிக்கை இடைவெளியைக் கண்டறியவும் எக்ஸ்எடுத்துக்காட்டு 1 இன் நிபந்தனைகளின் கீழ், மதிப்பு என்று தெரிந்தால் எக்ஸ்வழக்கமான சட்டத்தின்படி விநியோகிக்கப்படுகிறது.

தீர்வு.மதிப்பு அட்டவணையில் உள்ளதைப் போலவே இருக்கும். 14.3.1:

சூத்திரத்தின்படி (14.3.16)

சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி (14.3.18) நம்பிக்கை இடைவெளியைக் காண்கிறோம்:

சராசரி மதிப்புகளின் தொடர்புடைய இடைவெளி சதுர விலகல்: (0,21; 0,29).

14.4. துல்லியமான கட்டுமான முறைகள் நம்பக இடைவெளிகள்சாதாரண சட்டத்தின்படி விநியோகிக்கப்படும் சீரற்ற மாறியின் அளவுருக்களுக்கு

முந்தைய துணைப்பிரிவில், கணித எதிர்பார்ப்பு மற்றும் மாறுபாட்டிற்கான நம்பிக்கை இடைவெளிகளை உருவாக்குவதற்கான தோராயமான தோராயமான முறைகளை ஆய்வு செய்தோம். அதே சிக்கலைத் தீர்ப்பதற்கான சரியான முறைகள் பற்றிய யோசனையை இங்கே தருவோம். நம்பிக்கை இடைவெளிகளைத் துல்லியமாகக் கண்டறிவதற்கு, அளவின் விநியோகச் சட்டத்தின் வடிவத்தை முன்கூட்டியே அறிந்து கொள்வது அவசியம் என்பதை நாங்கள் வலியுறுத்துகிறோம். எக்ஸ்,அதேசமயம் தோராயமான முறைகளைப் பயன்படுத்துவதற்கு இது அவசியமில்லை.

யோசனை துல்லியமான முறைகள்நம்பிக்கை இடைவெளிகளை உருவாக்குவது பின்வருவனவற்றிற்கு வரும். எந்தவொரு நம்பிக்கை இடைவெளியும் நாம் ஆர்வமாக உள்ள மதிப்பீட்டை உள்ளடக்கிய சில ஏற்றத்தாழ்வுகளை நிறைவேற்றுவதற்கான நிகழ்தகவை வெளிப்படுத்தும் நிபந்தனையிலிருந்து கண்டறியப்படுகிறது. ஏ.மதிப்பீட்டு விநியோக சட்டம் ஏவி பொது வழக்குஅறியப்படாத அளவு அளவுருக்கள் சார்ந்தது எக்ஸ்.இருப்பினும், சில சமயங்களில் ஒரு சீரற்ற மாறியிலிருந்து ஏற்றத்தாழ்வுகளில் கடக்க முடியும் ஏகவனிக்கப்பட்ட மதிப்புகளின் வேறு சில செயல்பாடுகளுக்கு X p X 2, ..., எக்ஸ் பக்.விநியோகச் சட்டம் அறியப்படாத அளவுருக்களைச் சார்ந்தது அல்ல, ஆனால் சோதனைகளின் எண்ணிக்கை மற்றும் அளவின் விநியோகச் சட்டத்தின் வகையைப் பொறுத்தது எக்ஸ்.இந்த வகையான சீரற்ற மாறிகள் கணித புள்ளிவிவரங்களில் முக்கிய பங்கு வகிக்கின்றன; அளவின் இயல்பான விநியோகத்திற்காக அவை மிக விரிவாக ஆய்வு செய்யப்பட்டுள்ளன எக்ஸ்.

எடுத்துக்காட்டாக, மதிப்பின் சாதாரண விநியோகத்துடன் அது நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது எக்ஸ்சீரற்ற மதிப்பு

என்று அழைக்கப்படுவதற்கு கீழ்ப்படிகிறது மாணவர் விநியோக சட்டம்உடன் பி- 1 டிகிரி சுதந்திரம்; இந்த சட்டத்தின் அடர்த்தி வடிவம் கொண்டது

G(x) என்பது அறியப்பட்ட காமா செயல்பாடு:

சீரற்ற மாறி என்பதும் நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது

உடன் "%2 விநியோகம்" உள்ளது பி- 1 டிகிரி சுதந்திரம் (அத்தியாயம் 7 ஐப் பார்க்கவும்), இதன் அடர்த்தி சூத்திரத்தால் வெளிப்படுத்தப்படுகிறது

விநியோகங்களின் வழித்தோன்றல்கள் (14.4.2) மற்றும் (14.4.4) இல் கவனம் செலுத்தாமல், அளவுருக்களுக்கான நம்பிக்கை இடைவெளிகளை உருவாக்கும்போது அவை எவ்வாறு பயன்படுத்தப்படலாம் என்பதைக் காண்பிப்போம். டி டி.

அதை உற்பத்தி செய்யட்டும் பிஒரு சீரற்ற மாறி மீது சுயாதீன சோதனைகள் எக்ஸ்,பொதுவாக அறியப்படாத அளவுருக்களுடன் விநியோகிக்கப்படுகிறது T&O.இந்த அளவுருக்களுக்கு, மதிப்பீடுகள் பெறப்பட்டன

நம்பக நிகழ்தகவு p உடன் தொடர்புடைய இரண்டு அளவுருக்களுக்கும் நம்பிக்கை இடைவெளிகளை உருவாக்குவது அவசியம்.

முதலில் கணித எதிர்பார்ப்புக்கான நம்பிக்கை இடைவெளியை உருவாக்குவோம். இந்த இடைவெளியை சமச்சீராக எடுத்துக்கொள்வது இயற்கையானது டி; s p என்பது இடைவெளியின் பாதி நீளத்தைக் குறிக்கலாம். நிபந்தனையை பூர்த்தி செய்ய, மதிப்பு s p தேர்ந்தெடுக்கப்பட வேண்டும்

சீரற்ற மாறியில் இருந்து சமத்துவத்தின் (14.4.5) இடது பக்கம் செல்ல முயற்சிப்போம் டிஒரு சீரற்ற மாறிக்கு டி,மாணவர் சட்டத்தின்படி விநியோகிக்கப்படுகிறது. இதைச் செய்ய, சமத்துவமின்மையின் இரு பக்கங்களையும் பெருக்கவும் |m-w?|

நேர்மறை மதிப்பு மூலம்: அல்லது, குறியீட்டைப் பயன்படுத்தி (14.4.1),

நிபந்தனையிலிருந்து மதிப்பு / p ஐக் கண்டறியக்கூடிய ஒரு எண்ணை / p ஐக் கண்டுபிடிப்போம்

சூத்திரத்திலிருந்து (14.4.2) தெளிவாகிறது (1) - கூட செயல்பாடு, எனவே (14.4.8) கொடுக்கிறது

சமத்துவம் (14.4.9) p ஐப் பொறுத்து மதிப்பு / p ஐ தீர்மானிக்கிறது. உங்கள் வசம் ஒருங்கிணைந்த மதிப்புகளின் அட்டவணை இருந்தால்

பின்னர் /p இன் மதிப்பை அட்டவணையில் தலைகீழ் இடைக்கணிப்பு மூலம் காணலாம். இருப்பினும், /p மதிப்புகளின் அட்டவணையை முன்கூட்டியே வரைவது மிகவும் வசதியானது. அத்தகைய அட்டவணை பின் இணைப்பு (அட்டவணை 5) இல் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. இந்த அட்டவணை நம்பிக்கை நிலை p மற்றும் சுதந்திரத்தின் அளவுகளின் எண்ணிக்கையைப் பொறுத்து மதிப்புகளைக் காட்டுகிறது பி- 1. அட்டவணையில் இருந்து / p நிர்ணயித்தல். 5 மற்றும் அனுமானம்

நம்பிக்கை இடைவெளி / p மற்றும் இடைவெளியின் பாதி அகலத்தைக் காண்போம்

எடுத்துக்காட்டு 1. ஒரு சீரற்ற மாறியில் 5 சுயாதீன சோதனைகள் செய்யப்பட்டன எக்ஸ்,பொதுவாக அறியப்படாத அளவுருக்களுடன் விநியோகிக்கப்படுகிறது டிமற்றும் பற்றி. சோதனை முடிவுகள் அட்டவணையில் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன. 14.4.1.

அட்டவணை 14.4.1

மதிப்பீட்டைக் கண்டறியவும் டிகணித எதிர்பார்ப்புக்கு 90% நம்பிக்கை இடைவெளி / p ஐ உருவாக்கவும் (அதாவது, நம்பிக்கை நிகழ்தகவு p = 0.9 உடன் தொடர்புடைய இடைவெளி).

தீர்வு.எங்களிடம் உள்ளது:

விண்ணப்பத்தின் அட்டவணை 5 இன் படி பி - 1 = 4 மற்றும் p = 0.9 நாம் கண்டுபிடிக்கிறோம் எங்கே

நம்பிக்கை இடைவெளி இருக்கும்

எடுத்துக்காட்டு 2. துணைப்பிரிவு 14.3 இன் எடுத்துக்காட்டு 1 இன் நிபந்தனைகளுக்கு, மதிப்பைக் கருதி எக்ஸ்பொதுவாக விநியோகிக்கப்படுகிறது, சரியான நம்பிக்கை இடைவெளியைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு.பின் இணைப்பு அட்டவணை 5 இன் படி நாம் காணலாம் பி - 1 = 19ir =

0.8 / ப = 1.328; இங்கிருந்து

துணைப்பிரிவு 14.3 (e p = 0.072) உதாரணம் 1 இன் தீர்வுடன் ஒப்பிடுகையில், முரண்பாடு மிகவும் சிறியது என்று நாங்கள் நம்புகிறோம். நாம் இரண்டாவது தசம இடத்திற்குத் துல்லியத்தைப் பராமரித்தால், துல்லியமான மற்றும் தோராயமான முறைகளால் கண்டறியப்படும் நம்பிக்கை இடைவெளிகள் ஒத்துப்போகின்றன:

மாறுபாட்டிற்கான நம்பிக்கை இடைவெளியை உருவாக்குவதற்கு செல்லலாம். பாரபட்சமற்ற மாறுபாடு மதிப்பீட்டாளரைக் கவனியுங்கள்

மற்றும் சீரற்ற மாறியை வெளிப்படுத்தவும் டிஅளவு மூலம் வி(14.4.3), விநியோகம் x 2 (14.4.4):

அளவு விநியோக விதியை அறிந்து கொள்வது வி,கொடுக்கப்பட்ட நிகழ்தகவு p உடன் விழும் இடைவெளி /(1) ஐ நீங்கள் காணலாம்.

விநியோக சட்டம் kn_x(v)அளவு I 7 படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ள படிவத்தைக் கொண்டுள்ளது. 14.4.1.

அரிசி. 14.4.1

கேள்வி எழுகிறது: இடைவெளி / p ஐ எவ்வாறு தேர்வு செய்வது? அளவு விநியோக சட்டம் என்றால் விசமச்சீர் (சாதாரண சட்டம் அல்லது மாணவர் விநியோகம் போன்றவை), கணித எதிர்பார்ப்புகளைப் பொறுத்து இடைவெளி /p சமச்சீர்நிலையை எடுப்பது இயல்பானதாக இருக்கும். இந்த வழக்கில் சட்டம் k p_x (v)சமச்சீரற்ற. மதிப்பின் நிகழ்தகவு இடைவெளி /p ஐ தேர்வு செய்ய ஒப்புக்கொள்வோம் விஇடைவெளிக்கு அப்பால் வலது மற்றும் இடப்புறம் (படம் 14.4.1 இல் உள்ள நிழல் பகுதிகள்) ஒரே மாதிரியாகவும் சமமாகவும் இருந்தன

இந்த பண்புடன் ஒரு இடைவெளி /p ஐ உருவாக்க, நாங்கள் அட்டவணையைப் பயன்படுத்துகிறோம். 4 பயன்பாடுகள்: இதில் எண்கள் உள்ளன y)அதுபோல்

மதிப்புக்காக வி, x 2 -விநியோகம் r டிகிரி சுதந்திரத்துடன். எங்கள் விஷயத்தில் r = n- 1. சரிசெய்வோம் r = n- 1 மற்றும் அட்டவணையின் தொடர்புடைய வரிசையில் கண்டுபிடிக்கவும். 4 இரண்டு அர்த்தங்கள் x 2 -ஒன்று நிகழ்தகவுடன் தொடர்புடையது மற்றொன்று - நிகழ்தகவு இவற்றைக் குறிப்போம்

மதிப்புகள் 2 மணிக்குமற்றும் xl?இடைவெளி உள்ளது y 2,உங்கள் இடது, மற்றும் y~வலது முனை.

இப்போது நாம் இடைவெளி / p இல் இருந்து விரும்பிய நம்பக இடைவெளி /|, எல்லைகள் D உடன் சிதறலுக்கு, மற்றும் D2,இது புள்ளியை உள்ளடக்கியது டிநிகழ்தகவு p:

புள்ளியை உள்ளடக்கிய இடைவெளி / (, = (?> ь А) ஐ உருவாக்குவோம் டிமதிப்பு இருந்தால் மட்டுமே வி/r இடைவெளியில் விழுகிறது. இடைவெளி என்று காட்டுவோம்

இந்த நிபந்தனையை பூர்த்தி செய்கிறது. உண்மையில், ஏற்றத்தாழ்வுகள் சமத்துவமின்மைக்கு சமமானவை

மற்றும் இந்த ஏற்றத்தாழ்வுகள் நிகழ்தகவு p உடன் திருப்தி அடைகின்றன. இவ்வாறு, மாறுபாட்டிற்கான நம்பிக்கை இடைவெளி கண்டுபிடிக்கப்பட்டு, சூத்திரத்தால் வெளிப்படுத்தப்படுகிறது (14.4.13).

எடுத்துக்காட்டு 3. துணைப்பிரிவு 14.3 இன் எடுத்துக்காட்டு 2 இன் நிபந்தனைகளின் கீழ் மாறுபாட்டிற்கான நம்பிக்கை இடைவெளியைக் கண்டறியவும், அது மதிப்பு என்று தெரிந்தால் எக்ஸ்பொதுவாக விநியோகிக்கப்படுகிறது.

தீர்வு.எங்களிடம் உள்ளது . பின் இணைப்பு அட்டவணை 4 படி

நாம் கண்டுபிடிக்கிறோம் r = n - 1 = 19

சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி (14.4.13) மாறுபாட்டிற்கான நம்பிக்கை இடைவெளியைக் காண்கிறோம்

நிலையான விலகலுக்கான தொடர்புடைய இடைவெளி (0.21; 0.32). இந்த இடைவெளி தோராயமான முறையைப் பயன்படுத்தி துணைப்பிரிவு 14.3 இன் எடுத்துக்காட்டு 2 இல் பெறப்பட்ட இடைவெளியை (0.21; 0.29) சற்று மீறுகிறது.

• படம் 14.3.1 ஒரு நம்பக இடைவெளி சமச்சீர் பற்றி கருதுகிறது. பொதுவாக, நாம் பின்னர் பார்ப்போம், இது தேவையில்லை.

நம்பிக்கை இடைவெளிகளின் மதிப்பீடு

கற்றல் நோக்கங்கள்

புள்ளிவிவரங்கள் பின்வருவனவற்றைக் கருதுகின்றன இரண்டு முக்கிய பணிகள்:

மாதிரித் தரவின் அடிப்படையில் எங்களிடம் சில மதிப்பீடுகள் உள்ளன, மேலும் மதிப்பிடப்பட்ட அளவுருவின் உண்மையான மதிப்பு எங்குள்ளது என்பது பற்றி சில நிகழ்தகவு அறிக்கையை நாங்கள் செய்ய விரும்புகிறோம்.

மாதிரித் தரவைப் பயன்படுத்தி சோதிக்க வேண்டிய ஒரு குறிப்பிட்ட கருதுகோள் எங்களிடம் உள்ளது.

இந்த தலைப்பில் நாம் முதல் பணியை கருதுகிறோம். நம்பிக்கை இடைவெளியின் வரையறையையும் அறிமுகப்படுத்துவோம்.

நம்பக இடைவெளி என்பது ஒரு அளவுருவின் மதிப்பிடப்பட்ட மதிப்பைச் சுற்றி கட்டமைக்கப்படும் ஒரு இடைவெளியாகும், மேலும் மதிப்பிடப்பட்ட அளவுருவின் உண்மையான மதிப்பு எங்கே உள்ளது என்பதைக் காட்டுகிறது.

இந்த தலைப்பில் உள்ள பொருளைப் படித்த பிறகு, நீங்கள்:

நம்பிக்கை இடைவெளி என்றால் என்ன என்பதை அறிக;

புள்ளிவிவர சிக்கல்களை வகைப்படுத்த கற்றுக்கொள்ளுங்கள்;

புள்ளிவிவர சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்துதல் மற்றும் மென்பொருள் கருவிகளைப் பயன்படுத்துதல் ஆகிய இரண்டிலும் நம்பிக்கை இடைவெளிகளை உருவாக்கும் நுட்பத்தில் தேர்ச்சி பெறுதல்;

புள்ளிவிவர மதிப்பீடுகளின் துல்லியத்தின் சில அளவுருக்களை அடைய தேவையான மாதிரி அளவுகளை தீர்மானிக்க கற்றுக்கொள்ளுங்கள்.

மாதிரி பண்புகளின் விநியோகம்

டி-விநியோகம்

மேலே விவாதிக்கப்பட்டபடி, சீரற்ற மாறியின் விநியோகம் தரநிலைக்கு அருகில் உள்ளது சாதாரண விநியோகம்அளவுருக்கள் 0 மற்றும் 1. σ இன் மதிப்பு நமக்குத் தெரியாததால், அதை s இன் சில மதிப்பீட்டில் மாற்றுவோம். அளவு ஏற்கனவே வேறுபட்ட விநியோகத்தைக் கொண்டுள்ளது, அதாவது அல்லது மாணவர் விநியோகம், இது அளவுரு n -1 (சுதந்திரத்தின் டிகிரி எண்ணிக்கை) மூலம் தீர்மானிக்கப்படுகிறது. இந்த விநியோகம் சாதாரண விநியோகத்திற்கு அருகில் உள்ளது (பெரிய n, விநியோகங்கள் நெருக்கமாக இருக்கும்).

படத்தில். 95
30 டிகிரி சுதந்திரத்துடன் மாணவர் விநியோகம் வழங்கப்படுகிறது. நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, இது சாதாரண விநியோகத்திற்கு மிக அருகில் உள்ளது.

சாதாரண விநியோகமான NORMIDIST மற்றும் NORMINV உடன் பணிபுரியும் செயல்பாடுகளைப் போலவே, t-பகிர்மானத்துடன் பணிபுரியும் செயல்பாடுகள் உள்ளன - STUDIST (TDIST) மற்றும் ஸ்டுட்ராசோபர் (TINV). இந்தச் செயல்பாடுகளைப் பயன்படுத்துவதற்கான உதாரணம் STUDRASP.XLS (வார்ப்புரு மற்றும் தீர்வு) கோப்பில் மற்றும் படம். 96
.

பிற பண்புகளின் விநியோகம்

நாம் ஏற்கனவே அறிந்தபடி, கணித எதிர்பார்ப்புகளை மதிப்பிடுவதற்கான துல்லியத்தை தீர்மானிக்க, எங்களுக்கு டி-விநியோகம் தேவை. மாறுபாடு போன்ற பிற அளவுருக்களை மதிப்பிட, வெவ்வேறு விநியோகங்கள் தேவை. அவற்றில் இரண்டு F-விநியோகம் மற்றும் x 2 - விநியோகம்.

சராசரிக்கான நம்பிக்கை இடைவெளி

நம்பக இடைவெளியை- இது அளவுருவின் மதிப்பிடப்பட்ட மதிப்பைச் சுற்றி கட்டமைக்கப்பட்ட ஒரு இடைவெளியாகும், மேலும் மதிப்பிடப்பட்ட அளவுருவின் உண்மையான மதிப்பு எங்கே உள்ளது என்பதைக் காட்டுகிறது.

சராசரி மதிப்புக்கான நம்பிக்கை இடைவெளியின் கட்டுமானம் ஏற்படுகிறது பின்வரும் வழியில்:

உதாரணமாக

துரித உணவு உணவகம் ஒரு புதிய வகை சாண்ட்விச் மூலம் அதன் வகைப்படுத்தலை விரிவுபடுத்த திட்டமிட்டுள்ளது. அதற்கான தேவையை மதிப்பிடுவதற்காக, மேலாளர், ஏற்கனவே முயற்சித்தவர்களில் இருந்து 40 பார்வையாளர்களைத் தோராயமாகத் தேர்ந்தெடுத்து, புதிய தயாரிப்பைப் பற்றிய அவர்களின் அணுகுமுறையை 1 முதல் 10 வரை மதிப்பிடுமாறு கேட்டுக்கொள்கிறார். மேலாளர் எதிர்பார்த்ததை மதிப்பிட விரும்புகிறார். புதிய தயாரிப்பு பெறும் புள்ளிகளின் எண்ணிக்கை மற்றும் இந்த மதிப்பீட்டிற்கு 95% நம்பிக்கை இடைவெளியை உருவாக்குகிறது. இதை எப்படி செய்வது? (SANDWICH1.XLS கோப்பைப் பார்க்கவும் (வார்ப்புரு மற்றும் தீர்வு).

தீர்வு

இந்த சிக்கலை தீர்க்க நீங்கள் பயன்படுத்தலாம். முடிவுகள் படத்தில் வழங்கப்பட்டுள்ளன. 97
.

மொத்த மதிப்புக்கான நம்பிக்கை இடைவெளி

சில நேரங்களில், மாதிரித் தரவைப் பயன்படுத்தி, கணித எதிர்பார்ப்புகளை மதிப்பிடுவது அவசியம், ஆனால் மொத்த தொகைமதிப்புகள். எடுத்துக்காட்டாக, தணிக்கையாளருடன் இருக்கும் சூழ்நிலையில், சராசரி கணக்கின் அளவைக் கணக்கிடுவதில் ஆர்வம் இருக்கலாம், ஆனால் அனைத்து கணக்குகளின் கூட்டுத்தொகை.

N - ஆகட்டும் மொத்தம்தனிமங்கள், n என்பது மாதிரி அளவு, T 3 என்பது மாதிரியில் உள்ள மதிப்புகளின் கூட்டுத்தொகை, T" என்பது முழு மக்கள்தொகையின் கூட்டுத்தொகைக்கான மதிப்பீடு, பின்னர் , மற்றும் நம்பக இடைவெளி சூத்திரத்தால் கணக்கிடப்படுகிறது, இங்கு s என்பது மாதிரிக்கான நிலையான விலகலின் மதிப்பீடாகும், மேலும் இது மாதிரிக்கான சராசரியின் மதிப்பீடாகும்.

உதாரணமாக

சிலவற்றைச் சொல்லலாம் வரி சேவை 10,000 வரி செலுத்துவோருக்கு மொத்த வரி திருப்பிச் செலுத்தும் தொகையை மதிப்பிட விரும்புகிறது. வரி செலுத்துபவர் பணத்தைத் திரும்பப் பெறுகிறார் அல்லது கூடுதல் வரிகளை செலுத்துகிறார். 500 நபர்களின் மாதிரி அளவைக் கருதி, திருப்பிச் செலுத்தும் தொகைக்கான 95% நம்பிக்கை இடைவெளியைக் கண்டறியவும் (கோப்பு AMOUNT OF REFUND.XLS (டெம்ப்ளேட் மற்றும் தீர்வு) பார்க்கவும்.

தீர்வு

StatPro இந்த வழக்கில் ஒரு சிறப்பு நடைமுறை இல்லை, இருப்பினும், மேலே உள்ள சூத்திரங்களின் அடிப்படையில் சராசரிக்கான எல்லைகளிலிருந்து எல்லைகளைப் பெற முடியும் என்பதைக் குறிப்பிடலாம் (படம் 98
).

விகிதத்திற்கான நம்பிக்கை இடைவெளி

p என்பது வாடிக்கையாளர்களின் பங்கின் கணித எதிர்பார்ப்பாக இருக்கட்டும், மேலும் p b என்பது n அளவின் மாதிரியிலிருந்து பெறப்பட்ட இந்தப் பங்கின் மதிப்பீடாக இருக்கட்டும். போதுமான அளவு பெரியதாகக் காட்டலாம் கணித எதிர்பார்ப்பு p மற்றும் நிலையான விலகலுடன் மதிப்பீட்டு விநியோகம் இயல்பானதாக இருக்கும் . இந்த வழக்கில் மதிப்பீட்டின் நிலையான பிழை வெளிப்படுத்தப்படுகிறது , மற்றும் நம்பிக்கை இடைவெளி இப்படி இருக்கும் .

உதாரணமாக

துரித உணவு உணவகம் ஒரு புதிய வகை சாண்ட்விச் மூலம் அதன் வகைப்படுத்தலை விரிவுபடுத்த திட்டமிட்டுள்ளது. அதற்கான தேவையை மதிப்பிடுவதற்காக, மேலாளர் தற்செயலாக 40 பார்வையாளர்களை ஏற்கனவே முயற்சித்தவர்களிடமிருந்து தேர்ந்தெடுத்து, புதிய தயாரிப்புக்கான அவர்களின் அணுகுமுறையை 1 முதல் 10 வரை மதிப்பிடுமாறு கேட்டுக் கொண்டார். மேலாளர் எதிர்பார்க்கும் விகிதத்தை மதிப்பிட விரும்புகிறார். புதிய தயாரிப்பை குறைந்தபட்சம் 6 புள்ளிகளுக்கு மேல் மதிப்பிடும் வாடிக்கையாளர்கள் (இந்த வாடிக்கையாளர்கள் புதிய தயாரிப்பின் நுகர்வோராக இருப்பார்கள் என்று அவர் எதிர்பார்க்கிறார்).

தீர்வு

ஆரம்பத்தில், கிளையண்டின் மதிப்பீடு 6 புள்ளிகளுக்கு மேல் இருந்தால், 0 என்ற பண்புக்கூறின் அடிப்படையில் புதிய நெடுவரிசையை உருவாக்குவோம் (கோப்பை SANDWICH2.XLS (டெம்ப்ளேட் மற்றும் தீர்வு) பார்க்கவும்.

முறை 1

1 இன் எண்ணைக் கணக்கிடுவதன் மூலம், பங்கை மதிப்பிடுகிறோம், பின்னர் சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்துகிறோம்.

zcr மதிப்பு சிறப்பு சாதாரண விநியோக அட்டவணையில் இருந்து எடுக்கப்பட்டது (உதாரணமாக, 95% நம்பிக்கை இடைவெளிக்கு 1.96).

95% இடைவெளியை உருவாக்க இந்த அணுகுமுறை மற்றும் குறிப்பிட்ட தரவைப் பயன்படுத்தி, பின்வரும் முடிவுகளைப் பெறுகிறோம் (படம் 99
). முக்கியமான மதிப்புஅளவுரு z cr 1.96 க்கு சமம். மதிப்பீட்டின் நிலையான பிழை 0.077 ஆகும். நம்பிக்கை இடைவெளியின் குறைந்த வரம்பு 0.475 ஆகும். நம்பிக்கை இடைவெளியின் மேல் வரம்பு 0.775 ஆகும். எனவே, புதிய தயாரிப்பை 6 புள்ளிகள் அல்லது அதற்கு மேல் மதிப்பிடும் வாடிக்கையாளர்களின் சதவீதம் 47.5 முதல் 77.5 வரை இருக்கும் என்று 95% நம்பிக்கையுடன் நம்ப மேலாளருக்கு உரிமை உண்டு.

முறை 2

நிலையான StatPro கருவிகளைப் பயன்படுத்தி இந்த சிக்கலை தீர்க்க முடியும். இதைச் செய்ய, இந்த வழக்கில் உள்ள பங்கு வகை நெடுவரிசையின் சராசரி மதிப்புடன் ஒத்துப்போகிறது என்பதைக் கவனத்தில் கொள்ள போதுமானது. அடுத்து நாங்கள் விண்ணப்பிக்கிறோம் StatPro/புள்ளிவிவர அனுமானம்/ஒரு மாதிரி பகுப்பாய்வுவகை நெடுவரிசைக்கான சராசரியின் நம்பக இடைவெளியை (கணித எதிர்பார்ப்பின் மதிப்பீடு) உருவாக்க. இந்த வழக்கில் பெறப்பட்ட முடிவுகள் 1 வது முறையின் முடிவுகளுக்கு மிக நெருக்கமாக இருக்கும் (படம் 99).

நிலையான விலகலுக்கான நம்பிக்கை இடைவெளி

நிலையான விலகலின் மதிப்பீடாக s பயன்படுத்தப்படுகிறது (சூத்திரம் பிரிவு 1 இல் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது). மதிப்பீட்டின் s இன் அடர்த்தி சார்பு என்பது chi-square செயல்பாடு ஆகும், இது t-விநியோகத்தைப் போலவே n-1 டிகிரி சுதந்திரத்தைக் கொண்டுள்ளது. இந்த விநியோக CHIDIST மற்றும் CHIINV உடன் பணிபுரிய சிறப்பு செயல்பாடுகள் உள்ளன.

இந்த வழக்கில் நம்பிக்கை இடைவெளி இனி சமச்சீராக இருக்காது. ஒரு வழக்கமான எல்லை வரைபடம் படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளது. 100 .

உதாரணமாக

இயந்திரம் 10 செமீ விட்டம் கொண்ட பாகங்களை உருவாக்க வேண்டும், இருப்பினும், பல்வேறு சூழ்நிலைகள் காரணமாக, பிழைகள் ஏற்படுகின்றன. தரக் கட்டுப்பாட்டாளர் இரண்டு சூழ்நிலைகளைப் பற்றி கவலைப்படுகிறார்: முதலாவதாக, சராசரி மதிப்பு 10 செ.மீ. இரண்டாவதாக, இந்த விஷயத்தில் கூட, விலகல்கள் பெரியதாக இருந்தால், பல பகுதிகள் நிராகரிக்கப்படும். ஒவ்வொரு நாளும் அவர் 50 பகுதிகளின் மாதிரியை உருவாக்குகிறார் (கோப்பு தரக் கட்டுப்பாடு.XLS (வார்ப்புரு மற்றும் தீர்வு) பார்க்கவும். அத்தகைய மாதிரி என்ன முடிவுகளை அளிக்க முடியும்?

தீர்வு

பயன்படுத்தி சராசரி மற்றும் நிலையான விலகலுக்கு 95% நம்பிக்கை இடைவெளிகளை உருவாக்குவோம் StatPro/புள்ளிவிவர அனுமானம்/ஒரு மாதிரி பகுப்பாய்வு(படம் 101
).

அடுத்து, விட்டம் சாதாரண விநியோகத்தின் அனுமானத்தைப் பயன்படுத்தி, குறைபாடுள்ள தயாரிப்புகளின் விகிதத்தை கணக்கிடுகிறோம், அதிகபட்ச விலகல் 0.065 ஐ அமைக்கிறோம். மாற்று அட்டவணையின் திறன்களைப் பயன்படுத்தி (இரண்டு அளவுருக்களின் வழக்கு), சராசரி மதிப்பு மற்றும் நிலையான விலகல் (படம் 102) மீதான குறைபாடுகளின் விகிதத்தை சார்ந்திருப்பதை நாங்கள் திட்டமிடுகிறோம்.
).

இரண்டு வழிமுறைகளுக்கு இடையிலான வேறுபாட்டிற்கான நம்பிக்கை இடைவெளி

இது மிகவும் ஒன்றாகும் முக்கியமான பயன்பாடுகள்புள்ளிவிவர முறைகள். சூழ்நிலைகளின் எடுத்துக்காட்டுகள்.

ஒரு துணிக்கடை மேலாளர் சராசரி ஆண் வாடிக்கையாளரை விட சராசரி பெண் வாடிக்கையாளர் கடையில் எவ்வளவு அதிகமாகவோ அல்லது குறைவாகவோ செலவிடுகிறார் என்பதை அறிய விரும்புவார்.

இரண்டு விமான நிறுவனங்களும் ஒரே மாதிரியான பாதையில் பறக்கின்றன. ஒரு நுகர்வோர் அமைப்பு இரண்டு விமான நிறுவனங்களுக்கும் சராசரியாக எதிர்பார்க்கப்படும் விமான தாமத நேரங்களுக்கு இடையிலான வேறுபாட்டை ஒப்பிட விரும்புகிறது.

நிறுவனம் கூப்பன்களை அனுப்புகிறது தனிப்பட்ட இனங்கள்ஒரு நகரத்தில் உள்ள பொருட்கள் மற்றொன்றுக்கு அனுப்புவதில்லை. அடுத்த இரண்டு மாதங்களில் இந்த தயாரிப்புகளின் சராசரி கொள்முதல் அளவை மேலாளர்கள் ஒப்பிட விரும்புகிறார்கள்.

ஒரு கார் டீலர் பெரும்பாலும் திருமணமான தம்பதிகளை விளக்கக்காட்சிகளில் கையாள்கிறார். விளக்கக்காட்சிக்கு அவர்களின் தனிப்பட்ட எதிர்வினைகளைப் புரிந்து கொள்ள, தம்பதிகள் பெரும்பாலும் தனித்தனியாக நேர்காணல் செய்யப்படுகிறார்கள். ஆண்கள் மற்றும் பெண்களின் மதிப்பீடுகளில் உள்ள வேறுபாட்டை மேலாளர் மதிப்பீடு செய்ய விரும்புகிறார்.

சுயாதீன மாதிரிகளின் வழக்கு

வழிமுறைகளுக்கு இடையிலான வேறுபாடு n 1 + n 2 - 2 டிகிரி சுதந்திரத்துடன் டி-விநியோகத்தைக் கொண்டிருக்கும். μ 1 - μ 2 க்கான நம்பிக்கை இடைவெளி உறவால் வெளிப்படுத்தப்படுகிறது:

இந்த சிக்கலை மேலே உள்ள சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி மட்டுமல்லாமல், நிலையான StatPro கருவிகளைப் பயன்படுத்தியும் தீர்க்க முடியும். இதைச் செய்ய, அதைப் பயன்படுத்தினால் போதும்

விகிதாச்சாரங்களுக்கு இடையிலான வேறுபாட்டிற்கான நம்பிக்கை இடைவெளி

பங்குகளின் கணித எதிர்பார்ப்பாக இருக்கட்டும். அவற்றின் மாதிரி மதிப்பீடுகள், முறையே n 1 மற்றும் n 2 அளவுகளின் மாதிரிகளிலிருந்து கட்டமைக்கப்படும். பின்னர் வித்தியாசத்திற்கான மதிப்பீடு. எனவே, இந்த வேறுபாட்டின் நம்பிக்கை இடைவெளி இவ்வாறு வெளிப்படுத்தப்படுகிறது:

இங்கே zcr என்பது சிறப்பு அட்டவணைகளைப் பயன்படுத்தி ஒரு சாதாரண விநியோகத்திலிருந்து பெறப்பட்ட மதிப்பாகும் (எடுத்துக்காட்டாக, 95% நம்பிக்கை இடைவெளிக்கு 1.96).

மதிப்பீட்டின் நிலையான பிழை இந்த வழக்கில் தொடர்புடையது மூலம் வெளிப்படுத்தப்படுகிறது:

.

உதாரணமாக

ஒரு பெரிய விற்பனைக்குத் தயாராகும் கடை, பின்வரும் நடவடிக்கைகளை எடுத்தது: சந்தைப்படுத்தல் ஆராய்ச்சி. 300 பேர் தேர்வு செய்யப்பட்டனர் சிறந்த வாங்குபவர்கள், அவை ஒவ்வொன்றும் 150 உறுப்பினர்களைக் கொண்ட இரண்டு குழுக்களாக தோராயமாக பிரிக்கப்பட்டன. விற்பனையில் பங்கேற்க அனைத்து தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட வாடிக்கையாளர்களுக்கும் அழைப்பிதழ்கள் அனுப்பப்பட்டன, ஆனால் முதல் குழுவின் உறுப்பினர்கள் மட்டுமே 5% தள்ளுபடி பெறும் கூப்பனைப் பெற்றனர். விற்பனையின் போது, ​​தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட 300 வாங்குபவர்களின் கொள்முதல் பதிவு செய்யப்பட்டது. ஒரு மேலாளர் முடிவுகளை எவ்வாறு விளக்குவது மற்றும் கூப்பன்களின் செயல்திறனைப் பற்றி எவ்வாறு தீர்ப்பளிக்க முடியும்? (கோப்பை COUPONS.XLS (வார்ப்புரு மற்றும் தீர்வு) பார்க்கவும்).

தீர்வு

எங்கள் குறிப்பிட்ட விஷயத்தில், தள்ளுபடி கூப்பனைப் பெற்ற 150 வாடிக்கையாளர்களில், 55 பேர் விற்பனையில் கொள்முதல் செய்தனர், மேலும் கூப்பனைப் பெறாத 150 பேரில், 35 பேர் மட்டுமே வாங்கியுள்ளனர் (படம் 103).
) பின்னர் மாதிரி விகிதங்களின் மதிப்புகள் முறையே 0.3667 மற்றும் 0.2333 ஆகும். அவற்றுக்கிடையேயான மாதிரி வேறுபாடு முறையே 0.1333 க்கு சமம். 95% நம்பக இடைவெளியைக் கருதி, சாதாரண விநியோக அட்டவணை zcr = 1.96 இலிருந்து காண்கிறோம். மாதிரி வேறுபாட்டின் நிலையான பிழையின் கணக்கீடு 0.0524 ஆகும். 95% நம்பிக்கை இடைவெளியின் குறைந்த வரம்பு 0.0307 என்று இறுதியாகக் கண்டறிந்துள்ளோம், மேலும் மேல் வரம்புமுறையே 0.2359. பெறப்பட்ட முடிவுகள், தள்ளுபடி கூப்பனைப் பெற்ற ஒவ்வொரு 100 வாடிக்கையாளர்களுக்கும், 3 முதல் 23 புதிய வாடிக்கையாளர்களை எதிர்பார்க்கலாம். இருப்பினும், இந்த முடிவு கூப்பன்களைப் பயன்படுத்துவதன் செயல்திறனைக் குறிக்காது என்பதை நாம் நினைவில் கொள்ள வேண்டும் (தள்ளுபடி வழங்குவதன் மூலம், நாங்கள் லாபத்தை இழக்கிறோம்!). குறிப்பிட்ட தரவுகளுடன் இதை நிரூபிப்போம். என்று பாசாங்கு செய்யலாம் சராசரி அளவுகொள்முதல் 400 ரூபிள் சமம், இதில் 50 ரூபிள். கடையில் லாபம் உண்டு. கூப்பனைப் பெறாத 100 வாடிக்கையாளர்களுக்கு எதிர்பார்க்கப்படும் லாபம்:

50 0.2333 100 = 1166.50 ரப்.

கூப்பனைப் பெற்ற 100 வாடிக்கையாளர்களுக்கு இதே போன்ற கணக்கீடுகள் கொடுக்கின்றன:

30 0.3667 100 = 1100.10 ரப்.

சராசரி லாபம் 30 ஆகக் குறைவது, தள்ளுபடியைப் பயன்படுத்தி, கூப்பனைப் பெற்ற வாடிக்கையாளர்கள் சராசரியாக 380 ரூபிள் வாங்குவார்கள் என்பதன் மூலம் விளக்கப்படுகிறது.

எனவே, இறுதி முடிவு இந்த குறிப்பிட்ட சூழ்நிலையில் அத்தகைய கூப்பன்களைப் பயன்படுத்துவதன் பயனற்ற தன்மையைக் குறிக்கிறது.

கருத்து. நிலையான StatPro கருவிகளைப் பயன்படுத்தி இந்த சிக்கலை தீர்க்க முடியும். இதை செய்ய, அதை குறைக்க போதும் இந்த பணிமுறையைப் பயன்படுத்தி இரண்டு சராசரிகளுக்கு இடையிலான வேறுபாட்டை மதிப்பிடுவதில் உள்ள சிக்கலுக்கு, பின்னர் விண்ணப்பிக்கவும் StatPro/புள்ளிவிவர அனுமானம்/இரண்டு மாதிரி பகுப்பாய்வுஇரண்டு சராசரி மதிப்புகளுக்கு இடையிலான வேறுபாட்டிற்கான நம்பிக்கை இடைவெளியை உருவாக்க.

நம்பிக்கை இடைவெளி நீளத்தை கட்டுப்படுத்துதல்

நம்பிக்கை இடைவெளியின் நீளம் சார்ந்துள்ளது பின்வரும் நிபந்தனைகள் :

தரவு நேரடியாக (நிலையான விலகல்);

முக்கியத்துவம் நிலை;

மாதிரி அளவு.

சராசரியை மதிப்பிடுவதற்கான மாதிரி அளவு

முதலில், பொதுவான வழக்கில் சிக்கலைக் கருத்தில் கொள்வோம். நம்பக இடைவெளியின் பாதி நீளத்தின் மதிப்பை B எனக் குறிப்பிடுவோம் (படம் 104
) சில சீரற்ற மாறி X இன் சராசரி மதிப்பிற்கான நம்பிக்கை இடைவெளி இவ்வாறு வெளிப்படுத்தப்படுகிறது என்பதை நாம் அறிவோம் , எங்கே . நம்பிக்கை:

மற்றும் n ஐ வெளிப்படுத்தினால், நாம் பெறுகிறோம்.

எதிர்பாராதவிதமாக, சரியான மதிப்புசீரற்ற மாறி X இன் மாறுபாடு நமக்குத் தெரியாது. கூடுதலாக, tcr இன் மதிப்பு எங்களுக்குத் தெரியாது, ஏனெனில் இது சுதந்திரத்தின் டிகிரி எண்ணிக்கை மூலம் n ஐப் பொறுத்தது. இந்த சூழ்நிலையில், நாம் பின்வருவனவற்றைச் செய்யலாம். மாறுபாடுகளுக்குப் பதிலாக, ஆய்வின் கீழ் சீரற்ற மாறியின் கிடைக்கக்கூடிய செயலாக்கங்களின் அடிப்படையில் மாறுபாட்டின் சில மதிப்பீட்டைப் பயன்படுத்துகிறோம். tcr மதிப்புக்கு பதிலாக, சாதாரண விநியோகத்திற்கு zcr மதிப்பைப் பயன்படுத்துகிறோம். இது மிகவும் ஏற்றுக்கொள்ளத்தக்கது, ஏனெனில் சாதாரண மற்றும் t-பகிர்வுகளுக்கான விநியோக அடர்த்தி செயல்பாடுகள் மிக நெருக்கமாக உள்ளன (சிறிய n தவிர). எனவே, தேவையான சூத்திரம் படிவத்தை எடுக்கும்:

.

சூத்திரம், பொதுவாக, முழு எண் அல்லாத முடிவுகளைக் கொடுப்பதால், முடிவைக் காட்டிலும் அதிகமாகச் சுற்றுவது, விரும்பிய மாதிரி அளவாக எடுத்துக் கொள்ளப்படுகிறது.

உதாரணமாக

துரித உணவு உணவகம் ஒரு புதிய வகை சாண்ட்விச் மூலம் அதன் வகைப்படுத்தலை விரிவுபடுத்த திட்டமிட்டுள்ளது. அதற்கான தேவையை மதிப்பிடுவதற்காக, மேலாளர், ஏற்கனவே முயற்சித்தவர்களிடமிருந்து பல பார்வையாளர்களைத் தோராயமாகத் தேர்ந்தெடுத்து, புதிய தயாரிப்பைப் பற்றிய அவர்களின் அணுகுமுறையை 1 முதல் 10 வரையிலான அளவில் மதிப்பிடும்படி கேட்கிறார். மேலாளர் மதிப்பிட விரும்புகிறார். புதிய தயாரிப்பு பெறும் எதிர்பார்க்கப்படும் புள்ளிகளின் எண்ணிக்கை மற்றும் இந்த மதிப்பீட்டிற்கு 95% நம்பிக்கை இடைவெளியை உருவாக்குகிறது. அதே நேரத்தில், நம்பிக்கை இடைவெளியின் அரை அகலம் 0.3 ஐ விட அதிகமாக இருக்கக்கூடாது என்று அவர் விரும்புகிறார். நேர்காணல் செய்ய அவருக்கு எத்தனை பார்வையாளர்கள் தேவை?

பின்வருமாறு:

இங்கே ஆர் ஓட்ஸ்என்பது p விகிதத்தின் மதிப்பீடாகும், மேலும் B என்பது நம்பக இடைவெளியின் பாதி நீளம் ஆகும். மதிப்பைப் பயன்படுத்தி nக்கான மிகை மதிப்பீட்டைப் பெறலாம் ஆர் ஓட்ஸ்= 0.5. இந்த வழக்கில், நம்பக இடைவெளியின் நீளம் p இன் எந்த உண்மையான மதிப்பிற்கும் குறிப்பிட்ட மதிப்பு B ஐ விட அதிகமாக இருக்காது.

உதாரணமாக

புதிய வகை தயாரிப்புகளை விரும்பும் வாடிக்கையாளர்களின் பங்கை மதிப்பிடுவதற்கு முந்தைய உதாரணத்திலிருந்து மேலாளர் திட்டமிடட்டும். அவர் 90% நம்பிக்கை இடைவெளியை உருவாக்க விரும்புகிறார், அதன் அரை நீளம் 0.05 ஐ விட அதிகமாக இல்லை. சீரற்ற மாதிரியில் எத்தனை வாடிக்கையாளர்கள் சேர்க்கப்பட வேண்டும்?

தீர்வு

எங்கள் விஷயத்தில், z cr = 1.645 இன் மதிப்பு. எனவே, தேவையான அளவு கணக்கிடப்படுகிறது .

விரும்பிய p-மதிப்பு, எடுத்துக்காட்டாக, தோராயமாக 0.3 என்று மேலாளர் நம்புவதற்கு காரணம் இருந்தால், இந்த மதிப்பை மேலே உள்ள சூத்திரத்தில் மாற்றுவதன் மூலம், சிறிய சீரற்ற மாதிரி மதிப்பைப் பெறுவோம், அதாவது 228.

தீர்மானிப்பதற்கான சூத்திரம் இரண்டு வழிகளுக்கு இடையே வேறுபாடு ஏற்பட்டால் சீரற்ற மாதிரி அளவுஇவ்வாறு எழுதப்பட்டுள்ளது:

.

உதாரணமாக

சில கணினி நிறுவனங்களில் வாடிக்கையாளர் சேவை மையம் உள்ளது. IN சமீபத்தில்சேவையின் தரம் குறைந்ததாக வாடிக்கையாளர் புகார்களின் எண்ணிக்கை அதிகரித்துள்ளது. IN சேவை மையம்முக்கியமாக இரண்டு வகையான பணியாளர்கள் உள்ளனர்: அதிக அனுபவம் இல்லாதவர்கள், ஆனால் சிறப்பு ஆயத்த படிப்புகளை முடித்தவர்கள் மற்றும் விரிவான நடைமுறை அனுபவம் உள்ளவர்கள், ஆனால் சிறப்பு படிப்புகளை முடிக்காதவர்கள். நிறுவனம் கடந்த ஆறு மாதங்களில் வாடிக்கையாளர் புகார்களை பகுப்பாய்வு செய்ய விரும்புகிறது மற்றும் இரண்டு குழுக்களின் ஊழியர்களின் சராசரி புகார்களின் எண்ணிக்கையை ஒப்பிடுகிறது. இரு குழுக்களுக்கான மாதிரிகளில் உள்ள எண்கள் ஒரே மாதிரியாக இருக்கும் என்று கருதப்படுகிறது. 2 க்கு மேல் இல்லாத அரை நீளம் கொண்ட 95% இடைவெளியைப் பெற எத்தனை பணியாளர்கள் மாதிரியில் சேர்க்கப்பட வேண்டும்?

தீர்வு

இங்கே σ ots என்பது இரண்டு சீரற்ற மாறிகளின் நிலையான விலகலின் மதிப்பீடாகும். எனவே, எங்கள் பிரச்சனையில் எப்படியாவது இந்த மதிப்பீட்டைப் பெற வேண்டும். இதை, எடுத்துக்காட்டாக, பின்வருமாறு செய்யலாம். கடந்த ஆறு மாதங்களில் வாடிக்கையாளர் புகார்களின் தரவைப் பார்த்த பிறகு, ஒவ்வொரு பணியாளரும் பொதுவாக 6 முதல் 36 புகார்களைப் பெறுவதை மேலாளர் கவனிக்கலாம். ஒரு சாதாரண விநியோகத்திற்கு கிட்டத்தட்ட எல்லா மதிப்புகளும் சராசரியிலிருந்து மூன்று மடங்குக்கு மேல் அகற்றப்படுவதில்லை என்பதை அறிவது நிலையான விலகல்கள், அவர் நியாயமாக நம்பலாம்:

, எங்கிருந்து σ ots = 5.

இந்த மதிப்பை சூத்திரத்தில் மாற்றினால், நாம் பெறுகிறோம் .

தீர்மானிப்பதற்கான சூத்திரம் விகிதாச்சாரங்களுக்கு இடையிலான வேறுபாட்டை மதிப்பிடும் போது சீரற்ற மாதிரி அளவுவடிவம் உள்ளது:

உதாரணமாக

சில நிறுவனங்களில் ஒரே மாதிரியான பொருட்களை உற்பத்தி செய்யும் இரண்டு தொழிற்சாலைகள் உள்ளன. ஒரு நிறுவன மேலாளர் இரண்டு தொழிற்சாலைகளிலும் உள்ள குறைபாடுள்ள பொருட்களின் சதவீதத்தை ஒப்பிட விரும்புகிறார். கிடைக்கக்கூடிய தகவல்களின்படி, இரண்டு தொழிற்சாலைகளிலும் குறைபாடு விகிதம் 3 முதல் 5% வரை இருக்கும். 0.005 (அல்லது 0.5%) க்கு மேல் இல்லாத அரை நீளம் கொண்ட 99% நம்பிக்கை இடைவெளியை உருவாக்க இது நோக்கமாக உள்ளது. ஒவ்வொரு தொழிற்சாலையிலிருந்தும் எத்தனை பொருட்கள் தேர்ந்தெடுக்கப்பட வேண்டும்?

தீர்வு

இங்கே p 1ots மற்றும் p 2ots என்பது 1வது மற்றும் 2வது தொழிற்சாலையில் உள்ள குறைபாடுகளின் இரண்டு அறியப்படாத பங்குகளின் மதிப்பீடு ஆகும். நாம் p 1ots = p 2ots = 0.5 ஐ வைத்தால், n க்கு மிகைப்படுத்தப்பட்ட மதிப்பு கிடைக்கும். ஆனால் எங்கள் விஷயத்தில் இந்தப் பங்குகளைப் பற்றிய சில முன்னோடித் தகவல்கள் இருப்பதால், இந்தப் பங்குகளின் மேல் மதிப்பீட்டை, அதாவது 0.05 என்று எடுத்துக்கொள்கிறோம். நாம் பெறுகிறோம்

மாதிரித் தரவுகளிலிருந்து சில மக்கள்தொகை அளவுருக்களை மதிப்பிடும்போது, ​​அது மட்டும் கொடுப்பது பயனுள்ளது புள்ளி மதிப்பீடுஅளவுரு, ஆனால் மதிப்பிடப்பட்ட அளவுருவின் சரியான மதிப்பு எங்குள்ளது என்பதைக் காட்டும் நம்பிக்கை இடைவெளியைக் குறிக்கிறது.

இந்த அத்தியாயத்தில், பல்வேறு அளவுருக்களுக்கு அத்தகைய இடைவெளிகளை உருவாக்க அனுமதிக்கும் அளவு உறவுகளையும் நாங்கள் அறிந்தோம்; நம்பிக்கை இடைவெளியின் நீளத்தைக் கட்டுப்படுத்துவதற்கான வழிகளைக் கற்றுக்கொண்டார்.

மாதிரி அளவுகளை மதிப்பிடுவதில் உள்ள சிக்கலை (பரிசோதனை திட்டமிடுவதில் உள்ள சிக்கல்) நிலையான StatPro கருவிகளைப் பயன்படுத்தி தீர்க்க முடியும் என்பதையும் கவனத்தில் கொள்ளவும். StatPro/புள்ளிவிவர அனுமானம்/மாதிரி அளவு தேர்வு.

"காட்ரென்-ஸ்டைல்" கான்ஸ்டான்டின் கிராவ்சிக்கின் சுழற்சியின் வெளியீட்டைத் தொடர்கிறது மருத்துவ புள்ளிவிவரங்கள். முந்தைய இரண்டு கட்டுரைகளில், மற்றும் போன்ற கருத்துகளின் விளக்கத்தை ஆசிரியர் கையாண்டார்.

கான்ஸ்டான்டின் கிராவ்சிக்

கணிதவியலாளர்-ஆய்வாளர். துறையில் நிபுணத்துவம் பெற்றவர் புள்ளியியல் ஆராய்ச்சிமருத்துவம் மற்றும் மனிதநேயத்தில்

மாஸ்கோ நகரம்

பெரும்பாலும் கட்டுரைகளில் மருத்துவ ஆராய்ச்சிநீங்கள் ஒரு மர்மமான சொற்றொடரைக் காணலாம்: "நம்பிக்கை இடைவெளி" (95 % CI அல்லது 95 % CI - நம்பிக்கை இடைவெளி). எடுத்துக்காட்டாக, கட்டுரை எழுதலாம்: "வேறுபாடுகளின் முக்கியத்துவத்தை மதிப்பிடுவதற்கு, நாங்கள் பயன்படுத்தினோம் மாணவர்களின் டி-டெஸ்ட் 95 % நம்பிக்கை இடைவெளியைக் கணக்கிடுதல்.

“95 % நம்பிக்கை இடைவெளியின்” மதிப்பு என்ன, அதை ஏன் கணக்கிட வேண்டும்?

நம்பிக்கை இடைவெளி என்றால் என்ன? - உண்மையான மக்கள் தொகை என்பது பொய்யைக் குறிக்கும் வரம்பாகும். "உண்மையற்ற" சராசரிகள் உள்ளதா? ஒரு வகையில், ஆம், அவர்கள் செய்கிறார்கள். மொத்த மக்கள்தொகையில் ஆர்வத்தின் அளவுருவை அளவிடுவது சாத்தியமில்லை என்று நாங்கள் விளக்கினோம், எனவே ஆராய்ச்சியாளர்கள் வரையறுக்கப்பட்ட மாதிரியுடன் திருப்தி அடைகிறார்கள். இந்த மாதிரியில் (உதாரணமாக, உடல் எடையின் அடிப்படையில்) ஒரு சராசரி மதிப்பு (ஒரு குறிப்பிட்ட எடை) உள்ளது, இதன் மூலம் மொத்த மக்கள்தொகையின் சராசரி மதிப்பை நாங்கள் தீர்மானிக்கிறோம். இருப்பினும், ஒரு மாதிரியின் சராசரி எடை (குறிப்பாக சிறியது) பொது மக்களில் சராசரி எடையுடன் ஒத்துப்போவது சாத்தியமில்லை. எனவே, மக்கள்தொகையின் சராசரி மதிப்புகளின் வரம்பைக் கணக்கிட்டுப் பயன்படுத்துவது மிகவும் சரியானது.

எடுத்துக்காட்டாக, ஹீமோகுளோபினுக்கான 95% நம்பிக்கை இடைவெளி (95% CI) 110 முதல் 122 கிராம்/லி என்று கற்பனை செய்து பாருங்கள். அதாவது மக்கள்தொகையில் உண்மையான சராசரி ஹீமோகுளோபின் மதிப்பு 110 முதல் 122 கிராம்/லி வரை இருக்க 95% வாய்ப்பு உள்ளது. வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், எங்களுக்குத் தெரியாது சராசரிபொது மக்களில் ஹீமோகுளோபின் உள்ளது, ஆனால் இந்த குணாதிசயத்திற்கான மதிப்புகளின் வரம்பை 95 % நிகழ்தகவுடன் குறிப்பிடலாம்.

நம்பிக்கை இடைவெளிகள் குறிப்பாக குழுக்களிடையே உள்ள வேறுபாடுகள் அல்லது அவை அழைக்கப்படும் விளைவு அளவுகளுக்கு மிகவும் பொருத்தமானவை.

இரண்டு இரும்பு தயாரிப்புகளின் செயல்திறனை ஒப்பிட்டுப் பார்த்தோம்: ஒன்று சந்தையில் நீண்ட காலமாக உள்ளது மற்றும் பதிவு செய்யப்பட்டுள்ளது. சிகிச்சையின் போக்கிற்குப் பிறகு, ஆய்வு செய்யப்பட்ட நோயாளிகளின் குழுக்களில் ஹீமோகுளோபின் செறிவை மதிப்பீடு செய்தோம், மேலும் புள்ளிவிவரத் திட்டம் இரண்டு குழுக்களின் சராசரி மதிப்புகளுக்கு இடையிலான வேறுபாடு 95% நிகழ்தகவுடன், 1.72 முதல் வரம்பில் இருப்பதாகக் கணக்கிட்டது. 14.36 g/l (அட்டவணை 1).

மேசை 1. சுயாதீன மாதிரிகளுக்கான சோதனை
(குழுக்கள் ஹீமோகுளோபின் அளவைக் கொண்டு ஒப்பிடப்படுகின்றன)

இது பின்வருமாறு விளக்கப்பட வேண்டும்: எடுத்துக் கொள்ளும் பொது மக்களில் சில நோயாளிகளில் புதிய மருந்து, ஏற்கனவே அறியப்பட்ட மருந்தை உட்கொண்டவர்களை விட ஹீமோகுளோபின் சராசரியாக 1.72-14.36 கிராம்/லி அதிகமாக இருக்கும்.

வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், பொது மக்களில், குழுக்களுக்கு இடையிலான சராசரி ஹீமோகுளோபின் மதிப்புகளில் உள்ள வேறுபாடு இந்த வரம்புகளுக்குள் 95% நிகழ்தகவுடன் உள்ளது. இது நிறையா அல்லது கொஞ்சமா என்பதை ஆய்வு செய்பவர்தான் தீர்மானிக்க வேண்டும். இவை அனைத்தின் புள்ளி என்னவென்றால், நாங்கள் ஒரு சராசரி மதிப்புடன் வேலை செய்யவில்லை, ஆனால் மதிப்புகளின் வரம்பில் வேலை செய்கிறோம், எனவே, குழுக்களுக்கு இடையே உள்ள அளவுருவில் உள்ள வேறுபாட்டை நாங்கள் மிகவும் நம்பகத்தன்மையுடன் மதிப்பிடுகிறோம்.

புள்ளிவிவர தொகுப்புகளில், ஆய்வாளரின் விருப்பப்படி, நீங்கள் நம்பிக்கை இடைவெளியின் எல்லைகளை சுயாதீனமாக சுருக்கலாம் அல்லது விரிவாக்கலாம். நம்பிக்கை இடைவெளி நிகழ்தகவுகளைக் குறைப்பதன் மூலம், வழிமுறைகளின் வரம்பைக் குறைக்கிறோம். எடுத்துக்காட்டாக, 90 % CI இல் 95 % ஐ விட வழிமுறைகளின் வரம்பு (அல்லது பொருள் வேறுபாடு) குறுகலாக இருக்கும்.

மாறாக, நிகழ்தகவை 99 % ஆக அதிகரிப்பது மதிப்புகளின் வரம்பை விரிவுபடுத்துகிறது. குழுக்களை ஒப்பிடும் போது, ​​CI இன் குறைந்த வரம்பு பூஜ்ஜிய குறியை கடக்கலாம். எடுத்துக்காட்டாக, நம்பக இடைவெளியின் எல்லைகளை 99 % ஆக விரிவாக்கினால், இடைவெளியின் எல்லைகள் –1 முதல் 16 கிராம்/லி வரை இருக்கும். இதன் பொருள் பொது மக்களில் குழுக்கள் உள்ளன, ஆய்வு செய்யப்படும் குணாதிசயத்திற்கு இடையே உள்ள வேறுபாடு 0 (M = 0) க்கு சமம்.

நம்பிக்கை இடைவெளியைப் பயன்படுத்தி, நீங்கள் சரிபார்க்கலாம் புள்ளியியல் கருதுகோள்கள். நம்பிக்கை இடைவெளி பூஜ்ஜிய மதிப்பைக் கடந்தால், குழுக்கள் ஆய்வு செய்யப்படும் அளவுருவில் வேறுபடுவதில்லை என்று கருதும் பூஜ்ய கருதுகோள் உண்மையாக இருக்கும். 99 % வரை எல்லைகளை விரிவுபடுத்திய உதாரணம் மேலே விவரிக்கப்பட்டுள்ளது. எங்கோ பொது மக்களில் எந்த வகையிலும் வேறுபடாத குழுக்களைக் கண்டோம்.

ஹீமோகுளோபினில் உள்ள வேறுபாட்டின் 95% நம்பிக்கை இடைவெளி, (g/l)

இரண்டு குழுக்களுக்கு இடையிலான சராசரி ஹீமோகுளோபின் மதிப்புகளில் உள்ள வேறுபாட்டிற்கான 95% நம்பிக்கை இடைவெளியை படம் காட்டுகிறது. கோடு பூஜ்ஜிய குறி வழியாக செல்கிறது, எனவே பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமான வழிமுறைகளுக்கு இடையில் வேறுபாடு உள்ளது, இது குழுக்கள் வேறுபடுவதில்லை என்ற பூஜ்ய கருதுகோளை உறுதிப்படுத்துகிறது. குழுக்களுக்கு இடையேயான வேறுபாடு -2 முதல் 5 கிராம்/லி வரை உள்ளது, அதாவது ஹீமோகுளோபின் 2 கிராம்/லி குறைக்கலாம் அல்லது 5 கிராம்/லி அதிகரிக்கலாம்.

நம்பிக்கை இடைவெளி மிகவும் முக்கியமான காட்டி. இதற்கு நன்றி, குழுக்களில் உள்ள வேறுபாடுகள் உண்மையில் வழிமுறைகளில் உள்ள வேறுபாட்டின் காரணமாக இருந்ததா அல்லது ஒரு பெரிய மாதிரி காரணமாக இருந்ததா என்பதை நீங்கள் பார்க்கலாம், ஏனெனில் ஒரு பெரிய மாதிரியுடன் வேறுபாடுகளைக் கண்டறியும் வாய்ப்புகள் சிறியதை விட அதிகமாக இருக்கும்.

நடைமுறையில் இது போல் தோன்றலாம். நாங்கள் 1000 பேரின் மாதிரியை எடுத்து, ஹீமோகுளோபின் அளவை அளந்தோம், மேலும் நம்பிக்கை இடைவெளி 1.2 முதல் 1.5 கிராம்/லி வரை உள்ளதைக் கண்டறிந்தோம். இந்த வழக்கில் புள்ளியியல் முக்கியத்துவத்தின் நிலை ப

ஹீமோகுளோபின் செறிவு அதிகரித்திருப்பதைக் காண்கிறோம், ஆனால் கிட்டத்தட்ட கண்ணுக்குத் தெரியாத வகையில், எனவே, புள்ளியியல் முக்கியத்துவம்மாதிரி அளவு காரணமாக துல்லியமாக தோன்றியது.

நம்பிக்கை இடைவெளிகளை வழிமுறைகளுக்கு மட்டுமல்ல, விகிதாச்சாரத்திற்கும் (மற்றும் ஆபத்து விகிதங்கள்) கணக்கிட முடியும். எடுத்துக்காட்டாக, வளர்ந்த மருந்தை உட்கொள்ளும்போது நிவாரணம் பெற்ற நோயாளிகளின் விகிதாச்சாரத்தின் நம்பிக்கை இடைவெளியில் நாங்கள் ஆர்வமாக உள்ளோம். விகிதாச்சாரத்திற்கான 95 % CI, அதாவது, அத்தகைய நோயாளிகளின் விகிதத்திற்கு, 0.60-0.80 வரம்பில் உள்ளது என்று வைத்துக்கொள்வோம். இதனால், நம் மருத்துவம் உண்டு என்று சொல்லலாம் சிகிச்சை விளைவு 60 முதல் 80 % வழக்குகள்.

சில குணாதிசயங்களின் இயல்பான விநியோகத்துடன் கூடிய அதிக எண்ணிக்கையிலான பொருட்கள் எங்களிடம் உள்ளன என்று வைத்துக்கொள்வோம் (உதாரணமாக, ஒரே வகை காய்கறிகளின் முழு கிடங்கு, அளவு மற்றும் எடை மாறுபடும்). மொத்தப் பொருட்களின் சராசரி குணாதிசயங்களை நீங்கள் அறிய விரும்புகிறீர்கள், ஆனால் ஒவ்வொரு காய்கறியையும் அளவிடுவதற்கும் எடை போடுவதற்கும் உங்களுக்கு நேரமோ விருப்பமோ இல்லை. இது தேவையில்லை என்பதை நீங்கள் புரிந்துகொள்கிறீர்கள். ஆனால் ஸ்பாட் செக்கிற்கு எத்தனை துண்டுகள் எடுக்க வேண்டும்?

இந்த சூழ்நிலைக்கு பயனுள்ள பல சூத்திரங்களை வழங்குவதற்கு முன், சில குறிப்புகளை நினைவுபடுத்துவோம்.

முதலாவதாக, காய்கறிகளின் மொத்தக் கிடங்கையும் அளந்தால் (இந்த உறுப்புகளின் தொகுப்பு பொது மக்கள் தொகை என்று அழைக்கப்படுகிறது), பின்னர் முழு தொகுப்பின் சராசரி எடையும் நமக்குக் கிடைக்கும் அனைத்து துல்லியத்துடன் நமக்குத் தெரியும். இதை சராசரி என்று வைத்துக் கொள்வோம் X சராசரி .g en . . - பொது சராசரி. அதன் சராசரி மதிப்பு மற்றும் விலகல் கள் அறியப்பட்டால் முழுமையாக தீர்மானிக்கப்படுவது என்ன என்பதை நாங்கள் ஏற்கனவே அறிவோம்உண்மை, நாம் X சராசரி ஜென்மமும் இல்லை கள்

எங்களுக்கு பொது மக்களை தெரியாது. நாம் ஒரு குறிப்பிட்ட மாதிரியை மட்டுமே எடுக்க முடியும், நமக்குத் தேவையான மதிப்புகளை அளவிடலாம் மற்றும் இந்த மாதிரியின் சராசரி மதிப்பு X சராசரி மற்றும் நிலையான விலகல் S ஆகியவற்றைக் கணக்கிடலாம். எங்கள் மாதிரிச் சரிபார்ப்பில் அதிக எண்ணிக்கையிலான உறுப்புகள் இருந்தால் (பொதுவாக n 30 ஐ விட அதிகமாக இருக்கும்) மற்றும் அவை எடுக்கப்படும் என்பது அறியப்படுகிறது.உண்மையில் சீரற்ற , பின்னர் எஸ்

பொது மக்கள் எஸ் தேர்வில் இருந்து வேறுபட மாட்டார்கள்.

கூடுதலாக, சாதாரண விநியோகத்திற்கு நாம் பின்வரும் சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தலாம்:

95% நிகழ்தகவுடன்

99% நிகழ்தகவுடன் INபொதுவான பார்வை

நிகழ்தகவு P (t)

T இன் மதிப்புக்கும் P (t) நிகழ்தகவு மதிப்புக்கும் இடையே உள்ள தொடர்பை, நாம் நம்பிக்கை இடைவெளியை அறிய விரும்புகிறோம், பின்வரும் அட்டவணையில் இருந்து எடுக்கலாம்:

எனவே, மக்கள்தொகைக்கான சராசரி மதிப்பு எந்த வரம்பில் உள்ளது (கொடுக்கப்பட்ட நிகழ்தகவுடன்) என்பதை நாங்கள் தீர்மானித்துள்ளோம். எங்களிடம் போதுமான பெரிய மாதிரி இல்லையென்றால், அதைச் சொல்ல முடியாதுமக்கள் தொகை கள் = உள்ளதுஎஸ் தேர்ந்தெடுக்கவும்

ஆனால் நிலையான நிகழ்தகவு P(t)க்கான t இன் மதிப்பு மாதிரி n இல் உள்ள உறுப்புகளின் எண்ணிக்கையைப் பொறுத்தது. பெரிய n, இதன் விளைவாக வரும் நம்பிக்கை இடைவெளி சூத்திரம் (1) வழங்கிய மதிப்புக்கு நெருக்கமாக இருக்கும்.

இந்த வழக்கில் t மதிப்புகள் மற்றொரு அட்டவணையில் இருந்து எடுக்கப்பட்டது (மாணவர்களின் டி-டெஸ்ட்), நாங்கள் கீழே வழங்குகிறோம்:

நிகழ்தகவு 0.95 மற்றும் 0.99க்கான மாணவர்களின் டி-டெஸ்ட் மதிப்புகள்எடுத்துக்காட்டு 3.

நிறுவனத்தின் ஊழியர்களில் இருந்து 30 பேர் தோராயமாக தேர்ந்தெடுக்கப்பட்டனர். மாதிரியின் படி, சராசரி சம்பளம் (மாதத்திற்கு) 5 ஆயிரம் ரூபிள் நிலையான விலகலுடன் 30 ஆயிரம் ரூபிள் என்று மாறியது. நிறுவனத்தில் சராசரி சம்பளத்தை 0.99 நிகழ்தகவுடன் தீர்மானிக்கவும்.தீர்வு:

நிபந்தனையின்படி நாம் n = 30, X சராசரி. =30000, S=5000, P = 0.99. நம்பிக்கை இடைவெளியைக் கண்டறிய, மாணவர்களின் t சோதனையுடன் தொடர்புடைய சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துவோம். n = 30 மற்றும் P = 0.99 அட்டவணையில் இருந்து நாம் t = 2.756 ஐக் காண்கிறோம், எனவே, அந்த.தேடப்பட்ட அறங்காவலர்< Х ср.ген < 32516.

இடைவெளி 27484

எனவே, 0.99 நிகழ்தகவுடன், இடைவெளியில் (27484; 32516) நிறுவனத்தில் சராசரி சம்பளம் உள்ளது என்று கூறலாம். நீங்கள் இந்த முறையைப் பயன்படுத்துவீர்கள் என்று நாங்கள் நம்புகிறோம், மேலும் ஒவ்வொரு முறையும் உங்களுடன் ஒரு அட்டவணை இருக்க வேண்டிய அவசியமில்லை. எக்செல் இல் கணக்கீடுகள் தானாக மேற்கொள்ளப்படும். எக்செல் கோப்பில் இருக்கும் போது, ​​மேல் மெனுவில் உள்ள fx பட்டனை கிளிக் செய்யவும். பின்னர், செயல்பாடுகளில் "புள்ளிவிவர" வகையைத் தேர்ந்தெடுக்கவும், மற்றும் சாளரத்தில் முன்மொழியப்பட்ட பட்டியலில் இருந்து - STUDAR டிஸ்கவர். பின்னர், வரியில், "நிகழ்தகவு" புலத்தில் கர்சரை வைத்து, தலைகீழ் நிகழ்தகவின் மதிப்பை உள்ளிடவும் (அதாவது எங்கள் விஷயத்தில், நிகழ்தகவு 0.95 க்கு பதிலாக, நீங்கள் 0.05 நிகழ்தகவை தட்டச்சு செய்ய வேண்டும்).வெளிப்படையாக