சீரற்ற மாறிகளின் தருணங்கள். ஆரம்ப மற்றும் மைய கோட்பாட்டு புள்ளிகள்

ஒரு சீரற்ற மாறியின் பரவலை வகைப்படுத்துவதற்கு குறிப்பிட்ட முக்கியத்துவம் ஆரம்ப மற்றும் மைய தருணங்கள் எனப்படும் எண் பண்புகள் ஆகும்.

ஆரம்ப தருணம் கே-வது வரிசை α கே(எக்ஸ்) சீரற்ற மாறி எக்ஸ் கேஇந்த அளவின் சக்தி, அதாவது.

α கே(எக்ஸ்) = எம்(எக்ஸ் கே) (6.8)

ஃபார்முலா (6.8) பல்வேறு கணித எதிர்பார்ப்பு வரையறை காரணமாக சீரற்ற மாறிகள்அதன் சொந்த வடிவம் உள்ளது, அதாவது, வரையறுக்கப்பட்ட மதிப்புகள் கொண்ட தனித்த சீரற்ற மாறிக்கு

தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறிக்கு

, (6.10)

எங்கே f(x) - சீரற்ற மாறியின் பரவல் அடர்த்தி எக்ஸ்.

முறையற்ற ஒருங்கிணைப்புசூத்திரத்தில் (6.10) மாறும் திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைந்தஒரு வரையறுக்கப்பட்ட இடைவெளியில், தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறியின் மதிப்புகள் இந்த இடைவெளியில் மட்டுமே இருந்தால்.

முன்னர் அறிமுகப்படுத்தப்பட்ட எண் பண்புகளில் ஒன்று கணித எதிர்பார்ப்பு- இது முதல் வரிசையின் ஆரம்ப தருணத்தைத் தவிர வேறில்லை, அல்லது, அவர்கள் சொல்வது போல், முதல் ஆரம்ப தருணம்:

எம்(எக்ஸ்) = α 1 (எக்ஸ்).

முந்தைய பத்தியில், மையப்படுத்தப்பட்ட சீரற்ற மாறியின் கருத்து அறிமுகப்படுத்தப்பட்டது எச்.எம்(எக்ஸ்) இந்த அளவு முதன்மையாகக் கருதப்பட்டால், அதற்கான ஆரம்ப தருணங்களையும் காணலாம். அளவு தன்னை எக்ஸ்இந்த தருணங்கள் மையமாக அழைக்கப்படும்.

மைய தருணம் கே-வது வரிசை μk(எக்ஸ்) சீரற்ற மாறி எக்ஸ்கணித எதிர்பார்ப்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது கேமையப்படுத்தப்பட்ட சீரற்ற மாறியின் -வது சக்தி, அதாவது.

μk(எக்ஸ்) = எம்[(எச்.எம்(எக்ஸ்))கே] (6.11)

வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், மைய புள்ளி கே-வது வரிசை என்பது கணித எதிர்பார்ப்பு கேவிலகல் பட்டம்.

மைய தருணம் கேவரையறுக்கப்பட்ட மதிப்புகள் கொண்ட தனித்த சீரற்ற மாறிக்கான வரிசை சூத்திரத்தால் கண்டறியப்படுகிறது:

, (6.12)

சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறிக்கு:

(6.13)

எதிர்காலத்தில், நாம் எந்த வகையான சீரற்ற மாறியைப் பற்றி பேசுகிறோம் என்பது தெளிவாகத் தெரிந்தால், ஆரம்ப மற்றும் மைய தருணங்களின் குறிப்பில் அதை எழுத மாட்டோம், அதாவது. பதிலாக α கே(எக்ஸ்) மற்றும் μk(எக்ஸ்) எளிமையாக எழுதுவோம் α கேமற்றும் μk .

முதல் வரிசையின் மைய தருணம் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம் என்பது வெளிப்படையானது, ஏனெனில் இது விலகலின் கணித எதிர்பார்ப்பைத் தவிர வேறில்லை, இது முன்னர் நிரூபிக்கப்பட்டவற்றின் படி பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம், அதாவது. .

ஒரு சீரற்ற மாறியின் இரண்டாம்-வரிசை மையத் தருணம் என்பதைப் புரிந்துகொள்வது கடினம் அல்ல எக்ஸ்அதே சீரற்ற மாறியின் மாறுபாட்டுடன் ஒத்துப்போகிறது, அதாவது.

கூடுதலாக, ஆரம்ப மற்றும் மைய தருணங்களை இணைக்கும் பின்வரும் சூத்திரங்கள் உள்ளன:

எனவே, முதல் மற்றும் இரண்டாவது வரிசைகளின் தருணங்கள் (கணித எதிர்பார்ப்பு மற்றும் சிதறல்) மிகவும் வகைப்படுத்தப்படுகின்றன. முக்கியமான அம்சங்கள்விநியோகம்: அதன் நிலை மற்றும் மதிப்புகளின் சிதறலின் அளவு. மேலும் விரிவான விளக்கம்விநியோகங்கள் அதிக ஆர்டர்களின் தருணங்கள். காட்டுவோம்.

ஒரு சீரற்ற மாறியின் பரவலானது அதன் கணித எதிர்பார்ப்புடன் சமச்சீர் என்று வைத்துக்கொள்வோம். பின்னர் அனைத்து ஒற்றைப்படை-வரிசை மைய தருணங்களும், அவை இருந்தால், பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம். விநியோகத்தின் சமச்சீர் காரணமாக, அளவின் ஒவ்வொரு நேர்மறை மதிப்புக்கும் இது விளக்கப்படுகிறது. எக்ஸ் − எம்(எக்ஸ்) அதற்கு சமமான அளவு எதிர்மறை மதிப்பு உள்ளது, மேலும் இந்த மதிப்புகளின் நிகழ்தகவுகள் சமமாக இருக்கும். இதன் விளைவாக, சூத்திரத்தில் உள்ள கூட்டுத்தொகை (6.12) அளவுகளில் சமமான பல ஜோடி சொற்களைக் கொண்டுள்ளது, ஆனால் குறியீட்டில் வேறுபட்டது, அவை கூட்டுத்தொகையில் ஒன்றையொன்று ரத்து செய்கின்றன. இவ்வாறு, முழுத் தொகை, அதாவது. ஒற்றைப்படை வரிசையின் தனித்த சீரற்ற மாறியின் மையத் தருணம் பூஜ்ஜியமாகும். இதேபோல், தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறியின் எந்த ஒற்றைப்படை வரிசையின் மையத் தருணமும் பூஜ்ஜியத்திற்குச் சமம், ஒற்றைப்படைச் செயல்பாட்டின் சமச்சீர் வரம்புகளில் ஒருங்கிணைந்தது.

ஒற்றைப்படை வரிசையின் மையக் கணம் பூஜ்ஜியத்திலிருந்து வேறுபட்டால், அதன் கணித எதிர்பார்ப்புகளைப் பொறுத்து விநியோகம் சமச்சீராக இருக்காது என்று கருதுவது இயற்கையானது. மேலும், மையக் கணம் பூஜ்ஜியத்திலிருந்து எவ்வளவு வேறுபடுகிறதோ, அவ்வளவு அதிகமாக விநியோகத்தில் சமச்சீரற்ற தன்மை இருக்கும். சமச்சீரற்ற தன்மையின் பண்பாக சிறிய ஒற்றைப்படை வரிசையின் மையத் தருணத்தை எடுத்துக் கொள்வோம். எந்தவொரு விநியோகத்தையும் கொண்ட சீரற்ற மாறிகளுக்கு முதல்-வரிசை மையத் தருணம் பூஜ்ஜியமாக இருப்பதால், இந்த நோக்கத்திற்காக மூன்றாம்-வரிசை மையத் தருணத்தைப் பயன்படுத்துவது நல்லது. இருப்பினும், இந்த தருணம் ஒரு சீரற்ற மாறியின் கனசதுரத்தின் பரிமாணத்தைக் கொண்டுள்ளது. இந்த குறைபாட்டை நீக்கி, பரிமாணமற்ற சீரற்ற மாறிக்கு செல்ல, மத்திய தருணத்தின் மதிப்பை நிலையான விலகலின் கனசதுரத்தால் வகுக்கவும்.

சமச்சீரற்ற குணகம் ஒரு எஸ் அல்லது வெறும் சமச்சீரற்ற தன்மைநிலையான விலகலின் கனசதுரத்திற்கு மூன்றாவது வரிசை மைய தருணத்தின் விகிதம் என்று அழைக்கப்படுகிறது, அதாவது.

சில நேரங்களில் சமச்சீரற்ற தன்மை "வளைவு" என்று அழைக்கப்படுகிறது மற்றும் நியமிக்கப்பட்டது எஸ் கேஎன்ன வருகிறது ஆங்கில வார்த்தைவளைவு - "சாய்ந்த".

சமச்சீரற்ற குணகம் எதிர்மறையாக இருந்தால், அதன் மதிப்பு எதிர்மறை சொற்களால் (விலகல்கள்) வலுவாக பாதிக்கப்படுகிறது மற்றும் விநியோகம் இருக்கும் சமச்சீரற்ற இடது, மற்றும் விநியோக வரைபடம் (வளைவு) கணித எதிர்பார்ப்பின் இடதுபுறத்தில் தட்டையானது. குணகம் நேர்மறையாக இருந்தால், பின்னர் சமச்சீரற்ற தன்மை, மற்றும் வளைவு கணித எதிர்பார்ப்பின் வலதுபுறம் தட்டையானது (படம் 6.1).

காட்டப்பட்டுள்ளபடி, ஒரு சீரற்ற மாறியின் மதிப்புகள் அதன் கணித எதிர்பார்ப்பைச் சுற்றி பரவுவதை வகைப்படுத்த, இரண்டாவது மைய தருணம் பயன்படுத்தப்படுகிறது, அதாவது. சிதறல். இந்த தருணம் மிகவும் முக்கியத்துவம் வாய்ந்ததாக இருந்தால் எண் மதிப்பு, இந்த சீரற்ற மாறி மதிப்புகளின் பெரிய சிதறலைக் கொண்டுள்ளது மற்றும் தொடர்புடைய விநியோக வளைவானது இரண்டாவது மையத் தருணம் சிறிய மதிப்பைக் கொண்டிருக்கும் வளைவை விட தட்டையான வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளது. எனவே, இரண்டாவது மைய தருணம், ஓரளவிற்கு, "பிளாட்-டாப்" அல்லது "கூர்மையான-மேல்" விநியோக வளைவை வகைப்படுத்துகிறது. இருப்பினும், இந்த பண்பு மிகவும் வசதியானது அல்ல. இரண்டாவது வரிசை மைய தருணம் பரிமாணத்தைக் கொண்டுள்ளது சதுரத்திற்கு சமம்ஒரு சீரற்ற மாறியின் பரிமாணங்கள். கண மதிப்பை நிலையான விலகலின் சதுரத்தால் வகுப்பதன் மூலம் பரிமாணமற்ற அளவைப் பெற முயற்சித்தால், எந்த சீரற்ற மாறிக்கும் நாம் பெறுவோம்: . எனவே, இந்த குணகம் ஒரு சீரற்ற மாறியின் பரவலின் எந்தப் பண்பும் இருக்க முடியாது. எல்லா விநியோகங்களுக்கும் இது ஒன்றுதான். இந்த வழக்கில், நான்காவது வரிசை மைய தருணத்தைப் பயன்படுத்தலாம்.

அதிகப்படியான எக் சூத்திரத்தால் தீர்மானிக்கப்படும் அளவு

(6.15)

கர்டோசிஸ் முக்கியமாக தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறிகளுக்குப் பயன்படுத்தப்படுகிறது மற்றும் விநியோக வளைவின் "செங்குத்தான தன்மை" என்று அழைக்கப்படுவதை வகைப்படுத்துகிறது அல்லது ஏற்கனவே குறிப்பிட்டுள்ளபடி, "பிளாட்-டாப்" அல்லது "கூர்மையான-டாப்" விநியோக வளைவை வகைப்படுத்துகிறது. குறிப்பு விநியோக வளைவு வளைவாக கருதப்படுகிறது சாதாரண விநியோகம்(இது அடுத்த அத்தியாயத்தில் விரிவாக விவாதிக்கப்படும்). ஒரு சாதாரண சட்டத்தின்படி விநியோகிக்கப்படும் சீரற்ற மாறிக்கு, சமத்துவம் உள்ளது. எனவே, ஃபார்முலா (6.15) மூலம் கொடுக்கப்பட்ட குர்டோசிஸ் இந்த விநியோகத்தை ஒரு சாதாரண விநியோகத்துடன் ஒப்பிட உதவுகிறது, இதற்கு குர்டோசிஸ் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம்.

சில சீரற்ற மாறிகளுக்கு நேர்மறை குர்டோசிஸ் பெறப்பட்டால், இந்த மதிப்பின் விநியோக வளைவு சாதாரண விநியோக வளைவை விட அதிகமாக இருக்கும். குர்டோசிஸ் எதிர்மறையாக இருந்தால், சாதாரண விநியோக வளைவுடன் ஒப்பிடும்போது வளைவு மிகவும் தட்டையானது (படம் 6.2).

தனித்த மற்றும் தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறிகளுக்கான குறிப்பிட்ட வகையான விநியோகச் சட்டங்களுக்கு இப்போது செல்லலாம்.

நிலை பண்புகளுக்கு கூடுதலாக - ஒரு சீரற்ற மாறியின் சராசரி, வழக்கமான மதிப்புகள் - பல பண்புகள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன, ஒவ்வொன்றும் விநியோகத்தின் ஒன்று அல்லது மற்றொரு சொத்தை விவரிக்கிறது. தருணங்கள் என்று அழைக்கப்படுவது பெரும்பாலும் இத்தகைய பண்புகளாகப் பயன்படுத்தப்படுகிறது.

கணம் என்ற கருத்து வெகுஜனங்களின் விநியோகத்தை விவரிக்க இயக்கவியலில் பரவலாகப் பயன்படுத்தப்படுகிறது (நிலையான தருணங்கள், செயலற்ற தருணங்கள் போன்றவை). ஒரு சீரற்ற மாறியின் விநியோகத்தின் அடிப்படை பண்புகளை விவரிக்க நிகழ்தகவு கோட்பாட்டில் அதே நுட்பங்கள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. பெரும்பாலும், இரண்டு வகையான தருணங்கள் நடைமுறையில் பயன்படுத்தப்படுகின்றன: ஆரம்ப மற்றும் மத்திய.

ஒரு இடைவிடாத சீரற்ற மாறியின் st வரிசையின் ஆரம்ப தருணம் படிவத்தின் கூட்டுத்தொகை:

. (5.7.1)

வெளிப்படையாக, இந்த வரையறையானது இயக்கவியலில் வரிசைகளின் ஆரம்ப கணத்தின் வரையறையுடன் ஒத்துப்போகிறது, புள்ளிகளில் abscissa அச்சில் வெகுஜனங்கள் குவிந்திருந்தால்.

ஒரு தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறி X க்கு, sth வரிசையின் ஆரம்ப கணம் ஒருங்கிணைந்த என அழைக்கப்படுகிறது

. (5.7.2)

முந்தைய n° இல் அறிமுகப்படுத்தப்பட்ட நிலையின் முக்கிய பண்பு - கணித எதிர்பார்ப்பு - சீரற்ற மாறியின் முதல் ஆரம்ப தருணத்தைத் தவிர வேறொன்றுமில்லை என்பதை எளிதாகக் காணலாம்.

கணித எதிர்பார்ப்பு அடையாளத்தைப் பயன்படுத்தி, நீங்கள் இரண்டு சூத்திரங்களை (5.7.1) மற்றும் (5.7.2) ஒன்றாக இணைக்கலாம். உண்மையில், சூத்திரங்கள் (5.7.1) மற்றும் (5.7.2) சூத்திரங்கள் (5.6.1) மற்றும் (5.6.2) ஆகியவற்றுடன் முற்றிலும் ஒத்திருக்கும், அதற்குப் பதிலாக மற்றும் உள்ளன, முறையே, மற்றும் . எனவே, வது வரிசையின் ஆரம்ப தருணத்தின் பொதுவான வரையறையை நாம் எழுதலாம், இது இடைவிடாத மற்றும் இரண்டிற்கும் செல்லுபடியாகும் தொடர்ச்சியான அளவுகள்:

, (5.7.3)

அந்த. ஒரு சீரற்ற மாறியின் வது வரிசையின் ஆரம்ப கணம் இந்த சீரற்ற மாறியின் வது பட்டத்தின் கணித எதிர்பார்ப்பு ஆகும்.

மைய தருணத்தை வரையறுக்கும் முன், "மையப்படுத்தப்பட்ட சீரற்ற மாறி" என்ற புதிய கருத்தை அறிமுகப்படுத்துகிறோம்.

கணித எதிர்பார்ப்புடன் ஒரு சீரற்ற மாறி இருக்கட்டும். மதிப்புடன் தொடர்புடைய மையப்படுத்தப்பட்ட சீரற்ற மாறி என்பது அதன் கணித எதிர்பார்ப்பிலிருந்து சீரற்ற மாறியின் விலகலாகும்:

எதிர்காலத்தில், கொடுக்கப்பட்ட சீரற்ற மாறியுடன் தொடர்புடைய மையப்படுத்தப்பட்ட ரேண்டம் மாறியை எல்லா இடங்களிலும் ஒரே எழுத்தில் மேலே உள்ள குறியீட்டுடன் குறிக்க ஒப்புக்கொள்வோம்.

மையப்படுத்தப்பட்ட சீரற்ற மாறியின் கணித எதிர்பார்ப்பு பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம் என்பதைச் சரிபார்ப்பது எளிது. உண்மையில், ஒரு இடைவிடாத அளவு

இதேபோல் ஒரு தொடர்ச்சியான அளவு.

ஒரு சீரற்ற மாறியை மையப்படுத்துவது, ஆயத்தொலைவுகளின் தோற்றத்தை நடுத்தர, "மத்திய" புள்ளிக்கு நகர்த்துவதற்கு சமமானதாகும், இதன் abscissa கணித எதிர்பார்ப்புக்கு சமம்.

மையப்படுத்தப்பட்ட சீரற்ற மாறியின் தருணங்கள் மையத் தருணங்கள் எனப்படும். அவை இயக்கவியலில் ஈர்ப்பு மையம் பற்றிய தருணங்களுக்கு ஒப்பானவை.

எனவே, ஒரு சீரற்ற மாறியின் வரிசையின் மையத் தருணம், தொடர்புடைய மையப்படுத்தப்பட்ட சீரற்ற மாறியின் வது சக்தியின் கணித எதிர்பார்ப்பு ஆகும்:

, (5.7.6)

மற்றும் தொடர்ச்சியானது - ஒருங்கிணைப்பால்

. (5.7.8)

பின்வருவனவற்றில், கொடுக்கப்பட்ட தருணம் எந்த சீரற்ற மாறியைச் சேர்ந்தது என்பதில் சந்தேகம் இல்லாத சந்தர்ப்பங்களில், சுருக்கத்திற்காக நாம் எளிமையாகவும் அதற்கு பதிலாகவும் எழுதுவோம்.

வெளிப்படையாக, எந்த சீரற்ற மாறிக்கும் முதல் வரிசையின் மையத் தருணம் பூஜ்ஜியத்திற்குச் சமம்:

, (5.7.9)

மையப்படுத்தப்பட்ட சீரற்ற மாறியின் கணித எதிர்பார்ப்பு எப்போதும் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்கும்.

வெவ்வேறு ஆர்டர்களின் மைய மற்றும் ஆரம்ப தருணங்களை இணைக்கும் உறவுகளைப் பெறுவோம். தொடர்ச்சியற்ற அளவுகளுக்கு மட்டுமே முடிவை மேற்கொள்வோம்; வரையறுக்கப்பட்ட தொகைகளை ஒருங்கிணைப்புகளாகவும், நிகழ்தகவுகளை நிகழ்தகவு கூறுகளாகவும் மாற்றினால், அதே உறவுகள் தொடர்ச்சியான அளவுகளுக்கு செல்லுபடியாகும் என்பதை சரிபார்க்க எளிதானது.

இரண்டாவது மையப் புள்ளியைக் கருத்தில் கொள்வோம்:

இதேபோல் மூன்றாவது மைய தருணத்திற்கு நாம் பெறுகிறோம்:

போன்றவற்றிற்கான வெளிப்பாடுகள். இதே வழியில் பெறலாம்.

எனவே, எந்தவொரு சீரற்ற மாறியின் மைய தருணங்களுக்கும் சூத்திரங்கள் செல்லுபடியாகும்:

(5.7.10)

பொதுவாக, கணங்கள் தோற்றம் (ஆரம்ப தருணங்கள்) அல்லது கணித எதிர்பார்ப்பு (மைய தருணங்கள்) ஆகியவற்றுடன் மட்டுமல்லாமல், தன்னிச்சையான புள்ளியுடன் தொடர்புடையதாகவும் கருதப்படலாம்:

. (5.7.11)

இருப்பினும், மைய தருணங்கள் மற்ற அனைத்தையும் விட ஒரு நன்மையைக் கொண்டுள்ளன: முதல் மைய தருணம், நாம் பார்த்தபடி, எப்போதும் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம், அடுத்தது, இரண்டாவது மைய தருணம், இந்த குறிப்பு அமைப்புடன் குறைந்தபட்ச மதிப்பைக் கொண்டுள்ளது. நிரூபிப்போம். இல் ஒரு இடைவிடாத சீரற்ற மாறிக்கு, சூத்திரம் (5.7.11) வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளது:

. (5.7.12)

இந்த வெளிப்பாட்டை மாற்றுவோம்:

வெளிப்படையாக, இந்த மதிப்பு அதன் குறைந்தபட்சத்தை அடையும் போது, ​​அதாவது. புள்ளியுடன் தொடர்புடைய தருணம் எடுக்கப்படும் போது.

எல்லா தருணங்களிலும், முதல் ஆரம்ப கணம் (கணித எதிர்பார்ப்பு) மற்றும் இரண்டாவது மைய தருணம் பெரும்பாலும் சீரற்ற மாறியின் பண்புகளாகப் பயன்படுத்தப்படுகின்றன.

இரண்டாவது மைய தருணம் சீரற்ற மாறியின் மாறுபாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது. இந்த குணாதிசயத்தின் தீவிர முக்கியத்துவத்தின் பார்வையில், மற்ற புள்ளிகளுடன், அதற்கான சிறப்பு பதவியை நாங்கள் அறிமுகப்படுத்துகிறோம்:

மைய தருணத்தின் வரையறையின்படி

அந்த. ஒரு சீரற்ற மாறி X இன் மாறுபாடு என்பது தொடர்புடைய மையப்படுத்தப்பட்ட மாறியின் சதுரத்தின் கணித எதிர்பார்ப்பு ஆகும்.

வெளிப்பாட்டின் (5.7.13) அளவை அதன் வெளிப்பாட்டுடன் மாற்றுவது, எங்களிடம் உள்ளது:

. (5.7.14)

மாறுபாட்டை நேரடியாகக் கணக்கிட, பின்வரும் சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தவும்:

, (5.7.15)

(5.7.16)

அதன்படி இடைவிடாத மற்றும் தொடர்ச்சியான அளவுகளுக்கு.

ஒரு சீரற்ற மாறியின் சிதறல் என்பது சிதறலின் சிறப்பியல்பு ஆகும், ஒரு சீரற்ற மாறியின் மதிப்புகள் அதன் கணித எதிர்பார்ப்பைச் சுற்றி சிதறல். "சிதறல்" என்ற சொல்லுக்கு "சிதறல்" என்று பொருள்.

விநியோகத்தின் இயந்திர விளக்கத்திற்கு நாம் திரும்பினால், சிதறல் என்பது ஈர்ப்பு மையத்துடன் (கணித எதிர்பார்ப்பு) தொடர்புடைய கொடுக்கப்பட்ட வெகுஜன விநியோகத்தின் நிலைமத்தின் தருணத்தைத் தவிர வேறில்லை.

சீரற்ற மாறியின் மாறுபாடு சீரற்ற மாறியின் சதுரத்தின் பரிமாணத்தைக் கொண்டுள்ளது; சிதறலை பார்வைக்கு வகைப்படுத்த, சீரற்ற மாறியின் பரிமாணத்துடன் பரிமாணம் ஒத்துப்போகும் அளவைப் பயன்படுத்துவது மிகவும் வசதியானது. இதைச் செய்ய, மாறுபாட்டின் வர்க்க மூலத்தை எடுத்துக் கொள்ளுங்கள். இதன் விளைவாக வரும் மதிப்பு சீரற்ற மாறியின் நிலையான விலகல் (இல்லையெனில் "தரநிலை") என்று அழைக்கப்படுகிறது. நிலையான விலகலைக் குறிப்பிடுவோம்:

, (5.7.17)

குறிப்புகளை எளிமைப்படுத்த, நிலையான விலகல் மற்றும் சிதறலுக்கான சுருக்கங்களை அடிக்கடி பயன்படுத்துவோம்: மற்றும் . இந்த குணாதிசயங்கள் எந்த சீரற்ற மாறியைச் சேர்ந்தவை என்பதில் சந்தேகம் இல்லை என்றால், நாம் சில சமயங்களில் x y என்ற குறியீட்டைத் தவிர்த்துவிட்டு எளிமையாக எழுதுவோம் மற்றும் . "தரநிலை விலகல்" என்ற வார்த்தைகள் சில நேரங்களில் r.s.o என்ற எழுத்துக்களால் மாற்றப்படும்.

நடைமுறையில், ஒரு சூத்திரம் அடிக்கடி பயன்படுத்தப்படுகிறது, இது ஒரு சீரற்ற மாறியின் சிதறலை அதன் இரண்டாவது ஆரம்ப தருணத்தின் மூலம் வெளிப்படுத்துகிறது (சூத்திரங்களின் இரண்டாவது (5.7.10)). புதிய குறியீட்டில் இது போல் இருக்கும்:

எதிர்பார்ப்பு மற்றும் மாறுபாடு (அல்லது நிலையான விலகல்) ஆகியவை சீரற்ற மாறியின் மிகவும் பொதுவாகப் பயன்படுத்தப்படும் பண்புகளாகும். அவை விநியோகத்தின் மிக முக்கியமான அம்சங்களை வகைப்படுத்துகின்றன: அதன் நிலை மற்றும் சிதறலின் அளவு. விநியோகம் பற்றிய விரிவான விளக்கத்திற்கு, அதிக ஆர்டர்களின் தருணங்கள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன.

மூன்றாவது மைய புள்ளியானது விநியோகத்தின் சமச்சீரற்ற தன்மையை (அல்லது "வளைவு") வகைப்படுத்த உதவுகிறது. விநியோகமானது கணித எதிர்பார்ப்புடன் சமச்சீராக இருந்தால் (அல்லது, ஒரு இயந்திர விளக்கத்தில், புவியீர்ப்பு மையத்தைப் பொறுத்து நிறை சமச்சீராக விநியோகிக்கப்படுகிறது), பின்னர் அனைத்து ஒற்றைப்படை-வரிசை தருணங்களும் (அவை இருந்தால்) பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம். உண்மையில், மொத்தத்தில்

விநியோகச் சட்டம் சட்டம் மற்றும் ஒற்றைப்படை ஆகியவற்றுடன் சமச்சீராக இருக்கும்போது, ​​ஒவ்வொரு நேர்மறை காலமும் சமமான ஒன்றுக்கு ஒத்திருக்கும் முழுமையான மதிப்புஎதிர்மறை சொல், எனவே மொத்த தொகை பூஜ்ஜியமாகும். ஒருங்கிணைப்புக்கும் இதுவே உண்மை

,

ஒற்றைப்படை செயல்பாட்டின் சமச்சீர் வரம்புகளில் ஒரு ஒருங்கிணைந்த பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம்.

எனவே, விநியோக சமச்சீரற்ற தன்மையின் சிறப்பியல்பு ஒற்றைப்படை தருணங்களில் ஒன்றைத் தேர்ந்தெடுப்பது இயற்கையானது. இவற்றில் எளிமையானது மூன்றாவது மைய தருணம். இது ஒரு சீரற்ற மாறியின் கனசதுரத்தின் பரிமாணத்தைக் கொண்டுள்ளது: பரிமாணமற்ற பண்பைப் பெற, மூன்றாவது கணம் நிலையான விலகலின் கனசதுரத்தால் வகுக்கப்படுகிறது. இதன் விளைவாக வரும் மதிப்பு "சமச்சீரற்ற குணகம்" அல்லது வெறுமனே "சமச்சீரற்ற தன்மை" என்று அழைக்கப்படுகிறது; நாங்கள் அதைக் குறிப்போம்:

படத்தில். 5.7.1 இரண்டு சமச்சீரற்ற விநியோகங்களைக் காட்டுகிறது; அவற்றில் ஒன்று (வளைவு I) நேர்மறை சமச்சீரற்ற தன்மையைக் கொண்டுள்ளது (); மற்றொன்று (வளைவு II) எதிர்மறை ().

நான்காவது மைய புள்ளி "குளிர்ச்சி" என்று அழைக்கப்படுவதை வகைப்படுத்த உதவுகிறது, அதாவது. உச்சநிலை அல்லது பிளாட்-டாப் விநியோகம். இந்த விநியோக பண்புகள் குர்டோசிஸ் என்று அழைக்கப்படுவதைப் பயன்படுத்தி விவரிக்கப்பட்டுள்ளன. சீரற்ற மாறியின் குர்டோசிஸ் என்பது அளவு

எண் 3 விகிதத்திலிருந்து கழிக்கப்படுகிறது, ஏனெனில் இயற்கையில் மிக முக்கியமான மற்றும் பரவலான சாதாரண விநியோகச் சட்டம் (நாம் பின்னர் விரிவாக அறிந்து கொள்வோம்) . எனவே, சாதாரண விநியோகத்திற்கு குர்டோசிஸ் பூஜ்ஜியமாகும்; சாதாரண வளைவுடன் ஒப்பிடும்போது அதிக உச்சத்தில் இருக்கும் வளைவுகள் நேர்மறை குர்டோசிஸைக் கொண்டுள்ளன; தட்டையான மேல்புறத்தில் இருக்கும் வளைவுகள் எதிர்மறை குர்டோசிஸ் கொண்டவை.

படத்தில். 5.7.2 காட்டுகிறது: சாதாரண விநியோகம் (வளைவு I), நேர்மறை குர்டோசிஸுடன் விநியோகம் (வளைவு II) மற்றும் எதிர்மறை குர்டோசிஸுடன் விநியோகம் (வளைவு III).

மேலே விவாதிக்கப்பட்ட ஆரம்ப மற்றும் மைய தருணங்களுக்கு கூடுதலாக, நடைமுறையில் முழுமையான தருணங்கள் (ஆரம்ப மற்றும் மத்திய) என்று அழைக்கப்படுவது சில நேரங்களில் பயன்படுத்தப்படுகிறது, இது சூத்திரங்களால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது.

வெளிப்படையாக, ஆர்டர்களின் முழுமையான தருணங்கள் சாதாரண தருணங்களுடன் ஒத்துப்போகின்றன.

முழுமையான தருணங்களில், பொதுவாகப் பயன்படுத்தப்படுவது முதல் முழுமையான மையத் தருணம்.

, (5.7.21)

எண்கணித சராசரி விலகல் என்று அழைக்கப்படுகிறது. சிதறல் மற்றும் நிலையான விலகல் ஆகியவற்றுடன், எண்கணித சராசரி விலகல் சில நேரங்களில் சிதறலின் சிறப்பியல்புகளாகப் பயன்படுத்தப்படுகிறது.

எதிர்பார்ப்பு, முறை, இடைநிலை, ஆரம்ப மற்றும் மைய தருணங்கள் மற்றும் குறிப்பாக, சிதறல், நிலையான விலகல், வளைவு மற்றும் குர்டோசிஸ் ஆகியவை சீரற்ற மாறிகளின் மிகவும் பொதுவாகப் பயன்படுத்தப்படும் எண் பண்புகளாகும். பல நடைமுறை சிக்கல்களில் முழு பண்புகள்சீரற்ற மாறி - விநியோக சட்டம் - ஒன்று தேவையில்லை அல்லது பெற முடியாது. இந்தச் சமயங்களில், உதவியைப் பயன்படுத்தி சீரற்ற மாறியின் தோராயமான விளக்கத்திற்கு வரம்பிடப்பட்டுள்ளோம். எண் பண்புகள், அவை ஒவ்வொன்றும் விநியோகத்தின் சில சிறப்பியல்பு பண்புகளை வெளிப்படுத்துகின்றன.

மிக பெரும்பாலும், எண்ணியல் பண்புகள் தோராயமாக ஒரு விநியோகத்தை மற்றொரு விநியோகத்துடன் மாற்றுவதற்குப் பயன்படுத்தப்படுகின்றன, மேலும் பொதுவாக அவை பல முக்கியமான புள்ளிகள் மாறாமல் இருக்கும் வகையில் இந்த மாற்றீட்டைச் செய்ய முயற்சிக்கின்றன.

எடுத்துக்காட்டு 1. ஒரு சோதனை மேற்கொள்ளப்படுகிறது, இதன் விளைவாக ஒரு நிகழ்வு தோன்றலாம் அல்லது தோன்றாமல் போகலாம், இதன் நிகழ்தகவு சமமாக இருக்கும். ஒரு சீரற்ற மாறி கருதப்படுகிறது - ஒரு நிகழ்வின் நிகழ்வுகளின் எண்ணிக்கை (ஒரு நிகழ்வின் சிறப்பியல்பு சீரற்ற மாறி). அதன் பண்புகளை தீர்மானிக்கவும்: கணித எதிர்பார்ப்பு, சிதறல், நிலையான விலகல்.

தீர்வு. மதிப்பு விநியோகத் தொடரில் வடிவம் உள்ளது:

நிகழ்வு நிகழாத நிகழ்தகவு எங்கே.

சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி (5.6.1) மதிப்பின் கணித எதிர்பார்ப்பைக் காண்கிறோம்:

மதிப்பின் சிதறல் சூத்திரத்தால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது (5.7.15):

(இரண்டாவது ஆரம்ப தருணத்தின் அடிப்படையில் சிதறலை வெளிப்படுத்துவதன் மூலம் வாசகர் அதே முடிவைப் பெற வேண்டும் என்று நாங்கள் பரிந்துரைக்கிறோம்).

உதாரணம் 2. ஒரு இலக்கை நோக்கி மூன்று சுயாதீன ஷாட்கள் சுடப்படுகின்றன; ஒவ்வொரு ஷாட் அடிக்கும் நிகழ்தகவு 0.4. சீரற்ற மாறி - வெற்றிகளின் எண்ணிக்கை. ஒரு அளவின் பண்புகளைத் தீர்மானிக்கவும் - கணித எதிர்பார்ப்பு, சிதறல், r.s.d., சமச்சீரற்ற தன்மை.

தீர்வு. மதிப்பு விநியோகத் தொடரில் வடிவம் உள்ளது:

அளவின் எண் பண்புகளை நாங்கள் கணக்கிடுகிறோம்.

ஆரம்ப தருணம் கே வது உத்தரவு சீரற்ற மாறிஎக்ஸ்எக்ஸ் கே :

குறிப்பாக,

மைய தருணம் கே வது உத்தரவு சீரற்ற மாறிஎக்ஸ்அளவின் கணித எதிர்பார்ப்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது கே :

. (5.11)

குறிப்பாக,

கணித எதிர்பார்ப்பு மற்றும் சிதறலின் வரையறைகள் மற்றும் பண்புகளைப் பயன்படுத்தி, நாம் அதைப் பெறலாம்

,

,

உயர் வரிசை தருணங்கள் அரிதாகவே பயன்படுத்தப்படுகின்றன.

ரேண்டம் மாறியின் பரவலானது கணித எதிர்பார்ப்புடன் சமச்சீர் என்று வைத்துக்கொள்வோம். பின்னர் அனைத்து ஒற்றைப்படை-வரிசை மையங்களும் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம். X-M[X] விலகலின் ஒவ்வொரு நேர்மறை மதிப்புக்கும் (விநியோகத்தின் சமச்சீர் காரணமாக) முழுமையான மதிப்பில் சமமான எதிர்மறை மதிப்பு உள்ளது மற்றும் அவற்றின் நிகழ்தகவுகள் ஒரே மாதிரியாக இருக்கும் என்பதன் மூலம் இதை விளக்கலாம். மையத் தருணம் ஒற்றைப்படை வரிசையாக இருந்தால் மற்றும் பூஜ்ஜியத்திற்குச் சமமாக இல்லாவிட்டால், இது விநியோகத்தின் சமச்சீரற்ற தன்மையைக் குறிக்கிறது மற்றும் அதிக தருணம், அதிக சமச்சீரற்ற தன்மையைக் குறிக்கிறது. எனவே, விநியோக சமச்சீரற்ற தன்மையின் சிறப்பியல்பு என சில ஒற்றைப்படை மைய தருணத்தை எடுத்துக்கொள்வது மிகவும் நியாயமானது. 1 வது வரிசையின் மைய தருணம் எப்போதும் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருப்பதால், இந்த நோக்கத்திற்காக 3 வது வரிசையின் மைய தருணத்தைப் பயன்படுத்துவது நல்லது. இருப்பினும், சமச்சீரற்ற தன்மையை மதிப்பிடுவதற்கு இந்த புள்ளியை ஏற்றுக்கொள்வது சிரமமாக உள்ளது, ஏனெனில் அதன் மதிப்பு சீரற்ற மாறி அளவிடப்படும் அலகுகளைப் பொறுத்தது. இந்த குறைபாட்டை நீக்க,  3 ஆனது  3 ஆல் வகுக்கப்படுகிறது, இதனால் ஒரு பண்பு கிடைக்கும்.

சமச்சீரற்ற குணகம் ஏ அளவு என்று அழைக்கப்படுகிறது

. (5.12)

அரிசி. 5.1

சமச்சீரற்ற குணகம் எதிர்மறையாக இருந்தால், இது  3 எதிர்மறை விலகல்களின் மதிப்பில் பெரிய செல்வாக்கைக் குறிக்கிறது. இந்த வழக்கில், விநியோக வளைவுகள் M[X] இன் இடதுபுறத்தில் தட்டையாக இருக்கும். குணகம் A நேர்மறையாக இருந்தால், வளைவு வலதுபுறத்தில் தட்டையானது.

அறியப்பட்டபடி, சிதறல் (2 வது மைய தருணம்) கணித எதிர்பார்ப்புகளைச் சுற்றி ஒரு சீரற்ற மாறியின் மதிப்புகளின் சிதறலை வகைப்படுத்த உதவுகிறது. அதிக சிதறல், தொடர்புடைய விநியோக வளைவு தட்டையானது. இருப்பினும், 2வது வரிசையின் இயல்பாக்கப்பட்ட தருணம்  2 / 2 "பிளாட்-டாப்" அல்லது "ஷார்ப்-டாப்" விநியோகத்தின் பண்பாக செயல்பட முடியாது, ஏனெனில் எந்தவொரு விநியோகத்திற்கும் டி[ x]/ 2 =1. இந்த வழக்கில், 4 வது வரிசை மைய தருணம் பயன்படுத்தப்படுகிறது.

அதிகப்படியான ஈ அளவு என்று அழைக்கப்படுகிறது

. (5.13)

எச்

அரிசி. 5.2

மிகவும் பொதுவான இயல்பான விநியோகச் சட்டத்திற்கு  4 / 4 =3 என்பதால் எண் 3 இங்கே தேர்ந்தெடுக்கப்பட்டது. எனவே, குர்டோசிஸ் என்பது தற்போதுள்ள விநியோகங்களை சாதாரணமாக ஒப்பிட உதவுகிறது, அதன் குர்டோசிஸ் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம். இதன் பொருள், ஒரு விநியோகத்தில் நேர்மறை குர்டோசிஸ் இருந்தால், வழக்கமான விநியோக வளைவுடன் ஒப்பிடும்போது தொடர்புடைய விநியோக வளைவு "உச்சமாக" இருக்கும்; ஒரு விநியோகத்தில் எதிர்மறை குர்டோசிஸ் இருந்தால், அதனுடன் தொடர்புடைய வளைவு "பிளாட்-டாப்" ஆகும்.

எடுத்துக்காட்டு 5.6. DSV X பின்வரும் விநியோகச் சட்டத்தால் வழங்கப்படுகிறது:

வளைவு குணகம் மற்றும் குர்டோசிஸ் ஆகியவற்றைக் கண்டறியவும்.

அரிசி. 5.4

தீர்வு . முதலில் 4 வது வரிசை வரை ஆரம்ப தருணங்களைக் கண்டுபிடிப்போம்

இப்போது மைய தருணங்களை கணக்கிடுவோம்:

கணித எதிர்பார்ப்பைக் கண்டுபிடிப்போம் எக்ஸ் 2 :

எம்(எக்ஸ் 2) = 1* 0, 6 + 4* 0, 2 + 25* 0, 19+ 10000* 0, 01 = 106, 15.

என்று பார்க்கிறோம் எம்(எக்ஸ் 2) அதிகம் எம்(எக்ஸ்). இது சதுரப்படுத்தப்பட்ட பிறகு சாத்தியமான பொருள்அளவுகள் எக்ஸ் 2 மதிப்புடன் தொடர்புடையது x=100 அளவு X, 10,000க்கு சமமாக ஆனது, அதாவது கணிசமாக அதிகரித்தது; இந்த மதிப்பின் நிகழ்தகவு குறைவாக உள்ளது (0.01).

இவ்வாறு, இருந்து மாற்றம் எம்(எக்ஸ்)க்கு எம்(எக்ஸ் 2) அந்த சாத்தியமான மதிப்பின் கணித எதிர்பார்ப்பு மீதான செல்வாக்கை சிறப்பாக கணக்கில் எடுத்துக்கொள்வதை சாத்தியமாக்கியது, இது பெரியது மற்றும் குறைந்த நிகழ்தகவு கொண்டது. நிச்சயமாக, மதிப்பு என்றால் எக்ஸ்பல பெரிய மற்றும் சாத்தியமில்லாத மதிப்புகளைக் கொண்டிருந்தது, பின்னர் மதிப்புக்கு மாற்றம் எக்ஸ் 2, மற்றும் இன்னும் அதிகமாக அளவுகள் எக்ஸ் 3 , எக்ஸ் 4, முதலியன, இந்த பெரிய, ஆனால் சாத்தியமில்லாத சாத்தியமான மதிப்புகளின் "பாத்திரத்தை மேலும் வலுப்படுத்த" அனுமதிக்கும். அதனால்தான் ஒரு சீரற்ற மாறியின் முழு எண் நேர்மறை சக்தியின் கணித எதிர்பார்ப்பைக் கருத்தில் கொள்வது நல்லது (தனிப்பட்டவை மட்டுமல்ல, தொடர்ச்சியும் கூட).

ஆர்டரின் ஆரம்ப தருணம் கேசீரற்ற மாறி எக்ஸ்ஒரு அளவின் கணித எதிர்பார்ப்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது Xk:

வி கே = எம்(எக்ஸ்).

குறிப்பாக,

v 1 = எம்(எக்ஸ்), v 2 = எம்(எக்ஸ் 2).

இந்த புள்ளிகளைப் பயன்படுத்தி, மாறுபாட்டைக் கணக்கிடுவதற்கான சூத்திரம் டி(எக்ஸ்)= எம்(எக்ஸ் 2)- [எம்(எக்ஸ்)] 2ஐ இப்படி எழுதலாம்:

டி(எக்ஸ்)=வி 2 – . (*)

சீரற்ற மாறியின் தருணங்களுக்கு கூடுதலாக எக்ஸ்விலகல் தருணங்களைக் கருத்தில் கொள்வது நல்லது எக்ஸ்-எம்(எக்ஸ்).

ஒரு சீரற்ற மாறி X இன் வரிசை k இன் மையத் தருணம், அளவின் கணித எதிர்பார்ப்பு ஆகும்.(எச்.எம்(எக்ஸ்))கே:

குறிப்பாக,

ஆரம்ப மற்றும் மைய தருணங்களை இணைக்கும் உறவுகள் எளிதில் பெறப்படுகின்றன. எடுத்துக்காட்டாக, (*) மற்றும் (***) ஆகியவற்றை ஒப்பிட்டுப் பார்க்கிறோம்

மீ 2= வி 2 – .

மைய தருணத்தின் வரையறையின் அடிப்படையில் மற்றும் கணித எதிர்பார்ப்புகளின் பண்புகளைப் பயன்படுத்தி, சூத்திரங்களைப் பெறுவது கடினம் அல்ல:

மீ 3= வி 3 – 3v 2 v 1 + 2 ,

மீ 4= வி 4 – 4v 3 v 1 + 6v 2 + 3 .

உயர் வரிசை தருணங்கள் அரிதாகவே பயன்படுத்தப்படுகின்றன.

கருத்து. இங்கே விவாதிக்கப்பட்ட புள்ளிகள் அழைக்கப்படுகின்றன தத்துவார்த்த.கோட்பாட்டு தருணங்களுக்கு மாறாக, அவதானிப்புத் தரவுகளிலிருந்து கணக்கிடப்படும் தருணங்கள் அழைக்கப்படுகின்றன அனுபவபூர்வமான.அனுபவ தருணங்களின் வரையறைகள் கீழே கொடுக்கப்பட்டுள்ளன (அத்தியாயம் XVII, § 2 ஐப் பார்க்கவும்).

பணிகள்

1. இரண்டு சுயாதீன சீரற்ற மாறிகளின் மாறுபாடுகள் அறியப்படுகின்றன: டி(எக்ஸ்) = 4, டி(ஒய்)=3. இந்த அளவுகளின் கூட்டுத்தொகையின் மாறுபாட்டைக் கண்டறியவும்.

பிரதிநிதி 7.

2. சீரற்ற மாறியின் மாறுபாடு எக்ஸ் 5க்கு சமம். பின்வரும் அளவுகளின் மாறுபாட்டைக் கண்டறியவும்: a) எக்ஸ்-1; b) -2 எக்ஸ்; V) ZH + 6.

பிரதிநிதி a) 5; b) 20; c) 45.

3. சீரற்ற மாறி எக்ஸ்இரண்டு மதிப்புகளை மட்டுமே எடுக்கும்: +C மற்றும் -C, ஒவ்வொன்றும் 0.5 நிகழ்தகவு. இந்த அளவின் மாறுபாட்டைக் கண்டறியவும்.

பிரதிநிதி உடன் 2 .

4. , அதன் விநியோக சட்டத்தை அறிந்திருத்தல்

எக்ஸ்	0, 1
பி	0, 4	0, 2	0, 15	0, 25

பிரதிநிதி 67,6404.

5. சீரற்ற மாறி எக்ஸ்இரண்டு சாத்தியமான மதிப்புகளை எடுக்கலாம்: எக்ஸ் 1 நிகழ்தகவு 0.3 மற்றும் x 2 நிகழ்தகவு 0.7, மற்றும் எக்ஸ் 2 > x 1 . கண்டுபிடி x 1 மற்றும் x 2, அதை அறிந்து எம்(எக்ஸ்) = 2, 7i டி(எக்ஸ்) =0,21.

பிரதிநிதி x 1 = 2, x 2 = 3.

6. சீரற்ற மாறியின் மாறுபாட்டைக் கண்டறியவும் எக்ஸ்- நிகழ்வுகளின் எண்ணிக்கை ஏஇரண்டில் சுயாதீன சோதனைகள், என்றால் எம்(எக்ஸ்) = 0, 8.

குறிப்பு. ஒரு நிகழ்வின் நிகழ்வுகளின் எண்ணிக்கையின் நிகழ்தகவுப் பரவலுக்கான இருசொற் சட்டத்தை எழுதவும் ஏஇரண்டு சுயாதீன சோதனைகளில்.

பிரதிநிதி 0, 48.

7. நான்கு சுயாதீனமாக இயங்கும் சாதனங்களைக் கொண்ட ஒரு சாதனம் சோதிக்கப்படுகிறது. சாதனம் செயலிழப்பதற்கான சாத்தியக்கூறுகள் பின்வருமாறு: ஆர் 1 = 0,3; ஆர் 2 = 0,4; ப 3 = 0,5; ஆர் 4 = 0.6. தோல்வியுற்ற சாதனங்களின் எண்ணிக்கையின் கணித எதிர்பார்ப்பு மற்றும் மாறுபாட்டைக் கண்டறியவும்.

பிரதிநிதி 1,8; 0,94.

8. சீரற்ற மாறியின் மாறுபாட்டைக் கண்டறியவும் எக்ஸ்- 100 சுயாதீன சோதனைகளில் நிகழ்வின் நிகழ்வுகளின் எண்ணிக்கை, ஒவ்வொன்றிலும் நிகழ்வின் நிகழ்தகவு 0.7 ஆகும்.

பிரதிநிதி 21.

9. சீரற்ற மாறியின் மாறுபாடு டி(எக்ஸ்) = 6.25. நிலையான விலகல் s( எக்ஸ்).

பிரதிநிதி 2, 5.

10. சீரற்ற மாறி என்பது விநியோகச் சட்டத்தால் குறிப்பிடப்படுகிறது

எக்ஸ்
பி	0, 1	0, 5	0, 4

இந்த மதிப்பின் நிலையான விலகலைக் கண்டறியவும்.

பிரதிநிதி 2, 2.

11. ஒரே மாதிரியாக விநியோகிக்கப்படும் பரஸ்பர சுயாதீன சீரற்ற மாறிகள் ஒவ்வொன்றின் மாறுபாடு 36 க்கு சமம். இந்த மாறிகளின் எண்கணித சராசரியின் மாறுபாட்டைக் கண்டறியவும்.

பிரதிநிதி 4.

12. ஒரே மாதிரியாக விநியோகிக்கப்படும் பரஸ்பர சுயாதீன சீரற்ற மாறிகள் ஒவ்வொன்றின் நிலையான விலகல் 10 ஆகும். இந்த மாறிகளின் எண்கணித சராசரியின் நிலையான விலகலைக் கண்டறியவும்.

பிரதிநிதி 2,5.

அத்தியாயம் ஒன்பது

பெரிய எண்களின் சட்டம்

பூர்வாங்க குறிப்புகள்

ஏற்கனவே அறியப்பட்டபடி, சோதனையின் விளைவாக ஒரு சீரற்ற மாறி எந்த சாத்தியமான மதிப்புகளை எடுக்கும் என்பதை நம்பிக்கையுடன் முன்கூட்டியே கணிக்க முடியாது; அது பல சார்ந்தது சீரற்ற காரணங்கள், கணக்கில் எடுத்துக்கொள்ள முடியாது. இந்த அர்த்தத்தில் ஒவ்வொரு சீரற்ற மாறியைப் பற்றிய மிக எளிமையான தகவல் இருப்பதால், நடத்தை முறைகள் மற்றும் போதுமான எண்ணிக்கையிலான சீரற்ற மாறிகளின் கூட்டுத்தொகையை நிறுவுவது அரிதாகவே சாத்தியம் என்று தோன்றுகிறது. உண்மையில் இது உண்மையல்ல. ஒப்பீட்டளவில் சிலருக்கு அது மாறிவிடும் பரந்த நிலைமைகள்போதுமான எண்ணிக்கையிலான சீரற்ற மாறிகளின் ஒட்டுமொத்த நடத்தை கிட்டத்தட்ட அதன் சீரற்ற தன்மையை இழந்து இயற்கையாகிறது.

நடைமுறைக்கு, பல சீரற்ற காரணங்களின் ஒருங்கிணைந்த செயல் எந்த சூழ்நிலையில் நிகழ்கிறது என்பதை அறிந்து கொள்வது மிகவும் முக்கியம், ஏனெனில் இது நிகழ்வுகளின் போக்கை முன்கூட்டியே பார்க்க அனுமதிக்கிறது. இந்த நிலைமைகள் தேற்றம் தாங்கி சுட்டிக்காட்டப்படுகின்றன பொதுவான பெயர்சட்டம் பெரிய எண்கள். இவற்றில் செபிஷேவ் மற்றும் பெர்னோலியின் கோட்பாடுகள் அடங்கும் (இங்கே விவாதிக்கப்படாத பிற கோட்பாடுகள் உள்ளன). செபிஷேவின் தேற்றம் பெரிய எண்களின் மிகவும் பொதுவான விதி, பெர்னோலியின் தேற்றம் எளிமையானது. இந்த கோட்பாடுகளை நிரூபிக்க, செபிஷேவின் சமத்துவமின்மையைப் பயன்படுத்துவோம்.

செபிஷேவின் சமத்துவமின்மை

செபிஷேவின் சமத்துவமின்மை தனித்துவமான மற்றும் தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறிகளுக்கு செல்லுபடியாகும். எளிமைக்காக, தனித்தனியான அளவுகளுக்கு இந்த சமத்துவமின்மையை நிரூபிப்பதில் நம்மை கட்டுப்படுத்துகிறோம்.

தனித்த சீரற்ற மாறியைக் கவனியுங்கள் X,விநியோக அட்டவணையில் குறிப்பிடப்பட்டுள்ளது:

எக்ஸ்	x 1	எக்ஸ் 2	…	x n
ப	ப 1	பி 2	…	ப என்

ஒரு சீரற்ற மாறியின் விலகல் அதன் கணித எதிர்பார்ப்பில் இருந்து நேர்மறை எண்ணின் முழுமையான மதிப்பை விட அதிகமாக இல்லை என்பதற்கான நிகழ்தகவை மதிப்பிடுவதற்கான பணியை நாமே அமைத்துக் கொள்வோம். e போதுமான அளவு சிறியதாக இருந்தால், அதன் நிகழ்தகவை மதிப்பிடுவோம் எக்ஸ்அதன் கணித எதிர்பார்ப்புக்கு மிகவும் நெருக்கமான மதிப்புகளை எடுக்கும். பி.எல்.செபிஷேவ் சமத்துவமின்மையை நிரூபித்தார், இது நாம் ஆர்வமாக உள்ள மதிப்பீட்டை வழங்க அனுமதிக்கிறது.

செபிஷேவின் சமத்துவமின்மை. ஒரு சீரற்ற மாறி Xன் அதன் கணித எதிர்பார்ப்பிலிருந்து முழுமையான மதிப்பில் இருந்து விலகுவது நேர்மறை எண்ணைக் காட்டிலும் குறைவாக இருப்பதற்கான நிகழ்தகவு e க்கும் குறைவாக இல்லை 1-டி(எக்ஸ்)/இ 2 :

ஆர்(|எக்ஸ் -எம்(எக்ஸ்)|< e ) 1-டி(எக்ஸ்)/இ 2 .

ஆதாரம். ஏற்றத்தாழ்வுகளை செயல்படுத்துவதில் உள்ள நிகழ்வுகள் என்பதால் |எக்ஸ்-எம்(எக்ஸ்)|மற்றும் |எக்ஸ்-எம்(எக்ஸ்)| இ,எதிரெதிர், பின்னர் அவற்றின் நிகழ்தகவுகளின் கூட்டுத்தொகை ஒன்றுக்கு சமமாக இருக்கும், அதாவது.

ஆர்(|எக்ஸ் -எம்(எக்ஸ்)|< e )+ ஆர்(|எக்ஸ் -எம்(எக்ஸ்)| இ)= 1.

எனவே நாம் ஆர்வமாக உள்ள நிகழ்தகவு

ஆர்(|எக்ஸ் -எம்(எக்ஸ்)|< e )= 1- ஆர்(|எக்ஸ் -எம்(எக்ஸ்)| இ). (*)

எனவே, நிகழ்தகவைக் கணக்கிடுவதில் சிக்கல் வருகிறது ஆர்(| எச்.எம்(எக்ஸ்)| இ).

சீரற்ற மாறியின் மாறுபாட்டிற்கான வெளிப்பாட்டை எழுதுவோம் எக்ஸ்:

டி(எக்ஸ்)= [x 1 -எம்(எக்ஸ்)] 2 ப 1 + [x 2 -எம்(எக்ஸ்)] 2 ப 2 +…+ [x n -M(எக்ஸ்)]2pn

வெளிப்படையாக, இந்தத் தொகையின் அனைத்து விதிமுறைகளும் எதிர்மறையானவை அல்ல.

அந்த விதிமுறைகளை நிராகரிப்போம் | x i-எம்(எக்ஸ்)|<இ(மீதமுள்ள விதிமுறைகளுக்கு | x ஜே-எம்(எக்ஸ்)| இ), இதன் விளைவாக, அளவு மட்டுமே குறைக்க முடியும். என்று உறுதியாகக் கருதுவதற்கு ஒப்புக்கொள்வோம் கேமுதல் விதிமுறைகள் (பொதுத்தன்மையை இழக்காமல், விநியோக அட்டவணையில் சாத்தியமான மதிப்புகள் சரியாக இந்த வரிசையில் எண்ணப்பட்டுள்ளன என்று நாம் கருதலாம்). இவ்வாறு,

டி(எக்ஸ்) [x k + 1 -எம்(எக்ஸ்)] 2 p k + 1 + [x k + 2 -எம்(எக்ஸ்)] 2 p k + z + ... +[x n -M(எக்ஸ்)] 2 pn

சமத்துவமின்மையின் இரு பக்கமும் | x ஜே - எம்(எக்ஸ்)| இ (ஜே = கே+1, கே+ 2, ..., n) நேர்மறை, எனவே, அவற்றை ஸ்கொயர் செய்தால், சமமான சமத்துவமின்மையை நாம் பெறுகிறோம் | x ஜே - எம்(எக்ஸ்)| 2 இ 2இந்தக் குறிப்பைப் பயன்படுத்துவோம், மீதமுள்ள தொகையில் உள்ள ஒவ்வொரு காரணிகளையும் மாற்றுவோம் | x ஜே - எம்(எக்ஸ்)| 2 எண்ணிக்கையில் இ 2(இந்த வழக்கில் சமத்துவமின்மை மட்டுமே அதிகரிக்க முடியும்), நாம் பெறுகிறோம்

டி(எக்ஸ்) இ 2 (r k+ 1 + p k + 2 +… + р என்). (**)

கூட்டல் தேற்றத்தின்படி, நிகழ்தகவுகளின் கூட்டுத்தொகை r k+ 1 + p k + 2 +… + р என்என்று ஒரு வாய்ப்பு உள்ளது எக்ஸ்மதிப்புகளில் எதுவாக இருந்தாலும் ஒன்றை எடுக்கும் x k + 1 , x k+ 2 ,....x p,மேலும் அவற்றில் ஏதேனும் விலகல் சமத்துவமின்மையை நிறைவு செய்கிறது | x ஜே - எம்(எக்ஸ்)| இஅதன் பின் வரும் தொகை r k+ 1 + p k + 2 +… + р என்நிகழ்தகவை வெளிப்படுத்துகிறது

பி(|எக்ஸ் - எம்(எக்ஸ்)| இ)

இந்தக் கருத்தில் சமத்துவமின்மையை (**) பின்வருமாறு மீண்டும் எழுத அனுமதிக்கிறது:

டி(எக்ஸ்) இ 2 பி(|எக்ஸ் - எம்(எக்ஸ்)| இ),

பி(|எக்ஸ் - எம்(எக்ஸ்)| இ)டி(எக்ஸ்) /இ 2 (***)

(***) ஐ (*) க்கு மாற்றினால், நாம் இறுதியாகப் பெறுகிறோம்

பி(|எக்ஸ் - எம்(எக்ஸ்)| <இ) 1-டி(எக்ஸ்) /இ 2 ,

கே.இ.டி.

கருத்து. செபிஷேவின் சமத்துவமின்மை மட்டுப்படுத்தப்பட்ட நடைமுறை முக்கியத்துவத்தைக் கொண்டுள்ளது, ஏனெனில் இது பெரும்பாலும் தோராயமான மற்றும் சில சமயங்களில் அற்பமான (ஆர்வமில்லாத) மதிப்பீட்டைக் கொடுக்கிறது. உதாரணமாக, என்றால் டி(எக்ஸ்)> இ 2 மற்றும் எனவே டி(எக்ஸ்)/இ 2 > 1 பின்னர் 1 -டி(எக்ஸ்)/இ 2 < 0; எனவே, இந்த வழக்கில், செபிஷேவின் சமத்துவமின்மை விலகலின் நிகழ்தகவு எதிர்மறையானது அல்ல என்பதைக் குறிக்கிறது, மேலும் இது ஏற்கனவே தெளிவாக உள்ளது, ஏனெனில் எந்தவொரு நிகழ்தகவும் எதிர்மறை எண்ணால் வெளிப்படுத்தப்படுகிறது.

செபிஷேவின் சமத்துவமின்மையின் தத்துவார்த்த முக்கியத்துவம் மிகப் பெரியது. செபிஷேவின் தேற்றத்தைப் பெற இந்த சமத்துவமின்மையை கீழே பயன்படுத்துவோம்.

செபிஷேவின் தேற்றம்

செபிஷேவின் தேற்றம். எக்ஸ் என்றால் 1 , எக்ஸ் 2 ,..., X n, ...-ஜோடிவரிசை சார்பற்ற சீரற்ற மாறிகள் மற்றும் அவற்றின் மாறுபாடுகள் ஒரே மாதிரியாகக் கட்டுப்படுத்தப்படுகின்றன(நிலையான எண் C ஐ விட அதிகமாக இல்லை), e நேர்மறை எண் எவ்வளவு சிறியதாக இருந்தாலும், சமத்துவமின்மையின் நிகழ்தகவு

வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், தேற்றத்தின் நிபந்தனைகளின் கீழ்

எனவே, செபிஷேவின் தேற்றம், வரையறுக்கப்பட்ட மாறுபாடுகளுடன் போதுமான அளவு சுயாதீன சீரற்ற மாறிகள் கருதப்பட்டால், அந்த நிகழ்வு கிட்டத்தட்ட நம்பகமானதாகக் கருதப்படலாம், இதில் சீரற்ற மாறிகளின் எண்கணித சராசரியின் விலகல் அவற்றின் எண்கணித சராசரியிலிருந்து விலகுகிறது. கணித எதிர்பார்ப்புகள் தன்னிச்சையாக பெரிய முழுமையான மதிப்பில் சிறியதாக இருக்கும்

ஆதாரம். ஒரு புதிய சீரற்ற மாறியை கருத்தில் கொள்வோம் - சீரற்ற மாறிகளின் எண்கணித சராசரி

=(எக்ஸ் 1 +எக்ஸ் 2 +…+எக்ஸ் என்)/என்.

கணித எதிர்பார்ப்பைக் கண்டுபிடிப்போம் . கணித எதிர்பார்ப்புகளின் பண்புகளைப் பயன்படுத்தி (நிலையான காரணி கணித எதிர்பார்ப்பின் அடையாளத்திலிருந்து எடுக்கப்படலாம், தொகையின் கணித எதிர்பார்ப்பு விதிமுறைகளின் கணித எதிர்பார்ப்புகளின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம்), நாங்கள் பெறுகிறோம்

எம் = . (*)

செபிஷேவின் சமத்துவமின்மையை அளவுடன் பயன்படுத்துகிறோம்

வலது புறத்தை (***) சமத்துவமின்மையாக மாற்றுவது (**) (அதனால்தான் பிந்தையதை மட்டுமே பலப்படுத்த முடியும்), எங்களிடம் உள்ளது

இங்கிருந்து, இல் உள்ள வரம்பைக் கடந்து, நாங்கள் பெறுகிறோம்

இறுதியாக, நிகழ்தகவு ஒன்றுக்கு மேல் இருக்கக்கூடாது என்பதை கணக்கில் எடுத்துக்கொண்டு, இறுதியாக எழுதலாம்

தேற்றம் நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது.

மேலே, செபிஷேவின் தேற்றத்தை உருவாக்கும் போது, ​​சீரற்ற மாறிகள் வெவ்வேறு கணித எதிர்பார்ப்புகளைக் கொண்டுள்ளன என்று நாங்கள் கருதினோம். நடைமுறையில், சீரற்ற மாறிகள் ஒரே கணித எதிர்பார்ப்பைக் கொண்டிருப்பது பெரும்பாலும் நிகழ்கிறது. வெளிப்படையாக, இந்த அளவுகளின் சிதறல்கள் குறைவாக இருப்பதாக நாம் மீண்டும் கருதினால், செபிஷேவின் தேற்றம் அவர்களுக்குப் பொருந்தும்.

ஒவ்வொரு சீரற்ற மாறிகளின் கணித எதிர்பார்ப்பையும் குறிப்போம் ஏ;பரிசீலனையில் உள்ள வழக்கில், கணித எதிர்பார்ப்புகளின் எண்கணித சராசரி, பார்ப்பதற்கு எளிதாக இருக்கும் ஏ.பரிசீலனையில் உள்ள குறிப்பிட்ட வழக்கிற்கு செபிஷேவின் தேற்றத்தை நாம் உருவாக்கலாம்.

எக்ஸ் என்றால் 1 , எக்ஸ் 2 , ..., ஹெச்பி...-ஒரே மாதிரியான கணித எதிர்பார்ப்பைக் கொண்ட ஜோடிவரிசை சார்பற்ற சீரற்ற மாறிகள், மற்றும் இந்த மாறிகளின் மாறுபாடுகள் ஒரே மாதிரியாக வரம்புக்குட்பட்டால், எண் e எவ்வளவு சிறியதாக இருந்தாலும் சரி.> ஓ, சமத்துவமின்மை நிகழ்தகவு

சீரற்ற மாறிகளின் எண்ணிக்கை போதுமானதாக இருந்தால், விரும்பியபடி ஒற்றுமைக்கு நெருக்கமாக இருக்கும்.

வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், தேற்றத்தின் நிபந்தனைகளின் கீழ் சமத்துவம் இருக்கும்

செபிஷேவின் தேற்றத்தின் சாராம்சம்

நிரூபிக்கப்பட்ட தேற்றத்தின் சாராம்சம் பின்வருமாறு: தனிப்பட்ட சுயாதீன சீரற்ற மாறிகள் அவற்றின் கணித எதிர்பார்ப்புகளிலிருந்து வெகு தொலைவில் மதிப்புகளை எடுக்க முடியும் என்றாலும், அதிக நிகழ்தகவு கொண்ட போதுமான பெரிய எண்ணிக்கையிலான சீரற்ற மாறிகளின் எண்கணித சராசரியானது ஒரு குறிப்பிட்ட மாறிலிக்கு நெருக்கமான மதிப்புகளை எடுக்கும். எண், அதாவது எண் ( எம்(எக்ஸ் 1)+ எம்(எக்ஸ் 2)+...+எம்(எக்ஸ் பக்))/ப(அல்லது எண்ணுக்கு ஏஒரு சிறப்பு வழக்கில்). வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், தனிப்பட்ட சீரற்ற மாறிகள் குறிப்பிடத்தக்க சிதறலைக் கொண்டிருக்கலாம், மேலும் அவற்றின் எண்கணித சராசரியானது சிதறி சிறியதாக இருக்கும்.

எனவே, சீரற்ற மாறிகள் ஒவ்வொன்றும் என்ன சாத்தியமான மதிப்பை எடுக்கும் என்பதை ஒருவர் நம்பிக்கையுடன் கணிக்க முடியாது, ஆனால் அவற்றின் எண்கணித சராசரி என்ன மதிப்பை எடுக்கும் என்பதை ஒருவர் கணிக்க முடியும்.

எனவே, போதுமான அளவு சுயாதீன சீரற்ற மாறிகளின் எண்கணித சராசரி(அதன் மாறுபாடுகள் ஒரே மாதிரியாகக் கட்டுப்படுத்தப்படுகின்றன) சீரற்ற மாறியின் தன்மையை இழக்கிறது.அவற்றின் கணித எதிர்பார்ப்புகளிலிருந்து ஒவ்வொரு அளவுகளின் விலகல்கள் நேர்மறையாகவும் எதிர்மறையாகவும் இருக்கலாம், மேலும் எண்கணிதத்தில் அவை ஒன்றையொன்று ரத்து செய்கின்றன என்பதன் மூலம் இது விளக்கப்படுகிறது.

செபிஷேவின் தேற்றம் தனித்தன்மைக்கு மட்டுமல்ல, தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறிகளுக்கும் செல்லுபடியாகும்; அவள் ஒரு பிரகாசமான உதாரணம், வாய்ப்புக்கும் தேவைக்கும் இடையே உள்ள தொடர்பைப் பற்றிய இயங்கியல் பொருள்முதல்வாதத்தின் போதனைகளின் செல்லுபடியை உறுதிப்படுத்துகிறது.

கணித எதிர்பார்ப்பு. கணித எதிர்பார்ப்புதனித்த சீரற்ற மாறி எக்ஸ், வரையறுக்கப்பட்ட எண்ணிக்கையிலான மதிப்புகளை எடுத்துக்கொள்வது எக்ஸ்iநிகழ்தகவுகளுடன் ஆர்i, தொகை அழைக்கப்படுகிறது:

கணித எதிர்பார்ப்புதொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறி எக்ஸ்அதன் மதிப்புகளின் உற்பத்தியின் ஒருங்கிணைப்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது எக்ஸ்நிகழ்தகவு பரவல் அடர்த்தி மீது f(x):

(6பி)

முறையற்ற ஒருங்கிணைப்பு (6 பி) முற்றிலும் ஒன்றிணைந்ததாகக் கருதப்படுகிறது (இல்லையெனில் அவர்கள் கணித எதிர்பார்ப்பு என்று கூறுகிறார்கள் எம்(எக்ஸ்) இல்லை). கணித எதிர்பார்ப்பு வகைப்படுத்துகிறது சராசரி மதிப்புசீரற்ற மாறி எக்ஸ். அதன் பரிமாணம் சீரற்ற மாறியின் பரிமாணத்துடன் ஒத்துப்போகிறது.

கணித எதிர்பார்ப்பின் பண்புகள்:

சிதறல். மாறுபாடுசீரற்ற மாறி எக்ஸ்எண் அழைக்கப்படுகிறது:

மாறுபாடு உள்ளது சிதறல் பண்புசீரற்ற மாறி மதிப்புகள் எக்ஸ்அதன் சராசரி மதிப்புடன் தொடர்புடையது எம்(எக்ஸ்) மாறுபாட்டின் பரிமாணம் ரேண்டம் மாறி ஸ்கொயர்களின் பரிமாணத்திற்கு சமம். ஒரு தனித்த சீரற்ற மாறிக்கான மாறுபாடு (8) மற்றும் கணித எதிர்பார்ப்பு (5) மற்றும் தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறிக்கான (6) ஆகியவற்றின் வரையறைகளின் அடிப்படையில், மாறுபாட்டிற்கான ஒத்த வெளிப்பாடுகளைப் பெறுகிறோம்:

(9)

இங்கே மீ = எம்(எக்ஸ்).

சிதறல் பண்புகள்:

நிலையான விலகல்:

(11)

சராசரியின் பரிமாணத்திலிருந்து சதுர விலகல்ஒரு சீரற்ற மாறியைப் போலவே, இது பெரும்பாலும் மாறுபாட்டை விட சிதறலின் அளவீடாகப் பயன்படுத்தப்படுகிறது.

விநியோக தருணங்கள். கணித எதிர்பார்ப்பு மற்றும் சிதறல் பற்றிய கருத்துக்கள் இன்னும் சிறப்பு நிகழ்வுகளாகும் பொதுவான கருத்துசீரற்ற மாறிகளின் எண் பண்புகளுக்கு - விநியோக தருணங்கள். சீரற்ற மாறியின் விநியோகத்தின் தருணங்கள் ஒரு சீரற்ற மாறியின் சில எளிய செயல்பாடுகளின் கணித எதிர்பார்ப்புகளாக அறிமுகப்படுத்தப்படுகின்றன. எனவே, உத்தரவின் தருணம் கேபுள்ளியுடன் தொடர்புடையது எக்ஸ் 0 என்பது கணித எதிர்பார்ப்பு எனப்படும் எம்(எக்ஸ்–எக்ஸ் 0 )கே. தோற்றம் பற்றிய தருணங்கள் எக்ஸ்= 0 அழைக்கப்படுகிறது ஆரம்ப தருணங்கள்மற்றும் நியமிக்கப்பட்டுள்ளன:

(12)

முதல் வரிசையின் ஆரம்ப தருணம் பரிசீலனையில் உள்ள சீரற்ற மாறியின் விநியோகத்தின் மையமாகும்:

(13)

விநியோக மையம் பற்றிய தருணங்கள் எக்ஸ்= மீஅழைக்கப்படுகின்றன மைய புள்ளிகள்மற்றும் நியமிக்கப்பட்டுள்ளன:

(14)

(7) இலிருந்து, முதல்-வரிசை மையத் தருணம் எப்போதும் பூஜ்ஜியத்திற்குச் சமமாக இருக்கும்:

சீரற்ற மாறியின் மதிப்புகளின் தோற்றத்தை மைய தருணங்கள் சார்ந்து இல்லை, ஏனெனில் நிலையான மதிப்பால் மாற்றப்படும் உடன்அதன் விநியோக மையம் அதே மதிப்பில் மாறுகிறது உடன், மற்றும் மையத்திலிருந்து விலகல் மாறாது: எக்ஸ் – மீ = (எக்ஸ் – உடன்) – (மீ – உடன்).
இப்போது அது தெளிவாகிறது சிதறல்- இது இரண்டாவது வரிசை மைய தருணம்:

சமச்சீரற்ற தன்மை. மூன்றாம் வரிசை மைய தருணம்:

(17)

மதிப்பீட்டிற்கு உதவுகிறது விநியோக சமச்சீரற்ற தன்மை. விநியோகம் புள்ளியைப் பற்றி சமச்சீராக இருந்தால் எக்ஸ்= மீ, பின்னர் மூன்றாவது வரிசையின் மையத் தருணம் பூஜ்ஜியத்திற்குச் சமமாக இருக்கும் (ஒற்றைப்படை வரிசைகளின் அனைத்து மையத் தருணங்களைப் போல). எனவே, மூன்றாம் வரிசை மையத் தருணம் பூஜ்ஜியத்திலிருந்து வேறுபட்டால், விநியோகம் சமச்சீராக இருக்க முடியாது. சமச்சீரற்ற தன்மையின் அளவு பரிமாணமற்றதைப் பயன்படுத்தி மதிப்பிடப்படுகிறது சமச்சீரற்ற குணகம்:

(18)

சமச்சீரற்ற குணகத்தின் அடையாளம் (18) வலது அல்லது இடது பக்க சமச்சீரற்ற தன்மையைக் குறிக்கிறது (படம் 2).

அரிசி. 2. விநியோக சமச்சீரற்ற வகைகள்.

அதிகப்படியான. நான்காவது வரிசை மைய தருணம்:

(19)

என்று அழைக்கப்படுவதை மதிப்பீடு செய்ய உதவுகிறது அதிகப்படியான, இது சாதாரண விநியோக வளைவுடன் தொடர்புடைய விநியோகத்தின் மையத்திற்கு அருகிலுள்ள விநியோக வளைவின் செங்குத்தான (உச்சநிலை) அளவை தீர்மானிக்கிறது. ஒரு சாதாரண விநியோகத்திற்காக, குர்டோசிஸாக எடுக்கப்பட்ட மதிப்பு:

(20)

படத்தில். வெவ்வேறு குர்டோசிஸ் மதிப்புகள் கொண்ட விநியோக வளைவுகளின் உதாரணங்களை படம் 3 காட்டுகிறது. சாதாரண விநியோகத்திற்காக ஈ= 0. இயல்பை விட அதிக உச்சத்தில் இருக்கும் வளைவுகள் நேர்மறை குர்டோசிஸைக் கொண்டிருக்கின்றன, மேலும் தட்டையான மேல்புறத்தில் உள்ளவை எதிர்மறை குர்டோசிஸ் கொண்டவை.

அரிசி. 3. உடன் விநியோக வளைவுகள் மாறுபட்ட அளவுகள்குளிர்ச்சி (அதிகப்படியான).

பொறியியல் பயன்பாடுகளில் உயர்-வரிசை தருணங்கள் கணித புள்ளிவிவரங்கள்பொதுவாக பயன்படுத்தப்படுவதில்லை.

ஃபேஷன் தனித்தனிஒரு சீரற்ற மாறி அதன் மிகவும் சாத்தியமான மதிப்பு. ஃபேஷன் தொடர்ச்சியானஒரு சீரற்ற மாறி என்பது நிகழ்தகவு அடர்த்தி அதிகபட்சமாக இருக்கும் அதன் மதிப்பு (படம் 2). விநியோக வளைவில் அதிகபட்சம் ஒன்று இருந்தால், விநியோகம் அழைக்கப்படுகிறது ஒரே மாதிரியான. ஒரு விநியோக வளைவில் ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட அதிகபட்சம் இருந்தால், விநியோகம் அழைக்கப்படுகிறது பலவகை. சில நேரங்களில் வளைவுகள் அதிகபட்சத்தை விட குறைந்தபட்சம் கொண்ட விநியோகங்கள் உள்ளன. இத்தகைய விநியோகங்கள் அழைக்கப்படுகின்றன எதிர்ப்பு மாதிரி. IN பொது வழக்குசீரற்ற மாறியின் பயன்முறை மற்றும் கணித எதிர்பார்ப்பு ஆகியவை ஒத்துப்போவதில்லை. சிறப்பு வழக்கில், க்கான மாதிரி, அதாவது ஒரு பயன்முறை, சமச்சீர் விநியோகம் மற்றும் ஒரு கணித எதிர்பார்ப்பு இருந்தால், பிந்தையது விநியோக முறை மற்றும் சமச்சீர் மையத்துடன் ஒத்துப்போகிறது.

இடைநிலை சீரற்ற மாறி எக்ஸ்- இதுதான் அதன் பொருள் மெஹ், இதற்கு சமத்துவம் உள்ளது: அதாவது. சீரற்ற மாறி என்பது சமமாக சாத்தியமாகும் எக்ஸ்குறைவாகவோ அல்லது அதிகமாகவோ இருக்கும் மெஹ். வடிவியல் ரீதியாக சராசரிவிநியோக வளைவின் கீழ் பகுதி பாதியாக பிரிக்கப்பட்ட புள்ளியின் abscissa ஆகும் (படம் 2). சமச்சீர் மாதிரி விநியோகத்தில், இடைநிலை, பயன்முறை மற்றும் கணித எதிர்பார்ப்பு ஆகியவை ஒரே மாதிரியாக இருக்கும்.