ஒரு முக்கோணத்தின் பரப்பளவு கால்களின் சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம். வலது முக்கோணம்

பல்வேறு வழிகள்பித்தகோரியன் தேற்றத்தின் ஆதாரம்

9வது "ஏ" வகுப்பு மாணவர்

முனிசிபல் கல்வி நிறுவனம் மேல்நிலைப் பள்ளி எண். 8

அறிவியல் ஆலோசகர்:

கணித ஆசிரியர்,

முனிசிபல் கல்வி நிறுவனம் மேல்நிலைப் பள்ளி எண். 8

கலை. Novorozhdestvenskaya

கிராஸ்னோடர் பகுதி.

கலை. Novorozhdestvenskaya

சிறுகுறிப்பு.

பித்தகோரியன் தேற்றம் வடிவவியலின் போக்கில் மிக முக்கியமானதாகக் கருதப்படுகிறது மற்றும் நெருக்கமான கவனத்திற்கு தகுதியானது. இது பல வடிவியல் சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதற்கான அடிப்படையாகும், எதிர்காலத்தில் கோட்பாட்டு மற்றும் நடைமுறை வடிவியல் படிப்புகளைப் படிப்பதற்கான அடிப்படையாகும். தேற்றம் அதன் தோற்றம் மற்றும் ஆதார முறைகள் தொடர்பான வரலாற்றுப் பொருட்களின் செல்வத்தால் சூழப்பட்டுள்ளது. வடிவவியலின் வளர்ச்சியின் வரலாற்றைப் படிப்பது இந்த விஷயத்தில் ஒரு அன்பைத் தூண்டுகிறது, அறிவாற்றல் ஆர்வம், பொது கலாச்சாரம் மற்றும் படைப்பாற்றல் ஆகியவற்றின் வளர்ச்சியை ஊக்குவிக்கிறது, மேலும் ஆராய்ச்சி திறன்களையும் வளர்க்கிறது.

தேடல் செயல்பாட்டின் விளைவாக, வேலையின் குறிக்கோள் அடையப்பட்டது, இது பித்தகோரியன் தேற்றத்தின் ஆதாரம் பற்றிய அறிவை நிரப்புதல் மற்றும் பொதுமைப்படுத்துதல் ஆகும். பள்ளி பாடப்புத்தகத்தின் பக்கங்களுக்கு அப்பால் சென்று, பல்வேறு ஆதார முறைகளைக் கண்டுபிடித்து பரிசீலிக்கவும், தலைப்பில் அறிவை ஆழப்படுத்தவும் முடிந்தது.

சேகரிக்கப்பட்ட பொருள் பித்தகோரியன் தேற்றம் வடிவவியலின் ஒரு சிறந்த தேற்றம் மற்றும் மகத்தான கோட்பாட்டு மற்றும் நடைமுறை முக்கியத்துவம் வாய்ந்தது என்பதை மேலும் நம்ப வைக்கிறது.

அறிமுகம். வரலாற்றுக் குறிப்பு 5 முக்கிய பகுதி 8

3. முடிவு 19

4. பயன்படுத்தப்பட்ட இலக்கியம் 20
1. அறிமுகம். வரலாற்றுக் குறிப்பு.

உண்மையின் சாராம்சம், அது எப்போதும் நமக்காக,

ஒரு முறையாவது அவள் பார்வையில் நாம் ஒளியைப் பார்க்கிறோம்,

மற்றும் பல ஆண்டுகளுக்குப் பிறகு பித்தகோரியன் தேற்றம்

எங்களைப் பொறுத்தவரை, அவரைப் பொறுத்தவரை, அது மறுக்க முடியாதது, குறைபாடற்றது.

மகிழ்ச்சியாக, பித்தகோரஸ் தெய்வங்களுக்கு ஒரு சபதம் செய்தார்:

எல்லையற்ற ஞானத்தைத் தொட்டதற்காக,

அவர் நூறு காளைகளை அறுத்தார், நித்தியமானவர்களுக்கு நன்றி;

பாதிக்கப்பட்டவருக்குப் பிறகு அவர் பிரார்த்தனை மற்றும் பாராட்டுகளை வழங்கினார்.

அன்றிலிருந்து, காளைகள் வாசனை வந்ததும், அவை தள்ளும்

அந்தப் பாதை மீண்டும் ஒரு புதிய உண்மைக்கு மக்களை அழைத்துச் செல்கிறது.

அவர்கள் ஆவேசமாக கர்ஜிக்கிறார்கள், எனவே கேட்பதில் அர்த்தமில்லை,

அத்தகைய பித்தகோரஸ் அவர்களுக்குள் என்றென்றும் பயங்கரத்தை விதைத்தார்.

புதிய உண்மையை எதிர்க்க சக்தியற்ற காளைகள்,

என்ன மிச்சம்? - கண்களை மூடிக்கொண்டு, உறுமுதல், நடுக்கம்.

பிதாகரஸ் தனது தேற்றத்தை எவ்வாறு நிரூபித்தார் என்பது தெரியவில்லை. எகிப்திய அறிவியலின் வலுவான செல்வாக்கின் கீழ் அவர் அதைக் கண்டுபிடித்தார் என்பது உறுதியானது. பித்தகோரியன் தேற்றத்தின் ஒரு சிறப்பு வழக்கு - 3, 4 மற்றும் 5 பக்கங்களைக் கொண்ட ஒரு முக்கோணத்தின் பண்புகள் - பித்தகோரஸ் பிறப்பதற்கு நீண்ட காலத்திற்கு முன்பே பிரமிடுகளைக் கட்டுபவர்களுக்குத் தெரிந்திருந்தது, மேலும் அவரே 20 ஆண்டுகளுக்கும் மேலாக எகிப்திய பாதிரியார்களுடன் படித்தார். ஒரு புராணக்கதை பாதுகாக்கப்படுகிறது, இது அவரது புகழ்பெற்ற தேற்றத்தை நிரூபித்த பிறகு, பித்தகோரஸ் கடவுள்களுக்கு ஒரு காளையை தியாகம் செய்தார், மற்ற ஆதாரங்களின்படி, 100 காளைகள் கூட. இருப்பினும், இது பித்தகோரஸின் தார்மீக மற்றும் மதக் கருத்துக்கள் பற்றிய தகவலுக்கு முரணானது. இலக்கிய ஆதாரங்களில் அவர் "விலங்குகளைக் கொல்வதைக் கூட தடைசெய்தார், அவற்றைக் குறைவாக உண்பது, ஏனென்றால் விலங்குகளுக்கு நம்மைப் போலவே ஆன்மாக்கள் உள்ளன." பித்தகோரஸ் தேன், ரொட்டி, காய்கறிகள் மற்றும் எப்போதாவது மீன் மட்டுமே சாப்பிட்டார். இவை அனைத்தும் தொடர்பாக, பின்வரும் நுழைவு மிகவும் நம்பத்தகுந்ததாகக் கருதப்படலாம்: "... ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தில் ஹைப்போடென்யூஸ் கால்களுக்கு ஒத்திருப்பதைக் கண்டறிந்தபோதும், அவர் கோதுமை மாவால் செய்யப்பட்ட காளையை பலியிட்டார்."

பித்தகோரியன் தேற்றத்தின் புகழ் மிகப் பெரியது, அதன் சான்றுகள் புனைகதைகளில் கூட காணப்படுகின்றன, எடுத்துக்காட்டாக, பிரபல ஆங்கில எழுத்தாளர் ஹக்ஸ்லியின் "யங் ஆர்க்கிமிடிஸ்" கதையில். அதே ஆதாரம், ஆனால் ஐசோசெல்ஸ் செங்கோண முக்கோணத்தின் சிறப்பு நிகழ்வுக்கு, பிளேட்டோவின் உரையாடல் "மெனோ" இல் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.

விசித்திரக் கதை "வீடு".

“விமானங்கள் கூட பறக்காத தூரம், தூரம், ஜியோமெட்ரி நாடு. இந்த அசாதாரண நாட்டில் ஒரு அற்புதமான நகரம் இருந்தது - தியோரம் நகரம். ஒரு நாள் இந்த ஊருக்கு வந்தேன் அழகான பெண் Hypotenuse என்று பெயரிடப்பட்டது. அவள் ஒரு அறையை வாடகைக்கு எடுக்க முயன்றாள், ஆனால் அவள் எங்கு விண்ணப்பித்தாலும், அவள் நிராகரிக்கப்பட்டாள். கடைசியாக அவள் கசங்கிய வீட்டை நெருங்கி தட்டினாள். தன்னை ரைட் ஆங்கிள் என்று அழைத்துக் கொண்ட ஒரு மனிதன் அவளிடம் கதவைத் திறந்தான், மேலும் அவன் தன்னுடன் வாழ ஹைபோடென்யூஸை அழைத்தான். வலது கோணம் மற்றும் கேட்டட்ஸ் என்ற அவரது இரண்டு இளம் மகன்கள் வாழ்ந்த வீட்டில் ஹைப்போடென்யூஸ் இருந்தது. அப்போதிருந்து, வலது கோண வீட்டில் வாழ்க்கை ஒரு புதிய வழியில் மாறிவிட்டது. ஹைப்போடென்யூஸ் ஜன்னலில் பூக்களை நட்டு, முன் தோட்டத்தில் சிவப்பு ரோஜாக்களை நட்டார். வீடு செங்கோண முக்கோண வடிவத்தை எடுத்தது. இரண்டு கால்களும் ஹைப்போடினஸை மிகவும் விரும்பின, மேலும் அவளை எப்போதும் தங்கள் வீட்டில் இருக்கச் சொன்னது. மாலை நேரங்களில், இந்த நட்பு குடும்பம் குடும்ப மேஜையில் கூடுகிறது. சில நேரங்களில் வலது கோணம் தனது குழந்தைகளுடன் ஒளிந்து விளையாடுகிறது. பெரும்பாலும் அவர் பார்க்க வேண்டும், மற்றும் ஹைபோடென்யூஸ் மிகவும் திறமையாக மறைக்கிறது, அதைக் கண்டுபிடிப்பது மிகவும் கடினம். ஒரு நாள், விளையாடும் போது, ​​வலது கோணம் ஒரு சுவாரஸ்யமான சொத்தை கவனித்தது: அவர் கால்களைக் கண்டுபிடிக்க முடிந்தால், ஹைபோடென்யூஸைக் கண்டுபிடிப்பது கடினம் அல்ல. எனவே வலது கோணம் இந்த வடிவத்தைப் பயன்படுத்துகிறது, நான் மிகவும் வெற்றிகரமாக சொல்ல வேண்டும். பித்தகோரியன் தேற்றம் இந்த செங்கோண முக்கோணத்தின் பண்புகளை அடிப்படையாகக் கொண்டது.

(A. Okunev எழுதிய புத்தகத்திலிருந்து "பாடத்திற்கு நன்றி, குழந்தைகள்").

தேற்றத்தின் நகைச்சுவையான உருவாக்கம்:

நமக்கு ஒரு முக்கோணம் கொடுக்கப்பட்டால்

மற்றும் ஒரு சரியான கோணத்தில்,

அது ஹைப்போடென்யூஸின் சதுரம்

நாம் எப்போதும் எளிதாக கண்டுபிடிக்க முடியும்:

நாங்கள் கால்களை சதுரமாக்குகிறோம்,

அதிகாரங்களின் கூட்டுத்தொகையை நாம் காண்கிறோம் -

மற்றும் அத்தகைய எளிய வழியில்

முடிவுக்கு வருவோம்.

10 ஆம் வகுப்பில் இயற்கணிதம் மற்றும் பகுப்பாய்வு மற்றும் வடிவவியலின் தொடக்கங்களைப் படிக்கும்போது, ​​8 ஆம் வகுப்பில் விவாதிக்கப்பட்ட பித்தகோரியன் தேற்றத்தை நிரூபிக்கும் முறையைத் தவிர, மற்ற ஆதார முறைகளும் உள்ளன என்பதை நான் உறுதியாக நம்பினேன். அவற்றை உங்கள் பார்வைக்கு முன்வைக்கிறேன்.
2. முக்கிய பகுதி.

தேற்றம். ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தில் ஒரு சதுரம் உள்ளது

ஹைப்போடென்யூஸ் கால்களின் சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம்.

1 முறை.

பலகோணங்களின் பகுதிகளின் பண்புகளைப் பயன்படுத்தி, ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் ஹைப்போடென்யூஸ் மற்றும் கால்களுக்கு இடையே ஒரு குறிப்பிடத்தக்க உறவை ஏற்படுத்துவோம்.

ஆதாரம்.

a, cமற்றும் ஹைப்போடென்யூஸ் உடன்(படம் 1, அ).

என்பதை நிரூபிப்போம் c²=a²+b².

ஆதாரம்.

முக்கோணத்தை பக்கவாட்டுடன் சதுரமாக முடிப்போம் a + bபடத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளபடி. 1, பி. இந்த சதுரத்தின் S பகுதி (a + b)² ஆகும். மறுபுறம், இந்த சதுரம் நான்கு சமமான வலது கோண முக்கோணங்களால் ஆனது, ஒவ்வொன்றும் ½ பரப்பளவைக் கொண்டுள்ளது அச்சோ, மற்றும் பக்கத்துடன் ஒரு சதுரம் உடன்,எனவே எஸ் = 4 * ½ aw + கள்² = 2aw + கள்².

இதனால்,

(a + b)² = 2 aw + கள்²,

c²=a²+b².

தேற்றம் நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது.
2 முறை.

"ஒத்த முக்கோணங்கள்" என்ற தலைப்பைப் படித்த பிறகு, பித்தகோரியன் தேற்றத்தின் நிரூபணத்திற்கு முக்கோணங்களின் ஒற்றுமையைப் பயன்படுத்தலாம் என்பதைக் கண்டறிந்தேன். அதாவது, ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் கால் என்பது ஹைப்போடென்ஸுக்கு சராசரி விகிதாசாரமாகும் என்ற கூற்றை நான் பயன்படுத்தினேன். வலது கோணம்.

வலது கோணம் C, CD - உயரம் (படம் 2) கொண்ட ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தைக் கவனியுங்கள். என்பதை நிரூபிப்போம் ஏசி² +NE² = ஏபி² .

ஆதாரம்.

வலது முக்கோணத்தின் கால் பற்றிய அறிக்கையின் அடிப்படையில்:

ஏசி = , எஸ்வி = .

நாம் சதுரம் செய்து அதன் விளைவாக வரும் சமத்துவங்களைச் சேர்ப்போம்:

AC² = AB * AD, CB² = AB * DB;

AC² + CB² = AB * (AD + DB), AD+DB=AB, பின்னர்

AC² + CB² = AB * AB,

AC² + CB² = AB².

ஆதாரம் முழுமையானது.
3 முறை.

பித்தகோரியன் தேற்றத்தை நிரூபிக்க, நீங்கள் ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் தீவிர கோணத்தின் கொசைனின் வரையறையைப் பயன்படுத்தலாம். படம் பார்க்கலாம். 3.

ஆதாரம்:

ABC ஆனது செங்கோண C உடன் கொடுக்கப்பட்ட செங்கோண முக்கோணமாக இருக்கட்டும். C. செங்கோணத்தின் உச்சியில் இருந்து உயர CD ஐ வரைவோம்.

ஒரு கோணத்தின் கொசைன் வரையறையின்படி:

cos A = AD/AC = AC/AB. எனவே AB * AD = AC²

அதேபோல்,

cos B = ВD/ВС = ВС/АВ.

எனவே AB * BD = BC².

இதன் விளைவாக வரும் சமத்துவ காலத்தை கால வாரியாக சேர்த்து, AD + DB = AB என்று குறிப்பிட்டு, நாம் பெறுகிறோம்:

ஏசி² + சூரியன்² = AB (AD + DB) = ஏபி²

ஆதாரம் முழுமையானது.
4 முறை.

"செங்கோண முக்கோணத்தின் பக்கங்களுக்கும் கோணங்களுக்கும் இடையிலான உறவுகள்" என்ற தலைப்பைப் படித்த பிறகு, பித்தகோரியன் தேற்றத்தை வேறு வழியில் நிரூபிக்க முடியும் என்று நினைக்கிறேன்.

கால்கள் கொண்ட வலது முக்கோணத்தைக் கவனியுங்கள் a, cமற்றும் ஹைப்போடென்யூஸ் உடன். (படம் 4).

என்பதை நிரூபிப்போம் c²=a²+b².

ஆதாரம்.

பாவம் பி=உயர் தரம் ; cos பி= a/c , பின்னர், விளைந்த சமத்துவங்களை வகைப்படுத்தி, நாம் பெறுகிறோம்:

பாவம்² பி= in²/s²; cos² IN= a²/c².

அவற்றைச் சேர்த்தால், நாம் பெறுகிறோம்:

பாவம்² IN+cos² பி=в²/с²+ а²/с², எங்கே sin² IN+cos² பி=1,

1= (в²+ а²) / с², எனவே,

c²= a² + b².

ஆதாரம் முழுமையானது.

5 முறை.

இந்த ஆதாரம் கால்களில் கட்டப்பட்ட சதுரங்களை வெட்டுவதை அடிப்படையாகக் கொண்டது (படம். 5) மற்றும் அதன் விளைவாக வரும் பகுதிகளை ஹைபோடென்யூஸில் கட்டப்பட்ட சதுரத்தில் வைப்பது.

6 முறை.

பக்கத்தில் ஆதாரத்திற்கு சூரியன்நாங்கள் கட்டுகிறோம் BCD ஏபிசி(படம் 6). ஒத்த உருவங்களின் பகுதிகள் அவற்றின் ஒத்த நேரியல் பரிமாணங்களின் சதுரங்களாக தொடர்புடையவை என்பதை நாம் அறிவோம்:

முதல் சமத்துவத்திலிருந்து இரண்டாவது கழித்தல், நாம் பெறுகிறோம்

c2 = a2 + b2.

ஆதாரம் முழுமையானது.

7 முறை.

கொடுக்கப்பட்டது(படம் 7):

ஏபிசி,= 90° , சூரியன்= a, AC=b, AB = c.

நிரூபிக்க:c2 = a2 +b2.

ஆதாரம்.

காலை விடுங்கள் பி ஏ.பிரிவை தொடர்வோம் NEஒரு புள்ளிக்கு INமற்றும் ஒரு முக்கோணத்தை உருவாக்கவும் BMDஅதனால் புள்ளிகள் எம்மற்றும் ஏநேர் கோட்டின் ஒரு பக்கத்தில் கிடந்தது குறுவட்டுமேலும், BD =b, பேடிஎம்= 90°, தி.மு.க= a, பின்னர் BMD= ஏபிசிஇரண்டு பக்கங்களிலும் மற்றும் அவற்றுக்கிடையேயான கோணம். புள்ளிகள் A மற்றும் எம்பிரிவுகளுடன் இணைக்கவும் நான்.எங்களிடம் உள்ளது எம்.டி. குறுவட்டுமற்றும் ஏ.சி. குறுவட்டு,அதாவது நேராக இருக்கிறது ஏசிவரிக்கு இணையாக எம்.டி.ஏனெனில் எம்.டி.< АС, பின்னர் நேராக குறுவட்டுமற்றும் நான்.இணையாக இல்லை. எனவே, AMDC-செவ்வக ட்ரேப்சாய்டு.

வலது முக்கோணங்களில் ஏபிசி மற்றும் BMD 1 + 2 = 90° மற்றும் 3 + 4 = 90°, ஆனால் = =, பின்னர் 3 + 2 = 90°; பிறகு ஏவிஎம்=180° - 90° = 90°. இது ட்ரேப்சாய்டு என்று மாறியது ஏஎம்டிசிமூன்று ஒன்றுடன் ஒன்று அல்லாத வலது முக்கோணங்களாக பிரிக்கப்பட்டுள்ளது, பின்னர் பகுதி கோட்பாடுகளால்

(a+b)(a+b)

சமத்துவமின்மையின் அனைத்து விதிமுறைகளையும் வகுத்தால், நாம் பெறுகிறோம்

ஏb + c2 + ab = (a +b) , 2 ab+ c2 = a2+ 2aபி+ b2,

c2 = a2 + b2.

ஆதாரம் முழுமையானது.

8 முறை.

இந்த முறை செங்கோண முக்கோணத்தின் ஹைப்போடென்யூஸ் மற்றும் கால்களை அடிப்படையாகக் கொண்டது ஏபிசி.அவர் தொடர்புடைய சதுரங்களை உருவாக்கி, ஹைப்போடென்யூஸில் கட்டப்பட்ட சதுரம் கால்களில் கட்டப்பட்ட சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம் என்று நிரூபிக்கிறார் (படம் 8).

ஆதாரம்.

1) டிபிசி= FBA= 90°;

DBC+ ஏபிசி= FBA+ ஏபிசி,பொருள் FBC = DBA.

இதனால், FBC=ஏபிடி(இரண்டு பக்கங்களிலும் மற்றும் அவற்றுக்கிடையேயான கோணத்திலும்).

2) , AL DE, BD ஒரு பொதுவான அடிப்படை என்பதால், DL-மொத்த உயரம்.

3) , FB ஒரு அடித்தளம் என்பதால், ஏபி- மொத்த உயரம்.

4)

5) இதேபோல், அதை நிரூபிக்க முடியும்

6) காலத்தின் அடிப்படையில் காலத்தைச் சேர்த்தால், நாம் பெறுகிறோம்:

, கி.மு.2 = AB2 + AC2 . ஆதாரம் முழுமையானது.

9 முறை.

ஆதாரம்.

1) விடுங்கள் ABDE- ஒரு சதுரம் (படம் 9), அதன் பக்கமானது ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் ஹைப்போடென்ஸுக்கு சமம் ஏபிசி= s, BC = a, AC =b).

2) விடுங்கள் டி.கே பொ.ச.மற்றும் DK = சூரியன், 1 + 2 = 90° (செங்கோண முக்கோணத்தின் தீவிர கோணங்கள் போல), 3 + 2 = 90° (சதுரத்தின் கோணம் போன்றது), ஏபி= BD(சதுரத்தின் பக்கங்கள்).

பொருள் ஏபிசி= பி.டி.கே(ஹைபோடென்யூஸ் மற்றும் கடுமையான கோணம் மூலம்).

3) அனுமதிக்கவும் EL டி.கே., ஏ.எம். இ.எல். ABC = BDK = DEL = EAM (கால்களுடன்) என்பதை எளிதாக நிரூபிக்க முடியும் ஏமற்றும் b).பிறகு கே.எஸ்= முதல்வர்= எம்.எல்.= எல்.கே.= A -பி.

4) SKB = 4S+SKLMC= 2ab+ (a - b),உடன்2 = 2ab + a2 - 2ab + b2,c2 = a2 + b2.

ஆதாரம் முழுமையானது.

10 முறை.

"பித்தகோரியன் பேண்ட்ஸ்" (படம் 10) என்று நகைச்சுவையாக அழைக்கப்படும் ஒரு உருவத்தின் மீது ஆதாரத்தை மேற்கொள்ளலாம். பக்கங்களில் கட்டப்பட்ட சதுரங்களை சமமான முக்கோணங்களாக மாற்றுவது, அவை ஹைபோடென்யூஸின் சதுரத்தை உருவாக்குவதாகும்.

ஏபிசிஅம்புக்குறி காட்டியபடி அதை நகர்த்தவும், அது நிலையை எடுக்கும் கேடிஎன்.மீதமுள்ள உருவம் ஏ.கே.டி.சி.பிசதுரத்தின் சம பரப்பளவு ஏ.கே.டி.சிஇது ஒரு இணையான வரைபடம் ஏ.கே.என்.பி.

ஒரு இணையான வரைபடம் உருவாக்கப்பட்டுள்ளது ஏ.கே.என்.பி. வேலையின் உள்ளடக்கங்களில் வரையப்பட்டபடி இணையான வரைபடத்தை மறுசீரமைக்கிறோம். ஒரு இணையான முக்கோணத்தை சம பரப்பு முக்கோணமாக மாற்றுவதைக் காட்ட, மாணவர்களுக்கு முன்னால், மாதிரியில் ஒரு முக்கோணத்தை வெட்டி கீழே நகர்த்துகிறோம். இவ்வாறு, சதுரத்தின் பரப்பளவு ஏ.கே.டி.சிசெவ்வகத்தின் பரப்பளவிற்கு சமமாக மாறியது. இதேபோல், ஒரு சதுரத்தின் பகுதியை ஒரு செவ்வகத்தின் பரப்பளவிற்கு மாற்றுகிறோம்.

ஒரு பக்கத்தில் கட்டப்பட்ட ஒரு சதுரத்திற்கு ஒரு உருமாற்றம் செய்வோம் ஏ(படம் 11, a):

a) சதுரம் சமமான இணையான வரைபடமாக மாற்றப்படுகிறது (படம் 11.6):

b) இணையான வரைபடம் கால் திருப்பத்தை சுழற்றுகிறது (படம் 12):

c) இணையான வரைபடம் சம செவ்வகமாக மாற்றப்படுகிறது (படம் 13): 11 முறை.

ஆதாரம்:

பிசிஎல் -நேராக (படம் 14);

KLOA= ACPF= ACED= a2;

எல்ஜிபிஓ= எஸ்விஎம்ஆர் =CBNQ= ஆ 2;

ஏ.கே.ஜி.பி= AKLO +எல்ஜிபிஓ= c2;

c2 = a2 + b2.

ஆதாரம் முடிந்துவிட்டது .

12 முறை.

அரிசி. படம் 15 பித்தகோரியன் தேற்றத்தின் மற்றொரு அசல் ஆதாரத்தை விளக்குகிறது.

இங்கே: வலது கோணம் C உடன் முக்கோணம் ABC; கோட்டு பகுதி பி.எஃப்.செங்குத்தாக NEமற்றும் அதற்கு சமமான பிரிவு இருசெங்குத்தாக ஏபிமற்றும் அதற்கு சமமான பிரிவு கி.பிசெங்குத்தாக ஏசிமற்றும் அதற்கு சமம்; புள்ளிகள் எஃப், சி,டிஒரே வரியைச் சேர்ந்தவர்; நாற்கரங்கள் ADFBமற்றும் ASVEசம அளவில், இருந்து ABF = ECB;முக்கோணங்கள் அ.தி.மு.கமற்றும் ACEசம அளவில்; இரண்டு சம நாற்கரங்களிலிருந்தும் அவை பகிர்ந்து கொள்ளும் முக்கோணத்தைக் கழிக்கவும் ஏபிசி,நாம் பெறுகிறோம்

, c2 = a2 + b2.

ஆதாரம் முழுமையானது.

13 முறை.

கொடுக்கப்பட்ட வலது முக்கோணத்தின் பரப்பளவு, ஒரு பக்கத்தில், சமமாக இருக்கும் , இன்னொருவருடன், ,

3. முடிவுரை.

தேடல் செயல்பாட்டின் விளைவாக, வேலையின் குறிக்கோள் அடையப்பட்டது, இது பித்தகோரியன் தேற்றத்தின் ஆதாரம் பற்றிய அறிவை நிரப்புதல் மற்றும் பொதுமைப்படுத்துதல் ஆகும். பள்ளி பாடப்புத்தகத்தின் பக்கங்களுக்கு அப்பால் சென்று, அதை நிரூபிப்பதற்கும், தலைப்பில் அறிவை ஆழப்படுத்துவதற்கும் பல்வேறு வழிகளைக் கண்டுபிடித்து பரிசீலிக்க முடிந்தது.

நான் சேகரித்த பொருள், பித்தகோரியன் தேற்றம் வடிவவியலின் ஒரு சிறந்த தேற்றம் மற்றும் மகத்தான கோட்பாட்டு மற்றும் நடைமுறை முக்கியத்துவம் வாய்ந்தது என்பதை இன்னும் எனக்கு உணர்த்துகிறது. முடிவில், நான் சொல்ல விரும்புகிறேன்: பித்தகோரியன் ட்ரையூன் தேற்றத்தின் பிரபலத்திற்கு காரணம் அதன் அழகு, எளிமை மற்றும் முக்கியத்துவம்!

4. இலக்கியம் பயன்படுத்தப்பட்டது.

1. பொழுதுபோக்கு அல்ஜீப்ரா. . மாஸ்கோ "அறிவியல்", 1978.

2. "செப்டம்பர் முதல்" செய்தித்தாளின் வாராந்திர கல்வி மற்றும் வழிமுறை துணை, 24/2001.

3. வடிவியல் 7-9. மற்றும் பல.

4. வடிவியல் 7-9. மற்றும் பல.

(பெர்லின் அருங்காட்சியகத்தின் பாப்பிரஸ் 6619 இன் படி). கேன்டரின் கூற்றுப்படி, ஹார்பிடோனாப்ட்ஸ் அல்லது "கயிறு இழுப்பவர்கள்" 3, 4 மற்றும் 5 பக்கங்களைக் கொண்ட செங்கோண முக்கோணங்களைப் பயன்படுத்தி வலது கோணங்களை உருவாக்கினர்.

அவர்களின் கட்டுமான முறையை இனப்பெருக்கம் செய்வது மிகவும் எளிதானது. 12 மீ நீளமுள்ள கயிற்றை எடுத்து, ஒரு முனையிலிருந்து 3 மீ மற்றும் மறுமுனையில் இருந்து 4 மீட்டர் தூரத்தில் வண்ணப் பட்டையைக் கட்டுவோம். வலது கோணம் 3 மற்றும் 4 மீட்டர் நீளமுள்ள பக்கங்களுக்கு இடையில் இருக்கும். எடுத்துக்காட்டாக, அனைத்து தச்சர்களும் பயன்படுத்தும் ஒரு மர சதுரத்தைப் பயன்படுத்தினால் அவர்களின் கட்டுமான முறை மிதமிஞ்சியதாகிவிடும் என்று ஹார்பிடோனாப்டியன்களுக்கு ஆட்சேபம் தெரிவிக்கலாம். உண்மையில், எகிப்திய வரைபடங்கள் அறியப்படுகின்றன, அதில் அத்தகைய கருவி காணப்படுகிறது, எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு தச்சு பட்டறையை சித்தரிக்கும் வரைபடங்கள்.

பாபிலோனியர்களிடையே பித்தகோரியன் தேற்றம் பற்றி ஓரளவு அறியப்படுகிறது. ஒரு உரையில் ஹமுராபியின் காலத்திற்கு, அதாவது கி.மு. 2000 வரை. இ. , ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் ஹைப்போடென்யூஸின் தோராயமான கணக்கீடு கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. இதிலிருந்து மெசொப்பொத்தேமியாவில் அவர்கள் குறைந்தபட்சம் சில சந்தர்ப்பங்களில் சரியான முக்கோணங்களைக் கொண்டு கணக்கீடுகளைச் செய்ய முடிந்தது என்று முடிவு செய்யலாம். ஒருபுறம், எகிப்திய மற்றும் பாபிலோனிய கணிதம் பற்றிய தற்போதைய அறிவின் நிலை மற்றும் மறுபுறம், கிரேக்க மூலங்களின் விமர்சன ஆய்வின் அடிப்படையில், வான் டெர் வேர்டன் (ஒரு டச்சு கணிதவியலாளர்) அதிக நிகழ்தகவு இருப்பதாக முடிவு செய்தார். 18 ஆம் நூற்றாண்டில் கிமு 18 ஆம் நூற்றாண்டில் இந்தியாவில் ஹைபோடென்யூஸின் சதுரத்தின் தேற்றம் அறியப்பட்டது. இ.

சுமார் 400 கி.மு. கி.மு., ப்ரோக்லஸின் படி, இயற்கணிதம் மற்றும் வடிவவியலை இணைத்து பித்தகோரியன் மும்மடங்குகளைக் கண்டறிவதற்கான ஒரு முறையை பிளேட்டோ வழங்கினார். சுமார் 300 கி.மு. இ. பித்தகோரியன் தேற்றத்தின் மிகப் பழமையான அச்சு ஆதாரம் யூக்ளிடின் தனிமங்களில் தோன்றியது.

சூத்திரங்கள்

வடிவியல் உருவாக்கம்:

தேற்றம் முதலில் பின்வருமாறு வடிவமைக்கப்பட்டது:

இயற்கணித உருவாக்கம்:

அதாவது, முக்கோணத்தின் ஹைப்போடென்யூஸின் நீளம் மற்றும் கால்களின் நீளம் மற்றும் :

தேற்றத்தின் இரண்டு சூத்திரங்களும் சமமானவை, ஆனால் இரண்டாவது உருவாக்கம் மிகவும் அடிப்படையானது; இதற்கு பரப்பளவு என்ற கருத்து தேவையில்லை. அதாவது, இரண்டாவது அறிக்கையானது பகுதியைப் பற்றி எதுவும் தெரியாமல் மற்றும் ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் பக்கங்களின் நீளத்தை மட்டும் அளவிடுவதன் மூலம் சரிபார்க்க முடியும்.

உரையாடல் பித்தகோரியன் தேற்றம்:

ஆதாரம்

அன்று இந்த நேரத்தில்இந்த தேற்றத்தின் 367 சான்றுகள் அறிவியல் இலக்கியங்களில் பதிவு செய்யப்பட்டுள்ளன. அநேகமாக, பித்தகோரியன் தேற்றம் மட்டுமே இவ்வளவு ஈர்க்கக்கூடிய ஆதாரங்களைக் கொண்ட ஒரே தேற்றம். இத்தகைய பன்முகத்தன்மையை வடிவவியலுக்கான தேற்றத்தின் அடிப்படை முக்கியத்துவத்தால் மட்டுமே விளக்க முடியும்.

நிச்சயமாக, கருத்தியல் ரீதியாக அவை அனைத்தையும் ஒரு சிறிய எண்ணிக்கையிலான வகுப்புகளாகப் பிரிக்கலாம். அவற்றில் மிகவும் பிரபலமானவை: பகுதி முறையின் சான்றுகள், அச்சு மற்றும் கவர்ச்சியான சான்றுகள் (எடுத்துக்காட்டாக, பயன்படுத்துதல் வகைக்கெழு சமன்பாடுகள்).

ஒத்த முக்கோணங்கள் மூலம்

இயற்கணித சூத்திரத்தின் பின்வரும் ஆதாரம், கோட்பாடுகளிலிருந்து நேரடியாகக் கட்டமைக்கப்பட்ட சான்றுகளில் எளிமையானது. குறிப்பாக, இது ஒரு உருவத்தின் பரப்பளவு என்ற கருத்தைப் பயன்படுத்துவதில்லை.

விடுங்கள் ஏபிசிவலது கோணத்துடன் ஒரு செங்கோண முக்கோணம் உள்ளது சி. இருந்து உயரத்தை வரைவோம் சிமற்றும் அதன் அடிப்படையைக் குறிக்கவும் எச். முக்கோணம் ACHஒரு முக்கோணத்தைப் போன்றது ஏபிசிஇரண்டு மூலைகளிலும். அதேபோல், முக்கோணம் CBHஒத்த ஏபிசி. குறியீட்டை அறிமுகப்படுத்துவதன் மூலம்

நாம் பெறுகிறோம்

எது சமமானது

அதைச் சேர்த்தால், நமக்குக் கிடைக்கும்

, இது நிரூபிக்கப்பட வேண்டியது

பகுதி முறையைப் பயன்படுத்தி சான்றுகள்

கீழே உள்ள சான்றுகள், அவற்றின் வெளிப்படையான எளிமை இருந்தபோதிலும், அவ்வளவு எளிமையானவை அல்ல. அவை அனைத்தும் பகுதியின் பண்புகளைப் பயன்படுத்துகின்றன, இதன் ஆதாரம் பித்தகோரியன் தேற்றத்தின் ஆதாரத்தை விட மிகவும் சிக்கலானது.

உபகரணம் மூலம் ஆதாரம்

1. படம் 1 இல் காட்டப்பட்டுள்ளபடி நான்கு சமமான வலது முக்கோணங்களை அமைப்போம்.
2. பக்கங்களுடன் நாற்கோணம் cஇரண்டு கடுமையான கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை 90° ஆகவும், நேர்கோணம் 180° ஆகவும் இருப்பதால் ஒரு சதுரம்.
3. முழு உருவத்தின் பரப்பளவு ஒருபுறம், பக்கவாட்டு (a + b) கொண்ட சதுரத்தின் பரப்பளவிற்கு சமமாக இருக்கும், மறுபுறம், நான்கு முக்கோணங்களின் பகுதிகளின் கூட்டுத்தொகை மற்றும் உள் சதுரத்தின் பரப்பளவு.

கே.இ.டி.

யூக்ளிட்டின் ஆதாரம்

யூக்ளிட்டின் ஆதாரத்தின் யோசனை பின்வருமாறு: ஹைபோடென்யூஸில் கட்டப்பட்ட சதுரத்தின் பாதி பகுதி கால்களில் கட்டப்பட்ட சதுரங்களின் பாதி பகுதிகளின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம் என்பதை நிரூபிக்க முயற்சிப்போம், பின்னர் பகுதிகள் பெரிய மற்றும் இரண்டு சிறிய சதுரங்கள் சமம்.

இடதுபுறத்தில் உள்ள வரைபடத்தைப் பார்ப்போம். அதன் மீது நாம் ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் பக்கங்களில் சதுரங்களை உருவாக்கி, வலது கோணம் C இன் உச்சியில் இருந்து ஒரு கதிர் s ஐ ஹைபோடென்யூஸ் AB க்கு செங்குத்தாக வரைந்தோம், அது ஹைபோடென்யூஸில் கட்டப்பட்ட ABIK சதுரத்தை இரண்டு செவ்வகங்களாக வெட்டுகிறது - BHJI மற்றும் HAKJ, முறையே. இந்த செவ்வகங்களின் பகுதிகள் தொடர்புடைய கால்களில் கட்டப்பட்ட சதுரங்களின் பகுதிகளுக்கு சரியாக சமமாக இருக்கும் என்று மாறிவிடும்.

சதுர DECA இன் பரப்பளவு AHJK செவ்வகத்தின் பரப்பளவிற்கு சமம் என்பதை நிரூபிக்க முயற்சிப்போம். இதைச் செய்ய, நாம் ஒரு துணை கண்காணிப்பைப் பயன்படுத்துவோம்: அதே உயரம் மற்றும் அடித்தளம் கொண்ட ஒரு முக்கோணத்தின் பரப்பளவு கொடுக்கப்பட்ட செவ்வகம் கொடுக்கப்பட்ட செவ்வகத்தின் பாதி பகுதிக்கு சமம். இது ஒரு முக்கோணத்தின் பரப்பளவை அடித்தளம் மற்றும் உயரத்தின் பாதி உற்பத்தியாக வரையறுப்பதன் விளைவாகும். இந்த அவதானிப்பிலிருந்து, ACK முக்கோணத்தின் பரப்பளவு AHK முக்கோணத்தின் பகுதிக்கு சமம் (படத்தில் காட்டப்படவில்லை), இது செவ்வக AHJK இன் பாதி பகுதிக்கு சமம்.

ACK முக்கோணத்தின் பரப்பளவு சதுர DECA இன் பாதி பகுதிக்கு சமம் என்பதை இப்போது நிரூபிப்போம். இதற்கு செய்ய வேண்டிய ஒரே விஷயம், ACK மற்றும் BDA முக்கோணங்களின் சமத்துவத்தை நிரூபிப்பது (முக்கோண BDA இன் பரப்பளவு மேலே உள்ள சொத்தின் படி சதுரத்தின் பாதி பகுதிக்கு சமம் என்பதால்). இந்த சமத்துவம் வெளிப்படையானது: முக்கோணங்கள் இருபுறமும் சமமாக இருக்கும் மற்றும் அவற்றுக்கிடையேயான கோணம். அதாவது - AB=AK, AD=AC - CAK மற்றும் BAD ஆகிய கோணங்களின் சமத்துவத்தை இயக்க முறையின் மூலம் நிரூபிப்பது எளிது: CAK என்ற முக்கோணத்தை 90° எதிரெதிர் திசையில் சுழற்றுகிறோம், பிறகு இரண்டு முக்கோணங்களின் தொடர்புடைய பக்கங்களும் உள்ளவை என்பது தெளிவாகிறது. கேள்வி ஒத்துப்போகும் (சதுரத்தின் உச்சியில் உள்ள கோணம் 90° ஆக இருப்பதால்).

சதுர BCFG மற்றும் BHJI செவ்வகத்தின் பகுதிகளின் சமத்துவத்திற்கான காரணம் முற்றிலும் ஒத்ததாகும்.

இவ்வாறு, ஹைப்போடென்யூஸில் கட்டப்பட்ட ஒரு சதுரத்தின் பரப்பளவு கால்களில் கட்டப்பட்ட சதுரங்களின் பகுதிகளால் ஆனது என்பதை நாங்கள் நிரூபித்தோம். இந்த ஆதாரத்தின் பின்னணியில் உள்ள யோசனை மேலே உள்ள அனிமேஷனால் மேலும் விளக்கப்பட்டுள்ளது.

லியோனார்டோ டா வின்சியின் சான்று

நிரூபணத்தின் முக்கிய கூறுகள் சமச்சீர் மற்றும் இயக்கம்.

வரைபடத்தைக் கருத்தில் கொள்வோம், சமச்சீர்நிலையிலிருந்து பார்க்க முடியும், பிரிவு சதுரத்தை இரண்டு ஒத்த பகுதிகளாக வெட்டுகிறது (முக்கோணங்கள் கட்டுமானத்தில் சமமாக இருப்பதால்).

புள்ளியைச் சுற்றி 90-டிகிரி எதிரெதிர் திசையில் சுழற்சியைப் பயன்படுத்தி, நிழலாடிய உருவங்களின் சமத்துவத்தைப் பார்க்கிறோம்.

இப்போது நாம் நிழலாடிய உருவத்தின் பரப்பளவு சிறிய சதுரங்களின் பாதி பகுதிகள் (கால்களில் கட்டப்பட்டது) மற்றும் அசல் முக்கோணத்தின் பரப்பளவுக்கு சமம் என்பது தெளிவாகிறது. மறுபுறம், இது பெரிய சதுரத்தின் பாதி பகுதிக்கு சமம் (ஹைபோடென்யூஸில் கட்டப்பட்டது) மற்றும் அசல் முக்கோணத்தின் பரப்பளவு. எனவே, சிறிய சதுரங்களின் பகுதிகளின் பாதி தொகை பெரிய சதுரத்தின் பாதி பகுதிக்கு சமம், எனவே கால்களில் கட்டப்பட்ட சதுரங்களின் பகுதிகளின் கூட்டுத்தொகை அதன் மீது கட்டப்பட்ட சதுரத்தின் பரப்பளவிற்கு சமம். ஹைப்போடென்யூஸ்.

எல்லையற்ற முறை மூலம் ஆதாரம்

வேறுபட்ட சமன்பாடுகளைப் பயன்படுத்தி பின்வரும் ஆதாரம் பெரும்பாலும் 20 ஆம் நூற்றாண்டின் முதல் பாதியில் வாழ்ந்த பிரபல ஆங்கில கணிதவியலாளர் ஹார்டிக்குக் காரணம்.

படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ள வரைபடத்தைப் பார்த்து, பக்க மாற்றத்தைக் கவனித்தல் அ, எல்லையற்ற பக்க அதிகரிப்புகளுக்கு பின்வரும் தொடர்பை நாம் எழுதலாம் உடன்மற்றும் அ(முக்கோண ஒற்றுமையைப் பயன்படுத்தி):

மாறிகளைப் பிரிக்கும் முறையைப் பயன்படுத்தி, நாம் கண்டுபிடிக்கிறோம்

மேலும் பொது வெளிப்பாடுஇரண்டு கால்களின் அதிகரிப்பு ஏற்பட்டால் ஹைபோடென்யூஸை மாற்றவும்

இந்த சமன்பாட்டை ஒருங்கிணைத்து, ஆரம்ப நிலைகளைப் பயன்படுத்தி, நாம் பெறுகிறோம்

எனவே நாம் விரும்பிய பதிலை அடைகிறோம்

பார்க்க எளிதானது போல, இறுதி சூத்திரத்தில் இருபடி சார்பு என்பது முக்கோணத்தின் பக்கங்களுக்கும் அதிகரிப்புகளுக்கும் இடையிலான நேரியல் விகிதாச்சாரத்தின் காரணமாக தோன்றுகிறது, அதே நேரத்தில் கூட்டுத்தொகை வெவ்வேறு கால்களின் அதிகரிப்பிலிருந்து சுயாதீனமான பங்களிப்புகளுடன் தொடர்புடையது.

கால்களில் ஒன்று அதிகரிப்பை அனுபவிக்கவில்லை என்று நாம் கருதினால் எளிமையான ஆதாரத்தைப் பெறலாம் (இல் இந்த வழக்கில்கால்). பின்னர் ஒருங்கிணைப்பு மாறிலிக்கு நாம் பெறுகிறோம்

மாறுபாடுகள் மற்றும் பொதுமைப்படுத்தல்கள்

மூன்று பக்கங்களிலும் ஒரே மாதிரியான வடிவியல் வடிவங்கள்

ஒத்த முக்கோணங்களுக்கான பொதுமைப்படுத்தல், பச்சை வடிவங்களின் பரப்பளவு A + B = நீலம் C பகுதி

பித்தகோரியன் தேற்றம் ஒத்த வலது முக்கோணங்களைப் பயன்படுத்துகிறது

யூக்ளிட் தனது படைப்பில் பித்தகோரியன் தேற்றத்தைப் பொதுமைப்படுத்தினார் ஆரம்பம், பக்கங்களில் உள்ள சதுரங்களின் பகுதிகளை ஒத்த வடிவியல் உருவங்களின் பகுதிகளுக்கு விரிவுபடுத்துதல்:

நீங்கள் இதேபோல் கட்டினால் வடிவியல் உருவங்கள்(யூக்ளிடியன் வடிவவியலைப் பார்க்கவும்) வலது முக்கோணத்தின் பக்கங்களில், இரண்டு சிறிய உருவங்களின் கூட்டுத்தொகை பெரிய உருவத்தின் பரப்பளவிற்கு சமமாக இருக்கும்.

இந்த பொதுமைப்படுத்தலின் முக்கிய யோசனை என்னவென்றால், அத்தகைய வடிவியல் உருவத்தின் பரப்பளவு அதன் எந்த நேரியல் பரிமாணங்களின் சதுரத்திற்கும், குறிப்பாக, எந்த பக்கத்தின் நீளத்தின் சதுரத்திற்கும் விகிதாசாரமாகும். எனவே, பகுதிகளுடன் ஒத்த புள்ளிவிவரங்களுக்கு ஏ, பிமற்றும் சிநீளம் கொண்ட பக்கங்களில் கட்டப்பட்டது அ, பிமற்றும் c, எங்களிடம் உள்ளது:

ஆனால், பித்தகோரியன் தேற்றத்தின்படி, அ 2 + பி 2 = c 2 பிறகு ஏ + பி = சி.

மாறாக, நாம் அதை நிரூபிக்க முடியும் என்றால் ஏ + பி = சிபித்தகோரியன் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தாமல் ஒரே மாதிரியான மூன்று வடிவியல் உருவங்களுக்கு, எதிர் திசையில் நகரும் தேற்றத்தையே நிரூபிக்க முடியும். எடுத்துக்காட்டாக, தொடக்க மைய முக்கோணத்தை மீண்டும் முக்கோணமாகப் பயன்படுத்தலாம் சிஹைபோடென்யூஸில், மற்றும் இரண்டு ஒத்த வலது முக்கோணங்கள் ( ஏமற்றும் பி), மற்ற இரண்டு பக்கங்களிலும் கட்டப்பட்டுள்ளது, அவை மத்திய முக்கோணத்தை அதன் உயரத்தால் பிரிப்பதன் மூலம் உருவாகின்றன. இரண்டு சிறிய முக்கோணங்களின் பகுதிகளின் கூட்டுத்தொகையானது மூன்றாவது பகுதியின் பரப்பிற்குச் சமமாக இருக்கும். ஏ + பி = சிமற்றும், முந்தைய ஆதாரத்தை பூர்த்தி செய்தல் பின்னோக்கு வரிசை, பித்தகோரியன் தேற்றம் a 2 + b 2 = c 2 ஐப் பெறுகிறோம்.

கொசைன் தேற்றம்

பித்தகோரியன் தேற்றம் ஆகும் சிறப்பு வழக்குகோசைன்களின் மிகவும் பொதுவான தேற்றம், இது ஒரு தன்னிச்சையான முக்கோணத்தில் பக்கங்களின் நீளத்தை தொடர்புபடுத்துகிறது:

இதில் θ என்பது பக்கங்களுக்கு இடையே உள்ள கோணம் அமற்றும் பி.

θ 90 டிகிரி என்றால் cos θ = 0 மற்றும் சூத்திரம் வழக்கமான பித்தகோரியன் தேற்றத்திற்கு எளிதாக்குகிறது.

இலவச முக்கோணம்

பக்கங்களைக் கொண்ட தன்னிச்சையான முக்கோணத்தின் தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட எந்த மூலையிலும் a, b, cஒரு ஐசோசெல்ஸ் முக்கோணத்தை அதன் அடிப்பாகத்தில் உள்ள சம கோணங்கள் θ தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட கோணத்திற்கு சமமாக இருக்கும் வகையில் பதிவோம். தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட கோணம் θ நியமிக்கப்பட்ட பக்கத்திற்கு எதிரே அமைந்துள்ளது என்று வைத்துக்கொள்வோம் c. இதன் விளைவாக, பக்கத்திற்கு எதிரே அமைந்துள்ள கோணம் θ உடன் ABD முக்கோணம் கிடைத்தது அமற்றும் கட்சிகள் ஆர். இரண்டாவது முக்கோணம் θ கோணத்தால் உருவாக்கப்பட்டது, இது பக்கத்திற்கு எதிரே அமைந்துள்ளது பிமற்றும் கட்சிகள் உடன்நீளம் கள், படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளபடி. தாபித் இப்னு குர்ரா இந்த மூன்று முக்கோணங்களில் உள்ள பக்கங்கள் பின்வருமாறு வாதிட்டார்:

கோணம் θ π/2 ஐ நெருங்கும்போது, ​​ஐசோசெல்ஸ் முக்கோணத்தின் அடிப்பகுதி சிறியதாகிறது மற்றும் இரண்டு பக்கங்களும் r மற்றும் s ஒன்றுடன் ஒன்று ஒன்றுடன் ஒன்று குறைவாகவும் குறைவாகவும் இருக்கும். θ = π/2 போது, ​​ADB ஒரு செங்கோண முக்கோணமாக மாறும், ஆர் + கள் = cமற்றும் நாம் ஆரம்ப பித்தகோரியன் தேற்றத்தைப் பெறுகிறோம்.

வாதங்களில் ஒன்றைக் கருத்தில் கொள்வோம். முக்கோணம் ஏபிசி முக்கோணம் ஏபிடியின் அதே கோணங்களைக் கொண்டுள்ளது, ஆனால் தலைகீழ் வரிசையில் உள்ளது. (இரண்டு முக்கோணங்கள் உள்ளன பொதுவான கோணம் B உச்சியில், இரண்டும் கோணம் θ மற்றும் முக்கோணத்தின் கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை மூலம் ஒரே மூன்றாவது கோணத்தைக் கொண்டிருக்கும்) அதன்படி, ABC என்பது கீழ் படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளபடி, DBA முக்கோணத்தின் பிரதிபலிப்பு ABDயைப் போன்றது. எதிர் பக்கங்களுக்கும், கோணத்திற்கு அருகில் உள்ளவர்களுக்கும் இடையே உள்ள தொடர்பை எழுதுவோம் θ,

மற்றொரு முக்கோணத்தின் பிரதிபலிப்பு,

பின்னங்களை பெருக்கி இந்த இரண்டு விகிதங்களையும் சேர்ப்போம்:

கே.இ.டி.

இணையான வரைபடங்கள் வழியாக தன்னிச்சையான முக்கோணங்களுக்கான பொதுமைப்படுத்தல்

தன்னிச்சையான முக்கோணங்களுக்கான பொதுமைப்படுத்தல்,
பச்சை பகுதி சதி = பகுதிநீலம்

மேலே உள்ள படத்தில் உள்ள ஆய்வறிக்கையின் ஆதாரம்

சதுரங்களுக்குப் பதிலாக மூன்று பக்கங்களிலும் இணையான வரைபடங்களைப் பயன்படுத்தி வலதுபுறம் இல்லாத முக்கோணங்களுக்கு மேலும் பொதுமைப்படுத்துவோம். (சதுரங்கள் ஒரு சிறப்பு வழக்கு.) ஒரு தீவிர முக்கோணத்திற்கு, நீண்ட பக்கத்தில் உள்ள இணையான வரைபடத்தின் பரப்பளவு மற்ற இரண்டு பக்கங்களிலும் உள்ள இணையான வரைபடங்களின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமமாக இருக்கும் என்பதை மேல் படம் காட்டுகிறது. படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளபடி பக்கமானது கட்டப்பட்டுள்ளது (அம்புகளால் குறிக்கப்பட்ட பரிமாணங்கள் ஒரே மாதிரியானவை மற்றும் கீழ் இணையான வரைபடத்தின் பக்கங்களை தீர்மானிக்கின்றன). 4 கி.பி.யில் அலெக்ஸாண்டிரியாவின் பப்பஸ் என்பவரால் உருவாக்கப்பட்டதாகக் கருதப்படும் பித்தகோரஸின் ஆரம்ப தேற்றத்துடன், சதுரங்களை இணையான வரைபடங்களுடன் மாற்றுவது ஒரு தெளிவான ஒற்றுமையைக் கொண்டுள்ளது. இ.

கீழே உள்ள படம் ஆதாரத்தின் முன்னேற்றத்தைக் காட்டுகிறது. முக்கோணத்தின் இடது பக்கத்தைப் பார்ப்போம். இடது பச்சை இணையான வரைபடம் அதே பகுதியைக் கொண்டுள்ளது இடது பக்கம்நீல இணையான வரைபடம், ஏனெனில் அவை ஒரே அடித்தளத்தைக் கொண்டுள்ளன பிமற்றும் உயரம் ம. மேலும், இடது பச்சை இணையான வரைபடம் மேல் படத்தில் உள்ள இடது பச்சை இணையான வரைபடத்தின் அதே பகுதியைக் கொண்டுள்ளது, ஏனெனில் அவை பொதுவான தளத்தைப் பகிர்ந்து கொள்கின்றன (மேல் இடது புறம்முக்கோணம்) மற்றும் முக்கோணத்தின் அந்தப் பக்கத்திற்கு செங்குத்தாக இருக்கும் மொத்த உயரம். முக்கோணத்தின் வலது பக்கத்திற்கு ஒத்த பகுத்தறிவைப் பயன்படுத்தி, கீழ் இணையான வரைபடம் இரண்டு பச்சை இணையான வரைபடங்களின் பரப்பளவைக் கொண்டுள்ளது என்பதை நிரூபிப்போம்.

சிக்கலான எண்கள்

கார்ட்டீசியன் ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் இரண்டு புள்ளிகளுக்கு இடையிலான தூரத்தைக் கண்டறிய பித்தகோரியன் தேற்றம் பயன்படுத்தப்படுகிறது, மேலும் இந்த தேற்றம் அனைத்து உண்மையான ஆயத்தொலைவுகளுக்கும் செல்லுபடியாகும்: தூரம் கள்இரண்டு புள்ளிகளுக்கு இடையில் ( a, b) மற்றும் ( c, d) சமம்

கலப்பு எண்களை உண்மையான கூறுகளுடன் வெக்டார்களாகக் கருதினால் சூத்திரத்தில் எந்தப் பிரச்சனையும் இல்லை எக்ஸ் + நான் ஒய் = (எக்ஸ், ஒய்). . உதாரணமாக, தூரம் கள் 0 + 1 இடையே நான்மற்றும் 1 + 0 நான்திசையன் மாடுலஸ் என கணக்கிடப்படுகிறது (0, 1) − (1, 0) = (−1, 1), அல்லது

இருப்பினும், சிக்கலான ஆயத்தொலைவுகளைக் கொண்ட திசையன்களுடன் செயல்படுவதற்கு, பித்தகோரியன் சூத்திரத்தில் சில மேம்பாடுகளைச் செய்வது அவசியம். புள்ளிகளுக்கு இடையே உள்ள தூரம் சிக்கலான எண்கள் (அ, பி) மற்றும் ( c, ஈ); அ, பி, c, மற்றும் ஈஅனைத்து சிக்கலானது, பயன்படுத்தி உருவாக்குவோம் முழுமையான மதிப்புகள். தூரம் கள்திசையன் வேறுபாட்டை அடிப்படையாகக் கொண்டது (அ − c, பி − ஈ) பின்வரும் வடிவத்தில்: வித்தியாசத்தை விடுங்கள் அ − c = ப+ i கே, எங்கே ப- வேறுபாட்டின் உண்மையான பகுதி, கேஎன்பது கற்பனையான பகுதி, மற்றும் i = √(-1). அதேபோல், விடுங்கள் பி − ஈ = ஆர்+ i கள். பிறகு:

க்கு சிக்கலான இணை எண் எங்கே. எடுத்துக்காட்டாக, புள்ளிகளுக்கு இடையிலான தூரம் (அ, பி) = (0, 1) மற்றும் (c, ஈ) = (நான், 0) , வித்தியாசத்தை கணக்கிடுவோம் (அ − c, பி − ஈ) = (−நான், 1) மேலும் சிக்கலான இணைப்புகள் பயன்படுத்தப்படாவிட்டால் விளைவு 0 ஆக இருக்கும். எனவே, மேம்படுத்தப்பட்ட சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி, நாங்கள் பெறுகிறோம்

தொகுதி பின்வருமாறு வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது:

ஸ்டீரியோமெட்ரி

முப்பரிமாண இடத்திற்கான பித்தகோரியன் தேற்றத்தின் குறிப்பிடத்தக்க பொதுமைப்படுத்தல் டி கோயின் தேற்றம் ஆகும், இது ஜே.-பி. de Gois: ஒரு டெட்ராஹெட்ரான் ஒரு செங்கோணத்தைக் கொண்டிருந்தால் (ஒரு கனசதுரத்தில் உள்ளது போல), வலது கோணத்திற்கு எதிரே உள்ள முகத்தின் பகுதியின் சதுரம் மற்ற மூன்று முகங்களின் பகுதிகளின் சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமமாக இருக்கும். இந்த முடிவை இவ்வாறு சுருக்கமாகக் கூறலாம் " n- பரிமாண பித்தகோரியன் தேற்றம்":

பித்தகோரியன் தேற்றம் முப்பரிமாண வெளிமூலைவிட்ட AD ஐ மூன்று பக்கங்களுடன் இணைக்கிறது.

மற்றொரு பொதுமைப்படுத்தல்: பித்தகோரியன் தேற்றத்தை ஸ்டீரியோமெட்ரிக்கு பின்வரும் வடிவத்தில் பயன்படுத்தலாம். படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளபடி ஒரு செவ்வக இணைக் குழாய்களைக் கவனியுங்கள். பித்தகோரியன் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி மூலைவிட்ட BDயின் நீளத்தைக் கண்டுபிடிப்போம்:

மூன்று பக்கங்களும் ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தை உருவாக்குகின்றன. மூலைவிட்ட AD இன் நீளத்தைக் கண்டறிய, கிடைமட்ட மூலைவிட்ட BD மற்றும் செங்குத்து விளிம்பு AB ஐப் பயன்படுத்துகிறோம், இதற்காக மீண்டும் பித்தகோரியன் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம்:

அல்லது, எல்லாவற்றையும் ஒரே சமன்பாட்டில் எழுதினால்:

இந்த முடிவு திசையன் அளவை தீர்மானிக்க முப்பரிமாண வெளிப்பாடு ஆகும் v(மூலைவிட்ட AD), அதன் செங்குத்து கூறுகளின் அடிப்படையில் வெளிப்படுத்தப்படுகிறது ( v k) (மூன்று பரஸ்பர செங்குத்தாக பக்கங்கள்):

இந்த சமன்பாட்டை பல பரிமாண இடத்திற்கான பித்தகோரியன் தேற்றத்தின் பொதுமைப்படுத்தலாகக் கருதலாம். இருப்பினும், இதன் விளைவு உண்மையில் பித்தகோரியன் தேற்றத்தை தொடர்ச்சியாக செங்குத்தாக உள்ள செங்குத்து முக்கோணங்களின் வரிசையில் மீண்டும் மீண்டும் பயன்படுத்துவதைத் தவிர வேறில்லை.

திசையன் இடம்

திசையன்களின் ஆர்த்தோகனல் அமைப்பின் விஷயத்தில், ஒரு சமத்துவம் உள்ளது, இது பித்தகோரியன் தேற்றம் என்றும் அழைக்கப்படுகிறது:

என்றால் - இவை ஒருங்கிணைப்பு அச்சுகளில் திசையன் கணிப்புகள், இந்த சூத்திரம் யூக்ளிடியன் தூரத்துடன் ஒத்துப்போகிறது - மேலும் திசையனின் நீளம் அதன் கூறுகளின் சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகையின் வர்க்க மூலத்திற்கு சமம் என்று பொருள்.

எல்லையற்ற திசையன்களின் அமைப்பில் இந்த சமத்துவத்தின் அனலாக் பார்செவலின் சமத்துவம் என்று அழைக்கப்படுகிறது.

யூக்ளிடியன் அல்லாத வடிவியல்

பித்தகோரியன் தேற்றம் யூக்ளிடியன் வடிவவியலின் கோட்பாடுகளிலிருந்து பெறப்பட்டது, உண்மையில், மேலே எழுதப்பட்ட வடிவத்தில் யூக்ளிடியன் அல்லாத வடிவவியலுக்கு இது செல்லுபடியாகாது. (அதாவது, பித்தகோரியன் தேற்றம், யூக்ளிடின் இணையான நிலைப்பாட்டிற்குச் சமமானதாக மாறிவிடும்) வேறுவிதமாகக் கூறினால், யூக்ளிடியன் அல்லாத வடிவவியலில் முக்கோணத்தின் பக்கங்களுக்கிடையேயான தொடர்பு பித்தகோரியன் தேற்றத்திலிருந்து வேறுபட்ட வடிவத்தில் இருக்க வேண்டும். எடுத்துக்காட்டாக, கோள வடிவவியலில், ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் மூன்று பக்கங்களும் (சொல்லுங்கள் அ, பிமற்றும் c), இது அலகுக் கோளத்தின் ஆக்டான்ட் (எட்டாவது பகுதி) ஐக் கட்டுப்படுத்துகிறது, இது π/2 நீளத்தைக் கொண்டுள்ளது, இது பித்தகோரியன் தேற்றத்துடன் முரண்படுகிறது. அ 2 + பி 2 ≠ c 2 .

யூக்ளிடியன் அல்லாத வடிவவியலின் இரண்டு நிகழ்வுகளை இங்கே கருத்தில் கொள்வோம் - கோள மற்றும் ஹைபர்போலிக் வடிவியல்; இரண்டு சந்தர்ப்பங்களிலும், செங்கோண முக்கோணங்களுக்கான யூக்ளிடியன் இடத்தைப் பொறுத்தவரை, பித்தகோரியன் தேற்றத்தை மாற்றியமைக்கும் முடிவு, கொசைன் தேற்றத்திலிருந்து பின்பற்றப்படுகிறது.

இருப்பினும், பித்தகோரியன் தேற்றம் ஹைபர்போலிக் மற்றும் நீள்வட்ட வடிவவியலுக்கு செல்லுபடியாகும், முக்கோணம் செவ்வகமாக இருக்க வேண்டும் என்ற நிபந்தனைக்கு பதிலாக முக்கோணத்தின் இரண்டு கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை மூன்றில் சமமாக இருக்க வேண்டும். ஏ+பி = சி. பின்னர் பக்கங்களுக்கு இடையிலான உறவு இதுபோல் தெரிகிறது: விட்டம் கொண்ட வட்டங்களின் பகுதிகளின் கூட்டுத்தொகை அமற்றும் பிவிட்டம் கொண்ட ஒரு வட்டத்தின் பகுதிக்கு சமம் c.

கோள வடிவியல்

ஆரம் கொண்ட கோளத்தில் உள்ள எந்த செங்கோண முக்கோணத்திற்கும் ஆர்(உதாரணமாக, முக்கோணத்தில் γ கோணம் சரியாக இருந்தால்) பக்கங்களுடன் அ, பி, cகட்சிகளுக்கு இடையிலான உறவு இப்படி இருக்கும்:

இந்த சமத்துவத்தை இவ்வாறு பெறலாம் ஒரு சிறப்பு வழக்குகோள கோசைன் தேற்றம், இது அனைத்து கோள முக்கோணங்களுக்கும் செல்லுபடியாகும்:

இதில் கோஷ் என்பது ஹைபர்போலிக் கொசைன் ஆகும். இந்த சூத்திரம் ஹைபர்போலிக் கொசைன் தேற்றத்தின் ஒரு சிறப்பு வழக்கு, இது அனைத்து முக்கோணங்களுக்கும் செல்லுபடியாகும்:

இதில் γ என்பது பக்கத்திற்கு எதிரே இருக்கும் கோணம் c.

எங்கே g ijமெட்ரிக் டென்சர் என்று அழைக்கப்படுகிறது. இது பதவியின் செயல்பாடாக இருக்கலாம். இத்தகைய வளைவு இடைவெளிகளில் ரைமான்னியன் வடிவவியலும் அடங்கும் பொதுவான உதாரணம். வளைகோட்டு ஆயங்களைப் பயன்படுத்தும் போது இந்த உருவாக்கம் யூக்ளிடியன் இடத்திற்கும் ஏற்றது. எடுத்துக்காட்டாக, துருவ ஆயங்களுக்கு:

திசையன் கலைப்படைப்பு

பித்தகோரியன் தேற்றம் ஒரு திசையன் உற்பத்தியின் அளவுக்கான இரண்டு வெளிப்பாடுகளை இணைக்கிறது. ஒரு குறுக்கு தயாரிப்பு வரையறுப்பதற்கான ஒரு அணுகுமுறை அது சமன்பாட்டை பூர்த்தி செய்ய வேண்டும்:

இந்த சூத்திரம் டாட் தயாரிப்பைப் பயன்படுத்துகிறது. வலது பக்கம்சமன்பாடு கிராம் தீர்மானிப்பான் என்று அழைக்கப்படுகிறது அமற்றும் பி, இது இந்த இரண்டு திசையன்களால் உருவாக்கப்பட்ட இணையான வரைபடத்தின் பரப்பளவிற்கு சமம். இந்தத் தேவையின் அடிப்படையில், அதே போல் திசையன் தயாரிப்பு அதன் கூறுகளுக்கு செங்குத்தாக இருக்க வேண்டும். அமற்றும் பி 0- மற்றும் 1-பரிமாண இடத்திலிருந்து அற்பமான நிகழ்வுகளைத் தவிர, குறுக்கு தயாரிப்பு மூன்று மற்றும் ஏழு பரிமாணங்களில் மட்டுமே வரையறுக்கப்படுகிறது. கோணத்தின் வரையறையைப் பயன்படுத்துகிறோம் n- பரிமாண இடம்:

குறுக்கு தயாரிப்புகளின் இந்த பண்பு அதன் அளவை பின்வருமாறு அளிக்கிறது:

பித்தகோரஸின் அடிப்படை முக்கோணவியல் அடையாளத்தின் மூலம் அதன் மதிப்பை எழுதும் மற்றொரு வடிவத்தைப் பெறுகிறோம்:

ஒரு குறுக்கு தயாரிப்பு வரையறுப்பதற்கான ஒரு மாற்று அணுகுமுறை அதன் அளவிற்கு ஒரு வெளிப்பாட்டைப் பயன்படுத்துவதாகும். பின்னர், தலைகீழ் வரிசையில் பகுத்தறிந்து, அளவிடுதல் தயாரிப்புடன் ஒரு இணைப்பைப் பெறுகிறோம்:

மேலும் பார்க்கவும்

குறிப்புகள்

1. வரலாற்று தலைப்பு: பாபிலோனிய கணிதத்தில் பித்தகோரஸின் தேற்றம்
2. (, ப. 351) ப. 351
3. (, தொகுதி I, ப. 144)
4. கலந்துரையாடல் வரலாற்று உண்மைகள்(, ப. 351) ப. 351 இல் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது
5. கர்ட் வான் ஃபிரிட்ஸ் (ஏப்., 1945). "தி டிஸ்கவரி ஆஃப் இன்கமென்சரபிலிட்டி பை ஹிப்பாசஸ் ஆஃப் மெட்டாபோண்டம்". கணிதத்தின் அன்னல்ஸ், இரண்டாவது தொடர்(கணிதத்தின் வரலாறு) 46 (2): 242–264.
6. லூயிஸ் கரோல், "தி ஸ்டோரி வித் நாட்ஸ்", எம்., மிர், 1985, ப. 7
7. Asger Aaboeகணிதத்தின் ஆரம்பகால வரலாற்றிலிருந்து அத்தியாயங்கள். - கணித சங்கம், 1997. - பி. 51. - ISBN 0883856131
8. பைதான் முன்மொழிவுஎலிஷா ஸ்காட் லூமிஸ் மூலம்
9. யூக்ளிட் கூறுகள்: புத்தகம் VI, முன்மொழிவு VI 31: "செங்கோண முக்கோணங்களில், வலது கோணத்தில் உள்ள பக்கவாட்டில் உள்ள உருவம், வலது கோணத்தைக் கொண்ட பக்கங்களில் உள்ள ஒத்த மற்றும் இதேபோல் விவரிக்கப்பட்ட உருவங்களுக்குச் சமமாக இருக்கும்."
10. லாரன்ஸ் எஸ். லெஃப் மேற்கோள் வேலை. - பரோனின் கல்வித் தொடர் - பி. 326. - ISBN 0764128922
11. ஹோவர்ட் விட்லி ஈவ்ஸ்§4.8:...பித்தகோரியன் தேற்றத்தின் பொதுமைப்படுத்தல் // கணிதத்தில் சிறந்த தருணங்கள் (1650க்கு முன்). - கணித சங்கம், 1983. - பி. 41. - ISBN 0883853108
12. தாபித் இபின் குரா (முழுப் பெயர் தாபித் இப்னு குர்ரா இபின் மர்வான் அல்-தாபி அல்-ஹர்ரானி) (கி.பி. 826-901) பாக்தாத்தில் வசிக்கும் ஒரு மருத்துவர் ஆவார், அவர் யூக்லிடின் தனிமங்கள் மற்றும் பிற கணிதப் பாடங்கள் குறித்து விரிவாக எழுதினார்.
13. அய்டின் சைலி (மார்ச். 1960). "தாபித் இப்னு குர்ரா" பித்தகோரியன் தேற்றத்தின் பொதுமைப்படுத்தல்." ஐசிஸ் 51 (1): 35–37. DOI:10.1086/348837.
14. ஜூடித் டி.சாலி, பால் சாலிபயிற்சி 2.10 (ii) // மேற்கோள் காட்டப்பட்ட வேலை. - பி. 62. - ISBN 0821844032
15. அத்தகைய கட்டுமானத்தின் விவரங்களுக்கு, பார்க்கவும் ஜார்ஜ் ஜென்னிங்ஸ்படம் 1.32: பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட பித்தகோரியன் தேற்றம் // பயன்பாடுகளுடன் கூடிய நவீன வடிவியல்: 150 உருவங்களுடன். - 3வது. - ஸ்பிரிங்கர், 1997. - பி. 23. - ISBN 038794222X
16. ஆர்லன் பிரவுன், கார்ல் எம். பியர்சிபொருள் சி: தன்னிச்சையான ஒரு விதிமுறை n-tuple ... // பகுப்பாய்வு ஒரு அறிமுகம் . - ஸ்பிரிங்கர், 1995. - பி. 124. - ISBN 0387943692பக்கங்கள் 47-50ஐயும் பார்க்கவும்.
17. ஆல்ஃபிரட் கிரே, எல்சா அபேனா, சைமன் சாலமன்கணிதத்துடன் கூடிய வளைவுகள் மற்றும் மேற்பரப்புகளின் நவீன வேறுபட்ட வடிவவியல். - 3வது. - CRC பிரஸ், 2006. - P. 194. - ISBN 1584884487
18. ராஜேந்திர பாட்டியாமேட்ரிக்ஸ் பகுப்பாய்வு. - ஸ்பிரிங்கர், 1997. - பி. 21. - ISBN 0387948465
19. ஸ்டீபன் டபிள்யூ. ஹாக்கிங் மேற்கோள் வேலை. - 2005. - பி. 4. - ISBN 0762419229
20. எரிக் டபிள்யூ. வெய்ஸ்டீன்கணிதத்தின் CRC சுருக்கமான கலைக்களஞ்சியம். - 2வது. - 2003. - பி. 2147. - ISBN 1584883472
21. அலெக்சாண்டர் ஆர். பிரஸ்

நீங்கள் முதலில் சதுர வேர்கள் மற்றும் பகுத்தறிவற்ற சமன்பாடுகளை எவ்வாறு தீர்ப்பது (மூல அடையாளத்தின் கீழ் அறியப்படாத சமன்பாடுகள்) பற்றி அறியத் தொடங்கியபோது, ​​அவற்றின் நடைமுறைப் பயன்பாடுகளின் முதல் சுவை உங்களுக்குத் தெரிந்திருக்கலாம். பிரித்தெடுக்கும் திறன் சதுர வேர்பித்தகோரியன் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி சிக்கல்களைத் தீர்க்க எண்களிலிருந்தும் அவசியம். இந்த தேற்றம் எந்த செங்கோண முக்கோணத்தின் பக்கங்களின் நீளத்தையும் தொடர்புபடுத்துகிறது.

ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் கால்களின் நீளம் (சரியான கோணங்களில் சந்திக்கும் அந்த இரண்டு பக்கங்களும்) எழுத்துக்களால் குறிக்கப்படட்டும் கடிதம். பின்னர் தொடர்புடைய நீளங்கள் பின்வரும் உறவால் தொடர்புடையவை:

இந்த சமன்பாடு ஒரு வலது முக்கோணத்தின் மற்ற இரு பக்கங்களின் நீளம் அறியப்படும் போது அதன் பக்கத்தின் நீளத்தைக் கண்டறிய உங்களை அனுமதிக்கிறது. கூடுதலாக, மூன்று பக்கங்களின் நீளம் முன்கூட்டியே தெரிந்திருந்தால், கேள்விக்குரிய முக்கோணம் ஒரு செங்கோண முக்கோணமா என்பதை தீர்மானிக்க உங்களை அனுமதிக்கிறது.

பித்தகோரியன் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி சிக்கல்களைத் தீர்ப்பது

பொருளை ஒருங்கிணைக்க, பித்தகோரியன் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி பின்வரும் சிக்கல்களைத் தீர்ப்போம்.

எனவே, வழங்கப்பட்டது:

1. கால்களில் ஒன்றின் நீளம் 48, ஹைப்போடென்யூஸ் 80.
2. காலின் நீளம் 84, ஹைப்போடென்யூஸ் 91.

தீர்வுக்கு வருவோம்:

அ) மேலே உள்ள சமன்பாட்டில் தரவை மாற்றுவது பின்வரும் முடிவுகளை அளிக்கிறது:

48 2 + பி 2 = 80 2

2304 + பி 2 = 6400

பி 2 = 4096

பி= 64 அல்லது பி = -64

ஒரு முக்கோணத்தின் ஒரு பக்கத்தின் நீளத்தை வெளிப்படுத்த முடியாது என்பதால் எதிர்மறை எண், இரண்டாவது விருப்பம் தானாகவே நிராகரிக்கப்படும்.

முதல் படத்திற்கான பதில்: பி = 64.

b) இரண்டாவது முக்கோணத்தின் காலின் நீளம் அதே வழியில் காணப்படுகிறது:

84 2 + பி 2 = 91 2

7056 + பி 2 = 8281

பி 2 = 1225

பி= 35 அல்லது பி = -35

முந்தைய வழக்கைப் போலவே, எதிர்மறையான முடிவு நிராகரிக்கப்படுகிறது.

இரண்டாவது படத்திற்கான பதில்: பி = 35

எங்களுக்கு வழங்கப்படுகிறது:

1. முக்கோணத்தின் சிறிய பக்கங்களின் நீளம் முறையே 45 மற்றும் 55 ஆகும், மேலும் பெரிய பக்கங்கள் 75 ஆகும்.
2. முக்கோணத்தின் சிறிய பக்கங்களின் நீளம் முறையே 28 மற்றும் 45 ஆகும், மேலும் பெரிய பக்கங்கள் 53 ஆகும்.

சிக்கலைத் தீர்ப்போம்:

அ) கொடுக்கப்பட்ட முக்கோணத்தின் குறுகிய பக்கங்களின் நீளங்களின் சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகை பெரியவற்றின் நீளத்தின் சதுரத்திற்கு சமமாக உள்ளதா என்பதைச் சரிபார்க்க வேண்டியது அவசியம்:

45 2 + 55 2 = 2025 + 3025 = 5050

எனவே, முதல் முக்கோணம் ஒரு செங்கோண முக்கோணம் அல்ல.

b) அதே செயல்பாடு செய்யப்படுகிறது:

28 2 + 45 2 = 784 + 2025 = 2809

எனவே, இரண்டாவது முக்கோணம் ஒரு செங்கோண முக்கோணம்.

முதலில், ஆய (-2, -3) மற்றும் (5, -2) புள்ளிகளால் உருவாக்கப்பட்ட மிகப்பெரிய பிரிவின் நீளத்தைக் கண்டுபிடிப்போம். இதற்காக நாங்கள் பயன்படுத்துகிறோம் நன்கு அறியப்பட்ட சூத்திரம்செவ்வக ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் புள்ளிகளுக்கு இடையே உள்ள தூரத்தைக் கண்டறிய:

இதேபோல், ஆய (-2, -3) மற்றும் (2, 1) புள்ளிகளுக்கு இடையில் இணைக்கப்பட்ட பிரிவின் நீளத்தைக் காண்கிறோம்:

இறுதியாக, ஆய (2, 1) மற்றும் (5, -2) கொண்ட புள்ளிகளுக்கு இடையிலான பிரிவின் நீளத்தை நாங்கள் தீர்மானிக்கிறோம்:

சமத்துவம் இருப்பதால்:

பின்னர் தொடர்புடைய முக்கோணம் வலது கோணமாக இருக்கும்.

எனவே, சிக்கலுக்கான பதிலை நாம் உருவாக்கலாம்: குறுகிய நீளம் கொண்ட பக்கங்களின் சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகை நீண்ட நீளம் கொண்ட பக்கத்தின் சதுரத்திற்கு சமமாக இருப்பதால், புள்ளிகள் ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் முனைகளாகும்.

அடித்தளம் (கண்டிப்பாக கிடைமட்டமாக அமைந்துள்ளது), ஜம்ப் (கண்டிப்பாக செங்குத்தாக அமைந்துள்ளது) மற்றும் கேபிள் (குறுக்காக நீட்டப்பட்டது) ஆகியவை முறையே ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தை உருவாக்குகின்றன, கேபிளின் நீளத்தைக் கண்டறிய பித்தகோரியன் தேற்றம் பயன்படுத்தப்படலாம்:

இதனால், கேபிளின் நீளம் தோராயமாக 3.6 மீட்டர் இருக்கும்.

கொடுக்கப்பட்டவை: புள்ளி R இலிருந்து புள்ளி P க்கு (முக்கோணத்தின் கால்) தூரம் 24, புள்ளி R இலிருந்து Q (hypotenuse) வரை 26 ஆகும்.

எனவே, சிக்கலை தீர்க்க வீடாவுக்கு உதவுவோம். படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ள முக்கோணத்தின் பக்கங்கள் ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தை உருவாக்க வேண்டும் என்பதால், மூன்றாவது பக்கத்தின் நீளத்தைக் கண்டறிய பித்தகோரியன் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தலாம்:

எனவே, குளத்தின் அகலம் 10 மீட்டர்.

செர்ஜி வலேரிவிச்

பித்தகோரியன் தேற்றம்யூக்ளிடியன் வடிவவியலின் அடிப்படைக் கோட்பாடுகளில் ஒன்று, உறவை நிறுவுகிறது

ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் பக்கங்களுக்கு இடையில்.

இது கிரேக்க கணிதவியலாளர் பித்தகோரஸால் நிரூபிக்கப்பட்டதாக நம்பப்படுகிறது, அதன் பெயரால் அது பெயரிடப்பட்டது.

பித்தகோரியன் தேற்றத்தின் வடிவியல் உருவாக்கம்.

தேற்றம் முதலில் பின்வருமாறு வடிவமைக்கப்பட்டது:

ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தில், ஹைபோடென்யூஸில் கட்டப்பட்ட சதுரத்தின் பரப்பளவு சதுரங்களின் பகுதிகளின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம்,

கால்களில் கட்டப்பட்டது.

பித்தகோரியன் தேற்றத்தின் இயற்கணித உருவாக்கம்.

ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தில், ஹைப்போடென்யூஸின் நீளத்தின் சதுரம் கால்களின் நீளத்தின் சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமமாக இருக்கும்.

அதாவது, முக்கோணத்தின் ஹைப்போடென்யூஸின் நீளத்தைக் குறிக்கிறது c, மற்றும் கால்களின் நீளம் அமற்றும் பி:

இரண்டு சூத்திரங்கள் பித்தகோரியன் தேற்றம்சமமானவை, ஆனால் இரண்டாவது உருவாக்கம் மிகவும் அடிப்படையானது, அது இல்லை

பகுதி என்ற கருத்து தேவைப்படுகிறது. அதாவது, இரண்டாவது அறிக்கையை அந்த பகுதி மற்றும் பற்றி எதுவும் தெரியாமல் சரிபார்க்க முடியும்

ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் பக்கங்களின் நீளத்தை மட்டும் அளவிடுவதன் மூலம்.

பித்தகோரியன் தேற்றத்தை மாற்று.

ஒரு முக்கோணத்தின் ஒரு பக்கத்தின் சதுரம் மற்ற இரண்டு பக்கங்களின் சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமமாக இருந்தால்

வலது முக்கோணம்.

அல்லது, வேறுவிதமாகக் கூறினால்:

ஒவ்வொரு மூன்று மடங்கு நேர்மறை எண்களுக்கும் அ, பிமற்றும் c, அதுபோல்

கால்களுடன் ஒரு செங்கோண முக்கோணம் உள்ளது அமற்றும் பிமற்றும் ஹைப்போடென்யூஸ் c.

ஐசோசெல்ஸ் முக்கோணத்திற்கான பித்தகோரியன் தேற்றம்.

ஒரு சமபக்க முக்கோணத்திற்கான பித்தகோரியன் தேற்றம்.

பித்தகோரியன் தேற்றத்தின் சான்றுகள்.

தற்போது, ​​இந்த தேற்றத்தின் 367 சான்றுகள் அறிவியல் இலக்கியங்களில் பதிவு செய்யப்பட்டுள்ளன. ஒருவேளை தேற்றம்

பித்தகோரஸ் மட்டுமே இவ்வளவு ஈர்க்கக்கூடிய சான்றுகளைக் கொண்ட ஒரே தேற்றம். அத்தகைய பன்முகத்தன்மை

வடிவவியலுக்கான தேற்றத்தின் அடிப்படை முக்கியத்துவத்தால் மட்டுமே விளக்க முடியும்.

நிச்சயமாக, கருத்தியல் ரீதியாக அவை அனைத்தையும் ஒரு சிறிய எண்ணிக்கையிலான வகுப்புகளாகப் பிரிக்கலாம். அவற்றில் மிகவும் பிரபலமானவை:

ஆதாரம் பகுதி முறை, அச்சுமற்றும் கவர்ச்சியான சான்றுகள்(உதாரணத்திற்கு,

பயன்படுத்தி வகைக்கெழு சமன்பாடுகள்).

1. ஒத்த முக்கோணங்களைப் பயன்படுத்தி பித்தகோரியன் தேற்றத்தின் ஆதாரம்.

இயற்கணித உருவாக்கத்தின் பின்வரும் சான்றுகள் கட்டமைக்கப்பட்ட சான்றுகளில் எளிமையானவை

நேரடியாக கோட்பாடுகளிலிருந்து. குறிப்பாக, இது ஒரு உருவத்தின் பரப்பளவு என்ற கருத்தைப் பயன்படுத்துவதில்லை.

விடுங்கள் ஏபிசிவலது கோணத்துடன் ஒரு செங்கோண முக்கோணம் உள்ளது சி. இருந்து உயரத்தை வரைவோம் சிமற்றும் குறிக்கவும்

அதன் அடித்தளம் மூலம் எச்.

முக்கோணம் ACHஒரு முக்கோணத்தைப் போன்றது ஏபிஇரண்டு மூலைகளிலும் சி. அதேபோல், முக்கோணம் CBHஒத்த ஏபிசி.

குறிப்பை அறிமுகப்படுத்துவதன் மூலம்:

நாம் பெறுகிறோம்:

,

இது பொருந்துகிறது -

மடிந்தது அ 2 மற்றும் பி 2, நாம் பெறுகிறோம்:

அல்லது , இது நிரூபிக்கப்பட வேண்டும்.

2. பகுதி முறையைப் பயன்படுத்தி பித்தகோரியன் தேற்றத்தின் ஆதாரம்.

கீழே உள்ள சான்றுகள், அவற்றின் வெளிப்படையான எளிமை இருந்தபோதிலும், அவ்வளவு எளிமையானவை அல்ல. அவர்கள் அனைவரும்

பகுதியின் பண்புகளைப் பயன்படுத்தவும், பித்தகோரியன் தேற்றத்தின் நிரூபணத்தை விட மிகவும் சிக்கலான சான்றுகள்.

• சமநிலை மூலம் ஆதாரம்.

நான்கு சம செவ்வக வடிவில் அமைப்போம்

படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளபடி முக்கோணம்

வலதுபுறம்.

பக்கங்களுடன் நாற்கோணம் c- சதுரம்,

இரண்டு தீவிர கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை 90°, மற்றும்

விரிந்த கோணம் - 180°.

முழு உருவத்தின் பரப்பளவு சமமாக உள்ளது, ஒருபுறம்,

பக்கத்துடன் ஒரு சதுரத்தின் பரப்பளவு ( a+b), மறுபுறம், நான்கு முக்கோணங்களின் பகுதிகளின் கூட்டுத்தொகை மற்றும்

கே.இ.டி.

3. எல்லையற்ற முறை மூலம் பித்தகோரியன் தேற்றத்தின் ஆதாரம்.

​

படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ள வரைபடத்தைப் பார்த்து

பக்க மாற்றம் பார்க்கிறதுஅ, நம்மால் முடியும்

பின்வரும் தொடர்பை எல்லையற்றதாக எழுதவும்

சிறிய பக்க அதிகரிப்புகள்உடன்மற்றும் அ(ஒற்றுமையைப் பயன்படுத்தி

முக்கோணங்கள்):

மாறி பிரிப்பு முறையைப் பயன்படுத்தி, நாம் காண்கிறோம்:

இருபுறமும் அதிகரிப்புகளில் ஹைபோடென்யூஸில் ஏற்படும் மாற்றத்திற்கான பொதுவான வெளிப்பாடு:

இந்த சமன்பாட்டை ஒருங்கிணைத்து, ஆரம்ப நிலைகளைப் பயன்படுத்தி, நாம் பெறுகிறோம்:

எனவே நாம் விரும்பிய பதிலை அடைகிறோம்:

பார்க்க எளிதானது போல, இறுதி சூத்திரத்தில் இருபடி சார்பு நேரியல் காரணமாக தோன்றுகிறது

முக்கோணத்தின் பக்கங்களுக்கும் அதிகரிப்புகளுக்கும் இடையிலான விகிதாசாரம், கூட்டுத்தொகை சுயாதீனத்துடன் தொடர்புடையது

வெவ்வேறு கால்களின் அதிகரிப்பில் இருந்து பங்களிப்பு.

கால்களில் ஒன்று அதிகரிப்பு ஏற்படவில்லை என்று நாம் கருதினால் எளிமையான ஆதாரம் கிடைக்கும்

(இந்த வழக்கில் கால் பி) ஒருங்கிணைப்பு மாறிலிக்கு நாம் பெறுகிறோம்:

பித்தகோரியன் தேற்றம்

பிற கோட்பாடுகள் மற்றும் சிக்கல்களின் விதி விசித்திரமானது... எடுத்துக்காட்டாக, பித்தகோரியன் தேற்றத்தின் மீது கணிதவியலாளர்கள் மற்றும் கணித ஆர்வலர்களின் இத்தகைய விதிவிலக்கான கவனத்தை எவ்வாறு விளக்குவது? அவர்களில் பலர் ஏன் ஏற்கனவே அறியப்பட்ட ஆதாரங்களுடன் திருப்தியடையவில்லை, ஆனால் அவர்கள் சொந்தமாகக் கண்டுபிடித்து, பல நூறு இருபத்தைந்து ஒப்பீட்டளவில் எதிர்பார்க்கக்கூடிய நூற்றாண்டுகளுக்கு ஆதாரங்களின் எண்ணிக்கையைக் கொண்டு வந்தனர்?
பித்தகோரியன் தேற்றத்திற்கு வரும்போது, ​​அசாதாரணமானது அதன் பெயருடன் தொடங்குகிறது. இதை முதலில் உருவாக்கியவர் பித்தகோரஸ் அல்ல என்று நம்பப்படுகிறது. அதற்கு அவர் ஆதாரம் கொடுத்தது சந்தேகமாக உள்ளது. பித்தகோரஸ் ஒரு உண்மையான நபர் என்றால் (சிலர் இதை சந்தேகிக்கிறார்கள்!), அவர் பெரும்பாலும் 6-5 ஆம் நூற்றாண்டுகளில் வாழ்ந்திருக்கலாம். கி.மு இ. அவரே எதையும் எழுதவில்லை, தன்னை ஒரு தத்துவஞானி என்று அழைத்தார், அதாவது அவரது புரிதலில், "ஞானத்திற்காக பாடுபடுகிறார்" மற்றும் பித்தகோரியன் யூனியனை நிறுவினார், அதன் உறுப்பினர்கள் இசை, ஜிம்னாஸ்டிக்ஸ், கணிதம், இயற்பியல் மற்றும் வானியல் ஆகியவற்றைப் படித்தனர். வெளிப்படையாக, அவர் ஒரு சிறந்த சொற்பொழிவாளராகவும் இருந்தார், குரோட்டன் நகரில் அவர் தங்கியிருப்பது தொடர்பான பின்வரும் புராணக்கதையால் சாட்சியமளிக்கப்படுகிறது: “குரோட்டனில் உள்ள மக்களுக்கு முன் பித்தகோரஸின் முதல் தோற்றம் இளைஞர்களிடம் ஒரு உரையுடன் தொடங்கியது, அதில் அவர் அப்படி இருந்தார். கண்டிப்பான, ஆனால் அதே நேரத்தில் மிகவும் கவர்ச்சிகரமான இளைஞர்களின் கடமைகளை கோடிட்டுக் காட்டினார், மேலும் நகரத்தில் உள்ள பெரியவர்கள் அறிவுறுத்தல் இல்லாமல் அவர்களை விட்டு வெளியேற வேண்டாம் என்று கேட்டுக் கொண்டனர். இந்த இரண்டாவது உரையில் அவர் குடும்பத்தின் அஸ்திவாரங்களாக சட்டப்பூர்வமான தன்மையையும் ஒழுக்கத்தின் தூய்மையையும் சுட்டிக்காட்டினார்; அடுத்த இரண்டில் அவர் குழந்தைகள் மற்றும் பெண்களிடம் பேசினார். அவர் குறிப்பாக ஆடம்பரத்தைக் கண்டித்த கடைசி உரையின் விளைவு என்னவென்றால், ஹெரா கோவிலுக்கு ஆயிரக்கணக்கான விலையுயர்ந்த ஆடைகள் வழங்கப்பட்டன, ஏனென்றால் ஒரு பெண் கூட தெருவில் தோன்றத் துணியவில்லை. ” இரண்டாம் நூற்றாண்டு, அதாவது, 700 ஆண்டுகளுக்குப் பிறகு, அவர்கள் முழுமையாக வாழ்ந்து வேலை செய்தனர் உண்மையான மக்கள், பித்தகோரியன் கூட்டணியால் தெளிவாகப் பாதிக்கப்பட்டு, புராணத்தின் படி, பித்தகோரஸ் உருவாக்கியவற்றில் மிகுந்த மரியாதை கொண்ட அசாதாரண விஞ்ஞானிகள்.
தேற்றத்தின் மீதான ஆர்வம் கணிதத்தின் மைய இடங்களில் ஒன்றை ஆக்கிரமித்துள்ளதாலும், ரோமானிய கவிஞர் குயின்டஸ் ஹோரேஸ் ஃப்ளாக்கஸின் சிரமங்களைச் சமாளித்த நிரூபணங்களின் ஆசிரியர்களின் திருப்தியாலும் ஏற்படுகிறது என்பதில் சந்தேகமில்லை. நம் சகாப்தத்திற்கு முன்பு வாழ்ந்தவர், நன்றாக கூறினார்: "நன்கு அறியப்பட்ட உண்மைகளை வெளிப்படுத்துவது கடினம்."
ஆரம்பத்தில், ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் ஹைப்போடென்யூஸ் மற்றும் கால்களில் கட்டப்பட்ட சதுரங்களின் பகுதிகளுக்கு இடையேயான உறவை தேற்றம் நிறுவியது:
.
இயற்கணித உருவாக்கம்:
ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தில், ஹைப்போடென்யூஸின் நீளத்தின் சதுரம் கால்களின் நீளத்தின் சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமமாக இருக்கும்.
அதாவது, முக்கோணத்தின் ஹைப்போடென்யூஸின் நீளத்தை c மற்றும் கால்களின் நீளத்தை a மற்றும் b ஆல் குறிக்கிறது: a 2 + b 2 =c 2. தேற்றத்தின் இரண்டு சூத்திரங்களும் சமமானவை, ஆனால் இரண்டாவது உருவாக்கம் மிகவும் அடிப்படையானது; இதற்கு பரப்பளவு என்ற கருத்து தேவையில்லை. அதாவது, இரண்டாவது அறிக்கையானது பகுதியைப் பற்றி எதுவும் தெரியாமல் மற்றும் ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் பக்கங்களின் நீளத்தை மட்டும் அளவிடுவதன் மூலம் சரிபார்க்க முடியும்.
பித்தகோரியன் தேற்றத்தை மாற்று. நேர்மறை எண்களின் எந்த மூன்று மடங்குக்கும் a, b மற்றும் c
a 2 + b 2 = c 2, கால்கள் a மற்றும் b மற்றும் ஹைபோடென்யூஸ் c கொண்ட ஒரு செங்கோண முக்கோணம் உள்ளது.

ஆதாரம்

தற்போது, ​​இந்த தேற்றத்தின் 367 சான்றுகள் அறிவியல் இலக்கியங்களில் பதிவு செய்யப்பட்டுள்ளன. அநேகமாக, பித்தகோரியன் தேற்றம் மட்டுமே இவ்வளவு ஈர்க்கக்கூடிய ஆதாரங்களைக் கொண்ட ஒரே தேற்றம். இத்தகைய பன்முகத்தன்மையை வடிவவியலுக்கான தேற்றத்தின் அடிப்படை முக்கியத்துவத்தால் மட்டுமே விளக்க முடியும்.
நிச்சயமாக, கருத்தியல் ரீதியாக அவை அனைத்தையும் ஒரு சிறிய எண்ணிக்கையிலான வகுப்புகளாகப் பிரிக்கலாம். அவற்றில் மிகவும் பிரபலமானவை: பகுதி முறையின் சான்றுகள், அச்சு மற்றும் கவர்ச்சியான சான்றுகள் (எடுத்துக்காட்டாக, வேறுபட்ட சமன்பாடுகளைப் பயன்படுத்துதல்).

ஒத்த முக்கோணங்கள் மூலம்

இயற்கணித சூத்திரத்தின் பின்வரும் ஆதாரம், கோட்பாடுகளிலிருந்து நேரடியாகக் கட்டமைக்கப்பட்ட சான்றுகளில் எளிமையானது. குறிப்பாக, இது ஒரு உருவத்தின் பரப்பளவு என்ற கருத்தைப் பயன்படுத்துவதில்லை.
ABC ஆனது ஒரு செங்கோண முக்கோணமாக இருக்கட்டும் C. C இலிருந்து உயரத்தை வரைந்து அதன் அடிப்பகுதியை H முக்கோணத்தால் குறிக்கவும். ACH என்பது இரண்டு கோணங்களில் ABC முக்கோணத்தை ஒத்ததாகும்.
இதேபோல், முக்கோணம் CBH ஏபிசியைப் போன்றது. குறியீட்டை அறிமுகப்படுத்துவதன் மூலம்

நாம் பெறுகிறோம்

எது சமமானது

அதைச் சேர்த்தால், நமக்குக் கிடைக்கும்

அல்லது

பகுதி முறையைப் பயன்படுத்தி சான்றுகள்

கீழே உள்ள சான்றுகள், அவற்றின் வெளிப்படையான எளிமை இருந்தபோதிலும், அவ்வளவு எளிமையானவை அல்ல. அவை அனைத்தும் பகுதியின் பண்புகளைப் பயன்படுத்துகின்றன, இதன் ஆதாரம் பித்தகோரியன் தேற்றத்தின் ஆதாரத்தை விட மிகவும் சிக்கலானது.

உபகரணம் மூலம் ஆதாரம்

1. படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளபடி நான்கு சமமான வலது முக்கோணங்களை வைக்கவும்.
2. இரண்டு கடுமையான கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை 90° ஆகவும், நேர்கோணம் 180° ஆகவும் இருப்பதால் c பக்கங்களைக் கொண்ட ஒரு நாற்கரமானது ஒரு சதுரமாகும்.
3. முழு உருவத்தின் பரப்பளவு ஒருபுறம், பக்கவாட்டு (a + b) கொண்ட ஒரு சதுரத்தின் பரப்பளவிற்கு சமமாக உள்ளது, மறுபுறம், நான்கு முக்கோணங்களின் பகுதிகளின் கூட்டுத்தொகை மற்றும் உள் சதுரம்.



கே.இ.டி.

சமத்துவம் மூலம் சான்றுகள்

அத்தகைய ஒரு ஆதாரத்தின் உதாரணம் வலதுபுறத்தில் உள்ள வரைபடத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளது, அங்கு ஹைப்போடென்யூஸில் கட்டப்பட்ட ஒரு சதுரம் கால்களில் கட்டப்பட்ட இரண்டு சதுரங்களாக மறுசீரமைக்கப்படுகிறது.

யூக்ளிட்டின் ஆதாரம்

யூக்ளிட்டின் ஆதாரத்தின் யோசனை பின்வருமாறு: ஹைபோடென்யூஸில் கட்டப்பட்ட சதுரத்தின் பாதி பகுதி கால்களில் கட்டப்பட்ட சதுரங்களின் பாதி பகுதிகளின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம் என்பதை நிரூபிக்க முயற்சிப்போம், பின்னர் பகுதிகள் பெரிய மற்றும் இரண்டு சிறிய சதுரங்கள் சமம். இடதுபுறத்தில் உள்ள வரைபடத்தைப் பார்ப்போம். அதன் மீது நாம் ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் பக்கங்களில் சதுரங்களை உருவாக்கி, வலது கோணம் C இன் உச்சியில் இருந்து ஒரு கதிர் s ஐ ஹைபோடென்யூஸ் AB க்கு செங்குத்தாக வரைந்தோம், அது ஹைபோடென்யூஸில் கட்டப்பட்ட ABIK சதுரத்தை இரண்டு செவ்வகங்களாக வெட்டுகிறது - BHJI மற்றும் HAKJ, முறையே. இந்த செவ்வகங்களின் பகுதிகள் தொடர்புடைய கால்களில் கட்டப்பட்ட சதுரங்களின் பகுதிகளுக்கு சரியாக சமமாக இருக்கும் என்று மாறிவிடும். சதுர DECA இன் பரப்பளவு AHJK செவ்வகத்தின் பரப்பளவிற்கு சமம் என்பதை நிரூபிக்க முயற்சிப்போம். இதைச் செய்ய, நாம் ஒரு துணை கண்காணிப்பைப் பயன்படுத்துவோம்: அதே உயரம் மற்றும் அடித்தளம் கொண்ட ஒரு முக்கோணத்தின் பரப்பளவு கொடுக்கப்பட்ட செவ்வகம் கொடுக்கப்பட்ட செவ்வகத்தின் பாதி பகுதிக்கு சமம். இது ஒரு முக்கோணத்தின் பரப்பளவை அடித்தளம் மற்றும் உயரத்தின் பாதி உற்பத்தியாக வரையறுப்பதன் விளைவாகும். இந்த அவதானிப்பிலிருந்து, ACK முக்கோணத்தின் பரப்பளவு AHK முக்கோணத்தின் பகுதிக்கு சமம் (படத்தில் காட்டப்படவில்லை), இது செவ்வக AHJK இன் பாதி பகுதிக்கு சமம். ACK முக்கோணத்தின் பரப்பளவு சதுர DECA இன் பாதி பகுதிக்கு சமம் என்பதை இப்போது நிரூபிப்போம். இதற்கு செய்ய வேண்டிய ஒரே விஷயம், ACK மற்றும் BDA முக்கோணங்களின் சமத்துவத்தை நிரூபிப்பது (முக்கோண BDA இன் பரப்பளவு மேலே உள்ள சொத்தின் படி சதுரத்தின் பாதி பகுதிக்கு சமம் என்பதால்). சமத்துவம் வெளிப்படையானது, முக்கோணங்கள் இருபுறமும் சமமாக இருக்கும் மற்றும் அவற்றுக்கிடையேயான கோணம். அதாவது - AB=AK,AD=AC - CAK மற்றும் BAD ஆகிய கோணங்களின் சமத்துவத்தை இயக்க முறையின் மூலம் நிரூபிப்பது எளிது: CAK என்ற முக்கோணத்தை 90° எதிரெதிர் திசையில் சுழற்றுகிறோம், பிறகு இரண்டு முக்கோணங்களின் தொடர்புடைய பக்கங்களும் உள்ளவை என்பது தெளிவாகிறது. கேள்வி ஒத்துப்போகும் (சதுரத்தின் உச்சியில் உள்ள கோணம் 90° ஆக இருப்பதால்). சதுர BCFG மற்றும் BHJI செவ்வகத்தின் பகுதிகளின் சமத்துவத்திற்கான காரணம் முற்றிலும் ஒத்ததாகும். இவ்வாறு, ஹைப்போடென்யூஸில் கட்டப்பட்ட ஒரு சதுரத்தின் பரப்பளவு கால்களில் கட்டப்பட்ட சதுரங்களின் பகுதிகளால் ஆனது என்பதை நாங்கள் நிரூபித்தோம்.

லியோனார்டோ டா வின்சியின் சான்று

நிரூபணத்தின் முக்கிய கூறுகள் சமச்சீர் மற்றும் இயக்கம்.

வரைபடத்தை கருத்தில் கொள்வோம், சமச்சீரிலிருந்து பார்க்க முடியும், பிரிவு CI சதுர ABHJ ஐ இரண்டு ஒத்த பகுதிகளாக வெட்டுகிறது (ஏபிசி மற்றும் JHI முக்கோணங்கள் கட்டுமானத்தில் சமமாக இருப்பதால்). 90-டிகிரி எதிரெதிர் திசையில் சுழற்சியைப் பயன்படுத்தி, CAJI மற்றும் GDAB ஆகிய ஷேடட் புள்ளிவிவரங்களின் சமத்துவத்தைக் காண்கிறோம். நாம் நிழலாடிய உருவத்தின் பரப்பளவு கால்களில் கட்டப்பட்ட சதுரங்களின் பாதி பகுதிகள் மற்றும் அசல் முக்கோணத்தின் பரப்பளவுக்கு சமம் என்பது இப்போது தெளிவாகிறது. மறுபுறம், இது ஹைபோடென்யூஸில் கட்டப்பட்ட சதுரத்தின் பாதி பகுதிக்கும், அசல் முக்கோணத்தின் பரப்பளவிற்கும் சமம். ஆதாரத்தின் கடைசி படி வாசகரிடம் விடப்படுகிறது.