இருபடி சமன்பாடுகள் 8 ஆம் வகுப்பில் படிக்கப்படுகின்றன, எனவே இங்கு சிக்கலான எதுவும் இல்லை. அவற்றைத் தீர்க்கும் திறன் முற்றிலும் அவசியம்.

ஒரு இருபடி சமன்பாடு என்பது ax 2 + bx + c = 0 வடிவத்தின் சமன்பாடு ஆகும், இதில் குணகங்கள் a, b மற்றும் c தன்னிச்சையான எண்கள் மற்றும் a ≠ 0 ஆகும்.

குறிப்பிட்ட தீர்வு முறைகளைப் படிப்பதற்கு முன், அனைத்து இருபடிச் சமன்பாடுகளையும் மூன்று வகுப்புகளாகப் பிரிக்கலாம் என்பதை நினைவில் கொள்ளவும்:

1. வேர்கள் இல்லை;
2. சரியாக ஒரு ரூட் வேண்டும்;
3. இரண்டு வேண்டும் பல்வேறு வேர்கள்.

இது இருபடி சமன்பாடுகள் மற்றும் நேரியல் சமன்பாடுகளுக்கு இடையே உள்ள முக்கியமான வேறுபாடு ஆகும், இங்கு ரூட் எப்போதும் இருக்கும் மற்றும் தனித்தன்மை வாய்ந்தது. ஒரு சமன்பாட்டிற்கு எத்தனை வேர்கள் உள்ளன என்பதை எவ்வாறு தீர்மானிப்பது? இதற்கு ஒரு அற்புதமான விஷயம் இருக்கிறது - பாரபட்சமான.

பாகுபாடு காட்டுபவர்

கோடாரி சமன்பாடு 2 + bx + c = 0 கொடுக்கப்பட்டால், பாகுபாடு என்பது D = b 2 - 4ac.

இந்த சூத்திரத்தை நீங்கள் இதயத்தால் அறிந்து கொள்ள வேண்டும். அது எங்கிருந்து வருகிறது என்பது இப்போது முக்கியமில்லை. மற்றொரு விஷயம் முக்கியமானது: ஒரு இருபடி சமன்பாடு எத்தனை வேர்களைக் கொண்டுள்ளது என்பதை பாகுபாட்டின் அடையாளத்தின் மூலம் நீங்கள் தீர்மானிக்க முடியும். அதாவது:

1. டி என்றால்< 0, корней нет;
2. D = 0 என்றால், சரியாக ஒரு ரூட் உள்ளது;
3. D > 0 எனில், இரண்டு வேர்கள் இருக்கும்.

தயவுசெய்து கவனிக்கவும்: பாகுபாடு என்பது வேர்களின் எண்ணிக்கையைக் குறிக்கிறது, மேலும் அவற்றின் அனைத்து அறிகுறிகளிலும் இல்லை, சில காரணங்களால் பலர் நம்புகிறார்கள். எடுத்துக்காட்டுகளைப் பாருங்கள், எல்லாவற்றையும் நீங்களே புரிந்துகொள்வீர்கள்:

பணி. இருபடி சமன்பாடுகளுக்கு எத்தனை வேர்கள் உள்ளன:

1. x 2 - 8x + 12 = 0;
2. 5x 2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 - 6x + 9 = 0.

முதல் சமன்பாட்டிற்கான குணகங்களை எழுதுவோம் மற்றும் பாகுபாட்டைக் கண்டுபிடிப்போம்:
a = 1, b = -8, c = 12;
D = (-8) 2 - 4 1 12 = 64 - 48 = 16

எனவே பாகுபாடு நேர்மறையானது, எனவே சமன்பாடு இரண்டு வெவ்வேறு வேர்களைக் கொண்டுள்ளது. இரண்டாவது சமன்பாட்டை நாங்கள் அதே வழியில் பகுப்பாய்வு செய்கிறோம்:
a = 5; b = 3; c = 7;
D = 3 2 - 4 5 7 = 9 - 140 = −131.

பாகுபாடு எதிர்மறையானது, வேர்கள் இல்லை. மீதமுள்ள கடைசி சமன்பாடு:
a = 1; b = -6; c = 9;
D = (-6) 2 - 4 1 9 = 36 - 36 = 0.

பாகுபாடு பூஜ்ஜியம் - வேர் ஒன்றாக இருக்கும்.

ஒவ்வொரு சமன்பாட்டிற்கும் குணகங்கள் எழுதப்பட்டுள்ளன என்பதை நினைவில் கொள்க. ஆமாம், இது நீண்டது, ஆமாம், இது கடினமானது, ஆனால் நீங்கள் முரண்பாடுகளைக் கலந்து முட்டாள்தனமான தவறுகளைச் செய்ய மாட்டீர்கள். நீங்களே தேர்வு செய்யவும்: வேகம் அல்லது தரம்.

மூலம், நீங்கள் அதை செயலிழக்கச் செய்தால், சிறிது நேரத்திற்குப் பிறகு நீங்கள் அனைத்து குணகங்களையும் எழுத வேண்டிய அவசியமில்லை. உங்கள் தலையில் இதுபோன்ற செயல்பாடுகளைச் செய்வீர்கள். பெரும்பாலான மக்கள் 50-70 சமன்பாடுகளுக்குப் பிறகு எங்காவது இதைச் செய்யத் தொடங்குகிறார்கள் - பொதுவாக, அவ்வளவு இல்லை.

இருபடிச் சமன்பாட்டின் வேர்கள்

இப்போது தீர்வுக்கு செல்லலாம். பாகுபாடு D > 0 எனில், சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி வேர்களைக் கண்டறியலாம்:

அடிப்படை ரூட் சூத்திரம் இருபடி சமன்பாடு

D = 0 ஆக இருக்கும் போது, ​​நீங்கள் இந்த சூத்திரங்களில் ஏதேனும் ஒன்றைப் பயன்படுத்தலாம் - நீங்கள் அதே எண்ணைப் பெறுவீர்கள், அது பதில் இருக்கும். இறுதியாக, டி என்றால்< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 - 2x - 3 = 0;
2. 15 - 2x - x 2 = 0;
3. x 2 + 12x + 36 = 0.

முதல் சமன்பாடு:
x 2 - 2x - 3 = 0 ⇒ a = 1; b = -2; c = -3;
D = (−2) 2 - 4 1 (-3) = 16.

D > 0 ⇒ சமன்பாடு இரண்டு வேர்களைக் கொண்டுள்ளது. அவற்றைக் கண்டுபிடிப்போம்:

இரண்டாவது சமன்பாடு:
15 - 2x - x 2 = 0 ⇒ a = -1; b = -2; c = 15;
D = (−2) 2 - 4 · (-1) · 15 = 64.

D > 0 ⇒ சமன்பாடு மீண்டும் இரண்டு வேர்களைக் கொண்டுள்ளது. அவற்றைக் கண்டுபிடிப்போம்

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \முடிவு(சீரமை)\]

இறுதியாக, மூன்றாவது சமன்பாடு:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 - 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ சமன்பாடு ஒரு மூலத்தைக் கொண்டுள்ளது. எந்த சூத்திரத்தையும் பயன்படுத்தலாம். உதாரணமாக, முதலாவது:

எடுத்துக்காட்டுகளிலிருந்து நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, எல்லாம் மிகவும் எளிது. நீங்கள் சூத்திரங்களை அறிந்து எண்ணினால், எந்த பிரச்சனையும் இருக்காது. பெரும்பாலும், சூத்திரத்தில் எதிர்மறை குணகங்களை மாற்றும்போது பிழைகள் ஏற்படுகின்றன. இங்கே மீண்டும், மேலே விவரிக்கப்பட்ட நுட்பம் உதவும்: சூத்திரத்தை உண்மையில் பாருங்கள், ஒவ்வொரு அடியையும் எழுதுங்கள் - மிக விரைவில் நீங்கள் பிழைகளிலிருந்து விடுபடுவீர்கள்.

முழுமையற்ற இருபடி சமன்பாடுகள்

ஒரு இருபடி சமன்பாடு வரையறையில் கொடுக்கப்பட்டுள்ளதை விட சற்று வித்தியாசமானது. உதாரணமாக:

1. x 2 + 9x = 0;
2. x 2 - 16 = 0.

இந்த சமன்பாடுகள் விதிமுறைகளில் ஒன்றைக் காணவில்லை என்பதைக் கவனிப்பது எளிது. இத்தகைய இருபடிச் சமன்பாடுகள் நிலையானவற்றைக் காட்டிலும் எளிதாகத் தீர்க்கப்படுகின்றன: அவை பாகுபாடுகளைக் கணக்கிட வேண்டிய அவசியமில்லை. எனவே, ஒரு புதிய கருத்தை அறிமுகப்படுத்துவோம்:

கோடாரி 2 + bx + c = 0 என்ற சமன்பாடு b = 0 அல்லது c = 0 எனில் முழுமையற்ற இருபடிச் சமன்பாடு எனப்படும், அதாவது. மாறி x அல்லது கட்டற்ற தனிமத்தின் குணகம் பூஜ்ஜியமாகும்.

நிச்சயமாக, இந்த இரண்டு குணகங்களும் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்கும்போது மிகவும் கடினமான வழக்கு சாத்தியமாகும்: b = c = 0. இந்த வழக்கில், சமன்பாடு கோடாரி 2 = 0 வடிவத்தை எடுக்கும். வெளிப்படையாக, அத்தகைய சமன்பாடு ஒரு ஒற்றை வேர்: x = 0.

மீதமுள்ள வழக்குகளை கருத்தில் கொள்வோம். b = 0 என்று வைத்துக் கொள்வோம், பின்னர் கோடாரி 2 + c = 0 வடிவத்தின் முழுமையற்ற இருபடிச் சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம். அதைச் சிறிது மாற்றுவோம்:

எண்கணித வர்க்கமூலம் எதிர்மறை எண்ணில் மட்டுமே இருப்பதால், கடைசி சமத்துவம் (-c /a) ≥ 0 க்கு மட்டுமே அர்த்தமுள்ளதாக இருக்கும். முடிவு:

1. கோடாரி 2 + c = 0 வடிவத்தின் முழுமையற்ற இருபடிச் சமன்பாட்டில் சமத்துவமின்மை (−c /a) ≥ 0 திருப்தி அடைந்தால், இரண்டு வேர்கள் இருக்கும். சூத்திரம் மேலே கொடுக்கப்பட்டுள்ளது;
2. என்றால் (-c /a)< 0, корней нет.

நீங்கள் பார்க்கிறபடி, ஒரு பாகுபாடு தேவைப்படவில்லை - முழுமையற்ற இருபடி சமன்பாடுகளில் சிக்கலான கணக்கீடுகள் எதுவும் இல்லை. உண்மையில், சமத்துவமின்மை (−c /a) ≥ 0 ஐ நினைவில் கொள்வது கூட தேவையில்லை. மதிப்பை x 2 ஐ வெளிப்படுத்தவும், சமமான அடையாளத்தின் மறுபக்கத்தில் இருப்பதைப் பார்க்கவும் போதுமானது. நேர்மறை எண் இருந்தால், இரண்டு வேர்கள் இருக்கும். எதிர்மறையாக இருந்தால், வேர்கள் இருக்காது.

இப்போது கோடாரி 2 + bx = 0 வடிவத்தின் சமன்பாடுகளைப் பார்ப்போம், இதில் இலவச உறுப்பு பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம். இங்கே எல்லாம் எளிது: எப்போதும் இரண்டு வேர்கள் இருக்கும். பல்லுறுப்புக்கோவை காரணியாக இருந்தால் போதும்:

பொதுவான காரணியை அடைப்புக்குறியிலிருந்து வெளியே எடுத்தல்

காரணிகளில் குறைந்தபட்சம் ஒன்று பூஜ்ஜியமாக இருக்கும்போது தயாரிப்பு பூஜ்ஜியமாகும். இங்குதான் வேர்கள் வருகின்றன. முடிவில், இந்த சமன்பாடுகளில் சிலவற்றைப் பார்ப்போம்:

பணி. இருபடி சமன்பாடுகளை தீர்க்கவும்:

1. x 2 - 7x = 0;
2. 5x 2 + 30 = 0;
3. 4x 2 - 9 = 0.

x 2 - 7x = 0 ⇒ x · (x - 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = -(−7)/1 = 7.

5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. வேர்கள் இல்லை, ஏனெனில் ஒரு சதுரம் எதிர்மறை எண்ணுக்கு சமமாக இருக்க முடியாது.

4x 2 - 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1.5; x 2 = −1.5.

இந்த கட்டுரையைப் படித்த பிறகு, ஒரு முழுமையான இருபடி சமன்பாட்டின் வேர்களை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது என்பதை நீங்கள் கற்றுக் கொள்வீர்கள் என்று நம்புகிறேன்.

பாகுபாடுகளைப் பயன்படுத்தி, முழுமையற்ற இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்க்க முழுமையான இருபடி சமன்பாடுகள் மட்டுமே தீர்க்கப்படுகின்றன, மற்ற முறைகள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன, அவை "முழுமையற்ற இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது" என்ற கட்டுரையில் காணலாம்.

எந்த இருபடி சமன்பாடுகள் முழுமையானவை என்று அழைக்கப்படுகின்றன? இது கோடாரி 2 + b x + c = 0 வடிவத்தின் சமன்பாடுகள், குணகங்கள் a, b மற்றும் c ஆகியவை பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்காது. எனவே, ஒரு முழுமையான இருபடி சமன்பாட்டை தீர்க்க, நாம் பாகுபாடு D ஐ கணக்கிட வேண்டும்.

D = b 2 - 4ac.

பாகுபாடு காட்டுபவர்களின் மதிப்பைப் பொறுத்து, பதிலை எழுதுவோம்.

பாகுபாடு எதிர்மறை எண்ணாக இருந்தால் (டி< 0),то корней нет.

பாகுபாடு பூஜ்ஜியமாக இருந்தால், x = (-b)/2a. பாகுபாடு நேர்மறை எண்ணாக இருக்கும் போது (D > 0),

பின்னர் x 1 = (-b - √D)/2a, மற்றும் x 2 = (-b + √D)/2a.

உதாரணமாக. சமன்பாட்டை தீர்க்கவும் x 2– 4x + 4= 0.

D = 4 2 – 4 4 = 0

x = (- (-4))/2 = 2

பதில்: 2.

சமன்பாடு 2 ஐ தீர்க்கவும் x 2 + x + 3 = 0.

D = 1 2 – 4 2 3 = – 23

பதில்: வேர்கள் இல்லை.

சமன்பாடு 2 ஐ தீர்க்கவும் x 2 + 5x – 7 = 0.

D = 5 2 – 4 2 (–7) = 81

x 1 = (-5 - √81)/(2 2)= (-5 - 9)/4= – 3.5

x 2 = (-5 + √81)/(2 2) = (-5 + 9)/4=1

பதில்: – 3.5; 1.

எனவே படம் 1 இல் உள்ள வரைபடத்தைப் பயன்படுத்தி முழுமையான இருபடி சமன்பாடுகளின் தீர்வை கற்பனை செய்வோம்.

இந்த சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி நீங்கள் எந்த முழுமையான இருபடி சமன்பாட்டையும் தீர்க்கலாம். நீங்கள் தான் கவனமாக இருக்க வேண்டும் சமன்பாடு நிலையான வடிவத்தின் பல்லுறுப்புக்கோவையாக எழுதப்பட்டது

ஏ x 2 + bx + c,இல்லையெனில் நீங்கள் தவறு செய்யலாம். எடுத்துக்காட்டாக, x + 3 + 2x 2 = 0 சமன்பாட்டை எழுதும்போது, ​​நீங்கள் அதை தவறாக முடிவு செய்யலாம்.

a = 1, b = 3 மற்றும் c = 2. பிறகு

D = 3 2 – 4 1 2 = 1 பின்னர் சமன்பாடு இரண்டு வேர்களைக் கொண்டுள்ளது. மேலும் இது உண்மையல்ல. (மேலே உதாரணம் 2க்கான தீர்வைப் பார்க்கவும்).

எனவே, சமன்பாடு நிலையான வடிவத்தின் பல்லுறுப்புக்கோவையாக எழுதப்படாவிட்டால், முதலில் முழுமையான இருபடி சமன்பாடு நிலையான வடிவத்தின் பல்லுறுப்புக்கோவையாக எழுதப்பட வேண்டும் (பெரிய அடுக்குடன் கூடிய மோனோமியல் முதலில் வர வேண்டும், அதாவது ஏ x 2 , பின்னர் குறைவாக – bxபின்னர் ஒரு இலவச உறுப்பினர் உடன்.

குறைக்கப்பட்ட இருபடி சமன்பாடு மற்றும் ஒரு இருபடி சமன்பாட்டை இரண்டாவது காலப்பகுதியில் சம குணகத்துடன் தீர்க்கும் போது, ​​நீங்கள் மற்ற சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தலாம். இந்த சூத்திரங்களைப் பற்றி தெரிந்து கொள்வோம். ஒரு முழுமையான இருபடிச் சமன்பாட்டில் இரண்டாவது காலத்தின் குணகம் சமமாக (b = 2k) இருந்தால், படம் 2 இல் உள்ள வரைபடத்தில் கொடுக்கப்பட்டுள்ள சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி சமன்பாட்டை நீங்கள் தீர்க்கலாம்.

ஒரு முழுமையான இருபடிச் சமன்பாடு இல் குணகம் இருந்தால் குறைக்கப்படும் x 2 ஒன்றுக்கு சமம் மற்றும் சமன்பாடு வடிவம் பெறுகிறது x 2 + px + q = 0. அத்தகைய சமன்பாடு தீர்வுக்கு கொடுக்கப்படலாம் அல்லது சமன்பாட்டின் அனைத்து குணகங்களையும் குணகத்தால் வகுப்பதன் மூலம் பெறலாம். ஏ, நின்று x 2 .

குறைக்கப்பட்ட சதுரத்தைத் தீர்ப்பதற்கான வரைபடத்தை படம் 3 காட்டுகிறது
சமன்பாடுகள். இந்த கட்டுரையில் விவாதிக்கப்பட்ட சூத்திரங்களின் பயன்பாட்டின் உதாரணத்தைப் பார்ப்போம்.

உதாரணம். சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்

3x 2 + 6x – 6 = 0.

படம் 1 இல் உள்ள வரைபடத்தில் காட்டப்பட்டுள்ள சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி இந்த சமன்பாட்டைத் தீர்ப்போம்.

D = 6 2 – 4 3 (– 6) = 36 + 72 = 108

√D = √108 = √(36 3) = 6√3

x 1 = (-6 - 6√3)/(2 3) = (6 (-1- √(3)))/6 = –1 – √3

x 2 = (-6 + 6√3)/(2 3) = (6 (-1+ √(3)))/6 = –1 + √3

பதில்: –1 – √3; –1 + √3

இந்த சமன்பாட்டில் x இன் குணகம் ஒரு இரட்டை எண்ணாக இருப்பதை நீங்கள் கவனிக்கலாம், அதாவது, b = 6 அல்லது b = 2k, எங்கிருந்து k = 3. பிறகு D உருவப்படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ள சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி சமன்பாட்டைத் தீர்க்க முயற்சிப்போம். 1 = 3 2 – 3 (– 6 ) = 9 + 18 = 27

√(D 1) = √27 = √(9 3) = 3√3

x 1 = (-3 - 3√3)/3 = (3 (-1 - √(3)))/3 = – 1 – √3

x 2 = (-3 + 3√3)/3 = (3 (-1 + √(3)))/3 = – 1 + √3

பதில்: –1 – √3; –1 + √3. இந்த இருபடிச் சமன்பாட்டில் உள்ள அனைத்து குணகங்களும் 3 ஆல் வகுபடுவதைக் கவனித்து, வகுத்தலைச் செய்தால், குறைக்கப்பட்ட இருபடிச் சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம் x 2 + 2x – 2 = 0 குறைக்கப்பட்ட இருபடிக்கான சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி இந்த சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்.
சமன்பாடுகள் படம் 3.

D 2 = 2 2 – 4 (– 2) = 4 + 8 = 12

√(D 2) = √12 = √(4 3) = 2√3

x 1 = (-2 - 2√3)/2 = (2 (-1 - √(3)))/2 = – 1 – √3

x 2 = (-2 + 2√3)/2 = (2 (-1+ √(3)))/2 = – 1 + √3

பதில்: –1 – √3; –1 + √3.

நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, வெவ்வேறு சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி இந்த சமன்பாட்டை தீர்க்கும் போது, ​​நாங்கள் அதே பதிலைப் பெற்றோம். எனவே, படம் 1 இல் உள்ள வரைபடத்தில் காட்டப்பட்டுள்ள சூத்திரங்களை முழுமையாக தேர்ச்சி பெற்றால், எந்தவொரு முழுமையான இருபடி சமன்பாட்டையும் நீங்கள் எப்போதும் தீர்க்க முடியும்.

இணையதளம், உள்ளடக்கத்தை முழுமையாகவோ அல்லது பகுதியாகவோ நகலெடுக்கும்போது, ​​மூலத்திற்கான இணைப்பு தேவை.

இந்த கணித திட்டத்தின் மூலம் உங்களால் முடியும் இருபடி சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்.

நிரல் சிக்கலுக்கான பதிலை வழங்குவது மட்டுமல்லாமல், தீர்வு செயல்முறையை இரண்டு வழிகளில் காண்பிக்கும்:
- ஒரு பாகுபாட்டைப் பயன்படுத்துதல்
- வியட்டாவின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்துதல் (முடிந்தால்).

மேலும், பதில் துல்லியமாக காட்டப்படும், தோராயமாக இல்லை.
எடுத்துக்காட்டாக, \(81x^2-16x-1=0\) சமன்பாட்டிற்கான பதில் பின்வரும் வடிவத்தில் காட்டப்படும்:

$$ x_1 = \frac(8+\sqrt(145))(81), \quad x_2 = \frac(8-\sqrt(145))(81) $$ மற்றும் இது போல் இல்லை: \(x_1 = 0.247; \quad x_2 = -0.05\)

இந்த திட்டம் உயர்நிலைப் பள்ளி மாணவர்களுக்கு பயனுள்ளதாக இருக்கும் மேல்நிலைப் பள்ளிகள்தயாரிப்பில் சோதனைகள்மற்றும் தேர்வுகள், ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வுக்கு முன் அறிவை சோதிக்கும் போது, ​​கணிதம் மற்றும் இயற்கணிதத்தில் உள்ள பல பிரச்சனைகளின் தீர்வைக் கட்டுப்படுத்த பெற்றோர்கள். அல்லது நீங்கள் ஒரு ஆசிரியரை நியமிப்பது அல்லது புதிய பாடப்புத்தகங்களை வாங்குவது மிகவும் விலை உயர்ந்ததா? அல்லது முடிந்தவரை விரைவாக செய்து முடிக்க வேண்டுமா?வீட்டுப்பாடம்

கணிதம் அல்லது இயற்கணிதம்? இந்த வழக்கில், விரிவான தீர்வுகளுடன் எங்கள் நிரல்களையும் நீங்கள் பயன்படுத்தலாம்.

இந்த வழியில், நீங்கள் உங்கள் சொந்த பயிற்சி மற்றும்/அல்லது உங்கள் இளைய சகோதரர்கள் அல்லது சகோதரிகளின் பயிற்சியை நடத்தலாம், அதே நேரத்தில் சிக்கல்களைத் தீர்க்கும் துறையில் கல்வியின் நிலை அதிகரிக்கிறது. நுழைவு விதிகளை நீங்கள் அறிந்திருக்கவில்லை என்றால்இருபடி பல்லுறுப்புக்கோவை

, நீங்கள் அவர்களுடன் உங்களைப் பழக்கப்படுத்திக்கொள்ள பரிந்துரைக்கிறோம்.

இருபடி பல்லுறுப்புக்கோவைக்குள் நுழைவதற்கான விதிகள்
எந்த லத்தீன் எழுத்தும் மாறியாக செயல்படும்.

எடுத்துக்காட்டாக: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\) போன்றவை.
எண்களை முழு அல்லது பின்ன எண்களாக உள்ளிடலாம்.

மேலும், பின்ன எண்களை ஒரு தசம வடிவில் மட்டுமல்ல, ஒரு சாதாரண பின்னத்தின் வடிவத்திலும் உள்ளிடலாம்.
தசம பின்னங்களை உள்ளிடுவதற்கான விதிகள். தசமங்களில்பகுதியளவு
முழுமையிலிருந்தும் ஒரு காலகட்டம் அல்லது கமாவால் பிரிக்கலாம். உதாரணமாக, நீங்கள் உள்ளிடலாம்தசமங்கள்

இது போல்: 2.5x - 3.5x^2
ஒரு முழு எண் மட்டுமே ஒரு பகுதியின் எண், வகுப்பி மற்றும் முழு எண் பகுதியாக செயல்பட முடியும்.

வகுத்தல் எதிர்மறையாக இருக்க முடியாது.

ஒரு எண் பின்னத்தை உள்ளிடும்போது, ​​எண் பிரிவிலிருந்து வகுப்பின் அடையாளத்தால் பிரிக்கப்படுகிறது: /
முழு பகுதிபின்னத்திலிருந்து ஒரு ஆம்பர்சண்ட் மூலம் பிரிக்கப்பட்டது: &
உள்ளீடு: 3&1/3 - 5&6/5z +1/7z^2
முடிவு: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) z + \frac(1)(7)z^2\)

வெளிப்பாடு உள்ளிடும்போது நீங்கள் அடைப்புக்குறிகளைப் பயன்படுத்தலாம். இந்த வழக்கில், ஒரு இருபடி சமன்பாட்டை தீர்க்கும் போது, ​​அறிமுகப்படுத்தப்பட்ட வெளிப்பாடு முதலில் எளிமைப்படுத்தப்படுகிறது.
எடுத்துக்காட்டாக: 1/2(y-1)(y+1)-(5y-10&1/2)

=0

முடிவு செய்யுங்கள்

இந்த சிக்கலை தீர்க்க தேவையான சில ஸ்கிரிப்ட்கள் ஏற்றப்படவில்லை, மேலும் நிரல் வேலை செய்யாமல் போகலாம்.
நீங்கள் AdBlock இயக்கப்பட்டிருக்கலாம்.
இந்த வழக்கில், அதை முடக்கி, பக்கத்தைப் புதுப்பிக்கவும்.

உங்கள் உலாவியில் JavaScript முடக்கப்பட்டுள்ளது.
தீர்வு தோன்ற, நீங்கள் JavaScript ஐ இயக்க வேண்டும்.
உங்கள் உலாவியில் ஜாவாஸ்கிரிப்டை எவ்வாறு இயக்குவது என்பதற்கான வழிமுறைகள் இங்கே உள்ளன.

ஏனெனில் பிரச்சனையை தீர்க்க நிறைய பேர் தயாராக உள்ளனர், உங்கள் கோரிக்கை வரிசையாக உள்ளது.
சில நொடிகளில் தீர்வு கீழே தோன்றும்.
தயவுசெய்து காத்திருக்கவும் நொடி...

நீங்கள் என்றால் தீர்வில் பிழை இருப்பதை கவனித்தேன், பிறகு இதைப் பற்றி பின்னூட்டப் படிவத்தில் எழுதலாம்.
மறக்காதே எந்த பணியைக் குறிக்கவும்நீங்கள் என்ன முடிவு செய்யுங்கள் துறைகளில் நுழையுங்கள்.

எங்கள் விளையாட்டுகள், புதிர்கள், முன்மாதிரிகள்:

ஒரு சிறிய கோட்பாடு.

இருபடி சமன்பாடு மற்றும் அதன் வேர்கள். முழுமையற்ற இருபடி சமன்பாடுகள்

சமன்பாடுகள் ஒவ்வொன்றும்
\(-x^2+6x+1.4=0, \quad 8x^2-7x=0, \quad x^2-\frac(4)(9)=0 \)
போல் தெரிகிறது
\(ax^2+bx+c=0, \)
இதில் x என்பது ஒரு மாறி, a, b மற்றும் c ஆகியவை எண்கள்.
முதல் சமன்பாட்டில் a = -1, b = 6 மற்றும் c = 1.4, இரண்டாவது a = 8, b = -7 மற்றும் c = 0, மூன்றாவது a = 1, b = 0 மற்றும் c = 4/9. இத்தகைய சமன்பாடுகள் அழைக்கப்படுகின்றன இருபடி சமன்பாடுகள்.

வரையறை.
இருபடி சமன்பாடு ax 2 +bx+c=0 வடிவத்தின் சமன்பாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது, இதில் x என்பது ஒரு மாறி, a, b மற்றும் c என்பது சில எண்கள் மற்றும் \(a \neq 0 \).

எண்கள் a, b மற்றும் c இருபடி சமன்பாட்டின் குணகங்கள். எண் a முதல் குணகம் என்றும், எண் b இரண்டாவது குணகம் என்றும், c எண் இலவசச் சொல் என்றும் அழைக்கப்படுகிறது.

கோடாரி 2 +bx+c=0 வடிவத்தின் ஒவ்வொரு சமன்பாடுகளிலும், \(a \neq 0 \), x மாறியின் மிகப்பெரிய சக்தி ஒரு சதுரமாகும். எனவே பெயர்: இருபடி சமன்பாடு.

ஒரு இருபடிச் சமன்பாடு இரண்டாவது பட்டத்தின் சமன்பாடு என்றும் அழைக்கப்படுகிறது, ஏனெனில் அதன் இடது பக்கம் இரண்டாவது பட்டத்தின் பல்லுறுப்புக்கோவை ஆகும்.

x 2 இன் குணகம் 1 க்கு சமமாக இருக்கும் இருபடி சமன்பாடு அழைக்கப்படுகிறது இருபடி சமன்பாடு கொடுக்கப்பட்டது. எடுத்துக்காட்டாக, கொடுக்கப்பட்ட இருபடி சமன்பாடுகள் சமன்பாடுகள்
\(x^2-11x+30=0, \quad x^2-6x=0, \quad x^2-8=0 \)

ஒரு இருபடி சமன்பாட்டில் கோடாரி 2 +bx+c=0 குணகங்கள் b அல்லது c பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருந்தால், அத்தகைய சமன்பாடு அழைக்கப்படுகிறது முழுமையற்ற இருபடி சமன்பாடு. எனவே, சமன்பாடுகள் -2x 2 +7=0, 3x 2 -10x=0, -4x 2 =0 முழுமையற்ற இருபடிச் சமன்பாடுகள். அவற்றில் முதலாவது b=0, இரண்டாவது c=0, மூன்றாவது b=0 மற்றும் c=0.

முழுமையற்ற இருபடி சமன்பாடுகளில் மூன்று வகைகள் உள்ளன:
1) கோடாரி 2 +c=0, இங்கு \(c \neq 0 \);
2) கோடாரி 2 +bx=0, இங்கு \(b \neq 0 \);
3) கோடாரி 2 =0.

இந்த வகைகளில் ஒவ்வொன்றின் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதைக் கருத்தில் கொள்வோம்.

\(c \neq 0 \) வடிவம் ax 2 +c=0 இன் முழுமையற்ற இருபடிச் சமன்பாட்டைத் தீர்க்க, அதன் இலவச சொல் இடமாற்றம் செய்யப்படுகிறது வலது பக்கம்சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் ஒரு ஆல் வகுக்கவும்:
\(x^2 = -\frac(c)(a) \Rightarrow x_(1,2) = \pm \sqrt( -\frac(c)(a)) \)

\(c \neq 0 \), பின்னர் \(-\frac(c)(a) \neq 0 \)

\(-\frac(c)(a)>0\) எனில், சமன்பாடு இரண்டு வேர்களைக் கொண்டுள்ளது.

\(-\frac(c)(a) ax 2 +bx=0 வடிவத்தின் முழுமையற்ற இருபடி சமன்பாட்டை \(b \neq 0 \) உடன் தீர்க்க, அதை விரிவாக்குங்கள் இடது பக்கம்காரணிகளால் மற்றும் சமன்பாட்டைப் பெறுங்கள்
\(x(ax+b)=0 \Rightarrow \left\( \begin(array)(l) x=0 \\ ax+b=0 \end(array) \right. \Rightarrow \left\( \begin (வரிசை)(எல்) x=0 \\ x=-\frac(b)(a) \end(array) \right.

\(b \neq 0 \) க்கான ax 2 +bx=0 வடிவத்தின் முழுமையற்ற இருபடிச் சமன்பாடு எப்போதும் இரண்டு வேர்களைக் கொண்டிருக்கும்.

கோடாரி 2 =0 வடிவத்தின் முழுமையடையாத இருபடிச் சமன்பாடு x 2 =0 சமன்பாட்டிற்குச் சமமானதாகும், எனவே ஒற்றை வேர் 0 உள்ளது.

இருபடி சமன்பாட்டின் வேர்களுக்கான சூத்திரம்

அறியப்படாதவற்றின் குணகங்கள் மற்றும் கட்டற்ற சொல் இரண்டும் பூஜ்ஜியமாக இருக்கும் இருபடி சமன்பாடுகளை எவ்வாறு தீர்ப்பது என்பதை இப்போது பார்ப்போம்.

இருபடிச் சமன்பாட்டைத் தீர்ப்போம் பொதுவான பார்வைஇதன் விளைவாக வேர்களுக்கான சூத்திரத்தைப் பெறுகிறோம். எந்த இருபடி சமன்பாட்டையும் தீர்க்க இந்த சூத்திரம் பயன்படுத்தப்படலாம்.

கோடாரி 2 +bx+c=0 என்ற இருபடிச் சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்

இரு பக்கங்களையும் a ஆல் வகுத்தால், சமமான குறைக்கப்பட்ட இருபடி சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம்
\(x^2+\frac(b)(a)x +\frac(c)(a)=0 \)

இந்த சமன்பாட்டை ஈருறுப்புக் குறியீட்டின் சதுரத்தைத் தேர்ந்தெடுப்பதன் மூலம் மாற்றுவோம்:
\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2- \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 + \frac(c)(a) = 0 \Rightarrow \)

\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2 = \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 - \frac(c)(a) \Rightarrow \) \(\left(x+\frac(b)(2a)\right)^2 = \frac(b^2)(4a^2) - \frac( c)(a) \Rightarrow \left(x+\frac(b)(2a)\right)^2 = \frac(b^2-4ac)(4a^2) \Rightarrow \) \(x+\frac(b) )(2a) = \pm \sqrt( \frac(b^2-4ac)(4a^2) ) \Rightarrow x = -\frac(b)(2a) + \frac( \pm \sqrt(b^2 -4ac) )(2a) \Rightarrow \) \(x = \frac( -b \pm \sqrt(b^2-4ac) )(2a) \)

தீவிர வெளிப்பாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது இருபடி சமன்பாட்டின் பாகுபாடு ax 2 +bx+c=0 (லத்தீன் மொழியில் "பாகுபாடு" - பாரபட்சம்). இது D என்ற எழுத்தால் குறிக்கப்படுகிறது, அதாவது.
\(D = b^2-4ac\)

இப்போது, ​​பாரபட்சமான குறியீட்டைப் பயன்படுத்தி, இருபடிச் சமன்பாட்டின் வேர்களுக்கான சூத்திரத்தை மீண்டும் எழுதுகிறோம்:
\(x_(1,2) = \frac( -b \pm \sqrt(D) )(2a) \), இங்கு \(D= b^2-4ac \)

இது வெளிப்படையானது:
1) D>0 எனில், இருபடிச் சமன்பாடு இரண்டு வேர்களைக் கொண்டுள்ளது.
2) D=0 எனில், இருபடிச் சமன்பாட்டில் ஒரு ரூட் \(x=-\frac(b)(2a)\) உள்ளது.
3) D எனில், பாகுபாட்டின் மதிப்பைப் பொறுத்து, ஒரு இருபடி சமன்பாடு இரண்டு வேர்களைக் கொண்டிருக்கலாம் (D > 0 க்கு), ஒரு ரூட் (D = 0 க்கு) அல்லது வேர்கள் இல்லை (D க்கு இதைப் பயன்படுத்தி ஒரு இருபடி சமன்பாட்டைத் தீர்க்கும் போது சூத்திரம், பின்வரும் வழியைச் செய்வது நல்லது:
1) பாகுபாட்டைக் கணக்கிட்டு பூஜ்ஜியத்துடன் ஒப்பிடுக;
2) பாரபட்சம் நேர்மறையாக இருந்தால் அல்லது பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருந்தால், பாகுபாடு எதிர்மறையாக இருந்தால், வேர்கள் இல்லை என்று எழுதவும்.

வியட்டாவின் தேற்றம்

கொடுக்கப்பட்ட இருபடி சமன்பாடு கோடாரி 2 -7x+10=0 க்கு வேர்கள் 2 மற்றும் 5 உள்ளது. வேர்களின் கூட்டுத்தொகை 7, மற்றும் தயாரிப்பு 10. வேர்களின் கூட்டுத்தொகையானது இரண்டாவது குணகத்திற்குச் சமமாக இருப்பதைக் காண்கிறோம். எதிர் அடையாளம், மற்றும் வேர்களின் தயாரிப்பு இலவச காலத்திற்கு சமம். வேர்களைக் கொண்ட எந்தவொரு குறைக்கப்பட்ட இருபடிச் சமன்பாடும் இந்தப் பண்புகளைக் கொண்டுள்ளது.

குறைக்கப்பட்ட இருபடிச் சமன்பாட்டின் வேர்களின் கூட்டுத்தொகை எதிரெதிர் அடையாளத்துடன் எடுக்கப்பட்ட இரண்டாவது குணகத்திற்குச் சமம், மேலும் வேர்களின் பலன் இலவசச் சொல்லுக்குச் சமம்.

அந்த. குறைக்கப்பட்ட இருபடிச் சமன்பாட்டின் x 1 மற்றும் x 2 வேர்கள் x 2 +px+q=0 பண்புகளைக் கொண்டுள்ளன என்று வியட்டாவின் தேற்றம் கூறுகிறது:
\(\left\( \begin(array)(l) x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \end(array) \right. \)

நூலியல் விளக்கம்:காஸனோவ் ஏ.ஆர்., குராம்ஷின் ஏ.ஏ., எல்கோவ் ஏ.ஏ., ஷில்னென்கோவ் என்.வி., உலனோவ் டி.டி., ஷ்மெலேவா ஓ.வி இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான முறைகள் // இளம் விஞ்ஞானி. 2016. எண் 6.1. பி. 17-20..02.2019).



எங்கள் திட்டம் இருபடி சமன்பாடுகளை தீர்ப்பதற்கான வழிகளைப் பற்றியது. திட்டத்தின் குறிக்கோள்: பள்ளி பாடத்திட்டத்தில் சேர்க்கப்படாத வழிகளில் இருபடி சமன்பாடுகளை தீர்க்க கற்றுக்கொள்ளுங்கள். பணி: எல்லாவற்றையும் கண்டுபிடி சாத்தியமான வழிகள்இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது மற்றும் அவற்றை எவ்வாறு பயன்படுத்துவது என்பதைக் கற்றுக்கொள்வது மற்றும் உங்கள் வகுப்பு தோழர்களுக்கு இந்த முறைகளை அறிமுகப்படுத்துதல்.

இருபடி சமன்பாடுகள் என்றால் என்ன?

இருபடி சமன்பாடு- படிவத்தின் சமன்பாடு கோடாரி2 + bx + c = 0, எங்கே அ, பி, c- சில எண்கள் ( a ≠ 0), x- தெரியவில்லை.

எண்கள் a, b, c இருபடி சமன்பாட்டின் குணகங்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன.

• a முதல் குணகம் என்று அழைக்கப்படுகிறது;
• b இரண்டாவது குணகம் என்று அழைக்கப்படுகிறது;
• c - இலவச உறுப்பினர்.

இருபடி சமன்பாடுகளை "கண்டுபிடித்த" முதல் நபர் யார்?

நேரியல் மற்றும் இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான சில இயற்கணித நுட்பங்கள் 4000 ஆண்டுகளுக்கு முன்பே அறியப்பட்டன. பண்டைய பாபிலோன். கிமு 1800 மற்றும் 1600 க்கு இடைப்பட்ட பழங்கால பாபிலோனிய களிமண் மாத்திரைகளின் கண்டுபிடிப்பு, இருபடிச் சமன்பாடுகளின் ஆய்வுக்கான ஆரம்ப ஆதாரத்தை வழங்குகிறது. அதே மாத்திரைகளில் சில வகையான இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான முறைகள் உள்ளன.

முதல் சமன்பாடுகளை மட்டுமல்ல, இரண்டாவது பட்டத்தையும் தீர்க்க வேண்டிய அவசியம், பண்டைய காலங்களில் கூட, நில அடுக்குகளின் பகுதிகளைக் கண்டறிவது மற்றும் இராணுவ இயல்புடைய மண்வெட்டுகள் தொடர்பான சிக்கல்களைத் தீர்க்க வேண்டியதன் அவசியத்தால் ஏற்பட்டது. வானியல் மற்றும் கணிதத்தின் வளர்ச்சியுடன்.

இந்த சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான விதி, பாபிலோனிய நூல்களில் அமைக்கப்பட்டுள்ளது, அடிப்படையில் நவீனத்துடன் ஒத்துப்போகிறது, ஆனால் பாபிலோனியர்கள் இந்த விதிக்கு எப்படி வந்தார்கள் என்பது தெரியவில்லை. இதுவரை கண்டுபிடிக்கப்பட்ட அனைத்து கியூனிஃபார்ம் நூல்களும் சமையல் வடிவில் உள்ள தீர்வுகளில் உள்ள சிக்கல்களை மட்டுமே வழங்குகின்றன, அவை எவ்வாறு கண்டுபிடிக்கப்பட்டன என்பதற்கான எந்த அறிகுறியும் இல்லை. இருந்தாலும் உயர் நிலைபாபிலோனில் இயற்கணிதத்தின் வளர்ச்சி, கியூனிஃபார்ம் நூல்களில் எதிர்மறை எண்ணின் கருத்து இல்லை மற்றும் பொது முறைகள்இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது.

கிமு 4 ஆம் நூற்றாண்டைச் சேர்ந்த பாபிலோனிய கணிதவியலாளர்கள். நேர்மறை வேர்களுடன் சமன்பாடுகளைத் தீர்க்க சதுரத்தின் நிரப்பு முறையைப் பயன்படுத்தியது. சுமார் 300 கி.மு யூக்ளிட் மிகவும் பொதுவான வடிவியல் தீர்வு முறையைக் கொண்டு வந்தார். இயற்கணித சூத்திர வடிவில் எதிர்மறை வேர்களைக் கொண்ட சமன்பாடுகளுக்கு தீர்வு கண்ட முதல் கணிதவியலாளர் இந்திய விஞ்ஞானி ஆவார். பிரம்மகுப்தா(இந்தியா, கி.பி. 7ஆம் நூற்றாண்டு).

பிரம்மகுப்தா ஒற்றை நியதி வடிவத்திற்கு குறைக்கப்பட்ட இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான பொதுவான விதியை வகுத்தார்:

ax2 + bx = c, a>0

இந்த சமன்பாட்டில் உள்ள குணகங்களும் எதிர்மறையாக இருக்கலாம். பிரம்மகுப்தரின் ஆட்சி அடிப்படையில் நம்முடையது போலவே உள்ளது.

இந்தியாவில் கடினமான பிரச்சனைகளைத் தீர்ப்பதில் பொதுப் போட்டிகள் பொதுவாக இருந்தன. பழைய இந்திய புத்தகங்களில் ஒன்று இதுபோன்ற போட்டிகளைப் பற்றி பின்வருமாறு கூறுகிறது: “சூரியன் தனது பிரகாசத்தால் நட்சத்திரங்களை மறைப்பது போல, கற்ற மனிதன்மகிமையை மறைத்துவிடும் மக்கள் கூட்டங்கள், இயற்கணித சிக்கல்களை முன்மொழிதல் மற்றும் தீர்ப்பது." பிரச்சினைகள் பெரும்பாலும் கவிதை வடிவில் முன்வைக்கப்பட்டன.

ஒரு இயற்கணிதக் கட்டுரையில் அல்-குவாரிஸ்மிநேரியல் மற்றும் இருபடி சமன்பாடுகளின் வகைப்பாடு கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. ஆசிரியர் 6 வகையான சமன்பாடுகளைக் கணக்கிடுகிறார், அவற்றை பின்வருமாறு வெளிப்படுத்துகிறார்:

1) “சதுரங்கள் வேர்களுக்கு சமம்,” அதாவது ax2 = bx.

2) "சதுரங்கள் எண்களுக்கு சமம்," அதாவது ax2 = c.

3) “வேர்கள் எண்ணுக்கு சமம்,” அதாவது ax2 = c.

4) "சதுரங்களும் எண்களும் வேர்களுக்குச் சமம்," அதாவது ax2 + c = bx.

5) “சதுரங்களும் வேர்களும் எண்ணுக்கு சமம்,” அதாவது ax2 + bx = c.

6) "வேர்கள் மற்றும் எண்கள் சதுரங்களுக்கு சமம்," அதாவது bx + c == ax2.

எதிர்மறை எண்களைப் பயன்படுத்துவதைத் தவிர்த்த அல்-க்வாரிஸ்மிக்கு, இந்தச் சமன்பாடுகள் ஒவ்வொன்றின் விதிமுறைகளும் கூட்டல்களாகும், கழித்தல் அல்ல. இந்த வழக்கில், நேர்மறையான தீர்வுகள் இல்லாத சமன்பாடுகள் வெளிப்படையாக கணக்கில் எடுத்துக்கொள்ளப்படுவதில்லை. அல்-ஜப்ர் மற்றும் அல்-முகாபலின் நுட்பங்களைப் பயன்படுத்தி இந்த சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான வழிமுறைகளை ஆசிரியர் குறிப்பிடுகிறார். அவருடைய முடிவு, நிச்சயமாக, நம்முடைய முடிவுடன் முழுமையாக ஒத்துப்போவதில்லை. இது முற்றிலும் சொல்லாட்சி என்று குறிப்பிட தேவையில்லை, எடுத்துக்காட்டாக, முதல் வகையின் முழுமையற்ற இருபடி சமன்பாட்டை தீர்க்கும் போது, ​​அல்-கோரெஸ்மி, 17 ஆம் நூற்றாண்டு வரை அனைத்து கணிதவியலாளர்களைப் போலவே, பூஜ்ஜிய தீர்வை கணக்கில் எடுத்துக்கொள்ளவில்லை, ஏனெனில் குறிப்பிட்ட நடைமுறையில் அது பணிகளில் முக்கியமில்லை. அல்-குவாரிஸ்மியின் முழுமையான இருபடி சமன்பாடுகளை பகுதியளவில் தீர்க்கும் போது எண் எடுத்துக்காட்டுகள்தீர்வு விதிகள் மற்றும் பின்னர் அவற்றின் வடிவியல் சான்றுகளை அமைக்கிறது.

ஐரோப்பாவில் அல்-குவாரிஸ்மியின் மாதிரியைப் பின்பற்றி இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான படிவங்கள் முதன்முதலில் 1202 இல் எழுதப்பட்ட "புக் ஆஃப் தி அபாகஸ்" இல் அமைக்கப்பட்டன. இத்தாலிய கணிதவியலாளர் லியோனார்ட் பிபோனச்சி. ஆசிரியர் சுயாதீனமாக சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதற்கான சில புதிய இயற்கணித எடுத்துக்காட்டுகளை உருவாக்கினார் மற்றும் எதிர்மறை எண்களின் அறிமுகத்தை அணுகிய ஐரோப்பாவில் முதன்மையானவர்.

இந்த புத்தகம் இத்தாலியில் மட்டுமல்ல, ஜெர்மனி, பிரான்ஸ் மற்றும் பிற ஐரோப்பிய நாடுகளிலும் இயற்கணித அறிவு பரவுவதற்கு பங்களித்தது. 14-17 ஆம் நூற்றாண்டுகளின் கிட்டத்தட்ட அனைத்து ஐரோப்பிய பாடப்புத்தகங்களிலும் இந்த புத்தகத்தின் பல சிக்கல்கள் பயன்படுத்தப்பட்டன. பொது விதிஇருபடி சமன்பாடுகளின் தீர்வு x2 + bх = с என்ற ஒற்றை நியதி வடிவமாக குறைக்கப்பட்டது, அது சாத்தியமான அனைத்து அடையாளங்கள் மற்றும் குணகங்களின் சேர்க்கைகளுக்கு b, c 1544 இல் ஐரோப்பாவில் உருவாக்கப்பட்டது. எம். ஸ்டீஃபெல்.

ஒரு இருபடி சமன்பாட்டை பொது வடிவத்தில் தீர்ப்பதற்கான சூத்திரத்தின் வழித்தோன்றல் Vieth இலிருந்து கிடைக்கிறது, ஆனால் Vieth நேர்மறை வேர்களை மட்டுமே அங்கீகரித்தது. இத்தாலிய கணிதவியலாளர்கள் டார்டாக்லியா, கார்டானோ, பொம்பெல்லி 16 ஆம் நூற்றாண்டில் முதன்மையானது. நேர்மறைக்கு கூடுதலாக, எதிர்மறை வேர்களும் கணக்கில் எடுத்துக்கொள்ளப்படுகின்றன. 17 ஆம் நூற்றாண்டில் மட்டுமே. முயற்சிகளுக்கு நன்றி ஜிரார்ட், டெஸ்கார்ட்ஸ், நியூட்டன்மற்றும் பிற விஞ்ஞானிகள், இருபடி சமன்பாடுகளை தீர்க்கும் முறை நவீன வடிவத்தை எடுக்கிறது.

இருபடி சமன்பாடுகளை தீர்க்க பல வழிகளைப் பார்ப்போம்.

இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான நிலையான முறைகள் பள்ளி பாடத்திட்டம்:

1. சமன்பாட்டின் இடது பக்க காரணி.
2. முழுமையான சதுரத்தைத் தேர்ந்தெடுக்கும் முறை.
3. சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது.
4. கிராஃபிக் தீர்வுஇருபடி சமன்பாடு.
5. வியட்டாவின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது.

வியட்டாவின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி குறைக்கப்பட்ட மற்றும் குறைக்கப்படாத இருபடிச் சமன்பாடுகளின் தீர்வைப் பற்றி மேலும் விரிவாகப் பார்ப்போம்.

மேலே உள்ள இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்க்க, இரண்டு எண்களைக் கண்டறிவது போதுமானது, அதன் தயாரிப்பு இலவச காலத்திற்குச் சமம், மற்றும் அதன் கூட்டுத்தொகை எதிர் அடையாளத்துடன் இரண்டாவது குணகத்திற்கு சமம்.

உதாரணம்.x 2 -5x+6=0

தயாரிப்பு 6 மற்றும் கூட்டுத்தொகை 5 ஆகிய எண்களை நீங்கள் கண்டுபிடிக்க வேண்டும். இந்த எண்கள் 3 மற்றும் 2 ஆக இருக்கும்.

பதில்: x 1 =2, x 2 =3.

ஆனால் முதல் குணகம் ஒன்றுக்கு சமமாக இல்லாத சமன்பாடுகளுக்கும் இந்த முறையைப் பயன்படுத்தலாம்.

உதாரணம்.3x 2 +2x-5=0

முதல் குணகத்தை எடுத்து இலவச காலத்தால் பெருக்கவும்: x 2 +2x-15=0

இந்த சமன்பாட்டின் வேர்கள் எண்களாக இருக்கும், அதன் தயாரிப்பு - 15 மற்றும் அதன் கூட்டுத்தொகை - 2. இந்த எண்கள் 5 மற்றும் 3. வேர்களைக் கண்டறிய அசல் சமன்பாடு, விளைந்த வேர்களை முதல் குணகத்தால் பிரிக்கவும்.

பதில்: x 1 =-5/3, x 2 =1

6. "த்ரோ" முறையைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது.

இருபடி சமன்பாடு ax 2 + bx + c = 0, இங்கு a≠0 என்பதைக் கவனியுங்கள்.

இரு பக்கங்களையும் a ஆல் பெருக்கினால், a 2 x 2 + abx + ac = 0 என்ற சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம்.

கோடாரி = y, எங்கிருந்து x = y/a; பின்னர் நாம் y 2 + by + ac = 0 என்ற சமன்பாட்டிற்கு வருகிறோம், இது கொடுக்கப்பட்ட ஒன்றிற்கு சமமானது. வியட்டாவின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி 1 மற்றும் 2க்கான அதன் வேர்களைக் காண்கிறோம்.

இறுதியாக x 1 = y 1 /a மற்றும் x 2 = y 2 /a ஆகியவற்றைப் பெறுகிறோம்.

இந்த முறையின் மூலம், குணகம் a இலவச காலத்தால் பெருக்கப்படுகிறது, அதற்கு "எறிந்தால்", அது "எறிதல்" முறை என்று அழைக்கப்படுகிறது. வியட்டாவின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி சமன்பாட்டின் வேர்களை நீங்கள் எளிதாகக் கண்டறியும் போது இந்த முறை பயன்படுத்தப்படுகிறது மற்றும் மிக முக்கியமாக, பாகுபாடு ஒரு சரியான சதுரமாக இருக்கும் போது.

உதாரணம்.2x 2 - 11x + 15 = 0.

இலவசச் சொல்லுக்கு குணகம் 2 ஐ "எறிந்து" மாற்றீடு செய்து y 2 - 11y + 30 = 0 என்ற சமன்பாட்டைப் பெறுவோம்.

வியட்டாவின் தலைகீழ் தேற்றத்தின்படி

y 1 = 5, x 1 = 5/2, x 1 = 2.5; y 2 ​​= 6, x 2 = 6/2, x 2 = 3.

பதில்: x 1 =2.5; எக்ஸ் 2 = 3.

7. இருபடி சமன்பாட்டின் குணகங்களின் பண்புகள்.

இருபடி சமன்பாடு ax 2 + bx + c = 0, a ≠ 0 கொடுக்கப்பட வேண்டும்.

1. a+ b + c = 0 (அதாவது சமன்பாட்டின் குணகங்களின் கூட்டுத்தொகை பூஜ்ஜியம்) என்றால் x 1 = 1.

2. a - b + c = 0, அல்லது b = a + c என்றால், x 1 = - 1.

உதாரணம்.345x 2 - 137x - 208 = 0.

a + b + c = 0 (345 - 137 - 208 = 0), பின்னர் x 1 = 1, x 2 = -208/345.

பதில்: x 1 =1; எக்ஸ் 2 = -208/345 .

உதாரணம்.132x 2 + 247x + 115 = 0

ஏனெனில் a-b+c = 0 (132 - 247 +115=0), பின்னர் x 1 = - 1, x 2 = - 115/132

பதில்: x 1 = - 1; எக்ஸ் 2 =- 115/132

இருபடிச் சமன்பாட்டின் குணகங்களின் பிற பண்புகள் உள்ளன. ஆனால் அவற்றின் பயன்பாடு மிகவும் சிக்கலானது.

8. நோமோகிராம் மூலம் இருபடிச் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது.

படம் 1. நோமோகிராம்

இது ஒரு பழைய மற்றும் தற்போது மறந்துவிட்ட இருபடி சமன்பாடுகளை தீர்க்கும் முறையாகும், இது தொகுப்பின் 83 இல் வைக்கப்பட்டுள்ளது: பிராடிஸ் வி.எம். நான்கு இலக்க கணித அட்டவணைகள். - எம்., கல்வி, 1990.

அட்டவணை XXII. சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பதற்கான நோமோகிராம் z 2 + pz + q = 0. இந்த நோமோகிராம் ஒரு இருபடிச் சமன்பாட்டைத் தீர்க்காமல், அதன் குணகங்களிலிருந்து சமன்பாட்டின் வேர்களைத் தீர்மானிக்க அனுமதிக்கிறது.

நோமோகிராமின் வளைவு அளவுகோல் சூத்திரங்களின்படி கட்டப்பட்டுள்ளது (படம் 1):

நம்புவது OS = p, ED = q, OE = a(அனைத்தும் செ.மீ.), படம் 1ல் இருந்து முக்கோணங்களின் ஒற்றுமைகள் SANமற்றும் CDFநாம் விகிதாச்சாரத்தைப் பெறுகிறோம்

இது, மாற்றீடுகள் மற்றும் எளிமைப்படுத்தல்களுக்குப் பிறகு, சமன்பாட்டை அளிக்கிறது z 2 + pz + q = 0,மற்றும் கடிதம் zவளைந்த அளவில் எந்தப் புள்ளியின் அடையாளத்தையும் குறிக்கிறது.

அரிசி. 2 நோமோகிராம் மூலம் இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது

எடுத்துக்காட்டுகள்.

1) சமன்பாட்டிற்கு z 2 - 9z + 8 = 0நோமோகிராம் z 1 = 8.0 மற்றும் z 2 = 1.0 என்ற வேர்களைக் கொடுக்கிறது

பதில்:8.0; 1.0

2) ஒரு நோமோகிராம் பயன்படுத்தி, நாம் சமன்பாட்டை தீர்க்கிறோம்

2z 2 - 9z + 2 = 0.

இந்த சமன்பாட்டின் குணகங்களை 2 ஆல் வகுத்தால், z 2 - 4.5z + 1 = 0 என்ற சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம்.

நோமோகிராம் z 1 = 4 மற்றும் z 2 = 0.5 என்ற வேர்களைக் கொடுக்கிறது.

பதில்: 4; 0.5

9. இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான வடிவியல் முறை.

உதாரணம்.எக்ஸ் 2 + 10x = 39.

அசலில், இந்த சிக்கல் பின்வருமாறு வடிவமைக்கப்பட்டுள்ளது: "சதுர மற்றும் பத்து வேர்கள் 39 க்கு சமம்."

பக்க x கொண்ட ஒரு சதுரத்தைக் கவனியுங்கள், அதன் பக்கங்களில் செவ்வகங்கள் கட்டப்பட்டுள்ளன, அவை ஒவ்வொன்றின் மறுபுறமும் 2.5 ஆக இருக்கும், எனவே ஒவ்வொன்றின் பரப்பளவு 2.5x ஆகும். இதன் விளைவாக உருவானது ஒரு புதிய சதுர ABCD க்கு முடிக்கப்பட்டு, மூலைகளில் நான்கு சதுரங்களைச் சேர்க்கிறது. சம சதுரம், அவை ஒவ்வொன்றின் பக்கமும் 2.5, மற்றும் பரப்பளவு 6.25

அரிசி. 3 சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பதற்கான வரைகலை முறை x 2 + 10x = 39

சதுர ABCD இன் பகுதி S என்பது பகுதிகளின் கூட்டுத்தொகையாகக் குறிப்பிடப்படலாம்: அசல் சதுரம் x 2, நான்கு செவ்வகங்கள் (4∙2.5x = 10x) மற்றும் நான்கு கூடுதல் சதுரங்கள் (6.25∙4 = 25), அதாவது. S = x 2 + 10x = 25. x 2 + 10x ஐ 39 என்ற எண்ணுடன் மாற்றினால், S = 39 + 25 = 64 ஐப் பெறுகிறோம், அதாவது சதுரத்தின் பக்கம் ABCD ஆகும், அதாவது. பிரிவு AB = 8. அசல் சதுரத்தின் தேவையான பக்க x க்கு நாம் பெறுகிறோம்

10. Bezout இன் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது.

பெசவுட்டின் தேற்றம். பல்லுறுப்புக்கோவை P(x) ஐ x - α இருசொல் மூலம் வகுத்தால் மீதமுள்ளது P(α) க்கு சமம் (அதாவது, x = α இல் P(x) இன் மதிப்பு).

எண் α என்பது P(x) என்ற பல்லுறுப்புக்கோவையின் மூலமாக இருந்தால், இந்த பல்லுறுப்புக்கோவை மீதி இல்லாமல் x -α ஆல் வகுபடும்.

உதாரணம்.x²-4x+3=0

Р(x)= x²-4x+3, α: ±1, ±3, α =1, 1-4+3=0. P(x) ஐ (x-1) ஆல் வகுக்கவும்: (x²-4x+3)/(x-1)=x-3

x²-4x+3=(x-1)(x-3), (x-1)(x-3)=0

x-1=0; x=1, அல்லது x-3=0, x=3; பதில்: x1 =2, x2 =3.

முடிவு:இருபடி சமன்பாடுகளை விரைவாகவும் பகுத்தறிவு ரீதியாகவும் தீர்க்கும் திறன் மிகவும் சிக்கலான சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கு வெறுமனே அவசியம், எடுத்துக்காட்டாக, பகுதியளவு பகுத்தறிவு சமன்பாடுகள், உயர் டிகிரி சமன்பாடுகள், இருபடி சமன்பாடுகள், மற்றும் உயர்நிலைப் பள்ளி முக்கோணவியல், அதிவேக மற்றும் மடக்கை சமன்பாடுகளில். இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான அனைத்து முறைகளையும் படித்த பிறகு, நிலையான முறைகளுக்கு மேலதிகமாக, பரிமாற்ற முறை (6) மூலம் தீர்க்கவும், குணகங்களின் (7) பண்புகளைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளைத் தீர்க்கவும் எங்கள் வகுப்பு தோழர்களுக்கு அறிவுறுத்தலாம், ஏனெனில் அவை அணுகக்கூடியவை. புரிந்து கொள்ள.

இலக்கியம்:

1. பிராடிஸ் வி.எம். நான்கு இலக்க கணித அட்டவணைகள். - எம்., கல்வி, 1990.
2. அல்ஜீப்ரா 8 ஆம் வகுப்பு: 8 ஆம் வகுப்புக்கான பாடநூல். பொது கல்வி நிறுவனங்கள் Makarychev யூ. S. A. Telyakovsky 15வது பதிப்பு., திருத்தப்பட்டது. - எம்.: கல்வி, 2015
3. https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BD%D0%BE%D0 %B5_%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5
4. கிளேசர் ஜி.ஐ. பள்ளியில் கணிதத்தின் வரலாறு. ஆசிரியர்களுக்கான கையேடு. / எட். வி.என். இளையவர். - எம்.: கல்வி, 1964.

பலர் அவ்வாறு இல்லாததால் முதலில் இந்த தலைப்பு கடினமாகத் தோன்றலாம் எளிய சூத்திரங்கள். இருபடிச் சமன்பாடுகள் நீண்ட குறியீடுகளைக் கொண்டிருப்பது மட்டுமல்லாமல், வேர்கள் பாகுபாடு மூலமாகவும் காணப்படுகின்றன. மொத்தத்தில், மூன்று புதிய சூத்திரங்கள் பெறப்படுகின்றன. நினைவில் கொள்வது மிகவும் எளிதானது அல்ல. இதுபோன்ற சமன்பாடுகளை அடிக்கடி தீர்த்த பின்னரே இது சாத்தியமாகும். அப்போது எல்லா ஃபார்முலாக்களும் தாங்களாகவே நினைவில் இருக்கும்.

இருபடி சமன்பாட்டின் பொதுவான பார்வை

பெரிய பட்டம் முதலில் எழுதப்படும்போது, ​​பின்னர் இறங்குவரிசையில் அவற்றின் வெளிப்படையான பதிவை இங்கே நாங்கள் முன்மொழிகிறோம். விதிமுறைகள் சீரற்றதாக இருக்கும்போது பெரும்பாலும் சூழ்நிலைகள் உள்ளன. பின்னர் சமன்பாட்டை மாறியின் பட்டத்தின் இறங்கு வரிசையில் மீண்டும் எழுதுவது நல்லது.

சில குறிப்புகளை அறிமுகப்படுத்துவோம். அவை கீழே உள்ள அட்டவணையில் வழங்கப்பட்டுள்ளன.

இந்தக் குறியீடுகளை நாம் ஏற்றுக்கொண்டால், அனைத்து இருபடிச் சமன்பாடுகளும் பின்வரும் குறிப்பிற்குக் குறைக்கப்படும்.

மேலும், குணகம் a ≠ 0. இந்த சூத்திரம் முதலிடத்தில் இருக்கட்டும்.

ஒரு சமன்பாடு கொடுக்கப்பட்டால், பதிலில் எத்தனை வேர்கள் இருக்கும் என்பது தெளிவாகத் தெரியவில்லை. ஏனெனில் மூன்று விருப்பங்களில் ஒன்று எப்போதும் சாத்தியமாகும்:

• தீர்வு இரண்டு வேர்களைக் கொண்டிருக்கும்;
• பதில் ஒரு எண்ணாக இருக்கும்;
• சமன்பாட்டிற்கு வேர்கள் இருக்காது.

முடிவு முடிவடையும் வரை, ஒரு குறிப்பிட்ட வழக்கில் எந்த விருப்பம் தோன்றும் என்பதைப் புரிந்துகொள்வது கடினம்.

இருபடி சமன்பாடுகளின் பதிவுகளின் வகைகள்

பணிகளில் வெவ்வேறு உள்ளீடுகள் இருக்கலாம். அவர்கள் எப்போதும் போல் இருக்க மாட்டார்கள் பொது சூத்திரம்இருபடி சமன்பாடு. சில சமயங்களில் சில விதிமுறைகள் இல்லாமல் போகும். மேலே எழுதப்பட்டவை முழுமையான சமன்பாடு. அதில் உள்ள இரண்டாவது அல்லது மூன்றாவது பதத்தை நீக்கினால், வேறு ஏதாவது கிடைக்கும். இந்த பதிவுகள் இருபடி சமன்பாடுகள் என்றும் அழைக்கப்படுகின்றன, முழுமையற்றவை.

மேலும், "b" மற்றும் "c" குணகங்களைக் கொண்ட சொற்கள் மட்டுமே மறைந்துவிடும். எந்த சூழ்நிலையிலும் "a" எண் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்க முடியாது. ஏனெனில் இந்த வழக்கில் சூத்திரம் நேரியல் சமன்பாடாக மாறும். சமன்பாடுகளின் முழுமையற்ற வடிவத்திற்கான சூத்திரங்கள் பின்வருமாறு இருக்கும்:

எனவே, இரண்டு வகைகள் மட்டுமே உள்ளன, மேலும் முழுமையற்ற இருபடி சமன்பாடுகளும் உள்ளன. முதல் சூத்திரம் எண் இரண்டாகவும், இரண்டாவது - மூன்றாகவும் இருக்கட்டும்.

அதன் மதிப்பில் வேர்களின் எண்ணிக்கையின் பாகுபாடு மற்றும் சார்பு

சமன்பாட்டின் வேர்களைக் கணக்கிட இந்த எண்ணை நீங்கள் அறிந்து கொள்ள வேண்டும். இருபடிச் சமன்பாட்டின் சூத்திரம் எதுவாக இருந்தாலும் அதை எப்போதும் கணக்கிடலாம். பாகுபாட்டைக் கணக்கிட, கீழே எழுதப்பட்ட சமத்துவத்தைப் பயன்படுத்த வேண்டும், அதில் எண் நான்கு இருக்கும்.

இந்த சூத்திரத்தில் குணக மதிப்புகளை மாற்றிய பின், நீங்கள் எண்களைப் பெறலாம் வெவ்வேறு அறிகுறிகள். பதில் ஆம் எனில், சமன்பாட்டிற்கான பதில் இரண்டு வெவ்வேறு வேர்களாக இருக்கும். மணிக்கு எதிர்மறை எண்இருபடிச் சமன்பாட்டின் வேர்கள் காணாமல் போகும். பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருந்தால், ஒரே ஒரு பதில் மட்டுமே இருக்கும்.

ஒரு முழுமையான இருபடி சமன்பாட்டை எவ்வாறு தீர்ப்பது?

உண்மையில், இந்த பிரச்சினையின் பரிசீலனை ஏற்கனவே தொடங்கிவிட்டது. ஏனென்றால் முதலில் நீங்கள் ஒரு பாகுபாட்டைக் கண்டுபிடிக்க வேண்டும். இருபடிச் சமன்பாட்டின் வேர்கள் உள்ளன என்பதைத் தீர்மானித்த பிறகு, அவற்றின் எண்ணிக்கை அறியப்பட்ட பிறகு, நீங்கள் மாறிகளுக்கான சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்த வேண்டும். இரண்டு வேர்கள் இருந்தால், நீங்கள் பின்வரும் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்த வேண்டும்.

அதில் "±" குறி இருப்பதால், இரண்டு அர்த்தங்கள் இருக்கும். வர்க்க மூல அடையாளத்தின் கீழ் உள்ள வெளிப்பாடு பாகுபாடு ஆகும். எனவே, சூத்திரத்தை வேறு விதமாக மாற்றி எழுதலாம்.

ஃபார்முலா எண் ஐந்து. பாகுபாடு பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருந்தால், இரண்டு வேர்களும் ஒரே மதிப்புகளை எடுக்கும் என்பது ஒரே பதிவிலிருந்து தெளிவாகிறது.

இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது இன்னும் செயல்படவில்லை என்றால், பாகுபாடு மற்றும் மாறி சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்துவதற்கு முன்பு அனைத்து குணகங்களின் மதிப்புகளையும் எழுதுவது நல்லது. பின்னர் இந்த தருணம் சிரமங்களை ஏற்படுத்தாது. ஆனால் ஆரம்பத்திலேயே குழப்பம்.

முழுமையற்ற இருபடி சமன்பாட்டை எவ்வாறு தீர்ப்பது?

இங்கே எல்லாம் மிகவும் எளிமையானது. கூடுதல் சூத்திரங்கள் கூட தேவையில்லை. மேலும் பாகுபாடு காட்டுபவர்கள் மற்றும் தெரியாதவர்களுக்காக ஏற்கனவே எழுதப்பட்டவை தேவையில்லை.

முதலில் கருத்தில் கொள்வோம் முழுமையற்ற சமன்பாடுஎண் இரண்டில். இந்த சமத்துவத்தில், தெரியாத அளவை அடைப்புக்குறிக்குள் இருந்து அகற்றி, அடைப்புக்குறிக்குள் இருக்கும் நேரியல் சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பது அவசியம். பதில் இரண்டு வேர்களைக் கொண்டிருக்கும். முதல் ஒன்று பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்க வேண்டும், ஏனென்றால் மாறியைக் கொண்ட ஒரு பெருக்கி உள்ளது. இரண்டாவது ஒரு நேரியல் சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பதன் மூலம் பெறப்படும்.

முழுமையற்ற சமன்பாடு எண் மூன்று சமத்துவத்தின் இடது பக்கத்திலிருந்து வலது பக்கம் எண்ணை நகர்த்துவதன் மூலம் தீர்க்கப்படுகிறது. அறியப்படாததை எதிர்கொள்ளும் குணகத்தால் நீங்கள் வகுக்க வேண்டும். எஞ்சியிருப்பது வர்க்க மூலத்தைப் பிரித்தெடுத்து, எதிரெதிர் அடையாளங்களுடன் இரண்டு முறை எழுத நினைவில் கொள்ளுங்கள்.

இருபடி சமன்பாடுகளாக மாறும் அனைத்து வகையான சமத்துவங்களையும் எவ்வாறு தீர்ப்பது என்பதை அறிய உதவும் சில படிகள் கீழே உள்ளன. கவனக்குறைவால் ஏற்படும் தவறுகளைத் தவிர்க்க அவை மாணவர்களுக்கு உதவும். "குவாட்ராடிக் சமன்பாடுகள் (8 ஆம் வகுப்பு)" என்ற விரிவான தலைப்பைப் படிக்கும்போது இந்த குறைபாடுகள் மோசமான தரங்களை ஏற்படுத்தும். பின்னர், இந்த நடவடிக்கைகள் தொடர்ந்து செய்யப்பட வேண்டியதில்லை. ஏனெனில் ஒரு நிலையான திறமை தோன்றும்.

• முதலில் நீங்கள் சமன்பாட்டை நிலையான வடிவத்தில் எழுத வேண்டும். அதாவது, முதலில் மாறியின் மிகப்பெரிய பட்டம் கொண்ட சொல், பின்னர் - ஒரு பட்டம் இல்லாமல், கடைசியாக - ஒரு எண்.

• குணகம் "a" க்கு முன் ஒரு கழித்தல் தோன்றினால், அது இருபடி சமன்பாடுகளைப் படிக்கும் ஒரு தொடக்கக்காரரின் வேலையை சிக்கலாக்கும். அதிலிருந்து விடுபடுவது நல்லது. இந்த நோக்கத்திற்காக, அனைத்து சமத்துவமும் "-1" ஆல் பெருக்கப்பட வேண்டும். இதன் பொருள் அனைத்து விதிமுறைகளும் எதிர் குறியை மாற்றும்.

• அதே வழியில் பின்னங்களை அகற்ற பரிந்துரைக்கப்படுகிறது. சமன்பாட்டை பொருத்தமான காரணியால் பெருக்கவும், இதனால் பிரிவுகள் ரத்து செய்யப்படும்.

எடுத்துக்காட்டுகள்

பின்வரும் இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்க்க இது தேவைப்படுகிறது:

x 2 - 7x = 0;

15 - 2x - x 2 = 0;

x 2 + 8 + 3x = 0;

12x + x 2 + 36 = 0;

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2).

முதல் சமன்பாடு: x 2 - 7x = 0. இது முழுமையடையாதது, எனவே சூத்திர எண் இரண்டுக்கு விவரிக்கப்பட்டுள்ளபடி இது தீர்க்கப்படுகிறது.

அடைப்புக்குறியிலிருந்து வெளியே எடுத்த பிறகு, அது மாறிவிடும்: x (x - 7) = 0.

முதல் ரூட் மதிப்பை எடுக்கும்: x 1 = 0. இரண்டாவது இதிலிருந்து கண்டுபிடிக்கப்படும் நேரியல் சமன்பாடு: x - 7 = 0. x 2 = 7 என்று பார்ப்பது எளிது.

இரண்டாவது சமன்பாடு: 5x 2 + 30 = 0. மீண்டும் முழுமையற்றது. மூன்றாவது சூத்திரத்தில் விவரிக்கப்பட்டுள்ளபடி மட்டுமே இது தீர்க்கப்படுகிறது.

சமன்பாட்டின் வலது பக்கமாக 30 ஐ நகர்த்திய பிறகு: 5x 2 = 30. இப்போது நீங்கள் 5 ஆல் வகுக்க வேண்டும். அது மாறிவிடும்: x 2 = 6. பதில்கள் எண்களாக இருக்கும்: x 1 = √6, x 2 = - √6.

மூன்றாவது சமன்பாடு: 15 − 2х - x 2 = 0. இங்கு மேலும் மேலும், இருபடிச் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது, அவற்றை மீண்டும் எழுதுவதன் மூலம் தொடங்கும். நிலையான பார்வை: - x 2 - 2x + 15 = 0. இப்போது இரண்டாவது பயன்படுத்த வேண்டிய நேரம் இது பயனுள்ள ஆலோசனைஎல்லாவற்றையும் கழித்தல் ஒன்றால் பெருக்கவும். இது x 2 + 2x - 15 = 0. நான்காவது சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி, நீங்கள் பாகுபாடு கணக்கிட வேண்டும்: D = 2 2 - 4 * (- 15) = 4 + 60 = 64. இது ஒரு நேர்மறை எண். மேலே கூறப்பட்டவற்றிலிருந்து, சமன்பாட்டிற்கு இரண்டு வேர்கள் உள்ளன என்று மாறிவிடும். ஐந்தாவது சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி அவற்றைக் கணக்கிட வேண்டும். அது x = (-2 ± √64) / 2 = (-2 ± 8) / 2. பின்னர் x 1 = 3, x 2 = - 5.

நான்காவது சமன்பாடு x 2 + 8 + 3x = 0 இவ்வாறு மாற்றப்படுகிறது: x 2 + 3x + 8 = 0. அதன் பாகுபாடு இந்த மதிப்புக்கு சமம்: -23. இந்த எண் எதிர்மறையாக இருப்பதால், இந்த பணிக்கான பதில் பின்வரும் நுழைவாக இருக்கும்: "வேர்கள் இல்லை."

ஐந்தாவது சமன்பாடு 12x + x 2 + 36 = 0 பின்வருமாறு மீண்டும் எழுதப்பட வேண்டும்: x 2 + 12x + 36 = 0. பாகுபாட்டிற்கான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்திய பிறகு, எண் பூஜ்ஜியத்தைப் பெறுகிறது. இது ஒரு ரூட்டைக் கொண்டிருக்கும், அதாவது: x = -12/ (2 * 1) = -6.

ஆறாவது சமன்பாட்டிற்கு (x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2) உருமாற்றங்கள் தேவை, நீங்கள் ஒரே மாதிரியான சொற்களைக் கொண்டு வர வேண்டும், முதலில் அடைப்புக்குறிகளைத் திறக்க வேண்டும். முதல் இடத்தில் பின்வரும் வெளிப்பாடு இருக்கும்: x 2 + 2x + 1. சமத்துவத்திற்குப் பிறகு, இந்த உள்ளீடு தோன்றும்: x 2 + 3x + 2. ஒத்த சொற்கள் கணக்கிடப்பட்ட பிறகு, சமன்பாடு வடிவம் எடுக்கும்: x 2 - x = 0. இது முழுமையடையாது . இதைப் போன்ற ஒன்று ஏற்கனவே கொஞ்சம் அதிகமாக விவாதிக்கப்பட்டது. இதன் வேர்கள் 0 மற்றும் 1 எண்களாக இருக்கும்.