"இது செயலற்றது", "மந்தநிலையால் நகர்த்தவும்", "மந்தநிலையின் தருணம்" போன்ற வெளிப்பாடுகளை நாம் அடிக்கடி கேட்கிறோம். ஒரு அடையாள அர்த்தத்தில், "செயல்திறன்" என்ற வார்த்தையை முன்முயற்சி மற்றும் செயலின் பற்றாக்குறையாக விளக்கலாம். நேரடி அர்த்தத்தில் நாங்கள் ஆர்வமாக உள்ளோம்.

மந்தநிலை என்றால் என்ன

வரையறையின்படி செயலற்ற தன்மைஇயற்பியலில், வெளிப்புற சக்திகள் இல்லாத நிலையில் ஓய்வு அல்லது இயக்கத்தின் நிலையை பராமரிக்க உடல்களின் திறன் ஆகும்.

உள்ளுணர்வு மட்டத்தில் மந்தநிலை என்ற கருத்துடன் எல்லாம் தெளிவாக இருந்தால், பிறகு செயலற்ற தருணம்- ஒரு தனி கேள்வி. ஒப்புக்கொள், அது என்னவென்று உங்கள் மனதில் கற்பனை செய்வது கடினம். இந்த கட்டுரையில் நீங்கள் தலைப்பில் அடிப்படை சிக்கல்களை எவ்வாறு தீர்ப்பது என்பதைக் கற்றுக்கொள்வீர்கள் "மந்தநிலையின் தருணம்".

மந்தநிலையின் தருணத்தை தீர்மானித்தல்

இருந்து பள்ளி படிப்புஎன்று அறியப்படுகிறது நிறை - ஒரு உடலின் மந்தநிலையின் அளவீடு. வெவ்வேறு நிறை கொண்ட இரண்டு வண்டிகளை நாம் தள்ளினால், கனமான ஒன்றை நிறுத்துவது மிகவும் கடினமாக இருக்கும். அதாவது, நிறை அதிகமாகும் வெளிப்புற செல்வாக்குஉடல் இயக்கத்தை மாற்றுவது அவசியம். எடுத்துக்காட்டில் இருந்து வண்டி ஒரு நேர் கோட்டில் நகரும் போது, ​​கருதப்படுவது மொழிபெயர்ப்பு இயக்கத்திற்கு பொருந்தும்.

நிறை மற்றும் மொழிபெயர்ப்பு இயக்கத்துடன் ஒப்பிடுவதன் மூலம், மந்தநிலையின் கணம் என்பது உடலின் நிலைமத்தன்மையின் அளவீடு ஆகும். சுழற்சி இயக்கம்அச்சை சுற்றி.

மந்தநிலையின் தருணம்- ஒரு ஸ்கேலர் உடல் அளவு, ஒரு அச்சைச் சுற்றி சுழலும் போது உடலின் நிலைத்தன்மையின் அளவீடு. கடிதத்தால் குறிக்கப்படுகிறது ஜே மற்றும் அமைப்பில் எஸ்.ஐ கிலோகிராம் மடங்கு ஒரு சதுர மீட்டரில் அளவிடப்படுகிறது.

மந்தநிலையின் தருணத்தை எவ்வாறு கணக்கிடுவது? சாப்பிடு பொது சூத்திரம், இது இயற்பியலில் எந்த உடலின் மந்தநிலையின் தருணத்தைக் கணக்கிடப் பயன்படுகிறது. ஒரு உடல் நிறை கொண்ட எண்ணற்ற துண்டுகளாக உடைந்தால் dm , பின்னர் மந்தநிலையின் தருணம் சுழற்சியின் அச்சுக்கு தூரத்தின் சதுரத்தால் இந்த அடிப்படை வெகுஜனங்களின் தயாரிப்புகளின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமமாக இருக்கும்.

இயற்பியலில் மந்தநிலையின் கணத்திற்கான பொதுவான சூத்திரம் இதுவாகும். நிறை ஒரு பொருள் புள்ளிக்கு மீ , தூரத்தில் ஒரு அச்சில் சுழலும் ஆர் அவளிடமிருந்து, இந்த சூத்திரம்வடிவம் எடுக்கிறது:

ஸ்டெய்னரின் தேற்றம்

மந்தநிலையின் தருணம் எதைச் சார்ந்தது? வெகுஜனத்திலிருந்து, சுழற்சியின் அச்சின் நிலை, உடலின் வடிவம் மற்றும் அளவு.

ஹ்யூஜென்ஸ்-ஸ்டெய்னர் தேற்றம் ஒரு மிக முக்கியமான தேற்றமாகும், இது பெரும்பாலும் சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதில் பயன்படுத்தப்படுகிறது.

மூலம்! எங்கள் வாசகர்களுக்கு இப்போது 10% தள்ளுபடி உள்ளது

ஹியூஜென்ஸ்-ஸ்டெய்னர் தேற்றம் கூறுகிறது:

ஒரு தன்னிச்சையான அச்சுடன் தொடர்புடைய ஒரு உடலின் நிலைமத்தின் கணம், ஒரு தன்னிச்சையான அச்சுக்கு இணையாக வெகுஜன மையத்தின் வழியாக செல்லும் அச்சுடன் தொடர்புடைய உடலின் மந்தநிலையின் தருணத்தின் கூட்டுத்தொகை மற்றும் சதுரத்தால் உடல் நிறை உற்பத்திக்கு சமம். அச்சுகளுக்கு இடையிலான தூரம்.

மந்தநிலையின் தருணத்தைக் கண்டறிவதில் சிக்கல்களைத் தீர்க்கும்போது தொடர்ந்து ஒருங்கிணைக்க விரும்பாதவர்களுக்கு, சிக்கல்களில் அடிக்கடி எதிர்கொள்ளும் சில ஒரே மாதிரியான உடல்களின் நிலைமத்தன்மையின் தருணங்களைக் குறிக்கும் ஒரு வரைபடத்தை நாங்கள் முன்வைக்கிறோம்:

மந்தநிலையின் தருணத்தைக் கண்டறிய சிக்கலைத் தீர்ப்பதற்கான எடுத்துக்காட்டு

இரண்டு உதாரணங்களைப் பார்ப்போம். மந்தநிலையின் தருணத்தைக் கண்டுபிடிப்பதே முதல் பணி. இரண்டாவது பணி ஹ்யூஜென்ஸ்-ஸ்டெய்னர் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்துவதாகும்.

சிக்கல் 1. நிறை m மற்றும் R ஆரம் கொண்ட ஒரே மாதிரியான வட்டின் நிலைமத்தின் தருணத்தைக் கண்டறியவும். சுழற்சியின் அச்சு வட்டின் மையத்தின் வழியாக செல்கிறது.

தீர்வு:

வட்டை எண்ணற்ற மெல்லிய வளையங்களாகப் பிரிப்போம், அதன் ஆரம் மாறுபடும் 0 செய்ய ஆர்மற்றும் அத்தகைய மோதிரத்தை கருத்தில் கொள்ளுங்கள். அதன் ஆரம் இருக்கட்டும் ஆர், மற்றும் நிறை - dm. பின்னர் வளையத்தின் மந்தநிலையின் தருணம்:

வளையத்தின் வெகுஜனத்தை இவ்வாறு குறிப்பிடலாம்:

இங்கே dz- வளையத்தின் உயரம். மந்தநிலையின் தருணத்திற்கான சூத்திரத்தில் வெகுஜனத்தை மாற்றி ஒருங்கிணைப்போம்:

இதன் விளைவாக ஒரு முழுமையான மெல்லிய வட்டு அல்லது சிலிண்டரின் மந்தநிலையின் தருணத்திற்கான சூத்திரம் இருந்தது.

சிக்கல் 2. மீண்டும் m மற்றும் R ஆரம் கொண்ட ஒரு வட்டு இருக்கட்டும். இப்போது அதன் ஆரங்களில் ஒன்றின் நடுவில் செல்லும் அச்சுடன் தொடர்புடைய வட்டின் நிலைத்தன்மையின் தருணத்தை நாம் கண்டுபிடிக்க வேண்டும்.

தீர்வு:

வெகுஜன மையத்தின் வழியாக செல்லும் அச்சுடன் தொடர்புடைய வட்டின் நிலைமத்தின் தருணம் முந்தைய சிக்கலில் இருந்து அறியப்படுகிறது. ஸ்டெய்னரின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்துவோம் மற்றும் கண்டுபிடிப்போம்:

மூலம், எங்கள் வலைப்பதிவில் நீங்கள் இயற்பியல் மற்றும் பிற பயனுள்ள பொருட்களைக் காணலாம்.

கட்டுரையில் உங்களுக்கு பயனுள்ள ஒன்றை நீங்கள் காண்பீர்கள் என்று நம்புகிறோம். மந்தநிலை டென்சரைக் கணக்கிடும் செயல்பாட்டில் சிரமங்கள் ஏற்பட்டால், மாணவர் சேவையைப் பற்றி மறந்துவிடாதீர்கள். எங்கள் வல்லுநர்கள் எந்தவொரு சிக்கலுக்கும் ஆலோசனை வழங்குவார்கள் மற்றும் சில நிமிடங்களில் சிக்கலை தீர்க்க உதவுவார்கள்.

ஒரு நிலையான அச்சுடன் தொடர்புடையது ("மந்தநிலையின் அச்சு தருணம்") அளவு ஜே ஏ, தொகைக்கு சமம்அனைத்து மக்களின் படைப்புகள் nஅச்சுக்கு அவற்றின் தூரத்தின் சதுரங்களால் அமைப்பின் பொருள் புள்ளிகள்:

• m i- எடை iவது புள்ளி,
• ஆர் ஐ- தூரம் iஅச்சுக்கு வது புள்ளி.

அச்சு செயலற்ற தருணம்உடல் ஜே ஏஒரு உடலின் நிறை என்பது மொழிமாற்ற இயக்கத்தில் அதன் மந்தநிலையின் அளவீடு போலவே, ஒரு அச்சைச் சுற்றி சுழலும் இயக்கத்தில் உடலின் நிலைத்தன்மையின் அளவீடு ஆகும்.

உடல் ஒரே மாதிரியாக இருந்தால், அதன் அடர்த்தி எல்லா இடங்களிலும் ஒரே மாதிரியாக இருக்கும்

ஹியூஜென்ஸ்-ஸ்டெய்னர் தேற்றம்

மந்தநிலையின் தருணம் திடமானஎந்த அச்சுடனும் தொடர்புடையது உடலின் நிறை, வடிவம் மற்றும் அளவை மட்டுமல்ல, இந்த அச்சுடன் தொடர்புடைய உடலின் நிலையையும் சார்ந்துள்ளது. ஸ்டெய்னரின் தேற்றத்தின்படி (ஹுய்ஜென்ஸ்-ஸ்டெய்னர் தேற்றம்), செயலற்ற தருணம்உடல் ஜேதன்னிச்சையான அச்சுடன் தொடர்புடையது கூட்டுத்தொகைக்கு சமம் செயலற்ற தருணம்இந்த உடல் ஜே சிபரிசீலனையில் உள்ள அச்சுக்கு இணையாக உடலின் நிறை மையத்தின் வழியாக செல்லும் அச்சுடன் தொடர்புடையது மற்றும் உடல் நிறை உற்பத்தி மீஒரு சதுர தூரத்திற்கு ஈஅச்சுகளுக்கு இடையில்:

மொத்த உடல் நிறை எங்கே.

எடுத்துக்காட்டாக, அதன் முனை வழியாக செல்லும் அச்சுடன் தொடர்புடைய தடியின் நிலைமத்தின் தருணம் இதற்கு சமம்:

சில உடல்களின் மந்தநிலையின் அச்சு தருணங்கள்

செயலற்ற தருணங்கள்ஒரே மாதிரியான உடல்கள் எளிமையான வடிவம்சுழற்சியின் சில அச்சுகளுடன் தொடர்புடையது

உடல்	விளக்கம்	அச்சு நிலை அ	மந்தநிலையின் தருணம் ஜே ஏ
	பொருள் புள்ளி நிறை மீ	தொலைவில் ஆர்ஒரு புள்ளியில் இருந்து, நிலையானது
	வெற்று மெல்லிய சுவர் சிலிண்டர் அல்லது ஆரம் வளையம் ஆர்மற்றும் வெகுஜனங்கள் மீ	சிலிண்டர் அச்சு
	திட சிலிண்டர் அல்லது ஆரம் வட்டு ஆர்மற்றும் வெகுஜனங்கள் மீ	சிலிண்டர் அச்சு
	வெற்று தடிமனான சுவர் வெகுஜன உருளை மீவெளிப்புற ஆரம் கொண்டது ஆர் 2மற்றும் உள் ஆரம் ஆர் 1	சிலிண்டர் அச்சு
	திட சிலிண்டர் நீளம் எல், ஆரம் ஆர்மற்றும் வெகுஜனங்கள் மீ
	வெற்று மெல்லிய சுவர் உருளை (வளையம்) நீளம் எல், ஆரம் ஆர்மற்றும் வெகுஜனங்கள் மீ	அச்சு சிலிண்டருக்கு செங்குத்தாக உள்ளது மற்றும் அதன் வெகுஜன மையத்தின் வழியாக செல்கிறது
	நேரான மெல்லிய நீள கம்பி எல்மற்றும் வெகுஜனங்கள் மீ	அச்சு தடிக்கு செங்குத்தாக உள்ளது மற்றும் அதன் வெகுஜன மையத்தின் வழியாக செல்கிறது
	நேரான மெல்லிய நீள கம்பி எல்மற்றும் வெகுஜனங்கள் மீ	அச்சு தடிக்கு செங்குத்தாக உள்ளது மற்றும் அதன் முனை வழியாக செல்கிறது
	மெல்லிய சுவர் ஆரம் கோளம் ஆர்மற்றும் வெகுஜனங்கள் மீ	அச்சு கோளத்தின் மையத்தின் வழியாக செல்கிறது
	ஆரம் பந்து ஆர்மற்றும் வெகுஜனங்கள் மீ	அச்சு பந்தின் மையத்தின் வழியாக செல்கிறது
	ஆரம் கூம்பு ஆர்மற்றும் வெகுஜனங்கள் மீ	கூம்பு அச்சு
	ஐசோசெல்ஸ் முக்கோணம் உயரத்துடன் ம, அடிப்படை அமற்றும் நிறை மீ	அச்சு முக்கோணத்தின் விமானத்திற்கு செங்குத்தாக உள்ளது மற்றும் உச்சி வழியாக செல்கிறது
	பக்கத்துடன் வழக்கமான முக்கோணம் அமற்றும் நிறை மீ	அச்சு முக்கோணத்தின் விமானத்திற்கு செங்குத்தாக உள்ளது மற்றும் வெகுஜன மையத்தின் வழியாக செல்கிறது
	பக்கத்துடன் சதுரம் அமற்றும் நிறை மீ	அச்சு சதுரத்தின் விமானத்திற்கு செங்குத்தாக உள்ளது மற்றும் வெகுஜன மையத்தின் வழியாக செல்கிறது

சூத்திரங்களைப் பெறுதல்

மெல்லிய சுவர் சிலிண்டர் (மோதிரம், வளையம்)

சூத்திரத்தின் வழித்தோன்றல்

ஒரு உடலின் மந்தநிலையின் தருணம் அதன் உறுப்பு பகுதிகளின் மந்தநிலையின் தருணங்களின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம். ஒரு மெல்லிய சுவர் சிலிண்டரை வெகுஜனத்துடன் கூறுகளாக பிரிக்கவும் dmமற்றும் செயலற்ற தருணங்கள் dJ i. பிறகு

மெல்லிய சுவர் உருளையின் அனைத்து கூறுகளும் சுழற்சியின் அச்சில் இருந்து ஒரே தூரத்தில் இருப்பதால், சூத்திரம் (1) வடிவமாக மாற்றப்படுகிறது.

தடித்த சுவர் சிலிண்டர் (மோதிரம், வளையம்)

சூத்திரத்தின் வழித்தோன்றல்

வெளிப்புற ஆரம் கொண்ட ஒரே மாதிரியான வளையம் இருக்கட்டும் ஆர், உள் ஆரம் ஆர் 1, தடித்த மமற்றும் அடர்த்தி ρ. தடிமனான மெல்லிய வளையங்களாக உடைப்போம் டாக்டர். ஒரு மெல்லிய ஆரம் வளையத்தின் நிறை மற்றும் மந்தநிலையின் தருணம் ஆர்இருக்கும்

தடிமனான வளையத்தின் மந்தநிலையின் தருணத்தை ஒரு ஒருங்கிணைந்ததாகக் கண்டுபிடிப்போம்

மோதிரத்தின் அளவு மற்றும் நிறை சமமாக இருப்பதால்

மோதிரத்தின் செயலற்ற தருணத்திற்கான இறுதி சூத்திரத்தைப் பெறுகிறோம்

ஒரே மாதிரியான வட்டு (திட உருளை)

சூத்திரத்தின் வழித்தோன்றல்

பூஜ்ஜிய உள் ஆரம் கொண்ட ஒரு சிலிண்டரை (வட்டு) வளையமாகக் கருதுதல் ( ஆர் 1 = 0), சிலிண்டரின் (வட்டு) மந்தநிலையின் தருணத்திற்கான சூத்திரத்தைப் பெறுகிறோம்:

திடமான கூம்பு

சூத்திரத்தின் வழித்தோன்றல்

தடிமன் கொண்ட மெல்லிய வட்டுகளாக கூம்பை உடைப்போம் dh, கூம்பின் அச்சுக்கு செங்குத்தாக. அத்தகைய வட்டின் ஆரம் சமம்

எங்கே ஆர்- கூம்பு தளத்தின் ஆரம், எச்- கூம்பின் உயரம், ம- கூம்பின் மேல் இருந்து வட்டுக்கு தூரம். அத்தகைய வட்டின் நிறை மற்றும் மந்தநிலையின் தருணம் இருக்கும்

ஒருங்கிணைத்தல், நாம் பெறுகிறோம்

திடமான ஒரே மாதிரியான பந்து

சூத்திரத்தின் வழித்தோன்றல்

தடிமன் கொண்ட மெல்லிய வட்டுகளாக பந்தை பிரிக்கவும் dh, சுழற்சியின் அச்சுக்கு செங்குத்தாக. உயரத்தில் அமைந்துள்ள அத்தகைய வட்டின் ஆரம் மகோளத்தின் மையத்திலிருந்து, சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி அதைக் கண்டுபிடிப்போம்

அத்தகைய வட்டின் நிறை மற்றும் மந்தநிலையின் தருணம் இருக்கும்

ஒருங்கிணைப்பு மூலம் கோளத்தின் மந்தநிலையின் தருணத்தைக் காண்கிறோம்:

மெல்லிய சுவர் கொண்ட கோளம்

சூத்திரத்தின் வழித்தோன்றல்

இதைப் பெற, ஒரே மாதிரியான ஆரம் பந்தின் மந்தநிலையின் தருணத்திற்கான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம். ஆர்:

ஒரு நிலையான அடர்த்தி ρ இல், அதன் ஆரம் எண்ணற்ற அளவு அதிகரித்தால், பந்தின் நிலைமத்தின் தருணம் எவ்வளவு மாறும் என்பதைக் கணக்கிடுவோம். டிஆர்.

மெல்லிய கம்பி (அச்சு மையத்தின் வழியாக செல்கிறது)

சூத்திரத்தின் வழித்தோன்றல்

கம்பியை சிறிய நீள துண்டுகளாக பிரிக்கவும் டாக்டர். அத்தகைய துண்டின் நிறை மற்றும் மந்தநிலையின் தருணம் சமம்

ஒருங்கிணைத்தல், நாம் பெறுகிறோம்

மெல்லிய கம்பி (அச்சு முடிவின் வழியாக செல்கிறது)

சூத்திரத்தின் வழித்தோன்றல்

சுழற்சியின் அச்சு தடியின் நடுவில் இருந்து அதன் இறுதி வரை நகரும் போது, ​​தடியின் ஈர்ப்பு மையம் அச்சுடன் தொடர்புடைய தூரத்தில் நகரும். எல்/2. ஸ்டெய்னரின் தேற்றத்தின்படி புதிய தருணம்மந்தநிலை சமமாக இருக்கும்

கோள்கள் மற்றும் அவற்றின் துணைக்கோள்களின் நிலைத்தன்மையின் பரிமாணமற்ற தருணங்கள்

ஆராய்ச்சிக்கு பெரும் மதிப்பு உள் கட்டமைப்புகோள்களும் அவற்றின் துணைக்கோள்களும் அவற்றின் பரிமாணமற்ற நிலைமத் தருணங்களைக் கொண்டுள்ளன. ஆரம் கொண்ட உடலின் மந்தநிலையின் பரிமாணமற்ற தருணம் ஆர்மற்றும் வெகுஜனங்கள் மீதொலைவில் அமைந்துள்ள ஒரு நிலையான சுழற்சி அச்சுடன் தொடர்புடைய அதே வெகுஜனத்தின் பொருள் புள்ளியின் நிலைமத்தின் தருணத்திற்கு சுழற்சியின் அச்சுடன் தொடர்புடைய மந்தநிலையின் கணத்தின் விகிதத்திற்கு சமம். ஆர்(சமமாக திரு 2) இந்த மதிப்பு ஆழத்தின் மீது வெகுஜன பரவலை பிரதிபலிக்கிறது. கிரகங்கள் மற்றும் செயற்கைக்கோள்களுக்கு அருகில் அதை அளவிடுவதற்கான முறைகளில் ஒன்று, கொடுக்கப்பட்ட கிரகம் அல்லது செயற்கைக்கோள் அருகே பறக்கும் AMS மூலம் அனுப்பப்படும் ரேடியோ சிக்னலின் டாப்ளர் மாற்றத்தை தீர்மானிப்பதாகும். ஒரு மெல்லிய சுவர் கோளத்திற்கு, மந்தநிலையின் பரிமாணமற்ற தருணம் 2/3 (~ 0.67) க்கு சமமாக இருக்கும், ஒரே மாதிரியான பந்துக்கு - 0.4, மற்றும் பொதுவாக, குறைவாக, உடலின் நிறை அதன் மையத்தில் குவிந்துள்ளது. எடுத்துக்காட்டாக, சந்திரன் 0.4 (0.391 க்கு சமம்) க்கு அருகில் ஒரு பரிமாணமற்ற நிலைமத்தன்மையைக் கொண்டுள்ளது, எனவே இது ஒப்பீட்டளவில் ஒரே மாதிரியானது என்று கருதப்படுகிறது, அதன் அடர்த்தி ஆழத்துடன் சிறிது மாறுகிறது. பூமியின் மந்தநிலையின் பரிமாணமற்ற தருணம் ஒரே மாதிரியான கோளத்தை விட குறைவாக உள்ளது (0.335 க்கு சமம்), இது ஒரு அடர்த்தியான மையத்தின் இருப்புக்கு ஆதரவான வாதமாகும்.

மந்தநிலையின் மையவிலக்கு தருணம்

ஒரு செவ்வக கார்ட்டீசியன் ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பின் அச்சுகளுடன் தொடர்புடைய உடலின் மந்தநிலையின் மையவிலக்கு தருணங்கள் பின்வரும் அளவுகளாகும்:

எங்கே x, ஒய்மற்றும் z- தொகுதி கொண்ட ஒரு சிறிய உடல் உறுப்பு ஆயத்தொலைவுகள் டி.வி, அடர்த்தி ρ மற்றும் நிறை dm.

OX அச்சு அழைக்கப்படுகிறது உடலின் மந்தநிலையின் முக்கிய அச்சு, மந்தநிலையின் மையவிலக்கு தருணங்கள் என்றால் ஜே xyமற்றும் ஜே xzபூஜ்ஜியத்திற்கு ஒரே நேரத்தில் சமமாக இருக்கும். உடலின் ஒவ்வொரு புள்ளியிலும் மூன்று முக்கிய மந்தநிலை அச்சுகளை வரையலாம். இந்த அச்சுகள் ஒன்றுக்கொன்று செங்குத்தாக உள்ளன. உடலின் மந்தநிலையின் தருணங்கள்ஒரு தன்னிச்சையான புள்ளியில் வரையப்பட்ட மந்தநிலையின் மூன்று முக்கிய அச்சுகளுடன் தொடர்புடையது ஓஉடல்கள் அழைக்கப்படுகின்றன உடலின் மந்தநிலையின் முக்கிய தருணங்கள்.

உடலின் வெகுஜன மையத்தின் வழியாக செல்லும் மந்தநிலையின் முக்கிய அச்சுகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன உடலின் மந்தநிலையின் முக்கிய மைய அச்சுகள், மற்றும் இந்த அச்சுகளைப் பற்றிய மந்தநிலையின் தருணங்கள் அதன் முக்கிய மைய புள்ளிகள்செயலற்ற தன்மை. ஒரே மாதிரியான உடலின் சமச்சீர் அச்சு எப்போதும் அதன் முக்கிய மந்தநிலை அச்சுகளில் ஒன்றாகும்.

நிலைமத்தின் வடிவியல் கணம்

நிலைமத்தின் வடிவியல் கணம் - வடிவத்தின் ஒரு பகுதியின் வடிவியல் பண்பு

நடுநிலை அச்சுடன் தொடர்புடைய எந்த அடிப்படை பகுதிக்கும் மத்திய அச்சில் இருந்து தூரம் எங்கே.

மந்தநிலையின் வடிவியல் தருணம் பொருளின் இயக்கத்துடன் தொடர்புடையது அல்ல, இது பிரிவின் விறைப்புத்தன்மையின் அளவை மட்டுமே பிரதிபலிக்கிறது. கைரேஷனின் ஆரம், பீம் விலகல், விட்டங்களின் குறுக்குவெட்டுத் தேர்வு, நெடுவரிசைகள் போன்றவற்றைக் கணக்கிடப் பயன்படுகிறது.

SI அளவீட்டு அலகு m4 ஆகும். கட்டுமானக் கணக்கீடுகளில், இலக்கியம் மற்றும் உருட்டப்பட்ட உலோக வகைப்படுத்தல்கள், குறிப்பாக, இது செமீ 4 இல் குறிக்கப்படுகிறது.

அதிலிருந்து பிரிவின் எதிர்ப்பின் தருணம் வெளிப்படுத்தப்படுகிறது:

.

சில உருவங்களின் நிலைமத்தின் வடிவியல் தருணங்கள்
செவ்வக உயரம் மற்றும் அகலம்:
உயரம் மற்றும் அகலம் கொண்ட செவ்வகப் பெட்டிப் பகுதி வெளிப்புற விளிம்புகள் மற்றும் , மற்றும் உள் வரையறைகளுடன் முறையே
வட்ட விட்டம்

மந்தநிலையின் மைய தருணம்

மந்தநிலையின் மைய தருணம்(அல்லது புள்ளி O உடன் தொடர்புடைய மந்தநிலையின் தருணம்) என்பது அளவு

மந்தநிலையின் மையக் கணம் மந்தநிலையின் முக்கிய அச்சு அல்லது மையவிலக்கு தருணங்களின் அடிப்படையில் வெளிப்படுத்தப்படலாம்: .

மந்தநிலையின் டென்சர் மற்றும் மந்தநிலையின் நீள்வட்டம்

வெகுஜன மையத்தின் வழியாக செல்லும் தன்னிச்சையான அச்சுடன் தொடர்புடைய உடலின் நிலைமத்தின் தருணம் மற்றும் அலகு திசையன் மூலம் குறிப்பிடப்பட்ட ஒரு திசையை இருபடி (பைலினியர்) வடிவத்தில் குறிப்பிடலாம்:

(1),

மந்தநிலை டென்சர் எங்கே. மந்தநிலை டென்சர் மேட்ரிக்ஸ் சமச்சீர், பரிமாணங்களைக் கொண்டுள்ளது மற்றும் மையவிலக்கு தருணங்களின் கூறுகளைக் கொண்டுள்ளது:

,
.

பொருத்தமான ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பைத் தேர்ந்தெடுப்பதன் மூலம், மந்தநிலை டென்சர் மேட்ரிக்ஸை ஒரு மூலைவிட்ட வடிவமாகக் குறைக்கலாம். இதைச் செய்ய, டென்சர் மேட்ரிக்ஸின் ஈஜென்வேல்யூ சிக்கலை நீங்கள் தீர்க்க வேண்டும்:
,
மந்தநிலை டென்சரின் ஈஜென்பேசிஸுக்கு ஆர்த்தோகனல் டிரான்சிஷன் மேட்ரிக்ஸ் எங்கே. சரியான அடிப்படையில், ஆய அச்சுகள் மந்தநிலை டென்சரின் முக்கிய அச்சுகளுடன் இயக்கப்படுகின்றன, மேலும் மந்தநிலை டென்சர் நீள்வட்டத்தின் முக்கிய அரை அச்சுகளுடன் ஒத்துப்போகின்றன. அளவுகள் மந்தநிலையின் முக்கிய தருணங்கள். அதன் சொந்த ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் வெளிப்பாடு (1) வடிவம் உள்ளது:

,

சமன்பாடு எங்கிருந்து வருகிறது

சக்தியின் தருணம் மற்றும் செயலற்ற தருணம்

ஒரு பொருள் புள்ளியின் மொழிபெயர்ப்பு இயக்கத்தின் இயக்கவியலில், இயக்கவியல் பண்புகளுக்கு கூடுதலாக, விசை மற்றும் வெகுஜனத்தின் கருத்துக்கள் அறிமுகப்படுத்தப்பட்டன. சுழற்சி இயக்கத்தின் இயக்கவியலைப் படிக்கும் போது, ​​உடல் அளவுகள் அறிமுகப்படுத்தப்படுகின்றன - முறுக்குமற்றும் செயலற்ற தருணம், உடல் பொருள்நாம் கீழே வெளிப்படுத்துவோம்.

ஒரு கட்டத்தில் பயன்படுத்தப்படும் சக்தியின் செல்வாக்கின் கீழ் சில உடல்களை அனுமதிக்கவும் ஏ, OO அச்சில் சுழற்சியில் வருகிறது" (படம் 5.1).

படம் 5.1 - சக்தியின் தருணத்தின் கருத்தின் முடிவுக்கு

அச்சுக்கு செங்குத்தாக ஒரு விமானத்தில் சக்தி செயல்படுகிறது. செங்குத்தாக ஆர், புள்ளியில் இருந்து கைவிடப்பட்டது பற்றி(அச்சு மீது படுத்து) விசையின் திசைக்கு அழைக்கப்படுகிறது வலிமையின் தோள்பட்டை. கையால் விசையின் உற்பத்தி மாடுலஸை தீர்மானிக்கிறது சக்தியின் தருணம்புள்ளியுடன் தொடர்புடையது பற்றி:

(5.1)

சக்தியின் தருணம் விசை மற்றும் விசை வெக்டரின் பயன்பாட்டின் புள்ளியின் ஆரம் வெக்டரின் திசையன் உற்பத்தியால் தீர்மானிக்கப்படும் ஒரு திசையன்:

(5.2)

சக்தியின் கணத்தின் அலகு - நியூட்டன் மீட்டர்(என் . மீ). விசைத் தருண திசையன் திசையைப் பயன்படுத்திக் காணலாம் சரியான உந்துவிசை விதிகள்.

மொழிபெயர்ப்பு இயக்கத்தின் போது உடல்களின் நிலைமத்தின் அளவு நிறை ஆகும். சுழலும் இயக்கத்தின் போது உடல்களின் நிலைமம் வெகுஜனத்தை மட்டுமல்ல, சுழற்சியின் அச்சுடன் தொடர்புடைய விண்வெளியில் அதன் விநியோகத்தையும் சார்ந்துள்ளது. சுழற்சி இயக்கத்தின் போது மந்தநிலையின் அளவீடு எனப்படும் அளவு உடலின் மந்தநிலையின் தருணம் சுழற்சியின் அச்சுடன் தொடர்புடையது.

ஒரு பொருள் புள்ளியின் நிலைமத்தின் தருணம் சுழற்சியின் அச்சுடன் தொடர்புடையது - அச்சில் இருந்து தூரத்தின் சதுரத்தால் இந்த புள்ளியின் வெகுஜனத்தின் தயாரிப்பு:

உடலின் மந்தநிலையின் தருணம் சுழற்சியின் அச்சுடன் தொடர்புடையது - இந்த உடலை உருவாக்கும் பொருள் புள்ளிகளின் மந்தநிலையின் தருணங்களின் கூட்டுத்தொகை:

(5.4)

IN பொது வழக்கு, உடல் திடமானது மற்றும் சிறிய வெகுஜனங்களைக் கொண்ட புள்ளிகளின் தொகுப்பைக் குறிக்கிறது dm, மந்தநிலையின் தருணம் ஒருங்கிணைப்பால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது:

, (5.5)

எங்கே ஆர்- சுழற்சியின் அச்சில் இருந்து வெகுஜன d இன் உறுப்புக்கான தூரம் மீ.

உடல் ஒரே மாதிரியாகவும் அதன் அடர்த்தியாகவும் இருந்தால் ρ = மீ/வி, பின்னர் உடலின் மந்தநிலையின் தருணம்

(5.6)

உடலின் மந்தநிலையின் தருணம் அது எந்த அச்சில் சுழல்கிறது மற்றும் உடலின் நிறை எவ்வாறு தொகுதி முழுவதும் விநியோகிக்கப்படுகிறது என்பதைப் பொறுத்தது.

வழக்கமான வடிவியல் வடிவத்தைக் கொண்ட உடல்களின் நிலைமத்தின் தருணம் மற்றும் சீரான விநியோகம்தொகுதி மூலம் நிறை.

ஒரே மாதிரியான தடியின் மந்தநிலையின் தருணம்மந்தநிலையின் மையத்தின் வழியாக செல்லும் அச்சுடன் தொடர்புடையது மற்றும் கம்பிக்கு செங்குத்தாக,

ஒரே மாதிரியான உருளையின் மந்தநிலையின் தருணம்அதன் அடிப்பகுதிக்கு செங்குத்தாக ஒரு அச்சுடன் தொடர்புடையது மற்றும் மந்தநிலையின் மையத்தின் வழியாக செல்கிறது,

(5.8)

ஒரு மெல்லிய சுவர் சிலிண்டர் அல்லது வளையத்தின் செயலற்ற தருணம்அதன் அடித்தளத்தின் விமானத்திற்கு செங்குத்தாக ஒரு அச்சுடன் தொடர்புடையது மற்றும் அதன் மையத்தின் வழியாக செல்கிறது,

பந்தின் மந்தநிலையின் தருணம்விட்டத்துடன் தொடர்புடையது

(5.10)

மந்தநிலையின் மையத்தின் வழியாகச் செல்லும் அச்சுடன் தொடர்புடைய வட்டின் நிலைமத்தின் தருணத்தைத் தீர்மானிப்போம் மற்றும் சுழற்சியின் விமானத்திற்கு செங்குத்தாக. வட்டின் நிறை இருக்கட்டும் மீ, மற்றும் அதன் ஆரம் ஆர்.

வளையத்தின் பரப்பளவு (படம் 5.2) இடையில் இணைக்கப்பட்டுள்ளது ஆர்மற்றும் , சமமாக உள்ளது.

படம் 5.2 - வட்டின் மந்தநிலையின் தருணத்தின் முடிவுக்கு

வட்டு பகுதி. நிலையான வளைய தடிமன் கொண்ட,

எங்கிருந்து அல்லது .

பின்னர் வட்டின் மந்தநிலையின் தருணம்,

தெளிவுக்காக, படம் 5.3 ஒரே மாதிரியான திடப்பொருட்களைக் காட்டுகிறது பல்வேறு வடிவங்கள்மற்றும் வெகுஜன மையத்தின் வழியாக செல்லும் அச்சுடன் தொடர்புடைய இந்த உடல்களின் நிலைமத்தின் தருணங்கள் குறிக்கப்படுகின்றன.

படம் 5.3 - மந்தநிலையின் தருணங்கள் ஐசில ஒரே மாதிரியான திடப்பொருட்களின் சி.

ஸ்டெய்னரின் தேற்றம்

உடல்களின் நிலைத்தன்மையின் தருணங்களுக்கான மேலே உள்ள சூத்திரங்கள் சுழற்சியின் அச்சு நிலைமத்தின் மையத்தின் வழியாக செல்லும் நிபந்தனையின் கீழ் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன. தன்னிச்சையான அச்சுடன் தொடர்புடைய உடலின் மந்தநிலையின் தருணங்களைத் தீர்மானிக்க, நீங்கள் பயன்படுத்த வேண்டும் ஸ்டெய்னரின் தேற்றம் : தன்னிச்சையான சுழற்சியின் அச்சுடன் தொடர்புடைய உடலின் மந்தநிலையின் தருணம், கொடுக்கப்பட்ட அச்சுக்கு இணையான அச்சுடன் தொடர்புடைய ஜே 0 மந்தநிலையின் கணத்தின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம் மற்றும் உடலின் மந்தநிலையின் மையத்தின் வழியாக செல்கிறது. 2:

(5.12)

எங்கே மீ- உடல் எடை, ஈ- வெகுஜன மையத்திலிருந்து தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட சுழற்சி அச்சுக்கு தூரம். மந்தநிலையின் கணத்தின் அலகு - கிலோகிராம் மீட்டர் சதுரம் (கிலோ . மீ 2).

இவ்வாறு, ஒரே மாதிரியான நீளமுள்ள கம்பியின் நிலைமத்தின் தருணம் எல்ஸ்டெய்னரின் தேற்றத்தின்படி அதன் முடிவின் வழியாகச் செல்லும் அச்சுக்கு சமம்

விண்ணப்பம். மந்தநிலையின் தருணம் மற்றும் அதன் கணக்கீடு.

திடமான உடல் Z அச்சில் சுழலட்டும் (படம் 6). காலப்போக்கில் மாறாத வெவ்வேறு பொருள் புள்ளிகளின் அமைப்பாக இது குறிப்பிடப்படலாம், அவை ஒவ்வொன்றும் ஒரு ஆரம் கொண்ட வட்டத்தில் நகரும். ஆர் ஐ, Z அச்சுக்கு செங்குத்தாக ஒரு விமானத்தில் பொய். கோண வேகங்கள்அனைத்து பொருள் புள்ளிகளும் ஒரே மாதிரியானவை. Z அச்சுடன் தொடர்புடைய உடலின் நிலைமத்தின் தருணம் அளவு:

எங்கே - OZ அச்சுடன் தொடர்புடைய ஒரு தனிப்பட்ட பொருள் புள்ளியின் நிலைமத்தின் தருணம். மந்தநிலையின் தருணம் என்ற வரையறையிலிருந்து இது பின்வருமாறு சேர்க்கை அளவு, அதாவது தனித்தனி பாகங்களைக் கொண்ட உடலின் நிலைமத் தருணம், பாகங்களின் நிலைமத் தருணங்களின் கூட்டுத்தொகைக்குச் சமம்.

படம் 6

வெளிப்படையாக, [ ஐ] = கிலோ×மீ 2. மந்தநிலையின் தருணத்தின் கருத்தின் முக்கியத்துவம் மூன்று சூத்திரங்களில் வெளிப்படுத்தப்படுகிறது:

; ; .

அவற்றில் முதலாவது ஒரு நிலையான அச்சில் Z சுற்றி சுழலும் உடலின் கோண உந்தத்தை வெளிப்படுத்துகிறது (இந்த சூத்திரத்தை உடலின் வேகத்திற்கான வெளிப்பாட்டுடன் ஒப்பிடுவது பயனுள்ளதாக இருக்கும். பி = எம்வி சி, எங்கே வி சி- வெகுஜன மையத்தின் வேகம்). இரண்டாவது சூத்திரம் ஒரு நிலையான அச்சைச் சுற்றி ஒரு உடலின் சுழற்சி இயக்கத்தின் இயக்கவியலுக்கான அடிப்படை சமன்பாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது, அதாவது, வேறுவிதமாகக் கூறினால், சுழற்சி இயக்கத்திற்கான நியூட்டனின் இரண்டாவது விதி (நிறை மையத்தின் இயக்க விதியுடன் ஒப்பிடுக: ) மூன்றாவது சூத்திரம் ஒரு நிலையான அச்சில் சுழலும் உடலின் இயக்க ஆற்றலை வெளிப்படுத்துகிறது (ஒரு துகள் இயக்க ஆற்றலுக்கான வெளிப்பாட்டுடன் ஒப்பிடுக ) சூத்திரங்களின் ஒப்பீடு, சுழலும் இயக்கத்தில் மந்தநிலையின் தருணம் வெகுஜனத்தைப் போன்ற ஒரு பாத்திரத்தை வகிக்கிறது என்று முடிவு செய்ய அனுமதிக்கிறது, அதாவது ஒரு உடலின் அதிக மந்தநிலையின் தருணம், குறைந்த கோண முடுக்கம் பெறும், மற்ற அனைத்தும் சமமாக இருக்கும் ( உடல், அடையாளப்பூர்வமாகச் சொன்னால், சுழற்றுவது மிகவும் கடினம்). உண்மையில், மந்தநிலையின் தருணங்களின் கணக்கீடு மும்மடங்கு ஒருங்கிணைப்பைக் கணக்கிடுகிறது மற்றும் ஒரு குறிப்பிட்ட எண்ணிக்கையில் மட்டுமே செய்ய முடியும். சமச்சீர் உடல்கள்மற்றும் சமச்சீர் அச்சுகளுக்கு மட்டுமே. ஒரு உடல் சுழலக்கூடிய அச்சுகளின் எண்ணிக்கை எண்ணற்ற பெரியது. அனைத்து அச்சுகளிலும், உடலின் ஒரு குறிப்பிடத்தக்க புள்ளியைக் கடந்து செல்வது தனித்து நிற்கிறது - வெகுஜன மையம் (ஒரு புள்ளி, அதன் இயக்கத்தை விவரிக்க, அமைப்பின் முழு வெகுஜனமும் வெகுஜன மையத்தில் குவிந்துள்ளது மற்றும் அனைத்து சக்திகளின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமமான விசை இந்த புள்ளியில் பயன்படுத்தப்படுகிறது என்று கற்பனை செய்வது போதுமானது). ஆனால் வெகுஜன மையத்தின் வழியாக எண்ணற்ற அச்சுகள் கடந்து செல்கின்றன. தன்னிச்சையான வடிவத்தின் எந்தவொரு திடமான உடலுக்கும் மூன்று பரஸ்பர செங்குத்து அச்சுகள் உள்ளன என்று மாறிவிடும். C x, C y, C z, அழைக்கப்பட்டது இலவச சுழற்சியின் அச்சுகள் , இது ஒரு குறிப்பிடத்தக்க சொத்து: இந்த அச்சுகளில் ஏதேனும் ஒன்றைச் சுற்றி ஒரு உடலை முறுக்கி மேலே எறிந்தால், உடலின் அடுத்தடுத்த இயக்கத்தின் போது அச்சு தனக்கு இணையாக இருக்கும், அதாவது. தடுமாறாது. வேறு எந்த அச்சையும் சுற்றி முறுக்குவது இந்த பண்பு இல்லை. சுட்டிக்காட்டப்பட்ட அச்சுகளைப் பற்றிய பொதுவான உடல்களின் நிலைமத்தின் தருணங்களின் மதிப்புகள் கீழே கொடுக்கப்பட்டுள்ளன. அச்சு வெகுஜன மையத்தின் வழியாக சென்றால், ஆனால் அச்சுகளுடன் a, b, g கோணங்களை உருவாக்குகிறது C x, C y, C zஅதன்படி, அத்தகைய அச்சைப் பற்றிய மந்தநிலையின் தருணம் சமம்

I c = I cx cos 2 a + I cy cos 2 b + I cz cos 2 g (*)

எளிமையான உடல்களுக்கான மந்தநிலையின் தருணத்தின் கணக்கீட்டை சுருக்கமாகக் கருதுவோம்.

1.தடியின் வெகுஜன மையத்தின் வழியாக மற்றும் அதற்கு செங்குத்தாக செல்லும் ஒரு அச்சில் ஒரு நீண்ட மெல்லிய ஒரே மாதிரியான கம்பியின் செயலற்ற தருணம்.

விடுங்கள் டி -தடி நிறை, l –அதன் நீளம்.

,

குறியீட்டு " உடன்» செயலற்ற தருணத்தில் ஐசிஇது நிறை மையத்தின் புள்ளியின் (உடலின் சமச்சீர் மையம்) வழியாகச் செல்லும் அச்சைப் பற்றிய மந்தநிலையின் தருணம் என்று பொருள். சி(0,0,0).

2. ஒரு மெல்லிய செவ்வக தட்டின் நிலைமத்தின் தருணம்.

; ;

3. ஒரு செவ்வக இணைபிரிப்பின் மந்தநிலையின் தருணம்.

, சி(0,0,0)

4. ஒரு மெல்லிய வளையத்தின் மந்தநிலையின் தருணம்.

;

, சி(0,0,0)

5. ஒரு மெல்லிய வட்டின் மந்தநிலையின் தருணம்.

சமச்சீர் காரணமாக

; ;

6. ஒரு திட உருளையின் மந்தநிலையின் தருணம்.

;

சமச்சீர் காரணமாக:

7. ஒரு திடமான கோளத்தின் மந்தநிலையின் தருணம்.

, சி(0,0,0)

8. ஒரு திடமான கூம்பின் மந்தநிலையின் தருணம்.

, t. சி(0,0,0)

எங்கே ஆர்- அடித்தளத்தின் ஆரம், ம- கூம்பின் உயரம்.

cos 2 a + cos 2 b + cos 2 g = 1 என்பதை நினைவில் கொள்க. இறுதியாக, O அச்சு வெகுஜன மையத்தின் வழியாக செல்லவில்லை என்றால், உடலின் மந்தநிலையின் தருணத்தை Huygens Steiner தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடலாம்.

I o = I s + md 2, (**)

எங்கே ஐ ஓ- தன்னிச்சையான அச்சுடன் தொடர்புடைய உடலின் மந்தநிலையின் தருணம், நான் எஸ்- மந்தநிலையின் தருணம் அதற்கு இணையான அச்சில், வெகுஜன மையத்தின் வழியாக செல்கிறது,
மீ- உடல் எடை, ஈ- அச்சுகளுக்கு இடையிலான தூரம்.

ஒரு தன்னிச்சையான அச்சுடன் தொடர்புடைய நிலையான வடிவத்தின் உடல்களுக்கான மந்தநிலையின் தருணங்களைக் கணக்கிடுவதற்கான செயல்முறை பின்வருமாறு குறைக்கப்படுகிறது.

மந்தநிலையின் தருணம்
  மந்தநிலையின் தருணத்தைக் கணக்கிட, உடலை போதுமான சிறிய கூறுகளாக மனரீதியாகப் பிரிக்க வேண்டும், அதன் புள்ளிகள் சுழற்சியின் அச்சிலிருந்து ஒரே தூரத்தில் இருப்பதாகக் கருதலாம், பின்னர் ஒவ்வொரு தனிமத்தின் வெகுஜனத்தையும் சதுரத்தால் கண்டுபிடிக்கவும். அச்சில் இருந்து அதன் தூரம் மற்றும் இறுதியாக, விளைந்த அனைத்து தயாரிப்புகளையும் கூட்டவும். வெளிப்படையாக, இது மிகவும் நேரத்தை எடுத்துக்கொள்ளும் பணி. எண்ணுவதற்கு
உடல்களின் மந்தநிலையின் தருணங்கள் சரியானவை வடிவியல் வடிவம்சில சந்தர்ப்பங்களில், நீங்கள் ஒருங்கிணைந்த கால்குலஸ் முறைகளைப் பயன்படுத்தலாம்.
  எண்ணற்ற சிறிய தனிமங்களுக்காக கணக்கிடப்பட்ட எண்ணற்ற எண்ணிக்கையிலான மந்தநிலையின் தருணங்களைத் தொகுத்து, உடல் உறுப்புகளின் நிலைமத் தருணங்களின் வரையறுக்கப்பட்ட தொகையின் தீர்மானத்தை மாற்றுவோம்:
லிம் ஐ = 1 ∞ ΣΔm i r i 2 = ∫r 2 dm. (அதில் Δm → 0).
  ஒரே மாதிரியான வட்டு அல்லது உயரம் கொண்ட திட உருளையின் மந்தநிலையின் தருணத்தைக் கணக்கிடுவோம். மஅதன் சமச்சீர் அச்சுடன் தொடர்புடையது

வட்டை அதன் சமச்சீர் அச்சில் மையங்களுடன் மெல்லிய செறிவு வளையங்கள் வடிவில் உறுப்புகளாகப் பிரிப்போம். இதன் விளைவாக வளையங்கள் உள் விட்டம் கொண்டவை ஆர்மற்றும் வெளிப்புற ஆர்+டாக்டர், மற்றும் உயரம் ம. ஏனெனில் டாக்டர்<< r , பின்னர் அச்சில் இருந்து வளையத்தின் அனைத்து புள்ளிகளின் தூரமும் சமமாக இருக்கும் என்று நாம் கருதலாம் ஆர்.
  ஒவ்வொரு தனிப்பட்ட வளையத்திற்கும், மந்தநிலையின் தருணம்
i = ΣΔmr 2 = r 2 ΣΔm,
எங்கே ΣΔm- முழு வளையத்தின் நிறை.
மோதிர அளவு 2πrhdr. வட்டு பொருள் அடர்த்தி என்றால் ρ , பின்னர் வளையத்தின் நிறை
ρ2πrhdr.
மோதிரத்தின் மந்தநிலையின் தருணம்
i = 2πρhr 3 dr.
  முழு வட்டின் மந்தநிலையின் தருணத்தைக் கணக்கிட, வட்டின் மையத்திலிருந்து வளையங்களின் நிலைமத்தின் தருணங்களைச் சுருக்கமாகக் கூறுவது அவசியம் ( ஆர் = 0) அதன் விளிம்பிற்கு ( ஆர் = ஆர்), அதாவது ஒருங்கிணைப்பைக் கணக்கிடுங்கள்:
I = 2πρh 0 R ∫r 3 dr,
அல்லது
I = (1/2)πρhR 4.
ஆனால் வட்டின் நிறை மீ = ρπhR 2, எனவே,
I = (1/2)mR 2.
  ஒரே மாதிரியான பொருட்களால் செய்யப்பட்ட வழக்கமான வடிவியல் வடிவத்தின் சில உடல்களுக்கான நிலைமத்தின் தருணங்களை (கணக்கீடு இல்லாமல்) முன்வைப்போம்.


 1. அதன் விமானத்திற்கு செங்குத்தாக அதன் மையத்தின் வழியாக செல்லும் அச்சுடன் தொடர்புடைய மெல்லிய வளையத்தின் நிலைத்தன்மையின் தருணம் (அல்லது அதன் சமச்சீர் அச்சுடன் தொடர்புடைய மெல்லிய சுவர் வெற்று உருளை):
I = mR 2.
 2. சமச்சீர் அச்சுடன் தொடர்புடைய தடிமனான சுவர் உருளையின் மந்தநிலையின் தருணம்:
I = (1/2)m(R 1 2 - R 2 2)
எங்கே ஆர் 1- உள் மற்றும் ஆர் 2- வெளிப்புற ஆரங்கள்.
 3. ஒரு அச்சுடன் தொடர்புடைய வட்டின் நிலைமத்தின் தருணம் அதன் விட்டம் ஒன்றோடு ஒத்துப்போகிறது:
I = (1/4)mR 2.
 4. ஜெனரேட்ரிக்ஸுக்கு செங்குத்தாக ஒரு அச்சுடன் தொடர்புடைய திட உருளையின் மந்தநிலையின் தருணம் மற்றும் அதன் நடுப்பகுதி வழியாக செல்கிறது:
I = m(R 2/4 + h 2/12)
எங்கே ஆர்- சிலிண்டர் தளத்தின் ஆரம், ம- சிலிண்டரின் உயரம்.
 5. அதன் நடுப்பகுதி வழியாக செல்லும் அச்சுடன் தொடர்புடைய மெல்லிய கம்பியின் செயலற்ற தருணம்:
நான் = (1/12)மிலி 2,
எங்கே எல்- தடியின் நீளம்.
 6. அதன் முனைகளில் ஒன்றின் வழியாக செல்லும் அச்சுடன் தொடர்புடைய மெல்லிய தடியின் நிலைமத்தின் தருணம்:
நான் = (1/3)மிலி 2
  7. ஒரு அச்சுடன் தொடர்புடைய பந்தின் நிலைமத்தின் தருணம் அதன் விட்டம் ஒன்றோடு ஒத்துப்போகிறது:
I = (2/5)mR 2.

ஒரு உடலின் மந்தநிலையின் தருணம் அதன் வெகுஜன மையத்தின் வழியாக செல்லும் ஒரு அச்சைப் பற்றி அறியப்பட்டால், ஹ்யூஜென்ஸ்-ஸ்டெய்னர் தேற்றம் என்று அழைக்கப்படுபவற்றின் அடிப்படையில் வேறு எந்த அச்சுக்கு இணையாக இருக்கும் மந்தநிலையின் தருணத்தைக் காணலாம்.
  உடலின் மந்தநிலையின் தருணம் ஐஎந்த அச்சுடனும் தொடர்புடையது உடலின் மந்தநிலையின் தருணத்திற்கு சமம் நான் எஸ்கொடுக்கப்பட்ட அச்சுக்கு இணையான அச்சுடன் தொடர்புடையது மற்றும் உடலின் வெகுஜனத்தின் மையத்தின் வழியாக செல்கிறது, மேலும் உடலின் நிறை மீ, தூரத்தின் சதுரத்தால் பெருக்கப்படுகிறது எல்அச்சுகளுக்கு இடையில்:
I = I c + ml 2.
  உதாரணமாக, ஆரம் கொண்ட ஒரு பந்தின் மந்தநிலையின் தருணத்தைக் கணக்கிடுவோம் ஆர்மற்றும் நிறை மீ, இடைநீக்கப் புள்ளி வழியாகச் செல்லும் அச்சுடன் தொடர்புடைய நீளம் l என்ற நூலில் இடைநிறுத்தப்பட்டது பற்றி. பந்தின் வெகுஜனத்துடன் ஒப்பிடும்போது நூலின் நிறை சிறியது. வெகுஜன மையத்தின் வழியாக செல்லும் அச்சுடன் தொடர்புடைய பந்தின் நிலைமத்தின் தருணத்திலிருந்து Ic = (2/5)mR 2, மற்றும் தூரம்
அச்சுகளுக்கு இடையில் ( எல் + ஆர்), பின்னர் இடைநீக்கப் புள்ளி வழியாகச் செல்லும் அச்சைப் பற்றிய மந்தநிலையின் தருணம்:
I = (2/5)mR 2 + m(l + R) 2.
நிலைமத் தருணத்தின் பரிமாணம்:
[I] = [m] × = ML 2.