அசல் சமன்பாட்டை சமமான ஒன்றால் மாற்றுவோம் மற்றும் விதியின் படி மறு செய்கைகளை உருவாக்குவோம் 
. எனவே, எளிய மறு செய்கை முறையானது ஒரு-படி மறுசெயல்முறை ஆகும். இந்த செயல்முறையைத் தொடங்க, நீங்கள் ஆரம்ப தோராயத்தை அறிந்து கொள்ள வேண்டும். முறையின் ஒருங்கிணைப்பு மற்றும் ஆரம்ப தோராயத்தின் தேர்வுக்கான நிபந்தனைகளைக் கண்டுபிடிப்போம்.
டிக்கெட் #29
சீடல் முறை
சீடெல் முறை (சில நேரங்களில் காஸ்-சீடல் முறை என அழைக்கப்படுகிறது) என்பது எளிமையான மறு செய்கை முறையின் மாற்றமாகும், இது அடுத்த தோராயமான x (k+1) ஐக் கணக்கிடும் போது (சூத்திரங்களைப் பார்க்கவும் (1.13), (1.14)) அதன் ஏற்கனவே பெறப்பட்ட கூறுகள் x 1 (k+1) , ...,x i - 1 (k+1) x i (k+1) ஐக் கணக்கிட உடனடியாகப் பயன்படுத்தப்படுகின்றன.
ஒருங்கிணைப்பு குறியீட்டு வடிவத்தில், சீடல் முறை வடிவம் கொண்டது:
X 1 (k+1) = c 11 x 1 (k) + c 12 x 2 (k) + ... + c 1n-1 x n-1 (k) + c 1n x n (k) + d 1
x 2 (k+1) = c 21 x 1 (k+1) + c 22 x 2 (k) + ... + c 2n-1 x n-1 (k) + c 2n x n (k) + d 2
...
x n (k+1) = c n1 x 1 (k+1) + c n2 x 2 (k+1) + ... + c nn-1 x n-1 (k+1) + c nn x n (k ) + டிஎன்
x (0) என்பது தீர்வுக்கான சில ஆரம்ப தோராயமாகும்.
எனவே, (k+1)-th தோராயத்தின் i-வது கூறு சூத்திரத்தால் கணக்கிடப்படுகிறது.
| x i (k+1) = ∑ j=1 i-1 c ij x j (k+1) + ∑ n j=i c ij x j (k) + d i , i = 1, ..., n | (1.20) |
துல்லியம் ε ஒரு எளிமைப்படுத்தப்பட்ட வடிவத்தில் அடையப்படும்போது, சீடெல் மறுசெயல் செயல்முறையின் முடிவின் நிபந்தனை வடிவம் கொண்டது:
|| x (k+1) - x (k) || ≤ ε.
டிக்கெட் #30
கடந்து செல்லும் முறை
முக்கோண மேட்ரிக்ஸுடன் A x = b அமைப்புகளைத் தீர்க்க, ஸ்வீப் முறை பெரும்பாலும் பயன்படுத்தப்படுகிறது, இது இந்த வழக்கில் காஸ் முறையின் தழுவலாகும்.
சமன்பாடுகளின் அமைப்பை எழுதுவோம்
d 1 x 1 + e 1 x 2 = b 1
c 2 x 1 + d 2 x 2 + e 2 x 3 = b 2
c 3 x 2 + d 3 x 3 + e 3 x 4 = b 3
... ... ...
c n-1 x n-2 + d n-1 x n-1 + e n-1 x n = b n-1
c n x n-1 + d n x n = b n
அணி வடிவத்தில்: A x = b எங்கே
A= 
ஸ்வீப் முறையின் சூத்திரங்களை அவற்றின் பயன்பாட்டின் வரிசையில் எழுதுவோம்.
1. ஸ்வீப் முறையின் நேரடி பக்கவாதம் (துணை அளவுகளின் கணக்கீடு):
| a 2 = -e 1 / d 1 b 2 = b 1 / d 1 a i+1 = -e i /, i=2, ..., n-1 b i+1 = [-c i b i + b i] /, i=2, ..., n-1 | (1.9) |
2. தலைகீழ் பக்கவாதம்துடைப்பு முறை (தீர்வு கண்டறிதல்):
| x n = [-c n b n + b n] / x i = a i+1 x i+1 + b i+1 , i = n-1, ..., 1 |
டிக்கெட் எண். 31
எளிய மறு செய்கை முறை
முறையின் சாராம்சம் எளிய மறு செய்கைகள்சமன்பாட்டிலிருந்து நகர்வதைக் கொண்டுள்ளது
f(x)= 0 (*)
சமமான சமன்பாட்டிற்கு
எக்ஸ்=φ(x). (**)
இந்த மாற்றம் செய்யப்படலாம் வெவ்வேறு வழிகளில், வகையைப் பொறுத்து f(x). உதாரணமாக, நீங்கள் வைக்கலாம்
φ(x) = எக்ஸ்+bf(x),(***)
எங்கே பி= கான்ஸ்ட், மற்றும் வேர்கள் அசல் சமன்பாடுமாறாது.
வேரின் ஆரம்ப தோராயம் தெரிந்தால் x 0, பின்னர் புதிய தோராயம்
x 1=φx(0),
அந்த. செயல்பாட்டின் பொதுவான திட்டம்:
x k+1=φ(x k).(****)
செயல்முறையை முடிப்பதற்கான எளிய அளவுகோல்
|x k +1 -x k |<ε.
ஒருங்கிணைப்பு அளவுகோல்எளிய மறு செய்கை முறை:
வேருக்கு அருகில் இருந்தால் | φ/(x)| < 1, то итерации сходятся. Если указанное условие справедливо для любого எக்ஸ், எந்த ஆரம்ப தோராயத்திற்கும் மறு செய்கைகள் ஒன்றிணைகின்றன.
நிலையான தேர்வை ஆராய்வோம் பிஅதிகபட்ச ஒருங்கிணைப்பு வேகத்தை உறுதி செய்யும் பார்வையில் இருந்து. ஒருங்கிணைப்பு அளவுகோலுக்கு இணங்க, ஒருங்கிணைக்கும் அதிகபட்ச வேகம் எப்போது வழங்கப்படுகிறது |φ / (x)| = 0. அதே நேரத்தில், (***) அடிப்படையில், b = –1/f / (x),மற்றும் மறு செய்கை சூத்திரம் (****) செல்கிறது x i =x i-1 -f(x i-1)/f/ (x i-1).-அந்த. நியூட்டனின் முறையின் சூத்திரத்தில். எனவே, நியூட்டனின் முறையானது எளிமையான மறு செய்கை முறையின் ஒரு சிறப்பு நிகழ்வாகும், இது ஒரு செயல்பாட்டைத் தேர்ந்தெடுப்பதற்கான சாத்தியமான அனைத்து விருப்பங்களையும் ஒன்றிணைக்கும் அதிகபட்ச வேகத்தை வழங்குகிறது. φ(x).
டிக்கெட் #32
நியூட்டனின் முறை
முறையின் முக்கிய யோசனை பின்வருமாறு: ஒரு ஆரம்ப தோராயமானது அனுமான மூலத்திற்கு அருகில் குறிப்பிடப்பட்டுள்ளது, அதன் பிறகு ஆய்வின் கீழ் உள்ள செயல்பாட்டிற்கான ஒரு தொடுகோடு தோராயமான புள்ளியில் கட்டமைக்கப்படுகிறது, இதற்காக அப்சிஸ்ஸா அச்சுடன் குறுக்குவெட்டு காணப்படுகிறது. இந்த புள்ளி அடுத்த தோராயமாக எடுத்துக் கொள்ளப்படுகிறது. மேலும் தேவையான துல்லியம் அடையும் வரை.
ஒரு இடைவெளியில் வரையறுக்கப்பட்டு அதன் மீது வேறுபடுத்தக்கூடிய உண்மையான மதிப்புடைய செயல்பாடாக இருக்கட்டும். பின்னர் மீண்டும் மீண்டும் தோராயமான கால்குலஸின் சூத்திரம் பின்வருமாறு பெறப்படலாம்:
இதில் α என்பது புள்ளியில் உள்ள தொடுகோடு சாய்வின் கோணம்.
எனவே, தேவையான வெளிப்பாடு வடிவம் உள்ளது:
டிக்கெட் #33
தங்க விகித முறை
ஒவ்வொரு மறு செய்கையிலும் ஒரே ஒரு செயல்பாட்டு மதிப்பைக் கணக்கிடுவதன் மூலம் இடைவெளிகளை அகற்ற கோல்டன் ரேஷியோ முறை உங்களை அனுமதிக்கிறது. கருதப்படும் இரண்டு செயல்பாட்டு மதிப்புகளின் விளைவாக, எதிர்காலத்தில் பயன்படுத்தப்பட வேண்டிய இடைவெளி தீர்மானிக்கப்படுகிறது. இந்த இடைவெளியானது முந்தைய புள்ளிகளில் ஒன்றையும் அடுத்த புள்ளியில் சமச்சீராக வைக்கப்படும். புள்ளி இடைவெளியை இரண்டு பகுதிகளாகப் பிரிக்கிறது, இதனால் பெரிய பகுதியின் முழு விகிதம் பெரிய பகுதியின் சிறிய விகிதத்திற்கு சமமாக இருக்கும், அதாவது "தங்க விகிதம்" என்று அழைக்கப்படுவதற்கு சமம்.
இடைவெளியை சமமற்ற பகுதிகளாகப் பிரிப்பது இன்னும் பயனுள்ள முறையைக் கண்டறிய உங்களை அனுமதிக்கிறது. பிரிவின் முனைகளில் செயல்பாட்டைக் கணக்கிடுவோம் [ அ,பி] மற்றும் வைத்து அ=எக்ஸ் 1 , பி=எக்ஸ் 2. இரண்டு உள் புள்ளிகளில் செயல்பாட்டையும் கணக்கிடுவோம் எக்ஸ் 3 , எக்ஸ் 4 . செயல்பாட்டின் நான்கு மதிப்புகளையும் ஒப்பிட்டு அவற்றில் சிறியதைத் தேர்வு செய்வோம். எடுத்துக்காட்டாக, மிகச் சிறியதாக இருக்கட்டும் f(x 3) வெளிப்படையாக, குறைந்தபட்சம் அதை ஒட்டிய பிரிவுகளில் ஒன்றில் இருக்க வேண்டும். எனவே பிரிவு [ எக்ஸ் 4 ,பி] நிராகரிக்கப்படலாம் மற்றும் பிரிவை விட்டு வெளியேறலாம். 
முதல் படி எடுக்கப்பட்டுள்ளது. பிரிவில், நீங்கள் மீண்டும் இரண்டு உள் புள்ளிகளைத் தேர்ந்தெடுக்க வேண்டும், அவை மற்றும் முனைகளில் உள்ள செயல்பாட்டு மதிப்புகளைக் கணக்கிட்டு அடுத்த படியை எடுக்கவும். ஆனால் கணக்கீடுகளின் முந்தைய கட்டத்தில், புதிய பிரிவின் முனைகளிலும் அதன் உள் புள்ளிகளில் ஒன்றில் செயல்பாட்டை ஏற்கனவே கண்டறிந்துள்ளோம். எக்ஸ் 4 . எனவே, உள்ளே மேலும் ஒரு புள்ளியைத் தேர்ந்தெடுத்தால் போதும் x 5அதிலுள்ள செயல்பாட்டின் மதிப்பைத் தீர்மானித்து தேவையான ஒப்பீடுகளைச் செய்யுங்கள். இது ஒரு செயல்முறை படிக்கு தேவையான கணக்கீட்டின் அளவை நான்கு மடங்காக அதிகரிக்கிறது. புள்ளிகளை வைக்க சிறந்த வழி எது? ஒவ்வொரு முறையும் மீதமுள்ள பிரிவு மூன்று பகுதிகளாகப் பிரிக்கப்பட்டு, வெளிப்புறப் பிரிவுகளில் ஒன்று நிராகரிக்கப்படுகிறது.
ஆரம்ப நிச்சயமற்ற இடைவெளியைக் குறிப்போம் டி.
பொது வழக்கில் எந்த பிரிவுகளையும் நிராகரிக்கலாம் X 1, X 3அல்லது X 4, X 2பின்னர் புள்ளிகளைத் தேர்ந்தெடுக்கவும் X 3மற்றும் X 4அதனால் இந்த பிரிவுகளின் நீளம் ஒரே மாதிரியாக இருக்கும்:
x 3 -x 1 =x 4 -x 2.
நிராகரித்த பிறகு, ஒரு புதிய நீள நிச்சயமற்ற இடைவெளியைப் பெறுகிறோம் D′.
உறவைக் குறிப்போம் டி/D′φ என்ற எழுத்துடன்:
அதாவது, அடுத்த நிச்சயமற்ற இடைவெளி எங்கே என்பதை அமைப்போம். ஆனாலும்
முந்தைய கட்டத்தில் நிராகரிக்கப்பட்ட பகுதிக்கு சமமான நீளம், அதாவது
எனவே நாம் பெறுகிறோம்:
.
இது சமன்பாட்டிற்கு வழிவகுக்கிறது அல்லது அதற்கு சமமானதாகும் 
.
இந்த சமன்பாட்டின் நேர்மறை வேர் கொடுக்கிறது
.
டிக்கெட் #34
செயல்பாடுகளின் இடைக்கணிப்பு, அதாவது. கொடுக்கப்பட்ட செயல்பாட்டைப் பயன்படுத்தி, மற்றொரு (பொதுவாக எளிமையான) செயல்பாட்டை உருவாக்குதல், அதன் மதிப்புகள் குறிப்பிட்ட எண்ணிக்கையிலான புள்ளிகளில் கொடுக்கப்பட்ட செயல்பாட்டின் மதிப்புகளுடன் ஒத்துப்போகின்றன. மேலும், இடைக்கணிப்பு நடைமுறை மற்றும் தத்துவார்த்த முக்கியத்துவம் இரண்டையும் கொண்டுள்ளது.
எளிமையான மறு செய்கை முறை, அடுத்தடுத்த தோராய முறை என்றும் அழைக்கப்படுகிறது, இது ஒரு அறியப்படாத அளவின் மதிப்பை படிப்படியாக செம்மைப்படுத்துவதன் மூலம் கண்டுபிடிப்பதற்கான ஒரு கணித வழிமுறையாகும். இந்த முறையின் சாராம்சம் என்னவென்றால், பெயர் குறிப்பிடுவது போல, ஆரம்ப தோராயத்திலிருந்து படிப்படியாக அடுத்தடுத்தவற்றை வெளிப்படுத்துவதன் மூலம், மேலும் மேலும் சுத்திகரிக்கப்பட்ட முடிவுகள் பெறப்படுகின்றன. கொடுக்கப்பட்ட செயல்பாட்டில் ஒரு மாறியின் மதிப்பைக் கண்டறிய இந்த முறை பயன்படுத்தப்படுகிறது, அதே போல் நேரியல் மற்றும் நேரியல் அல்லாத சமன்பாடுகளின் அமைப்புகளைத் தீர்க்கும் போது.
SLAE களை தீர்க்கும் போது இந்த முறை எவ்வாறு செயல்படுத்தப்படுகிறது என்பதைக் கருத்தில் கொள்வோம். எளிய மறு செய்கை முறை பின்வரும் வழிமுறையைக் கொண்டுள்ளது:
1. ஒரிஜினல் மேட்ரிக்ஸில் ஒன்றிணைந்த நிலையின் பூர்த்தியைச் சரிபார்க்கிறது. ஒருங்கிணைப்பு தேற்றம்: கணினியின் அசல் அணி மூலைவிட்ட மேலாதிக்கத்தைக் கொண்டிருந்தால் (அதாவது, ஒவ்வொரு வரிசையிலும், பிரதான மூலைவிட்டத்தின் கூறுகள் முழுமையான மதிப்பில் உள்ள இரண்டாம் மூலைவிட்டங்களின் தனிமங்களின் கூட்டுத்தொகையை விட முழுமையான மதிப்பில் அதிகமாக இருக்க வேண்டும்), பின்னர் எளிமையானது மறு செய்கை முறை ஒருமுகமானது.
2. அசல் அமைப்பின் மேட்ரிக்ஸ் எப்போதும் மூலைவிட்ட மேலாதிக்கத்தைக் கொண்டிருக்காது. இதுபோன்ற சந்தர்ப்பங்களில், கணினியை மாற்றலாம். ஒருங்கிணைப்பு நிலையை திருப்திப்படுத்தும் சமன்பாடுகள் தீண்டப்படாமல் விடப்படுகின்றன, மேலும் நேரியல் சேர்க்கைகள் இல்லாதவற்றுடன் செய்யப்படுகின்றன, அதாவது. விரும்பிய முடிவு கிடைக்கும் வரை, பெருக்கவும், கழிக்கவும், சமன்பாடுகளைச் சேர்க்கவும்.
இதன் விளைவாக வரும் அமைப்பில் முக்கிய மூலைவிட்டத்தில் சிரமமான குணகங்கள் இருந்தால், i * x i உடன் படிவத்தின் விதிமுறைகள் அத்தகைய சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் சேர்க்கப்படும், இதன் அறிகுறிகள் மூலைவிட்ட உறுப்புகளின் அறிகுறிகளுடன் ஒத்துப்போக வேண்டும்.
3. விளைந்த அமைப்பை சாதாரண வடிவத்திற்கு மாற்றுதல்:
x - =β - +α*x -
இது பல வழிகளில் செய்யப்படலாம், எடுத்துக்காட்டாக, இது போன்றது: முதல் சமன்பாட்டிலிருந்து, மற்ற அறியப்படாதவற்றின் அடிப்படையில் x 1 ஐ வெளிப்படுத்தவும், இரண்டாவது - x 2, மூன்றாவது - x 3, முதலியன. இந்த வழக்கில், நாங்கள் சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்துகிறோம்:
α ij = -(a ij / a ii)
i = b i /a ii
சாதாரண வடிவத்தின் விளைவான அமைப்பு ஒருங்கிணைப்பு நிலையை சந்திக்கிறதா என்பதை நீங்கள் மீண்டும் உறுதிசெய்ய வேண்டும்:
∑ (j=1) |α ij |≤ 1, i= 1,2,...n
4. உண்மையில், அடுத்தடுத்த தோராயங்களின் முறையைப் பயன்படுத்தத் தொடங்குகிறோம்.
x (0) என்பது ஆரம்ப தோராயமாகும், அதன் மூலம் x (1) ஐ வெளிப்படுத்துவோம், பின்னர் x (2) ஐ x (1) மூலம் வெளிப்படுத்துவோம். மேட்ரிக்ஸ் வடிவத்தில் உள்ள பொதுவான சூத்திரம் இதுபோல் தெரிகிறது:
x (n) = β - +α*x (n-1)
தேவையான துல்லியத்தை அடையும் வரை நாங்கள் கணக்கிடுகிறோம்:
அதிகபட்சம் |x i (k)-x i (k+1) ≤ ε
எனவே, எளிய மறு செய்கை முறையை நடைமுறைக்குக் கொண்டு வருவோம். உதாரணமாக:
SLAE ஐ தீர்க்கவும்:
4.5x1-1.7x2+3.5x3=2
3.1x1+2.3x2-1.1x3=1
1.8x1+2.5x2+4.7x3=4 துல்லியத்துடன் ε=10 -3
மாடுலஸில் மூலைவிட்ட உறுப்புகள் ஆதிக்கம் செலுத்துகின்றனவா என்பதைப் பார்ப்போம்.
மூன்றாவது சமன்பாடு மட்டுமே ஒருங்கிணைப்பு நிலையை திருப்திப்படுத்துகிறது என்பதை நாம் காண்கிறோம். முதல் மற்றும் இரண்டாவதாக மாற்றி, முதல் சமன்பாட்டில் இரண்டாவதாக சேர்ப்போம்:
7.6x1+0.6x2+2.4x3=3
மூன்றில் இருந்து நாம் முதல் கழிக்கிறோம்:
2.7x1+4.2x2+1.2x3=2
அசல் அமைப்பை சமமான ஒன்றாக மாற்றினோம்:
7.6x1+0.6x2+2.4x3=3
-2.7x1+4.2x2+1.2x3=2
1.8x1+2.5x2+4.7x3=4
இப்போது கணினியை அதன் இயல்பான வடிவத்திற்கு கொண்டு வருவோம்:
x1=0.3947-0.0789x2-0.3158x3
x2=0.4762+0.6429x1-0.2857x3
x3= 0.8511-0.383x1-0.5319x2
மறுசெயல் செயல்முறையின் ஒருங்கிணைப்பை நாங்கள் சரிபார்க்கிறோம்:
0.0789+0.3158=0,3947 ≤ 1
0.6429+0.2857=0.9286 ≤ 1
0.383+ 0.5319= 0.9149 ≤ 1, அதாவது. நிபந்தனை பூர்த்தி செய்யப்படுகிறது.
0,3947
ஆரம்ப யூகம் x(0) = 0.4762
0,8511
இந்த மதிப்புகளை சாதாரண வடிவ சமன்பாட்டில் மாற்றுவதன் மூலம், பின்வரும் மதிப்புகளைப் பெறுகிறோம்:
0,08835
x(1) = 0.486793
0,446639
புதிய மதிப்புகளை மாற்றுவதன் மூலம், நாங்கள் பெறுகிறோம்:
0,215243
x(2) = 0.405396
0,558336
கொடுக்கப்பட்ட நிபந்தனையை பூர்த்தி செய்யும் மதிப்புகளை அணுகும் வரை கணக்கீடுகளைத் தொடர்கிறோம்.
x (7) = 0.441091
பெறப்பட்ட முடிவுகளின் சரியான தன்மையை சரிபார்க்கவும்:
4,5*0,1880 -1.7*0,441+3.5*0,544=2,0003
3.1*0.1880+2.3*0.441-1.1x*0.544=0.9987
1.8*0,1880+2.5*0,441+4.7*0,544=3,9977
கண்டுபிடிக்கப்பட்ட மதிப்புகளை அசல் சமன்பாடுகளில் மாற்றுவதன் மூலம் பெறப்பட்ட முடிவுகள் சமன்பாட்டின் நிபந்தனைகளை முழுமையாக பூர்த்தி செய்கின்றன.
நாம் பார்க்க முடியும் என, எளிய மறு செய்கை முறை மிகவும் துல்லியமான முடிவுகளை அளிக்கிறது, ஆனால் இந்த சமன்பாட்டை தீர்க்க நாம் நிறைய நேரம் செலவழித்து சிக்கலான கணக்கீடுகளை செய்ய வேண்டியிருந்தது.
தெரியாத n உடன் n இயற்கணித சமன்பாடுகளின் அமைப்பைக் கொடுக்கலாம்:
எளிய மறு செய்கை முறைக்கான அல்காரிதம்:
இங்கே மற்றும் இனிமேல் கீழ் குறியீடு என்பது தெரியாத திசையன்களின் தொடர்புடைய கூறுகளையும், மேல் குறியீட்டு மறுதொடக்கம் (தோராயமான) எண்ணையும் குறிக்கிறது.
பின்னர் ஒரு சுழற்சி கணித செயல்முறை உருவாகிறது, அதன் ஒவ்வொரு சுழற்சியும் ஒரு மறு செய்கையைக் குறிக்கிறது. ஒவ்வொரு மறு செய்கையின் விளைவாக, தெரியாத வெக்டரின் புதிய மதிப்பு பெறப்படுகிறது. மறுசெயல்முறையை ஒழுங்கமைக்க, குறைக்கப்பட்ட வடிவத்தில் கணினி (1) ஐ எழுதுகிறோம். இந்த வழக்கில், முக்கிய மூலைவிட்டத்தில் உள்ள சொற்கள் இயல்பாக்கப்பட்டு சம அடையாளத்தின் இடதுபுறத்தில் இருக்கும், மீதமுள்ளவை வலது பக்கத்திற்கு மாற்றப்படும். சமன்பாடுகளின் குறைக்கப்பட்ட அமைப்புவடிவம் உள்ளது:
அதை கவனி ஒருபோதும் அடைய முடியாது, ஆனால் ஒவ்வொரு அடுத்தடுத்த மறு செய்கையிலும் தெரியாதவர்களின் திசையன் சரியான தீர்வுக்கு நெருக்கமாகிறது.
12. நேரியல் அல்லாத சமன்பாட்டைத் தீர்க்க எளிய மறு செய்கை முறையில் பயன்படுத்தப்படும் அடிப்படை மறு செய்கை சூத்திரம்:
13. நேரியல் அல்லாத சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பதற்கான எளிய மறு செய்கை முறையில் மறு செய்கை செயல்முறையை நிறுத்துவதற்கான அளவுகோல்:
அறியப்படாத திசையன்களின் ஒவ்வொரு i-வது கூறுக்கும் துல்லியத்தை அடைவதற்கான நிபந்தனை பூர்த்தி செய்யப்பட்டால், மறுசெயல்முறை முடிவடைகிறது.
அதை கவனி எளிய மறு செய்கை முறையில் சரியான தீர்வுஎவ்வாறாயினும், ஒருபோதும் அடைய முடியாது, இருப்பினும், ஒவ்வொரு அடுத்தடுத்த மறு செய்கையிலும் தெரியாதவர்களின் திசையன் சரியான தீர்வுக்கு நெருக்கமாகவும் நெருக்கமாகவும் வருகிறது
14. இடைவெளியின் மறுசெயல் பிரிவுக்கான துணைச் செயல்பாட்டை F(x) தேர்ந்தெடுப்பதற்கான அளவுகோல்:
எளிய மறு செய்கை முறையைத் தீர்ப்பதில் கணிதத்தில் ஒரு சோதனை எடுக்கும்போது, ஒருங்கிணைந்த நிலையை முதலில் சரிபார்க்க வேண்டும். ஒருங்கிணைக்கும் முறைக்கு, மேட்ரிக்ஸ் A இல் அனைத்து மூலைவிட்ட உறுப்புகளின் முழுமையான மதிப்புகள் தொடர்புடைய வரிசையில் உள்ள மற்ற அனைத்து உறுப்புகளின் தொகுதிகளின் கூட்டுத்தொகையை விட அதிகமாக இருப்பது அவசியம் மற்றும் போதுமானது:
மீண்டும் மீண்டும் செய்யும் முறைகளின் தீமைஇது மிகவும் கண்டிப்பான ஒருங்கிணைப்பு நிலை, இது அனைத்து சமன்பாடு அமைப்புகளுக்கும் திருப்தி அளிக்காது.
ஒருங்கிணைப்பு நிபந்தனை பூர்த்தி செய்யப்பட்டால், அடுத்த கட்டத்தில் அறியப்படாத திசையன்களின் ஆரம்ப தோராயத்தைக் குறிப்பிடுவது அவசியம், இது பொதுவாக பூஜ்ஜிய திசையன்:
15. காஸ் முறை, நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்புகளைத் தீர்க்கப் பயன்படுகிறது:
இந்த முறை ஒரு அணியை முக்கோண வடிவமாக மாற்றுவதை அடிப்படையாகக் கொண்டது. கணினி சமன்பாடுகளிலிருந்து தெரியாதவற்றை தொடர்ச்சியாக நீக்குவதன் மூலம் இது அடையப்படுகிறது.
எளிய மறு செய்கை முறையானது அசல் சமன்பாட்டை சமமான சமன்பாட்டுடன் மாற்றுவதை அடிப்படையாகக் கொண்டது:
மூலத்திற்கான ஆரம்ப தோராயத்தை அறியட்டும் x = x 0. அதை சமன்பாட்டின் வலது பக்கத்தில் (2.7) மாற்றினால், நாம் ஒரு புதிய தோராயத்தைப் பெறுகிறோம் 
, பின்னர் இதே வழியில் நாம் பெறுகிறோம் 
முதலியன:
. (2.8)
 |
எல்லா நிபந்தனைகளின் கீழும் மறுசெயல் முறை சமன்பாட்டின் மூலத்துடன் ஒன்றிணைவதில்லை எக்ஸ். இந்த செயல்முறையை இன்னும் விரிவாகப் பார்ப்போம். படம் 2.6 ஒரு வழி குவியும் மற்றும் மாறுபட்ட செயல்முறையின் வரைகலை விளக்கத்தைக் காட்டுகிறது. படம் 2.7 இரண்டு வழி குவியும் மற்றும் மாறுபட்ட செயல்முறைகளைக் காட்டுகிறது. ஒரு மாறுபட்ட செயல்முறையானது வாதம் மற்றும் செயல்பாட்டின் மதிப்புகளில் விரைவான அதிகரிப்பு மற்றும் தொடர்புடைய நிரலின் அசாதாரணமான முடிவு ஆகியவற்றால் வகைப்படுத்தப்படுகிறது.
 |
இரு வழி செயல்முறை மூலம், சைக்கிள் ஓட்டுதல் சாத்தியமாகும், அதாவது, அதே செயல்பாடு மற்றும் வாத மதிப்புகளின் முடிவில்லாத மறுபரிசீலனை. லூப்பிங் ஒரு மாறுபட்ட செயல்முறையை ஒன்றிணைந்த ஒன்றிலிருந்து பிரிக்கிறது.
ஒரு பக்க மற்றும் இருபக்க செயல்முறைகளுக்கு, ரூட்டுடன் ஒன்றிணைவது வேருக்கு அருகிலுள்ள வளைவின் சாய்வால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது என்பது வரைபடங்களிலிருந்து தெளிவாகிறது. சிறிய சாய்வு, சிறந்த ஒருங்கிணைப்பு. அறியப்பட்டபடி, ஒரு வளைவின் சாய்வின் தொடுகோடு ஒரு குறிப்பிட்ட புள்ளியில் வளைவின் வழித்தோன்றலுக்கு சமம்.
எனவே, ரூட்டிற்கு அருகில் உள்ள சிறிய எண், செயல்முறை வேகமாக ஒன்றிணைகிறது.
மறு செய்கை செயல்முறை ஒன்றிணைவதற்கு, ரூட்டின் அருகில் பின்வரும் சமத்துவமின்மை பூர்த்தி செய்யப்பட வேண்டும்:
சமன்பாடு (2.1) இலிருந்து சமன்பாடு (2.7) க்கு மாறுவது செயல்பாட்டின் வகையைப் பொறுத்து பல்வேறு வழிகளில் மேற்கொள்ளப்படலாம். f(x)அத்தகைய மாற்றத்தில், ஒருங்கிணைப்பு நிலை (2.9) திருப்தி அடையும் வகையில் செயல்பாட்டை உருவாக்குவது அவசியம்.
சமன்பாடு (2.1) இலிருந்து சமன்பாட்டிற்கு (2.7) மாறுவதற்கான பொதுவான வழிமுறைகளில் ஒன்றைக் கருத்தில் கொள்வோம்.
சமன்பாட்டின் இடது மற்றும் வலது பக்கங்களை (2.1) தன்னிச்சையான மாறிலியால் பெருக்குவோம் பிமற்றும் தெரியாதவற்றை இரு பகுதிகளிலும் சேர்க்கவும் எக்ஸ்.இந்த வழக்கில், அசல் சமன்பாட்டின் வேர்கள் மாறாது:
குறியீட்டை அறிமுகப்படுத்துவோம் 
மற்றும் உறவிலிருந்து (2.10) சமன்பாட்டிற்கு (2.8) செல்லலாம்.
 |
மாறிலியின் தன்னிச்சையான தேர்வு பிஒன்றிணைந்த நிலையை (2.9) நிறைவேற்றுவதை உறுதி செய்யும். மறுசெயல் செயல்முறையை முடிப்பதற்கான அளவுகோல் நிபந்தனையாக இருக்கும் (2.2). விவரிக்கப்பட்ட பிரதிநிதித்துவ முறையைப் பயன்படுத்தி எளிமையான மறு செய்கைகளின் முறையின் வரைகலை விளக்கத்தை படம் 2.8 காட்டுகிறது (எக்ஸ் மற்றும் ஒய் அச்சுகளில் உள்ள அளவுகள் வேறுபட்டவை).
படிவத்தில் ஒரு செயல்பாடு தேர்ந்தெடுக்கப்பட்டால், இந்தச் செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் இருக்கும். ஒருங்கிணைக்கும் அதிகபட்ச வேகம் அப்போது இருக்கும் 
மறு செய்கை சூத்திரம் (2.11) நியூட்டனின் சூத்திரமாக மாறுகிறது. இவ்வாறு, நியூட்டனின் முறையானது அனைத்து மறுசெயல் செயல்முறைகளின் மிக உயர்ந்த அளவிலான ஒருங்கிணைப்பைக் கொண்டுள்ளது.
எளிய மறு செய்கை முறையின் மென்பொருள் செயல்படுத்தல் சப்ரூடின் செயல்முறை வடிவத்தில் செய்யப்படுகிறது இடெராஸ்(நிரல் 2.1).
முழு செயல்முறையும் நடைமுறையில் ஒரு மறுநிகழ்வைக் கொண்டுள்ளது ... சுழற்சி வரை, சூத்திரத்தை (2.11) செயல்படுத்தும் செயல்முறையை நிறுத்துவதற்கான நிபந்தனையை கணக்கில் எடுத்துக்கொள்வது (சூத்திரம் (2.2)).
Niter மாறியைப் பயன்படுத்தி லூப்களின் எண்ணிக்கையைக் கணக்கிடுவதன் மூலம் இந்த செயல்முறை உள்ளமைக்கப்பட்ட லூப் பாதுகாப்பைக் கொண்டுள்ளது. நடைமுறை வகுப்புகளில், குணகத்தின் தேர்வு எவ்வாறு பாதிக்கப்படுகிறது என்பதை நிரலை இயக்குவதன் மூலம் நீங்கள் உறுதி செய்ய வேண்டும் பிமற்றும் ரூட்டைத் தேடும் செயல்பாட்டில் ஆரம்ப தோராயம். குணகத்தை மாற்றும்போது பிஆய்வின் கீழ் செயல்பாட்டிற்கான மறுசெயல்முறையின் தன்மை மாறுகிறது. இது முதலில் இரண்டு பக்கமாக மாறும், பின்னர் சுழல்கள் (படம் 2.9). அச்சு செதில்கள் எக்ஸ்மற்றும் ஒய்வேறுபட்டவை. மாடுலஸ் b இன் இன்னும் பெரிய மதிப்பு வேறுபட்ட செயல்முறைக்கு வழிவகுக்கிறது.
சமன்பாடுகளின் தோராயமான தீர்வுக்கான முறைகளின் ஒப்பீடு
சமன்பாடுகளின் எண்ணியல் தீர்வுக்கு மேலே விவரிக்கப்பட்ட முறைகளின் ஒப்பீடு ஒரு நிரலைப் பயன்படுத்தி மேற்கொள்ளப்பட்டது, இது பிசி திரையில் வரைகலை வடிவத்தில் மூலத்தைக் கண்டறியும் செயல்முறையை நீங்கள் கவனிக்க அனுமதிக்கிறது. இந்த திட்டத்தில் சேர்க்கப்பட்டுள்ள நடைமுறைகள் மற்றும் ஒப்பிடப்பட்ட முறைகளை செயல்படுத்துவது கீழே கொடுக்கப்பட்டுள்ளது (PROGRAM 2.1).
அரிசி. 2.3-2.5, 2.8, 2.9 ஆகியவை மறு செய்கையின் முடிவில் PC திரையின் நகல்களாகும்.
எல்லா சந்தர்ப்பங்களிலும், x 2 -x-6 = 0 என்ற இருபடிச் சமன்பாடு ஆய்வின் கீழ் செயல்பாடாக எடுத்துக் கொள்ளப்பட்டது, ஒரு பகுப்பாய்வு தீர்வு x 1 = -2 மற்றும் x 2 = 3. பிழை மற்றும் ஆரம்ப தோராயங்கள் எல்லா முறைகளுக்கும் சமமாக கருதப்பட்டன. ரூட் தேடல் முடிவுகள் x= 3, புள்ளிவிவரங்களில் வழங்கப்பட்டுள்ளது, பின்வருமாறு. டிகோடமி முறையானது மெதுவான - 22 மறு செய்கைகளை ஒன்றிணைக்கிறது, வேகமானது b = -0.2 - 5 மறு செய்கைகளுடன் கூடிய எளிய மறு செய்கை முறையாகும். நியூட்டனின் முறை வேகமானது என்ற கூற்றுக்கு இங்கு எந்த முரண்பாடும் இல்லை.
புள்ளியில் படிக்கும் செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் எக்ஸ்= 3 என்பது -0.2 க்கு சமம், அதாவது, இந்த வழக்கில் கணக்கீடு நியூட்டனின் முறையால் சமன்பாட்டின் மூல புள்ளியில் உள்ள வழித்தோன்றலின் மதிப்புடன் நடைமுறையில் மேற்கொள்ளப்பட்டது. குணகத்தை மாற்றும்போது பிஒருங்கிணைப்பு விகிதம் குறைகிறது மற்றும் படிப்படியாக ஒன்றிணைக்கும் செயல்முறை முதலில் சுழற்சிகளில் செல்கிறது, பின்னர் வேறுபட்டது.
(2.1) உடன் ஒப்புமை மூலம், அமைப்பு (5.1) பின்வரும் சமமான வடிவத்தில் குறிப்பிடப்படலாம்:
இதில் g(x) என்பது திசையன் வாதத்தின் மறுசெயல் திசையன் செயல்பாடாகும். நேரியல் அல்லாத சமன்பாடுகளின் அமைப்புகள் பெரும்பாலும் வடிவத்தில் (5.2) நேரடியாக எழுகின்றன (எடுத்துக்காட்டாக, வேறுபட்ட சமன்பாடுகளுக்கான எண் திட்டங்களில், சமன்பாடுகளை (5.1) அமைப்பாக (5.2) மாற்றுவதற்கு கூடுதல் முயற்சி தேவையில்லை; ஒரு சமன்பாட்டிற்கான எளிய மறு செய்கை முறையுடன் ஒப்புமையைத் தொடர்ந்தால், சமன்பாட்டின் (5.2) அடிப்படையில் மறு செய்கை செயல்முறையை பின்வருமாறு ஒழுங்கமைக்கலாம்:
- 1) சில ஆரம்ப திசையன் x ((,) e 5 o (x 0, A)(x* e 5„(x 0, என்று கருதப்படுகிறது அ));
- 2) சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி அடுத்தடுத்த தோராயங்கள் கணக்கிடப்படுகின்றன
பின்னர் மறு செய்கை செயல்முறை முடிந்தது மற்றும்
முன்பு போலவே, எந்த சூழ்நிலையில் நாம் கண்டுபிடிக்க வேண்டும்
இந்த சிக்கலை ஒரு எளிய பகுப்பாய்வு மூலம் விவாதிப்போம். முதலில் ith தோராயத்தின் பிழையை e(i) = x(i) - x* என்று அறிமுகப்படுத்துகிறோம்
இந்த வெளிப்பாடுகளை (5.3) ஆக மாற்றி, g(x* + e (/i)) அதிகாரங்களில் விரிவாக்குவோம் e(k>திசையன் வாதத்தின் செயல்பாடாக x* க்கு அருகில் (g(x) செயல்பாட்டின் அனைத்து பகுதி வழித்தோன்றல்களும் தொடர்ச்சியானவை என்று வைத்துக்கொள்வோம்). x* = g(x*) என்பதையும் கணக்கில் எடுத்துக் கொண்டால், நமக்குக் கிடைக்கும்
அல்லது அணி வடிவத்தில்
பி = (பிஎன்எம்)= I (x*)1 - மறு செய்கை அணி.
பிழை விகிதம் என்றால் ||e®|| போதுமான அளவு சிறியது, பின்னர் வெளிப்பாட்டின் வலது பக்கத்தில் உள்ள இரண்டாவது சொல் (5.4) புறக்கணிக்கப்படலாம், பின்னர் அது வெளிப்பாட்டுடன் (2.16) ஒத்துப்போகிறது. இதன் விளைவாக, சரியான தீர்வுக்கு அருகில் மீண்டும் மீண்டும் செயல்முறை (5.3) ஒன்றிணைவதற்கான நிபந்தனை தேற்றம் 3.1 ஆல் விவரிக்கப்பட்டுள்ளது.
எளிய மறு செய்கை முறையின் ஒருங்கிணைப்பு. தேவையான மற்றும் போதுமான நிலைமறுசெயல்முறையின் ஒருங்கிணைப்புக்கு (5.3): 
மற்றும் போதுமான நிபந்தனை:
இந்த நிலைமைகள் கோட்பாட்டு ரீதியானவை அல்ல, நடைமுறை முக்கியத்துவம் வாய்ந்தவை, ஏனெனில் நமக்கு x' தெரியாது. (1.11) உடன் ஒப்பிடுவதன் மூலம், பயனுள்ள ஒரு நிபந்தனையைப் பெறுகிறோம். x* e 5 o (x 0, A)மற்றும் ஜி(x) செயல்பாட்டிற்கான ஜேக்கபியன் மேட்ரிக்ஸ்
அனைத்து x e க்கும் உள்ளது S n (x 0 , a) (C(x*) = B என்பதை நினைவில் கொள்ளவும். மேட்ரிக்ஸின் கூறுகள் C(x) சமத்துவமின்மையை திருப்திப்படுத்தினால்
அனைத்து x e 5„(x 0, ஏ),பின்னர் போதுமான நிபந்தனை (5.5) எந்த மேட்ரிக்ஸ் விதிமுறைக்கும் திருப்தி அளிக்கிறது.
எடுத்துக்காட்டு 5.1 (எளிய மறு செய்கை முறை) கவனியுங்கள் பின்வரும் அமைப்புசமன்பாடுகள்:
இந்த அமைப்பை சமமான வடிவத்தில் (5.2) பிரதிநிதித்துவப்படுத்துவதற்கான ஒரு வாய்ப்பு வெளிப்படுத்துவதாகும் எக்ஸ்முதல் சமன்பாட்டிலிருந்து மற்றும் x 2இரண்டாவது சமன்பாட்டில் இருந்து: 
பின்னர் மறு செய்கை திட்டத்திற்கு வடிவம் உள்ளது
சரியான தீர்வு x* e 5„((2, 2), 1). ஆரம்ப திசையன் x (0) = (2,2) மற்றும் தேர்வு செய்யலாம் ? ப = CT 5. கணக்கீட்டு முடிவுகள் அட்டவணையில் வழங்கப்படுகின்றன. 5.1
அட்டவணை 5.1
|
||X - X (i_1 > | 2 / X (A) 2 |
|||
|
|||
|
|||
|
|||
|
|||
|
|||
|
ஒருங்கிணைப்பு மிகவும் மெதுவாக இருப்பதை இந்த முடிவுகள் காட்டுகின்றன. ஒருங்கிணைப்பின் அளவு பண்பைப் பெறுவதற்கு, x (1/) ஒரு சரியான தீர்வாகக் கருதி, ஒரு எளிய பகுப்பாய்வை மேற்கொள்கிறோம். ஜேக்கபியன் மேட்ரிக்ஸ் C(x) ஆனது நமது செயல்பாட்டிற்கான வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளது
பின்னர் அணி B தோராயமாக மதிப்பிடப்படுகிறது
நிபந்தனை (5.5) அல்லது நிபந்தனை (5.6) திருப்திகரமாக இல்லை என்பதைச் சரிபார்ப்பது எளிது, ஆனால் 5(B) ~ 0.8 என்பதால் ஒன்றிணைதல் நடைபெறுகிறது.
கணக்கீட்டு செயல்முறையை சிறிது மாற்றுவதன் மூலம் எளிமையான மறு செய்கை முறையின் ஒருங்கிணைப்பை விரைவுபடுத்துவது பெரும்பாலும் சாத்தியமாகும். இந்த மாற்றத்தின் யோசனை மிகவும் எளிதானது: கணக்கிட பிவது திசையன் கூறுகள் x (A+1)மட்டும் பயன்படுத்த முடியாது (t = n,..., என்), ஆனால் அடுத்த தோராயமான திசையன் ஏற்கனவே கணக்கிடப்பட்ட கூறுகள் x k^ (/= 1,P - 1) எனவே, மாற்றியமைக்கப்பட்ட எளிய மறு செய்கை முறையை பின்வரும் மறு செய்கை திட்டமாக குறிப்பிடலாம்:
மறுசெயல் செயல்முறை (5.3) மூலம் உருவாக்கப்பட்ட தோராயங்கள் ஒன்றிணைந்தால், தகவல்களின் முழுமையான பயன்பாட்டின் காரணமாக மறுசெயல் செயல்முறை (5.8) வேகமாக ஒன்றிணைகிறது.
எடுத்துக்காட்டு 5.2 (மாற்றியமைக்கப்பட்ட எளிய மறு செய்கை முறை) கணினிக்கான (5.7) மாற்றியமைக்கப்பட்ட எளிய மறு செய்கை இவ்வாறு குறிப்பிடப்படுகிறது
முன்பு போலவே, நாம் ஆரம்ப திசையன் x (0) = (2, 2) மற்றும் தேர்வு செய்கிறோம் g r = = 10 -5. கணக்கீட்டு முடிவுகள் அட்டவணையில் வழங்கப்படுகின்றன. 5.2
அட்டவணை 5.2
|
|||
|
|||
|
|||
|
I கணக்கீடுகளின் வரிசையில் ஏற்பட்ட பெரிய மாற்றம், மறு செய்கைகளின் எண்ணிக்கையை பாதியாகக் குறைக்க வழிவகுத்தது, எனவே செயல்பாடுகளின் எண்ணிக்கையில் பாதியாகக் குறைந்தது.
