ஸ்பேஷியல் டெலானே முக்கோணம்

ஒன்றுடன் ஒன்று சேராத முக்கோணங்களின் வலையமைப்பை உருவாக்குவதில் உள்ள சிக்கல், கணக்கீட்டு வடிவவியலில் அடிப்படையான ஒன்றாகும், மேலும் இது கணினி வரைகலை மற்றும் புவியியல் தகவல் அமைப்புகளில் மேற்பரப்பு மாதிரியாக்குவதற்கும் இடஞ்சார்ந்த சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதற்கும் பரவலாகப் பயன்படுத்தப்படுகிறது.

ஒன்றுடன் ஒன்று அல்லாத முக்கோணங்களின் வலையமைப்பைக் கட்டமைப்பதில் சிக்கல் முதன்முதலில் 1934 இல் சோவியத் கணிதவியலாளர் பி.என். டெலோனின் வேலையில் முன்வைக்கப்பட்டது, அவர் தொடர்புடைய நிலைமைகளை வகுத்தார்.

கணிதத்தில், கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகளில் இருந்து ஒரு முக்கோணத்தை உருவாக்கும் பணியானது, குறுக்கிடாத பிரிவுகளால் அவற்றை ஜோடிகளாக இணைக்கும் பணியாகும், இதனால் முக்கோணங்களின் நெட்வொர்க் உருவாகிறது. அதன் முக்கிய கூறுகள் (படம் 5.3): முனைகள் (முக்கோணங்களின் முனைகள்), விளிம்புகள் (பக்கங்கள்) மற்றும் முகங்கள் (முக்கோணங்கள் தங்களை). கட்டப்பட்ட முக்கோணமானது குவிந்ததாகவும் (மாடலிங் பகுதியை உள்ளடக்கிய குறைந்தபட்ச பலகோணமாக இருந்தால்), குவிந்ததாகவும் (முக்கோணம் குவிந்ததாக இல்லாவிட்டால்) மற்றும் உகந்ததாகவும் (அனைத்து விளிம்புகளின் நீளங்களின் கூட்டுத்தொகை குறைவாக இருந்தால்) இருக்கலாம்.

அத்தகைய முக்கோணங்களின் வலையமைப்பு சில நிபந்தனைகளைப் பூர்த்தி செய்தால் டெலானே முக்கோணம் என்று அழைக்கப்படுகிறது:

அசல் புள்ளிகள் எதுவும் எந்த முக்கோணத்தைச் சுற்றிலும் வட்டத்திற்குள் வராது (படம் 5.3);

முக்கோணம் குவிந்துள்ளது மற்றும் மேலே வடிவமைக்கப்பட்ட டெலானே நிபந்தனையை பூர்த்தி செய்கிறது;

அனைத்து முக்கோணங்களின் குறைந்தபட்ச கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை அனைத்து சாத்தியமான முக்கோணங்களின் அதிகபட்சமாகும்;

முக்கோணங்களைச் சுற்றி விவரிக்கப்பட்டுள்ள வட்டங்களின் ஆரங்களின் கூட்டுத்தொகை சாத்தியமான அனைத்து முக்கோணங்களுக்கிடையில் குறைவாக உள்ளது.

டெலானே முக்கோணத்தை உருவாக்குவதற்கான மேற்கூறிய அளவுகோல்களில் முதன்மையானது, வட்டவடிவம் என அழைக்கப்படுகிறது, மேலும் பொதுவான முகங்களைக் கொண்ட எந்த ஜோடி முக்கோணங்களும் சரிபார்க்கப்படுகின்றன. அளவுகோலின் கணித விளக்கம் படம். 5.3:

(5.2)

டெலானே முக்கோணத்தை உருவாக்க பல வழிகள் உள்ளன, இது மிகவும் பிரபலமான ஒன்றாகும் சமீபத்தில்ஒரு முக்கோண கண்ணி கட்டும் முறைகள். நிவாரண மாதிரிகளை உருவாக்க பல GIS அமைப்புகளில் இது பயன்படுத்தப்படுகிறது.

இரு பரிமாண இடைவெளியில் பயன்படுத்தப்படும் போது, ​​அது பின்வருமாறு வடிவமைக்கப்பட்டுள்ளது: ஒன்றோடொன்று இணைக்கப்படாத ஒன்றுடன் ஒன்று அல்லாத முக்கோணங்களின் அமைப்பு, உருவான முக்கோணங்களைச் சுற்றி விவரிக்கப்பட்டுள்ள எந்த வட்டத்தின் உள்ளேயும் செங்குத்துகள் எதுவும் வரவில்லை என்றால் மிகச்சிறிய சுற்றளவைக் கொண்டுள்ளது (படம் 5.4).

அரிசி. 5.4 டெலானே முக்கோணம்

இதன் பொருள், அத்தகைய முக்கோணத்துடன் கூடிய முக்கோணங்கள் சமபக்கத்திற்கு முடிந்தவரை நெருக்கமாக உள்ளன, மேலும் எதிர் முனையிலிருந்து வரும் முக்கோணங்களின் ஒவ்வொரு பக்கமும் தொடர்புடைய அரை-தளத்தின் சாத்தியமான அனைத்து புள்ளிகளிலிருந்தும் அதிகபட்ச கோணத்தில் தெரியும். இது சரியாக ஓரங்களில் உள்ள உகந்த முக்கோணமாகும், இதன் நேர்கோட்டு இடைக்கணிப்பு பொதுவாக ஐசோலைன்களைக் கட்டமைக்கப்படுகிறது.

டெலானே முக்கோணத்தை உருவாக்குவதற்கான பல வழிமுறைகள் பின்வரும் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்துகின்றன.

தேற்றம் 1. Delaunay முக்கோணத்தை ABD மற்றும் ACD (படம் 5.5) முக்கோணங்களின் ஜோடிகளாக Delaunay நிலையை திருப்திப்படுத்தாத ABC மற்றும் BCD ஆகிய அடுத்தடுத்த முக்கோணங்களின் ஜோடிகளை வரிசையாக மறுசீரமைப்பதன் மூலம் அதே புள்ளிகளின் அமைப்பைப் பயன்படுத்தி வேறு எந்த முக்கோணத்திலிருந்தும் பெறலாம்.

அரிசி. 5.5.. Delaunay நிபந்தனையை பூர்த்தி செய்யாத முக்கோணங்களின் மறுசீரமைப்பு

இந்த மறுகட்டமைப்பு செயல்பாடு பெரும்பாலும் ஃபிளிப் என்று அழைக்கப்படுகிறது. இந்த தேற்றம் ஒருவரை டெலானே முக்கோணத்தை வரிசையாக கட்டமைக்க அனுமதிக்கிறது, முதலில் சில முக்கோணங்களை உருவாக்குகிறது, பின்னர் அதை டெலானே நிலையின் அர்த்தத்தில் தொடர்ந்து மேம்படுத்துகிறது. அருகிலுள்ள முக்கோணங்களின் ஜோடிகளுக்கு Delaunay நிலையைச் சரிபார்க்கும்போது, ​​நீங்கள் நேரடியாக வரையறையைப் பயன்படுத்தலாம், ஆனால் சில நேரங்களில் மேலே பட்டியலிடப்பட்டுள்ள நிபந்தனைகளின் அடிப்படையில் மற்ற முறைகள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன.

இந்த நிலைமைகளில், முழு முக்கோணத்தின் மொத்த குணாதிசயமும் (குறைந்த கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை அல்லது ஆரங்களின் கூட்டுத்தொகை), ஒரு டெலானே முக்கோணத்தைப் பெறக்கூடியதை மேம்படுத்துவதன் மூலம் தோன்றும்.

மேலே குறிப்பிட்டுள்ளபடி, ஒன்று முக்கியமான செயல்பாடுகள்முக்கோணத்தை உருவாக்கும் போது கொடுக்கப்பட்ட ஜோடி முக்கோணங்களுக்கான Delaunay நிலையை சரிபார்க்க வேண்டும். Delaunay முக்கோணத்தின் வரையறை மற்றும் தொடர்புடைய நிலைமைகளின் அடிப்படையில், பல சரிபார்ப்பு முறைகள் வழக்கமாக நடைமுறையில் பயன்படுத்தப்படுகின்றன:

- சுற்றளவு சமன்பாடு மூலம் சரிபார்த்தல்;

- முன்கூட்டியே கணக்கிடப்பட்ட வட்டத்துடன் சரிபார்க்கவும்;

- எதிர் கோணங்களின் கூட்டுத்தொகையை சரிபார்த்தல்;

- எதிர் கோணங்களின் கூட்டுத்தொகையின் திருத்தப்பட்ட சரிபார்ப்பு.

பல அமைப்புகள் முன்-கணிக்கப்பட்ட வட்ட வட்டத்துடன் சோதனையைச் செய்கின்றன. முன் கணக்கிடப்பட்ட வட்டங்கள் மூலம் சரிபார்ப்பு வழிமுறையின் முக்கிய யோசனை, ஒவ்வொரு கட்டப்பட்ட முக்கோணத்திற்கும் அதைச் சுற்றி விவரிக்கப்பட்டுள்ள வட்டத்தின் மையம் மற்றும் ஆரம் ஆகியவற்றை முன்கூட்டியே கணக்கிடுவதாகும், அதன் பிறகு Delaunay நிலையை சரிபார்த்து மையத்திற்கான தூரத்தை கணக்கிடுவதற்கு குறைக்கப்படும். இந்த வட்டத்தின் மற்றும் முடிவை ஆரத்துடன் ஒப்பிடுதல். சுற்றி விவரிக்கப்பட்டுள்ள வட்டத்தின் மையம் மற்றும் ஆரம் r , , , r 2 = (b 2 + c 2 - 4аd)/4а 2 என காணலாம், இதில் மதிப்புகள் ஏ பி சி டிசூத்திரங்களால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது (5.3)

(5.3)

இந்த வட்டத்தின் சமன்பாட்டிற்கான மற்றொரு நுழைவு:

(5.5.)

(5.6)

வேறு எந்த முக்கோணப் புள்ளிக்கும் இது இருக்கும் போது மட்டுமே Delaunay நிபந்தனை பூர்த்தி செய்யப்படும்:

(x 0 – x C) 2 + (y 0 – y C) 2 ≥ r 2 . (5.7)

தற்போது, ​​டெலானே முக்கோணத்தை உருவாக்குவதற்கு பல வழிமுறைகள் உள்ளன. பல நன்கு அறியப்பட்ட வழிமுறைகள் டெலானே முக்கோண வரையறையை இரண்டாம் நிலை முக்கோண அம்சமாகப் பயன்படுத்துகின்றன. எனவே, அத்தகைய அல்காரிதங்களில் பின்வரும் பலவீனங்கள் குறிப்பிடப்பட்டுள்ளன:

- வழிமுறைகள் தொடர்ந்து கணக்கிடப்பட்ட முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளைப் பயன்படுத்துகின்றன, இது செயல்முறையை வியத்தகு முறையில் குறைக்கிறது;

- புள்ளிகளுக்கும் அடிப்படைப் பிரிவுக்கும் இடையிலான உறவைப் படிக்கும் போது, ​​மிகச் சிறிய கோணங்கள் எழுகின்றன, மற்றும் பயன்படுத்தும் போது முக்கோணவியல் செயல்பாடுகள்ஒரு கணினியில் தரவு பிரதிநிதித்துவங்களின் வரையறுக்கப்பட்ட துல்லியம் காரணமாக ஒழுங்கு மறைந்துவிடும் மற்றும் 0 ஆல் வகுத்தல் ஒரு நிலையான ஆபத்து உள்ளது.

மிகவும் நன்கு அறியப்பட்ட மென்பொருள் தயாரிப்புகள் முக்கோணங்களை உருவாக்குவதற்கான முக்கிய, முதன்மைக் கொள்கையாக வெற்று பந்து தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி டெலானே முக்கோணத்தை உருவாக்குகின்றன. அல்காரிதம் இது போல் தெரிகிறது:

- புள்ளிகளின் முழு தொகுப்பும் முக்கோணங்களாக பிரிக்கப்பட்டுள்ளது, அதாவது. மூன்று புள்ளிகளின் சேர்க்கைகள் உருவாக்கப்படுகின்றன;

- ஒவ்வொரு கலவைக்கும், சுற்றப்பட்ட வட்டம் மற்றும் அதன் மையத்தின் ஆயங்கள் காணப்படுகின்றன;

- தற்போதைய கலவையின் வட்டத்திற்குள் ஒரு மீதமுள்ள புள்ளி இல்லை என்றால், இந்த கலவையானது ஒரு முக்கோணமாகும் - டெலானே முக்கோணத்தின் ஒரு பகுதி.

இந்த அல்காரிதத்தின் நன்மைகள் பின்வருமாறு:

- முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளின் பயன்பாட்டின் பற்றாக்குறை, இது கட்டுமான செயல்முறையை மெதுவாக்காது;

- டெலானே முக்கோணத்தின் நேரடி கட்டுமானம், எந்த ஆரம்ப கட்டுமானங்களும் இல்லாமல்;

- அனைத்து கணக்கீடுகள் மற்றும் மாற்றங்களின் எளிமை;

- இதன் விளைவாக, முக்கோண கட்டம் தனிப்பட்ட கோடுகளைக் காட்டிலும் பல முக்கோணங்களால் குறிக்கப்படுகிறது.

இந்த வழியில் கட்டப்பட்ட முக்கோணமானது ஐசோலைன்களை உருவாக்குவதற்கான வடிவியல் அடிப்படையாகும்.

டெலானே முக்கோணத்தை உருவாக்குவதற்கான வழிமுறைகளை பல குழுக்களாகப் பிரிக்கலாம், அவை பயன்படுத்தப்படும் உள்ளீட்டுத் தரவின் அமைப்பு, கணக்கீட்டு செயல்பாடுகளின் அளவு, ஆரம்ப வளாகம் போன்றவற்றில் வேறுபடுகின்றன. அவற்றில் சிலவற்றைக் கருத்தில் கொள்வோம்.

இணைத்தல் வழிமுறைகள் மூலப் புள்ளிகளின் தொகுப்பை துணைக்குழுக்களாகப் பிரித்து, அவை ஒவ்வொன்றிலும் ஒரு முக்கோணத்தை உருவாக்கி, பின்னர் அவற்றை ஒரு பிணையமாக இணைப்பதை உள்ளடக்குகிறது. இந்த வழிமுறைகளில் ஒன்றின் சாராம்சம் பின்வருவனவற்றிற்கு வருகிறது.

ஆரம்ப புள்ளிகளின் தொகுப்பு செங்குத்து கோடுகளால் இரண்டு அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட பகுதிகளாக பிரிக்கப்பட்டுள்ளது, அதன் பிறகு அவை ஒவ்வொன்றும் கிடைமட்ட மற்றும் செங்குத்து கோடுகளால் தோராயமாக சம பாகங்களாக பிரிக்கப்படுகின்றன. இதன் விளைவாக, தொடக்கப் புள்ளிகளின் முழுப் பகுதியும் மூன்று அல்லது நான்கு புள்ளிகளின் (படம் 2.4) முதன்முதலில் பிரிக்கப்பட்டுள்ளது, அதனுடன் ஒன்று அல்லது இரண்டு முக்கோணங்கள் கட்டப்பட்டுள்ளன.

இந்த முக்கோணங்களை ஒரே நெட்வொர்க்கில் இணைப்பது இரண்டு அடிப்படைகளை உருவாக்குவதன் மூலம் செய்யப்படுகிறது (பி 0 பி 1 மற்றும் பி 2 பி 3, அரிசி. 5.7.a), அடிப்படைக் கோட்டிற்கு (படம் 5.7, b) செங்குத்தாக இருசமயத்தை மையமாகக் கொண்ட மாறி ஆரம் வட்டங்களை வரைதல், வட்டத்தின் மீது விழும் முனையைத் தேடுதல் (புள்ளி ஏ, அரிசி. 5.7 c) மற்றும் ஒரு புதிய முக்கோணத்தின் கட்டுமானம் (பி 0 பி 1 ஏ).இந்த வழக்கில், ஏற்கனவே இருக்கும் முக்கோணத்தை நீக்க வேண்டியிருக்கலாம் (உதாரணமாக, பி 0 ஏபி).

டெலவுனே அளவுகோல்களின்படி அதன் ஒரே நேரத்தில் மேம்பாடு மற்றும் புனரமைப்புடன், பகுதியளவு கட்டப்பட்ட முக்கோணத்திற்கு புள்ளிகளை தொடர்ச்சியாகச் சேர்க்கும் யோசனையின் அடிப்படையில் மீண்டும் செயல்படும் வழிமுறைகள் உள்ளன. IN பொதுவான பார்வைஅவை பல படிகளை உள்ளடக்கியது மற்றும் முதல் மூன்றில் ஒரு முக்கோணத்தை உருவாக்குகிறது தொடக்க புள்ளிகள்அடுத்த புள்ளியை வைப்பதற்கான பல விருப்பங்களை ஆராய்தல். குறிப்பாக, மாடலிங் பகுதியின் எல்லைக்கு வெளியே, ஏற்கனவே உள்ள முனை அல்லது விளிம்பில், ஒரு கட்டப்பட்ட முக்கோணத்தின் உள்ளே விழுவதற்கான விருப்பங்கள் கருதப்படுகின்றன. இந்த விருப்பங்கள் ஒவ்வொன்றும் ஒரு குறிப்பிட்ட செயல்பாட்டைச் செய்வதை உள்ளடக்கியது: விளிம்பை இரண்டாகப் பிரிப்பது, முகங்கள் மூன்று, முதலியன; இதன் விளைவாக வரும் முக்கோணங்கள் Delaunay நிபந்தனை மற்றும் தேவையான புனரமைப்புகளுக்கு இணங்குவதற்கு சரிபார்க்கப்படுகின்றன.

டூ-பாஸ் அல்காரிதம்கள் முதலில் சில முக்கோணங்களின் கட்டுமானத்தை உள்ளடக்கியது, டெலானே நிலைமைகளைப் புறக்கணித்து, பின்னர் இந்த நிலைமைகளுக்கு ஏற்ப அதன் மறுசீரமைப்பு. அல்காரிதம் பயன்பாட்டின் உதாரணம் படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளது. 5.8

உருவாக்கப்பட்ட நிவாரண மாதிரியை உண்மையான ஒன்றிற்கு நெருக்கமாக கொண்டு வர, அதன் நேரியல் மற்றும் பகுதி கட்டமைப்பு கூறுகள் கணக்கில் எடுத்துக்கொள்ளப்பட்டு காண்பிக்கப்படுவதை உறுதிசெய்ய கூடுதல் கூறுகள் அதில் அறிமுகப்படுத்தப்படுகின்றன. இத்தகைய கூடுதல் கூறுகள் "நிவாரண எலும்புக்கூட்டை" வரையறுக்கும் நிலப்பரப்பில் பரவலாகப் பயன்படுத்தப்படும் கட்டமைப்பு கோடுகள்: நீர்நிலைகள், வால்வெக்ஸ், முகடுகள், பாறைகள், விளிம்புகள், ஏரிகள், பள்ளத்தாக்குகள், கடற்கரையோரங்கள், செயற்கை கட்டமைப்புகளின் எல்லைகள் போன்றவை. டெலானே முக்கோணத்திற்கான சட்டகம். இந்த கட்டமைப்பு கோடுகள் முக்கோணங்களின் விளிம்புகளாக முக்கோணத்தில் அறிமுகப்படுத்தப்படுகின்றன, இது பூமியின் மேற்பரப்பின் பொதுவான சீரற்ற தன்மையின் பின்னணிக்கு எதிராக உண்மையான நிவாரண கூறுகளின் மாதிரியை அடைகிறது. அத்தகைய விளிம்புகள் கட்டமைப்பு (நிலையான, மறுகட்டமைக்க முடியாதவை) என்று அழைக்கப்படுகின்றன, மற்ற முக்கோணங்களின் விளிம்புகளை வெட்ட வேண்டாம், பின்னர் மாறாது.

பிரேக்லைன்களை கணக்கில் எடுத்துக்கொண்டு மேற்பரப்பு மாதிரியை உருவாக்குவதில் உள்ள சிக்கல், பிரேக்லைன்களால் பிரிக்கப்படாத, அருகிலுள்ள முக்கோணங்களின் எந்த ஜோடிக்கும் டெலானே நிபந்தனைகள் திருப்தியாக இருந்தால், கட்டுப்படுத்தப்பட்ட டெலானே முக்கோணம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. மீண்டும் செயல்படும் வழிமுறைகளைப் பயன்படுத்தி அத்தகைய முக்கோணத்தை உருவாக்குவதே மிகவும் பயனுள்ள வழி என்று ஆராய்ச்சியாளர்கள் நம்புகின்றனர்.

டெலவுனே முக்கோணத்தின் ஒரு பகுதி, அதில் சேர்க்கப்பட்ட கூடுதல் கூறுகளுடன் படம் காட்டப்பட்டுள்ளது. 5.9, அங்கு முனைகள், விளிம்புகள், விளிம்புகள் மற்றும் கட்டமைப்புக் கோடுகள் வலதுபுறத்திலும், நிலப்பரப்பின் கட்டமைப்புக் கோடுகள் (கடலோரங்கள், பள்ளத்தாக்கு விளிம்புகள் போன்றவை) மற்றும் அறியப்பட்ட அடையாளங்களைக் கொண்ட புள்ளிகள் இடதுபுறத்திலும் காட்டப்படுகின்றன.

Delaunay முக்கோணத்தை உருவாக்குவதற்கான அல்காரிதங்கள் முனைகளின் ஆயத்தொலைவுகளின் உண்மையான அல்லது முழு எண் பிரதிநிதித்துவத்துடன் செயல்படுத்தப்படுகின்றன, இது செயலாக்கத்தின் வேகத்தையும் துல்லியத்தையும் கணிசமாக அதிகரிக்கும், ஆனால் பொருந்தக்கூடிய முனைகளைத் தேடுவதில் மற்றும் விலக்குவதில் சிக்கல்களை உருவாக்குகிறது.

முனைகளை நகர்த்துவதன் மூலம், புதியவற்றைச் செருகுவதன் மூலம், ஏற்கனவே உள்ளவற்றை நீக்குவதன் மூலம், ஒன்று அல்லது பல விளிம்புகளின் நிலையை மாற்றுவதன் மூலம், புதிய கட்டமைப்புக் கோடுகளை அறிமுகப்படுத்துவதன் மூலம் TIN மாதிரி எளிதாகத் திருத்தப்படுகிறது. இத்தகைய மாற்றங்கள் எப்போதும் அருகிலுள்ள முக்கோணங்களின் சிறிய குழுவை பாதிக்கின்றன, மீண்டும் உருவாக்கத் தேவையில்லை. முழு நெட்வொர்க் மற்றும் தொடர்புடைய உறுப்புக்கு கர்சரை சுட்டிக்காட்டுவதன் மூலம் ஆன்லைனில் மேற்கொள்ளப்படுகிறது.

துல்லியம் பற்றி:

குணாதிசயமான நிவாரண கூறுகளில் (உதாரணமாக, நீர்நிலைகள் மற்றும் தால்வெக்ஸ்) பிக்கெட்களை வைப்பதன் மூலம், இடைவெளிகளில் உள்ள சிறிய கூறுகளை நாங்கள் புறக்கணிக்கிறோம். முக்கோணங்களின் விளிம்புகளில் விளிம்பு கோடுகளை உருவாக்கும்போது, ​​​​ஒரு பிழை ஏற்படுகிறது, இது நிலப்பரப்பின் சீரற்ற தன்மை மற்றும் நிலப்பரப்பின் சாய்வின் கோணத்தைப் பொறுத்தது. எடுத்துக்காட்டாக, நிவாரணத்தை கணக்கெடுப்பதில் சராசரி பிழையானது 2 முதல் 10 டிகிரி வரை மேற்பரப்பு சாய்வு கோணங்களில் நிவாரண குறுக்குவெட்டின் 1/3 ஐ விட அதிகமாக இருக்கக்கூடாது. 0.5 மீ நிவாரணப் பிரிவைக் கொண்டு, தவறவிட்ட சீரற்ற தன்மையின் அதிகபட்ச மதிப்பு (அதாவது, அருகிலுள்ள மறியல் வழியாக செல்லும் நேர் கோட்டில் இருந்து தரை மேற்பரப்பின் விலகல்) (0.5/3) * cos10° ஐ விட அதிகமாக இருக்கக்கூடாது என்று கணக்கிடலாம். = 0.16 மீ.

கொண்டு செல்லப்பட்ட மண்ணின் அளவை தீர்மானிப்பதற்கான துல்லியத்திற்கு, கணக்கில் காட்டப்படாத நிவாரண விவரங்களால் ஆக்கிரமிக்கப்பட்டுள்ள பகுதியும் முக்கியமானது. இரண்டு ஜோடி பிக்கெட்டுகளுக்கு இடையில் 20x20 மீ சதுரத்தில் அதிகபட்சமாக 0.15 மீ உயரத்துடன் ஒரு உருளை குவிப்பு உள்ளது என்று கூறலாம், இந்த மேற்பரப்பை இரண்டு முக்கோணங்களுடன் மட்டுமே குறிக்கும் போது அதை கணக்கில் எடுத்துக்கொள்ளாமல் போகலாம் தோராயமாக 40 m3 பிழை. அதிகம் இல்லை, ஆனால் ஒரு மலையில் அல்லது சாய்வின் மேல் (பொதுவாக குவிந்த) பகுதியில் அமைந்துள்ள 1 ஹெக்டேர் நிலத்திற்கு, நீங்கள் 40 * 25 = 1000 m3 அதிகப்படியான மண்ணைப் பெறுவீர்கள். நீங்கள் இரண்டு மடங்கு அடிக்கடி மறியல் செய்தால் (அதாவது, ஒவ்வொரு 10 மீ), பிழை நான்கு மடங்கு குறைந்து ஒரு ஹெக்டேருக்கு 250 m3 ஆக இருக்கும். இந்த காரணி முன்கூட்டியே கணக்கில் எடுத்துக்கொள்ளப்படலாம், ஏனெனில் தட்டையான நிவாரணத்தின் நேர்மறையான வடிவங்கள் பொதுவாக குவிந்த வடிவத்தைக் கொண்டிருக்கும், அதே நேரத்தில் எதிர்மறை வடிவங்கள் ஒரு குழிவான வடிவத்தைக் கொண்டிருக்கும். ஆய்வு செய்யப்படும் பகுதியில் நிவாரணம் குறித்த தோராயமான தரவு இருந்தால், மேற்பரப்பின் வளைவின் ஆரம் மற்றும் பிக்கெட்டுகளின் தேவையான அடர்த்தி ஆகியவை விளிம்பு கோடுகள் அல்லது தனிப்பட்ட உயரங்களின் மதிப்புகளிலிருந்து எளிதாகக் கணக்கிடப்படும்.

அடிப்படை வரையறைகள் மற்றும் பண்புகள்

ஒரு முக்கோணம் என்பது ஒரு பிளானர் வரைபடமாகும், அதன் உள் பகுதிகள் அனைத்தும் முக்கோணங்களாகும்.

பண்புகள்:

· Delaunay முக்கோணம் ஒரே மாதிரியான புள்ளிகளுக்கு Voronoi வரைபடத்திற்கு ஒன்றுக்கு ஒன்று ஒத்துள்ளது.

இதன் விளைவாக: ஒரே வட்டத்தில் நான்கு புள்ளிகள் இல்லை எனில், டெலானே முக்கோணம் தனித்துவமானது.

· Delaunay முக்கோணமானது அனைத்து கட்டப்பட்ட முக்கோணங்களின் அனைத்து கோணங்களிலும் குறைந்தபட்ச கோணத்தை அதிகரிக்கிறது, அதன் மூலம் "மெல்லிய" முக்கோணங்களைத் தவிர்க்கிறது.

· டெலானே முக்கோணமானது பொறிக்கப்பட்ட கோளங்களின் ஆரங்களின் கூட்டுத்தொகையை அதிகரிக்கிறது.

· Delaunay முக்கோணம் தனித்தன்மை வாய்ந்த Dirichlet செயல்பாட்டைக் குறைக்கிறது.

· டெலானே முக்கோணமானது குறைந்தபட்ச சுற்றுப்புறக் கோளத்தின் அதிகபட்ச ஆரத்தைக் குறைக்கிறது.

விமானத்தில் உள்ள டெலானே முக்கோணமானது, சாத்தியமான அனைத்து முக்கோணங்களுக்கிடையில் முக்கோணத்தைச் சுற்றி விவரிக்கப்பட்டுள்ள வட்டங்களின் ஆரங்களின் குறைந்தபட்ச தொகையைக் கொண்டுள்ளது.

படம் 1. முக்கோணம்.

ஒரு குவிந்த முக்கோணம் என்பது ஒரு முக்கோணமாகும், இதற்காக அனைத்து முக்கோணங்களையும் உள்ளடக்கிய குறைந்தபட்ச பலகோணம் குவிந்துள்ளது. குவிந்த நிலையில் இல்லாத ஒரு முக்கோணம் குவிவு அல்லாதது எனப்படும்.

கொடுக்கப்பட்ட இரு பரிமாண புள்ளிகளின் தொகுப்பிலிருந்து முக்கோணத்தை உருவாக்குவதில் ஏற்படும் சிக்கல் இணைப்புச் சிக்கல் எனப்படும். கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகள்குறுக்கிடாத பிரிவுகள் அதனால் ஒரு முக்கோணம் உருவாகிறது.

கொடுக்கப்பட்ட முக்கோண புள்ளிகள் எதுவும் கட்டப்பட்ட முக்கோணத்தைச் சுற்றி வட்டத்திற்குள் வரவில்லை என்றால், ஒரு முக்கோணம் டெலானே நிலையை திருப்திப்படுத்துவதாகக் கூறப்படுகிறது.

ஒரு முக்கோணம் குவிந்ததாகவும், டெலானே நிலையை திருப்திப்படுத்துவதாகவும் இருந்தால் டெலானே முக்கோணம் என்று அழைக்கப்படுகிறது.

படம் 2. டெலானே முக்கோணம்.

டெலானே வெற்று பந்து முறை. பொது வழக்கில் கட்டுமானம்

ஒரு வெற்று பந்தைப் பயன்படுத்துவோம், அதை நகர்த்துவோம், அதன் அளவை மாற்றுவதன் மூலம் அது கணினியின் (A) புள்ளிகளைத் தொடலாம், ஆனால் எப்போதும் காலியாக இருக்கும்.

எனவே, புள்ளிகளின் அமைப்பில் (A) வைப்போம் வெற்று பந்துடெலவுனே. நீங்கள் போதுமான சிறிய பந்தை தேர்வு செய்தால் இது எப்போதும் சாத்தியமாகும். பந்தின் மையத்தை இடத்தில் விட்டு, அதன் ஆரம் அதிகரிக்க ஆரம்பிக்கலாம். ஒரு கட்டத்தில் பந்தின் மேற்பரப்பு கணினியின் (A) சில புள்ளிகளை சந்திக்கும். இது நிச்சயமாக நடக்கும், ஏனென்றால் எங்கள் அமைப்பில் எல்லையற்ற பெரிய வெற்றிடங்கள் இல்லை. வெற்று பந்தின் ஆரத்தை நாம் தொடர்ந்து அதிகரிப்போம், இதனால் புள்ளி i அதன் மேற்பரப்பில் இருக்கும். இதைச் செய்ய, நீங்கள் பந்தின் மையத்தை புள்ளி i இலிருந்து நகர்த்த வேண்டும். விரைவில் அல்லது பின்னர் பந்து அதன் மேற்பரப்புடன் கணினியில் (A) மற்றொரு புள்ளியை அடையும்.

படம்.3

டெலானே சிம்ப்ளக்ஸ் இடைவெளிகள் அல்லது ஒன்றுடன் ஒன்று இல்லாமல் இடத்தை நிரப்புகிறது.

எந்தவொரு சிம்ப்ளெக்ஸின் விவரிக்கப்பட்ட கோளமும் கணினியின் மற்ற புள்ளிகளைக் கொண்டிருக்கவில்லை.

இது ஜே புள்ளியாக இருக்கட்டும். இரண்டு புள்ளிகளையும் அதன் மேற்பரப்பில் வைத்து, நமது பந்தின் ஆரத்தை அதிகரிப்போம். பந்து அதிகரிக்கும் போது, ​​அது அமைப்பின் மூன்றாவது புள்ளியான புள்ளி k ஐ அடையும். இரு பரிமாண வழக்கில், எங்கள் "வெற்று வட்டம்" இந்த நேரத்தில் சரி செய்யப்படும், அதாவது. வட்டத்தை காலியாக வைத்திருக்கும் போது அதன் ஆரத்தை மேலும் அதிகரிக்க இயலாது. அதே நேரத்தில், ஒரு குறிப்பிட்ட முக்கோணத்தை வரையறுக்கும் மூன்று புள்ளிகளின் (i, j, k) அடிப்படை இரு பரிமாண உள்ளமைவை நாங்கள் அடையாளம் காண்கிறோம், இதன் தனித்தன்மை என்னவென்றால், அமைப்பின் (A) சுற்று வட்டத்திற்குள் வேறு எந்த புள்ளிகளும் இல்லை. முப்பரிமாண இடத்தில், ஒரு பந்து மூன்று புள்ளிகளால் வரையறுக்கப்படவில்லை. அதன் மேற்பரப்பில் காணப்படும் மூன்று புள்ளிகளையும் வைத்து, அதன் ஆரத்தை தொடர்ந்து அதிகரிப்போம். பந்தின் மேற்பரப்பு அமைப்பின் நான்காவது புள்ளி l ஐ சந்திக்கும் வரை இது சாத்தியமாகும். இதற்குப் பிறகு, வெற்று பந்தின் இயக்கம் மற்றும் வளர்ச்சி சாத்தியமற்றதாகிவிடும். கண்டுபிடிக்கப்பட்ட நான்கு புள்ளிகள் (i,j,k,l) ​​டெட்ராஹெட்ரானின் செங்குத்துகளை வரையறுக்கின்றன, இது அதன் சுற்றப்பட்ட கோளத்திற்குள் அமைப்பின் (A) வேறு புள்ளிகள் இல்லை என்பதன் மூலம் வகைப்படுத்தப்படுகிறது. அத்தகைய டெட்ராஹெட்ரான் டெலானே சிம்ப்ளக்ஸ் என்று அழைக்கப்படுகிறது.

கணிதத்தில், ஒரு சிம்ப்ளக்ஸ் என்பது கொடுக்கப்பட்ட பரிமாணத்தின் ஒரு இடத்தில் எளிமையான உருவமாகும்: ஒரு டெட்ராஹெட்ரான் - முப்பரிமாண இடத்தில்; முக்கோணம் - இரு பரிமாணங்களில். ஒரே விமானத்தில் இல்லாத அமைப்பின் தன்னிச்சையான மூன்று (நான்கு) புள்ளிகள் எப்போதும் ஒரு குறிப்பிட்ட சிம்ப்ளக்ஸை வரையறுக்கிறது. இருப்பினும், அதன் விவரிக்கப்பட்ட கோளம் காலியாக இருந்தால் மட்டுமே அது டெலானே சிம்ப்ளக்ஸ் ஆக இருக்கும். வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், அமைப்பு (A) இல் உள்ள புள்ளிகளின் மும்மடங்குகளின் (நான்கு மடங்குகள்) சிறப்புத் தேர்வால் Delaunay எளிமைகள் தீர்மானிக்கப்படுகின்றன.

நாங்கள் ஒரு டெலானே சிம்ப்ளக்ஸ் ஒன்றை உருவாக்கியுள்ளோம், ஆனால் வெற்றுப் பந்தை வெவ்வேறு இடங்களில் வைத்து, அதே நடைமுறையை மீண்டும் செய்வதன் மூலம், மற்றவற்றை வரையறுக்கலாம். அமைப்பு (A) இன் அனைத்து Delaunay எளிமைகளின் தொகுப்பு ஒன்றுடன் ஒன்று மற்றும் இடைவெளிகள் இல்லாமல் இடத்தை நிரப்புகிறது, அதாவது. விண்வெளிப் பிரிவைச் செயல்படுத்துகிறது, ஆனால் இந்த முறை டெட்ராஹெட்ரான்களாக. இந்த பகிர்வு அழைக்கப்படுகிறது டெலானே டைலிங்(படம் 3).

டெலானே முக்கோணத்தின் பயன்பாடு

டெலானே முக்கோணங்கள் பெரும்பாலும் யூக்ளிடியன் விண்வெளியில் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. யூக்ளிடியன் குறைந்தபட்ச பரவலான மரம் டெலவுனே முக்கோணத்தின் மீது இருக்கும் என்று உத்தரவாதம் அளிக்கப்படுகிறது, எனவே சில வழிமுறைகள் முக்கோணத்தைப் பயன்படுத்துகின்றன. மேலும், டெலானே முக்கோணத்தின் மூலம், யூக்ளிடியன் பயண விற்பனையாளர் பிரச்சனை தோராயமாக தீர்க்கப்படுகிறது.

2டி இடைக்கணிப்பில், டெலானே முக்கோணமானது விமானத்தை மிகவும் தடிமனான முக்கோணங்களாகப் பிரிக்கிறது, மிகவும் கூர்மையான மற்றும் மிகவும் மழுங்கிய கோணங்களைத் தவிர்க்கிறது. இந்த முக்கோணங்களைப் பயன்படுத்தி, நீங்கள் உருவாக்கலாம், எடுத்துக்காட்டாக, பிலினியர் இடைக்கணிப்பு.

புவிசார் தகவலியலில் அடிக்கடி எதிர்கொள்ளும் மற்றொரு சிக்கல் சாய்வு வெளிப்பாடுகளை உருவாக்குவதாகும். இங்கே கார்டினல் திசையின் மூலம் சரிவுகளின் மேலாதிக்க திசைகளைத் தீர்மானிப்பது மற்றும் மேற்பரப்பை ஒரு குறிப்பிட்ட திசையில் ஆதிக்கம் செலுத்தும் பகுதிகளாகப் பிரிக்க வேண்டியது அவசியம். மேற்பரப்பின் கிடைமட்டப் பகுதிகளுக்கு வெளிப்பாட்டைத் தீர்மானிப்பது அர்த்தமற்றது என்பதால், கிடைமட்டமாக இருக்கும் அல்லது சிறிய சாய்வு கொண்ட பகுதிகள் ஒரு தனி பகுதிக்கு ஒதுக்கப்படுகின்றன, எடுத்துக்காட்டாக<5 о. По странам света деление обычно выполняется на 4, 8 или 16 частей.

படம்.4.

சாய்வு வெளிப்பாடுகளை கணக்கிடுவதில் உள்ள சிக்கல் பொதுவாக பூமியின் வெளிச்சத்தை பகுப்பாய்வு செய்ய பயன்படுத்தப்படுகிறது. இது சம்பந்தமாக, சூரியனின் தற்போதைய நிலையை கூடுதலாக கணக்கில் எடுத்துக்கொள்ள வேண்டிய அவசியம் அடிக்கடி உள்ளது, அதாவது. வெளிப்பாடு என்பது முக்கோணத்திற்கு இயல்பான திசைக்கும் சூரியனின் திசைக்கும் இடையே உள்ள திசையாக கணக்கிடப்படுகிறது.

இவ்வாறு, ஒவ்வொரு முக்கோண முக்கோணமும் ஒரு குறிப்பிட்ட பிராந்தியத்தைச் சேர்ந்த கொள்கையின்படி வகைப்படுத்தலாம். இதற்குப் பிறகு, நீங்கள் பிராந்திய தேர்வு அல்காரிதத்தை அழைக்க வேண்டும்.

முக்கோணம் என்பது ஒரு குறிப்பிட்ட குறிப்பிட்ட மதிப்பிற்கு மிகாமல் தொலைவில் உள்ள முக்கோணத் தகடுகளால் ஒரு மாதிரி செய்யப்பட்ட பொருளின் மேற்பரப்பின் தோராயமாகும் 6. அனைத்து முக்கோண தகடுகளும் ஒன்றாக இணைக்கப்பட வேண்டும். அவற்றின் உச்சி மேற்பரப்பில் உள்ளது. ஒரு பொதுவான மேற்பரப்பை விட முக்கோண தட்டுகளின் தொகுப்பு வேலை செய்வது எளிது. முக்கோண தகடுகளை முக்கோணங்கள் என்று சொல்வோம். ஒரு முக்கோணத்திற்கு, கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிக்கான தூரம் அல்லது விண்வெளியில் கொடுக்கப்பட்ட கோட்டுடன் வெட்டும் புள்ளி விரைவாக கணக்கிடப்படுகிறது. வடிவியல் மாதிரியின் காட்சி உணர்விற்காக முகங்களின் முக்கோணமாக்கல் செய்யப்படுகிறது, எனவே முக்கோணங்களின் பக்கங்கள் தேர்ந்தெடுக்கப்படுகின்றன, இதனால் கண் கின்க்ஸை கவனிக்க முடியாது.

பரப்புகளின் அளவுருத் தளங்களில் முக்கோணங்கள் மூலம் வடிவியல் பொருட்களைக் காண்பிக்கும் போது, ​​உடலின் முகங்களின் இடஞ்சார்ந்த முக்கோணமானது, விண்வெளியில் உள்ள புள்ளிகளின் வரிசையையும், உடலின் முகங்களுக்கு இயல்பான ஒரு வரிசையையும் கணக்கிடுவதன் மூலம் ஒரு வரிசையைப் பயன்படுத்தி உருவாக்கப்பட வேண்டும். இரு பரிமாண புள்ளிகள் உடல்களை விரைவாகக் காட்ட, அவற்றின் முகங்கள் தோராயமாக முக்கோணத் தகடுகளால் கட்டப்பட்டுள்ளன, அவை உடலின் முகங்களுடன் தொடர்பு கொள்ளும் ஒளிக்கதிர்களின் நடத்தையைத் தீர்மானிக்க வேண்டும். முந்தைய அத்தியாயங்களிலும் இந்த அத்தியாயத்திலும் உள்ள தொனி வரைபடங்கள் முக்கோணத்தைப் பயன்படுத்தி உருவாக்கப்பட்டுள்ளன.

மேற்பரப்பு முக்கோணத்தின் விளைவாக, ஒரு அளவுருத் தளத்தில் இரு பரிமாண புள்ளிகளின் வரிசையையும், முதலில் குறிப்பிடப்பட்ட வரிசையில் உள்ள புள்ளிகளின் எண்களான முழு எண்களின் மும்மடங்குகளின் வரிசையையும் வைத்திருக்க விரும்புகிறோம். இவ்வாறு, ஒவ்வொரு முக்கோணமும் அளவுரு வரிசையில் அதன் முனைகளின் மூன்று எண்களால் குறிக்கப்படும். பாராமெட்ரிக் டொமைனின் ஒவ்வொரு இரு பரிமாண புள்ளிக்கும், மேற்பரப்பில் ஒரு இடஞ்சார்ந்த புள்ளி மற்றும் அதில் உள்ள மேற்பரப்பு இயல்பானது ஆகியவற்றைக் கணக்கிடலாம். ஸ்பேஷியல் புள்ளிகள் மற்றும் நார்மல்கள் 2D புள்ளி வரிசையைப் போன்ற வரிசைகளில் சேமிக்கப்படும்.

சில முக்கோண முறைகளைப் பார்ப்போம். தட்டையான மேற்பரப்புகளுக்கு, செலவு குறைந்த முக்கோண முறைகள் உள்ளன, இதில் முக்கோணங்கள் மேற்பரப்பின் எல்லைப் புள்ளிகளில் கட்டப்பட்டுள்ளன, மேலும் அளவுருப் பகுதிக்குள் புள்ளிகளைத் தேட வேண்டிய அவசியமில்லை.

டெலானே முக்கோணம்.

விமானத்தில் சில பகுதியைக் கருத்தில் கொள்வோம். ஒரு பகுதியை அதன் எல்லையில் நகரும் போது, ​​நீங்கள் ஒரு திசையில் (இடதுபுறம் அல்லது வலதுபுறம் மட்டும்) மட்டுமே திரும்ப வேண்டும் என்றால், ஒரு பகுதியை குவிவு என்று அழைப்போம். குவிந்த பிளானர் பகுதிகளை முக்கோணமாக்க டெலவுனே அல்காரிதம் பயன்படுத்தப்படலாம். ஃப்ரீ-ஃபார்ம் மேற்பரப்புகளை முக்கோணமாக்க இந்த அல்காரிதத்தை எங்களால் நேரடியாகப் பயன்படுத்த முடியாது, ஆனால் முக்கோணங்களை உருவாக்க அதன் முறையைப் பயன்படுத்துவோம்.

அரிசி. 9.7.1. உள்ளே கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகளுடன் குவிந்த பகுதி

மூடிய உடைந்த கோட்டால் கட்டுப்படுத்தப்பட்ட சில குவிந்த இரு பரிமாணப் பகுதி மற்றும் இந்தப் பகுதிக்குள் உள்ள புள்ளிகளின் தொகுப்பைக் கொடுக்கலாம் (படம் 9.7.1).

குறிப்பிட்ட பகுதியை முக்கோணங்களாகப் பிரிக்க வேண்டியது அவசியம், அதன் செங்குத்துகள் பகுதியின் உள்ளே கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகள் மற்றும் அதைக் கட்டுப்படுத்தும் உடைந்த கோட்டின் செங்குத்துகள். முக்கோணங்கள் ஒன்றுடன் ஒன்று ஒன்றுடன் ஒன்று இருக்கக்கூடாது, மேலும் அவற்றின் பக்கங்களும் செங்குத்துகளில் மட்டுமே வெட்ட முடியும்.

ஒரு குறிப்பிட்ட பகுதியை நிரப்ப பல்வேறு வகையான முக்கோணங்களை உருவாக்கலாம். எல்லா சந்தர்ப்பங்களிலும், முக்கோணங்களின் எண்ணிக்கை சமமாக இருக்கும், இதில் K என்பது எல்லைக்குட்பட்ட பாலிலைனின் செங்குத்துகளின் எண்ணிக்கை, I என்பது பகுதிக்குள் கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகளின் எண்ணிக்கை.

அரிசி. 9.7.2. டெலானே அல்காரிதத்தின் மூன்றாவது புள்ளியைத் தேர்ந்தெடுப்பது

ஒவ்வொரு முக்கோணத்தைச் சுற்றி விவரிக்கப்பட்டுள்ள வட்டத்திற்குள் மற்ற முக்கோணங்களின் செங்குத்துகள் இல்லாவிட்டால், ஒரு பிராந்தியத்தின் முக்கோணமானது டெலானே முக்கோணமாக இருக்கும். Delaunay முக்கோணமானது முக்கோணங்களை முடிந்தவரை சமகோணத்திற்கு நெருக்கமாக உருவாக்குகிறது (நியாயமற்ற நீளமான முக்கோணங்களை உருவாக்க அனுமதிக்காது).

அதை சமநிலை என்று அழைக்கலாம். ஒரே வட்டத்தில் நான்கு செங்குத்துகள் இல்லாவிட்டால் டெலானே முக்கோணம் தனித்துவமாக இருக்கும்.

டெலானே முக்கோணத்தை கருத்தில் கொள்வோம். பலகோணக் கோட்டின் செங்குத்துகள் மற்றும் பிராந்தியத்தின் உள்ளே கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகள் முக்கோணத்தின் முனைகள் என்று அழைக்கப்படும். முக்கோணங்களின் பக்கங்களை விளிம்புகள் என்று அழைப்போம். விளிம்புகளில், நாம் எல்லைக்குட்பட்ட பாலிலைன் பிரிவுகளைத் தேர்ந்தெடுக்கிறோம், அதை நாம் எல்லை விளிம்புகள் என்று அழைப்போம். ஒவ்வொரு விளிம்பின் இடதுபுறமும் குவிந்த பகுதி இருக்கும்படி அனைத்து எல்லை விளிம்புகளையும் திசை திருப்புவோம். ஒரு முக்கோணத்தை உருவாக்குவது அவசியமாக இருக்கட்டும், அதன் பக்க எல்லை விளிம்பு AB, படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளது. 9.7.2.

செங்குத்துகள் A, B மற்றும் அவற்றுடன் ஒரே வரியில் இல்லாத எந்த உச்சியிலும் ஒரு வட்டத்தை வரையலாம். முக்கோணத்தின் மூன்றாவது உச்சியாக, நாம் உச்சி V ஐத் தேர்வு செய்கிறோம், AB பிரிவுடன் தொடர்புடைய வட்டம் ஒரே பக்கத்தில் உள்ள மற்ற செங்குத்துகளைக் கொண்டிருக்கவில்லை, எந்தப் புள்ளியில் V ஒரு எல்லை விளிம்பில் உள்ளது, பொதுவாக, அத்தகைய ஒரு முனை முடியும் கண்டுபிடிக்கப்படும். நாம் அதை நெருங்கிய ஒன்று என்று அழைப்போம். புள்ளிகள் A, B மற்றும் V வழியாக செல்லும் வட்டத்தின் மையம் AB, BV மற்றும் VA பிரிவுகளின் நடுப்புள்ளிகளுக்கு செங்குத்தாக வெட்டும் இடத்தில் உள்ளது. வட்டத்தின் மையத்தின் நிலை MN இன் அளவுரு t மூலம் வகைப்படுத்தப்படும், விளிம்பு AB க்கு செங்குத்தாக, நீளம் சமமாக மற்றும் AB விளிம்பின் நடுவில் கடந்து செல்லும்.

அரிசி. 9.7.3. டெலானே முக்கோண செயல்முறை

AB பிரிவின் இடதுபுறத்தில் அமைந்துள்ள அனைத்து செங்குத்துகளுக்கும், அருகிலுள்ள உச்சியில் சிறிய அளவுரு t உள்ளது. அருகிலுள்ள உச்சியுடன் தொடர்புடைய வட்டம் AB பிரிவின் இடதுபுறத்தில் உள்ள மற்ற செங்குத்துகளைக் கொண்டிருக்கவில்லை. செங்குத்துகள் A, B மற்றும் V ஆகியவை முறையே இரு பரிமாண ஆரம் திசையன்களால் விவரிக்கப்படும். AB மற்றும் BV பிரிவுகளின் நடுப்புள்ளிகளின் ஆரம் திசையன்கள் சமமாக இருக்கும்

A, B மற்றும் V புள்ளிகள் வழியாகச் செல்லும் வட்டத்தின் மையத்தின் நிலைக்கு ஒத்திருக்கும் வரியின் அளவுரு t இன் மதிப்பு சமம்

AB பிரிவின் இடதுபுறத்தில் உள்ள உச்சிக்கு, அளவுரு t குறைந்தபட்ச மதிப்பைக் கொண்டுள்ளது.

முக்கோணமாக்கப்பட வேண்டிய பகுதி ஒவ்வொன்றின் இடதுபுறமும் இருக்கும் வகையில் அனைத்து எல்லை விளிம்புகளையும் திசை திருப்புவோம். எந்த எல்லை விளிம்பிலிருந்தும் முக்கோணங்களை உருவாக்கத் தொடங்குகிறோம். அதற்கு மிக நெருக்கமான உச்சியை கண்டுபிடிப்போம், அதனுடன் தொடர்புடைய வட்டத்தில் மற்ற செங்குத்துகள் இல்லை. AB என்ற எல்லைக்கு அருகில் உள்ள உச்சி V ஐக் கண்டறிந்து, ABV என்ற முக்கோணத்தை உருவாக்குவோம். முக்கோண அல்காரிதத்தில் பங்கேற்காத செயலற்ற விளிம்புகள் மற்றும் செங்குத்துகளை நாங்கள் அழைப்போம். எல்லை விளிம்புகளில் விளிம்பு BV இல்லை என்றால், VB பிரிவில் புதிய எல்லை விளிம்பை உருவாக்குவோம். எல்லை விளிம்புகளில் விளிம்பு BV இருந்தால், அதை செயலற்ற வகைக்கு மாற்றுவோம். எல்லை விளிம்புகளில் விளிம்பு VA இல்லை என்றால், AV பிரிவில் புதிய எல்லை விளிம்பை உருவாக்குவோம். எல்லை விளிம்புகளில் விளிம்பு VA இருந்தால், அதை செயலற்ற வகைக்கு மாற்றுவோம். முக்கோண செயல்முறை படம் காட்டப்பட்டுள்ளது. 9.7.3.

அரிசி. 9.7.4. டெலானே முக்கோணம்

அனைத்து செங்குத்துகளும் விளிம்புகளும் செயலற்றதாக இருக்கும்போது முக்கோணத்தை முடிக்கிறோம். கொடுக்கப்பட்ட பகுதியின் முக்கோணத்தின் முடிவு படம் காட்டப்பட்டுள்ளது. 9.7.4.

திருத்தம் முறை மூலம் முக்கோணம்.

அளவுருக்களை வரையறுப்பதற்கான ஒரு செவ்வகக் களத்துடன் ஒரு குறிப்பிட்ட மேற்பரப்பின் முக்கோணத்தைக் கருத்தில் கொள்வோம், இந்த கோடுகள் ஒரு செவ்வகக் கோடுகளுடன் செவ்வகக் கலங்களாகப் பிரிப்போம். சூத்திரத்தின் (9.4.7) படி அருகில் உள்ள கோடுகளுக்கு இடையே உள்ள அளவுரு தூரத்தை சமமாக எடுத்துக் கொள்வோம்.

சூத்திரத்தின் (9.4.8) படி அருகில் உள்ள கோடுகளுக்கு இடையே உள்ள அளவுரு தூரத்தை சமமாக எடுத்துக் கொள்வோம்.

அனைத்து செவ்வக செல்களிலும் மூலைவிட்டங்களை உருவாக்குவதன் மூலம், மேற்பரப்பின் முக்கோணத்தைப் பெறுகிறோம் (தேவைகளைப் பூர்த்தி செய்யும் முக்கோணங்களின் தொகுப்பைப் பெறுகிறோம்). படத்தில். 9.7.5 விவரிக்கப்பட்ட முறையைப் பயன்படுத்தி புரட்சியின் மேற்பரப்பின் முக்கோணத்தைக் காட்டுகிறது.

ஒரு தன்னிச்சையான எல்லையுடன் ஒரு மேற்பரப்பின் முக்கோணத்தைக் கருத்தில் கொள்வோம். அளவுருக்களை நிர்ணயிப்பதற்கான செவ்வகப் பகுதியுடன் மேலே விவரிக்கப்பட்ட மேற்பரப்பு முக்கோணத்தின் எல்லை வரையறைகளால் திருத்தம் செய்வதில் முக்கோண முறையை உருவாக்குவோம்.

அரிசி. 9.7.5. அளவுருக்களை வரையறுப்பதற்கான ஒரு செவ்வக டொமைன் கொண்ட மேற்பரப்பின் முக்கோணம்

அளவுரு வரையறை டொமைனில் உள்ள மேற்பரப்பு எல்லையானது பல குறுக்கிடாத இரு பரிமாண வரையறைகளால் விவரிக்கப்படட்டும் (2.12.7). வரையறைகளில் ஒன்று வெளிப்புறமானது மற்றும் மீதமுள்ள வரையறைகளைக் கொண்டுள்ளது. ஒவ்வொரு விளிம்பிற்கும் நேர்மறைத் திசையில், மேற்பரப்பைச் சுற்றிச் செல்லும் போது, ​​மேற்பரப்பின் வரையறைப் பகுதியானது, மேற்பரப்பின் இயல்பான பகுதியை நோக்கிப் பார்க்கும்போது, ​​எப்போதும் விளிம்பின் இடதுபுறமாக இருக்கும் திசையை எடுப்போம். மேற்பரப்பு வரையறை பகுதியின் எல்லை வரையறைகளின் நேர்மறை திசையில் பலகோணங்களை உருவாக்குவோம். எல்லைப் பலகோணங்களைக் கட்டமைக்க, நீங்கள் மேற்பரப்பின் எல்லைக் கோடுகளுடன் சில மாறி படிகளுடன் நடந்து, இரு பரிமாண புள்ளிகளின் வரிசையை நிரப்ப வேண்டும், அவற்றின் ஆயத்தொலைவுகள் மேற்பரப்பு அளவுருக்கள் ஆகும். ஒரு அளவுரு விமானத்தில் உள்ள புள்ளிகளிலிருந்து பலகோணத்தை உருவாக்குவோம், ஆனால் ஒரு புள்ளியிலிருந்து மற்றொரு இடத்திற்கு நகரும் படியானது இடஞ்சார்ந்த வடிவவியலில் இருந்து தீர்மானிக்கப்படும், அதாவது, அருகிலுள்ள புள்ளிகளுக்கு இடையில் வளைவு வளைவின் விலகல் கொடுக்கப்பட்டதை விட அதிகமாக இல்லை. மதிப்பு. சூத்திரத்தைப் (9.4.4) பயன்படுத்தி மேற்பரப்பு எல்லை விளிம்பு வளைவுக்கான பலகோணத்தை உருவாக்குவதற்கான அளவுரு படிகளைக் கணக்கிடுகிறோம்.

ஒவ்வொரு பலகோணமும் வரிசைப்படுத்தப்பட்ட இரு பரிமாணப் புள்ளிகளைக் கொண்டுள்ளது. நாம் அத்தகைய பகுதிகளை எல்லை விளிம்புகளாகப் பயன்படுத்துவோம், மேலும் விளிம்புகளை அடிப்படையாகக் கொண்ட பலகோணங்களின் புள்ளிகள் முக்கோண முனைகளாகப் பயன்படுத்தப்படும். மேற்பரப்பு அளவுருக்களை நிர்ணயிக்கும் பகுதி எல்லை பலகோணங்களின் இடதுபுறத்தில் இருப்பதால், ஒவ்வொரு எல்லை முக்கோண விளிம்பிற்கும் முக்கோணங்களை உருவாக்கும்போது, ​​விளிம்பின் இடதுபுறத்தில் முக்கோணத்தின் மூன்றாவது உச்சியை நீங்கள் பார்க்க வேண்டும்.

எல்லைப் பலகோணங்களுக்குள் எந்த முனைகள் உள்ளன, அவை எல்லையில் அல்லது மேற்பரப்பு வரையறை பகுதிக்கு வெளியே உள்ளன என்பதைத் தீர்மானிக்கலாம். இந்தத் தகவலைப் பயன்படுத்தி, செவ்வக கிரிட் செல்களை இரண்டு குழுக்களாக வரிசைப்படுத்துகிறோம். முதல் குழுவில் மேற்பரப்பு அளவுருக்கள் தீர்மானிக்கப்படும் பகுதிக்குள் முற்றிலும் இருக்கும் செல்கள் அடங்கும் (செல்கள் எல்லை பலகோணங்களைத் தொடக்கூடாது). இரண்டாவது குழுவில் மீதமுள்ள செல்கள் அடங்கும் (மேற்பரப்பு வரையறை பகுதிக்கு வெளியே உள்ளது அல்லது எல்லை பலகோணங்களால் வெட்டப்படுகிறது).

அரிசி. 9.7.6. முடிக்கப்படாத மேற்பரப்பு முக்கோணம்

முதல் குழுவின் ஒவ்வொரு கலத்தின் உள்ளேயும், ஒரு மூலைவிட்டத்தைப் பயன்படுத்தி, இரண்டு முக்கோணங்களை உருவாக்குவோம். இவ்வாறு நாம் முடிக்கப்படாத முக்கோணத்தைப் பெறுகிறோம். வரையறைகளால் வரையறுக்கப்பட்ட புரட்சியின் மேற்பரப்பிற்கான முதல் குழுவின் செல்களில் முக்கோணங்களை உருவாக்குவதற்கான எடுத்துக்காட்டு படம். 9.7.6.

இரண்டாவது குழுவின் கலங்களின் குறுக்கிடப்படாத பக்கங்களில் எல்லை விளிம்புகளை உருவாக்கி, தொடர்புடைய செல் விளிம்பின் இடதுபுறத்தில் இருக்கும்படி அவற்றை இயக்குவோம். முதல் குழுவின் கலங்களைச் சுற்றி ஒரு மூடிய உடைந்த கோட்டை (ஒருவேளை பல மூடிய கோடுகள்) அமைப்போம், அதனால் அதனுடன் நகரும் போது, ​​முக்கோணங்களாகப் பிரிக்கப்படாத பகுதியின் பகுதி இடதுபுறத்தில் உள்ளது, மேற்பரப்பு சாதாரணமாகப் பார்க்கும்போது. இந்த உடைந்த கோட்டின் நேரான பகுதிகளையும் எல்லை விளிம்புகளாகப் பயன்படுத்துவோம். அனைத்து விளிம்புகளையும் சமமாக கருதுவோம். முக்கோணத்தை முடிக்க, எல்லை விளிம்புகளுக்கு இடையில் முக்கோணங்களை உருவாக்க வேண்டும். ஒவ்வொரு விளிம்பிற்கும் அதன் இடதுபுறத்தில் இருக்கும் ஒரு உச்சியைத் தேடுவோம், மேலும் ஒரு முக்கோணத்தை உருவாக்கப் பயன்படுத்தலாம். விளிம்புடன் ஒரே கலத்தில் இருக்கும் அந்த செங்குத்துகளில் மட்டுமே ஒரு உச்சியைத் தேடுவோம். ஒரு உச்சியைத் தேர்ந்தெடுக்க, மேலே விவரிக்கப்பட்ட மற்றும் படத்தில் விளக்கப்பட்டுள்ள Delaunay முறையைப் பயன்படுத்துகிறோம். 9.7.2. அத்தகைய உச்சி கண்டறியப்பட்டால், முக்கோணத்தின் இரண்டு புதிய விளிம்புகள் ஏதேனும் எல்லை விளிம்புடன் வெட்டுகின்றனவா என்பதை நீங்கள் சரிபார்க்க வேண்டும். எல்லை விளிம்பு AB க்கு அருகிலுள்ள முனை V ஐக் கண்டறிந்து, BV மற்றும் VA பிரிவுகள் மற்ற எல்லை விளிம்புகளை வெட்டவில்லையா என்பதைச் சரிபார்க்கவும். பின்னர் முக்கோண ABV ஐ உருவாக்கி, விளிம்பு AB ஐ செயலற்ற வகைக்கு மாற்றுவோம். எல்லை விளிம்புகளில் விளிம்பு BV இல்லை என்றால், VB பிரிவில் ஒரு புதிய எல்லை விளிம்பை உருவாக்குவோம், ஆனால் எல்லை விளிம்புகளுக்கு இடையில் ஒரு விளிம்பு BV இருந்தால், அதை செயலற்ற வகைக்கு மாற்றுவோம். எல்லை விளிம்புகளில் விளிம்பு VA இல்லை என்றால், AV பிரிவில் புதிய எல்லை விளிம்பை உருவாக்குவோம், ஆனால் எல்லை விளிம்புகளுக்கு இடையில் ஒரு விளிம்பு VA இருந்தால், அதை செயலற்ற வகைக்கு மாற்றுவோம்.

ஒரு பிரிவு அல்லது VA மற்ற எல்லை விளிம்புகளை வெட்டினால், மற்றொரு எல்லை விளிம்பிற்கு அருகில் உள்ள உச்சியைத் தேடுவோம். அனைத்து விளிம்புகள் மற்றும் செங்குத்துகள் செயலற்றவை என வகைப்படுத்தப்பட்ட பிறகு முக்கோணம் முடிக்கப்படும்.

அரிசி. 9.7.7. திருத்தம் முறை மூலம் முக்கோணம்

படத்தில். படம் 9.7.7, எல்லைக் கோடுகளால் வெட்டப்பட்ட கலங்களில் முக்கோணங்களை சரிசெய்யும் முறையின் மூலம் மேற்பரப்பு முக்கோணத்தைக் காட்டுகிறது. படத்தில். 9.7.8, விளைவாக முக்கோணத்தைப் பயன்படுத்தி, மேற்பரப்பே காட்டப்படும்.

எல்லைப் பலகோணங்களும் மேற்பரப்பிலும் சில சமச்சீர் இருந்தால், திருத்தும் முறையின் முக்கோணமும் ஒரே மாதிரியான சமச்சீர்நிலையைக் கொண்டிருக்கும்.

உறிஞ்சும் முறை மூலம் முக்கோணம்.

மற்றொரு முக்கோண முறையைப் பார்ப்போம். வேகத்தைப் பொறுத்தவரை, இது டெலானே முக்கோணம் மற்றும் அதன் மாற்றங்களை விட தாழ்வானது. முக்கோண செயல்முறையைத் தொடங்க, மேற்பரப்பு எல்லையை மூடிய பலகோணங்களின் வடிவத்தில் குறிப்பிடுவது அவசியம். முக்கோண செயல்முறையின் போது, ​​மேற்பரப்பு அளவுருக்களின் அடிப்படையில் படிகளை நாம் தீர்மானிக்க வேண்டும். இயக்கத்தின் அறியப்பட்ட திசையுடன், இந்த படிநிலைகள் சூத்திரங்களால் தீர்மானிக்கப்படுகின்றன (9.4.6). மேற்பரப்பு அளவுருக்களுக்கான தோராயமான படிகள் பின்வருமாறு காணலாம். ஒரு குறிப்பிட்ட புள்ளியைச் சுற்றியுள்ள அளவுரு விமானத்தில் ஒரு பகுதியை வரையறுப்போம், இந்த பிராந்தியத்தில் புள்ளியிலிருந்து புள்ளிக்கு எந்த இடஞ்சார்ந்த பகுதியும் மேற்பரப்பில் இருந்து கொடுக்கப்பட்ட மதிப்பு S ஐ விட அதிகமாக இருக்காது.

இதைச் செய்ய, ஒருங்கிணைப்பு கோடுகளுடன் அளவுருக்களின் அனுமதிக்கப்பட்ட அதிகரிப்புகளை நாங்கள் கணக்கிடுகிறோம்

புள்ளியில் மேற்பரப்பின் முதல் மற்றும் இரண்டாவது இருபடி வடிவங்களின் குணகங்கள் எங்கே. விரும்பிய பகுதியின் எல்லையாக, ஒரு புள்ளியில் ஒரு மையம் மற்றும் அரை அச்சுகள் கொண்ட நீள்வட்டத்தை எடுத்துக்கொள்கிறோம். இந்த நீள்வட்டத்தில் சமன்பாடு உள்ளது

கோணம் மற்றும் அச்சுடன் கொடுக்கப்பட்ட திசையில் ஒரு புள்ளிக்கு அடுத்துள்ள விமானத்தில் ஒரு புள்ளியை நீங்கள் கண்டுபிடிக்க விரும்பினால், அதன் அளவுருக்கள் இருக்கும்

முதலில், மேற்பரப்பு அளவுருக்களின் பரப்பளவு ஒரு வெளிப்புற விளிம்பிற்கு மட்டுப்படுத்தப்பட்டால் எளிமையான வழக்கைக் கருத்தில் கொள்வோம். பாராமெட்ரிக் டொமைனில் ஒரு மூடிய பலகோணத்தால் மேற்பரப்பு எல்லையை தோராயமாக்குகிறோம். முக்கோணத்தை உருவாக்கும்போது, ​​​​வேலை செய்யும் பலகோணத்தைப் பயன்படுத்துவோம், இந்த விஷயத்தில் வெளிப்புற விளிம்பின் பலகோணமாக எடுத்துக்கொள்வோம். பலகோணப் புள்ளிகளை இரு பரிமாணப் புள்ளிகளின் வரிசையில் சேர்ப்போம். பணிபுரியும் பகுதியின் விளிம்பிலிருந்து முக்கோணங்களை உருவாக்குவோம், வேலை செய்யும் பகுதியில் மூன்று புள்ளிகள் மட்டுமே இருக்கும் வரை அதை சுருக்கவும்.

வேலை செய்யும் பலகோணத்தில் ஒரு உச்சியைக் கண்டுபிடிப்போம், அது மண்டலமாக மாறும். அத்தகைய புள்ளி எப்போதும் உள்ளது மற்றும் அதன் சுழற்சியின் கோணம் சிறியது. இந்த புள்ளியை O ஆல் குறிப்போம், அதன் அளவுருக்கள் இந்த புள்ளிக்கு அருகில் சுழற்சியின் கோணத்தைப் பொறுத்து ஒன்று அல்லது இரண்டு முக்கோணங்களை உருவாக்குவோம். கோணம் சிறியதாக இருந்தால், இந்த மூன்று புள்ளிகளில் ஒரு முக்கோணத்தை உருவாக்குவோம் (படம் 9.7.9). இல்லையெனில், இதில் இரண்டு முக்கோணங்களை உருவாக்குவோம், இரண்டு அடுத்தடுத்த மற்றும் ஒரு புதிய புள்ளிகள் (படம் 9.7.11). புதிய புள்ளி P ஆல் நியமிக்கப்பட்டது. இணையான வரைபடம் B OS P இன் மூலைவிட்டத்தில் புள்ளி P ஐத் தேடுவோம். இணையான வரைபடத்தின் உச்சி நீள்வட்டத்தின் உள்ளே இருந்தால் (படம். 9.7.10), அதை நாம் புள்ளி P ஆக எடுத்துக்கொள்வோம். இல்லையெனில், நீள்வட்டத்தின் குறுக்குவெட்டு மற்றும் இணையான வரைபடத்தின் மூலைவிட்டத்தை புள்ளி P ஆக எடுத்துக்கொள்வோம். பிந்தைய வழக்கில், நீள்வட்டம் மற்றும் பிரிவின் குறுக்குவெட்டைத் தேடுவது அவசியமில்லை.

புள்ளி P இன் ஆயங்கள் O BC புள்ளிகளின் ஆயத்தொலைவுகள் மூலம் தீர்மானிக்கப்படுகின்றன

கிடைமட்டத்துடன் OP பிரிவின் கோணம் சமத்துவத்தால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது

(9.7.8)

இந்தத் தரவுகள் நீள்வட்டத்துடன் (9.7.5) தொடர்புடைய புள்ளி P இன் நிலையை தீர்மானிக்க உதவுகிறது.

படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ள வழக்கில். 9.7.9, ஒரு முக்கோணத்தை உருவாக்குவோம் (அதன் செங்குத்துகளின் எண்களை நினைவில் கொள்ளுங்கள்) மற்றும் படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ள வழக்கில் O புள்ளியை நீக்கவும். 9.7.11, நாங்கள் இரண்டு முக்கோணங்களை உருவாக்குவோம், மேலும் வேலை செய்யும் பகுதியில் O புள்ளியை P புள்ளியுடன் மாற்றுவோம் மற்றும் பிந்தையதை அதன் விளைவாக வரும் புள்ளிகளின் வரிசையில் வைப்போம். படத்தில். படம் 9.7.12 இரண்டு முக்கோணங்களை உருவாக்கி புள்ளி O ஐ நீக்கிய பிறகு பெறப்பட்ட பலகோணத்தைக் காட்டுகிறது. இரண்டு சந்தர்ப்பங்களிலும், O புள்ளி வேலை செய்யும் பலகோணத்திலிருந்து அகற்றப்படும் மற்றும் வேலை செய்யும் பலகோணம் குறுகிவிடும். வேலை செய்யும் பகுதி, குறுகலான பிறகு, தன்னைத்தானே வெட்டிக்கொள்ளாதபோது மட்டுமே முக்கோணங்களை உருவாக்க முடியும் என்பதை நினைவில் கொள்க.

அரிசி. 9.7.9. ஒரு முக்கோணத்தின் கட்டுமானம்

அரிசி. 9.7.10. முடிவு பலகோணம்

அரிசி. 9.7.11. இரண்டு முக்கோணங்களின் கட்டுமானம்

அரிசி. 9.7.12. முடிவு பலகோணம்

இத்தகைய சூழ்நிலைகள் படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளன. 9.7.13. கட்டப்பட்ட முக்கோணங்களின் பக்கங்கள் அவற்றிற்கு அருகில் இல்லாத வேலை செய்யும் பகுதியின் பக்கங்களை வெட்டும்போது அவை நிகழலாம். படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளதைப் போல ஒரு புதிய முக்கோணத்தை உருவாக்குவதற்கு முன். 9.7.9, மற்றும் படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ள வழக்கில். 9.7.11, விளைந்த பலகோணம் தன்னைத்தானே வெட்டிக்கொள்ளாமல் இருக்க ஒரு சரிபார்ப்பு செய்யப்பட வேண்டும்.

மேலும், புள்ளி P இன் நிலையை தீர்மானிக்கும் போது, ​​​​அது வேலை செய்யும் பகுதியின் மற்ற புள்ளிகளிலிருந்து போதுமான தூரத்தில் இருப்பது முக்கியம் மற்றும் பகுதியின் புள்ளிகளை இணைக்கும் பிரிவுகளுக்கு அருகில் வரவில்லை. இல்லையெனில், முக்கோணங்களை உருவாக்கும்போது எதிர்காலத்தில் சிரமங்கள் ஏற்படலாம். எனவே, வேலை செய்யும் பலகோணத்தை சுருக்குவதற்கு முன், சுய-குறுக்குதலுக்கான பலகோணத்தை நீங்கள் சரிபார்க்க வேண்டும். புள்ளி O க்கு அருகில் ஒரு முக்கோணத்தை (முக்கோணங்கள்) உருவாக்குவது சாத்தியமில்லை என்றால், அதற்கு பதிலாக, பலகோணம் மற்றவர்களை விட விளிம்பிற்குள் மூடப்பட்டிருக்கும் மற்றொரு புள்ளியைக் கண்டுபிடித்து, அதில் விவரிக்கப்பட்ட செயல்களைச் செய்ய வேண்டும்.

அடுத்து, மாற்றியமைக்கப்பட்ட பணிப் பகுதியுடன், நாங்கள் விவரித்த அதே செயல்களைச் செய்வோம். வேலை செய்யும் பலகோணத்தில் ஒரு புள்ளியைக் கண்டுபிடிப்போம், அது மற்ற புள்ளிகளைக் காட்டிலும் பகுதியின் உள்ளே திரும்புகிறது, ஒன்று அல்லது இரண்டு முக்கோணங்களை உருவாக்குவதன் மூலம் அதில் உள்ள பலகோணத்தை சுருக்கி, பலகோணத்தை சுருக்கவும்.

அரிசி. 9.7.13. இந்த மூலையில் முக்கோணங்களை உருவாக்க முடியாது

இந்த செயல்முறையைத் தொடர்ந்து, இரு பரிமாண புள்ளிகள் மற்றும் முக்கோணங்களின் வரிசையை விரிவுபடுத்துவோம், அதே நேரத்தில் வேலை செய்யும் பலகோணத்தை சுருக்கி, அது உள்ளடக்கிய பகுதியையும் அதன் புள்ளிகளின் எண்ணிக்கையையும் குறைப்போம். இந்த செயல்களின் சில கட்டத்தில் மூன்று புள்ளிகளைக் கொண்ட வேலை செய்யும் பலகோணத்தைப் பெறுவோம். இந்த புள்ளிகளில் கடைசி முக்கோணத்தை உருவாக்கி, வேலை செய்யும் பகுதியை அகற்றி, முக்கோணத்தை முடிப்போம். விவரிக்கப்பட்ட முக்கோண முறையில், வேலை செய்யும் பகுதியால் வரையறுக்கப்பட்ட பகுதி, அதிலிருந்து முக்கோணங்களை வெட்டுவதன் மூலம் அகற்றப்படுகிறது.

மேற்பரப்பு அளவுருக்களின் பரப்பளவு ஒரு வெளிப்புற விளிம்பு மற்றும் வெளிப்புற விளிம்பிற்குள் இருக்கும் பல உள் வரையறைகளால் வரையறுக்கப்பட்டால் பொதுவான வழக்கைக் கருத்தில் கொள்வோம். அளவுரு டொமைனில் மூடிய பலகோணங்களால் மேற்பரப்பு எல்லையை தோராயமாக்குகிறோம். ஒவ்வொரு விளிம்பிற்கும் நாங்கள் எங்கள் சொந்த பலகோணத்தை உருவாக்குவோம். வரையறைகளைப் போலவே, அவற்றின் மீது கட்டப்பட்ட பலகோணங்களுக்கும், அவற்றின் பரஸ்பர நோக்குநிலையின் விதி நிறைவேற்றப்பட வேண்டும். உள் பலகோணங்களின் நோக்குநிலை வெளிப்புற பலகோணத்தின் நோக்குநிலைக்கு எதிரே இருக்க வேண்டும். வெளிப்புற விளிம்பு பலகோணத்துடன் முக்கோணத்தை உருவாக்க ஆரம்பிக்கலாம். அதன் புள்ளிகளை இரு பரிமாண புள்ளிகளின் வரிசையில் வைத்து, பலகோணத்தையே செயல்படும் ஒன்றாக மாற்றுவோம்.

எளிமையாக இணைக்கப்பட்ட பகுதியில் உள்ள அதே வழியில் முக்கோணங்களை உருவாக்குவோம். பணிபுரியும் பகுதியில் புள்ளி O ஐக் கண்டுபிடித்து, அங்கு பணிபுரியும் பகுதியைக் குறைக்கும் சாத்தியத்தை சரிபார்த்து, பகுதியை சுருக்கவும். உள் வரையறைகள் இருந்தால், தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட புள்ளியில் பணிபுரியும் பகுதியைக் குறைக்கும் சாத்தியத்தை சரிபார்க்க கடினமாகிறது. வேலை செய்யும் பகுதியின் பக்கங்களுடன் முக்கோணங்களின் பக்கங்களின் குறுக்குவெட்டுக்கான விவரிக்கப்பட்ட காசோலைகளுக்கு கூடுதலாக, அனைத்து உள் பலகோணங்களின் பக்கங்களுடனும் முக்கோணங்களின் பக்கங்களின் குறுக்குவெட்டு சரிபார்க்க வேண்டியது அவசியம்.

புள்ளி O (படம். 9.7.11) இல் இரண்டு முக்கோணங்களை உருவாக்குவதற்கான சாத்தியக்கூறுகளைச் சரிபார்ப்போம், மேலும் புதிய புள்ளி P, கட்டப்பட்டவுடன், உள் பலகோணங்களில் ஒன்றில் விழும் அல்லது அதன் பிரிவுகளுக்கு ஏற்றுக்கொள்ள முடியாத அருகாமையில் இருக்கும் என்பதைக் கண்டறியலாம். இந்த வழக்கில், நாம் புள்ளி P ஐ உருவாக்க மாட்டோம், மாறாக படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ள இரண்டு முக்கோணங்களை உருவாக்குவதன் மூலம் இந்த உள் பலகோணத்தை வேலை செய்யும் பலகோணத்தில் சேர்ப்போம். 9.7.14.

வேலை செய்யும் பலகோணத்தில் உள்ள உள் பலகோணங்களில் ஒன்றின் புள்ளிகளைச் சேர்ப்பதற்காக, உள் பலகோணத்தின் புள்ளிகளில் வேலை செய்யும் பலகோணத்தின் புள்ளி C (புள்ளி O க்கு அருகில்) க்கு நெருக்கமான புள்ளியைக் காண்கிறோம்.

OCF மற்றும் CEF புள்ளிகளில் முக்கோணங்களை உருவாக்குவோம் மற்றும் வேலை செய்யும் பலகோணத்தின் O மற்றும் C புள்ளிகளுக்கு இடையே உள்ளக பலகோணத்தின் புள்ளிகளை நுழைப்போம், புள்ளி F இலிருந்து தொடங்கி E புள்ளியில் முடிவடையும். இதனால், OS பிரிவில் வேலை செய்யும் பலகோணத்தை உடைப்போம், EF பிரிவில் உள்ள உள் பலகோணத்தை உடைத்து அவற்றை OF மற்றும் EU பிரிவுகளுடன் இணைக்கவும்.

அரிசி. 9.7.14. இரண்டு முக்கோணங்களின் கட்டுமானம்

அரிசி. 9.7.15 வெளிப்புற மற்றும் உள் பலகோணங்களை இணைத்தல்

இணைப்பின் முடிவு படம் காட்டப்பட்டுள்ளது. 9.7.15 நிச்சயமாக, வெளிப்புற மற்றும் உள் பலகோணங்களை ஒன்றிணைக்கும் முன், இந்த செயல்பாட்டின் சரியான தன்மையை உறுதிப்படுத்த சோதனைகள் செய்யப்பட வேண்டும்.

அடுத்து, மற்றொரு உள் பகுதிக்கு அருகாமையில் இருப்பதைக் கண்டறிந்து அதை வேலை செய்யும் பகுதியில் சேர்க்கும் வரை பணிபுரியும் பகுதியை விவரிக்கப்பட்ட வழியில் தொடர்ந்து சுருக்குவோம். இதன் விளைவாக, அனைத்து உள் பலகோணங்களும் வேலை செய்யும் பலகோணத்தில் சேர்க்கப்படும், இது கடைசி மூன்று புள்ளிகளுக்கு சுருக்கப்பட வேண்டும். இதன் விளைவாக, மேற்பரப்பு அளவுருக்களை நிர்ணயிப்பதற்கான முழு பெருக்க இணைக்கப்பட்ட டொமைனும் முக்கோணங்களால் மூடப்பட்டிருக்கும்.

அரிசி. 9.7.16. இந்த மூலையில் முக்கோணங்களை உருவாக்க முடியாது

கொடுக்கப்பட்ட பலகோணங்களில் ஒரு முக்கோணத்தை உருவாக்க முடியாத சூழ்நிலைகள் இருக்கலாம். படத்தில். 9.7.16 இரண்டு பலகோணங்களால் வரையறுக்கப்பட்ட பகுதியைக் காட்டுகிறது, ஒவ்வொன்றும் நான்கு பிரிவுகளைக் கொண்டுள்ளது. வெளிப்புற பலகோணத்திற்கு, உள் பலகோணம் வழியில் இருப்பதால் முக்கோணத்தைத் தொடர முடியாது. இந்த வழக்கில், பலகோணத்தின் இரண்டு அண்டை புள்ளிகள் B மற்றும் C ஐக் கண்டுபிடிப்போம், இதற்காக நாம் ஒரு முக்கோண HRV ஐ உருவாக்கலாம். புள்ளி P ஆனது BC யின் நடுவில் திட்டமிடப்பட்டு, புதிய முக்கோணம் பலகோணங்களை வெட்டாத அளவுக்கு அதிலிருந்து வெகு தொலைவில் அமைந்துள்ளது.

முக்கோணத்தின் பிற முறைகள்.

முக்கோணத்திற்கு வேறு வழிகள் உள்ளன. எடுத்துக்காட்டாக, மேற்பரப்பு வரையறை பகுதியின் வெளிப்புற மற்றும் உள் வரையறைகளின் பலகோணங்களை உருவாக்கிய பிறகு, முக்கோணங்களை உருவாக்குவதற்கான வேறுபட்ட உத்தியை தேர்வு செய்யலாம். முக்கோணத்தைத் தொடங்குவதற்கு முன் வெளி மற்றும் உள் பலகோணங்களை ஒரு பலகோணமாக இணைப்பது மற்றொரு விருப்பமாகும். நீங்கள் ஒரு குறிப்பிட்ட வழிமுறையைப் பயன்படுத்தி அளவுரு வரையறை பகுதிக்குள் புள்ளிகளை "ஸ்கெட்ச்" செய்யலாம் மற்றும் அவற்றைப் பயன்படுத்தி டெலானே முக்கோணத்தையும் எல்லைக் கோடு பலகோணங்களின் புள்ளிகளையும் செய்யலாம். முதலில் பெரிய முக்கோணங்களை உருவாக்கி, பின்னர் அவற்றை நிர்வகிக்கக்கூடிய அளவுகளாகப் பிரிக்கும் வழிமுறைகள் உள்ளன.

உடல் முக்கோணம்.

ஒரு உடலின் முக்கோணமானது அதன் முகங்களின் மேற்பரப்புகளை முக்கோணமாக்குவதன் மூலம் பெறப்பட்ட முக்கோணங்களின் தொகுப்பாகும். தனிப்பட்ட மேற்பரப்புகளின் முக்கோணமானது உடலின் முகங்களின் முக்கோணத்திலிருந்து வேறுபடுகிறது, பிந்தைய வழக்கில், அருகிலுள்ள முகங்களுக்கான எல்லை பலகோணங்கள் சீரானதாக இருக்க வேண்டும் (படம் 9.7.17).

அரிசி. 9.7.17. உடல் முகம் எல்லை பலகோணம் நிலைத்தன்மை

பொதுவான விளிம்புகள் வழியாக செல்லும் அருகிலுள்ள முகங்களின் பலகோணங்களின் பிரிவுகள் அவற்றின் புள்ளிகள் விண்வெளியில் இணைந்தால் சீராக இருக்கும்.

முக்கோணத்தின் பயன்பாடு.

முக்கோணத்தின் விளைவாக கட்டப்பட்ட முக்கோணங்கள் தொனிப் படங்களைப் பெறப் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. படத்தில். 9.7.18 மற்றும் 9.7.19 ஒரு தாள் உடலின் முகத்தின் முக்கோணங்களைக் காட்டுகிறது, அதன் தொனி படம் படம். 6.5.1.

அரிசி. 9.7.18. திருத்தும் முறையைப் பயன்படுத்தி உடல் முகத்தை முக்கோணமாக்குதல்

மேற்பரப்பு அளவுருக்களை முக்கோணங்களாக நிர்ணயிப்பதற்கான களத்தை பிரித்தல், உடல்களின் வடிவியல் பண்புகளை கணக்கிடும் போது ஒருங்கிணைவுகளில் (8.6.2), (8.6.3), (8.6.12), (8.7.17)-(8.7.22) பயன்படுத்தப்படலாம். . எண் ஒருங்கிணைப்பின் போது, ​​வளைவுகளுக்கான அளவுரு படி சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடப்பட வேண்டும் (8.11.5), மற்றும் மேற்பரப்புகளுக்கு, அளவுரு படிகள் சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடப்பட வேண்டும் (8.11.1) மற்றும் (8.11.2).

ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட புள்ளிகள் Sக்கான முக்கோணமானது, S தொகுப்பின் அனைத்து புள்ளிகளையும் உள்ளடக்கிய குவிந்த ஹல் CH(S) ஐ முக்கோணமாக்குவதில் உள்ள சிக்கலாகும். முக்கோணத்தில் உள்ள நேரான கோடு பிரிவுகள் வெட்ட முடியாது - அவை S தொகுப்பிற்குச் சொந்தமான பொதுவான புள்ளிகளில் மட்டுமே சந்திக்க முடியும். நேர் கோடு பிரிவுகள் முக்கோணங்களை மூடுகின்றன, அவற்றை விலா எலும்புகளாகக் கருதுவோம். படத்தில். ஒரே மாதிரியான புள்ளிகளுக்கு முக்கோணத்தின் இரண்டு வெவ்வேறு பதிப்புகளை படம் 1 காட்டுகிறது (இந்த புள்ளிவிவரங்களில் வரையப்பட்ட வட்டங்களை நாங்கள் தற்காலிகமாக புறக்கணிப்போம்).

அரிசி. 1

கொடுக்கப்பட்ட S புள்ளிகளின் தொகுப்பிற்கு, S தொகுப்பிலிருந்து அனைத்து புள்ளிகளும் எல்லைப் புள்ளிகளாகப் பிரிக்கப்படுவதைக் காணலாம் - குவிந்த ஹல் CH(S) எல்லையில் இருக்கும் புள்ளிகள், மற்றும் உட்புற புள்ளிகள் - குவிந்த உள்ளே இருக்கும் புள்ளிகள். ஹல் சிஎச்(எஸ்). முக்கோண S இன் விளைவாக பெறப்பட்ட விளிம்புகளையும் நீங்கள் வகைப்படுத்தலாம் ஷெல் விலா எலும்புகள்மற்றும் உள் விலா எலும்புகள். ஹல் விளிம்புகள் குவிந்த மேலோடு CH (S) எல்லையில் அமைந்துள்ள விளிம்புகளை உள்ளடக்கியது, மேலும் உள் விளிம்புகள் குவிந்த மேலோட்டத்தின் உள்ளே முக்கோணங்களின் வலையமைப்பை உருவாக்கும் மற்ற அனைத்து விளிம்புகளையும் உள்ளடக்கியது. ஷெல்லின் ஒவ்வொரு விளிம்பும் இரண்டு அருகிலுள்ள எல்லைப் புள்ளிகளை இணைக்கிறது, அதே நேரத்தில் உள் விளிம்புகள் எந்த வகையிலும் இரண்டு புள்ளிகளை இணைக்க முடியும். குறிப்பாக, ஒரு உள் விளிம்பு இரண்டு எல்லைப் புள்ளிகளை இணைத்தால், அது குவிந்த ஹல் CH(S)ன் நாண் ஆகும். முக்கோணத்தின் ஒவ்வொரு விளிம்பும் இரண்டு பகுதிகளின் எல்லை என்பதை நினைவில் கொள்ளவும்: ஒவ்வொரு உள் விளிம்பும் இரண்டு முக்கோணங்களுக்கு இடையில் உள்ளது, மேலும் ஷெல்லின் ஒவ்வொரு விளிம்பும் ஒரு முக்கோணத்திற்கும் எல்லையற்ற விமானத்திற்கும் இடையில் உள்ளது.

சில அற்பமான நிகழ்வுகளைத் தவிர, எந்தப் புள்ளிகளின் தொகுப்பும் ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட முக்கோண முறைகளை அனுமதிக்கிறது. ஆனால் ஒரு குறிப்பிடத்தக்க சொத்து உள்ளது: கொடுக்கப்பட்ட தொகுப்பிற்கான முக்கோணத்தின் எந்த முறையும் அதே எண்ணிக்கையிலான முக்கோணங்களை தீர்மானிக்கிறது, இது தேற்றத்திலிருந்து பின்வருமாறு:

புள்ளிகளின் தொகுப்பின் முக்கோணத்தின் ஒரு தேற்றம். S புள்ளிகளின் தொகுப்பில் n>3 புள்ளிகள் உள்ளன மற்றும் அவை அனைத்தும் கோலினியர் அல்ல என்று வைத்துக்கொள்வோம். கூடுதலாக, அவற்றிலிருந்து வரும் i புள்ளிகள் உட்புறம் (அதாவது, குவிந்த மேலோடு CH(S) க்குள் உள்ளது. பின்னர், S தொகுப்பின் எந்த முக்கோண முறையும் சரியாக n + i - 2 முக்கோணங்களை உருவாக்கும்.

தேற்றத்தை நிரூபிக்க, முதலில் n-i எல்லைப் புள்ளிகளின் முக்கோணத்தைக் கருதுகிறோம். அவை அனைத்தும் குவிந்த பலகோணத்தின் செங்குத்துகள் என்பதால், அத்தகைய முக்கோணமானது (n - i) - 2 முக்கோணங்களை உருவாக்கும். (இதைச் சரிபார்ப்பது கடினம் அல்ல, மேலும், எந்த முக்கோணமும் இருப்பதைக் காட்டலாம் தன்னிச்சையானஒரு மீ-பக்க பலகோணம் - குவிந்த அல்லது அல்லாத குவிந்த - m - 2 முக்கோணங்களைக் கொண்டுள்ளது). ஒவ்வொரு முறையும் மீதமுள்ள i உள் புள்ளிகளைச் சேர்க்கும்போது முக்கோணத்திற்கு என்ன நடக்கும் என்பதை இப்போது பார்க்கலாம். ஒவ்வொரு புள்ளியையும் சேர்ப்பது முக்கோணங்களின் எண்ணிக்கையை இரண்டாக அதிகரிக்கிறது என்று நாங்கள் கூறுகிறோம். ஒரு உள் புள்ளியைச் சேர்க்கும்போது, ​​​​படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ள இரண்டு சூழ்நிலைகள் ஏற்படலாம். 2. முதலாவதாக, புள்ளி சில முக்கோணங்களுக்குள் இருக்கலாம், பின்னர் அத்தகைய முக்கோணம் மூன்று புதிய முக்கோணங்களால் மாற்றப்படும். இரண்டாவதாக, ஒரு புள்ளி முக்கோண விளிம்புகளில் ஒன்றோடு இணைந்தால், இந்த விளிம்பிற்கு அருகில் உள்ள இரண்டு முக்கோணங்கள் ஒவ்வொன்றும் இரண்டு புதிய முக்கோணங்களால் மாற்றப்படும். எல்லா i புள்ளிகளையும் சேர்த்த பிறகு, முக்கோணங்களின் மொத்த எண்ணிக்கை (n - i - 2) + (2i), அல்லது வெறுமனே n + i - 2 ஆக இருக்கும்.

அரிசி. 2

இந்தப் பிரிவில், Delaunay triangulation எனப்படும் ஒரு சிறப்பு வகை முக்கோணத்தை உருவாக்குவதற்கான அல்காரிதத்தை முன்வைப்போம். உருவாக்கப்பட்ட முக்கோணங்கள் சமகோணமாக இருக்கும் என்ற பொருளில் இந்த முக்கோணம் நன்கு சமநிலையில் உள்ளது. எடுத்துக்காட்டாக, படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ள முக்கோணம். 1a ஆனது Delaunay முக்கோண வகைக்கு காரணமாக இருக்கலாம், மேலும் படம். 1b முக்கோணமானது பல மிக நீளமான முக்கோணங்களைக் கொண்டுள்ளது மற்றும் டெலவுனே வகைக்குக் காரணமாக இருக்க முடியாது. படத்தில். அதிக எண்ணிக்கையிலான புள்ளிகளின் தொகுப்பிற்கான டெலானே முக்கோணத்தின் உதாரணத்தை படம் 3 காட்டுகிறது.

அரிசி. 3

டெலானே முக்கோணத்தை உருவாக்க, நமக்கு பல புதிய வரையறைகள் தேவை. தொகுப்பில் உள்ள அனைத்து புள்ளிகளும் அமைந்துள்ள ஒரு வட்டம் இருந்தால், புள்ளிகளின் தொகுப்பு வட்டமாகக் கருதப்படுகிறது. கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகளின் தொகுப்பிற்கு அத்தகைய வட்டம் சுற்றப்படும். ஒரு முக்கோணத்தின் சுற்றப்பட்ட வட்டம் அதன் மூன்று (கூட்டு அல்லாத) செங்குத்துகள் வழியாக செல்கிறது. கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகளின் தொகுப்பைப் பொறுத்தமட்டில் ஒரு வட்டம் புள்ளி இல்லாததாக இருக்கும் என்று கூறப்படுகிறது, ஆனால், வட்டத்தின் உள்ளே S தொகுப்பிலிருந்து புள்ளிகள் இல்லை என்றால், அந்த வட்டத்தில் S புள்ளிகள் இருக்கும் மிகவும் புள்ளி இல்லாத.

S புள்ளிகளின் தொகுப்பின் முக்கோணமானது, ஒவ்வொரு முக்கோணத்தின் சுற்றுவட்டமும் புள்ளிகள் இல்லாமல் இருந்தால், Delaunay முக்கோணமாக இருக்கும். முக்கோண வரைபடத்தில் படம். படம் 1a இரண்டு வட்டங்களில் தெளிவாக மற்ற புள்ளிகளைக் கொண்டிருக்கவில்லை என்பதைக் காட்டுகிறது (மற்ற முக்கோணங்களுக்கு வட்டங்களை வரையலாம், அவை தொகுப்பின் புள்ளிகளிலிருந்தும் விடுபடுகின்றன என்பதை உறுதிப்படுத்தவும்). இந்த விதி படத்தில் உள்ள வரைபடத்தில் காணப்படவில்லை. 16 - மற்றொரு முக்கோணத்தின் ஒரு புள்ளி வரையப்பட்ட வட்டத்திற்குள் விழுகிறது, எனவே, இந்த கிராங்குலேஷன் டெலானே வகையைச் சேர்ந்தது அல்ல.

முக்கோண அல்காரிதத்தை எளிமையாக்க S தொகுப்பில் உள்ள புள்ளிகளைப் பற்றி இரண்டு அனுமானங்களைச் செய்யலாம். முதலில், முக்கோணம் இருக்கவேண்டுமானால், S தொகுப்பில் குறைந்தது மூன்று புள்ளிகள் உள்ளன என்றும் அவை கோலினியர் இல்லை என்றும் நாம் கருத வேண்டும். இரண்டாவதாக, ஒரு டெலானே முக்கோணம் தனித்துவமாக இருக்க, S தொகுப்பிலிருந்து நான்கு புள்ளிகள் ஒரே வட்ட வட்டத்தில் இருக்கக்கூடாது. அத்தகைய அனுமானம் இல்லாமல் டெலானே முக்கோணம் தனித்துவமாக இருக்காது என்பதைக் காண்பது எளிது, ஏனென்றால் ஒரு சுற்றப்பட்ட வட்டத்தில் 4 புள்ளிகள் இரண்டு வெவ்வேறு டெலானே முக்கோணங்களை உணர அனுமதிக்கின்றன.

தற்போதைய முக்கோணத்தை ஒரு நேரத்தில் ஒரு முக்கோணமாக தொடர்ந்து அதிகரிப்பதன் மூலம் எங்கள் அல்காரிதம் செயல்படுகிறது. தொடக்கத்தில், தற்போதைய முக்கோணமானது ஷெல்லின் ஒற்றை விளிம்பைக் கொண்டிருக்கும், அல்காரிதத்தின் முடிவில், தற்போதைய முக்கோணமானது டெலானே முக்கோணமாக மாறுகிறது. ஒவ்வொரு மறு செய்கையிலும், அல்காரிதம் இணைக்கும் புதிய முக்கோணத்தைத் தேடுகிறது எல்லைதற்போதைய முக்கோணம்.

எல்லையின் வரையறை சார்ந்துள்ளது பின்வரும் வரைபடம்தற்போதைய முக்கோணத்துடன் தொடர்புடைய டெலானே முக்கோணத்தின் விளிம்புகளின் வகைப்பாடு. ஒவ்வொரு விளிம்பும் இருக்கலாம் தூங்குகிறது, உயிருடன்அல்லது இறந்தார்:

• தூங்கும் விலா எலும்புகள்: Delaunay முக்கோணத்தின் விளிம்பு இன்னும் அல்காரிதம் மூலம் கண்டறியப்படவில்லை என்றால் செயலற்ற நிலையில் இருக்கும்;
• நேரடி விலா எலும்புகள்: விலா எலும்பு கண்டுபிடிக்கப்பட்டால் உயிருடன் இருக்கும், ஆனால் ஒரே ஒரு அருகிலுள்ள பகுதி மட்டுமே தெரியும்;
• இறந்த விலா எலும்புகள்: ஒரு விளிம்பு கண்டுபிடிக்கப்பட்டால் அது இறந்துவிட்டதாகக் கருதப்படுகிறது மற்றும் இரண்டு அருகிலுள்ள பகுதிகளும் அறியப்படுகின்றன.

ஆரம்பத்தில், குவிந்த i மடலுக்குச் சொந்தமான ஒரே விளிம்பு உயிருடன் உள்ளது - ஒரு எல்லையற்ற விமானம் அதை ஒட்டி உள்ளது, மற்ற அனைத்து விளிம்புகளும் செயலற்ற நிலையில் உள்ளன. அல்காரிதம் வேலை செய்யும் போது, ​​விளிம்புகள் தூங்குவதில் இருந்து உயிருடன் இருந்து இறந்த வரை செல்கின்றன. ஒவ்வொரு கட்டத்திலும் உள்ள எல்லை வாழ்க்கை விளிம்புகளின் தொகுப்பைக் கொண்டுள்ளது.

ஒவ்வொரு மறு செய்கையிலும், எல்லையின் ஏதேனும் ஒரு விளிம்பு தேர்ந்தெடுக்கப்பட்டு, அது செயலாக்கத்திற்கு உட்படுத்தப்படும், இந்த பகுதியானது e முக்கோணமாக மாறினால், இது வரையறுக்கப்பட்ட பகுதியின் ஒரு அறியப்படாத பகுதியைத் தேடுகிறது விளிம்பின் இறுதிப் புள்ளிகள் e மற்றும் சில மூன்றாவது உச்சி v, பின்னர் விளிம்பு e இறந்துவிடும் , ஏனெனில் அதை ஒட்டிய இரண்டு பகுதிகளும் இப்போது அறியப்படுகின்றன. டி முக்கோணத்தின் மற்ற இரண்டு விளிம்புகள் ஒவ்வொன்றும் பின்வரும் நிலைக்கு மாற்றப்படுகின்றன: தூங்குவதில் இருந்து உயிருடன் அல்லது உயிருடன் இருந்து இறந்த வரை. இங்கே வெர்டெக்ஸ் v என்று அழைக்கப்படும் இணைவிளிம்பு e உடன், தெரியாத பகுதி ஒரு எல்லையற்ற விமானமாக மாறினால், விளிம்பு e வெறுமனே இறந்துவிடும். இந்த வழக்கில், விளிம்பு e க்கு இணையான உச்சி இல்லை.

படத்தில். படம் 4 வழிமுறையின் செயல்பாட்டைக் காட்டுகிறது, அங்கு செயல் மேலிருந்து கீழாகவும் மகிமை வலதுபுறமாகவும் நிகழ்கிறது. ஒவ்வொரு கட்டத்திலும் உள்ள எல்லை ஒரு தடிமனான கோடுடன் சிறப்பிக்கப்படுகிறது.

delaunayTriangulate திட்டத்தில் அல்காரிதம் செயல்படுத்தப்படுகிறது. நிரலுக்கு n புள்ளிகளின் வரிசை கள் கொடுக்கப்பட்டு, டெலானே முக்கோணத்தைக் குறிக்கும் முக்கோணங்களின் பட்டியலை வழங்குகிறது. செயலாக்கமானது வடிவியல் தரவுக் கட்டமைப்புப் பிரிவிலிருந்து வட்டப் பட்டியல் வகுப்பு மற்றும் வகுப்புகளைப் பயன்படுத்துகிறது. அகராதி வகுப்பு என்பது தேவையான செயல்பாடுகளை ஆதரிக்கும் எந்த அகராதியாகவும் இருக்கலாம். எடுத்துக்காட்டாக, #define Dictionary RandomizedSearchTree ஐ நீங்கள் மேலெழுதலாம்.

பட்டியல் * (புள்ளி s, int n) (புள்ளி p; பட்டியல் *முக்கோணங்கள் = புதிய பட்டியல் ; அகராதி எல்லை (edgeCmp); விளிம்பு *e = hullEdge(s, n); frontier.insert(e); அதே நேரத்தில் (!frontier.isEmpty()) ( e = frontier.removeMin(); என்றால் (மேட்(*e, s, n, p)) ( updateFrontier(frontier, p, e->org); updateFrontier(frontier, e ->dest, p); )

அரிசி. 4

முக்கோணத்தை உருவாக்கும் முக்கோணங்கள் முக்கோண பட்டியலில் எழுதப்பட்டுள்ளன. எல்லையானது எல்லைப்புற வாழ்க்கை விளிம்புகளின் அகராதியால் குறிப்பிடப்படுகிறது. ஒவ்வொரு விளிம்பும் இயக்கப்படுகிறது, அதன் மூலம் அறியப்படாத பகுதி (தீர்மானிக்கப்பட வேண்டும்) விளிம்பின் வலதுபுறத்தில் உள்ளது. அகராதியைப் பார்க்க எட்ஜ் சிஎம்பி ஒப்பீட்டு செயல்பாடு பயன்படுத்தப்படுகிறது. இரண்டு விளிம்புகளின் தொடக்கப் புள்ளிகள் சமமாக இருந்தால், அவற்றின் இறுதிப் புள்ளிகள் ஒப்பிடப்படுகின்றன:

Int edgeCmp (Edge *a, Edge *b) ( if (a->org< b->org) திரும்ப 1; என்றால் (a->org > b->org) திரும்ப 1; என்றால் (a->dest< b->dest) திரும்ப -1; என்றால் (a->dest > b->dest) திரும்ப 1; திரும்ப 0; )

எல்லை ஒரு படியிலிருந்து அடுத்த படிக்கு எவ்வாறு மாறுகிறது, மேலும் இந்த மாற்றங்களைப் பிரதிபலிக்கும் வகையில், எல்லையின் விளிம்பு அகராதியை updateFrontier செயல்பாடு எவ்வாறு மாற்றியமைக்கிறது? ஒரு புதிய முக்கோணம் t எல்லையுடன் இணைக்கப்பட்டால், முக்கோணத்தின் மூன்று விளிம்புகளின் நிலைகள் மாறுகின்றன. எல்லைக்கு அருகில் உள்ள முக்கோண விளிம்பு t உயிருடன் இருந்து இறந்ததாக மாறுகிறது. updateFrontier செயல்பாடு இந்த விளிம்பை புறக்கணிக்கக்கூடும், ஏனெனில் removeMin செயல்பாடு அழைக்கப்படும் போது அகராதியிலிருந்து இது ஏற்கனவே அகற்றப்பட்டிருக்க வேண்டும். டி முக்கோணத்தின் மீதமுள்ள இரண்டு விளிம்புகளில் ஒவ்வொன்றும் அதன் நிலையை உறங்குவதில் இருந்து உயிருக்கு மாற்றும், அவை அகராதியில் முன்பு பதிவு செய்யப்படவில்லை என்றால் அல்லது உயிருடன் இருந்து இறந்தது வரை, விளிம்பு ஏற்கனவே அகராதியில் இருந்தால். படத்தில். 5 இரண்டு நிகழ்வுகளையும் காட்டுகிறது. உருவத்தின் படி, லைவ் எட்ஜ் af ஐச் செயலாக்குகிறோம், b புள்ளியை அதன் இணைப்பாகக் கண்டறிந்த பிறகு, தற்போதைய முக்கோணத்தில் afb முக்கோணத்தைச் சேர்க்கிறோம். பின்னர் நாம் அகராதியில் fb என்ற விளிம்பைத் தேடுகிறோம், அது இன்னும் இல்லாததாலும், அது முதல் முறையாகக் கண்டுபிடிக்கப்பட்டதாலும், அதன் நிலை உறங்குவதில் இருந்து உயிருக்கு மாறுகிறது. அகராதியைத் திருத்த, நாம் விளிம்பில் fb ஐச் சுழற்றுவோம், இதனால் அதன் அருகில் உள்ள தெரியாத பகுதி அதன் வலதுபுறத்தில் உள்ளது மற்றும் இந்த விளிம்பை அகராதியில் எழுதுவோம். பின்னர் அகராதியில் விளிம்பில் ba ஐக் கண்டுபிடிப்போம் - அது அதில் இருப்பதால், அது ஏற்கனவே உயிருடன் உள்ளது (அதன் அருகில் உள்ள அறியப்பட்ட பகுதி முக்கோணம் abc). தெரியாத பகுதி, முக்கோணம் afb, இப்போது கண்டுபிடிக்கப்பட்டதால், இந்த விளிம்பு அகராதியில் இருந்து அகற்றப்பட்டது.

updateFrontier செயல்பாடு எல்லை அகராதியைத் திருத்துகிறது, இதில் விளிம்பின் நிலை a புள்ளியிலிருந்து b வரை மாறுகிறது:

அரிசி. 5

காலியான புதுப்பிப்பு எல்லைப்புறம் (அகராதி &frontier, Point &a, Point &b) ( Edge *e = new Edge (a, b); if (frontier.find (e)) frontier.remove(e); else ( e->flip(); frontier.insert( இ);))

ஹல்எட்ஜ் செயல்பாடு வரிசை s இல் உள்ள n புள்ளிகளுக்கு இடையில் ஒரு ஹல் விளிம்பைக் கண்டறியும். இந்தச் செயல்பாடு உண்மையில் பரிசு மடக்குதல் முறையின் துவக்கப் படி மற்றும் முதல் மறு செய்கையைப் பயன்படுத்துகிறது:

எட்ஜ் *hullEdge (புள்ளி s, int n) ( int m = 0; (int i = 1; i< n; i++) if (s[i] < s[m]) m = i; swap(s, s[m]); for (m = 1, i = 2; i < n; i++) { int с = s[i].classify (s, s[m]); if ((c == LEFT) || (C == BETWEEN)) m = i; } return new Edge(s, s[m]); }

முக்கோணச் செயல்பாடானது, மூன்று புள்ளிகளுக்கு அளவுருக்களாக பலகோணத்தை உருவாக்கி வழங்குகிறது:

பலகோணம் *முக்கோணம் (புள்ளி &a, புள்ளி &b, புள்ளி &c) ( பலகோணம் *t = புதிய பலகோணம்; t->செருகு (a); t->செருகு (b); t->செருகு (c); திரும்ப t; )

GRID மாதிரிகள் வழக்கமான கலங்களின் மாதிரிகள்.

ஒருங்கிணைப்பு முறை அறிமுகப்படுத்தப்படட்டும்
மற்றும் மற்றும்
. பயனர் தொகுப்புகள்
மற்றும் மாதிரி படிகள்
.

,

- புள்ளியின் இயற்பியல் ஒருங்கிணைப்புகள்.

நாங்கள் கணக்கிடுகிறோம்
மற்றும்
,
- பிட் கட்டம்.

- அளவிடப்பட்ட மதிப்புகள். உண்மையான:

- அல்காரிதம் அளவுரு - புள்ளிகளின் எண்ணிக்கை, - எடை. புள்ளி நெருக்கமாக, அதிக எடை.

- தூரத்தின் அளவு (1 அல்லது 2).

இயல்பாக்கம் காரணி:

எப்படி 1 க்கு அருகில், அதிக எடையுடன் அதிக புள்ளிகள் கணக்கில் எடுத்துக்கொள்ளப்படுகின்றன.

இது IDW முறை - நீண்டது, ஒவ்வொரு டிக்கும் அண்டை நாடுகளைக் கண்டுபிடிப்பது அவசியம். அண்டை நாடுகளின் தொகுப்பை திறமையாகக் காணலாம் - அருகில். ஒவ்வொரு புள்ளியும் ஒரு குறிப்பிட்ட உயரத்தின் "பெக்" உருவாக்குகிறது. இதற்கு அவர்கள் எடுக்கும் புள்ளியை அமைப்பதில் உள்ள ஒழுங்கற்ற தன்மையைப் பொறுத்தது
அல்லது
அந்த. செக்டர்களாகப் பிரிக்கப்பட்டு, அருகில் உள்ள புள்ளிகளை உருவாக்கவும்.

நன்மை- எளிமை

குறைபாடு:

------டிக்கெட் 14. டின் மாடல். டெலானே முக்கோண அல்காரிதம்கள்------

1) முக்கோணம் (தகரம்).

முக்கோணம்- துண்டு வரிசையான நேரியல் செயல்பாடுகளின் தொகுப்பின் வடிவத்தில் ஒரு செயல்பாட்டின் கட்டுமானம்

முக்கோணம்- ஒரு குவிந்த பகுதிக்குள் இடைச்செருகல்.

முக்கோணம்- ஒரு பிளானர் வரைபடம், அதன் உள் விளிம்புகள் அனைத்தும் முக்கோணங்கள்; ஒன்றுடன் ஒன்று இல்லாமல் முக்கோண வடிவில் இடத்தைக் குறிக்கும் ஒரு வழி. முக்கோணம் பல வழிகளில் புள்ளிகளின் தொகுப்பில் கட்டப்பட்டுள்ளது.

உகந்த முக்கோணத்தை உருவாக்க ஒரு அல்காரிதம் தேவை.

3 புள்ளிகளைக் கடந்து செல்லும் விமானம்.

1) ஒரு முக்கோணத்தைக் கண்டுபிடி
;

2)
- விமானத்தின் சமன்பாட்டை உருவாக்கவும்.

புள்ளிகள் முக்கோணத்திற்குள் உள்ளதா இல்லையா என்பதைச் சரிபார்க்க, நீங்கள் கோடுகளின் சமன்பாட்டில் மதிப்பை மாற்ற வேண்டும் - முக்கோணத்தின் விளிம்புகள். அனைத்து 3 சமன்பாடுகளும் > 0 எனில், உள்ளே.

விளக்கக்காட்சி அமைப்பு:

ஒவ்வொரு முக்கோணமும் ஒரே எண்ணிக்கையிலான முக்கோணங்களைக் கொண்டுள்ளது.

, எங்கே - உள் புள்ளிகளின் எண்ணிக்கை,
- புள்ளிகளின் அளவு.

பேராசை முக்கோணம்.

அனைத்து புள்ளிகளையும் விளிம்புகளுடன் இணைக்கிறோம், குறைந்தபட்சத்தைத் தேர்ந்தெடுத்து, அவற்றை முக்கோணத்தில் சேர்க்கிறோம். அடுத்து, முந்தையவற்றுடன் குறுக்கிடாத அடுத்த குறைந்தபட்சத்தை நாங்கள் எடுத்துக்கொள்கிறோம். விளைவு பேராசை முக்கோணம்.

டெலானே முக்கோணம்.

எந்த முக்கோணத்தைச் சுற்றிலும் ஒரு வட்டத்தின் உட்புறம் மற்ற முக்கோணங்களின் புள்ளிகளைக் கொண்டிருக்காது. இது ஒரே வழியில் கட்டப்பட்டுள்ளது.

ஒரு புரட்டு என்பது விளிம்புகளின் பரிமாற்றம். இது வழக்கமான முக்கோணத்திலிருந்து டெலானே முக்கோணத்திற்கு செல்ல உங்களை அனுமதிக்கிறது. ஒரு புள்ளி வட்டத்தைச் சேர்ந்ததா என்பதைச் சரிபார்க்க: மாற்று என்றால்< R, то внутри.

டிலானே நிலை.

மூன்று புள்ளிகளைக் கடந்து செல்லும் வட்டத்தின் சமன்பாடு:

பூஜ்ஜியத்தை விட குறைவாக இருந்தால், வெளி, இல்லையெனில் - உள்.

- டிலானே நிலை.

டெலானே முக்கோணத்தை உருவாக்குவதற்கான அல்காரிதம்:

1) விசாரணையின் கீழ் புள்ளிகளைச் சேர்த்தல்- ஒரு எளிய செயல் வழிமுறை:

ஒரு தொகுப்பு உள்ளது
முக்கோணத்தில் சேர்க்கவும், கட்டுமானம் மேற்கொள்ளப்படுகிறது
முக்கோணம் பிளவு
மீண்டும் கட்டுதல். பூஜ்ஜிய கட்டத்தில், நாங்கள் 3-4 கற்பனையான புள்ளிகளைச் சேர்க்கிறோம், இது வெளிப்படையாக எங்கள் உறை, உள்ளே உள்ள அனைத்து புள்ளிகளையும் உள்ளடக்கியது. பின்னர் நாம் புள்ளியை வீசுகிறோம், அது எந்த முக்கோணத்தைத் தாக்குகிறது என்பதைப் பாருங்கள், அதை 3 ஆகப் பிரிக்கிறோம், ஒவ்வொரு முக்கோணத்திற்கும் டெலானே நிலையை சரிபார்த்து விளிம்புகளை மாற்றுவோம். பாதை மாற்றங்களின் சராசரி எண்ணிக்கை மூன்று.

தத்துவார்த்த சிக்கலானது

2) முடுக்கம் முறைகள்.புள்ளியியல் சார்ந்து புள்ளிகளின் அடிப்படையில். விதை முக்கோணம் என்பது முந்தைய புள்ளி விழுந்த முக்கோணமாகும். பின்னர் நாம் இரண்டு புள்ளிகளை இணைக்கிறோம் - முந்தையது மற்றும் புதியது.

நாம் முதல் புள்ளியிலிருந்து மற்றொன்றுக்கு நகர்கிறோம்.