மாறுபாடு தொடருக்கு வடிவம் இருந்தால். மாறுபாடு மற்றும் மாறுபாடு தொடர், மாறுபாட்டின் நோக்கம்

அட்டவணை 1. ஒரு தனித்துவமான மாறுபாடு அதிர்வெண் தொடரின் பொதுவான பார்வை

அட்டவணை 2. அதிர்வெண்களின் இடைவெளி மாறுபாடு வரிசையின் பொதுவான பார்வை

அட்டவணை 3. மாறுபாடு தொடரின் கிராஃபிக் படங்கள்

வரிசை	பலகோணம் அல்லது ஹிஸ்டோகிராம்		அனுபவ விநியோக செயல்பாடு
தனித்தனி
இடைவெளி

அட்டவணையில் 2.3 (ஏப்ரல் 1994 இல் சராசரி தனிநபர் வருமானத்தின் அடிப்படையில் ரஷ்ய மக்கள்தொகையை தொகுத்தல்) வழங்கப்படுகிறது இடைவெளி மாறுபாடு தொடர்.
ஒரு வரைகலை படத்தைப் பயன்படுத்தி விநியோகத் தொடரை பகுப்பாய்வு செய்வது வசதியானது, இது விநியோகத்தின் வடிவத்தை தீர்மானிக்க அனுமதிக்கிறது. மாறுபாடு தொடரின் அதிர்வெண்களில் ஏற்படும் மாற்றங்களின் தன்மையின் காட்சிப் பிரதிநிதித்துவம் வழங்கப்படுகிறது பலகோணம் மற்றும் ஹிஸ்டோகிராம்.
தனித்த மாறுபாடு தொடர்களை சித்தரிக்கும் போது பலகோணம் பயன்படுத்தப்படுகிறது.
உதாரணமாக, அபார்ட்மெண்ட் வகை மூலம் வீட்டுப் பங்குகளின் விநியோகத்தை வரைபடமாக சித்தரிப்போம் (அட்டவணை 2.10).
அட்டவணை 2.10 - அபார்ட்மெண்ட் வகை (நிபந்தனை புள்ளிவிவரங்கள்) மூலம் நகர்ப்புற பகுதியின் வீட்டு பங்கு விநியோகம்.

அரிசி. வீட்டு விநியோக பகுதி

அரிசி. 2.2 ஒரு நபருக்கு வாழும் இடத்தின் அளவு மூலம் குடும்பங்களின் விநியோகத்தின் வரலாற்று வரைபடம்

அரிசி. 2.3 ஒரு நபருக்கு வாழும் இடத்தின் அளவு மூலம் குடும்பங்களின் ஒட்டுமொத்த விநியோகம்

மாறுபாடு தொடர்களை வரைபடமாகப் பிரதிநிதித்துவப்படுத்தவும் பயன்படுத்தலாம் ஒட்டுமொத்த வளைவு. ஒரு குவிப்பு (தொகை வளைவு) பயன்படுத்தி, திரட்டப்பட்ட அதிர்வெண்களின் தொடர் சித்தரிக்கப்படுகிறது. குழுக்கள் முழுவதும் அதிர்வெண்களை வரிசையாகச் சுருக்குவதன் மூலம் ஒட்டுமொத்த அதிர்வெண்கள் தீர்மானிக்கப்படுகின்றன.

அரிசி. 2.4 ஒரு நபருக்கு வசிக்கும் இடத்தின் அளவு மூலம் குடும்பங்களின் விநியோகம்

ஒரு இடைவெளி மாறுபாடு தொடரின் குவிப்பை உருவாக்கும்போது, ​​தொடரின் மாறுபாடுகள் அப்சிஸ்ஸா அச்சில் திட்டமிடப்படுகின்றன, மேலும் திரட்டப்பட்ட அதிர்வெண்கள் ஆர்டினேட் அச்சில் திட்டமிடப்படுகின்றன.

புள்ளிவிவர பகுப்பாய்வில் ஒரு சிறப்பு இடம் என்பது ஆய்வு செய்யப்படும் பண்பு அல்லது நிகழ்வின் சராசரி அளவை நிர்ணயிப்பதாகும். ஒரு பண்பின் சராசரி நிலை சராசரி மதிப்புகளால் அளவிடப்படுகிறது.

சராசரி மதிப்பானது, ஆய்வு செய்யப்படும் பண்பின் பொது அளவு அளவை வகைப்படுத்துகிறது மற்றும் புள்ளிவிவர மக்கள்தொகையின் ஒரு குழு சொத்து ஆகும். இது ஒரு திசையில் அல்லது மற்றொரு திசையில் தனிப்பட்ட அவதானிப்புகளின் சீரற்ற விலகல்களை சமன் செய்கிறது, பலவீனப்படுத்துகிறது மற்றும் ஆய்வு செய்யப்படும் பண்புகளின் முக்கிய, பொதுவான பண்புகளை எடுத்துக்காட்டுகிறது.

சராசரிகள் பரவலாகப் பயன்படுத்தப்படுகின்றன:

1. மக்கள்தொகையின் சுகாதார நிலையை மதிப்பிடுவதற்கு: உடல் வளர்ச்சியின் பண்புகள் (உயரம், எடை, மார்பு சுற்றளவு போன்றவை), பல்வேறு நோய்களின் பரவல் மற்றும் கால அளவைக் கண்டறிதல், மக்கள்தொகை குறிகாட்டிகளை பகுப்பாய்வு செய்தல் (மக்கள்தொகையின் முக்கிய இயக்கம், சராசரி ஆயுட்காலம், மக்கள்தொகை இனப்பெருக்கம், சராசரி மக்கள்தொகை மற்றும் பல).

2. மருத்துவ நிறுவனங்கள், மருத்துவ பணியாளர்களின் செயல்பாடுகளை ஆய்வு செய்தல் மற்றும் அவர்களின் பணியின் தரத்தை மதிப்பிடுதல், பல்வேறு வகையான மருத்துவ பராமரிப்புக்கான மக்கள்தொகையின் தேவைகளைத் திட்டமிடுதல் மற்றும் தீர்மானித்தல் (ஒரு குடிமகனுக்கு ஆண்டுக்கு சராசரி கோரிக்கைகள் அல்லது வருகைகள், சராசரியாக தங்கியிருக்கும் காலம் ஒரு மருத்துவமனையில் நோயாளி, பரிசோதனை நோயாளியின் சராசரி காலம், மருத்துவர்களின் சராசரி இருப்பு, படுக்கைகள் போன்றவை).

3. சுகாதார மற்றும் தொற்றுநோயியல் நிலையை வகைப்படுத்த (பட்டறையில் சராசரி காற்று தூசி உள்ளடக்கம், ஒரு நபருக்கு சராசரி பகுதி, புரதங்கள், கொழுப்புகள் மற்றும் கார்போஹைட்ரேட்டுகளின் சராசரி நுகர்வு போன்றவை).

4. சாதாரண மற்றும் நோயியல் நிலைகளில் மருத்துவ மற்றும் உடலியல் குறிகாட்டிகளைத் தீர்மானிக்க, ஆய்வகத் தரவை செயலாக்கும் போது, ​​சமூக, சுகாதாரமான, மருத்துவ மற்றும் பரிசோதனை ஆய்வுகளில் மாதிரி ஆய்வின் முடிவுகளின் நம்பகத்தன்மையை நிறுவுதல்.

சராசரி மதிப்புகளின் கணக்கீடு மாறுபாடு தொடரின் அடிப்படையில் செய்யப்படுகிறது. மாறுபாடு தொடர்ஒரு தரமான ஒரே மாதிரியான புள்ளியியல் தொகுப்பாகும், இதன் தனிப்பட்ட அலகுகள் ஆய்வு செய்யப்படும் பண்பு அல்லது நிகழ்வின் அளவு வேறுபாடுகளை வகைப்படுத்துகின்றன.

அளவு மாறுபாடு இரண்டு வகைகளாக இருக்கலாம்: இடைவிடாத (தனிப்பட்ட) மற்றும் தொடர்ச்சியான.

ஒரு தொடர்ச்சியற்ற (தனிப்பட்ட) பண்பு ஒரு முழு எண்ணாக மட்டுமே வெளிப்படுத்தப்படுகிறது மற்றும் எந்த இடைநிலை மதிப்புகளையும் கொண்டிருக்க முடியாது (எடுத்துக்காட்டாக, வருகைகளின் எண்ணிக்கை, தளத்தின் மக்கள் தொகை, குடும்பத்தில் உள்ள குழந்தைகளின் எண்ணிக்கை, புள்ளிகளில் நோயின் தீவிரம் , முதலியன).

ஒரு தொடர்ச்சியான அடையாளம் பகுதியளவு உட்பட சில வரம்புகளுக்குள் எந்த மதிப்புகளையும் எடுக்கலாம் மற்றும் தோராயமாக மட்டுமே வெளிப்படுத்தப்படுகிறது (எடுத்துக்காட்டாக, எடை - பெரியவர்களுக்கு இது கிலோகிராம், மற்றும் புதிதாகப் பிறந்தவர்களுக்கு - கிராம்; உயரம், இரத்த அழுத்தம், நேரம் ஒரு நோயாளியைப் பார்ப்பதற்காக செலவழித்தார், மற்றும் பல).

மாறுபாடு தொடரில் சேர்க்கப்பட்டுள்ள ஒவ்வொரு தனிப்பட்ட குணாதிசயம் அல்லது நிகழ்வின் டிஜிட்டல் மதிப்பு ஒரு மாறுபாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது மற்றும் கடிதத்தால் குறிக்கப்படுகிறது வி . எடுத்துக்காட்டாக, கணித இலக்கியத்திலும் பிற குறிப்புகள் காணப்படுகின்றன எக்ஸ் அல்லது ஒய்.

ஒவ்வொரு விருப்பமும் ஒரு முறை குறிக்கப்படும் ஒரு மாறுபாடு தொடர், எளிமையானது என்று அழைக்கப்படுகிறது.கணினி தரவு செயலாக்கத்தில் பெரும்பாலான புள்ளியியல் சிக்கல்களில் இத்தகைய தொடர்கள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன.

அவதானிப்புகளின் எண்ணிக்கை அதிகரிக்கும் போது, ​​மீண்டும் மீண்டும் மாறுபாடு மதிப்புகள் ஏற்படும். இந்த வழக்கில், அது உருவாக்கப்பட்டது குழு மாறுபாடு தொடர், மீண்டும் மீண்டும் எண்ணிக்கை குறிப்பிடப்படும் இடத்தில் (அதிர்வெண், " என்ற எழுத்தால் குறிக்கப்படுகிறது ஆர் »).

வரிசைப்படுத்தப்பட்ட மாறுபாடு தொடர்ஏறுவரிசை அல்லது இறங்கு வரிசையில் ஏற்பாடு செய்யப்பட்ட விருப்பங்களைக் கொண்டுள்ளது. எளிய மற்றும் தொகுக்கப்பட்ட தொடர்கள் இரண்டையும் தரவரிசையுடன் தொகுக்கலாம்.

இடைவெளி மாறுபாடு தொடர்கணினியைப் பயன்படுத்தாமல், மிக அதிக எண்ணிக்கையிலான கண்காணிப்பு அலகுகளுடன் (1000 க்கும் அதிகமானவை) அடுத்தடுத்த கணக்கீடுகளை எளிதாக்கும் வகையில் தொகுக்கப்பட்டது.

தொடர்ச்சியான மாறுபாடு தொடர்விருப்ப மதிப்புகளை உள்ளடக்கியது, இது எந்த மதிப்பாகவும் இருக்கலாம்.

ஒரு மாறுபாடு தொடரில் ஒரு குணாதிசயத்தின் (மாறுபாடுகள்) மதிப்புகள் தனிப்பட்ட குறிப்பிட்ட எண்களின் வடிவத்தில் கொடுக்கப்பட்டால், அத்தகைய தொடர் அழைக்கப்படுகிறது தனித்தனி.

மாறுபாடு தொடரில் பிரதிபலிக்கும் பண்புகளின் மதிப்புகளின் பொதுவான பண்புகள் சராசரி மதிப்புகள். அவற்றில், மிகவும் பயன்படுத்தப்படும்: எண்கணித சராசரி எம்,பேஷன் மோமற்றும் இடைநிலை நான்.இந்த பண்புகள் ஒவ்வொன்றும் தனித்துவமானது. அவை ஒன்றுக்கொன்று மாற்றியமைக்க முடியாது மற்றும் ஒன்றாக மட்டுமே அவை மாறுபாடு தொடரின் அம்சங்களை முழுமையாகவும் சுருக்கப்பட்ட வடிவத்திலும் பிரதிபலிக்கின்றன.

ஃபேஷன் (மோ) அடிக்கடி நிகழும் விருப்பங்களின் மதிப்பைக் குறிப்பிடவும்.

இடைநிலை (நான்) - இது தரவரிசை மாறுபாடு தொடரை பாதியாகப் பிரிக்கும் விருப்பத்தின் மதிப்பாகும் (இடைநிலையின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் விருப்பத்தின் பாதி உள்ளது). அரிதான சந்தர்ப்பங்களில், ஒரு சமச்சீர் மாறுபாடு தொடர் இருக்கும் போது, ​​பயன்முறையும் இடைநிலையும் ஒன்றுக்கொன்று சமமாக இருக்கும் மற்றும் எண்கணித சராசரியின் மதிப்புடன் ஒத்துப்போகின்றன.

விருப்ப மதிப்புகளின் மிகவும் பொதுவான பண்பு எண்கணித சராசரிமதிப்பு( எம் ) கணித இலக்கியத்தில் இது குறிக்கப்படுகிறது .

எண்கணித சராசரி (எம், ) என்பது ஆய்வு செய்யப்படும் நிகழ்வுகளின் ஒரு குறிப்பிட்ட குணாதிசயத்தின் பொதுவான அளவு பண்பு ஆகும், இது ஒரு தரமான ஒரே மாதிரியான புள்ளிவிவர மக்கள்தொகையை உருவாக்குகிறது. எளிய மற்றும் எடையுள்ள எண்கணித சராசரிகள் உள்ளன. எளிய எண்கணித சராசரி அனைத்து விருப்பங்களையும் தொகுத்து, இந்த மாறுபாடு தொடரில் சேர்க்கப்பட்டுள்ள மொத்த விருப்பங்களின் எண்ணிக்கையால் இந்த தொகையை வகுப்பதன் மூலம் எளிய மாறுபாடு தொடருக்கு கணக்கிடப்படுகிறது. கணக்கீடுகள் சூத்திரத்தின் படி மேற்கொள்ளப்படுகின்றன:

,

எங்கே: எம் - எளிய எண்கணித சராசரி;

Σ வி - தொகை விருப்பம்;

n- அவதானிப்புகளின் எண்ணிக்கை.

தொகுக்கப்பட்ட மாறுபாடு தொடரில், எடையுள்ள எண்கணித சராசரி தீர்மானிக்கப்படுகிறது. அதைக் கணக்கிடுவதற்கான சூத்திரம்:

,

எங்கே: எம் - எண்கணித எடை சராசரி;

Σ வி.பி - அவற்றின் அதிர்வெண்களால் மாறுபாட்டின் தயாரிப்புகளின் கூட்டுத்தொகை;

n- அவதானிப்புகளின் எண்ணிக்கை.

அதிக எண்ணிக்கையிலான அவதானிப்புகளுடன், கையேடு கணக்கீடுகளின் விஷயத்தில், தருணங்களின் முறையைப் பயன்படுத்தலாம்.

எண்கணித சராசரி பின்வரும் பண்புகளைக் கொண்டுள்ளது:

சராசரியிலிருந்து விலகல்களின் கூட்டுத்தொகை ( Σ ஈ ) பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம் (அட்டவணை 15 ஐப் பார்க்கவும்);

· அனைத்து விருப்பங்களையும் ஒரே காரணி (வகுத்தல்) மூலம் பெருக்கும் போது (வகுத்தல்), எண்கணித சராசரி அதே காரணி (வகுத்தல்) மூலம் பெருக்கப்படுகிறது (வகுக்கப்படுகிறது);

· எல்லா விருப்பங்களிலும் ஒரே எண்ணைச் சேர்த்தால் (கழித்தால்), எண்கணித சராசரி அதே எண்ணால் அதிகரிக்கிறது (குறைகிறது).

எண்கணித சராசரிகள், அவை கணக்கிடப்படும் தொடரின் மாறுபாட்டை கணக்கில் எடுத்துக் கொள்ளாமல், மாறுபாடு தொடரின் பண்புகளை முழுமையாக பிரதிபலிக்காது, குறிப்பாக மற்ற சராசரிகளுடன் ஒப்பிடுவது அவசியம். மதிப்பில் நெருக்கமாக இருக்கும் சராசரிகள் பல்வேறு அளவு சிதறல்களைக் கொண்ட தொடரிலிருந்து பெறலாம். தனிப்பட்ட விருப்பங்கள் அவற்றின் அளவு பண்புகளின் அடிப்படையில் ஒருவருக்கொருவர் நெருக்கமாக உள்ளன, குறைவாக இருக்கும் சிதறல் (ஊசலாட்டம், மாறுபாடு)தொடர், மிகவும் பொதுவான அதன் சராசரி.

ஒரு பண்பின் மாறுபாட்டை மதிப்பிட அனுமதிக்கும் முக்கிய அளவுருக்கள்:

· வாய்ப்பு;

· வீச்சு;

· நிலையான விலகல்;

· மாறுபாட்டின் குணகம்.

ஒரு பண்பின் மாறுபாடு, மாறுபாடு தொடரின் வரம்பு மற்றும் வீச்சு மூலம் தோராயமாக மதிப்பிடப்படலாம். வரம்பானது தொடரின் அதிகபட்ச (V max) மற்றும் குறைந்தபட்ச (V min) விருப்பங்களைக் குறிக்கிறது. அலைவீச்சு (A m) என்பது இந்த விருப்பங்களுக்கு இடையே உள்ள வித்தியாசம்: A m = V max - V min.

மாறுபாடு தொடரின் மாறுபாட்டின் முக்கிய, பொதுவாக ஏற்றுக்கொள்ளப்பட்ட அளவீடு ஆகும் சிதறல் (டி ) ஆனால் பெரும்பாலும் பயன்படுத்தப்படுவது சிதறலின் அடிப்படையில் கணக்கிடப்பட்ட மிகவும் வசதியான அளவுரு ஆகும் - நிலையான விலகல் ( σ ) இது விலகலின் அளவைக் கணக்கில் எடுத்துக்கொள்கிறது ( ஈ ) ஒவ்வொரு மாறுபாடு தொடரின் அதன் எண்கணித சராசரி ( d=V - M ).

சராசரியிலிருந்து விலகல்கள் நேர்மறையாகவும் எதிர்மறையாகவும் இருக்கலாம் என்பதால், அவை சுருக்கமாக “0” (S d=0) இதைத் தவிர்க்க, விலகல் மதிப்புகள் ( ஈ) இரண்டாவது சக்திக்கு உயர்த்தப்பட்டு சராசரியாக இருக்கும். எனவே, ஒரு மாறுபாடு தொடரின் சிதறல் என்பது எண்கணித சராசரியிலிருந்து ஒரு மாறுபாட்டின் விலகல்களின் சராசரி சதுரம் மற்றும் சூத்திரத்தால் கணக்கிடப்படுகிறது:

.

இது மாறுபாட்டின் மிக முக்கியமான பண்பு மற்றும் பல புள்ளிவிவர அளவுகோல்களைக் கணக்கிடப் பயன்படுகிறது.

சிதறல் விலகல்களின் சதுரமாக வெளிப்படுத்தப்படுவதால், அதன் மதிப்பை எண்கணித சராசரியுடன் ஒப்பிட முடியாது. இந்த நோக்கங்களுக்காக இது பயன்படுத்தப்படுகிறது நிலையான விலகல், இது "சிக்மா" என்ற அடையாளத்தால் குறிக்கப்படுகிறது ( σ ) சராசரி மதிப்பின் அதே அலகுகளில் உள்ள எண்கணித சராசரி மதிப்பிலிருந்து மாறுபாடு தொடரின் அனைத்து மாறுபாடுகளின் சராசரி விலகலை இது வகைப்படுத்துகிறது, எனவே அவை ஒன்றாகப் பயன்படுத்தப்படலாம்.

நிலையான விலகல் சூத்திரத்தால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது:

அவதானிப்புகளின் எண்ணிக்கையின் போது குறிப்பிடப்பட்ட சூத்திரம் பயன்படுத்தப்படுகிறது ( n ) 30க்கு மேல். சிறிய எண்ணுடன் n நிலையான விலகல் மதிப்பானது கணித ஆஃப்செட்டுடன் தொடர்புடைய பிழையைக் கொண்டிருக்கும் ( n - 1). இது சம்பந்தமாக, நிலையான விலகலைக் கணக்கிடுவதற்கான சூத்திரத்தில் அத்தகைய சார்புகளை கணக்கில் எடுத்துக்கொள்வதன் மூலம் மிகவும் துல்லியமான முடிவைப் பெறலாம்:

நிலையான விலகல் (கள் ) என்பது ஒரு சீரற்ற மாறியின் நிலையான விலகலின் மதிப்பீடாகும் எக்ஸ்அதன் மாறுபாட்டின் பாரபட்சமற்ற மதிப்பீட்டின் அடிப்படையில் அதன் கணித எதிர்பார்ப்புடன் தொடர்புடையது.

மதிப்புகளுடன் n > 30 நிலையான விலகல் ( σ ) மற்றும் நிலையான விலகல் ( கள் ) அப்படியே இருக்கும் ( σ =s ). எனவே, பெரும்பாலான நடைமுறை கையேடுகளில் இந்த அளவுகோல்கள் வெவ்வேறு அர்த்தங்களைக் கொண்டதாகக் கருதப்படுகிறது.ஒரு திட்டத்தில் எக்செல் கணக்கீடு=STDEV(வரம்பு) செயல்பாட்டைப் பயன்படுத்தி நிலையான விலகலைச் செய்யலாம். நிலையான விலகலைக் கணக்கிட, நீங்கள் பொருத்தமான சூத்திரத்தை உருவாக்க வேண்டும்.

சராசரி சதுரம் அல்லது நிலையான விலகல் ஒரு குணாதிசயத்தின் மதிப்புகள் சராசரி மதிப்பிலிருந்து எவ்வளவு வேறுபடலாம் என்பதை தீர்மானிக்க உங்களை அனுமதிக்கிறது. கோடையில் தினசரி சராசரி வெப்பநிலையுடன் இரண்டு நகரங்கள் உள்ளன என்று வைத்துக்கொள்வோம். இந்த நகரங்களில் ஒன்று கடற்கரையிலும், மற்றொன்று கண்டத்திலும் அமைந்துள்ளது. கடற்கரையில் அமைந்துள்ள நகரங்களில், பகல்நேர வெப்பநிலை வேறுபாடுகள் உள்நாட்டில் அமைந்துள்ள நகரங்களை விட சிறியதாக இருக்கும் என்பது அறியப்படுகிறது. எனவே, கடலோர நகரத்தின் பகல்நேர வெப்பநிலையின் நிலையான விலகல் இரண்டாவது நகரத்தை விட குறைவாக இருக்கும். நடைமுறையில், இதன் பொருள் ஒவ்வொன்றின் சராசரி காற்று வெப்பநிலை குறிப்பிட்ட நாள்கண்டத்தில் அமைந்துள்ள ஒரு நகரத்தில் கடற்கரையில் உள்ள நகரத்தை விட சராசரியாக வேறுபடும். கூடுதலாக, நிலையான விலகல், தேவையான அளவு நிகழ்தகவுடன் சராசரியிலிருந்து சாத்தியமான வெப்பநிலை விலகல்களை மதிப்பீடு செய்ய உங்களை அனுமதிக்கிறது.

நிகழ்தகவு கோட்பாட்டின் படி, சாதாரண விநியோகச் சட்டத்திற்குக் கீழ்ப்படியும் நிகழ்வுகளில், எண்கணித சராசரி, நிலையான விலகல் மற்றும் விருப்பங்களின் மதிப்புகளுக்கு இடையே கடுமையான உறவு உள்ளது ( மூன்று சிக்மா விதி) எடுத்துக்காட்டாக, மாறுபட்ட பண்புகளின் 68.3% மதிப்புகள் M ± 1 க்குள் உள்ளன σ , 95.5% - M ± 2 க்குள் σ மற்றும் 99.7% - M ± 3 க்குள் σ .

நிலையான விலகலின் மதிப்பு, மாறுபாடு தொடர் மற்றும் ஆய்வுக் குழுவின் ஒருமைப்பாட்டின் தன்மையை மதிப்பிட அனுமதிக்கிறது. நிலையான விலகலின் மதிப்பு சிறியதாக இருந்தால், இது ஆய்வு செய்யப்படும் நிகழ்வின் மிக உயர்ந்த ஒருமைப்பாட்டைக் குறிக்கிறது. இந்த வழக்கில் எண்கணித சராசரியானது கொடுக்கப்பட்ட மாறுபாடு தொடருக்கு மிகவும் சிறப்பியல்பு என்று கருதப்பட வேண்டும். இருப்பினும், சிக்மா மதிப்பு மிகவும் சிறியது, ஒரு செயற்கையான கண்காணிப்பு தேர்வு பற்றி சிந்திக்க வைக்கிறது. மிகப் பெரிய சிக்மாவுடன், எண்கணித சராசரியானது மாறுபாடு தொடரை ஒரு சிறிய அளவிற்கு வகைப்படுத்துகிறது, இது ஆய்வு செய்யப்படும் பண்பு அல்லது நிகழ்வின் குறிப்பிடத்தக்க மாறுபாடு அல்லது ஆய்வின் கீழ் உள்ள குழுவின் பன்முகத்தன்மையைக் குறிக்கிறது. இருப்பினும், நிலையான விலகலின் மதிப்பை ஒப்பிடுவது அதே பரிமாணத்தின் அம்சங்களுக்கு மட்டுமே சாத்தியமாகும். உண்மையில், புதிதாகப் பிறந்த குழந்தைகள் மற்றும் பெரியவர்களின் எடையின் பன்முகத்தன்மையை ஒப்பிட்டுப் பார்த்தால், பெரியவர்களில் நாம் எப்போதும் அதிக சிக்மா மதிப்புகளைப் பெறுவோம்.

வெவ்வேறு பரிமாணங்களின் அம்சங்களின் மாறுபாட்டின் ஒப்பீடு இதைப் பயன்படுத்தி செய்யப்படலாம் மாறுபாட்டின் குணகம். இது பன்முகத்தன்மையை சராசரியின் சதவீதமாக வெளிப்படுத்துகிறது, ஒப்பிட அனுமதிக்கிறது பல்வேறு அறிகுறிகள். மருத்துவ இலக்கியத்தில் உள்ள மாறுபாட்டின் குணகம் "" என்ற அடையாளத்தால் குறிக்கப்படுகிறது. உடன் ", மற்றும் கணிதத்தில்" v"மற்றும் சூத்திரத்தால் கணக்கிடப்படுகிறது:

.

10% க்கும் குறைவான மாறுபாட்டின் குணகத்தின் மதிப்புகள் சிறிய சிதறலைக் குறிக்கின்றன, 10 முதல் 20% வரை - சராசரியாக, 20% க்கும் அதிகமானவை - எண்கணித சராசரியைச் சுற்றி வலுவான சிதறல் பற்றி.

எண்கணித சராசரி பொதுவாக தரவுகளின் அடிப்படையில் கணக்கிடப்படுகிறது மாதிரி மக்கள் தொகை. மீண்டும் மீண்டும் ஆய்வுகள் மூலம், சீரற்ற நிகழ்வுகளின் செல்வாக்கின் கீழ், எண்கணித சராசரி மாறலாம். இது ஒரு விதியாக, சாத்தியமான கண்காணிப்பு அலகுகளின் ஒரு பகுதி மட்டுமே ஆய்வு செய்யப்படுகிறது, அதாவது மாதிரி மக்கள் தொகை. ஆய்வு செய்யப்படும் நிகழ்வைக் குறிக்கும் அனைத்து சாத்தியமான அலகுகள் பற்றிய தகவலை முழு மக்களையும் படிப்பதன் மூலம் பெறலாம், இது எப்போதும் சாத்தியமில்லை. அதே நேரத்தில், சோதனைத் தரவைப் பொதுமைப்படுத்தும் நோக்கத்திற்காக, பொது மக்களில் சராசரியின் மதிப்பு ஆர்வமாக உள்ளது. எனவே, ஆய்வு செய்யப்படும் நிகழ்வு பற்றிய பொதுவான முடிவை உருவாக்க, மாதிரி மக்கள்தொகையின் அடிப்படையில் பெறப்பட்ட முடிவுகள் புள்ளிவிவர முறைகளைப் பயன்படுத்தி பொது மக்களுக்கு மாற்றப்பட வேண்டும்.

மாதிரி ஆய்வுக்கும் பொது மக்களுக்கும் இடையிலான உடன்பாட்டின் அளவைத் தீர்மானிக்க, மாதிரி கண்காணிப்பின் போது தவிர்க்க முடியாமல் எழும் பிழையின் அளவை மதிப்பிடுவது அவசியம். இந்த பிழை அழைக்கப்படுகிறது " பிரதிநிதித்துவத்தின் பிழை"அல்லது "எண்கணித சராசரியின் சராசரி பிழை." இது உண்மையில் மாதிரியிலிருந்து பெறப்பட்ட சராசரிகளுக்கு இடையிலான வித்தியாசம் புள்ளியியல் கவனிப்பு, மற்றும் அதே பொருளின் தொடர்ச்சியான ஆய்வின் போது பெறப்படும் ஒத்த மதிப்புகள், அதாவது. பொது மக்களை படிக்கும் போது. மாதிரி சராசரி ஒரு சீரற்ற மாறி என்பதால், அத்தகைய முன்னறிவிப்பு ஆய்வாளருக்கு ஏற்றுக்கொள்ளக்கூடிய நிகழ்தகவு நிலையுடன் செய்யப்படுகிறது. IN மருத்துவ ஆராய்ச்சிஇது குறைந்தது 95% ஆகும்.

பிரதிநிதித்துவப் பிழையை பதிவுப் பிழைகள் அல்லது கவனப் பிழைகள் (சீட்டுகள், தவறான கணக்கீடுகள், எழுத்துப் பிழைகள் போன்றவை) உடன் குழப்ப முடியாது, இது பரிசோதனையின் போது பயன்படுத்தப்படும் போதுமான முறைகள் மற்றும் கருவிகளால் குறைக்கப்பட வேண்டும்.

பிரதிநிதித்துவப் பிழையின் அளவு மாதிரி அளவு மற்றும் பண்பின் மாறுபாடு இரண்டையும் சார்ந்துள்ளது. எப்படி பெரிய எண்அவதானிப்புகள், மாதிரி மக்கள்தொகைக்கு நெருக்கமாக உள்ளது மற்றும் சிறிய பிழை. அடையாளம் எவ்வளவு மாறுகிறதோ, அந்த அளவுக்கு புள்ளிவிவரப் பிழை அதிகமாகும்.

நடைமுறையில், மாறுபாடு தொடரில் பிரதிநிதித்துவ பிழையை தீர்மானிக்க, பின்வரும் சூத்திரம் பயன்படுத்தப்படுகிறது:

,

எங்கே: மீ - பிரதிநிதித்துவத்தின் பிழை;

σ - நிலையான விலகல்;

n- மாதிரியில் உள்ள அவதானிப்புகளின் எண்ணிக்கை.

சூத்திரத்திலிருந்து அளவு என்பது தெளிவாகிறது சராசரி பிழைநிலையான விலகலுக்கு நேரடியாக விகிதாசாரமாக உள்ளது, அதாவது, ஆய்வு செய்யப்படும் பண்புகளின் மாறுபாடு, மற்றும் அவதானிப்புகளின் எண்ணிக்கையின் வர்க்க மூலத்திற்கு நேர்மாறான விகிதாசாரமாகும்.

ஒப்பீட்டு மதிப்புகளைக் கணக்கிடுவதன் அடிப்படையில் புள்ளிவிவர பகுப்பாய்வு செய்யும் போது, ​​ஒரு மாறுபாடு தொடரை உருவாக்குவது அவசியமில்லை. இந்த வழக்கில், உறவினர் குறிகாட்டிகளுக்கான சராசரி பிழையை நிர்ணயிப்பது எளிமையான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி செய்யப்படலாம்:

,

எங்கே: ஆர்- உறவினர் குறிகாட்டியின் மதிப்பு, சதவீதம், பிபிஎம், முதலியன வெளிப்படுத்தப்படுகிறது;

கே- P இன் பரஸ்பரம் மற்றும் (1-P), (100-P), (1000-P) போன்றவற்றில் வெளிப்படுத்தப்படும், காட்டி கணக்கிடப்படும் அடிப்படையில்;

n- மாதிரி மக்கள்தொகையில் அவதானிப்புகளின் எண்ணிக்கை.

இருப்பினும், குறிகாட்டியின் மதிப்பு அதன் அடித்தளத்தை விட குறைவாக இருக்கும்போது மட்டுமே தொடர்புடைய மதிப்புகளுக்கான பிரதிநிதித்துவ பிழையைக் கணக்கிடுவதற்கான குறிப்பிட்ட சூத்திரம் பயன்படுத்தப்படும். தீவிர குறிகாட்டிகளைக் கணக்கிடும் பல நிகழ்வுகளில், இந்த நிபந்தனை பூர்த்தி செய்யப்படவில்லை, மேலும் காட்டி 100% அல்லது 1000% க்கும் அதிகமான எண்ணிக்கையில் வெளிப்படுத்தப்படலாம். அத்தகைய சூழ்நிலையில், ஒரு மாறுபாடு தொடர் கட்டப்பட்டு, நிலையான விலகலின் அடிப்படையில் சராசரி மதிப்புகளுக்கான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி பிரதிநிதித்துவ பிழை கணக்கிடப்படுகிறது.

மக்கள்தொகையில் எண்கணித சராசரியின் மதிப்பைக் கணிப்பது இரண்டு மதிப்புகளைக் குறிப்பதன் மூலம் செய்யப்படுகிறது - குறைந்தபட்சம் மற்றும் அதிகபட்சம். இந்த தீவிர மதிப்புகள் சாத்தியமான விலகல்கள், மக்கள் தொகையின் விரும்பிய சராசரி மதிப்பு ஏற்ற இறக்கமாக இருக்கக்கூடியது " எல்லைகளை நம்புங்கள்».

நிகழ்தகவு கோட்பாட்டின் போஸ்டுலேட்டுகள் 99.7% நிகழ்தகவு கொண்ட ஒரு குணாதிசயத்தின் இயல்பான விநியோகத்துடன், சராசரியின் விலகல்களின் தீவிர மதிப்புகள் மூன்று மடங்கு பிரதிநிதித்துவ பிழையின் மதிப்பை விட அதிகமாக இருக்காது என்பதை நிரூபித்துள்ளது ( எம் ± 3 மீ ); 95.5% இல் - சராசரி மதிப்பின் சராசரி பிழையை விட இரண்டு மடங்கு அதிகமாக இல்லை ( எம் ± 2 மீ ); 68.3% இல் - சராசரி பிழை ஒன்றுக்கு மேல் இல்லை ( எம் ± 1 மீ ) (படம் 9).

அரிசி. 9. நிகழ்தகவு அடர்த்தி சாதாரண விநியோகம்.

சாதாரண காஸியன் விநியோகச் சட்டத்திற்குக் கீழ்ப்படியும் அம்சத்திற்கு மட்டுமே மேலே உள்ள அறிக்கை உண்மை என்பதை நினைவில் கொள்ளவும்.

மருத்துவத் துறை உட்பட பெரும்பாலான சோதனை ஆய்வுகள் அளவீடுகளுடன் தொடர்புடையவை, இதன் முடிவுகள் ஒரு குறிப்பிட்ட இடைவெளியில் கிட்டத்தட்ட எந்த மதிப்பையும் எடுக்கலாம், எனவே, ஒரு விதியாக, அவை தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறிகளின் மாதிரியால் விவரிக்கப்படுகின்றன. இது சம்பந்தமாக, பெரும்பாலான புள்ளிவிவர முறைகள் தொடர்ச்சியான விநியோகங்களைக் கருதுகின்றன. இந்த விநியோகங்களில் ஒன்று, இதில் அடிப்படைப் பங்கு உள்ளது கணித புள்ளிவிவரங்கள், இருக்கிறது சாதாரண, அல்லது காஸியன், விநியோகம்.

இது பல காரணங்களால் ஏற்படுகிறது.

1. முதலாவதாக, சாதாரண விநியோகத்தைப் பயன்படுத்தி பல சோதனை அவதானிப்புகளை வெற்றிகரமாக விவரிக்க முடியும். சாதாரணமாக விநியோகிக்கப்படுவதால், துல்லியமாக இயல்பானதாக இருக்கும் அனுபவ தரவுகளின் விநியோகங்கள் எதுவும் இல்லை என்பதை உடனடியாகக் கவனிக்க வேண்டும். சீரற்ற மதிப்புஇருந்து வரம்பில் உள்ளது, இது நடைமுறையில் ஒருபோதும் நிகழாது. இருப்பினும், சாதாரண விநியோகம் பெரும்பாலும் தோராயமாக நன்றாக வேலை செய்கிறது.

எடை, உயரம் மற்றும் மனித உடலின் பிற உடலியல் அளவுருக்கள் ஆகியவற்றின் அளவீடுகள் மேற்கொள்ளப்படுகிறதா - எல்லா இடங்களிலும் முடிவுகள் மிக அதிக எண்ணிக்கையிலான சீரற்ற காரணிகளால் பாதிக்கப்படுகின்றன ( இயற்கை காரணங்கள்மற்றும் அளவீட்டு பிழைகள்). மேலும், ஒரு விதியாக, இந்த காரணிகள் ஒவ்வொன்றின் விளைவும் அற்பமானது. இதுபோன்ற சந்தர்ப்பங்களில் முடிவுகள் தோராயமாக சாதாரணமாக விநியோகிக்கப்படும் என்று அனுபவம் காட்டுகிறது.

2. ரேண்டம் மாதிரியுடன் தொடர்புடைய பல விநியோகங்கள் பிந்தையவற்றின் அளவு அதிகரிக்கும் போது இயல்பானதாக மாறும்.

3. இயல்பான விநியோகம் மற்ற தொடர்ச்சியான விநியோகங்களின் தோராயமாக மிகவும் பொருத்தமானது (உதாரணமாக, வளைந்திருக்கும்).

4. சாதாரண விநியோகம் பல சாதகமான அம்சங்களைக் கொண்டுள்ளது கணித பண்புகள், இது பெரும்பாலும் வழங்கியது பரந்த பயன்பாடுபுள்ளிவிவரங்களில்.

அதே நேரத்தில், மருத்துவ தரவுகளில் சாதாரண விநியோக மாதிரியால் விவரிக்க முடியாத பல சோதனை விநியோகங்கள் உள்ளன என்பதைக் கவனத்தில் கொள்ள வேண்டும். இந்த நோக்கத்திற்காக, புள்ளிவிவரங்கள் பொதுவாக "அன்பராமெட்ரிக்" என்று அழைக்கப்படும் முறைகளை உருவாக்கியுள்ளன.

ஒரு குறிப்பிட்ட பரிசோதனையிலிருந்து தரவைச் செயலாக்குவதற்குப் பொருத்தமான ஒரு புள்ளிவிவர முறையின் தேர்வு, பெறப்பட்ட தரவு சாதாரண விநியோகச் சட்டத்தைச் சேர்ந்ததா என்பதைப் பொறுத்து செய்யப்பட வேண்டும். சாதாரண விநியோகச் சட்டத்திற்கு ஒரு அடையாளத்தை அடிபணியச் செய்வதற்கான கருதுகோளைச் சோதிப்பது, அதிர்வெண் விநியோக வரைபடம் (வரைபடம்) மற்றும் பல புள்ளிவிவர அளவுகோல்களைப் பயன்படுத்தி மேற்கொள்ளப்படுகிறது. அவர்களில்:

சமச்சீரற்ற அளவுகோல் ( பி );

குர்டோசிஸ் பரிசோதனைக்கான அளவுகோல் ( g );

ஷாபிரோ-வில்க்ஸ் சோதனை ( டபிள்யூ ) .

தரவு விநியோகத்தின் தன்மையின் பகுப்பாய்வு (விநியோகத்தின் இயல்பான தன்மைக்கான சோதனை என்றும் அழைக்கப்படுகிறது) ஒவ்வொரு அளவுருவிற்கும் மேற்கொள்ளப்படுகிறது. ஒரு அளவுருவின் விநியோகம் சாதாரண சட்டத்துடன் ஒத்துப்போகிறதா என்பதை நம்பிக்கையுடன் தீர்மானிக்க, போதுமான அளவு கண்காணிப்பு அலகுகள் (குறைந்தது 30 மதிப்புகள்) தேவை.

ஒரு சாதாரண விநியோகத்திற்கு, வளைவு மற்றும் குர்டோசிஸ் அளவுகோல்கள் மதிப்பு 0 ஐ எடுக்கும். விநியோகம் வலதுபுறமாக மாற்றப்பட்டால் பி > 0 (நேர்மறை சமச்சீரற்ற), உடன் பி < 0 - график распределения смещен влево (отрицательная асимметрия). Критерий асимметрии проверяет форму кривой распределения. В случае нормального закона g =0. மணிக்கு g > 0 என்றால் விநியோக வளைவு கூர்மையாக இருக்கும் g < 0 пик более сглаженный, чем функция нормального распределения.

ஷாபிரோ-வில்க்ஸ் சோதனையைப் பயன்படுத்தி இயல்புநிலையைச் சரிபார்க்க, புள்ளியியல் அட்டவணையைப் பயன்படுத்தி இந்த அளவுகோலின் மதிப்பைக் கண்டறிய வேண்டும். தேவையான நிலைமுக்கியத்துவம் மற்றும் கண்காணிப்பு அலகுகளின் எண்ணிக்கையைப் பொறுத்து (சுதந்திரத்தின் அளவுகள்). பின் இணைப்பு 1. இயல்பான கருதுகோள் இந்த அளவுகோலின் சிறிய மதிப்புகளில் நிராகரிக்கப்படுகிறது, ஒரு விதியாக, டபிள்யூ <0,8.

தொகுத்தல் முறை உங்களை அளவிட அனுமதிக்கிறது மாறுபாடு(மாறுபாடு, ஏற்ற இறக்கம்) அறிகுறிகளின். மக்கள்தொகையில் உள்ள அலகுகளின் எண்ணிக்கை ஒப்பீட்டளவில் சிறியதாக இருக்கும்போது, ​​மக்கள்தொகையை உருவாக்கும் அலகுகளின் தரவரிசை எண்ணிக்கையின் அடிப்படையில் மாறுபாடு அளவிடப்படுகிறது. தொடர் என்று அழைக்கப்படுகிறது தரவரிசையில்,அலகுகள் பண்புகளின் ஏறுவரிசையில் (இறங்கும்) அமைக்கப்பட்டிருந்தால்.

எவ்வாறாயினும், மாறுபாட்டின் ஒப்பீட்டு பண்பு தேவைப்படும்போது தரவரிசைப்படுத்தப்பட்ட தொடர்கள் மிகவும் சுட்டிக்காட்டுகின்றன. கூடுதலாக, பல சந்தர்ப்பங்களில், ஒரு குறிப்பிட்ட தொடரின் வடிவத்தில் பிரதிநிதித்துவப்படுத்துவது நடைமுறையில் கடினமாக இருக்கும் அதிக எண்ணிக்கையிலான அலகுகளைக் கொண்ட புள்ளியியல் மக்களைக் கையாள வேண்டும். இது சம்பந்தமாக, புள்ளிவிவர தரவுகளுடன் ஆரம்ப பொது அறிமுகம் மற்றும் குறிப்பாக குணாதிசயங்களின் மாறுபாட்டைப் படிக்க வசதியாக, ஆய்வின் கீழ் உள்ள நிகழ்வுகள் மற்றும் செயல்முறைகள் பொதுவாக குழுக்களாக இணைக்கப்படுகின்றன, மேலும் குழுவின் முடிவுகள் குழு அட்டவணைகளின் வடிவத்தில் வழங்கப்படுகின்றன.

ஒரு குழு அட்டவணையில் இரண்டு நெடுவரிசைகள் மட்டுமே இருந்தால் - தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட பண்பு (விருப்பங்கள்) மற்றும் குழுக்களின் எண்ணிக்கை (அதிர்வெண் அல்லது அதிர்வெண்) ஆகியவற்றின் படி குழுக்கள். விநியோகத்திற்கு அருகில்.

விநியோக வரம்பு -ஒரு குணாதிசயத்தை அடிப்படையாகக் கொண்ட எளிய வகை கட்டமைப்புக் குழுக்கள், ஒரு குழு அட்டவணையில் இரண்டு நெடுவரிசைகளுடன் பண்புகளின் மாறுபாடுகள் மற்றும் அதிர்வெண்களைக் கொண்டிருக்கும். பல சந்தர்ப்பங்களில், அத்தகைய கட்டமைப்பு குழுவுடன், அதாவது. விநியோகத் தொடரின் தொகுப்புடன், ஆரம்ப புள்ளியியல் பொருள் பற்றிய ஆய்வு தொடங்குகிறது.

தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட குழுக்கள் அதிர்வெண்களால் மட்டுமல்ல, பிற புள்ளிவிவர குறிகாட்டிகளாலும் வகைப்படுத்தப்பட்டால், விநியோகத் தொடரின் வடிவத்தில் ஒரு கட்டமைப்பு குழுவை உண்மையான கட்டமைப்பு குழுவாக மாற்ற முடியும். விநியோகத் தொடரின் முக்கிய நோக்கம் பண்புகளின் மாறுபாட்டைப் படிப்பதாகும். விநியோகத் தொடரின் கோட்பாடு கணிதப் புள்ளியியல் மூலம் விரிவாக உருவாக்கப்பட்டுள்ளது.

விநியோகத் தொடர்கள் பிரிக்கப்பட்டுள்ளன பண்பு(பண்பு பண்புகளின்படி தொகுத்தல், எடுத்துக்காட்டாக, பாலினம், தேசியம், திருமண நிலை போன்றவற்றால் மக்கள்தொகையைப் பிரித்தல்) மற்றும் மாறுபட்ட(அளவு பண்புகள் மூலம் தொகுத்தல்).

மாறுபாடு தொடர்இரண்டு நெடுவரிசைகளைக் கொண்ட ஒரு குழு அட்டவணை: ஒரு அளவு குணாதிசயத்தின்படி அலகுகளின் குழு மற்றும் ஒவ்வொரு குழுவிலும் உள்ள அலகுகளின் எண்ணிக்கை. மாறுபாடு தொடரில் உள்ள இடைவெளிகள் பொதுவாக சமமாக உருவாக்கப்பட்டு மூடப்பட்டிருக்கும். சராசரி தனிநபர் பண வருமானத்தின் அடிப்படையில் ரஷ்ய மக்கள்தொகையின் பின்வரும் குழுவாக மாறுபாடு தொடர் உள்ளது (அட்டவணை 3.10).

அட்டவணை 3.10

2004-2009 இல் சராசரி தனிநபர் வருமானம் மூலம் ரஷ்யாவின் மக்கள்தொகை விநியோகம்.

மாறுபாடு தொடர்கள், தனித்தனி மற்றும் இடைவெளியாக பிரிக்கப்படுகின்றன. தனித்தனிமாறுபாடு தொடர் குறுகிய வரம்புகளுக்குள் மாறுபடும் தனித்துவமான பண்புகளின் மாறுபாடுகளை இணைக்கிறது. ஒரு தனித்துவமான மாறுபாடு தொடரின் ஒரு எடுத்துக்காட்டு, ரஷ்ய குடும்பங்களின் குழந்தைகளின் எண்ணிக்கையால் விநியோகிக்கப்படுகிறது.

இடைவெளிமாறுபாடு தொடர் என்பது தொடர்ச்சியான குணாதிசயங்களின் மாறுபாடுகளை ஒருங்கிணைக்கிறது. இடைவெளி என்பது சராசரி தனிநபர் பண வருமானத்தின் மூலம் ரஷ்ய மக்கள்தொகையின் விநியோகத்தின் மாறுபாடு தொடர் ஆகும்.

நடைமுறையில் தனித்துவமான மாறுபாடு தொடர்கள் பெரும்பாலும் பயன்படுத்தப்படுவதில்லை. இதற்கிடையில், அவற்றைத் தொகுப்பது கடினம் அல்ல, ஏனெனில் குழுக்களின் கலவையானது ஆய்வு செய்யப்பட்ட குழுவின் பண்புகள் உண்மையில் கொண்டிருக்கும் குறிப்பிட்ட மாறுபாடுகளால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது.

இடைவெளி மாறுபாடு தொடர்கள் மிகவும் பரவலாக உள்ளன. அவற்றைத் தொகுக்கும்போது, ​​குழுக்களின் எண்ணிக்கை மற்றும் நிறுவப்பட வேண்டிய இடைவெளிகளின் அளவு பற்றி ஒரு கடினமான கேள்வி எழுகிறது.

இந்த சிக்கலைத் தீர்ப்பதற்கான கொள்கைகள் புள்ளிவிவரக் குழுக்களை உருவாக்குவதற்கான வழிமுறையின் அத்தியாயத்தில் அமைக்கப்பட்டுள்ளன (பத்தி 3.3 ஐப் பார்க்கவும்).

மாறுபாடு தொடர்கள் என்பது பல்வேறு தகவல்களைச் சுருக்கி அல்லது சுருக்கி ஒரு சிறிய வடிவமாக மாற்றுவதற்கான ஒரு வழியாகும்; அவர்களிடமிருந்து மாறுபாட்டின் தன்மையைப் பற்றி ஒரு தெளிவான தீர்ப்பை வழங்கலாம் மற்றும் ஆய்வின் கீழ் உள்ள தொகுப்பில் சேர்க்கப்பட்டுள்ள நிகழ்வுகளின் பண்புகளில் உள்ள வேறுபாடுகளைப் படிக்கலாம். ஆனால் மாறுபாடு தொடரின் மிக முக்கியமான முக்கியத்துவம் என்னவென்றால், அவற்றின் அடிப்படையில் மாறுபாட்டின் சிறப்பு பொதுமைப்படுத்தல் பண்புகள் கணக்கிடப்படுகின்றன (அத்தியாயம் 7 ஐப் பார்க்கவும்).