கொடுக்கப்பட்ட நிகழ்வுக்கு சாதகமான வழக்குகளை நேரடியாக எண்ணுவது கடினமாக இருக்கலாம். எனவே, ஒரு நிகழ்வின் நிகழ்தகவைத் தீர்மானிக்க, இந்த நிகழ்வை வேறு சில எளிமையான நிகழ்வுகளின் கலவையாக கற்பனை செய்வது சாதகமாக இருக்கும். இருப்பினும், இந்த விஷயத்தில், நிகழ்வுகளின் சேர்க்கைகளில் நிகழ்தகவுகளை நிர்வகிக்கும் விதிகளை நீங்கள் அறிந்து கொள்ள வேண்டும். பத்தியின் தலைப்பில் குறிப்பிடப்பட்டுள்ள தேற்றங்கள் இந்த விதிகளுடன் தொடர்புடையவை.

இவற்றில் முதலாவது பல நிகழ்வுகளில் குறைந்தபட்சம் ஒன்று நிகழும் நிகழ்தகவைக் கணக்கிடுவது தொடர்பானது.

கூட்டல் தேற்றம்.

A மற்றும் B இரண்டு பொருந்தாத நிகழ்வுகளாக இருக்கட்டும். இந்த இரண்டு நிகழ்வுகளில் ஏதேனும் ஒன்று நிகழும் நிகழ்தகவு அவற்றின் நிகழ்தகவுகளின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம்:

ஆதாரம். ஜோடிவரிசையில் பொருந்தாத நிகழ்வுகளின் முழுமையான குழுவாக இருக்கட்டும். இந்த ஆரம்ப நிகழ்வுகளில் A க்கு சாதகமான நிகழ்வுகளும் B க்கு சாதகமான நிகழ்வுகளும் இருந்தால், A மற்றும் B நிகழ்வுகள் பொருந்தாதவை என்பதால், எந்த நிகழ்வும் இந்த இரண்டு நிகழ்வுகளுக்கும் சாதகமாக இருக்காது. ஒரு நிகழ்வு (A அல்லது B), இந்த இரண்டு நிகழ்வுகளில் குறைந்தபட்சம் ஒரு நிகழ்வை உள்ளடக்கியது, A மற்றும் ஒவ்வொரு நிகழ்வுக்கும் சாதகமாக இருக்கும் ஒவ்வொரு நிகழ்வுகளும் வெளிப்படையாக விரும்பப்படுகின்றன.

சாதகமான B. எனவே, நிகழ்வுக்கு சாதகமான நிகழ்வுகளின் மொத்த எண்ணிக்கை (A அல்லது B) பின்வரும் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம்:

கே.இ.டி.

இரண்டு நிகழ்வுகளின் விஷயத்தில் மேலே உருவாக்கப்பட்ட கூட்டல் தேற்றம் அவற்றின் எந்த வரையறுக்கப்பட்ட எண்ணுக்கும் எளிதாக மாற்றப்படலாம் என்பதைக் காண்பது எளிது. துல்லியமாக ஜோடிவரிசையில் பொருந்தாத நிகழ்வுகள் இருந்தால், பிறகு

உதாரணமாக, மூன்று நிகழ்வுகளின் விஷயத்தில், ஒருவர் எழுதலாம்

கூட்டல் தேற்றத்தின் ஒரு முக்கிய விளைவு அறிக்கை: நிகழ்வுகள் ஜோடியாகப் பொருந்தாததாகவும் தனித்துவமாக சாத்தியமானதாகவும் இருந்தால்

உண்மையில், நிகழ்வு அல்லது அல்லது அனுமானத்தின் மூலம் உறுதியானது மற்றும் அதன் நிகழ்தகவு, § 1 இல் சுட்டிக்காட்டப்பட்டுள்ளது, ஒன்றுக்கு சமம். குறிப்பாக, அவை ஒன்றுக்கொன்று எதிரான இரண்டு நிகழ்வுகளைக் குறிக்கின்றன என்றால், பிறகு

கூட்டல் தேற்றத்தை எடுத்துக்காட்டுகளுடன் விளக்குவோம்.

எடுத்துக்காட்டு 1. ஒரு இலக்கை நோக்கிச் சுடும் போது, ​​ஒரு சிறந்த ஷாட் எடுப்பதற்கான நிகழ்தகவு 0.3, மற்றும் "நல்ல" ஷாட் எடுப்பதற்கான நிகழ்தகவு 0.4 ஆகும். ஒரு ஷாட்டுக்கு குறைந்தபட்சம் "நல்ல" மதிப்பெண் பெறுவதற்கான நிகழ்தகவு என்ன?

தீர்வு. நிகழ்வு A என்பது "சிறந்த" மதிப்பீட்டைப் பெறுவதாகவும், நிகழ்வு B என்பது "நல்ல" மதிப்பீட்டைப் பெறுவதாகவும் இருந்தால்

எடுத்துக்காட்டு 2. வெள்ளை, சிவப்பு மற்றும் கருப்பு பந்துகள் கொண்ட ஒரு கலசத்தில், வெள்ளை பந்துகள் மற்றும் நான் சிவப்பு பந்துகள் உள்ளன. கறுப்பு இல்லாத பந்தை வரைவதற்கான நிகழ்தகவு என்ன?

தீர்வு. நிகழ்வு A வெள்ளைப் பந்தின் தோற்றத்தையும், நிகழ்வு B சிவப்புப் பந்தையும் கொண்டிருந்தால், பந்தின் தோற்றம் கருப்பு அல்ல.

வெள்ளை அல்லது சிவப்பு பந்தின் தோற்றம் என்று பொருள். நிகழ்தகவு வரையறை மூலம்

பின்னர், கூட்டல் தேற்றத்தின் மூலம், கருப்பு அல்லாத பந்து தோன்றுவதற்கான நிகழ்தகவு சமமாக இருக்கும்;

இந்த சிக்கலை இந்த வழியில் தீர்க்க முடியும். நிகழ்வு C ஒரு கருப்பு பந்தின் தோற்றத்தில் இருக்கட்டும். கருப்பு பந்துகளின் எண்ணிக்கை சமமாக இருப்பதால், P (C) கருப்பு அல்லாத பந்தின் தோற்றமானது C இன் எதிர் நிகழ்வாகும், எனவே, கூட்டல் தேற்றத்தின் மேற்கூறிய தொடர்பின் அடிப்படையில், எங்களிடம் உள்ளது:

முன்பு போல்.

எடுத்துக்காட்டு 3. ரொக்கப் பொருள் லாட்டரியில், 1000 டிக்கெட்டுகளுக்கு 120 ரொக்கம் மற்றும் 80 பொருள் வெற்றிகள் உள்ளன. ஒரு லாட்டரி சீட்டில் எதையும் வெல்லும் நிகழ்தகவு என்ன?

தீர்வு. நாம் ஒரு பண ஆதாயம் மற்றும் B ஒரு பொருள் ஆதாயம் கொண்ட ஒரு நிகழ்வை A மூலம் குறிக்கிறோம் என்றால், நிகழ்தகவு வரையறையில் இருந்து அது பின்வருமாறு

எங்களுக்கு ஆர்வமுள்ள நிகழ்வு (A அல்லது B) ஆல் குறிக்கப்படுகிறது, எனவே இது கூட்டல் தேற்றத்திலிருந்து பின்பற்றப்படுகிறது

எனவே, எந்த வெற்றியின் நிகழ்தகவு 0.2 ஆகும்.

அடுத்த தேற்றத்திற்குச் செல்வதற்கு முன், ஒரு புதிய முக்கியமான கருத்தை நன்கு அறிந்திருப்பது அவசியம் - நிபந்தனை நிகழ்தகவு என்ற கருத்து. இந்த நோக்கத்திற்காக, பின்வரும் உதாரணத்தை கருத்தில் கொண்டு தொடங்குவோம்.

ஒரு கிடங்கில் 400 ஒளி விளக்குகள் உள்ளன என்று வைத்துக்கொள்வோம், இரண்டு வெவ்வேறு தொழிற்சாலைகளில் உற்பத்தி செய்யப்படுகிறது, மேலும் முதலாவது அனைத்து ஒளி விளக்குகளிலும் 75% உற்பத்தி செய்கிறது, இரண்டாவது - 25%. முதல் ஆலையில் தயாரிக்கப்பட்ட மின் விளக்குகளில், 83% ஒரு குறிப்பிட்ட தரநிலையின் நிபந்தனைகளை பூர்த்தி செய்கிறது என்று வைத்துக்கொள்வோம், இரண்டாவது ஆலையின் தயாரிப்புகளுக்கு இந்த சதவீதம் 63 ஆகும். கிடங்கு தரநிலையின் நிபந்தனைகளை பூர்த்தி செய்யும்.

கிடைக்கக்கூடிய நிலையான ஒளி விளக்குகளின் மொத்த எண்ணிக்கையானது முதலில் உற்பத்தி செய்யப்பட்ட ஒளி விளக்குகளைக் கொண்டுள்ளது என்பதை நினைவில் கொள்க

தொழிற்சாலை, மற்றும் இரண்டாவது ஆலை மூலம் தயாரிக்கப்பட்ட 63 ஒளி விளக்குகள், அதாவது, 312 க்கு சமம். எந்த ஒளி விளக்கின் தேர்வும் சமமாக சாத்தியமானதாக கருதப்பட வேண்டும் என்பதால், 400 இல் 312 சாதகமான வழக்குகள் உள்ளன, எனவே

நிகழ்வு B என்பது நாம் தேர்ந்தெடுத்த மின்விளக்கு நிலையானது.

இந்தக் கணக்கீட்டின் போது, ​​நாங்கள் தேர்ந்தெடுத்த மின்விளக்கு எந்த ஆலையின் தயாரிப்பு என்பது குறித்து எந்த அனுமானமும் செய்யப்படவில்லை. இந்த வகையான அனுமானங்களை நாம் செய்தால், நாம் ஆர்வமாக உள்ள நிகழ்தகவு மாறக்கூடும் என்பது வெளிப்படையானது. எனவே, எடுத்துக்காட்டாக, தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட ஒளி விளக்கை முதல் ஆலையில் (நிகழ்வு ஏ) தயாரிக்கப்பட்டது என்று தெரிந்தால், அது நிலையானதாக இருப்பதற்கான நிகழ்தகவு இனி 0.78 ஆக இருக்காது, ஆனால் 0.83 ஆக இருக்கும்.

இந்த வகையான நிகழ்தகவு, அதாவது நிகழ்வு A நிகழ்கிறது என்று கொடுக்கப்பட்ட நிகழ்வு B இன் நிகழ்தகவு, நிகழ்வு A நிகழ்வைக் கொடுக்கப்பட்ட நிகழ்வு B இன் நிபந்தனை நிகழ்தகவு என அழைக்கப்படுகிறது மற்றும் குறிக்கப்படுகிறது.

முந்தைய எடுத்துக்காட்டில், தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட ஒளி விளக்கை முதல் ஆலையில் தயாரிக்கப்படும் நிகழ்வை A ஆல் குறிக்கிறோம் என்றால், நாம் எழுதலாம்

இப்போது நாம் நிகழ்வுகளை இணைக்கும் நிகழ்தகவைக் கணக்கிடுவது தொடர்பான முக்கியமான தேற்றத்தை உருவாக்கலாம்.

பெருக்கல் தேற்றம்.

நிகழ்வுகள் A மற்றும் B ஆகியவற்றை இணைப்பதன் நிகழ்தகவு, நிகழ்வுகளில் ஒன்றின் நிகழ்தகவு மற்றும் மற்றொன்றின் நிபந்தனை நிகழ்தகவு ஆகியவற்றின் விளைபொருளுக்கு சமம், முதலில் நிகழ்ந்தது என்று வைத்துக்கொள்வோம்:

இந்த வழக்கில், A மற்றும் B நிகழ்வுகளின் கலவையானது அவை ஒவ்வொன்றின் நிகழ்வையும் குறிக்கிறது, அதாவது நிகழ்வு A மற்றும் நிகழ்வு B இரண்டின் நிகழ்வு.

ஆதாரம். சமமாக சாத்தியமான ஜோடிவரிசையில் பொருந்தாத நிகழ்வுகளின் முழுமையான குழுவைக் கருத்தில் கொள்வோம், அவை ஒவ்வொன்றும் நிகழ்வு A மற்றும் நிகழ்வு B ஆகிய இரண்டிற்கும் சாதகமாகவோ அல்லது பாதகமாகவோ இருக்கலாம்.

இந்த நிகழ்வுகளை நான்காகப் பிரிப்போம் பல்வேறு குழுக்கள்பின்வரும் வழியில். முதல் குழுவில் நிகழ்வு A மற்றும் நிகழ்வு B ஆகிய இரண்டிற்கும் சாதகமான நிகழ்வுகள் அடங்கும்; இரண்டாவது மற்றும் மூன்றாவது குழுக்களில் நமக்கு விருப்பமான இரண்டு நிகழ்வுகளில் ஒன்றுக்கு சாதகமாக மற்றொன்றுக்கு சாதகமாக இல்லாத நிகழ்வுகள் அடங்கும், எடுத்துக்காட்டாக, இரண்டாவது குழுவில் A க்கு ஆதரவானவை அடங்கும், ஆனால் B க்கு சாதகமாக இல்லை, மேலும் மூன்றாவது குழுவில் அடங்கும் B க்கு ஆதரவாக ஆனால் A க்கு ஆதரவாக இல்லை; இறுதியாக

நான்காவது குழுவில் ஏ அல்லது பிக்கு சாதகமாக இல்லாத நிகழ்வுகள் அடங்கும்.

நிகழ்வுகளின் எண்ணிக்கை ஒரு பொருட்டல்ல என்பதால், இந்த நான்கு குழுக்களாகப் பிரிப்பது இப்படி இருக்கும் என்று நாம் கருதலாம்:

குழு I:

குழு II:

III குழு:

IV குழு:

எனவே, சமமாக சாத்தியமான மற்றும் ஜோடியாக பொருந்தாத நிகழ்வுகளில், நிகழ்வு A மற்றும் நிகழ்வு B இரண்டிற்கும் சாதகமான நிகழ்வுகள் உள்ளன, நிகழ்வு Aக்கு சாதகமாக நிகழ்வுகள் உள்ளன, ஆனால் நிகழ்வு Aக்கு சாதகமாக இல்லை, B க்கு ஆதரவான நிகழ்வுகள், ஆனால் A க்கு சாதகமாக இல்லை, மற்றும் இறுதியாக, A அல்லது B க்கு சாதகமாக இல்லாத நிகழ்வுகள்.

நாம் பரிசீலித்த நான்கு குழுக்களில் (மற்றும் ஒன்றுக்கு மேற்பட்டவை) எந்த ஒரு நிகழ்வையும் கொண்டிருக்கக்கூடாது என்பதை நினைவில் கொள்வோம். இந்த வழக்கில், அத்தகைய குழுவில் உள்ள நிகழ்வுகளின் எண்ணிக்கையைக் குறிக்கும் தொடர்புடைய எண் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்கும்.

குழுக்களாக எங்கள் முறிவு உங்களை உடனடியாக எழுத அனுமதிக்கிறது

A மற்றும் B நிகழ்வுகளின் கலவையானது முதல் குழுவின் நிகழ்வுகளால் விரும்பப்படுகிறது மற்றும் அவர்களால் மட்டுமே. A க்கு சாதகமாக இருக்கும் நிகழ்வுகளின் மொத்த எண்ணிக்கையானது முதல் மற்றும் இரண்டாவது குழுக்களின் மொத்த நிகழ்வுகளின் எண்ணிக்கைக்கு சமம், மேலும் Bக்கு சாதகமாக இருப்பவை முதல் மற்றும் மூன்றாவது குழுக்களின் மொத்த நிகழ்வுகளின் எண்ணிக்கைக்கு சமம்.

இப்போது நிகழ்தகவைக் கணக்கிடுவோம், அதாவது நிகழ்வு B இன் நிகழ்தகவு, நிகழ்வு A நடந்தால். இப்போது மூன்றாவது மற்றும் நான்காவது குழுக்களில் சேர்க்கப்பட்டுள்ள நிகழ்வுகள் மறைந்துவிடும், ஏனெனில் அவற்றின் தோற்றம் நிகழ்வு A மற்றும் எண்ணிக்கைக்கு முரணாக இருக்கும். சாத்தியமான வழக்குகள்இனி சமமாக மாறிவிடும். இவற்றில், நிகழ்வு B முதல் குழுவின் நிகழ்வுகளால் மட்டுமே விரும்பப்படுகிறது, எனவே நாம் பெறுகிறோம்:

தேற்றத்தை நிரூபிக்க, இப்போது வெளிப்படையான அடையாளத்தை எழுதினால் போதும்:

மேலும் மூன்று பின்னங்களையும் மேலே கணக்கிடப்பட்ட நிகழ்தகவுகளுடன் மாற்றவும். தேற்றத்தில் கூறப்பட்டுள்ள சமத்துவத்தை நாங்கள் அடைகிறோம்:

மேலே நாம் எழுதிய அடையாளம் எப்பொழுதும் உண்மையாக இருந்தால் மட்டுமே அர்த்தமுள்ளதாக இருக்கும் என்பது தெளிவாகிறது.

நிகழ்வுகள் A மற்றும் B சமமாக இருப்பதால், அவற்றை மாற்றுவதன் மூலம், பெருக்கல் தேற்றத்தின் மற்றொரு வடிவத்தைப் பெறுகிறோம்:

இருப்பினும், அடையாளத்தைப் பயன்படுத்துவதை நீங்கள் கவனித்தால், இந்த சமத்துவத்தை முந்தையதைப் போலவே பெறலாம்

P(A மற்றும் B) நிகழ்தகவுக்கான இரண்டு வெளிப்பாடுகளின் வலது பக்கங்களை ஒப்பிட்டுப் பார்த்தால், பயனுள்ள சமத்துவத்தைப் பெறுகிறோம்:

பெருக்கல் தேற்றத்தை விளக்கும் உதாரணங்களை இப்போது பார்க்கலாம்.

எடுத்துக்காட்டு 4. ஒரு குறிப்பிட்ட நிறுவனத்தின் தயாரிப்புகளில், 96% தயாரிப்புகள் பொருத்தமானதாகக் கருதப்படுகின்றன (நிகழ்வு A). ஒவ்வொரு நூறு பொருத்தமான பொருட்களில் 75 தயாரிப்புகள் முதல் தரத்தைச் சேர்ந்தவை (நிகழ்வு B). தோராயமாக தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட தயாரிப்பு பொருத்தமானது மற்றும் முதல் தரத்தைச் சேர்ந்தது என்பதற்கான நிகழ்தகவைத் தீர்மானிக்கவும்.

தீர்வு. விரும்பிய நிகழ்தகவு A மற்றும் B நிகழ்வுகளை இணைக்கும் நிகழ்தகவு ஆகும். நிபந்தனையின்படி நாம்: . எனவே பெருக்கல் தேற்றம் கொடுக்கிறது

எடுத்துக்காட்டு 5. ஒரு ஷாட் (நிகழ்வு A) மூலம் இலக்கைத் தாக்கும் நிகழ்தகவு 0.2 ஆகும். 2% உருகிகள் தோல்வியுற்றால் இலக்கைத் தாக்கும் நிகழ்தகவு என்ன (அதாவது, 2% வழக்குகளில் ஷாட் இல்லை

தீர்வு. நிகழ்வு B ஒரு ஷாட் நிகழும் என்று இருக்கட்டும், மற்றும் B என்பது எதிர் நிகழ்வைக் குறிக்கும். பின்னர் நிபந்தனையின்படி மற்றும் கூட்டல் தேற்றத்தின் முடிவின்படி. மேலும், நிபந்தனைக்கு ஏற்ப.

இலக்கைத் தாக்குவது என்பது A மற்றும் B நிகழ்வுகளின் கலவையாகும் (ஷாட் சுடும் மற்றும் வெற்றியைக் கொடுக்கும்), எனவே, பெருக்கல் தேற்றத்தின்படி

முக்கியமான சிறப்பு வழக்குநிகழ்வுகளின் சுதந்திரம் என்ற கருத்தைப் பயன்படுத்தி பெருக்கல் தேற்றங்களைப் பெறலாம்.

இரண்டு நிகழ்வுகளில் ஒன்றின் நிகழ்தகவு மற்றொன்று நிகழ்கிறதா அல்லது நிகழவில்லையா என்பதன் விளைவாக மாறவில்லை என்றால், இரண்டு நிகழ்வுகள் சுயாதீனம் என்று அழைக்கப்படுகின்றன.

சுயாதீன நிகழ்வுகளின் எடுத்துக்காட்டுகள் கைவிடுதல் பல்வேறு எண்கள்ஒரு பகடையை மீண்டும் எறியும் போது புள்ளிகள் அல்லது ஒரு நாணயத்தை மீண்டும் எறியும் போது நாணயத்தின் ஒன்று அல்லது மற்றொரு பக்கம், ஏனெனில் இரண்டாவது வீசுதலின் போது கோட் ஆஃப் ஆர்ம்ஸ் விழுந்ததா என்பதைப் பொருட்படுத்தாமல் நிகழ்தகவு சமமாக இருக்கும் என்பது வெளிப்படையானது. அல்லது முதலில் இல்லை.

அதேபோல, வெள்ளை மற்றும் கருப்பு பந்துகள் உள்ள கலசத்தில் இருந்து இரண்டாவது முறையாக ஒரு வெள்ளைப் பந்தை வரைவதற்கான நிகழ்தகவு, முன்பு வரையப்பட்ட முதல் பந்தை திருப்பி அனுப்பினால், பந்து முதல் முறை வரையப்பட்டதா, வெள்ளை அல்லது கருப்பு என்பதைப் பொறுத்தது அல்ல. எனவே, முதல் மற்றும் இரண்டாவது நீக்குதலின் முடிவுகள் ஒருவருக்கொருவர் சுயாதீனமாக உள்ளன. மாறாக, முதலில் வெளியே எடுக்கப்பட்ட பந்து கலசத்திற்குத் திரும்பவில்லை என்றால், இரண்டாவது அகற்றுதலின் முடிவு முதல் முடிவைப் பொறுத்தது, ஏனெனில் முதல் அகற்றலுக்குப் பிறகு கலசத்தில் உள்ள பந்துகளின் கலவை அதன் முடிவைப் பொறுத்து மாறுகிறது. சார்பு நிகழ்வுகளின் உதாரணம் இங்கே உள்ளது.

நிபந்தனை நிகழ்தகவுகளுக்கு ஏற்றுக்கொள்ளப்பட்ட குறியீட்டைப் பயன்படுத்தி, A மற்றும் B நிகழ்வுகளின் சுதந்திரத்திற்கான நிபந்தனையை வடிவத்தில் எழுதலாம்.

இந்த சமத்துவங்களைப் பயன்படுத்தி, சுயாதீன நிகழ்வுகளுக்கான பெருக்கல் தேற்றத்தை பின்வரும் வடிவத்திற்கு குறைக்கலாம்.

A மற்றும் B நிகழ்வுகள் சுயாதீனமாக இருந்தால், அவற்றின் கலவையின் நிகழ்தகவு இந்த நிகழ்வுகளின் நிகழ்தகவுகளின் விளைபொருளுக்கு சமம்:

உண்மையில், பெருக்கல் தேற்றத்தின் ஆரம்ப வெளிப்பாட்டை வைப்பது போதுமானது, இது நிகழ்வுகளின் சுதந்திரத்திலிருந்து பின்பற்றப்படுகிறது, மேலும் தேவையான சமத்துவத்தைப் பெறுவோம்.

இப்போது பல நிகழ்வுகளைக் கருத்தில் கொள்வோம்: அவற்றில் ஏதேனும் நிகழ்வின் நிகழ்தகவு, பரிசீலனையில் உள்ள வேறு ஏதேனும் நிகழ்வுகள் நடந்ததா இல்லையா என்பதைப் பொறுத்து இல்லை என்றால், அவற்றைக் கூட்டாகச் சுதந்திரமாக அழைப்போம்.

கூட்டாக சுயாதீனமான நிகழ்வுகளின் விஷயத்தில், பெருக்கல் தேற்றம் அவற்றின் எந்த வரையறுக்கப்பட்ட எண்ணிற்கும் நீட்டிக்கப்படலாம், எனவே அதை பின்வருமாறு உருவாக்கலாம்:

மொத்தத்தில் சுயாதீன நிகழ்வுகளை இணைப்பதன் நிகழ்தகவு இந்த நிகழ்வுகளின் நிகழ்தகவுகளின் விளைபொருளுக்கு சமம்:

உதாரணம் 6. ஒரு தொழிலாளி மூன்று தானியங்கி இயந்திரங்களுக்கு சேவை செய்கிறார், அவை ஒவ்வொன்றும் இயந்திரம் நின்றுவிட்டால் செயலிழப்பை சரிசெய்ய அணுக வேண்டும். முதல் இயந்திரம் ஒரு மணி நேரத்திற்குள் நிறுத்தப்படாமல் இருப்பதற்கான நிகழ்தகவு 0.9 ஆகும். இரண்டாவது இயந்திரத்திற்கான அதே நிகழ்தகவு 0.8 மற்றும் மூன்றாவது - 0.7. ஒரு மணி நேரத்திற்குள் தொழிலாளி அவர் சேவை செய்யும் எந்த இயந்திரத்தையும் அணுக வேண்டியதில்லை என்ற நிகழ்தகவைத் தீர்மானிக்கவும்.

எடுத்துக்காட்டு 7. ரைபிள் ஷாட் மூலம் விமானத்தை சுட்டு வீழ்த்துவதற்கான நிகழ்தகவு 250 துப்பாக்கிகள் ஒரே நேரத்தில் சுடப்பட்டால் எதிரி விமானத்தை அழிக்கும் நிகழ்தகவு என்ன?

தீர்வு. ஒரு ஷாட் மூலம் விமானம் சுடப்படாமல் இருப்பதற்கான நிகழ்தகவு கூட்டல் தேற்றத்திற்கு சமம், பின்னர் நாம் பெருக்கல் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி, 250 ஷாட்களுடன் விமானம் சுடப்படாமல் போகும் நிகழ்தகவைக் கணக்கிடலாம். நிகழ்வுகள். இதற்குச் சமம் இதற்குப் பிறகு, நாம் மீண்டும் கூட்டல் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி, எதிர் நிகழ்வின் நிகழ்தகவு என விமானம் சுட்டு வீழ்த்தப்படும் நிகழ்தகவைக் கண்டறியலாம்.

இதிலிருந்து, ஒரு விமானத்தை ஒரு துப்பாக்கியால் சுட்டு வீழ்த்துவதற்கான நிகழ்தகவு மிகக் குறைவு என்றாலும், 250 துப்பாக்கிகளில் இருந்து சுடும் போது, ​​ஒரு விமானத்தை சுடும் நிகழ்தகவு ஏற்கனவே மிகவும் கவனிக்கத்தக்கது. துப்பாக்கிகளின் எண்ணிக்கை அதிகரித்தால் அது கணிசமாக அதிகரிக்கிறது. எனவே, 500 துப்பாக்கிகளில் இருந்து சுடும் போது, ​​ஒரு விமானத்தை சுடும் நிகழ்தகவு, கணக்கிட எளிதானது, 1000 துப்பாக்கிகளில் இருந்து சுடும் போது சமமாக இருக்கும் - கூட.

மேலே நிரூபிக்கப்பட்ட பெருக்கல் தேற்றம், கூட்டல் தேற்றத்தை ஓரளவு விரிவுபடுத்தி, இணக்கமான நிகழ்வுகளுக்கு நீட்டிக்க அனுமதிக்கிறது. A மற்றும் B நிகழ்வுகள் இணக்கமாக இருந்தால், அவற்றில் குறைந்தபட்சம் ஒன்று நிகழும் நிகழ்தகவு அவற்றின் நிகழ்தகவுகளின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமமாக இருக்காது என்பது தெளிவாகிறது. எடுத்துக்காட்டாக, நிகழ்வு A என்றால் இரட்டை எண்

ஒரு டை வீசும்போது புள்ளிகளின் எண்ணிக்கை, மற்றும் நிகழ்வு B என்பது மூன்றின் பெருக்கமான புள்ளிகளின் எண்ணிக்கையை இழப்பது, பின்னர் நிகழ்வு (A அல்லது B) 2, 3, 4 மற்றும் 6 புள்ளிகளின் இழப்பால் சாதகமாக இருக்கும், அது

மறுபுறம், அதாவது. எனவே இந்த விஷயத்தில்

இதிலிருந்து இணக்கமான நிகழ்வுகளின் விஷயத்தில் நிகழ்தகவுகளின் கூட்டல் தேற்றம் மாற்றப்பட வேண்டும் என்பது தெளிவாகிறது. நாம் இப்போது பார்ப்பது போல, இது இணக்கமான மற்றும் பொருந்தாத நிகழ்வுகளுக்கு செல்லுபடியாகும் வகையில் வடிவமைக்கப்படலாம், இதனால் முன்னர் கருதப்பட்ட கூட்டல் தேற்றம் புதிய ஒன்றின் சிறப்பு நிகழ்வாக மாறும்.

ஏ-க்கு சாதகமாக இல்லாத நிகழ்வுகள்.

ஒரு நிகழ்விற்கு (A அல்லது B) சாதகமாக இருக்கும் அனைத்து ஆரம்ப நிகழ்வுகளும் A, அல்லது B மட்டும் அல்லது A மற்றும் B இரண்டையும் சாதகமாக்க வேண்டும். எனவே, அத்தகைய நிகழ்வுகளின் மொத்த எண்ணிக்கை இதற்கு சமம்

மற்றும் நிகழ்தகவு

கே.இ.டி.

பகடை வீசும்போது தோன்றும் புள்ளிகளின் எண்ணிக்கையின் மேற்கூறிய எடுத்துக்காட்டில் சூத்திரத்தைப் (9) பயன்படுத்தினால், நாம் பெறுகிறோம்:

இது நேரடி கணக்கீட்டின் முடிவுடன் ஒத்துப்போகிறது.

வெளிப்படையாக, சூத்திரம் (1) என்பது (9) இன் சிறப்பு வழக்கு. உண்மையில், நிகழ்வுகள் A மற்றும் B பொருந்தவில்லை என்றால், கலவையின் நிகழ்தகவு

உதாரணத்திற்கு. இரண்டு உருகிகள் மின்சுற்றுக்கு தொடரில் இணைக்கப்பட்டுள்ளன. முதல் உருகி தோல்வியின் நிகழ்தகவு 0.6, மற்றும் இரண்டாவது 0.2. இந்த உருகிகளில் ஏதேனும் ஒரு செயலிழப்பின் விளைவாக மின் தோல்வியின் நிகழ்தகவைத் தீர்மானிப்போம்.

தீர்வு. முதல் மற்றும் இரண்டாவது உருகிகளின் தோல்வியை உள்ளடக்கிய A மற்றும் B நிகழ்வுகள் இணக்கமாக இருப்பதால், தேவையான நிகழ்தகவு சூத்திரத்தால் தீர்மானிக்கப்படும் (9):

பயிற்சிகள்

ஒரு நிகழ்வின் கருத்து மற்றும் ஒரு நிகழ்வின் நிகழ்தகவு. நம்பகமான மற்றும் சாத்தியமற்ற நிகழ்வுகள். நிகழ்தகவுக்கான பாரம்பரிய வரையறை. நிகழ்தகவு கூட்டல் தேற்றம். நிகழ்தகவு பெருக்கல் தேற்றம். நிகழ்தகவுகளைச் சேர்ப்பதன் மூலம் நிகழ்தகவைத் தீர்மானிப்பதற்கான எளிய சிக்கல்களைத் தீர்ப்பது.

தலைப்பு 3.1 க்கான வழிகாட்டுதல்கள்:

ஒரு நிகழ்வின் கருத்து மற்றும் ஒரு நிகழ்வின் நிகழ்தகவு. நம்பகமான மற்றும் சாத்தியமற்ற நிகழ்வுகள். நிகழ்தகவுகளின் உன்னதமான வரையறை:

கவனிப்பு அல்லது பரிசோதனையின் வரிசையில் ஒவ்வொரு நிகழ்வின் ஆய்வும் ஒரு குறிப்பிட்ட நிபந்தனைகளை (சோதனைகள்) செயல்படுத்துவதோடு தொடர்புடையது. சோதனையின் ஒவ்வொரு முடிவும் அல்லது முடிவும் அழைக்கப்படுகிறது நிகழ்வு.

கொடுக்கப்பட்ட நிபந்தனைகளின் கீழ் ஒரு நிகழ்வு நடக்கலாம் அல்லது நடக்காமல் இருந்தால், அது அழைக்கப்படுகிறது சீரற்ற.ஒரு நிகழ்வு நிச்சயமானால், அது அழைக்கப்படுகிறது நம்பகமான, மற்றும் அது வெளிப்படையாக நடக்க முடியாத பட்சத்தில், - சாத்தியமற்றது.

நிகழ்வுகள் அழைக்கப்படுகின்றன பொருந்தாத,ஒவ்வொரு முறையும் அவற்றில் ஒன்று மட்டுமே தோன்றினால். நிகழ்வுகள் அழைக்கப்படுகின்றன கூட்டு,கொடுக்கப்பட்ட நிபந்தனைகளின் கீழ், இந்த நிகழ்வுகளில் ஒன்றின் நிகழ்வு அதே சோதனையின் போது மற்றொன்றின் நிகழ்வை விலக்கவில்லை என்றால்.

நிகழ்வுகள் அழைக்கப்படுகின்றன எதிர்,சோதனையின் நிலைமைகளின் கீழ் அவை, அதன் ஒரே விளைவுகளாக இருந்தால், பொருந்தாது.

ஒரு நிகழ்வின் நிகழ்தகவு ஒரு சீரற்ற நிகழ்வின் புறநிலை சாத்தியத்தின் அளவீடாகக் கருதப்படுகிறது.

நிகழ்தகவுநிகழ்வுகள் விளைவுகளின் எண்ணிக்கையின் விகிதம் என்று அழைக்கப்படுகிறது மீ, கொடுக்கப்பட்ட நிகழ்வின் நிகழ்வுக்கு சாதகமானது, அனைத்து விளைவுகளின் எண் n க்கு (பொருந்தாதது, சாத்தியமானது மற்றும் சமமாக சாத்தியம்), அதாவது.

எந்தவொரு நிகழ்வின் நிகழ்தகவு பூஜ்ஜியத்தை விட குறைவாகவும் ஒன்றுக்கு அதிகமாகவும் இருக்கக்கூடாது, அதாவது. . ஒரு சாத்தியமற்ற நிகழ்வு ஒரு நிகழ்தகவுக்கு ஒத்திருக்கிறது, மற்றும் நம்பகமான நிகழ்வு ஒரு நிகழ்தகவுக்கு ஒத்திருக்கிறது

எடுத்துக்காட்டு 1. 1000 டிக்கெட்டுகள் கொண்ட லாட்டரியில், 200 வெற்றி பெற்றவை உள்ளன. ஒரு டிக்கெட் சீரற்ற முறையில் எடுக்கப்படுகிறது. இந்த டிக்கெட் வெற்றி பெறுவதற்கான நிகழ்தகவு என்ன?

வெவ்வேறு விளைவுகளின் மொத்த எண்ணிக்கை n= 1000. வெற்றிக்கு சாதகமான முடிவுகளின் எண்ணிக்கை மீ= 200. சூத்திரத்தின்படி, நாம் பெறுகிறோம்.

எடுத்துக்காட்டு 2. 5 வெள்ளை மற்றும் 3 கருப்பு பந்துகள் கொண்ட ஒரு கலசத்தில் இருந்து ஒரு பந்து வரையப்பட்டது. பந்து கருப்பு நிறமாக இருப்பதற்கான நிகழ்தகவைக் கண்டறியவும்.

மூலம் கருப்பு பந்தின் தோற்றத்தில் உள்ள நிகழ்வைக் குறிக்கலாம். மொத்த வழக்குகளின் எண்ணிக்கை. வழக்குகளின் எண்ணிக்கை மீ, நிகழ்வின் நிகழ்வுக்கு சாதகமானது, 3 க்கு சமம். சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி, நாம் பெறுகிறோம்.

எடுத்துக்காட்டு 3. 12 வெள்ளை மற்றும் 8 கருப்பு பந்துகள் கொண்ட ஒரு கலசத்தில் இருந்து, இரண்டு பந்துகள் சீரற்ற முறையில் வரையப்படுகின்றன. இரண்டு பந்துகளும் கருப்பு நிறமாக இருப்பதற்கான நிகழ்தகவு என்ன?

மூலம் இரண்டு கருப்பு பந்துகளின் தோற்றத்தில் உள்ள நிகழ்வைக் குறிக்கலாம். சாத்தியமான வழக்குகளின் மொத்த எண்ணிக்கை nஇரண்டு மூலம் 20 தனிமங்களின் (12 + 8) சேர்க்கைகளின் எண்ணிக்கைக்கு சமம்:

வழக்குகளின் எண்ணிக்கை மீ, நிகழ்வுக்கு சாதகமானது

சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி, இரண்டு கருப்பு பந்துகள் தோன்றுவதற்கான நிகழ்தகவைக் காண்கிறோம்:

நிகழ்தகவு கூட்டல் தேற்றம். நிகழ்தகவு கூட்டல் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி நிகழ்தகவைத் தீர்மானிப்பதற்கான எளிய சிக்கல்களைத் தீர்ப்பது:

பொருந்தாத நிகழ்வுகளின் நிகழ்தகவுகளைச் சேர்ப்பதற்கான தேற்றம்.பல ஜோடிவரிசை பொருந்தாத நிகழ்வுகளில் ஒன்றின் நிகழ்வின் நிகழ்தகவு, எதுவாக இருந்தாலும், இந்த நிகழ்வுகளின் நிகழ்தகவுகளின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம்:

கூட்டு நிகழ்வுகளின் நிகழ்தகவுகளைச் சேர்ப்பதற்கான தேற்றம்.இரண்டு கூட்டு நிகழ்வுகளில் குறைந்தபட்சம் ஒன்றின் நிகழ்வின் நிகழ்தகவு, அவற்றின் கூட்டு நிகழ்வுகளின் நிகழ்தகவு இல்லாமல் இந்த நிகழ்வுகளின் நிகழ்தகவுகளின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம்:

எடுத்துக்காட்டு 4. ஒரு பெட்டியில் சீரற்ற வரிசையில் 20 பாகங்கள் அமைக்கப்பட்டிருக்கின்றன, அவற்றில் ஐந்து நிலையானவை. ஒரு தொழிலாளி சீரற்ற முறையில் மூன்று பகுதிகளை எடுக்கிறார். தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட பாகங்களில் குறைந்தபட்சம் ஒன்று நிலையானதாக இருக்கும் நிகழ்தகவைக் கண்டறியவும்.

வெளிப்படையாக, மூன்று இணக்கமற்ற நிகழ்வுகள் ஏதேனும் நடந்தால் எடுக்கப்பட்ட பாகங்களில் குறைந்தபட்சம் ஒன்று நிலையானதாக இருக்கும்: பி- ஒரு பகுதி நிலையானது, இரண்டு தரமற்றது; சி- இரண்டு நிலையான பாகங்கள், ஒன்று தரமற்ற மற்றும் டி- மூன்று பகுதிகள் நிலையானவை.

எனவே நிகழ்வு ஏஇந்த மூன்று நிகழ்வுகளின் கூட்டுத்தொகையாக குறிப்பிடலாம்: A = B + C + D.நாம் கூட்டல் தேற்றம் மூலம் P(A) = P(B) + P(C) + P(D).இந்த நிகழ்வுகள் ஒவ்வொன்றின் நிகழ்தகவைக் கண்டறியவும்:

கண்டுபிடிக்கப்பட்ட மதிப்புகளைச் சேர்த்தால், நாம் பெறுகிறோம்

எடுத்துக்காட்டு 5. தோராயமாக எடுக்கப்பட்ட நிகழ்தகவைக் கண்டறியவும் இரண்டு இலக்க எண் 3 அல்லது 5 அல்லது இரண்டின் பெருக்கமாக இருக்கும்.

விடுங்கள் ஏ- தோராயமாகத் தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட எண்ணானது 3 இன் பெருக்கல், மற்றும் பி- அது 5 இன் பெருக்கல் ஆகும். என்பதிலிருந்து கண்டுபிடிப்போம் ஏமற்றும் பிகூட்டு நிகழ்வுகள், பின்னர் நாங்கள் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம்:

மொத்தம் 90 இரண்டு இலக்க எண்கள் உள்ளன: 10, 11, 98, 99. இவற்றில், 30 3 இன் பெருக்கல்களாகும் (நிகழ்வின் நிகழ்வுக்கு சாதகமானது ஏ); 18 - 5 இன் பெருக்கல்கள் (ஒரு நிகழ்வின் நிகழ்வுக்கு சாதகமானது பி) மற்றும் 6 - ஒரே நேரத்தில் 3 மற்றும் 5 இன் பெருக்கல்கள் (நிகழ்வின் நிகழ்வுக்கு சாதகமானது ஏபி) இவ்வாறு, அதாவது.

நிகழ்தகவு பெருக்கல் தேற்றம்:

சுயாதீன நிகழ்வுகளின் நிகழ்தகவுகளை பெருக்குவதற்கான தேற்றம்.இரண்டு சுயாதீன நிகழ்வுகளின் கூட்டு நிகழ்வின் நிகழ்தகவு இந்த நிகழ்வுகளின் நிகழ்தகவுகளின் தயாரிப்புக்கு சமம்:

மொத்தத்தில் சுயாதீனமான பல நிகழ்வுகளின் நிகழ்வின் நிகழ்தகவு சூத்திரத்தால் கணக்கிடப்படுகிறது:

சார்பு நிகழ்வுகளின் நிகழ்தகவுகளை பெருக்குவதற்கான தேற்றம்.இரண்டு சார்பு நிகழ்வுகளின் கூட்டு நிகழ்வின் நிகழ்தகவு அவற்றில் ஒன்றின் தயாரிப்பு மற்றும் இரண்டாவது நிபந்தனை நிகழ்தகவுக்கு சமம்:

எடுத்துக்காட்டு 6. ஒரு கலசத்தில் 4 வெள்ளை மற்றும் 8 கருப்பு பந்துகள் உள்ளன, மற்றொன்றில் 3 வெள்ளை மற்றும் 9 கருப்பு பந்துகள் உள்ளன. ஒவ்வொரு கலசத்திலிருந்தும் ஒரு பந்து எடுக்கப்பட்டது. இரண்டு பந்துகளும் வெண்மையாக இருப்பதற்கான நிகழ்தகவைக் கண்டறியவும்.

முதல் கலசத்தில் இருந்து வெள்ளை பந்தின் தோற்றமாக இருக்கட்டும், இரண்டாவது கலசத்திலிருந்து ஒரு வெள்ளை பந்தின் தோற்றமாக இருக்கட்டும். நிகழ்வுகள் சுயாதீனமானவை என்பது வெளிப்படையானது. நாம் கண்டுபிடிப்போம்

சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி நாம் பெறுகிறோம்:

தலைப்பு 3.1 இல் சுய பரிசோதனை கேள்விகள்:

1. நிகழ்வு என்றால் என்ன?

2. என்ன நிகழ்வுகள் நம்பகமானவை என்று அழைக்கப்படுகின்றன?

3. என்ன நிகழ்வுகள் சாத்தியமற்றது என்று அழைக்கப்படுகின்றன?

4. நிகழ்தகவை வரையறுக்கவும்.

5. நிகழ்தகவுகளைச் சேர்ப்பதற்கான தேற்றத்தை உருவாக்கவும்.

6. நிகழ்தகவு பெருக்கல் தேற்றத்தை உருவாக்கவும்.

க்கான பணிகள் சுதந்திரமான முடிவுதலைப்பு 3.1 இல்:

1. ஒரு பெட்டியில் சீரற்ற வரிசையில் 10 பாகங்கள் உள்ளன, அவற்றில் 4 நிலையானவை. இன்ஸ்பெக்டர் சீரற்ற முறையில் 3 பாகங்களை எடுத்தார். எடுக்கப்பட்ட பாகங்களில் குறைந்தபட்சம் ஒன்று நிலையானதாக மாறியதற்கான நிகழ்தகவைக் கண்டறியவும்.

2. ஒரு கலசத்தில் 10 வெள்ளை, 15 கருப்பு, 20 நீலம் மற்றும் 25 சிவப்பு பந்துகள் உள்ளன. வரையப்பட்ட பந்து இருக்கும் நிகழ்தகவைக் கண்டறியவும்: 1) வெள்ளை; 2) கருப்பு அல்லது சிவப்பு.

3. சீரற்ற முறையில் தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட இரண்டு இலக்க எண் 4 அல்லது 5 அல்லது இரண்டின் பெருக்கமாக இருக்கும் நிகழ்தகவைக் கண்டறியவும்.

4. ஒரு தொழிலாளி ஒன்றுக்கொன்று சாராமல் இயங்கும் இரண்டு இயந்திரங்களுக்கு சேவை செய்கிறார். முதல் இயந்திரம் ஒரு மணி நேரத்திற்குள் ஒரு தொழிலாளியின் கவனம் தேவைப்படாது என்பதற்கான நிகழ்தகவு 0.8 ஆகும், இரண்டாவது இயந்திரத்திற்கு இந்த நிகழ்தகவு 0.7 ஆகும். ஒரு மணி நேரத்திற்குள் ஒரு இயந்திரம் கூட ஒரு தொழிலாளியின் கவனம் தேவைப்படாமல் இருப்பதற்கான நிகழ்தகவைக் கண்டறியவும்.

5. கலசத்தில் 6 பந்துகள் உள்ளன, அவற்றில் 3 வெள்ளை நிறத்தில் உள்ளன. இரண்டு பந்துகள் ஒன்றன் பின் ஒன்றாக சீரற்ற முறையில் வரையப்படுகின்றன. இரண்டு பந்துகளும் வெண்மையாக இருப்பதற்கான நிகழ்தகவைக் கணக்கிடுங்கள்.

6. ஒரு கலசத்தில் 10 வெள்ளை மற்றும் 6 கருப்பு பந்துகள் உள்ளன. ஒன்றன் பின் ஒன்றாக சீரற்ற முறையில் வரையப்பட்ட மூன்று பந்துகள் கருப்பு நிறமாக மாறும் நிகழ்தகவைக் கண்டறியவும்.

ஒரு பரிசோதனை பரிசீலிக்கப்படுகிறது ஈ. இது மீண்டும் மீண்டும் மேற்கொள்ளப்படலாம் என்று கருதப்படுகிறது. சோதனையின் விளைவாக, பல்வேறு நிகழ்வுகள் தோன்றக்கூடும், இது ஒரு குறிப்பிட்ட தொகுப்பை உருவாக்குகிறது எஃப். கவனிக்கக்கூடிய நிகழ்வுகள் மூன்று வகைகளாகப் பிரிக்கப்படுகின்றன: நம்பகமான, சாத்தியமற்றது, சீரற்றவை.

நம்பகமானது ஒரு பரிசோதனையின் விளைவாக நிகழும் ஒரு நிகழ்வு அழைக்கப்படுகிறது ஈ. Ω ஆல் குறிக்கப்படுகிறது.

சாத்தியமற்றது ஒரு பரிசோதனையின் விளைவாக நிகழாத நிகழ்வு என்று அழைக்கப்படுகிறது ஈ. ஆல் குறிக்கப்படுகிறது.

சீரற்ற ஒரு பரிசோதனையின் விளைவாக நிகழக்கூடிய அல்லது நிகழாத நிகழ்வு அழைக்கப்படுகிறது ஈ.

கூடுதல் (எதிர்) நிகழ்வு ஏஎன்பது ஒரு நிகழ்வால் குறிக்கப்படுகிறது, அது நிகழ்வு நிகழவில்லை என்றால் மட்டுமே நிகழும் ஏ.

கூட்டுத்தொகை (சேர்க்கை) நிகழ்வுகள் என்பது இந்த நிகழ்வுகளில் குறைந்தபட்சம் ஏதேனும் நடந்தால் மட்டுமே நிகழும் ஒரு நிகழ்வாகும் (படம் 3.1). குறிப்பு.

படம் 3.1

தயாரிப்பு (சந்தி) நிகழ்வுகள் என்பது இந்த நிகழ்வுகள் அனைத்தும் ஒன்றாக (ஒரே நேரத்தில்) நடந்தால் மட்டுமே நிகழும் ஒரு நிகழ்வாகும் (படம் 3.2). குறிப்பு. நிகழ்வுகள் ஏ மற்றும் பி என்பது வெளிப்படையானது பொருந்தாத , என்றால்.

படம் 3.2

நிகழ்வுகளின் முழு குழு ஒரு குறிப்பிட்ட நிகழ்வின் கூட்டுத்தொகை நிகழ்வுகளின் தொகுப்பாகும்:

நிகழ்வு INஅழைக்கப்பட்டது ஒரு நிகழ்வின் சிறப்பு வழக்கு ஏ, ஒரு நிகழ்வின் நிகழ்வுடன் இருந்தால் INநிகழ்வு தோன்றும் ஏ. நிகழ்ச்சி என்றும் சொல்கிறார்கள் INஒரு நிகழ்வை ஏற்படுத்துகிறது ஏ(படம் 3.3). பதவி

படம் 3.3

நிகழ்வுகள் ஏமற்றும் INஅழைக்கப்படுகின்றன இணையான , பரிசோதனையின் போது அவை ஒன்றாக இருந்தால் அல்லது நிகழவில்லை என்றால் ஈ. பதவி வெளிப்படையாக, என்றால் ...

ஒரு கடினமான நிகழ்வு இயற்கணித செயல்பாடுகளைப் பயன்படுத்தி அதே பரிசோதனையில் காணப்பட்ட பிற நிகழ்வுகளின் மூலம் வெளிப்படுத்தப்பட்ட ஒரு கவனிக்கப்பட்ட நிகழ்வை அழைக்கவும்.

ஒரு குறிப்பிட்ட சிக்கலான நிகழ்வின் நிகழ்தகவு நிகழ்தகவுகளைச் சேர்ப்பதற்கும் பெருக்குவதற்கும் சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடப்படுகிறது.

நிகழ்தகவு கூட்டல் தேற்றம்

விளைவுகள்:

1) நிகழ்வுகள் என்றால் ஏமற்றும் INசீரற்றவை, கூட்டல் தேற்றம் வடிவம் பெறுகிறது:

2) மூன்று சொற்களின் விஷயத்தில், கூட்டல் தேற்றம் வடிவத்தில் எழுதப்பட்டுள்ளது

3) ஒன்றுக்கொன்று எதிரான நிகழ்வுகளின் நிகழ்தகவுகளின் கூட்டுத்தொகை 1க்கு சமம்:

நிகழ்வுகளின் தொகுப்பு ,, ..., என்று அழைக்கப்படுகிறது நிகழ்வுகளின் முழு குழு , என்றால்

ஒரு முழுமையான குழுவை உருவாக்கும் நிகழ்வுகளின் நிகழ்தகவுகளின் கூட்டுத்தொகை 1 க்கு சமம்:

நிகழ்வு நிகழ்வின் நிகழ்தகவு ஏநிகழ்வு என்று வழங்கியது INநடந்தது, அவர்கள் அதை அழைக்கிறார்கள் நிபந்தனை நிகழ்தகவு மற்றும் குறிக்கவும் அல்லது.

ஏமற்றும் IN – சார்ந்த நிகழ்வுகள் , என்றால்.

ஏமற்றும் IN – சுயாதீன நிகழ்வுகள் , என்றால்.

நிகழ்தகவு பெருக்கல் தேற்றம்

விளைவுகள்:

1) சுயாதீன நிகழ்வுகளுக்கு ஏமற்றும் IN

2) இல் பொது வழக்குமூன்று நிகழ்வுகளின் தயாரிப்புக்கு, நிகழ்தகவு பெருக்கல் தேற்றம் வடிவம் கொண்டது:

சிக்கலைத் தீர்ப்பதற்கான எடுத்துக்காட்டுகள்

உதாரணமாக1 - மூன்று கூறுகள் மின்சுற்றுக்கு தொடரில் இணைக்கப்பட்டுள்ளன, ஒருவருக்கொருவர் சுயாதீனமாக இயங்குகின்றன. முதல், இரண்டாவது மற்றும் மூன்றாவது உறுப்புகளின் தோல்வி நிகழ்தகவுகள் முறையே ,. சுற்றுவட்டத்தில் மின்னோட்டம் இருக்காது என்பதற்கான நிகழ்தகவைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு

முதல் வழி.

பின்வரும் நிகழ்வுகளைக் குறிப்போம்: - முறையே முதல், இரண்டாவது மற்றும் மூன்றாவது உறுப்புகளின் தோல்வி சுற்றுவட்டத்தில் ஏற்பட்டது.

நிகழ்வு ஏ- சுற்றுகளில் மின்னோட்டம் இருக்காது (குறைந்தது ஒரு உறுப்பு தோல்வியடையும், ஏனெனில் அவை தொடரில் இணைக்கப்பட்டுள்ளன).

நிகழ்வு - மின்னோட்டத்தில் மின்னோட்டம் உள்ளது (மூன்று கூறுகள் வேலை செய்கின்றன), . எதிர் நிகழ்வுகளின் நிகழ்தகவு சூத்திரத்தால் (3.4) தொடர்புடையது. ஒரு நிகழ்வு என்பது ஜோடியாக சுயாதீனமான மூன்று நிகழ்வுகளின் விளைபொருளாகும். சுயாதீன நிகழ்வுகளின் நிகழ்தகவுகளை பெருக்க தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி, நாங்கள் பெறுகிறோம்

பின்னர் விரும்பிய நிகழ்வின் நிகழ்தகவு .

இரண்டாவது வழி.

முன்னர் ஏற்றுக்கொள்ளப்பட்ட குறியீட்டை கணக்கில் எடுத்துக்கொண்டு, விரும்பிய நிகழ்வை எழுதுகிறோம் ஏ- குறைந்தபட்சம் ஒரு உறுப்பு தோல்வியடையும்:

தொகையில் சேர்க்கப்பட்டுள்ள விதிமுறைகள் இணக்கமாக இருப்பதால், நிகழ்தகவுகளின் கூட்டல் தேற்றத்தை ஒருவர் பயன்படுத்த வேண்டும் பொதுவான பார்வைமூன்று விதிமுறைகளுக்கு (3.3):

பதில்: 0,388.

சுயாதீனமாக தீர்க்க வேண்டிய சிக்கல்கள்

1 வாசிப்பு அறையில் நிகழ்தகவு கோட்பாட்டில் ஆறு பாடப்புத்தகங்கள் உள்ளன, அவற்றில் மூன்று பிணைக்கப்பட்டுள்ளன. நூலகர் எதேச்சையாக இரண்டு பாடப்புத்தகங்களை எடுத்தார். இரண்டு பாடப்புத்தகங்களும் இணைக்கப்படும் நிகழ்தகவைக் கண்டறியவும்.

2 பையில் கலந்த நூல்கள் உள்ளன, அவற்றில் 30% வெள்ளை மற்றும் மீதமுள்ளவை சிவப்பு. தற்செயலாக வரையப்பட்ட இரண்டு நூல்கள் இருக்கும் நிகழ்தகவுகளைத் தீர்மானிக்கவும்: ஒரே நிறம்; வெவ்வேறு நிறங்கள்.

3 சாதனம் சுயாதீனமாக வேலை செய்யும் மூன்று கூறுகளைக் கொண்டுள்ளது. முறையே முதல், இரண்டாவது மற்றும் மூன்றாவது உறுப்புகளின் ஒரு குறிப்பிட்ட காலத்திற்கு தோல்வி இல்லாத செயல்பாட்டின் நிகழ்தகவுகள் 0.6 ஆகும்; 0.7; 0.8 இந்த நேரத்தில் ஒரே ஒரு உறுப்பு தோல்வியின்றி செயல்படும் நிகழ்தகவுகளைக் கண்டறியவும்; இரண்டு கூறுகள் மட்டுமே; மூன்று கூறுகளும்; குறைந்தது இரண்டு கூறுகள்.

4 மூன்று வீசப்பட்டது பகடை. பின்வரும் நிகழ்வுகளின் நிகழ்தகவுகளைக் கண்டறியவும்:

அ) வரையப்பட்ட ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் ஐந்து புள்ளிகள் தோன்றும்;

b) அனைத்து கைவிடப்பட்ட பக்கங்களிலும் ஒரே எண்ணிக்கையிலான புள்ளிகள் தோன்றும்;

c) இரண்டு கைவிடப்பட்ட பக்கங்களில் ஒரு புள்ளி தோன்றும், மூன்றாவது பக்கத்தில் மற்றொரு எண்ணிக்கையிலான புள்ளிகள் தோன்றும்;

ஈ) கைவிடப்பட்ட அனைத்து முகங்களிலும் வெவ்வேறு எண்ணிக்கையிலான புள்ளிகள் தோன்றும்.

5 ஒரு துப்பாக்கி சுடும் வீரர் இலக்கை ஒரு ஷாட் மூலம் தாக்கும் நிகழ்தகவு 0.8 ஆகும். 0.4 க்கும் குறைவான நிகழ்தகவுடன், தவறவிடாமல் இருக்க, துப்பாக்கி சுடும் வீரர் எத்தனை ஷாட்களை சுட வேண்டும்?

6 1, 2, 3, 4, 5 ஆகிய எண்களில் இருந்து, ஒன்று முதலில் தேர்ந்தெடுக்கப்பட்டது, பின்னர் மீதமுள்ள நான்கில் இருந்து - இரண்டாவது இலக்கம். அனைத்து 20 சாத்தியமான விளைவுகளும் சமமாக இருக்கும் என்று கருதப்படுகிறது. ஒற்றைப்படை எண் தேர்ந்தெடுக்கப்படும் நிகழ்தகவைக் கண்டறியவும்: முதல் முறையாக; இரண்டாவது முறை; இரண்டு முறை.

7 கடையின் ஆண்கள் ஷூ பிரிவில் மீண்டும் ஒரு ஜோடி அளவு 46 காலணிகள் விற்கப்படும் நிகழ்தகவு 0.01 ஆகும். ஒரு கடையில் எத்தனை ஜோடி காலணிகள் விற்கப்பட வேண்டும், அதனால் குறைந்தபட்சம் 0.9 நிகழ்தகவுடன் குறைந்தபட்சம் ஒரு ஜோடி அளவு 46 காலணிகள் விற்கப்படும் என்று எதிர்பார்க்கலாம்?

8 பெட்டியில் இரண்டு தரமற்றவை உட்பட 10 பாகங்கள் உள்ளன. தற்செயலாக தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட ஆறு பாகங்களில் ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட தரமற்ற ஒன்று இருக்காது என்பதற்கான நிகழ்தகவைக் கண்டறியவும்.

9 தொழில்நுட்பக் கட்டுப்பாட்டுத் துறையானது தயாரிப்புகளின் தரநிலையை சரிபார்க்கிறது. தயாரிப்பு தரமற்றதாக இருப்பதற்கான நிகழ்தகவு 0.1 ஆகும். நிகழ்தகவைக் கண்டறியவும்:

அ) சோதனை செய்யப்பட்ட மூன்று தயாரிப்புகளில், இரண்டு மட்டுமே தரமற்றதாக மாறும்;

b) வரிசையில் சோதிக்கப்பட்ட நான்காவது தயாரிப்பு மட்டுமே தரமற்றதாக மாறும்.

10 ரஷ்ய எழுத்துக்களின் 32 எழுத்துக்கள் கட்-அவுட் எழுத்துக்கள் அட்டைகளில் எழுதப்பட்டுள்ளன:

அ) மூன்று அட்டைகள் ஒன்றன் பின் ஒன்றாக சீரற்ற முறையில் வெளியே எடுக்கப்பட்டு தோற்ற வரிசையில் மேசையில் வைக்கப்படுகின்றன. "உலகம்" என்ற வார்த்தை வெளிவரும் நிகழ்தகவைக் கண்டறியவும்;

b) அகற்றப்பட்ட மூன்று அட்டைகளை எந்த வகையிலும் மாற்றிக் கொள்ளலாம். "உலகம்" என்ற வார்த்தையை உருவாக்க அவை பயன்படுத்தப்படுவதற்கான நிகழ்தகவு என்ன?

11 ஒரு போராளி ஒரு குண்டுதாரியைத் தாக்கி அதன் மீது இரண்டு சுயாதீன வெடிப்புகளைச் சுடுகிறான். முதல் வெடிப்புடன் ஒரு குண்டுவீச்சை சுட்டு வீழ்த்துவதற்கான நிகழ்தகவு 0.2, மற்றும் இரண்டாவது - 0.3. குண்டுதாரி சுட்டு வீழ்த்தப்படாவிட்டால், அது தனது பின்புற துப்பாக்கிகளில் இருந்து போராளியை நோக்கிச் சுடுகிறது மற்றும் 0.25 நிகழ்தகவுடன் அதை சுட்டு வீழ்த்துகிறது. விமானப் போரின் விளைவாக ஒரு குண்டுவீச்சு அல்லது போர் விமானம் சுட்டு வீழ்த்தப்படுவதற்கான நிகழ்தகவைக் கண்டறியவும்.

வீட்டு பாடம்

1 மொத்த நிகழ்தகவு சூத்திரம். பேய்ஸின் சூத்திரம்.

2 பிரச்சனைகளை தீர்க்கவும்

பணி1 . ஒரு தொழிலாளி ஒன்றுக்கொன்று சுயாதீனமாக இயங்கும் மூன்று இயந்திரங்களை இயக்குகிறார். முதல் இயந்திரம் ஒரு மணி நேரத்திற்குள் தொழிலாளியின் கவனம் தேவைப்படாது என்ற நிகழ்தகவு 0.9, இரண்டாவது - 0.8, மூன்றாவது - 0.85. ஒரு மணி நேரத்திற்குள் குறைந்தபட்சம் ஒரு இயந்திரமாவது ஒரு தொழிலாளியின் கவனம் தேவைப்படும் நிகழ்தகவைக் கண்டறியவும்.

பணி2 . உள்வரும் தகவல்களைத் தொடர்ந்து செயலாக்க வேண்டிய கணினி மையம் இரண்டு கணினி சாதனங்களைக் கொண்டுள்ளது. அவை ஒவ்வொன்றும் சில நேரங்களில் 0.2 க்கு சமமான தோல்வியின் நிகழ்தகவைக் கொண்டுள்ளன என்பது அறியப்படுகிறது. நீங்கள் நிகழ்தகவை தீர்மானிக்க வேண்டும்:

அ) சாதனங்களில் ஒன்று தோல்வியடையும், இரண்டாவது செயல்படும்;

b) ஒவ்வொரு சாதனத்தின் சிக்கலற்ற செயல்பாடு.

பணி3 . நான்கு வேட்டைக்காரர்கள் ஒரு குறிப்பிட்ட வரிசையில் விளையாட்டில் சுட ஒப்புக்கொண்டனர்: அடுத்த வேட்டைக்காரன் முந்தையது தவறினால் மட்டுமே சுடுகிறான். முதல் வேட்டைக்காரனுக்கு வெற்றி நிகழ்தகவு 0.6, இரண்டாவது - 0.7, மூன்றாவது - 0.8. ஷாட்கள் சுடப்படுவதற்கான நிகழ்தகவைக் கண்டறியவும்:

ஈ) நான்கு

பணி4 . பகுதி நான்கு செயலாக்க செயல்பாடுகளை கடந்து செல்கிறது. முதல் செயல்பாட்டின் போது ஒரு குறைபாட்டைப் பெறுவதற்கான நிகழ்தகவு 0.01, இரண்டாவது போது - 0.02, மூன்றாவது போது - 0.03, மற்றும் நான்காவது போது - 0.04. நான்கு செயல்பாடுகளுக்குப் பிறகு குறைபாடுகள் இல்லாமல் ஒரு பகுதியைப் பெறுவதற்கான நிகழ்தகவைக் கண்டறியவும், தனிப்பட்ட செயல்பாடுகளில் குறைபாடுகளைப் பெறும் நிகழ்வுகள் சுயாதீனமானவை என்று கருதுங்கள்.

கல்வி நிறுவனம் "பெலாரசிய மாநிலம்

விவசாய அகாடமி"

உயர் கணிதத் துறை

நிகழ்தகவுகளின் கூட்டல் மற்றும் பெருக்கல். மீண்டும் மீண்டும் சுதந்திர சோதனைகள்

நில மேலாண்மை பீட மாணவர்களுக்கான விரிவுரை

கடிதப் படிப்புகள்

கோர்கி, 2012

நிகழ்தகவுகளின் கூட்டல் மற்றும் பெருக்கல். மீண்டும் மீண்டும்

சுயாதீன சோதனைகள்

நிகழ்தகவுகளைச் சேர்த்தல்

இரண்டு கூட்டு நிகழ்வுகளின் கூட்டுத்தொகை ஏமற்றும் INநிகழ்வு என்று அழைக்கப்படுகிறது உடன், நிகழ்வுகளில் குறைந்தது ஒரு நிகழ்வை உள்ளடக்கியது ஏஅல்லது IN. இதேபோல், பல கூட்டு நிகழ்வுகளின் கூட்டுத்தொகை இந்த நிகழ்வுகளில் குறைந்தபட்சம் ஒரு நிகழ்வைக் கொண்ட ஒரு நிகழ்வாகும்.

இரண்டு பொருந்தாத நிகழ்வுகளின் கூட்டுத்தொகை ஏமற்றும் INநிகழ்வு என்று அழைக்கப்படுகிறது உடன்ஒரு நிகழ்வு அல்லது நிகழ்வைக் கொண்டது ஏ, அல்லது நிகழ்வுகள் IN. இதேபோல், பல பொருந்தாத நிகழ்வுகளின் கூட்டுத்தொகை இந்த நிகழ்வுகளில் ஏதேனும் ஒரு நிகழ்வைக் கொண்ட ஒரு நிகழ்வாகும்.

பொருந்தாத நிகழ்வுகளின் நிகழ்தகவுகளைச் சேர்ப்பதற்கான தேற்றம் செல்லுபடியாகும்: இரண்டு பொருந்தாத நிகழ்வுகளின் கூட்டுத்தொகையின் நிகழ்தகவு இந்த நிகழ்வுகளின் நிகழ்தகவுகளின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம் , அதாவது . இந்த தேற்றம் எந்த குறிப்பிட்ட எண்ணிக்கையிலான பொருந்தாத நிகழ்வுகளுக்கும் நீட்டிக்கப்படலாம்.

இந்த தேற்றத்திலிருந்து இது பின்வருமாறு:

ஒரு முழுமையான குழுவை உருவாக்கும் நிகழ்வுகளின் நிகழ்தகவுகளின் கூட்டுத்தொகை ஒன்றுக்கு சமம்;

எதிர் நிகழ்வுகளின் நிகழ்தகவுகளின் கூட்டுத்தொகை ஒன்றுக்கு சமம், அதாவது.
.

எடுத்துக்காட்டு 1 . பெட்டியில் 2 வெள்ளை, 3 சிவப்பு மற்றும் 5 நீல பந்துகள் உள்ளன. பந்துகள் கலக்கப்பட்டு ஒன்று சீரற்ற முறையில் வரையப்படுகிறது. பந்து நிறமாக இருப்பதற்கான நிகழ்தகவு என்ன?

தீர்வு . நிகழ்வுகளைக் குறிப்போம்:

ஏ=(வண்ண பந்து வரையப்பட்டது);

பி=(வெள்ளை பந்து வரையப்பட்டது);

சி=(சிவப்பு பந்து வரையப்பட்டது);

டி=(நீல பந்து வரையப்பட்டது).

பிறகு ஏ= சி+ டி. நிகழ்வுகளிலிருந்து சி, டிசீரற்றவை, பின்னர் பொருந்தாத நிகழ்வுகளின் நிகழ்தகவுகளைச் சேர்ப்பதற்கு தேற்றத்தைப் பயன்படுத்துவோம்: .

எடுத்துக்காட்டு 2 . கலசத்தில் 4 வெள்ளை பந்துகள் மற்றும் 6 கருப்பு பந்துகள் உள்ளன. கலசத்திலிருந்து 3 பந்துகள் சீரற்ற முறையில் வரையப்படுகின்றன. அவை அனைத்தும் ஒரே நிறத்தில் இருப்பதற்கான நிகழ்தகவு என்ன?

தீர்வு . நிகழ்வுகளைக் குறிப்போம்:

ஏ=(ஒரே நிறத்தின் பந்துகள் வரையப்படுகின்றன);

பி=(வெள்ளை பந்துகள் வெளியே எடுக்கப்படுகின்றன);

சி=(கருப்பு பந்துகள் வெளியே எடுக்கப்படுகின்றன).

ஏனெனில் ஏ= பி+ சிமற்றும் நிகழ்வுகள் INமற்றும் உடன்பொருந்தாத நிகழ்வுகளின் நிகழ்தகவுகளின் கூட்டல் தேற்றத்தால், சீரற்றவை
. நிகழ்வின் நிகழ்தகவு INசமமாக
, எங்கே
4,

. மாற்றுவோம் கேமற்றும் nசூத்திரத்தில் நாம் பெறுகிறோம்
இதேபோல், நிகழ்வின் நிகழ்தகவைக் காண்கிறோம் உடன்:
, எங்கே
,
, அதாவது
. பிறகு
.

எடுத்துக்காட்டு 3 . 36 அட்டைகள் கொண்ட டெக்கில் இருந்து, 4 அட்டைகள் சீரற்ற முறையில் வரையப்படுகின்றன. அவற்றில் குறைந்தது மூன்று சீட்டுகள் இருப்பதற்கான நிகழ்தகவைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு . நிகழ்வுகளைக் குறிப்போம்:

ஏ=(வெளியேற்றப்பட்ட அட்டைகளில் குறைந்தது மூன்று சீட்டுகள் உள்ளன);

பி=(வெளியேற்றப்பட்ட அட்டைகளில் மூன்று சீட்டுகள் உள்ளன);

சி=(வெளியேற்றப்பட்ட அட்டைகளில் நான்கு சீட்டுகள் உள்ளன).

ஏனெனில் ஏ= பி+ சி, மற்றும் நிகழ்வுகள் INமற்றும் உடன்பொருந்தாதவை, பின்னர்
. நிகழ்வுகளின் நிகழ்தகவுகளைக் கண்டுபிடிப்போம் INமற்றும் உடன்:

,
. எனவே, வரையப்பட்ட அட்டைகளில் குறைந்தது மூன்று சீட்டுகள் இருப்பதற்கான நிகழ்தகவு சமம்

0.0022.

நிகழ்தகவுகளை பெருக்குதல்

வேலை இரண்டு நிகழ்வுகள் ஏமற்றும் INநிகழ்வு என்று அழைக்கப்படுகிறது உடன், இந்த நிகழ்வுகளின் கூட்டு நிகழ்வை உள்ளடக்கியது:
. இந்த வரையறை எந்த குறிப்பிட்ட எண்ணிக்கையிலான நிகழ்வுகளுக்கும் பொருந்தும்.

இரண்டு நிகழ்வுகள் அழைக்கப்படுகின்றன சுதந்திரமான , அவற்றில் ஒன்றின் நிகழ்தகவு மற்ற நிகழ்வு நடந்ததா இல்லையா என்பதைப் பொறுத்து இல்லை என்றால். நிகழ்வுகள் ,, … ,அழைக்கப்படுகின்றன கூட்டாக சுதந்திரமானது , அவை ஒவ்வொன்றின் நிகழ்வின் நிகழ்தகவு மற்ற நிகழ்வுகள் நிகழ்ந்ததா அல்லது நிகழவில்லையா என்பதைப் பொறுத்தது அல்ல.

எடுத்துக்காட்டு 4 . இரண்டு துப்பாக்கி சுடும் வீரர்கள் ஒரு இலக்கை நோக்கி சுடுகிறார்கள். நிகழ்வுகளைக் குறிப்போம்:

ஏ=(முதல் துப்பாக்கி சுடும் வீரர் இலக்கைத் தாக்கினார்);

பி=(இரண்டாவது துப்பாக்கி சுடும் வீரர் இலக்கைத் தாக்கினார்).

வெளிப்படையாக, முதல் துப்பாக்கி சுடும் வீரர் இலக்கைத் தாக்கும் நிகழ்தகவு, இரண்டாவது துப்பாக்கி சுடும் வீரர் அடித்தாரா அல்லது தவறவிட்டாரா என்பதைப் பொறுத்தது அல்ல, மேலும் நேர்மாறாகவும். எனவே, நிகழ்வுகள் ஏமற்றும் INசுதந்திரமான.

சுயாதீன நிகழ்வுகளின் நிகழ்தகவுகளை பெருக்குவதற்கான தேற்றம் செல்லுபடியாகும்: இரண்டு சுயாதீன நிகழ்வுகளின் உற்பத்தியின் நிகழ்தகவு இந்த நிகழ்வுகளின் நிகழ்தகவுகளின் விளைபொருளுக்கு சமம் : .

இந்த தேற்றம் இதற்கும் செல்லுபடியாகும் nகூட்டாக சுதந்திரமான நிகழ்வுகள்: .

எடுத்துக்காட்டு 5 . இரண்டு துப்பாக்கி சுடும் வீரர்கள் ஒரே இலக்கை நோக்கி சுடுகிறார்கள். முதல் ஷூட்டரை தாக்கும் நிகழ்தகவு 0.9, இரண்டாவது 0.7. இரண்டு துப்பாக்கி சுடும் வீரர்களும் ஒரு நேரத்தில் ஒரு முறை சுடுகிறார்கள். இலக்கில் இரண்டு வெற்றிகள் இருக்கும் நிகழ்தகவைத் தீர்மானிக்கவும்.

தீர்வு . நிகழ்வுகளைக் குறிப்போம்:

ஏ

பி

சி=(இரு சுடும் வீரர்களும் இலக்கைத் தாக்குவார்கள்).

ஏனெனில்
, மற்றும் நிகழ்வுகள் ஏமற்றும் INசுதந்திரமானவை, பின்னர்
, அதாவது..

நிகழ்வுகள் ஏமற்றும் INஅழைக்கப்படுகின்றன சார்ந்தது , அவற்றில் ஒன்றின் நிகழ்தகவு மற்றொரு நிகழ்வு நடந்ததா இல்லையா என்பதைப் பொறுத்தது. நிகழ்வின் நிகழ்தகவு ஏநிகழ்வு என்று வழங்கியது INஅது ஏற்கனவே வந்துவிட்டது, அது அழைக்கப்படுகிறது நிபந்தனை நிகழ்தகவு மற்றும் நியமிக்கப்பட்டுள்ளது
அல்லது
.

எடுத்துக்காட்டு 6 . கலசத்தில் 4 வெள்ளை மற்றும் 7 கருப்பு பந்துகள் உள்ளன. கலசத்திலிருந்து பந்துகள் வரையப்படுகின்றன. நிகழ்வுகளைக் குறிப்போம்:

ஏ=(வெள்ளை பந்து வரையப்பட்டது) ;

பி=(கருப்பு பந்து வரையப்பட்டது).

கலசத்திலிருந்து பந்துகளை அகற்றத் தொடங்குவதற்கு முன்
. கலசத்திலிருந்து ஒரு பந்து எடுக்கப்பட்டது, அது கருப்பு நிறமாக மாறியது. பின்னர் நிகழ்வின் நிகழ்தகவு ஏநிகழ்வுக்குப் பிறகு INமற்றொன்று சமமாக இருக்கும் . இதன் பொருள் ஒரு நிகழ்வின் நிகழ்தகவு ஏநிகழ்வைப் பொறுத்தது IN, அதாவது இந்த நிகழ்வுகள் சார்ந்து இருக்கும்.

சார்பு நிகழ்வுகளின் நிகழ்தகவுகளை பெருக்குவதற்கான தேற்றம் செல்லுபடியாகும்: இரண்டு சார்பு நிகழ்வுகள் நிகழும் நிகழ்தகவு, அவற்றில் ஒன்றின் நிகழ்தகவு மற்றும் மற்றொன்றின் நிபந்தனை நிகழ்தகவு ஆகியவற்றின் விளைபொருளுக்கு சமம், முதல் நிகழ்வு ஏற்கனவே நிகழ்ந்தது என்ற அனுமானத்தின் கீழ் கணக்கிடப்படுகிறது., அதாவது அல்லது.

எடுத்துக்காட்டு 7 . கலசத்தில் 4 வெள்ளை பந்துகள் மற்றும் 8 சிவப்பு பந்துகள் உள்ளன. அதிலிருந்து இரண்டு பந்துகள் சீரற்ற முறையில் வரிசையாக வரையப்படுகின்றன. இரண்டு பந்துகளும் கருப்பு நிறமாக இருப்பதற்கான நிகழ்தகவைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு . நிகழ்வுகளைக் குறிப்போம்:

ஏ=(கருப்பு பந்து முதலில் வரையப்பட்டது);

பி=(இரண்டாவது கருப்பு பந்து வரையப்பட்டது).

நிகழ்வுகள் ஏமற்றும் INசார்ந்து இருப்பதால்
, ஏ
. பிறகு
.

எடுத்துக்காட்டு 8 . மூன்று துப்பாக்கி சுடும் வீரர்கள் ஒருவருக்கொருவர் சுயாதீனமாக இலக்கை நோக்கி சுடுகிறார்கள். முதல் துப்பாக்கி சுடும் வீரருக்கு இலக்கைத் தாக்கும் நிகழ்தகவு 0.5, இரண்டாவது - 0.6 மற்றும் மூன்றாவது - 0.8. ஒவ்வொரு துப்பாக்கி சுடும் வீரரும் ஒரு ஷாட்டைச் சுட்டால், இலக்கில் இரண்டு வெற்றிகள் இருக்கும் நிகழ்தகவைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு . நிகழ்வுகளைக் குறிப்போம்:

ஏ=(இலக்கு மீது இரண்டு வெற்றிகள் இருக்கும்);

பி=(முதல் துப்பாக்கி சுடும் வீரர் இலக்கைத் தாக்குவார்);

சி=(இரண்டாவது சுடும் வீரர் இலக்கைத் தாக்குவார்);

டி=(மூன்றாவது துப்பாக்கி சுடும் வீரர் இலக்கைத் தாக்குவார்);

=(முதல் துப்பாக்கி சுடும் வீரர் இலக்கைத் தாக்க மாட்டார்);

=(இரண்டாவது சுடும் வீரர் இலக்கைத் தாக்க மாட்டார்);

=(மூன்றாவது சுடும் வீரர் இலக்கைத் தாக்க மாட்டார்).

எடுத்துக்காட்டு நிபந்தனையின் படி
,
,
,

,
,
. பொருந்தாத நிகழ்வுகளின் நிகழ்தகவுகளின் கூட்டல் மற்றும் சுயாதீன நிகழ்வுகளின் நிகழ்தகவுகளின் பெருக்கத்தின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி, நாங்கள் பெறுகிறோம்:

நிகழ்வுகளை விடுங்கள்
சில சோதனை நிகழ்வுகள் மற்றும் நிகழ்வுகளின் முழுமையான குழுவை உருவாக்குங்கள் ஏஇந்த நிகழ்வுகளில் ஒன்றில் மட்டுமே நிகழலாம். நிகழ்வின் நிகழ்தகவுகள் மற்றும் நிபந்தனை நிகழ்தகவுகள் தெரிந்தால் ஏ, பின்னர் நிகழ்வு A இன் நிகழ்தகவு சூத்திரத்தால் கணக்கிடப்படுகிறது:

அல்லது
. இந்த சூத்திரம் அழைக்கப்படுகிறது மொத்த நிகழ்தகவு சூத்திரம் , மற்றும் நிகழ்வுகள்
கருதுகோள்கள் .

எடுத்துக்காட்டு 9 . சட்டசபை வரி முதல் இயந்திரத்திலிருந்து 700 பாகங்கள் மற்றும் 300 பாகங்களைப் பெறுகிறது இரண்டாவது இருந்து. முதல் இயந்திரம் 0.5% ஸ்கிராப்பை உருவாக்குகிறது, இரண்டாவது - 0.7%. எடுக்கப்பட்ட பகுதி குறைபாடுடைய நிகழ்தகவைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு . நிகழ்வுகளைக் குறிப்போம்:

ஏ=(பெறப்பட்ட பொருள் குறைபாடுடையதாக இருக்கும்);

=(பகுதி முதல் இயந்திரத்தில் செய்யப்பட்டது);

=(பகுதி இரண்டாவது இயந்திரத்தில் செய்யப்படுகிறது).

முதல் கணினியில் பகுதி உருவாக்கப்படும் நிகழ்தகவு சமம்
. இரண்டாவது இயந்திரத்திற்கு
. நிபந்தனையின் படி, முதல் கணினியில் செய்யப்பட்ட குறைபாடுள்ள பகுதியைப் பெறுவதற்கான நிகழ்தகவு சமம்
. இரண்டாவது இயந்திரத்திற்கு இந்த நிகழ்தகவு சமம்
. மொத்த நிகழ்தகவு சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி எடுக்கப்பட்ட பகுதி குறைபாடுடையதாக இருக்கும் நிகழ்தகவு கணக்கிடப்படுகிறது

சோதனையின் விளைவாக சில நிகழ்வுகள் நடந்ததாகத் தெரிந்தால் ஏ, பின்னர் இந்த நிகழ்வு கருதுகோளுடன் நிகழ்ந்த நிகழ்தகவு
, சமமாக உள்ளது
, எங்கே
- ஒரு நிகழ்வின் மொத்த நிகழ்தகவு ஏ. இந்த சூத்திரம் அழைக்கப்படுகிறது பேய்ஸ் சூத்திரம் மற்றும் நிகழ்வுகளின் நிகழ்தகவுகளை கணக்கிட உங்களை அனுமதிக்கிறது
நிகழ்வு என்று தெரிந்த பிறகு ஏஏற்கனவே வந்துவிட்டது.

எடுத்துக்காட்டு 10 . ஒரே வகை கார் பாகங்கள் இரண்டு தொழிற்சாலைகளில் உற்பத்தி செய்யப்பட்டு கடைக்கு வழங்கப்படுகின்றன. முதல் ஆலை மொத்த எண்ணிக்கையில் 80% உற்பத்தி செய்கிறது, இரண்டாவது - 20%. முதல் ஆலையின் தயாரிப்புகளில் 90% நிலையான பாகங்கள் உள்ளன, இரண்டாவது - 95%. வாங்குபவர் ஒரு பகுதியை வாங்கினார், அது நிலையானதாக மாறியது. இந்த பகுதி இரண்டாவது ஆலையில் தயாரிக்கப்பட்ட நிகழ்தகவைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு . நிகழ்வுகளைக் குறிப்போம்:

ஏ=(தரமான பகுதி வாங்கப்பட்டது);

=(பகுதி முதல் ஆலையில் தயாரிக்கப்பட்டது);

=(பகுதி இரண்டாவது ஆலையில் தயாரிக்கப்பட்டது).

எடுத்துக்காட்டு நிபந்தனையின் படி
,
,
மற்றும்
. நிகழ்வின் மொத்த நிகழ்தகவைக் கணக்கிடுவோம் ஏ: 0.91. பேய்ஸ் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி இரண்டாவது ஆலையில் பகுதி தயாரிக்கப்பட்டதற்கான நிகழ்தகவை நாங்கள் கணக்கிடுகிறோம்:

.

சுயாதீன வேலைக்கான பணிகள்

முதல் துப்பாக்கி சுடும் வீரருக்கு இலக்கைத் தாக்கும் நிகழ்தகவு 0.8, இரண்டாவது - 0.7 மற்றும் மூன்றாவது - 0.9. துப்பாக்கிச் சூடு நடத்தியவர்கள் தலா ஒரு துப்பாக்கிச் சூடு நடத்தினர். இலக்கில் குறைந்தது இரண்டு வெற்றிகள் இருப்பதற்கான நிகழ்தகவைக் கண்டறியவும்.

பழுதுபார்க்கும் கடைக்கு 15 டிராக்டர்கள் கிடைத்தன. அவற்றில் 6 இயந்திரத்தை மாற்ற வேண்டும், மீதமுள்ளவை தனிப்பட்ட கூறுகளை மாற்ற வேண்டும் என்பது அறியப்படுகிறது. மூன்று டிராக்டர்கள் சீரற்ற முறையில் தேர்ந்தெடுக்கப்படுகின்றன. தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட இரண்டு டிராக்டர்களுக்கு மேல் இன்ஜின் மாற்றுதல் அவசியமான நிகழ்தகவைக் கண்டறியவும்.

வலுவூட்டப்பட்ட கான்கிரீட் ஆலை பேனல்களை உற்பத்தி செய்கிறது, அவற்றில் 80% மிக உயர்ந்த தரம். தோராயமாகத் தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட மூன்று பேனல்களில், குறைந்தபட்சம் இரண்டு மிக உயர்ந்த தரத்தில் இருப்பதற்கான நிகழ்தகவைக் கண்டறியவும்.

மூன்று தொழிலாளர்கள் தாங்கு உருளைகளை இணைக்கிறார்கள். முதல் தொழிலாளியால் அசெம்பிள் செய்யப்பட்ட தாங்கி மிக உயர்ந்த தரத்தில் இருப்பதற்கான நிகழ்தகவு 0.7, இரண்டாவது - 0.8 மற்றும் மூன்றாவது - 0.6. கட்டுப்பாட்டிற்காக, ஒவ்வொரு தொழிலாளியும் கூடியிருந்தவர்களிடமிருந்து ஒரு தாங்கி சீரற்ற முறையில் எடுக்கப்பட்டது. அவற்றில் குறைந்தது இரண்டு மிக உயர்ந்த தரத்தில் இருக்கும் நிகழ்தகவைக் கண்டறியவும்.

முதல் இதழின் லாட்டரி சீட்டில் வெற்றி பெறுவதற்கான நிகழ்தகவு 0.2, இரண்டாவது - 0.3 மற்றும் மூன்றாவது - 0.25. ஒவ்வொரு இதழுக்கும் ஒரு டிக்கெட் உள்ளது. குறைந்தபட்சம் இரண்டு டிக்கெட்டுகள் வெல்லும் நிகழ்தகவைக் கண்டறியவும்.

கணக்காளர் மூன்று குறிப்பு புத்தகங்களைப் பயன்படுத்தி கணக்கீடுகளைச் செய்கிறார். அவர் ஆர்வமுள்ள தரவு முதல் கோப்பகத்தில் 0.6, இரண்டாவது - 0.7 மற்றும் மூன்றாவது - 0.8 ஆகும். கணக்காளர் ஆர்வமுள்ள தரவு இரண்டு கோப்பகங்களுக்கு மேல் இல்லாத நிகழ்தகவைக் கண்டறியவும்.

மூன்று இயந்திரங்கள் பாகங்களை உற்பத்தி செய்கின்றன. முதல் இயந்திரம் நிகழ்தகவு 0.9 உடன் மிக உயர்ந்த தரத்தின் ஒரு பகுதியை உருவாக்குகிறது, இரண்டாவது நிகழ்தகவு 0.7 மற்றும் மூன்றாவது நிகழ்தகவு 0.6 உடன். ஒவ்வொரு இயந்திரத்திலிருந்தும் ஒரு பகுதி சீரற்ற முறையில் எடுக்கப்படுகிறது. அவற்றில் குறைந்தது இரண்டு மிக உயர்ந்த தரத்தில் இருப்பதற்கான நிகழ்தகவைக் கண்டறியவும்.

ஒரே வகையான பாகங்கள் இரண்டு இயந்திரங்களில் செயலாக்கப்படுகின்றன. முதல் இயந்திரத்திற்கான தரமற்ற பகுதியை உற்பத்தி செய்வதற்கான நிகழ்தகவு 0.03, இரண்டாவது - 0.02. பதப்படுத்தப்பட்ட பாகங்கள் ஒரே இடத்தில் சேமிக்கப்படும். அவற்றில், 67% முதல் இயந்திரத்திலிருந்து வந்தவை, மீதமுள்ளவை இரண்டாவது இயந்திரத்திலிருந்து வந்தவை. சீரற்ற முறையில் எடுக்கப்பட்ட பகுதி நிலையானதாக மாறியது. இது முதல் கணினியில் செய்யப்பட்ட நிகழ்தகவைக் கண்டறியவும்.

பட்டறை ஒரே வகை மின்தேக்கிகளின் இரண்டு பெட்டிகளைப் பெற்றது. முதல் பெட்டியில் 20 மின்தேக்கிகள் இருந்தன, அவற்றில் 2 தவறானவை. இரண்டாவது பெட்டியில் 10 மின்தேக்கிகள் உள்ளன, அவற்றில் 3 தவறானவை. மின்தேக்கிகள் ஒரு பெட்டியில் வைக்கப்பட்டன. ஒரு பெட்டியிலிருந்து சீரற்ற முறையில் எடுக்கப்பட்ட மின்தேக்கி நல்ல நிலையில் இருக்கும் நிகழ்தகவைக் கண்டறியவும்.

மூன்று இயந்திரங்கள் ஒரே மாதிரியான பாகங்களை உற்பத்தி செய்கின்றன, அவை பொதுவான கன்வேயருக்கு வழங்கப்படுகின்றன. அனைத்து பகுதிகளிலும், 20% முதல் இயந்திரத்திலிருந்தும், 30% இரண்டாவது இயந்திரத்திலிருந்தும், 505 மூன்றாவது இயந்திரத்திலிருந்தும். முதல் கணினியில் ஒரு நிலையான பகுதியை உற்பத்தி செய்வதற்கான நிகழ்தகவு 0.8, இரண்டாவது - 0.6 மற்றும் மூன்றாவது - 0.7. எடுக்கப்பட்ட பகுதி நிலையானதாக மாறியது. இந்த பகுதி மூன்றாவது கணினியில் செய்யப்பட்ட நிகழ்தகவைக் கண்டறியவும்.

அசெம்பிளர் தொழிற்சாலையிலிருந்து 40% பாகங்களை அசெம்பிளிக்காகப் பெறுகிறார் ஏ, மற்றும் மீதமுள்ள - தொழிற்சாலையில் இருந்து IN. அந்த பகுதி தொழிற்சாலையில் இருந்து வந்திருக்கலாம் ஏ- உயர்ந்த தரம், 0.8க்கு சமம், மற்றும் தொழிற்சாலையிலிருந்து IN– 0.9. அசெம்பிளர் ஒரு பகுதியை சீரற்ற முறையில் எடுத்தார், அது மோசமான தரம் வாய்ந்ததாக மாறியது. இந்த பகுதி தொழிற்சாலையிலிருந்து வந்ததற்கான நிகழ்தகவைக் கண்டறியவும் IN.

முதல் குழுவில் இருந்து 10 மாணவர்களும், இரண்டாம் பிரிவில் இருந்து 8 மாணவர்களும் மாணவர் விளையாட்டுப் போட்டிகளில் பங்கேற்க ஒதுக்கப்பட்டனர். முதல் குழுவிலிருந்து ஒரு மாணவர் அகாடமி அணியில் சேர்க்கப்படுவதற்கான நிகழ்தகவு 0.8, மற்றும் இரண்டாவது - 0.7. தோராயமாக தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட ஒரு மாணவர் அணியில் சேர்க்கப்பட்டார். அவர் முதல் குழுவில் இருப்பதற்கான நிகழ்தகவைக் கண்டறியவும்.

பெர்னோலியின் சூத்திரம்

சோதனைகள் அழைக்கப்படுகின்றன சுதந்திரமான , அவர்கள் ஒவ்வொரு நிகழ்வு என்றால் ஏஅதே நிகழ்தகவுடன் நிகழ்கிறது
, இந்த நிகழ்வு தோன்றியதா அல்லது பிற சோதனைகளில் தோன்றவில்லையா என்பதைப் பொருட்படுத்தாமல். எதிர் நிகழ்வின் நிகழ்தகவு இந்த வழக்கில் சமம்
.

எடுத்துக்காட்டு 11 . பகடை வீசப்படுகிறது nஒருமுறை. நிகழ்வைக் குறிப்போம் ஏ=(மூன்று புள்ளிகளை உருட்டுதல்). நிகழ்வின் நிகழ்தகவு ஏஒவ்வொரு சோதனையிலும் சமம் மற்றும் இந்த நிகழ்வு நடந்ததா அல்லது மற்ற சோதனைகளில் நிகழவில்லையா என்பதைப் பொறுத்தது அல்ல. எனவே, இந்த சோதனைகள் சுயாதீனமானவை. எதிர் நிகழ்வின் நிகழ்தகவு
(மூன்று புள்ளிகளை உருட்டவில்லை) சமம்
.

உள்ள நிகழ்தகவு nசுயாதீன சோதனைகள், ஒவ்வொன்றிலும் நிகழ்வின் நிகழ்தகவு ஏசமமாக ப, நிகழ்வு சரியாக நடக்கும் கேமுறை (எந்த வரிசையில் ஒரு பொருட்டல்ல), சூத்திரத்தால் கணக்கிடப்படுகிறது
, எங்கே
. இந்த சூத்திரம் அழைக்கப்படுகிறது பெர்னோலியின் சூத்திரம் மற்றும் சோதனைகளின் எண்ணிக்கை n அதிகமாக இல்லாவிட்டால் வசதியாக இருக்கும்.

எடுத்துக்காட்டு 12 . மறைந்த வடிவத்தில் நோயால் பாதிக்கப்பட்ட பழங்களின் விகிதம் 25% ஆகும். 6 பழங்கள் தோராயமாக தேர்ந்தெடுக்கப்படுகின்றன. தேர்ந்தெடுக்கப்பட்டவர்களில் இருப்பதற்கான நிகழ்தகவைக் கண்டறியவும்: அ) சரியாக 3 பாதிக்கப்பட்ட பழங்கள்; b) பாதிக்கப்பட்ட இரண்டு பழங்களுக்கு மேல் இல்லை.

தீர்வு . எடுத்துக்காட்டு நிலைமைகளின்படி.

a) பெர்னௌல்லியின் சூத்திரத்தின்படி, தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட ஆறு பழங்களில் சரியாக மூன்று பழங்கள் பாதிக்கப்படுவதற்கான நிகழ்தகவு சமம்

0.132.

b) நிகழ்வைக் குறிப்போம் ஏ=(இரண்டு பழங்களுக்கு மேல் தொற்று ஏற்படாது). பிறகு . பெர்னோலியின் சூத்திரத்தின்படி:

0.297.

எனவே,
0.178+0.356+0.297=0.831.

லாப்லேஸ் மற்றும் பாய்சனின் கோட்பாடுகள்

ஒரு நிகழ்வின் நிகழ்தகவைக் கண்டறிய பெர்னோலியின் சூத்திரம் பயன்படுத்தப்படுகிறது ஏவரும் கேஒவ்வொரு முறையும் nசுயாதீன சோதனைகள் மற்றும் ஒவ்வொரு சோதனையிலும் ஒரு நிகழ்வின் நிகழ்தகவு ஏநிலையானது. n இன் பெரிய மதிப்புகளுக்கு, பெர்னோலியின் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கணக்கீடுகள் கடினமானதாக மாறும். இந்த வழக்கில், ஒரு நிகழ்வின் நிகழ்தகவை கணக்கிட ஏவேறு சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துவது நல்லது.

உள்ளூர் லாப்லேஸ் தேற்றம் . நிகழ்தகவை விடுங்கள் பஒரு நிகழ்வின் நிகழ்வு ஏஒவ்வொரு சோதனையிலும் நிலையானது மற்றும் பூஜ்யம் மற்றும் ஒன்றிலிருந்து வேறுபட்டது. பின்னர் நிகழ்வு என்று நிகழ்தகவு ஏசரியாக வரும் கேபோதுமான அளவு n சோதனைகள் கொண்ட நேரங்கள், சூத்திரத்தால் கணக்கிடப்படுகிறது

, எங்கே
, மற்றும் செயல்பாட்டு மதிப்புகள்
அட்டவணையில் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன.

செயல்பாட்டின் முக்கிய பண்புகள்
அவை:

செயல்பாடு
வரையறுக்கப்பட்ட மற்றும் இடைவெளியில் தொடர்ந்து
.

செயல்பாடு
நேர்மறையானது, அதாவது.
>0.

செயல்பாடு
கூட, அதாவது.
.

செயல்பாடு இருந்து
சமமாக உள்ளது, பின்னர் அட்டவணை அதன் மதிப்புகளை நேர்மறை மதிப்புகளுக்கு மட்டுமே காட்டுகிறது எக்ஸ்.

எடுத்துக்காட்டு 13 . கோதுமை விதைகளின் முளைப்பு விகிதம் 80% ஆகும். பரிசோதனைக்கு 100 விதைகள் தேர்ந்தெடுக்கப்படுகின்றன. தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட விதைகளில் சரியாக 90 விதைகள் முளைக்கும் நிகழ்தகவைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு . எடுத்துக்காட்டு நிபந்தனையின் படி n=100, கே=90, ப=0.8, கே=1-0.8=0.2. பிறகு
. அட்டவணையைப் பயன்படுத்தி செயல்பாட்டின் மதிப்பைக் காண்கிறோம்
:
. தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட விதைகளில் சரியாக 90 விதைகள் முளைக்கும் நிகழ்தகவு சமம்
0.0044.

நடைமுறைச் சிக்கல்களைத் தீர்க்கும்போது, ​​நிகழ்வின் நிகழ்தகவைக் கண்டறிவது அவசியமாகிறது ஏமணிக்கு nசுயாதீன சோதனைகள் குறைவாக இல்லை ஒருமுறை மற்றும் இல்லை ஒருமுறை. பயன்படுத்தி இந்த சிக்கல் தீர்க்கப்படுகிறது லாப்லேஸின் ஒருங்கிணைந்த தேற்றம் : நிகழ்தகவை விடுங்கள் பஒரு நிகழ்வின் நிகழ்வு ஏஒவ்வொரு nசுயாதீன சோதனைகள் நிலையானது மற்றும் பூஜ்யம் மற்றும் ஒன்றிலிருந்து வேறுபட்டது. பின்னர் நிகழ்வு நிகழும் நிகழ்தகவு குறைந்தது ஒருமுறை மற்றும் இல்லை போதுமான அளவு சோதனைகள் கொண்ட நேரங்கள், சூத்திரத்தால் கணக்கிடப்படுகிறது

எங்கே
,
.

செயல்பாடு
அழைக்கப்பட்டது Laplace செயல்பாடு மற்றும் அடிப்படை செயல்பாடுகள் மூலம் வெளிப்படுத்தப்படவில்லை. இந்த செயல்பாட்டின் மதிப்புகள் சிறப்பு அட்டவணையில் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன.

செயல்பாட்டின் முக்கிய பண்புகள்
அவை:

.

செயல்பாடு
இடைவெளியில் அதிகரிக்கிறது
.

மணிக்கு
.

செயல்பாடு
ஒற்றைப்படை, அதாவது.
.

எடுத்துக்காட்டு 14 . நிறுவனம் தயாரிப்புகளை உற்பத்தி செய்கிறது, அவற்றில் 13% மிக உயர்ந்த தரம் வாய்ந்தவை அல்ல. 150 யூனிட்கள் கொண்ட மிக உயர்ந்த தரமான தயாரிப்பின் சோதிக்கப்படாத தொகுப்பில் 125 க்கும் குறையாமலும் 135 க்கு மிகாமலும் இருப்பதற்கான நிகழ்தகவைத் தீர்மானிக்கவும்.

தீர்வு . குறிப்போம். கணக்கிடுவோம்
,

நிகழ்தகவு கூட்டல் மற்றும் பெருக்கல் தேற்றங்கள்.

இரண்டு நிகழ்வுகளின் நிகழ்தகவுகளைச் சேர்ப்பதற்கான தேற்றம். இரண்டு நிகழ்வுகளின் கூட்டுத்தொகையின் நிகழ்தகவு, அவற்றின் கூட்டு நிகழ்வின் நிகழ்தகவு இல்லாமல் இந்த நிகழ்வுகளின் நிகழ்தகவுகளின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம்:

P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB).

இரண்டு பொருந்தாத நிகழ்வுகளின் நிகழ்தகவுகளைச் சேர்ப்பதற்கான தேற்றம். இரண்டு பொருந்தாத நிகழ்வுகளின் கூட்டுத்தொகையின் நிகழ்தகவு, இவற்றின் நிகழ்தகவுகளின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம்:

பி(A+B)=P(A)+P(B).

எடுத்துக்காட்டு 2.16.துப்பாக்கி சுடும் வீரர் 3 பகுதிகளாகப் பிரிக்கப்பட்ட இலக்கை நோக்கி சுடுகிறார். முதல் பகுதியைத் தாக்கும் நிகழ்தகவு 0.45, இரண்டாவது - 0.35. துப்பாக்கி சுடும் வீரர் முதல் அல்லது இரண்டாவது பகுதியை ஒரு ஷாட் மூலம் தாக்கும் நிகழ்தகவைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு.

நிகழ்வுகள் ஏ- “சுடும் வீரர் முதல் பகுதியைத் தாக்கினார்” மற்றும் IN- “இரண்டாம் பகுதியைத் தாக்கியவர்” - சீரற்றவை (ஒரு பகுதியில் வெற்றி பெற்றால் மற்றொன்றில் வெற்றியை விலக்கும்), எனவே கூட்டல் தேற்றம் பொருந்தும்.

தேவையான நிகழ்தகவு:

P(A+B)=P(A)+P(B)= 0,45+ 0,35 = 0,8.

நிகழ்தகவு கூட்டல் தேற்றம் பிபொருந்தாத நிகழ்வுகள். n பொருந்தாத நிகழ்வுகளின் கூட்டுத்தொகையின் நிகழ்தகவு, இவற்றின் நிகழ்தகவுகளின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம்:

P(A 1 +A 2 +…+A p)=P(A 1)+P(A 2)+…+P(A p).

எதிர் நிகழ்வுகளின் நிகழ்தகவுகளின் கூட்டுத்தொகை ஒன்றுக்கு சமம்:

நிகழ்வின் நிகழ்தகவு INநிகழ்வு நடந்தது என்று வழங்கியது ஏ, நிகழ்வின் நிபந்தனை நிகழ்தகவு என்று அழைக்கப்படுகிறது INமற்றும் பின்வருமாறு குறிக்கப்படுகிறது: பி(வி/ஏ),அல்லது ஆர் ஏ (பி).

. இரண்டு நிகழ்வுகள் நிகழும் நிகழ்தகவு, அவற்றில் ஒன்றின் நிகழ்தகவு மற்றும் மற்றொன்றின் நிபந்தனை நிகழ்தகவு ஆகியவற்றின் தயாரிப்புக்கு சமம், முதல் நிகழ்வு நிகழ்ந்தது:

P(AB)=P(A)P A (B).

நிகழ்வு INநிகழ்வைப் பொறுத்தது அல்ல ஏ, என்றால்

ஆர் ஏ (வி) = ஆர் (வி),

அந்த. நிகழ்வின் நிகழ்தகவு INநிகழ்வு நடந்ததா என்பதைப் பொறுத்தது அல்ல ஏ.

இரண்டு சுயாதீன நிகழ்வுகளின் நிகழ்தகவுகளை பெருக்குவதற்கான தேற்றம்.இரண்டு சுயாதீன நிகழ்வுகளின் உற்பத்தியின் நிகழ்தகவு அவற்றின் நிகழ்தகவுகளின் தயாரிப்புக்கு சமம்:

P(AB)=P(A)P(B).

எடுத்துக்காட்டு 2.17.முதல் மற்றும் இரண்டாவது துப்பாக்கிகளை சுடும் போது இலக்கைத் தாக்கும் நிகழ்தகவுகள் முறையே சமம்: ப 1 = 0,7; ப 2= 0.8. குறைந்தபட்சம் ஒரு துப்பாக்கியால் ஒரு சால்வோ (இரண்டு துப்பாக்கிகளிலிருந்தும்) வெற்றியின் நிகழ்தகவைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு.

ஒவ்வொரு துப்பாக்கியும் இலக்கைத் தாக்கும் நிகழ்தகவு மற்ற துப்பாக்கியிலிருந்து சுடுவதன் விளைவைப் பொறுத்தது அல்ல, எனவே நிகழ்வுகள் ஏ- "முதல் துப்பாக்கியால் தாக்கியது" மற்றும் IN- "இரண்டாவது துப்பாக்கியால் தாக்கப்பட்டது" சுயாதீனமானவை.

நிகழ்வின் நிகழ்தகவு ஏபி- "இரண்டு துப்பாக்கிகளும் தாக்கப்பட்டன":

தேவையான நிகழ்தகவு

P(A+B) = P(A) + P(B) – P(AB)= 0,7 + 0,8 – 0,56 = 0,94.

நிகழ்தகவு பெருக்கல் தேற்றம் பிநிகழ்வுகள்.n நிகழ்வுகளின் விளைபொருளின் நிகழ்தகவு, அனைத்து முந்தைய நிகழ்வுகளும் நிகழ்ந்தன என்ற அனுமானத்தின் கீழ் கணக்கிடப்பட்ட மற்ற அனைத்தின் நிபந்தனை நிகழ்தகவுகளால் அவற்றில் ஒன்றின் விளைபொருளுக்கு சமம்:

எடுத்துக்காட்டு 2.18. கலசத்தில் 5 வெள்ளை, 4 கருப்பு மற்றும் 3 நீல பந்துகள் உள்ளன. ஒவ்வொரு சோதனையும் ஒரு பந்தை மீண்டும் போடாமல் சீரற்ற முறையில் அகற்றுவதைக் கொண்டுள்ளது. முதல் சோதனையில் ஒரு வெள்ளை பந்து (நிகழ்வு A), இரண்டாவது - ஒரு கருப்பு பந்து (நிகழ்வு B) மற்றும் மூன்றாவது - ஒரு நீல பந்து (நிகழ்வு C) தோன்றும் நிகழ்தகவைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு.

முதல் சோதனையில் வெள்ளைப் பந்து தோன்றுவதற்கான நிகழ்தகவு:

இரண்டாவது சோதனையில் கருப்பு பந்தின் நிகழ்தகவு, முதல் சோதனையில் வெள்ளைப் பந்து தோன்றியது என்ற அனுமானத்தின் கீழ் கணக்கிடப்படுகிறது, அதாவது நிபந்தனை நிகழ்தகவு:

மூன்றாவது சோதனையில் நீலப் பந்தின் நிகழ்தகவு, முதல் சோதனையில் வெள்ளைப் பந்து தோன்றியதாகவும், இரண்டாவது சோதனையில் கருப்புப் பந்து தோன்றியதாகவும், அதாவது நிபந்தனை நிகழ்தகவு:

தேவையான நிகழ்தகவு:

நிகழ்தகவு பெருக்கல் தேற்றம் பிசுயாதீன நிகழ்வுகள்.n சுயாதீன நிகழ்வுகளின் விளைபொருளின் நிகழ்தகவு அவற்றின் நிகழ்தகவுகளின் விளைபொருளுக்கு சமம்:

P(A 1 A 2…A p)=P(A 1)P(A 2)…P(A p).

குறைந்தது ஒரு நிகழ்வு நிகழும் நிகழ்தகவு. A 1, A 2, ..., A n, மொத்தத்தில் சுயாதீனமான நிகழ்வுகளில் ஏதேனும் ஒன்றின் நிகழ்வின் நிகழ்தகவு, ஒற்றுமைக்கும் எதிர் நிகழ்வுகளின் நிகழ்தகவுகளின் விளைபொருளுக்கும் இடையிலான வேறுபாட்டிற்கு சமம்.:

.

எடுத்துக்காட்டு 2.19.மூன்று துப்பாக்கிகளில் இருந்து சுடும்போது இலக்கைத் தாக்கும் நிகழ்தகவுகள் பின்வருமாறு: ப 1 = 0,8; ப 2 = 0,7;ப 3= 0.9. குறைந்தது ஒரு வெற்றியின் நிகழ்தகவைக் கண்டறியவும் (நிகழ்வு ஏ) அனைத்து துப்பாக்கிகளிலிருந்தும் ஒரு சால்வோவுடன்.

தீர்வு.

ஒவ்வொரு துப்பாக்கியும் இலக்கைத் தாக்கும் நிகழ்தகவு மற்ற துப்பாக்கிகளிலிருந்து சுடும் முடிவுகளைப் பொறுத்தது அல்ல, எனவே பரிசீலனையில் உள்ள நிகழ்வுகள் A 1(முதல் துப்பாக்கியால் தாக்கப்பட்டது) A 2(இரண்டாவது துப்பாக்கியால் தாக்கப்பட்டது) மற்றும் A 3(மூன்றாவது துப்பாக்கியால் தாக்கப்பட்டவை) மொத்தத்தில் சுயாதீனமானவை.

நிகழ்வுகளுக்கு எதிரான நிகழ்வுகளின் நிகழ்தகவுகள் A 1, A 2மற்றும் A 3(அதாவது மிஸ்ஸின் நிகழ்தகவு) முறையே இதற்கு சமம்:

, , .

தேவையான நிகழ்தகவு:

சுதந்திரமான நிகழ்வுகள் என்றால் A 1, A 2, ..., A pஅதே நிகழ்தகவு வேண்டும் ஆர், பின்னர் இந்த நிகழ்வுகளில் குறைந்தபட்சம் ஒன்று நிகழும் நிகழ்தகவு சூத்திரத்தால் வெளிப்படுத்தப்படுகிறது:

Р(А)= 1 – q n,

எங்கே q=1- ப

2.7 மொத்த நிகழ்தகவு சூத்திரம். பேய்ஸின் சூத்திரம்.

நிகழ்வை விடுங்கள் ஏபொருந்தாத நிகழ்வுகளில் ஒன்றின் நிகழ்வுக்கு உட்பட்டு நிகழலாம் N 1, N 2, ..., N p, நிகழ்வுகளின் முழுமையான குழுவை உருவாக்குதல். இந்த நிகழ்வுகளில் எது நடக்கும் என்று முன்கூட்டியே தெரியாததால், அவை அழைக்கப்படுகின்றன கருதுகோள்கள்.

நிகழ்வு நிகழ்வின் நிகழ்தகவு ஏமூலம் கணக்கிடப்படுகிறது மொத்த நிகழ்தகவு சூத்திரம்:

P(A)=P(N 1)P(A/N 1)+ P(N 2)P(A/N 2)+…+ P(N p)P(A/N p).

நிகழ்வின் விளைவாக ஒரு சோதனை நடத்தப்பட்டது என்று வைத்துக்கொள்வோம் ஏநடந்தது. நிகழ்வுகளின் நிபந்தனை நிகழ்தகவுகள் N 1, N 2, ..., N pநிகழ்வு தொடர்பாக ஏதீர்மானிக்கப்படுகின்றன பேய்ஸ் சூத்திரங்கள்:

,

எடுத்துக்காட்டு 2.20. தேர்வுக்கு வந்த 20 மாணவர்கள் குழுவில் 6 பேர் சிறப்பாகவும், 8 பேர் சிறப்பாகவும், 4 பேர் திருப்திகரமாகவும், 2 பேர் மோசமாகவும் தயார் நிலையில் இருந்தனர். தேர்வுத் தாள்களில் 30 கேள்விகள் உள்ளன. சிறப்பாகத் தயார் செய்யப்பட்ட மாணவர் 30 கேள்விகளுக்கும் பதிலளிக்க முடியும், நன்கு தயாரிக்கப்பட்ட மாணவர் 24 க்கு பதிலளிக்க முடியும், திருப்திகரமான ஒருவர் 15 க்கு பதிலளிக்க முடியும், மற்றும் மோசமாகத் தயாரிக்கப்பட்ட மாணவர் 7 க்கு பதிலளிக்க முடியும்.

தற்செயலாக அழைக்கப்பட்ட ஒரு மாணவர் ரேண்டமாக மூன்று பதிலளித்தார். கேள்விகள் கேட்கப்பட்டது. இந்த மாணவர் தயாராக இருப்பதற்கான நிகழ்தகவைக் கண்டறியவும்: a) சிறப்பானது; b) மோசமான.

தீர்வு.

கருதுகோள்கள் - "மாணவர் நன்கு தயாராக இருக்கிறார்";

- "மாணவர் நன்கு தயாராக இருக்கிறார்";

- "மாணவர் திருப்திகரமாக தயாராக இருக்கிறார்";

- "மாணவர் மோசமாக தயாராக இருக்கிறார்."

அனுபவத்திற்கு முன்:

; ; ; ;

7. நிகழ்வுகளின் முழுமையான குழு என்று அழைக்கப்படுகிறது?

8. என்ன நிகழ்வுகள் சமமாக சாத்தியம் என்று அழைக்கப்படுகின்றன? அத்தகைய நிகழ்வுகளின் உதாரணங்களைக் கொடுங்கள்.

9. அடிப்படை விளைவு என்று அழைக்கப்படுகிறது?

10. இந்த நிகழ்வுக்கு நான் என்ன முடிவுகளை சாதகமாக கருதுகிறேன்?

11. நிகழ்வுகளில் என்ன செயல்பாடுகளைச் செய்யலாம்? அவற்றை வரையறுக்கவும். அவை எவ்வாறு நியமிக்கப்படுகின்றன? உதாரணங்கள் கொடுங்கள்.

12. நிகழ்தகவு என்று அழைக்கப்படுகிறது?

13. நம்பகமான நிகழ்வின் நிகழ்தகவு என்ன?

14. சாத்தியமற்ற நிகழ்வின் நிகழ்தகவு என்ன?

15. நிகழ்தகவின் வரம்புகள் என்ன?

16. ஒரு விமானத்தில் வடிவியல் நிகழ்தகவு எவ்வாறு தீர்மானிக்கப்படுகிறது?

17. விண்வெளியில் நிகழ்தகவு எவ்வாறு தீர்மானிக்கப்படுகிறது?

18. நேர்கோட்டில் நிகழ்தகவு எவ்வாறு தீர்மானிக்கப்படுகிறது?

19. இரண்டு நிகழ்வுகளின் கூட்டுத்தொகையின் நிகழ்தகவு என்ன?

20. இரண்டு பொருந்தாத நிகழ்வுகளின் கூட்டுத்தொகையின் நிகழ்தகவு என்ன?

21. n பொருந்தாத நிகழ்வுகளின் கூட்டுத்தொகையின் நிகழ்தகவு என்ன?

22. என்ன நிகழ்தகவு நிபந்தனை என்று அழைக்கப்படுகிறது? ஒரு உதாரணம் கொடுங்கள்.

23. நிகழ்தகவு பெருக்கல் தேற்றத்தைக் குறிப்பிடவும்.

24. நிகழ்வுகளில் குறைந்தபட்சம் ஒரு நிகழ்வின் நிகழ்தகவை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது?

25. என்ன நிகழ்வுகள் கருதுகோள்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன?

26. மொத்த நிகழ்தகவு சூத்திரம் மற்றும் பேய்ஸ் சூத்திரம் எப்போது பயன்படுத்தப்படுகின்றன?