வீடு புரோஸ்டெடிக்ஸ் மற்றும் உள்வைப்பு புள்ளி குறைந்தபட்ச சதுர முறை. குறைந்த சதுர முறை எங்கே பயன்படுத்தப்படுகிறது?

புரோஸ்டெடிக்ஸ் மற்றும் உள்வைப்பு

புள்ளி குறைந்தபட்ச சதுர முறை. குறைந்த சதுர முறை எங்கே பயன்படுத்தப்படுகிறது?

உதாரணமாக.

மாறிகளின் மதிப்புகள் பற்றிய சோதனை தரவு எக்ஸ்மற்றும் மணிக்குஅட்டவணையில் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன.

அவற்றின் சீரமைப்பின் விளைவாக, செயல்பாடு பெறப்படுகிறது

பயன்படுத்தி முறை குறைந்தபட்ச சதுரங்கள் , ஒரு நேரியல் சார்பு மூலம் இந்தத் தரவை தோராயமாக்குங்கள் y=ax+b(அளவுருக்களைக் கண்டறியவும் ஏமற்றும் பி) இரண்டு வரிகளில் எது சிறந்தது (குறைந்த சதுரங்கள் முறை என்ற பொருளில்) சோதனைத் தரவை சீரமைக்கிறது என்பதைக் கண்டறியவும். ஒரு வரைதல் செய்யுங்கள்.

குறைந்த சதுர முறையின் சாராம்சம் (LSM).

இரண்டு மாறிகள் செயல்படும் நேரியல் சார்பு குணகங்களைக் கண்டறிவதே பணி ஏமற்றும் பி மிகச்சிறிய மதிப்பை எடுக்கும். அதாவது, வழங்கப்பட்டது ஏமற்றும் பிகண்டறியப்பட்ட நேர்கோட்டிலிருந்து சோதனைத் தரவின் வர்க்க விலகல்களின் கூட்டுத்தொகை சிறியதாக இருக்கும். குறைந்த சதுரங்கள் முறையின் முழுப் புள்ளியும் இதுதான்.

எனவே, உதாரணத்தைத் தீர்ப்பது இரண்டு மாறிகளின் செயல்பாட்டின் உச்சநிலையைக் கண்டறிவதாகும்.

குணகங்களைக் கண்டறிவதற்கான சூத்திரங்களைப் பெறுதல்.

இரண்டு அறியப்படாத இரண்டு சமன்பாடுகளின் அமைப்பு தொகுக்கப்பட்டு தீர்க்கப்படுகிறது. ஒரு செயல்பாட்டின் பகுதி வழித்தோன்றல்களைக் கண்டறிதல் மாறிகள் மூலம் ஏமற்றும் பி, இந்த வழித்தோன்றல்களை பூஜ்ஜியத்திற்கு சமன் செய்கிறோம்.

எந்தவொரு முறையையும் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் விளைவான அமைப்பை நாங்கள் தீர்க்கிறோம் (உதாரணமாக மாற்று முறை மூலம்அல்லது க்ரேமர் முறை) மற்றும் குறைந்த சதுர முறை (LSM) மூலம் குணகங்களைக் கண்டறிவதற்கான சூத்திரங்களைப் பெறவும்.

கொடுக்கப்பட்டது ஏமற்றும் பிசெயல்பாடு மிகச்சிறிய மதிப்பை எடுக்கும். இந்த உண்மைக்கான ஆதாரம் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது பக்கத்தின் முடிவில் உள்ள உரையில் கீழே.

அதுதான் குறைந்தபட்ச சதுரங்களின் முழு முறை. அளவுருவைக் கண்டறிவதற்கான சூத்திரம் அதொகைகள் ,, மற்றும் அளவுருவைக் கொண்டுள்ளது n- சோதனை தரவு அளவு. இந்த தொகைகளின் மதிப்புகளை தனித்தனியாக கணக்கிட பரிந்துரைக்கிறோம். குணகம் பிகணக்கீட்டிற்குப் பிறகு கண்டுபிடிக்கப்பட்டது அ.

அசல் உதாரணத்தை நினைவில் கொள்ள வேண்டிய நேரம் இது.

தீர்வு.

எங்கள் உதாரணத்தில் n=5. தேவையான குணகங்களின் சூத்திரங்களில் சேர்க்கப்பட்டுள்ள அளவுகளைக் கணக்கிடுவதற்கான வசதிக்காக அட்டவணையை நிரப்புகிறோம்.

அட்டவணையின் நான்காவது வரிசையில் உள்ள மதிப்புகள் 2 வது வரிசையின் மதிப்புகளை ஒவ்வொரு எண்ணுக்கும் 3 வது வரிசையின் மதிப்புகளால் பெருக்குவதன் மூலம் பெறப்படுகின்றன. நான்.

அட்டவணையின் ஐந்தாவது வரிசையில் உள்ள மதிப்புகள் ஒவ்வொரு எண்ணுக்கும் 2 வது வரிசையில் உள்ள மதிப்புகளை வகுப்பதன் மூலம் பெறப்படுகின்றன. நான்.

அட்டவணையின் கடைசி நெடுவரிசையில் உள்ள மதிப்புகள் வரிசைகள் முழுவதும் உள்ள மதிப்புகளின் கூட்டுத்தொகையாகும்.

குணகங்களைக் கண்டறிய குறைந்த சதுர முறையின் சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்துகிறோம் ஏமற்றும் பி. அட்டவணையின் கடைசி நெடுவரிசையிலிருந்து தொடர்புடைய மதிப்புகளை அவற்றில் மாற்றுகிறோம்:

எனவே, y = 0.165x+2.184- விரும்பிய தோராயமான நேர்கோடு.

எந்த வரிகளைக் கண்டுபிடிக்க வேண்டும் y = 0.165x+2.184அல்லது அசல் தரவை சிறப்பாக தோராயமாக்குகிறது, அதாவது, குறைந்தபட்ச சதுரங்கள் முறையைப் பயன்படுத்தி ஒரு மதிப்பீட்டைச் செய்கிறது.

குறைந்தபட்ச சதுரங்கள் முறையின் பிழை மதிப்பீடு.

இதைச் செய்ய, இந்த வரிகளிலிருந்து அசல் தரவின் சதுர விலகல்களின் கூட்டுத்தொகையை நீங்கள் கணக்கிட வேண்டும் மற்றும் , ஒரு சிறிய மதிப்பு ஒரு கோட்டுடன் ஒத்துள்ளது, இது குறைந்தபட்ச சதுரங்கள் முறையின் அர்த்தத்தில் அசல் தரவை சிறப்பாக தோராயமாக மதிப்பிடுகிறது.

முதல், பின்னர் நேராக y = 0.165x+2.184அசல் தரவை சிறப்பாக தோராயமாக்குகிறது.

குறைந்தபட்ச சதுரங்கள் (LS) முறையின் கிராஃபிக் விளக்கம்.

வரைபடங்களில் எல்லாம் தெளிவாகத் தெரியும். சிவப்புக் கோடு என்பது காணப்படும் நேர்க் கோடு y = 0.165x+2.184, நீலக் கோடு , இளஞ்சிவப்பு புள்ளிகள் அசல் தரவு.

நடைமுறையில், பல்வேறு செயல்முறைகளை மாதிரியாக்கும்போது - குறிப்பாக, பொருளாதார, உடல், தொழில்நுட்ப, சமூக - சில நிலையான புள்ளிகளில் அறியப்பட்ட மதிப்புகளிலிருந்து செயல்பாடுகளின் தோராயமான மதிப்புகளைக் கணக்கிடுவதற்கான ஒன்று அல்லது மற்றொரு முறை பரவலாகப் பயன்படுத்தப்படுகிறது.

இந்த வகையான செயல்பாடு தோராயமான சிக்கல் அடிக்கடி எழுகிறது:

சோதனையின் விளைவாக பெறப்பட்ட அட்டவணைத் தரவைப் பயன்படுத்தி ஆய்வின் கீழ் செயல்முறையின் சிறப்பியல்பு அளவுகளின் மதிப்புகளைக் கணக்கிடுவதற்கான தோராயமான சூத்திரங்களை உருவாக்கும்போது;

எண் ஒருங்கிணைப்பு, வேறுபாடு, தீர்வு வகைக்கெழு சமன்பாடுகள்முதலியன;

தேவைப்பட்டால், கருதப்படும் இடைவெளியின் இடைநிலை புள்ளிகளில் செயல்பாடுகளின் மதிப்புகளை கணக்கிடுங்கள்;

கருதப்படும் இடைவெளிக்கு வெளியே ஒரு செயல்முறையின் சிறப்பியல்பு அளவுகளின் மதிப்புகளை நிர்ணயிக்கும் போது, குறிப்பாக முன்னறிவிக்கும் போது.

அட்டவணையால் குறிப்பிடப்பட்ட ஒரு குறிப்பிட்ட செயல்முறையை மாதிரியாக்க, குறைந்தபட்ச சதுர முறையின் அடிப்படையில் இந்த செயல்முறையை தோராயமாக விவரிக்கும் ஒரு செயல்பாட்டை உருவாக்கினால், அது தோராயமான செயல்பாடு (பின்னடைவு) என்று அழைக்கப்படும், மேலும் தோராயமான செயல்பாடுகளை உருவாக்கும் பணி அழைக்கப்படுகிறது. ஒரு தோராயமான பிரச்சனை.

இந்த வகை சிக்கலைத் தீர்ப்பதற்கான MS Excel தொகுப்பின் திறன்களைப் பற்றி இந்த கட்டுரை விவாதிக்கிறது, கூடுதலாக, இது அட்டவணைப்படுத்தப்பட்ட செயல்பாடுகளுக்கான பின்னடைவுகளை உருவாக்குவதற்கான (உருவாக்கும்) முறைகள் மற்றும் நுட்பங்களை வழங்குகிறது (இது பின்னடைவு பகுப்பாய்வின் அடிப்படையாகும்).

எக்செல் பின்னடைவுகளை உருவாக்க இரண்டு விருப்பங்களைக் கொண்டுள்ளது.

தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட பின்னடைவுகளைச் சேர்த்தல் ( போக்கு கோடுகள்- ட்ரெண்ட்லைன்கள்) ஆய்வின் கீழ் செயல்முறை பண்புக்கான தரவு அட்டவணையின் அடிப்படையில் கட்டப்பட்ட வரைபடத்தில் (கட்டமைக்கப்பட்ட வரைபடம் இருந்தால் மட்டுமே கிடைக்கும்);

எக்செல் பணித்தாளின் உள்ளமைக்கப்பட்ட புள்ளிவிவர செயல்பாடுகளைப் பயன்படுத்தி, மூல தரவு அட்டவணையில் இருந்து நேரடியாக பின்னடைவுகளை (போக்கு வரிகள்) பெற அனுமதிக்கிறது.

ஒரு விளக்கப்படத்தில் போக்கு வரிகளைச் சேர்த்தல்

ஒரு செயல்முறையை விவரிக்கும் மற்றும் வரைபடத்தால் குறிப்பிடப்படும் தரவு அட்டவணைக்கு, Excel ஒரு பயனுள்ள பின்னடைவு பகுப்பாய்வு கருவியைக் கொண்டுள்ளது, இது உங்களை அனுமதிக்கிறது:

குறைந்த சதுரங்கள் முறையின் அடிப்படையில் உருவாக்கவும் மற்றும் வரைபடத்தில் ஐந்து வகையான பின்னடைவுகளைச் சேர்க்கவும், இது ஆய்வின் கீழ் உள்ள செயல்முறையை வெவ்வேறு அளவு துல்லியத்துடன் மாதிரியாகக் காட்டுகிறது;

கட்டமைக்கப்பட்ட பின்னடைவு சமன்பாட்டை வரைபடத்தில் சேர்க்கவும்;

விளக்கப்படத்தில் காட்டப்படும் தரவுக்கு தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட பின்னடைவின் கடிதத்தின் அளவை தீர்மானிக்கவும்.

விளக்கப்படத் தரவின் அடிப்படையில், எக்செல் உங்களை நேரியல், பல்லுறுப்புக்கோவை, மடக்கை, ஆற்றல், அதிவேக வகை பின்னடைவுகளைப் பெற அனுமதிக்கிறது, அவை சமன்பாட்டால் குறிப்பிடப்படுகின்றன:

y = y(x)

x என்பது ஒரு சுயாதீன மாறியாகும், இது பெரும்பாலும் இயற்கை எண்களின் (1; 2; 3; ...) வரிசையின் மதிப்புகளை எடுத்துக்கொள்கிறது மற்றும் எடுத்துக்காட்டாக, ஆய்வின் கீழ் உள்ள செயல்முறையின் நேரத்தை (பண்புகள்) உருவாக்குகிறது.

1 . நிலையான விகிதத்தில் மதிப்புகள் அதிகரிக்கும் அல்லது குறையும் மாடலிங் பண்புகளுக்கு நேரியல் பின்னடைவு நல்லது. ஆய்வின் கீழ் உள்ள செயல்முறையை உருவாக்க இது எளிமையான மாதிரியாகும். இது சமன்பாட்டின் படி கட்டப்பட்டுள்ளது:

y = mx + b

இதில் m என்பது சாய்வின் கோணத்தின் தொடுகோடு நேரியல் பின்னடைவு abscissa அச்சுக்கு; b - ஆர்டினேட் அச்சுடன் நேரியல் பின்னடைவு வெட்டும் புள்ளியின் ஒருங்கிணைப்பு.

2 . ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவை போக்கு வரியானது பல தனித்துவமான உச்சநிலைகளை (அதிகபட்சம் மற்றும் மினிமா) கொண்டிருக்கும் பண்புகளை விவரிக்க பயனுள்ளதாக இருக்கும். பல்லுறுப்புக்கோவை பட்டத்தின் தேர்வு, ஆய்வின் கீழ் உள்ள சிறப்பியல்புகளின் தீவிர எண்ணிக்கையால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது. எனவே, ஒரு இரண்டாம் நிலை பல்லுறுப்புக்கோவையானது, அதிகபட்சம் அல்லது குறைந்தபட்சம் ஒரே ஒரு செயல்முறையை நன்கு விவரிக்க முடியும்; மூன்றாம் பட்டத்தின் பல்லுறுப்புக்கோவை - இரண்டு தீவிரத்திற்கு மேல் இல்லை; நான்காவது பட்டத்தின் பல்லுறுப்புக்கோவை - மூன்று தீவிரத்திற்கு மேல் இல்லை, முதலியன.

இந்த வழக்கில், போக்கு வரி சமன்பாட்டின் படி கட்டப்பட்டுள்ளது:

y = c0 + c1x + c2x2 + c3x3 + c4x4 + c5x5 + c6x6

இதில் c0, c1, c2,... c6 ஆகிய குணகங்கள் கட்டுமானத்தின் போது தீர்மானிக்கப்படும் மாறிலிகளாகும்.

3 . மாடலிங் குணாதிசயங்களின் போது மடக்கை போக்கு வரி வெற்றிகரமாக பயன்படுத்தப்படுகிறது, அதன் மதிப்புகள் ஆரம்பத்தில் வேகமாக மாறி பின்னர் படிப்படியாக நிலைப்படுத்தப்படுகின்றன.

y = c ln(x) + b

4 . ஆய்வின் கீழ் உள்ள உறவின் மதிப்புகள் வளர்ச்சி விகிதத்தில் நிலையான மாற்றத்தால் வகைப்படுத்தப்பட்டால், அதிகார-சட்டப் போக்கு வரி நல்ல முடிவுகளை அளிக்கிறது. அத்தகைய சார்புக்கு ஒரு எடுத்துக்காட்டு ஒரு காரின் சீரான முடுக்கப்பட்ட இயக்கத்தின் வரைபடம். தரவுகளில் பூஜ்ஜியம் அல்லது எதிர்மறை மதிப்புகள் இருந்தால், நீங்கள் ஆற்றல் போக்கு வரியைப் பயன்படுத்த முடியாது.

சமன்பாட்டின் படி கட்டப்பட்டது:

y = c xb

இதில் குணகங்கள் b, c மாறிலிகள்.

5 . தரவுகளில் ஏற்படும் மாற்ற விகிதம் தொடர்ந்து அதிகரிக்கும் போது அதிவேகப் போக்குக் கோடு பயன்படுத்தப்பட வேண்டும். பூஜ்ஜியம் அல்லது எதிர்மறை மதிப்புகளைக் கொண்ட தரவுகளுக்கு, இந்த வகை தோராயமும் பொருந்தாது.

சமன்பாட்டின் படி கட்டப்பட்டது:

y = c ebx

இதில் குணகங்கள் b, c மாறிலிகள்.

ஒரு போக்கு வரியைத் தேர்ந்தெடுக்கும் போது, எக்செல் தானாகவே R2 இன் மதிப்பைக் கணக்கிடுகிறது, இது தோராயத்தின் நம்பகத்தன்மையை வகைப்படுத்துகிறது: நெருக்கமான மதிப்பு R2 ஒற்றுமைக்கு, மிகவும் நம்பகத்தன்மையுடன் போக்குக் கோடு ஆய்வில் உள்ள செயல்முறையை தோராயமாக மதிப்பிடுகிறது. தேவைப்பட்டால், R2 மதிப்பு எப்போதும் விளக்கப்படத்தில் காட்டப்படும்.

சூத்திரத்தால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது:

தரவுத் தொடரில் போக்கு வரியைச் சேர்க்க:

தொடர்ச்சியான தரவுகளின் அடிப்படையில் ஒரு விளக்கப்படத்தை செயல்படுத்தவும், அதாவது விளக்கப்படப் பகுதியில் கிளிக் செய்யவும். வரைபட உருப்படி பிரதான மெனுவில் தோன்றும்;

இந்த உருப்படியைக் கிளிக் செய்த பிறகு, திரையில் ஒரு மெனு தோன்றும், அதில் நீங்கள் Add trend line கட்டளையைத் தேர்ந்தெடுக்க வேண்டும்.

தரவுத் தொடரில் ஒன்றோடு தொடர்புடைய வரைபடத்தின் மீது மவுஸ் பாயிண்டரை நகர்த்தி வலது கிளிக் செய்வதன் மூலம் அதே செயல்களை எளிதாகச் செயல்படுத்தலாம்; தோன்றும் சூழல் மெனுவில், Add trend line கட்டளையைத் தேர்ந்தெடுக்கவும். Type tab திறக்கப்பட்டவுடன் Trend Line உரையாடல் பெட்டி திரையில் தோன்றும் (படம் 1).

இதற்குப் பிறகு உங்களுக்குத் தேவை:

வகை தாவலில் தேவையான போக்கு வரி வகையைத் தேர்ந்தெடுக்கவும் (இயல்புநிலையாக நேரியல் வகை தேர்ந்தெடுக்கப்படும்). பல்லுறுப்புக்கோவை வகைக்கு, பட்டப் புலத்தில், தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட பல்லுறுப்புக்கோவையின் அளவைக் குறிப்பிடவும்.

1 . பில்ட் ஆன் சீரிஸ் புலம் கேள்விக்குரிய விளக்கப்படத்தில் உள்ள அனைத்து தரவுத் தொடர்களையும் பட்டியலிடுகிறது. ஒரு குறிப்பிட்ட தரவுத் தொடரில் ஒரு போக்கு வரியைச் சேர்க்க, பில்ட் ஆன் சீரிஸ் புலத்தில் அதன் பெயரைத் தேர்ந்தெடுக்கவும்.

தேவைப்பட்டால், அளவுருக்கள் தாவலுக்குச் செல்வதன் மூலம் (படம் 2), நீங்கள் போக்கு வரிக்கு பின்வரும் அளவுருக்களை அமைக்கலாம்:

தோராயமான (மென்மையான) வளைவுப் புலத்தின் பெயரில் உள்ள போக்குக் கோட்டின் பெயரை மாற்றவும்.

முன்னறிவிப்பு புலத்தில் முன்னறிவிப்புக்கான காலங்களின் எண்ணிக்கையை (முன்னோக்கி அல்லது பின்தங்கிய) அமைக்கவும்;

வரைபடப் பகுதியில் போக்குக் கோட்டின் சமன்பாட்டைக் காண்பிக்கவும், அதற்காக நீங்கள் வரைபடத் தேர்வுப்பெட்டியில் காட்சி சமன்பாட்டை இயக்க வேண்டும்;

வரைபடப் பகுதியில் தோராயமான நம்பகத்தன்மை மதிப்பான R2 ஐக் காண்பிக்கவும், அதற்காக நீங்கள் தோராயமான நம்பகத்தன்மை மதிப்பை வரைபடத்தில் (R^2) தேர்வுப்பெட்டியில் வைக்கவும்;

போக்குக் கோட்டின் குறுக்குவெட்டு புள்ளியை Y அச்சுடன் அமைக்கவும், இதற்காக நீங்கள் ஒரு புள்ளியில் Y அச்சுடன் வளைவின் குறுக்குவெட்டுக்கான தேர்வுப்பெட்டியை இயக்க வேண்டும்;

உரையாடல் பெட்டியை மூட சரி பொத்தானைக் கிளிக் செய்யவும்.

ஏற்கனவே வரையப்பட்ட போக்குக் கோட்டைத் திருத்தத் தொடங்க, மூன்று வழிகள் உள்ளன:

வடிவமைப்பு மெனுவிலிருந்து தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட போக்கு வரி கட்டளையைப் பயன்படுத்தவும், முன்பு போக்கு வரியைத் தேர்ந்தெடுத்த பிறகு;

சூழல் மெனுவிலிருந்து வடிவமைப்பு போக்கு வரி கட்டளையைத் தேர்ந்தெடுக்கவும், இது போக்கு வரியில் வலது கிளிக் செய்வதன் மூலம் அழைக்கப்படுகிறது;

போக்கு வரியில் இருமுறை கிளிக் செய்யவும்.

Trend Line வடிவமைப்பு உரையாடல் பெட்டி திரையில் தோன்றும் (படம் 3), மூன்று தாவல்களைக் கொண்டுள்ளது: பார்வை, வகை, அளவுருக்கள் மற்றும் கடைசி இரண்டின் உள்ளடக்கங்கள் போக்கு வரி உரையாடல் பெட்டியின் ஒத்த தாவல்களுடன் முற்றிலும் ஒத்துப்போகின்றன (படம் 1 -2). காட்சி தாவலில், நீங்கள் வரி வகை, அதன் நிறம் மற்றும் தடிமன் ஆகியவற்றை அமைக்கலாம்.

ஏற்கனவே வரையப்பட்ட ட்ரெண்ட் லைனை நீக்க, நீக்க வேண்டிய ட்ரெண்ட் லைனைத் தேர்ந்தெடுத்து, நீக்கு விசையை அழுத்தவும்.

கருதப்படும் பின்னடைவு பகுப்பாய்வு கருவியின் நன்மைகள்:

ஒரு தரவு அட்டவணையை உருவாக்காமல் விளக்கப்படங்களில் ஒரு போக்கு வரியை உருவாக்குவதற்கான ஒப்பீட்டளவில் எளிமை;

முன்மொழியப்பட்ட போக்கு வரிகளின் வகைகளின் மிகவும் பரந்த பட்டியல், மேலும் இந்த பட்டியலில் பொதுவாகப் பயன்படுத்தப்படும் பின்னடைவு வகைகளும் அடங்கும்;

ஒரு தன்னிச்சையான (பொது அறிவு வரம்புகளுக்குள்) படிகளின் எண்ணிக்கையை முன்னோக்கி மற்றும் பின்னோக்கி ஆய்வுக்கு உட்பட்ட செயல்முறையின் நடத்தையை கணிக்கும் திறன்;

பகுப்பாய்வு வடிவத்தில் போக்கு வரி சமன்பாட்டைப் பெறுவதற்கான திறன்;

தேவைப்பட்டால், தோராயத்தின் நம்பகத்தன்மையின் மதிப்பீட்டைப் பெறுவதற்கான சாத்தியம்.

குறைபாடுகளில் பின்வருவன அடங்கும்:

தொடர்ச்சியான தரவுகளில் கட்டப்பட்ட வரைபடம் இருந்தால் மட்டுமே ஒரு போக்கு வரியின் கட்டுமானம் மேற்கொள்ளப்படுகிறது;

பெறப்பட்ட ட்ரெண்ட் லைன் சமன்பாடுகளின் அடிப்படையில் ஆய்வின் கீழ் உள்ள குணாதிசயத்திற்கான தரவுத் தொடரை உருவாக்கும் செயல்முறை ஓரளவு இரைச்சலாக உள்ளது: அசல் தரவுத் தொடரின் மதிப்புகளில் ஒவ்வொரு மாற்றத்திற்கும் தேவையான பின்னடைவு சமன்பாடுகள் புதுப்பிக்கப்படும், ஆனால் வரைபடப் பகுதிக்குள் மட்டுமே , போது தரவு தொடர், பழைய போக்கு வரி சமன்பாட்டின் அடிப்படையில் உருவாக்கப்பட்ட, மாறாமல் உள்ளது;

PivotChart அறிக்கைகளில், ஒரு விளக்கப்படம் அல்லது தொடர்புடைய PivotTable அறிக்கையின் காட்சியை மாற்றுவது, ஏற்கனவே உள்ள போக்குகளைப் பாதுகாக்காது, அதாவது நீங்கள் போக்குகளை வரைவதற்கு அல்லது PivotChart அறிக்கையை வடிவமைக்கும் முன், அறிக்கை தளவமைப்பு தேவையான தேவைகளைப் பூர்த்திசெய்கிறதா என்பதை உறுதிசெய்ய வேண்டும்.

வரைபடம், ஹிஸ்டோகிராம், தட்டையான தரமற்ற பகுதி விளக்கப்படங்கள், பட்டை விளக்கப்படங்கள், சிதறல் விளக்கப்படங்கள், குமிழி விளக்கப்படங்கள் மற்றும் பங்கு விளக்கப்படங்கள் போன்ற விளக்கப்படங்களில் வழங்கப்பட்ட தரவுத் தொடர்களுக்கு துணை வரிகள் பயன்படுத்தப்படலாம்.

3D, இயல்பாக்கப்பட்ட, ரேடார், பை மற்றும் டோனட் விளக்கப்படங்களில் தரவுத் தொடரில் போக்கு வரிகளைச் சேர்க்க முடியாது.

Excel இன் உள்ளமைக்கப்பட்ட செயல்பாடுகளைப் பயன்படுத்துதல்

எக்செல் சார்ட் பகுதிக்கு வெளியே போக்குக் கோடுகளைத் திட்டமிடுவதற்கான பின்னடைவு பகுப்பாய்வுக் கருவியையும் கொண்டுள்ளது. இந்த நோக்கத்திற்காக நீங்கள் பயன்படுத்தக்கூடிய பல புள்ளிவிவர பணித்தாள் செயல்பாடுகள் உள்ளன, ஆனால் அவை அனைத்தும் நேரியல் அல்லது அதிவேக பின்னடைவுகளை உருவாக்க மட்டுமே உங்களை அனுமதிக்கின்றன.

நேரியல் பின்னடைவை உருவாக்க எக்செல் பல செயல்பாடுகளைக் கொண்டுள்ளது, குறிப்பாக:

போக்கு;

சாய்வு மற்றும் வெட்டு.

மேலும் ஒரு அதிவேக போக்கு வரியை உருவாக்குவதற்கான பல செயல்பாடுகள், குறிப்பாக:

LGRFPRIBL.

TREND மற்றும் GROWTH செயல்பாடுகளைப் பயன்படுத்தி பின்னடைவுகளை உருவாக்குவதற்கான நுட்பங்கள் கிட்டத்தட்ட ஒரே மாதிரியானவை என்பதை கவனத்தில் கொள்ள வேண்டும். LINEST மற்றும் LGRFPRIBL ஆகிய செயல்பாடுகளின் ஜோடியைப் பற்றியும் இதைச் சொல்லலாம். இந்த நான்கு செயல்பாடுகளுக்கு, மதிப்புகளின் அட்டவணையை உருவாக்குவது வரிசை சூத்திரங்கள் போன்ற எக்செல் அம்சங்களைப் பயன்படுத்துகிறது, இது பின்னடைவுகளை உருவாக்கும் செயல்முறையை ஓரளவு குழப்புகிறது. எங்கள் கருத்துப்படி, நேரியல் பின்னடைவின் கட்டுமானமானது சாய்வு மற்றும் இடைச்செருகல் செயல்பாடுகளைப் பயன்படுத்தி மிக எளிதாக நிறைவேற்றப்படுகிறது என்பதையும் கவனத்தில் கொள்வோம், அவற்றில் முதலாவது நேரியல் பின்னடைவின் சாய்வைத் தீர்மானிக்கிறது, இரண்டாவது பின்னடைவால் குறுக்கிடப்பட்ட பகுதியை தீர்மானிக்கிறது. y-அச்சு.

பின்னடைவு பகுப்பாய்வுக்கான உள்ளமைக்கப்பட்ட செயல்பாடுகள் கருவியின் நன்மைகள்:

போக்குக் கோடுகளை வரையறுக்கும் அனைத்து உள்ளமைக்கப்பட்ட புள்ளியியல் செயல்பாடுகளுக்கும் ஆய்வின் கீழ் உள்ள பண்புகளின் தரவுத் தொடரை உருவாக்கும் மிகவும் எளிமையான, சீரான செயல்முறை;

உருவாக்கப்பட்ட தரவுத் தொடரின் அடிப்படையில் போக்குக் கோடுகளை உருவாக்குவதற்கான நிலையான முறை;

முன்னோக்கி அல்லது பின்னோக்கி தேவையான படிகளின் எண்ணிக்கை மூலம் ஆய்வின் கீழ் செயல்முறையின் நடத்தையை கணிக்கும் திறன்.

பிற (நேரியல் மற்றும் அதிவேகத்தைத் தவிர) போக்கு வரிகளை உருவாக்குவதற்கான உள்ளமைக்கப்பட்ட செயல்பாடுகளை எக்செல் கொண்டிருக்கவில்லை என்பது குறைபாடுகளில் அடங்கும். இந்த சூழ்நிலை பெரும்பாலும் ஆய்வின் கீழ் உள்ள செயல்முறையின் போதுமான துல்லியமான மாதிரியைத் தேர்ந்தெடுப்பதை அனுமதிக்காது, அத்துடன் யதார்த்தத்திற்கு நெருக்கமான கணிப்புகளைப் பெறுகிறது. கூடுதலாக, TREND மற்றும் GROWTH செயல்பாடுகளைப் பயன்படுத்தும் போது, போக்கு வரிகளின் சமன்பாடுகள் தெரியவில்லை.

பின்னடைவு பகுப்பாய்வின் போக்கை எந்த அளவு முழுமையுடன் முன்வைக்க ஆசிரியர்கள் முன்வரவில்லை என்பதைக் கவனத்தில் கொள்ள வேண்டும். தோராயமான சிக்கல்களைத் தீர்க்கும் போது, குறிப்பிட்ட எடுத்துக்காட்டுகளைப் பயன்படுத்தி, எக்செல் தொகுப்பின் திறன்களைக் காண்பிப்பதே இதன் முக்கிய பணியாகும்; எக்செல் பின்னடைவுகளை உருவாக்குவதற்கும் முன்னறிவிப்பதற்கும் என்ன பயனுள்ள கருவிகளைக் கொண்டுள்ளது என்பதை நிரூபிக்கவும்; பின்னடைவு பகுப்பாய்வைப் பற்றிய விரிவான அறிவு இல்லாத ஒரு பயனரால் கூட இத்தகைய சிக்கல்களை ஒப்பீட்டளவில் எளிதாக எவ்வாறு தீர்க்க முடியும் என்பதை விளக்கவும்.

குறிப்பிட்ட சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதற்கான எடுத்துக்காட்டுகள்

பட்டியலிடப்பட்ட எக்செல் கருவிகளைப் பயன்படுத்தி குறிப்பிட்ட சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதைப் பார்ப்போம்.

பிரச்சனை 1

1995-2002க்கான மோட்டார் போக்குவரத்து நிறுவனத்தின் லாபம் குறித்த தரவு அட்டவணையுடன். நீங்கள் பின்வருவனவற்றைச் செய்ய வேண்டும்:

ஒரு வரைபடத்தை உருவாக்கவும்.

விளக்கப்படத்தில் நேரியல் மற்றும் பல்லுறுப்புக்கோவை (குவாட்ராடிக் மற்றும் க்யூபிக்) போக்கு வரிகளைச் சேர்க்கவும்.

போக்குக் கோடுகளின் சமன்பாடுகளைப் பயன்படுத்தி, 1995-2004க்கான ஒவ்வொரு ட்ரெண்ட் லைனுக்கும் நிறுவன லாபம் குறித்த அட்டவணைத் தரவைப் பெறவும்.

2003 மற்றும் 2004 ஆம் ஆண்டுக்கான நிறுவனத்தின் லாபத்தை முன்னறிவிக்கவும்.

பிரச்சனையின் தீர்வு

எக்செல் பணித்தாளின் A4:C11 கலங்களின் வரம்பில், படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ள பணித்தாளை உள்ளிடவும். 4.

B4:C11 கலங்களின் வரம்பைத் தேர்ந்தெடுத்து, நாங்கள் ஒரு வரைபடத்தை உருவாக்குகிறோம்.

நாங்கள் கட்டமைக்கப்பட்ட வரைபடத்தை செயல்படுத்துகிறோம், மேலே விவரிக்கப்பட்ட முறையின்படி, போக்கு வரி உரையாடல் பெட்டியில் (படம் 1 ஐப் பார்க்கவும்) போக்கு வரியின் வகையைத் தேர்ந்தெடுத்த பிறகு, வரைபடத்தில் நேரியல், இருபடி மற்றும் கனசதுரப் போக்கு வரிகளை மாறி மாறிச் சேர்ப்போம். அதே உரையாடல் பெட்டியில், அளவுருக்கள் தாவலைத் திறக்கவும் (படம் 2 ஐப் பார்க்கவும்), தோராயமான (மென்மையான) வளைவுப் புலத்தின் பெயரில், சேர்க்கப்படும் போக்கின் பெயரை உள்ளிடவும், மேலும் Forecast Forward for: periods புலத்தை அமைக்கவும். மதிப்பு 2, இரண்டு ஆண்டுகளுக்கு முன்னரே லாபம் கணிக்க திட்டமிடப்பட்டுள்ளது. வரைபடப் பகுதியில் பின்னடைவு சமன்பாடு மற்றும் தோராய நம்பகத்தன்மை மதிப்பு R2 ஐக் காட்ட, திரைத் தேர்வுப்பெட்டியில் காட்சி சமன்பாட்டை இயக்கவும் மற்றும் வரைபடத்தில் தோராய நம்பகத்தன்மை மதிப்பை (R^2) வைக்கவும். சிறந்த காட்சிப் பார்வைக்கு, கட்டமைக்கப்பட்ட போக்குக் கோடுகளின் வகை, நிறம் மற்றும் தடிமன் ஆகியவற்றை மாற்றுகிறோம், அதற்காக ட்ரெண்ட் லைன் வடிவமைப்பு உரையாடல் பெட்டியின் காட்சி தாவலைப் பயன்படுத்துகிறோம் (படம் 3 ஐப் பார்க்கவும்). கூடுதல் போக்குக் கோடுகளுடன் விளைந்த வரைபடம் படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளது. 5.

1995-2004க்கான ஒவ்வொரு போக்கு வரியிலும் நிறுவன லாபம் குறித்த அட்டவணைத் தரவைப் பெற. படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ள போக்கு வரி சமன்பாடுகளைப் பயன்படுத்துவோம். 5. இதைச் செய்ய, D3:F3 வரம்பின் கலங்களில், தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட போக்கு வரியின் வகை பற்றிய உரைத் தகவலை உள்ளிடவும்: நேரியல் போக்கு, இருபடிப் போக்கு, கனசதுரம் போக்கு. அடுத்து, செல் D4 இல் நேரியல் பின்னடைவு சூத்திரத்தை உள்ளிடவும், நிரப்பு மார்க்கரைப் பயன்படுத்தி, செல் வரம்பு D5:D13க்கான தொடர்புடைய குறிப்புகளுடன் இந்த சூத்திரத்தை நகலெடுக்கவும். D4:D13 கலங்களின் வரம்பிலிருந்து நேரியல் பின்னடைவு சூத்திரம் கொண்ட ஒவ்வொரு கலமும் A4:A13 வரம்பிலிருந்து தொடர்புடைய கலத்தை வாதமாக கொண்டுள்ளது என்பதைக் கவனத்தில் கொள்ள வேண்டும். இதேபோல், இருபடி பின்னடைவுக்கு, செல்கள் E4:E13 வரம்பையும், கன பின்னடைவுக்கு, F4:F13 கலங்களின் வரம்பையும் நிரப்பவும். எனவே, 2003 மற்றும் 2004 ஆம் ஆண்டுக்கான நிறுவனத்தின் லாபத்திற்கான முன்னறிவிப்பு தொகுக்கப்பட்டுள்ளது. மூன்று போக்குகளைப் பயன்படுத்தி. இதன் விளைவாக மதிப்புகளின் அட்டவணை படம் காட்டப்பட்டுள்ளது. 6.

பிரச்சனை 2

ஒரு வரைபடத்தை உருவாக்கவும்.

விளக்கப்படத்தில் மடக்கை, சக்தி மற்றும் அதிவேக போக்கு வரிகளைச் சேர்க்கவும்.

பெறப்பட்ட போக்கு வரிகளின் சமன்பாடுகளையும், அவை ஒவ்வொன்றிற்கும் தோராயமான R2 இன் நம்பகத்தன்மை மதிப்புகளையும் பெறவும்.

ட்ரெண்ட் லைன் சமன்பாடுகளைப் பயன்படுத்தி, 1995-2002க்கான ஒவ்வொரு டிரெண்ட் லைனுக்கும் நிறுவனத்தின் லாபம் குறித்த அட்டவணைத் தரவைப் பெறவும்.

இந்தப் போக்குக் கோடுகளைப் பயன்படுத்தி 2003 மற்றும் 2004க்கான நிறுவனத்தின் லாபத்தை முன்னறிவிக்கவும்.

பிரச்சனையின் தீர்வு

சிக்கலைத் தீர்ப்பதில் கொடுக்கப்பட்ட வழிமுறையைப் பின்பற்றி, மடக்கை, சக்தி மற்றும் அதிவேக போக்குக் கோடுகளுடன் ஒரு வரைபடத்தைப் பெறுகிறோம் (படம் 7). அடுத்து, பெறப்பட்ட போக்கு வரி சமன்பாடுகளைப் பயன்படுத்தி, 2003 மற்றும் 2004க்கான கணிக்கப்பட்ட மதிப்புகள் உட்பட, நிறுவனத்தின் லாபத்திற்கான மதிப்புகளின் அட்டவணையை நிரப்புகிறோம். (படம் 8).

படத்தில். 5 மற்றும் அத்தி. மடக்கைப் போக்கு கொண்ட மாதிரியானது தோராயமான நம்பகத்தன்மையின் மிகக் குறைந்த மதிப்பை ஒத்திருப்பதைக் காணலாம்.

R2 = 0.8659

R2 இன் மிக உயர்ந்த மதிப்புகள் பல்லுறுப்புக்கோவை போக்கு கொண்ட மாதிரிகளுக்கு ஒத்திருக்கிறது: இருபடி (R2 = 0.9263) மற்றும் கன (R2 = 0.933).

பிரச்சனை 3

1995-2002 ஆம் ஆண்டுக்கான மோட்டார் போக்குவரத்து நிறுவனத்தின் லாபம் குறித்த தரவு அட்டவணையுடன், பணி 1 இல் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது, நீங்கள் பின்வரும் படிகளைச் செய்ய வேண்டும்.

TREND மற்றும் GROW செயல்பாடுகளைப் பயன்படுத்தி நேரியல் மற்றும் அதிவேக போக்குக் கோடுகளுக்கான தரவுத் தொடரைப் பெறவும்.

TREND மற்றும் GROWTH செயல்பாடுகளைப் பயன்படுத்தி, 2003 மற்றும் 2004க்கான நிறுவனத்தின் லாபத்தை முன்னறிவிக்கவும்.

அசல் தரவு மற்றும் அதன் விளைவாக வரும் தரவுத் தொடருக்கான வரைபடத்தை உருவாக்கவும்.

பிரச்சனையின் தீர்வு

பிரச்சனை 1 க்கு பணித்தாள் பயன்படுத்துவோம் (படம் 4 ஐப் பார்க்கவும்). TREND செயல்பாட்டுடன் ஆரம்பிக்கலாம்:

D4: D11 கலங்களின் வரம்பைத் தேர்ந்தெடுக்கவும், இது நிறுவனத்தின் லாபத்தில் அறியப்பட்ட தரவுகளுடன் தொடர்புடைய TREND செயல்பாட்டின் மதிப்புகளால் நிரப்பப்பட வேண்டும்;

செருகு மெனுவிலிருந்து செயல்பாட்டு கட்டளையை அழைக்கவும். தோன்றும் Function Wizard உரையாடல் பெட்டியில், புள்ளியியல் வகையிலிருந்து TREND செயல்பாட்டைத் தேர்ந்தெடுத்து, சரி பொத்தானைக் கிளிக் செய்யவும். நிலையான கருவிப்பட்டியில் உள்ள (செயல்பாட்டைச் செருகு) பொத்தானைக் கிளிக் செய்வதன் மூலம் அதே செயல்பாட்டைச் செய்யலாம்.

தோன்றும் Function Arguments உரையாடல் பெட்டியில், Known_values_y புலத்தில் C4:C11 கலங்களின் வரம்பை உள்ளிடவும்; Known_values_x புலத்தில் - கலங்களின் வரம்பு B4:B11;

உள்ளிடப்பட்ட சூத்திரத்தை வரிசை சூத்திரமாக மாற்ற, ++ விசை கலவையைப் பயன்படுத்தவும்.

சூத்திரப் பட்டியில் நாம் உள்ளிட்ட சூத்திரம் இப்படி இருக்கும்: =(TREND(C4:C11,B4:B11)).

இதன் விளைவாக, செல்கள் D4:D11 TREND செயல்பாட்டின் தொடர்புடைய மதிப்புகளால் நிரப்பப்படுகிறது (படம் 9).

2003 மற்றும் 2004 ஆம் ஆண்டுக்கான நிறுவனத்தின் லாபத்தைக் கணிக்க. அவசியம்:

TREND செயல்பாட்டால் கணிக்கப்படும் மதிப்புகள் உள்ளிடப்படும் D12:D13 கலங்களின் வரம்பைத் தேர்ந்தெடுக்கவும்.

TREND செயல்பாட்டை அழைக்கவும் மற்றும் தோன்றும் செயல்பாட்டு வாதங்கள் உரையாடல் பெட்டியில், Known_values_y புலத்தில் C4:C11 கலங்களின் வரம்பை உள்ளிடவும்; Known_values_x புலத்தில் - கலங்களின் வரம்பு B4:B11; மற்றும் New_values_x புலத்தில் - கலங்களின் வரம்பு B12:B13.

Ctrl + Shift + Enter விசை கலவையைப் பயன்படுத்தி இந்த சூத்திரத்தை வரிசை சூத்திரமாக மாற்றவும்.

உள்ளிடப்பட்ட சூத்திரம் இப்படி இருக்கும்: =(TREND(C4:C11;B4:B11;B12:B13)), மேலும் D12:D13 கலங்களின் வரம்பு TREND செயல்பாட்டின் கணிக்கப்பட்ட மதிப்புகளால் நிரப்பப்படும் (படம் 1 ஐப் பார்க்கவும்). 9)

தரவுத் தொடரானது GROWTH செயல்பாட்டைப் பயன்படுத்தி நிரப்பப்படுகிறது, இது நேரியல் சார்புகளின் பகுப்பாய்வில் பயன்படுத்தப்படுகிறது மற்றும் அதன் நேரியல் எதிர் ட்ரெண்டின் அதே வழியில் செயல்படுகிறது.

படம் 10 அட்டவணையை சூத்திரக் காட்சி முறையில் காட்டுகிறது.

ஆரம்ப தரவு மற்றும் பெறப்பட்ட தரவுத் தொடருக்கு, படம் காட்டப்பட்டுள்ளது. பதினொரு.

பிரச்சனை 4

நடப்பு மாதத்தின் 1 முதல் 11 ஆம் தேதி வரையிலான காலத்திற்கு ஒரு மோட்டார் போக்குவரத்து நிறுவனத்தின் அனுப்பும் சேவையின் மூலம் சேவைகளுக்கான விண்ணப்பங்களின் ரசீது குறித்த தரவு அட்டவணையுடன், நீங்கள் பின்வரும் செயல்களைச் செய்ய வேண்டும்.

நேரியல் பின்னடைவுக்கான தரவுத் தொடரைப் பெறுங்கள்: SLOPE மற்றும் INTERCEPT செயல்பாடுகளைப் பயன்படுத்துதல்; LINEST செயல்பாட்டைப் பயன்படுத்துகிறது.

LGRFPRIBL செயல்பாட்டைப் பயன்படுத்தி அதிவேக பின்னடைவுக்கான தொடர்ச்சியான தரவைப் பெறவும்.

மேலே உள்ள செயல்பாடுகளைப் பயன்படுத்தி, தற்போதைய மாதத்தின் 12 முதல் 14 வரையிலான காலத்திற்கு அனுப்புதல் சேவைக்கான விண்ணப்பங்களின் ரசீது பற்றிய முன்னறிவிப்பை உருவாக்கவும்.

அசல் மற்றும் பெறப்பட்ட தரவுத் தொடருக்கான வரைபடத்தை உருவாக்கவும்.

பிரச்சனையின் தீர்வு

TREND மற்றும் GROWTH செயல்பாடுகளைப் போலன்றி, மேலே பட்டியலிடப்பட்டுள்ள செயல்பாடுகள் எதுவும் (SLOPE, INTERCEPT, LINEST, LGRFPRIB) பின்னடைவு அல்ல என்பதை நினைவில் கொள்ளவும். இந்த செயல்பாடுகள் ஒரு துணைப் பாத்திரத்தை மட்டுமே வகிக்கின்றன, தேவையான பின்னடைவு அளவுருக்களை தீர்மானிக்கின்றன.

SLOPE, INTERCEPT, LINEST, LGRFPRIB ஆகிய செயல்பாடுகளைப் பயன்படுத்தி கட்டமைக்கப்பட்ட நேரியல் மற்றும் அதிவேக பின்னடைவுகளுக்கு, TREND மற்றும் GROWTH செயல்பாடுகளுடன் தொடர்புடைய நேரியல் மற்றும் அதிவேக பின்னடைவுகளுக்கு மாறாக, அவற்றின் சமன்பாடுகளின் தோற்றம் எப்போதும் அறியப்படுகிறது.

1 . சமன்பாட்டுடன் நேரியல் பின்னடைவை உருவாக்குவோம்:

y = mx+b

SLOPE மற்றும் INTERCEPT செயல்பாடுகளைப் பயன்படுத்தி, பின்னடைவு சாய்வு m SLOPE செயல்பாட்டால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது, மற்றும் இலவச சொல் b INTERCEPT செயல்பாட்டால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது.

இதைச் செய்ய, நாங்கள் பின்வரும் செயல்களைச் செய்கிறோம்:

A4:B14 செல் வரம்பில் அசல் அட்டவணையை உள்ளிடவும்;

அளவுரு m இன் மதிப்பு செல் C19 இல் தீர்மானிக்கப்படும். புள்ளியியல் வகையிலிருந்து சாய்வு செயல்பாட்டைத் தேர்ந்தெடுக்கவும்; தெரிந்த_மதிப்புகள்_y புலத்தில் B4:B14 கலங்களின் வரம்பையும், known_values_x புலத்தில் A4:A14 கலங்களின் வரம்பையும் உள்ளிடவும். சூத்திரம் செல் C19 இல் உள்ளிடப்படும்: =SLOPE(B4:B14,A4:A14);

இதேபோன்ற நுட்பத்தைப் பயன்படுத்தி, செல் D19 இல் அளவுரு b இன் மதிப்பு தீர்மானிக்கப்படுகிறது. அதன் உள்ளடக்கங்கள் இப்படி இருக்கும்: =SEGMENT(B4:B14,A4:A14). எனவே, ஒரு நேரியல் பின்னடைவை உருவாக்குவதற்கு தேவையான அளவுருக்கள் m மற்றும் b மதிப்புகள் முறையே C19, D19 கலங்களில் சேமிக்கப்படும்;

அடுத்து, செல் C4 இல் நேர்கோட்டு பின்னடைவு சூத்திரத்தை வடிவத்தில் உள்ளிடவும்: =$C*A4+$D. இந்த சூத்திரத்தில், C19 மற்றும் D19 கலங்கள் முழுமையான குறிப்புகளுடன் எழுதப்பட்டுள்ளன (நகலெடுக்கும் போது செல் முகவரி மாறக்கூடாது). செல் முகவரியில் கர்சரை வைத்த பிறகு, விசைப்பலகை அல்லது F4 விசையைப் பயன்படுத்தி $ என்ற முழுமையான குறிப்பு அடையாளத்தை தட்டச்சு செய்யலாம். நிரப்பு கைப்பிடியைப் பயன்படுத்தி, இந்த சூத்திரத்தை C4:C17 கலங்களின் வரம்பில் நகலெடுக்கவும். தேவையான தரவுத் தொடரைப் பெறுகிறோம் (படம் 12). பயன்பாடுகளின் எண்ணிக்கை ஒரு முழு எண்ணாக இருப்பதால், செல் வடிவமைப்பு சாளரத்தின் எண் தாவலில் தசம இடங்களின் எண்ணிக்கையுடன் எண் வடிவமைப்பை 0 ஆக அமைக்க வேண்டும்.

2 . இப்போது சமன்பாட்டால் கொடுக்கப்பட்ட நேரியல் பின்னடைவை உருவாக்குவோம்:

y = mx+b

LINEST செயல்பாட்டைப் பயன்படுத்துகிறது.

இதற்காக:

LINEST செயல்பாட்டை வரிசை சூத்திரமாக C20:D20 கலங்களின் வரம்பில் உள்ளிடவும்: =(LINEST(B4:B14,A4:A14)). இதன் விளைவாக, செல் C20 இல் அளவுரு m இன் மதிப்பையும், செல் D20 இல் b அளவுருவின் மதிப்பையும் பெறுகிறோம்;

செல் D4 இல் சூத்திரத்தை உள்ளிடவும்: =$C*A4+$D;

இந்த ஃபார்முலாவை ஃபில் மார்க்கரைப் பயன்படுத்தி D4:D17 செல் வரம்பில் நகலெடுத்து, தேவையான தரவுத் தொடரைப் பெறவும்.

3 . சமன்பாட்டுடன் ஒரு அதிவேக பின்னடைவை உருவாக்குகிறோம்:

LGRFPRIBL செயல்பாட்டைப் பயன்படுத்தி இது இதே வழியில் செய்யப்படுகிறது:

C21:D21 கலங்களின் வரம்பில் நாம் LGRFPRIBL செயல்பாட்டை ஒரு வரிசை சூத்திரமாக உள்ளிடுகிறோம்: =(LGRFPRIBL (B4:B14,A4:A14)). இந்த வழக்கில், அளவுரு m இன் மதிப்பு செல் C21 இல் தீர்மானிக்கப்படும், மற்றும் அளவுரு b இன் மதிப்பு செல் D21 இல் தீர்மானிக்கப்படும்;

சூத்திரம் செல் E4 இல் உள்ளிடப்பட்டுள்ளது: =$D*$C^A4;

நிரப்பு மார்க்கரைப் பயன்படுத்தி, இந்த சூத்திரம் செல்கள் E4:E17 வரம்பிற்கு நகலெடுக்கப்படுகிறது, அங்கு அதிவேக பின்னடைவுக்கான தரவுத் தொடர் இருக்கும் (படம் 12 ஐப் பார்க்கவும்).

படத்தில். தேவையான செல் வரம்புகள் மற்றும் சூத்திரங்களுடன் நாங்கள் பயன்படுத்தும் செயல்பாடுகளை நீங்கள் காணக்கூடிய அட்டவணையை படம் 13 காட்டுகிறது.

அளவு ஆர் 2 அழைக்கப்பட்டது நிர்ணய குணகம்.

ஒரு பின்னடைவு சார்புகளை உருவாக்குவதற்கான பணியானது, குணகம் R அதன் அதிகபட்ச மதிப்பை எடுக்கும் மாதிரியின் (1) குணகங்களின் திசையன்களைக் கண்டுபிடிப்பதாகும்.

R இன் முக்கியத்துவத்தை மதிப்பிடுவதற்கு, Fisher's F சோதனையானது சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடப்படுகிறது

எங்கே n- மாதிரி அளவு (சோதனைகளின் எண்ணிக்கை);

k என்பது மாதிரி குணகங்களின் எண்ணிக்கை.

தரவுக்கான சில முக்கியமான மதிப்பைத் தாண்டியிருந்தால் nமற்றும் கேமற்றும் ஏற்றுக்கொள்ளப்பட்ட நம்பிக்கை நிகழ்தகவு, பின்னர் R இன் மதிப்பு குறிப்பிடத்தக்கதாகக் கருதப்படுகிறது. அட்டவணைகள் முக்கியமான மதிப்புகள்எஃப் கணித புள்ளியியல் பற்றிய குறிப்பு புத்தகங்களில் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.

எனவே, R இன் முக்கியத்துவம் அதன் மதிப்பால் மட்டும் தீர்மானிக்கப்படுகிறது, ஆனால் சோதனைகளின் எண்ணிக்கை மற்றும் மாதிரியின் குணகங்களின் (அளவுருக்கள்) எண்ணிக்கை ஆகியவற்றுக்கு இடையேயான உறவால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது. உண்மையில், ஒரு எளிய நேரியல் மாதிரிக்கான n=2க்கான தொடர்பு விகிதம் 1 க்கு சமம் (ஒரு நேர்கோட்டை எப்போதும் ஒரு விமானத்தில் 2 புள்ளிகள் வழியாக வரையலாம்). இருப்பினும், சோதனை தரவு சீரற்ற மாறிகள் என்றால், R இன் அத்தகைய மதிப்பு மிகுந்த எச்சரிக்கையுடன் நம்பப்பட வேண்டும். வழக்கமாக, குறிப்பிடத்தக்க R மற்றும் நம்பகமான பின்னடைவைப் பெற, சோதனைகளின் எண்ணிக்கை கணிசமாக மாதிரி குணகங்களின் எண்ணிக்கையை (n>k) மீறுவதை உறுதிசெய்ய அவர்கள் முயற்சி செய்கிறார்கள்.

நேரியல் பின்னடைவு மாதிரியை உருவாக்க உங்களுக்கு இது தேவைப்படும்:

1) சோதனைத் தரவுகளைக் கொண்ட n வரிசைகள் மற்றும் m நெடுவரிசைகளின் பட்டியலைத் தயாரிக்கவும் (வெளியீட்டு மதிப்பைக் கொண்ட நெடுவரிசை ஒய்பட்டியலில் முதல் அல்லது கடைசியாக இருக்க வேண்டும்); எடுத்துக்காட்டாக, முந்தைய பணியின் தரவை எடுத்து, "கால எண்" என்ற நெடுவரிசையைச் சேர்த்து, 1 முதல் 12 வரையிலான கால எண்களை எண்ணுங்கள். (இவை மதிப்புகளாக இருக்கும். எக்ஸ்)

2) தரவு/தரவு பகுப்பாய்வு/பின்னடைவு மெனுவுக்குச் செல்லவும்

“கருவிகள்” மெனுவில் “தரவு பகுப்பாய்வு” உருப்படி கிடைக்கவில்லை என்றால், நீங்கள் அதே மெனுவில் உள்ள “சேர்ப்பு” உருப்படிக்குச் சென்று “பகுப்பாய்வு தொகுப்பு” தேர்வுப்பெட்டியைச் சரிபார்க்கவும்.

3) "பின்னடைவு" உரையாடல் பெட்டியில், அமைக்கவும்:

· உள்ளீட்டு இடைவெளி Y;

· உள்ளீட்டு இடைவெளி X;

· வெளியீட்டு இடைவெளி - கணக்கீட்டு முடிவுகள் வைக்கப்படும் இடைவெளியின் மேல் இடது செல் (அவற்றை ஒரு புதிய பணித்தாளில் வைக்க பரிந்துரைக்கப்படுகிறது);

4) "சரி" என்பதைக் கிளிக் செய்து முடிவுகளை பகுப்பாய்வு செய்யவும்.

எது அதிகம் கண்டுபிடிக்கிறது பரந்த பயன்பாடுஅறிவியல் மற்றும் நடைமுறை செயல்பாடுகளின் பல்வேறு துறைகளில். இது இயற்பியல், வேதியியல், உயிரியல், பொருளாதாரம், சமூகவியல், உளவியல் மற்றும் பலவாக இருக்கலாம். விதியின் விருப்பத்தால், நான் அடிக்கடி பொருளாதாரத்தை சமாளிக்க வேண்டியிருக்கும், எனவே இன்று நான் உங்களுக்கு ஒரு அற்புதமான நாட்டிற்கு ஒரு பயணத்தை ஏற்பாடு செய்வேன். பொருளாதார அளவியல்=) ...அதை எப்படி நீங்கள் விரும்பவில்லை?! அது மிகவும் நன்றாக இருக்கிறது - நீங்கள் உங்கள் மனதை உருவாக்க வேண்டும்! ...ஆனால் நீங்கள் நிச்சயமாக விரும்புவது பிரச்சனைகளை எவ்வாறு தீர்ப்பது என்பதை அறிய வேண்டும் குறைந்த சதுர முறை. குறிப்பாக விடாமுயற்சியுள்ள வாசகர்கள் அவற்றைத் துல்லியமாக மட்டுமல்லாமல், மிக விரைவாகவும் தீர்க்க கற்றுக்கொள்வார்கள் ;-) ஆனால் முதலில் பிரச்சனையின் பொதுவான அறிக்கை+ உடன் உதாரணம்:

ஒரு குறிப்பிட்ட பாடப் பகுதியில், அளவு வெளிப்பாடு கொண்ட குறிகாட்டிகள் ஆய்வு செய்யப்படுகின்றன என்று வைத்துக்கொள்வோம். அதே நேரத்தில், காட்டி குறிகாட்டியைப் பொறுத்தது என்று நம்புவதற்கு எல்லா காரணங்களும் உள்ளன. இந்த அனுமானம் ஒரு அறிவியல் கருதுகோளாக இருக்கலாம் அல்லது அடிப்படை பொது அறிவு அடிப்படையில் இருக்கலாம். அறிவியலை ஒதுக்கி வைத்துவிட்டு, மேலும் பசியைத் தூண்டும் பகுதிகளை ஆராய்வோம் - அதாவது மளிகைக் கடைகள். இதன் மூலம் குறிப்போம்:

- ஒரு மளிகைக் கடையின் சில்லறைப் பகுதி, ச.மீ.,
- ஒரு மளிகைக் கடையின் வருடாந்திர வருவாய், மில்லியன் ரூபிள்.

பெரிய கடை பகுதி, பெரும்பாலான சந்தர்ப்பங்களில் அதன் வருவாய் அதிகமாக இருக்கும் என்பது முற்றிலும் தெளிவாக உள்ளது.

ஒரு டம்ளரைக் கொண்டு அவதானிப்புகள்/பரிசோதனைகள்/கணக்கீடுகள்/நடனங்களைச் செய்த பிறகு, நம் வசம் எண்ணியல் தரவுகள் உள்ளன என்று வைத்துக்கொள்வோம்:

மளிகைக் கடைகளில், எல்லாம் தெளிவாக இருப்பதாக நான் நினைக்கிறேன்: - இது 1 வது கடையின் பகுதி, - அதன் வருடாந்திர வருவாய், - 2 வது கடையின் பகுதி, - அதன் வருடாந்திர வருவாய் போன்றவை. மூலம், வகைப்படுத்தப்பட்ட பொருட்களை அணுகுவது அவசியமில்லை - வர்த்தக வருவாயின் மிகவும் துல்லியமான மதிப்பீட்டை இதன் மூலம் பெறலாம் கணித புள்ளிவிவரங்கள். இருப்பினும், திசைதிருப்ப வேண்டாம், வணிக உளவு படிப்பு ஏற்கனவே செலுத்தப்பட்டுள்ளது =)

அட்டவணை தரவு புள்ளிகள் வடிவில் எழுதப்பட்ட மற்றும் பழக்கமான வடிவத்தில் சித்தரிக்கப்படுகிறது கார்ட்டீசியன் அமைப்பு .

நாங்கள் பதிலளிப்போம் முக்கியமான கேள்வி: ஒரு தரமான ஆய்வுக்கு எத்தனை புள்ளிகள் தேவை?

பெரியது, சிறந்தது. குறைந்தபட்ச ஏற்றுக்கொள்ளக்கூடிய தொகுப்பு 5-6 புள்ளிகளைக் கொண்டுள்ளது. கூடுதலாக, தரவின் அளவு சிறியதாக இருக்கும் போது, மாதிரியில் "ஒழுங்கற்ற" முடிவுகளை சேர்க்க முடியாது. எனவே, எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு சிறிய உயரடுக்கு கடை "அதன் சக ஊழியர்களை" விட அதிக அளவு ஆர்டர்களைப் பெற முடியும், அதன் மூலம் சிதைக்கிறது பொதுவான முறை, நீங்கள் கண்டுபிடிக்க வேண்டியது இதுதான்!

மிக எளிமையாகச் சொல்வதென்றால், நாம் ஒரு செயல்பாட்டைத் தேர்ந்தெடுக்க வேண்டும். அட்டவணைஇது புள்ளிகளுக்கு முடிந்தவரை நெருக்கமாக செல்கிறது . இந்த செயல்பாடு அழைக்கப்படுகிறது தோராயமாக (தோராயம் - தோராயம்)அல்லது கோட்பாட்டு செயல்பாடு . பொதுவாக, ஒரு வெளிப்படையான "போட்டியாளர்" உடனடியாக இங்கே தோன்றும் - உயர்-நிலை பல்லுறுப்புக்கோவை, அதன் வரைபடம் அனைத்து புள்ளிகளையும் கடந்து செல்கிறது. ஆனால் இந்த விருப்பம் சிக்கலானது மற்றும் பெரும்பாலும் தவறானது. (வரைபடம் எல்லா நேரத்திலும் "லூப்" மற்றும் முக்கிய போக்கை மோசமாக பிரதிபலிக்கும் என்பதால்).

எனவே, தேடப்பட்ட செயல்பாடு மிகவும் எளிமையானதாக இருக்க வேண்டும் மற்றும் அதே நேரத்தில் சார்புநிலையை போதுமான அளவு பிரதிபலிக்க வேண்டும். நீங்கள் யூகித்தபடி, அத்தகைய செயல்பாடுகளை கண்டுபிடிப்பதற்கான முறைகளில் ஒன்று அழைக்கப்படுகிறது குறைந்த சதுர முறை. முதலில், அதன் சாராம்சத்தைப் பார்ப்போம் பொதுவான பார்வை. சில தோராயமான சோதனைத் தரவைச் செயல்பட அனுமதிக்கவும்:

இந்த தோராயத்தின் துல்லியத்தை எவ்வாறு மதிப்பிடுவது? சோதனை மற்றும் இடையே உள்ள வேறுபாடுகளை (விலகல்கள்) கணக்கிடுவோம் செயல்பாட்டு அர்த்தங்கள் (நாங்கள் வரைபடத்தைப் படிக்கிறோம்). மனதில் தோன்றும் முதல் எண்ணம் தொகை எவ்வளவு பெரியது என்பதை மதிப்பிடுவது, ஆனால் பிரச்சனை என்னவென்றால் வேறுபாடுகள் எதிர்மறையாக இருக்கலாம் (உதாரணத்திற்கு, ) அத்தகைய கூட்டுத்தொகையின் விளைவாக ஏற்படும் விலகல்கள் ஒன்றையொன்று ரத்து செய்யும். எனவே, தோராயத்தின் துல்லியத்தின் மதிப்பீடாக, தொகையை எடுக்குமாறு கெஞ்சுகிறது தொகுதிகள்விலகல்கள்:

அல்லது சரிந்தது: (யாருக்கும் தெரியாத பட்சத்தில்: - இது சம் ஐகான், மற்றும் - ஒரு துணை "கவுண்டர்" மாறி, இது 1 முதல் மதிப்புகளை எடுக்கும்).

பரிசோதனை புள்ளிகளை நெருக்கமாக கொண்டு வருதல் பல்வேறு செயல்பாடுகள், நாம் பெறுவோம் வெவ்வேறு அர்த்தங்கள், மற்றும் வெளிப்படையாக, இந்த அளவு சிறியதாக இருந்தால், அந்த செயல்பாடு மிகவும் துல்லியமானது.

அத்தகைய முறை உள்ளது மற்றும் அது அழைக்கப்படுகிறது குறைந்தபட்ச மாடுலஸ் முறை. இருப்பினும், நடைமுறையில் இது மிகவும் பரவலாகிவிட்டது குறைந்த சதுர முறை, இதில் சாத்தியமான எதிர்மறை மதிப்புகள் தொகுதியால் அல்ல, ஆனால் விலகல்களை ஸ்கொயர் செய்வதன் மூலம் அகற்றப்படுகின்றன:

, அதன் பிறகு, ஸ்கொயர்டு விலகல்களின் கூட்டுத்தொகை போன்ற ஒரு செயல்பாட்டைத் தேர்ந்தெடுப்பதை நோக்கமாகக் கொண்ட முயற்சிகள் முடிந்தவரை சிறியதாக இருந்தது. உண்மையில், இந்த முறையின் பெயர் எங்கிருந்து வந்தது.

இப்போது நாம் வேறு ஏதாவது திரும்ப போகிறோம் முக்கியமான புள்ளி: மேலே குறிப்பிட்டுள்ளபடி, தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட செயல்பாடு மிகவும் எளிமையானதாக இருக்க வேண்டும் - ஆனால் இதுபோன்ற பல செயல்பாடுகளும் உள்ளன: நேரியல் , அதிபரவளையம், அதிவேக, மடக்கை, இருபடி முதலியன மற்றும், நிச்சயமாக, இங்கே நான் உடனடியாக "செயல்பாட்டுத் துறையைக் குறைக்க" விரும்புகிறேன். ஆராய்ச்சிக்கு எந்த வகை செயல்பாடுகளை நான் தேர்வு செய்ய வேண்டும்? பழமையான, ஆனால் பயனுள்ள நுட்பம்:

- எளிதான வழி புள்ளிகளை சித்தரிக்க வேண்டும் வரைபடத்தில் மற்றும் அவற்றின் இருப்பிடத்தை பகுப்பாய்வு செய்யவும். அவர்கள் ஒரு நேர் கோட்டில் இயங்க முனைந்தால், நீங்கள் பார்க்க வேண்டும் ஒரு கோட்டின் சமன்பாடு உடன் உகந்த மதிப்புகள்மற்றும் . வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், ஸ்கொயர்டு விலகல்களின் கூட்டுத்தொகை சிறியதாக இருக்கும் வகையில் இத்தகைய குணகங்களைக் கண்டறிவதே பணியாகும்.

புள்ளிகள் அமைந்திருந்தால், எடுத்துக்காட்டாக, சேர்த்து மிகைப்படுத்தல், பின்னர் நேரியல் செயல்பாடு மோசமான தோராயத்தைக் கொடுக்கும் என்பது தெளிவாகத் தெரிகிறது. இந்த வழக்கில், ஹைப்பர்போலா சமன்பாட்டிற்கான மிகவும் "சாதகமான" குணகங்களை நாங்கள் தேடுகிறோம் - சதுரங்களின் குறைந்தபட்ச தொகையைக் கொடுப்பவை .

இரண்டு நிகழ்வுகளிலும் நாம் பேசுகிறோம் என்பதை இப்போது கவனியுங்கள் இரண்டு மாறிகளின் செயல்பாடுகள், யாருடைய வாதங்கள் சார்பு அளவுருக்கள் தேடப்பட்டன:

மற்றும் அடிப்படையில் நாம் ஒரு நிலையான சிக்கலை தீர்க்க வேண்டும் - கண்டுபிடிக்க இரண்டு மாறிகளின் குறைந்தபட்ச செயல்பாடு.

எங்கள் உதாரணத்தை நினைவில் கொள்வோம்: "ஸ்டோர்" புள்ளிகள் ஒரு நேர் கோட்டில் அமைந்துள்ளன மற்றும் நம்புவதற்கு எல்லா காரணங்களும் உள்ளன என்று வைத்துக்கொள்வோம். நேரியல் சார்புசில்லறை இடத்திலிருந்து விற்றுமுதல். வர்க்க விலகல்களின் கூட்டுத்தொகையான “a” மற்றும் “be” போன்ற குணகங்களைக் கண்டுபிடிப்போம் சிறியதாக இருந்தது. எல்லாம் வழக்கம் போல் - முதலில் 1வது வரிசை பகுதி வழித்தோன்றல்கள். படி நேரியல் விதிகூட்டு ஐகானின் கீழ் நீங்கள் வேறுபடுத்தலாம்:

நீங்கள் பயன்படுத்த விரும்பினால் இந்த தகவல்ஒரு கட்டுரை அல்லது பாடநெறிக்கு - ஆதாரங்களின் பட்டியலில் உள்ள இணைப்பிற்கு நான் மிகவும் நன்றியுள்ளவனாக இருப்பேன், சில இடங்களில் இதுபோன்ற விரிவான கணக்கீடுகளை நீங்கள் காணலாம்:

ஒரு நிலையான அமைப்பை உருவாக்குவோம்:

ஒவ்வொரு சமன்பாட்டையும் "இரண்டு" ஆல் குறைக்கிறோம், கூடுதலாக, தொகைகளை "உடைக்கிறோம்":

குறிப்பு : "a" மற்றும் "be" ஏன் தொகை ஐகானுக்கு அப்பால் எடுக்கப்படலாம் என்பதை சுயாதீனமாக பகுப்பாய்வு செய்யவும். மூலம், முறையாக இதை தொகையுடன் செய்யலாம்

கணினியை "பயன்படுத்தப்பட்ட" வடிவத்தில் மீண்டும் எழுதுவோம்:

அதன் பிறகு எங்கள் சிக்கலைத் தீர்ப்பதற்கான வழிமுறை வெளிவரத் தொடங்குகிறது:

புள்ளிகளின் ஆயத்தொலைவுகள் நமக்குத் தெரியுமா? எங்களுக்கு தெரியும். தொகைகள் நாம் அதை கண்டுபிடிக்க முடியுமா? எளிதாக. எளிமையானதை உருவாக்குவோம் இரண்டு அறியப்படாத இரண்டு நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பு("a" மற்றும் "be"). நாங்கள் கணினியை தீர்க்கிறோம், எடுத்துக்காட்டாக, க்ரேமர் முறை, இதன் விளைவாக நாம் ஒரு நிலையான புள்ளியைப் பெறுகிறோம். சரிபார்க்கிறது ஒரு உச்சநிலைக்கு போதுமான நிபந்தனை, இந்த கட்டத்தில் செயல்பாட்டைச் சரிபார்க்கலாம் சரியாக அடைகிறது குறைந்தபட்சம். காசோலை கூடுதல் கணக்கீடுகளை உள்ளடக்கியது, எனவே நாங்கள் அதை திரைக்குப் பின்னால் விட்டுவிடுவோம் (தேவைப்பட்டால், விடுபட்ட சட்டத்தை பார்க்கலாம்). நாங்கள் இறுதி முடிவை எடுக்கிறோம்:

செயல்பாடு சிறந்த வழி (குறைந்தபட்சம் வேறு எந்த நேரியல் செயல்பாட்டுடனும் ஒப்பிடும்போது)சோதனை புள்ளிகளை நெருக்கமாக கொண்டு வருகிறது . தோராயமாக, அதன் வரைபடம் இந்த புள்ளிகளுக்கு முடிந்தவரை நெருக்கமாக செல்கிறது. பாரம்பரியத்தில் பொருளாதார அளவியல்இதன் விளைவாக தோராயமான செயல்பாடு என்றும் அழைக்கப்படுகிறது ஜோடி நேரியல் பின்னடைவு சமன்பாடு .

பரிசீலனையில் உள்ள சிக்கல் மிகவும் நடைமுறை முக்கியத்துவம் வாய்ந்தது. எங்கள் உதாரண சூழ்நிலையில், Eq. நீங்கள் என்ன வர்த்தக விற்றுமுதல் கணிக்க அனுமதிக்கிறது ("இக்ரெக்")கடை விற்பனை பகுதியின் ஒன்று அல்லது மற்றொரு மதிப்பில் இருக்கும் ("x" என்பதன் ஒன்று அல்லது வேறு பொருள்). ஆம், இதன் விளைவாக வரும் முன்னறிவிப்பு ஒரு முன்னறிவிப்பாக மட்டுமே இருக்கும், ஆனால் பல சந்தர்ப்பங்களில் இது மிகவும் துல்லியமாக மாறும்.

"உண்மையான" எண்களில் ஒரு சிக்கலை மட்டும் பகுப்பாய்வு செய்வேன், ஏனெனில் அதில் எந்த சிரமமும் இல்லை - எல்லா கணக்கீடுகளும் மட்டத்தில் உள்ளன பள்ளி பாடத்திட்டம் 7-8 தரங்கள். 95 சதவீத வழக்குகளில், நீங்கள் ஒரு நேரியல் செயல்பாட்டைக் கண்டுபிடிக்கும்படி கேட்கப்படுவீர்கள், ஆனால் கட்டுரையின் முடிவில், உகந்த ஹைபர்போலா, அதிவேக மற்றும் வேறு சில செயல்பாடுகளின் சமன்பாடுகளைக் கண்டுபிடிப்பது கடினம் அல்ல என்பதைக் காண்பிப்பேன்.

உண்மையில், வாக்குறுதியளிக்கப்பட்ட இன்னபிற பொருட்களை விநியோகிப்பதே எஞ்சியிருக்கும் - இதன் மூலம் இதுபோன்ற எடுத்துக்காட்டுகளை துல்லியமாக மட்டுமல்லாமல் விரைவாகவும் தீர்க்க நீங்கள் கற்றுக்கொள்ளலாம். தரநிலையை நாங்கள் கவனமாகப் படிக்கிறோம்:

பணி

இரண்டு குறிகாட்டிகளுக்கு இடையிலான உறவைப் படித்ததன் விளைவாக, பின்வரும் ஜோடி எண்கள் பெறப்பட்டன:

குறைந்த சதுரங்கள் முறையைப் பயன்படுத்தி, அனுபவத்தை தோராயமாக மதிப்பிடும் நேரியல் செயல்பாட்டைக் கண்டறியவும் (அனுபவம்)தகவல்கள். கார்ட்டீசியன் செவ்வக ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் சோதனை புள்ளிகள் மற்றும் தோராயமான செயல்பாட்டின் வரைபடத்தை உருவாக்குவதற்கான வரைபடத்தை உருவாக்கவும். . அனுபவ மற்றும் கோட்பாட்டு மதிப்புகளுக்கு இடையே உள்ள வர்க்க விலகல்களின் கூட்டுத்தொகையைக் கண்டறியவும். அம்சம் சிறப்பாக இருக்குமா என்பதைக் கண்டறியவும் (குறைந்த சதுர முறையின் பார்வையில்)சோதனை புள்ளிகளை நெருக்கமாக கொண்டு வாருங்கள்.

"x" அர்த்தங்கள் இயற்கையானவை என்பதை நினைவில் கொள்ளவும், மேலும் இது ஒரு சிறப்பியல்பு அர்த்தமுள்ள பொருளைக் கொண்டுள்ளது, அதை நான் சிறிது நேரம் கழித்து பேசுவேன்; ஆனால் அவை, நிச்சயமாக, பின்னமாகவும் இருக்கலாம். கூடுதலாக, ஒரு குறிப்பிட்ட பணியின் உள்ளடக்கத்தைப் பொறுத்து, "எக்ஸ்" மற்றும் "கேம்" இரண்டும் முற்றிலும் அல்லது பகுதி எதிர்மறையாக இருக்கலாம். சரி, எங்களுக்கு ஒரு "முகமற்ற" பணி கொடுக்கப்பட்டுள்ளது, நாங்கள் அதைத் தொடங்குகிறோம் தீர்வு:

முரண்பாடுகள் உகந்த செயல்பாடுகணினிக்கு ஒரு தீர்வாக நாங்கள் காண்கிறோம்:

சுருக்கமான பதிவின் நோக்கத்திற்காக, "கவுண்டர்" மாறி தவிர்க்கப்படலாம், ஏனெனில் கூட்டுத்தொகை 1 முதல் .

தேவையான அளவுகளை அட்டவணை வடிவத்தில் கணக்கிடுவது மிகவும் வசதியானது:

மைக்ரோகால்குலேட்டரில் கணக்கீடுகளை மேற்கொள்ளலாம், ஆனால் எக்செல் பயன்படுத்துவது மிகவும் நல்லது - வேகமாகவும் பிழைகள் இல்லாமல்; ஒரு சிறிய வீடியோவைப் பாருங்கள்:

இவ்வாறு, பின்வருவனவற்றைப் பெறுகிறோம் அமைப்பு:

இங்கே நீங்கள் இரண்டாவது சமன்பாட்டை 3 ஆல் பெருக்கலாம் 1 வது சமன்பாட்டிலிருந்து 2 வது காலத்தை கழிக்கவும். ஆனால் இது அதிர்ஷ்டம் - நடைமுறையில், அமைப்புகள் பெரும்பாலும் ஒரு பரிசு அல்ல, அத்தகைய சந்தர்ப்பங்களில் அது சேமிக்கிறது க்ரேமர் முறை:
, அதாவது கணினிக்கு ஒரு தனித்துவமான தீர்வு உள்ளது.

சரிபார்ப்போம். நீங்கள் விரும்பவில்லை என்பதை நான் புரிந்துகொள்கிறேன், ஆனால் தவறவிட முடியாத தவறுகளை ஏன் தவிர்க்க வேண்டும்? கண்டுபிடிக்கப்பட்ட தீர்வை மாற்றுவோம் இடது பக்கம்அமைப்பின் ஒவ்வொரு சமன்பாடும்:

தொடர்புடைய சமன்பாடுகளின் வலது பக்கங்கள் பெறப்படுகின்றன, அதாவது கணினி சரியாக தீர்க்கப்படுகிறது.

எனவே, விரும்பிய தோராயமான செயல்பாடு: – இருந்து அனைத்து நேரியல் செயல்பாடுகள்பரிசோதனைத் தரவை அவள்தான் தோராயமாக மதிப்பிடுகிறாள்.

போலல்லாமல் நேராக அதன் பகுதியில் கடையின் விற்றுமுதல் சார்ந்து, காணப்படும் சார்பு தலைகீழ் (கோட்பாடு "அதிகமாக, குறைவாக"), மற்றும் இந்த உண்மை உடனடியாக எதிர்மறையால் வெளிப்படுத்தப்படுகிறது சாய்வு. செயல்பாடு ஒரு குறிப்பிட்ட குறிகாட்டியில் 1 யூனிட் அதிகரிப்புடன், சார்பு காட்டி மதிப்பு குறைகிறது என்று நமக்கு சொல்கிறது சராசரி 0.65 அலகுகள் மூலம். அவர்கள் சொல்வது போல், பக்வீட்டின் அதிக விலை, குறைவாக விற்கப்படுகிறது.

தோராயமான செயல்பாட்டின் வரைபடத்தைத் திட்டமிட, அதன் இரண்டு மதிப்புகளைக் காண்கிறோம்:

மற்றும் வரைபடத்தை இயக்கவும்:

கட்டப்பட்ட நேர் கோடு என்று அழைக்கப்படுகிறது போக்கு வரி (அதாவது, ஒரு நேரியல் போக்கு வரி, அதாவது பொது வழக்குஒரு போக்கு ஒரு நேர் கோடாக இருக்க வேண்டிய அவசியமில்லை). "போக்கில் இருப்பது" என்ற வெளிப்பாடு அனைவருக்கும் தெரிந்திருக்கும், மேலும் இந்த வார்த்தைக்கு கூடுதல் கருத்துகள் தேவையில்லை என்று நான் நினைக்கிறேன்.

வர்க்க விலகல்களின் கூட்டுத்தொகையைக் கணக்கிடுவோம் அனுபவ மற்றும் தத்துவார்த்த மதிப்புகளுக்கு இடையில். வடிவியல் ரீதியாக, இது "ராஸ்பெர்ரி" பிரிவுகளின் நீளங்களின் சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகையாகும். (அவற்றில் இரண்டு மிகவும் சிறியவை, அவை கண்ணுக்குத் தெரியவில்லை).

அட்டவணையில் கணக்கீடுகளை சுருக்கமாகக் கூறுவோம்:

மீண்டும், அவை கைமுறையாக செய்யப்படலாம், 1 வது புள்ளிக்கு நான் ஒரு உதாரணம் தருகிறேன்:

ஆனால் ஏற்கனவே அறியப்பட்ட முறையில் அதைச் செய்வது மிகவும் பயனுள்ளதாக இருக்கும்:

நாங்கள் மீண்டும் மீண்டும் சொல்கிறோம்: பெறப்பட்ட முடிவின் பொருள் என்ன?இருந்து அனைத்து நேரியல் செயல்பாடுகள் y செயல்பாடு காட்டி சிறியது, அதாவது, அதன் குடும்பத்தில் இது சிறந்த தோராயமாகும். இங்கே, பிரச்சனையின் இறுதி கேள்வி தற்செயலானது அல்ல: முன்மொழியப்பட்ட அதிவேக செயல்பாடு என்றால் என்ன சோதனை புள்ளிகளை நெருக்கமாக கொண்டு வருவது நல்லதுதானா?

ஸ்கொயர்டு விலகல்களின் தொடர்புடைய கூட்டுத்தொகையைக் கண்டுபிடிப்போம் - வேறுபடுத்துவதற்கு, "எப்சிலான்" என்ற எழுத்தால் அவற்றைக் குறிக்கிறேன். நுட்பம் சரியாகவே உள்ளது:

மீண்டும், 1 வது புள்ளிக்கான கணக்கீடுகள்:

எக்செல் இல் நாம் நிலையான செயல்பாட்டைப் பயன்படுத்துகிறோம் எக்ஸ்பி (தொடரியலை எக்செல் உதவியில் காணலாம்).

முடிவுரை: , அதாவது அதிவேக செயல்பாடு நேர்கோட்டை விட மோசமான சோதனை புள்ளிகளை தோராயமாக்குகிறது .

ஆனால் இங்கே அது "மோசமானது" என்பதைக் கவனத்தில் கொள்ள வேண்டும் இன்னும் அர்த்தம் இல்லை, என்ன தவறு. இப்போது இதன் வரைபடத்தை உருவாக்கியுள்ளேன் அதிவேக செயல்பாடு- மேலும் இது புள்ளிகளுக்கு அருகில் செல்கிறது - பகுப்பாய்வு ஆராய்ச்சி இல்லாமல் எந்த செயல்பாடு மிகவும் துல்லியமானது என்று சொல்வது கடினம்.

இது தீர்வை முடிக்கிறது, மேலும் வாதத்தின் இயல்பான மதிப்புகள் பற்றிய கேள்விக்கு நான் திரும்புகிறேன். IN பல்வேறு ஆய்வுகள், ஒரு விதியாக, பொருளாதார அல்லது சமூகவியல், இயற்கையான "எக்ஸ்" கள் மாதங்கள், ஆண்டுகள் அல்லது பிற சம கால இடைவெளிகளை எண்ணுவதற்குப் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. உதாரணமாக, பின்வரும் சிக்கலைக் கவனியுங்கள்.

குறைந்த சதுர முறை

குறைந்த சதுர முறை ( OLS, OLS, சாதாரண குறைந்த சதுரங்கள்) - மாதிரித் தரவைப் பயன்படுத்தி பின்னடைவு மாதிரிகளின் அறியப்படாத அளவுருக்களை மதிப்பிடுவதற்கான பின்னடைவு பகுப்பாய்வின் அடிப்படை முறைகளில் ஒன்று. இந்த முறையானது பின்னடைவு எச்சங்களின் சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகையைக் குறைப்பதை அடிப்படையாகக் கொண்டது.

தேவையான மாறிகளின் சில செயல்பாடுகளின் சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகையைக் குறைப்பதற்கான சில அளவுகோல்களில் தீர்வு இருந்தால் அல்லது திருப்திப்படுத்தினால், குறைந்தபட்ச சதுரங்கள் முறையானது எந்தவொரு பகுதியிலும் சிக்கலைத் தீர்ப்பதற்கான ஒரு முறை என்று அழைக்கப்படலாம் என்பதை கவனத்தில் கொள்ள வேண்டும். எனவே, கொடுக்கப்பட்ட செயல்பாட்டின் தோராயமான பிரதிநிதித்துவத்திற்கு (தோராயமான) மற்ற (எளிமையான) செயல்பாடுகள், சமன்பாடுகள் அல்லது கட்டுப்பாடுகளை பூர்த்தி செய்யும் அளவுகளின் தொகுப்பைக் கண்டறியும் போது, இந்த அளவுகளின் எண்ணிக்கையை மீறும் அளவு சதுரங்கள் முறையைப் பயன்படுத்தலாம். , முதலியன

MNC இன் சாராம்சம்

(விளக்கப்படும்) மாறிக்கு இடையேயான நிகழ்தகவு (பின்னடைவு) உறவின் சில (அளவுரு) மாதிரி கொடுக்கப்படட்டும். ஒய்மற்றும் பல காரணிகள் (விளக்க மாறிகள்) எக்ஸ்

தெரியாத மாதிரி அளவுருக்களின் திசையன் எங்கே

- சீரற்ற மாதிரி பிழை.

இந்த மாறிகளின் மதிப்புகளின் மாதிரி அவதானிப்புகளும் இருக்கட்டும். கண்காணிப்பு எண் () ஆக இருக்கட்டும். பின்னர் வது கவனிப்பில் உள்ள மாறிகளின் மதிப்புகள். பின்னர், அளவுருக்கள் b இன் கொடுக்கப்பட்ட மதிப்புகளுக்கு, விளக்கப்பட்ட மாறி y இன் தத்துவார்த்த (மாதிரி) மதிப்புகளைக் கணக்கிட முடியும்:

எச்சங்களின் அளவு b அளவுருக்களின் மதிப்புகளைப் பொறுத்தது.

குறைந்தபட்ச சதுரங்கள் முறையின் சாராம்சம் (சாதாரண, கிளாசிக்கல்) அளவுருக்களைக் கண்டறிவதாகும் b. எச்சங்களின் சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகை (eng. சதுரங்களின் எஞ்சிய தொகை) குறைவாக இருக்கும்:

பொதுவான வழக்கில், இந்த சிக்கலை எண்ணியல் தேர்வுமுறை (குறைத்தல்) முறைகள் மூலம் தீர்க்க முடியும். இந்த விஷயத்தில் அவர்கள் பேசுகிறார்கள் நேரியல் அல்லாத குறைந்தபட்ச சதுரங்கள்(NLS அல்லது NLLS - ஆங்கிலம்) நேரியல் அல்லாத குறைந்த சதுரங்கள்) பல சந்தர்ப்பங்களில் பகுப்பாய்வு தீர்வைப் பெறுவது சாத்தியமாகும். குறைத்தல் சிக்கலைத் தீர்க்க, அறியப்படாத அளவுருக்கள் b உடன் வேறுபடுத்துவதன் மூலம் செயல்பாட்டின் நிலையான புள்ளிகளைக் கண்டறிவது அவசியம், வழித்தோன்றல்களை பூஜ்ஜியத்திற்கு சமன் செய்தல் மற்றும் அதன் விளைவாக வரும் சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்ப்பது:

மாதிரியின் சீரற்ற பிழைகள் பொதுவாக விநியோகிக்கப்பட்டு, அதே மாறுபாட்டைக் கொண்டிருந்தால் மற்றும் தொடர்பற்றதாக இருந்தால், OLS அளவுரு மதிப்பீடுகள் அதிகபட்ச சாத்தியக்கூறு மதிப்பீடுகள் (MLM) போலவே இருக்கும்.

நேரியல் மாதிரியின் விஷயத்தில் OLS

பின்னடைவு சார்பு நேரியல் இருக்கட்டும்:

விடுங்கள் ஒய்விளக்கப்பட்ட மாறியின் அவதானிப்புகளின் நெடுவரிசை திசையன் மற்றும் காரணி அவதானிப்புகளின் அணி (மேட்ரிக்ஸின் வரிசைகள் காரணி மதிப்புகளின் திசையன்கள் ஆகும் இந்த கவனிப்பு, நெடுவரிசைகளில் - அனைத்து அவதானிப்புகளிலும் கொடுக்கப்பட்ட காரணியின் மதிப்புகளின் திசையன்). நேரியல் மாதிரியின் மேட்ரிக்ஸ் பிரதிநிதித்துவம் வடிவம் கொண்டது:

பின்னர் விளக்கப்பட்ட மாறியின் மதிப்பீடுகளின் திசையன் மற்றும் பின்னடைவு எச்சங்களின் திசையன் சமமாக இருக்கும்

அதன்படி, பின்னடைவு எச்சங்களின் சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகை சமமாக இருக்கும்

அளவுருக்களின் வெக்டரைப் பொறுத்து இந்த செயல்பாட்டை வேறுபடுத்தி, வழித்தோன்றல்களை பூஜ்ஜியத்திற்கு சமன் செய்தால், சமன்பாடுகளின் அமைப்பைப் பெறுகிறோம் (மேட்ரிக்ஸ் வடிவத்தில்):

இந்த சமன்பாடு முறையின் தீர்வு கொடுக்கிறது பொது சூத்திரம்நேரியல் மாதிரிக்கான OLS மதிப்பீடுகள்:

பகுப்பாய்வு நோக்கங்களுக்காக, இந்த சூத்திரத்தின் பிந்தைய பிரதிநிதித்துவம் பயனுள்ளதாக இருக்கும். ஒரு பின்னடைவு மாதிரியில் இருந்தால் தரவு மையம் கொண்டது, பின்னர் இந்த பிரதிநிதித்துவத்தில் முதல் அணி காரணிகளின் மாதிரி கோவாரியன்ஸ் மேட்ரிக்ஸின் பொருளைக் கொண்டுள்ளது, மேலும் இரண்டாவது சார்பு மாறியுடன் காரணிகளின் கோவாரியன்ஸ்களின் திசையன் ஆகும். கூடுதலாக தரவுகளும் இருந்தால் இயல்பாக்கப்பட்டது MSE க்கு (அதாவது, இறுதியில் தரப்படுத்தப்பட்டது), பின்னர் முதல் அணி காரணிகளின் மாதிரி தொடர்பு மேட்ரிக்ஸின் பொருளைக் கொண்டுள்ளது, இரண்டாவது திசையன் - சார்பு மாறியுடன் காரணிகளின் மாதிரி தொடர்புகளின் திசையன்.

மாடல்களுக்கான OLS மதிப்பீட்டின் முக்கியமான சொத்து நிலையானது- கட்டமைக்கப்பட்ட பின்னடைவின் கோடு மாதிரித் தரவின் ஈர்ப்பு மையம் வழியாக செல்கிறது, அதாவது சமத்துவம் திருப்தி அடைகிறது:

குறிப்பாக, தீவிர வழக்கில், ஒரே பின்னடைவு மாறிலியாக இருக்கும்போது, ஒரே அளவுருவின் OLS மதிப்பீடு (மாற்று தன்னை) விளக்கப்பட்ட மாறியின் சராசரி மதிப்புக்கு சமமாக இருப்பதைக் காண்கிறோம். அதாவது, எண்கணித சராசரி, அதன் பெயர் நல்ல பண்புகள்பெரிய எண்களின் விதிகளில் இருந்து, குறைந்தபட்ச சதுர மதிப்பீடாகவும் உள்ளது - அதிலிருந்து ஸ்கொயர்டு விலகல்களின் குறைந்தபட்ச தொகையின் அளவுகோலை இது பூர்த்தி செய்கிறது.

எடுத்துக்காட்டு: எளிமையான (ஜோடியாக) பின்னடைவு

ஜோடி நேரியல் பின்னடைவின் விஷயத்தில், கணக்கீட்டு சூத்திரங்கள் எளிமைப்படுத்தப்படுகின்றன (நீங்கள் மேட்ரிக்ஸ் அல்ஜீப்ரா இல்லாமல் செய்யலாம்):

OLS மதிப்பீட்டாளர்களின் பண்புகள்

முதலாவதாக, நேரியல் மாதிரிகள் OLS மதிப்பீடுகள் என்பதை நாங்கள் கவனிக்கிறோம் நேரியல் மதிப்பீடுகள், மேலே உள்ள சூத்திரத்தில் இருந்து பின்வருமாறு. பக்கச்சார்பற்ற OLS மதிப்பீடுகளுக்கு, இது அவசியம் மற்றும் போதுமானது மிக முக்கியமான நிபந்தனைபின்னடைவு பகுப்பாய்வு: காரணிகளின் நிபந்தனையுடன், சீரற்ற பிழையின் கணித எதிர்பார்ப்பு பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்க வேண்டும். இந்த நிலை, குறிப்பாக, திருப்தியாக இருந்தால்

எதிர்பார்க்கப்படும் மதிப்புசீரற்ற பிழைகள் பூஜ்யம், மற்றும்
காரணிகள் மற்றும் சீரற்ற பிழைகள் சுயாதீன சீரற்ற மாறிகள்.

இரண்டாவது நிபந்தனை - காரணிகளின் வெளிப்புற நிலை - அடிப்படை. இந்த சொத்து பூர்த்தி செய்யப்படாவிட்டால், ஏறக்குறைய எந்த மதிப்பீடுகளும் மிகவும் திருப்தியற்றதாக இருக்கும் என்று நாம் கருதலாம்: அவை சீரானதாக இருக்காது (அதாவது, மிகப் பெரிய அளவிலான தரவு கூட இந்த விஷயத்தில் உயர்தர மதிப்பீடுகளைப் பெற அனுமதிக்காது. ) கிளாசிக்கல் வழக்கில், ஒரு சீரற்ற பிழைக்கு மாறாக, காரணிகளின் நிர்ணயம் பற்றி ஒரு வலுவான அனுமானம் செய்யப்படுகிறது, இது தானாகவே வெளிப்புற நிலை பூர்த்தி செய்யப்படுகிறது என்று அர்த்தம். பொதுவான வழக்கில், மதிப்பீடுகளின் நிலைத்தன்மைக்கு, மாதிரி அளவு முடிவிலிக்கு அதிகரிக்கும் போது, மேட்ரிக்ஸின் ஒருமை அல்லாத மேட்ரிக்ஸுடன் மேட்ரிக்ஸின் ஒருங்கிணைப்புடன் சேர்ந்து வெளிப்புற நிலையை பூர்த்தி செய்வது போதுமானது.

நிலைத்தன்மை மற்றும் பக்கச்சார்பற்ற தன்மைக்கு கூடுதலாக, (சாதாரண) குறைந்தபட்ச சதுரங்களின் மதிப்பீடுகளும் பயனுள்ளதாக இருக்க (நேரியல் சார்பற்ற மதிப்பீடுகளின் வகுப்பில் சிறந்தது), சீரற்ற பிழையின் கூடுதல் பண்புகள் பூர்த்தி செய்யப்பட வேண்டும்:

இந்த அனுமானங்களை சீரற்ற பிழை வெக்டரின் கோவேரியன்ஸ் மேட்ரிக்ஸுக்கு உருவாக்கலாம்

இந்த நிபந்தனைகளை பூர்த்தி செய்யும் ஒரு நேரியல் மாதிரி அழைக்கப்படுகிறது பாரம்பரிய. கிளாசிக்கல் லீனியர் பின்னடைவுக்கான OLS மதிப்பீடுகள் அனைத்து நேரியல் சார்பற்ற மதிப்பீடுகளின் வகுப்பில் பாரபட்சமற்ற, நிலையான மற்றும் மிகவும் பயனுள்ள மதிப்பீடுகள் (ஆங்கில இலக்கியத்தில் சுருக்கம் சில நேரங்களில் பயன்படுத்தப்படுகிறது. நீலம் (சிறந்த நேரியல் அடிப்படையற்ற மதிப்பீட்டாளர்) - சிறந்த நேரியல் சார்பற்ற மதிப்பீடு; ரஷ்ய இலக்கியத்தில் காஸ்-மார்கோவ் தேற்றம் அடிக்கடி குறிப்பிடப்படுகிறது). காட்ட எளிதானது போல, குணக மதிப்பீடுகளின் வெக்டரின் கோவாரியன்ஸ் மேட்ரிக்ஸ் இதற்கு சமமாக இருக்கும்:

பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட OLS

குறைந்த சதுர முறை பரந்த பொதுமைப்படுத்தலை அனுமதிக்கிறது. எச்சங்களின் சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகையைக் குறைப்பதற்குப் பதிலாக, எச்சங்களின் வெக்டரின் சில நேர்மறை திட்டவட்டமான இருபடி வடிவத்தைக் குறைக்கலாம், இதில் சில சமச்சீர் நேர்மறை திட்டவட்டமான எடை அணி உள்ளது. வழக்கமான குறைந்தபட்ச சதுரங்கள் இந்த அணுகுமுறையின் ஒரு சிறப்பு நிகழ்வாகும், அங்கு எடை அணி அடையாள அணிக்கு விகிதாசாரமாகும். சமச்சீர் அணிகளின் (அல்லது ஆபரேட்டர்கள்) கோட்பாட்டிலிருந்து அறியப்பட்டபடி, அத்தகைய மெட்ரிக்குகளுக்கு ஒரு சிதைவு உள்ளது. இதன் விளைவாக, குறிப்பிடப்பட்ட செயல்பாட்டை பின்வருமாறு குறிப்பிடலாம், அதாவது, இந்த செயல்பாட்டை சில மாற்றப்பட்ட "மீதங்களின்" சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகையாகக் குறிப்பிடலாம். எனவே, குறைந்தபட்ச சதுர முறைகளின் வகுப்பை நாம் வேறுபடுத்தி அறியலாம் - LS முறைகள் (குறைந்த சதுரங்கள்).

ஒரு பொதுவான நேரியல் பின்னடைவு மாதிரிக்கு (இதில் சீரற்ற பிழைகளின் கோவாரியன்ஸ் மேட்ரிக்ஸில் எந்த கட்டுப்பாடுகளும் விதிக்கப்படவில்லை), மிகவும் பயனுள்ளவை (நேரியல் சார்பற்ற மதிப்பீடுகளின் வகுப்பில்) மதிப்பீடுகள் என்று அழைக்கப்படுபவை என்பது நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது (ஐட்கனின் தேற்றம்). பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட குறைந்த சதுரங்கள் (GLS - பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட குறைந்த சதுரங்கள்)- சீரற்ற பிழைகளின் தலைகீழ் கோவேரியன்ஸ் மேட்ரிக்ஸுக்கு சமமான எடை அணியுடன் கூடிய LS முறை: .

ஒரு நேரியல் மாதிரியின் அளவுருக்களின் GLS மதிப்பீடுகளுக்கான சூத்திரம் வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளது என்பதைக் காட்டலாம்

இந்த மதிப்பீடுகளின் கோவாரியன்ஸ் மேட்ரிக்ஸ் அதற்கேற்ப சமமாக இருக்கும்

உண்மையில், OLS இன் சாராம்சம் அசல் தரவின் ஒரு குறிப்பிட்ட (நேரியல்) மாற்றம் (P) மற்றும் மாற்றப்பட்ட தரவுகளுக்கு சாதாரண OLS இன் பயன்பாடு ஆகியவற்றில் உள்ளது. இந்த மாற்றத்தின் நோக்கம், மாற்றப்பட்ட தரவுகளுக்கு, சீரற்ற பிழைகள் ஏற்கனவே கிளாசிக்கல் அனுமானங்களை பூர்த்தி செய்கின்றன.

எடையுள்ள OLS

மூலைவிட்ட எடை அணியில் (எனவே சீரற்ற பிழைகளின் கோவாரியன்ஸ் மேட்ரிக்ஸ்), எங்களிடம் எடை குறைந்த சதுரங்கள் (WLS) என்று அழைக்கப்படும். IN இந்த வழக்கில்மாதிரி எச்சங்களின் சதுரங்களின் எடையுள்ள தொகை குறைக்கப்படுகிறது, அதாவது, ஒவ்வொரு அவதானிப்பும் இந்த அவதானிப்பில் உள்ள சீரற்ற பிழையின் மாறுபாட்டிற்கு நேர்மாறான "எடையை" பெறுகிறது: . உண்மையில், அவதானிப்புகளை எடைபோடுவதன் மூலம் தரவு மாற்றப்படுகிறது (எதிர்பார்க்கப்படும் விகிதாசார அளவு மூலம் வகுத்தல் நிலையான விலகல்சீரற்ற பிழைகள்), மற்றும் வழக்கமான OLS எடையுள்ள தரவுகளுக்குப் பயன்படுத்தப்படுகிறது.

MNCயை நடைமுறையில் பயன்படுத்துவதற்கான சில சிறப்பு நிகழ்வுகள்

நேரியல் சார்பு தோராயம்

ஒரு குறிப்பிட்ட அளவுகோலில் ஒரு குறிப்பிட்ட அளவின் சார்புநிலையைப் படிப்பதன் விளைவாக (இது, தற்போதைய வலிமையின் மின்னழுத்தத்தின் சார்பு: , ஒரு நிலையான மதிப்பு எங்கே, எதிர்ப்பு நடத்துனர்), இந்த அளவுகளின் அளவீடுகள் மேற்கொள்ளப்பட்டன, இதன் விளைவாக மதிப்புகள் மற்றும் அவற்றின் தொடர்புடைய மதிப்புகள். அளவீட்டு தரவு அட்டவணையில் பதிவு செய்யப்பட வேண்டும்.

மேசை. அளவீட்டு முடிவுகள்.

அளவீடு எண்.
1
2
3
4
5
6

கேள்வி: சார்புநிலையை சிறப்பாக விவரிக்க குணகத்தின் எந்த மதிப்பைத் தேர்ந்தெடுக்கலாம்? குறைந்த சதுர முறையின் படி, இந்த மதிப்பு மதிப்புகளிலிருந்து மதிப்புகளின் வர்க்க விலகல்களின் கூட்டுத்தொகையாக இருக்க வேண்டும்.

குறைவாக இருந்தது

ஸ்கொயர்டு விலகல்களின் கூட்டுத்தொகையில் ஒரு உச்சநிலை உள்ளது - குறைந்தபட்சம், இது இந்த சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்த அனுமதிக்கிறது. இந்த சூத்திரத்திலிருந்து குணகத்தின் மதிப்பைக் கண்டுபிடிப்போம். இதைச் செய்ய, அதன் இடது பக்கத்தை பின்வருமாறு மாற்றுகிறோம்:

கடைசி சூத்திரம் குணகத்தின் மதிப்பைக் கண்டறிய அனுமதிக்கிறது, இது சிக்கலில் தேவைப்பட்டது.

கதை

முன்பு ஆரம்ப XIXவி. அறியப்படாதவர்களின் எண்ணிக்கை சமன்பாடுகளின் எண்ணிக்கையை விட குறைவாக இருக்கும் சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்ப்பதற்கான சில விதிகளை விஞ்ஞானிகள் கொண்டிருக்கவில்லை; அந்த நேரம் வரை, சமன்பாடுகளின் வகை மற்றும் கால்குலேட்டர்களின் புத்திசாலித்தனத்தைப் பொறுத்து தனிப்பட்ட நுட்பங்கள் பயன்படுத்தப்பட்டன, எனவே ஒரே கண்காணிப்பு தரவுகளின் அடிப்படையில் வெவ்வேறு கால்குலேட்டர்கள் வந்தன. பல்வேறு முடிவுகள். இந்த முறையின் முதல் பயன்பாட்டிற்கு காஸ் (1795) பொறுப்பேற்றார், மேலும் லெஜெண்ட்ரே (1805) அதை சுதந்திரமாக கண்டுபிடித்து வெளியிட்டார். நவீன பெயர்(fr. Méthode des moindres quarrés ) . லாப்லேஸ் இந்த முறையை நிகழ்தகவுக் கோட்பாட்டுடன் தொடர்புபடுத்தினார், மேலும் அமெரிக்கக் கணிதவியலாளர் அட்ரைன் (1808) அதன் நிகழ்தகவு-கோட்பாட்டுப் பயன்பாடுகளைக் கருதினார். Encke, Bessel, Hansen மற்றும் பலர் மேற்கொண்ட ஆராய்ச்சியின் மூலம் இந்த முறை பரவலாகவும் மேம்படுத்தப்பட்டது.

OLS இன் மாற்று பயன்பாடுகள்

குறைந்த சதுர முறையின் யோசனை பின்னடைவு பகுப்பாய்வுடன் நேரடியாக தொடர்பில்லாத பிற நிகழ்வுகளிலும் பயன்படுத்தப்படலாம். உண்மை என்னவென்றால், சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகை என்பது திசையன்களுக்கான மிகவும் பொதுவான அருகாமை அளவீடுகளில் ஒன்றாகும் (கட்டுப்பட்ட பரிமாண இடைவெளிகளில் யூக்ளிடியன் மெட்ரிக்).

ஒரு பயன்பாடு அமைப்புகளை "தீர்க்க" உள்ளது நேரியல் சமன்பாடுகள், இதில் சமன்பாடுகளின் எண்ணிக்கை அதிக எண்ணிக்கைமாறிகள்

மேட்ரிக்ஸ் சதுரமாக இல்லை, ஆனால் அளவு செவ்வகமாக இருக்கும்.

இத்தகைய சமன்பாடுகளின் அமைப்பு, பொதுவான வழக்கில், தீர்வு இல்லை (தரவரிசை உண்மையில் மாறிகளின் எண்ணிக்கையை விட அதிகமாக இருந்தால்). எனவே, திசையன்களுக்கு இடையேயான "தூரத்தை" குறைக்க அத்தகைய திசையன் தேர்ந்தெடுக்கும் பொருளில் மட்டுமே இந்த அமைப்பை "தீர்க்க" முடியும். இதைச் செய்ய, இடது மற்றும் வலது பாகங்கள்அமைப்பின் சமன்பாடுகள், அதாவது. இந்த குறைத்தல் சிக்கலைத் தீர்ப்பது தீர்வுக்கு வழிவகுக்கிறது என்பதைக் காட்டுவது எளிது அடுத்த அமைப்புசமன்பாடுகள்

குறைந்த சதுர முறை

MNC இன் சாராம்சம்

தெரியாத மாதிரி அளவுருக்களின் திசையன் எங்கே

- சீரற்ற மாதிரி பிழை.

எச்சங்களின் அளவு b அளவுருக்களின் மதிப்புகளைப் பொறுத்தது.

நேரியல் மாதிரியின் விஷயத்தில் OLS

பின்னடைவு சார்பு நேரியல் இருக்கட்டும்:

விடுங்கள் ஒய்விளக்கப்பட்ட மாறியின் அவதானிப்புகளின் நெடுவரிசை திசையன் மற்றும் காரணி அவதானிப்புகளின் அணி (மேட்ரிக்ஸின் வரிசைகள் கொடுக்கப்பட்ட கவனிப்பில் காரணி மதிப்புகளின் திசையன்கள், நெடுவரிசைகள் கொடுக்கப்பட்ட காரணியின் மதிப்புகளின் திசையன் ஆகும் அனைத்து அவதானிப்புகளிலும்). நேரியல் மாதிரியின் மேட்ரிக்ஸ் பிரதிநிதித்துவம் வடிவம் கொண்டது:

அதன்படி, பின்னடைவு எச்சங்களின் சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகை சமமாக இருக்கும்

சமன்பாடுகளின் இந்த அமைப்பின் தீர்வு ஒரு நேரியல் மாதிரிக்கான குறைந்தபட்ச சதுர மதிப்பீடுகளுக்கான பொதுவான சூத்திரத்தை வழங்குகிறது:

குறிப்பாக, தீவிர வழக்கில், ஒரே பின்னடைவு மாறிலியாக இருக்கும்போது, ஒரே அளவுருவின் OLS மதிப்பீடு (மாற்று தன்னை) விளக்கப்பட்ட மாறியின் சராசரி மதிப்புக்கு சமமாக இருப்பதைக் காண்கிறோம். அதாவது, பெரிய எண்களின் விதிகளிலிருந்து அதன் நல்ல பண்புகளுக்கு அறியப்பட்ட எண்கணித சராசரியானது, குறைந்தபட்ச சதுர மதிப்பீடாகும் - இது அதிலிருந்து ஸ்கொயர் விலகல்களின் குறைந்தபட்ச தொகையின் அளவுகோலை பூர்த்தி செய்கிறது.

எடுத்துக்காட்டு: எளிமையான (ஜோடியாக) பின்னடைவு

OLS மதிப்பீட்டாளர்களின் பண்புகள்

முதலாவதாக, லீனியர் மாடல்களுக்கு, OLS மதிப்பீடுகள் மேலே உள்ள சூத்திரத்திலிருந்து பின்வருமாறு, நேரியல் மதிப்பீடுகள் என்பதை நாங்கள் கவனிக்கிறோம். பக்கச்சார்பற்ற OLS மதிப்பீடுகளுக்கு, பின்னடைவு பகுப்பாய்வின் மிக முக்கியமான நிபந்தனையை நிறைவேற்றுவது அவசியமானது மற்றும் போதுமானது: ஒரு சீரற்ற பிழையின் கணித எதிர்பார்ப்பு, காரணிகளின் நிபந்தனை, பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்க வேண்டும். இந்த நிபந்தனை, குறிப்பாக, திருப்திகரமாக இருந்தால்

சீரற்ற பிழைகளின் கணித எதிர்பார்ப்பு பூஜ்ஜியம், மற்றும்
காரணிகள் மற்றும் சீரற்ற பிழைகள் சுயாதீன சீரற்ற மாறிகள்.

பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட OLS

இந்த மதிப்பீடுகளின் கோவாரியன்ஸ் மேட்ரிக்ஸ் அதற்கேற்ப சமமாக இருக்கும்

எடையுள்ள OLS

மூலைவிட்ட எடை அணியில் (எனவே சீரற்ற பிழைகளின் கோவாரியன்ஸ் மேட்ரிக்ஸ்), எங்களிடம் எடை குறைந்த சதுரங்கள் (WLS) என்று அழைக்கப்படும். இந்த வழக்கில், மாதிரி எச்சங்களின் சதுரங்களின் எடையுள்ள தொகை குறைக்கப்படுகிறது, அதாவது, ஒவ்வொரு கவனிப்பும் ஒரு "எடையை" பெறுகிறது, இது இந்த அவதானிப்பில் சீரற்ற பிழையின் மாறுபாட்டிற்கு நேர்மாறான விகிதாசாரமாகும்: . உண்மையில், தரவு அவதானிப்புகளை எடைபோடுவதன் மூலம் மாற்றப்படுகிறது (சீரற்ற பிழைகளின் மதிப்பிடப்பட்ட நிலையான விலகலுக்கு விகிதாசாரமாக வகுக்கப்படுகிறது), மேலும் எடையுள்ள தரவுகளுக்கு சாதாரண OLS பயன்படுத்தப்படுகிறது.

MNCயை நடைமுறையில் பயன்படுத்துவதற்கான சில சிறப்பு நிகழ்வுகள்

நேரியல் சார்பு தோராயம்

மேசை. அளவீட்டு முடிவுகள்.

அளவீடு எண்.
1
2
3
4
5
6

குறைவாக இருந்தது

கதை

19 ஆம் நூற்றாண்டின் ஆரம்பம் வரை. அறியப்படாதவர்களின் எண்ணிக்கை சமன்பாடுகளின் எண்ணிக்கையை விட குறைவாக இருக்கும் சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்ப்பதற்கான சில விதிகளை விஞ்ஞானிகள் கொண்டிருக்கவில்லை; அதுவரை, சமன்பாடுகளின் வகை மற்றும் கால்குலேட்டர்களின் புத்திசாலித்தனத்தைப் பொறுத்து தனிப்பட்ட நுட்பங்கள் பயன்படுத்தப்பட்டன, எனவே வெவ்வேறு கால்குலேட்டர்கள், ஒரே கண்காணிப்புத் தரவுகளின் அடிப்படையில் வெவ்வேறு முடிவுகளுக்கு வந்தன. காஸ் (1795) இந்த முறையை முதன்முதலில் பயன்படுத்தினார், மேலும் லெஜெண்ட்ரே (1805) சுயாதீனமாகக் கண்டுபிடித்து அதன் நவீன பெயரில் (பிரெஞ்சு. Méthode des moindres quarrés ) . லாப்லேஸ் இந்த முறையை நிகழ்தகவுக் கோட்பாட்டுடன் தொடர்புபடுத்தினார், மேலும் அமெரிக்கக் கணிதவியலாளர் அட்ரைன் (1808) அதன் நிகழ்தகவு-கோட்பாட்டுப் பயன்பாடுகளைக் கருதினார். Encke, Bessel, Hansen மற்றும் பலர் மேற்கொண்ட ஆராய்ச்சியின் மூலம் இந்த முறை பரவலாகவும் மேம்படுத்தப்பட்டது.

OLS இன் மாற்று பயன்பாடுகள்

ஒரு பயன்பாடு என்பது நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்புகளின் "தீர்வு" ஆகும், இதில் சமன்பாடுகளின் எண்ணிக்கை மாறிகளின் எண்ணிக்கையை விட அதிகமாக உள்ளது.

மேட்ரிக்ஸ் சதுரமாக இல்லை, ஆனால் அளவு செவ்வகமாக இருக்கும்.

இத்தகைய சமன்பாடுகளின் அமைப்பு, பொதுவான வழக்கில், தீர்வு இல்லை (தரவரிசை உண்மையில் மாறிகளின் எண்ணிக்கையை விட அதிகமாக இருந்தால்). எனவே, திசையன்களுக்கு இடையேயான "தூரத்தை" குறைக்க அத்தகைய திசையன் தேர்ந்தெடுக்கும் பொருளில் மட்டுமே இந்த அமைப்பை "தீர்க்க" முடியும். இதைச் செய்ய, கணினி சமன்பாடுகளின் இடது மற்றும் வலது பக்கங்களுக்கு இடையிலான வேறுபாடுகளின் சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகையைக் குறைக்கும் அளவுகோலைப் பயன்படுத்தலாம், அதாவது. இந்த குறைத்தல் சிக்கலைத் தீர்ப்பது பின்வரும் சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்ப்பதற்கு வழிவகுக்கிறது என்பதைக் காண்பிப்பது எளிது

சில என்றால் உடல் அளவுமற்றொரு அளவைப் பொறுத்தது, பின்னர் x இன் வெவ்வேறு மதிப்புகளில் y ஐ அளவிடுவதன் மூலம் இந்த சார்புநிலையை ஆய்வு செய்யலாம். அளவீடுகளின் விளைவாக, பல மதிப்புகள் பெறப்படுகின்றன:

x 1, x 2, ..., x i, ..., x n;

y 1, y 2, ..., y i, ..., y n.

அத்தகைய பரிசோதனையின் தரவுகளின் அடிப்படையில், சார்பு y = ƒ(x) வரைபடத்தை உருவாக்க முடியும். இதன் விளைவாக வரும் வளைவு ƒ(x) செயல்பாட்டின் வடிவத்தை தீர்மானிக்க உதவுகிறது. இருப்பினும், இந்த செயல்பாட்டில் நுழையும் நிலையான குணகங்கள் தெரியவில்லை. குறைந்த சதுரங்கள் முறையைப் பயன்படுத்தி அவற்றைத் தீர்மானிக்கலாம். சோதனை புள்ளிகள், ஒரு விதியாக, வளைவில் சரியாக பொய் இல்லை. குறைந்த சதுரங்கள் முறைக்கு, வளைவிலிருந்து சோதனைப் புள்ளிகளின் விலகல்களின் சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகை தேவைப்படுகிறது, அதாவது. 2 சிறியதாக இருந்தது.

நடைமுறையில், இந்த முறை பெரும்பாலும் (மற்றும் மிக எளிமையாக) ஒரு நேரியல் உறவின் விஷயத்தில் பயன்படுத்தப்படுகிறது, அதாவது. எப்பொழுது

y = kxஅல்லது y = a + bx.

நேரியல் சார்புஇயற்பியலில் மிகவும் பரவலாக உள்ளது. உறவுகள் நேரியல் அல்லாதபோதும், அவர்கள் வழக்கமாக ஒரு நேர்கோட்டைப் பெற வரைபடத்தை உருவாக்க முயற்சிப்பார்கள். எடுத்துக்காட்டாக, கண்ணாடி n இன் ஒளிவிலகல் குறியீடு n = a + b/λ 2 உறவின் மூலம் λ ஒளி அலைநீளத்துடன் தொடர்புடையது என்று கருதினால், λ -2 இல் n இன் சார்பு வரைபடத்தில் திட்டமிடப்பட்டுள்ளது.

சார்புநிலையைக் கருத்தில் கொள்ளுங்கள் y = kx(தோற்றம் வழியாக செல்லும் ஒரு நேர்கோடு). நேர்கோட்டில் இருந்து நமது புள்ளிகளின் விலகல்களின் சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகை φ மதிப்பை உருவாக்குவோம்.

φ இன் மதிப்பு எப்போதும் நேர்மறையாக இருக்கும், மேலும் நமது புள்ளிகள் நேர் கோட்டிற்கு நெருக்கமாக இருக்கும் போது சிறியதாக இருக்கும். குறைந்த சதுரங்கள் முறையானது, φ க்கு குறைந்தபட்ச மதிப்பு இருக்கும் வகையில் k க்கான மதிப்பு தேர்ந்தெடுக்கப்பட வேண்டும் என்று கூறுகிறது

அல்லது
(19)

k இன் மதிப்பை நிர்ணயிப்பதில் ரூட்-சராசரி-சதுரப் பிழை சமம் என்று கணக்கீடு காட்டுகிறது

, (20)
இதில் n என்பது அளவீடுகளின் எண்ணிக்கை.

இப்போது இன்னும் கொஞ்சம் சிந்திப்போம் கடினமான வழக்கு, புள்ளிகள் சூத்திரத்தை பூர்த்தி செய்ய வேண்டும் y = a + bx(தோற்றம் வழியாக செல்லாத ஒரு நேர்கோடு).

x i, y i மதிப்புகளின் தொகுப்பைக் கண்டுபிடிப்பதே பணி சிறந்த மதிப்புகள் a மற்றும் b.

மீண்டும் இருபடி வடிவத்தை φ உருவாக்குவோம், தொகைக்கு சமம்நேர்கோட்டிலிருந்து x i, y i புள்ளிகளின் சதுர விலகல்கள்

மற்றும் φ குறைந்தபட்ச மதிப்பைக் கொண்டிருக்கும் a மற்றும் b இன் மதிப்புகளைக் கண்டறியவும்

;

இந்த சமன்பாடுகளின் கூட்டு தீர்வு கொடுக்கிறது

(21)

a மற்றும் b ஐ நிர்ணயிப்பதில் மூல சராசரி சதுரப் பிழைகள் சமம்

(23)

. (24)

இந்த முறையைப் பயன்படுத்தி அளவீட்டு முடிவுகளைச் செயலாக்கும்போது, சூத்திரங்களில் (19) (24) சேர்க்கப்பட்டுள்ள அனைத்து அளவுகளும் முன்கூட்டியே கணக்கிடப்பட்ட அட்டவணையில் அனைத்து தரவையும் சுருக்கமாகக் கூறுவது வசதியானது. இந்த அட்டவணையின் வடிவங்கள் கீழே உள்ள எடுத்துக்காட்டுகளில் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன.

எடுத்துக்காட்டு 1.இயக்கவியலின் அடிப்படை சமன்பாடு ஆய்வு செய்யப்பட்டது சுழற்சி இயக்கம்ε = M/J (தோற்றம் வழியாக செல்லும் கோடு). கணம் M இன் வெவ்வேறு மதிப்புகளில், ஒரு குறிப்பிட்ட உடலின் கோண முடுக்கம் ε அளவிடப்பட்டது. இந்த உடலின் மந்தநிலையின் தருணத்தை தீர்மானிக்க இது தேவைப்படுகிறது. விசையின் கணம் மற்றும் கோண முடுக்கம் ஆகியவற்றின் அளவீடுகளின் முடிவுகள் இரண்டாவது மற்றும் மூன்றாவது நெடுவரிசைகளில் பட்டியலிடப்பட்டுள்ளன. அட்டவணை 5.

அட்டவணை 5

n	எம், என் எம்	ε, s -1	எம் 2	எம் ε	ε - கிமீ	(ε - கிமீ) 2
1	1.44	0.52	2.0736	0.7488	0.039432	0.001555
2	3.12	1.06	9.7344	3.3072	0.018768	0.000352
3	4.59	1.45	21.0681	6.6555	-0.08181	0.006693
4	5.90	1.92	34.81	11.328	-0.049	0.002401
5	7.45	2.56	55.5025	19.072	0.073725	0.005435
∑			123.1886	41.1115		0.016436

சூத்திரம் (19) ஐப் பயன்படுத்தி நாங்கள் தீர்மானிக்கிறோம்:

மூல சராசரி சதுரப் பிழையைத் தீர்மானிக்க, சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம் (20)

0.005775கிலோ-1 · மீ -2 .

சூத்திரத்தின் படி (18) எங்களிடம் உள்ளது

; .

எஸ் ஜே = (2.996 0.005775)/0.3337 = 0.05185 கிலோ மீ2.

நம்பகத்தன்மை P = 0.95 ஐ அமைத்து, n = 5 க்கான மாணவர் குணகங்களின் அட்டவணையைப் பயன்படுத்தி, t = 2.78 ஐக் கண்டறிந்து தீர்மானிக்கிறோம். முழுமையான தவறுΔJ = 2.78 0.05185 = 0.1441 ≈ 0.2 கிலோ மீ2.

படிவத்தில் முடிவுகளை எழுதுவோம்:

ஜே = (3.0 ± 0.2) கிலோ மீ2;

உதாரணம் 2.குறைந்தபட்ச சதுரங்கள் முறையைப் பயன்படுத்தி உலோக எதிர்ப்பின் வெப்பநிலை குணகத்தை கணக்கிடுவோம். எதிர்ப்பு வெப்பநிலையை நேரியல் சார்ந்தது

R t = R 0 (1 + α t°) = R 0 + R 0 α t°.

இலவச சொல் 0 ° C வெப்பநிலையில் எதிர்ப்பு R 0 ஐ தீர்மானிக்கிறது, மேலும் சாய்வு குணகம் வெப்பநிலை குணகம் α மற்றும் எதிர்ப்பு R 0 ஆகியவற்றின் தயாரிப்பு ஆகும்.

அளவீடுகள் மற்றும் கணக்கீடுகளின் முடிவுகள் அட்டவணையில் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன ( அட்டவணை 6 பார்க்கவும்).

அட்டவணை 6

n	t°, s	ஆர், ஓம்	t-¯t	(t-¯t) 2	(t-¯t) ஆர்	r - bt - a	(r - bt - a) 2 .10 -6
1	23	1.242	-62.8333	3948.028	-78.039	0.007673	58.8722
2	59	1.326	-26.8333	720.0278	-35.581	-0.00353	12.4959
3	84	1.386	-1.83333	3.361111	-2.541	-0.00965	93.1506
4	96	1.417	10.16667	103.3611	14.40617	-0.01039	107.898
5	120	1.512	34.16667	1167.361	51.66	0.021141	446.932
6	133	1.520	47.16667	2224.694	71.69333	-0.00524	27.4556
∑	515	8.403		8166.833	21.5985		746.804
∑/n	85.83333	1.4005

சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி (21), (22) நாங்கள் தீர்மானிக்கிறோம்

R 0 = ¯ R- α R 0 ¯ t = 1.4005 - 0.002645 85.83333 = 1.1735 ஓம்.

α இன் வரையறையில் பிழையைக் கண்டறிவோம். , பின்னர் சூத்திரம் (18) படி நாம்:

சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி (23), (24) எங்களிடம் உள்ளது

;

0.014126 ஓம்.

நம்பகத்தன்மையை P = 0.95 க்கு அமைத்த பிறகு, n = 6 க்கான மாணவர் குணகங்களின் அட்டவணையைப் பயன்படுத்தி, t = 2.57 ஐக் கண்டறிந்து, முழுமையான பிழையை தீர்மானிக்கிறோம் Δα = 2.57 0.000132 = 0.000338 டிகிரி -1.

α = (23 ± 4) 10 -4 ஆலங்கட்டி மழை P = 0.95 இல் -1.

எடுத்துக்காட்டு 3.நியூட்டனின் வளையங்களைப் பயன்படுத்தி லென்ஸின் வளைவின் ஆரம் தீர்மானிக்க வேண்டும். நியூட்டனின் வளையங்களின் ஆரங்கள் r m அளவிடப்பட்டு, இந்த வளையங்களின் எண்கள் m தீர்மானிக்கப்பட்டது. நியூட்டனின் வளையங்களின் ஆரம் R லென்ஸின் வளைவின் ஆரம் மற்றும் சமன்பாட்டின் மூலம் மோதிர எண்ணுடன் தொடர்புடையது.

r 2 m = mλR - 2d 0 R,

d 0 என்பது லென்ஸுக்கும் ப்ளேன்-பேரலல் பிளேட்டிற்கும் இடையே உள்ள இடைவெளியின் தடிமன் (அல்லது லென்ஸின் சிதைவு),

λ சம்பவ ஒளியின் அலைநீளம்.

λ = (600 ± 6) nm;
r 2 m = y;
மீ = x;
λR = b;
-2d 0 R = a,

பின்னர் சமன்பாடு வடிவம் எடுக்கும் y = a + bx.

அளவீடுகள் மற்றும் கணக்கீடுகளின் முடிவுகள் உள்ளிடப்பட்டுள்ளன அட்டவணை 7.

அட்டவணை 7

n	x = மீ	y = r 2, 10 -2 மிமீ 2	மீ -¯ மீ	(மீ -¯ மீ) 2	(m -¯ m)y	y - bx - a, 10 -4	(y - bx - a) 2 , 10 -6
1	1	6.101	-2.5	6.25	-0.152525	12.01	1.44229
2	2	11.834	-1.5	2.25	-0.17751	-9.6	0.930766
3	3	17.808	-0.5	0.25	-0.08904	-7.2	0.519086
4	4	23.814	0.5	0.25	0.11907	-1.6	0.0243955
5	5	29.812	1.5	2.25	0.44718	3.28	0.107646
6	6	35.760	2.5	6.25	0.894	3.12	0.0975819
∑	21	125.129		17.5	1.041175		3.12176
∑/n	3.5	20.8548333