Konu 1. Matrisler ve sistemler
Matris kavramı
Tanım 1.Matris
.
Burada, a ben j (Ben=1,2,...,M; J=1,2,...N) - matris elemanları, Ben- satır numarası, J m=n matris denir kare sipariş matrisi N.
ben sıfıra eşittir denir diyagonal:
Bekar
hükümsüz ve θ ile gösterilir.
- matris satırı; - matris sütunu.
belirleyici(veya belirleyici).
2. dereceden belirleyiciler
Tanım 2.
HAKKINDA ikinci dereceden sınırlayıcı matrisler 
, yani
. (3)
Diğer tanımlar: , .
Dolayısıyla determinant kavramı aynı zamanda onun hesaplanması için bir yöntemi de gerektirir. Sayılara determinantın elemanları denir. Elemanların oluşturduğu köşegenlere denir ana ve elementler - taraf
Örnek 1. Matrisin determinantı eşittir
.
3. dereceden belirleyiciler
Tanım 2. HAKKINDA üçüncü dereceden sınırlayıcı sembolüyle gösterilen sayıdır
,
ve eşitlikle tanımlanır
Sayılar - elementler belirleyici. Elemanlar formu Evçapraz, elemanlar - taraf.
Determinant hesaplanırken eşitliğin sağ tarafındaki hangi terimlerin (4) “+”, hangilerinin “-” işaretiyle alındığını hatırlamak için üçgenlerin sembolik kuralını (Sarrus kuralı) kullanın:
“+” işareti ile tabanları ana köşegenine paralel olan üçgenlerin köşelerinde bulunan elemanlar ile ana köşegenin elemanlarının çarpımları alınır; ardından "-" işareti gelir - ikincil köşegenin elemanları ile tabanları ikincil köşegene paralel olan üçgenlerin köşelerinde bulunan elemanların çarpımı.
Determinantın sütun atama kuralı kullanılarak hesaplanması.
1. Birinci ve ikinci sütunları sırayla determinantın sağına atarız.
2. Üç elementin çarpımlarını soldan sağa, yukarıdan aşağıya çapraz olarak hesaplıyoruz. A 11 ila A 13 ve “+” işaretiyle alın. Daha sonra çapraz olarak soldan sağa, aşağıdan yukarıya doğru üç elemanın çarpımlarını hesaplıyoruz. A 31 ila A 13 ve “-” işaretiyle alın.
(-) (-) (-) (+) (+) (+)
Örnek 2. Sütun atama kuralını kullanarak determinantı hesaplayın.
3. Belirleyiciler N-inci sipariş. Küçükler ve cebirsel eklemeler. Belirleyicilerin satır (sütun) açılımına göre hesaplanması.
Determinant kavramını ele alalım N- sipariş yok. Belirleyici N- yüksek dereceli matrisle ilişkili sayıdır N- belirli bir düzende ve belirli bir yasaya göre hesaplanmıştır.
,
burada determinantın unsurları bulunmaktadır. Determinantın ortaya çıktığı kuralı göstermek Nİlk olarak bazı kavramlara bakalım.
Tanım 4. Küçük belirleyici unsur N-inci sıraya determinant denir ( N- 1) bu elemanın bulunduğu kesişme noktasında determinantın satır ve sütununun çizilmesiyle elde edilen sıra.
Tanım 5. Cebirsel tamamlayıcı determinantın bazı unsurları N inci mertebesine bu elemanın minörünün çarpımı denir, yani 
.
Üçüncü dereceden bir determinantta örneğin dikkate alınabilir:
, .
, .
Tanım 6. Belirleyici N- Daha yüksek dereceli bir sayı, determinantın ilk satırındaki elemanların çarpımlarının cebirsel tamamlayıcılarıyla çarpımına eşit bir sayıdır.
Determinantın hesaplanmasına ilişkin bu kurala denir. ilk satır boyunca genişleme.
Teorem (determinantın genişlemesi hakkında). Determinant herhangi bir satır veya sütuna genişletilerek hesaplanabilir.
– 1. sütundaki elemanların çarpımlarının 2. sütunun cebirsel tamamlayıcıları ile toplamı.
Örnek 3. Dördüncü dereceden determinantı hesaplayın 
.
Çözüm.Üçüncü satırı (-1) ile çarpıp dördüncüye ekliyoruz, ardından determinantı dördüncü satır boyunca genişletiyoruz:
Üçüncü dereceden determinant ilk satır boyunca genişletildi.
Gauss yöntemi.
Gauss yöntemi orijinal sistemin bilinmeyeni ortadan kaldırarak yeni bir şeye dönüştürülmesidir. adım adım akıl. Bu durumda, bilinmeyenleri hariç tutan dönüşümler matris satırlarının temel dönüşümlerine eşdeğer olduğundan, genişletilmiş matristeki satırlar üzerinde dönüşümler gerçekleştirilir.
Gauss yöntemi aşağıdakilerden oluşur: ileri vuruş Ve tersi. Gauss yönteminin doğrudan yaklaşımı, sistem (1)'in genişletilmiş matrisini, satırlar üzerinde temel dönüşümler yoluyla adım adım forma indirgemektir. Bundan sonra sistem tutarlılık ve kesinlik açısından incelenir. Daha sonra denklem sistemi adım matrisi kullanılarak yeniden oluşturulur. Bu adım adım denklem sisteminin çözümü Gauss yönteminin tersidir; burada son denklemden başlayarak büyük değerdeki bilinmeyenler bulunur. seri numarası ve değerleri sistemin önceki denkleminde değiştirilir.
İleri hareketin sonunda sistemi, sistem matrisi A ile genişletilmiş matris A'nın sıralarını karşılaştırarak Kronecker-Capelli teoremini kullanarak inceliyoruz. Aşağıdaki durumlar mümkündür.
1) Eğer 
ise sistem tutarsızdır (Kronecker-Capelli teoremine göre).
2) Eğer ise, sistem (1) kesindir ve bunun tersi de geçerlidir (kanıt olmadan).
3) Eğer ise, sistem (1) belirsizdir ve bunun tersi de geçerlidir (kanıt olmadan).
Eşitsizlik 
geçerli değildir, A matrisi A' matrisinin bir parçası olduğundan, A matrisinin sütun sayısı eşit olduğundan eşitsizlik geçerli değildir P. Ayrıca kare matrisli bir sistem için, yani eğer P = T, eşitlikler gerçeğine eşdeğerdir.
Sistem belirsizse, yani çalıştırılıyorsa, bilinmeyenlerinin bir kısmı serbest ilan edilir ve geri kalanı onlar aracılığıyla ifade edilir. Serbest bilinmeyenlerin sayısı 
. Gauss yönteminin tersi yapıldığında, bir sonraki denklemde daha önce bulunan değişkenler değiştirildikten sonra birden fazla bilinmeyen kalırsa, biri dışındaki tüm bilinmeyenler serbest bilinmeyenler olarak ilan edilir.
Örnekleri kullanarak Gauss yönteminin uygulanmasına bakalım.
Örnek 4. Denklem sistemini çözün 
Çözüm. Sistemi Gauss yöntemini kullanarak çözelim. Sistemin genişletilmiş matrisini yazalım ve temel satır dönüşümlerini (doğrudan hareket) kullanarak adım adım forma getirelim.
~ 
~ 
~
~ 
~ 
.
Bu nedenle sistem tutarlıdır ve benzersiz bir çözüme sahiptir; kesin.
Adım adım bir sistem oluşturalım ve çözelim (tersi).
Kontrol, ikame yoluyla kolaylıkla yapılabilir.
Cevap: .
Konu 2. Vektör cebiri.
Bir vektörün bir eksene izdüşümü.
Tanım 2. Vektör projeksiyonu eksen başına ben segmentin uzunluğuna eşit bir sayıdır AB vektörün başlangıcı ve bitişinin çıkıntıları arasında yer alan bu eksen, eğer segment ise “+” işaretiyle alınır. AB odaklı (içinden sayarak Aİle İÇİNDE)V olumlu taraf eksenler ben ve “-” işareti - aksi halde (bkz. Şekil 2).
Tanım: .
Teorem 1. Bir vektörün eksen üzerine izdüşümü, modülünün çarpımına ve vektör ile eksenin pozitif yönü arasındaki açının kosinüsüne eşittir (Şekil 3):
. (1)
  Şek. 3. Şekil 4. |
Kanıt. (Şekil 3)'ten şunu elde ederiz: Parçanın yönü eksenin pozitif yönüyle çakışmaktadır, bu nedenle eşitlik doğrudur. Ters yönelim durumunda (Şekil 4) elimizde . Teorem kanıtlandı.
Projeksiyonların özelliklerini ele alalım.
Mülk 1. İki vektörün toplamının eksene izdüşümü, aynı eksene izdüşümlerinin toplamına eşittir, yani.
 Şekil 5. |
Vektörlerin olası düzenlemelerinden biri durumundaki kanıt Şekil 5'te verilmektedir. Gerçekten de tanım gereği 2
Özellik 1, herhangi bir sonlu sayıda vektör terimi için doğrudur.
Mülk 2. Bir vektör l sayısıyla çarpıldığında izdüşümü bu sayıyla çarpılır
. (2)
Eşitliği (2) kanıtlayalım. Vektörler eksenle aynı açıyı oluşturduğunda. Teorem 1'e göre
Vektörler ve açılar oluşturduğunda sırasıyla ve eksenle. Teorem 1
için bariz eşitliği elde ederiz.
Özelliklerden elde edilen sonuç 1 ve 2. Vektörlerin doğrusal bir kombinasyonunun izdüşümü, bu vektörlerin izdüşümlerinin aynı doğrusal birleşimine eşittir, yani.
Konu 1. Matrisler ve sistemler
Matris kavramı
Tanım 1.Matris boyut, formda yazılmış sayılar veya alfabetik ifadelerden oluşan dikdörtgen bir tablodur
.
Burada, a ben j (Ben=1,2,...,M; J=1,2,...N) - matris elemanları, Ben- satır numarası, J- sütun numarası. Matrisler genellikle büyük harflerle gösterilir Latin alfabesi A, B, C, vb. ve ayrıca veya . Şu tarihte: m=n matris denir kare sipariş matrisi N.
Tüm elemanların eşit olmayan indekslere sahip olduğu bir kare matris ben sıfıra eşittir denir diyagonal:
Bir köşegen matrisin sıfırdan farklı tüm elemanları bire eşitse, matris denir Bekar. Kimlik matrisi genellikle E harfiyle gösterilir.
Elemanları sıfır olan matrise denir hükümsüz ve θ ile gösterilir.
Bir satır veya bir sütundan oluşan matrisler de vardır.
- matris satırı; - matris sütunu.
Bir kare matrisin sayısal özelliği belirleyici(veya belirleyici).
2. ve 3. dereceden determinantlar, özellikleri.
2. dereceden belirleyiciler
Tanım 2.
HAKKINDA ikinci dereceden sınırlayıcı matrisler (veya sadece ikinci dereceden bir determinant), bir sembolle gösterilen ve eşitlikle tanımlanan bir sayıdır. , yani
. (3)
Diğer tanımlar: , .
Bir matrisin determinantını bulmak için 2. ve 3. dereceden determinantlar için geçerli olan formülleri kullanmanız gerekir.
Formül
İkinci dereceden bir matris $ A = \begin(pmatrix) a_(11)&a_(12)\\a_(21)&a_(22) \end(pmatrix) $ verilsin. Daha sonra determinantı aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanır:
$$ \Delta = \begin(vmatrix) a_(11)&a_(12)\\a_(21)&a_(22) \end(vmatrix) = a_(11)\cdot a_(22) - a_(12)\ cdot a_(21) $$
$ a_(11)\cdot a_(22) $ ana köşegeninde bulunan elemanların çarpımından, $ a_(12)\cdot a_(21) $ ikincil köşegeninde bulunan elemanların çarpımı çıkarılır. Bu kural yalnızca (!) 2. dereceden bir determinant için doğrudur.
Üçüncü dereceden bir matris verilirse $ A = \begin(pmatrix) a_(11)&a_(12)&a_(13)\\a_(21)&a_(22)&a_(23)\\a_(31)&a_(32) &a_ (33) \end(pmatrix) $ ise determinantı aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanmalıdır:
$$ \Delta = \begin(vmatrix) a_(11)&a_(12)&a_(13)\\a_(21)&a_(22)&a_(23)\\a_(31)&a_(32)&a_(33) \end(vmatrix) = $$
$$ = a_(11)a_(22)a_(33) + a_(12)a_(23)a_(31)+a_(21)a_(32)a_(13) - a_(13)a_(22) a_(31)-a_(23)a_(32)a_(11)-a_(12)a_(21)a_(33) $$
Çözüm örnekleri
| örnek 1 |
| $ A = \begin(pmatrix) 1&2\\3&4 \end(pmatrix) $ matrisinin determinantını hesaplayın. |
| Çözüm |
|
Bir matrisin determinantı nasıl bulunur? Matrisin ikinci dereceden kare olmasına yani sütun sayısının satır sayısına eşit olmasına ve her birinin 2 eleman içermesine dikkat edelim. Bu nedenle ilk formülü uygulayalım. Ana köşegendeki elemanları çarpalım ve bunlardan ikincil köşegendeki elemanların çarpımını çıkaralım: $$ \Delta = \begin(vmatrix) 1&2\\3&4 \end(vmatrix) = 1 \cdot 4 - 2 \cdot 3 = 4-6 = -2 $$ Sorununuzu çözemezseniz bize gönderin. Detaylı çözüm sunacağız. Hesaplamanın ilerlemesini görüntüleyebilecek ve bilgi alabileceksiniz. Bu, öğretmeninizden notunuzu zamanında almanıza yardımcı olacaktır! |
| Cevap |
| $$ \Delta = -2 $$ |
| Örnek 2 |
| $ A = \begin(pmatrix) 2&2&1\\1&-3&-1\\3&4&-2 \end(pmatrix) $ matrisi verildiğinde. Determinantını hesaplamamız gerekiyor. |
| Çözüm |
|
Problem 3. mertebeden bir kare matris olduğundan determinantın ikinci formül kullanılarak bulunması gerekir. Sorunun çözümünü basitleştirmek için formüldeki $ a_(ij) $ değişkenleri yerine problemimizin matrisindeki değerleri yerine koymak yeterlidir: $$ \Delta = \begin(vmatrix) 2&2&1\\1&-3&-1\\3&4&-2 \end(vmatrix) = $$ $$ = 2\cdot (-3) \cdot (-2) + 2\cdot (-1) \cdot 3 + 1\cdot 4\cdot 1 - $$ $$ - 1\cdot (-3)\cdot 3 - (-1)\cdot 4\cdot 2 - 2\cdot 1\cdot (-2) = $$ $$ = 12 - 6 + 4 + 9 + 8 + 4 = 31 $$ İkincil köşegen ve benzeri elemanların çarpımlarını bulduğumuzda çarpımların önüne eksi işareti konulduğunu belirtmekte fayda var. |
| Cevap |
| $$ \Delta = 31 $$ |
Tanım 6. Sistem (1.4) matrisine karşılık gelen üçüncü dereceden determinant, D'ye eşit olan sayıdır.
Üçüncü dereceden determinantı hesaplamak için, üçüncü dereceden determinantların fazla güçlük çekmeden hesaplanmasını mümkün kılan iki hesaplama şeması kullanılır. Bu şemalar "" olarak bilinir. üçgen kuralı" (veya "yıldız işareti kuralı") ve " Sarrus kuralı ".
Üçgen kuralına göre diyagramda çizgilerle birbirine bağlanan elemanlar önce çarpılır ve toplanır.
onlar. ürünlerin toplamını alıyoruz: bir 11 bir 22 bir 33 + bir 12 bir 23 bir 31 + bir 21 bir 13 bir 32.
Düz veya kırık bir çizgiyle bağlanan elemanların çarpıldığını ve ardından elde edilen ürünlerin toplandığını lütfen unutmayın.
Daha sonra şemaya bağlanan elemanlar çarpılır ve eklenir
onlar. başka bir ürün toplamı elde ederiz bir 13 bir 22 bir 31 + bir 12 bir 21 bir 33 + bir 11 bir 23 bir 32. Ve son olarak determinantı hesaplamak için birinci toplamdan ikincisi çıkarılır. Daha sonra nihayet üçüncü dereceden determinantı hesaplamak için formülü elde ederiz:
D=(a 11 a 22 a 33 +a 12 a 23 a 31 +a 21 a 13 a 32)-(a 13 a 22 a 31 +a 12 a 21 a 33 +a 11 a 23 a 32).
Sarrus kuralına göre sağdaki determinantın ilk iki sütunu eklenir ve ardından determinantın bir yöndeki elemanlarının çarpımlarının toplamı, diğer yöndeki elemanların çarpımlarının toplamı hesaplanır. bundan çıkarılır (şemaya bakınız):
Sonucun, üçgen kuralını kullanarak determinantı hesaplarken elde edilen sonuçla aynı olacağından emin olabilirsiniz.
Örnek. Hesaplama belirleyicisi
Çözüm. Yıldız kuralını kullanarak determinantı hesaplayalım
Ve Sarrus'un kuralına göre
Onlar. beklendiği gibi her iki hesaplama şeması için de aynı sonucu elde ediyoruz.
Kendiniz doğrulayabileceğiniz gibi, ikinci dereceden determinantlar için formüle edilen tüm özelliklerin üçüncü dereceden determinantlar için geçerli olduğunu unutmayın. Bu özelliklere dayanarak, herhangi bir mertebeden determinantların genel özelliklerini formüle ediyoruz.
Belirleyici kare matris şu şekilde hesaplanan bir sayıdır:
a) Bir kare matrisin derecesi 1 ise; 1 sayıdan oluşuyorsa determinant bu sayıya eşittir;
b) Bir kare matrisin sırası 2 ise; 4 sayıdan oluşur, bu durumda determinant, ana köşegenin elemanlarının çarpımı ile ikincil köşegenin elemanlarının çarpımı arasındaki farka eşittir;
c) Bir kare matrisin sırası 3 ise; 9 sayıdan oluşur, ardından determinant toplamına eşit ana köşegen ve bu köşegene paralel iki üçgenin elemanlarının çarpımları, bundan ikincil köşegen ve bu köşegene paralel iki üçgenin elemanlarının çarpımlarının toplamı çıkarıldı.
Örnekler
Belirleyicilerin özellikleri
1. Satırlar sütunlarla ve sütunlar satırlarla değiştirilirse determinant değişmeyecektir.
- 2 özdeş seriye sahip bir determinant sıfıra eşittir
- Determinantın herhangi bir satırının (satır veya sütununun) ortak faktörü, determinantın işaretinden çıkarılabilir.
4. İki paralel seriyi yeniden düzenlerken determinantın işareti ters yönde değişir.
5. Bir determinantın herhangi bir serisinin elemanları iki terimin toplamı ise, bu durumda determinant karşılık gelen iki determinantın toplamına genişletilebilir
6. Bir paralel serinin karşılık gelen elemanları bir serinin elemanlarına eklenirse ve herhangi bir sayıyla çarpılırsa determinant değişmeyecektir.
Determinantın küçük elemanı ve cebirsel tamamlayıcısı
Küçük element a IJ n'inci dereceden determinant, orijinalden i'inci satırın ve j'inci sütunun üzerinin çizilmesiyle elde edilen n-1 dereceli bir determinanttır
a IJ elemanının cebirsel tamamlayıcısı determinant onun minörünün (-1) i+ j ile çarpılmasıdır
Örnek
ters matris
Matris denir dejenere olmayan determinantı sıfıra eşit değilse, aksi takdirde matrise tekil denir
Matris denir birlik, karşılık gelen cebirsel tamamlayıcılardan oluşuyorsa ve aktarılmışsa
Matris denir tersi belirli bir matrise, bunların çarpımı verilen matrisle aynı dereceden birim matrise eşitse
Varlık teoremi ters matris
Tekil olmayan herhangi bir matris, müttefik matrisin bu matrisin determinantına bölünmesine eşit bir ters değere sahiptir.
Ters A matrisini bulma algoritması
- Hesaplama belirleyicisi
- Matrisin devrini değiştir
- Birleşim matrisi oluşturun, aktarılan matrisin tüm cebirsel tamamlayıcılarını hesaplayın
- Formülü kullanın:
Matris minör mxn boyutunda belirli bir matrisin seçilen k satır ve k sütununun kesişiminde yer alan öğelerden oluşan bir determinanttır
Matris sıralaması matris minörünün sıfır olmayan en yüksek derecesidir
Gösterim r(A), rangA
Rütbe adım matrisinin sıfır olmayan satırlarının sayısına eşittir.
Örnek
Sistemler doğrusal denklemler.
m denklem ve n bilinmeyen içeren bir doğrusal denklem sistemine formdaki sistem denir.
sayılar nerede A IJ - sistem katsayıları, sayılar b i - serbest terimler
Matris kayıt formu doğrusal denklem sistemleri
Sistem çözümü bilinmeyenlerin n değerleri c 1, c 2,…, c n olarak adlandırılır, bunları sisteme yerleştirirken sistemin tüm denklemleri gerçek eşitliklere dönüşür. Sistemin çözümü sütun vektörü olarak yazılabilir.
Denklem sisteminin adı eklem yeri En az bir çözümü varsa ve uyumsuz eğer çözüm yoksa.
Kronecker-Capelli teoremi
Bir LU sistemi ancak ve ancak ana matrisin sıralamasının genişletilmiş matrisin sıralamasına eşit olması durumunda tutarlıdır
Bir LU sistemini çözme yöntemleri
1. Gauss yöntemi(temel dönüşümleri kullanarak, genişletilmiş matrisi adım matrisine ve ardından kanonik matrise azaltın)
Temel dönüşümler şunları içerir:
Satırları (sütunları) yeniden düzenleme
Bir satıra (sütuna) başka bir sayının eklenmesi, 0'dan farklı bir sayıyla çarpılması.
Genişletilmiş bir matris oluşturalım:
İlk sütun ve ilk satırın başındaki eleman olan 1. elemanı seçip ona satır başı adını verelim. Baş elemanı içeren satır değişmeyecektir. Ana köşegenin altındaki elemanları sıfırlayalım. Bunu yapmak için, ilk satırı (-2) ile çarparak ikinci satıra ekleyin. İlk satırı üçüncü satıra (-1) ile çarptığımızda şunu elde ederiz:
İkinci ve üçüncü satırları yer değiştirelim. İlk sütunu ve ilk satırı zihinsel olarak çizin ve kalan matris için algoritmaya devam edin. Üçüncü satıra 2'yi 5 ile çarparak ekliyoruz.
Genişletilmiş matrisi basamaklı forma getirdik. Sistemin denklemlerine dönersek son satırdan başlayıp yukarı doğru giderek bilinmeyenleri tek tek belirliyoruz.
2. Matris yöntemi (AX=B, A -1 AX=A -1 B, X=A -1 B; ana matrisin tersi matrisin serbest terimler sütunu ile çarpımı)
3. Cramer'in yöntemi.
Sistemin çözümü aşağıdaki formülle bulunur:
İ'inci sütunun bir serbest terimler sütununa değiştirildiği ve bilinmeyenlerin katsayılarından oluşan ana belirleyici olduğu değiştirilmiş ana matrisin determinantı nerede.
Vektörler.
Vektör yönlendirilmiş bir bölümdür
Herhangi bir vektör uzunluk (modül) ve yön ile verilir.
Tanım: veya
A vektörün başlangıcı, B vektörün sonu ve vektörün uzunluğudur.
Vektör sınıflandırması
Sıfır vektör uzunluğu sıfır olan bir vektördür
Birim vektör uzunluğu bire eşit olan bir vektördür
Eşit vektörler– bunlar aynı uzunluk ve yöne sahip iki vektördür
Zıt vektörler– bunlar uzunlukları eşit ve yönleri zıt olan iki vektördür
Doğrusal vektörler– bunlar aynı doğru üzerinde veya paralel doğrular üzerinde bulunan iki vektördür
Eş yönlü vektörler aynı yöne sahip iki eşdoğrusal vektördür
Zıt yönlü vektörler zıt yönlere sahip iki eşdoğrusal vektördür
Aynı düzlemde vektörler aynı düzlemde veya paralel düzlemlerde bulunan üç vektördür
Dikdörtgen sistem Bir düzlemdeki koordinatlar, seçilen yön ve kökene sahip, yatay çizgiye apsis ekseni ve dikey çizgiye ordinat ekseni adı verilen iki karşılıklı dik çizgidir.
Dikdörtgen koordinat sistemindeki her noktaya iki sayı atarız: apsis ve ordinat
Dikdörtgen sistem Uzaydaki koordinatlar, seçilen yön ve kökene sahip, birbirine dik üç düz çizgidir; bize doğru yönlendirilen yatay düz çizgiye apsis ekseni adı verilir, sağımıza yönlendirilen yatay düz çizgiye ordinat ekseni ve dikey düz çizgi denir. yukarıya doğru yönlendirilmiş eksen uygulama ekseni olarak adlandırılır
Dikdörtgen koordinat sistemindeki her noktaya üç sayı atarız: apsis, ordinat ve uygulama
