Властивості прямої в евклідовій геометрії.
Через будь-яку точку можна провести безліч прямих.
Через будь-які дві точки, що не збігаються, можна провести єдину пряму.
Дві несхожі прямі на площині або перетинаються в єдиній точці, або є
паралельними (випливає з попереднього).
У тривимірному просторііснують три варіанти взаємного розташування двох прямих:
- прямі перетинаються;
- прямі паралельні;
- прямі схрещуються.
Пряма лінія— крива алгебри першого порядку: в декартовій системі координат пряма лінія
задається на площині рівнянням першого ступеня (лінійне рівняння).
Загальне рівняння прямої.
Визначення. Будь-яка пряма на площині може бути задана рівнянням першого порядку
Ах + Ву + С = 0,
причому постійні А, Вне дорівнюють нулю одночасно. Це рівняння першого порядку називають загальним
рівнянням прямої.Залежно від значень постійних А, Ві Зможливі такі окремі випадки:
. C = 0, А ≠0, В ≠ 0- Пряма проходить через початок координат
. А = 0, В ≠0, С ≠0 ( By + C = 0)- Пряма паралельна осі Ох
. В = 0, А ≠ 0, С ≠ 0 (Ax + C = 0)- Пряма паралельна осі Оу
. В = С = 0, А ≠0- Пряма збігається з віссю Оу
. А = С = 0, В ≠0- Пряма збігається з віссю Ох
Рівняння прямої може бути представлене в різному вигляді залежно від будь-яких заданих
початкових умов.
Рівняння прямої за точкою та вектором нормалі.
Визначення. У декартовій системі прямокутної координат вектор з компонентами (А, В)
перпендикулярний до прямої, заданої рівнянням
Ах + Ву + З = 0.
приклад. Знайти рівняння прямої, що проходить через точку А(1, 2)перпендикулярно вектору (3, -1).
Рішення. Складемо при А = 3 і В = -1 рівняння прямої: 3х - у + С = 0. Для знаходження коефіцієнта С
підставимо в отриманий вираз координати заданої точки А. Отримуємо: 3 - 2 + C = 0, отже
З = -1. Разом: шукане рівняння: 3х - у - 1 = 0.
Рівняння пряме, що проходить через дві точки.
Нехай у просторі задані дві точки M 1 (x 1 , y 1 , z 1)і M2 (x 2, y 2 , z 2),тоді рівняння прямої,
проходить через ці точки:
Якщо один із знаменників дорівнює нулю, слід прирівняти нулю відповідний чисельник. на
площині записане вище рівняння прямої спрощується:
якщо х 1 ≠ х 2і х = х 1, якщо х 1 = х 2 .
Дріб = kназивається кутовим коефіцієнтом прямий.
приклад. Знайти рівняння прямої, що проходить через точки А(1, 2) та В(3, 4).
Рішення. Застосовуючи записану вище формулу, отримуємо:
Рівняння прямої за точкою та кутовим коефіцієнтом.
Якщо загальне рівняння прямої Ах + Ву + С = 0привести до вигляду:
та позначити 
, то отримане рівняння називається
рівнянням прямої з кутовим коефіцієнтом k.
Рівняння прямої по точці та напрямному вектору.
За аналогією з пунктом, що розглядає рівняння прямої через вектор нормалі, можна ввести завдання
прямий через точку та напрямний вектор прямий.
Визначення. Кожен ненульовий вектор (α 1 , α 2), компоненти якого задовольняють умові
Аα 1 + Вα 2 = 0називається напрямний вектор прямий.
Ах + Ву + З = 0.
приклад. Знайти рівняння прямої з напрямним вектором (1, -1) і проходить через точку А(1, 2).
Рішення. Рівняння шуканої прямої шукатимемо у вигляді: Ax+By+C=0.Відповідно до визначення,
коефіцієнти повинні задовольняти умови:
1 * A + (-1) * B = 0, тобто. А = Ст.
Тоді рівняння прямої має вигляд: Ax + Ay + C = 0,або x + y + C/A = 0.
при х = 1, у = 2отримуємо С/A = -3, тобто. шукане рівняння:
х + у - 3 = 0
Рівняння прямої у відрізках.
Якщо в загальному рівнянніпрямий Ах + Ву + С = 0 С 0, то, розділивши на -С, отримаємо:
або , де
Геометричний змісткоефіцієнтів у тому, що коефіцієнт а є координатою точки перетину
прямий з віссю Ох,а b- координатою точки перетину прямої з віссю Оу.
приклад. Задано загальне рівняння прямої х – у + 1 = 0.Знайти рівняння цієї прямої у відрізках.
З = 1, а = -1, b = 1.
Нормальне рівняння прямої.
Якщо обидві частини рівняння Ах + Ву + С = 0розділити на число 
, Яке називається
нормуючим множником, то отримаємо
xcosφ + ysinφ - p = 0 -нормальне рівняння прямої.
Знак ± нормуючого множника треба вибирати так, щоб μ * С< 0.
р- Довжина перпендикуляра, опущеного з початку координат на пряму,
а φ - Кут, утворений цим перпендикуляром з позитивним напрямом осі Ох.
приклад. Дано загальне рівняння прямої 12х - 5у - 65 = 0. Потрібно написати різні типирівнянь
цієї прямої.
Рівняння цієї прямої у відрізках:
Рівняння цієї прямої з кутовим коефіцієнтом: (ділимо на 5)
Рівняння прямої:
cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p = 5.
Слід зазначити, що не кожну пряму можна уявити рівнянням у відрізках, наприклад, прямі,
паралельні осям або проходять через початок координат.
Кут між прямими на площині.
Визначення. Якщо задані дві прямі y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2, то гострий кут між цими прямими
визначатиметься як
Дві прямі паралельні, якщо k 1 = k 2. Дві прямі перпендикулярні,
якщо k 1 = -1/ k 2 .
Теорема.
Прямі Ах + Ву + С = 0і А 1 х + В 1 у + С 1 = 0паралельні, коли пропорційні коефіцієнти
А 1 = λА, 1 = λВ. Якщо ще й З 1 = λС, То прямі збігаються. Координати точки перетину двох прямих
перебувають як розв'язання системи рівнянь цих прямих.
Рівняння пряме, що проходить через дану точкуперпендикулярно даній прямій.
Визначення. Пряма, що проходить через точку М 1 (х 1, у 1)і перпендикулярна до прямої у = kx + b
є рівнянням:
Відстань від точки до прямої.
Теорема. Якщо задана точка М(х 0 у 0),та відстань до прямої Ах + Ву + С = 0визначається як:
Доказ. Нехай крапка М 1 (х 1, у 1)- основа перпендикуляра, опущеного з точки Мна задану
пряму. Тоді відстань між точками Мі М 1:
(1)
Координати x 1і у 1можуть бути знайдені як розв'язання системи рівнянь:
Друге рівняння системи - це рівняння прямої, що проходить через задану точкуМ 0 перпендикулярно
заданої прямої. Якщо перетворити перше рівняння системи на вигляд:
A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,
то, вирішуючи, отримаємо:
Підставляючи ці вирази рівняння (1), знаходимо:
Теорему доведено.
Визначення.Будь-яка пряма на площині може бути задана рівнянням першого порядку
Ах + Ву + С = 0,
причому постійні А, не рівні нулю одночасно. Це рівняння першого порядку називають загальним рівнянням прямої.Залежно від значень постійних А,Ві З можливі такі окремі випадки:
C = 0, А ≠0, В ≠ 0 – пряма проходить через початок координат
А = 0, В ≠0, С ≠0 (By + C = 0) - пряма паралельна осі Ох
В = 0, А ≠0, С ≠ 0 (Ax + C = 0) – пряма паралельна осі Оу
В = С = 0, А ≠0 – пряма збігається з віссю Оу
А = С = 0, В ≠0 – пряма збігається з віссю Ох
Рівняння прямий може бути представлено у різному вигляді залежно від якихось заданих початкових умов.
Рівняння прямої за точкою та вектором нормалі
Визначення.У декартовій прямокутній системі координат вектор з компонентами (А, В) перпендикулярний до прямої, заданої рівнянням Ах + Ву + С = 0.
приклад. Знайти рівняння прямої, що проходить через точку А(1, 2) перпендикулярно (3, -1).
Рішення. Складемо при А = 3 і В = -1 рівняння прямої: 3х - у + С = 0. Для знаходження коефіцієнта С підставимо в отриманий вираз координати заданої точки А. Отримуємо: 3 - 2 + C = 0, отже, С = -1 . Разом: шукане рівняння: 3х - у - 1 = 0.
Рівняння пряме, що проходить через дві точки
Нехай у просторі задані дві точки M 1 (x 1 , y 1 , z 1) і M 2 (x 2 , y 2 , z 2), тоді рівняння прямої, що проходить через ці точки:
Якщо якийсь із знаменників дорівнює нулю, слід прирівняти нулю відповідний чисельник.
якщо х 1 ≠ х 2 і х = х 1 якщо х 1 = х 2 .
Дроб = k називається кутовим коефіцієнтомпрямий.
приклад. Знайти рівняння прямої, що проходить через точки А(1, 2) та В(3, 4).
Рішення.Застосовуючи записану вище формулу, отримуємо:
Рівняння прямої за точкою та кутовим коефіцієнтом
Якщо загальне Ах + Ву + С = 0 привести до вигляду:
та позначити 
, то отримане рівняння називається рівнянням прямої з кутовим коефіцієнтомk.
Рівняння прямої по точці та напрямному вектору
За аналогією з пунктом, що розглядає рівняння прямої через вектор нормалі, можна ввести завдання прямої через точку і напрямний вектор прямої.
Визначення.Кожен ненульовий вектор (α 1 , α 2), компоненти якого задовольняють умові А α 1 + В α 2 = 0 називається напрямним вектором прямої
Ах + Ву + З = 0.
приклад. Знайти рівняння прямої з напрямним вектором (1, -1) і проходить через точку А(1, 2).
Рішення.Рівняння шуканої прямої будемо шукати у вигляді: Ax + By + C = 0. Відповідно до визначення, коефіцієнти повинні задовольняти умови:
1 * A + (-1) * B = 0, тобто. А = В.
Тоді рівняння прямої має вигляд: Ax + Ay + C = 0, або x + y + C / A = 0. при х = 1, у = 2 отримуємо С/A = -3, тобто. шукане рівняння:
Рівняння прямої у відрізках
Якщо в загальному рівнянні прямий Ах + Ву + С = 0 С 0, то, розділивши на -С, отримаємо: 
або
Геометричний сенс коефіцієнтів у тому, що коефіцієнт ає координатою точки перетину прямої з віссю Ох, а b- Координацією точки перетину прямої з віссю Оу.
приклад.Задано загальне рівняння прямої х – у + 1 = 0. Знайти рівняння цієї прямої у відрізках.
З = 1, а = -1, b = 1.
Нормальне рівняння прямої
Якщо обидві частини рівняння Ах + Ву + С = 0 помножити на число 
, Яке називається нормуючим множником, то отримаємо
xcosφ + ysinφ - p = 0 -
нормальне рівняння прямої. Знак ± нормуючого множника треба вибирати так, щоб μ*С< 0. р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а φ - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.
приклад. Дано загальне рівняння прямої 12х - 5у - 65 = 0. Потрібно написати різні типи рівнянь цієї прямої.
рівняння цієї прямої у відрізках: 
рівняння цієї прямої з кутовим коефіцієнтом: (ділимо на 5)
; cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p = 5.
Слід зазначити, що не кожну пряму можна уявити рівнянням у відрізках, наприклад, прямі, паралельні осям або проходять через початок координат.
приклад. Пряма відсікає на координатних осях рівні позитивні відрізки. Скласти рівняння прямої, якщо площа трикутника, утвореного цими відрізками, дорівнює 8 см 2 .
Рішення.Рівняння прямої має вигляд: , ab/2 = 8; ab=16; a = 4, a = -4. a = -4< 0 не подходит по условию задачи. Итого: или х + у – 4 = 0.
приклад. Скласти рівняння прямої, що проходить через точку А(-2, -3) та початок координат.
Рішення.
Рівняння прямої має вигляд: 
де х 1 = у 1 = 0; x 2 = -2; y 2 = -3.
Кут між прямими на площині
Визначення.Якщо задані дві прямі y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2 то гострий кут між цими прямими визначатиметься як
.
Дві прямі паралельні, якщо k1 = k2. Дві прямі перпендикулярні, якщо k1 = -1/k2.
Теорема.Прямі Ах + Ву + С = 0 і А 1 х + В 1 у + С 1 = 0 паралельні, коли пропорційні коефіцієнти А 1 = λА, 1 = λВ. Якщо ще й С1 = С, то прямі збігаються. Координати точки перетину двох прямих перебувають як розв'язання системи рівнянь цих прямих.
Рівняння прямої, що проходить через дану точку перпендикулярно даній прямій
Визначення.Пряма, що проходить через точку М 1 (х 1, у 1) і перпендикулярна до прямої у = kx + b представляється рівнянням:
Відстань від точки до прямої
Теорема.Якщо задана точка М (х 0, у 0), то відстань до прямої Ах + Ву + С = 0 визначається як
.
Доказ.Нехай точка М 1 (х 1, у 1) - основа перпендикуляра, опущеного з точки М на задану пряму. Тоді відстань між точками М та М 1:
(1)
Координати x 1 і 1 можуть бути знайдені як рішення системи рівнянь:
Друге рівняння системи – це рівняння прямої, що проходить через задану точку М0 перпендикулярно заданій прямій. Якщо перетворити перше рівняння системи на вигляд:
A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,
то, вирішуючи, отримаємо:
Підставляючи ці вирази рівняння (1), знаходимо:
Теорему доведено.
приклад. Визначити кут між прямими: y = -3 x + 7; y = 2 x +1.
k 1 = -3; k 2 = 2; tgφ = 
; φ = π /4.
приклад. Показати, що прямі 3х - 5у + 7 = 0 і 10х + 6у - 3 = 0 перпендикулярні.
Рішення. Знаходимо: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1 * k 2 = -1, отже, прямі перпендикулярні.
приклад. Дано вершини трикутника А(0; 1), B (6; 5), C (12; -1). Знайти рівняння висоти, проведеної з вершини З.
Рішення. Знаходимо рівняння сторони АВ: 
; 4 x = 6 y - 6;
2 x - 3 y + 3 = 0;
Шукане рівняння висоти має вигляд: Ax + By + C = 0 або y = kx + b. k =. Тоді y =. Т.к. висота проходить через точку С, її координати задовольняють даному рівнянню: 
звідки b = 17. Разом: . 
Відповідь: 3 x + 2 y - 34 = 0.
Канонічними рівняннями прямої в просторі називаються рівняння, що визначають пряму, що проходить через задану точку колінеарно напрямного вектору.
Нехай дана точка та напрямний вектор. Довільна точка лежить на прямій lтільки в тому випадку, якщо вектори та колінеарні, тобто для них виконується умова:
.
Наведені вище рівняння і є канонічні рівнянняпрямий.
Числа m , nі pє проекціями напрямного вектора координатні осі. Оскільки вектор ненульовий, то всі числа m , nі pне можуть одночасно дорівнювати нулю. Але один або два з них можуть виявитися рівними нулю. В аналітичній геометрії допускається, наприклад, такий запис:
,
яка означає, що векторні проекції на осі Ойі Ozрівні нулю. Тому і вектор , і пряма, задана канонічними рівняннями, перпендикулярні до осей. Ойі Oz, Т. е. площині yOz .
приклад 1.Скласти рівняння прямої у просторі, перпендикулярній площині 
і проходить через точку перетину цієї площини з віссю Oz
.
Рішення. Знайдемо точку перетину цієї площини з віссю Oz. Так як будь-яка точка, що лежить на осі Ozмає координати , то, вважаючи в заданому рівнянні площини x = y = 0 , отримаємо 4 z- 8 = 0 або z= 2. Отже, точка перетину даної площини з віссю Ozмає координати (0; 0; 2). Оскільки пряма перпендикулярна площині, вона паралельна вектору її нормалі . Тому напрямним вектором прямий може бути вектор нормалі 
заданої поверхні.
Тепер запишемо шукані рівняння прямої, що проходить через точку A= (0; 0; 2) у напрямку вектора:
Рівняння прямої, що проходить через дві дані точки
Пряма може бути задана двома точками, що на ній лежать 
і 
У цьому випадку напрямним вектором прямий може бути вектор . Тоді канонічні рівняння прямий набудуть вигляду
.
Наведені вище рівняння визначають пряму, що проходить через дві задані точки.
приклад 2.Скласти рівняння прямої у просторі, що проходить через точки і .
Рішення. Запишемо шукані рівняння прямої у вигляді, наведеному вище в теоретичній довідці:
.
Оскільки , то пряма перпендикулярна осі Ой .
Пряма як лінія перетину площин
Пряма у просторі може бути визначена як лінія перетину двох непаралельних площин і, тобто як безліч точок, що задовольняють системі двох лінійних рівнянь
Рівняння системи називаються також загальними рівняннями прямої у просторі.
приклад 3.Скласти канонічні рівняння прямої у просторі, заданій загальними рівняннями
Рішення. Щоб написати канонічні рівняння прямої або, що те саме, рівняння прямої, що проходить через дві дані точки, потрібно знайти координати будь-яких двох точок прямої. Ними можуть бути точки перетину прямої з якими-небудь двома координатними площинами, наприклад yOzі xOz .
Точка перетину пряма з площиною yOzмає абсцису x= 0. Тому, вважаючи в цій системі рівнянь x= 0 отримаємо систему з двома змінними:
Її рішення y = 2 , z= 6 разом з x= 0 визначає точку A(0; 2; 6) шуканої прямої. Вважаючи потім у заданій системі рівнянь y= 0 отримаємо систему
Її рішення x = -2 , z= 0 разом з y= 0 визначає точку B(-2; 0; 0) перетину прямої з площиною xOz .
Тепер запишемо рівняння прямої, що проходить через крапки A(0; 2; 6) та B (-2; 0; 0) :
,
або після поділу знаменників на -2:
,
Нехай пряма проходить через точки М 1 (х 1; у 1) і М 2 (х 2; у 2). Рівняння прямої, що проходить через точку М 1 має вигляд у- у 1 = k (х – х 1), (10.6)
де k - Поки невідомий коефіцієнт.
Оскільки пряма проходить через точку М 2 (х 2 у 2), то координати цієї точки повинні задовольняти рівняння (10.6): у 2 -у 1 = k (Х 2 -х 1).
Звідси знаходимо Підставляючи знайдене значення k
рівняння (10.6), отримаємо рівняння прямої, що проходить через точки М 1 і М 2: 
Передбачається, що в цьому рівнянні х 1 ≠ х 2 , у 1 ≠ у 2
Якщо х 1 = х 2 то пряма, що проходить через точки М 1 (х 1, у I) і М 2 (х 2, у 2) паралельна осі ординат. Її рівняння має вигляд х = х 1 .
Якщо у 2 = у I, то рівняння прямої може бути записано у вигляді у = у 1, пряма М 1 М 2 паралельна осі абсцис.
Рівняння прямої у відрізках
Нехай пряма перетинає вісь Ох у точці М 1 (а; 0), а вісь Оу – у точці М 2 (0; b). Рівняння набуде вигляду: 
тобто. 
. Це рівняння називається рівнянням прямої у відрізках, т.к. числа а та b вказують, які відрізки відсікає пряма на осях координат.
Рівняння прямої, що проходить через цю точку перпендикулярно даному вектору
Знайдемо рівняння прямої, яка проходить через задану точку Мо (х О; у о) перпендикулярно даному ненульовому вектору n = (А; В).
Візьмемо на прямий довільну точку М (х; у) і розглянемо вектор М 0 М (х - х 0; у - у о) (див. рис.1). Оскільки вектори n і М про М перпендикулярні, їх скалярний добуток дорівнює нулю: тобто
А (х - хо) + В (у - уо) = 0. (10.8)
Рівняння (10.8) називається рівнянням прямої, що проходить через задану точку перпендикулярно заданому вектору .
Вектор n= (А; В), перпендикулярний до прямої, називається нормальним нормальним вектором цієї прямої .
Рівняння (10.8) можна переписати як Ах + Ву + С = 0 , (10.9)
де А і координати нормального вектора, С = -Ах про - Ву про - вільний член. Рівняння (10.9) є загальне рівняння прямої(Див. рис.2).
Рис.1 Рис.2
Канонічні рівняння прямої
,
Де 
- координати точки, якою проходить пряма, а 
- Спрямовуючий вектор.
Криві другого порядку Окружність
Окружністю називається безліч всіх точок площини, рівновіддалених від цієї точки, яка називається центром.
Канонічне рівняння кола радіусу
R з центром у точці 
:
Зокрема, якщо центр колу збігається з початком координат, то рівняння матиме вигляд: 
Еліпс
Еліпсом називається безліч точок площини, сума відстаней від кожної з яких до двох заданих точок
і 
, які називаються фокусами, є постійна величина 
більша, ніж відстань між фокусами 
.
Канонічне рівняння еліпса, фокуси якого лежать на осі Ох, а початок координат посередині між фокусами має вигляд 
г 
де a довжина великої півосі; b - Довжина малої півосі (рис. 2).
Загальне рівняння прямої:
Часткові випадки загального рівняння прямої:
а) Якщо C= 0, рівняння (2) матиме вигляд
Ax + By = 0,
і пряма, яка визначається цим рівнянням, проходить через початок координат, оскільки координати початку координат x = 0, y= 0 задовольняють цього рівняння.
б) Якщо у загальному рівнянні прямий (2) B= 0, то рівняння набуде вигляду
Ax + З= 0, або .
Рівняння не містить змінної y, а пряма паралельна осі, що визначається цим рівнянням Ой.
в) Якщо у загальному рівнянні прямий (2) A= 0, то це рівняння набуде вигляду
By + З= 0, або ;
рівняння не містить змінної x, а пряма паралельна осі, що визначається їм Ox.
Слід запам'ятати: якщо пряма паралельна до будь-якої координатної осі, то в її рівнянні відсутній член, що містить координату, однойменну з цією віссю.
г) При C= 0 і A= 0 рівняння (2) набуває вигляду By= 0, або y = 0.
Це рівняння осі Ox.
д) При C= 0 і B= 0 рівняння (2) запишеться у вигляді Ax= 0 або x = 0.
Це рівняння осі Ой.
Взаємне розташуванняпрямі на площині. Кут між прямими на площині. Умови паралельності прямих. Умови перпендикулярності прямих.
l 1 l 2 l 1: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0
l 2: A 2 x + B 2 y + C 2 = 0
S 2 S 1 Вектори S 1 та S 2 називаються напрямними для своїх прямих.
Кут між прямими l 1 і l 2 визначається кутом між напрямними векторами.
Теорема 1: cos кута між l 1 і l 2 = cos(l 1 ; l 2) =
Теорема 2:Для того, щоб 2 прямі дорівнювали необхідно і достатньо:
Теорема 3:щоб 2 прямі були перпендикулярні необхідно і достатньо:
L 1 l 2 ó A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0
Загальне рівняння площини та її окремі випадки. Рівняння площини у відрізках.
Загальне рівняння площини:
Ax + By + Cz + D = 0
Приватні випадки:
1. D=0 Ax+By+Cz = 0 – площина проходить через початок координат
2. З=0 Ax+By+D = 0 – площина || OZ
3. У=0 Ax+Cz+d = 0 – площина || OY
4. A=0 By+Cz+D = 0 – площина || OX
5. A=0 та D=0 By+Cz = 0 – площина проходить через OX
6. В=0 та D=0 Ax+Cz = 0 – площина проходить через OY
7. C=0 та D=0 Ax+By = 0 – площина проходить через OZ
Взаємне розташування площин та прямих ліній у просторі:
1. Кутом між прямими в просторі називається кут між їх напрямними векторами.
Cos (l 1 ; l 2) = cos(S 1 ; S 2) = = 
2. Кутом між площинами визначається через кут між їхніми нормальними векторами.
Cos (l 1 ; l 2) = cos(N 1 ; N 2) = = 
3. Косинус кута між прямою та площиною можна знайти через sin кута між напрямним вектором прямої та нормальним вектором площини.
4. 2 Прямі || у просторі, коли їх || напрямні вектора
5. 2 поверхні || коли || нормальний вектор
6. Аналогічно вводяться поняття перпендикулярності прямих та площин.
Запитання №14
Різні видирівняння прямої лінії на площині (рівняння прямої у відрізках, з кутовим коефіцієнтом та ін.)
Рівняння прямої у відрізках:
Припустимо, що у загальному рівнянні прямий:
1. С = 0 Ах + Ву = 0 - Пряма проходить через початок координат.
2. а = 0 Ву + С = 0 у =
3. в = 0 Ах + С = 0 х =
4. в = С = 0 Ах = 0 х = 0
5. а = С = 0 Ву = 0 у = 0
Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом:
Будь-яка пряма, не рівна осі ОУ (Не =0), може бути записана в слід. вигляді:
k = tgα α – кут між прямою та позитивно спрямованою лінією ОХ
b – точка перетину прямої з віссю ОУ
Док-во:
Ах + Ву + С = 0
Ву = -Ах-С |:
Рівняння прямої за двома точками:
Запитання №16
Кінцева межа функції у точці та при x→∞
Кінцева межа в точці х 0:
Число А називається межею функції y = f(x) при x→х 0 якщо для будь-якого Е > 0 існує б > 0 таке, що при х ≠x 0 , що задовольняє нерівності | х - х 0 |< б, выполняется условие |f(x) - A| < Е
Межа позначається: = A
Кінцева межа в точці +∞:
Число А називається межею функції y = f(x) при x → + ∞ , якщо будь-якого Е > 0 існує З > 0, таке що з x > C виконується нерівність |f(x) - A|< Е
Межа позначається: = A
Кінцева межа в точці -∞:
Число А називається межею функції y = f(x) при x→-∞,якщо для будь-якого Е< 0 существует С < 0 такое, что при х < -С выполняется неравенство |f(x) - A| < Е
