Лекції з алгебри та геометрії. Семестр 1

Лекція 15. Еліпс.

Розділ 15. Еліпс.

п.1. Основні визначення.

Визначення. Еліпсом називається ГМТ площини сума відстаней яких до двох фіксованих точок площини, званих фокусами, є постійна величина.

Визначення. Відстань від довільної точки М площині до фокусу еліпса називається фокальним радіусом точки М.

Позначення:
- фокуси еліпса,
- Фокальні радіуси точки М.

за визначення еліпса, точка М є точкою еліпса тоді і лише тоді, коли
- Постійна величина. Цю постійну прийнято означати 2а:

. (1)

Зауважимо, що
.

За визначенням еліпса, його фокуси є фіксовані точки, тому відстань між ними є також постійна величина для даного еліпса.

Визначення. Відстань між фокусами еліпса називається фокусною відстанню.

Позначення:
.

З трикутника
випливає, що
, тобто.

.

Позначимо через bчисло рівне
, тобто.

. (2)

Визначення. Ставлення

(3)

називається ексцентриситетом еліпса.

Введемо на цій площині систему координат, яку ми називатимемо канонічною для еліпса.

Визначення. Вісь, на якій лежать фокуси еліпса, називається фокальною віссю.

Побудуємо канонічну для еліпса ПДСК, див. рис.2.

Як осі абсцис вибираємо фокальну вісь, а вісь ординат проводимо через середину відрізка
перпендикулярно фокальній осі.

Тоді фокуси мають координати
,
.

п.2. Канонічне рівняння еліпса.

Теорема. У канонічній для еліпса системі координат рівняння еліпса має вигляд:

. (4)

Доведення. Доказ проведемо у два етапи. На першому етапі ми доведемо, що координати будь-якої точки, що лежить на еліпсі, задовольняють рівняння (4). На другому етапі ми доведемо, що будь-яке рішення рівняння (4) дає координати точки, що лежить на еліпсі. Звідси випливатиме, що рівнянню (4) задовольняють ті й ті точки координатної площини, які лежать на еліпсі. Звідси і визначення рівняння кривої слідувати, що рівняння (4) є рівнянням еліпса.

1) Нехай точка М(х, у) є точкою еліпса, тобто. сума її фокальних радіусів дорівнює 2а:

.

Скористаємося формулою відстані між двома точками на координатній площині та знайдемо за цією формулою фокальні радіуси даної точки М:

,
, звідки отримуємо:

Перенесемо один корінь у праву частину рівності і зведемо у квадрат:

Скорочуючи, отримуємо:

Наводимо подібні, скорочуємо на 4 і усамітнюємо радикал:

.

Зводимо у квадрат

Розкриваємо дужки та скорочуємо на
:

звідки отримуємо:

Використовуючи рівність (2), отримуємо:

.

Розділивши останню рівність на
, Отримуємо рівність (4), ч.т.д.

2) Нехай тепер пара чисел (х, у) задовольняє рівняння (4) і нехай М(х, у) – відповідна точка на координатній площині Оху.

Тоді з (4) випливає:

.

Підставляємо цю рівність для фокальних радіусів точки М:

.

Тут ми скористалися рівністю (2) та (3).

Таким чином,
. Аналогічно,
.

Тепер зауважимо, що з рівності (4) випливає, що

або
і т.к.
, то звідси випливає нерівність:

.

Звідси, у свою чергу, випливає, що

або
і

,
. (5)

З рівностей (5) випливає, що
, тобто. точка М(х, у) є точкою еліпса, т.д.

Теорему доведено.

Визначення. Рівняння (4) називається канонічним рівнянням еліпса.

Визначення. Канонічні для еліпса осі координат називають головними осями еліпса.

Визначення. Початок канонічної для еліпса системи координат називається центром еліпса.

п.3. Властивості еліпса.

Теорема. (Властивості еліпса.)

1. У канонічній для еліпса системі координат, все

точки еліпса знаходяться у прямокутнику

,
.

2. Крапки лежать на

3. Еліпс є кривою, симетричною щодо

своїх головних осей

4. Центр еліпса є його центром симетрії.

Доведення. 1, 2) Відразу ж випливає з канонічного рівняння еліпса.

3, 4) Нехай М (х, у) - довільна точка еліпса. Тоді її координати задовольняють рівняння (4). Але тоді координати точок також задовольняють рівняння (4), і, отже, є точками еліпса, звідки і випливають затвердження теореми.

Теорему доведено.

Визначення. Величина 2а називається великою віссю еліпса, величина називається великою піввіссю еліпса.

Визначення. Величина 2bназивається малою віссю еліпса, величинаbназивається малою піввіссю еліпса.

Визначення. Крапки перетину еліпса з його головними осями називаються вершинами еліпса.

Зауваження. Еліпс можна побудувати в такий спосіб. На площині у фокуси "забиваємо по цвяху" і закріплюємо на них нитку завдовжки
. Потім беремо олівець і за його допомогою натягуємо нитку. Потім пересуваємо олівцевий грифель по площині, стежачи за тим, щоб нитка була натягнутою.

З визначення ексцентриситету випливає, що

Зафіксуємо число а і спрямуємо число з нуля. Тоді при
,
і
. У межі ми отримуємо

або
- Рівняння кола.

Спрямуємо тепер
. Тоді
,
і ми бачимо, що в межі еліпс вироджується у відрізок прямої
у позначеннях малюнка 3.

п.4. Параметричні рівняння еліпса.

Теорема. Нехай
- Довільні дійсні числа. Тоді система рівняння

,
(6)

є параметричними рівняннями еліпса канонічних для еліпса системі координат.

Доведення. Досить довести, що система рівнянь (6) є рівносильною рівнянню (4), тобто. вони мають те саме безліч рішень.

1) Нехай (х, у) – довільне рішення системи (6). Розділимо перше рівняння на а, друге – на b, зводимо обидва рівняння квадрат і складаємо:

.

Тобто. будь-яке рішення (х, у) системи (6) задовольняє рівняння (4).

2) Назад, нехай пара (х, у) є рішенням рівняння (4), тобто.

.

З цієї рівності випливає, що точка з координатами
лежить на колі одиничного радіусу із центром на початку координат, тобто. є точкою тригонометричного кола, якому відповідає деякий кут
:

З визначення синуса та косинуса відразу ж випливає, що

,
, де
, звідки слід, що пара (х, у) є рішенням системи (6), ч.т.д.

Теорему доведено.

Зауваження. Еліпс можна отримати в результаті рівномірного "стиснення" кола радіуса а до осі абсцис.

Нехай
- Рівняння кола з центром на початку координат. "Стиск" кола до осі абсцис є ні що інше, як перетворення координатної площини, що здійснюється за наступним правилом. Кожній точці М(х, у) поставимо у відповідність точку цієї ж площини
, де
,
- Коефіцієнт "стиснення".

При цьому перетворенні кожна точка кола "переходить" в іншу точку площини, що має ту саму абсцису, але меншу ординату. Виразимо стару ординату точки через нову:

і підставимо в рівняння кола:

.

Звідси отримуємо:

. (7)

Звідси випливає, що й до перетворення " стискування " точка М(х, у) лежала на колі, тобто. її координати задовольняли рівнянню кола, то після перетворення "стиснення" ця точка "перейшла" в точку
координати якої задовольняють рівняння еліпса (7). Якщо ми хочемо отримати рівняння еліпса з малою піввіссю, то потрібно взяти коефіцієнт стиснення

.

п.5. Щодо еліпса.

Теорема. Нехай
- Довільна точка еліпса

.

Тоді рівняння щодо цього еліпсу в точці
має вигляд:

. (8)

Доведення. Достатньо розглянути випадок, коли точка торкання лежить у першій чи другій чверті координатної площини:
. Рівняння еліпса у верхній напівплощині має вигляд:

. (9)

Скористаємося рівнянням щодо графіку функції
у точці
:

де
– значення похідної цієї функції у точці
. Еліпс у першій чверті можна як графік функції (8). Знайдемо її похідну та її значення у точці дотику:

,

. Тут ми скористалися тим, що точка торкання
є точкою еліпса і її координати задовольняють рівнянню еліпса (9), тобто.

.

Підставляємо знайдене значення похідної рівняння дотичної (10):

,

звідки отримуємо:

Звідси випливає:

Розділимо цю рівність на
:

.

Залишилось зауважити, що
, т.к. крапка
належить еліпсу та її координати задовольняють його рівнянню.

Аналогічно доводиться рівняння дотичної (8) у точці дотику, що лежить у третій або четвертій чверті координатної площини.

І, нарешті, легко переконуємося, що рівняння (8) дає рівняння дотичної в точках
,
:

або
, і
або
.

Теорему доведено.

п.6. Дзеркальна властивість еліпса.

Теорема. Дотична до еліпса має рівні кути з фокальними радіусами точки торкання.

Нехай
- точка торкання,
,
- Фокальні радіуси точки дотику, Р і Q-проекції фокусів на дотичну, проведену до еліпсу в точці
.

Теорема стверджує, що

. (11)

Цю рівність можна інтерпретувати як рівність кутів падіння та відображення променя світла від еліпса, випущеного з його фокусу. Ця властивість отримала назву дзеркальної властивості еліпса:

Промінь світла, випущений із фокусу еліпса, після відбиття від дзеркала еліпса проходить через інший фокус еліпса.

Доказ теореми. Для доказу рівності кутів (11) ми доведемо подібність трикутників
і
, в яких сторони
і
будуть подібними. Оскільки трикутники прямокутні, достатньо довести рівність

Визначення. Еліпсом називається геометричне місце точок площини, сума відстаней кожної з яких від двох даних точок цієї площини, званих фокусами, є постійна величина (за умови, що ця величина більша за відстань між фокусами).

Позначимо фокуси через відстань між ними - через , а постійну величину, рівну сумівідстаней від кожної точки еліпса до фокусів, через (за умовою).

Побудуємо декартову систему координат те щоб фокуси опинилися на осі абсцис, а початок координат збіглося з серединою відрізка (рис. 44). Тоді фокуси матимуть наступні координати: лівий фокус та правий фокус . Виведемо рівняння еліпса у вибраній системі координат. З цією метою розглянемо довільну точку еліпса. За визначенням еліпса сума відстаней від цієї точки до фокусів дорівнює:

Користуючись формулою для відстані між двома точками, отримаємо таким чином,

Для спрощення цього рівняння запишемо його у формі

Звівши потім обидві частини рівняння квадрат, отримаємо

або, після очевидних спрощень:

Тепер знову зводимо обидві частини рівняння у квадрат, після чого матимемо:

або, після тотожних перетворень:

Оскільки відповідно до умови визначення еліпса , то - число позитивне. Введемо позначення

Тоді рівняння набуде наступного вигляду:

За визначенням еліпса координати будь-якої точки задовольняють рівнянню (26). Але рівняння (29) є наслідком рівняння (26). Отже, йому задовольняють координати будь-якої точки еліпса.

Можна показати, що координати точок, що не лежать на еліпсі, рівняння (29) не задовольняють. Отже, рівняння (29) є рівняння еліпса. Воно називається канонічним рівнянням еліпса.

Встановимо форму еліпса, користуючись його канонічним рівнянням.

Насамперед звернемо увагу на те, що це рівняння містить лише парні ступеніх та у. Це означає, що якщо якась точка належить еліпсу, то йому належать також точка , симетрична з точкою щодо осі абсцис, і симетрична з точкою щодо осі ординат. Таким чином, еліпс має дві взаємно перпендикулярні осі симетрії, які у вибраній системі координат збігаються з координатними осями. Осі симетрії еліпса ми надалі називатимемо осями еліпса, а точку їх перетину - центром еліпса. Та вісь, на якій розташовані фокуси еліпса (у даному випадкувісь абсцис), називається фокальною віссю.

Визначимо форму еліпса спочатку у I чверті. Для цього дозволимо рівняння (28) щодо:

Очевидно, що тут , так як у приймає уявні значення. При зростанні від 0 до а у зменшується від b до 0. Частиною еліпса, що лежить в I чверті, буде дуга, обмежена точками (0; b) і лежачими на осях координат (рис. 45). Скориставшись тепер симетрією еліпса, дійшли висновку, що еліпс має форму, зображену на рис. 45.

Крапки перетину еліпса з осями називаються вершинами еліпса. З симетрії еліпса випливає, що, крім вершин, еліпс має ще дві вершини (див. рис. 45).

Відрізки та з'єднуючі протилежні вершини еліпса, а також їх довжини називаються відповідно великою і малою осями еліпса. Числа а і b називаються відповідно великою та малою півосями еліпса.

Відношення половини відстані між фокусами до великої півосі еліпса називається ексцентриситетом еліпса і зазвичай позначається буквою :

Так як ексцентриситет еліпса менше одиниці: Ексцентриситет характеризує форму еліпса. Дійсно, з формули (28) слід, Звідси видно, що чим менший ексцентриситет еліпса, тим менше його мала піввісь b відрізняється від великої півосі а, тобто тим менше витягнуть еліпс (вздовж фокальної осі).

У граничному випадку при вийде коло радіусу а: , або . При цьому і фокуси еліпса зливаються в одній точці - центрі кола. Ексцентриситет кола дорівнює нулю:

Зв'язок між еліпсом та колом може бути встановлений і з іншого погляду. Покажемо, що еліпс з півосями а та b можна розглядати як проекцію кола радіуса а.

Розглянемо дві площини Р і Q, що утворюють між собою такий кут а, для якого (рис. 46). Побудуємо в площині Р систему координат , а в площині Q - систему Оху із загальним початком координат і загальною віссю абсцис, що збігається з лінією перетину площин. Розглянемо в площині Р коло

з центром на початку координат та радіусом рівним а. Нехай-довільно обрана точка кола, - її проекція на площину Q і - проекція точки М на вісь Ох. Покажемо, що точка лежить на еліпсі з півосями а та b.

Лінії другого порядку.
Еліпс та його канонічне рівняння. Окружність

Після ґрунтовного опрацювання прямих на площиніпродовжуємо вивчати геометрію двовимірного світу. Ставки подвоюються, і я запрошую вас відвідати мальовничу галерею еліпсів, гіпербол, парабол, які є типовими представниками ліній другого порядку. Екскурсія вже розпочалася, і спочатку коротка інформаціяпро всю експозицію на різних поверхах музею:

Поняття алгебраїчної лінії та її порядку

Лінію на площині називають алгебраїчної, якщо в афінної системи координатїї рівняння має вигляд , де – многочлен, що складається з доданків виду ( – дійсне число, – цілі неотрицательные числа).

Як бачите, рівняння лінії алгебри не містить синусів, косінусів, логарифмів та іншого функціонального бомонду. Тільки «ікси» та «ігреки» в цілих невід'ємнихступенях.

Порядок лініїдорівнює максимальному значенню складових, що входять до нього.

За відповідною теоремою, поняття алгебраїчної лінії, а також її порядок не залежать від вибору афінної системи координат, тому для легкості буття вважаємо, що всі наступні викладки мають місце в декартових координатах.

Загальне рівняннялінії другого порядку має вигляд , де – довільні дійсні числа (прийнято записувати з множником-«двійкою»), причому коефіцієнти не дорівнюють одночасно нулю.

Якщо , то рівняння спрощується до , і якщо коефіцієнти одночасно не дорівнюють нулю, то це точно загальне рівняння «плоської» прямої, яка є лінію першого порядку.

Багато хто зрозумів сенс нових термінів, але, проте, з метою 100%-го засвоєння матеріалу сунемо пальці в розетку. Щоб визначити порядок лінії, потрібно перебрати всі доданкиїї рівняння та у кожного з них знайти суму ступеніввхідних змінних.

Наприклад:

доданок містить «ікс» в 1-му ступені;
доданок містить «ігрок» в 1-му ступені;
у складі змінні відсутні, тому сума їх ступенів дорівнює нулю.

Тепер розберемося, чому рівняння задає лінію другогопорядку:

доданок містить «ікс» у 2-му ступені;
у доданку сума ступенів змінних: 1 + 1 = 2;
доданок містить «гравець» у 2-му ступені;
решта доданків – меншоюступеня.

Максимальне значення: 2

Якщо до нашого рівняння додатково приплюсувати, скажімо, то воно вже буде визначати лінію третього порядку. Очевидно, що загальний вигляд рівняння лінії 3-го порядку містить «повний комплект» доданків, сума ступенів змінних у яких дорівнює трьом:
, Де коефіцієнти не рівні одночасно нулю.

У тому випадку, якщо додати одне або кілька відповідних доданків, які містять , то мова вже зайде про лінії 4-го порядку, і т.д.

З лініями алгебри 3-го, 4-го і більш високих порядків нам доведеться зіткнутися ще не раз, зокрема, при знайомстві з полярною системою координат.

Однак повернемося до загального рівняння та згадаємо його найпростіші шкільні варіації. Як приклади напрошується парабола, рівняння якої легко призвести до загального вигляду, та гіпербола з еквівалентним рівнянням . Однак не все так гладко.

Істотний недолік загального рівняння у тому, майже завжди незрозуміло, яку лінію воно ставить. Навіть у найпростішому випадку не відразу зрозумієш, що це гіпербола. Такі розклади хороші лише на маскараді, тому в курсі аналітичної геометрії розглядається типове завдання приведення рівняння лінії 2-го порядку до канонічного вигляду.

Що таке канонічний вид рівняння?

Це загальноприйнятий стандартний виглядрівняння, як у лічені секунди стає ясно, який геометричний об'єкт воно визначає. Крім того, канонічний вигляд дуже зручний для вирішення багатьох практичних завдань. Так, наприклад, за канонічним рівнянням «плоский» прямий, по-перше, відразу зрозуміло, що це пряма, а по-друге – елементарно проглядається точка, що належить їй, і напрямний вектор .

Очевидно, що будь-яка лінія 1-го порядкує прямою. На другому поверсі нас чекає вже не вахтер, а набагато різноманітніша компанія з дев'яти статуй:

Класифікація ліній другого порядку

За допомогою спеціального комплексудій будь-яке рівняння лінії другого порядку наводиться до одного з таких видів:

(і – позитивні дійсні числа)

1) - канонічне рівняння еліпса;

2) - канонічне рівняння гіперболи;

3) - канонічне рівняння параболи;

4) – уявнийеліпс;

5) - пара прямих, що перетинаються;

6) – пара уявнихпрямих, що перетинаються (з єдиною дійсною точкою перетину на початку координат);

7) – пара паралельних прямих;

8) – пара уявнихпаралельних прямих;

9) - пара прямих, що збіглися.

У ряду читачів може скластися враження неповноти списку. Наприклад, у пункті № 7 рівняння задає пару прямих, паралельних осі , і виникає питання: а де ж рівняння , що визначає прямі , паралельні осі ординат? Відповідь: воно не вважається канонічним. Прямі являють собою той самий стандартний випадок, повернутий на 90 градусів, і додатковий запис у класифікації надмірна, оскільки не несе нічого принципово нового.

Таким чином, існує дев'ять і лише дев'ять різних видівліній 2-го порядку, але на практиці найчастіше зустрічаються еліпс, гіпербола та парабола.

Спочатку розглянемо еліпс. Як завжди, я акцентую увагу на тих моментах, які мають велике значеннядля вирішення завдань, і якщо вам необхідний докладний висновок формул, докази теорем, будь ласка, зверніться, наприклад, до підручника Базилєва/Атанасяна чи Александрова.

Еліпс та його канонічне рівняння

Правопис… будь ласка, не повторюйте помилок деяких користувачів Яндекса, яких цікавить «як побудувати елібз», «відмінність еліпса від овалу» та «ексцентриситет елебсу».

Канонічне рівняння еліпса має вигляд , де - Позитивні дійсні числа, причому . Саме визначення еліпса я сформулюю пізніше, а поки саме час відпочити від говорілки і вирішити поширене завдання:

Як побудувати еліпс?

Так, ось взяти його і просто накреслити. Завдання зустрічається часто, і значна частина студентів не зовсім добре справляються з кресленням:

Приклад 1

Побудувати еліпс, заданий рівнянням

Рішення: спочатку наведемо рівняння до канонічного вигляду:

Навіщо наводити? Одна з переваг канонічного рівняння полягає в тому, що воно дозволяє миттєво визначити вершини еліпса, що у точках . Легко помітити, що координати кожної з цих точок задовольняють рівняння .

В даному випадку :


Відрізокназивають великою віссюеліпса;
відрізок – малою віссю;
число називають великою піввіссюеліпса;
число – малою піввіссю.
у прикладі: .

Щоб швидко уявити, як виглядає той чи інший еліпс, достатньо подивитися на значення «а» і «бе» його канонічного рівняння.

Все добре, складно та красиво, але є один нюанс: я виконав креслення за допомогою програми . І ви можете виконати креслення за допомогою будь-якої програми. Однак у суворої дійсностіна столі лежить картатий аркуш паперу, і на наших руках водять хороводи миші. Люди з художнім талантом, звичайно, можуть посперечатися, але миші є і у вас теж (щоправда, менше). Такі недаремно людство винайшло лінійку, циркуль, транспортир та інші нехитрі пристрої для креслення.

Тому нам навряд чи вдасться акуратно накреслити еліпс, знаючи одні вершини. Ще куди не йшло, якщо еліпс невеликий, наприклад, з півосями. Як варіант, можна зменшити масштаб і, відповідно, розміри креслення. Але в загальному випадкудуже бажано знайти додаткові точки.

Існує два підходи до побудови еліпса – геометричний та алгебраїчний. Побудова за допомогою циркуля і лінійки мені не подобається через не короткий алгоритм і суттєву захаращеність креслення. У разі крайньої необхідності, будь ласка, зверніться до підручника, а насправді ж набагато раціональніше скористатися засобами алгебри. З рівняння еліпса на чернетці швиденько висловлюємо:

Далі рівняння розпадається на дві функції:
- Визначає верхню дугу еліпса;
- Визначає нижню дугу еліпса.

Заданий канонічним рівнянням еліпс симетричний щодо координатних осей, і навіть щодо початку координат . І це добре - симетрія в більшості випадків провісник халяви. Очевидно, що достатньо розібратися з 1-ою координатною чвертю, тому нам потрібна функція . Напрошується знаходження додаткових крапок з абсцисами . Настукаємо три смс-ки на калькуляторі:

Безумовно, приємно і те, що якщо допущена серйозна помилка у обчисленнях, то це відразу з'ясується в ході побудови.

Зазначимо на кресленні крапки (червоний колір), симетричні точкина інших дугах ( синій колір) і акуратно з'єднаємо лінією всю компанію:


Початковий малюнок краще прокреслити тонко-тонко, і лише потім надати натиск олівця. В результаті має вийти цілком гідний еліпс. До речі, чи не хочете дізнатися, що це за крива?

Визначення еліпса. Фокуси еліпса та ексцентриситет еліпса

Еліпс – це окремий випадоковалу. Слово «овал» не слід розуміти в обивательському сенсі («дитина намалювала овал» і т.п.). Це математичний термін, що має розгорнуте формулювання. Метою даного уроку не є розгляд теорії овалів та різних їх видів, яким практично не приділяється уваги стандартному курсіаналітичної геометрії І, відповідно до більш актуальними потребами, ми відразу переходимо до суворого визначення еліпса:

Еліпс– це безліч усіх точок площини, сума відстаней до кожної з яких від двох даних точок, званих фокусамиеліпса, - є величина постійна, чисельно рівна довжині великої осі цього еліпса: .
У цьому відстані між фокусами менше значення: .

Тепер стане все зрозуміліше:

Уявіть, що синя точка «їздить» еліпсом. Так от, яку б точку еліпса ми не взяли, сума довжин відрізків завжди буде однією і тією самою:

Переконаємося, що у нашому прикладі значення суми справді дорівнює восьми. Подумки помістіть точку «ем» у праву вершину еліпса, тоді: , що потрібно перевірити.

На визначенні еліпса заснований ще один спосіб його креслення. Вища математика часом причина напруги і стресу, тому саме час провести черговий сеанс розвантаження. Будь ласка, візьміть ватман або великий лист картону і приколоти його до столу двома гвоздиками. Це будуть фокуси. До капелюшків цвяхів, що стирчать, прив'яжіть зелену нитку і до упору відтягніть її олівцем. Гриф олівця опиниться в деякій точці, яка належить еліпсу. Тепер починайте олівець по аркушу паперу, зберігаючи зелену нитку сильно натягнутою. Продовжуйте процес доти, доки не повернетеся в вихідну точку… відмінно… креслення можна здати на перевірку лікареві викладачеві =)

Як знайти фокуси еліпса?

У наведеному прикладі я зобразив «готові» точки фокусу, і зараз ми навчимося видобувати їх із надр геометрії.

Якщо еліпс заданий канонічним рівнянням, його фокуси мають координати , де це відстань від кожного з фокусів до центру симетрії еліпса.

Обчислення простіше пареної ріпи:

! Зі значенням «це» не можна ототожнювати конкретні координати фокусів!Повторюся, що це ВІДСТАНЬ від кожного з фокусів до центру(який у випадку ні розташовуватися саме на початку координат).
І, отже, відстань між фокусами теж не можна прив'язувати до канонічного становища еліпса. Іншими словами, еліпс можна перенести в інше місце і значення залишиться постійним, тоді як фокуси, звичайно, змінять свої координати. Будь ласка, враховуйте Наразіпід час подальшого вивчення теми.

Ексцентриситет еліпса та його геометричний зміст

Ексцентриситетом еліпса називають відношення, яке може набувати значень у межах.

У нашому випадку:

З'ясуймо, як форма еліпса залежить від його ексцентриситету. Для цього зафіксуємо ліву та праву вершинирозглянутого еліпса, тобто значення великої півосі залишатиметься постійним. Тоді формула ексцентриситету набуде вигляду: .

Почнемо наближати значення ексцентриситету до одиниці. Це можливо лише в тому випадку, якщо . Що це означає? …згадуємо про фокуси . Це означає, що фокуси еліпса «роз'їжджатимуться» по осі абсцис до бічних вершин. І, оскільки «зелені відрізки не гумові», то еліпс неминуче почне сплющуватися, перетворюючись на все більш тонку сосиску, нанизану на вісь.

Таким чином, чим ближче значенняексцентриситету еліпса до одиниці, тим еліпс більш довгастий.

Тепер змоделюємо протилежний процес: фокуси еліпса пішли назустріч один одному, наближаючись до центру. Це означає, що значення «це» стає дедалі менше і, відповідно, ексцентриситет прагне нулю: .
При цьому "зеленим відрізкам" буде, навпаки - "ставати тісно" і вони почнуть "виштовхувати" лінію еліпса вгору і вниз.

Таким чином, чим ближче значення ексцентриситету до нуля, тим еліпс більше схожий… дивимося граничний випадок, коли фокуси успішно возз'єдналися на початку координат:

Окружність – це окремий випадок еліпса

Справді, у разі рівності півосей канонічне рівняння еліпса набуває вигляду , який рефлекторно перетворюється на – добре відомого зі школи рівняння кола з центром на початку координат радіусу «а».

Насправді частіше використовують запис із «говорящей» буквою «ер»: . Радіусом називають довжину відрізка, при цьому кожна точка кола віддалена від центру на відстань радіуса.

Зауважте, що визначення еліпса залишається повністю коректним: фокуси збіглися, і сума довжин відрізків, що збіглися, для кожної точки кола – є величина постійна. Оскільки відстань між фокусами, то ексцентриситет будь-якого кола дорівнює нулю.

Будується коло легко і швидко, достатньо озброїтися циркулем. Тим не менш, іноді буває потрібно з'ясувати координати деяких її точок, у цьому випадку йдемо знайомим шляхом – наводимо рівняння до бадьорого матанівського вигляду:

– функція верхнього півкола;
– функція нижнього півкола.

Після чого знаходимо потрібні значення, диференціюємо, інтегруємоі робимо інші добрі речі.

Стаття, звичайно, має довідковий характер, але як на світі без кохання прожити? Творче завдання для самостійного рішення

Приклад 2

Скласти канонічне рівняння еліпса, якщо відомий один із його фокусів і мала піввісь (центр знаходиться на початку координат). Знайти вершини, додаткові точки та зобразити лінію на кресленні. Обчислити ексцентриситет.

Рішення та креслення наприкінці уроку

Додамо екшену:

Поворот та паралельне перенесення еліпса

Повернемося до канонічного рівняння еліпса , зокрема, до умови , загадка якого мучить допитливі уми ще з часів першої згадки про цю криву. Ось ми розглянули еліпс але хіба на практиці не може зустрітися рівняння ? Адже тут, проте, це начебто як і еліпс!

Подібне рівняння нечасте, але справді трапляється. І воно справді визначає еліпс. Розвіємо містику:

Внаслідок побудови отримано наш рідний еліпс, повернутий на 90 градусів. Тобто, – це неканонічний записеліпса . Запис!- Рівняння не ставить якийсь інший еліпс, оскільки на осі немає точок (фокусів), які б задовольняли визначенню еліпса.

11.1. Основні поняття

Розглянемо лінії, що визначаються рівняннями другого ступеня щодо поточних координат

Коефіцієнти рівняння - дійсні числа, але принаймні один із чисел А, В або С відмінно від нуля. Такі лінії називаються лініями (кривими) другого порядку. Нижче буде встановлено, що рівняння (11.1) визначає на площині коло, еліпс, гіперболу чи параболу. Перш ніж переходити до цього твердження, вивчимо властивості перерахованих кривих.

11.2. Окружність

Найпростішою кривою другого порядку є коло. Нагадаємо, що колом радіуса R з центром у точці називається безліч усіх точок площини, що задовольняють умові . Нехай точка прямокутної системі координат має координати x 0 , y 0 а - довільна точка кола (див. рис. 48).

Тоді з умови отримуємо рівняння

(11.2)

Рівнянню (11.2) задовольняють координати будь-якої точки даного кола і не задовольняють координати жодної точки, що не лежить на колі.

Рівняння (11.2) називається канонічним рівнянням кола

Зокрема, вважаючи і , отримаємо рівняння кола з центром на початку координат .

Рівняння кола (11.2) після нескладних перетворень набуде вигляду. При порівнянні цього рівняння із загальним рівнянням (11.1) кривою другого порядку легко помітити, що для рівняння кола виконані дві умови:

1) коефіцієнти при x 2 і 2 рівні між собою;

2) відсутній член, що містить добуток xу поточних координат.

Розглянемо обернену задачу. Поклавши в рівнянні (11.1) значення і отримаємо

Перетворимо це рівняння:

(11.4)

Звідси випливає, що рівняння (11.3) визначає коло за умови . Її центр знаходиться у точці

.

, а радіус Якщо ж

.

, то рівняння (11.3) має вигляд Йому задовольняють координати єдиної точки

. У цьому випадку кажуть: "коло виродилася в крапку" (має нульовий радіус). Якщо, то рівняння (11.4), а отже, і рівносильне рівняння(11.3), не визначать жодної лінії, оскільки

права частина

рівняння (11.4) негативна, а ліва – не негативна (говорити: “коло уявна”).

11.3. Еліпс Канонічне рівняння еліпса фокусами Еліпсом

називається безліч всіх точок площини, сума відстаней від кожної з яких до двох даних точок цієї площини, званих є величина постійна, більша, ніж відстань між фокусами.Позначимо фокуси через F 1, відстань між ними через 2 c, а суму відстаней від довільної точки еліпса до фокусів - через 2 a(Див. рис. 49). За визначенням 2 a > 2c, тобто. a > c.

Для виведення рівняння еліпса виберемо систему координат так, щоб фокуси є величина постійна, більша, ніж відстань між фокусами.Позначимо фокуси через F 1лежали на осі, а початок координат збігалося з серединою відрізка F 1 F 2.

Тоді фокуси матимуть такі координати: і .

Нехай – довільна точка еліпса. Тоді, за визначенням еліпса, , тобто.

Це, власне, і є рівняння еліпса. Перетворимо рівняння (11.5) до більшпростому вигляду

наступним чином: a>Так якз

(11.6)

, то. Покладемо

(11.7)

Тоді останнє рівняння набуде вигляду або Можна довести, що рівняння (11.7) дорівнює вихідному рівнянню. Воно називається .

канонічним рівнянням еліпса

Еліпс – крива другого порядку.

Встановимо форму еліпса, користуючись його канонічним рівнянням.

Дослідження форми еліпса за його рівнянням

1. Рівняння (11.7) містить х і у тільки парних ступенях, тому якщо точка належить еліпсу, то йому також належать точки ,,. Звідси випливає, що еліпс симетричний щодо осей і , і навіть щодо точки , яку називають центром еліпса. 1 , 2. Знайдемо точки перетину еліпса з осями координат. Поклавши , знаходимо дві точки і , у яких вісь перетинає еліпс (див. рис. 50). Поклавши в рівнянні (11.7), знаходимо точки перетину еліпса з віссю: і. Крапки , A, A 2 B 1 B 2називаються Звідси випливає, що еліпс симетричний щодо осей і , і навіть щодо точки , яку називають центром еліпса. 1 2. Знайдемо точки перетину еліпса з осями координат. Поклавши , знаходимо дві точки і , у яких вісь перетинає еліпс (див. рис. 50). Поклавши в рівнянні (11.7), знаходимо точки перетину еліпса з віссю: і. КрапкиПозначимо фокуси через вершинами еліпса. Відрізки a B 1 B 2 , а також їх довжини 2і 2 bназиваються відповідно aПозначимо фокуси через , а також їх довжини 2великою та малою осями еліпса. Числаназиваються відповідно великою і малою

півосями

еліпса.

3. З рівняння (11.7) випливає, що кожен доданок у лівій частині вбирається у одиниці, тобто. мають місце нерівності та або і . Отже, всі точки еліпса.лежать усередині прямокутника, утвореного прямими .

4. У рівнянні (11.7) сума невід'ємних доданків і дорівнює одиниці. Отже, при зростанні одного доданку інше зменшуватиметься, тобто якщо зростає, то зменшується і навпаки.

Зі сказаного випливає, що еліпс має форму, зображену на рис. 50 (овальна замкнута крива).

Додаткові відомості про еліпс<ε< 1, так как 0<с<а. С учетом равенства (11.6) формулу (11.8) можно переписать в виде

Звідси видно, що менше ексцентриситет еліпса, тим еліпс буде менш сплющеним; якщо покласти ε = 0, то еліпс перетворюється на коло.

Нехай М(х;у) - довільна точка еліпса з фокусами F1 і F2 (див. рис. 51). Довжини відрізків F 1 M=r 1 і F 2 M = r 2 називаються фокальними радіусами точки Μ. Очевидно,

Мають місце формули

Прямі називаються

Теорема 11.1.Якщо - відстань від довільної точки еліпса до якого-небудь фокусу, d - відстань від цієї точки до відповідної цьому фокусу директриси, то відношення є постійна величина, що дорівнює ексцентриситету еліпса:

З рівності (11.6) випливає, що . Якщо ж то рівняння (11.7) визначає еліпс, велика вісь якого лежить на осі Оу, а мала вісь - на осі Ох (див. рис. 52). Фокуси такого еліпса знаходяться в точках і , де .

11.4. Гіперболу

Канонічне рівняння гіперболи

Гіперболою називається безліч всіх точок площини, модуль різниці відстаней від кожної з яких до двох даних точок цієї площини, званих фокусами , є постійна величина, менша, ніж відстань між фокусами.

називається безліч всіх точок площини, сума відстаней від кожної з яких до двох даних точок цієї площини, званих є величина постійна, більша, ніж відстань між фокусами.Позначимо фокуси через F 1відстань між ними через 2с, а модуль різниці відстаней від кожної точки гіперболи до фокусів через 2a. За визначенням 2a < 2с, тобто. a < c.

Для виведення рівняння гіперболи виберемо систему координат так, щоб фокуси є величина постійна, більша, ніж відстань між фокусами.Позначимо фокуси через F 2лежали на осі, а початок координат збіглося з серединою відрізка F 1 F 2(Див. рис. 53). Тоді фокуси матимуть координати та

Нехай – довільна точка гіперболи. Тоді згідно з визначенням гіперболи або , тобто.. Після спрощень, як це було зроблено при виведенні рівняння еліпса, отримаємо канонічне рівняння гіперболи

(11.9)

(11.10)

Гіпербол є лінія другого порядку.

Дослідження форми гіперболи за її рівнянням

Встановимо форму гіперболи, користуючись її коконічним рівнянням.

1. Рівняння (11.9) містить x і у тільки парних ступенях. Отже, гіпербола симетрична щодо осей і , а також щодо точки , яку називають

центром гіперболи.

2. Знайдемо точки перетину гіперболи з осями координат. Поклавши в рівнянні (11.9), знаходимо дві точки перетину гіперболи з віссю: і. Поклавши в (11.9), отримуємо , чого не може. Отже, гіпербола вісь Оу не перетинає. Крапки і називаються вершинами

гіперболи, а відрізок справжньою віссю , відрізок - справжньою піввіссю

гіперболи. Відрізок, що з'єднує точки і називається уявною віссю , число b - уявною піввіссю 2aПозначимо фокуси через .Прямокутник зі сторонами 2b .

3. З рівняння (11.9) випливає, що що зменшується не менше одиниці тобто що або .

Це означає, що точки гіперболи розташовані праворуч від прямої (права гілка гіперболи) і зліва від прямої (ліва галузь гіперболи).

4. З рівняння (11.9) гіперболи видно, що й зростає, те й зростає.

Це випливає з того, що різниця зберігає постійне значення, що дорівнює одиниці.

Зі сказаного слід, що гіпербола має форму, зображену на малюнку 54 (крива, що складається з двох необмежених гілок). Асимптоти гіперболи

Пряма L називається асимптотою

(11.11)

необмеженою кривою K, якщо відстань d від точки M кривою K до цієї прямої прагне нуля при необмеженому видаленні точки M вздовж кривої K від початку координат.

На малюнку 55 наведено ілюстрацію поняття асимптоти: пряма L є асимптотою для кривої До. Покажемо, що гіпербол має дві асимптоти:

Оскільки прямі (11.11) і гіпербола (11.9) симетричні щодо координатних осей, досить розглянути ті точки зазначених ліній, які у першій чверті. Візьмемо на прямий точку N має ту ж абсцису х, що і точка на гіперболі

(див. рис. 56), і знайдемо різницю ΜΝ між ординатами прямої та гілки гіперболи:

Як видно, у міру зростання x знаменник дробу збільшується; чисельник – є постійна величина. Отже, довжина відрізка

ΜΝ прагне нуля. Оскільки ΜΝ більша від відстані d від точки Μ до прямої, то d і поготів прагне до нуля. Отже, прямі асимптотами гіперболи (11.9).

При побудові гіперболи (11.9) доцільно спочатку побудувати основний прямокутник гіперболи (див. рис. 57), провести прямі, що проходять через протилежні вершини цього прямокутника, - асимптоти гіперболи і відзначити вершини і гіперболи.

(11.12)

Рівняння рівносторонньої гіперболи.

асимптотами якої служать осі координат

Гіпербола (11.9) називається рівносторонньою, якщо її півосі дорівнюють ().

Її канонічне рівняння

Асимптоти рівносторонньої гіперболи мають рівняння і, отже, є бісектрисами координатних кутів.

Розглянемо рівняння цієї гіперболи у новій системі координат (див. рис. 58), отриманої зі старою поворотом осей координат на кут . гіперболи (11.9) називається відношення відстані між фокусами до величини дійсної осі гіперболи, що позначається ε:

Оскільки гіперболи , то ексцентриситет гіперболи більше одиниці: . Ексцентриситет характеризує форму гіперболи. Справді, з рівності (11.10) випливає, тобто. .

і

Звідси видно, що менше ексцентриситет гіперболи, тим менше ставлення - її півосей, отже, тим паче витягнутий її основний прямокутник.

Ексцентриситет рівносторонньої гіперболи дорівнює. Справді, Фокальні радіуси і Фокальні радіуси .

для точок правої гілки гіперболи мають вигляд і , а для лівої -

Прямі - називаються директорами гіперболи. Оскільки гіперболи ε > 1, то .

Це означає, що права директриса розташована між центром і правою вершиною гіперболи, ліва між центром і лівою вершиною. aДиректриси гіперболи мають таку ж властивість, як і директриси еліпса.

Крива, що визначається рівнянням також є гіпербола, дійсна вісь 2b якої розташована на осі Оу, а уявна вісь 2

- На осі Ох. На малюнку 59 її зображено пунктиром.

Очевидно, що гіперболи мають загальні асимптоти. Такі гіперболи називаються сполученими.

11.5. Парабола

Канонічне рівняння параболи

Параболою називається безліч всіх точок площини, кожна з яких однаково віддалена від даної точки, званої фокусом, і даної прямої, званої директрисою. Відстань від фокусу F до директриси називається параметром параболи і позначається через p (p > 0).

Для виведення рівняння параболи виберемо систему координат Оху так, щоб вісь Ох проходила через фокус F перпендикулярно до директриси в напрямку від директриси до F, а початок координат Про розташуємо посередині між фокусом і директрисою (див. рис. 60). У вибраній системі фокус F має координати, а рівняння директриси має вигляд, або.

1. У рівнянні (11.13) змінна у входить парною мірою, значить, парабола симетрична щодо осі Ох; вісь Ох є віссю симетрії параболи.

2. Оскільки ρ > 0, то з (11.13) випливає, що . Отже, парабола розташована праворуч від осі Оу.

3. При маємо у = 0. Отже парабола проходить через початок координат. 4. При необмеженому зростанні x модуль також необмежено зростає. Парабола має вигляд (форму), зображений малюнку 61. Точка О(0; 0) називається вершиною параболи, відрізок FM = r називається фокальним радіусом точки М.Рівняння , , (

Неважко показати, що графік квадратного тричлена, де , B і будь-які дійсні числа, являє собою параболу в сенсі наведеного вище її визначення.

11.6. Загальне рівняння ліній другого порядку

Рівняння кривих другого порядку з осями симетрії, паралельними координатним осям

Знайдемо спочатку рівняння еліпса з центром у точці, осі симетрії якого паралельні координатним осям Ох і Оу та півосі відповідно рівні aПозначимо фокуси через , а також їх довжини 2. Помістимо в центрі еліпса O 1 початок нової системи координат, осі якої та півосями aПозначимо фокуси через , а також їх довжини 2(див. рис. 64):

І, нарешті, параболи, зображені малюнку 65, мають відповідні рівняння.

Рівняння

Рівняння еліпса, гіперболи, параболи та рівняння кола після перетворень (розкрити дужки, перенести всі члени рівняння в один бік, навести подібні члени, ввести нові позначення для коефіцієнтів) можна записати за допомогою єдиного рівняння виду

де коефіцієнти А і С не дорівнюють нулю одночасно.

Виникає питання: чи будь-яке рівняння виду (11.14) визначає одну з кривих (коло, еліпс, гіпербола, парабола) другого порядку? Відповідь дає така теорема.

Теорема 11.2. Рівняння (11.14) завжди визначає: або коло (при А = С), або еліпс (при А · С> 0), або гіперболу (при А · С< 0), либо параболу (при А×С= 0). При этом возможны случаи вырождения: для эллипса (окружности) - в точку или мнимый эллипс (окружность), для гиперболы - в пару пересекающихся прямых, для параболы - в пару параллельных прямых.

Загальне рівняння другого порядку

Розглянемо тепер загальне рівняннядругого ступеня з двома невідомими:

Воно відрізняється від рівняння (11.14) наявністю члена з добутком координат (B1 0). Можна, шляхом повороту координатних осей на кут a перетворити це рівняння, щоб у ньому член з добутком координат був відсутній.

Використовуючи формули повороту осей

висловимо старі координати через нові:

Виберемо кут a так, щоб коефіцієнт при х" · у" звернувся в нуль, тобто щоб виконувалася рівність

Таким чином, при повороті осей на кут, що задовольняє умові (11.17), рівняння (11.15) зводиться до рівняння (11.14).

Висновок: загальне рівняння другого порядку (11.15) визначає на площині (якщо не рахувати випадків виродження та розпаду) такі криві: коло, еліпс, гіперболу, параболу.

Якщо А = С, то рівняння (11.17) втрачає сенс. У цьому випадку cos2α = 0 (див. (11.16)), тоді 2α = 90 °, тобто α = 45 °. Отже, за А = С систему координат слід повернути на 45°.

Еліпсом називається геометричне місце точок площини, сума відстаней від кожної з яких до двох заданих точок F_1 і F_2 є величина постійна (2a) , більша відстані (2c) між цими заданими точками(Рис.3.36, а). Це геометричне визначення висловлює фокальна властивість еліпса.

Фокальна властивість еліпса

Точки F_1 і F_2 називаються фокусами еліпса, відстань між ними 2c=F_1F_2 - фокусною відстанню, середина O відрізка F_1F_2 - центром еліпса, число 2a - довжиною великої осі еліпса (відповідно, число a - великою піввіссю ел. Відрізки F_1M і F_2M , що з'єднують довільну точку M еліпса з його фокусами, називаються радіальними фокальними точки M . Відрізок, що з'єднує дві точки еліпса, називається хордою еліпса.

Відношення e = frac (c) (a) називається ексцентриситетом еліпса. З визначення (2a>2c) випливає, що 0\leqslant e<1 . При e=0 , т.е. при c=0 , фокусы F_1 и F_2 , а также центр O совпадают, и эллипс является окружностью радиуса a (рис.3.36,6).

Геометричне визначення еліпса, що виражає його фокальну властивість, еквівалентно його аналітичному визначенню - лінії, що задається канонічним рівнянням еліпса:

Справді, введемо прямокутну систему координат (рис.3.36, в). Центр O еліпса приймемо початок системи координат; пряму, що проходить через фокуси (фокальну вісь або першу вісь еліпса), приймемо за вісь абсцис (позитивний напрямок на ній від точки F_1 до точки F_2); пряму, перпендикулярну фокальної осі і проходить через центр еліпса (другу вісь еліпса), приймемо за вісь ординат (напрямок на осі ординат вибирається так, щоб прямокутна система координат Oxy виявилася правою).

Складемо рівняння еліпса, користуючись його геометричним визначенням, що виражає фокальну властивість. У вибраній системі координат визначаємо координати фокусів F_1(-c,0),~F_2(c,0). Для довільної точки M(x,y) , що належить еліпсу, маємо:

\vline\,\overrightarrow(F_1M)\,\vline\,+\vline\,\overrightarrow(F_2M)\,\vline\,=2a.

Записуючи цю рівність у координатній формі, отримуємо:

\sqrt((x+c)^2+y^2)+sqrt((x-c)^2+y^2)=2a.

Переносимо другий радикал у праву частину, зводимо обидві частини рівняння квадрат і наводимо подібні члени:

(x+c)^2+y^2=4a^2-4a\sqrt((x-c)^2+y^2)+(x-c)^2+y^2~\Leftrightarrow ~4a\sqrt((x-c )^2+y^2)=4a^2-4cx.

Розділивши на 4, зводимо обидві частини рівняння квадрат:

A^2(x-c)^2+a^2y^2=a^4-2a^2cx+c^2x^2~\Leftrightarrow~ (a^2-c^2)^2x^2+a^2y^ 2=a^2(a^2-c^2).

Позначивши b=\sqrt(a^2-c^2)>0, отримуємо b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2. Розділивши обидві частини на a^2b^2\ne0, приходимо до канонічного рівняння еліпса:

\frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1.

Отже, обрана система координат є канонічною.

Якщо фокуси еліпса збігаються, то еліпс є коло (рис.3.36,6), оскільки a=b . У цьому випадку канонічною буде будь-яка прямокутна система координат з початком у точці O\equiv F_1\equiv F_2, a рівняння x^2+y^2=a^2 є рівнянням кола з центром у точці O та радіусом, рівним a .

Проводячи міркування в зворотному порядку, можна показати, що всі точки, координати яких задовольняють рівняння (3.49), і тільки вони належать геометричному місцю точок, званому еліпсом. Іншими словами, аналітичне визначення еліпса еквівалентне його геометричному визначенню, що виражає фокальну властивість еліпса.

Директоріальна властивість еліпса

Директрисами еліпса називаються дві прямі, що проходять паралельно осі ординат канонічної системи координат на однаковій відстані \frac(a^2)(c) від неї. При c=0 , коли еліпс є коло, директрис немає (можна вважати, що директриси нескінченно видалені).

Еліпс з ексцентриситетом 0 геометричне місце точок площини, для кожної з яких відношення відстані до заданої точки F (фокусу) до відстані до заданої прямої d (директриси), що не проходить через задану точку, постійно і дорівнює ексцентриситету e ( директоріальна властивість еліпса). Тут F і d - одне з фокусів еліпса і з його директрис, розташовані з одного боку від осі ординат канонічної системи координат, тобто.

F_1, d_1 або F_2, d_2. Справді, наприклад, для фокусу F_2 та директриси d_2 (рис.3.37,6) умова\frac(r_2)(\rho_2)=e

можна записати в координатній формі:

\sqrt((x-c)^2+y^2)=e\cdot\!\left(\frac(a^2)(c)-x\right) Позбавляючись ірраціональності та замінюючи e=\frac(c)(a),~a^2-c^2=b^2 , Приходимо до канонічного рівняння еліпса (3.49). Аналогічні міркування можна провести для фокусу F_1 та директриси.

d_1\colon\frac(r_1)(\rho_1)=e

Рівняння еліпса у полярній системі координат

Рівняння еліпса в полярній системі координат F_1r\varphi (рис.3.37,в і 3.37(2)) має вигляд

R = frac (p) (1-e \ cdot \ cos \ varphi)

де p=\frac(b^2)(a) фокальний параметр еліпса.

\begin(aligned)F_2M&=\sqrt((2c)^2+r^2-2\cdot(2c)\cdot r\cos(\varphi-0))=\\ &=\sqrt(r^2- 4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2).\end(aligned)

Отже, у координатній формі рівняння еліпса F_1M+F_2M=2a має вигляд

R + sqrt (r 2-4 cdot c cdot r cdot cos varphi +4 cdot c 2) = 2 cdot a.

Усамітнюємо радикал, зводимо обидві частини рівняння квадрат, ділимо на 4 і наводимо подібні члени:

R^2-4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2~\Leftrightarrow~a\cdot\!\left(1-\frac(c)(a)\cdot\cos \varphi\right)\!\cdot r=a^2-c^2.

Виражаємо полярний радіус r та робимо заміну e=\frac(c)(a),~b^2=a^2-c^2,~p=\frac(b^2)(a):

R=\frac(a^2-c^2)(a\cdot(1-e\cdot\cos\varphi)) \quad \Leftrightarrow \quad r=\frac(b^2)(a\cdot(1 -e\cdot\cos\varphi)) \quad \Leftrightarrow \quad r=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi),

що й потрібно було довести.

Геометричний сенс коефіцієнтів у рівнянні еліпса

Знайдемо точки перетину еліпса (рис.3.37,а) з координатними осями (вершини злліпса). Підставляючи рівняння y=0 , знаходимо точки перетину еліпса з віссю абсцис (з фокальною віссю): x=\pm a . Отже, довжина відрізка фокальної осі, укладеного всередині еліпса, дорівнює 2a. Цей відрізок, як зазначено вище, називається великою віссю еліпса, а число a – великою піввіссю еліпса. Підставляючи x = 0 отримуємо y = b b . Отже, довжина відрізка другої осі еліпса, укладеного всередині еліпса, дорівнює 2b. Цей відрізок називається малою віссю еліпса, а число b - малою віссю еліпса.

Справді, b=\sqrt(a^2-c^2)\leqslant\sqrt(a^2)=a, причому рівність b = a виходить тільки у разі c = 0 коли еліпс є колом. Ставлення k=\frac(b)(a)\leqslant1називається коефіцієнтом стискування еліпса.

Зауваження 3.9

1. Прямі x = a, ~ y = b обмежують на координатній площині основний прямокутник, всередині якого знаходиться еліпс (див. рис.3.37, а).

2. Еліпс можна визначити, як геометричне місце точок, що отримується в результаті стиснення кола до її діаметру.

Дійсно, нехай у прямокутній системі координат Oxy рівняння кола має вигляд x^2+y^2=a^2. При стисканні до осі абсцис з коефіцієнтом 0

\begin(cases)x"=x,\\y"=k\cdot y.\end(cases)

Підставляючи в рівняння кола x=x" і y=\frac(1)(k)y" отримуємо рівняння для координат образу M"(x",y") точки M(x,y) :

(x")^2+(\left(\frac(1)(k)\cdot y"\right)\^2=a^2 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{(x")^2}{a^2}+\frac{(y")^2}{k^2\cdot a^2}=1 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{(x")^2}{a^2}+\frac{(y")^2}{b^2}=1, !}

оскільки b = k \ cdot a . Це канонічне рівняння еліпса.

3. Координатні осі (канонічної системи координат) є осями симетрії еліпса (називаються головними осями еліпса), яке центр - центром симетрії.

Дійсно, якщо точка M(x,y) належить еліпсу. то й точки M"(x,-y) і M""-x,y) , симетричні точці M щодо координатних осей, також належать тому ж еліпсу.

4. З рівняння еліпса у полярній системі координат r=\frac(p)(1-e\cos\varphi)(див. рис.3.37, в), з'ясовується геометричний змістфокального параметра - це половина довжини хорди еліпса, що проходить через його фокус перпендикулярно до фокальної осі ( r=p при \varphi=\frac(\pi)(2)).

5. Ексцентриситет e характеризує форму еліпса, а саме відмінність еліпса від кола. Чим більше e, тим еліпс більш витягнутий, а чим ближче e до нуля, тим ближчий еліпс до кола (рис.3.38, а). Дійсно, враховуючи, що e=\frac(c)(a) і c^2=a^2-b^2 отримуємо

E^2=\frac(c^2)(a^2)=\frac(a^2-b^2)(a^2)=1-(\left(\frac(a)(b)\right )\^2=1-k^2, !}

де k - коефіцієнт стиснення еліпса, 0

6. Рівняння \frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1при a

7. Рівняння \frac((x-x_0)^2)(a^2)+\frac((y-y_0)^2)(b^2)=1,~a\geqslant bвизначає еліпс з центром у точці O"(x_0,y_0), осі якого паралельні координатним осям (рис.3.38,в). Це рівняння зводиться до канонічного за допомогою паралельного перенесення (3.36).

При a=b=R рівняння (x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2описує коло радіуса R з центром у точці O"(x_0, y_0).

Параметричне рівняння еліпса

Параметричне рівняння еліпсау канонічній системі координат має вигляд

\begin(cases)x=a\cdot\cos(t),\\y=b\cdot\sin(t),\end(cases)0\leqslant t<2\pi.

Справді, підставляючи ці вирази рівняння (3.49), приходимо до основної тригонометричної тотожності \cos^2t+\sin^2t=1 .

Приклад 3.20.Зобразити еліпс \frac(x^2)(2^2)+\frac(y^2)(1^2)=1в канонічній системі координат Oxy. Знайти півосі, фокусну відстань, ексцентриситет, коефіцієнт стиснення, фокальний параметр, рівняння директрис.

Рішення.Порівнюючи задане рівняння з канонічним, визначаємо півосі: a = 2 - велика піввісь, b = 1 - мала піввісь еліпса. Будуємо основний прямокутник із сторонами 2a=4,~2b=2 із центром на початку координат (рис.3.39). З огляду на симетричність еліпса вписуємо його в основний прямокутник. За потреби визначаємо координати деяких точок еліпса. Наприклад, підставляючи x=1 рівняння еліпса, отримуємо

\frac(1^2)(2^2)+\frac(y^2)(1^2)=1 \quad \Leftrightarrow \quad y^2=\frac(3)(4) \quad \Leftrightarrow \ quad y = pm frac (sqrt (3)) (2).

Отже, точки з координатами \left(1;\,\frac(\sqrt(3))(2)\right)\!,~\left(1;\,-\frac(\sqrt(3))(2)\right)- Належать еліпсу.

Обчислюємо коефіцієнт стиснення k = frac (b) (a) = frac (1) (2); фокусна відстань 2c=2\sqrt(a^2-b^2)=2\sqrt(2^2-1^2)=2\sqrt(3); ексцентриситет e=frac(c)(a)=frac(sqrt(3))(2); фокальний параметр p=\frac(b^2)(a)=\frac(1^2)(2)=\frac(1)(2). Складаємо рівняння директрис: x=\pm\frac(a^2)(c)~\Leftrightarrow~x=\pm\frac(4)(\sqrt(3)).

У вашому браузері вимкнено Javascript.
Щоб розрахувати, необхідно дозволити елементи ActiveX!