Додому Ортопедія Правильною пірамідою все. Піраміда та її елементи

Ортопедія

Правильною пірамідою все. Піраміда та її елементи

Цей відеоурок допоможе користувачам отримати уявлення про тему Піраміда. Правильна піраміда. У цьому занятті ми познайомимося з поняттям піраміди, дамо їй визначення. Розглянемо, що таке правильна піраміда і які властивості вона має. Потім доведемо теорему про бічній поверхні правильної піраміди.

У цьому занятті ми познайомимося з поняттям піраміди, дамо їй визначення.

Розглянемо багатокутник А 1 А 2...А n, який лежить у площині α, та точку P, яка не лежить у площині (рис. 1). З'єднаємо точку Pз вершинами А 1, А 2, А 3, … А n. Отримаємо nтрикутників: А 1 А 2 Р, А 2 А 3 Рі так далі.

Визначення. Багатогранник РА 1 А 2 …А n, складений з n-кутника А 1 А 2...А nі nтрикутників РА 1 А 2, РА 2 А 3 …РА n А n-1 , називається n-вугільною пірамідою. Мал. 1.

Мал. 1

Розглянемо чотирикутну піраміду PABCD(Рис. 2).

Р- Вершина піраміди.

ABCD- основа піраміди.

РА- Бокове ребро.

АВ- ребро основи.

З точки Ропустимо перпендикуляр РНна площину основи АВСD. Проведений перпендикуляр є висотою піраміди.

Мал. 2

Повна поверхня піраміди складається з поверхні бічної, тобто площі всіх бічних граней, і площі основи:

S повн = S бік + S осн

Піраміда називається правильною, якщо:

її основа - правильний багатокутник;
відрізок, що з'єднує вершину піраміди з центром основи є її висотою.

Пояснення на прикладі правильної чотирикутної піраміди

Розглянемо правильну чотирикутну піраміду PABCD(Рис. 3).

Р- Вершина піраміди. Заснування піраміди АВСD- правильний чотирикутник, тобто квадрат. Крапка Про, точка перетину діагоналей є центром квадрата. Значить, РВ- Це висота піраміди.

Мал. 3

Пояснення: у правильному n-кутник центр вписаного і центр описаного кола збігається. Цей центр називається центром багатокутника. Іноді кажуть, що вершина проектується до центру.

Висота бічної грані правильної піраміди, проведена з її вершини, називається апофемоюі позначається h а.

1. всі бічні ребра правильної піраміди рівні;

2. бічні грані є рівними рівнобедреними трикутниками.

Доказ цих властивостей наведемо з прикладу правильної чотирикутної піраміди.

Дано: РАВСD- правильна чотирикутна піраміда,

АВСD- Квадрат,

РВ- Висота піраміди.

Довести:

1. РА = РВ = РС = РD

2.∆АВР = ∆ВCР =∆СDР =∆DAP Див. 4.

Мал. 4

Доведення.

РВ- Висота піраміди. Тобто, пряма РВперпендикулярна площині АВС, А значить, і прямим АТ, ВО, СОі DО, що лежить у ньому. Отже, трикутники РОА, РІВ, РІС, РОD- Прямокутні.

Розглянемо квадрат АВСD. З властивостей квадрата випливає, що АТ = ВО = СО = ДО.

Тоді у прямокутних трикутників РОА, РІВ, РІС, РОDкатет РВ- загальний та катети АТ, ВО, СОі DОрівні, отже, ці трикутники рівні за двома катетами. З рівності трикутників випливає рівність відрізків, РА = РВ = РС = РD.Пункт 1 доведено.

Відрізки АВі НДрівні, оскільки є сторонами одного квадрата, РА = РВ = РС. Отже, трикутники АВРі ВCР -рівнобедрені та рівні по трьох сторонах.

Аналогічно отримуємо, що трикутники АВР, ВCР, СDР, DAPрівнобедрені та рівні, що й потрібно було довести у пункті 2.

Площа бічної поверхні правильної піраміди дорівнює половині добутку периметра основи на апофему:

Для підтвердження виберемо правильну трикутну піраміду.

Дано: РАВС- правильна трикутна піраміда.

АВ = ВС = АС.

РВ- Висота.

Довести: . Див. Рис. 5.

Мал. 5

Доведення.

РАВС- правильна трикутна піраміда. Тобто АВ= АС = ВС. Нехай Про- центр трикутника АВСтоді РВ- Це висота піраміди. В основі піраміди лежить рівносторонній трикутник АВС. Зауважимо, що .

Трикутники РАВ, РВС, РСА- рівні рівнобедрені трикутники (за якістю). У трикутної піраміди три бічні грані: РАВ, РВС, РСА. Значить площа бічної поверхні піраміди дорівнює:

S бік = 3S РАВ

Теорему доведено.

Радіус кола, вписаного в основу правильної чотирикутної піраміди, дорівнює 3 м, висота піраміди дорівнює 4 м. Знайдіть площу бічної поверхні піраміди.

Дано: правильна чотирикутна піраміда АВСD,

АВСD- Квадрат,

r= 3 м,

РВ- Висота піраміди,

РВ= 4 м-коду.

Знайти: S бік. Див. Рис. 6.

Мал. 6

Рішення.

По доведеній теоремі, .

Знайдемо спочатку бік основи АВ. Нам відомо, що радіус кола, вписаного в основу правильної чотирикутної піраміди, дорівнює 3 м.

Тоді м.

Знайдемо периметр квадрата АВСDзі стороною 6 м:

Розглянемо трикутник BCD. Нехай М- середина сторони DC. Так як Про- середина BD, то (М).

Трикутник DPC- рівнобедрений. М- середина DC. Тобто, РМ- медіана, а значить, і висота у трикутнику DPC. Тоді РМ- Апофема піраміди.

РВ- Висота піраміди. Тоді, пряма РВперпендикулярна площині АВС, а значить, і прямий ОМ, що лежить у ньому. Знайдемо апофему РМіз прямокутного трикутника РОМ.

Тепер можемо знайти бічну поверхню піраміди:

Відповідь: 60 м 2 .

Радіус кола, описаного біля основи правильної трикутної піраміди, дорівнює м. Площа бічної поверхні дорівнює 18 м 2 . Знайдіть довжину апофеми.

Дано: АВСP- правильна трикутна піраміди,

АВ = ВС = СА,

R= м,

S бік = 18 м 2 .

Знайти: . Див. Рис. 7.

Мал. 7

Рішення.

У правильному трикутнику АВСдано радіус описаного кола. Знайдемо бік АВцього трикутника за допомогою теореми синусів.

Знаючи бік правильного трикутника (м), знайдемо його периметр.

По теоремі про площу бічної поверхні правильної піраміди , де h а- Апофема піраміди. Тоді:

Відповідь: 4 м.

Отже, ми розглянули, що таке піраміда, що таке правильна піраміда, довели теорему про бічну поверхню правильної піраміди. На наступному уроці ми познайомимося з усіченою пірамідою.

Список літератури

Геометрія. 10-11 клас: підручник для учнів загальноосвітніх установ(базовий та профільний рівні) / І. М. Смирнова, В. А. Смирнов. - 5-те вид., Випр. та дод. – К.: Мнемозіна, 2008. – 288 с.: іл.
Геометрія. 10-11 клас: Підручник для загальноосвітніх навчальних закладів/ Шаригін І. Ф. – М.: Дрофа, 1999. – 208 с.: іл.
Геометрія. 10 клас: Підручник для загальноосвітніх закладів з поглибленим та профільним вивченням математики /Е. В. Потоскуєв, Л. І. Звалич. - 6-те вид., стереотип. – М.: Дрофа, 008. – 233 с.: іл.

Інтернет портал «Яклас» ()
Інтернет портал «Фестиваль педагогічних ідей «Перше вересня» ()
Інтернет портал «Slideshare.net» ()

Домашнє завдання

Чи може правильний багатокутник бути основою неправильної піраміди?
Доведіть, що ребра правильної піраміди, що не перетинаються, перпендикулярні.
Знайдіть величину двогранного кута при стороні основи правильної чотирикутної піраміди, якщо апофема піраміди дорівнює стороні її основи.
РАВС- правильна трикутна піраміда. Побудуйте лінійний кут двогранного кута на основі піраміди.

Дотримання Вашої конфіденційності є важливим для нас. З цієї причини ми розробили Політику Конфіденційності, яка описує, як ми використовуємо та зберігаємо Вашу інформацію. Будь ласка, ознайомтесь з нашими правилами дотримання конфіденційності та повідомте нам, якщо у вас виникнуть будь-які питання.

Збір та використання персональної інформації

Під персональної інформацією розуміються дані, які можна використовувати для ідентифікації певного особи чи зв'язку з ним.

Від вас може бути запрошено надання вашої персональної інформації у будь-який момент, коли ви зв'язуєтесь з нами.

Нижче наведено приклади типів персональної інформації, яку ми можемо збирати, і як ми можемо використовувати таку інформацію.

Яку персональну інформацію ми збираємо:

Коли ви залишаєте заявку на сайті, ми можемо збирати різноманітну інформацію, включаючи ваше ім'я, номер телефону, адресу електронної поштиі т.д.

Як ми використовуємо вашу персональну інформацію:

Збирається нами Персональна інформаціядозволяє нам зв'язуватися з вами та повідомляти про унікальні пропозиції, акції та інші заходи та найближчі події.
Час від часу ми можемо використовувати вашу персональну інформацію для надсилання важливих повідомлень та повідомлень.
Ми також можемо використовувати персональну інформацію для внутрішніх цілей, таких як проведення аудиту, аналізу даних та різних дослідженьз метою покращення послуг наданих нами та надання Вам рекомендацій щодо наших послуг.
Якщо ви берете участь у розіграші призів, конкурсі або подібному стимулювальному заході, ми можемо використовувати інформацію, що надається, для управління такими програмами.

Розкриття інформації третім особам

Ми не розкриваємо отриману від Вас інформацію третім особам.

Винятки:

Якщо необхідно - відповідно до закону, судового порядку, в судовому розгляді, та/або на підставі публічних запитів або запитів від державних органівна території РФ – розкрити вашу персональну інформацію. Ми також можемо розкривати інформацію про вас, якщо ми визначимо, що таке розкриття необхідно чи доречно з метою безпеки, підтримання правопорядку, чи інших суспільно важливих випадках.
У разі реорганізації, злиття або продажу ми можемо передати персональну інформацію, що збирається нами, відповідній третій особі – правонаступнику.

Захист персональної інформації

Ми вживаємо запобіжних заходів - включаючи адміністративні, технічні та фізичні - для захисту вашої персональної інформації від втрати, крадіжки та недобросовісного використання, а також від несанкціонованого доступу, розкриття, зміни та знищення.

Дотримання вашої конфіденційності на рівні компанії

Для того, щоб переконатися, що ваша персональна інформація знаходиться в безпеці, ми доводимо норми дотримання конфіденційності та безпеки до наших співробітників і суворо стежимо за дотриманням заходів дотримання конфіденційності.

Тут зібрані основні відомості про піраміди і пов'язані з нею формули та поняття. Усі вони вивчаються з репетитором з математики під час підготовки до ЄДІ.

Розглянемо площину, багатокутник , що лежить у ній і точку S, що не лежить у ній. З'єднаємо S з усіма вершинами багатокутника. Отриманий багатогранник називається пірамідою. Відрізки називаються бічними ребрами. Багатокутник називається основою, а точка S вершиною піраміди. Залежно від числа n піраміда називається трикутною (n=3), чотирикутною (n=4), п'ятикутною (n=5) тощо. Альтернативна назва трикутної піраміди – тетраедр. Висотою піраміди називається перпендикуляр, опущений із її вершини до площини основи.

Піраміда називається правильною, якщо правильний багатокутник, а основа висоти піраміди (основа перпендикуляра) є його центром.

Коментар репетитора:
Не плутайте поняття «правильна піраміда» та «правильний тетраедр». У правильної піраміди бічні ребра не обов'язково рівні ребрам основи, а правильному тетраедрі все 6 ребер ребра рівні. Це його визначення. Легко довести, що з рівності слід збіг центру багатокутника P з основою висоти, тому правильний тетраедр є правильною пірамідою.

Що таке апофема?
Апофема піраміди називається висота її бічної грані. Якщо піраміда правильна, всі її апофеми рівні. Назад неправильно.

Репетитор з математики про свою термінологію: робота з пірамідами на 80% будується через два види трикутників:
1) Що містить апофему SK і висоту SP
2) Містить бічне ребро SA та його проекцію PA

Щоб спростити посилання на ці трикутники, репетитору з математики зручніше називати перший з них. апофемним, а другий реберним. На жаль, цієї термінології ви не зустрінете в жодному з підручників, і викладачеві доводиться вводити її в односторонньому порядку.

Формула об'єму піраміди:
1) , де - площа основи піраміди, а -висота піраміди
2) , де – радіус вписаної кулі, а – площа повної поверхні піраміди.
3) , де MN - відстань будь-якими двома схрещуються ребрами, а - площа паралелограма, утвореного серединами чотирьох ребер, що залишилися.

Властивість основи висоти піраміди:

Точка P (дивися малюнок) збігається з центром вписаного кола в основу піраміди, якщо виконується одна з наступних умов:
1) Усі апофеми рівні
2) Усі бічні грані однаково нахилені до основи
3) Усі апофеми однаково нахилені до висоти піраміди
4) Висота піраміди однаково нахилена до всіх бокових граней

Коментар репетитора з математики: Зверніть увагу, що всі пункти поєднує одну загальну властивість: так чи інакше скрізь беруть участь бічні грані (апофеми - це їх елементи). Тому репетитор може запропонувати менш точну, але зручнішу для заучування формулювання: точка P збігається з центром вписаного кола основу піраміди, якщо є будь-яка рівна інформація про її бічні грані. Для доказу досить показати, що це апофемні трикутники рівні.

Точка P збігається з центром описаної біля основи піраміди колом, якщо правильна одна з трьох умов:
1) Усі бічні ребра рівні
2) Усі бічні ребра однаково нахилені до основи
3) Усі бічні ребра однаково нахилені до висоти

Піраміда - це багатогранник, основу якого лежить багатокутник. Всі грані у свою чергу утворюють трикутники, які сходяться на одній вершині. Піраміди бувають трикутними, чотирикутними тощо. Щоб визначити, яка піраміда перед вами, досить порахувати кількість кутів у її основі. Визначення "висота піраміди" дуже часто зустрічається в задачах з геометрії шкільній програмі. У статті спробуємо розглянути різні способиїї знаходження.

Частини піраміди

Кожна піраміда складається з наступних елементів:

бічні грані, які мають по три кути та сходяться у вершині;
апофема є висотою, яка опускається з її вершини;
вершина піраміди - це точка, яка з'єднує бічні ребра, але при цьому не лежить у площині основи;
основа - це багатокутник, у якому лежить вершина;
висота піраміди є відрізком, який перетинає вершину піраміди і утворює з її основою прямий кут.

Як знайти висоту піраміди, якщо відомий її об'єм

Через формулу V = (S * h) / 3 (у формулі V - об'єм, S - площа основи, h - висота піраміди) знаходимо, що h = (3 * V) / S. Для закріплення матеріалу давайте відразу вирішимо завдання. Трикутна основа дорівнює 50 см 2 , тоді як її обсяг становить 125 см 3 . Невідома висота трикутної піраміди, яку нам необхідно знайти. Тут все просто: вставляємо дані до нашої формули. Отримуємо h = (3 * 125) / 50 = 7,5 см.

Як знайти висоту піраміди, якщо відома довжина діагоналі та її ребра

Як ми пам'ятаємо, висота піраміди утворює з її основою прямий кут. А це означає, що висота, ребро і половина діагоналі разом утворюють Багато хто, звичайно ж, пам'ятають теорему Піфагора. Знаючи два виміри, третю величину знайти буде нескладно. Згадаймо відому теорему a² = b² + c², де а - гіпотенуза, а нашому випадку ребро піраміди; b - перший катет або половина діагоналі і - відповідно, другий катет, або висота піраміди. З цієї формули c? = a? - b?.

Тепер завдання: у правильній піраміді діагональ дорівнює 20 см, коли як довжина ребра - 30 см. Необхідно визначити висоту. Вирішуємо: c ² = 30 ² - 20 ² = 900-400 = 500. Звідси з = √ 500 = близько 22,4.

Як знайти висоту зрізаної піраміди

Вона являє собою багатокутник, який має перетин паралельно до її основи. Висота усіченої піраміди - це відрізок, який з'єднує дві її основи. Висоту можна знайти у правильній піраміди, якщо будуть відомі довжини діагоналей обох основ, а також ребро піраміди. Нехай діагональ більшої основи дорівнює d1, тоді як діагональ меншої основи – d2, а ребро має довжину – l. Щоб знайти висоту, можна із двох верхніх протилежних точок діаграми опустити висоти на її основу. Ми бачимо, що у нас вийшло два прямокутний трикутник, Залишається знайти довжини їх катетів. Для цього з більшої діагоналі віднімаємо меншу та ділимо на 2. Так ми знайдемо один катет: а = (d1-d2)/2. Після чого за теоремою Піфагора нам залишається лише знайти другий катет, який є висотою піраміди.

Тепер розглянемо всю цю справу на практиці. Перед нами завдання. Усічена піраміда має в основі квадрат, довжина діагоналі більшої основи дорівнює 10 см, тоді як меншої - 6 см, а ребро дорівнює 4 см. Потрібно знайти висоту. Для початку знаходимо один катет: а = (10-6)/2 = 2 см. Один катет дорівнює 2 см, а гіпотенуза - 4 см. Виходить, що другий катет або висота дорівнюватиме 16-4 = 12, тобто h = √12 = близько 3,5 см.

Об'ємною фігурою, яка часто з'являється у геометричних завданнях, є піраміда. Найпростіша з усіх фігур цього класу – трикутна. У цій статті докладно розберемо основні формули та властивості правильної

Геометричні уявлення про фігуру

Перш ніж переходити до розгляду властивостей правильної трикутної піраміди, розберемося докладніше, про яку фігуру йдеться.

Припустимо, що є довільний трикутник у тривимірному просторі. Виберемо в цьому просторі будь-яку точку, яка в площині трикутника не лежить і з'єднаємо її з трьома вершинами трикутника. Ми отримали трикутну піраміду.

Вона складається із 4-х сторін, причому всі вони є трикутниками. Крапки, у яких з'єднуються три грані, називаються вершинами. Їх у фігури також чотири. Лінії перетину двох граней – це ребра. Ребер у піраміди, що розглядається 6. Малюнок нижче демонструє приклад цієї фігури.

Оскільки постать утворена чотирма сторонами, її також називають тетраедром.

Правильна піраміда

Вище було розглянуто довільну фігуру з трикутною основою. Тепер припустимо, що ми провели перпендикулярний відрізок із вершини піраміди до її основи. Цей відрізок називається висотою. Очевидно, що можна провести 4 різні висоти для фігури. Якщо висота перетинає в геометричному центрі трикутну основу, то така піраміда називається прямою.

Пряма піраміда, основою якої буде рівнокутний трикутник, називається правильною. Для неї всі три трикутники, що утворюють бічну поверхню фігури, є рівнобедреними та рівні один одному. Приватним випадком правильної піраміди є ситуація, коли чотири сторони є рівносторонніми однаковими трикутниками.

Розглянемо властивості правильної трикутної піраміди і наведемо відповідні формули для обчислення її параметрів.

Сторона основи, висота, бічне ребро та апотема

Будь-які з перелічених параметрів однозначно визначають інші дві характеристики. Наведемо формули, які пов'язують ці величини.

Припустимо, що сторона основи трикутної правильної піраміди дорівнює a. Довжина її бічного ребра дорівнює b. Чому дорівнюють висота правильної піраміди трикутної та її апотема.

Для висоти h отримуємо вираз:

Ця формула випливає з теореми Піфагора для якого є бічне ребро, висота та 2/3 висоти основи.

Апотема піраміди називається висота для будь-якого бічного трикутника. Довжина апотеми a b дорівнює:

a b = √(b 2 - a 2 /4)

З цих формул видно, що якими б не були сторона основи піраміди трикутної правильної і довжина її бічного ребра, апотема завжди буде більшою за висоту піраміди.

Подані дві формули містять усі чотири лінійні характеристики аналізованої фігури. Тому за відомими двом їх можна знайти інші, вирішуючи систему із записаних рівностей.

Об'єм фігури

Для абсолютно будь-якої піраміди (у тому числі похилої) значення об'єму простору, обмеженого нею, можна визначити, знаючи висоту фігури та площу її основи. Відповідна формула має вигляд:

Застосовуючи цей вираз для аналізованої фігури, отримаємо таку формулу:

Де висота правильної трикутної піраміди дорівнює h, а її сторона основи – a.

Не складно отримати формулу для обсягу тетраедра, у якого всі сторони рівні між собою і є рівносторонні трикутники. У такому разі обсяг фігури визначиться за такою формулою:

Тобто визначається довжиною боку a однозначно.

Площа поверхні

Продовжимо розглядати трикутною правильною. Загальна площа всіх граней фігури називається площею поверхні. Останню зручно вивчати, розглядаючи відповідну розгортку. На малюнку нижче показано, як виглядає розгортка правильної трикутної піраміди.

Припустимо, що нам відомі висота h та сторона основи a фігури. Тоді площа її заснування дорівнюватиме:

Отримати цей вислів може кожен школяр, якщо згадає, як знаходити площу трикутника, а також врахує, що висота рівностороннього трикутника також є бісектрисою та медіаною.

Площа бічної поверхні, утвореної трьома однаковими рівнобедреними трикутниками, становить:

S b = 3/2*√(a 2 /12+h 2)*a

Ця рівність випливає з вираження апотеми піраміди через висоту і довжину основи.

Повна площа поверхні фігури дорівнює:

S = S o + S b = √3/4*a 2 + 3/2*√(a 2 /12+h 2)*a

Зауважимо, що для тетраедра, у якого всі чотири сторони є однаковими рівносторонніми трикутниками, площа S дорівнюватиме:

Властивості правильної усіченої трикутної піраміди

Якщо у розглянутої трикутної піраміди площиною, паралельною до основи, зрізати верх, то залишилася Нижня частинабуде називатися усіченою пірамідою.

У разі трикутної основи в результаті описаного методу перерізу виходить новий трикутник, який також є рівностороннім, але має меншу довжину сторони, ніж сторона основи. Усічена трикутна піраміда показана нижче.

Ми бачимо, що ця фігура вже обмежена двома трикутними основамиі трьома рівнобедреними трапеціями.

Припустимо, що висота отриманої фігури дорівнює h, довжини сторін нижньої та верхньої основ становлять a 1 і a 2 відповідно, а апотема (висота трапеції) дорівнює a b . Тоді площу поверхні зрізаної піраміди можна обчислити за формулою: