Додому Протезування та імплантація Рівняння бернуллі онлайн. Лінійні диференціальні рівняння першого порядку та рівняння бернуллі

Протезування та імплантація

Рівняння бернуллі онлайн. Лінійні диференціальні рівняння першого порядку та рівняння бернуллі

Диференціальне рівняння Бернуллі - це рівняння виду

де n≠0,n≠1.

Це рівняння може бути перетворено за допомогою підстановки

у лінійне рівняння

Насправді диференціальне рівняння Бернуллі зазвичай призводять до лінійному, а одночасно вирішують тими самими методами, як і лінійне рівняння — або методом Бернуллі, або методом варіації довільної постійної.

Розглянемо, як розв'язати диференціальне рівняння Бернуллі з допомогою заміни y=uv (метод Бернуллі). Схема рішення - як і при .

приклади. Розв'язати рівняння:

1) y'x+y=-xy².

Це диференціальне рівняння Бернуллі. Наведемо його до стандартного вигляду. Для цього розділимо обидві частини на x: y'+y/x=-y². Тут p(x)=1/x, q(x)=-1, n=2. Але для вирішення нам не потрібний стандартний вигляд. Працюватимемо з тією формою запису, яка дана в умові.

1) Заміна y=uv, де u=u(x) та v=v(x) — деякі нові функції від x. Тоді y'=(uv)'=u'v+v'u. Підставляємо отримані вирази за умови: (u'v+v'u)x+uv=-xu²v².

2) Розкриємо дужки: u'vx+v'ux+uv=-xu²v². Тепер згрупуємо доданки з v: v+v'ux=-xu²v² (I) (доданок зі ступенем v, що стоїть у правій частині рівняння, не чіпаємо). Тепер вимагаємо, щоб вираз у дужках дорівнював нулю: u'x+u=0. А це — рівняння з змінними u і x, що розділяються. Вирішивши його, ми знайдемо u. Підставляємо u=du/dx та поділяємо змінні: x·du/dx=-u. Обидві частини рівняння множимо на dx і ділимо на xu≠0:

(При знаходженні u З беремо рівним нулю).

3) У рівняння (I) підставляємо =0 та знайдену функцію u=1/x. Маємо рівняння: v'·(1/x)·x=-x·(1/x²)·v². Після спрощення: v′=-(1/x)·v². Це рівняння з змінними v і x, що розділяються. Замінюємо v'=dv/dx та поділяємо змінні: dv/dx=-(1/x)·v². Помножуємо обидві частини рівняння на dx та ділимо на v²≠0:

(взяли -З, щоб, помноживши обидві частини на -1, позбутися мінусу). Отже, множимо на (-1):

(можна було б взяти не С, а ln│C│ і в цьому випадку було б v=1/ln│Cx│).

2) 2y'+2y=xy².

Переконаємося, що це — рівняння Бернуллі. Поділивши на 2 обидві частини, одержуємо y'+y=(x/2) y². Тут p(x)=1, q(x)=x/2, n=2. Вирішуємо рівняння методом Бернуллі.

1) Заміна y=uv, y'=u'v+v'u. Підставляємо ці вирази в початкову умову: 2(u'v+v'u)+2uv=xu²v².

2) Розкриваємо дужки: 2u'v+2v'u+2uv=xu²v². Тепер згрупуємо доданки, що містять v: +2v'u = xu²v² (II). Вимагаємо, щоб вираз у дужках дорівнював нулю: 2u'+2u=0, звідси u'+u=0. Це — рівняння з змінними, що розділяються щодо u і x. Вирішимо його і знайдемо u. Підставляємо u'=du/dx, звідки du/dx=-u. Помноживши обидві частини рівняння на dx і поділивши на u≠0 одержуємо: du/u=-dx. Інтегруємо:

3) Підставляємо в (II) = 0 і

Тепер підставляємо v'=dv/dx та поділяємо змінні:

Інтегруємо:

Ліва частина рівності — табличний інтеграл, інтеграл у правій частині знаходимо за формулою інтегрування частинами:

Підставляємо знайдені v і du за формулою інтегрування частинами маємо:

А оскільки

Зробимо С=-С:

4) Оскільки y=uv, підставляємо знайдені функції u та v:

3) Проінтегрувати рівняння x²(x-1)y'-y²-x(x-2)y=0.

Розділимо на x²(x-1)≠0 обидві частини рівняння та доданок з y² перенесемо у праву частину:

Це – рівняння Бернуллі,

1) Заміна y=uv, y'=u'v+v'u. Як завжди, ці вирази підставляємо в початкову умову: x²(x-1)(u'v+v'u)-u²v²-x(x-2)uv=0.

2) Звідси x²(x-1)u'v+x²(x-1)v'u-x(x-2)uv=u²v². Групуємо складові, що містять v (v² - не чіпаємо):

v+x²(x-1)v'u=u²v² (III). Тепер вимагаємо рівності нулю виразу в дужках: x²(x-1)u'-x(x-2)u=0, звідси x²(x-1)u'=x(x-2)u. У рівнянні поділяємо змінні u та x, u'=du/dx: x²(x-1)du/dx=x(x-2)u. Обидві частини рівняння множимо на dx і ділимо на x²(x-1)u≠0:

У лівій частині рівняння – табличний інтеграл. Раціональний дрібу правій частині треба розкласти на найпростіші дроби:

При x=1: 1-2=A·0+B·1, звідки B=-1.

При x=0: 0-2=A(0-1)+B·0, звідки A=2.

ln│u│=2ln│x│-ln│x-1│. За властивостями логарифмів: ln│u│=ln│x²/(x-1)│, звідки u=x²/(x-1).

3) У рівність (III) підставляємо =0 та u=x²/(x-1). Отримуємо: 0+x²(x-1)v'u=u²v²,

v’=dv/dx, підставляємо:

замість З візьмемо - З, щоб, помноживши обидві частини на (-1), позбутися мінусів:

Тепер наведемо вирази у правій частині до спільного знаменника і знайдемо v:

4) Оскільки y=uv, підставляючи знайдені функції u та v, отримуємо:

Приклади для самоперевірки:

1) Переконаємося, що це – рівняння Бернуллі. Поділивши на обидві частини, маємо:

1) Заміна y=uv, звідки y'=u'v+v'u. Ці y та y' підставляємо в початкову умову:

2) Групуємо складові з v:

Тепер вимагаємо, щоб вираз у дужках дорівнював нулю і знаходимо з цієї умови u:

Інтегруємо обидві частини рівняння:

3) В рівняння (*) підставляємо =0 та u=1/x²:

Інтегруємо обидві частини рівняння, що вийшло.

Лінійні диференційне рівняння 1-го порядку
та рівняння Бернуллі

Лінійним диференціальним рівнянням першого порядку називається рівняння, лінійне щодо невідомої функції та її похідної. Воно має вигляд

\frac(dy)(dx)+p(x)y=q(x),

де p(x) і q(x) - задані функції від x безперервні в тій області, в якій потрібно проінтегрувати рівняння (1).

Якщо q(x)\equiv0 то рівняння (1) називається лінійним однорідним. Воно є рівнянням з змінними, що розділяються, і має загальне рішення

y=C\exp\!\left(-\int(p(x))\,dx\right)\!,

Загальне рішення не однорідного рівнянняможна знайти методом варіації довільної постійної, який полягає в тому, що рішення рівняння (1) шукається у вигляді

y=C(x)\exp\!\left(-\int(p(x))\,dx\right)де C(x) - нова невідома функція від x .

приклад 1.Вирішити рівняння y"+2xy=2xe^(-x^2).

Рішення.Застосуємо метод постійної варіації. Розглянемо однорідне рівняння y"+2xy=0 , відповідне даному неоднорідному рівнянню. Це рівняння з змінними, що розділяються. Його загальне рішення має вигляд y=Ce^(-x^2) .

Загальне рішення неоднорідного рівняння шукаємо як y=C(x)e^(-x^2) , де C(x) - невідома функція від x . Підставляючи, отримуємо C"(x)=2x, звідки C(x)=x^2+C. Отже, загальне рішення неоднорідного рівняння буде y=(x^2+C)e^(-x^2)де C - постійна інтеграція.

Зауваження.Може виявитися, що диференціальне рівняння лінійно щодо x як функція y . Нормальний вигляд такого рівняння

\frac(dx)(dy)+r(y)x=\varphi(y).

приклад 2.Вирішити рівняння \frac(dy)(dx)=\frac(1)(x\cos(y)+sin2y).

Рішення.Це рівняння є лінійним, якщо розглядати x як функцію від y :

\frac(dx)(dy)-x\cos(y)=\sin(2y).

Застосовуємо метод варіації довільної постійної. Спочатку вирішуємо відповідне однорідне рівняння

\frac(dx)(dy)-x\cos(y)=0,

яке є рівнянням з змінними, що розділяються. Його загальне рішення має вигляд x=Ce^(\sin(y)),~C=\text(const).

Загальне рішення рівняння шукаємо у вигляді , де C(y) - невідома функція від y. Підставляючи, отримуємо

C"(y)e^(\sin(y))=\sin2yабо C"(y)=e^(-\sin(y))\sin2y.

Звідси, інтегруючи частинами, матимемо

\begin(aligned)C(y)&=\int(e^(-\sin(y))\sin2y)\,dy=2\int(e^(-\sin(y))\cos(y) \sin(y))\,dy=2\int\sin(y)\,d(-e^(-\sin(y)))=\\ &=-2\sin(y)\,e^ (-\sin(y))+2\int(e^(-\sin(y))\cos(y))\,dy=C-2(\sin(y)+1)e^(-\ sin(y)),\end(aligned)

C(y)=-2e^(-sin(y))(1+sin(y))+C.

Підставляючи це рівняння в x=C(y)e^(\sin(y)), Отримуємо загальне рішення вихідного рівняння, а значить, і даного рівняння:

x=Ce^(\sin(y))-2(1+\sin(y))

Вихідне рівняння може бути проінтегровано наступним чином. Вважаємо

y=u(x)v(x),

де u(x) і v(x) - невідомі функції від x одна з яких, наприклад v(x) може бути обрана довільно.

Підставляючи y=u(x)v(x) , після перетворення отримуємо

vu"+(pv+v")u=q(x).

Визначаючи v(x) з умови v"+pv=0, знайдемо потім з vu"+(pv+v")u=q(x)функцію u(x) , а отже, і розв'язання y=uv рівняння \frac(dy)(dx)+p(x)y=q(x). Як v(x) можна взяти будь-яке часте рішення рівняння v"+pv=0,~v\not\equiv0.

приклад 3.Вирішити завдання Коші: x(x-1)y"+y=x^2(2x-1),~y|_(x=2)=4.

Рішення.Шукаємо загальне рішення рівняння у вигляді y = u (x) v (x); маємо y"=u"v+uv" . Підставляючи вираз для y і y" вихідне рівняння, будемо мати

x(x-1)(u"v+uv")+uv=x^2(2x-1)або x(x-1)vu"+u=x^2(2x-1)

Функцію v=v(x) знаходимо з умови x(x-1)v"+v=0 . Беручи будь-яке окреме рішення останнього рівняння, наприклад v=\frac(x)(x-1) , і підставляючи його, отримуємо рівняння u"=2x-1, з якого знаходимо функцію u(x)=x^2-x+C. Отже, загальне рішення рівняння x(x-1)y"+y=x^2(2x-1)буде

y=uv=(x^2-x+C)\frac(x)(x-1),або y=\frac(Cx)(x-1)+x^2.

Використовуючи початкову умову y|_(x=2)=4 отримуємо для знаходження C рівняння 4=\frac(2C)(2-1)+2^2, звідки C = 0; так що розв'язанням поставленої задачі Коші буде функція y=x^2.

приклад 4.Відомо, що між силою струму i і електрорушійною силою E ланцюга, що має опір R і самоіндукцію L існує залежність E=Ri+L\frac(di)(dt)де R і L - постійні. Якщо вважати E функцією часу t, то отримаємо лінійне неоднорідне рівняння для сили струму i:

frac(di)(dt)+frac(R)(L)i(t)=frac(E(t))(L).

Знайти силу струму i(t) для випадку, коли E=E_0=\text(const)та i(0)=I_0 .

Рішення.Маємо \frac(di)(dt)+\frac(R)(L)i(t)=\frac(E_0)(L),~i(0)=I_0. Загальне рішення цього рівняння маємо вигляд i(t)=\frac(E_0)(R)+Ce^(-(R/L)t). Використовуючи початкову умову (13), отримуємо з C=I_0-frac(E_0)(R), так що шукане рішення буде

i(t)=\frac(E_0)(R)+\left(I_0-\frac(E_0)(R)\right)\!e^(-(R/L)t).

Звідси видно, що з t\to+\infty сила струму i(t) прагне постійного значення \frac(E_0)(R) .

Приклад 5.Дано сімейство C_alpha інтегральних кривих лінійного неоднорідного рівняння y"+p(x)y=q(x) .

Показати, що дотичні у відповідних точках до кривих C_alpha , що визначається лінійним рівнянням, перетинаються в одній точці (рис. 13).

Рішення.Розглянемо дотичну до будь-якої кривої C_\alpha в точці M(x,y).

\eta-q(x)(\xi-x)=y, де \xi,\eta – поточні координати точки дотичної.

За визначенням, у відповідних точках х є постійним, а y змінним. Беручи будь-які дві дотичні до ліній C_alpha у відповідних точках, для координат точки S їх перетину, отримуємо

\xi=x+\frac(1)(p(x)), \quad \eta=x+\frac(q(x))(p(x)).

Звідси видно, що всі, що стосуються кривих C_alpha у відповідних точках (x фіксовано) перетинаються в одній і тій же точці

S\!\left(x+\frac(1)(p(x));\,x+\frac(q(x))(p(x))\right).

Виключаючи в системі аргумент x, отримуємо рівняння геометричного місця точок S \colon f(\xi, \eta) = 0.

Приклад 6.Знайти рішення рівняння y"-y=\cos(x)-\sin(x), що відповідає умові: y обмежено при y\to+\infty .

Рішення.Загальне рішення даного рівняння y = Ce ^ x + \ sin (x) . Будь-яке рішення рівняння, одержуване із загального рішення при C\ne0 буде необмежено, так як при x\to+\infty функція \sin(x) обмежена, а e^x\to+\infty . Звідси випливає, що це рівняння має єдине рішення y=\sin(x) , обмежене при x\to+\infty , яке виходить із загального рішення при C=0 .

Рівняння Бернуллі

Диференціальне рівняння Бернуллімає вигляд

\frac(dy)(dx)+p(x)y=q(x)y^n, де n \ ne0; 1 (при n = 0 і n = 1 це рівняння є лінійним).

За допомогою заміни змінної z=\frac(1)(y^(n-1))рівняння Бернуллі наводиться до лінійного рівняння та інтегрується як лінійне.

Приклад 7.Розв'язати рівняння Бернуллі y"-xy=-xy^3 .

Рішення.Ділимо обидві частини рівняння на y^3:

\frac(y")(y^3)-\frac(x)(y^2)=-x

Робимо заміну змінної \frac(1)(y^2)=z\Rightarrow-\frac(2y")(y^3)=z", звідки \frac(y")(y^3)=-\frac(z")(2). Після підстановки останнє рівняння звернеться до лінійного рівняння

-\frac(z")(2)-xz=-xабо z"+2xz=2x , загальне рішення якого z=1+Ce^(-x^2).

Звідси отримуємо загальний інтеграл цього рівняння

\frac(1)(y^2)=1+Ce^(-x^2)або y^2(1+Ce^(-x^2))=1.

Зауваження.Рівняння Бернуллі може бути проінтегровано також методом постійної варіації, як і лінійне рівняння, і за допомогою підстановки y(x)=u(x)v(x) .

Приклад 8.Розв'язати рівняння Бернуллі xy"+y=y^2\ln(x). .

Рішення.Застосуємо метод варіації довільної постійної. Загальне рішення відповідного однорідного рівняння xy"+y=0 має вигляд y=\frac(C)(x) . Загальне рішення рівняння шукаємо у вигляді y=\frac(C(x))(x) , де C(x) - нова невідома функція Підставляючи вихідне рівняння, будемо мати

C"(x)=C^2(x)\frac(\ln(x))(x^2).

Для знаходження функції C(x) отримаємо рівняння з змінними, що розділяються, з якого, розділяючи змінні та інтегруючи, знайдемо

\frac(1)(C(x))=\frac(\ln(x))(x)+\frac(1)(x)+C~\Rightarrow~C(x)=\frac(x)( 1+Cx+ln(x)).

Отже, загальне рішення вихідного рівняння y=\frac(1)(1+Cx+ln(x)).

Деякі не лінійні рівнянняпершого порядку за допомогою вдало знайденої заміни змінних зводяться до лінійних рівнянь або рівнянь Бернуллі.

Приклад 9.Вирішити рівняння y"+\sin(y)+x\cos(y)+x=0.

Рішення.Запишемо це рівняння у вигляді y"+2\sin\frac(y)(2)\cos\frac(y)(2)+2x\cos^2\frac(y)(2)=0..

Ділячи обидві частини рівняння на 2\cos^2\frac(y)(2), отримуємо \frac(y")(2\cos^2\dfrac(y)(2))+\operatorname(tg)\frac(y)(2)+x=0.

Заміна \operatorname(tg)\frac(y)(2)=z\Rightarrow\frac(dz)(dx)=\frac(y")(\cos^2\dfrac(y)(2))наводить це рівняння до лінійного \frac(dz)(dx)+z=-x, Загальне рішення якого z = 1-x + Ce ^ (-x) .

Замінюючи z його виразом через y , отримуємо загальний інтеграл даного рівняння \operatorname(tg)\frac(y)(2)=1-x+Ce^(-x).

У деяких рівняннях потрібна функція y(x) може бути під знаком інтеграла. У цих випадках іноді вдається шляхом диференціювання звести дане рівняння до диференціального.

Приклад 10Вирішити рівняння x\int\limits_(x)^(0)y(t)\,dt=(x+1)\int\limits_(0)^(x)ty(t)\,dt,~x>0.

Рішення.Диференціюючи обидві частини цього рівняння по x, отримуємо

\int\limits_(0)^(x)y(t)\,dt+xy(x)=\int\limits_(0)^(x)ty(t)\,dt+x(x+1)y (x)або \int\limits_(0)^(x)y(t)\,dx=\int\limits_(0)^(x)ty(t)\,dt+x^2y(x).

Диференціюючи ще раз по x, матимемо лінійне однорідне рівняння щодо y(x)\colon

y(x)=xy(x)+x^2y"(x)+2xy(x)або x^2y"(x)+(3x-1)y(x)=0.

Розділяючи змінні та інтегруючи, знайдемо y=\frac(C)(x^3)e^(-1/x). Це рішення, як легко перевірити, задовольняє вихідне рівняння.

Диференціальне рівняння Бернуллі - це рівняння виду:
де n ≠ 0 , n ≠ 1 , p та q - функції від x.

Рішення диференціального рівняння Бернуллі приведенням до лінійного рівняння

Розглянемо диференціальне рівняння Бернуллі:
(1) ,
де n ≠ 0 , n ≠ 1 , p та q - функції від x.
Розділимо його на yn. За y ≠ 0 або n< 0 маємо:
(2) .
Це рівняння зводиться до лінійного за допомогою заміни змінної:
.
Покажемо це. За правилом диференціювання складної функції:
;
.
Підставимо в (2) і перетворюємо:
;
.
Це - лінійне, щодо z, диференціальне рівняння. Після його вирішення при n > 0 слід розглянути випадок y = 0 . При n> 0 , y = 0 також є рішенням рівняння (1) і має входити у відповідь.

Рішення методом Бернуллі

Розглянуте рівняння (1) також можна вирішити методом Бернуллі. Для цього шукаємо рішення вихідного рівняння у вигляді виконання двох функцій:
y = u·v ,
де u та v - функції від x. Диференціюємо по x:
y = u v + u v .
Підставляємо у вихідне рівняння (1) :
;
(3) .
Як v візьмемо будь-яке, відмінне від нуля, рішення рівняння:
(4) .
Рівняння (4) - Це рівняння з змінними, що розділяються. Вирішуємо його та знаходимо приватне рішення v = v (x). Підставляємо приватне рішення у (3) . Оскільки воно задовольняє рівняння (4) , то вираз у круглих дужках звертається в нуль. Отримуємо:
;
.
Тут v - вже відома функція від x. Це рівняння з змінними, що розділяються. Знаходимо його загальне рішення, а разом із і рішення вихідного рівняння y = uv .

Приклад розв'язання диференціального рівняння Бернуллі

Вирішити рівняння

Рішення

На перший погляд здається, що це диференціальне рівняння не схоже на рівняння Бернуллі. Якщо вважати x незалежною змінною, а y – залежною (тобто якщо y – це функція від x), то це так. Але якщо вважати y незалежною змінною, а x – залежною, то легко побачити, що це – рівняння Бернуллі.

Отже, вважаємо, що x є функцією від y . Підставимо і помножимо на:
;
;
(П.1) .
Це – рівняння Бернуллі з n = 2 . Воно відрізняється від розглянутого вище, рівняння (1) , тільки позначення змінних (x замість y ). Вирішуємо методом Бернуллі. Робимо підстановку:
x = u v ,
де u та v - функції від y. Диференціюємо по y:
.
Підставимо в (П.1):
;
(П.2) .
Шукаємо будь-яку, відмінну від нуля функцію v (y), що задовольняє рівняння:
(П.3) .
Розділяємо змінні:
;
;
.
Покладемо C = 0 оскільки нам потрібне будь-яке рішення рівняння (П.3).
;
.
Підставимо в (П.2)враховуючи, що вираз у дужках дорівнює нулю (через (П.3)):
;
;
.
Розділяємо змінні. При u ≠ 0 маємо:
;
(П.4) ;
.
У другому інтегралі робимо підстановку:
;
.

\frac(dy)(dx)+p(x)y=q(x),

де p(x) і q(x) - задані функції від x безперервні в тій області, в якій потрібно проінтегрувати рівняння (1).

Y=C\exp\!\left(-\int(p(x))\,dx\right)\!,

Загальне рішення неоднорідного рівняння можна знайти методом варіації довільної постійної, який полягає в тому, що рішення рівняння (1) шукається у вигляді

Y=C(x)\exp\!\left(-\int(p(x))\,dx\right)де C(x) - нова невідома функція від x .

приклад 1.Розв'язати рівняння y"+2xy=2xe^(-x^2) .

Загальне рішення неоднорідного рівняння шукаємо як y=C(x)e^(-x^2) , де C(x) - невідома функція від x . Підставляючи, отримуємо C"(x)=2x , звідки C(x)=x^2+C . Отже, загальне рішення неоднорідного рівняння буде y=(x^2+C)e^(-x^2) , де C - Постійна інтегрування.

\frac(dx)(dy)+r(y)x=\varphi(y).

приклад 2.Вирішити рівняння \frac(dy)(dx)=\frac(1)(x\cos(y)+sin2y).

Рішення.Це рівняння є лінійним, якщо розглядати x як функцію від y :

\frac(dx)(dy)-x\cos(y)=\sin(2y).

Застосовуємо метод варіації довільної постійної. Спочатку вирішуємо відповідне однорідне рівняння

\frac(dx)(dy)-x\cos(y)=0,

яке є рівнянням з змінними, що розділяються. Його загальне рішення має вигляд x=Ce^(\sin(y)),~C=\text(const).

Загальне рішення рівняння шукаємо як x=C(y)e^(\sin(y)) , де C(y) - невідома функція від y . Підставляючи, отримуємо

C"(y)e^(\sin(y))=\sin2yабо C"(y)=e^(-sin(y))\sin2y.

Звідси, інтегруючи частинами, матимемо

Отже,

C(y)=-2e^(-sin(y))(1+sin(y))+C.

Підставляючи це рівняння x=C(y)e^(\sin(y)) , отримуємо загальне рішення вихідного рівняння, а значить, і даного рівняння:

X=Ce^(\sin(y))-2(1+\sin(y))

Вихідне рівняння може бути проінтегровано наступним чином. Вважаємо

Y=u(x)v(x),

де u(x) і v(x) - невідомі функції від x одна з яких, наприклад v(x) може бути обрана довільно.

Підставляючи y=u(x)v(x) , після перетворення отримуємо

Vu"+(pv+v")u=q(x).

Визначаючи v(x) з умови v"+pv=0 , знайдемо потім з vu"+(pv+v")u=q(x) функцію u(x) , а отже, і рішення y=uv рівняння \frac(dy)(dx)+p(x)y=q(x). Як v(x) можна взяти будь-яке часте рішення рівняння v"+pv=0,~v\not\equiv0.

приклад 3.Вирішити завдання Коші: x(x-1)y"+y=x^2(2x-1),~y|_(x=2)=4.

Рішення.Шукаємо загальне рішення рівняння у вигляді y = u (x) v (x); маємо y"=u"v+uv" . Підставляючи вираз для y і y" у вихідне рівняння, матимемо

X(x-1)(u"v+uv")+uv=x^2(2x-1)або x(x-1)vu"+u=x^2(2x-1)

Функцію v=v(x) знаходимо з умови x(x-1)v"+v=0 . Беручи будь-яке окреме рішення останнього рівняння, наприклад v=\frac(x)(x-1) , і підставляючи його, отримуємо рівняння u"=2x-1, з якого знаходимо функцію u(x)=x^2-x+C . Отже, загальне рішення рівняння x(x-1)y"+y=x^2(2x-1)буде

Y=uv=(x^2-x+C)\frac(x)(x-1),або y=\frac(Cx)(x-1)+x^2.

\frac(di)(dt)+\frac(R)(L)i(t)=\frac(E(t))(L).

Знайти силу струму i(t) для випадку, коли E=E_0=\text(const)та i(0)=I_0 .

I(t)=\frac(E_0)(R)+\left(I_0-\frac(E_0)(R)\right)\!e^(-(R/L)t).

Звідси видно, що з t\to+\infty сила струму i(t) прагне постійного значення \frac(E_0)(R) .

Приклад 5.Дано сімейство C_alpha інтегральних кривих лінійного неоднорідного рівняння y"+p(x)y=q(x) .

Рішення.Розглянемо дотичну до будь-якої кривої C_\alpha в точці M(x,y).

\eta-q(x)(\xi-x)=y, де \xi,\eta – поточні координати точки дотичної.

\xi=x+\frac(1)(p(x)), \quad \eta=x+\frac(q(x))(p(x)).

Звідси видно, що всі дотичні до кривих C_alpha у відповідних точках (x фіксовано) перетинаються в одній і тій же точці

S\!\left(x+\frac(1)(p(x));\,x+\frac(q(x))(p(x))\right).

Виключаючи в системі аргумент x, отримуємо рівняння геометричного місця точок S \colon f(\xi, \eta) = 0.

Приклад 6.Знайти рішення рівняння y"-y=\cos(x)-\sin(x), що відповідає умові: y обмежено при y\to+\infty .

Рівняння Бернуллі

Диференціальне рівняння Бернуллімає вигляд

\frac(dy)(dx)+p(x)y=q(x)y^n, де n \ ne0; 1 (при n = 0 і n = 1 це рівняння є лінійним).

Приклад 7.Розв'язати рівняння Бернуллі y"-xy=-xy^3 .

Рішення.Ділимо обидві частини рівняння на y^3:

\frac(y")(y^3)-\frac(x)(y^2)=-x

-\frac(z")(2)-xz=-xабо z"+2xz=2x , загальне рішення якого z=1+Ce^(-x^2).

Звідси отримуємо загальний інтеграл цього рівняння

\frac(1)(y^2)=1+Ce^(-x^2)або y^2(1+Ce^(-x^2))=1.

Приклад 8.Розв'язати рівняння Бернуллі xy"+y=y^2\ln(x). .

C"(x)=C^2(x)\frac(\ln(x))(x^2).

\frac(1)(C(x))=\frac(\ln(x))(x)+\frac(1)(x)+C~\Rightarrow~C(x)=\frac(x)( 1+Cx+ln(x)).

Отже, загальне рішення вихідного рівняння y=\frac(1)(1+Cx+ln(x)).

Деякі нелінійні рівняння першого порядку за допомогою вдало знайденої заміни змінних зводяться до лінійних рівнянь або рівнянь Бернуллі.

Приклад 9.Вирішити рівняння y"+\sin(y)+x\cos(y)+x=0.

Рішення.Запишемо це рівняння у вигляді y"+2\sin\frac(y)(2)\cos\frac(y)(2)+2x\cos^2\frac(y)(2)=0..

Ділячи обидві частини рівняння на 2\cos^2\frac(y)(2), отримуємо \frac(y")(2\cos^2\dfrac(y)(2))+\operatorname(tg)\frac(y)(2)+x=0.

Замінюючи z його виразом через y , отримуємо загальний інтеграл даного рівняння \operatorname(tg)\frac(y)(2)=1-x+Ce^(-x).

Приклад 10Вирішити рівняння x\int\limits_(x)^(0)y(t)\,dt=(x+1)\int\limits_(0)^(x)ty(t)\,dt,~x>0.

Рішення.Диференціюючи обидві частини цього рівняння по x, отримуємо

\int\limits_(0)^(x)y(t)\,dt+xy(x)=\int\limits_(0)^(x)ty(t)\,dt+x(x+1)y (x)або Джерело інформації

Рівняння Бернулліє одним з найбільш відомих нелінійних диференціальних рівнянь першого порядку. Воно записується у вигляді

де a(x) та b(x) − безперервні функції. Якщо m= 0, то рівняння Бернуллі стає лінійним диференціальним рівнянням. У разі коли m= 1, рівняння перетворюється на рівняння з змінними, що розділяються. У загальному випадку, коли m≠ 0, 1, рівняння Бернуллі зводиться до лінійного диференціального рівняння за допомогою підстановки

Нове диференціальне рівняння для функції z(x) має вигляд

і може бути вирішено способами, що описані на сторінці Лінійні диференціальні рівняння першого порядку.

МЕТОД БЕРНУЛИ.

Розглянуте рівняння можна вирішити методом Бернуллі. Для цього шукаємо рішення вихідного рівняння у вигляді виконання двох функцій: де u, v- функції від x. Диференціюємо: Підставляємо у вихідне рівняння (1): (2) Як vвізьмемо будь-яке, відмінне від нуля, рішення рівняння: (3) Рівняння (3) - це рівняння з змінними, що розділяються. Після того, як ми знайшли його приватне рішення v = v (x), підставляємо його (2). Оскільки воно задовольняє рівняння (3), то вираз у круглих дужках перетворюється на нуль. Отримуємо: Це також рівняння з змінними, що розділяються. Знаходимо його загальне рішення, а разом із ним і рішення вихідного рівняння y = uv.

64. Рівняння у повних диференціалах. Інтегруючий множник. Методи вирішення

Диференціальне рівняння першого порядку виду

називається рівнянням у повних диференціалах , якщо його ліва частинапредставляє повний диференціал певної функції, тобто.

Теорема.Для того, щоб рівняння (1) було рівнянням у повних диференціалах, необхідно і достатньо, щоб у деякій однозв'язковій області зміни зміннихвиконувалося умова

Загальний інтеграл рівняння (1) має вигляд або

приклад 1. Розв'язати диференціальне рівняння.

Рішення. Перевіримо, що це рівняння є рівнянням у повних диференціалах:

отже, тобто. умова (2) виконана. Таким чином, дане рівняння є рівнянням у повних диференціалах і

тому, де поки невизначена функція.

Інтегруючи, отримуємо . Приватна похідна знайденої функції повинна дорівнювати, що дає звідки що таким чином.

Загальний інтеграл вихідного диференціального рівняння.

При інтегруванні деяких диференціальних рівнянь можна так згрупувати члени, що виходять комбінації, що легко інтегруються.

65. Звичайні диференціальні лінійні рівняння вищих порядків: однорідні та неоднорідні. Лінійний диференціальний оператор, його характеристики (з підтвердженням).

Лінійний диференціальний оператор та його властивості.Безліч функцій, що мають на інтервалі ( a , b ) не менше n похідних, утворює лінійний простір. Розглянемо оператор L n (y ), який відображає функцію y (x ), що має похідних, у функцію, що має k - n похідних.