Метод дотичних приклад розв'язання. Курсова робота: Метод Ньютона для вирішення нелінійних рівнянь



Ключові слова:

Мета роботи: вивчити методи розв'язання нелінійних рівнянь з одним невідомим та апробувати їх у дослідно-експериментальній роботі.

Завдання роботи:

1. Проаналізувати спеціальну літературуі вибрати найбільш раціональні способи вирішення нелінійних рівнянь, що дозволяють глибоко вивчити та засвоїти цю темуусім випускникам середньої школи.
2. Розробити деякі аспекти методики розв'язання нелінійних рівнянь із застосуванням ІКТ.
3. Вивчити методи розв'язання нелінійних рівнянь:

‒ Кроковий метод

‒ Метод поділу навпіл

‒ Метод Ньютона

Введення.

Без математичної грамотності неможливе успішне освоєння методів вирішення завдань з фізики, хімії, біології та інших предметів. Весь комплекс природничих наук побудований та розвивається з урахуванням математичних знань. Наприклад, дослідження низки актуальних завдань математичної фізики призводить до необхідності розв'язання нелінійних рівнянь. Вирішення нелінійних рівнянь необхідне в нелінійній оптиці, фізиці плазми, теорії надпровідності та фізиці низьких температур. На цю тему є достатня кількість літератури, але у багатьох підручниках та статтях важко розібратися учневі середньої школи. У цьому роботі розглянуті методи розв'язання нелінійних рівнянь, які можна використовувати під час вирішення прикладних завдань фізики, хімії. Цікавим є аспект застосування інформаційних технологійдо розв'язання рівнянь та завдань з математики.

Кроковий метод.

Нехай потрібно розв'язати нелінійне рівняння виду рівняння F(x)=0. Припустимо, що нам заданий деякий інтервал пошуку . Потрібно знайти інтервал [а,b] довжиною h, що містить перший корінь рівняння, починаючи з лівої межі інтервалу пошуку.

Мал. 1. Кроковий метод

Вирішити таке завдання можна кількома способами. Кроковий метод є найпростішим із чисельних методів розв'язання нерівностей, але досягнення великої точності необхідно істотно зменшити крок, але це сильно збільшує час розрахунків. Алгоритм розв'язання рівнянь за допомогою даного методускладається із двох етапів.

Iетап. Відділення коріння.

На цьому етапі визначаються ділянки, на кожному з яких знаходиться лише один корінь рівняння. Є кілька варіантів реалізації цього етапу:

• Підставляємо значення X (бажано з якимось досить дрібним кроком) і дивимося, де функція змінить знак. Якщо функція змінила знак, це означає, що на ділянці між попереднім і поточним значенням X лежить корінь (якщо функція не змінює характеру зростання/зменшення, то можна стверджувати, що корінь на цьому інтервалі один).
• Графічний метод. Будуємо графік та оцінюємо на яких інтервалах лежить один корінь.
• Досліджуємо властивості конкретної функції.

IIетап. Уточнення коріння.

На цьому етапі значення коренів рівняння, визначених раніше, уточнюється. Як правило, на цьому етапі використовуються ітераційні методи. Наприклад, метод половинного поділу(Дихотомія) або метод Ньютона.

Метод половинного поділу

Швидкий і досить простий чисельний метод розв'язання рівнянь, заснований на послідовному звуженні інтервалу, що містить єдиний корінь рівняння F(x)=0 доти, доки досягнуто задана точність Е. Даний метод зазвичай використовується під час вирішення квадратних рівняньта рівнянь вищих ступенів. Однак у даного методу є істотний недолік - якщо на відрізку [а, b] міститься більше одного кореня, то за його допомогою не вдасться досягти добрих результатів.

Мал. 2. Метод дихотомії

Алгоритм цього методу наступний:

‒ Визначити нове наближення кореня х у середині відрізка [а;b]: х=(а+b)/2.

‒ Знайти значення функції в точках а та х: F(a) та F(x).

‒ Перевірити умову F(a)*F(x)

‒ Перейти до пункту 1 і поділити відрізок навпіл. Алгоритм продовжити доти, доки буде виконано умова |F(x)|

Метод Ньютона

Найточніший із чисельних методів рішення; підходить для вирішення дуже складних рівнянь, але ускладнюється необхідністю обчислення похідних на кожному кроці. полягає в тому, що якщо x n - деяке наближення до кореня рівняння , то наступне наближення визначається як корінь щодо функції f(x), проведеної в точці x n .

Рівняння щодо функції f(x) у точці x n має вигляд:

У рівнянні дотичної покладемо y = 0 і x = x n +1.

Тоді алгоритм послідовних обчислень у методі Ньютона полягає в наступному:

Збіжність методу дотичних квадратична, порядок збіжності дорівнює 2.

Отже, збіжність методу дотичних Ньютона дуже швидка.

Без змін метод узагальнюється на комплексний випадок. Якщо корінь xi є коренем другої кратності і вище, то порядок збіжності падає і стає лінійним.

До недоліків методу Ньютона слід віднести його локальність, оскільки він гарантовано сходиться при довільному стартовому наближенні, тільки якщо скрізь виконано умову , В противній ситуації збіжність є лише в деякій околиці кореня.

Метод Ньютона (метод дотичних) зазвичай застосовується у разі, якщо рівняння f(x) = 0має корінь і виконуються умови:

1) функція y= f(x)визначена і безперервна при ;

2) f(a)·f(b) (функція набуває значень різних знаків на кінцях відрізка [ a;b]);

3) похідні f"(x)і f""(x)зберігають знак на відрізку [ a;b] (тобто функція f(x)або збільшується, або зменшується на відрізку [ a;b], зберігаючи при цьому напрям опуклості);

Сенс методу полягає в наступному: на відрізку [ a;b] вибирається таке число x 0при якому f(x 0)має той самий знак, що й f""(x 0),тобто виконується умова f(x 0)·f""(x) > 0. Таким чином, вибирається крапка з абсцисою x 0, в якій стосується кривої y=f(x)на відрізку [ a;b] перетинає вісь Ox. За крапку x 0спочатку зручно вибирати один із кінців відрізка.

Розглянемо цей алгоритм на конкретному прикладі.

Нехай нам дано зростаюча функція y = f(x) = x 2-2,безперервна на відрізку (0;2) і має f "(x) = 2x> 0і f""(x) = 2> 0.

У нашому випадку рівняння дотичної має вигляд: y-y 0 = 2x 0 · (x-x 0).У як точка x 0 вибираємо точку B 1 (b; f(b)) = (2,2).Проводимо дотичну до функції y = f(x)у точці B 1 , і позначаємо точку перетину дотичної та осі Oxточкою x 1. Отримуємо рівняння першої дотичної: y-2 = 2 · 2 (x-2), y = 4x-6. Ox: x 1 =

Мал. 3. Побудова першої щодо графіку функції f(x)

y=f(x) Oxчерез точку x 1, отримуємо точку У 2 = (1.5; 0.25). Знову проводимо дотичну до функції y = f(x)в точці В 2 і позначаємо точку перетину дотичної і Oxточкою x 2.

Рівняння другої дотичної: y-2.25 = 2 * 1.5 (x-1.5), y = 3x - 4.25.Точка перетину дотичної та осі Ox: x 2 =.

Потім знаходимо точку перетину функції y=f(x)та перпендикуляра, проведеного до осі Oxчерез точку x 2 отримуємо точку В 3 і так далі.

Мал. 4. Побудова другої щодо графіку функції f(x)

Перше наближення кореня визначається за такою формулою:

= 1.5.

Друге наближення кореня визначається за такою формулою:

=

Третє наближення кореня визначається за такою формулою:

Таким чином , i-е наближення кореня визначається за такою формулою:

Обчислення ведуться доти, доки не буде досягнуто збігу десяткових знаків, які необхідні у відповіді, або заданої точності e - до виконання нерівності |xi-xi-1|

У нашому випадку порівняємо наближення, отримане на третьому кроці з реальною відповіддю. Як видно, вже на третьому кроці ми отримали похибку менше ніж 0.000002.

Рішення рівняння за допомогою САПРMathCAD

Для найпростіших рівнянь виду f(x) = 0 рішення в MathСAD знаходиться за допомогою функції root.

root(f (х 1 , x 2 , … ) х 1 , a, b ) - повертає значення х 1 , що належить відрізку [ a, b ] , при якому вираз чи функція f (х ) звертається до 0. Обидва аргументи цієї функції мають бути скалярами. Функція повертає скаляр.

Мал. 5. Вирішення нелінійного рівняння в MathCAD (функція root)

Якщо в результаті застосування цієї функції виникає помилка, то це може означати, що рівняння не має коріння, або коріння рівняння розташоване далеко від початкового наближення, вираз має локальні maxі minміж початковим наближенням та корінням.

Щоб встановити причину помилки, необхідно дослідити графік функції f(x). Він допоможе з'ясувати наявність коренів рівняння f(x) = 0 і якщо вони є, то визначити приблизно їх значення. Чим точніше вибрано початкове наближення кореня, то швидше буде знайдено його точне значення.

Якщо початкове наближення невідоме, доцільно використовувати функцію solve . При цьому якщо рівняння містить декілька змінних, потрібно вказати після ключового слова solve список змінних, щодо яких вирішується рівняння.

Мал. 6. Вирішення нелінійного рівняння в MathCAD (функція solve)

Висновок

У ході дослідження були розглянуті як математичні методи, і рішення рівнянь з використанням програмування в САПР MathCAD. Різні методимають свої переваги та недоліки. Слід зазначити, що застосування тієї чи іншої методу залежить від початкових умов заданого рівняння. Ті рівняння, які добре вирішуються відомими у школі методами розкладання на множники тощо, не має сенсу вирішувати більше складними способами. Прикладні завдання математики, важливі для фізики, хімії та потребують складних обчислювальних операцій при вирішенні рівнянь, успішно вирішуються, наприклад, за допомогою програмування. Їх добре вирішувати методом Ньютона.

Для уточнення коренів можна застосовувати кілька методів розв'язання того самого рівняння. Саме це дослідження лягло в основу даної роботи. При цьому легко простежити, який метод найбільш вдалий при вирішенні кожного етапу рівняння, а який метод на цьому етапі краще не застосовувати.

Вивчений матеріал, з одного боку, сприяє розширенню та поглибленню математичних знань, прищепленню інтересу до математики. З іншого боку, завдання реальної математики важливо вміти вирішувати тим, хто має намір придбати професії технічного та інженерного спрямування. Тому дана роботамає значення для подальшої освіти(Наприклад, у вищому навчальному закладі).

Література:

1. Мітяков С. Н. Інформатика. Комплекс навчально-методичних матеріалів. - Н. Новгород: Нижегород. держ. техн. ун-т., 2006
2. Вайнберг М. М., Треногін В. А. Теорія розгалуження розв'язків нелінійних рівнянь. М.: Наука, 1969. – 527 с.
3. Бронштейн І. Н., Семендяєв К. А. Довідник з математики для інженерів та учнів ВТНЗ - М.: Наука, 1986.
4. Омельченко В. П., Курбатова Е. В. Математика: навчальний посібник. - Ростов н/Д.: Фенікс, 2005.
5. Савін А. П. Енциклопедичний словникмолодого математика. - М: Педагогіка, 1989.
6. Корн Г., Корн Т. Довідник з математики для науковців та інженерів. - М: Наука, 1973.
7. Кір'янов Д. Mathcad 15/MathcadPrime 1.0. - С-Пб: БХВ-Петербург, 2012.
8. Черняк А., Черняк Ж., Доманова Ю. Вища математика з урахуванням Mathcad. Загальний курс - С-Пб.: БХВ-Петербург, 2004.
9. Поршнєв С., Беленкова І. Чисельні методи з урахуванням Mathcad. - С-Пб: БХВ-Петербург, 2012.

Ключові слова: нелінійні рівняння, прикладна математика, САПР MathCAD, метод Ньютона, кроковий метод, метод дихотомії..

Анотація: Стаття присвячена вивченню методів розв'язання нелінійних рівнянь, зокрема з використанням системи автоматизованого проектування MathCAD. Розглянуто кроковий метод, методи половинного поділу та Ньютона, наведено докладні алгоритми застосування даних методів, а також проведено порівняльний аналізвказаних методів.

p align="justify"> Метод Ньютона (також відомий як метод дотичних) - це ітераційний чисельний метод знаходження кореня (нуля) заданої функції. Метод був вперше запропонований англійським фізиком, математиком та астрономом Ісааком Ньютоном (1643-1727), під ім'ям якого і знайшов свою популярність.

Метод був описаний Ісааком Ньютоном у рукописі De analysi per aequationes numero terminorum infinitas (лат .Про баналізі рівняннями нескінченних рядів), адресованої в 1669 Барроу, і в роботі De metodis fluxionum et serierum infinitarum (лат.Метод флюксій і нескінченні ряди) або Geometria analytica ( лат.аналітичнагеометрія) у зборах праць Ньютона, яка була написана у 1671 році. Проте опис методу суттєво відрізнявся від його нинішнього викладу: Ньютон застосовував свій метод виключно поліномам. Він обчислював не послідовні наближення xn, а послідовність поліномів і в результаті отримував наближене рішення x.

Вперше метод був опублікований в трактаті Алгебра Джона Валліса в 1685, на прохання якого він був коротко описаний самим Ньютоном. У 1690 році Джозеф Рафсон опублікував спрощений опис у роботі Analysis aequationum universalis (лат. Загальний аналізрівнянь).Рафсон розглядав метод Ньютона як суто алгебраїчний і обмежив його застосування поліномами, проте при цьому він описав метод на основі послідовних наближень x n замість більш тяжкої для розуміння послідовності поліномів, використаної Ньютоном.

Нарешті, в 1740 метод Ньютона був описаний Томасом Сімпсоном як ітеративний метод першого порядку вирішення нелінійних рівнянь з використанням похідної в тому вигляді, в якому він викладається тут. У тій же публікації Сімпсон узагальнив метод на випадок системи з двох рівнянь і зазначив, що метод Ньютона також може бути застосований для вирішення задач оптимізації шляхом знаходження похідної нуля або градієнта.

Відповідно до даного методу завдання пошуку кореня функції зводиться до задачі пошуку точки перетину з віссю абсцис дотичної, побудованої до графіка функції .

Рис.1 . Графік зміни функції

Проведена в будь-якій точці дотична лінія до графіка функції визначається похідною цієї функції в точці, що розглядається, яка в свою чергу визначається тангенсом кута α (). Точка перетину дотичної з віссю абсцис визначається виходячи з наступного співвідношення прямокутному трикутнику: тангенс кута.у прямокутному трикутнику визначається ставленням протилежного катета до прилеглого катета трикутника. Таким чином, на кожному кроці будується дотична до графіка функції у точці чергового наближення . Крапка перетину дотичної з віссю Ox буде наступною точкою наближення. Відповідно до розглянутого методу розрахунок наближеного значення кореня наi-ітерації проводиться за формулою:

Нахил прямий підлаштовується на кожному кроці якнайкраще, проте слід звернути увагу на те, що алгоритм не враховує кривизну графіка і отже в процесі розрахунку залишається невідомо в який бік може відхилитися графік.

Умовою закінчення ітераційного процесу є виконання наступної умови:

де ˗ допустима похибка визначення кореня.

Метод має квадратичну збіжність. Квадратична швидкість збіжності означає, що кількість вірних знаків у наближеному значенні подвоюється з кожною ітерацією.

Математичне обґрунтування

Нехай дана речова функція, яка визначена і безперервна на ділянці, що розглядається. Необхідно знайти речовий корінь розглянутої функції.

Висновок рівняння ґрунтується на методі простих ітерацій, відповідно до якого рівняння призводять до еквівалентного рівняння за будь - якої функції . Введемо поняття стискаючого відображення, що визначається співвідношенням .

Для найкращої збіжності методу у точці чергового наближення має виконуватися умова. Ця вимога означає, що корінь функції повинен відповідати екстремуму функції .

Похідна стискаючого відображеннявизначається у такому вигляді:

Виразимо з цього вираз зміннуза умови прийнятого раніше твердження про те, що за умови необхідно забезпечити умову . В результаті отримаємо вираз для визначення змінної:

З урахуванням цього стискаюча функція прийому наступний вид:

Таким чином алгоритм знаходження чисельного рішення рівняння зводиться до ітераційної процедури обчислення:

Алгоритм знаходження кореня нелінійного рівняння методом

1. Задати початкову точку наближеного значення кореня функції, і навіть похибка розрахунку (мале позитивне число ) і початковий крок ітерації ().

2. Виконати розрахунок наближеного значення кореня функції відповідно до формули:

3. Перевіряємо наближене значення кореня щодо заданої точності, у разі:

Якщо різницю двох послідовних наближень стане менше заданої точності , то ітераційний процес закінчується.

Якщо різниця двох послідовних наближень не досягає необхідної точності, необхідно продовжити ітераційний процес і перейти до п.2 аналізованого алгоритму.

Приклад розв'язування рівнянь

за методомНьютона для рівняння з однією змінною

Як приклад, розглянемо рішення нелінійного рівняння методомНьютона для рівняння з однією змінною. Корінь необхідно знайти з точністю як перший наближення.

Варіант розв'язання нелінійного рівняння у програмному комплексіMathCADпредставлений малюнку 3.

Результати розрахунків, саме динаміка зміни наближеного значення кореня, і навіть похибки розрахунку кроку ітерації представлені у графічній формі (див. рис.2).

Рис.2. Результати розрахунку за методом Ньютона для рівняння з однією змінною

Для забезпечення заданої точності при пошуку наближеного значення кореня рівняння в діапазоні необхідно виконати 4 ітерації. На останньому етапі ітерації наближене значення кореня нелінійного рівняння визначатиметься значенням: .

Рис.3 . Лістинг програми вMathCad

Модифікації методу Ньютона для рівняння з однією змінною

Існує кілька модифікацій методу Ньютона, спрямованих спрощення обчислювального процесу.

Спрощений метод Ньютона

Відповідно до методу Ньютона потрібно обчислювати похідну функції f(x) на кожному кроці ітерації, що веде до збільшення обчислювальних витрат. Для зменшення витрат, пов'язаних з обчисленням похідної на кожному кроці розрахунку, можна провести заміну похідної f'(x n ) у точці x n у формулі на похідну f'(x 0) у точці x 0 . Відповідно до даного методу розрахунку наближене значення кореня визначається за такою формулою:Модифікований метод Ньютона

Різнисний метод Ньютона

У результаті наближене значення кореня функції f(x) визначатиметься виразом різницевого методу Ньютона:

Двох кроковий метод Ньютона

Відповідно до методу Ньютона потрібно обчислювати похідну функції f(x) кожному кроці ітерації, що завжди зручно, котрий іноді практично неможливо. Цей спосібдозволяє похідну функції замінити різницевим ставленням (наближеним значенням):

В результаті наближене значення кореня функції f(x) визначатиметься таким виразом:

де

Рис.5 . Двох кроковий метод Ньютона

Метод січучих є дво кроковим, тобто нове наближеннявизначається двома попередніми ітераціямита . У методі необхідно задавати два початкові наближеннята . Швидкість збіжності методу буде лінійною.

• Назад
• Вперед

Для того, щоб додати коментар до статті, будь ласка, зареєструйтесь на сайті.

2. Метод Ньютона розв'язання систем нелінійних рівнянь.

Цей метод має набагато швидшу збіжність, ніж метод простої ітерації. В основі методу Ньютона системи рівнянь (1.1) лежить використання розкладання функцій

, де
(2.1)

в ряд Тейлора, причому члени, що містять другі і більше високі порядкипохідних, що відкидаються. Такий підхід дозволяє вирішення однієї нелінійної системи(1.1) замінити рішенням низки лінійних систем.

Отже, систему (1.1) вирішуватимемо методом Ньютона. В області D виберемо будь-яку точку
і назвемо її нульовим наближенням до точного рішення вихідної системи. Тепер функції (2.1) розкладемо в ряд Тейлора на околиці точки . Будемо мати

Т.к. ліві частини (2.2) повинні звертатися у нуль згідно з (1.1), то й праві частини (2.2) теж повинні звертатися у нуль. Тому з (2.2) маємо

Усі приватні похідні (2.3) повинні бути обчислені в точці .

(2.3) є система лінійних алгебраїчних рівняньщодо невідомих Цю систему можна вирішити методом Крамера, якщо її основний визначник буде відмінний від нуля та знайти величини

Тепер можна уточнити нульове наближення, побудувавши перше наближення з координатами

тобто.
. (2.6)

З'ясуємо, чи наближення (2.6) отримано з достатнім ступенем точності. Для цього перевіримо умову

,
(2.7)

де наперед задане мале позитивне число (точність, з якою має бути вирішена система (1.1)). Якщо умова (2.7) буде виконано, то за наближене рішення системи (1.1) виберемо (2.6) та закінчимо обчислення. Якщо ж умова (2.7) не виконуватиметься, то виконаємо таку дію. У системі (2.3) замість
візьмемо уточнені значення

, (2.8)

тобто. виконаємо наступні дії

. (2.9)

Після цього система (2.3) буде системою лінійних рівнянь алгебри щодо величин Визначивши ці величини, наступне друге наближення
до розв'язання системи (1.1) знайдемо за формулами

Тепер перевіримо умову (2.7)

Якщо ця умова виконується, то закінчуємо обчислення, взявши за наближене рішення системи (1.1) друге наближення
. Якщо ж ця умова не виконується, то продовжуємо будувати наступне наближення, прийнявши (2.3)
Будувати наближення потрібно доти, доки умова не буде виконана.

Робочі формули методу Ньютона на вирішення системи (1.1) можна записати як.

Обчислити послідовність

Тут
є рішенням системи

Сформулюємо алгоритм обчислень за формулами (2.11)-(2.13).

1. Виберемо нульове наближення, що належить області D.

2. У системі лінійних рівнянь алгебри (2.13) покладемо
,а.

3. Розв'яжемо систему (2.13) і знайдемо величини
.

4. У формулах (2.12) покладемо
і обчислимо компоненти наступного наближення.

5. Перевіримо умову (2.7) на : (Див. алгоритм обчислення максимуму кількох величин.)

6. Якщо ця умова виконується, то закінчуємо обчислення, вибравши наближене рішення системи (1.1) наближення . Якщо це умова не виконується, то перейдемо до п.7.

7. Покладемо
для всіх.

8. Виконаємо п.3, поклавши
.

Геометрично цей алгоритм можна записати як.

Алгоритм. Обчислення максимуму кількох величин.

приклад. Розглянемо використання методу Ньютона на вирішення системи двох рівнянь.

Методом Ньютона з точністю вирішити наступну системунелінійних рівнянь

, (2.14)

тут
. Виберемо нульове наближення
, Що належить області D. Побудуємо систему лінійних рівнянь алгебри (2.3). Вона матиме вигляд

(2.15)

Позначимо

Вирішимо систему (2.15) щодо невідомих
наприклад методом Крамера. Формули Крамера запишемо у вигляді

(2.17)

де основний визначник системи (2.15)

(2.18)

а допоміжні визначники системи (2.15) мають вигляд

.

Знайдені значення підставимо (2.16) і знайдемо компоненти першого наближення
до вирішення системи (2.15).

Перевіримо умову

, (2.19)

якщо це умова виконується, то закінчуємо обчислення, прийнявши за наближене рішення системи (2.15) перше наближення, тобто.
. Якщо умова (2.19) не виконується, то покладемо
,
і збудуємо нову системулінійних рівнянь алгебри (2.15). Вирішивши її, знайдемо друге наближення
. Перевіримо його на . Якщо ця умова виконуватиметься, то за наближене рішення системи (2.15) виберемо
. Якщо умова не виконуватиметься, покладемо
,
та побудуємо наступну систему (2.15) для знаходження
і т.д.

Завдання

В усіх завданнях потрібно:

Скласти програму чисельної реалізації методу згідно із запропонованим алгоритмом.

Отримати результати обчислень.

Перевірити отримані результати.

Задано систему двох нелінійних рівнянь.

1.
2.

3.
4.

5.
6.

7.
8.

9.
10.

11.
12.

13.
14.

15.
.

Глава 3. Чисельні методи розв'язання систем лінійних рівнянь алгебри (СЛАУ).

Мета роботи. Знайомство з деякими наближеними методами рішення СЛАУ та їх чисельною реалізацією на ПК.

Попередні зауваження.Усі методи рішення СЛАУ зазвичай поділяють на дві великі групи. До першої групи належать методи, які називають точними. Ці методи дозволяють для будь-яких систем знайти точні значенняневідомі після кінцевого числа арифметичних операцій, кожна з яких виконується точно.

До другої групи відносяться всі методи, які не є точними. Їх називають ітераційними, чи чисельними, чи наближеними. Точне рішення при використанні таких методів виходить в результаті нескінченного процесу наближень. Привабливою рисою таких методів є їхня самовиправність і простота реалізації на ПК.

Розглянемо деякі наближені методи рішення СЛАУ та побудуємо алгоритми їх чисельної реалізації. Наближене рішення СЛАУ будемо отримувати з точністю до , де дуже маленьке позитивне число.

1. Метод ітерації.

Нехай СЛАУ задана у вигляді

(1.1)

Цю систему можна записати у матричному вигляді

, (1.2)

де
- матриця коефіцієнтів при невідомих у системі (1.1),
- стовпець вільних членів,
- Стовпець невідомих системи (1.1).

. (1.3)

Розв'яжемо систему (1.1) методом ітерації. Для цього виконаємо такі дії.

По-перше. Виберемо нульове наближення

(1.4)

до точного рішення (1.3) системи (1.1). Компонентами нульового наближення можуть бути будь-які числа. Але зручніше компоненти нульового наближення взяти чи нулі
, чи вільні члени системи (1.1)

По-друге. Компоненти нульового наближення підставимо в праву частинусистеми (1.1) та обчислимо

(1.5)

Величини, що стоять зліва (1.5) є компонентами першого наближення
Дії, у яких вийшло перше наближення, називаються ітерацією.

По-третє. Перевіримо нульове та перше наближення на

(1.6)

Якщо умови (1.6) виконуються, то за наближене рішення системи (1.1) виберемо, або , або однаково, т.к. вони відрізняються один від одного не більше ніж на і закінчимо обчислення. Якщо хоча б одну з умов (1.6) не буде виконано, то перейдемо до наступної дії.

По-четверте. Виконаємо таку ітерацію, тобто. у праву частину системи (1.1) підставимо компоненти першого наближення та обчислимо компоненти другого наближення
, де

По-п'яте. Перевіримо
і , тобто. перевіримо умову (1.6) цих наближень. Якщо умови (1.6) будуть виконані, то за наближене рішення системи (1.1) виберемо, або , або однаково, т.к. вони відрізняються один від одного не більше ніж на . В іншому випадку будуватимемо наступну ітерацію, підставивши компоненти другого наближення в праву частину системи (1.1).

Ітерації потрібно будувати доти, доки два сусідні наближення
і відрізнятимуться один від одного не більше, ніж на .

Робочу формулу методу ітерації рішення системи (1.1) можна записати як

Алгоритм чисельної реалізації формули (1.7) може бути таким.

Достатні умови збіжності методу ітерації для системи (1.1) мають вигляд

1.
, .

2.
,
.

3.

2. Метод простої ітерації.

Нехай система лінійних рівнянь алгебри (СЛАУ) задана у вигляді

(2.1)

Щоб систему (2.1) вирішити методом простої ітерації, спочатку треба привести до виду

(2.2)

У системі (2.2) -е рівняння є -ое рівняння системи (2.1), дозволене щодо -ой невідомої (
).

Метод розв'язання системи (2.1), що полягає у зведенні її до системи (2.2) з наступним рішенням системи (2.2) методом ітерації, називається методом простої ітерації для системи (2.1).

Таким чином, робочі формули методу простої ітерації рішення системи (2.1) матимуть вигляд

(2.3)

Формули (2.3) можна записати у вигляді

Алгоритм чисельної реалізації методу простої ітерації для системи (2.1) за формулами (2.4) може бути таким.

Цей алгоритм можна записати геометрично.

Достатні умови збіжності методу простої ітерації для системи (2.1) мають вигляд

1.
, .

2.
,
.

3.

3. Стаціонарний метод Зейделя.

Метод Зейделя рішення СЛАУ відрізняється від методу ітерації тим, що знайшовши якесь наближення для тієї компоненти, ми відразу ж використовуємо його для відшукання наступних
,
, …, -ий компонент. Такий підхід дозволяє забезпечити більше високу швидкістьзбіжності методу Зейделя проти методом ітерації.

Нехай СЛАУ задана у вигляді

(3.1)

Нехай
- нульове наближення до точного рішення
Системи (3.1). І нехай знайдено -е наближення
. Визначимо компоненти
-ого наближення за формулами

(3.2)

Формули (3.2) можна записати у компактному вигляді

,
,
(3.3)

Алгоритм чисельної реалізації методу Зейделя рішення системи (3.1) за формулами (3.3) може бути таким.

1. Виберемо, наприклад,
,

2. Покладемо.

3. Для всіх обчислимо.

4. Для всіх перевіримо умови
.

5. Якщо всі умови п.4 будуть виконані, то за наближене рішення системи (3.1) виберемо або , або і закінчимо обчислення. Якщо хоча б одна умова у п.4 не буде виконана, перейдемо до п.6.

6. Покладемо та перейдемо до п.3.

Цей алгоритм можна записати геометрично.

Достатня умова збіжності методу Зейделя для системи (3.1) має вигляд
, .

4. Нестаціонарний метод Зейделя.

Цей метод рішення СЛАУ (3.1) забезпечує ще більшу швидкість збіжності методу Зейделя.

Нехай якимось чином для системи (3.1) знайдені компоненти -ого наближення і наближення.

Обчислимо вектор поправки

Підрахуємо величини

, (4.2)

Розташуємо величини
, у порядку їх спадання.

У такому порядку перепишемо рівняння в системі (3.1) і невідомі в цій системі. Лінійнаалгебраі нелінійні ... Керівництводлялабораторних робітпо ... методичнівказівки дляпрактичнихробітпо длястудентів ...

Навчальна література (природничі науки та технічні) 2000-2011 цикл опд – 10 років цикл сд – 5 років

Література

... Природнінаукив цілому 1. Астрономія [Текст]: посібник для ... Чисельніметоди: Лінійнаалгебраі нелінійні ... Керівництводлялабораторних робітпо ... методичнівказівки дляпрактичнихробітподисципліни "Економіка транспорту" длястудентів ...

- природничі науки (1)

Навчальний посібник

... керівництводлястудентівта викладачів, призначене длявикористання не лише при вивченні методівроботи... вироблення практичнихнавичок із використанням реальних даних. Методичнірекомендації повиконання залікової роботиподаному...

- природничі науки - фізико-математичні науки - хімічні науки - науки про землю (геодезичні геофізичні геологічні та географічні науки)

Документ

... длястудентівприродно- ... робітподисципліни "Генетика та селекція", присвячених актуальним проблемамцією науки. Систематизовано самостійну роботастудентівпотеоретичному та практичному ... лінійного, нелінійного, динамічний. Усі методи ...

- природничі науки - фізико-математичні науки - хімічні науки - науки про землю (геодезичні геофізичні геологічні та географічні науки) (7)

Список підручників

Визначник Єрьоміна в лінійноїі нелінійноюалгебри : лінійнеі нелінійнепрограмування: новий метод/ Єрьомін, Михайло... Длястудентівта викладачів геологічних спеціальностей вузів. кх-1 1794549 99. Д3 П 693 Практичнекерівництвопо ...

Розв'язання нелінійних рівнянь методом Ньютона

Для вирішення електроенергетичних завдань існує кілька модифікацій методу. Вони дозволяють збільшити швидкість збіжності ітераційного процесу і зменшити час розрахунку.

Основне гідністьметоду – він має швидку збіжність.

Ідея методуполягає в послідовній заміні на кожній ітерації розрахунку вихідної нелінійної системи рівнянь деякою допоміжною лінійною системою рівнянь, рішення якої дозволяє отримати чергове наближення невідомих, ближче до шуканого рішення ( лінеаризація).

Розглянемо нелінійне рівняння в загальному вигляді:

Шукане рішення рівняння - точка, в якій крива перетинає вісь абсцис.

Задаємо початкове наближення невідомої х (0). Визначаємо значення функції у цій точці w(х (0))і проводимо дотичну до кривої в точці В. Точка перетину цієї дотичної з віссю абсцис визначає наступне наближення невідомої х (1)і т.д.

Розкладемо рівняння (1) у ряд Тейлора на околицях точки х (0). Розглянемо члени розкладання, що містять тільки 1 похідну:

(2)

х - х (0) = Δх- Поправка до невідомої. Якщо визначимо її, то зможемо визначити наступне наближення.

З (2) визначаємо поправку (3)

Тоді наступне наближення: (5)

Аналогічно отримуємо до-е наближення:

Це рекурентна формула методу Ньютонадля вирішення нелінійних рівнянь. Вона дає змогу визначати чергові наближення невідомих.

Формулу (6) можна отримати іншим способом з малюнка:

Ітераційний процес сходиться, якщо зменшується та наближається до 0 . Результат досягнуто, якщо .

Коментар до геометричної інтерпретації

Ітераційний крок методу зводиться до заміни кривої на пряму, яка описується лівою частиною рівняння (2). Вона є дотичною до кривої в точці. Цей процес називається лінеаризацією. Точка перетину дотичної до кривої з віссю хдає чергове наближення невідомої. Тому цей метод називається методом дотичних.

Приклад:

Приклад:

Для того, щоб визначити цим методом усі коріння нелінійного рівняння, потрібно будь-яким способом визначити приблизнарозташування цих коренів і задати початкові наближення поблизу них.

Простий спосіб визначення області розташування коренів - табуляція.

Ітераційний процес Ньютона не сходиться, якщо початкові наближення обрані так, що:

Процес або не сходиться чи сходиться дуже погано.

Метод Ньютона-Рафсона для вирішення СНАУ

Рафсон показав, що ітераційний метод Ньютона, запропонований на вирішення одногонелінійного рівняння, можна використовувати для вирішення системнелінійних рівнянь.

При цьому, для вирішення систем нелінійних рівнянь потрібно замість однієї невідомої розглядати сукупність (вектор) невідомих:

замість однієї нев'язки рівняння, розглядаємо вектор нев'язокрівнянь системи:

Одна похідна (6) заміщається матрицею похідних. Операція поділу (6) заміщається множенням на зворотнуматрицю похідних. У цьому випадку метод Ньютона-Рафсона відрізняється від методу Ньютона переходом від одновимірної задачі до багатовимірної.

Розглянемо систему дійсних нелінійних алгебраїчних рівнянь:

(7)

У матричному вигляді її можна записати:

де Х= х 2 – вектор – стовпець невідомих;

w 1 (х 1, х 2, … х n)

W = w 2 (х 1, х 2, ... х n) - Вектор-функція.

w n (х 1, х 2, … х n)

Нехай - Початкові наближення невідомих. Розкладемо кожне рівняння системи (7) у ряд Тейлора в околиці точки Х (0)тобто виконаємо наближену заміну вихідних нелінійних рівнянь лінійними, в яких зберігається тільки 1-а похідна (лінеаризація). У результаті система рівнянь (7) набуває вигляду:

(9)

В результаті отримали систему лінійних рівнянь(лінеаризована система), у якій невідомими є поправки. Коефіцієнти при невідомих у цій системі - перші похідні від рівнянь w jвихідної нелінійної системи за всіма невідомими Х i.. Вони утворюють матрицю коефіцієнтів - матрицю Якобі:

=

Кожен рядок матриці складається з перших похідних від чергового рівняння нелінійної системи по всіх невідомих.

Запишемо лінеаризовану систему (9) у матричній формі:

(10)

Тут - вектор нев'язок рівнянь вихідної системи. Його елементи отримуємо при підстановці в рівняння нелінійної системи чергових наближень невідомих;

- матриця Якобі. Її елементами є перші приватні виробничі від усіх рівнянь вихідної системи по всіх невідомих;

- вектор поправокдо невідомих. На кожній ітерації він може бути записаний:

Систему (10) з урахуванням прийнятих позначень можна записати:

(12)

Ця система лінійнащодо поправок ΔХ (к).

Система (13) – лінеаризована система рівнянь, якою замінюється вихідна СНАУ на кожному кроці ітераційного процесу.

Система (13) вирішується будь-яким відомим способом, в результаті знаходимо вектор поправок. Потім з (11) можемо знайти чергові наближенняневідомих:

Т.о. кожен крок ітераційногопроцесу полягає у вирішенні лінійної системи (13) і визначенні чергового наближення з (14).

З (11) та (12) можна отримати загальну рекурентну формулу(у матричному вигляді), що відповідає методу Ньютона-Рафсона:

(15)

Вона має структуру, що відповідає формулі (6).

Формула (15) у практичних розрахунках використовується рідкотому що тут потрібно звертати матрицю Якобі (великої розмірності) на кожній ітерації розрахунків. У реальних розрахунках поправки визначаються результаті рішення лінійної системи (13).

Контроль завершенняітераційного процесу виконуємо по вектору нев'язок:

Ця умова повинна виконуватися для нев'язок всіхрівнянь системи.

Алгоритм рішення СНАУ методом Ньютона-Рафсона

1. Завдання вектора початкових наближень невідомих.

Завдання точності розрахунку є , інших параметрів розрахунку

2. Визначення нев'язок нелінійних рівнянь у точці наближення;

2.3. Визначення елементів матриці Якобі в точці чергового наближення невідомих;

2.4. Рішення лінеаризованої системи (13) будь-яким відомим методом. Визначення поправок до невідомих.

2.5. Визначення чергового наближення невідомих відповідно до (14).

2.6. Контролює завершення ітераційного процесу відповідно до (16). Якщо умова не виконується, повернення до пункту 2.

Прикладник:

Вирішити СЛАУ методом Ньютона-Рафсона:

(Рішення Х 1 = Х 2 = 2)

Запишемо рівняння у вигляді нев'язок:

Визначаємо елементи матриці Якобі:

Матриця Якобі:

Реалізуємо алгоритм методу Ньютона-Рафсона:

1) Перша ітерація:

Початкові наближення

Нев'язки

Матриця Якобі:

Лінеаризована система рівнянь:

1-е наближення невідомих:

2) Друга ітерація

3) Третя ітерація:

… ……… …… …… …… ……..

Рішення систем рівнянь режиму, що встановився, методом Ньютона-Рафсона

Нелінійне рівняння встановленого режиму у формі балансу потужності для -го вузла має вигляд:

(17)

Це рівняння з комплексними невідомими та коефіцієнтами. Для того, щоб такі рівняння виду (17) можна було вирішуватиметодом Ньюто-на-Рафсона, їх перетворять: поділяють дійсні та уявні частини. Внаслідок цього кожне комплексне рівняннявиду (17) розпадається на два дійсні рівняння, які відповідають балансу активної та реактивної потужності у вузлі:

Тут-задані потужності у вузлі;

Невідомі складові напруги у вузлах. Їх потрібно

визначити у результаті розрахунку.

У правій частині рівнянь (18) - розрахункова сумарна потужність перетоків у гілках, відповідних до -му вузлу.

Запишемо ці рівняння (18) у вигляді нев'язок:

Нев'язки рівнянь (19) відповідає розрахунковому небалансуактивної та реактивної потужності в-му вузлі.

Нев'язки описують режим вузла і і є нелінійними функціями від невідомих напруг у вузлах. Потрібно, щоб -> 0.

Розв'язуватимемо методом Ньютона-Рафсона систему 2nрівнянь виду (19), тобто на вирішення завдання розрахунку встановленого режиму електричної мережі методом Ньютона - Рафсона потрібно:

1) сформувати систему 2nрівнянь виду (19) всім вузлів електричної мережі, крім балансуючих;

2) організувати ітераційний процес методу Ньютона-Рафсона

для розв'язання цієї системи рівнянь. В результаті рішення

отримуємо шукані складові напруги у вузлах .

Запишемо цю систему рівнянь у загальному вигляді:

(20)

Отримали систему 2 нелінійних рівнянь нев'язокз 2 невідомими, якими. Невідомими в ній є складові напруги - модулі та кути.

Для вирішення системи (20) методом Ньютона-Рафсона потрібно скласти допоміжнулінеаризовану систему рівнянь виду (13), вирішуючи яку на кожній ітерації, визначаємо поправки до невідомих:

(21)

З урахуванням прийнятих позначень система (21) може бути записана:

(22)

де -матриця Якобі, її елементами є приватні похідні від рівнянь системи (20) по всіх невідомих - складових напружень

Вектор нев'язок рівнянь системи (20). Їх значення отримуємо при підстановці рівняння чергових наближень невідомих;

Вектор поправок до невідомих:

; ΔӨ i = Ψ i (к+1) - Ө i (к), ΔU i = U i (к+1) - U i (к) .

Для визначення елементів матриці Якобі застосовуємо аналітичне диференціювання, тобто. диференціюємо кожне рівняння системи (20) за шуканими величинами – кутами та модулями напруг. Щоб сформувати матрицю Якобі, потрібно отримати аналітичні вирази для наступних похідних. видів:

1) Похідна від рівняння нев'язки активної потужності го вузла по куту напруги цього ж вузла: ;

2) Похідна від рівняння нев'язки активної потужності го вузла по куту суміжної напруги j-го вузла: ;

3) Похідна від нев'язки активної потужності го вузла по модулю напруги цього ж вузла: ;

4) Похідна від нев'язки активної потужності го вузла по модулю напруги суміжного вузла: ;

Аналогічно визначаються ще чотири види похідних - похідні від рівнянь нев'язки реактивної потужності го вузла по всіх невідомих:

5) ; 6) ; 7) ; 8) .

З урахуванням цих похідних матрицю Якобі можна записати у загальному вигляді:

(23)

Визначимо аналітичні виразидля похідних, диференціюючи рівняння системи (20) за невідомими величинами. Вони мають вигляд:

(24)

Матриця Якобів загальному випадку- Квадратна матриця, симетрична, розмірністю, її елементами є приватні похідні від нев'язок рівнянь (небалансу потужностей) по всіх невідомих.

Якщо вузли не пов'язані між собою, то відповідні вироблені в матриці матриці Якобі, розташовані поза діагоналі, дорівнюватимуть нулю (аналогічно матриці провідностей) - т.к. у відповідних форму-лах (24) взаємна провідність y ijє співмножником і. y ij =0.

Кожен рядок матриці – похідні від чергового рівняння системи (20).

Наявність у схемі моделюваної мережі спеціальних вузлів (опорні і балансуючі вузли, вузли ФМ) позначається на структурісистеми рівнянь встановленого режиму і на структурі матриці Якобі:

1. Для вузлів з фіксацією модулянапруги (ФМ), в яких задані і невідомими є і , з матриці Якобі виключаєтьсярядок похідних (т.к. Q iне задана, те й рівняння балансу реактивної потужності (18), (19) скласти не можна) і стовпець похідних (т.к. модуль напруги U iвідомий і він виключається зі складу невідомих).

2. Для вузлів опорних та балансуючих – відповідні рядки та стовпці матриці виключаються;

3. Якщо вузли не пов'язані безпосередньо - відповідні вироблені в матриці дорівнюють нулю.

Матрицю Якобі можна розбити на чотири блоку:

1) - похідні від рівнянь небалансу активноюпотужності (20) кутахнапруги;

2) - похідні від рівнянь небалансу активноюпотужності по модулямнапруги;

3) - похідні від рівнянь небалансу реактивноюпотужності (20) кутахнапруги;

4) - похідні від рівнянь небалансу реактивноюпотужності по модулямнапруги.

Це матриці-клітини приватних похідних небалансів активної та реактивної потужностей за невідомими кутами та модулями напруг. Загалом, це квадратні матриці розмірністю n×n.

З огляду на це, матриця Якобі може бути представлена ​​у вигляді блоковоїмат-риці:

Де субвектор невідомих величин.

З урахуванням цього, Тоді лінеаризовану систему рівнянь (22) можна записати у вигляді:

. (25)

Вирішуючи цю лінійну системурівнянь (будь-яким відомим методом) на

до кожної ітерації методу, знаходимо поправки до невідомих, а потім і

чергові наближенняневідомих:

(26)

Чергове наближення невідомих можна також отримати з використанням. ітераційної формулиметоду Ньютона-Рафсона, аналогічною (15):

- · (27)

Тут потрібно звернення матриці Якобі кожної ітерації – громіздка обчислювальна операція.

Алгоритм розв'язання систем рівнянь встановленого режиму методом Ньютона - Рафсона

1. Завдання початкових значень невідомих напруг. Як початкових наближень приймаємо: , тобто. номінальна напруга вузлів;

2. Завдання умов розрахунку: точність ε , гранична кількість ітерацій, прискорювальні коефіцієнти та ін.

3. Визначення нев'язок рівнянь відповідно до рівнянь (20) при чергових наближеннях невідомих;

4. Визначення елементів матриці Якобі відповідно до (24) при чергових наближеннях невідомих;

5. Рішення лінеаризованої системи рівнянь (25) та визначення поправок до невідомих;

6. Визначення чергових наближень невідомих відповідно до (26);

7. Перевірка завершення ітераційного процесу:

Значення нев'язок рівнянь для всіх вузлів повинні бути менше заданої точності.

Якщо умова не виконується, то повернення до пункту 3 і повторення розрахунку при нових наближеннях невідомих.

Існує ряд модифікацій методу Ньютона-РафсонаУ тому числі:

1. Модифікований метод Ньютона-Рафсона.

Матрицю Якобі розраховують один раз при початкових значеннях невідомих. На наступних ітераціях вона приймається постійною. Це значно скорочує обсяг обчислень на кожній ітерації, але збільшує кількість ітерацій.

2. Розділений метод Ньютона-Рафсона.

Похідні види дуже малі і їх значеннями можна набрати. В результаті, в матриці Якобі залишаються два блоки - 1-й і 4-й, і система (25), що складається з рівнянь, розпадаєтьсяна дві незалежні системи розмірністю . Кожна з цих систем вирішується окремо від іншої. Це призводить до скорочення обсягу обчислень та необхідної пам'яті ЕОМ.