Приватні види лінійних диференціальних рівнянь другого порядку. Диференціальні рівняння другого порядку та вищих порядків

Основи вирішення лінійних неоднорідних диференціальних рівняньдругого порядку (ЛНДУ-2) з постійними коефіцієнтами(ПК)

ЛНДУ 2-го порядку з постійними коефіцієнтами $p$ і $q$ має вигляд $y""+p\cdot y"+q\cdot y=f\left(x\right)$, де $f\left(x \right)$ - безперервна функція.

Щодо ЛНДУ 2-го з ПК справедливі два наступні твердження.

Припустимо, деяка функція $U$ є довільним приватним рішенням неоднорідного диференціального рівняння. Припустимо також, що деяка функція $Y$ є загальним рішенням (ОР) відповідного лінійного однорідного диференціального рівняння (ЛОДУ) $y""+p\cdot y"+q\cdot y=0$. Тоді ОР ЛНДУ-2 дорівнює сумі зазначених приватного та загального рішень, тобто $ y = U + Y $.

Якщо права частинаЛНДУ 2-го порядку є сумою функцій, тобто $f\left(x\right)=f_(1) \left(x\right)+f_(2) \left(x\right)+...+ f_(r) \left(x\right)$, то спочатку можна знайти ЧР $U_(1) ,U_(2) ,...,U_(r) $, які відповідають кожній з функцій $f_(1) \ left(x\right),f_(2) \left(x\right),...,f_(r) \left(x\right)$, а вже після цього записати ЧР ЛНДУ-2 у вигляді $U= U_(1) +U_(2) +...+U_(r) $.

Рішення ЛНДУ 2-го порядку з ПК

Очевидно, що вид того чи іншого ЧР $U$ даного ЛНДУ-2 залежить від конкретного виду його правої частини $f \ left (x \ right) $. Найпростіші випадки пошуку ЧР ЛНДУ-2 сформульовані у вигляді наступних чотирьох правил.

Правило №1.

Права частина ЛНДУ-2 має вигляд $f\left(x\right)=P_(n) \left(x\right)$, де $P_(n) \left(x\right)=a_(0) \cdot x^(n) +a_(1) \cdot x^(n-1) +...+a_(n-1) \cdot x+a_(n) $, тобто називається многочленом ступеня $n$. Тоді його ЧР $U$ шукають у вигляді $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) $, де $Q_(n) \left(x\right)$ - інший багаточлен тієї ж ступеня, як і $P_(n) \left(x\right)$, а $r$ - кількість коренів характеристичного рівняннявідповідного ЛОДУ-2, рівних нулю. Коефіцієнти многочлена $Q_(n) \left(x\right)$ знаходять методом невизначених коефіцієнтів (НК).

Правило №2.

Права частина ЛНДУ-2 має вигляд $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot P_(n) \left(x\right)$, де $P_(n) \left( x\right)$ є багаточлен ступеня $n$. Тоді його ЧР $U$ шукають у вигляді $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) \cdot e^(\alpha \cdot x) $, де $Q_(n) \ left(x\right)$ - інший многочлен тієї ж ступеня, як і $P_(n) \left(x\right)$, а $r$ - кількість коренів характеристичного рівняння відповідного ЛОДУ-2, рівних $\alpha$. Коефіцієнти многочлена $Q_(n) \left(x\right)$ знаходять методом ПК.

Правило №3.

Права частина ЛНДУ-2 має вигляд $f\left(x\right)=a\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+b\cdot \sin \left(\beta \cdot x\right) $, де $a$, $b$ і $\beta$ - відомі числа. Тоді його ЧР $U$ шукають у вигляді $U=\left(A\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+B\cdot \sin \left(\beta \cdot x\right)\right )\cdot x^(r) $, де $A$ і $B$ - невідомі коефіцієнти, а $r$ - кількість коренів характеристичного рівняння відповідного ЛОДУ-2, рівних $i\cdot \beta$. Коефіцієнти $A$ та $B$ знаходять методом ПК.

Правило №4.

Права частина ЛНДУ-2 має вигляд $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left$, де $P_(n) \left(x\right)$ - багаточлен ступеня $ n$, а $P_(m) \left(x\right)$ - багаточлен ступеня $m$. Тоді його ЧР $U$ шукають у вигляді $U=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left\cdot x^(r) $, де $Q_(s) \left(x\right)$ і $ R_(s) \left(x\right)$ - багаточлени ступеня $s$, число $s$ - максимальне з двох чисел $n$ і $m$, а $r$ - кількість коренів характеристичного рівняння відповідного ЛОДУ-2, рівних $ \ alpha + i \ cdot \ beta $. Коефіцієнти багаточленів $Q_(s) \left(x\right)$ і $R_(s) \left(x\right)$ знаходять методом ПК.

Метод ПК полягає у застосуванні наступного правила. Для того, щоб знайти невідомі коефіцієнти багаточлена, які входять до складу приватного рішення неоднорідного диференціального рівняння ЛНДУ-2, необхідно:

• підставити ЧР $U$, записане в загальному вигляді, в ліву частинуЛНДУ-2;
• у лівій частині ЛНДУ-2 виконати спрощення та згрупувати члени з однаковими ступенями $x$;
• в отриманому тотожності прирівняти коефіцієнти при членах з однаковими ступенями $x$ лівої та правої частин;
• вирішити одержану систему лінійних рівнянь щодо невідомих коефіцієнтів.

Приклад 1

Завдання: знайти ОР ЛНДУ-2 $y""-3\cdot y"-18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $. Знайти також ЧР , задовольняє початковим умовам $y=6$ при $x=0$ і $y"=1$ при $x=0$.

Записуємо відповідне ЛОДУ-2: $y""-3cdot y"-18cdot y=0$.

Характеристичне рівняння: $ k ^ (2) -3 cdot k-18 = 0 $. Коріння характеристичного рівняння: $ k_(1) = -3 $, $ k_ (2) = 6 $. Це коріння дійсне і різне. Таким чином, ОР відповідного ЛОДУ-2 має вигляд: $ Y = C_ (1) \ cdot e ^ (-3 \ cdot x) + C_ (2) \ cdot e ^ (6 \ cdot x) $.

Права частина даного ЛНДУ-2 має вигляд $ \ left (36 \ cdot x + 12 \ right) \ cdot e ^ (3 \ cdot x) $. У ній необхідно розглядати коефіцієнт показника ступеня експоненти $ alpha = 3 $. Цей коефіцієнт не збігається з жодним з коренів характеристичного рівняння. Тому ЧР даного ЛНДУ-2 має вигляд $ U = \ left (A \ cdot x + B \ right) \ cdot e ^ (3 \ cdot x) $.

Шукатимемо коефіцієнти $A$, $B$ методом ПК.

Знаходимо першу похідну ЧР:

$U"=\left(A\cdot x+B\right)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot \left( e^(3\cdot x) \right)^((") ) =$

$=A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\left(A+3\cdot A\ cdot x+3\cdot B\right)\cdot e^(3\cdot x) .$

Знаходимо другу похідну ЧР:

$U""=\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot \left(e^(3\cdot x) \right)^((") ) =$

$=3\cdot Acdot e^(3cdot x) + left(A+3cdot Acdot x+3cdot Bright)cdot 3cdot e^(3cdot x) =\left(6cdot A+9cdot Acdot x+9cdot Bright)cdot e^(3cdot x) .$

Підставляємо функції $U""$, $U"$ і $U$ замість $y""$, $y"$ і $y$ в дане ЛНДУ-2 $y""-3\cdot y"-18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $ При цьому, оскільки експонента $e^(3\cdot x) $ входить як множник у всі складові, то її можна опустити.

$6cdot A+9cdot Acdot x+9cdot B-3cdot \left(A+3cdot Acdot x+3cdot Bright)-18cdot \left(A\) cdot x+Bright)=36cdot x+12.$

Виконуємо дії у лівій частині отриманої рівності:

$-18cdot Acdot x+3cdot A-18cdot B=36cdot x+12.$

Застосовуємо метод ПК. Отримуємо систему лінійних рівнянь із двома невідомими:

$-18 \ cdot A = 36; $

$3\cdot A-18\cdot B=12.$

Рішення цієї системи таке: $A=-2$, $B=-1$.

ЧР $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $ для нашої задачі виглядає наступним чином: $U=\left(-2\cdot x-1\right) \ cdot e ^ (3 \ cdot x) $.

ОР $y=Y+U$ для нашого завдання виглядає наступним чином: $y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) +\ left(-2cdot x-1right)cdot e^(3cdot x) $.

З метою пошуку ЧР, що задовольняє заданим початковим умовам, знаходимо похідну $y"$ ОР:

$y"=-3\cdot C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +6\cdot C_(2) \cdot e^(6\cdot x) -2\cdot e^(3\ cdot x) +\left(-2\cdot x-1\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) .$

Підставляємо в $y$ і $y"$ початкові умови $y=6$ за $x=0$ і $y"=1$ за $x=0$:

$ 6 = C_ (1) + C_ (2) -1; $

$1=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -2-3=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -5.$

Отримали систему рівнянь:

$ C_ (1) + C_ (2) = 7;

$-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) =6.$

Вирішуємо її. Знаходимо $C_(1) $ за формулою Крамера, а $C_(2) $ визначаємо з першого рівняння:

$C_(1) =\frac(\left|\begin(array)(cc) (7) & (1) \\ (6) & (6) \end(array)\right|)(\left|\ begin(array)(cc) (1) & (1) \\ (-3) & (6) \end(array)\right|) =\frac(7\cdot 6-6\cdot 1)(1\ cdot 6-\left(-3\right)\cdot 1) =\frac(36)(9) =4; C_(2) =7-C_(1) =7-4=3.$

Таким чином, ЧР даного диференціального рівняння має вигляд: $y=4cdot e^(-3cdot x) +3cdot e^(6cdot x) +left(-2cdot x-1right ) \ cdot e ^ (3 \ cdot x) $.

Тут ми застосуємо метод варіації постійних Лагранж для вирішення лінійних неоднорідних диференціальних рівнянь другого порядку. Докладний описцього методу для вирішення рівнянь довільного порядку викладено на сторінці
Вирішення лінійних неоднорідних диференціальних рівнянь вищих порядків методом Лагранжа >>>.

Приклад 1

Вирішити диференціальне рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами методом варіації постійних Лагранжа:
(1)

Рішення

Спочатку ми вирішуємо однорідне диференціальне рівняння:
(2)

Це рівняння другого порядку.

Вирішуємо квадратне рівняння:
.
Коріння кратне: .
(3) .
Фундаментальна система розв'язків рівняння (2) має вигляд: Звідси отримуємо спільне рішення (2):
(4) .

однорідного рівняння 1 Варіювати постійні C 2 та C
.
. Тобто замінимо на (4) постійні і на функції:Шукаємо рішення
(5) .

вихідного рівняння
.
(1) у вигляді:
(6) .
Знаходимо похідну:
.

Зв'яжемо функції та рівнянням:
.
Тоді
(1) ;



.
Знаходимо другу похідну:
(7) .
Підставляємо у вихідне рівняння (1):

Оскільки і задовольняють однорідне рівняння (2), то сума членів у кожному стовпці останніх трьох рядків дає нуль і попереднє рівняння набуває вигляду:
(6) :
(7) .

Тут.

Разом з рівнянням (6) ми отримуємо систему рівнянь для визначення функцій та :
.
Розв'язання системи рівнянь
;
.

Вирішуємо систему рівнянь (6-7) методом Крамера. Обчислюємо визначник матриці системи:

.
За формулами Крамера знаходимо:
;
.

Отже, ми знайшли похідні функції:
;
.
Інтегруємо (див. Методи інтегрування коріння). Робимо підстановку
; ; ; .

.
.

;
.

Відповідь

Приклад 2

Вирішити диференціальне рівняння методом варіації постійних Лагранжа:
(8)

Рішення

Крок 1. Вирішення однорідного рівняння

Вирішуємо однорідне диференціальне рівняння:

(9)
Шукаємо рішення у вигляді.

Складаємо характеристичне рівняння:
.
Це рівняння має комплексне коріння:
(10) .
Фундаментальна система рішень, що відповідає цим корінням, має вигляд:
(11) .

Загальне рішення однорідного рівняння (9):

Крок 2. Варіація постійних – заміна постійних функціями 1 Варіювати постійні C 2 Тепер варіюємо постійні C
.
.
(12) .

Тобто замінимо на (11) постійні на функції: Шукаємо рішення вихідного рівняння (8) у вигляді:Далі хід рішення виходить таким самим, як у прикладі 1. Ми приходимо до
(13) :
(14) .
Підставляємо у вихідне рівняння (1):

Тут.

наступній системі
.
рівнянь для визначення функцій та:
;
.

Вирішуємо цю систему. Випишемо вирази функцій і:

.
За формулами Крамера знаходимо:
;
.

.
З таблиці похідних знаходимо:
.
Знаходимо похідну:
.

Вирішуємо систему рівнянь (13-14) методом Крамера. Визначник матриці системи:


.

Оскільки знак модуля під знаком логарифму можна опустити. Помножимо чисельник і знаменник на : Загальне рішення вихідного рівняння:

Лінійним диференціальним рівнянням другого порядку"" + називається рівняння виду(y)Лінійним диференціальним рівнянням другого порядку" + p(y)Лінійним диференціальним рівнянням другого порядку = x(y) ,

q Лінійним диференціальним рівнянням другого порядку f називається рівняння виду(y) , p(yде x(y- функція, яку потрібно знайти, а ) та) .

) - безперервні функції на деякому інтервалі ( x(y a, b Якщо права частина рівняння дорівнює нулю ( ) = 0 ), то рівняння називається x(yлінійним однорідним рівнянням

. Таким рівнянням і буде переважно присвячена практична частина цього уроку. Якщо ж права частина рівняння не дорівнює нулю ( Лінійним диференціальним рівнянням другого порядку"" :

Лінійним диференціальним рівнянням другого порядку"" = −називається рівняння виду(y)Лінійним диференціальним рівнянням другого порядку" − p(y)Лінійним диференціальним рівнянням другого порядку + x(y) .

) ≠ 0), то рівняння називається . У завданнях від нас потрібно вирішити рівняння щодо .

Лінійні диференціальні рівняння другого порядку мають єдине рішення

завдання Коші

Лінійним диференціальним рівнянням другого порядку"" + називається рівняння виду(y)Лінійним диференціальним рівнянням другого порядку" + p(y)Лінійним диференціальним рівнянням другого порядку = 0 .

Якщо Лінійним диференціальним рівнянням другого порядку1 (y) Лінійне однорідне диференціальне рівняння другого порядку та його вирішення Лінійним диференціальним рівнянням другого порядку2 (y) Розглянемо лінійне однорідне диференціальне рівняння другого порядку:

1) Лінійним диференціальним рівнянням другого порядку1 (y) + Лінійним диференціальним рівнянням другого порядку 2 (y) і

2) - Приватні рішення цього рівняння, то вірні такі висловлювання:1 (y) - також є розв'язком цього рівняння; Cy, де

C

Cy1 Лінійним диференціальним рівнянням другого порядку 1 (y) + Cy 2 Лінійним диференціальним рівнянням другого порядку 2 (y)

- довільна стала (константа), також є рішенням цього рівняння.

З цих двох висловлювань випливає, що функція також є розв'язком цього рівняння. Виникає справедливе питання: чи це рішення не є Cy1 Лінійне однорідне диференціальне рівняння другого порядку та його вирішення Cy2 Чи можна отримати всі можливі рішення рівняння?

Відповідь на це запитання наступна: може, але за певної умови. Це умова про те, якими властивостями повинні мати приватні рішення Лінійним диференціальним рівнянням другого порядку1 (y) Лінійне однорідне диференціальне рівняння другого порядку та його вирішення Лінійним диференціальним рівнянням другого порядку2 (y) .

І ця умова називається умовою лінійної незалежностіприватних рішень.

Теорема. Функція Cy1 Лінійним диференціальним рівнянням другого порядку 1 (y) + Cy 2 Лінійним диференціальним рівнянням другого порядку 2 (y) є загальним рішенням лінійного однорідного диференціального рівняння другого порядку, якщо функції Лінійним диференціальним рівнянням другого порядку1 (y) Лінійне однорідне диференціальне рівняння другого порядку та його вирішення Лінійним диференціальним рівнянням другого порядку2 (y) лінійно незалежні.

Визначення. Функції Лінійним диференціальним рівнянням другого порядку1 (y) Лінійне однорідне диференціальне рівняння другого порядку та його вирішення Лінійним диференціальним рівнянням другого порядку2 (y) називаються лінійно незалежними, якщо їхнє ставлення є константою, відмінною від нуля:

Лінійним диференціальним рівнянням другого порядку1 (y)/Лінійним диференціальним рівнянням другого порядку 2 (y) = k ; k = const ; k ≠ 0 .

Однак встановити за визначенням, чи ці функції є лінійно незалежними, часто дуже трудомістко. Існує спосіб встановлення лінійної незалежності за допомогою визначника Вронського W(y) :

Якщо визначник Вронського не дорівнює нулю, то рішення – лінійно незалежні . Якщо визначник Вронського дорівнює нулю, то рішення – лінійно залежні.

приклад 1.Знайти загальне рішення лінійного однорідного диференціального рівняння.

Рішення. Інтегруємо двічі і, як легко помітити, щоб різниця другої похідної функції і самої функції дорівнювала нулю, рішення повинні бути пов'язані з експонентою, похідна якої дорівнює їй самій. Тобто приватними рішеннями є і .

Бо визначник Вронського

не дорівнює нулю, ці рішення лінійно незалежні. Отже, загальне рішення даного рівняння можна записати як

.

Лінійні однорідні диференціальні рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами: теорія та практика

Лінійним однорідним диференціальним рівнянням другого порядку з постійними коефіцієнтами Загальне рішення вихідного рівняння:

Лінійним диференціальним рівнянням другого порядку"" + py" + qy = 0 ,

q називається рівняння видуі p- Постійні величини.

На те, що це рівняння другого порядку, вказує на наявність другої похідної від шуканої функції, а на його однорідність - нуль у правій частині. Постійними коефіцієнтами називаються згадані вище величини.

Щоб розв'язати лінійне однорідне диференціальне рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами , потрібно спочатку вирішити так зване характеристичне рівняння виду

k² + pq + p = 0 ,

яке, очевидно, є звичайним квадратним рівнянням .

Залежно від вирішення характеристичного рівняння можливі три різні варіанти розв'язки лінійного однорідного диференціального рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами , які зараз розберемо. Для повної визначеності вважатимемо, що всі приватні рішення пройшли перевірку визначником Вронського і він у всіх випадках не дорівнює нулю. Втім, які сумніваються, можуть перевірити це самостійно.

Коріння характеристичного рівняння - дійсні та різні

Іншими словами, . У цьому випадку рішення лінійного однорідного диференціального рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами має вигляд

.

Приклад 2. Розв'язати лінійне однорідне диференціальне рівняння

.

Приклад 3. Розв'язати лінійне однорідне диференціальне рівняння

.

Рішення. Характеристичне рівняння має вигляд , його коріння і - речові та різні. Відповідні окремі рішення рівняння: і . Загальне рішення даного диференціального рівняння має вигляд

.

Коріння характеристичного рівняння - речові та рівні

Тобто, . У цьому випадку рішення лінійного однорідного диференціального рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами має вигляд

.

Приклад 4. Розв'язати лінійне однорідне диференціальне рівняння

.

Рішення. Характеристичне рівняння має рівні коріння. Відповідні окремі рішення рівняння: і . Загальне рішення даного диференціального рівняння має вигляд

Приклад 5. Розв'язати лінійне однорідне диференціальне рівняння

.

Рішення. Характеристичне рівняння має рівне коріння. Відповідні окремі рішення рівняння: і . Загальне рішення даного диференціального рівняння має вигляд

Установа освіти «Білоруська державна

сільськогосподарська академія»

Кафедра вищої математики

Методичні вказівки

з вивчення теми «Лінійні диференціальні рівняння другого порядку» студентами бухгалтерського факультету заочної форми здобуття освіти (НІСПО)

Гірки, 2013

Лінійні диференціальні рівняння

другого порядку з постійнимикоефіцієнтами

Лінійні однорідні диференціальні рівняння

Лінійним диференціальним рівнянням другого порядку із постійними коефіцієнтами називається рівняння виду

тобто. рівняння, яке містить потрібну функцію та її похідні тільки в першому ступені і не містить їх творів. У цьому рівнянні і
- Деякі числа, а функція
задана на деякому інтервалі
.

Якщо
на інтервалі
, то рівняння (1) набуде вигляду

, (2)

і називається лінійним однорідним . Інакше рівняння (1) називається лінійним неоднорідним .

Розглянемо комплексну функцію

, (3)

де
і
- дійсні функції. Якщо функція (3) є комплексним рішенням рівняння (2), то і дійсна частина
, і уявна частина
рішення
окремо є рішеннями цього однорідного рівняння. Таким чином, всяке комплексне рішеннярівняння (2) породжує два дійсні рішення цього рівняння.

Рішення однорідного лінійного рівняннямають властивості:

Якщо є рішення рівняння (2), то й функція
, де З– довільна стала, також буде рішенням рівняння (2);

Якщо і є рішення рівняння (2), то й функція
також буде вирішенням рівняння (2);

Якщо і є рішення рівняння (2), то їхня лінійна комбінація
також буде рішенням рівняння (2), де і
- Довільні постійні.

Функції
і
називаються лінійно залежними на інтервалі
якщо існують такі числа і
, Не рівні нулю одночасно, що на цьому інтервалі виконується рівність

Якщо рівність (4) має місце лише тоді, коли
і
, то функції
і
називаються лінійно незалежними на інтервалі
.

Приклад 1 . Функції
і
лінійно залежні, оскільки
на всій числовій прямій. У цьому прикладі
.

Приклад 2 . Функції
і
лінійно незалежні на будь-якому інтервалі, тому що рівність
можливо лише у випадку, коли і
, і
.

Побудова загального рішеннялінійного однорідного

рівняння

Для того, щоб знайти загальне рішення рівняння (2), потрібно знайти два його лінійно незалежні рішення і . Лінійна комбінація цих рішень
, де і
- Довільні постійні, і дасть загальне рішення лінійного однорідного рівняння.

Лінійно незалежні рішення рівняння (2) шукатимемо у вигляді

, (5)

де - Деяке число. Тоді
,
. Підставимо ці вирази до рівняння (2):

або
.

Так як
, то
. Таким чином, функція
буде рішенням рівняння (2), якщо буде задовольняти рівняння

. (6)

Рівняння (6) називається характеристичним рівнянням для рівняння (2). Це рівняння є квадратним рівнянням алгебри.

Нехай і є коріння цього рівняння. Вони можуть бути або дійсними та різними, або комплексними, або дійсними та рівними. Розглянемо ці випадки.

Нехай коріння і характеристичного рівняння дійсні та різні. Тоді рішеннями рівняння (2) будуть функції
і
. Ці рішення лінійно незалежні, оскільки рівність
може виконуватися лише тоді, коли і
, і
. Тому загальне рішення рівняння (2) має вигляд

,

де і
- Довільні постійні.

Приклад 3
.

Рішення . Характеристичним рівнянням для цього диференціального буде
. Розв'язавши це квадратне рівняння, знайдемо його коріння
і
. Функції
і
є рішеннями диференціального рівняння. Загальне рішення цього рівняння має вигляд
.

Комплексним числом називається вираз виду
, де і - дійсні числа, а
називається уявною одиницею. Якщо
, то число
називається чисто уявним. Якщо ж
, то число
ототожнюється з дійсним числом .

Число називається дійсною частиною комплексного числа, а - уявною частиною. Якщо два комплексні числа відрізняються один від одного тільки знаком уявної частини, то вони зазиваються сполученими:
,
.

Приклад 4 . Розв'язати квадратне рівняння
.

Рішення . Дискримінант рівняння
. Тоді. Аналогічно,
. Таким чином, дане квадратне рівняння має пов'язане комплексне коріння.

Нехай коріння характеристичного рівняння комплексне, тобто.
,
, де
.
,
Рішення рівняння (2) можна записати у вигляді
,
або

,
.

.
і
За формулами Ейлера

Тоді,. Як відомо, якщо комплексна функція є рішенням лінійного однорідного рівняння, рішеннями цього рівняння є і дійсна, і уявна частини цієї функції. Таким чином, рішеннями рівняння (2) будуть функції
і
. Оскільки рівність

де і
- Довільні постійні.

може виконуватися лише в тому випадку, якщо , то ці рішення лінійно незалежні. Отже, загальне рішення рівняння (2) має вигляд
.

Рішення Приклад 5
. Знайти загальне рішення диференціального рівняння
,
. Функції
і
. Рівняння

є характеристичним для цього диференціального. Вирішимо його і отримаємо комплексне коріння
є лінійно незалежними рішеннями диференціального рівняння. Загальне рішення цього рівняння має вигляд.
і
Нехай коріння характеристичного рівняння дійсне і рівне, тобто.
і
. Тоді рішеннями рівняння (2) є функції
.

. Ці рішення лінійно незалежні, оскільки вираз може бути тотожно рівним нулю лише тоді, коли , то ці рішення лінійно незалежні. Отже, загальне рішення рівняння (2) має вигляд
.

Рішення . Отже, загальне рішення рівняння (2) має вигляд
Приклад 6
. Характеристичне рівняння
і
має рівне коріння
.

. У цьому випадку лінійно-незалежними рішеннями диференціального рівняння є функції

. Загальне рішення має вигляд

Неоднорідні лінійні диференціальні рівняння другого порядку із постійними коефіцієнтами
та спеціальною правою частиною
Загальне рішення лінійного неоднорідного рівняння (1) дорівнює сумі загального рішення:
.

відповідного однорідного рівняння та будь-якого приватного рішення
неоднорідного рівняння

У деяких випадках приватне рішення неоднорідного рівняння можна знайти досить просто на вигляд правої частини рівняння (1). Розглянемо випадки коли це можливо.тобто. права частина неоднорідного рівняння є багаточленом ступеня
m рівняння (1). Розглянемо випадки коли це можливо.. Якщо

не є коренем характеристичного рівняння, то приватне рішення неоднорідного рівняння слід шукати у вигляді багаточлена ступеня
, тобто.

Коефіцієнти
визначаються процесі перебування приватного рішення.

Якщо ж , то ці рішення лінійно незалежні. Отже, загальне рішення рівняння (2) має вигляд
.

Рішення є коренем характеристичного рівняння, то окреме рішення неоднорідного рівняння слід шукати у вигляді
Приклад 7
. Відповідним однорідним рівнянням для цього рівняння є
і
. Його характеристичне рівняння
.

Так як
не є коренем характеристичного рівняння, то приватне рішення неоднорідного рівняння шукатимемо у вигляді функції
. Знайдемо похідні цієї функції
,
і підставимо їх на дане рівняння:

або . Прирівняємо коефіцієнти при та вільні члени:
Вирішивши цю систему, отримаємо
,
. Тоді окреме рішення неоднорідного рівняння має вигляд
, а загальним рішенням даного неоднорідного рівняння буде сума загального рішення відповідного однорідного рівняння та окремого рішення неоднорідного:
.

Нехай неоднорідне рівняння має вигляд

Якщо
не є коренем характеристичного рівняння, то окреме рішення неоднорідного рівняння слід шукати у вигляді. Якщо ж
є корінь характеристичного рівняння кратності k (k=1 або k=2), то цьому випадку приватне рішення неоднорідного рівняння матиме вид .

Приклад 8 , то ці рішення лінійно незалежні. Отже, загальне рішення рівняння (2) має вигляд
.

Рішення . Характеристичне рівняння для відповідного однорідного рівняння має вигляд
. Його коріння
,
. І тут загальне рішення відповідного однорідного рівняння записується як
.

Так як число 3 не є коренем характеристичного рівняння, то окреме рішення неоднорідного рівняння слід шукати у вигляді
. Знайдемо похідні першого та другого порядків:,

Підставимо в диференціальне рівняння:
+ +,
+,.

Прирівняємо коефіцієнти при та вільні члени:

Звідси
,
. Тоді окреме рішення даного рівняння має вигляд
, а загальне рішення

.

Метод Лагранжа варіації довільних постійних

p align="justify"> Метод варіації довільних постійних можна застосовувати до будь-якого неоднорідного лінійного рівняння з постійними коефіцієнтами незалежно від виду правої частини. Цей метод дозволяє завжди знайти загальне рішення неоднорідного рівняння, якщо відомо загальне рішення відповідного однорідного рівняння.

Нехай
і
є лінійно незалежними рішеннями рівняння (2). Тоді загальним рішенням цього рівняння є
, де і
- Довільні постійні. Суть методу варіації довільних постійних у тому, що загальне рішення рівняння (1) шукається як

де
і
- нові невідомі функції, які потрібно знайти. Оскільки невідомих функцій дві, то їх знаходження необхідні два рівняння, містять ці функції. Ці два рівняння складають систему

яка є лінійною алгебраїчною системою рівнянь щодо
і
. Вирішуючи цю систему, знайдемо
і
. Інтегруючи обидві частини отриманих рівностей, знайдемо

і
.

Підставивши ці вирази (9), отримаємо загальне рішення неоднорідного лінійного рівняння (1).

Приклад 9 , то ці рішення лінійно незалежні. Отже, загальне рішення рівняння (2) має вигляд
.

Рішення. Характеристичним рівнянням для однорідного рівняння, що відповідає даному диференціальному рівнянню, є
. Коріння його комплексне
,
. Так як
і
, то
,
, А загальне рішення однорідного рівняння має вигляд. Тоді загальне рішення даного неоднорідного рівняння шукатимемо у вигляді, де
і
- Невідомі функції.

Система рівнянь для знаходження цих невідомих функцій має вигляд

Вирішивши цю систему, знайдемо
,
. Тоді

,
. Підставимо отримані вирази у формулу загального рішення:

Це і є загальне рішення даного диференціального рівняння, отримане методом Лагранжа.

Запитання для самоконтролю знань

Яке диференціальне рівняння називається лінійним диференціальним рівнянням другого порядку із постійними коефіцієнтами?

Яке лінійне диференціальне рівняння називається однорідним, яке - неоднорідним?

Якими властивостями має лінійне однорідне рівняння?

Яке рівняння називається характерним для лінійного диференціального рівняння і як воно виходить?

У якому вигляді записується загальне рішення лінійного однорідного диференціального рівняння з постійними коефіцієнтами у разі різних коренів характеристичного рівняння?

У якому вигляді записується загальне рішення лінійного однорідного диференціального рівняння з постійними коефіцієнтами у разі рівного коріння характеристичного рівняння?

У якому вигляді записується загальне рішення лінійного однорідного диференціального рівняння з постійними коефіцієнтами у разі комплексного коріння характеристичного рівняння?

Як записується загальне рішення лінійного неоднорідного рівняння?

У якому вигляді шукається приватне рішення лінійного неоднорідного рівняння, якщо коріння характеристичного рівняння різне і не дорівнює нулю, а права частина рівняння є багаточлен ступеня рівняння (1). Розглянемо випадки коли це можливо.?

У якому вигляді шукається окреме рішення лінійного неоднорідного рівняння, якщо серед коренів характеристичного рівняння є один нуль, а права частина рівняння є багаточлен ступеня рівняння (1). Розглянемо випадки коли це можливо.?

У чому полягає суть методу Лагранжа?

У цьому параграфі буде розглянуто окремий випадоклінійних рівнянь другого порядку, коли коефіцієнти рівняння постійні, тобто є числами. Такі рівняння називаються рівняннями із постійними коефіцієнтами. Цей вид рівнянь знаходить широке застосування.

1. Лінійні однорідні диференціальні рівняння

другого порядку з постійними коефіцієнтами

Розглянемо рівняння

у якому коефіцієнти постійні. Вважаючи, що ділячи всі члени рівняння і позначаючи

запишемо дане рівняння у вигляді

Як відомо, для знаходження загального рішення лінійного однорідного рівняння другого порядку достатньо його знати фундаментальну системуприватних рішень. Покажемо, як є фундаментальна система приватних рішень для однорідного лінійного диференціального рівняння з постійними коефіцієнтами. Шукатимемо приватне рішення цього рівняння у вигляді

Диференціюючи цю функцію двічі і підставляючи вирази для рівняння (59), отримаємо

Так як , то, скорочуючи на отримаємо рівняння

На цьому рівняння визначаються ті значення k, у яких функція буде рішенням рівняння (59).

Алгебраїчне рівняння (61) для визначення коефіцієнта називається характеристичним рівнянням даного диференціального рівняння (59).

Характеристичне рівняння є рівнянням другого ступеня і має, отже, два корені. Це коріння може бути або дійсним різним, або дійсним і рівним, або комплексним сполученим.

Розглянемо, який вид має фундаментальна система приватних рішень у кожному з цих випадків.

1. Коріння характеристичного рівняння дійсні та різні: . У цьому випадку за формулою (60) знаходимо два окремі рішення:

Ці два окремі рішення утворюють фундаментальну систему рішень на всій числовій осі, оскільки визначник Вронського ніде не звертається в нуль:

Отже, загальне рішення рівняння згідно з формулою (48) має вигляд

2. Коріння характеристичного рівняння рівні: . У цьому випадку обидва корені будуть дійсними. За формулою (60) отримуємо лише одне приватне рішення

Покажемо, що друге приватне рішення, що утворює разом з першою фундаментальну систему, має вигляд

Насамперед перевіримо, що функція є рішенням рівняння (59). Справді,

Але , оскільки є корінь характеристичного рівняння (61). Крім того, за теоремою Вієта Тому . Отже, , т. Е. Функція дійсно є рішенням рівняння (59).

Покажемо тепер, що знайдені рішення утворюють фундаментальну систему рішень. Справді,

Таким чином, у цьому випадку загальне рішення однорідного лінійного рівняння має вигляд

3. Коріння характеристичного рівняння комплексне. Як відомо, комплексне коріння квадратного рівнянняз дійсними коефіцієнтами є сполученими комплексними числами, Т. е. мають вигляд: . У цьому випадку приватні рішення рівняння (59), згідно з формулою (60), матимуть вигляд:

Застосовуючи формули Ейлера (див. гл. XI, § 5 п. 3), вирази можна записати у вигляді:

Ці рішення є комплексними. Щоб отримати дійсні рішення, розглянемо нові функції

Вони є лінійними комбінаціями рішень і, отже, є рішеннями рівняння (59) (див. § 3, п. 2, теорему 1).

Легко показати, що визначник Вронського цих рішень відмінний від нуля і, отже, рішення утворюють фундаментальну систему рішень.

Таким чином, загальне рішення однорідного лінійного диференціального рівняння у разі комплексного коріння характеристичного рівняння має вигляд

Наведемо на закінчення таблицю формул загального рішення рівняння (59) залежно від виду коренів характеристичного рівняння.