Лду 2 порядку приклади. Лінійні диференціальні рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами

Розглянемо лінійне однорідне диференціальне рівняння з постійними коефіцієнтами:
(1) .
Його рішення можна отримати за загальному методузниження порядку.

Однак простіше одразу отримати фундаментальну систему nлінійно незалежних рішень та на її основі скласти загальне рішення. У цьому вся процедура рішення зводиться до наступним крокам.

Шукаємо рішення рівняння (1) як . Отримуємо :
(2) .
характеристичне рівняння
(3) .
Воно має n коріння. Вирішуємо рівняння (2) і знаходимо його коріння. Тоді характеристичне рівняння (2) можна подати у такому вигляді:Кожному кореню відповідає одне з лінійно-незалежних рішень фундаментальної системи рішень рівняння (1). Тоді загальне рішення
(4) .

вихідного рівняння

(1) має вигляд:Справжнє коріння
.

Розглянемо дійсне коріння
. Нехай корінь одноразовий. Тобто множник входить у характеристичне рівняння (3) лише один раз. Тоді цьому кореню відповідає рішення
.
Нехай - кратний корінь кратності p.
; ; ; ...; .

Тобто

.У цьому випадку множник входить у p разів:
.
Цим кратним (рівним) корінням відповідають p лінійно незалежних рішень вихідного рівняння (1):
.

Комплексне коріння
; .

Розглянемо комплексне коріння
.
. Виразимо комплексний корінь через дійсну та уявну частини: Оскільки коефіцієнти вихідного дійсні, то крім кореня є комплексно пов'язаний коріньНехай комплексний корінь одноразовий. Тоді парі коренів відповідають два лінійно-незалежні рішення: Оскільки коефіцієнти вихідного дійсні, то крім кореня є комплексно пов'язаний коріньНехай - кратний комплексний корінь кратності p.
; ; ; ... ;
; ; ; ... .

Тоді комплексно пов'язане значення також є коренем характеристичного рівняння кратності p і множник входить у p разів:

Цим

2 p

корінням відповідають
.

лінійно незалежних рішень:

.
Після того як фундаментальна система лінійно незалежних рішень знайдена, отримуємо загальне рішення .
;
;
.

Розглянемо коріння цього рівняння. Ми отримали чотири комплексних кореня кратності 2:
; .
Їм відповідають чотири лінійно-незалежні рішення вихідного рівняння:
; ; ; .

Також ми маємо три дійсні корені кратності 3:
.
Їм відповідають три лінійно-незалежні рішення:
; ; .

Загальне рішеннявихідного рівняння має вигляд:
.

Відповідь

Приклад 2

Вирішити рівняння

лінійно незалежних рішень:

Шукаємо рішення у вигляді.
.
Складаємо характеристичне рівняння:
.

Вирішуємо квадратне рівняння.
.
Ми отримали два комплексні корені:
.
Їм відповідають два лінійно-незалежні рішення:
.

Загальне рішення рівняння: У деяких завданнях фізики безпосередній зв'язок між величинами, що описують процес, встановити не вдається. Але є можливість здобути рівність, що містить похідні досліджуваних функцій. Так виникаютьдиференційне рівняння

та потреба їх вирішення для знаходження невідомої функції.

Ця стаття призначена тим, хто зіштовхнувся із завданням розв'язання диференціального рівняння, у якому невідома функція є однією змінною. Теорія побудована так, що з нульовим уявленням про диференціальні рівняння ви зможете впоратися зі своїм завданням.

Кожному виду диференціальних рівнянь поставлений у відповідність метод рішення з докладними поясненнями та рішеннями характерних прикладів та завдань. Вам залишається лише визначити вид диференціального рівняння Вашого завдання, знайти подібний приклад і провести аналогічні дії. Для успішного вирішення диференціальних рівнянь з Вашого боку також знадобиться вміння знаходити безліч первісних () невизначені інтегралирізних функцій

. При необхідності рекомендуємо звертатися до розділу.

Спочатку розглянемо види звичайних диференціальних рівнянь першого порядку, які можна дозволено щодо похідної, далі перейдемо до ОДУ другого порядку, потім зупинимося на рівняннях вищих порядків і закінчимо системами диференціальних рівнянь.

Нагадаємо, що якщо y є функцією аргументу x .

Диференціальні рівняння першого ладу.

Найпростіші диференціальні рівняння першого порядку виду. .

Запишемо кілька прикладів таких ДК Диференційне рівняння

Якщо є значення аргументу x , у яких функції f(x) і g(x) одночасно перетворюються на нуль, з'являються додаткові рішення. Додатковими рішеннями рівняння за даних x є будь-які функції, визначені цих значень аргументу. Як приклади таких диференціальних рівнянь можна навести.

Диференціальні рівняння другого порядку.

Лінійні однорідні диференціальні рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами.

ЛОДУ з постійними коефіцієнтами є дуже поширеним видом диференціальних рівнянь. Їхнє рішення не становить особливої ​​складності. Спочатку знаходять коріння характеристичного рівняння . При різних p і q можливі три випадки: коріння характеристичного рівняння можуть бути дійсними і різними, дійсними і збігаються або комплексно пов'язаними. Залежно від значень коренів характеристичного рівняння записується загальне рішення диференціального рівняння як , або , чи відповідно.

Наприклад розглянемо лінійне однорідне диференціальне рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами. Коріння його характеристичного рівняння є k 1 = -3 і k 2 = 0 . Коріння дійсне і різне, отже, загальне рішення ЛОДУ з постійними коефіцієнтами має вигляд


Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами.

Загальне рішення ЛНДУ другого порядку з постійними коефіцієнтами y шукається як суми загального рішення відповідного ЛОДУ та приватного рішення вихідного однорідного рівняння, тобто, . Знаходження загального рішення однорідного диференціального рівняння з постійними коефіцієнтами присвячений попередній пункт. А окреме рішення визначається або методом невизначених коефіцієнтів при певному вигляді функції f(x) , що стоїть у правій частині вихідного рівняння, або методом варіації довільних постійних.

Як приклади ЛНДУ другого порядку з постійними коефіцієнтами наведемо


Розібратися в теорії та ознайомитися з докладними рішеннями прикладів ми пропонуємо на сторінці лінійні неоднорідні диференціальні рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами .

Лінійні однорідні диференціальні рівняння (ЛОДУ) та лінійні неоднорідні диференціальні рівняння (ЛНДУ) другого порядку.

Окремим випадком диференціальних рівнянь цього виду є ЛОДУ та ЛНДУ з постійними коефіцієнтами.

Загальне рішення ЛОД на деякому відрізку представляється лінійною комбінацією двох лінійно незалежних приватних рішень y 1 і y 2 цього рівняння, тобто, .

Головна складність полягає саме у знаходженні лінійно-незалежних приватних рішень диференціального рівняння цього типу. Як правило, приватні рішення вибираються з наступних систем лінійно незалежних функцій:


Проте, які завжди приватні рішення представляються у такому вигляді.

Прикладом ЛОДУ є .

Загальне рішення ЛНДУ шукається як , де - загальне рішення відповідного ЛОДУ, а - приватне рішення вихідного диференціального рівняння. Про перебування ми щойно говорили, а можна визначити, користуючись методом варіації довільних постійних.

Як приклад ЛНДУ можна навести .

Диференціальні рівняння найвищих порядків.

Диференціальні рівняння, що допускають зниження порядку.

Порядок диференціального рівняння , яке не містить шуканої функції та її похідних до k-1 порядку, може бути знижено до n-k заміною .

І тут , і вихідне диференціальне рівняння зведеться до . Після знаходження рішення p(x) залишиться повернутися до заміни і визначити невідому функцію y .

Наприклад, диференціальне рівняння після заміни стане рівнянням з змінними, що розділяються, і його порядок з третього знизиться до першого.

У цьому параграфі буде розглянуто окремий випадок лінійних рівняньдругого порядку, коли коефіцієнти рівняння постійні, тобто є числами. Такі рівняння називаються рівняннями із постійними коефіцієнтами. Цей вид рівнянь знаходить широке застосування.

1. Лінійні однорідні диференціальні рівняння

другого порядку з постійними коефіцієнтами

Розглянемо рівняння

у якому коефіцієнти постійні. Вважаючи, що ділячи всі члени рівняння і позначаючи

запишемо дане рівняння у вигляді

Як відомо, знаходження загального рішення лінійного однорідного рівняння другого порядку досить знати його фундаментальну систему приватних рішень. Покажемо, як є фундаментальна система приватних рішень для однорідного лінійного диференціального рівняння з постійними коефіцієнтами. Шукатимемо приватне рішення цього рівняння у вигляді

Диференціюючи цю функцію двічі і підставляючи вирази для рівняння (59), отримаємо

Так як , то, скорочуючи на отримаємо рівняння

На цьому рівняння визначаються ті значення k, у яких функція буде рішенням рівняння (59).

Алгебраїчне рівняння (61) визначення коефіцієнта до називається характеристичним рівнянням даного диференціального рівняння (59).

Характеристичне рівняння є рівнянням другого ступеня і має, отже, два корені. Це коріння може бути або дійсним різним, або дійсним і рівним, або комплексним сполученим.

Розглянемо, який вид має фундаментальна система приватних рішень у кожному з цих випадків.

1. Коріння характеристичного рівняння дійсні та різні: . У цьому випадку за формулою (60) знаходимо два окремі рішення:

Ці два окремі рішення утворюють фундаментальну систему рішень на всій числовій осі, оскільки визначник Вронського ніде не звертається в нуль:

Отже, загальне рішення рівняння згідно з формулою (48) має вигляд

2. Коріння характеристичного рівняння рівні: . В цьому випадку обидва корені будуть дійсними. За формулою (60) отримуємо лише одне окреме рішення

Покажемо, що друге приватне рішення, що утворює разом з першою фундаментальну систему, має вигляд

Насамперед перевіримо, що функція є рішенням рівняння (59). Справді,

Але , оскільки є корінь характеристичного рівняння (61). Крім того, за теоремою Вієта Тому . Отже, , т. Е. Функція дійсно є рішенням рівняння (59).

Покажемо тепер, що знайдені рішення утворюють фундаментальну систему рішень. Справді,

Таким чином, у цьому випадку загальне рішення однорідного лінійного рівняння має вигляд

3. Коріння характеристичного рівняння комплексне. Як відомо, комплексне коріння квадратного рівняння з дійсними коефіцієнтами є сполученим. комплексними числами, Т. е. мають вигляд: . У цьому випадку приватні рішення рівняння (59), згідно з формулою (60), матимуть вигляд:

Застосовуючи формули Ейлера (див. гл. XI, § 5 п. 3), вирази можна записати у вигляді:

Ці рішення є комплексними. Щоб отримати дійсні рішення, розглянемо нові функції

Вони є лінійними комбінаціями рішень і, отже, є рішеннями рівняння (59) (див. § 3, п. 2, теорему 1).

Легко показати, що визначник Вронського цих рішень відмінний від нуля і, отже, рішення утворюють фундаментальну систему рішень.

Таким чином, загальне рішення однорідного лінійного диференціального рівняння у разі комплексного коріння характеристичного рівняння має вигляд

Наведемо на закінчення таблицю формул загального рішення рівняння (59) залежно від виду коренів характеристичного рівняння.

Основи вирішення лінійних неоднорідних диференціальних рівнянь другого порядку (ЛНДУ-2) із постійними коефіцієнтами (ПК)

ЛНДУ 2-го порядку з постійними коефіцієнтами $p$ і $q$ має вигляд $y""+p\cdot y"+q\cdot y=f\left(x\right)$, де $f\left(x \right)$ - безперервна функція.

Щодо ЛНДУ 2-го з ПК справедливі два наступні твердження.

Припустимо, деяка функція $U$ є довільним приватним рішенням неоднорідного диференціального рівняння. Припустимо також, що деяка функція $Y$ є загальним рішенням (ОР) відповідного лінійного однорідного диференціального рівняння (ЛОДУ) $y""+p\cdot y"+q\cdot y=0$. Тоді ОР ЛНДУ-2 дорівнює сумі зазначених приватного та загального рішень, тобто $ y = U + Y $.

Якщо права частина ЛНДУ 2-го порядку є сумою функцій, тобто $f\left(x\right)=f_(1) \left(x\right)+f_(2) \left(x\right)+. ..+f_(r) \left(x\right)$, то спочатку можна знайти ЧР $U_(1) ,U_(2) ,...,U_(r) $, які відповідають кожній з функцій $f_( 1) \left(x\right),f_(2) \left(x\right),...,f_(r) \left(x\right)$, а вже після цього записати ЧР ЛНДУ-2 у вигляді $U=U_(1) +U_(2) +...+U_(r) $.

Рішення ЛНДУ 2-го порядку з ПК

Очевидно, що вид того чи іншого ЧР $U$ даного ЛНДУ-2 залежить від конкретного виду його правої частини $f \ left (x \ right) $. Найпростіші випадки пошуку ЧР ЛНДУ-2 сформульовані у вигляді наступних чотирьох правил.

Правило №1.

Права частинаЛНДУ-2 має вигляд $f\left(x\right)=P_(n) \left(x\right)$, де $P_(n) \left(x\right)=a_(0) \cdot x^ (n) +a_(1) \cdot x^(n-1) +...+a_(n-1) \cdot x+a_(n) $, тобто називається многочленом ступеня $n$. Тоді його ЧР $U$ шукають у вигляді $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) $, де $Q_(n) \left(x\right)$ - інший багаточлен тієї ж ступеня, як і $P_(n) \left(x\right)$, а $r$ - кількість коренів характеристичного рівняння відповідного ЛОДУ-2, рівних нулю. Коефіцієнти многочлена $Q_(n) \left(x\right)$ знаходять методом невизначених коефіцієнтів (НК).

Правило №2.

Права частина ЛНДУ-2 має вигляд $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot P_(n) \left(x\right)$, де $P_(n) \left( x\right)$ є багаточлен ступеня $n$. Тоді його ЧР $U$ шукають у вигляді $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) \cdot e^(\alpha \cdot x) $, де $Q_(n) \ left(x\right)$ - інший многочлен тієї ж ступеня, як і $P_(n) \left(x\right)$, а $r$ - кількість коренів характеристичного рівняння відповідного ЛОДУ-2, рівних $\alpha$. Коефіцієнти многочлена $Q_(n) \left(x\right)$ знаходять методом ПК.

Правило №3.

Права частина ЛНДУ-2 має вигляд $f\left(x\right)=a\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+b\cdot \sin \left(\beta \cdot x\right) $, де $a$, $b$ і $\beta$ - відомі числа. Тоді його ЧР $U$ шукають у вигляді $U=\left(A\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+B\cdot \sin \left(\beta \cdot x\right)\right )\cdot x^(r) $, де $A$ і $B$ - невідомі коефіцієнти, а $r$ - кількість коренів характеристичного рівняння відповідного ЛОДУ-2, рівних $i\cdot \beta$. Коефіцієнти $A$ та $B$ знаходять методом ПК.

Правило №4.

Права частина ЛНДУ-2 має вигляд $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left$, де $P_(n) \left(x\right)$ - багаточлен ступеня $ n$, а $P_(m) \left(x\right)$ - багаточлен ступеня $m$. Тоді його ЧР $U$ шукають у вигляді $U=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left\cdot x^(r) $, де $Q_(s) \left(x\right)$ і $ R_(s) \left(x\right)$ - багаточлени ступеня $s$, число $s$ - максимальне з двох чисел $n$ і $m$, а $r$ - кількість коренів характеристичного рівняння відповідного ЛОДУ-2, рівних $ \ alpha + i \ cdot \ beta $. Коефіцієнти багаточленів $Q_(s) \left(x\right)$ і $R_(s) \left(x\right)$ знаходять методом ПК.

Метод ПК полягає у застосуванні наступного правила. Для того, щоб знайти невідомі коефіцієнти багаточлена, які входять до складу приватного рішення неоднорідного диференціального рівняння ЛНДУ-2, необхідно:

• підставити ЧР $U$, записане в загальному вигляді, в ліву частинуЛНДУ-2;
• у лівій частині ЛНДУ-2 виконати спрощення та згрупувати члени з однаковими ступенями $x$;
• в отриманому тотожності прирівняти коефіцієнти при членах з однаковими ступенями $x$ лівої та правої частин;
• вирішити одержану систему лінійних рівнянь щодо невідомих коефіцієнтів.

Приклад 1

Завдання: знайти ОР ЛНДУ-2 $y""-3\cdot y"-18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $. Знайти також ЧР , задовольняє початковим умовам $y=6$ при $x=0$ і $y"=1$ при $x=0$.

Записуємо відповідне ЛОДУ-2: $y""-3cdot y"-18cdot y=0$.

Характеристичне рівняння: $ k ^ (2) -3 cdot k-18 = 0 $. Коріння характеристичного рівняння: $ k_(1) = -3 $, $ k_ (2) = 6 $. Це коріння дійсне і різне. Таким чином, ОР відповідного ЛОДУ-2 має вигляд: $ Y = C_ (1) \ cdot e ^ (-3 \ cdot x) + C_ (2) \ cdot e ^ (6 \ cdot x) $.

Права частина даного ЛНДУ-2 має вигляд $ \ left (36 \ cdot x + 12 \ right) \ cdot e ^ (3 \ cdot x) $. У ній необхідно розглядати коефіцієнт показника ступеня експоненти $ alpha = 3 $. Цей коефіцієнт не збігається з жодним з коренів характеристичного рівняння. Тому ЧР даного ЛНДУ-2 має вигляд $ U = \ left (A \ cdot x + B \ right) \ cdot e ^ (3 \ cdot x) $.

Шукатимемо коефіцієнти $A$, $B$ методом ПК.

Знаходимо першу похідну ЧР:

$U"=\left(A\cdot x+B\right)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot \left( e^(3\cdot x) \right)^((") ) =$

$=A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\left(A+3\cdot A\ cdot x+3\cdot B\right)\cdot e^(3\cdot x) .$

Знаходимо другу похідну ЧР:

$U""=\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot \left(e^(3\cdot x) \right)^((") ) =$

$=3\cdot Acdot e^(3cdot x) + left(A+3cdot Acdot x+3cdot Bright)cdot 3cdot e^(3cdot x) =\left(6cdot A+9cdot Acdot x+9cdot Bright)cdot e^(3cdot x) .$

Підставляємо функції $U""$, $U"$ і $U$ замість $y""$, $y"$ і $y$ в дане ЛНДУ-2 $y""-3\cdot y"-18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $ При цьому, оскільки експонента $e^(3\cdot x) $ входить як множник у всі складові, то її можна опустити.

$6cdot A+9cdot Acdot x+9cdot B-3cdot \left(A+3cdot Acdot x+3cdot Bright)-18cdot \left(A\) cdot x+Bright)=36cdot x+12.$

Виконуємо дії у лівій частині отриманої рівності:

$-18cdot Acdot x+3cdot A-18cdot B=36cdot x+12.$

Застосовуємо метод ПК. Отримуємо систему лінійних рівнянь із двома невідомими:

$-18 \ cdot A = 36; $

$3\cdot A-18\cdot B=12.$

Рішення цієї системи таке: $A=-2$, $B=-1$.

ЧР $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $ для нашої задачі виглядає наступним чином: $U=\left(-2\cdot x-1\right) \ cdot e ^ (3 \ cdot x) $.

ОР $y=Y+U$ для нашого завдання виглядає наступним чином: $y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) +\ left(-2cdot x-1right)cdot e^(3cdot x) $.

З метою пошуку ЧР, що задовольняє заданим початковим умовам, знаходимо похідну $y"$ ОР:

$y"=-3\cdot C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +6\cdot C_(2) \cdot e^(6\cdot x) -2\cdot e^(3\ cdot x) +\left(-2\cdot x-1\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) .$

Підставляємо в $y$ і $y"$ початкові умови $y=6$ за $x=0$ і $y"=1$ за $x=0$:

$ 6 = C_ (1) + C_ (2) -1; $

$1=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -2-3=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -5.$

Отримали систему рівнянь:

$ C_ (1) + C_ (2) = 7;

$-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) =6.$

Вирішуємо її. Знаходимо $C_(1) $ за формулою Крамера, а $C_(2) $ визначаємо з першого рівняння:

$C_(1) =\frac(\left|\begin(array)(cc) (7) & (1) \\ (6) & (6) \end(array)\right|)(\left|\ begin(array)(cc) (1) & (1) \\ (-3) & (6) \end(array)\right|) =\frac(7\cdot 6-6\cdot 1)(1\ cdot 6-\left(-3\right)\cdot 1) =\frac(36)(9) =4; C_(2) =7-C_(1) =7-4=3.$

Таким чином, ЧР даного диференціального рівняння має вигляд: $y=4cdot e^(-3cdot x) +3cdot e^(6cdot x) +left(-2cdot x-1right ) \ cdot e ^ (3 \ cdot x) $.

Тут ми застосуємо метод варіації постійних Лагранж для вирішення лінійних неоднорідних диференціальних рівнянь другого порядку. Докладний описцього методу для вирішення рівнянь довільного порядку викладено на сторінці
Вирішення лінійних неоднорідних диференціальних рівнянь вищих порядків методом Лагранжа >>>.

2 p

Вирішити диференціальне рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами методом варіації постійних Лагранжа:
(1)

лінійно незалежних рішень:

Спочатку ми вирішуємо однорідне диференціальне рівняння:
(2)

Це рівняння другого порядку.

Вирішуємо квадратне рівняння:
.
Коріння кратне: . Фундаментальна системарішень рівняння (2) має вигляд:
(3) .
Звідси отримуємо загальне рішення однорідного рівняння (2):
(4) .

Варіювати постійні C 1 та C 2 .
.
Тобто замінимо на (4) постійні і на функції:
(5) .

Шукаємо рішення вихідного рівняння (1) у вигляді:
.
Знаходимо похідну:
(6) .
Зв'яжемо функції та рівнянням:
.

Тоді
.
Знаходимо другу похідну:
(1) ;



.
Підставляємо у вихідне рівняння (1):
(7) .
Оскільки і задовольняють однорідне рівняння (2), то сума членів у кожному стовпці останніх трьох рядків дає нуль і попереднє рівняння набуває вигляду:

Тут.
(6) :
(7) .

Разом з рівнянням (6) ми отримуємо систему рівнянь для визначення функцій та :

Розв'язання системи рівнянь
.
Вирішуємо систему рівнянь (6-7). Випишемо вирази для функцій і:
;
.

Знаходимо їх похідні:

.
Вирішуємо систему рівнянь (6-7) методом Крамера. Обчислюємо визначник матриці системи:
;
.

За формулами Крамера знаходимо:
;
.
Отже, ми знайшли похідні функції:
; ; ; .

.
.

;
.

Відповідь

Приклад 2

Інтегруємо (див. Методи інтегрування коріння). Робимо підстановку
(8)

лінійно незалежних рішень:

Вирішити диференціальне рівняння методом варіації постійних Лагранжа:

Крок 1. Вирішення однорідного рівняння

(9)
Вирішуємо однорідне диференціальне рівняння:

Це рівняння має комплексне коріння:
.
Фундаментальна система рішень, що відповідає цим корінням, має вигляд:
(10) .
Загальне рішення однорідного рівняння (9):
(11) .

Крок 2. Варіація постійних – заміна постійних функціями

Тепер варіюємо постійні C 1 та C 2 .
.
Тобто замінимо на (11) постійні на функції:
(12) .

Шукаємо рішення вихідного рівняння (8) у вигляді: Далі хід рішення виходить таким самим, як у прикладі 1. Ми приходимо донаступній системі
(13) :
(14) .
Оскільки і задовольняють однорідне рівняння (2), то сума членів у кожному стовпці останніх трьох рядків дає нуль і попереднє рівняння набуває вигляду:

Разом з рівнянням (6) ми отримуємо систему рівнянь для визначення функцій та :

рівнянь для визначення функцій та:
.
Вирішуємо цю систему. Випишемо вирази функцій і:
;
.

З таблиці похідних знаходимо:

.
Вирішуємо систему рівнянь (6-7) методом Крамера. Обчислюємо визначник матриці системи:
;
.

.
Вирішуємо систему рівнянь (13-14) методом Крамера. Визначник матриці системи:
.
Зв'яжемо функції та рівнянням:
.

Оскільки знак модуля під знаком логарифму можна опустити. Помножимо чисельник і знаменник на :


.