Метод Ньютона розв'язання нелінійних рівнянь с. Розв'язання систем нелінійних рівнянь режиму, що встановився, методом ньютону - рафсона.

p align="justify"> Метод Ньютона (також відомий як метод дотичних) - це ітераційний чисельний метод знаходження кореня (нуля) заданої функції. Метод був вперше запропонований англійським фізиком, математиком та астрономом Ісааком Ньютоном (1643-1727), під ім'ям якого і знайшов свою популярність.

Метод був описаний Ісааком Ньютоном у рукописі De analysi per aequationes numero terminorum infinitas (лат .Про баналізі рівняннями нескінченних рядів), адресованої в 1669 Барроу, і в роботі De metodis fluxionum et serierum infinitarum (лат.Метод флюксій і нескінченні ряди) або Geometria analytica ( лат.аналітичнагеометрія) у зборах праць Ньютона, яка була написана у 1671 році. Проте опис методу суттєво відрізнявся від його нинішнього викладу: Ньютон застосовував свій метод виключно поліномам. Він обчислював не послідовні наближення xn, а послідовність поліномів і в результаті отримував наближене рішення x.

Вперше метод був опублікований в трактаті Алгебра Джона Валліса в 1685, на прохання якого він був коротко описаний самим Ньютоном. У 1690 році Джозеф Рафсон опублікував спрощений опис у роботі Analysis aequationum universalis (лат. Загальний аналізрівнянь).Рафсон розглядав метод Ньютона як суто алгебраїчний і обмежив його застосування поліномами, проте при цьому він описав метод на основі послідовних наближень x n замість більш тяжкої для розуміння послідовності поліномів, використаної Ньютоном.

Нарешті, в 1740 метод Ньютона був описаний Томасом Сімпсоном як ітеративний метод першого порядку рішення нелінійних рівняньз використанням похідної у тому вигляді, в якому він викладається тут. У тій же публікації Сімпсон узагальнив метод на випадок системи з двох рівнянь і зазначив, що метод Ньютона також може бути застосований для вирішення задач оптимізації шляхом знаходження похідної нуля або градієнта.

Відповідно до даного методу завдання пошуку кореня функції зводиться до задачі пошуку точки перетину з віссю абсцис дотичної, побудованої до графіка функції .

Рис.1 . Графік зміни функції

Проведена в будь-якій точці дотична лінія до графіка функції визначається похідною цієї функції в точці, що розглядається, яка в свою чергу визначається тангенсом кута α (). Точка перетину дотичної з віссю абсцис визначається виходячи з наступного співвідношення прямокутному трикутнику: тангенс кута.у прямокутному трикутнику визначається ставленням протилежного катета до прилеглого катета трикутника. Таким чином, на кожному кроці будується дотична до графіка функції у точці чергового наближення . Крапка перетину дотичної з віссю Ox буде наступною точкою наближення. Відповідно до розглянутого методу розрахунок наближеного значення кореня наi-ітерації проводиться за формулою:

Нахил прямий підлаштовується на кожному кроці якнайкраще, проте слід звернути увагу на те, що алгоритм не враховує кривизну графіка і отже в процесі розрахунку залишається невідомо в який бік може відхилитися графік.

Умовою закінчення ітераційного процесу є виконання наступної умови:

де ˗ допустима похибка визначення кореня.

Метод має квадратичну збіжність. Квадратична швидкість збіжності означає, що кількість вірних знаків у наближеному значенні подвоюється з кожною ітерацією.

Математичне обґрунтування

Нехай дана речова функція, яка визначена і безперервна на ділянці, що розглядається. Необхідно знайти речовий корінь розглянутої функції.

Висновок рівняння ґрунтується на методі простих ітерацій, відповідно до якого рівняння призводять до еквівалентного рівняння за будь - якої функції . Введемо поняття стискаючого відображення, що визначається співвідношенням .

Для найкращої збіжності методу у точці чергового наближення має виконуватися умова. Ця вимога означає, що корінь функції повинен відповідати екстремуму функції .

Похідна стискаючого відображеннявизначається у такому вигляді:

Виразимо з цього вираз зміннуза умови прийнятого раніше твердження про те, що за умови необхідно забезпечити умову . В результаті отримаємо вираз для визначення змінної:

З урахуванням цього стискаюча функція прийому наступний вид:

Таким чином алгоритм знаходження чисельного рішення рівняння зводиться до ітераційної процедури обчислення:

Алгоритм знаходження кореня нелінійного рівняння методом

1. Задати початкову точку наближеного значення кореня функції, і навіть похибка розрахунку (мале позитивне число ) і початковий крок ітерації ().

2. Виконати розрахунок наближеного значення кореня функції відповідно до формули:

3. Перевіряємо наближене значення кореня щодо заданої точності, у разі:

Якщо різницю двох послідовних наближень стане менше заданої точності , то ітераційний процес закінчується.

Якщо різниця двох послідовних наближень не досягає необхідної точності, необхідно продовжити ітераційний процес і перейти до п.2 аналізованого алгоритму.

Приклад розв'язування рівнянь

за методомНьютона для рівняння з однією змінною

Як приклад, розглянемо рішення нелінійного рівняння методомНьютона для рівняння з однією змінною. Корінь необхідно знайти з точністю як перший наближення.

Варіант розв'язання нелінійного рівняння у програмному комплексіMathCADпредставлений малюнку 3.

Результати розрахунків, саме динаміка зміни наближеного значення кореня, і навіть похибки розрахунку кроку ітерації представлені у графічній формі (див. рис.2).

Рис.2. Результати розрахунку за методом Ньютона для рівняння з однією змінною

Для забезпечення заданої точності при пошуку наближеного значення кореня рівняння в діапазоні необхідно виконати 4 ітерації. На останньому етапі ітерації наближене значення кореня нелінійного рівняння визначатиметься значенням: .

Рис.3 . Лістинг програми вMathCad

Модифікації методу Ньютона для рівняння з однією змінною

Існує кілька модифікацій методу Ньютона, спрямованих спрощення обчислювального процесу.

Спрощений метод Ньютона

Відповідно до методу Ньютона потрібно обчислювати похідну функції f(x) на кожному кроці ітерації, що веде до збільшення обчислювальних витрат. Для зменшення витрат, пов'язаних з обчисленням похідної на кожному кроці розрахунку, можна провести заміну похідної f'(x n ) у точці x n у формулі на похідну f'(x 0) у точці x 0 . Відповідно до даного методу розрахунку наближене значення кореня визначається за такою формулою:Модифікований метод Ньютона

Різнисний метод Ньютона

У результаті наближене значення кореня функції f(x) визначатиметься виразом різницевого методу Ньютона:

Двох кроковий метод Ньютона

Відповідно до методу Ньютона потрібно обчислювати похідну функції f(x) кожному кроці ітерації, що завжди зручно, котрий іноді практично неможливо. Цей спосібдозволяє похідну функції замінити різницевим ставленням (наближеним значенням):

В результаті наближене значення кореня функції f(x) визначатиметься таким виразом:

де

Рис.5 . Двох кроковий метод Ньютона

Метод січучих є дво кроковим, тобто нове наближеннявизначається двома попередніми ітераціямита . У методі необхідно задавати два початкові наближеннята . Швидкість збіжності методу буде лінійною.

• назад
• Вперед

Для того, щоб додати коментар до статті, будь ласка, зареєструйтесь на сайті.

2. Метод Ньютона розв'язання систем нелінійних рівнянь.

Цей метод має набагато швидшу збіжність, ніж метод простої ітерації. В основі методу Ньютона системи рівнянь (1.1) лежить використання розкладання функцій

, де
(2.1)

в ряд Тейлора, причому члени, що містять другі і більше високі порядкипохідних, що відкидаються. Такий підхід дозволяє вирішення однієї нелінійної системи (1.1) замінити рішенням низки лінійних систем.

Отже, систему (1.1) вирішуватимемо методом Ньютона. В області D виберемо будь-яку точку
і назвемо її нульовим наближенням до точного рішення вихідної системи. Тепер функції (2.1) розкладемо в ряд Тейлора на околиці точки . Будемо мати

Т.к. ліві частини (2.2) повинні звертатися у нуль згідно з (1.1), то й праві частини (2.2) теж повинні звертатися у нуль. Тому з (2.2) маємо

Усі приватні похідні (2.3) повинні бути обчислені в точці .

(2.3) є система лінійних алгебраїчних рівняньщодо невідомих Цю систему можна вирішити методом Крамера, якщо її основний визначник буде відмінний від нуля та знайти величини

Тепер можна уточнити нульове наближення, побудувавши перше наближення з координатами

тобто.
. (2.6)

З'ясуємо, чи наближення (2.6) отримано з достатнім ступенем точності. Для цього перевіримо умову

,
(2.7)

де наперед задане мале позитивне число (точність, з якою має бути вирішена система (1.1)). Якщо умова (2.7) буде виконано, то за наближене рішення системи (1.1) виберемо (2.6) та закінчимо обчислення. Якщо ж умова (2.7) не виконуватиметься, то виконаємо таку дію. У системі (2.3) замість
візьмемо уточнені значення

, (2.8)

тобто. виконаємо наступні дії

. (2.9)

Після цього система (2.3) буде системою лінійних рівнянь алгебри щодо величин Визначивши ці величини, наступне друге наближення
до вирішення системи (1.1) знайдемо за формулами

Тепер перевіримо умову (2.7)

Якщо ця умова виконується, то закінчуємо обчислення, взявши за наближене рішення системи (1.1) друге наближення
. Якщо ж ця умова не виконується, то продовжуємо будувати наступне наближення, прийнявши (2.3)
Будувати наближення потрібно доти, доки умова не буде виконана.

Робочі формули методу Ньютона на вирішення системи (1.1) можна записати як.

Обчислити послідовність

Тут
є рішенням системи

Сформулюємо алгоритм обчислень за формулами (2.11)-(2.13).

1. Виберемо нульове наближення, що належить області D.

2. У системі лінійних рівнянь алгебри (2.13) покладемо
,а.

3. Розв'яжемо систему (2.13) і знайдемо величини
.

4. У формулах (2.12) покладемо
і обчислимо компоненти наступного наближення.

5. Перевіримо умову (2.7) на : (Див. алгоритм обчислення максимуму кількох величин.)

6. Якщо ця умова виконується, то закінчуємо обчислення, вибравши наближене рішення системи (1.1) наближення . Якщо це умова не виконується, то перейдемо до п.7.

7. Покладемо
для всіх .

8. Виконаємо п.3, поклавши
.

Геометрично цей алгоритм можна записати як.

Алгоритм. Обчислення максимуму кількох величин.

приклад. Розглянемо використання методу Ньютона на вирішення системи двох рівнянь.

Методом Ньютона з точністю вирішити наступну системунелінійних рівнянь

, (2.14)

тут
. Виберемо нульове наближення
, Що належить області D. Побудуємо систему лінійних рівнянь алгебри (2.3). Вона матиме вигляд

(2.15)

Позначимо

Вирішимо систему (2.15) щодо невідомих
наприклад методом Крамера. Формули Крамера запишемо у вигляді

(2.17)

де основний визначник системи (2.15)

(2.18)

а допоміжні визначники системи (2.15) мають вигляд

.

Знайдені значення підставимо (2.16) і знайдемо компоненти першого наближення
до вирішення системи (2.15).

Перевіримо умову

, (2.19)

якщо це умова виконується, то закінчуємо обчислення, прийнявши за наближене рішення системи (2.15) перше наближення, тобто.
. Якщо умова (2.19) не виконується, то покладемо
,
і збудуємо нову системулінійних рівнянь алгебри (2.15). Вирішивши її, знайдемо друге наближення
. Перевіримо його на . Якщо ця умова виконуватиметься, то за наближене рішення системи (2.15) виберемо
. Якщо умова не виконуватиметься, покладемо
,
та побудуємо наступну систему (2.15) для знаходження
і т.д.

Завдання

У всіх завданнях потрібно:

Скласти програму чисельної реалізації методу згідно із запропонованим алгоритмом.

Отримати результати обчислень.

Перевірити отримані результати.

Задано систему двох нелінійних рівнянь.

1.
2.

3.
4.

5.
6.

7.
8.

9.
10.

11.
12.

13.
14.

15.
.

Глава 3. Чисельні методи розв'язання систем лінійних рівнянь алгебри (СЛАУ).

Мета роботи. Знайомство з деякими наближеними методами рішення СЛАУ та їх чисельною реалізацією на ПК.

Попередні зауваження.Усі методи рішення СЛАУ зазвичай поділяють на дві великі групи. До першої групи належать методи, які називають точними. Ці методи дозволяють для будь-яких систем знайти точні значенняневідомі після кінцевого числа арифметичних операцій, кожна з яких виконується точно.

До другої групи відносяться всі методи, які не є точними. Їх називають ітераційними, чи чисельними, чи наближеними. Точне рішення при використанні таких методів виходить в результаті нескінченного процесу наближень. Привабливою рисою таких методів є їхня самовиправність і простота реалізації на ПК.

Розглянемо деякі наближені методи рішення СЛАУ та побудуємо алгоритми їх чисельної реалізації. Наближене рішення СЛАУ будемо отримувати з точністю до , де дуже маленьке позитивне число.

1. Метод ітерації.

Нехай СЛАУ задана у вигляді

(1.1)

Цю систему можна записати у матричному вигляді

, (1.2)

де
- матриця коефіцієнтів при невідомих у системі (1.1),
- стовпець вільних членів,
- Стовпець невідомих системи (1.1).

. (1.3)

Розв'яжемо систему (1.1) методом ітерації. Для цього виконаємо такі дії.

По перше. Виберемо нульове наближення

(1.4)

до точного рішення (1.3) системи (1.1). Компонентами нульового наближення можуть бути будь-які числа. Але зручніше компоненти нульового наближення взяти чи нулі
, чи вільні члени системи (1.1)

По-друге. Компоненти нульового наближення підставимо в праву частинусистеми (1.1) та обчислимо

(1.5)

Величини, що стоять зліва (1.5) є компонентами першого наближення
Дії, у яких вийшло перше наближення, називаються ітерацією.

По-третє. Перевіримо нульове та перше наближення на

(1.6)

Якщо умови (1.6) виконуються, то за наближене рішення системи (1.1) виберемо, або , або однаково, т.к. вони відрізняються один від одного не більше ніж на і закінчимо обчислення. Якщо хоча б одну з умов (1.6) не буде виконано, то перейдемо до наступної дії.

По-четверте. Виконаємо таку ітерацію, тобто. у праву частину системи (1.1) підставимо компоненти першого наближення та обчислимо компоненти другого наближення
, де

У п'ятих. Перевіримо
і , тобто. перевіримо умову (1.6) цих наближень. Якщо умови (1.6) будуть виконані, то за наближене рішення системи (1.1) виберемо, або , або однаково, т.к. вони відрізняються один від одного не більше ніж на . В іншому випадку будуватимемо наступну ітерацію, підставивши компоненти другого наближення в праву частину системи (1.1).

Ітерації потрібно будувати доти, доки два сусідні наближення
і відрізнятимуться один від одного не більше, ніж на .

Робочу формулу методу ітерації рішення системи (1.1) можна записати як

Алгоритм чисельної реалізації формули (1.7) може бути таким.

Достатні умови збіжності методу ітерації для системи (1.1) мають вигляд

1.
, .

2.
,
.

3.

2. Метод простої ітерації.

Нехай система лінійних рівнянь алгебри (СЛАУ) задана у вигляді

(2.1)

Щоб систему (2.1) вирішити методом простої ітерації, спочатку треба привести до виду

(2.2)

У системі (2.2) -ое рівняння є -ое рівняння системи (2.1), дозволене щодо -ой невідомої (
).

Метод розв'язання системи (2.1), що полягає у зведенні її до системи (2.2) з наступним рішенням системи (2.2) методом ітерації, називається методом простої ітерації для системи (2.1).

Таким чином, робочі формули методу простої ітерації рішення системи (2.1) матимуть вигляд

(2.3)

Формули (2.3) можна записати у вигляді

Алгоритм чисельної реалізації методу простої ітерації для системи (2.1) за формулами (2.4) може бути таким.

Цей алгоритм можна записати геометрично.

Достатні умови збіжності методу простої ітерації для системи (2.1) мають вигляд

1.
, .

2.
,
.

3.

3. Стаціонарний метод Зейделя.

Метод Зейделя рішення СЛАУ відрізняється від методу ітерації тим, що знайшовши якесь наближення для тієї компоненти, ми відразу ж використовуємо його для відшукання наступних
,
, …, -ий компонент. Такий підхід дозволяє забезпечити більше високу швидкістьзбіжності методу Зейделя проти методом ітерації.

Нехай СЛАУ задана у вигляді

(3.1)

Нехай
- нульове наближення до точного рішення
Системи (3.1). І нехай знайдено -е наближення
. Визначимо компоненти
-ого наближення за формулами

(3.2)

Формули (3.2) можна записати у компактному вигляді

,
,
(3.3)

Алгоритм чисельної реалізації методу Зейделя рішення системи (3.1) за формулами (3.3) може бути таким.

1. Виберемо, наприклад,
,

2. Покладемо.

3. Для всіх обчислимо.

4. Для всіх перевіримо умови
.

5. Якщо всі умови п.4 будуть виконані, то за наближене рішення системи (3.1) виберемо або , або і закінчимо обчислення. Якщо хоча б одна умова у п.4 не буде виконана, перейдемо до п.6.

6. Покладемо та перейдемо до п.3.

Цей алгоритм можна записати геометрично.

Достатня умова збіжності методу Зейделя для системи (3.1) має вигляд
, .

4. Нестаціонарний метод Зейделя.

Цей метод рішення СЛАУ (3.1) забезпечує ще більшу швидкість збіжності методу Зейделя.

Нехай якимось чином для системи (3.1) знайдені компоненти -ого наближення і наближення.

Обчислимо вектор поправки

Підрахуємо величини

, (4.2)

Розташуємо величини
, у порядку їх спадання.

У такому порядку перепишемо рівняння в системі (3.1) і невідомі в цій системі. Лінійнаалгебраі нелінійні ... Керівництводлялабораторних робітпо ... методичнівказівки дляпрактичнихробітпо длястудентів ...

Навчальна література (природничі науки та технічні) 2000-2011 цикл опд – 10 років цикл сд – 5 років

Література

... Природнінаукив цілому 1. Астрономія [Текст]: посібник для ... Чисельніметоди: Лінійнаалгебраі нелінійні ... Керівництводлялабораторних робітпо ... методичнівказівки дляпрактичнихробітподисципліни "Економіка транспорту" длястудентів ...

- природничі науки (1)

Навчальний посібник

... керівництводлястудентівта викладачів, призначене длявикористання не лише при вивченні методівроботи... вироблення практичнихнавичок із використанням реальних даних. Методичнірекомендації повиконання залікової роботиподаному...

- природничі науки - фізико-математичні науки - хімічні науки - науки про землю (геодезичні геофізичні геологічні та географічні науки)

Документ

... длястудентівприродно- ... робітподисципліни "Генетика та селекція", присвячених актуальним проблемамцією науки. Систематизовано самостійну роботастудентівпотеоретичному та практичному ... лінійного, нелінійного, динамічний. Усе методи ...

- природничі науки - фізико-математичні науки - хімічні науки - науки про землю (геодезичні геофізичні геологічні та географічні науки) (7)

Список підручників

Визначник Єрьоміна в лінійноїі нелінійноюалгебри : лінійнеі нелінійнепрограмування: новий метод/ Єрьомін, Михайло... Длястудентівта викладачів геологічних спеціальностей вузів. кх-1 1794549 99. Д3 П 693 Практичнекерівництвопо ...



Ключові слова:

Мета роботи: вивчити методи розв'язання нелінійних рівнянь з одним невідомим та апробувати їх у дослідно-експериментальній роботі.

Завдання роботи:

1. Проаналізувати спеціальну літературуі вибрати найбільш раціональні способи вирішення нелінійних рівнянь, що дозволяють глибоко вивчити та засвоїти цю темуусім випускникам середньої школи.
2. Розробити деякі аспекти методики розв'язання нелінійних рівнянь із застосуванням ІКТ.
3. Вивчити методи розв'язання нелінійних рівнянь:

‒ Кроковий метод

‒ Метод поділу навпіл

‒ Метод Ньютона

Вступ.

Без математичної грамотності неможливе успішне освоєння методів вирішення завдань з фізики, хімії, біології та інших предметів. Весь комплекс природничих наук побудований та розвивається з урахуванням математичних знань. Наприклад, дослідження низки актуальних завдань математичної фізики призводить до необхідності розв'язання нелінійних рівнянь. Вирішення нелінійних рівнянь необхідне в нелінійній оптиці, фізиці плазми, теорії надпровідності та фізиці низьких температур. На цю тему є достатня кількість літератури, але у багатьох підручниках та статтях важко розібратися учневі середньої школи. У роботі розглянуті методи розв'язання нелінійних рівнянь, які можна використовувати під час вирішення прикладних завдань фізики, хімії. Цікавим є аспект застосування інформаційних технологійдо розв'язання рівнянь та завдань з математики.

Кроковий метод.

Нехай потрібно розв'язати нелінійне рівняння виду рівняння F(x)=0. Припустимо, що нам заданий деякий інтервал пошуку . Потрібно знайти інтервал [а,b] довжиною h, що містить перший корінь рівняння, починаючи з лівої межі інтервалу пошуку.

Мал. 1. Кроковий метод

Вирішити таке завдання можна кількома способами. Кроковий метод є найпростішим із чисельних методів розв'язання нерівностей, але для досягнення великої точності необхідно суттєво зменшити крок, а це сильно збільшує час розрахунків. Алгоритм розв'язання рівнянь за допомогою даного методускладається із двох етапів.

Iетап. Відділення коріння.

На цьому етапі визначаються ділянки, на кожному з яких знаходиться лише один корінь рівняння. Є кілька варіантів реалізації цього етапу:

• Підставляємо значення X (бажано з якимось досить дрібним кроком) і дивимося, де функція змінить знак. Якщо функція змінила знак, це означає, що на ділянці між попереднім і поточним значенням X лежить корінь (якщо функція не змінює характеру зростання/зменшення, то можна стверджувати, що корінь на цьому інтервалі один).
• графічний метод. Будуємо графік та оцінюємо на яких інтервалах лежить один корінь.
• Досліджуємо властивості конкретної функції.

IIетап. Уточнення коріння.

На цьому етапі значення коренів рівняння, визначених раніше, уточнюється. Як правило, на цьому етапі використовуються ітераційні методи. Наприклад, метод половинного поділу(Дихотомія) або метод Ньютона.

Метод половинного поділу

Швидкий і досить простий чисельний метод розв'язання рівнянь, заснований на послідовному звуженні інтервалу, що містить єдиний корінь рівняння F(x)=0 доти, доки досягнуто задана точність Е. Даний метод зазвичай використовується під час вирішення квадратних рівняньта рівнянь вищих ступенів. Однак у даного методу є істотний недолік - якщо на відрізку [а, b] міститься більше одного кореня, то за його допомогою не вдасться досягти добрих результатів.

Мал. 2. Метод дихотомії

Алгоритм цього методу наступний:

‒ Визначити нове наближення кореня х у середині відрізка [а;b]: х=(а+b)/2.

‒ Знайти значення функції в точках а та х: F(a) та F(x).

‒ Перевірити умову F(a)*F(x)

‒ Перейти до пункту 1 і поділити відрізок навпіл. Алгоритм продовжити доти, доки буде виконано умова |F(x)|

Метод Ньютона

Найточніший із чисельних методів рішення; підходить для вирішення дуже складних рівнянь, але ускладнюється необхідністю обчислення похідних на кожному кроці. полягає в тому, що якщо x n - деяке наближення до кореня рівняння , то наступне наближення визначається як корінь щодо функції f(x), проведеної в точці x n .

Рівняння щодо функції f(x) у точці x n має вигляд:

У рівнянні дотичної покладемо y = 0 і x = x n +1.

Тоді алгоритм послідовних обчислень у методі Ньютона полягає у наступному:

Збіжність методу дотичних квадратична, порядок збіжності дорівнює 2.

Отже, збіжність методу дотичних Ньютона дуже швидка.

Без змін метод узагальнюється на комплексний випадок. Якщо корінь xi є коренем другої кратності і вище, то порядок збіжності падає і стає лінійним.

До недоліків методу Ньютона слід віднести його локальність, оскільки він гарантовано сходиться при довільному стартовому наближенні, тільки якщо скрізь виконано умову , В противній ситуації збіжність є лише в деякій околиці кореня.

Метод Ньютона (метод дотичних) зазвичай застосовується у разі, якщо рівняння f(x) = 0має корінь і виконуються умови:

1) функція y= f(x)визначена і безперервна при ;

2) f(a)·f(b) (функція набуває значень різних знаків на кінцях відрізка [ a;b]);

3) похідні f"(x)і f""(x)зберігають знак на відрізку [ a;b] (тобто функція f(x)або збільшується, або зменшується на відрізку [ a;b], зберігаючи при цьому напрям опуклості);

Сенс методу полягає в наступному: на відрізку [ a;b] вибирається таке число x 0за якого f(x 0)має той самий знак, що й f""(x 0),тобто виконується умова f(x 0)·f""(x) > 0. Таким чином, вибирається крапка з абсцисою x 0, в якій стосується кривої y=f(x)на відрізку [ a;b] перетинає вісь Ox. За крапку x 0спочатку зручно вибирати один із кінців відрізка.

Розглянемо цей алгоритм на конкретному прикладі.

Нехай нам дано зростаюча функція y = f(x) = x 2-2,безперервна на відрізку (0;2) і має f "(x) = 2x> 0і f""(x) = 2> 0.

У нашому випадку рівняння дотичної має вигляд: y-y 0 = 2x 0 · (x-x 0).У як точка x 0 вибираємо точку B 1 (b; f(b)) = (2,2).Проводимо дотичну до функції y = f(x)у точці B 1 і позначаємо точку перетину дотичної і осі Oxточкою x 1. Отримуємо рівняння першої дотичної: y-2 = 2 · 2 (x-2), y = 4x-6. Ox: x 1 =

Мал. 3. Побудова першої щодо графіку функції f(x)

y=f(x) Oxчерез точку x 1, отримуємо точку У 2 = (1.5; 0.25). Знову проводимо дотичну до функції y = f(x)в точці В 2 і позначаємо точку перетину дотичної і Oxточкою x 2.

Рівняння другої дотичної: y-2.25 = 2 * 1.5 (x-1.5), y = 3x - 4.25.Точка перетину дотичної та осі Ox: x 2 =.

Потім знаходимо точку перетину функції y=f(x)та перпендикуляра, проведеного до осі Oxчерез точку x 2 отримуємо точку В 3 і так далі.

Мал. 4. Побудова другої щодо графіку функції f(x)

Перше наближення кореня визначається за такою формулою:

= 1.5.

Друге наближення кореня визначається за такою формулою:

=

Третє наближення кореня визначається за такою формулою:

Таким чином , i-е наближення кореня визначається за такою формулою:

Обчислення ведуться до тих пір, поки не буде досягнуто збігу десяткових знаків, які необхідні у відповіді, або заданої точності e - до виконання нерівності |xi-xi-1|

У нашому випадку порівняємо наближення, отримане на третьому кроці з реальною відповіддю. Як видно, вже на третьому кроці ми отримали похибку менше ніж 0.000002.

Рішення рівняння за допомогою САПРMathCAD

Для найпростіших рівнянь виду f(x) = 0 рішення в MathСAD знаходиться за допомогою функції root.

root(f (х 1 , x 2 , … ) х 1 , a, b ) - повертає значення х 1 , що належить відрізку [ a, b ] , при якому вираз чи функція f (х ) звертається до 0. Обидва аргументи цієї функції мають бути скалярами. Функція повертає скаляр.

Мал. 5. Вирішення нелінійного рівняння в MathCAD (функція root)

Якщо в результаті застосування цієї функції виникає помилка, то це може означати, що рівняння не має коріння, або коріння рівняння розташоване далеко від початкового наближення, вираз має локальні maxі minміж початковим наближенням та корінням.

Щоб встановити причину помилки, необхідно дослідити графік функції f(x). Він допоможе з'ясувати наявність коренів рівняння f(x) = 0 і якщо вони є, то визначити приблизно їх значення. Чим точніше вибрано початкове наближення кореня, то швидше буде знайдено його точне значення.

Якщо початкове наближення невідоме, доцільно використовувати функцію solve . При цьому якщо рівняння містить декілька змінних, потрібно вказати після ключового слова solve список змінних, щодо яких вирішується рівняння.

Мал. 6. Вирішення нелінійного рівняння в MathCAD (функція solve)

Висновок

У ході дослідження було розглянуто як математичні методи, і рішення рівнянь з використанням програмування в САПР MathCAD. Різні методимають свої переваги та недоліки. Слід зазначити, що застосування тієї чи іншої методу залежить від початкових умов заданого рівняння. Ті рівняння, які добре вирішуються відомими у школі методами розкладання на множники тощо, не має сенсу вирішувати більше складними способами. Прикладні завдання математики, важливі для фізики, хімії та потребують складних обчислювальних операцій при вирішенні рівнянь, успішно вирішуються, наприклад, за допомогою програмування. Їх добре вирішувати методом Ньютона.

Для уточнення коренів можна застосовувати кілька методів розв'язання того самого рівняння. Саме це дослідження лягло в основу даної роботи. При цьому легко простежити, який метод найбільш вдалий при вирішенні кожного етапу рівняння, а який метод на цьому етапі краще не застосовувати.

Вивчений матеріал, з одного боку, сприяє розширенню та поглибленню математичних знань, прищепленню інтересу до математики. З іншого боку, завдання реальної математики важливо вміти вирішувати тим, хто має намір придбати професії технічного та інженерного спрямування. Тому дана роботамає значення для подальшої освіти(Наприклад, у вищому навчальному закладі).

Література:

1. Мітяков С. Н. Інформатика. Комплекс навчально-методичних матеріалів. - Н. Новгород: Нижегород. держ. техн. ун-т., 2006
2. Вайнберг М. М., Треногін В. А. Теорія розгалуження розв'язків нелінійних рівнянь. М.: Наука, 1969. – 527 с.
3. Бронштейн І. Н., Семендяєв К. А. Довідник з математики для інженерів та учнів ВТНЗ - М.: Наука, 1986.
4. Омельченко В. П., Курбатова Е. В. Математика: навчальний посібник. - Ростов н/Д.: Фенікс, 2005.
5. Савін А. П. Енциклопедичний словникмолодого математика. - М: Педагогіка, 1989.
6. Корн Г., Корн Т. Довідник з математики для науковців та інженерів. - М: Наука, 1973.
7. Кір'янов Д. Mathcad 15/MathcadPrime 1.0. - С-Пб: БХВ-Петербург, 2012.
8. Черняк А., Черняк Ж., Доманова Ю. Вища математика з урахуванням Mathcad. Загальний курс - С-Пб.: БХВ-Петербург, 2004.
9. Поршнєв С., Беленкова І. Чисельні методи з урахуванням Mathcad. - С-Пб: БХВ-Петербург, 2012.

Ключові слова: нелінійні рівняння, прикладна математика, САПР MathCAD, метод Ньютона, кроковий метод, метод дихотомії..

Анотація: Стаття присвячена вивченню методів розв'язання нелінійних рівнянь, зокрема з використанням системи автоматизованого проектування MathCAD. Розглянуто кроковий метод, методи половинного поділу та Ньютона, наведено докладні алгоритми застосування даних методів, а також проведено порівняльний аналізвказаних методів.

Наприклад:

Поставимо завдання знайти дійснікоріння цього рівняння.

А такі точно є! - Зі статей про графіки функційі рівняннях вищої математикиви добре знаєте, що графік функції-багаточлена непарного ступеняхоча б один раз перетинає вісь , отже, наше рівняння має щонайменшеодин дійсний корінь. Один. Або два. Або три.

Спочатку напрошується перевірити, чи наявність раціональнихкоріння. Згідно відповідної теореми, цього «звання» можуть претендувати лише числа 1, –1, 3, –3, і прямий підстановкою легко переконатися, що жодна з них «не підходить». Таким чином, залишаються ірраціональні значення. Ірраціональний корінь (коріння) багаточлена 3-го ступеня можна знайти точно (виразити через радикали)за допомогою так званих формул Кардано Однак цей метод досить громіздкий. А для багаточленів 5-го і більшого ступенів загального аналітичного методу не існує зовсім, і, крім того, на практиці зустрічається безліч інших рівнянь, в яких точні значеннядійсних коренів отримати неможливо (хоча вони існують).

Однак у прикладних (наприклад, інженерних)завдання більш ніж допустимо використовувати наближені значення, обчислені з певною точністю.

Задамо для нашого прикладу точність. Що це означає? Це означає, що нам потрібно знайти ТАКЕ наближене значення кореня (коріння), в якому ми гарантовано помиляємось, не більше ніж на 0,001 (одну тисячну) .

Цілком зрозуміло, що рішення не можна починати «навмання» і тому на першому кроці коріння відокремлюють. Відокремити корінь - це означає знайти досить малий (як правило, одиничний) відрізок, якому цей корінь належить, і на якому немає іншого коріння. Найбільш простий і доступний графічний метод відокремлення коренів. Побудуємо крапковографік функції :

З креслення випливає, що рівняння, судячи з усього, має єдиний дійсний корінь, що належить відрізку. На кінцях цього проміжку функція приймає значення різних знаків: , і з факту безперервності функції на відрізкувідразу видно елементарний спосібуточнення кореня: ділимо проміжок навпіл і вибираємо той відрізок, на кінцях якого функція приймає різні знаки. У даному випадкуце, очевидно, відрізок. Ділимо отриманий проміжок навпіл і знову вибираємо «різнознаковий» відрізок. І так далі. Подібні послідовні дії називають ітераціями. У разі їх слід проводити до того часу, поки довжина відрізка стане менше подвоєної точності обчислень , і за наближене значення кореня слід вибрати середину останнього «різнознакового» відрізка.

Розглянута схема отримала природну назву - метод половинного поділу. І недолік цього методу полягає у швидкості. Повільно. Дуже повільно. Занадто багато ітерацій доведеться зробити, перш ніж ми досягнемо необхідної точності. З розвитком обчислювальної технікице, звичайно, не проблема, але математика – на те й математика, щоб шукати найбільш раціональні шляхи вирішення.

І одним з більш ефективних способівзнаходження наближеного значення кореня якраз і є метод дотичних. Коротка геометрична суть методу полягає в наступному: спочатку за допомогою спеціального критерію (про яке трохи пізніше)вибирається один із кінців відрізка. Цей кінець називають початковимнаближенням кореня, у прикладі: . Тепер проводимо дотичну до графіка функції у точці з абсцисою (синя точка та фіолетова дотична):

Ця дотична перетнула вісь абсцис у жовтій точці, і зверніть увагу, що на першому кроці ми вже майже «потрапили в корінь»! Це буде першенаближення кореня. Далі опускаємо жовтий перпендикуляр до графіка функції та «потрапляємо» в помаранчеву точку. Через помаранчеву точку знову проводимо дотичну, яка перетне вісь ще ближче до кореня! І так далі. Неважко зрозуміти, що, використовуючи метод дотичних, ми наближаємося до мети семимильними кроками, і для досягнення точності знадобиться буквально кілька ітерацій.

Оскільки дотична визначається через похідну функції, то цей урок потрапив до розділу «Виробні» як один з її додатків. І, не вдаючись у докладне теоретичне обґрунтування методуя розгляну технічну сторону питання. На практиці описане вище завдання зустрічається приблизно в такому формулюванні:

Приклад 1

За допомогою графічного методузнайти проміжок, на якому знаходиться дійсний корінь рівняння. Користуючись методом Ньютона, одержати наближене значення кореня з точністю до 0,001

Перед вами «щадна версія» завдання, в якій одразу констатується наявність єдиного дійсного кореня.

Рішення: на першому кроціслід відокремити корінь графічно. Це можна зробити шляхом побудови графіка (Див. ілюстрації вище), але такий підхід має низку недоліків. По-перше, не факт, що графік простий (Ми ж заздалегідь не знаємо), а програмне забезпечення- Воно далеко не завжди під рукою. І, по-друге (наслідок з 1-го), З неабиякою ймовірністю вийде навіть не схематичний креслення, а грубий малюнок, що, зрозуміло, немає добре.

Ну, а навіщо нам зайві труднощі? Уявимо рівнянняу вигляді , АКУРАТНО побудуємо графіки та відзначимо на кресленні корінь («іксову» координату точки перетину графіків):

Очевидна перевага цього способуполягає в тому, що графіки даних функцій будуються від руки значно точніше і набагато швидше. До речі, зауважте, що прямаперетнула кубічну параболув єдиній точці, а значить, запропоноване рівняння справді має тільки один дійсний корінь. Довіряйте, але перевіряйте;-)

Отже, наш "клієнт" належить відрізку і "на око" приблизно дорівнює 0,65-0,7.

На другому кроціпотрібно вибрати початкове наближеннякореня. Зазвичай це один із кінців відрізка. Початкове наближення має задовольняти наступною умовою:

Знайдемо першуі другупохідні функції :

і перевіримо лівий кінець відрізка:

Таким чином, нуль "не підійшов".

Перевіряємо правий кінець відрізка:

- все добре! Як початкове наближення вибираємо.

На третьому кроціНа нас чекає дорога до кореня. Кожне наступне наближення кореня розраховується на підставі попередніх даних за допомогою наступного рекурентноїформули:

Процес завершується і під час умови , де – заздалегідь задана точність обчислень. Через війну за наближене значення кореня приймається «енне» наближення: .

На черзі рутинні розрахунки:

(округлення зазвичай проводять до 5-6 знаків після коми)

Оскільки отримане значення більше, то переходимо до 1-го наближення кореня:

Обчислюємо:

тому виникає потреба перейти до 2-го наближення:

Заходимо на наступне коло:

Таким чином, ітерації закінчені, і як наближене значення кореня слід взяти 2-е наближення, яке відповідно до заданої точності потрібно округлити до однієї тисячної:

Насправді результати обчислень зручно заносити в таблицю, у своїй, щоб трохи скоротити запис, дріб часто позначають через :

Самі ж обчислення по можливості краще провести в Екселе - це набагато зручніше і швидше:

Відповідь: з точністю до 0,001

Нагадую, що ця фраза має на увазі той факт, що ми помилилися в оцінці справжнього значеннякореня лише на 0,001. Ті, хто сумнівається, можуть взяти в руки мікрокалькулятор і ще раз підставити наближене значення 0,674 в ліву частинурівняння.

А тепер проскануємо правий стовпець таблиці зверху вниз і звернемо увагу, що значення неухильно зменшуються по модулю. Цей ефект називають збіжністюметоду, яка дозволяє нам обчислити корінь зі скільки завгодно високою точністю. Але збіжність має місце далеко не завжди – вона забезпечується рядом умовпро які я промовчав. Зокрема, відрізок, на якому ізолюється корінь, має бути досить малий– інакше значення змінюватимуться безладно, і ми не зможемо завершити алгоритм.

Що робити у таких випадках? Перевірити виконання зазначених умов (Див. вище за посиланням), і за необхідності зменшити відрізок. Так, умовно кажучи, якби в розібраному прикладі нам не підійшов проміжок, то слід розглянути, наприклад, відрізок . Насправді мені такі випадки траплялися, І цей прийом реально допомагає! Те саме потрібно зробити, якщо обидва кінці «широкого» відрізка не задовольняють умові (Тобто жоден з них не годиться на роль початкового наближення).

Але зазвичай все працює, як годинник, хоч і не без підводного каміння:

Приклад 2

Визначити графічно кількість дійсних коренів рівняння, відокремити це коріння і застосовуючи спосіб Ньютона, знайти наближені значення коренів з точністю

Умова завдання помітно посилилася: по-перше, у ньому міститься товстий натяк на те, що рівняння має не єдиний корінь, по-друге, підвищилася вимога до точності, і, по-третє, з графіком функції справитися значно складніше.

А тому Рішенняпочинаємо з рятівного трюку: представимо рівняння у вигляді і зобразимо графіки:


З креслення випливає, що наше рівняння має два дійсні корені:

Алгоритм, як ви розумієте, потрібно «провернути» двічі. Але це ще на найважчий випадок, буває, досліджувати доводиться 3-4 корені.

1) За допомогою критерію з'ясуємо, який з кінців відрізка вибрати як початкове наближення першого кореня. Знаходимо похідні функції :

Тестуємо лівий кінець відрізка:

- Підійшов!

Отже, – початкове наближення.

Уточнення кореня проведемо методом Ньютона, використовуючи рекурентну формулу:
– доти, доки дріб за модулемне стане менше необхідної точності:

І тут слово «модуль» набуває неілюзорної важливості, оскільки значення виходять негативними:


З цієї ж причини слід виявити особливу увагу при переході до кожного наступного наближення:

Незважаючи на достатньо висока вимогадо точності, процес знову завершився на 2-му наближенні: , отже:

З точністю до 0,0001

2) Знайдемо наближене значення кореня.

Перевіряємо на «вшивість» лівий кінець відрізка:

, отже, він годиться як початкового наближення.