Maqsadlar:
- Mavzu bo'yicha bilim va ko'nikmalarni tizimlashtirish va umumlashtirish: Uchinchi va to'rtinchi darajali tenglamalar yechimlari.
- Bir qator vazifalarni bajarish orqali bilimingizni chuqurlashtiring, ularning ba'zilari turi yoki hal qilish usuli bo'yicha noma'lum.
- Matematikaning yangi boblarini o‘rganish orqali matematikaga qiziqishni shakllantirish, tenglamalar grafiklarini tuzish orqali grafik madaniyatni tarbiyalash.
Dars turi: birlashtirilgan.
Uskunalar: grafik proyektor.
Ko'rinish:"Viete teoremasi" jadvali.
Darslar davomida
1. Og’zaki hisoblash
a) p n (x) = a n x n + a n-1 x n-1 + ... + a 1 x 1 + a 0 ko‘phadning x-a binomiga bo‘linishining qoldig‘i qancha bo‘ladi?
b) Kub tenglamaning nechta ildizi bo'lishi mumkin?
v) Uchinchi va to‘rtinchi darajali tenglamalarni qanday yechamiz?
d) kvadrat tenglamada b juft son bo'lsa, D va x 1 ning qiymati qancha bo'ladi;
2. Mustaqil ish (guruhlarda)
Agar ildizlari ma'lum bo'lsa, tenglamani yozing (topshiriqlarga javoblar kodlangan) "Vyeta teoremasi" qo'llaniladi
1 guruh
Ildizlar: x 1 = 1; x 2 = -2; x 3 = -3; x 4 = 6
Tenglama tuzing:
B=1 -2-3+6=2; b=-2
c=-2-3+6+6-12-18= -23; c= -23
d=6-12+36-18=12; d= -12
e=1(-2)(-3)6=36
x 4 -2 x 3 - 23x 2 - 12 x + 36 = 0(bu tenglama doskadagi 2-guruh tomonidan yechiladi)
Yechim . Biz 36 raqamining bo'luvchilari orasidan butun ildizlarni qidiramiz.
r = ±1;±2;±3;±4;±6…
p 4 (1)=1-2-23-12+36=0 1 soni tenglamani qanoatlantiradi, shuning uchun =1 tenglamaning ildizi hisoblanadi. Horner sxemasiga ko'ra
p 3 (x) = x 3 - x 2 -24x -36
p 3 (-2) = -8 -4 +48 -36 = 0, x 2 = -2
p 2 (x) = x 2 -3x -18=0
x 3 = -3, x 4 =6
Javob: 1;-2;-3;6 ildizlar yig‘indisi 2 (P)
2-guruh
Ildizlar: x 1 = -1; x 2 = x 3 =2; x 4 =5
Tenglama tuzing:
B=-1+2+2+5-8; b= -8
c=2(-1)+4+10-2-5+10=15; c=15
D=-4-10+20-10= -4; d=4
e=2(-1)2*5=-20;e=-20
8+15+4x-20=0 (3-guruh bu tenglamani doskada yechadi)
r = ±1;±2;±4;±5;±10;±20.
p 4 (1)=1-8+15+4-20=-8
r 4 (-1)=1+8+15-4-20=0
p 3 (x) = x 3 -9x 2 +24x -20
p 3 (2) = 8 -36+48 -20=0
p 2 (x) = x 2 -7x +10 = 0 x 1 = 2; x 2 =5
Javob: -1;2;2;5 ildizlar yig‘indisi 8(P)
3 guruh
Ildizlar: x 1 = -1; x 2 =1; x 3 = -2; x 4 =3
Tenglama tuzing:
V=-1+1-2+3=1;V=-1
s=-1+2-3-2+3-6=-7;s=-7
D=2+6-3-6=-1; d=1
e=-1*1*(-2)*3=6
x 4 - x 3- 7x 2 + x + 6 = 0(4-guruh bu tenglamani keyinroq doskada yechadi)
Yechim. Biz 6 raqamining bo'luvchilari orasidan butun ildizlarni qidiramiz.
r = ±1;±2;±3;±6
p 4 (1)=1-1-7+1+6=0
p 3 (x) = x 3 - 7x -6
r 3 (-1) = -1+7-6=0
p 2 (x) = x 2 - x -6 = 0; x 1 = -2; x 2 =3
Javob: -1;1;-2;3 Ildizlar yig'indisi 1(O)
4 guruh
Ildizlar: x 1 = -2; x 2 = -2; x 3 = -3; x 4 = -3
Tenglama tuzing:
B=-2-2-3+3=-4; b=4
c=4+6-6+6-6-9=-5; s=-5
D=-12+12+18+18=36; d=-36
e=-2*(-2)*(-3)*3=-36;e=-36
x 4 +4x 3 – 5x 2 – 36x -36 = 0(bu tenglama doskadagi 5-guruh tomonidan yechiladi)
Yechim. Biz butun ildizlarni -36 sonining bo'luvchilari orasidan qidiramiz
r = ±1;±2;±3…
p(1)= 1 + 4-5-36-36 = -72
p 4 (-2) = 16 -32 -20 + 72 -36 = 0
p 3 (x) = x 3 +2x 2 -9x-18 = 0
p 3 (-2) = -8 + 8 + 18-18 = 0
p 2 (x) = x 2 -9 = 0; x=±3
Javob: -2; -2; -3; 3 Ildizlar yig'indisi-4 (F)
5 guruh
Ildizlar: x 1 = -1; x 2 = -2; x 3 = -3; x 4 = -4
Tenglama yozing
x 4+ 10x 3 + 35x 2 + 50x + 24 = 0(bu tenglama doskadagi 6-guruh tomonidan yechiladi)
Yechim . Biz 24 raqamining bo'luvchilari orasidan butun ildizlarni qidiramiz.
r = ±1;±2;±3
p 4 (-1) = 1 -10 + 35 -50 + 24 = 0
p 3 (x) = x- 3 + 9x 2 + 26x+ 24 = 0
p 3 (-2) = -8 + 36-52 + 24 = O
p 2 (x) = x 2 + 7x+ 12 = 0
Javob: -1;-2;-3;-4 sum-10 (I)
6 guruh
Ildizlar: x 1 = 1; x 2 = 1; x 3 = -3; x 4 = 8
Tenglama yozing
B=1+1-3+8=7;b=-7
c=1 -3+8-3+8-24= -13
D=-3-24+8-24= -43; d=43
x 4 - 7x 3- 13x 2 + 43x - 24 = 0 (bu tenglama doskadagi 1-guruh tomonidan yechiladi)
Yechim . Biz butun ildizlarni -24 sonining bo'luvchilari orasidan qidiramiz.
p 4 (1)=1-7-13+43-24=0
p 3 (1)=1-6-19+24=0
p 2 (x)= x 2 -5x - 24 = 0
x 3 =-3, x 4 =8
Javob: 1;1;-3;8 so‘m 7 (L)
3. Parametrli tenglamalarni yechish
1. x 3 + 3x 2 + mx - 15 = 0 tenglamani yeching; agar ildizlardan biri (-1) ga teng bo'lsa
Javobni o'sish tartibida yozing
R=P 3 (-1)=-1+3-m-15=0
x 3 + 3x 2 -13x - 15 = 0; -1+3+13-15=0
Shart bo'yicha x 1 = - 1; D=1+15=16
P 2 (x) = x 2 +2x-15 = 0
x 2 = -1-4 = -5;
x 3 = -1 + 4 = 3;
Javob: - 1; -5; 3
O'sish tartibida: -5;-1;3. (b N S)
2. X 3 - 3x 2 + ax - 2a + 6 ko'phadning barcha ildizlarini toping, agar uning x-1 va x +2 binomiga bo'linishidan qolgan qoldiqlar teng bo'lsa.
Yechish: R=P 3 (1) = P 3 (-2)
P 3 (1) = 1-3 + a- 2a + 6 = 4-a
P 3 (-2) = -8-12-2a-2a + 6 = -14-4a
x 3 -Zx 2 -6x + 12 + 6 = x 3 -Zx 2 -6x + 18
x 2 (x-3) -6 (x-3) = 0
(x-3)(x 2 -6) = 0
3) a=0, x 2 -0*x 2 +0 = 0; x 2 =0; x 4 =0
a=0; x=0; x=1
a>0; x=1; x=a ± √a
2. Tenglamani yozing
1 guruh. Ildizlari: -4; -2; 1; 7;
2-guruh. Ildizlar: -3; -2; 1; 2;
3 guruh. Ildizlar: -1; 2; 6; 10;
4 guruh. Ildizlar: -3; 2; 2; 5;
5 guruh. Ildizlari: -5; -2; 2; 4;
6 guruh. Ildizlar: -8; -2; 6; 7.
Ushbu maqolada biz bikvadrat tenglamalarni yechishni o'rganamiz.
Xo'sh, qanday turdagi tenglamalar bikvadrat deb ataladi?
Hammasi shakldagi tenglamalar oh 4+
bx
2
+
c
= 0
, Qayerda a ≠ 0, ular x 2 ga nisbatan kvadrat va bikvadrat deyiladi tenglamalar. Ko'rib turganingizdek, bu yozuv kvadrat tenglamaning yozuviga juda o'xshaydi, shuning uchun biz kvadrat tenglamani yechishda foydalangan formulalar yordamida bikvadrat tenglamalarni yechamiz.
Faqat biz yangi o'zgaruvchini kiritishimiz kerak bo'ladi, ya'ni biz belgilaymiz x 2 boshqa o'zgaruvchi, masalan da yoki t (yoki lotin alifbosining boshqa har qanday harfi).
Masalan, tenglamani yechamiz x 4 + 4x 2 ‒ 5 = 0.
belgilaylik x 2
orqali da
(x 2 = y
) va y 2 + 4y – 5 = 0 tenglamani olamiz.
Ko'rib turganingizdek, siz bunday tenglamalarni qanday hal qilishni allaqachon bilasiz.
Olingan tenglamani yechamiz:
D = 4 2 – 4 (‒ 5) = 16 + 20 = 36, √D = √36 = 6.
y 1 = (‒ 4 – 6)/2= ‒ 10 /2 = ‒ 5,
y 2 = (‒ 4 + 6)/2= 2 /2 = 1.
Keling, x o'zgaruvchimizga qaytaylik.
Biz x 2 = ‒ 5 va x 2 = 1 ekanligini aniqladik.
Biz shuni ta'kidlaymizki, birinchi tenglamaning yechimlari yo'q, ikkinchisi esa ikkita yechim beradi: x 1 = 1 va x 2 = ‒1. Salbiy ildizni yo'qotmaslik uchun ehtiyot bo'ling (ko'pincha ular x = 1 javobini olishadi, lekin bu to'g'ri emas).
Javob:- 1 va 1.
Mavzuni yaxshiroq tushunish uchun bir nechta misollarni ko'rib chiqaylik.
1-misol. Tenglamani yeching 2x 4 ‒ 5 x 2 + 3 = 0.
x 2 = y, keyin 2y 2 ‒ 5y + 3 = 0 bo'lsin.
D = (‒ 5) 2 – 4 2 3 = 25 ‒ 24 = 1, √D = √1 = 1.
y 1 = (5 – 1)/(2 2) = 4 /4 =1, y 2 = (5 + 1)/(2 2) = 6 /4 =1,5.
Keyin x 2 = 1 va x 2 = 1,5.
Biz x 1 = ‒1, x 2 = 1, x 3 = ‒ √1,5, x 4 = √1,5 ni olamiz.
Javob: ‒1; 1; ‒ √1,5; √1,5.
2-misol. Tenglamani yeching 2x 4 + 5 x 2 + 2 = 0.
2y 2 + 5y + 2 =0.
D = 5 2 – 4 2 2 = 25 ‒ 16 = 9, √D = √9 = 3.
y 1 = (‒ 5 – 3)/(2 2) = ‒ 8 /4 = ‒2, y 2 = (‒5 + 3)/(2 2) = ‒ 2 /4 = ‒ 0,5.
Keyin x 2 = - 2 va x 2 = - 0,5. E'tibor bering, ushbu tenglamalarning hech biri yechimga ega emas.
Javob: yechimlar yo'q.
Tugallanmagan bikvadrat tenglamalar- bu qachon b = 0 (ax 4 + c = 0) yoki c = 0
(ax 4 + bx 2 = 0) toʻliq boʻlmagan kvadrat tenglamalar kabi yechiladi.
3-misol. Tenglamani yeching x 4 ‒ 25x 2 = 0
Faktorlarga ajratamiz, qavs ichidan x 2 ni chiqaramiz va keyin x 2 (x 2 ‒ 25) = 0 ni chiqaramiz.
Biz x 2 = 0 yoki x 2 ‒ 25 = 0, x 2 = 25 ni olamiz.
Keyin bizda ildizlar 0; 5 va - 5.
Javob: 0; 5; – 5.
4-misol. Tenglamani yeching 5x 4 ‒ 45 = 0.
x 2 = ‒ √9 (echimlari yo'q)
x 2 = √9, x 1 = ‒ 3, x 2 = 3.
Ko'rib turganingizdek, kvadrat tenglamalarni yecha olsangiz, bikvadrat tenglamalarni ham yecha olasiz.
Agar sizda hali ham savollar bo'lsa, mening darslarimga yoziling. Tarbiyachi Valentina Galinevskaya.
veb-sayt, materialni to'liq yoki qisman nusxalashda manbaga havola talab qilinadi.
Ikki o‘zgaruvchili tenglamalar tushunchasi dastlab 7-sinf matematika kursida shakllantiriladi. Muayyan muammolar ko'rib chiqiladi, echish jarayoni ushbu turdagi tenglamalarga olib keladi.
Biroq, ular juda yuzaki o'rganiladi. Dastur ikkita noma'lumli tenglamalar tizimiga qaratilgan.
Bu tenglama koeffitsientlariga ma'lum cheklovlar qo'yiladigan muammolar amalda ko'rib chiqilmasligiga sabab bo'ldi. “Natural yoki butun sonlardagi tenglamani yechish” kabi vazifalarni yechish usullariga yetarlicha e’tibor berilmayapti. Ma'lumki, Yagona davlat imtihonlari materiallari va kirish imtihonlari chiptalarida ko'pincha bunday mashqlar mavjud.
Qaysi tenglamalar ikki o‘zgaruvchili tenglamalar sifatida aniqlanadi?
xy = 8, 7x + 3y = 13 yoki x 2 + y = 7 ikkita o'zgaruvchili tenglamalarga misol bo'ladi.
x – 4y = 16 tenglamasini ko'rib chiqaylik. Agar x = 4 va y = -3 bo'lsa, u to'g'ri tenglik bo'ladi. Bu shuni anglatadiki, bu juft qiymatlar ushbu tenglamaning echimi hisoblanadi.
Ikki oʻzgaruvchili har qanday tenglamaning yechimi bu tenglamani qanoatlantiruvchi (uni haqiqiy tenglikka aylantiruvchi) juft sonlar toʻplami (x; y) hisoblanadi.
Ko'pincha tenglama noma'lumlarni topish tizimini olish uchun ishlatilishi mumkin bo'lgan tarzda o'zgartiriladi.
Misollar
Tenglamani yeching: xy – 4 = 4x – y.
Ushbu misolda siz faktorizatsiya usulidan foydalanishingiz mumkin. Buning uchun siz atamalarni guruhlashingiz va qavs ichidan umumiy omilni olishingiz kerak:
xy – 4 = 4x – y;
xy – 4 – 4x + y = 0;
(xy + y) – (4x + 4) = 0;
y(x + 1) – 4(x + 1) = 0;
(x + 1)(y - 4) = 0.
Javob: Barcha juftliklar (x; 4), bu erda x - har qanday ratsional son va (-1; y), bu erda y - har qanday ratsional son.
Tenglamani yeching: 4x 2 + y 2 + 2 = 2(2x - y).
Birinchi qadam - guruhlash.
4x 2 + y 2 + 2 = 4x – 2y;
4x 2 + y 2 + 1 - 4x + 2y + 1 = 0;
(4x 2 – 4x +1) + (y 2 + 2y + 1) = 0.
Kvadrat farq formulasini qo'llash orqali biz quyidagilarni olamiz:
(2x - 1) 2 + (y + 1) 2 = 0.
Ikki manfiy bo'lmagan ifodani yig'ishda nol faqat 2x – 1 = 0 va y + 1 = 0 bo'lganda hosil bo'ladi. Bu quyidagicha: x = ½ va y = -1.
Javob: (1/2; -1).
(x 2 – 6x + 10)(y 2 + 10y + 29) = 4 tenglamani yeching.
Qavslar ichida to'liq kvadratlarni ajratib ko'rsatish, baholash usulini qo'llash oqilona.
((x - 3) 2 + 1)((y + 5) 2 + 4) = 4.
Bu holda (x - 3) 2 + 1 ≥ 1, va (y + 5) 2 + 4 ≥ 4. U holda tenglamaning chap tomoni har doim kamida 4 bo'ladi. Bu holatda tenglik mumkin.
(x - 3) 2 + 1 = 1 va (y + 5) 2 + 4 = 4. Demak, x = 3, y = -5.
Javob: (3; -5).
Tenglamani butun sonlarda yeching: x 2 + 10y 2 = 15x + 3.
Bu tenglamani quyidagicha yozish mumkin:
x 2 = -10y 2 + 15x + 3. Agar tenglikning o'ng tomoni 5 ga bo'lingan bo'lsa, u holda 3 qoldiq bo'ladi. Bundan kelib chiqadiki, x 2 5 ga bo'linmaydi. Ma'lumki, 5 ga bo'linmaydigan sonning kvadratida 1 yoki 4 qoldiq qolishi kerak. Demak, tenglamaning ildizlari yo'q.
Javob: Hech qanday yechim yo'q.
Ikki oʻzgaruvchili tenglamaning toʻgʻri yechimini topish qiyinligidan tushkunlikka tushmang. Qat'iylik va amaliyot albatta o'z mevasini beradi.
Biz sizga qulay bepul taklif qilamiz kvadrat tenglamalarni yechish uchun onlayn kalkulyator. Aniq misollar yordamida ular qanday hal qilinganligini tezda olishingiz va tushunishingiz mumkin.
Ishlab chiqarish uchun Kvadrat tenglamani onlayn yechish, birinchi navbatda tenglamani umumiy shaklga keltiring:
ax 2 + bx + c = 0
Shakl maydonlarini mos ravishda to'ldiring:
Kvadrat tenglamani qanday yechish mumkin
| Kvadrat tenglamani qanday yechish mumkin: | Ildiz turlari: |
|
1.
Kvadrat tenglamani umumiy shaklga keltiring: Umumiy ko'rinish Ax 2 +Bx+C=0 Misol: 3x - 2x 2 +1=-1 -2x 2 +3x+2=0 ga kamaytiring 2.
D diskriminantini toping. 3.
Tenglamaning ildizlarini topish. |
1.
Haqiqiy ildizlar. Bundan tashqari. x1 x2 ga teng emas Vaziyat D>0 va A 0 ga teng bo'lmaganda yuzaga keladi. 2.
Haqiqiy ildizlar bir xil. x1 x2 ga teng 3.
Ikki murakkab ildiz. x1=d+ei, x2=d-ei, bu yerda i=-(1) 1/2 5.
Tenglamaning son-sanoqsiz yechimlari mavjud. 6.
Tenglamaning yechimlari yo'q. |
Algoritmni birlashtirish uchun bu erda yana bir nechtasi bor kvadrat tenglamalar yechimlarining illyustrativ misollari.
1-misol. Har xil haqiqiy ildizli oddiy kvadrat tenglamani yechish.
x 2 + 3x -10 = 0
Ushbu tenglamada
A=1, B=3, C=-10
D=B 2 -4*A*C = 9-4*1*(-10) = 9+40 = 49
Biz kvadrat ildizni 1/2 raqami sifatida belgilaymiz!
x1=(-B+D 1/2)/2A = (-3+7)/2 = 2
x2=(-B-D 1/2)/2A = (-3-7)/2 = -5
Tekshirish uchun quyidagini almashtiramiz:
(x-2)*(x+5) = x2 -2x +5x – 10 = x2 + 3x -10
2-misol. Haqiqiy ildizlari mos keladigan kvadrat tenglamani yechish.
x 2 – 8x + 16 = 0
A=1, B = -8, C=16
D = k 2 – AC = 16 – 16 = 0
X = -k/A = 4
Keling, almashtiramiz
(x-4)*(x-4) = (x-4)2 = X 2 – 8x + 16
3-misol. Kompleks ildizli kvadrat tenglamani yechish.
13x 2 – 4x + 1 = 0
A=1, B = -4, C=9
D = b 2 – 4AC = 16 – 4*13*1 = 16 - 52 = -36
Diskriminant salbiy - ildizlar murakkab.
X1=(-B+D 1/2)/2A = (4+6i)/(2*13) = 2/13+3i/13
x2=(-B-D 1/2)/2A = (4-6i)/(2*13) = 2/13-3i/13
, bu erda I -1 ning kvadrat ildizi
Bu erda aslida kvadrat tenglamalarni echishning barcha mumkin bo'lgan holatlari mavjud.
Umid qilamizki, bizning onlayn kalkulyator siz uchun juda foydali bo'ladi.
Agar material foydali bo'lsa, mumkin
