Mavzu bo'yicha dars va taqdimot: "Energetika funktsiyalari. Xossalar. Grafiklar"
Qo'shimcha materiallar
Hurmatli foydalanuvchilar, o'z mulohazalaringizni, sharhlaringizni, tilaklaringizni qoldirishni unutmang! Barcha materiallar virusga qarshi dastur tomonidan tekshirilgan.
Integral onlayn do'konida 11-sinf uchun o'quv qo'llanmalari va simulyatorlar
9-11-sinflar uchun "Trigonometriya" interfaol qo'llanma
10-11-sinflar uchun interfaol qo'llanma "Logarifmlar"
Quvvat funksiyalari, ta'rif sohasi.
Bolalar, oxirgi darsda biz ratsional darajali sonlar bilan ishlashni o'rgandik. Ushbu darsda biz kuch funktsiyalarini ko'rib chiqamiz va ko'rsatkich ratsional bo'lgan holat bilan cheklanamiz.Formaning funksiyalarini ko'rib chiqamiz: $y=x^(\frac(m)(n))$.
Dastavval ko‘rsatkichi $\frac(m)(n)>1$ bo‘lgan funksiyalarni ko‘rib chiqamiz.
Bizga $y=x^2*5$ maxsus funksiya berilsin.
Oxirgi darsda bergan taʼrifga koʻra: agar $x≥0$ boʻlsa, funktsiyamizning aniqlanish sohasi $(x)$ nuridir. Keling, funktsiya grafigimizni sxematik tarzda tasvirlaylik.
$y=x^(\frac(m)(n))$, $0 funksiyaning xossalari 2. U juft ham, toq ham emas.
3. $$ ga oshadi,
b) $(2,10)$,
c) $$ nurida.
Yechim.
Bolalar, 10-sinfda segmentdagi funksiyaning eng katta va eng kichik qiymatini qanday topganimizni eslaysizmi?
To'g'ri, biz hosiladan foydalanganmiz. Keling, misolimizni yechamiz va eng kichik va ni topish algoritmini takrorlaymiz eng yuqori qiymat.
1. Berilgan funksiyaning hosilasini toping:
$y"=\frac(16)(5)*\frac(5)(2)x^(\frac(3)(2))-x^3=8x^(\frac(3)(2)) -x^3=8\sqrt(x^3)-x^3$.
2. Hosila asl funktsiyani aniqlashning butun sohasi bo'ylab mavjud bo'lsa, u holda kritik nuqtalar yo'q. Statsionar nuqtalarni topamiz:
$y"=8\sqrt(x^3)-x^3=0$.
$8*\sqrt(x^3)=x^3$.
$64x^3=x^6$.
$x^6-64x^3=0$.
$x^3(x^3-64)=0$.
$x_1=0$ va $x_2=\sqrt(64)=4$.
Berilgan segmentda faqat bitta yechim mavjud $x_2=4$.
Segmentning oxirida va ekstremal nuqtada funksiyamiz qiymatlari jadvalini tuzamiz:
Javob: $y_(ism)=-862,65$ da $x=9$; $y_(maks.)=38,4$, $x=4$.
Misol. Tenglamani yeching: $x^(\frac(4)(3))=24-x$.
Yechim. $y=x^(\frac(4)(3))$ funksiyaning grafigi ortadi, $y=24-x$ funksiyaning grafigi kamayadi. Bolalar, siz va men bilamiz: agar bir funktsiya ortib, ikkinchisi kamaysa, ular faqat bir nuqtada kesishadi, ya'ni bizda faqat bitta yechim bor.
Eslatma:
$8^(\frac(4)(3))=\sqrt(8^4)=(\sqrt(8))^4=2^4=16$.
$24-8=16$.
Ya'ni, $x=8$ bilan biz $16=16$ to'g'ri tenglikni oldik, bu bizning tenglamamizning yechimi.
Javob: $x=8$.
Misol.
Funksiya grafigini tuzing: $y=(x-3)^\frac(3)(4)+2$.
Yechim.
Funktsiyamizning grafigi $y=x^(\frac(3)(4))$ funksiya grafigidan uni 3 birlik o'ngga va 2 birlik yuqoriga siljitgan holda olinadi. 
Misol. $y=x^(-\frac(4)(5))$ chiziqqa $x=1$ nuqtadagi teginish tenglamasini yozing.
Yechim. Tangens tenglama biz bilgan formula bilan aniqlanadi:
$y=f(a)+f"(a)(x-a)$.
Bizning holatda $a=1$.
$f(a)=f(1)=1^(-\frac(4)(5))=1$.
Keling, hosilani topamiz:
$y"=-\frac(4)(5)x^(-\frac(9)(5))$.
Keling, hisoblab chiqamiz:
$f"(a)=-\frac(4)(5)*1^(-\frac(9)(5))=-\frac(4)(5)$.
Tangens tenglamasini topamiz:
$y=1-\frac(4)(5)(x-1)=-\frac(4)(5)x+1\frac(4)(5)$.
Javob: $y=-\frac(4)(5)x+1\frac(4)(5)$.
Mustaqil ravishda hal qilinadigan muammolar
1. Funktsiyaning eng katta va eng kichik qiymatini toping: $y=x^\frac(4)(3)$ segmentida:a) $$.
b) $(4,50)$.
c) $$ nurida.
3. Tenglamani yeching: $x^(\frac(1)(4))=18-x$.
4. Funksiya grafigini tuzing: $y=(x+1)^(\frac(3)(2))-1$.
5. $x=1$ nuqtada $y=x^(-\frac(3)(7))$ toʻgʻri chiziqqa teginish uchun tenglama tuzing.
Funktsiya qaerda X- o'zgaruvchan miqdor, A– berilgan raqam chaqiriladi Quvvat funktsiyasi .
Agar u chiziqli funktsiya bo'lsa, uning grafigi to'g'ri chiziqdir (4.3-band, 4.7-rasmga qarang).
Agar unda - kvadratik funktsiya, uning grafigi parabola (4.3-band, 4.8-rasmga qarang).
Agar u holda uning grafigi kubik parabola bo'lsa (4.3-band, 4.9-rasmga qarang).
Bu uchun teskari funktsiya
1. Domen: 
2. Ko'p ma'nolar:
3. Juft va toq: funksiya g'alati.
4. Funktsiya chastotasi: davriy bo'lmagan.
5. Funktsiya nollari: X= 0 - yagona nol.
6. Funktsiya maksimal yoki minimal qiymatga ega emas.
7.
8. Funksiya grafigi To'g'ri chiziqqa nisbatan kubik parabolaning grafigiga simmetrik Y=X va rasmda ko'rsatilgan. 5.1.
 |
Quvvat funktsiyasi
1. Domen: 
2. Ko'p ma'nolar:
3. Juft va toq: funksiyasi teng.
4. Funktsiya chastotasi: davriy bo'lmagan.
5. Funktsiya nollari: yagona nol X = 0.
6. Funktsiyaning eng katta va eng kichik qiymatlari: uchun eng kichik qiymatni oladi X= 0, u 0 ga teng.
7. O'sish va kamaytirish oraliqlari: funktsiya intervalda kamayib, intervalda ortib bormoqda
8. Funksiya grafigi(har biriga N Î N) kvadratik parabola grafigiga "o'xshash" (funksiya grafiklari 5.2-rasmda ko'rsatilgan).
Quvvat funktsiyasi
1. Domen:
2. Ko'p ma'nolar: 
3. Juft va toq: funksiya g'alati.
4. Funktsiya chastotasi: davriy bo'lmagan.
5. Funktsiya nollari: X= 0 - yagona nol.
6. Eng yuqori va eng past qiymatlar:
7. O'sish va kamaytirish oraliqlari: funksiya butun ta'rif sohasi bo'ylab ortib bormoqda.
8. Funksiya grafigi(har biri uchun ) kubik parabola grafigiga "o'xshash" (funktsiya grafiklari 5.3-rasmda ko'rsatilgan).
 |
Quvvat funktsiyasi
1. Domen:
2. Ko'p ma'nolar:
3. Juft va toq: funksiya g'alati.
4. Funktsiya chastotasi: davriy bo'lmagan.
5. Funktsiya nollari: nolga ega emas.
6. Funktsiyaning eng katta va eng kichik qiymatlari: funktsiya hech kim uchun eng katta va eng kichik qiymatlarga ega emas
7. O'sish va kamaytirish oraliqlari: funktsiya o'z ta'rifi sohasida kamayib bormoqda.
8. Asimptotlar:(o'q OU) – vertikal asimptota;
(o'q Oh) – gorizontal asimptota.
9. Funksiya grafigi(har kim uchun N) giperbolaning grafigiga "o'xshash" (funksiya grafiklari 5.4-rasmda ko'rsatilgan).
 |
Quvvat funktsiyasi
1. Domen:
2. Ko'p ma'nolar:
3. Juft va toq: funksiyasi teng.
4. Funktsiya chastotasi: davriy bo'lmagan.
5. Funktsiyaning eng katta va eng kichik qiymatlari: funktsiya hech kim uchun eng katta va eng kichik qiymatlarga ega emas
6. O'sish va kamaytirish oraliqlari: funktsiya ortib boradi va kamayadi
7. Asimptotlar: X= 0 (o'q OU) – vertikal asimptota;
Y= 0 (o'q Oh) – gorizontal asimptota.
8. Funksiya grafiklari Ular kvadratik giperbolalardir (5.5-rasm).
 |
Quvvat funktsiyasi
1. Domen:
2. Ko'p ma'nolar:
3. Juft va toq: funksiya juft va toq xossalariga ega emas.
4. Funktsiya chastotasi: davriy bo'lmagan.
5. Funktsiya nollari: X= 0 - yagona nol.
6. Funktsiyaning eng katta va eng kichik qiymatlari: funksiya nuqtada 0 ga teng eng kichik qiymatni oladi X= 0; eng muhimi emas.
7. O'sish va kamaytirish oraliqlari: funksiya butun ta'rif sohasi bo'ylab ortib bormoqda.
8. Muayyan daraja uchun har bir bunday funktsiya berilgan funktsiyaga teskari hisoblanadi
9. Funksiya grafigi har qanday funktsiya grafigiga "o'xshatadi" N va rasmda ko'rsatilgan. 5.6.
Quvvat funktsiyasi
1. Domen:
2. Ko'p ma'nolar:
3. Juft va toq: funksiya g'alati.
4. Funktsiya chastotasi: davriy bo'lmagan.
5. Funktsiya nollari: X= 0 - yagona nol.
6. Funktsiyaning eng katta va eng kichik qiymatlari: funktsiya hech kim uchun eng katta va eng kichik qiymatlarga ega emas
7. O'sish va kamaytirish oraliqlari: funksiya butun ta'rif sohasi bo'ylab ortib bormoqda.
8. Funksiya grafigi Shaklda ko'rsatilgan. 5.7.
 |
Butun sonli daraja funksiyalarining xossalari va grafiklarini eslaylik salbiy ko'rsatkich.
Hatto n uchun:
Misol funksiyasi:
Bunday funksiyalarning barcha grafiklari ikkita qo'zg'almas nuqtadan o'tadi: (1;1), (-1;1). Ushbu turdagi funktsiyalarning o'ziga xos xususiyati ularning paritetidir, grafiklar op-amp o'qiga nisbatan simmetrikdir.
Guruch. 1. Funksiya grafigi
Toq n uchun, :
Misol funksiyasi:
Bunday funksiyalarning barcha grafiklari ikkita qo'zg'almas nuqtadan o'tadi: (1;1), (-1;-1). Ushbu turdagi funktsiyalarning o'ziga xosligi shundaki, ular toq bo'lib, grafiklar kelib chiqishiga nisbatan simmetrikdir.
Guruch. 2. Funksiya grafigi
Keling, asosiy ta'rifni eslaylik.
Ratsional musbat ko'rsatkichli manfiy bo'lmagan a sonining kuchi son deyiladi.
Ratsional manfiy ko'rsatkichli musbat a sonining kuchi son deyiladi.
Tenglik uchun:
Masalan: 
; - ta'rifi bo'yicha manfiy ratsional ko'rsatkichli daraja ifodasi mavjud emas; ko'rsatkich butun son bo'lgani uchun mavjud, 
Ratsional manfiy ko'rsatkichli quvvat funksiyalarini ko'rib chiqishga o'tamiz.
Masalan:
Ushbu funktsiyaning grafigini chizish uchun siz jadval yaratishingiz mumkin. Biz buni boshqacha qilamiz: avval maxraj grafigini tuzamiz va o'rganamiz - bu bizga ma'lum (3-rasm).
Guruch. 3. Funksiya grafigi
Maxraj funksiyasining grafigi qo'zg'almas nuqtadan (1;1) o'tadi. Asl funktsiyani chizishda berilgan nuqta qoladi, ildiz ham nolga intilganda, funksiya cheksizlikka intiladi. Va aksincha, x cheksizlikka intilgani uchun funksiya nolga intiladi (4-rasm).
Guruch. 4. Funksiya grafigi
O'rganilayotgan funksiyalar turkumidan yana bir funktsiyani ko'rib chiqamiz.
Bu ta'rifi bo'yicha muhim ahamiyatga ega
Funktsiyaning maxrajdagi grafigini ko'rib chiqamiz: , bu funksiyaning grafigi bizga ma'lum, u o'zining aniqlanish sohasi bo'yicha ortib boradi va (1;1) nuqtadan o'tadi (5-rasm).
Guruch. 5. Funksiya grafigi
Dastlabki funksiya grafigini tuzishda (1;1) nuqta qoladi, ildiz ham nolga intiladi, funksiya cheksizlikka intiladi. Va aksincha, x cheksizlikka intilgani uchun funksiya nolga intiladi (6-rasm).
Guruch. 6. Funksiya grafigi
Ko'rib chiqilgan misollar grafik qanday o'tishini va o'rganilayotgan funktsiyaning xususiyatlari - manfiy ratsional ko'rsatkichli funktsiyani tushunishga yordam beradi.
Bu turkumga kiruvchi funksiyalarning grafiklari (1;1) nuqtadan o‘tadi, funksiya butun ta’rif sohasi bo‘yicha kamayadi.
Funktsiya doirasi: 
Funktsiya yuqoridan cheklangan emas, balki pastdan cheklangan. Funktsiyaning na eng kattasi, na eng kattasi bor eng past qiymat.
Funktsiya uzluksiz va noldan ortiqcha cheksizgacha bo'lgan barcha ijobiy qiymatlarni oladi.
Funktsiya pastga qarab qavariq (15.7-rasm)
A va B nuqtalari egri chiziqda olinadi, ular orqali segment chiziladi, butun egri segment ostidadir, bu holat egri chiziqning ixtiyoriy ikkita nuqtasi uchun qanoatlantiriladi, shuning uchun funktsiya pastga qarab qavariq. Guruch. 7.
Guruch. 7. Funksiyaning qavariqligi
Ushbu oilaning funktsiyalari pastdan nol bilan chegaralanganligini tushunish kerak, lekin eng kichik qiymatga ega emas.
1-misol - \[(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) x^(2n)\ )=+\infty \] oraliqda funksiyaning maksimal va minimumini toping.
Grafik (2-rasm).
2-rasm. $f\left(x\right)=x^(2n)$ funksiya grafigi
Tabiiy toq darajali daraja funksiyasining xossalari
Ta'rif sohasi barcha haqiqiy sonlardir.
$f\left(-x\right)=((-x))^(2n-1)=(-x)^(2n)=-f(x)$ -- funksiya toq.
$f(x)$ butun taʼrif sohasi boʻylab uzluksizdir.
Diapazon barcha haqiqiy raqamlardir.
$f"\left(x\right)=\left(x^(2n-1)\right)"=(2n-1)\cdot x^(2(n-1))\ge 0$
Funktsiya butun ta'rif sohasi bo'ylab ortadi.
$f\left(x\right)0$, $x\in (0,+\infty)$ uchun.
$f(""\left(x\o'ng))=(\chap(\left(2n-1\o'ng)\cdot x^(2\left(n-1\o'ng))\o'ng))"=2 \left(2n-1\right)(n-1)\cdot x^(2n-3)$
\ \
Funktsiya $x\in (-\infty ,0)$ uchun konkav va $x\in (0,+\infty)$ uchun qavariq.
Grafik (3-rasm).
3-rasm. $f\left(x\right)=x^(2n-1)$ funksiya grafigi.
Butun sonli darajali quvvat funksiyasi
Birinchidan, butun ko'rsatkichli daraja tushunchasini kiritamiz.
Ta'rif 3
Butun koʻrsatkichi $n$ boʻlgan haqiqiy $a$ sonining kuchi quyidagi formula bilan aniqlanadi:
4-rasm.
Endi butun ko‘rsatkichli daraja funksiyasini, uning xossalarini va grafigini ko‘rib chiqamiz.
Ta'rif 4
$f\left(x\right)=x^n$ ($n\in Z)$ butun koʻrsatkichli quvvat funksiyasi deyiladi.
Agar daraja noldan katta bo'lsa, u holda biz tabiiy ko'rsatkichli daraja funksiyasi holatiga kelamiz. Biz bu haqda yuqorida muhokama qildik. $n=0$ uchun biz olamiz chiziqli funksiya$y=1$. Uning mulohazalarini o‘quvchi ixtiyoriga qoldiramiz. Salbiy butun sonli darajali funktsiyaning xususiyatlarini ko'rib chiqish qoladi
Manfiy butun ko‘rsatkichli daraja funksiyasining xossalari
Ta'rif domeni $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$.
Agar ko‘rsatkich juft bo‘lsa, funksiya juft bo‘ladi, agar u toq bo‘lsa, funksiya toq bo‘ladi.
$f(x)$ butun taʼrif sohasi boʻylab uzluksizdir.
Qo'llash doirasi:
Agar ko'rsatkich juft bo'lsa, $(0,+\infty)$; agar u toq bo'lsa, $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$.
Toq ko'rsatkich uchun funktsiya $x\in \left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$ sifatida kamayadi. Agar ko'rsatkich juft bo'lsa, funktsiya $x\in (0,+\infty)$ ga kamayadi. va $x\in \left(-\infty ,0\right)$ sifatida ortadi.
$f(x)\ge 0$ butun taʼrif domenida
