Bir necha o'zgaruvchili funksiyalarning ekstremallari. Ekstremum uchun zaruriy shart. Ekstremum uchun etarli shart. Shartli ekstremum. Lagrange multiplikator usuli. Eng katta va eng kichik qiymatlarni topish.

5-ma'ruza.

Ta'rif 5.1. Nuqta M 0 (x 0, y 0) chaqirdi maksimal nuqta funktsiyalari z = f (x, y), Agar f (x o , y o) > f(x,y) barcha nuqtalar uchun (x, y) M 0.

Ta'rif 5.2. Nuqta M 0 (x 0, y 0) chaqirdi minimal nuqta funktsiyalari z = f (x, y), Agar f (x o , y o) < f(x,y) barcha nuqtalar uchun (x, y) bir nuqtaning qaysidir mahallasidan M 0.

Eslatma 1. Maksimal va minimal nuqtalar chaqiriladi ekstremal nuqtalar bir nechta o'zgaruvchilarning funktsiyalari.

Izoh 2. Har qanday sonli o‘zgaruvchilar funksiyasining ekstremum nuqtasi ham xuddi shunday tarzda aniqlanadi.

5.1 teorema (zarur shart-sharoitlar ekstremum). Agar M 0 (x 0, y 0)– funksiyaning ekstremum nuqtasi z = f (x, y), u holda bu nuqtada bu funksiyaning birinchi tartibli qisman hosilalari nolga teng yoki mavjud emas.

Isbot.

Keling, o'zgaruvchining qiymatini aniqlaymiz da, hisoblash y = y 0. Keyin funksiya f (x, y 0) bir o‘zgaruvchining funksiyasi bo‘ladi X, buning uchun x = x 0 ekstremum nuqta hisoblanadi. Shuning uchun Ferma teoremasi bo'yicha yoki mavjud emas. Xuddi shu bayonot uchun ham xuddi shunday isbotlangan.

Ta'rif 5.3. Funktsiyaning qisman hosilalari nolga teng yoki mavjud bo'lmagan bir nechta o'zgaruvchilardan iborat funktsiya sohasiga tegishli nuqtalar deyiladi. statsionar nuqtalar bu funksiya.

Izoh. Shunday qilib, ekstremumga faqat statsionar nuqtalarda erishish mumkin, lekin ularning har birida kuzatilishi shart emas.

5.2 teorema(ekstremum uchun etarli shartlar). Nuqtaning ba'zi mahallasida bo'lsin M 0 (x 0, y 0), bu funksiyaning statsionar nuqtasidir z = f (x, y), bu funksiya 3-tartibga qadar uzluksiz qisman hosilalarga ega. Keyin belgilaymiz:

1) f(x,y) nuqtada bor M 0 maksimal, agar AC–B² > 0, A < 0;

2) f(x,y) nuqtada bor M 0 minimal bo'lsa AC–B² > 0, A > 0;

3) kritik nuqtada ekstremum yo'q if AC–B² < 0;

4) agar AC–B² = 0, qo'shimcha tadqiqotlar talab qilinadi.

Isbot.

Funktsiya uchun ikkinchi tartibli Teylor formulasini yozamiz f(x,y), statsionar nuqtada birinchi tartibli qisman hosilalar nolga teng ekanligini yodda tuting:

Qayerda Agar segment orasidagi burchak bo'lsa M 0 M, Qayerda M (x 0 +Δ x, y 0 +Δ da) va O o'qi X ph ni, keyin D ni belgilang x =Δ ρ cos φ, Δ y = Drsinph. Bu holda Teylor formulasi quyidagi shaklni oladi: . Keling, Qavs ichidagi ifodani ga bo'lish va ko'paytirish mumkin A. Biz olamiz:

Keling, to'rttasini ko'rib chiqaylik mumkin bo'lgan holatlar:

1) AC-B² > 0, A < 0. Тогда , и etarlicha kichik Dr da. Shuning uchun, ba'zi mahallalarda M 0 f (x 0 + Δ x, y 0 +Δ y)< f (x 0 , y 0), ya'ni M 0- maksimal nuqta.

2) ruxsat bering AC–B² > 0, A > 0. Keyin , Va M 0- minimal ball.

3) ruxsat bering AC-B² < 0, A> 0. ph = 0 nur bo‘ylab argumentlar o‘sishini ko‘rib chiqaylik. Keyin (5.1) dan shunday xulosa chiqadi: , ya'ni bu nur bo'ylab harakatlanayotganda funktsiya kuchayadi. Agar shunday nur bo'ylab harakat qilsak, tg ph 0 = -A/B, Bu , shuning uchun, bu nur bo'ylab harakatlanayotganda, funktsiya kamayadi. Shunday qilib, davr M 0 ekstremum nuqta emas.

3`) Qachon AC–B² < 0, A < 0 доказательство отсутствия экстремума проводится

oldingisiga o'xshash.

3``) Agar AC–B² < 0, A= 0, keyin . Qayerda. Keyin etarlicha kichik ph uchun 2 ifodasi B cosph + C sinph 2 ga yaqin IN, ya'ni o'zgarmas belgini saqlab qoladi, lekin sinph nuqtaga yaqin joyda belgini o'zgartiradi M 0. Bu shuni anglatadiki, funktsiyaning o'sishi statsionar nuqtaga yaqin joyda belgini o'zgartiradi, shuning uchun bu ekstremum nuqta emas.

4) Agar AC–B² = 0, va , , ya'ni o'sish belgisi 2a 0 belgisi bilan aniqlanadi. Shu bilan birga, ekstremum mavjudligi haqidagi savolga aniqlik kiritish uchun keyingi tadqiqotlar zarur.

Misol. Funksiyaning ekstremum nuqtalarini topamiz z = x² - 2 xy + 2y² + 2 x. Statsionar nuqtalarni topish uchun biz tizimni hal qilamiz . Demak, statsionar nuqta (-2,-1). Qayerda A = 2, IN = -2, BILAN= 4. Keyin AC–B² = 4 > 0, shuning uchun statsionar nuqtada ekstremumga erishiladi, ya'ni minimal (chunki A > 0).

Ta'rif 5.4. Agar funktsiya argument bo'lsa f (x 1 , x 2 ,…, x n) ulangan qo'shimcha shartlar sifatida m tenglamalar ( m< n) :

ph 1 ( x 1, x 2,…, x n) = 0, ph 2 ( x 1, x 2,…, x n) = 0, …, ph m ( x 1, x 2,…, x n) = 0, (5.2)

bu yerda ph i funksiyalar uzluksiz qisman hosilalarga ega bo‘lsa, (5.2) tenglamalar deyiladi. ulanish tenglamalari.

Ta'rif 5.5. Funktsiyaning ekstremumi f (x 1 , x 2 ,…, x n)(5.2) shartlar bajarilsa, chaqiriladi shartli ekstremum.

Izoh. Ikki o‘zgaruvchili funksiyaning shartli ekstremumining quyidagi geometrik talqinini taklif qilishimiz mumkin: funksiya argumentlari bo‘lsin. f(x,y) ph tenglamasi bilan bog'liq (x,y)= 0, O tekisligida qandaydir egri chiziqni aniqlaydi xy. Ushbu egri chiziqning har bir nuqtasidan O tekislikka perpendikulyarlarni tiklash xy yuzasi bilan kesishmaguncha z = f (x, y), egri ph ustidagi sirtda yotgan fazoviy egri chiziqni olamiz (x,y)= 0. Vazifa hosil bo'lgan egri chiziqning ekstremum nuqtalarini topishdan iborat bo'lib, bu, albatta, umumiy holat funksiyaning shartsiz ekstremum nuqtalari bilan mos tushmasin f(x,y).

Avval quyidagi ta'rifni kiritib, ikkita o'zgaruvchining funktsiyasi uchun shartli ekstremum uchun zarur shartlarni aniqlaylik:

Ta'rif 5.6. Funktsiya L (x 1 , x 2 ,…, x n) = f (x 1 , x 2 ,…, x n) + l 1 ph 1 (x 1 , x 2 ,…, x n) +

+ l 2 ph 2 (x 1 , x 2 ,…, x n) +…+l m ph m (x 1 , x 2 ,…, x n), (5.3)

Qayerda i - ba'zilari doimiy, deyiladi Lagrange funktsiyasi, va raqamlar i– noaniq Lagranj ko'paytmalari.

5.3 teorema(shartli ekstremum uchun zarur shartlar). Funksiyaning shartli ekstremumi z = f (x, y) ulanish tenglamasi mavjud bo'lganda ph ( x, y)= 0 ga faqat Lagrange funktsiyasining statsionar nuqtalarida erishish mumkin L (x, y) = f (x, y) + lph (x, y).

Isbot. Bog'lanish tenglamasi yashirin bog'liqlikni belgilaydi da dan X, shuning uchun biz buni taxmin qilamiz da dan funksiya mavjud X: y = y (x). Keyin z dan murakkab funksiya mavjud X, va uning kritik nuqtalari shart bilan aniqlanadi: . (5.4) Ulanish tenglamasidan shunday kelib chiqadi . (5.5)

(5.5) tenglikni qandaydir l soniga ko'paytiramiz va uni (5.4) bilan qo'shamiz. Biz olamiz:

, yoki .

Oxirgi tenglik statsionar nuqtalarda bajarilishi kerak, shundan kelib chiqadi:

(5.6)

Uchta noma'lum uchun uchta tenglamalar tizimi olinadi: x, y va l va birinchi ikkita tenglama Lagranj funksiyasining statsionar nuqtasi uchun shartlardir. Yordamchi noma'lum l ni (5.6) tizimdan chiqarib tashlab, biz boshlang'ich funktsiya shartli ekstremumga ega bo'lishi mumkin bo'lgan nuqtalarning koordinatalarini topamiz.

Izoh 1. Topilgan nuqtada shartli ekstremum mavjudligini Lagranj funksiyasining ikkinchi tartibli qisman hosilalarini 5.2-teoremaga o'xshashlik orqali o'rganish orqali tekshirish mumkin.

Izoh 2. Funktsiyaning shartli ekstremumiga erishish mumkin bo'lgan nuqtalar f (x 1 , x 2 ,…, x n)(5.2) shartlar bajarilganda, tizimning yechimlari sifatida belgilanishi mumkin (5.7)

Misol. Funksiyaning shartli ekstremumini topamiz z = xy shartiga ko'ra x + y= 1. Lagranj funksiyasini tuzamiz L(x, y) = xy + l (x + y -) 1). Tizim (5.6) quyidagicha ko'rinadi:

Bu erda -2l=1, l=-0,5, x = y = -l = 0,5. Qayerda L(x,y) shaklida ifodalanishi mumkin L(x, y) = - 0,5 (x–y)² + 0,5 ≤ 0,5, shuning uchun topilgan statsionar nuqtada L(x,y) maksimalga ega va z = xy - shartli maksimal.

Shartli ekstremum.

Bir necha o'zgaruvchili funktsiyaning ekstremasi

Eng kichik kvadrat usuli.

FNP ning mahalliy ekstremumi

Funktsiya berilgan bo'lsin Va= f(P), RÎDÌR n va nuqta P 0 ( A 1 , A 2 , ..., a p) –ichki to'plam nuqtasi D.

Ta'rif 9.4.

1) P 0 nuqtasi chaqiriladi maksimal nuqta funktsiyalari Va= f(P), agar bu nuqtaning qo'shnisi bo'lsa U(P 0) M D shundayki, har qanday P( X 1 , X 2 , ..., x n)O U(P 0) , R¹R 0 , shart bajarilgan f(P) £ f(P 0) . Ma'nosi f(P 0) maksimal nuqtadagi funksiya chaqiriladi funktsiyaning maksimal qiymati va belgilanadi f(P0) = maks f(P) .

2) P 0 nuqtasi chaqiriladi minimal nuqta funktsiyalari Va= f(P), agar bu nuqtaning qo'shnisi bo'lsa U(P 0)Ì D shundayki, har qanday P( nuqta uchun) X 1 , X 2 , ..., x n)OU(P 0), R¹R 0 , shart bajariladi f(P)³ f(P 0) . Ma'nosi f(P 0) minimal nuqtadagi funksiya chaqiriladi minimal funktsiya va belgilanadi f(P 0) = min f(P).

Funksiyaning minimal va maksimal nuqtalari deyiladi ekstremal nuqtalar, ekstremal nuqtalardagi funksiya qiymatlari deyiladi funktsiyaning ekstremal qismi.

Ta'rifdan kelib chiqqan holda, tengsizliklar f(P) £ f(P 0), f(P)³ f(P 0) funktsiyani aniqlashning butun sohasida emas, balki faqat P 0 nuqtasining ma'lum bir qo'shnisida qondirilishi kerak, ya'ni funktsiya bir xil turdagi bir nechta ekstremallarga ega bo'lishi mumkin (bir nechta minimal, bir nechta maksimal) . Shuning uchun yuqorida aniqlangan ekstremallar deyiladi mahalliy(mahalliy) ekstremallar.

9.1 teorema (FNP ekstremumining zaruriy sharti).

Agar funktsiya Va= f(X 1 , X 2 , ..., x n) P 0 nuqtada ekstremumga ega, u holda uning bu nuqtada birinchi tartibli qisman hosilalari nolga teng yoki mavjud emas.

Isbot. P 0 nuqtasida ( A 1 , A 2 , ..., a p) funktsiyasi Va= f(P) ekstremumga ega, masalan, maksimal. Keling, argumentlarni tuzataylik X 2 , ..., x n, qo'yish X 2 =A 2 ,..., x n = a p. Keyin Va= f(P) = f 1 ((X 1 , A 2 , ..., a p) bitta o‘zgaruvchining funksiyasi X 1 . Chunki bu funksiya mavjud X 1 = A 1 ekstremum (maksimal), keyin f 1 ¢=0 yoki qachon mavjud emas X 1 =A 1 (bitta o'zgaruvchining funksiyasi ekstremumining mavjudligi uchun zaruriy shart). Biroq, bu P 0 nuqtasida - ekstremum nuqtasida mavjud yoki yo'qligini anglatadi. Xuddi shunday, biz boshqa o'zgaruvchilarga nisbatan qisman hosilalarni ko'rib chiqishimiz mumkin. CTD.

Birinchi tartibli qisman hosilalari nolga teng yoki mavjud boʻlmagan funksiya sohasidagi nuqtalar deyiladi. tanqidiy nuqtalar bu funksiya.

9.1 teoremadan kelib chiqqan holda, funktsiyaning kritik nuqtalari orasidan FNP ning ekstremum nuqtalarini izlash kerak. Ammo, bitta o'zgaruvchining funktsiyasiga kelsak, har bir kritik nuqta ekstremum nuqta emas.

9.2 teorema (FNP ekstremumi uchun etarli shart).

Funktsiyaning kritik nuqtasi P 0 bo'lsin Va= f(P) va bu funksiyaning ikkinchi tartibli differensialidir. Keyin

Agar d 2 u(P 0) > 0 da, u holda P 0 nuqta hisoblanadi eng kam funktsiyalari Va= f(P);

b) agar d 2 u(P0)< 0 при , то Р 0 – точка maksimal funktsiyalari Va= f(P);

c) agar d 2 u(P 0) belgi bilan aniqlanmaydi, keyin P 0 ekstremum nuqta emas;

Biz bu teoremani isbotsiz ko'rib chiqamiz.

E'tibor bering, teorema qachon bo'lgan holatni ko'rib chiqmaydi d 2 u(P 0) = 0 yoki mavjud emas. Bu shuni anglatadiki, bunday sharoitlarda P 0 nuqtasida ekstremum mavjudligi haqidagi savol ochiq qoladi - bizga kerak qo'shimcha tadqiqotlar, masalan, ushbu nuqtada funktsiyaning o'sishini o'rganish.

Batafsilroq matematika kurslarida bu, xususan, funktsiya uchun isbotlangan z = f(x,y) ikki o'zgaruvchining ikkinchi tartibli differensiali shakl yig'indisidir

kritik P 0 nuqtasida ekstremum mavjudligini o'rganishni soddalashtirish mumkin.

, , ni belgilaymiz. Determinant tuzamiz

.

Aylanadi:

d 2 z P 0 nuqtasida > 0, ya'ni. P 0 - minimal nuqta, agar A(P 0) > 0 va D(P 0) > 0;

d 2 z < 0 в точке Р 0 , т.е. Р 0 – точка максимума, если A(P0)< 0 , а D(Р 0) > 0;

agar D(P 0)< 0, то d 2 z P 0 nuqtasiga yaqin joyda u belgini o'zgartiradi va P 0 nuqtasida ekstremum yo'q;

agar D(R 0) = 0 bo'lsa, u holda R 0 kritik nuqtaga yaqin joyda funksiyani qo'shimcha tadqiqotlar ham talab qilinadi.

Shunday qilib, funktsiya uchun z = f(x,y) ikkita o'zgaruvchidan ekstremumni topish uchun quyidagi algoritmga egamiz (uni "algoritm D" deb ataymiz):

1) ta'rif sohasini toping D( f) funktsiyalari.

2) Kritik nuqtalarni toping, ya'ni. D dan nuqtalar ( f), ular uchun va nolga teng yoki mavjud emas.

3) Har bir muhim nuqtada P 0, ekstremum uchun etarli shartlarni tekshiring. Buning uchun toping , bu yerda , , va D(P 0) va hisoblang A(P 0). Keyin:

agar D(P 0) >0 bo'lsa, u holda P 0 nuqtada ekstremum mavjud va agar A(P 0) > 0 - u holda bu minimal, va agar A(P 0)< 0 – максимум;

agar D(P 0)< 0, то в точке Р­ 0 нет экстремума;

Agar D (P 0) = 0 bo'lsa, qo'shimcha tadqiqotlar talab qilinadi.

4) Topilgan ekstremum nuqtalarda funksiyaning qiymatini hisoblang.

1-misol.

Funksiyaning ekstremumini toping z = x 3 + 8y 3 – 3xy .

Yechim. Ushbu funktsiyani aniqlash sohasi butun koordinata tekisligidir. Keling, muhim nuqtalarni topaylik.

, , Þ P 0 (0,0) , .

Keling, ekstremum uchun etarli shartlar bajarilganligini tekshirib ko'raylik. Biz topamiz

6X, = -3, = 48da Va = 288xy – 9.

Keyin D(P 0) = 288×0×0 – 9 = -9< 0 , значит, в точке Р 0 экстремума нет.

D(R 1) = 36-9>0 – R 1 nuqtada ekstremum mavjud va shuning uchun A(P 1) = 3 >0, keyin bu ekstremum minimaldir. Shunday qilib, min z=z(P 1) = .

2-misol.

Funksiyaning ekstremumini toping .

Yechim: D( f) =R 2. Muhim nuqtalar: ; qachon mavjud emas da= 0, ya'ni P 0 (0,0) bu funktsiyaning kritik nuqtasidir.

2, = 0, = , = , lekin D(P 0) aniqlanmagan, shuning uchun uning belgisini o'rganish mumkin emas.

Xuddi shu sababga ko'ra, 9.2 teoremasini to'g'ridan-to'g'ri qo'llash mumkin emas - d 2 z bu nuqtada mavjud emas.

Funktsiyaning o'sishini ko'rib chiqaylik f(x, y) P 0 nuqtasida. Agar D f =f(P) - f(P 0)>0 "P, u holda P 0 minimal nuqta, lekin agar D f < 0, то Р 0 – точка максимума.

Bizning holatlarimizda bor

D f = f(x, y) – f(0, 0) = f(0+D x,0+D y) – f(0, 0) = .

D da x= 0,1 va D y= -0,008 biz D ni olamiz f = 0,01 – 0,2 < 0, а при Dx= 0,1 va D y= 0,001 D f= 0,01 + 0,1 > 0, ya'ni. P 0 nuqtaga yaqin joyda D sharti ham qanoatlanmaydi f <0 (т.е. f(x, y) < f(0, 0) va shuning uchun P 0 maksimal nuqta emas), D sharti ham emas f> 0 (ya'ni. f(x, y) > f(0, 0) va keyin P 0 minimal nuqta emas). Bu shuni anglatadiki, ekstremum ta'rifiga ko'ra, bu funktsiyaning ekstremasi yo'q.

Shartli ekstremum.

Funktsiyaning ko'rib chiqilgan ekstremumi deyiladi shartsiz, chunki funktsiya argumentlariga hech qanday cheklovlar (shartlar) qo'yilmaydi.

Ta'rif 9.2. Funktsiyaning ekstremumi Va = f(X 1 , X 2 , ... , x n), uning dalillari bo'lishi sharti bilan topiladi X 1 , X 2 , ... , x n j 1 tenglamalarni qanoatlantiring ( X 1 , X 2 , ... , x n) = 0, …, j T(X 1 , X 2 , ... , x n) = 0, bu erda P ( X 1 , X 2 , ... , x n) O D( f), chaqirdi shartli ekstremum .

Tenglamalar j k(X 1 , X 2 , ... , x n) = 0 , k = 1, 2,..., m, deyiladi ulanish tenglamalari.

Keling, funktsiyalarni ko'rib chiqaylik z = f(x,y) ikkita o'zgaruvchi. Agar ulanish tenglamasi bitta bo'lsa, ya'ni. , keyin shartli ekstremumni topish ekstremum funktsiyani aniqlashning butun sohasida emas, balki D() da yotgan qaysidir egri chiziqda izlanishini bildiradi. f) (ya'ni, izlanadigan sirtning eng yuqori yoki eng past nuqtalari emas z = f(x,y), va bu sirtning silindr bilan kesishish nuqtalari orasidagi eng yuqori yoki eng past nuqtalar, 5-rasm).

Funksiyaning shartli ekstremumi z = f(x,y) ikkita o'zgaruvchini quyidagi tarzda topish mumkin( bartaraf etish usuli). Tenglamadan o'zgaruvchilardan birini boshqasining funktsiyasi sifatida ifodalang (masalan, yozing) va o'zgaruvchining ushbu qiymatini funktsiyaga almashtirib, ikkinchisini bitta o'zgaruvchining funktsiyasi sifatida yozing (ko'rib chiqilayotgan holatda). ). Bitta o‘zgaruvchining natijaviy funksiyasining ekstremumini toping.

Ta'rif 1: Funktsiya nuqtada lokal maksimalga ega deyiladi, agar nuqta qo'shnisi bo'lsa, har qanday nuqta uchun M koordinatalari bilan (x, y) tengsizlik amal qiladi: . Bu holda, ya'ni funktsiyaning o'sishi< 0.

Ta'rif 2: Funktsiya nuqtada lokal minimumga ega deyiladi, agar nuqtaning qo'shnisi bo'lsa, har qanday nuqta uchun M koordinatalari bilan (x, y) tengsizlik amal qiladi: . Bu holda, ya'ni funktsiyaning o'sishi > 0 ga teng.

Ta'rif 3: Mahalliy minimal va maksimal nuqtalar chaqiriladi ekstremal nuqtalar.

Shartli ekstremallar

Ko'p o'zgaruvchilar funksiyasining ekstremallarini topishda ko'pincha muammolar deb ataladigan narsa bilan bog'liq muammolar paydo bo'ladi. shartli ekstremum. Ushbu kontseptsiyani ikkita o'zgaruvchining funksiyasi misolida tushuntirish mumkin.

Funktsiya va chiziq berilgan bo'lsin L yuzada 0xy. Vazifa - chiziqqa chiqish L shunday nuqtani toping P(x, y), unda funktsiyaning qiymati chiziqdagi nuqtalardagi ushbu funktsiyaning qiymatlariga nisbatan eng katta yoki eng kichik bo'ladi L, nuqta yaqinida joylashgan P. Bunday nuqtalar P chaqiriladi shartli ekstremal nuqtalar Onlayn funktsiyalar L. Odatiy ekstremum nuqtadan farqli o'laroq, shartli ekstremum nuqtadagi funktsiyaning qiymati uning qo'shnisidagi barcha nuqtalarda emas, balki faqat chiziqda yotgan nuqtalardagi qiymatlari bilan taqqoslanadi. L.

Oddiy ekstremum nuqtasi (ular ham aytadilar shartsiz ekstremum) ham shu nuqtadan oʻtuvchi har qanday chiziq uchun shartli ekstremum nuqtadir. Buning aksi, albatta, to'g'ri emas: shartli ekstremum nuqta oddiy ekstremum nuqta bo'lmasligi mumkin. Aytganlarimni oddiy misol bilan tushuntiraman. Funktsiyaning grafigi yuqori yarim shardir (3-ilova (3-rasm)).

Bu funksiya boshlang'ichda maksimalga ega; cho'qqisi unga mos keladi M yarim sharlar. Agar chiziq L nuqtalardan o'tuvchi chiziq mavjud A Va IN(uning tenglamasi x+y-1=0), u holda bu chiziqning nuqtalari uchun geometrik jihatdan aniq bo'ladi eng yuqori qiymat funktsiya nuqtalar orasidagi o'rtada joylashgan nuqtada erishiladi A Va IN. Bu chiziqdagi funksiyaning shartli ekstremum (maksimal) nuqtasi; u yarim sharning M 1 nuqtasiga to'g'ri keladi va rasmdan bu erda biron bir oddiy ekstremum haqida gap bo'lishi mumkin emasligi aniq.

Yopiq mintaqadagi funktsiyaning eng katta va eng kichik qiymatlarini topish masalasining yakuniy qismida biz ushbu mintaqa chegarasida funktsiyaning ekstremal qiymatlarini topishimiz kerakligini unutmang, ya'ni. bir qatorda va shu bilan shartli ekstremum muammosini hal qiladi.

Endi Z= f(x, y) funksiyaning shartli ekstremum nuqtalarini x va y o‘zgaruvchilari (x, y) = 0 tenglama bilan bog‘langan bo‘lsa, amaliy izlashga kirishamiz. ulanish tenglamasi. Agar bog‘lanish tenglamasidan y ni x ko‘rinishida aniq ifodalash mumkin bo‘lsa: y=(x), bitta o‘zgaruvchining Z= f(x, (x)) = F(x) funksiyasini olamiz.

Bu funksiya ekstremumga yetadigan x qiymatini topib, so'ngra ulanish tenglamasidan mos keladigan y qiymatlarini aniqlab, shartli ekstremumning kerakli nuqtalarini olamiz.

Demak, yuqoridagi misolda x+y-1=0 munosabat tenglamasidan y=1-x ga egamiz. Bu yerdan

z ning x = 0,5 da maksimal darajaga yetganini tekshirish oson; lekin keyin ulanish tenglamasidan y = 0,5 va biz geometrik mulohazalardan topilgan P nuqtasini aniq olamiz.

Shartli ekstremum masalasi ulanish tenglamasini ifodalash mumkin bo'lganda ham juda oson hal qilinadi parametrik tenglamalar x=x(t), y=y(t). X va y ning ifodalarini almashtirish bu funksiya, biz yana bitta o'zgaruvchining funksiyasining ekstremumini topish masalasiga keldik.

Agar ulanish tenglamasi dan ko'p bo'lsa murakkab ko'rinish va biz bir o'zgaruvchini boshqasi bilan aniq ifodalay olmaymiz yoki uni parametrik tenglamalar bilan almashtira olmasak, shartli ekstremumni topish vazifasi qiyinlashadi. z= f(x, y) funksiyani ifodalashda (x, y) = 0 o‘zgaruvchini qabul qilishni davom ettiramiz. z= f(x, y) funksiyaning to‘liq hosilasi quyidagilarga teng:

Bunda y` hosilasi yashirin funksiyani differentsiallash qoidasi yordamida topiladi. Shartli ekstremum nuqtalarida topilgan umumiy hosila nolga teng bo'lishi kerak; bu x va y ga tegishli bitta tenglamani beradi. Ular birlashtiruvchi tenglamani ham qondirishi kerakligi sababli, biz ikkita noma'lumli ikkita tenglamalar tizimini olamiz.

Keling, birinchi tenglamani proporsiya shaklida yozib, yangi yordamchi noma'lumni kiritish orqali ushbu tizimni ancha qulayroq tizimga aylantiramiz:

(oldidagi minus belgisi qulaylik uchun). Ushbu tengliklardan quyidagi tizimga o'tish oson:

f` x =(x,y)+` x (x,y)=0, f` y (x,y)+` y (x,y)=0 (*),

u (x, y) = 0 bog'lanish tenglamasi bilan birgalikda x, y va noma'lumlari bo'lgan uchta tenglamalar tizimini hosil qiladi.

Ushbu tenglamalarni (*) quyidagi qoidadan foydalanib eslash oson: funktsiyaning shartli ekstremum nuqtalari bo'lishi mumkin bo'lgan nuqtalarni topish uchun

Z= f(x, y) bog‘lanish tenglamasi (x, y) = 0 bo‘lsa, yordamchi funksiya hosil qilish kerak.

F(x,y)=f(x,y)+(x,y)

Qayerda bir necha doimiy va bu funksiyaning ekstremum nuqtalarini topish uchun tenglamalar tuzing.

Ko'rsatilgan tenglamalar tizimi, qoida tariqasida, faqat zarur shartlarni ta'minlaydi, ya'ni. Ushbu tizimni qondiradigan har bir x va y qiymatlari juftligi shartli shartli ekstremum nuqta emas. Men shartli ekstremal nuqtalar uchun etarli shartlarni bermayman; ko'pincha muammoning o'ziga xos mazmuni topilgan nuqta nima ekanligini ko'rsatadi. Shartli ekstremumdagi muammolarni hal qilishning tavsiflangan usuli Lagrange multiplikator usuli deb ataladi.

z - /(x, y) funksiya qandaydir D sohada aniqlansin va Mo(xo, Vo) bu sohaning ichki nuqtasi bo'lsin. Ta'rif. Agar shunday son mavjud bo'lsa, barcha shartlar uchun tengsizlik to'g'ri bo'ladi, u holda Mo(xo, yo) nuqta /(x, y) funksiyaning lokal maksimal nuqtasi deyiladi; barcha Dx uchun bo'lsa, Du, shartlarini qondirish | u holda Mo(xo,yo) nuqta yupqa lokal minimum deyiladi. Boshqacha qilib aytganda, M0(x0, y0) nuqta f(x, y) funksiyaning maksimal yoki minimal nuqtasidir, agar A/o(x0, y0) nuqtaning 6 ta qo‘shnisi mavjud bo‘lsa, unda umuman qo'shnilikda buning M(x, y) nuqtalari, funktsiyaning o'sishi o'z belgisini saqlaydi. Misollar. 1. Funktsiya nuqtasi uchun - minimal nuqta (17-rasm). 2. Funksiya uchun 0(0,0) nuqta maksimal nuqtadir (18-rasm). 3. Funksiya uchun 0(0,0) nuqta mahalliy maksimal nuqtadir. 4 Darhaqiqat, 0(0, 0) nuqtaning qo'shnisi bor, masalan, j radiusli doira (19-rasmga qarang), uning istalgan nuqtasida 0(0,0) nuqtadan farqli o'laroq, /(x,y) funksiyaning qiymati 1 dan kichik = Ba'zi bir teshilgan 6-qo'shnisidan M(x) y) barcha nuqtalari uchun qat'iy tengsizlik yoki qat'iy tengsizlik qanoatlansa, biz faqat funksiyalarning qat'iy maksimal va minimal nuqtalarini ko'rib chiqamiz. nuqta Mq. Funksiyaning maksimal nuqtadagi qiymati maksimal, minimal nuqtadagi funksiyaning qiymati esa bu funksiyaning minimumi deyiladi. Funksiyaning maksimal va minimal nuqtalari funksiyaning ekstremum nuqtalari, funksiyaning maksimal va minimal nuqtalari esa uning ekstremum nuqtalari deyiladi. 11-teorema (ekstremum uchun zaruriy shart). Ekstremum funksiyasi bir nechta funksiya bo'lsa O'zgaruvchilar tushunchasi bir nechta o'zgaruvchili funktsiyaning ekstremumi. Ekstremum uchun zaruriy va yetarli shartlar Shartli ekstremum Uzluksiz funksiyalarning eng katta va eng kichik qiymatlari nuqtada ekstremumga ega bo‘lib, bu nuqtada har bir qisman hosila u yo yo‘qoladi yoki mavjud bo‘lmaydi. M0(x0, yo) nuqtada z = f(x) y) funksiya ekstremumga ega bo'lsin. y o‘zgaruvchisiga yo qiymatini beraylik. U holda z = /(x, y) funksiya bitta o'zgaruvchining funksiyasi bo'ladi x\ X = xo da u ekstremumga ega bo'lgani uchun (maksimal yoki minimal, 20-rasm), keyin uning x = “o ga nisbatan hosilasi, | (*o,l>)" Nolga teng yoki mavjud emas. Shunga o'xshab ishonchimiz komilki) yo nolga teng yoki yo'q. = 0 va ch = 0 bo'lgan yoki mavjud bo'lmagan nuqtalar kritik deyiladi. funktsiyaning nuqtalari z = Dx, y). funktsiya strumning imvatida ingichka bo'lib, haqiqatdan ham, funktsiya 0(0,0) nuqtada nolga teng va M(x,y) nuqtalarida ixtiyoriy ravishda 0(0) nuqtada ijobiy qiymatlarni oladi. ,0) va manfiy qiymatlar, shuning uchun nuqtalarda (0, y) o'zboshimchalik bilan kichik uchun ko'rsatilgan 0(0,0) nuqtasi minimax nuqtasi deb ataladi (21-rasm). ikkita o'zgaruvchining funksiyasining ekstremum 12-teorema (ikki o'zgaruvchining funksiyalarining ekstremumi uchun etarli shartlar) f(x, y) funksiyaning statsionar nuqtasi bo'lsin ) va nuqtaning ba'zi qo'shnilarida, shu jumladan, Mo nuqtasining o'zida, /(r, y ) funktsiyasi ikkinchi tartibgacha bo'lgan uzluksiz qisman hosilalarga ega. Keyin". Mo(xo, V0) nuqtada /(xo, y) funksiyasi ekstremumga ega emas, agar D(xo, yo) bo'lsa.< 0. Если же то в точке Мо(жо>f(x, y) funksiyaning ekstremumi mavjud yoki bo'lmasligi mumkin. Bunday holda, qo'shimcha tadqiqotlar talab qilinadi. m Teoremaning 1) va 2) mulohazalarini isbotlash bilan cheklanamiz. /(i, y) funksiyasi uchun ikkinchi tartibli Teylor formulasini yozamiz: bu yerda. Shartga ko'ra, D/ o'sish belgisi (1) ning o'ng tomonidagi uchlik belgisi, ya'ni d2f ikkinchi differentsial belgisi bilan aniqlanishi aniq. Qisqalik uchun uni belgilaymiz. U holda (l) tenglikni quyidagicha yozish mumkin: MQ(so, V0) nuqtada bizda bo'lsin... Shartga ko'ra f(s, y) funksiyaning ikkinchi tartibli qisman hosilalari uzluksiz bo'lganligi sababli, u holda (3) tengsizlik M0(s0,yo) nuqtaning ba'zi qo'shnilarida ham amal qiladi. Agar shart bajarilsa (A/0 nuqtada va uzluksizlik tufayli hosila /,z(s,y) Af0 nuqtaning qaysidir qo‘shnisida o‘z belgisini saqlab qoladi. A F 0 bo‘lgan mintaqada bizda Bundan ko'rinib turibdiki, agar M0(x0) y0 nuqtaning qaysidir qo'shnisida LS - V2 > 0 bo'lsa, u holda AAx2 -I- 2BAxAy + CDy2 trinomining belgisi nuqtadagi A belgisiga to'g'ri keladi (demak. , V0) (shuningdek, C belgisi bilan, chunki AC uchun - B2 > 0 A va C turli belgilarga ega bo'lishi mumkin emas). Nuqtadagi (s0 + $ Ax, y0 + 0 Du) AAAs2 + 2BAxAy + CAy2 yig'indisining belgisi ayirma belgisini aniqlaganligi uchun quyidagi xulosaga kelamiz: agar /(s,y) funksiya uchun da statsionar nuqta (s0, V0) sharti, keyin yetarlicha kichik || uchun tengsizlik qondiriladi. Shunday qilib, (kv, V0) nuqtada /(s, y) funksiya maksimalga ega. Agar shart statsionar nuqtada (s0, y0) qanoatlansa, u holda hamma uchun yetarlicha kichik |Dr| va |Du| tengsizlik rost, demak (so,yo) nuqtada /(s, y) funksiya minimumga ega. Misollar. 1. Ekstremum uchun funktsiyani o'rganing 4 Ekstremum uchun zarur shartlardan foydalanib, biz funktsiyaning statsionar nuqtalarini qidiramiz. Buning uchun u qisman hosilalarni topamiz va ularni nolga tenglaymiz. Biz tenglamalar tizimini qaerdan - statsionar nuqtadan olamiz. Endi 12 teoremadan foydalanamiz. Bizda bu Ml nuqtada ekstremum mavjudligini bildiradi. Chunki bu minimal. Agar g funksiyani shaklga aylantirsak, buni tushunish oson o'ng qism Bu funktsiyaning mutlaq minimumi bo'lganda (“) minimal bo'ladi. 2. Funktsiyani ekstremum uchun tekshirib ko'ring, buning uchun biz tenglamalar tizimini tuzamiz, shuning uchun nuqta statsionar bo'ladi. Chunki 12-teoremaga ko‘ra M nuqtada ekstremum yo‘q. * 3. Funksiyaning ekstremumini o‘rganing. Tenglamalar tizimidan biz shuni olamiz, shuning uchun nuqta statsionardir. Keyin bizda 12-teorema ekstremumning mavjudligi yoki yo'qligi haqidagi savolga javob bermaydi. Keling, buni shunday qilaylik. Nuqtadan farqli bo'lgan barcha nuqtalar haqida funktsiya uchun ta'rifi bo'yicha va A/o(0,0) nuqtasi r funksiyasi mutlaq minimumga ega. Shunga o'xshash hisob-kitoblar orqali biz funktsiya nuqtada maksimalga ega ekanligini aniqlaymiz, lekin funktsiya nuqtada ekstremumga ega emas. n ta mustaqil o'zgaruvchining funksiyasi nuqtada differentsial bo'lsin, agar 13-teorema bo'lsa (ekstremum uchun etarli shartlargacha) Mo nuqtasi funktsiyaning statsionar nuqtasi deb ataladi. Funktsiya aniqlansin va nozik Mt(xi...) ning qandaydir qo'shnisida ikkinchi tartibli uzluksiz qisman hosilalarga ega bo'lsin, agar kvadrat shaklda (f funktsiyaning ikkinchi differentsiali musbat bo'lsa) statsionar nozik funktsiya bo'lsin. aniq (salbiy aniq), f funktsiyaning minimal nuqtasi (mos ravishda, nozik maksimal) yaxshi bo'lsa, kvadratik shakl (4) almashinadigan bo'lsa, u holda jarima LG0da ekstremum mavjud emas kvadratik shakl (4) musbat yoki manfiy aniq, masalan, musbat (salbiy) aniqlik uchun Silvestr mezonidan foydalanishingiz mumkin Shartli ekstremum mahalliy ekstremallar funktsiya argumentlari hech qanday qo'shimcha shartlar bilan bog'lanmagan bo'lsa, butun ta'rif sohasi bo'ylab funksiya. Bunday ekstremallar shartsiz deyiladi. Biroq, shartli ekstremal deb ataladigan narsalarni topishda ko'pincha muammolar mavjud. z = /(x, y) funksiya D sohada aniqlansin. Bu sohada L egri chiziq berilgan deb faraz qilaylik va f(x> y) funksiyaning ekstremalini faqat shular orasidan topishimiz kerak. uning qiymatlarining L egri chizig'ining nuqtalariga to'g'ri keladigan qiymatlari. Xuddi shu ekstremal L egri chizig'idagi z = f(x) y) funktsiyaning shartli ekstremallari deb ataladi. , f(x, y) funksiya M0(x0, V0) nuqtaning qandaydir qo‘shnisiga tegishli bo‘lgan va har xil bo‘lgan M (s, y) y) L egri chizig‘ining barcha nuqtalarida tengsizlik bajarilsa, shartli maksimal (minimal) ga ega bo‘ladi. M0 nuqtadan (Agar L egri chiziq tenglama bilan berilgan bo'lsa, u holda egri chiziqdagi r - f(x,y) funksiyaning shartli ekstremumini topish masalasini quyidagicha shakllantirish mumkin: x funksiyaning ekstremalini toping. = /(z, y) D mintaqasida, shu sharti bilan, z = y) funktsiyaning shartli ekstremalini topishda yovvoyi hayvonlarning argumentlarini endi mustaqil o'zgaruvchilar sifatida ko'rib chiqish mumkin emas: ular bir-biri bilan bog'langan munosabat y) = 0, bu ulanish tenglamasi deb ataladi. Shartsiz va shartli ekstremum o'rtasidagi farqni aniqlashtirish uchun funksiyaning shartsiz maksimali (23-rasm) birga teng bo'lgan va (0,0) nuqtada erishilgan misolni ko'rib chiqamiz. U pvvboloidning uchi M nuqtasiga to'g'ri keladi y = j bog'lanish tenglamasini qo'shamiz. Shunda shartli maksimal unga teng bo'ladi, u (o,|) nuqtasida erishiladi va u to'pning y = j tekisligi bilan kesishish chizig'i bo'lgan to'pning Afj cho'qqisiga mos keladi. Shartsiz mvximum bo'lsa, biz sirtning barcha vpplicvtlari orasida mvximum qo'llashga ega bo'lamiz * = 1 - l;2 ~ y1; summvv shartli - faqat vllikvt nuqtalari orasida pvraboloidv, xOy tekislik emas y = j to'g'ri chiziqning nuqtasi*ga mos keladi. Funksiyaning mavjudligi va bog‘lanishdagi shartli ekstremumini topish usullaridan biri quyidagicha. y) - O ulanish tenglamasi x argumentining yagona differentsiallanuvchi funksiyasi sifatida y ni aniqlang: Funktsiyaga y o'rniga funktsiyani qo'yish orqali biz ulanish sharti allaqachon hisobga olingan bitta argumentning funktsiyasini olamiz. Funksiyaning (shartsiz) ekstremumi kerakli shartli ekstremumdir. Misol. Bir necha o‘zgaruvchili funksiyaning ekstremum sharti ostidagi funktsiyaning ekstremumini toping. Ekstremum uchun zarur va etarli shartlar Shartli ekstremum A uzluksiz funktsiyalarning eng katta va eng kichik qiymatlari (2") ulanish tenglamasidan y = 1-x ni topamiz. Ushbu y qiymatini (V) ga almashtirib, bitta x argumentining funksiyasini olamiz: Uni ekstremum uchun tekshiramiz: bu erdan x = 1 kritik nuqta; , shunday qilib u r funksiyaning shartli minimumini beradi (24-rasm). Lagranj multiplikator usuli deb ataladigan shartli ekstremum muammoni yechishning boshqa usulini ko'rsatamiz. Bog'lanish mavjudligida funksiyaning shartli ekstremum nuqtasi bo'lsin, deb faraz qilaylik, bog'lanish tenglamasi xx nuqtasining ma'lum bir qo'shnisida yagona doimiy differentsiallanuvchi funktsiyani belgilaydi. Xq nuqtadagi /(r, ip(x)) funksiyaning x ga nisbatan hosilasi nolga teng bo‘lishi kerakligini yoki bunga ekvivalent bo‘lgan f(x, y) ning f(x, y) ning differensialligini hisobga olsak. Mo" O nuqtasi nolga teng bo'lishi kerak ) Bog'lanish tenglamasidan biz (5) Oxirgi tenglikni hali aniqlanmagan sonli A koeffitsientiga ko'paytirsak va (4) tenglik bilan haddan songa qo'shsak, biz shunday bo'lamiz. ) Keyin, dx ning ixtiyoriyligi tufayli, (6) va (7) tengliklarni Lagrange funktsiyasi deb ataladigan shartsiz ekstremum uchun zarur bo'lgan shartlarni olamiz /(x, y) funksiyasi, albatta, Lagrange funktsiyasining statsionar nuqtasi bo'lsa, bu erda A ma'lum bir sonli koeffitsient bo'lsa, bu erdan shartli ekstremalarni topish qoidasini olamiz: nuqtalar bo'lishi mumkin bog‘lanish mavjud bo‘lgan funksiyaning umumiy ekstremum: 1) Lagranj funksiyasini tuzamiz, 2) bu funksiyaning hosilalarini va U ni nolga tenglashtirib, hosil bo‘lgan tenglamalarga bog‘lanish tenglamasini qo‘shib, uchta tenglama sistemasini olamiz. shundan biz A qiymatlarini topamiz va koordinatalar x, y mumkin bo'lgan ekstremal nuqtalar. Shartli ekstremumning mavjudligi va tabiati to'g'risidagi masala, agar (8) dan olingan ko'rib chiqilayotgan x0, V0, A qiymatlar tizimi uchun Lagrange funktsiyasining ikkinchi differentsial belgisini o'rganish asosida hal qilinadi. , u holda (x0, V0) nuqtada /(x, y ) funksiya shartli maksimalga ega; agar d2F > 0 bo'lsa - u holda shartli minimum. Xususan, agar statsionar nuqtada (xo, J/o) F(x, y) funksiyaning D determinanti musbat bo‘lsa, (®o, V0) nuqtada f() funksiyaning shartli maksimali bo‘ladi. x, y), if va /(x, y) funksiyaning shartli minimumi, agar Misol. Oldingi misol shartlariga yana murojaat qilamiz: x + y = 1 bo'lish sharti bilan funksiyaning ekstremumini topamiz. Lagranj ko'paytma usuli yordamida masalani yechamiz. Lagrange funktsiyasi Ushbu holatda Turg'un nuqtalarni topish uchun tizimning dastlabki ikkita tenglamasidan biz x = y ni olamiz. Keyin tizimning uchinchi tenglamasidan (ulanish tenglamasi) biz x - y = j mumkin bo'lgan ekstremal nuqtaning koordinatalari ekanligini aniqlaymiz. Bu holda (A = -1 ekanligi ko'rsatilgan. Shunday qilib, Lagranj funksiyasi. * = x2 + y2 sharti bo'yicha funksiyaning shartli minimal nuqtasidir Lagrange funktsiyasi uchun shartsiz ekstremum yo'q. P(x, y). ) bog‘lanish ishtirokida /(x, y) funksiya uchun shartli ekstremum yo‘qligini hali anglatmaydi Misol: y 4 shartdagi funksiyaning ekstremumini topamiz Lagranj funksiyasini tuzamiz va sistemasini yozamiz. A va mumkin bo'lgan ekstremal nuqtalarning koordinatalarini aniqlash: Birinchi ikkita tenglamadan biz x + y = 0 ni olamiz va biz x = y = A = 0 bo'lgan tizimga kelamiz. Shunday qilib, mos keladigan Lagrange funktsiyasi nuqtada shaklga ega. (0,0), funksiya F(x, y; 0) shartsiz ekstremumga ega emas, lekin y = x bo'lganda, r = xy funksiyaning shartli ekstremumi mavjud. Bu yerdan (0,0) nuqtada shartli minimal "Lagranj ko'paytiruvchilari usuli har qanday argumentlar sonining funktsiyalari holiga o'tkaziladi. Funktsiyaning ekstremumini mavjudligida izlaylik. A|, Az,..., A„, noaniq doimiy ko‘rsatkichlar bo‘lgan Lagranj funksiyasini tuzamiz. F funksiyaning barcha birinchi tartibli qisman hosilalarini nolga tenglashtirib, hosil bo‘lgan tenglamalarga bog‘lanish tenglamalarini (9) qo‘shsak, n+m tenglamalar sistemasiga ega bo‘lamiz, undan Ab A3|..., At va x koordinatalarini aniqlaymiz. \) x2). » shartli ekstremumning mumkin bo'lgan nuqtalarining xn. Lagranj usuli yordamida topilgan nuqtalar aslida shartli ekstremum nuqtalarimi yoki yo'qmi degan savol ko'pincha fizik yoki geometrik tabiatga oid mulohazalar asosida hal qilinishi mumkin. 15.3. Uzluksiz funktsiyalarning eng katta va eng kichik qiymatlari Ayrim yopiq cheklangan D sohasida uzluksiz z = /(x, y) funksiyaning eng katta (eng kichik) qiymatini topish kerak bo'lsin. 3-teorema bo'yicha, bu sohada mavjud. funksiya eng katta (eng kichik) qiymat oladigan nuqta (xo, V0). Agar (xo, y0) nuqta D sohasi ichida joylashgan bo'lsa, u holda / funktsiyasi unda maksimal (minimal) ga ega, shuning uchun bu holda bizni qiziqtiradigan nuqta /(x,) funktsiyaning kritik nuqtalari orasida joylashgan. y). Biroq, /(x, y) funksiya mintaqa chegarasida eng katta (eng kichik) qiymatiga yetishi mumkin. Demak, z = /(x, y) funksiyasi cheklangan yopiq sohada 2) qabul qilgan eng katta (eng kichik) qiymatni topish uchun ushbu soha ichida erishilgan funksiyaning barcha maksimal (minimal) larini topish kerak, shuningdek, ushbu soha chegarasida funksiyaning eng katta (eng kichik) qiymati. Bu barcha raqamlarning eng kattasi (eng kichigi) 27-hududdagi z = /(x,y) funksiyaning kerakli eng katta (eng kichik) qiymati bo'ladi. Keling, bu differensiallanuvchi funktsiya holatida qanday bajarilishini ko'rsatamiz. Prmmr. 4-hudud funksiyasining eng katta va eng kichik qiymatlarini toping. D mintaqasi ichidagi funksiyaning kritik nuqtalarini topamiz. Buning uchun bu yerdan tenglamalar tizimini tuzamiz, shuning uchun biz x = y « 0 ni olamiz 0 (0,0) nuqta x funksiyaning kritik nuqtasidir. Endi D mintaqasining G chegarasida funktsiyaning eng katta va eng kichik qiymatlarini topamiz. Chegaraning bir qismida bizda y = 0 kritik nuqta, va = shundan beri bu nuqtada z funktsiyasi mavjud. = 1 + y2 minimal birga teng. G segmentining uchlarida, nuqtalarda (, bor. Simmetriya mulohazalari yordamida chegaraning boshqa qismlari uchun ham xuddi shunday natijalarga erishamiz. Nihoyat: eng kichik qiymat"B" mintaqasida z = x2+y2 funksiyasi nolga teng va u mintaqaning ichki 0(0, 0) nuqtasida erishiladi va bu funktsiyaning ikkiga teng bo'lgan maksimal qiymati to'rtta nuqtada erishiladi. chegaraning (25-rasm) 25-rasm Mashqlar Funksiyalarning ta’rif sohasini toping: Funksiyalarning darajali chiziqlarini tuzing: 9 Uchta mustaqil o‘zgaruvchili funksiyalarning darajali sirtlarini toping: Funksiya chegaralarini hisoblang: Funksiyalarning qisman hosilalarini va ularning hosilalarini toping. to'liq farqlar : Murakkab funksiyalarning hosilalarini toping: 3 J. Bir necha o‘zgaruvchili funksiyaning ekstremumini toping. Ekstremum uchun zarur va yetarli shartlar Shartli ekstremum Uzluksiz funksiyalarning eng katta va eng kichik qiymatlari 34. Ikki o‘zgaruvchili kompleks funksiya hosilasi formulasidan foydalanib, toping va funksiyalar: 35. Kompleks hosila formulasidan foydalanib. ikki o‘zgaruvchining funksiyasini toping, |J va funksiyalarni toping: To‘g‘ridan-to‘g‘ri berilgan jj funksiyalarni toping: 40. Tangens egri chiziqning x = 3 to‘g‘ri chiziq bilan kesishgan nuqtasidagi burchak koeffitsientini toping. 41. Tangens bo‘lgan nuqtalarni toping. x egri chizig'i Ox o'qiga parallel. . Quyidagi masalalarda T ni toping: Tangens tekislik va sirtning normal tenglamalarini yozing: 49. X+ 4y tekislikka parallel x2 + 2y2 + 3z2 = 21 sirtning teginish tekisliklari tenglamalarini yozing. + 6z = 0. Teylor formulasi yordamida kengayishning dastlabki uch yoki to'rtta hadini toping : 50. y nuqtaga yaqin joyda (0, 0). Funksiyaning ekstremum ta'rifidan foydalanib, ekstremum uchun quyidagi funksiyalarni ko'rib chiqing:). Ikki o‘zgaruvchili funksiyaning ekstremumiga yetarli shartlardan foydalanib, funksiyaning ekstremumini ko‘rib chiqing: 84. Yopiq doira ichida z = x2 - y2 funksiyaning eng katta va eng kichik qiymatlarini toping 85. Eng katta va eng kichik qiymatlarni toping. x = 0, y = 0, x + y = b to'g'ri chiziqlar bilan chegaralangan uchburchakda * = x2y(4-x-y) funktsiyasi. 88. Hajmi V ga teng bo‘lishi sharti bilan eng kichik yuzasi bo‘lgan to‘g‘ri burchakli ochiq hovuzning o‘lchamlarini aniqlang. Javoblar 1. va | X chiziq segmentlari bilan hosil qilingan kvadrat, uning tomonlarini o'z ichiga oladi. 3. Konsentrik halqalar turkumi 2= 0,1,2,... .4. To'g'ri chiziqlardagi nuqtalardan tashqari butun tekislik. y = -x parabola ustida joylashgan tekislikning bir qismi?. 8. Aylana nuqtalari x. To'g'ri chiziqlardan tashqari butun tekislik x Radikal ifoda ikki holatda manfiy emas j * ^ yoki j x ^ ^ mos ravishda cheksiz tengsizliklar qatoriga ekvivalentdir. l cheksiz qatorga ekvivalent. Funksiya nuqtalarda aniqlanadi. a) to'g'ri chiziqqa parallel bo'lgan to'g'ri chiziqlar x b) markazi koordinatali konsentrik doiralar. 10. a) parabola y) parabola y a) parabola b) giperbola | .Samolyotlar xc. 13.Prime - Oz o'qi atrofida aylanishning bir bo'shliqli giperboloidlari; Oz o'qi atrofida aylanishning ikki varaqli giperboloidlari va bo'lganda, sirtlarning ikkala oilasi ham konus bilan ajratiladi; Hech qanday chegara yo'q, b) 0. 18. y = kxt keyin z lim z = -2 ni o'rnatamiz, shuning uchun (0,0) nuqtada berilgan funktsiyaning chegarasi yo'q. 19. a) nuqta (0,0); b) nuqta (0,0). 20. a) uzilish chizig'i - aylana x2 + y2 = 1; b) uzilish chizig'i y = x to'g'ri chiziqdir. 21. a) Uzilish chiziqlari - Ox va Oy koordinata o'qlari; b) 0 (bo'sh to'plam). 22. Barcha nuqtalar (m, n), bu yerda va n butun sonlar

Ikki o'zgaruvchining funktsiyalari ekstremum uchun zarur va etarli shartlar. Agar nuqtaning ma'lum bir qo'shnisida funktsiya aniqlangan va tengsizlikni qanoatlantirsa (mos ravishda maksimal va minimal nuqtalar funksiyaning ekstremum nuqtalari deb ataladi) nuqta funktsiyaning minimal (maksimal) nuqtasi deb ataladi.

Ekstremum uchun zaruriy shart. Agar ekstremal nuqtada funktsiyaning birinchi qisman hosilalari bo'lsa, ular shu nuqtada yo'qoladi. Bundan kelib chiqadiki, bunday funksiyaning ekstremum nuqtalarini topish uchun koordinatalari shu sistemani qanoatlantiradigan nuqtalar funksiyaning kritik nuqtalari deb ataladigan tenglamalar tizimini echish kerak. Ular orasida maksimal ball, minimal ball, shuningdek, ekstremum nuqta bo'lmagan nuqtalar bo'lishi mumkin.

Kritik nuqtalar to'plamidan ekstremum nuqtalarni aniqlash uchun etarli ekstremum shartlar qo'llaniladi va ular quyida keltirilgan.

Funktsiyaning kritik nuqtada uzluksiz ikkinchi qisman hosilalari bo'lsin. Agar shu nuqtada bu haqiqat bo'lsa

shart bo'lsa, u minimal nuqta va maksimal nuqta bo'lsa, agar tanqidiy nuqtada bo'lsa, u ekstremal nuqta emas. Bunday holda, tanqidiy nuqtaning tabiatini yanada nozikroq o'rganish talab qilinadi, bu holda bu ekstremum nuqta bo'lishi mumkin yoki bo'lmasligi mumkin.

Uch o'zgaruvchili funksiyalarning ekstremallari. Uch o'zgaruvchining funksiyasi bo'lsa, ekstremum nuqtalarning ta'riflari ikkita o'zgaruvchining funktsiyasi uchun mos keladigan ta'riflarni so'zma-so'z takrorlaydi. Biz ekstremum uchun funktsiyani o'rganish tartibini taqdim etish bilan cheklanamiz. Tenglamalar tizimini echishda funktsiyaning kritik nuqtalarini topish kerak, so'ngra har bir kritik nuqtada qiymatlarni hisoblash kerak.

Agar uchta kattalik ijobiy bo'lsa, u holda ko'rib chiqilayotgan tanqidiy nuqta minimal nuqtadir; agar u holda bu tanqidiy nuqta maksimal nuqtadir.

Ikki o‘zgaruvchili funksiyaning shartli ekstremum. Nuqta funktsiyaning shartli minimal (maksimal) nuqtasi deyiladi, agar funktsiya aniqlangan nuqtaning qo'shnisi bo'lsa va koordinatalari tenglamani qanoatlantiradigan barcha nuqtalar uchun (mos ravishda) bo'lsa.

Shartli ekstremum nuqtalarni topish uchun Lagrange funktsiyasidan foydalaning

bu erda raqam Lagrange multiplikatori deb ataladi. Uch tenglamalar sistemasini yechish

Lagranj funksiyasining kritik nuqtalarini toping (shuningdek, yordamchi omil A qiymati). Ushbu muhim nuqtalarda shartli ekstremum bo'lishi mumkin. Yuqoridagi tizim ekstremum uchun faqat zarur shartlarni beradi, ammo etarli emas: uni shartli ekstremum nuqtalari bo'lmagan nuqtalarning koordinatalari bilan qondirish mumkin. Biroq, muammoning mohiyatiga asoslanib, ko'pincha tanqidiy nuqtaning mohiyatini aniqlash mumkin.

Bir necha o‘zgaruvchili funksiyaning shartli ekstremumlari. O'zgaruvchilar funksiyasini tenglamalar bilan bog'langan holda ko'rib chiqamiz