Ta'rif 7.1. F 1 va F 2 sobit ikkita nuqtagacha bo'lgan masofalar yig'indisi berilgan doimiy qiymat bo'lgan tekislikdagi barcha nuqtalar to'plami deyiladi. ellips.
Ellipsning ta'rifi uning geometrik qurilishining quyidagi usulini beradi. Biz tekislikda ikkita F 1 va F 2 nuqtalarni o'rnatamiz va manfiy bo'lmagan doimiy qiymatni 2a bilan belgilaymiz. F 1 va F 2 nuqtalari orasidagi masofa 2c bo'lsin. Tasavvur qilaylik, 2a uzunlikdagi cho'zilmaydigan ip F 1 va F 2 nuqtalarida, masalan, ikkita igna yordamida o'rnatiladi. Bu faqat ≥ c uchun mumkinligi aniq. Ipni qalam bilan tortib, ellips bo'ladigan chiziq torting (7.1-rasm).
Shunday qilib, tasvirlangan to'plam bo'sh emas, agar a ≥ c bo'lsa. a = c bo'lsa, ellips F 1 va F 2 uchlari bo'lgan segmentdir va c = 0 bo'lganda, ya'ni. Agar ellips ta'rifida ko'rsatilgan qo'zg'almas nuqtalar bir-biriga to'g'ri kelsa, u a radiusli doiradir. Ushbu buzuq holatlardan voz kechsak, biz, qoida tariqasida, a > c > 0 deb taxmin qilamiz.
Ellipsning 7.1 ta'rifidagi F 1 va F 2 sobit nuqtalari (7.1-rasmga qarang) deyiladi. ellips o'choqlari, ular orasidagi masofa, 2c bilan ko'rsatilgan, - fokus uzunligi, va ellipsdagi ixtiyoriy M nuqtani uning fokuslari bilan tutashtiruvchi F 1 M va F 2 M segmentlari. fokus radiuslari.
Ellipsning shakli fokus masofasi bilan to'liq aniqlanadi |F 1 F 2 | = 2c va parametr a, va uning tekislikdagi holati - F 1 va F 2 nuqtalari juftligi.
Ellipsning ta'rifidan kelib chiqadiki, u F 1 va F 2 fokuslaridan o'tuvchi chiziqqa nisbatan, shuningdek F 1 F 2 segmentini yarmiga bo'luvchi va unga perpendikulyar bo'lgan chiziqqa nisbatan simmetrikdir. (7.2-rasm, a). Bu qatorlar deyiladi ellips o'qlari. Ularning kesishish nuqtasi O ellipsning simmetriya markazi bo'lib, u deyiladi ellipsning markazi, va ellipsning simmetriya o'qlari bilan kesishish nuqtalari (7.2, a-rasmdagi A, B, C va D nuqtalari) - ellipsning uchlari.
a raqami deyiladi ellipsning yarim katta o'qi, va b = √(a 2 - c 2) - uning kichik o'q. Ko'rinib turibdiki, c > 0 uchun yarim katta o'q a ellips markazidan ellips fokuslari bilan bir xil o'qda joylashgan cho'qqilarigacha bo'lgan masofaga teng (A va B cho'qqilari). 7.2-rasm, a) va yarim kichik o'q b markaz ellipsdan uning boshqa ikkita cho'qqigacha bo'lgan masofaga teng (7.2, a-rasmda C va D cho'qqilari).
Ellips tenglamasi. Fokuslar F 1 va F 2 nuqtalarda, katta o‘q 2a bo‘lgan tekislikdagi bir necha ellipsni ko‘rib chiqamiz. 2c fokus uzunligi bo'lsin, 2c = |F 1 F 2 |
Tekislikda Oksi to'rtburchak koordinatalar tizimini tanlaylik, shunda uning kelib chiqishi ellips markaziga to'g'ri keladi va fokuslari yon tomonda bo'ladi. x o'qi(7.2-rasm, b). Bunday koordinatalar tizimi deyiladi kanonik ko'rib chiqilayotgan ellips uchun va mos keladigan o'zgaruvchilar kanonik.
Tanlangan koordinatalar tizimida fokuslar F 1 (c; 0), F 2 (-c; 0) koordinatalariga ega. Nuqtalar orasidagi masofa formulasidan foydalanib |F 1 M| shartini yozamiz + |F 2 M| = 2a koordinatalarda:
√((x - c) 2 + y 2) + √((x + c) 2 + y 2) = 2a. (7.2)
Bu tenglama noqulay, chunki u ikkita kvadrat radikalni o'z ichiga oladi. Shunday qilib, keling, uni o'zgartiraylik. (7.2) tenglamadagi ikkinchi radikalni ga o'tkazamiz o'ng tomon va uning kvadrati:
(x - c) 2 + y 2 = 4a 2 - 4a√((x + c) 2 + y 2) + (x + c) 2 + y 2.
Qavslarni ochib, shunga o'xshash atamalarni keltirgandan so'ng, biz olamiz
√((x + c) 2 + y 2) = a + ex
bu erda e = c/a. Ikkinchi radikalni olib tashlash uchun kvadratlashtirish operatsiyasini takrorlaymiz: (x + c) 2 + y 2 = a 2 + 2eax + e 2 x 2 yoki kiritilgan e parametrining qiymatini hisobga olgan holda, (a 2 - c 2) ) x 2 / a 2 + y 2 = a 2 - c 2. a 2 - c 2 = b 2 > 0 bo'lgani uchun
x 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 1, a > b > 0. (7.4)
(7.4) tenglama ellipsda yotgan barcha nuqtalarning koordinatalari bilan qanoatlantiriladi. Ammo bu tenglamani olishda asl tenglamaning (7.2) ekvivalent bo'lmagan o'zgarishlari qo'llanildi - kvadrat radikallarni olib tashlaydigan ikkita kvadrat. Tenglamani kvadratlashtirish, agar ikkala tomon ham bir xil belgili miqdorlarga ega bo'lsa, ekvivalent transformatsiya hisoblanadi, lekin biz buni o'zgartirishlarimizda tekshirmadik.
Quyidagilarni hisobga olsak, transformatsiyalarning ekvivalentligini tekshirishdan qochishimiz mumkin. F 1 va F 2 nuqtalari juftligi, |F 1 F 2 | = 2c, tekislikda bu nuqtalarda o'choqlari bo'lgan ellipslar oilasini belgilaydi. F 1 F 2 segmentining nuqtalaridan tashqari tekislikning har bir nuqtasi ko'rsatilgan oilaning ellipslariga tegishli. Bunday holda, ikkita ellips kesishmaydi, chunki fokus radiuslarining yig'indisi o'ziga xos ellipsni aniqlaydi. Shunday qilib, tasvirlangan kesishmalarsiz ellipslar oilasi F 1 F 2 segmentining nuqtalaridan tashqari butun tekislikni qamrab oladi. a parametrining berilgan qiymati bilan koordinatalari (7.4) tenglamani qanoatlantiradigan nuqtalar to'plamini ko'rib chiqamiz. Ushbu to'plamni bir nechta ellipslar orasida taqsimlash mumkinmi? To'plamning ba'zi nuqtalari yarim katta o'qi a bo'lgan ellipsga tegishli. Bu to'plamda yarim katta o'qi a bo'lgan ellipsda yotgan nuqta bo'lsin. Keyin bu nuqtaning koordinatalari tenglamaga bo'ysunadi
bular. (7.4) va (7.5) tenglamalar mavjud umumiy yechimlar. Biroq, tizim mavjudligini tekshirish oson
ã ≠ a uchun yechimlari yo‘q. Buning uchun, masalan, x ni birinchi tenglamadan chiqarib tashlash kifoya:
bu transformatsiyalardan keyin tenglamaga olib keladi
ã ≠ a uchun yechimlari yo'q, chunki. Demak, (7.4) yarim katta o'qi a > 0 va yarim kichik o'qi b =√(a 2 - c 2) > 0 bo'lgan ellips tenglamasi deyiladi. kanonik ellips tenglamasi.
Ellips ko'rinishi. Yuqorida muhokama qilingan ellipsni qurishning geometrik usuli bu haqda etarli tasavvur beradi ko'rinish ellips. Lekin ellips shaklini uning kanonik tenglamasi (7.4) yordamida ham o‘rganish mumkin. Masalan, y ≥ 0 deb faraz qilib, y ni x orqali ifodalash mumkin: y = b√(1 - x 2 /a 2) va ushbu funktsiyani o'rganib chiqib, uning grafigini qurishingiz mumkin. Ellipsni qurishning yana bir usuli bor. Ellipsning (7.4) kanonik koordinata sistemasining boshida joylashgan markazi a radiusli aylana x 2 + y 2 = a 2 tenglama bilan tasvirlangan. Agar u bo'ylab a/b > 1 koeffitsienti bilan siqilgan bo'lsa y o'qi, keyin siz x 2 + (ya/b) 2 = a 2, ya'ni ellips tenglamasi bilan tavsiflangan egri chiziqni olasiz.
Izoh 7.1. Agar bir xil doira a/b omil bilan siqilsa
Ellipsning ekssentrikligi. Ellipsning fokus uzunligining uning katta o'qiga nisbati deyiladi ellipsning ekssentrikligi va e bilan belgilanadi. Berilgan ellips uchun
kanonik tenglama (7.4), e = 2c/2a = c/a. Agar (7.4) da a va b parametrlar a tengsizlik bilan bog'langan bo'lsa
c = 0 bo'lganda, ellips aylanaga aylanganda va e = 0. Boshqa hollarda, 0.
(7.3) tenglama (7.4) tenglamaga ekvivalent, chunki (7.4) va (7.2) tenglamalar ekvivalentdir. Demak, ellips tenglamasi ham (7.3) ga teng. Bundan tashqari, (7.3) munosabat qiziqarli, chunki u |F 2 M| uzunligi uchun oddiy, radikalsiz formulani beradi. ellipsning M(x; y) nuqtasining fokus radiuslaridan biri: |F 2 M| = a + ex.
Ikkinchi fokus radiusi uchun shunga o'xshash formulani simmetriya mulohazalari yoki takroriy hisoblar orqali olish mumkin, bunda (7.2) kvadrat tenglamadan oldin birinchi radikal ikkinchisiga emas, balki o'ng tomonga o'tkaziladi. Demak, ellipsning istalgan M(x; y) nuqtasi uchun (7.2-rasmga qarang).
|F 1 M | = a - ex, |F 2 M| = a + ex, (7.6)
va bu tenglamalarning har biri ellips tenglamasidir.
7.1-misol. Yarim katta o‘qi 5, ekssentrisiteti 0,8 bo‘lgan ellipsning kanonik tenglamasini topamiz va uni tuzamiz.
Ellipsning yarim katta o'qini a = 5 va ekssentrikligi e = 0,8 ni bilib, biz uning yarim kichik o'qini topamiz. b = √(a 2 - c 2) va c = ea = 4 bo'lgani uchun b = √(5 2 - 4 2) = 3. Demak, kanonik tenglama x 2 /5 2 + y 2 /3 ko'rinishga ega. 2 = 1. Ellipsni qurish uchun tomonlari ellipsning simmetriya o'qlariga parallel va mos keladigan o'qlariga teng bo'lgan kanonik koordinatalar tizimining boshida joylashgan to'rtburchaklar chizish qulaydir (1-rasm). 7.4). Bu to'rtburchak bilan kesishadi
ellipsning A(-5; 0), B(5; 0), C(0; -3), D(0; 3) cho’qqilaridagi o’qlari va ellipsning o’zi unga chizilgan. Shaklda. 7.4, shuningdek, ellipsning F 1,2 (±4; 0) fokuslarini ko'rsatadi.
Ellipsning geometrik xossalari.(7.6) dagi birinchi tenglamani |F 1 M| shaklida qayta yozamiz = (a/e - x)e. E'tibor bering, a > c uchun a/e - x qiymati musbat, chunki F 1 fokusi ellipsga tegishli emas. Bu qiymat d vertikal chiziqqa bo'lgan masofani ifodalaydi: bu chiziqning chap tomonida yotgan M(x; y) nuqtadan x = a/e. Ellips tenglamasini quyidagicha yozish mumkin
|F 1 M|/(a/e - x) = e
Bu shuni anglatadiki, bu ellips tekislikning M(x; y) nuqtalaridan iborat bo'lib, ular uchun fokus radiusi F 1 M uzunligining d to'g'ri chiziqqa bo'lgan masofaga nisbati e ga teng doimiy qiymat bo'ladi (1-rasm). 7.5).
d to'g'ri chiziq "juft" ga ega - ellips markaziga nisbatan d ga simmetrik bo'lgan vertikal to'g'ri chiziq d ga nisbatan x = -a / e tenglamasi bilan berilgan d ga nisbatan xuddi shunday. Ikkala qator d va d" deyiladi ellipsning direktrisalari. Ellipsning direktrisalari uning o'choqlari joylashgan ellipsning simmetriya o'qiga perpendikulyar bo'lib, ellips markazidan a/e = a 2 /c masofada joylashgan (7.5-rasmga qarang).
Direktrisadan unga eng yaqin fokusgacha bo'lgan masofa p deyiladi ellipsning fokus parametri. Ushbu parametr tengdir
p = a/e - c = (a 2 - c 2)/c = b 2 /c
Ellipsning yana bir muhim geometrik xossasi bor: fokus radiuslari F 1 M va F 2 M M nuqtadagi ellipsga teginish bilan teng burchaklar hosil qiladi (7.6-rasm).
Bu xususiyat aniq xususiyatga ega jismoniy ma'no. Agar yorug'lik manbai F 1 fokusiga joylashtirilsa, u holda bu fokusdan chiqadigan nur ellipsdan aks etgandan so'ng, ikkinchi fokus radiusi bo'ylab o'tadi, chunki aks etgandan keyin u ko'zgudan oldingi kabi egri burchak ostida bo'ladi. Shunday qilib, F 1 fokusidan chiqadigan barcha nurlar ikkinchi fokus F 2da to'planadi va aksincha. Ushbu talqinga asoslanib, bu xususiyat deyiladi ellipsning optik xususiyati.
Ta'rif. Ellips - bu tekislikdagi nuqtalarning geometrik joylashuvi bo'lib, ularning har birining fokuslar deb ataladigan ushbu tekislikning ikkita berilgan nuqtasidan masofalarining yig'indisi doimiy qiymatdir (agar bu qiymat fokuslar orasidagi masofadan katta bo'lsa). .
Fokuslarni ular orasidagi masofa orqali belgilaymiz - orqali va doimiy qiymat, miqdoriga teng ellipsning har bir nuqtasidan fokuslargacha bo'lgan masofalar, orqali (shartga ko'ra).
Dekart koordinatalar sistemasini shunday tuzamizki, fokuslar abtsissa o‘qida bo‘lsin va koordinatalarning kelib chiqishi segmentning o‘rtasiga to‘g‘ri keladi (44-rasm). Keyin fokuslar quyidagi koordinatalarga ega bo'ladi: chap fokus va o'ng fokus. Biz tanlagan koordinatalar sistemasidagi ellips tenglamasini chiqaramiz. Buning uchun ellipsning ixtiyoriy nuqtasini ko'rib chiqing. Ellipsning ta'rifiga ko'ra, bu nuqtadan fokuslargacha bo'lgan masofalar yig'indisi quyidagilarga teng:
Ikki nuqta orasidagi masofa uchun formuladan foydalanib, biz shunday qilib olamiz
Bu tenglamani soddalashtirish uchun uni shaklda yozamiz
Keyin tenglamaning ikkala tomonini kvadratga aylantiramiz, biz olamiz
yoki aniq soddalashtirilgandan keyin:
Endi biz tenglamaning ikkala tomonini yana kvadratga aylantiramiz, shundan so'ng bizda:
yoki bir xil o'zgarishlardan keyin:
Chunki, ellips ta'rifidagi shartga ko'ra, u holda raqam ijobiydir. Keling, belgi bilan tanishtiramiz
Keyin tenglama quyidagi ko'rinishga ega bo'ladi:
Ellipsning ta'rifiga ko'ra, uning istalgan nuqtasining koordinatalari (26) tenglamani qanoatlantiradi. Lekin (29) tenglama (26) tenglamaning natijasidir. Binobarin, u ellipsning istalgan nuqtasining koordinatalari bilan ham qanoatlantiriladi.
Ellipsda yotmagan nuqtalarning koordinatalari (29) tenglamani qanoatlantirmasligini ko'rsatish mumkin. Shunday qilib, (29) tenglama ellips tenglamasidir. Ellipsning kanonik tenglamasi deyiladi.
Keling, ellips shaklini uning kanonik tenglamasidan foydalanib o'rnatamiz.
Avvalo, ushbu tenglama faqat o'z ichiga olganligiga e'tibor qarataylik hatto darajalar x va y. Bu shuni anglatadiki, agar biron bir nuqta ellipsga tegishli bo'lsa, u holda u abscissa o'qiga nisbatan nuqta bilan simmetrik nuqtani va ordinata o'qiga nisbatan nuqta bilan simmetrik nuqtani ham o'z ichiga oladi. Shunday qilib, ellipsda ikkita o'zaro perpendikulyar simmetriya o'qlari mavjud bo'lib, ular bizning tanlagan koordinata sistemamizda koordinata o'qlari bilan mos keladi. Biz bundan buyon ellipsning simmetriya o'qlarini ellips o'qlari, ularning kesishish nuqtasini esa ellips markazi deb ataymiz. Ellips fokuslari joylashgan o'q (ichida). Ushbu holatda x o'qi) fokus o'qi deb ataladi.
Keling, birinchi chorakdagi ellips shaklini aniqlaymiz. Buning uchun y uchun (28) tenglamani yechamiz:
Ko'rinib turibdiki, bu erda y xayoliy qiymatlarni qabul qilganligi sababli. 0 dan a ga ortganda y b dan 0 gacha kamayadi.Elipsning birinchi chorakda yotgan qismi B (0; b) nuqtalar bilan chegaralangan va koordinata o’qlarida yotgan yoy bo’ladi (45-rasm). Endi ellipsning simmetriyasidan foydalanib, biz ellips rasmda ko'rsatilgan shaklga ega degan xulosaga kelamiz. 45.
Ellipsning o'qlari bilan kesishgan nuqtalari ellipsning uchlari deyiladi. Ellipsning simmetriyasidan kelib chiqadiki, ellipsning uchlari bilan bir qatorda yana ikkita uchi bor (45-rasmga qarang).
Ellipsning segmentlari va birlashtiruvchi qarama-qarshi uchlari, shuningdek ularning uzunliklari mos ravishda ellipsning katta va kichik o'qlari deb ataladi. a va b raqamlari mos ravishda ellipsning katta va kichik yarim o'qlari deb ataladi.
Fokuslar orasidagi masofaning yarmining ellipsning yarim katta o'qiga nisbati ellipsning ekssentrikligi deb ataladi va odatda quyidagi harf bilan belgilanadi:
Chunki , ellipsning ekssentrisiteti birlikdan kichik: Eksentriklik ellips shaklini xarakterlaydi. Darhaqiqat, (28) formuladan kelib chiqadiki, ellipsning ekssentrisiteti qanchalik kichik bo'lsa, uning yarim kichik o'qi b yarim katta o'qdan kamroq farq qiladi, ya'ni ellips shunchalik kamroq cho'zilgan (fokus o'qi bo'ylab).
Cheklovchi holatda natija a radiusli aylana bo'ladi: , yoki . Shu bilan birga, ellipsning o'choqlari bir nuqtada - aylananing markazida birlashganga o'xshaydi. Doira ekssentrikligi nolga teng:
Ellips va aylana o'rtasidagi aloqani boshqa nuqtai nazardan o'rnatish mumkin. Yarim o'qlari a va b bo'lgan ellipsni radiusi a bo'lgan aylana proyeksiyasi sifatida ko'rib chiqish mumkinligini ko'rsatamiz.
O'zaro shunday a burchak hosil qiluvchi ikkita P va Q tekisliklarni ko'rib chiqaylik (46-rasm). P tekislikda koordinatalar sistemasini, Q tekislikda esa umumiy kelib chiqishi O va umumiy abtsissa o'qi tekisliklarning kesishish chizig'iga to'g'ri keladigan Oxy sistemasini quraylik. P tekislikdagi aylanani ko'rib chiqaylik
markazining boshida va radiusi a ga teng. Aylanada ixtiyoriy tanlangan nuqta, uning Q tekislikka proyeksiyasi va M nuqtaning Ox o‘qiga proyeksiyasi bo‘lsin. Nuqta a va b yarim o'qlari bo'lgan ellipsda yotishini ko'rsataylik.
Ikkinchi tartibli egri chiziqlar tekislikda o'zgaruvchan koordinatalari tenglamalar bilan aniqlangan chiziqlar mavjud x Va y ikkinchi darajaga kiradi. Bularga ellips, giperbola va parabola kiradi.
Ikkinchi tartibli egri tenglamaning umumiy shakli quyidagicha:
Qayerda A, B, C, D, E, F- raqamlar va koeffitsientlardan kamida bittasi A, B, C nolga teng emas.
Ikkinchi tartibli egri chiziqli masalalarni yechishda ko'pincha ellips, giperbola va parabolaning kanonik tenglamalari hisobga olinadi. Ularga umumiy tenglamalardan o'tish oson; 1-misol ellips bilan bog'liq masalalarga bag'ishlanadi.
Kanonik tenglama bilan berilgan ellips
Ellipsning ta'rifi. Ellips - bu tekislikdagi barcha nuqtalar to'plami bo'lib, ular uchun fokuslar deb ataladigan nuqtalargacha bo'lgan masofalar yig'indisi fokuslar orasidagi masofadan kattaroq doimiy qiymatdir.
Fokuslar quyidagi rasmda ko'rsatilgan.
Ellipsning kanonik tenglamasi quyidagi ko'rinishga ega:
Qayerda a Va b (a > b) - yarim o'qlarning uzunliklari, ya'ni koordinata o'qlarida ellips bilan kesilgan segmentlarning yarmi uzunligi.
Ellips fokuslari orqali o'tadigan to'g'ri chiziq uning simmetriya o'qidir. Ellipsning yana bir simmetriya o'qi bu segmentga perpendikulyar bo'lgan segmentning o'rtasidan o'tadigan to'g'ri chiziqdir. Nuqta HAQIDA bu chiziqlarning kesishishi ellipsning simmetriya markazi yoki oddiygina ellips markazi bo'lib xizmat qiladi.
Ellipsning abscissa o'qi nuqtalarda kesishadi ( a, HAQIDA) va (- a, HAQIDA) va ordinata o'qi nuqtalarda (( b, HAQIDA) va (- b, HAQIDA). Ushbu to'rt nuqta ellipsning uchlari deb ataladi. Ellipsning x o'qidagi cho'qqilari orasidagi segment uning katta o'qi, ordinata o'qida esa kichik o'qi deb ataladi. Ularning ellipsning tepasidan markazigacha bo'lgan segmentlari yarim o'qlar deb ataladi.
Agar a = b, keyin ellipsning tenglamasi shaklni oladi. Bu radiusli aylana tenglamasi a, va doira maxsus holat ellips. Ellipsni radiusli aylanadan olish mumkin a, agar siz uni siqsangiz a/b eksa bo'ylab marta Oy .
1-misol. Umumiy tenglama bilan berilgan chiziq mavjudligini tekshiring 
, ellips.
Yechim. Biz o'zgarishlar qilamiz umumiy tenglama. Biz erkin atamani o'ng tomonga o'tkazish, tenglamani bir xil songa bo'linish va kasrlarni kamaytirishdan foydalanamiz:
Javob. O'zgartirishlar natijasida olingan tenglama ellipsning kanonik tenglamasidir. Shuning uchun bu chiziq ellipsdir.
2-misol. Ellipsning yarim o'qlari mos ravishda 5 va 4 ga teng bo'lsa, uning kanonik tenglamasini tuzing.
Yechim. Ellips va almashtirishning kanonik tenglamasi formulasini ko'rib chiqamiz: yarim katta o'q a= 5, yarim kichik o'q b= 4. Ellipsning kanonik tenglamasini olamiz:
Ballar va , asosiy o'qda yashil rangda ko'rsatilgan, bu erda
chaqiriladi nayranglar.
chaqirdi ekssentriklik ellips.
Munosabat b/a ellipsning "to'liqligi" ni tavsiflaydi. Bu nisbat qanchalik kichik bo'lsa, ellips katta o'q bo'ylab cho'ziladi. Biroq, ellipsning cho'zilish darajasi ko'pincha eksantriklik orqali ifodalanadi, uning formulasi yuqorida keltirilgan. Turli ellipslar uchun ekssentriklik 0 dan 1 gacha o'zgarib turadi, har doim birlikdan kamroq qoladi.
3-misol. Fokuslar orasidagi masofa 8 va katta o'q 10 bo'lsa, ellipsning kanonik tenglamasini tuzing.
Yechim. Keling, bir nechta oddiy xulosalar qilaylik:
Agar katta o'q 10 ga teng bo'lsa, unda uning yarmi, ya'ni yarim o'q a = 5 ,
Fokuslar orasidagi masofa 8 bo'lsa, u holda raqam c fokus koordinatalari 4 ga teng.
Biz almashtiramiz va hisoblaymiz:
Natijada ellipsning kanonik tenglamasi olinadi:
4-misol. Ellipsning kanonik tenglamasini tuzing, agar uning katta o'qi 26 va ekssentrisiteti bo'lsa.
Yechim. Katta o'qning o'lchamidan va eksantriklik tenglamasidan kelib chiqqan holda, ellipsning yarim katta o'qi a= 13. Eksentriklik tenglamasidan sonni ifodalaymiz c, kichik yarim o'qning uzunligini hisoblash uchun kerak bo'ladi:
.
Kichik yarim o'q uzunligining kvadratini hisoblaymiz:
Ellipsning kanonik tenglamasini tuzamiz:
5-misol. Kanonik tenglama bilan berilgan ellips fokuslarini aniqlang.
Yechim. Raqamni toping c, ellips fokuslarining birinchi koordinatalarini aniqlaydi:
.
Biz ellipsning fokuslarini olamiz:
6-misol. Ellipsning o'choqlari o'qda joylashgan ho'kiz kelib chiqishiga nisbatan simmetrik tarzda. Ellipsning kanonik tenglamasini tuzing, agar:
1) fokuslar orasidagi masofa 30 ga, asosiy o'q esa 34 ga teng
2) kichik o'q 24 va fokuslardan biri nuqtada (-5; 0)
3) ekssentriklik va fokuslardan biri (6; 0) nuqtada.
Keling, ellips masalalarini birgalikda hal qilishni davom ettiraylik
Agar ellipsning ixtiyoriy nuqtasi bo'lsa (chizmadagi ellipsning yuqori o'ng qismida yashil rangda ko'rsatilgan) va bu nuqtagacha bo'lgan masofa fokuslardan bo'lsa, masofalar uchun formulalar quyidagicha:
Ellipsga tegishli har bir nuqta uchun fokuslardan masofalar yig'indisi 2 ga teng doimiy qiymatdir. a.
Tenglamalar bilan aniqlangan chiziqlar
chaqiriladi direktorlar ellips (chizmada qirralarning bo'ylab qizil chiziqlar mavjud).
Yuqoridagi ikkita tenglamadan ellipsning istalgan nuqtasi uchun shunday bo'ladi
,
qayerda va bu nuqtaning direktrisalarga bo'lgan masofalari va.
7-misol. Ellips berilgan. Uning direktrisalari uchun tenglamani yozing.
Yechim. Direktrix tenglamasini ko'rib chiqamiz va ellipsning eksantrikligini topishimiz kerakligini topamiz, ya'ni. Buning uchun bizda barcha ma'lumotlar mavjud. Biz hisoblaymiz:
.
Ellipsning direktrisalari tenglamasini olamiz:
8-misol. Ellipsning kanonik tenglamasini tuzing, agar uning fokuslari nuqta va direktrisalari chiziq bo'lsa.
Algebra va geometriya bo'yicha ma'ruzalar. Semestr 1.
Ma’ruza 15. Ellips.
15-bob. Ellips.
1-band. Asosiy ta'riflar.
Ta'rif. Ellips - bu samolyotning GMT, fokuslar deb ataladigan tekislikning ikkita sobit nuqtasigacha bo'lgan masofalar yig'indisi doimiy qiymatdir.
Ta'rif. Tekislikning ixtiyoriy M nuqtasidan ellips fokusigacha bo'lgan masofa M nuqtaning fokus radiusi deyiladi.
Belgilar: 
- ellips o'choqlari, 
- M nuqtaning fokus radiuslari.
Ellipsning ta'rifiga ko'ra, M nuqta ellipsning nuqtasidir, agar va faqat bo'lsa 
- doimiy qiymat. Bu doimiy odatda 2a bilan belgilanadi:
.
(1)
e'tibor bering, bu 
.
Ellipsning ta'rifiga ko'ra, uning o'choqlari sobit nuqtalardir, shuning uchun ular orasidagi masofa ham berilgan ellips uchun doimiy qiymatdir.
Ta'rif. Ellips fokuslari orasidagi masofa fokus uzunligi deyiladi.
Belgilash: 
.
Uchburchakdan 
shunga amal qiladi 
, ya'ni.
.
ga teng sonni b bilan belgilaymiz 
, ya'ni.
.
(2)
Ta'rif. Munosabat
(3)
ellipsning ekssentrisiteti deyiladi.
Keling, ellips uchun kanonik deb ataydigan koordinatalar tizimini ushbu tekislikka kiritaylik.
Ta'rif. Ellipsning o'choqlari joylashgan o'qga fokus o'qi deyiladi.
Ellips uchun kanonik PDSC quramiz, 2-rasmga qarang.
Biz fokus o'qini abscissa o'qi sifatida tanlaymiz va ordinat o'qini segmentning o'rtasidan o'tkazamiz. 
fokus o'qiga perpendikulyar.
Keyin fokuslar koordinatalariga ega bo'ladi 
,
.
2-band. Ellipsning kanonik tenglamasi.
Teorema. Ellips uchun kanonik koordinatalar tizimida ellips tenglamasi quyidagi ko'rinishga ega:
.
(4)
Isbot. Biz isbotlashni ikki bosqichda bajaramiz. Birinchi bosqichda ellipsda yotgan har qanday nuqtaning koordinatalari (4) tenglamani qanoatlantirishini isbotlaymiz. Ikkinchi bosqichda (4) tenglamaning har qanday yechimi ellipsda yotgan nuqtaning koordinatalarini berishini isbotlaymiz. Bu erdan (4) tenglama koordinata tekisligining ellipsda yotgan nuqtalari bilan qanoatlantirilishi kelib chiqadi. Bundan va egri chiziq tenglamasini aniqlashdan (4) tenglama ellips tenglamasi ekanligi kelib chiqadi.
1) M(x, y) nuqta ellipsning nuqtasi bo'lsin, ya'ni. uning fokus radiuslarining yig'indisi 2a ga teng:
.
Koordinata tekisligidagi ikkita nuqta orasidagi masofa formulasidan foydalanamiz va berilgan M nuqtaning fokus radiuslarini topish uchun ushbu formuladan foydalanamiz:
,
, biz qaerdan olamiz:
Keling, bitta ildizni tenglikning o'ng tomoniga o'tkazamiz va uni kvadratga aylantiramiz:
Qisqartirib, biz quyidagilarni olamiz:
Biz shunga o'xshashlarni taqdim etamiz, 4 ga kamaytiramiz va radikalni olib tashlaymiz:
.
Kvadratlashtirish
Qavslarni oching va qisqartiring 
:
qayerdan olamiz:
Tenglikdan (2) foydalanib, biz quyidagilarni olamiz:
.
Oxirgi tenglikni bo'lish 
, biz tenglikni olamiz (4) va hokazo.
2) Endi juft sonlar (x, y) (4) tenglamani qanoatlantirsin va M(x, y) Oxy koordinata tekisligidagi mos nuqta bo‘lsin.
Keyin (4) dan quyidagicha:
.
Ushbu tenglikni M nuqtaning fokus radiuslari ifodasiga almashtiramiz:
.
Bu erda biz (2) va (3) tenglikdan foydalandik.
Shunday qilib, 
. Xuddi shunday, 
.
Endi e'tibor bering, tenglik (4) dan kelib chiqadi
yoki 
va chunki 
, keyin tengsizlik quyidagicha bo'ladi:
.
Bu erdan, o'z navbatida, shunday bo'ladi
yoki 
Va
,
.
(5)
Tengliklardan (5) shunday kelib chiqadi 
, ya'ni. M(x, y) nuqta ellips nuqtasi va hokazo.
Teorema isbotlangan.
Ta'rif. (4) tenglama ellipsning kanonik tenglamasi deyiladi.
Ta'rif. Ellips uchun kanonik koordinata o'qlari ellipsning bosh o'qlari deb ataladi.
Ta'rif. Ellips uchun kanonik koordinatalar tizimining kelib chiqishi ellips markazi deb ataladi.
3-band. Ellipsning xossalari.
Teorema. (Elipsning xususiyatlari.)
1. Ellips uchun kanonik koordinatalar tizimida hamma narsa
ellipsning nuqtalari to'rtburchakda joylashgan
,
.
2. Nuqtalar yotadi
3. Ellips - ga nisbatan simmetrik bo'lgan egri chiziq
ularning asosiy o'qlari.
4. Ellipsning markazi uning simmetriya markazidir.
Isbot. 1, 2) Ellipsning kanonik tenglamasidan darhol kelib chiqadi.
3, 4) M(x, y) ellipsning ixtiyoriy nuqtasi bo‘lsin. U holda uning koordinatalari (4) tenglamani qanoatlantiradi. Lekin u holda nuqtalarning koordinatalari ham (4) tenglamani qanoatlantiradi va demak, teorema bayonotlari kelib chiqadigan ellips nuqtalaridir.
Teorema isbotlangan.
Ta'rif. 2a kattalik ellipsning katta o'qi, a kattaligi ellipsning yarim katta o'qi deyiladi.
Ta'rif. 2b kattalik ellipsning kichik o'qi, b miqdori ellipsning yarim kichik o'qi deyiladi.
Ta'rif. Ellipsning asosiy o'qlari bilan kesishgan nuqtalari ellipsning cho'qqilari deyiladi.
Izoh. Ellipsni quyidagicha qurish mumkin. Samolyotda biz "fokus nuqtalariga mixni bolg'acha uramiz" va ularga ip uzunligini mahkamlaymiz 
. Keyin qalam olib, ipni cho'zish uchun ishlatamiz. Keyin qalam chizig'ini tekislik bo'ylab harakatlantiramiz, ipning tarangligiga ishonch hosil qilamiz.
Eksantriklik ta'rifidan kelib chiqadiki
Keling, a raqamini tuzatamiz va c raqamini nolga yo'naltiramiz. Keyin soat 
,
Va 
. Biz chegarada olamiz
yoki 
- aylana tenglamasi.
Keling, to'g'ridan-to'g'ri 
. Keyin 
,
va biz chegarada ellipsning to'g'ri chiziq segmentiga aylanishini ko'ramiz 
3-rasmdagi yozuvda.
4-band. Ellipsning parametrik tenglamalari.
Teorema. Mayli 
- ixtiyoriy haqiqiy sonlar. Keyin tenglamalar tizimi
,
(6)
ellips uchun kanonik koordinatalar tizimidagi ellipsning parametrik tenglamalari.
Isbot. (6) tenglamalar sistemasi (4) tenglamaga ekvivalent ekanligini isbotlash kifoya, ya'ni. ular bir xil echimlarga ega.
1) (x, y) (6) sistemaning ixtiyoriy yechimi bo'lsin. Birinchi tenglamani a ga, ikkinchisini b ga bo'ling, ikkala tenglamaning kvadratiga qo'shing va qo'shing:
.
Bular. (6) sistemaning har qanday yechimi (x, y) (4) tenglikni qanoatlantiradi.
2) Aksincha, (x, y) juftligi (4) tenglamaning yechimi bo'lsin, ya'ni.
.
Bu tenglikdan koordinatali nuqta kelib chiqadi 
markazi koordinatali birlik radiusi boʻlgan doira ustida yotadi, yaʼni. trigonometrik doiradagi ma'lum burchak mos keladigan nuqta 
:
Sinus va kosinusning ta'rifidan darhol shundan kelib chiqadi
,
, Qayerda 
, shundan kelib chiqadiki, juftlik (x, y) (6) sistemaning yechimi va hokazo.
Teorema isbotlangan.
Izoh. Ellipsni a radiusli aylananing abscissa o'qiga qarab bir xil "siqilishi" natijasida olish mumkin.
Mayli 
– markazi koordinatali aylana tenglamasi. Doiraning abscissa o'qiga "siqilishi" quyidagi qoida bo'yicha amalga oshiriladigan koordinata tekisligini o'zgartirishdan boshqa narsa emas. Har bir M(x, y) nuqta uchun bir xil tekislikdagi nuqtani bog'laymiz 
, Qayerda 
,
– “siqilish” koeffitsienti.
Ushbu transformatsiya bilan aylananing har bir nuqtasi bir xil abscissaga ega, ammo kichikroq ordinataga ega bo'lgan tekislikning boshqa nuqtasiga "o'tadi". Yangi nuqta orqali nuqtaning eski ordinatasini ifodalaymiz:
va aylanalarni tenglamaga almashtiring:
.
Bu erdan biz olamiz:
.
(7)
Bundan kelib chiqadiki, agar «siqilish» transformatsiyasidan oldin M(x, y) nuqta aylana ustida yotsa, ya'ni. uning koordinatalari aylananing tenglamasini qanoatlantirdi, so'ngra "siqilish" transformatsiyasidan keyin bu nuqta nuqtaga "aylandi" 
, uning koordinatalari ellips tenglamasini (7) qanoatlantiradi. Agar biz yarim o'qli ellips tenglamasini olishni istasak, u holda biz siqish koeffitsientini olishimiz kerak.
.
5-band. Ellipsga teginish.
Teorema. Mayli 
– ellipsning ixtiyoriy nuqtasi
.
Keyin nuqtadagi bu ellipsga teginish tenglamasi 
shaklga ega:
.
(8)
Isbot. Tegish nuqtasi koordinata tekisligining birinchi yoki ikkinchi choragida joylashgan vaziyatni ko'rib chiqish kifoya: 
. Yuqori yarim tekislikdagi ellips tenglamasi quyidagi ko'rinishga ega:
.
(9)
Funksiya grafigiga tangens tenglamasidan foydalanamiz 
nuqtada 
:
Qayerda 
– berilgan funksiyaning nuqtadagi hosilasining qiymati 
. Birinchi chorakdagi ellipsni (8) funktsiya grafigi sifatida ko'rish mumkin. Keling, uning hosilasi va teginish nuqtasidagi qiymatini topamiz:
,
. Bu erda biz tangens nuqtasi ekanligidan foydalandik 
ellipsning nuqtasidir va shuning uchun uning koordinatalari (9) ellips tenglamasini qanoatlantiradi, ya'ni.
.
Biz hosilaning topilgan qiymatini tangens tenglamaga (10) almashtiramiz:
,
qayerdan olamiz:
Bu quyidagilarni nazarda tutadi:
Keling, bu tenglikni ga ajratamiz 
:
.
Shuni ta'kidlash kerak 
, chunki nuqta 
ellipsga tegishli va uning koordinatalari uning tenglamasini qanoatlantiradi.
Tangens tenglama (8) koordinata tekisligining uchinchi yoki to'rtinchi choragida yotgan teginish nuqtasida ham xuddi shunday tarzda isbotlangan.
Va nihoyat, biz (8) tenglama nuqtalarda tangens tenglamani berishini osongina tekshirishimiz mumkin 
,
:
yoki 
, Va 
yoki 
.
Teorema isbotlangan.
6-band. Ellipsning ko'zgu xususiyati.
Teorema. Ellipsning tangensi teginish nuqtasining fokus radiuslari bilan teng burchaklarga ega.
Mayli 
- aloqa nuqtasi, 
,
– teginish nuqtasining fokus radiuslari, P va Q – nuqtadagi ellipsga chizilgan tangensdagi fokuslarning proyeksiyalari. 
.
Teorema shuni bildiradi
.
(11)
Bu tenglikni fokusdan chiqarilgan ellipsdagi yorug'lik nurining tushish va aks etish burchaklarining tengligi sifatida talqin qilish mumkin. Bu xususiyat ellipsning oyna xossasi deyiladi:
Ellipsning ko'zgusidan aks etgandan so'ng, ellipsning fokusidan chiqarilgan yorug'lik nuri ellipsning boshqa fokusidan o'tadi.
Teoremaning isboti. Burchaklar tengligini (11) isbotlash uchun uchburchaklarning o'xshashligini isbotlaymiz 
Va 
, unda tomonlar 
Va 
o'xshash bo'ladi. Uchburchaklar to'g'ri burchakli bo'lgani uchun, tenglikni isbotlash kifoya
Ellips - bu tekislikdagi nuqtalarning geometrik joylashuvi, ularning har biridan berilgan ikkita F_1 nuqtagacha bo'lgan masofalar yig'indisi va F_2 - bular orasidagi masofadan (2c) katta (2a) doimiy qiymat. berilgan ballar(3.36-rasm, a). Bu geometrik ta'rifni ifodalaydi ellipsning fokus xususiyati.
Ellipsning fokus xususiyati
F_1 va F_2 nuqtalar ellips fokuslari deyiladi, ular orasidagi masofa 2c=F_1F_2 fokus masofasi, F_1F_2 segmentining o'rta O - ellips markazi, 2a soni - ellipsning asosiy o'qi uzunligi. ellips (mos ravishda, a soni ellipsning yarim katta o'qidir). Ellipsning ixtiyoriy M nuqtasini uning fokuslari bilan tutashtiruvchi F_1M va F_2M segmentlari M nuqtaning fokal radiuslari deyiladi. Ellipsning ikkita nuqtasini tutashtiruvchi segmentga ellips akkordi deyiladi.
e=\frac(c)(a) nisbat ellipsning ekssentrisiteti deyiladi. Ta'rifdan (2a>2c) 0\leqslant e<1 . При e=0 , т.е. при c=0 , фокусы F_1 и F_2 , а также центр O совпадают, и эллипс является окружностью радиуса a (рис.3.36,6).
Ellipsning geometrik ta'rifi, uning fokus xususiyatini ifodalagan holda, uning analitik ta'rifiga - ellipsning kanonik tenglamasi bilan berilgan chiziqqa teng:
Haqiqatan ham, to'rtburchaklar koordinatalar tizimini joriy qilaylik (3.36c-rasm). Koordinatalar sistemasining boshi sifatida ellipsning O markazini olamiz; fokuslardan (fokus o'qi yoki ellipsning birinchi o'qi) o'tadigan to'g'ri chiziqni abtsissa o'qi sifatida olamiz (undagi musbat yo'nalish F_1 nuqtadan F_2 nuqtaga); fokus o'qiga perpendikulyar bo'lgan va ellipsning markazidan (ellipsning ikkinchi o'qi) ordinata o'qi sifatida o'tadigan to'g'ri chiziqni olamiz (ordinata o'qi bo'yicha yo'nalish, to'g'ri to'rtburchaklar koordinata tizimi Oxy to'g'ri bo'lishi uchun tanlangan) .
Ellipsning fokus xususiyatini ifodalovchi geometrik ta’rifidan foydalanib tenglama tuzamiz. Tanlangan koordinatalar tizimida biz fokuslarning koordinatalarini aniqlaymiz F_1(-c,0),~F_2(c,0). Ellipsga tegishli ixtiyoriy M(x,y) nuqta uchun bizda:
\vline\,\overrightarrow(F_1M)\,\vline\,+\vline\,\overrightarrow(F_2M)\,\vline\,=2a.
Ushbu tenglikni koordinata shaklida yozsak, biz quyidagilarni olamiz:
\sqrt((x+c)^2+y^2)+\sqrt((x-c)^2+y^2)=2a.
Biz ikkinchi radikalni o'ng tomonga siljitamiz, tenglamaning ikkala tomonini kvadratga aylantiramiz va shunga o'xshash shartlarni keltiramiz:
(x+c)^2+y^2=4a^2-4a\sqrt((x-c)^2+y^2)+(x-c)^2+y^2~\Chapga o'q ~4a\sqrt((x-c) )^2+y^2)=4a^2-4cx.
4 ga bo'linib, tenglamaning ikkala tomonini kvadratga aylantiramiz:
a^2(x-c)^2+a^2y^2=a^4-2a^2cx+c^2x^2~\Chap oʻq~ (a^2-c^2)^2x^2+a^2y^ 2=a^2(a^2-c^2).
Belgilangan holda b=\sqrt(a^2-c^2)>0, olamiz b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2. Ikkala tomonni a ^ 2b ^ 2 \ ne0 ga bo'lib, biz erishamiz kanonik tenglama ellips:
\frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1.
Shuning uchun tanlangan koordinatalar tizimi kanonikdir.
Agar ellips fokuslari bir-biriga to'g'ri kelsa, u holda ellips aylana bo'ladi (3.36,6-rasm), chunki a=b. Bunday holda, nuqtada kelib chiqishi bo'lgan har qanday to'rtburchaklar koordinatalar tizimi kanonik bo'ladi O\ekviv F_1\ekviv F_2, va x^2+y^2=a^2 tenglama markazi O nuqtada va radiusi a ga teng bo'lgan aylana tenglamasidir.
Fikrlash orqali teskari tartib, koordinatalari (3.49) tenglamani qanoatlantiradigan barcha nuqtalar va faqat ular ellips deb ataladigan nuqtalarning geometrik joylashuviga tegishli ekanligini ko'rsatish mumkin. Boshqacha qilib aytganda, ellipsning analitik ta'rifi uning geometrik ta'rifiga ekvivalent bo'lib, ellipsning fokus xususiyatini ifodalaydi.
Ellipsning rejissyorlik xususiyati
Ellipsning direktrisalari kanonik koordinatalar sistemasidan bir xil \frac(a^2)(c) masofada joylashgan ordinata o'qiga parallel bo'lgan ikkita to'g'ri chiziqdir. c=0 da, ellips aylana bo'lganda, direktrikslar bo'lmaydi (direktrisalar cheksizlikda deb taxmin qilishimiz mumkin).
Eksentrikligi 0 bo'lgan ellips
Aslida, masalan, fokus F_2 va d_2 directrix (3.37,6-rasm) uchun shart \frac(r_2)(\rho_2)=e koordinata shaklida yozilishi mumkin:
\sqrt((x-c)^2+y^2)=e\cdot\!\left(\frac(a^2)(c)-x\o'ng)
Mantiqsizlikdan qutulish va almashtirish e=\frac(c)(a),~a^2-c^2=b^2, kanonik ellips tenglamasiga kelamiz (3.49). Shunga o'xshash mulohazalarni F_1 va direktor uchun ham amalga oshirish mumkin d_1\kolon\frac(r_1)(\rho_1)=e.
Ellipsning qutbli koordinatalar sistemasidagi tenglamasi
F_1r\varphi qutbli koordinatalar sistemasidagi ellips tenglamasi (3.37-rasm, c va 3.37 (2)) koʻrinishga ega.
r=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi)
bu yerda p=\frac(b^2)(a) ellipsning fokus parametri.
Aslida, qutb koordinata sistemasining qutbi sifatida ellipsning chap fokusi F_1, qutb o‘qi sifatida esa F_1F_2 nurini tanlaylik (3.37-rasm, v). U holda ixtiyoriy M(r,\varphi) nuqta uchun ellipsning geometrik ta'rifiga (fokal xususiyati) ko'ra, r+MF_2=2a bo'ladi. M(r,\varphi) va F_2(2c,0) nuqtalari orasidagi masofani ifodalaymiz (qarang):
\begin(hizalangan)F_2M&=\sqrt((2c)^2+r^2-2\cdot(2c)\cdot r\cos(\varphi-0))=\\ &=\sqrt(r^2- 4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2).\end(hizalangan)
Demak, koordinata shaklida F_1M+F_2M=2a ellips tenglamasi ko‘rinishga ega bo‘ladi.
r+\sqrt(r^2-4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2)=2\cdot a.
Biz tenglamaning radikal, kvadratini ajratib olamiz, 4 ga bo'lamiz va shunga o'xshash shartlarni keltiramiz:
r^2-4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2~\Leftrightarrow~a\cdot\!\left(1-\frac(c)(a)\cdot\cos \varphi\right)\!\cdot r=a^2-c^2.
Qutb radiusi r ni ifodalang va almashtirishni bajaring e=\frac(c)(a),~b^2=a^2-c^2,~p=\frac(b^2)(a):
r=\frac(a^2-c^2)(a\cdot(1-e\cdot\cos\varphi)) \to'rt \Chap o'q \to'rt r=\frac(b^2)(a\cdot(1) -e\cdot\cos\varphi)) \to'rt \chapga o'q \quad r=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi),
Q.E.D.
Ellips tenglamasidagi koeffitsientlarning geometrik ma'nosi
Ellipsning (3.37a-rasmga qarang) koordinata o'qlari (ellips cho'qqilari) bilan kesishish nuqtalarini topamiz. Tenglamaga y=0 ni qo‘yib, ellipsning abtsissa o‘qi bilan (fokal o‘qi bilan) kesishish nuqtalarini topamiz: x=\pm a. Demak, ellips ichida joylashgan fokus o'qi segmentining uzunligi 2a ga teng. Bu segment, yuqorida aytib o'tilganidek, ellipsning katta o'qi deb ataladi va a soni ellipsning yarim katta o'qidir. x=0 ni almashtirsak, y=\pm b ni olamiz. Demak, ellips ichidagi ellipsning ikkinchi o'qi segmentining uzunligi 2b ga teng. Bu segment ellipsning kichik o'qi deb ataladi va b soni ellipsning yarim kichik o'qidir.
Haqiqatan ham, b=\sqrt(a^2-c^2)\leqslant\sqrt(a^2)=a, va b=a tenglik faqat c=0 holatda, ellips aylana bo'lganda olinadi. Munosabat k=\frac(b)(a)\leqslant1 ellipsning siqilish nisbati deyiladi.
Eslatmalar 3.9
1. x=\pm a,~y=\pm b to'g'ri chiziqlar koordinata tekisligidagi asosiy to'rtburchakni cheklaydi, uning ichida ellips (3.37, a rasmga qarang).
2. Ellipsni quyidagicha belgilash mumkin doirani diametriga siqish natijasida olingan nuqtalarning joylashuvi.
Haqiqatan ham, Oksi to'rtburchaklar koordinatalar sistemasidagi aylana tenglamasi x^2+y^2=a^2 bo'lsin. 0 koeffitsienti bilan x o'qiga siqilganda \begin(holatlar)x"=x,\\y"=k\cdot y.\end(holatlar) Tenglamaga x=x" va y=\frac(1)(k)y" aylanalarni qo'yib, M(x) nuqtaning M"(x",y") tasvirining koordinatalari tenglamasini olamiz, y): (x")^2+(\left(\frac(1)(k)\cdot y"\o'ng)\^2=a^2 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{(x")^2}{a^2}+\frac{(y")^2}{k^2\cdot a^2}=1 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{(x")^2}{a^2}+\frac{(y")^2}{b^2}=1,
!} chunki b=k\cdot a . Bu ellipsning kanonik tenglamasi. 3. Koordinata o‘qlari (kanonik koordinatalar sistemasi) ellipsning simmetriya o‘qlari (ellipsning asosiy o‘qlari deb ataladi), uning markazi esa simmetriya markazidir. Haqiqatan ham, agar M(x,y) nuqta ellipsga tegishli bo'lsa. u holda koordinata o'qlariga nisbatan M nuqtaga simmetrik M"(x,-y) va M""(-x,y) nuqtalar ham xuddi shu ellipsga tegishlidir. 4. Qutb koordinata sistemasidagi ellips tenglamasidan r=\frac(p)(1-e\cos\varphi)(3.37-rasm, c ga qarang), fokus parametrining geometrik ma'nosi aniqlangan - bu markaz o'qiga perpendikulyar bo'lgan fokus orqali o'tadigan ellips akkordining yarmi uzunligidir (r=p da \varphi=\frac(\pi)(2)). 5. Eksentriklik e ellips shaklini, ya'ni ellips va aylana orasidagi farqni xarakterlaydi. Qanchalik katta bo'lsa, ellips shunchalik cho'zilgan va e nolga qanchalik yaqin bo'lsa, ellips aylanaga shunchalik yaqin bo'ladi (3.38a-rasm). Haqiqatan ham, e=\frac(c)(a) va c^2=a^2-b^2 ekanligini hisobga olsak, biz olamiz e^2=\frac(c^2)(a^2)=\frac(a^2-b^2)(a^2)=1-(\chap(\frac(a)(b)\o‘ng )\^2=1-k^2,
!} bu yerda k - ellipsning siqilish nisbati, 0 6. Tenglama \frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1 da a 7. Tenglama \frac((x-x_0)^2)(a^2)+\frac((y-y_0)^2)(b^2)=1,~a\geqslant b markazi O"(x_0,y_0) nuqtada bo'lgan ellipsni aniqlaydi, uning o'qlari koordinata o'qlariga parallel (3.38-rasm, c). Bu tenglama parallel ko'chirish (3.36) yordamida kanonik tenglamaga keltiriladi. a=b=R bo'lganda tenglama (x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2 markazi O nuqtada bo'lgan R radiusli doirani tasvirlaydi"(x_0,y_0) . Ellipsning parametrik tenglamasi kanonik koordinatalar tizimida shaklga ega \begin(cases)x=a\cdot\cos(t),\\ y=b\cdot\sin(t),\end(holatlar)0\leqslant t<2\pi.
Darhaqiqat, ushbu ifodalarni (3.49) tenglamaga almashtirib, biz asosiy trigonometrik o'ziga xoslikka erishamiz. \cos^2t+\sin^2t=1. 3.20-misol. Ellips chizish \frac(x^2)(2^2)+\frac(y^2)(1^2)=1 kanonik koordinatalar tizimida Oksi. Yarim o'qlarni, fokus uzunligini, ekssentriklikni, tomonlar nisbatini, fokus parametrini, direktrisa tenglamalarini toping. Yechim. Berilgan tenglamani kanonik tenglama bilan solishtirib, yarim o'qlarni aniqlaymiz: a=2 - yarim katta o'q, b=1 - ellipsning yarim kichik o'qi. Tomonlari 2a=4,~2b=2 boʻlgan, markazi koordinatali nuqtada boʻlgan asosiy toʻrtburchak quramiz (3.39-rasm). Ellipsning simmetriyasini hisobga olgan holda, biz uni asosiy to'rtburchakka joylashtiramiz. Agar kerak bo'lsa, ellipsning ba'zi nuqtalarining koordinatalarini aniqlang. Masalan, ellips tenglamasiga x=1 ni qo‘yib, olamiz \frac(1^2)(2^2)+\frac(y^2)(1^2)=1 \to'rt \chap o'ng \to'rt y^2=\frac(3)(4) \to'rt \chap o'q \ to'rtlik y=\pm\frac(\sqrt(3))(2). Shuning uchun, koordinatali nuqtalar \left(1;\,\frac(\sqrt(3))(2)\right)\!,~\left(1;\,-\frac(\sqrt(3))(2)\o'ng)- ellipsga tegishli. Siqish nisbatini hisoblash k=\frac(b)(a)=\frac(1)(2); fokus uzunligi 2c=2\sqrt(a^2-b^2)=2\sqrt(2^2-1^2)=2\sqrt(3); ekssentriklik e=\frac(c)(a)=\frac(\sqrt(3))(2); fokus parametri p=\frac(b^2)(a)=\frac(1^2)(2)=\frac(1)(2). Direktrisa tenglamalarini tuzamiz: x=\pm\frac(a^2)(c)~\Chap o'q~x=\pm\frac(4)(\sqrt(3)).Ellipsning parametrik tenglamasi
