Tenglama nima, tenglamani yechish nimani anglatadi. Tenglamaning ikkala tomoni teng kuchga ko'tarilganda, natijada asl tenglamaga teng bo'lmagan tenglama hosil bo'ladi.

Umuman olganda, har qanday tenglama matematik model chashka tarozilari (tutqich, teng qo'l, roker - ko'plab nomlar mavjud), ixtiro qilingan qadimgi Bobil 7000 yil oldin yoki undan ham oldinroq. Bundan tashqari, men hatto eng qadimgi bozorlarda ishlatiladigan kosa tarozilari tenglamalar prototipiga aylandi, deb o'ylayman. Va agar siz har qanday tenglamaga ikkita parallel tayoq bilan bog'langan tushunarsiz raqamlar va harflar to'plami sifatida emas, balki tarozi kabi qarasangiz, qolgan hamma narsada hech qanday muammo bo'lmaydi:

Har qanday tenglama muvozanatli shkalaga o'xshaydi

Shunday bo'ladiki, hayotimizda har kuni ko'proq va ko'proq tenglamalar paydo bo'ladi, lekin tenglama nima va uning ma'nosi haqida kamroq va kamroq tushuncha mavjud. Qanday bo'lmasin, men katta qizimga oddiy matematik tenglamaning ma'nosini tushuntirmoqchi bo'lganimda shunday taassurot qoldirdim:

x + 2 = 8 (500.1)

Bular. maktabda, albatta, ular bunday hollarda, topish uchun, deb tushuntiradi X, siz o'ng tomondan 2 ni ayirishingiz kerak:

x = 8 - 2 (500.3)

Bu, albatta, mutlaqo to'g'ri harakat, lekin nima uchun ayirish kerak, masalan, qo'shish yoki bo'lish kerak emas, maktab darsliklarida hech qanday tushuntirish yo'q. Faqatgina o'rganishingiz kerak bo'lgan qoida bor:

Tenglama a’zosi bir qismdan ikkinchi qismga o‘tkazilganda uning belgisi teskari tomonga o‘zgaradi.

10 yoshli maktab o'quvchisi ushbu qoidani qanday tushunishi va uning ma'nosi nima ekanligini o'ylab ko'rish va qaror qabul qilish sizga bog'liq. Bundan tashqari, mening yaqin qarindoshlarim ham tenglamalarning ma'nosini hech qachon tushunishmagan, balki talab qilinadigan narsani (va ayniqsa yuqoridagi qoidani) yodlab olishgan va shundan keyingina uni Xudo xohlaganicha qo'llashgan. Menga bu holat yoqmadi, shuning uchun men ushbu maqolani yozishga qaror qildim (mening eng kichigim o'sib bormoqda, bir necha yildan keyin u buni yana tushuntirishi kerak va bu mening saytimning bir nechta o'quvchilari uchun foydali bo'lishi mumkin) .

Darhol aytmoqchimanki, men maktabda 10 yil o'qigan bo'lsam ham, men hech qachon texnik fanlar bilan bog'liq hech qanday qoidalar yoki ta'riflarni o'rganmaganman. Bular. agar biror narsa aniq bo'lsa, u eslab qoladi, lekin agar biror narsa aniq bo'lmasa, unda ma'nosini tushunmasdan uni tiqishdan nima foyda, baribir unutilsa? Bundan tashqari, agar men biror narsani tushunmasam, bu menga kerak emasligini anglatadi (yaqinda men tushundimki, agar maktabda biror narsani tushunmagan bo'lsam, bu mening aybim emas, balki o'qituvchilar, darsliklar va boshqalarning aybi. umuman ta'lim tizimlari).

Bunday yondashuv menga bolaligimda har xil o'yinlar va o'yin-kulgilar uchun juda kam bo'lgan juda ko'p bo'sh vaqtni taqdim etdi. Shu bilan birga, fizika va kimyo fanlari bo‘yicha turli olimpiadalarda qatnashdim, hattoki, matematika bo‘yicha viloyat miqyosida o‘tkazilgan musobaqada g‘olib bo‘ldim. Ammo vaqt o'tdi, mavhum tushunchalar bilan ishlaydigan fanlar soni ko'paydi va shunga mos ravishda mening baholarim ham kamaydi. Institutning birinchi yilida mavhum tushunchalar bilan ishlaydigan fanlar soni mutlaq ko'pchilikni tashkil etdi va, albatta, men to'liq C talabasi edim. Ammo keyin, bir qator sabablarga ko'ra, men ma'ruzalar va konspektlarsiz materiallarning mustahkamligi bilan shug'ullanishga majbur bo'lganimda va men buni tushunganimda, ishlar muammosiz o'tdi va imtiyozli diplom bilan yakunlandi. Biroq, bu hozir bu haqda emas, balki ko'rsatilgan o'ziga xosliklar tufayli mening tushunchalarim va ta'riflarim maktabda o'qitiladiganlardan sezilarli darajada farq qilishi mumkinligi haqida.

Endi davom etaylik

Eng oddiy tenglamalar, masshtablar bilan o'xshashlik

Darhaqiqat, bolalarga turli xil narsalarni solishtirishga o'rgatiladi maktabgacha yosh ular hali ham gapirishni bilmaganlarida. Ular odatda geometrik taqqoslashlardan boshlanadi. Masalan, bolaga ikkita kub ko'rsatiladi va bola qaysi kub kattaroq va kichikroq ekanligini aniqlashi kerak. Va agar ular bir xil bo'lsa, bu o'lchamdagi tenglikdir. Keyin vazifa yanada murakkablashadi, bolaga ob'ektlar ko'rsatiladi turli shakllar, turli xil ranglar va bir xil narsalarni tanlash bola uchun tobora qiyinlashib bormoqda. Biroq, biz vazifani unchalik murakkablashtirmaymiz, faqat tenglikning bir turiga - pul vazniga e'tibor qaratamiz.

Tarozilar bir xil gorizontal darajada bo'lganda (500.1-rasmda to'q sariq rangda ko'rsatilgan tarozi o'qlari va ko'k, mos kelsa, gorizontal daraja qora qalin chiziq bilan ko'rsatilgan), bu tarozining o'ng panjasida chap panada bo'lgani kabi bir xil og'irlik miqdori borligini anglatadi. Eng oddiy holatda, bu 1 kg og'irlikdagi og'irliklar bo'lishi mumkin:

500.1-rasm.

Va keyin biz eng oddiy tenglamani olamiz 1 = 1. Biroq, bu tenglama faqat men uchun, matematikada bunday ifodalar tenglik deb ataladi, ammo mohiyati o'zgarmaydi. Agar biz tarozi chap panasidan og'irlikni olib tashlasak va ustiga biron bir narsani, hatto olma, hatto tirnoq, hatto qizil ikra qo'ysak va shu bilan birga tarozi bir xil gorizontal darajada bo'lsa, bu hali ham 1 kg degani bo'ladi. tarozining o'ng tomonida qolgan 1 kg vaznga teng ko'rsatilgan mahsulotlarning har qandayidan. Bu kilogramm uchun sotuvchi tomonidan belgilangan narx bo'yicha to'lash qoladi. Yana bir narsa shundaki, siz narxni yoqtirmasligingiz yoki tarozilarning to'g'riligiga shubha qilishingiz mumkin - ammo bular matematikaga bevosita aloqasi bo'lmagan iqtisodiy va huquqiy munosabatlar masalalari.

Albatta, o'sha uzoq vaqtlarda, chashka tarozilari paydo bo'lganda, hamma narsa ancha sodda edi. Birinchidan, kilogramm kabi og'irlik o'lchovi yo'q edi, lekin og'irlik o'lchovlariga mos keladigan pul birliklari mavjud edi, masalan, talantlar, shekellar, funtlar, grivnalar va boshqalar (Aytgancha, men allaqachon borligiga hayron bo'lganman. funt - pul birligi va funt - og'irlik o'lchovi, Grivnasi - pul birligi bor va bir vaqtlar Grivna og'irlik o'lchovi bo'lgan va yaqinda men iste'dod nafaqat pul birligi ekanligini bilganimda. da eslatib o'tilgan qadimgi yahudiylar Eski Ahd, balki qadimgi Bobilda qabul qilingan og'irlik o'lchovi ham hamma narsa joyiga tushdi).

Aniqrog'i, dastlab og'irlik o'lchovlari, odatda donalar mavjud edi donli ekinlar, va shundan keyingina ushbu tarozi o'lchovlariga mos keladigan pullar paydo bo'ldi. Masalan, 60 don bir misqolga, 60 misqol bir minaga, 60 mina esa bir talantga to‘g‘ri kelgan. Shuning uchun dastlab tarozilar taklif etilayotgan pulning qalbaki ekanligini tekshirish uchun ishlatilgan, shundan keyingina tarozilar pul ekvivalenti, tarozi va hisob-kitoblar, elektron tarozilar va plastik kartochkalar sifatida paydo bo‘lgan, ammo bu masalaning mohiyatini o‘zgartirmaydi.

O'sha uzoq vaqtlarda sotuvchiga ma'lum bir mahsulot qancha turishini batafsil va batafsil tushuntirishga hojat yo'q edi. Sotilayotgan mahsulotni tarozining bir panasiga qo'yish kifoya edi, xaridor esa ikkinchisiga pul qo'ydi - bu juda oddiy va tushunarli, hatto mahalliy lahjani bilish ham shart emas, siz dunyoning istalgan nuqtasida savdo qilishingiz mumkin. Ammo tenglamalarga qaytaylik.

Agar (500.1) tenglamani tarozi pozitsiyasidan ko'rib chiqsak, demak, tarozining chap panjasida noma'lum kilogramm va yana 2 kilogramm, o'ng panada esa 8 kilogramm bor:

x + 2kg, = 8kg, (500.1.2)

Eslatma: IN Ushbu holatda Pastki chiziq o'lchovning pastki qismini anglatadi; qog'ozda hisoblashda bu chiziq shkalaning pastki qismiga yaqinroq o'xshash bo'lishi mumkin. Bundan tashqari, matematiklar uzoq vaqtdan beri maxsus belgilar - qavslarni o'ylab topishgan va shuning uchun har qanday qavsni hech bo'lmaganda tenglamalar ma'nosini tushunishning birinchi bosqichida o'lchovning tomonlari deb hisoblash mumkin. Shunga qaramay, aniqroq bo'lishi uchun pastki chiziqni qoldiraman.

Xo'sh, noma'lum kilogramm sonini bilish uchun nima qilishimiz kerak? To'g'ri! Tarozilarning chap va o'ng tomonlaridan 2 kilogrammni olib tashlang, keyin tarozilar bir xil gorizontal darajada qoladi, ya'ni biz hali ham tenglikka ega bo'lamiz:

x + 2kg, - 2kg = 8kg, - 2kg (500.2.2)

Mos ravishda

x, = 8kg - 2kg, (500.3.2)

x, = 6 kg, (500.4.2)

500.2-rasm.

Ko'pincha matematika kilogramm bilan emas, balki ba'zi mavhum o'lchamsiz birliklar bilan ishlaydi va keyin (500.1) tenglamaning yechimini yozish, masalan, qoralama quyidagicha bo'ladi:

x + 2, = 8, (500.1)

x + 2, - 2 = 8, - 2 (500.2)

x, = 8 - 2 , (500.3)

x = 6 (500.4)

Bu 500.2-rasmda aks ettirilgan.

Eslatma: Rasmiy ravishda, yanada yaxshiroq tushunish uchun (500.2) tenglamadan keyin quyidagi shakldagi boshqa tenglama qo'yilishi kerak: x + 2 - 2, = 8 - 2, ya'ni harakat tugadi va biz yana muvozanat kosalari bilan shug'ullanamiz. Biroq, mening fikrimcha, qarorni bunday to'liq to'liq yozib olishning hojati yo'q.

Toza kitoblarda odatda tenglama yechimining qisqartirilgan yozuvi qo'llaniladi va menimcha, tenglamalarni o'rganishning dastlabki bosqichida juda zarur bo'lgan shkala belgilari emas, balki butun tenglamalar ham qisqartiriladi. Shunday qilib, darsliklarda keltirilgan misollarga ko'ra, (500.1) tenglama yechimining toza versiyadagi qisqartirilgan versiyasi quyidagicha ko'rinadi:

x + 2 = 8 (500.1.1)

x = 8 - 2 (500.3.1)

x = 6 (500.4)

Natijada, masshtablar bilan o'xshashlikdan foydalanib, biz darsliklarda taklif qilinganga nisbatan qo'shimcha (500.2) tenglamani yechish usuli yoki ushbu yechimni yozib olish shakli bo'yicha tuzdik. Menimcha, bu tenglama, bundan tashqari, taxminan bu shaklda yozilgan, ya'ni. o'lchovlarning ramziy belgisi bilan - bu tenglamalarning ma'nosini tushunish uchun muhim bo'lgan etishmayotgan havola.

Bular. Tenglamalarni yechishda biz qarama-qarshi belgili narsani hech qayerga o'tkazmaymiz, balki tenglamaning chap va o'ng tomonlari bilan bir xil matematik amallarni bajaramiz.

Endi yuqorida keltirilgan qisqartirilgan shaklda tenglamalar yechimini yozish odatiy holdir. (500.1.1) tenglamadan so'ng darhol (500.3.1) tenglama keladi, shuning uchun teskari belgilar qoidasi, ammo bu ko'pchilik uchun tenglamalarning ma'nosini o'rganishdan ko'ra eslash osonroqdir.

Eslatma: Yozuvning qisqartirilgan shakliga qarshi hech narsam yo'q, bundan tashqari. ilg'or foydalanuvchilar bu shaklni yanada qisqartirishi mumkin, ammo bu faqat tenglamalarning umumiy ma'nosi aniq tushunilgandan keyin amalga oshirilishi kerak.

Va kengaytirilgan yozuv sizga tenglamalarni echishning asosiy qoidalarini tushunishga imkon beradi:

1. Agar chap va bilan bir xil matematik amallarni bajarsak o'ng tomon tenglamalar, keyin tenglik qoladi.

2. Ko'rib chiqilayotgan tenglamaning qaysi qismi chap va qaysi biri to'g'ri ekanligi muhim emas, biz ularni erkin almashtirishimiz mumkin.

Ushbu matematik operatsiyalar har qanday bo'lishi mumkin. Yuqorida ko'rsatilganidek, chap va o'ng tomondan bir xil sonni ayirishimiz mumkin. Xuddi shu raqamni tenglamaning chap va o'ng tomonlariga qo'shishimiz mumkin, masalan:

x - 2, = 8, (500.5.1)

x - 2, + 2 = 8, + 2 (500.5.2)

x, = 8 + 2 , (500.5.3)

x = 10 (500.5.4)

Biz ikkala tomonni bir xil songa bo'lishimiz yoki ko'paytirishimiz mumkin, masalan:

3x, = 12, (500.6.1)

3x, : 3 = 12, : 3 (500.6.2)

x, = 12 : 3 , (500.6.3)

x = 4 (500.6.4)

3x - 6, = 12, (500.7.1)

3x - 6, + 6 = 12, + 6 (500.7.2)

3x, = 18, (500.7.3)

3x, : 3 = 18, : 3 (500.7.4)

x = 6 (500.7.5)

Biz ikkala qismni birlashtira olamiz yoki farqlay olamiz. Biz chap va o'ng qismlar bilan xohlagan narsani qilishimiz mumkin, lekin agar bu harakatlar chap va o'ng qismlar uchun bir xil bo'lsa, unda tenglik saqlanib qoladi (tarozi bir xil gorizontal darajada qoladi).

Albatta, siz noma'lum miqdorni imkon qadar tez va sodda tarzda aniqlashga imkon beradigan harakatlarni tanlashingiz kerak.

Shu nuqtai nazardan qaraganda, teskari harakatning klassik usuli oddiyroq ko'rinadi, lekin agar bola hali salbiy raqamlarni o'rganmagan bo'lsa-chi? Shu bilan birga, tuzilgan tenglama quyidagi shaklga ega:

5 - x = 3 (500.8)

Bular. Klassik usul yordamida ushbu tenglamani yechishda, eng qisqa yozuvni beradigan mumkin bo'lgan echimlardan biri quyidagilardir:

- x = 3 - 5 (500.8.2)

- x = - 2 (500.8.3)

x = 2 (500.8.4)

Va eng muhimi, (500.8.3) tenglama (500.8.4) bilan bir xil ekanligini bolaga qanday tushuntirish mumkin?

Bu shuni anglatadiki, bu holda, hatto foydalanilganda ham klassik usul yozishni tejashning ma'nosi yo'q va birinchi navbatda siz salbiy belgiga ega bo'lgan chap tomonda noma'lum qiymatdan xalos bo'lishingiz kerak.

5 - x = 3 (500.8)

5 = 3 + x (500.8.5)

3 + x = 5 (500.8.6)

x = 5 - 3 (500.8.7)

x = 2 (500.8.4)

To'liq yozuv quyidagicha ko'rinadi:

5 - x, = 3, (500.8)

5 - x, + x = 3, + x (500.9.2)

5, = 3 + x, (500.9.3)

3 + x, = 5, (500.8.6)

3 + x, - 3 = 5, - 3 (500.9.3)

x, = 5 - 3, (500.8.7)

x = 2 (500.8.4)

Men uni yana qo'shaman. Yechimning to'liq yozuvi o'qituvchilarga emas, balki tenglamalarni echish usulini yaxshiroq tushunish uchun kerak. Va biz tenglamaning chap va o'ng tomonlarini almashtirganimizda, biz o'lchovning ko'rinishini xaridor nuqtai nazaridan sotuvchining nuqtai nazariga o'zgartiramiz, lekin tenglik bir xil bo'lib qoladi.

Afsuski, qizimni hatto qoralamalarda ham yechimni to‘liq yozib olishga majbur qila olmadim. Uning jiddiy argumenti bor: "Bizga bunday o'rgatilmagan". Shu bilan birga, tuzilayotgan tenglamalarning murakkabligi oshadi, noma'lum miqdorni aniqlash uchun qanday harakat qilish kerakligini taxmin qilish foizi kamayadi va baholar tushadi. Men bu bilan nima qilishni bilmayman ...

Eslatma: zamonaviy matematikada tenglik va tenglamalarni ajratish odatiy holdir, ya'ni. 1 = 1 - bu shunchaki raqamli tenglik va agar tenglikning qismlaridan birida topilishi kerak bo'lgan noma'lum bo'lsa, bu allaqachon tenglama. Menga kelsak, ma'nolarning bunday farqlanishi unchalik ma'noga ega emas, faqat materialni idrok etishni murakkablashtiradi. Men har qanday tenglikni tenglama deb atash mumkinligiga ishonaman va har qanday tenglama tenglikka asoslanadi. Va bundan tashqari, savol tug'iladi: x = 6, bu allaqachon tenglikmi yoki u hali ham tenglamami?

Eng oddiy tenglamalar, vaqt bilan o'xshashlik

Albatta, tenglamalarni echishda o'lchovlar bilan o'xshashlik yagona emas. Masalan, tenglamalarni yechish vaqt nuqtai nazaridan ham ko'rib chiqilishi mumkin. Keyin (500.1) tenglama bilan tavsiflangan shart quyidagicha eshitiladi:

Noma'lum miqdorga qo'shganimizdan so'ng X Yana 2 birlik, endi bizda 8 birlik (hozirgi) bor. Biroq, u yoki bu sabablarga ko'ra, bizni nechta borligi qiziqtirmaydi, aksincha, o'tgan zamonda qancha bor edi. Shunga ko'ra, bizda qancha bir xil birlik borligini bilish uchun biz qarama-qarshi harakatni bajarishimiz kerak, ya'ni. 8 dan 2 ni ayirish (500.3 tenglama). Ushbu yondashuv darsliklarda keltirilgan narsalarga to'liq mos keladi, lekin menimcha, bu tarozi bilan o'xshashlik kabi aniq emas. Biroq, bu masala bo'yicha fikrlar turlicha bo'lishi mumkin.

Qavslar bilan tenglamani yechish misoli

Men ushbu maqolani yozda, qizim 4-sinfni tugatganida yozgan edim, lekin olti oydan kamroq vaqt o'tgach, maktabda ularga quyidagi ko'rinishdagi tenglamalarni yechish taklif qilindi:

(97 + 75: (50 - 5x)) 3 = 300 (500.10)

Sinfdagi hech kim bu tenglamani yecha olmadi, lekin men taklif qilgan usuldan foydalanganda uni echishda hech qanday murakkab narsa yo'q, lekin yozuvning to'liq shakli juda ko'p joy egallaydi:

(500.10.2)

97 + 75: (50 - 5x), = 300: 3, (500.10.3)

97 + 75: (50 - 5x), = 100, (500.10.4)

(500.10.5)

75: (50 - 5x), = 100 - 97, (500.10.6)

75: (50 - 5x), = 3, (500.10.7)

(500.10.8)

75 , = 3 (50 - 5x) , (500.10.9)

(500.10.10)

75: 3, = 50 - 5x, (500.10.11)

25, = 50 - 5x, (500.10.12)

25, + 5x = 50 - 5x, + 5x (500.10.13)

25 + 5x, = 50, (500.10.14)

25 + 5x, - 25 = 50, - 25 (500.10.15)

5x, = 50 - 25, (500.10.16)

5x, = 25, (500.10.17)

5x, : 5 = 25, : 5 (500.10.18)

x, = 25:5, (500.10.19)

x = 5 (500.10.20)

Biroq, bu bosqichda bunday to'liq shakl yozib olishning hojati yo'q. Ikki qavsga kelganimiz sababli, chap va o'ng tomonlardagi matematik amallar uchun alohida tenglama yaratish shart emas, shuning uchun yechimni qoralamaga yozish quyidagicha ko'rinishi mumkin:

97 + 75: (50 - 5x) , : 3 = 300 , : 3, (500.10.2)

97 + 75: (50 - 5x), = 100, (500.10.4)

97 + 75: (50 - 5x), - 97 = 100 - 97, (500.10.5)

75: (50 - 5x), = 3, (500.10.7)

75: (50 - 5x), · (50 - 5x) = 3, · (50 - 5x) (500.10.8)

75 , = 3 (50 - 5x) , (500.10.9)

75 , : 3 = 3 (50 - 5x) , : 3 (500.10.10)

25, = 50 - 5x, (500.10.12)

25, + 5x = 50 - 5x, + 5x (500.10.13)

25 + 5x, = 50, (500.10.14)

25 + 5x, - 25 = 50, - 25 (500.10.15)

5x, = 25, (500.10.17)

5x, : 5 = 25, : 5 (500.10.18)

x = 5 (500.10.20)

Hammasi bo'lib, ushbu bosqichda asl tenglamani echish uchun 14 ta tenglama yozish kerak edi.

Bunday holda, tenglamaning yechimini toza nusxada yozish quyidagicha ko'rinishi mumkin:

97 + 75: (50 - 5x) = 300: 3 (500.10.3)

97 + 75: (50 - 5x) = 100 (500.10.4)

75: (50 - 5x) = 100 - 97 (500.10.6)

75: (50 - 5x) = 3 (500.10.7)

75 = 3 (50 - 5x) (500.10.9)

75: 3 = 50 - 5x (500.10.11)

25 = 50 - 5x (500.10.12)

25 + 5x = 50 (500.10.14)

5x = 50 - 25 (500.10.16)

5x = 25 500.10.17)

x = 25:5 (500.10.19)

x = 5 (500.10.20)

Bular. yozuvning qisqartirilgan shakli bilan biz hali ham 12 ta tenglamani yaratishimiz kerak. Yozishda tejamkorlik minimal, lekin beshinchi sinf o'quvchisi aslida kerakli harakatlarni tushunishda muammolarga duch kelishi mumkin.

P.S. Gap qo‘sh qavsga kelgandagina qizim men taklif qilgan tenglamalarni yechish usuliga qiziqib qoldi, lekin shu bilan birga, uning yozma shaklida, hatto qoralamada ham hali 2 barobar kam tenglamalar bor, chunki u finalni o‘tkazib yuboradi. (500.10.4), (500.10. 7) va shunga o'xshash tenglamalar va yozish paytida darhol keyingisiga joy qoldiradi. matematik operatsiya. Natijada, uning loyihasidagi yozuv quyidagicha ko'rindi:

(97 + 75: (50 - 5x)) 3, : 3 = 300, : 3 (500.10.2)

97 + 75: (50 - 5x) , - 97 = 100 , - 97 (500.10.5)

75: (50 - 5x), · (50 - 5x) = 3, · (50 - 5x) (500.10.8)

75 , : 3 = 3 (50 - 5x) , : 3 (500.10.10)

25, + 5x = 50 - 5x, + 5x (500.10.13)

25 + 5x, - 25 = 50, - 25 (500.10.15)

5x, : 5 = 25, : 5 (500.10.18)

x = 5 (500.10.20)

Natijada biz atigi 8 ta tenglama oldik, bu qisqartirilgan yechim uchun talab qilinadiganidan ham kamroq. Aslida, men qarshi emasman, lekin bu foydali bo'lar edi.

Bitta noma'lum miqdorni o'z ichiga olgan eng oddiy tenglamalarni yechish haqida aytmoqchi bo'lgan narsam shu edi. Ikki noma'lum miqdorni o'z ichiga olgan tenglamalarni echish uchun sizga kerak bo'ladi

Tengliklar haqida umumiy tasavvurga ega bo'lgach va ularning turlaridan biri - sonli tengliklar bilan tanishib, siz amaliy nuqtai nazardan juda muhim bo'lgan tenglikning yana bir turi - tenglamalar haqida gapirishni boshlashingiz mumkin. Ushbu maqolada biz ko'rib chiqamiz tenglama nima, va tenglamaning ildizi deb ataladigan narsa. Bu erda biz tegishli ta'riflarni beramiz, shuningdek, tenglamalar va ularning ildizlariga turli misollar keltiramiz.

Sahifani navigatsiya qilish.

Tenglama nima?

Tenglamalarga maqsadli kirish odatda 2-sinfda matematika darslarida boshlanadi. Ayni paytda quyidagilar berilgan tenglama ta'rifi:

Ta'rif.

Tenglama topilishi kerak bo'lgan noma'lum sonni o'z ichiga olgan tenglik.

Tenglamalardagi noma'lum sonlar odatda kichik raqamlar yordamida belgilanadi. Lotin harflari, masalan, p, t, u va boshqalar, lekin eng ko'p ishlatiladigan harflar x, y va z.

Shunday qilib, tenglama yozuv shakli nuqtai nazaridan aniqlanadi. Boshqacha qilib aytadigan bo'lsak, tenglik belgilangan yozish qoidalariga bo'ysunadigan tenglamadir - unda qiymatini topish kerak bo'lgan harf mavjud.

Keling, eng birinchi va eng ko'p misollarni keltiraylik oddiy tenglamalar. X=8, y=3 va hokazo ko‘rinishdagi tenglamalardan boshlaylik. Raqamlar va harflar bilan birga belgilarni o'z ichiga olgan tenglamalar biroz murakkabroq ko'rinadi arifmetik amallar, masalan, x+2=3 , z−2=5 , 3·t=9 , 8:x=2 .

Tenglamalarning xilma-xilligi tanish bo'lgandan keyin ko'payadi - qavsli tenglamalar paydo bo'la boshlaydi, masalan, 2·(x−1)=18 va x+3·(x+2·(x−2))=3. Tenglamada noma'lum harf bir necha marta paydo bo'lishi mumkin, masalan, x+3+3·x−2−x=9, shuningdek, harflar tenglamaning chap tomonida, o'ng tomonida yoki ikkala tomonida ham bo'lishi mumkin. tenglama, masalan, x· (3+1)−4=8, 7−3=z+1 yoki 3·x−4=2·(x+12) .

O'qishdan keyin natural sonlar butun, ratsional, haqiqiy sonlar bilan tanishish sodir bo'ladi, yangi matematik ob'ektlar: darajalar, ildizlar, logarifmlar va boshqalar o'rganiladi, shu bilan birga bu narsalarni o'z ichiga olgan yangi turdagi tenglamalar paydo bo'ladi. Ularning misollarini maqolada ko'rish mumkin tenglamalarning asosiy turlari maktabda o'qish.

7-sinfda ba'zi bir aniq raqamlarni anglatuvchi harflar bilan bir qatorda, ular turli qiymatlarni olishi mumkin bo'lgan harflarni ko'rib chiqishni boshlaydilar, ular o'zgaruvchilar deb ataladi (maqolaga qarang). Shu bilan birga, tenglama ta'rifiga "o'zgaruvchan" so'zi kiritiladi va u quyidagicha bo'ladi:

Ta'rif.

Tenglama qiymati topilishi kerak bo'lgan o'zgaruvchini o'z ichiga olgan tenglik deyiladi.

Masalan, x+3=6·x+7 tenglama x o‘zgaruvchili tenglama, 3·z−1+z=0 esa z o‘zgaruvchili tenglamadir.

Xuddi shu 7-sinfda algebra darslarida biz bir emas, ikki xil noma’lum o‘zgaruvchidan iborat tenglamalarga duch kelamiz. Ular ikkita o'zgaruvchidagi tenglamalar deb ataladi. Kelajakda tenglamalarda uch yoki undan ortiq o'zgaruvchining mavjudligiga ruxsat beriladi.

Ta'rif.

Bir, ikki, uch va boshqalar bilan tenglamalar. o'zgaruvchilar- bu tenglamalar, ularning yozilishida mos ravishda bir, ikki, uch, ... noma'lum o'zgaruvchilar.

Masalan, 3.2 x+0.5=1 tenglama bitta x oʻzgaruvchili tenglama boʻlsa, oʻz navbatida x−y=3 koʻrinishdagi tenglama ikkita x va y oʻzgaruvchili tenglamadir. Yana bir misol: x 2 +(y−1) 2 +(z+0,5) 2 =27. Ko'rinib turibdiki, bunday tenglama uchta noma'lum o'zgaruvchilar x, y va z bo'lgan tenglamadir.

Tenglamaning ildizi nima?

Tenglamaning ta'rifi bu tenglamaning ildizini aniqlash bilan bevosita bog'liq. Keling, tenglamaning ildizi nima ekanligini tushunishga yordam beradigan ba'zi mulohazalarni bajaraylik.

Aytaylik, bizda bitta harfli (o'zgaruvchi) tenglama bor. Agar ushbu tenglamaning kiritilishiga kiritilgan harf o'rniga ma'lum bir raqam almashtirilsa, u holda tenglama raqamli tenglikka aylanadi. Bundan tashqari, hosil bo'lgan tenglik to'g'ri yoki noto'g'ri bo'lishi mumkin. Masalan, a+1=5 tenglamadagi a harfi o‘rniga 2 raqamini qo‘ysangiz, 2+1=5 noto‘g‘ri sonli tenglikni olasiz. Agar bu tenglamada a o‘rniga 4 raqamini qo‘ysak, 4+1=5 to‘g‘ri tenglikni olamiz.

Amalda, aksariyat hollarda, tenglamaga almashtirilishi to'g'ri tenglikni beradigan o'zgaruvchining qiymatlariga qiziqish uyg'otadi; bu qiymatlar ushbu tenglamaning ildizlari yoki echimlari deb ataladi.

Ta'rif.

Tenglamaning ildizi- bu harfning (o'zgaruvchining) qiymati, uning o'rniga tenglama to'g'ri raqamli tenglikka aylanadi.

E'tibor bering, bir o'zgaruvchidagi tenglamaning ildizi tenglamaning yechimi deb ham ataladi. Boshqacha qilib aytganda, tenglamaning yechimi va tenglamaning ildizi bir xil narsadir.

Keling, ushbu ta'rifni misol bilan tushuntiramiz. Buning uchun yuqorida yozilgan a+1=5 tenglamaga qaytaylik. Tenglama ildizining berilgan ta'rifiga ko'ra, 4 raqami bu tenglamaning ildizi hisoblanadi, chunki bu raqamni a harfi o'rniga qo'yganda biz 4+1=5 to'g'ri tenglikni olamiz va 2 raqami uning emas. ildiz, chunki u 2+1= 5 ko'rinishdagi noto'g'ri tenglikka mos keladi.

Shu o‘rinda bir qancha tabiiy savollar tug‘iladi: “Har qanday tenglamaning ildizi bormi, berilgan tenglamaning nechta ildizi bor?”. Biz ularga javob beramiz.

Ildizlari bo'lgan tenglamalar ham, ildizlari bo'lmagan tenglamalar ham mavjud. Masalan, x+1=5 tenglamaning ildizi 4, lekin 0 x=5 tenglamaning ildizi yo‘q, chunki bu tenglamada x o‘zgaruvchisi o‘rniga qaysi sonni qo‘ymaylik, 0=5 noto‘g‘ri tenglikni olamiz. .

Tenglamaning ildizlari soniga kelsak, ma'lum chekli sonli (bir, ikki, uch va hokazo) ildizlari bo'lgan tenglamalar ham, cheksiz sonli ildizlarga ega bo'lgan tenglamalar ham mavjud. Masalan, x−2=4 tenglamaning bitta ildizi 6, x 2 =9 tenglamaning ildizlari ikkita −3 va 3 son, x·(x−1)·(x−2)=0 tenglama. ning uchta ildizi 0, 1 va 2 bo‘lib, x=x tenglamaning yechimi istalgan son, ya’ni cheksiz sonli ildizga ega.

Tenglamaning ildizlari uchun qabul qilingan belgi haqida bir necha so'z aytish kerak. Agar tenglamaning ildizlari bo'lmasa, ular odatda "tenglamaning ildizlari yo'q" deb yozadilar yoki bo'sh to'plam belgisini ishlatadilar ∅. Agar tenglamaning ildizlari bo'lsa, ular vergul bilan ajratiladi yoki shunday yoziladi to'plamning elementlari jingalak qavs ichida. Misol uchun, agar tenglamaning ildizlari −1, 2 va 4 raqamlari bo'lsa, u holda −1, 2, 4 yoki (−1, 2, 4) ni yozing. Tenglamaning ildizlarini oddiy tenglik shaklida yozish ham joiz. Misol uchun, agar tenglama x harfini o'z ichiga olsa va bu tenglamaning ildizlari 3 va 5 raqamlari bo'lsa, u holda siz x=3, x=5 yozishingiz mumkin va x 1 =3, x 2 =5 ko'pincha qo'shiladi. o'zgaruvchiga, xuddi tenglamaning raqamlar ildizlarini ko'rsatgandek. Tenglamaning cheksiz ildizlar to'plami odatda ko'rinishda yoziladi, agar iloji bo'lsa, N natural sonlar, Z butun sonlar va R haqiqiy sonlar to'plamining yozuvi ham qo'llaniladi. Misol uchun, agar x o'zgaruvchisi bo'lgan tenglamaning ildizi istalgan butun son bo'lsa, u holda yozing va y o'zgaruvchili tenglamaning ildizlari 1 dan 9 gacha bo'lgan har qanday haqiqiy son bo'lsa, yozing.

Ikki, uch yoki undan ortiq o'zgaruvchiga ega tenglamalar uchun, qoida tariqasida, "tenglamaning ildizi" atamasi ishlatilmaydi, bu hollarda ular "tenglamaning yechimi" deb aytiladi. Bir necha o'zgaruvchili tenglamalarni yechish nima deyiladi? Keling, tegishli ta'rifni beraylik.

Ta'rif.

Ikki, uch va boshqalar bilan tenglamani yechish. o'zgaruvchilar juft, uchta va boshqalar deb ataladi. o'zgaruvchilarning qiymatlari, bu tenglamani to'g'ri raqamli tenglikka aylantiradi.

Keling, tushuntirish misollarini ko'rsataylik. Ikki o‘zgaruvchili x+y=7 tenglamani ko‘rib chiqaylik. X o‘rniga 1 raqamini, y o‘rniga 2 raqamini qo‘ysak, 1+2=7 tenglikka ega bo‘lamiz. Shubhasiz, bu noto'g'ri, shuning uchun x=1, y=2 qiymatlari juftligi yozma tenglamaning yechimi emas. Agar biz x=4, y=3 juft qiymatlarni olsak, tenglamaga almashtirilgandan so'ng 4+3=7 to'g'ri tenglikka erishamiz, shuning uchun bu o'zgaruvchan qiymatlar juftligi ta'rifiga ko'ra yechimdir. x+y=7 tenglamaga.

Bir oʻzgaruvchili tenglamalar kabi bir nechta oʻzgaruvchili tenglamalar ildizlari boʻlmasligi, chekli sonli yoki cheksiz sonli ildizlarga ega boʻlishi mumkin.

Juftlik, uchlik, to'rtlik va boshqalar. O'zgaruvchilarning qiymatlari ko'pincha qisqacha yoziladi, ularning qiymatlari qavslar ichida vergul bilan ajratiladi. Bunday holda, qavs ichidagi yozilgan raqamlar alifbo tartibidagi o'zgaruvchilarga mos keladi. Oldingi x+y=7 tenglamaga qaytgan holda bu fikrga aniqlik kiritamiz. Bu tenglamaning yechimini x=4, y=3 qisqacha (4, 3) shaklida yozish mumkin.

Maktab matematika, algebra va tahlilning boshlanishi kursida eng katta e'tibor bir o'zgaruvchili tenglamalarning ildizlarini topishga qaratilgan. Ushbu jarayonning qoidalarini maqolada batafsil ko'rib chiqamiz. tenglamalarni yechish.

Adabiyotlar ro'yxati.

• Matematika. 2 sinf Darslik umumiy ta'lim uchun muassasalar, adj bilan. elektron uchun tashuvchi. Soat 14 da 1-qism / [M. I. Moro, M. A. Bantova, G. V. Beltyukova va boshqalar] - 3-nashr. - M.: Ta'lim, 2012. - 96 b.: kasal. - (Rossiya maktabi). - ISBN 978-5-09-028297-0.
• Algebra: darslik 7-sinf uchun umumiy ta'lim muassasalar / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; tomonidan tahrirlangan S. A. Telyakovskiy. - 17-nashr. - M.: Ta'lim, 2008. - 240 b. : kasal. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Algebra: 9-sinf: tarbiyaviy. umumiy ta'lim uchun muassasalar / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; tomonidan tahrirlangan S. A. Telyakovskiy. - 16-nashr. - M.: Ta'lim, 2009. - 271 b. : kasal. - ISBN 978-5-09-021134-5.

Tenglama nima

• Tenglamani yechish nimani anglatadi

• Tenglamalarni yechishning asosiy qoidalari.

• Tenglamalarning tasnifi.

• Tenglama - bu noma'lum harf bilan ifodalanadigan tenglik. Tenglamadan to'g'ri sonli tenglik olinadigan harfning qiymati tenglamaning ildizi deyiladi.

Tenglamani yeching

• Tenglamani yeching - uning barcha ildizlarini topishni bildiradi (yoki tenglama bitta ildizga ega emasligiga ishonch hosil qilish).

• Noma'lum atamani topish uchun yig'indidan ma'lum hadni ayirish kerak (a + x = b, u holda x = b - a)

• 7 + x = 23

• x = 23 – 7

• x = 16

• Noma'lum minuendni topish uchun siz ayirma va farqni qo'shishingiz kerak.

• (agar x – a = d, u holda x = a + d)

• x-8 =5

• x = 8+5

• x=13

• Noma'lum ayirmani topish uchun minuenddan farqni ayirish kerak

• (a - x = b, u holda x = a-b)

• 9 = 1,3

• x = 9- 1.3

• x = 7.7

• Noma'lum omilni topish uchun mahsulotni ma'lum omilga bo'lish kerak

• (agar ax = b, u holda x = b: a)

• 0,2x = 6

• x = 6: 0,2

• x=30

• Noma'lum dividendni topish uchun siz qismni bo'linuvchiga ko'paytirishingiz kerak (agar x: a = b, keyin x = ab bo'lsa)

• x: 0,3 = 4

• x = 4 * 0,3

• x = 1,2

• Noma'lum bo'luvchini topish uchun dividendni ko'rsatkichga bo'lish kerak

• (a: x = b, u holda x = a: b)

• 0,8:x=-5

• x=0,8(-5)

• x=-0,16

• Tenglamaning ildizlari o'zgarmaydi, agar biror a'zo tenglamaning bir qismidan ikkinchi qismiga o'tkazilsa, uning belgisi o'zgaradi.

• 3x – 8 = x – 14

• 3x –x = -14 + 8

• 2x = -6

• x = -3

• Tenglamaning ildizlari, agar ikkala tomon ham nolga teng bo'lmagan bir xil songa ko'paytirilsa yoki bo'linsa, o'zgarmaydi.

Tenglamaning yechimi x =

• Tenglamaning yechimi x =

• Tenglama (bu erda a 0, a f (x) = g (x) tenglamaga ekvivalentdir)

• Almashtirish yordamida shakldagi tenglama kvadrat tenglamaga keltiriladi

• Logarifm belgisi ostida o'zgaruvchini o'z ichiga olgan tenglama logarifmik deyiladi.

• Shaklning logarifmik tenglamasini yechish

• bunday tenglama f(x)=g(x) tenglamaga f(x) qo‘shimcha shartlarda ekvivalent bo‘lishiga asoslanadi.

• Logarifm ta'rifiga ko'ra,

• Bitta noma'lum chiziqli tenglama ko'rinishdagi tenglamadir. Bu tenglama har doim yagona yechimga ega:

• Bitta noma’lumli kvadrat tenglama shakldagi tenglamadir

• Kvadrat tenglamaning diskriminanti sondir

• Agar D > 0 bo'lsa, tenglamaning yechimlari yo'q

• Agar D=0 boʻlsa, tenglama yagona yechimga ega boʻladi:

• Agar D > 0 bo'lsa, tenglama ikkita yechimga ega:

• To'liq bo'lmagan kvadrat tenglama - bu koeffitsientlardan kamida bittasi nolga teng bo'lgan tenglama. C=0 da tenglama shaklni oladi

• Qisqartirilgan kvadrat tenglama - bu ko'rinishdagi tenglama, ya'ni birinchi koeffitsienti birga teng bo'lgan kvadrat tenglama.

• Tenglama ildizlarining belgilarini aniqlang

VIETT TEOREMASI

• Agar berilgan kvadrat tenglama haqiqiy ildizlarga ega bo'lsa, unda ularning yig'indisi minus belgisi bilan olingan ikkinchi koeffitsientga teng, ya'ni. –r, ularning hosilasi esa q erkin terminidir.

• Ko'rinishdagi tenglama bikvadrat deyiladi.

• Bunday tenglama o'zgaruvchini o'zgartirish usuli bilan yechiladi. Keling, uni belgilaymiz. Dastlabki tenglama shaklni oladi, ya'ni u oddiy kvadrat tenglama.

• Uchinchi darajali nosimmetrik tenglama shakldagi tenglamadir

• bular. bu tenglamaning yechimi to'plamga ekvivalent

• To'rtinchi darajali simmetrik tenglama quyidagi ikkita tenglamadan birortasi hisoblanadi:

• Birinchi tenglamani echish uchun biz yangi o'zgaruvchini kiritamiz, ikkinchisini esa -

• o'zgaruvchi Bizda: ya'ni. oddiy kvadrat tenglamalar olinadi.

• X sonining moduli, agar u manfiy bo'lmasa, sonning o'zi yoki x soni manfiy bo'lsa -x sonidir. Belgilanishi:

• Ushbu ta'rifning rasmiy belgisi:

• Tenglamani yeching:

Tenglamaning ildizlari uchun formula

• Tenglamaning ildizlari uchun formula

• sin x=a () shaklga ega

• cos x=a

• tan x=a

• ctg x=a

• Trigonometrik tenglamalarni o'zgaruvchan o'zgartirish usuli yordamida echish mumkin

• Shaklning trigonometrik tenglamasi

• sinus va kosinusga nisbatan bir xil darajaga ega bo'lgan barcha hadlar deyiladi

• bir hil. Bir jinsli tenglama, agar uning barcha a'zolari ga bo'lingan bo'lsa, osongina nisbiy tenglamaga keltirilishi mumkin. Bundan tashqari, agar bo'lsa, unda bunday bo'linish echimlarning yo'qolishiga olib kelmaydi, chunki qiymat tenglamani qanoatlantirmaydi. Agar shunday bo'lsa, u holda qavslardan chiqariladi.

• Shaklning tenglamasi bu erdagi tenglamaga ekvivalentdir

• Eng ko'p ishlatiladigan usul - o'ng tarafdagi tenglamaning barcha shartlari chap tomonga o'tkaziladi; shundan keyin chap

• tenglamaning bir qismi trigonometrik funksiyalarni mahsulotga ajratish formulalari, darajani kamaytirish formulalari va trigonometrik funktsiyalar mahsulotini tizimga aylantirish formulalari yordamida faktorlarga ajratiladi.

Kasrli ratsional tenglamalar

• Ratsional algebraik tenglama bu va ko'phadlar bo'lgan ko'rinishdagi tenglamadir.

• Shart bajarilgan taqdirdagina ifoda mazmunli bo‘ladi

• Demak, ratsional tenglama shart ostida yechimga ega

Irratsional tenglamalar

• Ikkinchi darajali bitta radikalni o'z ichiga olgan tenglamalar

• Tenglamaning ikkala tomonini bir darajaga ko'tarish.

• Tenglamaning ikkala tomoni teng darajaga ko'tarilsa, natijada asl tenglamaga teng bo'lmagan tenglama hosil bo'ladi. Olingan ildizlarni to'g'ridan-to'g'ri dastlabki tenglamada tekshirish begona ildizlardan xalos bo'lishga yordam beradi, ya'ni. ildizlar navbatma-navbat boshlang'ich tenglamaga almashtiriladi va sonli tenglikning to'g'ri ekanligi tekshiriladi.

• Ikki ifodaning ko'paytmasi (bo'limi) nolga teng.

• Agar iboralardan kamida bittasi nolga teng bo'lsa, ikkinchisi esa mantiqiy bo'lsa, ikkita ifodaning ko'paytmasi nolga teng. Rasmiy ravishda shunday yozilgan:

• Ikki iboraning nolga teng qismi uchun rasmiy belgi:

• Ikkinchi darajali radikalning ikki (uch) belgisini o'z ichiga olgan tenglamalar

• Tenglamaning ikkala tomonini kvadratga solish.

Birinchidan, tenglamani shunday o'zgartirish kerakki, radikallar bir qismda, qolgan a'zolari esa boshqa qismda bo'ladi. Bu tenglamada ikkita radikal bo'lsa amalga oshiriladi. Agar ulardan uchtasi bo'lsa, ulardan ikkitasi tenglamaning bir qismida qoladi, uchinchisi esa boshqasiga o'tkaziladi. Keyin tenglamaning ikkala tomoni kvadratga olinadi va kerakli o'zgarishlar amalga oshiriladi. Keyinchalik, radikallarni o'z ichiga olmaydigan tenglamaning barcha shartlari yana tenglamaning bir tomoniga, qolgan radikal (hozir faqat bitta!) ikkinchisiga o'tkaziladi. Olingan tenglama yana kvadratga aylantiriladi va natijada radikallar bo'lmagan tenglama hosil bo'ladi.

Uchinchi va undan yuqori darajali radikallarni o'z ichiga olgan tenglamalar.

• Uchinchi darajali radikallarni o'z ichiga olgan tenglamalarni echishda quyidagi identifikatsiyalardan foydalanish foydali bo'lishi mumkin:

• Tenglamani yeching:

• Yechish: Keling, bu tenglamaning ikkala tomonini uchinchi darajaga ko'taramiz va yuqoridagi o'ziga xoslikdan foydalanamiz:

• E'tibor bering, qavs ichidagi ifoda 1 ga teng, bu esa dastlabki tenglamadan kelib chiqadi. Buni hisobga olgan holda va shunga o'xshash shartlarni keltirib, biz quyidagilarni olamiz:

• Qavslarni ochamiz, shunga o'xshash hadlarni qo'shamiz va kvadrat tenglamani yechamiz. Uning ildizlari x=5 va x=-25/2. Agar (ta'rif bo'yicha) manfiy sonlardan toq ildizlar ham chiqarilishi mumkin deb faraz qilsak, olingan ikkala son ham dastlabki tenglamaning yechimi hisoblanadi.

• Javob: 5.-25/2

Qanday qadriyatlarda A

• Qanday qadriyatlarda A tenglamaning ikkita ildizi bormi, ulardan biri 1 dan katta, ikkinchisi kichik?

• Yechish: Funktsiyani ko'rib chiqing:

• va uning grafigining eskizini tuzing. Da a=0 funktsiya chiziqli bo'ladi va o'q bilan ikkita kesishmaga ega Oh( tenglamaning ildizlari y=0) va chiday olmayman.

• Da a>0 Funktsiya grafigi parabola bo'lib, uning shoxlari yuqoriga yo'naltirilgan. Ildizlarning mavjudligi uchun zarur va etarli shart shundayki va bu holda yagona shart:

• Agar va shunga mos ravishda shart (rasm)

• Shunday qilib, muammoning yechimi to'plam tomonidan rasmiy ravishda berilgan:

• Javob:

• Tenglamalar tizimi ikki yoki undan ortiq algebraik tenglamalardan iborat.

• Tizimli yechim Bu o'zgaruvchan qiymatlar to'plami bo'lib, ular almashtirilganda tizimning har bir tenglamasini raqamli yoki harfiy identifikatsiyaga aylantiradi.

• Tizimni hal qilish - uning barcha yechimlarini topish yoki yo'qligini isbotlash demakdir.

Tizimlarning grafik yechimi

• Tenglamalar tizimini echishning grafik usuli quyidagicha:

• Tizimning har bir tenglamasining grafiklari tuziladi;

• Grafiklarning kesishish nuqtalari aniqlanadi;

• Javob yoziladi: tuzilgan grafiklarning kesishish nuqtalarining koordinatalari.

• Tenglamalar tizimini echishning grafik usuli ko'p hollarda tizimning aniq yechimini ta'minlamaydi, ammo u fikrlashni vizual ravishda ko'rsatish uchun foydali bo'lishi mumkin.

Yechim:

• Yechim: Birinchi va uchinchi tenglamalarning grafiklari to'g'ri; Ikkinchi tenglamaning grafigi kubik parabola (rasm). Uchta kesishgan nuqtadan faqat bittasi tizim tenglamalarining barcha grafiklari uchun umumiydir.

• Javob:(0;0)

Tenglamalarning ekvivalentligi

• Agar birinchi tenglamaning barcha ildizlari ikkinchi tenglamaning ildizlari va ikkinchi tenglamaning barcha ildizlari birinchisining ildizlari bo'lsa, tenglamalar ekvivalent (ekvivalent) deb ataladi.

• Tenglamaning ekvivalent o'zgarishlari ekvivalent tenglamaga olib keladigan o'zgarishlardir:

• 1) tenglamaning ikkala tomoniga bir vaqtning o'zida istalgan raqamni qo'shish (xususan, belgini o'zgartirish bilan tenglamaning bir qismidan boshqasiga atamalarni o'tkazish)

• 2) Tenglamaning ikkala tomonini bir vaqtning o'zida noldan boshqa istalgan raqamga ko'paytirish (va bo'lish).

• Shuningdek, haqiqiy sonlar sohasidagi tenglamalar uchun:

• 3) Tenglamaning ikkala tomonini istalgan toq darajaga ko'tarish orqali

• 4) Tenglamaning ikkala tomonini, agar ular manfiy bo'lmasa, har qanday hatto tabiiy kuchga ko'tarish

Yu.N.Makarychev – “Algebra. Maktab darsligi uchun qo'shimcha boblar. 8-sinf." 2003 yil

Yu.N.Makarychev – “Algebra. Maktab darsligi uchun qo'shimcha boblar. 9-sinf." 2003 yil

Taqdimotni tayyorlaydi:

• Shmanova Viktoriya

• Deeva Aleksandra

• 11-sinf

• "1-son umumiy o'rta ta'lim maktabi" shahar ta'lim muassasasi

• Shumixa

• 2007 yil

• Batafsil ma'lumot 83524521413 telefon orqali

• 1-sonli umumta’lim maktabi o‘qituvchilariga alohida rahmat:

• Teregulova Irina Viktorovna

• Shmanov Anatoliy Ivanovich

Maktab matematika kursida bola birinchi marta "tenglama" atamasini eshitadi. Bu nima, keling, buni birgalikda aniqlashga harakat qilaylik. Ushbu maqolada biz yechim turlari va usullarini ko'rib chiqamiz.

Matematika. Tenglamalar

Boshlash uchun biz kontseptsiyaning o'zini tushunishingizni taklif qilamiz, bu nima? Ko'pgina matematika darsliklarida aytilganidek, tenglama - bu tenglik belgisi bo'lishi kerak bo'lgan ba'zi ifodalar. Ushbu iboralar o'zgaruvchilar deb ataladigan harflarni o'z ichiga oladi, ularning qiymatini topish kerak.

Bu uning qiymatini o'zgartiradigan tizim atributidir. O'zgaruvchilarga yaxshi misol:

• havo harorati;
• bolaning balandligi;
• vazn va boshqalar.

Matematikada ular harflar bilan belgilanadi, masalan, x, a, b, c... Odatda matematik vazifa quyidagicha bo'ladi: tenglamaning qiymatini toping. Bu shuni anglatadiki, bu o'zgaruvchilarning qiymatini topish kerak.

Turlari

Tenglama (biz oldingi xatboshida nima ekanligini muhokama qildik) quyidagi shaklda bo'lishi mumkin:

• chiziqli;
• kvadrat;
• kub;
• algebraik;
• transsendental.

Barcha turlar bilan batafsilroq tanishish uchun biz har birini alohida ko'rib chiqamiz.

Chiziqli tenglama

Bu maktab o'quvchilari bilan tanishadigan birinchi tur. Ular juda tez va sodda tarzda hal qilinadi. Shunday qilib, chiziqli tenglama nima? Bu shaklning ifodasidir: ah=c. Bu ayniqsa aniq emas, shuning uchun bir nechta misollar keltiramiz: 2x=26; 5x=40; 1,2x=6.

Keling, tenglamalarga misollarni ko'rib chiqaylik. Buning uchun barcha ma'lum ma'lumotlarni bir tomonda, noma'lumlarini esa ikkinchi tomondan to'plashimiz kerak: x=26/2; x=40/5; x=6/1,2. Bu yerda matematikaning elementar qoidalaridan foydalanilgan: a*c=e, bundan c=e/a; a=e/c. Tenglamaning yechilishini yakunlash uchun biz bitta amalni bajaramiz (bizning holatimizda bo'linish) x = 13; x=8; x=5. Bular ko'paytirishga misollar edi, endi ayirish va qo'shishni ko'rib chiqamiz: x+3=9; 10x-5=15. Biz ma'lum ma'lumotlarni bir yo'nalishda o'tkazamiz: x=9-3; x=20/10. Oxirgi amalni bajaring: x=6; x=2.

Variantlar ham mumkin chiziqli tenglamalar, bu erda bir nechta o'zgaruvchilar ishlatiladi: 2x-2y=4. Yechish uchun har bir qismga 2y qo'shish kerak, biz 2x-2y + 2y = 4-2y ni olamiz, biz ta'kidlaganimizdek, chap tomoni-2y va +2y teng belgilari bekor qilinib, bizda: 2x=4-2y qoladi. Oxirgi qadam har bir qismni ikkiga bo'lishdir, biz javob olamiz: x ikki minus y ga teng.

Tenglamalar bilan bog'liq muammolar hatto Ahmes papiruslarida ham uchraydi. Bitta masala: son va uning to‘rtinchi qismi qo‘shilib 15 ga teng. Uni yechish uchun quyidagi tenglamani yozamiz: x plyus to‘rtdan bir x o‘n beshga teng. Yechim natijasiga asoslangan yana bir misolni ko'ramiz, javobni olamiz: x=12. Ammo bu muammoni boshqa yo'l bilan hal qilish mumkin, ya'ni misrlik yoki boshqacha deyilganidek, taxmin usuli. Papirus quyidagi yechimdan foydalanadi: uning to'rtdan to'rtinchi qismini, ya'ni bittasini oling. Hammasi bo'lib beshta beradilar, endi o'n beshni yig'indiga bo'lish kerak, biz uchta olamiz, oxirgi qadam uchni to'rtga ko'paytirishdir. Javobni olamiz: 12. Nima uchun eritmada o'n beshni beshga bo'lamiz? Shunday qilib, biz necha marta o'n besh, ya'ni olishimiz kerak bo'lgan natija beshdan kam ekanligini bilib olamiz. O'rta asrlarda muammolar shu tarzda hal qilindi, u yolg'on pozitsiya usuli sifatida tanildi.

Kvadrat tenglamalar

Yuqorida muhokama qilingan misollardan tashqari, boshqalar ham bor. Aynan qanday? Kvadrat tenglama, bu nima? Ular ax 2 +bx+c=0 ga o'xshaydi. Ularni hal qilish uchun siz ba'zi tushunchalar va qoidalar bilan tanishishingiz kerak.

Birinchidan, quyidagi formula yordamida diskriminantni topishingiz kerak: b 2 -4ac. Qarorning uchta mumkin bo'lgan natijasi mavjud:

• diskriminant noldan katta;
• noldan kam;
• nolga teng.

Birinchi variantda javobni quyidagi formula bo'yicha topilgan ikkita ildizdan olishimiz mumkin: -b+-diskriminantning ildizi ikki barobar birinchi koeffitsientga, ya'ni 2a ga bo'linadi.

Ikkinchi holda, tenglamaning ildizlari yo'q. Uchinchi holatda, ildiz quyidagi formula yordamida topiladi: -b/2a.

Batafsilroq kirish uchun kvadrat tenglama misolini ko'rib chiqamiz: uch x kvadrat minus o'n to'rt x minus besh nolga teng. Boshlash uchun, avval yozilganidek, biz diskriminantni qidirmoqdamiz, bizning holatlarimizda u 256 ga teng. E'tibor bering, natijada olingan raqam noldan katta, shuning uchun biz ikkita ildizdan iborat javobni olishimiz kerak. Olingan diskriminantni ildizlarni topish formulasiga almashtiramiz. Natijada, bizda: x teng besh va minus uchdan bir.

Kvadrat tenglamalarda maxsus holatlar

Bu ba'zi qiymatlar nolga (a, b yoki c) va, ehtimol, birdan ortiq bo'lgan misollardir.

Masalan, kvadrat bo'lgan quyidagi tenglamani olaylik: ikkita x kvadrat nolga teng, bu erda biz b va c nolga teng ekanligini ko'ramiz. Keling, uni hal qilishga harakat qilaylik, buning uchun tenglamaning ikkala tomonini ikkiga bo'lamiz, bizda: x 2 =0. Natijada biz x=0 ni olamiz.

Boshqa holat 16x 2 -9=0. Bu erda faqat b = 0. Keling, tenglamani hal qilaylik, erkin koeffitsientni o'ng tomonga o'tkazamiz: 16x 2 = 9, endi har bir qismni o'n oltiga bo'lamiz: x 2 = o'n oltidan to'qqiz. Bizda x kvadrat bo'lganligi sababli, 9/16 ning ildizi salbiy yoki ijobiy bo'lishi mumkin. Javobni quyidagicha yozamiz: x teng plyus/minus to'rtdan uch.

Yana bir mumkin bo'lgan javob shundaki, tenglamaning ildizlari yo'q. Keling, bu misolni ko'rib chiqaylik: 5x 2 +80=0, bu erda b=0. Yechish uchun bepul a'zoni kiriting o'ng tomon, bu harakatlardan keyin biz olamiz: 5x 2 = -80, endi biz har bir qismni beshga ajratamiz: x 2 = minus o'n olti. Har qanday raqamni kvadratga aylantirsak, biz manfiy qiymatni olmaymiz. Shuning uchun bizning javobimiz: tenglamaning ildizlari yo'q.

Trinomial kengayish

Kvadrat tenglamalar bo'yicha topshiriq ham shunday eshitilishi mumkin: kengaytirish kvadratik trinomial multiplikatorlar orqali. Buni quyidagi formula yordamida amalga oshirish mumkin: a(x-x 1)(x-x 2). Buning uchun vazifaning boshqa versiyasida bo'lgani kabi, diskriminantni topish kerak.

Quyidagi misolni ko'rib chiqing: 3x 2 -14x-5, trinomialni ko'paytiring. Biz diskriminantni bizga allaqachon ma'lum bo'lgan formuladan foydalanib topamiz, u 256 ga teng bo'lib chiqadi. Biz darhol 256 noldan katta ekanligini ta'kidlaymiz, shuning uchun tenglama ikkita ildizga ega bo'ladi. Biz ularni oldingi xatboshidagi kabi topamiz: x = besh va minus uchdan bir. Uch a’zoni koeffitsientlarga ajratish formulasidan foydalanamiz: 3(x-5)(x+1/3). Ikkinchi qavsda biz teng belgini oldik, chunki formulada minus belgisi mavjud va ildiz ham manfiy bo'lib, matematikaning asosiy bilimlaridan foydalangan holda, yig'indida bizda ortiqcha belgi bor. Soddalashtirish uchun kasrdan qutulish uchun tenglamaning birinchi va uchinchi hadlarini ko'paytiramiz: (x-5)(x+1).

Kvadratga kamaytiruvchi tenglamalar

Ushbu bo'limda biz murakkabroq tenglamalarni qanday echishni o'rganamiz. Keling, darhol misol bilan boshlaylik:

(x 2 - 2x) 2 - 2(x 2 - 2x) - 3 = 0. Biz takrorlanuvchi elementlarni ko'rishimiz mumkin: (x 2 - 2x), uni hal qilish uchun uni boshqa o'zgaruvchiga almashtirishimiz qulay va keyin odatiy kvadrat tenglamani darhol hal qiling Biz shuni ta'kidlaymizki, bunday vazifada biz to'rtta ildiz olamiz, bu sizni qo'rqitmasligi kerak. a o‘zgaruvchining takrorlanishini belgilaymiz. Biz olamiz: a 2 -2a-3=0. Bizning Keyingi qadam yangi tenglamaning diskriminantini topmoqda. Biz 16 ni olamiz, ikkita ildizni topamiz: minus bir va uchta. Biz almashtirishni amalga oshirganimizni eslaymiz, bu qiymatlarni almashtiramiz, natijada biz tenglamalarga ega bo'lamiz: x 2 - 2x=-1; x 2 - 2x=3. Biz ularni birinchi javobda hal qilamiz: x birga teng, ikkinchisida: x minus bir va uchtaga teng. Javobni quyidagicha yozamiz: ortiqcha/minus bir va uchta. Qoidaga ko'ra, javob o'sish tartibida yoziladi.

Kubik tenglamalar

Keling, yana bir narsani ko'rib chiqaylik mumkin bo'lgan variant. Bu haqida kub tenglamalar haqida. Ular quyidagicha ko'rinadi: ax 3 + b x 2 + cx + d =0. Quyida biz tenglamalar misollarini ko'rib chiqamiz, lekin birinchi navbatda, bir oz nazariya. Ular uchta ildizga ega bo'lishi mumkin va kub tenglama uchun diskriminantni topish formulasi ham mavjud.

Misolni ko'rib chiqamiz: 3x 3 +4x 2 +2x=0. Uni qanday hal qilish kerak? Buning uchun qavs ichidan x ni chiqarish kifoya: x(3x 2 +4x+2)=0. Biz qilishimiz kerak bo'lgan yagona narsa - tenglamaning ildizlarini qavs ichida hisoblash. Qavs ichidagi kvadrat tenglamaning diskriminanti noldan kichik, shunga asoslanib, ifoda ildizga ega: x=0.

Algebra. Tenglamalar

Keling, keyingi ko'rinishga o'tamiz. Endi biz qisqacha ko'rib chiqamiz algebraik tenglamalar. Vazifalardan biri quyidagicha: omil 3x 4 +2x 3 +8x 2 +2x+5. Eng qulay usul quyidagi guruhlash bo'ladi: (3x 4 +3x 2)+(2x 3 +2x)+(5x 2 +5). E'tibor bering, biz birinchi ifodadan 8x 2 ni 3x 2 va 5x 2 yig'indisi sifatida ifodaladik. Endi biz har bir qavsdan 3x 2 (x2 + 1) + 2x (x 2 +1) + 5 (x 2 +1) umumiy koeffitsientini chiqaramiz. Bizda umumiy koeffitsient borligini ko'ramiz: x kvadrat plyus bir, biz uni qavs ichidan chiqaramiz: (x 2 +1)(3x 2 +2x+5). Keyinchalik kengaytirish mumkin emas, chunki ikkala tenglama ham salbiy diskriminantga ega.

Transsendental tenglamalar

Quyidagi tur bilan shug'ullanishingizni tavsiya qilamiz. Bular logarifmik, trigonometrik yoki eksponensial kabi transsendental funktsiyalarni o'z ichiga olgan tenglamalardir. Misollar: 6sin 2 x+tgx-1=0, x+5lgx=3 va hokazo. Ular qanday yechilishini trigonometriya kursida bilib olasiz.

Funktsiya

Yakuniy bosqich - funksiya tenglamasi tushunchasini ko'rib chiqish. Oldingi variantlardan farqli o'laroq, bu tur hal etilmaydi, lekin uning asosida grafik tuziladi. Buning uchun tenglamani yaxshilab tahlil qilish, qurilish uchun barcha kerakli nuqtalarni topish va minimal va maksimal nuqtalarni hisoblash kerak.