Keyin a + b = b + a, a+(b + c) = (a + b) + c.
Nol qo'shilganda raqam o'zgarmaydi, lekin qarama-qarshi sonlar yig'indisi nolga teng.
Bu shuni anglatadiki, har qanday ratsional son uchun bizda: a + 0 = a, a + (- a) = 0.
Ratsional sonlarni ko'paytirish ham kommutativ va assotsiativ xususiyatlarga ega. Boshqacha qilib aytganda, a, b va c har qanday ratsional sonlar bo'lsa, ab - ba, a(bc) - (ab)c.
1 ga ko'paytirish ratsional sonni o'zgartirmaydi, lekin son va uning teskari ko'paytmasi 1 ga teng.
Bu shuni anglatadiki, har qanday ratsional a soni uchun bizda:
a) x + 8 - x - 22; c) a-m + 7-8+m;
b) -x-a + 12+a -12; d) 6,1 -k + 2,8 + p - 8,8 + k - p.
1190. Qulay hisoblash tartibini tanlab, ifodaning qiymatini toping:
1191. Ab = ba ko'paytirishning almashinish xususiyatini so'z bilan tuzing va uni quyidagi hollarda tekshiring:
1192. a(bc)=(ab)c ko‘paytirishning assotsiativ xususiyatini so‘z bilan tuzing va quyidagi hollarda tekshiring:
1193. Qulay hisoblash tartibini tanlab, ifoda qiymatini toping:
1194. Agar ko‘paytirsangiz, qanday raqam (ijobiy yoki manfiy) bo‘ladi?
a) bitta manfiy son va ikkita musbat son;
b) ikkita manfiy va bitta musbat son;
v) 7 ta manfiy va bir necha musbat sonlar;
d) 20 ta salbiy va bir nechta ijobiy? Xulosa chiqaring.
1195. Tovar belgisini aniqlang:
a) - 2 (- 3) (- 9) (-1,3) 14 (- 2,7) (- 2,9);
b) 4 (-11) (-12) (-13) (-15) (-17) 80 90.
a) B sportzal Vitya, Kolya, Petya, Seryozha va Maksim yig'ildi (91-rasm, a). Ma'lum bo'lishicha, bolalarning har biri faqat ikkitasini bilishadi. Kim kim biladi? (Grafikning cheti "biz bir-birimizni bilamiz" degan ma'noni anglatadi.)
b) Hovlida bir oilaning aka-uka va opa-singillari sayr qilishmoqda. Bu bolalarning qaysi biri o'g'il, qaysi biri qiz (91-rasm, b)? (Grafikning nuqtali qirralari "men singlim" degan ma'noni anglatadi va qattiq tomonlari "men ukaman" degan ma'noni anglatadi.)
1205. Hisoblang:
1206. Taqqoslang:
a) 2 3 va 3 2; b) (-2) 3 va (-3) 2; c) 1 3 va 1 2; d) (-1) 3 va (-1) 2.
1207. 5,2853 dan mingdan birgacha; oldin yuzdan bir qismi; o'ndan biriga qadar; birliklarga qadar.
1208. Masalani yeching:
1) Mototsiklchi velosipedchini quvib yetadi. Hozir ular orasida 23,4 km. Mototsiklchining tezligi velosipedchining tezligidan 3,6 baravar ko'p. Velosipedchi va mototsiklchining tezligini toping, agar mototsiklchi bir soat ichida velosipedchiga yetib olishi ma'lum bo'lsa.
2) Avtobusga mashina yetib keladi. Hozir ular orasida 18 km. Avtobus tezligi yengil avtomobilniki bilan bir xil. Avtobus va avtomobilning tezligini toping, agar mashina bir soat ichida avtobusga yetib olishi ma'lum bo'lsa.
1209. Ifodaning ma’nosini toping:
1) (0,7245:0,23 - 2,45) 0,18 + 0,07 4;
2) (0,8925:0,17 - 4,65) 0,17+0,098;
3) (-2,8 + 3,7 -4,8) 1,5:0,9;
4) (5,7-6,6-1,9) 2,1:(-0,49).
bilan hisob-kitoblaringizni tekshiring mikro kalkulyator.
1210. Qulay hisoblash tartibini tanlab, ifodaning qiymatini toping: 
1211. Ifodani soddalashtiring:
1212. Ifodaning ma'nosini toping:
1213. Quyidagi amallarni bajaring:
1214. Talabalarga 2,5 tonna metallolom yig‘ish topshirildi. Ular 3,2 tonna metallolom yig‘ishdi. Talabalar topshiriqni necha foizga bajardilar va topshiriqni necha foizga oshirdilar?
1215. Mashina 240 km yurdi. Ulardan 180 km u qishloq yo'li bo'ylab, qolgan yo'lni esa katta yo'l bo'ylab yurdi. Mamlakat yo'lining har 10 km ga benzin iste'moli 1,6 litrni, magistralda esa 25 foizga kam edi. Har 10 km yo‘lga o‘rtacha necha litr benzin sarflangan?
1216. Velosipedchi qishloqdan chiqib ketayotib, ko'prikda o'sha yo'nalishda ketayotgan piyodani payqab qoldi va 12 daqiqadan so'ng unga yetib oldi. Velosipedchining tezligi 15 km/soat, qishloqdan ko‘prikgacha bo‘lgan masofa 1 km 800 m bo‘lsa, piyodaning tezligini toping?
1217. Quyidagi amallarni bajaring:
a) - 4,8 3,7 - 2,9 8,7 - 2,6 5,3 + 6,2 1,9;
b) -14,31:5,3 - 27,81:2,7 + 2,565:3,42+4,1 0,8;
c) 3,5 0,23 - 3,5 (- 0,64) + 0,87 (- 2,5).
Ma'lumki, odamlar asta-sekin ratsional sonlar bilan tanishdilar. Dastlab, ob'ektlarni hisoblashda natural sonlar paydo bo'ldi. Avvaliga ular kam edi. Shunday qilib, yaqin vaqtgacha Torres bo'g'ozidagi (Yangi Gvineyani Avstraliyadan ajratib turadigan) orollarning tub aholisi o'z tillarida faqat ikkita raqamning nomiga ega edi: "urapun" (bir) va "okaz" (ikkita). Orolliklar shunday sanashdi: “Okaza-urapun” (uch), “Okaza-Okaza” (to'rt) va hokazo. Mahalliy aholi yettidan boshlab barcha raqamlarni “ko'p” degan so'z bilan atashgan.
Olimlarning fikriga ko'ra, yuzlab so'zi 7000 yil oldin, minglab - 6000 yil va 5000 yil oldin paydo bo'lgan. Qadimgi Misr va ichida Qadimgi Bobil ismlar katta raqamlar uchun paydo bo'ladi - milliongacha. Ammo uzoq vaqt davomida raqamlarning tabiiy qatori cheklangan deb hisoblangan: odamlar eng katta son bor deb o'ylashgan.
Eng buyuk qadimgi yunon matematigi va fizigi Arximed (miloddan avvalgi 287-212) ulkan raqamlarni tasvirlash usulini o'ylab topdi. Arximed nomlashi mumkin bo'lgan eng katta raqam uning uchun juda katta edi raqamli yozib olish Yerdan Quyoshgacha bo'lgan masofadan ikki ming marta uzunroq lenta kerak bo'ladi.
Ammo ular hali bunchalik katta raqamlarni yoza olmagan edilar. Bu faqat VI asrdagi hind matematiklaridan keyin mumkin bo'ldi. Nol raqami ixtiro qilindi va sonning o'nli kasrlarida birliklar yo'qligini bildira boshladi.
O'ljalarni bo'lishda va keyinchalik qiymatlarni o'lchashda va shunga o'xshash boshqa holatlarda odamlar "buzilgan raqamlar" ni kiritish zarurligiga duch kelishdi - oddiy kasrlar. O'rta asrlarda kasrlar bo'yicha operatsiyalar eng ko'p hisoblangan murakkab hudud matematika. Bugungi kunga qadar nemislar qiyin vaziyatga tushib qolgan odam haqida "zarralarga tushib qolgan" deb aytishadi.
Kasrlar bilan ishlashni osonlashtirish uchun o'nli kasrlar ixtiro qilindi kasrlar. Evropada ular X585 yilda gollandiyalik matematik va muhandis Simon Stevin tomonidan kiritilgan.
Salbiy raqamlar kasrlarga qaraganda kechroq paydo bo'ldi. Uzoq vaqt Bunday raqamlar "mavjud emas", "noto'g'ri" deb hisoblangan, birinchi navbatda, ijobiy va manfiy raqamlar"Mulk - qarz" chalkashlikka olib keldi: siz "mulk" yoki "qarz" ni qo'shishingiz yoki ayirishingiz mumkin, ammo "mulk" va "qarz" mahsuloti yoki qismini qanday tushunish mumkin?
Biroq, bunday shubha va chalkashliklarga qaramay, 3-asrda ijobiy va salbiy sonlarni ko'paytirish va bo'lish qoidalari taklif qilingan. yunon matematigi Diofant (shaklda: "ayirilsa, qo'shilgan narsaga ko'paytirilsa, ayirilsa, ayirilsa, ayiriladi; ayirilsa, qo'shiladi va hokazo) va keyinchalik hind matematigi Bxaskar (XII asr) bir xil qoidalarni «mulk», «qarz» tushunchalarida ifodalagan («Ikki mulk yoki ikkita qarzning mahsuloti mulkdir; mulk va qarzning mahsuloti qarzdir.» Xuddi shu qoida bo'linish uchun ham qo'llaniladi).
Manfiy sonlar ustidagi amallarning xossalari musbat sonlar bilan bir xil ekanligi aniqlandi (masalan, qo‘shish va ko‘paytirish kommutativ xususiyatga ega). Va nihoyat, o'tgan asrning boshidan beri salbiy raqamlar ijobiy raqamlarga tenglashdi.
Keyinchalik matematikada yangi raqamlar paydo bo'ldi - irratsional, murakkab va boshqalar. Siz ular haqida o'rta maktabda o'rganasiz.
N.Ya.Vilenkin, A.S. Chesnokov, S.I. Shvartsburd, V.I.Joxov, 6-sinf uchun matematika, o'rta maktab uchun darslik
6-sinf matematika uchun kalendar rejasi bo'yicha kitoblar va darsliklar yuklab olish, maktab o'quvchilari uchun yordam onlayn
Raqamlar tushunchasi ob'ektni miqdoriy nuqtai nazardan tavsiflovchi abstraktsiyalarni anglatadi. Hatto ibtidoiy jamiyatda ham odamlar ob'ektlarni hisoblash zarurati bor edi, shuning uchun raqamli belgilar paydo bo'ldi. Keyinchalik ular fan sifatida matematikaning asosiga aylandi.
Matematik tushunchalar bilan ishlash uchun, birinchi navbatda, qanday raqamlar borligini tasavvur qilish kerak. Raqamlarning bir nechta asosiy turlari mavjud. Bu:
1. Natural - biz ob'ektlarni raqamlashda oladiganlar (ularning tabiiy hisobi). Ularning to'plami N bilan belgilanadi.
2. Butun sonlar (ularning to'plami Z harfi bilan belgilanadi). Bunga natural sonlar, ularning qarama-qarshiliklari, manfiy butun sonlar va nol kiradi.
3. Ratsional sonlar (Q harfi). Bu kasr sifatida ifodalanishi mumkin bo'lganlar, ularning soni butun songa, maxraji esa natural songa teng. Hammasi yaxlit va ratsional deb tasniflanadi.
4. Haqiqiy (ular R harfi bilan belgilanadi). Ularga ratsional va irratsional sonlar kiradi. Ratsional sonlardan olingan sonlar turli operatsiyalar(logarifmni hisoblash, ildizni olish) o'zlari mantiqiy emas.
Shunday qilib, sanab o'tilgan to'plamlarning har biri quyidagi to'plamlarning kichik to'plamidir. Ushbu tezis deb ataladigan shakldagi diagramma bilan tasvirlangan. Eyler doiralari. Dizayn bir nechta konsentrik ovallardan iborat bo'lib, ularning har biri bir-birining ichida joylashgan. Ichki, eng kichik oval (maydon) to'plamni bildiradi natural sonlar. U to'liq qamrab olingan va butun sonlar to'plamini ifodalovchi mintaqani o'z ichiga oladi, bu esa o'z navbatida ratsional sonlar mintaqasida joylashgan. Boshqa barchalarini o'z ichiga olgan tashqi, eng katta oval massivni bildiradi
Ushbu maqolada biz ratsional sonlar to'plamini, ularning xususiyatlari va xususiyatlarini ko'rib chiqamiz. Yuqorida aytib o'tilganidek, barcha mavjud raqamlar (musbat, salbiy va nol) ularga tegishli. Ratsional sonlar quyidagi xususiyatlarga ega cheksiz qator hosil qiladi:
Bu to'plam tartiblangan, ya'ni ushbu seriyadan istalgan juft raqamlarni olib, biz har doim qaysi biri kattaroq ekanligini bilib olamiz;
Bunday raqamlarning har qanday juftligini olsak, biz har doim ularning orasiga kamida bittasini va demak, ularning butun qatorini joylashtirishimiz mumkin - demak, ratsional sonlar cheksiz qatorni ifodalaydi;
Bunday raqamlar bo'yicha barcha to'rtta arifmetik amallar mumkin, ularning natijasi har doim ma'lum bir raqam (shuningdek, oqilona); istisno 0 (nol) ga bo'linish - bu mumkin emas;
Har qanday ratsional sonlarni o'nli kasrlar sifatida ifodalash mumkin. Bu kasrlar chekli yoki cheksiz davriy bo'lishi mumkin.
Ratsional to'plamga tegishli ikkita raqamni solishtirish uchun siz eslab qolishingiz kerak:
Noldan katta har qanday ijobiy raqam;
Har qanday manfiy raqam har doim noldan kichikdir;
Ikki manfiy ratsional sonni solishtirganda mutlaq qiymati (modul) kichikroq bo'lgan raqam kattaroq bo'ladi.
Ratsional sonlar bilan amallar qanday bajariladi?
Bir xil belgiga ega bo'lgan ikkita raqamni qo'shish uchun siz ularning mutlaq qiymatlarini qo'shishingiz va ularni yig'indining oldiga qo'yishingiz kerak. umumiy belgi. Raqamlarni qo'shish uchun turli belgilar kattaroq qiymatdan kichigini ayirib, mutlaq qiymati katta bo'lganning belgisini qo'yish kerak.
Bitta ratsional sonni boshqasidan ayirish uchun birinchi raqamga ikkinchisining aksini qo'shish kifoya. Ikki raqamni ko'paytirish uchun ularning qiymatlarini ko'paytirish kerak mutlaq qiymatlar. Olingan natija, agar omillar bir xil belgiga ega bo'lsa, ijobiy bo'ladi, agar ular boshqacha bo'lsa, salbiy bo'ladi.
Bo'lish xuddi shunday tarzda amalga oshiriladi, ya'ni mutlaq qiymatlar qismi topiladi va natijadan oldin dividend va bo'luvchining belgilari mos kelsa, "+" belgisi va agar bo'lsa, "-" belgisi qo'yiladi. ular mos kelmaydi.
Ratsional sonlarning vakolatlari bir-biriga teng bo'lgan bir nechta omillarning mahsulotiga o'xshaydi.
Ushbu maqolada umumiy ko'rinish berilgan ratsional sonlar bilan amallar xossalari. Birinchidan, boshqa barcha mulklar asoslangan asosiy xususiyatlar e'lon qilinadi. Shundan so'ng, ratsional sonlar bilan operatsiyalarning boshqa tez-tez ishlatiladigan xususiyatlari berilgan.
Sahifani navigatsiya qilish.
Keling, ro'yxat qilaylik ratsional sonlar bilan amallarning asosiy xossalari(a, b va c ixtiyoriy ratsional sonlar):
- a+b=b+a qo‘shishning almashinish xossasi.
- Qo'shishning birikma xossasi (a+b)+c=a+(b+c) .
- Qo'shish orqali neytral elementning mavjudligi - nolga teng, uni istalgan son bilan qo'shish bu raqamni o'zgartirmaydi, ya'ni a+0=a.
- Har bir ratsional son uchun a+(−a)=0 bo‘ladigan qarama-qarshi −a soni mavjud.
- Ratsional sonlarni a·b=b·a ko‘paytirishning almashinish xossasi.
- Ko'paytirishning birikma xossasi (a·b)·c=a·(b·c) .
- Ko'paytirish uchun neytral elementning mavjudligi birlik bo'lib, har qanday raqam bu raqamni o'zgartirmaydi, ya'ni a · 1=a.
- Har bir nolga teng bo'lmagan ratsional son uchun a −1 teskari son mavjud bo'lib, a·a -1 =1 bo'ladi.
- Nihoyat, ratsional sonlarni qo‘shish va ko‘paytirish ko‘paytirishning qo‘shishga nisbatan taqsimlanish xususiyati bilan bog‘liq: a·(b+c)=a·b+a·c.
Ratsional sonlar bilan amallarning sanab o'tilgan xossalari asosiy hisoblanadi, chunki boshqa barcha xossalarni ulardan olish mumkin.
Boshqa muhim xususiyatlar
Ratsional sonlar bilan operatsiyalarning to'qqizta sanab o'tilgan asosiy xususiyatlaridan tashqari, juda keng qo'llaniladigan bir qator xususiyatlar mavjud. Keling, ularga beraylik qisqa sharh.
As harflari yordamida yozilgan xususiyatdan boshlaylik a·(−b)=−(a·b) yoki ko'paytirishning almashinish xususiyati tufayli (−a) b=−(a b). Turli xil belgilar bilan ratsional sonlarni ko'paytirish qoidasi to'g'ridan-to'g'ri ushbu xususiyatdan kelib chiqadi, uning isboti ham ushbu maqolada keltirilgan. Bu xususiyat "ortiqcha ko'paytirilsa minus minus, minus ortiqcha bilan ko'paytirilsa minus" qoidasini tushuntiradi.
Bu erda quyidagi mulk mavjud: (−a)·(−b)=a·b. Bu manfiy ratsional sonlarni ko'paytirish qoidasini nazarda tutadi, ushbu maqolada siz yuqoridagi tenglikning isbotini topasiz. Bu xususiyat "minus marta minus ortiqcha" ko'paytirish qoidasiga mos keladi.
Shubhasiz, ixtiyoriy a ratsional sonini nolga ko'paytirishga e'tibor qaratish lozim: a·0=0 yoki 0 a=0. Keling, bu xususiyatni isbotlaylik. Biz bilamizki, har qanday ratsional d uchun 0=d+(−d), keyin a·0=a·(d+(−d)) . Tarqatish xususiyati natijaviy ifodani a·d+a·(−d) ko‘rinishida qayta yozishga imkon beradi va a·(−d)=−(a·d) bo‘lgani uchun, u holda a·d+a·(−d)=a·d+(-(a·d)). Shunday qilib, biz a·d va -(ad·d ga teng bo'lgan ikkita qarama-qarshi sonning yig'indisiga keldik, ularning yig'indisi nolni beradi, bu a·0=0 tengligini isbotlaydi.
Yuqorida biz faqat qo‘shish va ko‘paytirishning xossalarini sanab o‘tganimizni, ayirish va bo‘lishning xossalari haqida bir og‘iz so‘z aytilmaganini payqash oson. Buning sababi shundaki, ratsional sonlar to'plamida ayirish va bo'lish amallari mos ravishda qo'shish va ko'paytirishning teskarisi sifatida ko'rsatilgan. Ya’ni, a−b ayirmasi a+(−b) yig‘indisi, a:b ko‘paytmasi a·b−1 (b≠0) bo‘ladi.
Ayirish va bo'lishning ushbu ta'riflarini, shuningdek, qo'shish va ko'paytirishning asosiy xususiyatlarini hisobga olgan holda, siz ratsional sonlar bilan amallarning har qanday xususiyatlarini isbotlashingiz mumkin.
Misol tariqasida ayirishga nisbatan ko‘paytirishning taqsimlanish xususiyatini isbotlaylik: a·(b−c)=a·b−a·c. Quyidagi tenglik zanjiri bajariladi: a·(b−c)=a·(b+(−c))= a·b+a·(−c)=a·b+(−(a·c))=a·b−a·c, bu dalildir.
cleverstudent tomonidan mualliflik huquqi
Barcha huquqlar himoyalangan.
Mualliflik huquqi qonuni bilan himoyalangan. Www.saytning hech qanday qismi, shu jumladan ichki materiallar va tashqi dizayn, mualliflik huquqi egasining yozma ruxsatisiz hech qanday shaklda ko'paytirilishi yoki ishlatilishi mumkin emas.
Ushbu dars ratsional sonlarni qo'shish va ayirishni o'z ichiga oladi. Mavzu murakkab deb tasniflanadi. Bu erda ilgari olingan bilimlarning butun arsenalidan foydalanish kerak.
Butun sonlarni qo‘shish va ayirish qoidalari ratsional sonlarga ham tegishli. Eslatib o'tamiz, ratsional sonlar kasr sifatida ifodalanishi mumkin bo'lgan sonlardir, bu erda a - bu kasrning soni, b kasrning maxrajidir. Bunda, b nolga teng bo'lmasligi kerak.
Ushbu darsda biz tobora ko'proq kasrlar va aralash raqamlarni bitta umumiy ibora bilan chaqiramiz - ratsional sonlar.
Dars navigatsiyasi:1-misol. Ifodaning ma'nosini toping:
Har bir ratsional sonni belgilari bilan birga qavs ichiga kiritamiz. Biz ifodada berilgan plyus amal belgisi ekanligini va kasrga taalluqli emasligini hisobga olamiz. Bu kasrning o'ziga xos plyus belgisi bor, u yozilmaganligi sababli ko'rinmaydi. Ammo biz buni aniqlik uchun yozamiz:
Bu turli xil belgilarga ega ratsional sonlarni qo'shishdir. Turli xil belgilarga ega ratsional sonlarni qo'shish uchun kattaroq moduldan kichikroq modulni ayirish kerak va natijada olingan javobdan oldin moduli kattaroq bo'lgan ratsional sonning belgisini qo'yish kerak. Va qaysi modul kattaroq va qaysi biri kichikroq ekanligini tushunish uchun ularni hisoblashdan oldin ushbu fraktsiyalarning modullarini solishtirish kerak:
Ratsional sonning moduli ratsional sonning modulidan katta. Shuning uchun biz dan ayirdik. Javob oldik. Keyin bu kasrni 2 ga kamaytirib, yakuniy javobni oldik.
Raqamlarni qavs ichiga qo'yish va modul qo'shish kabi ba'zi ibtidoiy amallarni o'tkazib yuborish mumkin. Ushbu misolni qisqacha yozish mumkin:
2-misol. Ifodaning ma'nosini toping:
Har bir ratsional sonni belgilari bilan birga qavs ichiga kiritamiz. Biz ratsional sonlar orasidagi minus turish amalning belgisi ekanligini va kasrga taalluqli emasligini hisobga olamiz. Bu kasrning o'ziga xos plyus belgisi bor, u yozilmaganligi sababli ko'rinmaydi. Ammo biz buni aniqlik uchun yozamiz:
Ayirishni qo‘shish bilan almashtiramiz. Sizga shuni eslatib o'tamizki, buning uchun siz minuendga pastki qismga qarama-qarshi sonni qo'shishingiz kerak:
Biz manfiy ratsional sonlarni qo'shishni oldik. Salbiy ratsional sonlarni qo'shish uchun siz ularning modullarini qo'shishingiz va natijada olingan javob oldiga minus qo'yishingiz kerak:
Eslatma. Har bir ratsional sonni qavs ichiga olish shart emas. Bu ratsional sonlarning qaysi belgilariga ega ekanligini aniq ko'rish uchun qulaylik uchun qilingan.
3-misol. Ifodaning ma'nosini toping:
Bu ifodada kasrlar turli xil maxrajlarga ega. Vazifamizni osonlashtirish uchun bu kasrlarni umumiy maxrajga keltiramiz. Buni qanday qilish haqida batafsil to'xtalmaymiz. Agar qiyinchiliklarga duch kelsangiz, darsni takrorlashni unutmang.
Kasrlarni umumiy maxrajga keltirgandan so'ng, ifoda quyidagi shaklni oladi:
Bu turli xil belgilarga ega ratsional sonlarni qo'shishdir. Biz kichikroq modulni kattaroq moduldan ayirib tashlaymiz va natijada olingan javobdan oldin moduli kattaroq bo'lgan ratsional sonning belgisini qo'yamiz:
Keling, ushbu misolning yechimini qisqacha yozamiz:
4-misol. Ifodaning qiymatini toping
Keling, ushbu ifodani quyidagicha hisoblaymiz: ratsional sonlarni qo'shing va natijada olingan natijadan ratsional sonni ayiring. 
Birinchi harakat:
Ikkinchi harakat:
5-misol. Ifodaning ma'nosini toping:
−1 butun sonni kasr sifatida ifodalaymiz va aralash sonni noto‘g‘ri kasrga aylantiramiz:
Har bir ratsional sonni belgilari bilan birga qavs ichiga kiritamiz:
Biz har xil belgilarga ega ratsional sonlarni qo'shishni oldik. Biz kichikroq modulni kattaroq moduldan ayirib tashlaymiz va natijada olingan javobdan oldin moduli kattaroq bo'lgan ratsional sonning belgisini qo'yamiz:
Javob oldik.
Ikkinchi yechim bor. Bu butun qismlarni alohida-alohida birlashtirishdan iborat.
Shunday qilib, keling, asl iboraga qaytaylik:
Keling, har bir raqamni qavs ichiga olamiz. Buning uchun aralash raqam vaqtinchalik:
Butun qismlarni hisoblaymiz:
(−1) + (+2) = 1
Asosiy ifodada (−1) + (+2) o‘rniga, hosil bo‘lgan birlikni yozamiz:
Olingan ifoda . Buning uchun birlik va kasrni birga yozing:
Keling, yechimni qisqaroq qilib shunday yozamiz:
6-misol. Ifodaning qiymatini toping
Aralash sonni noto'g'ri kasrga aylantiramiz. Qolganlarini o'zgartirmasdan qayta yozamiz:
Har bir ratsional sonni belgilari bilan birga qavs ichiga kiritamiz:
Ayirishni qo‘shish bilan almashtiramiz:
Keling, ushbu misolning yechimini qisqacha yozamiz:
7-misol. Ifodaning qiymatini toping
−5 butun sonni kasr sifatida ifodalaymiz va aralash sonni noto‘g‘ri kasrga aylantiramiz:
Keling, bu kasrlarni umumiy maxrajga keltiramiz. Ular umumiy maxrajga keltirilgach, ular quyidagi shaklni oladi:
Har bir ratsional sonni belgilari bilan birga qavs ichiga kiritamiz:
Ayirishni qo‘shish bilan almashtiramiz:
Biz manfiy ratsional sonlarni qo'shishni oldik. Keling, ushbu raqamlarning modullarini qo'shamiz va natijada olingan javob oldiga minus qo'yamiz:
Shunday qilib, ifodaning qiymati .
Keling, ushbu misolni ikkinchi usulda hal qilaylik. Keling, asl iboraga qaytaylik:
Aralash sonni kengaytirilgan shaklda yozamiz. Qolganlarini o'zgarishsiz qayta yozamiz:
Biz har bir ratsional sonni belgilari bilan birga qavs ichiga olamiz:
Butun qismlarni hisoblaymiz:
Asosiy ifodada, natijada -7 raqamini yozish o'rniga
Ifoda aralash sonni yozishning kengaytirilgan shaklidir. Yakuniy javobni hosil qilish uchun −7 raqami va kasrni birga yozamiz:
Keling, ushbu yechimni qisqacha yozamiz:
8-misol. Ifodaning qiymatini toping
Biz har bir ratsional sonni belgilari bilan birga qavs ichiga olamiz:
Ayirishni qo‘shish bilan almashtiramiz:
Biz manfiy ratsional sonlarni qo'shishni oldik. Keling, ushbu raqamlarning modullarini qo'shamiz va natijada olingan javob oldiga minus qo'yamiz:
Demak, ifodaning qiymati
Ushbu misolni ikkinchi usulda hal qilish mumkin. Bu butun va kasr qismlarni alohida qo'shishdan iborat. Keling, asl iboraga qaytaylik:
Har bir ratsional sonni belgilari bilan birga qavs ichiga kiritamiz:
Ayirishni qo‘shish bilan almashtiramiz:
Biz manfiy ratsional sonlarni qo'shishni oldik. Keling, ushbu raqamlarning modullarini qo'shamiz va natijada olingan javob oldiga minus qo'yamiz. Ammo bu safar biz butun qismlarni (-1 va -2) qo'shamiz, ikkala kasr va
Keling, ushbu yechimni qisqacha yozamiz:
9-misol. Ifodalar ifodasini toping 
Keling, aralash sonlarni noto'g'ri kasrlarga aylantiramiz:
Ratsional sonni belgisi bilan birga qavs ichiga kiritamiz. Ratsional sonni qavs ichiga qo'yishning hojati yo'q, chunki u allaqachon qavs ichida:
Biz manfiy ratsional sonlarni qo'shishni oldik. Keling, ushbu raqamlarning modullarini qo'shamiz va natijada olingan javob oldiga minus qo'yamiz:
Demak, ifodaning qiymati
Keling, xuddi shu misolni ikkinchi usulda, ya'ni butun sonlarni qo'shish orqali hal qilishga harakat qilaylik kasr qismlar alohida.
Bu safar qisqacha yechim topish uchun aralash sonni kengaytirilgan shaklda yozish va ayirishni qo‘shish bilan almashtirish kabi bir necha bosqichlarni o‘tkazib yuborishga harakat qilaylik:
Esda tutingki, kasr qismlar umumiy maxrajga qisqartirildi.
10-misol. Ifodaning qiymatini toping 
Ayirishni qo‘shish bilan almashtiramiz:
Olingan ifoda salbiy raqamlarni o'z ichiga olmaydi, bu xatolarning asosiy sababidir. Salbiy raqamlar yo'qligi sababli, biz pastki qism oldidagi ortiqchani olib tashlashimiz va qavslarni olib tashlashimiz mumkin:
Natijada hisoblash oson bo'lgan oddiy ifoda hosil bo'ladi. Keling, buni biz uchun qulay bo'lgan usulda hisoblaylik:
11-misol. Ifodaning qiymatini toping
Bu turli xil belgilarga ega ratsional sonlarni qo'shishdir. Kattaroq moduldan kichikroq modulni ayiramiz va natijada olingan javobdan oldin moduli katta bo'lgan ratsional sonning belgisini qo'yamiz:
12-misol. Ifodaning qiymatini toping 
Ifoda bir nechta ratsional sonlardan iborat. Shunga ko'ra, birinchi navbatda siz qavslardagi qadamlarni bajarishingiz kerak.
Birinchidan, biz ifodani hisoblaymiz, keyin olingan natijalarni qo'shamiz.
Birinchi harakat:
Ikkinchi harakat:
Uchinchi harakat:
Javob: ifoda qiymati teng
13-misol. Ifodaning qiymatini toping 
Keling, aralash sonlarni noto'g'ri kasrlarga aylantiramiz:
Ratsional sonni ishorasi bilan birga qavs ichiga kiritamiz. Ratsional sonni qavs ichiga qo'yishning hojati yo'q, chunki u allaqachon qavs ichida:
Keling, bu kasrlarni umumiy maxrajga keltiramiz. Ular umumiy maxrajga keltirilgach, ular quyidagi shaklni oladi:
Ayirishni qo‘shish bilan almashtiramiz:
Biz har xil belgilarga ega ratsional sonlarni qo'shishni oldik. Kattaroq moduldan kichikroq modulni ayiramiz va natijada olingan javobdan oldin moduli katta bo'lgan ratsional sonning belgisini qo'yamiz:
Shunday qilib, iboraning ma'nosi teng
Keling, o'nli kasrlarni qo'shish va ayirishni ko'rib chiqaylik, ular ham ratsional sonlar bo'lib, ijobiy yoki salbiy bo'lishi mumkin.
14-misol.−3,2 + 4,3 ifoda qiymatini toping
Har bir ratsional sonni belgilari bilan birga qavs ichiga kiritamiz. Biz ifodada berilgan plyus amal belgisi ekanligini va o'nlik kasr 4.3 ga taalluqli emasligini hisobga olamiz. Bu o'nli kasrning o'ziga xos plyus belgisi bor, u yozilmaganligi sababli ko'rinmaydi. Ammo biz buni aniqlik uchun yozamiz:
(−3,2) + (+4,3)
Bu turli xil belgilarga ega ratsional sonlarni qo'shishdir. Turli xil belgilarga ega ratsional sonlarni qo'shish uchun kattaroq moduldan kichikroq modulni ayirish kerak va natijada javob berishdan oldin moduli kattaroq bo'lgan ratsional sonni qo'yish kerak. Va qaysi modul kattaroq va qaysi biri kichikroq ekanligini tushunish uchun siz ushbu o'nlik kasrlarning modullarini hisoblashdan oldin ularni taqqoslashingiz kerak:
(−3,2) + (+4,3) = |+4,3| − |−3,2| = 1,1
4.3 sonining moduli −3.2 sonining modulidan katta, shuning uchun biz 4.3 dan 3.2 ni ayirdik. Biz javob oldik 1.1. Javob ijobiy, chunki javobdan oldin moduli kattaroq bo'lgan ratsional sonning belgisi bo'lishi kerak. 4.3 sonining moduli esa -3.2 sonining modulidan katta
Shunday qilib, -3,2 + (+4,3) ifodaning qiymati 1,1 ga teng
−3,2 + (+4,3) = 1,1
15-misol. 3,5 + (−8,3) ifoda qiymatini toping.
Bu turli xil belgilarga ega ratsional sonlarni qo'shishdir. Oldingi misolda bo'lgani kabi, biz katta moduldan kichigini ayiramiz va javobdan oldin moduli katta bo'lgan ratsional sonning belgisini qo'yamiz:
3,5 + (−8,3) = −(|−8,3| − |3,5|) = −(8,3 − 3,5) = −(4,8) = −4,8
Shunday qilib, 3,5 + (-8,3) ifodaning qiymati -4,8 ga teng
Ushbu misolni qisqacha yozish mumkin:
3,5 + (−8,3) = −4,8
16-misol.−7,2 + (−3,11) ifoda qiymatini toping.
Bu manfiy ratsional sonlarning qo'shilishi. Salbiy ratsional sonlarni qo'shish uchun siz ularning modullarini qo'shishingiz va natijada olingan javob oldiga minus qo'yishingiz kerak.
Ifodani chalkashtirmaslik uchun modullar bilan kirishni o'tkazib yuborishingiz mumkin:
−7,2 + (−3,11) = −7,20 + (−3,11) = −(7,20 + 3,11) = −(10,31) = −10,31
Shunday qilib, −7,2 + (−3,11) ifodaning qiymati −10,31 ga teng.
Ushbu misolni qisqacha yozish mumkin:
−7,2 + (−3,11) = −10,31
17-misol.−0,48 + (−2,7) ifoda qiymatini toping.
Bu manfiy ratsional sonlarning qo'shilishi. Keling, ularning modullarini qo'shamiz va olingan javob oldiga minus qo'yamiz. Ifodani chalkashtirmaslik uchun modullar bilan kirishni o'tkazib yuborishingiz mumkin:
−0,48 + (−2,7) = (−0,48) + (−2,70) = −(0,48 + 2,70) = −(3,18) = −3,18
18-misol.−4,9 − 5,9 ifoda qiymatini toping
Har bir ratsional sonni belgilari bilan birga qavs ichiga kiritamiz. −4,9 va 5,9 ratsional sonlar orasida joylashgan minus amal belgisi ekanligini va 5,9 soniga tegishli emasligini hisobga olamiz. Ushbu ratsional sonning o'ziga xos plyus belgisi bor, u yozilmaganligi sababli ko'rinmaydi. Ammo biz buni aniqlik uchun yozamiz:
(−4,9) − (+5,9)
Ayirishni qo‘shish bilan almashtiramiz:
(−4,9) + (−5,9)
Biz manfiy ratsional sonlarni qo'shishni oldik. Keling, ularning modullarini qo'shamiz va olingan javob oldiga minus qo'yamiz:
(−4,9) + (−5,9) = −(4,9 + 5,9) = −(10,8) = −10,8
Shunday qilib, −4,9 − 5,9 ifodaning qiymati −10,8 ga teng
−4,9 − 5,9 = −10,8
19-misol. 7 − 9 ifodaning qiymatini toping.3
Keling, har bir raqamni belgilari bilan birga qavs ichiga kiritamiz.
(+7) − (+9,3)
Ayirishni qo‘shish bilan almashtiramiz
(+7) + (−9,3)
(+7) + (−9,3) = −(9,3 − 7) = −(2,3) = −2,3
Shunday qilib, 7 − 9,3 ifodaning qiymati −2,3 ga teng
Keling, ushbu misolning yechimini qisqacha yozamiz:
7 − 9,3 = −2,3
20-misol.−0,25 − (−1,2) ifoda qiymatini toping.
Ayirishni qo‘shish bilan almashtiramiz:
−0,25 + (+1,2)
Biz har xil belgilarga ega ratsional sonlarni qo'shishni oldik. Kattaroq moduldan kichikroq modulni ayiramiz va javobdan oldin moduli katta bo'lgan sonning belgisini qo'yamiz:
−0,25 + (+1,2) = 1,2 − 0,25 = 0,95
Keling, ushbu misolning yechimini qisqacha yozamiz:
−0,25 − (−1,2) = 0,95
21-misol.−3,5 + (4,1 − 7,1) ifoda qiymatini toping.
Qavslar ichidagi amallarni bajaramiz, so'ngra olingan javobni −3,5 raqami bilan qo'shamiz
Birinchi harakat:
4,1 − 7,1 = (+4,1) − (+7,1) = (+4,1) + (−7,1) = −(7,1 − 4,1) = −(3,0) = −3,0
Ikkinchi harakat:
−3,5 + (−3,0) = −(3,5 + 3,0) = −(6,5) = −6,5
Javob:−3,5 + (4,1 − 7,1) ifodaning qiymati −6,5 ga teng.
22-misol.(3,5 − 2,9) − (3,7 − 9,1) ifoda qiymatini toping.
Qavslar ichidagi amallarni bajaramiz. Keyin, birinchi qavslarni bajarish natijasida olingan raqamdan ikkinchi qavslarni bajarish natijasida olingan raqamni ayiring:
Birinchi harakat:
3,5 − 2,9 = (+3,5) − (+2,9) = (+3,5) + (−2,9) = 3,5 − 2,9 = 0,6
Ikkinchi harakat:
3,7 − 9,1 = (+3,7) − (+9,1) = (+3,7) + (−9,1) = −(9,1 − 3,7) = −(5,4) = −5,4
Uchinchi harakat
0,6 − (−5,4) = (+0,6) + (+5,4) = 0,6 + 5,4 = 6,0 = 6
Javob:(3,5 − 2,9) − (3,7 − 9,1) ifodaning qiymati 6 ga teng.
23-misol. Ifodaning qiymatini toping −3,8 + 17,15 − 6,2 − 6,15
Har bir ratsional sonni belgilari bilan birga qavs ichiga kiritamiz
(−3,8) + (+17,15) − (+6,2) − (+6,15)
Iloji bo'lsa ayirishni qo'shish bilan almashtiramiz:
(−3,8) + (+17,15) + (−6,2) + (−6,15)
Ifoda bir nechta atamalardan iborat. Qo'shishning kombinatsiya qonuniga ko'ra, agar ifoda bir necha haddan iborat bo'lsa, u holda yig'indi amallar tartibiga bog'liq bo'lmaydi. Bu shuni anglatadiki, shartlar har qanday tartibda qo'shilishi mumkin.
Keling, g'ildirakni qayta ixtiro qilmaylik, lekin barcha shartlarni ular paydo bo'ladigan tartibda chapdan o'ngga qo'shing:
Birinchi harakat:
(−3,8) + (+17,15) = 17,15 − 3,80 = 13,35
Ikkinchi harakat:
13,35 + (−6,2) = 13,35 − −6,20 = 7,15
Uchinchi harakat:
7,15 + (−6,15) = 7,15 − 6,15 = 1,00 = 1
Javob:−3,8 + 17,15 − 6,2 − 6,15 ifoda qiymati 1 ga teng.
24-misol. Ifodaning qiymatini toping
Keling, tarjima qilaylik kasr−1,8 aralash sonda. Qolganlarini o'zgartirmasdan qayta yozamiz:
