O'nlik kasr sifatida turadigan raqam. Kasr sonning o'nlik belgisi

Ushbu qo'llanmada biz ushbu operatsiyalarning har birini alohida ko'rib chiqamiz.

Dars mazmuni

O'nlik kasrlarni qo'shish

Ma'lumki, o'nli kasr butun son va kasr qismga ega. O'nli kasrlarni qo'shishda butun va kasr qismlar alohida qo'shiladi.

Masalan, 3.2 va 5.3 oʻnlik kasrlarni qoʻshamiz. Ustunga o'nlik kasrlarni qo'shish qulayroqdir.

Keling, avval ushbu ikki kasrni ustunga yozamiz, bunda butun sonlar butun sonlar ostida, kasrlar esa kasrlar ostida bo'lishi kerak. Maktabda bu talab deyiladi "vergul ostida vergul".

Vergul ostidagi kasrlarni ustunga yozamiz:

Biz kasr qismlarini qo'shishni boshlaymiz: 2 + 3 = 5. Javobimizning kasr qismida beshlikni yozamiz:

Endi biz butun qismlarni qo'shamiz: 3 + 5 = 8. Javobimizning butun qismiga sakkizni yozamiz:

Endi biz butun qismni kasr qismidan vergul bilan ajratamiz. Buning uchun biz yana qoidaga amal qilamiz "vergul ostida vergul":

Biz 8,5 javob oldik. Demak, 3,2 + 5,3 ifodasi 8,5 ga teng

Aslida, hamma narsa birinchi qarashda ko'rinadigan darajada oddiy emas. Bu erda ham tuzoqlar bor, biz hozir gaplashamiz.

O'nli kasrlardagi o'rinlar

O'nlik kasrlar, oddiy sonlar kabi, o'z raqamlariga ega. Bular o'ndan birliklar, yuzliklar o'rinlari, mingliklar joylari. Bunday holda, raqamlar kasrdan keyin boshlanadi.

O'nlik kasrdan keyingi birinchi raqam o'ninchi o'rin uchun, o'nlik nuqtadan keyingi ikkinchi raqam yuzinchi o'rin uchun va o'nlik nuqtadan keyingi uchinchi raqam minglik uchun javobgardir.

O'nli kasrlardagi o'rinlarda ba'zilar mavjud foydali ma'lumotlar. Xususan, ular o'nlik kasrda nechta o'ndan, yuzdan va mingdan bir qismi borligini aytadilar.

Masalan, 0,345 o'nlik kasrni ko'rib chiqing

Uchtasi joylashgan joy deyiladi o'ninchi o'rin

To'rtta joylashgan joy deyiladi yuzinchi o'rin

Beshta joylashgan joy deyiladi minginchi o'rin

Keling, ushbu rasmni ko'rib chiqaylik. O'ninchi o'rinda uchta borligini ko'ramiz. Bu 0,345 o'nlik kasrda o'ndan uchtasi borligini anglatadi.

Agar kasrlarni qo'shsak, biz 0,345 asl o'nlik kasrni olamiz

Ko'rinib turibdiki, dastlab biz javob oldik, lekin biz uni o'nli kasrga aylantirdik va 0,345 ni oldik.

O'nli kasrlarni qo'shishda oddiy sonlarni qo'shishdagi kabi printsip va qoidalarga amal qilinadi. O'nli kasrlarning qo'shilishi raqamlarda sodir bo'ladi: o'ndan o'ndan birga, yuzdan yuzdan birga, mingdan mingdan bir qismga qo'shiladi.

Shuning uchun, o'nli kasrlarni qo'shganda, siz qoidaga amal qilishingiz kerak "vergul ostida vergul". Vergul ostidagi vergul o'ndan o'ndan, yuzdan yuzdan, mingdan mingga qo'shilish tartibini ta'minlaydi.

1-misol. 1,5 + 3,4 ifoda qiymatini toping

Avvalo, 5 + 4 = 9 kasr qismlarini qo'shamiz. Javobimizning kasr qismida to'qqiztani yozamiz:

Endi biz 1 + 3 = 4 butun son qismlarini qo'shamiz. Javobimizning butun qismiga to'rttasini yozamiz:

Endi biz butun qismni kasr qismidan vergul bilan ajratamiz. Buning uchun biz yana "vergul ostidagi vergul" qoidasiga amal qilamiz:

Biz 4.9 javob oldik. Bu 1,5 + 3,4 ifodaning qiymati 4,9 ekanligini anglatadi

2-misol. Ifodaning qiymatini toping: 3,51 + 1,22

Ushbu iborani "vergul ostidagi vergul" qoidasiga rioya qilgan holda ustunga yozamiz.

Avvalo kasr qismini, ya'ni 1+2=3 ning yuzdan bir qismini qo'shamiz. Javobimizning yuzdan bir qismiga uchlik yozamiz:

Endi 5+2=7 o'ndan birlarini qo'shing. Javobimizning o'ninchi qismida ettitani yozamiz:

Endi butun qismlarni qo'shamiz 3+1=4. Javobimizning to'liq qismiga to'rttasini yozamiz:

Biz "vergul ostidagi vergul" qoidasiga rioya qilgan holda butun sonni kasr qismidan ajratish uchun verguldan foydalanamiz:

Biz olgan javob 4,73 edi. Bu 3.51 + 1.22 ifoda qiymati 4.73 ga teng degan ma'noni anglatadi

3,51 + 1,22 = 4,73

Oddiy sonlarda bo'lgani kabi, o'nli kasrlarni qo'shganda, . Bunday holda, javobda bitta raqam yoziladi, qolganlari esa keyingi raqamga o'tkaziladi.

3-misol. 2,65 + 3,27 ifoda qiymatini toping

Ushbu ifodani ustunga yozamiz:

5+7=12 yuzlik qismlarini qo‘shing. 12 raqami javobimizning yuzdan bir qismiga to'g'ri kelmaydi. Shuning uchun, yuzinchi qismda biz 2 raqamini yozamiz va birlikni keyingi raqamga o'tkazamiz:

Endi biz 6 + 2 = 8 ning o'ndan bir qismini qo'shamiz va oldingi operatsiyadan olingan birlikni qo'shamiz, biz 9 ni olamiz. Javobimizning o'ninchi qismiga 9 raqamini yozamiz:

Endi butun qismlarni qo'shamiz 2+3=5. Javobimizning butun qismiga 5 raqamini yozamiz:

Biz olgan javob 5,92 edi. Bu 2.65 + 3.27 ifoda qiymati 5.92 ga teng degan ma'noni anglatadi

2,65 + 3,27 = 5,92

4-misol. 9,5 + 2,8 ifoda qiymatini toping

Ushbu ifodani ustunga yozamiz

Biz 5 + 8 = 13 kasr qismlarini qo'shamiz. 13 raqami javobimizning kasr qismiga to'g'ri kelmaydi, shuning uchun biz birinchi navbatda 3 raqamini yozamiz va birlikni keyingi raqamga o'tkazamiz, to'g'rirog'i, uni boshqa raqamga o'tkazamiz. butun qism:

Endi biz 9+2=11 butun son qismlarini va oldingi amalda olingan birlikni qo'shamiz, biz 12 ni olamiz. Javobimizning butun qismiga 12 raqamini yozamiz:

Butun qismni kasr qismidan vergul bilan ajrating:

Biz javob oldik 12.3. Demak, 9,5 + 2,8 ifoda qiymati 12,3 ga teng

9,5 + 2,8 = 12,3

O'nli kasrlarni qo'shganda ikkala kasrdagi kasrdan keyingi raqamlar soni bir xil bo'lishi kerak. Agar raqamlar etarli bo'lmasa, kasr qismidagi bu joylar nol bilan to'ldiriladi.

5-misol. Ifodaning qiymatini toping: 12,725 + 1,7

Ushbu ifodani ustunga yozishdan oldin ikkala kasrdagi kasrdan keyingi raqamlar sonini bir xil qilib ko'rsatamiz. 12.725 o'nli kasrda kasrdan keyin uchta raqam bor, lekin 1.7 kasrda faqat bitta. Bu shuni anglatadiki, 1.7 kasrda siz oxirida ikkita nol qo'shishingiz kerak. Keyin biz 1.700 kasrni olamiz. Endi siz ushbu ifodani ustunga yozib, hisoblashni boshlashingiz mumkin:

5+0=5 minginchi qismlarni qo‘shing. Javobimizning mingdan bir qismiga 5 raqamini yozamiz:

2+0=2 yuzlik qismlarini qo‘shing. Javobimizning yuzinchi qismiga 2 raqamini yozamiz:

7+7=14 oʻndan birlarini qoʻshing. 14 raqami javobimizning o'ndan biriga to'g'ri kelmaydi. Shuning uchun biz avval 4 raqamini yozamiz va birlikni keyingi raqamga o'tkazamiz:

Endi biz 12+1=13 butun son qismlarini va oldingi amalda olingan birlikni qo'shamiz, biz 14 ni olamiz. Javobimizning butun qismiga 14 raqamini yozamiz:

Butun qismni kasr qismidan vergul bilan ajrating:

Biz 14425 ta javob oldik. Demak, 12.725+1.700 ifoda qiymati 14.425 ga teng.

12,725+ 1,700 = 14,425

O'nlik sonlarni ayirish

O'nli kasrlarni ayirishda siz qo'shish bilan bir xil qoidalarga amal qilishingiz kerak: "o'nli kasr ostidagi vergul" va "o'nli kasrdan keyin teng raqamlar soni".

1-misol. 2,5 − 2,2 ifoda qiymatini toping

Ushbu iborani "vergul ostidagi vergul" qoidasiga rioya qilgan holda ustunga yozamiz:

5−2=3 kasr qismini hisoblaymiz. Javobimizning o'ninchi qismiga 3 raqamini yozamiz:

2−2=0 butun son qismini hisoblaymiz. Javobimizning butun qismiga nol yozamiz:

Butun qismni kasr qismidan vergul bilan ajrating:

Biz 0,3 javob oldik. Bu 2,5 - 2,2 ifoda qiymati 0,3 ga teng degan ma'noni anglatadi

2,5 − 2,2 = 0,3

2-misol. 7.353 - 3.1 ifoda qiymatini toping

Bu iborada oʻnlik kasrlar soni boshqacha. 7.353 kasrda kasrdan keyin uchta raqam bor, lekin 3.1 kasrda faqat bitta. Bu shuni anglatadiki, 3.1 kasrda ikkala kasrdagi raqamlar sonini bir xil qilish uchun oxirida ikkita nol qo'shishingiz kerak. Keyin biz 3100 ni olamiz.

Endi siz ushbu ifodani ustunga yozib, hisoblashingiz mumkin:

Biz 4253 ta javob oldik. Bu 7.353 − 3.1 ifoda qiymati 4.253 ga teng degan maʼnoni anglatadi.

7,353 — 3,1 = 4,253

Oddiy raqamlarda bo'lgani kabi, ba'zida ayirish imkonsiz bo'lib qolsa, qo'shni raqamdan birini qarzga olishingiz kerak bo'ladi.

3-misol. 3.46 − 2.39 ifoda qiymatini toping

6−9 ning yuzdan bir qismini ayirish. 6 raqamidan 9 raqamini ayirib bo'lmaydi. Shuning uchun qo'shni raqamdan birini qarzga olishingiz kerak. Qo'shni raqamdan bittasini olish orqali 6 raqami 16 raqamiga aylanadi. Endi siz 16−9=7 ning yuzdan bir qismini hisoblashingiz mumkin. Javobimizning yuzdan bir qismiga yetti yozamiz:

Endi biz o'ndan bir qismini ayiramiz. Biz o'ninchi o'rinda bir birlikni olganimiz sababli, u erda joylashgan raqam bir birlikka kamaydi. Boshqacha qilib aytadigan bo'lsak, o'ninchi o'rinda endi 4 raqami emas, balki 3 raqami mavjud. 3−3=0 ning o'ndan bir qismini hisoblaymiz. Javobimizning o'ninchi qismiga nol yozamiz:

Endi butun qismlarni 3−2=1 ayirib olamiz. Javobimizning butun qismiga bittasini yozamiz:

Butun qismni kasr qismidan vergul bilan ajrating:

Biz 1.07 javob oldik. Bu 3.46−2.39 ifoda qiymati 1.07 ga teng degan maʼnoni anglatadi

3,46−2,39=1,07

4-misol. 3−1.2 ifoda qiymatini toping

Bu misol butun sondan kasrni ayiradi. Keling, bu ifodani shunday ustunga yozamiz butun qismi o'nlik kasr 1.23 3 raqami bo'lib chiqdi

Endi kasrdan keyingi raqamlar sonini bir xil qilaylik. Buning uchun 3 raqamidan keyin vergul qo'yamiz va bitta nol qo'shamiz:

Endi biz o'ndan birlarni ayiramiz: 0−2. 2 raqamini noldan ayirib bo'lmaydi, shuning uchun siz qo'shni raqamdan birini olishingiz kerak. Qo'shni raqamdan bittasini olib, 0 10 raqamiga aylanadi. Endi siz 10−2=8 ning o'ndan bir qismini hisoblashingiz mumkin. Javobimizning o'ninchi qismiga sakkizni yozamiz:

Endi biz butun qismlarni olib tashlaymiz. Ilgari 3 raqami butunlikda joylashgan edi, lekin biz undan bitta birlik oldik. Natijada u 2 raqamiga aylandi. Demak, 2 dan 1 ni ayiramiz. 2−1=1. Javobimizning butun qismiga bittasini yozamiz:

Butun qismni kasr qismidan vergul bilan ajrating:

Biz olgan javob 1,8 edi. Bu 3−1,2 ifodaning qiymati 1,8 ni bildiradi

O'nlik sonlarni ko'paytirish

O'nli kasrlarni ko'paytirish oddiy va hatto qiziqarli. O'nli kasrlarni ko'paytirish uchun siz ularni oddiy sonlar kabi ko'paytirasiz, vergullarni e'tiborsiz qoldirasiz.

Javobni olganingizdan so'ng, butun qismni kasr qismidan vergul bilan ajratishingiz kerak. Buning uchun ikkala kasrdagi kasrdan keyingi raqamlar sonini sanash kerak, so'ngra javobda o'ngdan bir xil sonlarni sanash va vergul qo'yish kerak.

1-misol. 2,5 × 1,5 ifoda qiymatini toping

Keling, vergullarga e'tibor bermasdan, bu o'nli kasrlarni oddiy sonlar kabi ko'paytiraylik. Vergullarga e'tibor bermaslik uchun siz vaqtincha ular umuman yo'qligini tasavvur qilishingiz mumkin:

Biz 375 ni oldik. Bu raqamda siz butun sonni kasr qismidan vergul bilan ajratishingiz kerak. Buning uchun 2,5 va 1,5 kasrlardagi kasrdan keyingi raqamlar sonini hisoblashingiz kerak. Birinchi kasrda kasrdan keyin bitta raqam, ikkinchi kasrda ham bitta raqam bor. Jami ikkita raqam.

Biz 375 raqamiga qaytamiz va o'ngdan chapga o'tishni boshlaymiz. Biz ikkita raqamni o'ngga sanashimiz va vergul qo'yishimiz kerak:

Biz 3,75 javob oldik. Demak, 2,5 × 1,5 ifodaning qiymati 3,75 ga teng

2,5 × 1,5 = 3,75

2-misol. 12,85 × 2,7 ifoda qiymatini toping

Keling, vergullarga e'tibor bermasdan, bu o'nli kasrlarni ko'paytiramiz:

Bizda 34695. Bu raqamda siz butun sonni kasr qismidan vergul bilan ajratishingiz kerak. Buni amalga oshirish uchun 12.85 va 2.7 kasrlardagi kasrdan keyingi raqamlar sonini hisoblashingiz kerak. 12,85 kasrda kasrdan keyin ikkita raqam, 2,7 kasrda esa bitta raqam bor - jami uchta raqam.

Biz 34695 raqamiga qaytamiz va o'ngdan chapga o'tishni boshlaymiz. Biz o'ngdan uchta raqamni sanashimiz va vergul qo'yishimiz kerak:

Biz 34 695 ta javob oldik. Demak, 12,85 × 2,7 ifoda qiymati 34,695 ga teng

12,85 × 2,7 = 34,695

O'nli kasrni oddiy songa ko'paytirish

Ba'zida o'nlik kasrni oddiy songa ko'paytirish kerak bo'lganda vaziyatlar paydo bo'ladi.

O'nli kasr va sonni ko'paytirish uchun siz o'nli kasrdagi vergulga e'tibor bermasdan ularni ko'paytirasiz. Javobni olganingizdan so'ng, butun qismni kasr qismidan vergul bilan ajratishingiz kerak. Buning uchun siz o'nli kasrdagi kasrdan keyingi raqamlar sonini sanashingiz kerak, so'ngra javobda o'ngdan bir xil sonlarni sanashingiz va vergul qo'yishingiz kerak.

Masalan, 2,54 ni 2 ga ko'paytiring

Vergulni e'tiborsiz qoldirib, 2,54 o'nli kasrni odatdagi 2 raqamiga ko'paytiring:

Biz 508 raqamini oldik. Bu raqamda siz butun sonni kasr qismidan vergul bilan ajratishingiz kerak. Buni amalga oshirish uchun 2.54 kasrdagi kasrdan keyingi raqamlar sonini hisoblashingiz kerak. 2.54 kasr kasrdan keyin ikkita raqamga ega.

Biz 508 raqamiga qaytamiz va o'ngdan chapga o'tishni boshlaymiz. Biz ikkita raqamni o'ngga sanashimiz va vergul qo'yishimiz kerak:

Biz 5.08 javobini oldik. Demak, 2,54 × 2 ifodaning qiymati 5,08 ga teng

2,54 × 2 = 5,08

O'nli kasrlarni 10, 100, 1000 ga ko'paytirish

O'nli kasrlarni 10, 100 yoki 1000 ga ko'paytirish o'nli kasrlarni oddiy sonlarga ko'paytirish bilan bir xil tarzda amalga oshiriladi. O'nli kasrdagi vergulga e'tibor bermasdan, ko'paytirishni bajarishingiz kerak, keyin javobda butun qismni kasr qismidan ajratib, o'ngdan o'nli kasrdan keyin qanday raqamlar bo'lsa, bir xil sonlarni sanashingiz kerak.

Masalan, 2,88 ni 10 ga ko'paytiring

O'nli kasrdagi vergulni e'tiborsiz qoldirib, 2,88 o'nli kasrni 10 ga ko'paytiring:

Biz 2880 ni oldik. Bu raqamda siz butun sonni kasr qismidan vergul bilan ajratishingiz kerak. Buni amalga oshirish uchun 2.88 kasrdagi kasrdan keyingi raqamlar sonini hisoblashingiz kerak. Biz 2.88 kasrda kasrdan keyin ikkita raqam borligini ko'ramiz.

Biz 2880 raqamiga qaytamiz va o'ngdan chapga o'tishni boshlaymiz. Biz ikkita raqamni o'ngga sanashimiz va vergul qo'yishimiz kerak:

Biz 28.80 javob oldik. Keling, oxirgi nolni tashlab, 28,8 ni olamiz. Demak, 2,88×10 ifodaning qiymati 28,8 ga teng

2,88 × 10 = 28,8

O'nli kasrlarni 10, 100, 1000 ga ko'paytirishning ikkinchi usuli mavjud. Bu usul ancha sodda va qulayroq. U o'nli kasrni koeffitsientda qancha nol bo'lsa, shuncha raqamga o'ngga siljitishdan iborat.

Masalan, oldingi misol 2,88×10 ni shu tarzda yechamiz. Hech qanday hisob-kitob qilmasdan, biz darhol 10 omilga qaraymiz. Biz unda nechta nol borligi bilan qiziqamiz. Biz unda bitta nol borligini ko'ramiz. Endi 2.88 kasrda biz kasrni o'ng bir raqamga o'tkazamiz, biz 28,8 ni olamiz.

2,88 × 10 = 28,8

Keling, 2,88 ni 100 ga ko'paytirishga harakat qilaylik. Biz darhol 100 omiliga qaraymiz. Biz unda nechta nol borligi bilan qiziqamiz. Biz unda ikkita nol borligini ko'ramiz. Endi 2.88 kasrda biz kasrni o'ng ikki raqamga o'tkazamiz, biz 288 ni olamiz

2,88 × 100 = 288

Keling, 2,88 ni 1000 ga ko'paytirishga harakat qilaylik. Biz darhol 1000 omiliga qaraymiz. Biz unda nechta nol borligi bilan qiziqamiz. Biz unda uchta nol borligini ko'ramiz. Endi 2.88 kasrda o'nli kasrni o'ngga uchta raqamga o'tkazamiz. U erda uchinchi raqam yo'q, shuning uchun biz yana nol qo'shamiz. Natijada biz 2880 ni olamiz.

2,88 × 1000 = 2880

O'nli kasrlarni 0,1 ga ko'paytirish 0,01 va 0,001

O'nli kasrlarni 0,1, 0,01 va 0,001 ga ko'paytirish o'nli kasrni o'nli kasrga ko'paytirish bilan bir xil ishlaydi. Oddiy sonlar kabi kasrlarni ko'paytirish va javobga vergul qo'yish kerak, har ikkala kasrda o'nli kasrdan keyin qancha raqam bo'lsa, o'ng tomonda shuncha raqamni sanash kerak.

Masalan, 3,25 ni 0,1 ga ko'paytiring

Biz bu kasrlarni oddiy sonlar kabi vergullarga e'tibor bermasdan ko'paytiramiz:

Biz 325 ni oldik. Bu raqamda siz butun sonni kasr qismidan vergul bilan ajratishingiz kerak. Buning uchun 3.25 va 0.1 kasrlardagi kasrdan keyingi raqamlar sonini hisoblashingiz kerak. 3.25 kasrda kasrdan keyin ikkita raqam, 0.1 kasrda esa bitta raqam mavjud. Jami uchta raqam.

Biz 325 raqamiga qaytamiz va o'ngdan chapga o'tishni boshlaymiz. Biz o'ngdan uchta raqamni sanashimiz va vergul qo'yishimiz kerak. Uchta raqamni sanab chiqqach, raqamlar tugab qolganini topamiz. Bunday holda, siz bitta nol qo'shishingiz va vergul qo'shishingiz kerak:

Biz 0,325 javob oldik. Bu 3,25 × 0,1 ifodaning qiymati 0,325 ekanligini anglatadi

3,25 × 0,1 = 0,325

O'nli kasrlarni 0,1, 0,01 va 0,001 ga ko'paytirishning ikkinchi usuli mavjud. Bu usul ancha sodda va qulayroq. U o'nli kasrni koeffitsientda qancha nol bo'lsa, shuncha raqamga chapga siljitishdan iborat.

Masalan, oldingi misol 3,25 × 0,1 ni shu tarzda hal qilaylik. Hech qanday hisob-kitoblarsiz, biz darhol 0,1 ko'paytirgichga qaraymiz. Biz unda nechta nol borligi bilan qiziqamiz. Biz unda bitta nol borligini ko'ramiz. Endi 3.25 kasrda biz kasrni bir raqamga chapga siljitamiz. Vergulni bir raqamni chapga siljitish orqali biz uchtadan oldin boshqa raqam yo'qligini ko'ramiz. Bunday holda, bitta nol qo'shing va vergul qo'ying. Natijada 0,325

3,25 × 0,1 = 0,325

Keling, 3,25 ni 0,01 ga ko'paytirishga harakat qilaylik. Biz darhol 0,01 multiplikatoriga qaraymiz. Biz unda nechta nol borligi bilan qiziqamiz. Biz unda ikkita nol borligini ko'ramiz. Endi 3.25 kasrda biz kasrni chap ikki raqamga o'tkazamiz, biz 0,0325 ni olamiz

3,25 × 0,01 = 0,0325

Keling, 3,25 ni 0,001 ga ko'paytirishga harakat qilaylik. Biz darhol 0,001 multiplikatoriga qaraymiz. Biz unda nechta nol borligi bilan qiziqamiz. Biz unda uchta nol borligini ko'ramiz. Endi 3.25 kasrda biz kasrni uchta raqamga chapga siljitamiz, biz 0,00325 ni olamiz.

3,25 × 0,001 = 0,00325

O'nli kasrlarni 0,1, 0,001 va 0,001 ga ko'paytirishni 10, 100, 1000 ga ko'paytirish bilan aralashtirmang. Umumiy xato aksar odamlar.

10, 100, 1000 ga ko'paytirilganda, o'nli kasr multiplikatorda nollar bo'lganidek, bir xil raqamlar soniga o'ngga o'tkaziladi.

Va 0,1, 0,01 va 0,001 ga ko'paytirilganda, o'nli kasr multiplikatorda nollar bo'lganidek, bir xil sonli raqamlar bilan chapga o'tkaziladi.

Agar dastlab eslab qolish qiyin bo'lsa, siz birinchi usuldan foydalanishingiz mumkin, unda ko'paytirish oddiy raqamlar bilan bo'lgani kabi amalga oshiriladi. Javobda siz o'ngdagi bir xil sonli raqamlarni sanash orqali butun qismni kasr qismidan ajratishingiz kerak bo'ladi, chunki ikkala kasrda o'nli kasrdan keyin raqamlar mavjud.

Kichikroq sonni katta raqamga bo'lish. Yuqori daraja.

Oldingi darslardan birida kichikroq sonni kattaroq songa bo‘lishda kasr olinadi, uning hisobi dividend, maxraji esa bo‘linuvchi bo‘lishini aytgan edik.

Masalan, bitta olmani ikkiga bo'lish uchun hisoblagichga 1 (bitta olma), maxrajga esa 2 (ikki do'st) yozish kerak. Natijada kasrni olamiz. Bu shuni anglatadiki, har bir do'st olma oladi. Boshqacha qilib aytganda, yarim olma. Kasr muammoning javobidir "Bir olmani qanday qilib ikkiga bo'lish kerak"

Ma'lum bo'lishicha, agar siz 1 ni 2 ga bo'lsangiz, bu masalani yanada hal qilishingiz mumkin. Axir, har qanday kasrdagi kasr chizig'i bo'linishni anglatadi va shuning uchun kasrda bu bo'linishga ruxsat beriladi. Lekin qanday? Biz dividend har doim bo'luvchidan ko'p bo'lishiga o'rganib qolganmiz. Ammo bu erda, aksincha, dividend bo'luvchidan kamroq.

Kasr ezish, bo'lish, bo'lish degan ma'noni anglatishini eslasak, hamma narsa aniq bo'ladi. Bu shuni anglatadiki, birlikni faqat ikki qismga emas, balki xohlagancha ko'p qismlarga bo'lish mumkin.

Kichikroq raqamni kattaroq raqamga bo'lganingizda, butun qism 0 (nol) bo'lgan o'nli kasrni olasiz. Kasr qismi har qanday bo'lishi mumkin.

Shunday qilib, keling, 1 ni 2 ga ajratamiz. Keling, bu misolni burchak bilan hal qilaylik:

Birini butunlay ikkiga bo'lish mumkin emas. Agar savol bersangiz "Birida nechta ikkita bor" , u holda javob 0 bo'ladi. Shuning uchun bo'lakka biz 0 yozamiz va vergul qo'yamiz:

Endi, odatdagidek, qoldiqni olish uchun biz qismni bo'linuvchiga ko'paytiramiz:

Jihozni ikki qismga bo'lish vaqti keldi. Buni amalga oshirish uchun olingan nolning o'ng tomoniga yana bir nol qo'shing:

10 ni oldik. 10 ni 2 ga bo‘lamiz, 5 ni olamiz. Beshlikni javobimizning kasr qismiga yozamiz:

Endi biz hisoblashni yakunlash uchun oxirgi qoldiqni chiqaramiz. 10 ni olish uchun 5 ni 2 ga ko'paytiring

Biz 0,5 javob oldik. Shunday qilib, kasr 0,5 ga teng

Olmaning yarmini o'nlik kasr 0,5 yordamida ham yozish mumkin. Agar biz ushbu ikki yarmini (0,5 va 0,5) qo'shsak, biz yana bir butun olmani olamiz:

Agar siz 1 sm qanday qilib ikki qismga bo'linganini tasavvur qilsangiz, bu nuqta ham tushunilishi mumkin. Agar siz 1 santimetrni 2 qismga ajratsangiz, siz 0,5 sm olasiz

2-misol. 4:5 ifoda qiymatini toping

To'rtda nechta besh bor? Arzimaydi. Biz qismga 0 yozamiz va vergul qo'yamiz:

Biz 0 ni 5 ga ko'paytiramiz, biz 0 ni olamiz. To'rtning ostiga nol yozamiz. Dividenddan darhol ushbu nolni olib tashlang:

Endi to'rttasini 5 qismga bo'lishni (bo'lishni) boshlaymiz. Buni amalga oshirish uchun 4 ning o'ng tomoniga nol qo'shing va 40 ni 5 ga bo'ling, biz 8 ni olamiz.

Misolni 8 ni 5 ga ko'paytirib, 40 ni hosil qilamiz:

Biz 0,8 javob oldik. Bu 4:5 ifodaning qiymati 0,8 ni bildiradi

3-misol. 5:125 ifoda qiymatini toping

125 dan beshtada nechta raqam bor? Arzimaydi. Biz qismga 0 yozamiz va vergul qo'yamiz:

Biz 0 ni 5 ga ko'paytiramiz, biz 0 ni olamiz. Beshning ostiga 0 yozamiz. Beshdan darhol 0 ni ayiring

Keling, beshlikni 125 qismga bo'lishni (bo'lishni) boshlaymiz. Buning uchun biz ushbu beshlikning o'ng tomoniga nol yozamiz:

50 ni 125 ga bo'ling. 50 sonida 125 nechta son bor? Arzimaydi. Shunday qilib, qismga biz yana 0 yozamiz

0 ni 125 ga ko'paytirsak, biz 0 ni olamiz. Bu nolni 50 ning ostiga yozing. Darhol 50 dan 0 ni ayiring.

Endi 50 raqamini 125 qismga bo'ling. Buning uchun biz 50 ning o'ng tomoniga yana nol yozamiz:

500 ni 125 ga bo'ling. 500 sonida 125 nechta son bor. 500 sonida to'rtta raqam bor.

Biz misolni 4 ni 125 ga ko'paytirib, 500 ni olamiz

Biz 0,04 javob oldik. Bu 5: 125 ifoda qiymati 0,04 ni bildiradi

Sonlarni qoldiqsiz bo'lish

Shunday qilib, keling, birlikdan keyin qismga vergul qo'ying, bu bilan butun qismlarning bo'linishi tugaganligini ko'rsatamiz va biz kasr qismiga o'tamiz:

Qolgan 4 ga nol qo'shamiz

Endi 40 ni 5 ga bo'lamiz, biz 8 ni olamiz. Biz sakkizni bo'lakka yozamiz:

40−40=0. Bizda 0 qoldi. Bu bo'linish to'liq yakunlanganligini anglatadi. 9 ni 5 ga bo'lish o'nlik kasr 1,8 ni beradi:

9: 5 = 1,8

2-misol. 84 ni 5 ga qoldiqsiz bo'ling

Birinchidan, 84 ni odatdagidek 5 ga, qolgan qismiga bo'ling:

Yakka tartibda 16 tasini oldik, yana 4 tasi qoldi. Endi bu qoldiqni 5 ga bo'lamiz. Bo'limga vergul qo'ying va qolgan 4 ga 0 qo'shing.

Endi 40 ni 5 ga bo'lamiz, biz 8 ni olamiz. Sakkizni kasrdan keyin bo'lakka yozamiz:

va qolgan qoldiq borligini tekshirish orqali misolni to'ldiring:

O'nli kasrni oddiy songa bo'lish

O'nli kasr, biz bilganimizdek, butun son va kasr qismdan iborat. O'nli kasrni oddiy songa bo'lishda birinchi navbatda:

• o'nlik kasrning butun qismini shu raqamga bo'ling;
• butun qism bo'lingandan so'ng, siz darhol qismga vergul qo'yishingiz va oddiy bo'linishda bo'lgani kabi hisoblashni davom ettirishingiz kerak.

Masalan, 4,8 ni 2 ga bo'ling

Keling, bu misolni burchakka yozamiz:

Endi butun qismni 2 ga bo'laylik. To'rtni ikkiga bo'lish ikkiga teng. Biz qismga ikkita yozamiz va darhol vergul qo'yamiz:

Endi biz qismni bo'linuvchiga ko'paytiramiz va bo'linishdan qoldiq bor yoki yo'qligini bilib olamiz:

4−4=0. Qolganlari nolga teng. Biz hali nolni yozmaymiz, chunki yechim tugallanmagan. Keyinchalik, oddiy bo'linishdagi kabi hisoblashni davom ettiramiz. 8 ni tushiring va uni 2 ga bo'ling

8: 2 = 4. Biz to'rtlikni qismga yozamiz va darhol bo'linuvchiga ko'paytiramiz:

Biz 2.4 javob oldik. 4,8:2 ifodaning qiymati 2,4 ga teng

2-misol. 8.43:3 ifoda qiymatini toping

8 ni 3 ga bo'lamiz, 2 ni olamiz. 2 dan keyin darhol vergul qo'ying:

Endi biz qismni 2 × 3 = 6 bo'luvchiga ko'paytiramiz. Sakkiztaning ostiga oltitani yozamiz va qolganini topamiz:

24 ni 3 ga bo'lamiz, biz 8 ni olamiz. Biz sakkizni bo'lakka yozamiz. Bo'linishning qolgan qismini topish uchun uni darhol bo'linuvchiga ko'paytiring:

24−24=0. Qolganlari nolga teng. Biz hali nolni yozmayapmiz. Biz dividenddan oxirgi uchtasini olib tashlaymiz va 3 ga bo'lamiz, biz 1ni olamiz. Ushbu misolni bajarish uchun darhol 1 ni 3 ga ko'paytiramiz:

Biz olgan javob 2,81 edi. Bu 8.43 ifoda qiymatini bildiradi: 3 2.81

O'nli kasrni o'nli kasrga bo'lish

O'nli kasrni o'nli kasrga bo'lish uchun dividend va bo'luvchidagi o'nli kasrni bo'luvchidagi o'nli kasrdan keyingi raqamlar soniga o'ngga siljitish va keyin odatdagi songa bo'lish kerak.

Masalan, 5,95 ni 1,7 ga bo'ling

Keling, bu ifodani burchak bilan yozamiz

Endi dividendda va bo'luvchida o'nli kasrni bo'luvchidagi o'nli kasrdan keyin qanday raqam bo'lsa, xuddi shu raqam bilan o'ngga o'tkazamiz. Bo'luvchi kasrdan keyin bitta raqamga ega. Bu shuni anglatadiki, dividend va bo'luvchida biz kasrni o'ngga bir raqamga ko'chirishimiz kerak. Biz o'tkazamiz:

O'nli kasrni o'ngga bir raqamga o'tkazgandan so'ng, 5,95 o'nli kasr 59,5 kasrga aylandi. Va o'nlik kasr 1,7, kasrni bir raqam bilan o'ngga siljitgandan so'ng, odatiy raqam 17 ga aylandi. Va biz o'nli kasrni oddiy songa qanday bo'lishni allaqachon bilamiz. Keyingi hisoblash qiyin emas:

Bo'linishni osonlashtirish uchun vergul o'ngga ko'chiriladi. Bunga ruxsat beriladi, chunki dividend va bo'luvchini bir xil raqamga ko'paytirish yoki bo'lishda ko'rsatkich o'zgarmaydi. Bu nima degani?

Bu biri qiziqarli xususiyatlar bo'linish. U quotient xossasi deb ataladi. 9 ifodani ko'rib chiqaylik: 3 = 3. Agar bu ifodada dividend va bo'luvchi bir xil songa ko'paytirilsa yoki bo'linsa, u holda 3 bo'linmasi o'zgarmaydi.

Keling, dividend va bo'luvchini 2 ga ko'paytiramiz va undan nima chiqishini ko'raylik:

(9 × 2) : (3 × 2) = 18: 6 = 3

Misoldan ko'rinib turibdiki, ko'rsatkich o'zgarmadi.

Dividend va bo'luvchida vergulni ko'chirsak ham xuddi shunday bo'ladi. Oldingi misolda, biz 5,91 ni 1,7 ga bo'lganimizda, dividend va bo'luvchidagi vergulni o'ngga bir raqamga o'tkazdik. O'nli kasr ko'chirilgandan so'ng, 5,91 kasr 59,1 kasrga va 1,7 kasr odatdagi 17 raqamiga aylantirildi.

Aslida, bu jarayon ichida 10 ga ko'paytirish bor edi. Bu shunday ko'rinishda edi:

5,91 × 10 = 59,1

Shuning uchun, bo'luvchidagi kasrdan keyingi raqamlar soni dividend va bo'luvchi nimaga ko'paytirilishini aniqlaydi. Boshqacha qilib aytadigan bo'lsak, bo'luvchidagi kasrdan keyingi raqamlar soni dividenddagi qancha raqamni va bo'luvchida o'nli kasrning o'ngga ko'chirilishini aniqlaydi.

O'nli kasrni 10, 100, 1000 ga bo'lish

O'nli kasrni 10, 100 yoki 1000 ga bo'lish xuddi shu tarzda amalga oshiriladi. Masalan, 2.1 ni 10 ga bo'ling. Bu misolni burchak yordamida yeching:

Ammo ikkinchi yo'l bor. Bu engilroq. Bu usulning mohiyati shundan iboratki, dividenddagi vergul bo'luvchida qancha nol bo'lsa, shuncha raqam chapga siljiydi.

Oldingi misolni shu tarzda hal qilaylik. 2.1: 10. Biz bo'linuvchiga qaraymiz. Biz unda nechta nol borligi bilan qiziqamiz. Biz bitta nol borligini ko'ramiz. Bu shuni anglatadiki, 2.1 dividendda siz kasr nuqtasini chapga bitta raqamga ko'chirishingiz kerak. Biz vergulni chapga bitta raqamga siljitamiz va boshqa raqam qolmaganligini ko'ramiz. Bunday holda, raqamdan oldin yana bir nol qo'shing. Natijada biz 0,21 ni olamiz

Keling, 2,1 ni 100 ga bo'lishga harakat qilaylik. 100da ikkita nol bor. Bu shuni anglatadiki, dividend 2.1 da vergulni chapga ikki raqamga siljitishimiz kerak:

2,1: 100 = 0,021

Keling, 2.1 ni 1000 ga bo'lishga harakat qilaylik. 1000da uchta nol bor. Bu shuni anglatadiki, dividend 2.1 da vergulni chapga uchta raqamga siljitish kerak:

2,1: 1000 = 0,0021

O'nli kasrni 0,1, 0,01 va 0,001 ga bo'lish

O'nli kasrni 0,1, 0,01 va 0,001 ga bo'lish xuddi shu tarzda amalga oshiriladi. Dividendda va bo'luvchida o'nli kasrni bo'luvchidagi kasrdan keyin qancha raqam bo'lsa, shuncha raqamga o'ngga o'tkazish kerak.

Masalan, 6,3 ni 0,1 ga ajratamiz. Avvalo, dividend va bo'luvchidagi vergullarni bo'luvchidagi o'nli kasrdan keyin qanday raqam bo'lsa, o'ngga o'tkazamiz. Bo'luvchi kasrdan keyin bitta raqamga ega. Bu dividend va bo'luvchidagi vergullarni bitta raqamga o'ngga siljitishimizni anglatadi.

O'nli kasrni o'ngga bir raqamga o'tkazgandan so'ng, 6,3 o'nli kasr odatiy 63 raqamiga aylanadi va kasrni o'ngga bir raqamga o'tkazgandan keyin 0,1 kasr bitta raqamga aylanadi. Va 63 ni 1 ga bo'lish juda oddiy:

Bu 6.3: 0.1 ifodaning qiymati 63 ni anglatadi

Ammo ikkinchi yo'l bor. Bu engilroq. Ushbu usulning mohiyati shundan iboratki, dividenddagi vergul bo'luvchida qancha nol bo'lsa, shuncha raqamga o'ngga siljiydi.

Oldingi misolni shu tarzda hal qilaylik. 6,3: 0,1. Keling, bo'linuvchini ko'rib chiqaylik. Biz unda nechta nol borligi bilan qiziqamiz. Biz bitta nol borligini ko'ramiz. Bu shuni anglatadiki, 6.3 dividendda siz kasr nuqtasini o'ngga bir raqamga ko'chirishingiz kerak. Vergulni o'ngga bitta raqamga siljiting va 63 ni oling

Keling, 6,3 ni 0,01 ga bo'lishga harakat qilaylik. 0,01 ning bo'luvchisi ikkita nolga ega. Bu shuni anglatadiki, dividend 6.3 da biz o'nli kasrni ikki raqamga o'ngga siljitishimiz kerak. Ammo dividendda kasrdan keyin faqat bitta raqam mavjud. Bunday holda, siz oxirida yana bir nol qo'shishingiz kerak. Natijada biz 630 ni olamiz

Keling, 6,3 ni 0,001 ga bo'lishga harakat qilaylik. 0,001 ning bo'luvchisi uchta nolga ega. Bu shuni anglatadiki, dividend 6.3 da biz kasr nuqtasini o'ngga uchta raqamga siljitishimiz kerak:

6,3: 0,001 = 6300

Mustaqil hal qilish uchun vazifalar

Dars sizga yoqdimi?
Bizga qo'shiling yangi guruh VKontakte va yangi darslar haqida bildirishnomalarni olishni boshlang

Biz ushbu materialni o'nli kasrlar kabi muhim mavzuga bag'ishlaymiz. Birinchidan, asosiy ta'riflarni aniqlaymiz, misollar keltiramiz va o'nli kasrlarning raqamlari qanday ekanligi bilan bir qatorda o'nli kasrlarning yozuv qoidalariga to'xtalib o'tamiz. Keyinchalik, biz asosiy turlarni ajratib ko'rsatamiz: chekli va cheksiz, davriy va davriy bo'lmagan kasrlar. Yakuniy qismda biz kasr sonlarga mos keladigan nuqtalar koordinata o'qida qanday joylashganligini ko'rsatamiz.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Kasr sonlarning o'nli yozuvi nima

Kasr sonlarning o'nli yozuvi deb atalmish tabiiy va kasr sonlar uchun ishlatilishi mumkin. Bu ular orasida vergul qo'yilgan ikki yoki undan ortiq raqamlar to'plamiga o'xshaydi.

Butun qismni kasr qismidan ajratish uchun kasr nuqtasi kerak. Qoida tariqasida, o'nli kasrning oxirgi raqami, agar o'nli kasr birinchi noldan keyin darhol paydo bo'lmasa, nol emas.

Kasr sonlarning kasrli sanasiga qanday misollar keltirish mumkin? Bu 34, 21, 0, 35035044, 0, 0001, 11,231,552, 9 va boshqalar bo'lishi mumkin.

Ba'zi darsliklarda vergul o'rniga nuqta qo'llanilishini topishingiz mumkin (5. 67, 6789. 1011 va boshqalar).

O'nli kasrlarning ta'rifi

Yuqoridagi o'nli kasr tushunchasiga asoslanib, biz o'nli kasrlarning quyidagi ta'rifini shakllantirishimiz mumkin:

Ta'rif 1

O'nlik kasr sonlarni o'nli yozuvda ifodalaydi.

Nima uchun kasrlarni bu shaklda yozishimiz kerak? Bu bizga oddiylarga nisbatan ba'zi afzalliklarni beradi, masalan, ixcham belgi, ayniqsa maxrajda 1000, 100, 10 va hokazo yoki aralash raqam bo'lgan hollarda. Masalan, 6 10 o'rniga 0,6, 25 o'rniga 10000 - 0,0023, 512 3 100 o'rniga - 512,03 ni belgilashimiz mumkin.

O'nlik, yuzlik, minglik maxrajdagi oddiy kasrlarni o'nli shaklda qanday qilib to'g'ri ifodalash alohida materialda muhokama qilinadi.

O'nli kasrlarni qanday to'g'ri o'qish kerak

O'nli belgilarni o'qish uchun ba'zi qoidalar mavjud. Shunday qilib, oddiy oddiy ekvivalentlari mos keladigan o'nli kasrlar deyarli bir xil o'qiladi, lekin boshida "nol o'ndan" so'zlari qo'shiladi. Shunday qilib, 14,100 ga to'g'ri keladigan 0, 14 yozuvi "nol nuqta o'n to'rt yuzdan bir" deb o'qiladi.

Agar o'nli kasr aralash son bilan bog'lanishi mumkin bo'lsa, u holda bu raqam bilan bir xil tarzda o'qiladi. Shunday qilib, agar bizda 56 2 1000 ga to'g'ri keladigan 56, 002 kasr bo'lsa, biz ushbu yozuvni "ellik oltidan ikki mingdan bir" deb o'qiymiz.

O'nli kasrdagi raqamning ma'nosi uning joylashgan joyiga bog'liq (naturiy sonlardagi kabi). Demak, 0,7 o’nlik kasrda yetti o’ndan, 0,0007da o’n mingdan, 70 000,345 kasrda yetti o’n minglik butun birlikni bildiradi. Shunday qilib, o'nlik kasrlarda o'rin qiymati tushunchasi ham mavjud.

Kasrdan oldin joylashgan raqamlarning nomlari natural sonlarda mavjud bo'lgan raqamlarga o'xshaydi. Jadvalda keyin joylashganlarning nomlari aniq ko'rsatilgan:

Keling, bir misolni ko'rib chiqaylik.

1-misol

Bizda 43,098 o'nlik kasr bor. U o‘nlik o‘rinda to‘rt, birliklar qatorida uch, o‘ninchi o‘rinda nol, yuzinchi o‘rinda 9, minginchi o‘rinda 8 bor.

O'nli kasrlar qatorlarini ustunlikka ko'ra ajratish odatiy holdir. Agar biz raqamlar bo'ylab chapdan o'ngga o'tsak, biz eng muhim raqamlardan eng past raqamlarga o'tamiz. Ma'lum bo'lishicha, yuzlar o'nlardan katta, milliondagi qismlar esa yuzdan kichikdir. Agar biz yuqorida misol qilib keltirgan yakuniy oʻnli kasrni oladigan boʻlsak, undagi eng yuqori yoki eng yuqori oʻrin yuzliklar qatori, eng past yoki eng past oʻrin esa 10-minginchi oʻrin boʻladi.

Har qanday o'nlik kasr alohida raqamlarga kengaytirilishi mumkin, ya'ni yig'indi sifatida taqdim etiladi. Ushbu harakat xuddi shu tarzda amalga oshiriladi natural sonlar.

2-misol

Keling, 56, 0455 kasrni raqamlarga kengaytirishga harakat qilaylik.

Biz olamiz:

56 , 0455 = 50 + 6 + 0 , 4 + 0 , 005 + 0 , 0005

Agar qo'shishning xossalarini eslasak, bu kasrni boshqa ko'rinishlarda, masalan, 56 + 0, 0455 yoki 56, 0055 + 0, 4 va boshqalar yig'indisi sifatida ifodalashimiz mumkin.

Keyingi o'nli kasrlar nima?

Biz yuqorida aytib o'tgan barcha kasrlar cheklangan o'nli kasrlar. Bu kasrdan keyingi raqamlar soni chekli ekanligini bildiradi. Keling, ta'rifni keltiramiz:

Ta'rif 1

Keyingi oʻnli kasrlar oʻnlik kasrning bir turi boʻlib, unda oʻnlik belgisidan keyin oʻnli kasrlar soni cheklangan.

Bunday kasrlarga 0, 367, 3, 7, 55, 102567958, 231 032, 49 va hokazolarni misol qilib keltirish mumkin.

Ushbu kasrlarning har birini aralash raqamga (agar ularning kasr qismining qiymati noldan farqli bo'lsa) yoki ga aylantirilishi mumkin. oddiy kasr(nol butun qism bilan). Bu qanday amalga oshirilganiga alohida maqola bag'ishladik. Bu erda biz bir nechta misollarni ko'rsatamiz: masalan, biz oxirgi o'nlik kasrni 5, 63 ni 5 63 100 ko'rinishiga qisqartirishimiz mumkin va 0, 2 2 10 ga to'g'ri keladi (yoki unga teng bo'lgan boshqa kasr uchun, Masalan, 4 20 yoki 1 5.)

Ammo teskari jarayon, ya'ni. oddiy kasrni o'nli shaklda yozish har doim ham mumkin emas. Demak, 5 13 ni maxraji 100, 10 va boshqalar bilan teng kasr bilan almashtirib bo'lmaydi, ya'ni undan yakuniy o'nli kasrni olish mumkin emas.

Cheksiz o'nli kasrlarning asosiy turlari: davriy va davriy bo'lmagan kasrlar

Biz yuqorida chekli kasrlar o'nli kasrdan keyin chekli sonli raqamlarga ega bo'lgani uchun shunday deyilganligini ko'rsatdik. Biroq, u cheksiz bo'lishi mumkin, bu holda kasrlarning o'zi ham cheksiz deb ataladi.

Ta'rif 2

Cheksiz o'nli kasrlar kasrdan keyin cheksiz sonli raqamlarga ega bo'lgan kasrlardir.

Shubhasiz, bunday raqamlarni to'liq yozib bo'lmaydi, shuning uchun biz ularning faqat bir qismini ko'rsatamiz va keyin ellips qo'shamiz. Bu belgi o'nli kasrlar ketma-ketligining cheksiz davomini ko'rsatadi. Cheksiz oʻnli kasrlarga 0, 143346732…, ​​3, 1415989032…, 153, 0245005…, 2, 6666666666…, 69, 748768152… kiradi. va hokazo.

Bunday kasrning "dumi" nafaqat raqamlarning tasodifiy ko'rinadigan ketma-ketligini, balki o'z ichiga olishi mumkin doimiy takrorlash bir xil belgi yoki belgilar guruhi. O'nli kasrdan keyin o'zgaruvchan raqamlari bo'lgan kasrlar davriy deyiladi.

Ta'rif 3

Davriy o'nli kasrlar - bu cheksiz o'nli kasrlar bo'lib, unda bir raqam yoki bir nechta raqamlar guruhi kasrdan keyin takrorlanadi. Takrorlanuvchi qism kasr davri deb ataladi.

Masalan, 3-kasr uchun 444444.... davr 4 raqami bo'ladi va 76 uchun 134134134134... - 134-guruh.

Davriy kasr yozuvida qancha belgilar qoldirish mumkin? Davriy kasrlar uchun butun davrni bir marta qavs ichida yozish kifoya qiladi. Shunday qilib, kasr 3, 444444 .... Uni 3, (4) va 76, 134134134134... – 76, (134) deb yozish to‘g‘ri bo‘ladi.

Umuman olganda, qavs ichidagi bir nechta nuqtali yozuvlar aynan bir xil ma'noga ega bo'ladi: masalan, 0,677777 davriy kasr 0,6 (7) va 0,6 (77) bilan bir xil va hokazo. 0, 67777 (7), 0, 67 (7777) va boshqalar shaklidagi yozuvlar ham qabul qilinadi.

Xatolarga yo'l qo'ymaslik uchun biz yozuvning bir xilligini kiritamiz. Keling, o'nli kasrga eng yaqin bo'lgan faqat bitta nuqtani (sonlarning eng qisqa ketma-ketligini) yozishga rozi bo'laylik va uni qavs ichiga kiritamiz.

Ya'ni, yuqoridagi kasr uchun biz asosiy yozuvni 0, 6 (7) deb hisoblaymiz va, masalan, 8, 9134343434 kasrda biz 8, 91 (34) ni yozamiz.

Agar oddiy kasrning maxrajida 5 va 2 ga teng bo‘lmagan tub ko‘rsatkichlar bo‘lsa, o‘nli kasr tizimiga o‘tkazilganda ular cheksiz kasrlar hosil qiladi.

Asosan, biz har qanday chekli kasrni davriy kasr sifatida yozishimiz mumkin. Buning uchun biz faqat o'ng tomonga cheksiz sonli nol qo'shishimiz kerak. Yozishda qanday ko'rinadi? Aytaylik, bizda oxirgi kasr 45, 32 bor. Davriy shaklda u 45, 32 (0) ga o'xshaydi. Bu harakat mumkin, chunki har qanday o'nli kasrning o'ng tomoniga nollarni qo'shish bizga unga teng kasr natijasini beradi.

9 davriga ega bo'lgan davriy kasrlarga alohida e'tibor berilishi kerak, masalan, 4, 89 (9), 31, 6 (9). Ular davri 0 bo'lgan o'xshash kasrlar uchun muqobil yozuvdir, shuning uchun ular ko'pincha nol davriga ega bo'lgan kasrlar bilan yozishda almashtiriladi. Bunday holda, keyingi raqamning qiymatiga bitta qo'shiladi va (0) qavs ichida ko'rsatiladi. Olingan sonlarning tengligini ularni oddiy kasrlar sifatida ifodalash orqali osongina tekshirish mumkin.

Masalan, 8, 31 (9) kasr mos keladigan kasr 8, 32 (0) bilan almashtirilishi mumkin. Yoki 4, (9) = 5, (0) = 5.

Cheksiz o'nli davriy kasrlarga tegishli ratsional sonlar. Boshqacha qilib aytganda, har qanday davriy kasr oddiy kasr sifatida ifodalanishi mumkin va aksincha.

O'nli kasrdan keyin cheksiz takrorlanuvchi ketma-ketlikka ega bo'lmagan kasrlar ham bor. Bunday holda, ular davriy bo'lmagan kasrlar deb ataladi.

Ta'rif 4

Davriy bo'lmagan o'nli kasrlarga o'nli kasrdan keyin nuqta bo'lmagan cheksiz o'nli kasrlar kiradi, ya'ni. takroriy raqamlar guruhi.

Ba'zida davriy bo'lmagan kasrlar davriy bo'lganlarga juda o'xshaydi. Misol uchun, 9, 03003000300003 ... birinchi qarashda uning davri bordek tuyuladi, ammo batafsil tahlil kasrlar bu hali davriy bo'lmagan kasr ekanligini tasdiqlaydi. Bunday raqamlar bilan juda ehtiyot bo'lishingiz kerak.

Davriy bo'lmagan kasrlar irratsional sonlar sifatida tasniflanadi. Ular oddiy kasrlarga aylantirilmaydi.

O'nli kasrlar bilan asosiy amallar

O'nli kasrlar bilan quyidagi amallarni bajarish mumkin: taqqoslash, ayirish, qo'shish, bo'lish va ko'paytirish. Keling, ularning har birini alohida ko'rib chiqaylik.

O'nli kasrlarni solishtirishni asl o'nli kasrlarga mos keladigan kasrlarni solishtirishga qisqartirish mumkin. Lekin cheksiz davriy bo'lmagan kasrlarni bu ko'rinishga keltirish mumkin emas va o'nli kasrlarni oddiy kasrlarga aylantirish ko'pincha ko'p mehnat talab qiladigan ishdir. Muammoni hal qilishda buni qilish kerak bo'lsa, taqqoslash harakatini qanday tezda bajarishimiz mumkin? O'nli kasrlarni raqam bo'yicha solishtirish, xuddi natural sonlarni solishtirish kabi qulaydir. Ushbu usulga alohida maqola bag'ishlaymiz.

Ba'zi o'nli kasrlarni boshqalar bilan qo'shish uchun natural sonlar kabi ustun qo'shish usulidan foydalanish qulay. Davriy o'nlik kasrlarni qo'shish uchun avval ularni oddiylar bilan almashtirishingiz va standart sxema bo'yicha hisoblashingiz kerak. Agar masala shartlariga ko'ra, biz cheksiz davriy bo'lmagan kasrlarni qo'shishimiz kerak bo'lsa, unda biz ularni avval ma'lum bir raqamga yaxlitlashimiz kerak, keyin esa qo'shishimiz kerak. Biz aylantiradigan raqam qanchalik kichik bo'lsa, hisoblashning aniqligi shunchalik yuqori bo'ladi. Cheksiz kasrlarni ayirish, ko'paytirish va bo'lish uchun oldindan yaxlitlash ham kerak.

O'nli kasrlar orasidagi farqni topish qo'shishga teskari hisoblanadi. Aslini olganda, ayirish yordamida biz ayirayotgan kasr bilan yig'indisi biz kamaytirayotgan kasrni beradigan sonni topishimiz mumkin. Bu haqda alohida maqolada batafsilroq gaplashamiz.

O'nli kasrlarni ko'paytirish xuddi natural sonlardagi kabi amalga oshiriladi. Buning uchun ustunni hisoblash usuli ham mos keladi. Biz yana bu harakatni davriy kasrlar bilan, allaqachon o'rganilgan qoidalarga muvofiq oddiy kasrlarni ko'paytirishga kamaytiramiz. Cheksiz kasrlar, biz eslaganimizdek, hisob-kitoblardan oldin yaxlitlanishi kerak.

O'nli kasrlarni bo'lish jarayoni ko'paytirishning teskarisidir. Masalalarni yechishda ustunli hisoblardan ham foydalanamiz.

Yakuniy o'nlik kasr va koordinata o'qidagi nuqta o'rtasida aniq yozishmalarni o'rnatishingiz mumkin. Keling, o'qda kerakli o'nlik kasrga to'liq mos keladigan nuqtani qanday belgilashni aniqlaylik.

Biz allaqachon oddiy kasrlarga mos keladigan nuqtalarni qanday qurishni o'rganib chiqdik, ammo o'nli kasrlarni bu shaklga keltirish mumkin. Masalan, 14 10 oddiy kasr 1, 4 bilan bir xil, shuning uchun mos keladigan nuqta boshdan musbat yo'nalishda aynan bir xil masofaga olib tashlanadi:

Siz o'nlik kasrni oddiy kasr bilan almashtirmasdan qilishingiz mumkin, lekin asos sifatida raqamlar bo'yicha kengaytirish usulidan foydalaning. Shunday qilib, agar koordinatasi 15, 4008 ga teng bo'lgan nuqtani belgilashimiz kerak bo'lsa, biz birinchi navbatda bu raqamni 15 + 0, 4 +, 0008 yig'indisi sifatida taqdim etamiz. Boshlash uchun, ortga hisoblash boshidan boshlab ijobiy yo'nalishda 15 ta butun birlik segmentini, keyin bitta segmentning o'ndan 4 qismini va keyin bitta segmentning o'ndan mingdan 8 qismini ajratamiz. Natijada, biz 15, 4008 kasrga mos keladigan koordinata nuqtasini olamiz.

Cheksiz o'nli kasr uchun ushbu usuldan foydalangan ma'qul, chunki bu sizga kerakli nuqtaga xohlagancha yaqinlashishga imkon beradi. Ba'zi hollarda, koordinata o'qi bo'yicha cheksiz kasrga aniq muvofiqlikni qurish mumkin: masalan, 2 = 1, 41421. . . , va bu kasrni koordinata nurida kvadrat diagonali uzunligi bo'yicha 0 dan uzoqda joylashgan nuqta bilan bog'lash mumkin, uning tomoni bitta birlik segmentiga teng bo'ladi.

Agar biz o'qdagi nuqtani emas, balki unga mos keladigan o'nli kasrni topsak, unda bu harakat segmentning o'nli o'lchovi deb ataladi. Keling, buni qanday qilib to'g'ri qilishni ko'rib chiqaylik.

Aytaylik, biz noldan yuqoriga o'tishimiz kerak bu nuqta koordinata o'qi bo'yicha (yoki cheksiz kasr bo'lsa, iloji boricha yaqinlashing). Buning uchun biz asta-sekin birlik segmentlarini boshlang'ichdan kerakli nuqtaga etgunimizcha qoldiramiz. Butun segmentlardan so'ng, agar kerak bo'lsa, biz o'ndan, yuzdan va kichikroq kasrlarni o'lchaymiz, shunda o'yin imkon qadar aniq bo'ladi. Natijada biz mos keladigan o'nlik kasrni oldik berilgan nuqta koordinata o'qida.

Yuqorida biz M nuqta bilan chizilgan rasmni ko'rsatdik. Yana bir marta qarang: bu nuqtaga o'tish uchun siz bir birlik segmentini va uning o'ndan to'rt qismini noldan o'lchashingiz kerak, chunki bu nuqta o'nlik kasr 1, 4 ga to'g'ri keladi.

Agar biz o'nli kasrni o'lchash jarayonida biror nuqtaga erisha olmasak, bu uning cheksiz o'nli kasrga mos kelishini anglatadi.

Agar siz matnda xatolikni sezsangiz, uni belgilang va Ctrl+Enter tugmalarini bosing

Hisob-kitoblarning qulayligi uchun siz oddiy kasrni o'nli kasrga va aksincha aylantirishingiz kerak bo'ladi. Buni qanday qilish haqida ushbu maqolada gaplashamiz. Oddiy kasrlarni o'nli kasrlarga va aksincha o'tkazish qoidalarini ko'rib chiqamiz, shuningdek, misollar keltiramiz.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Biz oddiy kasrlarni ma'lum bir ketma-ketlikka rioya qilgan holda o'nli kasrlarga aylantirishni ko'rib chiqamiz. Birinchidan, maxraji 10 ga karrali bo‘lgan oddiy kasrlar qanday qilib o‘nli kasrlarga aylantirilishini ko‘rib chiqamiz: 10, 100, 1000 va hokazo. Bunday maxrajli kasrlar, aslida, o‘nli kasrlarning ancha murakkab yozuvidir.

Keyinchalik, 10 ga karrali emas, balki har qanday maxrajli oddiy kasrlarni o'nli kasrlarga qanday aylantirishni ko'rib chiqamiz. E'tibor bering, oddiy kasrlarni o'nli kasrlarga o'tkazishda nafaqat chekli o'nli kasrlar, balki cheksiz davriy o'nli kasrlar ham olinadi.

Qani boshladik!

10, 100, 1000 va hokazo maxrajli oddiy kasrlarni tarjima qilish. o'nli kasrlarga

Avvalo, aytaylik, ba'zi kasrlar o'nlik shaklga o'tishdan oldin biroz tayyorgarlikni talab qiladi. Bu nima? Numeratordagi raqamdan oldin siz shunchalik ko'p nol qo'shishingiz kerak, shunda hisoblagichdagi raqamlar soni maxrajdagi nollar soniga teng bo'ladi. Masalan, 3100 kasr uchun hisoblagichdagi 3 ning chap tomoniga 0 raqami bir marta qo'shilishi kerak. 610-qism, yuqorida ko'rsatilgan qoidaga ko'ra, o'zgartirishga muhtoj emas.

Keling, yana bir misolni ko'rib chiqaylik, shundan so'ng biz birinchi navbatda foydalanish uchun qulay bo'lgan qoidani ishlab chiqamiz, lekin kasrlarni aylantirishda ko'p tajriba yo'q. Shunday qilib, hisoblagichga nollarni qo'shgandan keyin 1610000 kasr 001510000 kabi ko'rinadi.

Maxraji 10, 100, 1000 va hokazo bo'lgan oddiy kasrni qanday aylantirish mumkin. kasrga?

Oddiy to'g'ri kasrlarni o'nli kasrlarga o'tkazish qoidasi

1. 0 yozing va undan keyin vergul qo'ying.
2. Biz nollarni qo'shgandan so'ng olingan raqamdan raqamni yozamiz.

Endi misollarga o'tamiz.

1-misol: Kasrlarni o‘nli kasrlarga o‘tkazish

39100 kasrni kasrga aylantiramiz.

Birinchidan, biz kasrga qaraymiz va hech qanday tayyorgarlik harakatlarini bajarishga hojat yo'qligini ko'ramiz - hisoblagichdagi raqamlar soni maxrajdagi nollar soniga to'g'ri keladi.

Qoidaga rioya qilib, biz 0 yozamiz, undan keyin kasrni qo'yamiz va raqamdan raqamni yozamiz. Biz 0,39 o'nlik kasrni olamiz.

Keling, ushbu mavzu bo'yicha boshqa misolning echimini ko'rib chiqaylik.

2-misol. Kasrlarni o'nli kasrlarga o'tkazish

105 10000000 kasrni kasr shaklida yozamiz.

Maxrajdagi nollar soni 7 ta, hisoblagich esa faqat uchta raqamdan iborat. Numeratordagi sondan oldin yana 4 ta nol qo'shamiz:

0000105 10000000

Endi biz 0 ni yozamiz, undan keyin kasrni qo'yamiz va raqamdan raqamni yozamiz. Biz 0,0000105 o'nlik kasrni olamiz.

Barcha misollarda ko'rib chiqilgan kasrlar oddiy to'g'ri kasrlardir. Lekin qanday qilib noto'g'ri kasrni o'nli kasrga aylantirasiz? Darhol aytaylik, bunday kasrlar uchun nol qo'shib tayyorgarlik ko'rishning hojati yo'q. Keling, qoida tuzamiz.

Oddiy noto'g'ri kasrlarni o'nli kasrlarga o'tkazish qoidasi

1. Numeratordagi raqamni yozing.
2. Asl kasrning maxrajida nol bo'lsa, o'ng tomonda shuncha sonni ajratish uchun kasr nuqtasidan foydalanamiz.

Quyida ushbu qoidadan qanday foydalanishga misol keltirilgan.

Misol 3. Kasrlarni o'nli kasrlarga o'tkazish

56888038009 100000 kasrni oddiy tartibsiz kasrdan o'nli kasrga aylantiramiz.

Birinchidan, hisoblagichdan raqamni yozamiz:

Endi o'ng tomonda biz beshta raqamni o'nli kasr bilan ajratamiz (maxrajdagi nollar soni beshta). Biz olamiz:

Tabiiyki, keyingi savol tug'iladi: aralash sonni o'nli kasrga qanday aylantirish kerak, agar uning kasr qismining maxraji 10, 100, 1000 va boshqalar bo'lsa. Bunday sonni o'nli kasrga aylantirish uchun siz quyidagi qoidadan foydalanishingiz mumkin.

Aralash sonlarni o'nli kasrlarga o'tkazish qoidasi

1. Agar kerak bo'lsa, sonning kasr qismini tayyorlaymiz.
2. Biz asl raqamning butun qismini yozamiz va undan keyin vergul qo'yamiz.
3. Biz qo'shilgan nollar bilan birga kasr qismining numeratoridan raqamni yozamiz.

Keling, bir misolni ko'rib chiqaylik.

4-misol: Aralash sonlarni o‘nli kasrlarga aylantirish

23 17 10000 aralash sonini o'nli kasrga aylantiramiz.

Kasr qismida bizda 17 10000 ifodasi mavjud. Keling, uni tayyorlaymiz va hisoblagichning chap tomoniga yana ikkita nol qo'shamiz. Biz olamiz: 0017 10000.

Endi sonning butun qismini yozamiz va undan keyin vergul qo'yamiz: 23, . .

O'nli kasrdan keyin raqamni nol bilan birga yozing. Biz natijaga erishamiz:

23 17 10000 = 23 , 0017

Oddiy kasrlarni chekli va cheksiz davriy kasrlarga aylantirish

Albatta, siz maxraji 10, 100, 1000 va boshqalarga teng bo'lmagan o'nli va oddiy kasrlarga o'tkazishingiz mumkin.

Ko'pincha kasrni osongina yangi maxrajga qisqartirish mumkin, keyin esa ushbu maqolaning birinchi xatboshida ko'rsatilgan qoidadan foydalaning. Masalan, 25 kasrning payini va maxrajini 2 ga ko'paytirish kifoya va biz 410 kasrni olamiz, bu kasr 0,4 ga osonlik bilan aylanadi.

Biroq, kasrni o'nli kasrga aylantirishning bu usuli har doim ham qo'llanilmaydi. Quyida ko'rib chiqilgan usulni qo'llashning iloji bo'lmasa, nima qilish kerakligini ko'rib chiqamiz.

Kasrni o'nli kasrga o'tkazishning tubdan yangi usuli bu hisobni maxrajga ustun bilan bo'lishdir. Bu operatsiya natural sonlarni ustun bilan bo'lishga juda o'xshaydi, lekin o'ziga xos xususiyatlarga ega.

Bo'lishda raqam o'nli kasr sifatida ifodalanadi - o'ng tomonda oxirgi raqam Numeratordan oldin vergul qo'yiladi va nollar qo'shiladi. Olingan qismda, hisoblagichning butun qismining bo'linishi tugagach, o'nli nuqta qo'yiladi. Ushbu usul qanday aniq ishlashi misollarni ko'rib chiqqandan keyin aniq bo'ladi.

Misol 5. Kasrlarni o'nli kasrlarga o'tkazish

621 4 oddiy kasrni o'nlik shaklga o'tkazamiz.

O'nli kasrdan keyin bir necha nol qo'shib, hisoblagichdan olingan 621 raqamini o'nli kasr sifatida ko'rsatamiz. 621 = 621,00

Endi ustun yordamida 621,00 ni 4 ga ajratamiz. Bo'linishning dastlabki uchta bosqichi natural sonlarni bo'lish bilan bir xil bo'ladi va biz olamiz.

Dividendda o'nli kasrga yetib, qolgan qismi noldan farq qiladigan bo'lsa, biz bo'linmaga kasrni qo'yamiz va bo'linishni davom ettiramiz, endi dividenddagi vergulga e'tibor bermaymiz.

Natijada 621 4 oddiy kasrni teskari aylantirish natijasi bo'lgan 155, 25 o'nli kasrni olamiz.

621 4 = 155 , 25

Materialni mustahkamlash uchun yana bir misolni ko'rib chiqaylik.

Misol 6. Kasrlarni o'nli kasrlarga o'tkazish

21 800 oddiy kasrni teskari hisoblaymiz.

Buni amalga oshirish uchun 21 000 kasrni 800 ga ustunga bo'ling. Butun qismning bo'linishi birinchi bosqichda tugaydi, shuning uchun darhol biz qismga kasrni qo'yamiz va nolga teng qoldiq olinmaguncha dividenddagi vergulga e'tibor bermasdan, bo'linishni davom ettiramiz.

Natijada, biz oldik: 21,800 = 0,02625.

Ammo bo'lish paytida biz hali ham 0 qoldig'ini ololmasak-chi. Bunday hollarda bo'linishni cheksiz davom ettirish mumkin. Biroq, ma'lum bir qadamdan boshlab, qoldiqlar vaqti-vaqti bilan takrorlanadi. Shunga ko'ra, qismdagi raqamlar takrorlanadi. Bu oddiy kasrning o'nlik cheksiz davriy kasrga aylantirilishini anglatadi. Keling, buni bir misol bilan tushuntirib beraylik.

7-misol. Kasrlarni o'nli kasrlarga o'tkazish

19 44 oddiy kasrni kasrga aylantiramiz. Buning uchun ustunga bo'linishni amalga oshiramiz.

Ko'ramiz, bo'linish paytida 8 va 36 qoldiqlari takrorlanadi. Bunday holda, 1 va 8 raqamlari bo'lakda takrorlanadi. Bu o'nlik kasrdagi davr. Yozishda bu raqamlar qavs ichiga joylashtiriladi.

Shunday qilib, dastlabki oddiy kasr cheksiz davriy o'nli kasrga aylanadi.

19 44 = 0 , 43 (18) .

Keling, qaytarilmas oddiy kasrni ko'raylik. U qanday shaklda bo'ladi? Qaysi oddiy kasrlar chekli o‘nli kasrlarga, qaysilari cheksiz davriy kasrlarga aylantiriladi?

Birinchidan, aytaylik, agar kasrni 10, 100, 1000... maxrajlaridan biriga qisqartirish mumkin bo'lsa, u holda u oxirgi o'nlik kasr shakliga ega bo'ladi. Kasr shu maxrajlardan biriga kamayishi uchun uning maxraji 10, 100, 1000 va hokazo sonlarning kamida bittasiga boʻluvchi boʻlishi kerak. Raqamlarni tub omillarga ajratish qoidalaridan raqamlarning bo'luvchisi 10, 100, 1000 va boshqalar ekanligi kelib chiqadi. tub omillarga ajratilganda faqat 2 va 5 raqamlarini o'z ichiga olishi kerak.

Keling, aytilganlarni umumlashtiramiz:

1. Oddiy kasrni oxirgi kasrga qisqartirish mumkin, agar uning maxraji 2 va 5 ning tub koeffitsientlariga ajratilsa.
2. Agar maxrajning kengayishida 2 va 5 raqamlaridan tashqari boshqa tub sonlar bo'lsa, kasr cheksiz davriy o'nli kasr ko'rinishiga keltiriladi.

Keling, misol keltiraylik.

Misol 8. Kasrlarni o'nli kasrlarga o'tkazish

Ushbu kasrlarning qaysi biri 47 20, 7 12, 21 56, 31 17 oxirgi o'nli kasrga, qaysi biri faqat davriy kasrga aylantiriladi. Keling, kasrni o'nli kasrga to'g'ridan-to'g'ri aylantirmasdan, bu savolga javob beraylik.

47 20 kasr, ko'rish oson bo'lganidek, pay va maxrajni 5 ga ko'paytirish orqali yangi maxraj 100 ga kamayadi.

47 20 = 235 100. Bundan xulosa qilamizki, bu kasr oxirgi o'nli kasrga aylantiriladi.

7 12 kasrning maxrajini koeffitsientga ajratganda 12 = 2 · 2 · 3 hosil bo‘ladi. Bosh koeffitsient 3 2 va 5 dan farq qilganligi sababli, bu kasrni chekli o'nli kasr sifatida ifodalash mumkin emas, lekin cheksiz davriy kasr ko'rinishiga ega bo'ladi.

21 56 kasr, birinchi navbatda, qisqartirilishi kerak. 7 ga kamaytirilgandan so'ng biz kamaytirilmaydigan kasr 3 8 ni olamiz, uning maxraji koeffitsientlarga ajratilib, 8 = 2 · 2 · 2 ni beradi. Shuning uchun u chekli o'nli kasrdir.

31 17 kasrda maxrajni faktorlarga ajratish tub son 17 ning o'zi hisoblanadi. Shunga ko'ra, bu kasr cheksiz davriy o'nli kasrga aylantirilishi mumkin.

Oddiy kasrni cheksiz va davriy bo'lmagan o'nli kasrga aylantirib bo'lmaydi

Yuqorida biz faqat chekli va cheksiz davriy kasrlar haqida gapirdik. Lekin har qanday oddiy kasrni cheksiz davriy bo'lmagan kasrga aylantirish mumkinmi?

Biz javob beramiz: yo'q!

Muhim!

Cheksiz kasrni o'nli kasrga o'tkazishda natijada chekli kasr yoki cheksiz davriy kasr hosil bo'ladi.

Bo'linishning qolgan qismi har doim bo'luvchidan kichik bo'ladi. Boshqacha qilib aytganda, bo'linish teoremasiga ko'ra, qandaydir natural sonni q soniga bo'lsak, bo'linishning qolgan qismi har qanday holatda ham q-1 dan katta bo'lishi mumkin emas. Bo'linish tugagandan so'ng, quyidagi holatlardan biri mumkin:

1. Biz 0 ning qoldig'ini olamiz va bu erda bo'linish tugaydi.
2. Biz qoldiqni olamiz, bu keyingi bo'linishda takrorlanadi, natijada cheksiz davriy kasr hosil bo'ladi.

Kasrni kasrga o'tkazishda boshqa variantlar bo'lishi mumkin emas. Yana aytaylik, cheksiz davriy kasrdagi davr uzunligi (raqamlar soni) har doim mos keladigan oddiy kasrning maxrajidagi raqamlar sonidan kichik bo'ladi.

O'nli kasrlarni kasrga o'tkazish

Endi o'nli kasrni oddiy kasrga aylantirishning teskari jarayonini ko'rib chiqish vaqti keldi. Keling, uchta bosqichni o'z ichiga olgan tarjima qoidasini tuzamiz. O'nli kasrni oddiy kasrga qanday aylantirish mumkin?

O'nli kasrlarni oddiy kasrlarga o'tkazish qoidasi

1. Numeratorda biz vergulni va chapdagi barcha nollarni, agar mavjud bo'lsa, tashlab, asl o'nlik kasrdan raqamni yozamiz.
2. Maxrajda biz asl o'nli kasrda o'nli kasrdan keyin qancha raqam bo'lsa, bittadan keyin shuncha nol yozamiz.
3. Agar kerak bo'lsa, olingan oddiy fraktsiyani kamaytiring.

Keling, arizani ko'rib chiqaylik ushbu qoidadan misollar bilan.

Misol 8. O'nli kasrlarni oddiy kasrlarga o'tkazish

Keling, 3.025 raqamini oddiy kasr sifatida tasavvur qilaylik.

1. Biz vergulni tashlab, o'nli kasrning o'zini raqamga yozamiz: 3025.
2. Maxrajga biz bitta, undan keyin esa uchta nol yozamiz - bu kasrdan keyin asl kasrda qancha raqam bor: 3025 1000.
3. Olingan kasr 3025 1000 ni 25 ga kamaytirish mumkin, natijada: 3025 1000 = 121 40.

Misol 9. O'nli kasrlarni oddiy kasrlarga o'tkazish

0,0017 kasrni o'nlik kasrdan oddiy kasrga aylantiramiz.

1. Numeratorda biz chap tomonda vergul va nollarni tashlab, 0, 0017 kasrni yozamiz. Bu 17 bo'ladi.
2. Biz maxrajga bitta yozamiz va undan keyin to'rtta nol yozamiz: 17 10000. Bu fraktsiya kamaytirilmaydi.

Agar o'nli kasrda butun son bo'lsa, unda bunday kasr darhol aralash songa aylantirilishi mumkin. Buni qanday qilish kerak?

Keling, yana bir qoidani tuzamiz.

O'nli kasrlarni aralash sonlarga o'tkazish qoidasi.

1. Kasrdagi kasrdan oldingi son aralash sonning butun qismi sifatida yoziladi.
2. Numeratorda biz kasrdagi kasrdan keyin raqamni yozamiz, agar mavjud bo'lsa, chapdagi nollarni tashlab qo'yamiz.
3. Kasr qismining maxrajiga kasr qismidagi kasrdan keyin qancha raqam bo'lsa, bitta va shuncha nol qo'shamiz.

Keling, bir misol keltiraylik

10-misol. O'nli kasrni aralash songa aylantirish

155, 06005 kasrni aralash son sifatida tasavvur qilaylik.

1. 155 raqamini butun qism sifatida yozamiz.
2. Numeratorda biz noldan voz kechib, kasrdan keyin raqamlarni yozamiz.
3. Biz maxrajga bir va besh nol yozamiz

Keling, aralash raqamni o'rganamiz: 155 6005 100000

Kasr qismini 5 ga qisqartirish mumkin. Biz uni qisqartiramiz va yakuniy natijaga erishamiz:

155 , 06005 = 155 1201 20000

Cheksiz davriy o'nli kasrlarni kasrga aylantirish

Davriy o‘nli kasrlarni oddiy kasrlarga aylantirish misollarini ko‘rib chiqamiz. Boshlashdan oldin, keling, aniqlab olaylik: har qanday davriy o'nli kasr oddiy kasrga aylantirilishi mumkin.

Eng oddiy holat - kasr davri nolga teng bo'lganda. Nol davriga ega bo'lgan davriy kasr oxirgi o'nli kasr bilan almashtiriladi va bunday kasrni teskari o'zgartirish jarayoni oxirgi o'nli kasrni teskarisiga qisqartiradi.

Misol 11. Davriy o'nli kasrni oddiy kasrga aylantirish

3, 75 (0) davriy kasrni teskari aylantiramiz.

O'ngdagi nollarni yo'q qilib, biz oxirgi o'nlik kasrni 3.75 ni olamiz.

Oldingi paragraflarda muhokama qilingan algoritmdan foydalanib, bu kasrni oddiy kasrga aylantirib, biz quyidagilarni olamiz:

3 , 75 (0) = 3 , 75 = 375 100 = 15 4 .

Agar kasr davri noldan farq qilsa-chi? Davriy qismni geometrik progressiyaning hadlari yig'indisi deb hisoblash kerak, bu esa kamayadi. Buni misol bilan tushuntiramiz:

0 , (74) = 0 , 74 + 0 , 0074 + 0 , 000074 + 0 , 00000074 + . .

Cheksiz kamayuvchi geometrik progressiya hadlari yig'indisi formulasi mavjud. Progressiyaning birinchi hadi b va maxraji q 0 ga teng bo'lsa< q < 1 , то сумма равна b 1 - q .

Keling, ushbu formuladan foydalangan holda bir nechta misollarni ko'rib chiqaylik.

Misol 12. Davriy o'nli kasrni oddiy kasrga aylantirish

Bizda davriy kasr 0, (8) bo'lsin va biz uni oddiy kasrga aylantirishimiz kerak.

0 , (8) = 0 , 8 + 0 , 08 + 0 , 008 + . .

Bu erda bizda cheksiz pasayish bor geometrik progressiya birinchi hadi 0, 8 va maxraj 0, 1 bilan.

Keling, formulani qo'llaymiz:

0 , (8) = 0 , 8 + 0 , 08 + 0 , 008 + . . = 0 , 8 1 - 0 , 1 = 0 , 8 0 , 9 = 8 9

Bu talab qilinadigan oddiy kasr.

Materialni birlashtirish uchun boshqa misolni ko'rib chiqing.

Misol 13. Davriy o'nli kasrni oddiy kasrga aylantirish

0, 43 (18) kasrni teskari hisoblaymiz.

Avval kasrni cheksiz yig'indi sifatida yozamiz:

0 , 43 (18) = 0 , 43 + (0 , 0018 + 0 , 000018 + 0 , 00000018 . .)

Keling, qavs ichidagi atamalarni ko'rib chiqaylik. Ushbu geometrik progressiyani quyidagicha ifodalash mumkin:

0 , 0018 + 0 , 000018 + 0 , 00000018 . . = 0 , 0018 1 - 0 , 01 = 0 , 0018 0 , 99 = 18 9900 .

Natijani yakuniy kasrga 0, 43 = 43 100 qo'shamiz va natijani olamiz:

0 , 43 (18) = 43 100 + 18 9900

Ushbu kasrlarni qo'shib, kamaytirgandan so'ng, biz yakuniy javobni olamiz:

0 , 43 (18) = 19 44

Ushbu maqolani yakunlash uchun biz davriy bo'lmagan cheksiz o'nli kasrlarni oddiy kasrlarga aylantirib bo'lmasligini aytamiz.

Agar siz matnda xatolikni sezsangiz, uni belgilang va Ctrl+Enter tugmalarini bosing

Ushbu maqola haqida o'nli kasrlar. Bu yerda kasr sonlarning o‘nli belgilanishini tushunamiz, o‘nli kasr tushunchasi bilan tanishamiz va o‘nli kasrlarga misollar keltiramiz. Keyin biz o'nli kasrlarning raqamlari haqida gaplashamiz va raqamlarning nomlarini beramiz. Shundan so'ng biz cheksiz o'nli kasrlarga to'xtalamiz, keling, davriy va davriy bo'lmagan kasrlar haqida gapiraylik. Keyinchalik o'nli kasrlar bilan asosiy operatsiyalarni sanab o'tamiz. Xulosa qilib, o'nli kasrlarning koordinata nuridagi o'rnini belgilaymiz.

Sahifani navigatsiya qilish.

Kasr sonning o'nlik belgisi

O'nlik kasrlarni o'qish

Keling, o'nli kasrlarni o'qish qoidalari haqida bir necha so'z aytaylik.

To'g'ri oddiy kasrlarga mos keladigan o'nlik kasrlar xuddi shu oddiy kasrlar kabi o'qiladi, faqat "nol butun son" qo'shiladi. Masalan, 0,12 o'nlik kasr 12/100 oddiy kasrga to'g'ri keladi ("o'n ikki yuzdan" o'qing), shuning uchun 0,12 "nol nuqta o'n ikki yuzdan" deb o'qiladi.

Aralash raqamlarga mos keladigan o'nlik kasrlar bu aralash raqamlar bilan bir xil o'qiladi. Masalan, 56.002 o'nlik kasr aralash songa mos keladi, shuning uchun 56.002 o'nlik kasr "ellik olti nuqtadan ikki mingdan bir" deb o'qiladi.

O'nli kasrlardagi o'rinlar

O'nli kasrlarni yozishda, shuningdek, natural sonlarni yozishda har bir raqamning ma'nosi uning pozitsiyasiga bog'liq. Darhaqiqat, 0,3 o'nlik kasrdagi 3 raqami o'ndan uch qismini, 0,0003 o'nli kasrda - o'n mingdan uch qismini va 30 000,152 o'nlik kasrda - uch o'n mingni anglatadi. Shunday qilib, biz gaplashishimiz mumkin kasrlar, shuningdek natural sonlardagi raqamlar haqida.

O'nli kasrdagi o'nli kasrgacha bo'lgan raqamlarning nomlari natural sonlardagi raqamlarning nomlari bilan to'liq mos keladi. O'nli kasrdan keyingi kasrlarning nomlarini esa quyidagi jadvaldan ko'rish mumkin.

Masalan, 37.051 oʻnlik kasrda 3 raqami oʻnlik, birliklar qatorida 7, oʻninchi oʻrinda 0, yuzinchi oʻrinda 5, minginchi oʻrinda 1 raqami koʻrsatilgan.

O'nli kasrlardagi o'rinlar ham ustunlik jihatidan farq qiladi. Agar o'nli kasrni yozishda biz raqamdan raqamga chapdan o'ngga o'tsak, u holda biz dan harakat qilamiz keksalar Kimga kichik darajalar. Masalan, yuzlar o‘rinlari o‘ninchi o‘rinlardan kattaroq, millionlar o‘rinlari esa yuzinchi o‘rinlardan pastroq. Berilgan yakuniy o'nlik kasrda biz katta va kichik raqamlar haqida gapirishimiz mumkin. Masalan, o'nlik kasrda 604.9387 katta (eng yuqori) joy yuzlab joy, va kichik (eng past)- o'n mingdan bir raqam.

O'nli kasrlar uchun raqamlarga kengaytirish amalga oshiriladi. Bu natural sonlarning raqamlariga kengaytirishga o'xshaydi. Masalan, 45,6072 sonini kasrlarga kengaytirish quyidagicha: 45,6072=40+5+0,6+0,007+0,0002. Oʻnli kasrni raqamlarga ajratishdan qoʻshish xossalari esa bu oʻnli kasrning boshqa koʻrinishlariga oʻtish imkonini beradi, masalan, 45.6072=45+0.6072 yoki 45.6072=40.6+5.007+0.0002 yoki 45.6072= 72. 0,6.

O'nli kasrlarni tugatish

Shu paytgacha biz faqat o'nli kasrlar haqida gapirdik, ularning yozuvida kasrdan keyin chekli sonli raqamlar mavjud. Bunday kasrlar chekli o'nli kasrlar deyiladi.

Ta'rif.

O'nli kasrlarni tugatish- Bular o'nlik kasrlar bo'lib, ularning yozuvlarida chekli sonli belgilar (raqamlar) mavjud.

Yakuniy o'nli kasrlarga misollar: 0,317, 3,5, 51,1020304958, 230,032,45.

Biroq, har bir kasrni yakuniy o'nli kasr sifatida ifodalash mumkin emas. Masalan, 5/13 kasrni 10, 100, ... maxrajlaridan biri bilan teng kasr bilan almashtirib bo'lmaydi, shuning uchun yakuniy o'nli kasrga aylantirib bo'lmaydi. Bu haqida oddiy kasrlarni o'nli kasrlarga aylantirish nazariyasi bo'limida ko'proq gaplashamiz.

Cheksiz o'nlik kasrlar: davriy kasrlar va davriy bo'lmagan kasrlar

O'nli kasrdan keyin o'nli kasrni yozishda siz cheksiz sonli raqamlarning imkoniyatini taxmin qilishingiz mumkin. Bunday holda, biz cheksiz o'nli kasrlarni ko'rib chiqamiz.

Ta'rif.

Cheksiz o'nli kasrlar- Bu o'nli kasrlar bo'lib, ular cheksiz sonli raqamlarni o'z ichiga oladi.

Biz cheksiz o'nli kasrlarni to'liq shaklda yozib bo'lmasligimiz aniq, shuning uchun ularni yozishda biz o'nli kasrdan keyin ma'lum sonli raqamlar bilan cheklanamiz va cheksiz davom etadigan raqamlar ketma-ketligini ko'rsatadigan ellips qo'yamiz. Mana cheksiz oʻnli kasrlarga misollar: 0.143940932…, 3.1415935432…, 153.02003004005…, 2.11111111…, 69.74152152152….

Agar siz oxirgi ikkita cheksiz o'nli kasrga diqqat bilan qarasangiz, u holda 2.111111111 kasrda ... cheksiz takrorlanadigan 1 raqami aniq ko'rinadi va 69,74152152152... kasrda uchinchi kasrdan boshlab, takrorlanuvchi raqamlar guruhi. 1, 5 va 2 aniq ko'rinadi. Bunday cheksiz o'nli kasrlar davriy deyiladi.

Ta'rif.

Davriy o'nli kasrlar(yoki oddiygina davriy kasrlar) cheksiz o'nli kasrlar bo'lib, ularni yozishda ma'lum o'nlik kasrdan boshlab, qandaydir son yoki raqamlar guruhi cheksiz takrorlanadi, bu deyiladi. kasr davri.

Masalan, 2.111111111... davriy kasrning davri 1 raqami, 69,74152152152... kasr davri esa 152 ko’rinishdagi raqamlar guruhidir.

Cheksiz davriy o'nli kasrlar uchun u qabul qilinadi maxsus shakl yozuvlar. Qisqartirish uchun biz davrni bir marta qavs ichiga olib yozishga kelishib oldik. Masalan, 2,111111111... davriy kasr 2,(1) , 69,74152152152... davriy kasr 69,74(152) shaklida yoziladi.

Shuni ta'kidlash kerakki, xuddi shu davriy kasr uchun siz belgilashingiz mumkin turli davrlar. Masalan, davriy o'nli kasr 0,73333... 3 bo'lgan 0,7(3) kasr, shuningdek davri 33 bo'lgan 0,7(33) kasr va shunga o'xshash 0,7(333) kasr sifatida ko'rib chiqilishi mumkin. 0,7 (3333), ... 0,73333 davriy kasrga ham qarashingiz mumkin ... shunday: 0,733(3) yoki shunga o'xshash 0,73(333) va hokazo. Bu erda noaniqlik va nomuvofiqliklarga yo'l qo'ymaslik uchun biz o'nlik kasr davrini takrorlanadigan raqamlarning barcha mumkin bo'lgan ketma-ketliklarining eng qisqasi va eng yaqin joydan o'nli kasrgacha bo'lgan davr deb hisoblashga rozi bo'lamiz. Ya'ni, 0,73333... o'nli kasrning davri bir raqam 3 dan iborat ketma-ketlik deb hisoblanadi va davriylik kasrdan keyingi ikkinchi pozitsiyadan boshlanadi, ya'ni 0,73333...=0,7(3). Yana bir misol: 4,7412121212... davriy kasrning davri 12 ga teng, davriylik kasrdan keyingi uchinchi raqamdan boshlanadi, ya’ni 4,7412121212...=4,74(12).

Cheksiz o'nli davriy kasrlar maxrajlarida 2 va 5 dan boshqa tub ko'rsatkichlarni o'z ichiga olgan oddiy kasrlarni o'nli kasrlarga aylantirish orqali olinadi.

Bu erda davriy kasrlar 9 bo'lgan davriy kasrlarni eslatib o'tish kerak. Bunday kasrlarga misollar keltiramiz: 6.43(9) , 27,(9) . Bu kasrlar davriy kasrlar uchun yana bir belgi bo'lib, ular odatda davri 0 bo'lgan davriy kasrlar bilan almashtiriladi. Buning uchun 9-davr 0-davr bilan almashtiriladi va keyingi eng yuqori raqamning qiymati bittaga oshiriladi. Masalan, 7.24(9) shaklidagi 9-davrli kasr 7.25(0) koʻrinishdagi 0 davrili davriy kasr yoki 7.25 ga teng yakuniy oʻnlik kasr bilan almashtiriladi. Yana bir misol: 4,(9)=5,(0)=5. 9-davrli kasrning va 0-davrli mos kasrning tengligi ushbu o'nli kasrlarni teng oddiy kasrlar bilan almashtirgandan so'ng osongina aniqlanadi.

Va nihoyat, cheksiz o'nli kasrlarni batafsil ko'rib chiqaylik, ular cheksiz takrorlanadigan raqamlar ketma-ketligini o'z ichiga olmaydi. Ular davriy bo'lmagan deb ataladi.

Ta'rif.

Takrorlanmaydigan o'nli kasrlar(yoki oddiygina davriy bo'lmagan kasrlar) nuqtasiz cheksiz o'nli kasrlardir.

Baʼzan davriy boʻlmagan kasrlar davriy kasrlarga oʻxshash shaklga ega boʻladi, masalan, 8.02002000200002... davriy boʻlmagan kasr. Bunday hollarda farqni sezish uchun ayniqsa ehtiyot bo'lishingiz kerak.

E'tibor bering, davriy bo'lmagan kasrlar oddiy kasrlarga aylanmaydi, cheksiz davriy bo'lmagan kasrlar irratsional sonlarni ifodalaydi;

O'nli kasrlar bilan amallar

O'nli kasrlar bilan operatsiyalardan biri taqqoslash bo'lib, to'rtta asosiy arifmetik funksiya ham aniqlanadi. o'nli kasrlar bilan amallar: qo‘shish, ayirish, ko‘paytirish va bo‘lish. O'nli kasrli amallarning har birini alohida ko'rib chiqamiz.

O'nli kasrlarni taqqoslash asosan taqqoslanayotgan o'nli kasrlarga mos keladigan oddiy kasrlarni solishtirishga asoslangan. Biroq, o'nli kasrlarni oddiy kasrlarga aylantirish ancha mehnat talab qiladigan jarayon bo'lib, cheksiz davriy bo'lmagan kasrlarni oddiy kasr sifatida tasvirlab bo'lmaydi, shuning uchun o'nli kasrlarni o'rinli taqqoslashdan foydalanish qulay. O'nli kasrlarni o'rinlar bo'yicha taqqoslash natural sonlarni solishtirishga o'xshaydi. Batafsil ma'lumot uchun biz maqolani o'rganishni tavsiya qilamiz: o'nli kasrlarni taqqoslash, qoidalar, misollar, echimlar.

Keling, davom etaylik keyingi harakat - o'nli kasrlarni ko'paytirish. Cheklangan o'nli kasrlarni ko'paytirish o'nli kasrlarni ayirish, qoidalar, misollar, natural sonlar ustuniga ko'paytirishning echimlari kabi amalga oshiriladi. Davriy kasrlar bo'lsa, ko'paytirish oddiy kasrlarni ko'paytirishga keltirilishi mumkin. O'z navbatida cheksiz davriy bo'lmagan o'nli kasrlarni yaxlitlashdan keyin ko'paytirish chekli o'nli kasrlarni ko'paytirishga kamayadi. Biz maqoladagi materialni qo'shimcha o'rganishni tavsiya qilamiz: o'nli kasrlarni ko'paytirish, qoidalar, misollar, echimlar.

Koordinata nuridagi o'nlik sonlar

Nuqtalar va o'nli kasrlar o'rtasida yakkama-yakka muvofiqlik mavjud.

Keling, koordinata nurida berilgan o'nli kasrga mos keladigan nuqtalar qanday tuzilganligini aniqlaylik.

Biz chekli o'nli kasrlar va cheksiz davriy o'nli kasrlarni teng oddiy kasrlar bilan almashtirib, so'ngra koordinata nurida mos keladigan oddiy kasrlarni qurishimiz mumkin. Masalan, 1,4 o'nlik kasr 14/10 oddiy kasrga to'g'ri keladi, shuning uchun koordinatasi 1,4 bo'lgan nuqta birlik segmentining o'ndan biriga teng bo'lgan 14 ta segment tomonidan ijobiy yo'nalishda koordinata boshidan chiqariladi.

O'nlik kasrlarni koordinata nurida, berilgan o'nli kasrni raqamlarga ajratishdan boshlab belgilash mumkin. Masalan, 16.3007 koordinatali nuqta qurishimiz kerak, chunki 16.3007=16+0.3+0.0007, keyin koordinatalarning kelib chiqishidan 16 ta birlik segmentni, uzunligi oʻndan biriga teng boʻlgan 3 ta segmentni ketma-ket yotqizish orqali shu nuqtaga yetib borishimiz mumkin. birlik va 7 segment, uzunligi birlik segmentining o'n mingdan bir qismiga teng.

Koordinata nurida o'nli sonlarni qurishning bu usuli cheksiz o'nli kasrga mos keladigan nuqtaga xohlagancha yaqinlashishga imkon beradi.

Ba'zan cheksiz o'nli kasrga mos keladigan nuqtani aniq chizish mumkin. Masalan, , u holda bu cheksiz oʻnli kasr 1.41421... tomoni 1 birlik segmentli kvadrat diagonalining uzunligi boʻyicha koordinatalar boshidan uzoqda joylashgan koordinata nuridagi nuqtaga toʻgʻri keladi.

Koordinata nurida berilgan nuqtaga mos keladigan o'nli kasrni olishning teskari jarayoni deyiladi. segmentning o'nlik o'lchovi. Keling, bu qanday amalga oshirilganini aniqlaymiz.

Bizning vazifamiz koordinata chizig'idagi boshlang'ich nuqtadan berilgan nuqtaga borish (yoki unga etib bora olmasak, unga cheksiz yaqinlashish) bo'lsin. Segmentning o'nli o'lchovi bilan biz ketma-ket ravishda har qanday son birlik segmentlarini, keyin uzunligi birlikning o'ndan biriga teng bo'lgan segmentlarni, keyin uzunligi birlikning yuzdan biriga teng bo'lgan segmentlarni va hokazolarni ketma-ket ajratishimiz mumkin. Har bir chetga qo'yilgan uzunlikdagi segmentlar sonini yozib, biz koordinata nurida berilgan nuqtaga mos keladigan o'nli kasrni olamiz.

Misol uchun, yuqoridagi rasmdagi M nuqtaga o'tish uchun siz 1 birlik segmentini va uzunligi birlikning o'ndan biriga teng bo'lgan 4 ta segmentni ajratib qo'yishingiz kerak. Shunday qilib, M nuqtasi o'nlik kasr 1.4 ga to'g'ri keladi.

O'nli kasrni o'lchash jarayonida erishib bo'lmaydigan koordinata nurining nuqtalari cheksiz o'nli kasrlarga to'g'ri kelishi aniq.

Adabiyotlar ro'yxati.

• Matematika: darslik 5-sinf uchun. umumiy ta'lim muassasalar / N. Ya. Vilenkin, V. I. Joxov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - 21-nashr, o'chirilgan. - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 pp.: kasal. ISBN 5-346-00699-0.
• Matematika. 6-sinf: tarbiyaviy. umumiy ta'lim uchun muassasalar / [N. Ya.Vilenkin va boshqalar]. - 22-nashr, rev. - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 b.: kasal. ISBN 978-5-346-00897-2.
• Algebra: darslik 8-sinf uchun. umumiy ta'lim muassasalar / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; tomonidan tahrirlangan S. A. Telyakovskiy. - 16-nashr. - M.: Ta'lim, 2008. - 271 b. : kasal. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematika (texnika maktablariga kiruvchilar uchun qo'llanma): Proc. nafaqa.- M.; Yuqori maktab, 1984.-351 b., kasal.

Biz allaqachon kasrlar borligini aytdik oddiy Va kasr. Yoniq bu daqiqa Biz kasrlarni biroz o'rganib chiqdik. Biz muntazam va noto'g'ri kasrlar borligini bilib oldik. Biz oddiy kasrlarni kamaytirish, qo'shish, ayirish, ko'paytirish va bo'lish mumkinligini ham bilib oldik. Shuningdek, biz butun son va kasr qismdan tashkil topgan aralash sonlar mavjudligini bilib oldik.

Biz umumiy kasrlarni hali toʻliq oʻrganmadik. Ko'p nozikliklar va tafsilotlar haqida gapirish kerak, ammo bugun biz o'rganishni boshlaymiz kasr kasrlar, chunki oddiy va o'nli kasrlar ko'pincha birlashtirilishi kerak. Ya'ni, masalalarni yechishda har ikkala turdagi kasrlardan foydalanish kerak.

Bu dars murakkab va chalkash tuyulishi mumkin. Bu juda normal holat. Bunday darslar ularni o'rganishni talab qiladi va yuzaki o'rganilmaydi.

Dars mazmuni

Miqdorlarni kasr shaklida ifodalash

Ba'zan biror narsani kasr shaklida ko'rsatish qulay. Masalan, dekimetrning o'ndan bir qismi quyidagicha yoziladi:

Bu ifoda bir dekimetr o'n qismga bo'linganligini va shu o'n qismdan bir qism olinganligini anglatadi:

Rasmda ko'rib turganingizdek, dekimetrning o'ndan bir qismi bir santimetrga teng.

Quyidagi misolni ko'rib chiqing. 6 sm va yana 3 mm santimetrni kasr shaklida ko'rsating.

Shunday qilib, siz 6 sm va 3 mm ni santimetrda ifodalashingiz kerak, lekin kasr shaklida. Bizda allaqachon 6 santimetr bor:

lekin hali ham 3 millimetr qoldi. Bu 3 millimetrni va santimetrda qanday ko'rsatish mumkin? Fraksiyalar yordamga keladi. 3 millimetr - santimetrning uchinchi qismi. Va santimetrning uchinchi qismi sm sifatida yoziladi

Kasr bir santimetr o'nta teng qismga bo'linganligini anglatadi va bu o'n qismdan uchta qism (o'ndan uchtasi) olingan.

Natijada, bizda olti butun santimetr va santimetrning o'ndan uch qismi bor:

Bunday holda, 6 butun santimetr sonini, kasr esa kasr santimetr sonini ko'rsatadi. Bu kasr shunday o'qiladi "olti nuqta uch santimetr".

Mahrajida 10, 100, 1000 raqamlari bo‘lgan kasrlarni maxrajsiz yozish mumkin. Avval butun qismni, keyin esa kasr qismining hisobini yozing. Butun qism kasr qismining numeratoridan vergul bilan ajratiladi.

Masalan, maxrajsiz yozamiz. Buning uchun, avvalo, butun qismini yozamiz. Butun qism 6 raqamidir. Avval bu raqamni yozamiz:

Butun qism yozib olinadi. Butun qismni yozgandan so'ng darhol vergul qo'yamiz:

Va endi biz kasr qismining numeratorini yozamiz. Aralash sonda kasr qismining hisoblagichi 3 raqamidir. O'nli kasrdan keyin uchtani yozamiz:

Ushbu shaklda ifodalangan har qanday raqam chaqiriladi kasr.

Shuning uchun siz o'nlik kasr yordamida 6 sm va yana 3 mm ni santimetrda ko'rsatishingiz mumkin:

6,3 sm

Bu shunday ko'rinadi:

Aslida, o'nli kasrlar oddiy kasrlar va aralash sonlar bilan bir xil. Bunday kasrlarning o'ziga xos xususiyati shundaki, ularning kasr qismining maxrajida 10, 100, 1000 yoki 10000 raqamlari mavjud.

Aralash son kabi o'nli kasr ham butun va kasr qismiga ega. Masalan, aralash sonda butun qism 6 ga, kasr qismi esa ga teng.

6.3 o'nlik kasrda butun qism 6 raqami, kasr qismi esa kasrning soni, ya'ni 3 raqamidir.

Bundan tashqari, maxrajida 10, 100, 1000 raqamlari butun qismsiz berilgan oddiy kasrlar sodir bo'ladi. Masalan, kasr butun qismsiz beriladi. Bunday kasrni o'nli kasr sifatida yozish uchun avval 0 ni yozing, keyin vergul qo'ying va kasrning sonini yozing. Maxraji bo'lmagan kasr quyidagicha yoziladi:

kabi o'qiydi "nol nuqta besh".

Aralash sonlarni o‘nli kasrlarga aylantirish

Biz aralash raqamlarni maxrajsiz yozganimizda, biz ularni o'nli kasrlarga aylantiramiz. Kasrlarni o'nli kasrlarga o'tkazishda siz bilishingiz kerak bo'lgan bir nechta narsa bor, biz hozir ular haqida gaplashamiz.

Butun qism yozib bo'lingandan so'ng, kasr qismining maxrajidagi nollar sonini hisoblash kerak, chunki kasr qismining nollari soni va o'nli kasrdagi o'nli kasrdan keyingi raqamlar soni bo'lishi kerak. bir xil. Bu nima degani? Quyidagi misolni ko'rib chiqing:

Boshida

Va siz darhol kasr qismining numeratorini yozishingiz mumkin va o'nli kasr tayyor, lekin siz aniq kasr qismining maxrajidagi nol sonini hisoblashingiz kerak.

Shunday qilib, biz aralash sonning kasr qismidagi nol sonini hisoblaymiz. Kasr qismining maxraji bitta nolga ega. Bu shuni anglatadiki, o'nli kasrda o'nli kasrdan keyin bitta raqam bo'ladi va bu raqam aralash sonning kasr qismining, ya'ni 2 raqami bo'ladi.

Shunday qilib, o'nli kasrga aylantirilganda, aralash son 3,2 ga aylanadi.

Ushbu o'nli kasr quyidagicha o'qiydi:

"Uch nuqta ikki"

"O'ndan" chunki 10 raqami aralash sonning kasr qismida.

2-misol. Aralash sonni kasrga aylantiring.

Butun qismni yozing va vergul qo'ying:

Va siz darhol kasr qismining numeratorini yozib, o'nlik kasr 5.3 ni olishingiz mumkin edi, lekin qoidada aytilishicha, o'nli kasrdan keyin aralash sonning kasr qismining maxrajida qancha nol bo'lsa, shuncha raqam bo'lishi kerak. Va kasr qismining maxraji ikkita nolga ega ekanligini ko'ramiz. Bu shuni anglatadiki, bizning o'nli kasrimiz kasrdan keyin bitta emas, ikkita raqamga ega bo'lishi kerak.

Bunday hollarda kasr qismining hisobini biroz o'zgartirish kerak: hisoblagichdan oldin, ya'ni 3 raqamidan oldin nol qo'shing.

Endi siz bu aralash sonni o'nlik kasrga o'tkazishingiz mumkin. Butun qismni yozing va vergul qo'ying:

Va kasr qismining numeratorini yozing:

5.03 o'nlik kasr quyidagicha o'qiladi:

"Besh nuqta uch"

“Yuzlik” chunki aralash sonning kasr qismining maxrajida 100 raqami mavjud.

3-misol. Aralash sonni kasrga aylantiring.

Oldingi misollardan biz aralash sonni o‘nli kasrga muvaffaqiyatli o‘tkazish uchun kasr hisobidagi raqamlar soni va kasrning maxrajidagi nollar soni bir xil bo‘lishi kerakligini bilib oldik.

Aralash sonni o'nli kasrga o'tkazishdan oldin, uning kasr qismini biroz o'zgartirish kerak, ya'ni kasr qismining hisoblagichidagi raqamlar soni va kasr qismining maxrajidagi nollar soni bir xil ekanligiga ishonch hosil qilish uchun. bir xil.

Avvalo, kasr qismining maxrajidagi nollar soniga qaraymiz. Biz uchta nol borligini ko'ramiz:

Bizning vazifamiz kasr qismining numeratorida uchta raqamni tashkil qilishdir. Bizda allaqachon bitta raqam bor - bu raqam 2. Yana ikkita raqamni qo'shish qoladi. Ular ikkita nol bo'ladi. Ularni 2 raqamidan oldin qo'shing. Natijada, maxrajdagi nollar soni va hisoblagichdagi raqamlar soni bir xil bo'ladi:

Endi siz bu aralash sonni o'nlik kasrga aylantirishni boshlashingiz mumkin. Avval biz butun qismni yozamiz va vergul qo'yamiz:

va kasr qismining hisobini darhol yozing

3,002

Aralash sonning kasr qismining maxrajidagi kasrdan keyingi raqamlar soni va nollar soni bir xil ekanligini ko'ramiz.

3.002 o'nlik kasr quyidagicha o'qiladi:

"Uch nuqta ikki mingdan bir"

"Minginchi", chunki aralash sonning kasr qismining maxraji 1000 raqamini o'z ichiga oladi.

Kasrlarni o'nli kasrlarga o'tkazish

Maxrajlari 10, 100, 1000 yoki 10000 boʻlgan oddiy kasrlarni ham oʻnli kasrlarga aylantirish mumkin. Oddiy kasr butun songa ega bo'lmagani uchun avval 0 ni yozing, so'ngra vergul qo'ying va kasr qismining sonini yozing.

Bu erda ham maxrajdagi nollar soni va hisoblagichdagi raqamlar soni bir xil bo'lishi kerak. Shuning uchun ehtiyot bo'lishingiz kerak.

1-misol.

Butun qism yo'q, shuning uchun avval biz 0 yozamiz va vergul qo'yamiz:

Endi biz maxrajdagi nollar soniga qaraymiz. Biz bitta nol borligini ko'ramiz. Va hisoblagich bitta raqamga ega. Bu kasrli kasrdan keyin 5 raqamini yozib, o'nli kasrni xavfsiz davom ettirishingiz mumkinligini anglatadi

Olingan o'nlik kasr 0,5da kasrdan keyingi raqamlar soni va kasrning maxrajidagi nollar soni bir xil bo'ladi. Bu kasr to'g'ri tarjima qilinganligini anglatadi.

O'nlik kasr 0,5 quyidagicha o'qiladi:

"Nol nuqta besh"

2-misol. Kasrni kasrga aylantiring.

Butun bir qismi etishmayapti. Avval 0 yozamiz va vergul qo'yamiz:

Endi biz maxrajdagi nollar soniga qaraymiz. Biz ikkita nol borligini ko'ramiz. Va hisoblagich faqat bitta raqamga ega. Raqamlar soni va nol sonini bir xil qilish uchun 2 raqamidan oldin hisoblagichga bitta nol qo'shing. Keyin kasr shaklni oladi. Endi maxrajdagi nollar soni va hisoblagichdagi raqamlar soni bir xil. Shunday qilib, o'nlik kasrni davom ettirishingiz mumkin:

Olingan o'nlik kasr 0,02da kasrdan keyingi raqamlar soni va kasrning maxrajidagi nollar soni bir xil bo'ladi. Bu kasr to'g'ri tarjima qilinganligini anglatadi.

O'nlik kasr 0,02 quyidagicha o'qiladi:

"Nol nuqta ikki."

3-misol. Kasrni kasrga aylantiring.

0 yozing va vergul qo'ying:

Endi kasrning maxrajidagi nol sonini hisoblaymiz. Biz beshta nol borligini ko'ramiz va hisoblagichda faqat bitta raqam mavjud. Maxrajdagi nollar soni va hisoblagichdagi raqamlar sonini bir xil qilish uchun hisoblagichga 5 raqamidan oldin to'rtta nol qo'shishingiz kerak:

Endi maxrajdagi nollar soni va hisoblagichdagi raqamlar soni bir xil. Shunday qilib, biz o'nli kasr bilan davom etishimiz mumkin. Kasrning sonini kasrdan keyin yozing

Hosil bo‘lgan 0,00005 o‘nli kasrda kasrdan keyingi raqamlar soni va kasrning maxrajidagi nollar soni bir xil bo‘ladi. Bu kasr to'g'ri tarjima qilinganligini anglatadi.

0,00005 o'nlik kasr quyidagicha o'qiladi:

"Nol nuqta besh yuz mingdan bir".

Noto'g'ri kasrlarni o'nli kasrlarga aylantirish

Noto'g'ri kasr - bu aylanmasi maxrajdan katta bo'lgan kasr. Noto'g'ri kasrlar mavjud bo'lib, unda maxrajda 10, 100, 1000 yoki 10000 raqamlari mavjud. Bunday kasrlarni o'nli kasrlarga aylantirish mumkin. Ammo o'nli kasrga aylantirishdan oldin, bunday kasrlarni butun qismga ajratish kerak.

1-misol.

Kasr noto'g'ri kasrdir. Bunday kasrni o'nli kasrga aylantirish uchun avval uning butun qismini tanlash kerak. Noto'g'ri fraktsiyalarning butun qismini qanday ajratish kerakligini eslaylik. Agar unutgan bo'lsangiz, unga qaytib, o'rganishingizni maslahat beramiz.

Shunday qilib, keling, butun qismni noto'g'ri kasrda ajratib ko'rsatamiz. Eslatib o'tamiz, kasr bo'linish degan ma'noni anglatadi Ushbu holatda 112 raqamini 10 raqamiga bo'lish

Keling, ushbu rasmni ko'rib chiqaylik va bolalar qurilishi to'plami kabi yangi aralash raqamni yig'amiz. 11 soni butun qism, 2 soni kasr qismining soni, 10 soni esa kasr qismining maxraji bo'ladi.

Biz aralash raqam oldik. Keling, uni o'nli kasrga aylantiramiz. Va biz bunday raqamlarni o'nli kasrlarga qanday aylantirishni allaqachon bilamiz. Avval biz butun qismni yozamiz va vergul qo'yamiz:

Endi kasr qismining maxrajidagi nol sonini hisoblaymiz. Biz bitta nol borligini ko'ramiz. Kasr qismining numeratori esa bitta raqamga ega. Demak, kasr qismining maxrajidagi nollar soni va kasr qismining numeratoridagi raqamlar soni bir xil bo'ladi. Bu bizga kasr qismining hisobini kasrdan keyin darhol yozish imkoniyatini beradi:

Olingan o'nlik kasr 11.2 da kasrdan keyingi raqamlar soni va kasrning maxrajidagi nollar soni bir xil bo'ladi. Bu kasr to'g'ri tarjima qilinganligini anglatadi.

Demak, o'nli kasrga aylantirilganda noto'g'ri kasr 11,2 ga aylanadi.

11.2 o'nlik kasr quyidagicha o'qiladi:

"O'n bir nuqta ikkinchi."

2-misol. Noto'g'ri kasrni o'nli kasrga aylantiring.

Bu noto'g'ri kasr, chunki hisoblagich maxrajdan katta. Ammo uni o'nlik kasrga aylantirish mumkin, chunki maxrajda 100 raqami mavjud.

Avvalo, bu kasrning butun qismini tanlaymiz. Buning uchun burchak bilan 450 ga 100 ni bo'ling:

Keling, yangi aralash raqamni to'playmiz - biz olamiz. Va biz aralash raqamlarni o'nli kasrlarga qanday aylantirishni allaqachon bilamiz.

Butun qismni yozing va vergul qo'ying:

Endi kasr qismining maxrajidagi nollar sonini va kasr qismining numeratoridagi raqamlar sonini hisoblaymiz. Biz maxrajdagi nollar soni va hisoblagichdagi raqamlar soni bir xil ekanligini ko'ramiz. Bu bizga kasr qismining hisobini kasrdan keyin darhol yozish imkoniyatini beradi:

Olingan o'nlik kasr 4.50da kasrdan keyingi raqamlar soni va kasrning maxrajidagi nollar soni bir xil bo'ladi. Bu kasr to'g'ri tarjima qilinganligini anglatadi.

Demak, o'nli kasrga aylantirilganda noto'g'ri kasr 4,50 ga aylanadi.

Masalalarni yechishda o'nli kasr oxirida nollar bo'lsa, ularni tashlab yuborish mumkin. Keling, javobimizda nolni ham tushiraylik. Keyin biz 4,5 ni olamiz

Bu o'nli kasrlar haqidagi qiziqarli narsalardan biridir. Bu kasr oxirida paydo bo'ladigan nollar bu kasrga hech qanday og'irlik bermasligidadir. Boshqacha qilib aytganda, 4,50 va 4,5 o'nli kasrlar tengdir. Ularning orasiga teng belgi qo'yaylik:

4,50 = 4,5

Savol tug'iladi: nima uchun bu sodir bo'ladi? Axir, 4.50 va 4.5 turli fraktsiyalarga o'xshaydi. Butun sir biz ilgari o'rgangan kasrlarning asosiy xususiyatida yotadi. Nima uchun 4,50 va 4,5 o'nli kasrlar teng ekanligini isbotlashga harakat qilamiz, ammo keyingi mavzuni o'rganib chiqqandan so'ng, bu "o'nli kasrni aralash songa aylantirish" deb ataladi.

O'nli kasrni aralash songa aylantirish

Har qanday o'nli kasrni aralash raqamga qaytarish mumkin. Buning uchun o'nli kasrlarni o'qiy olish kifoya. Masalan, 6,3 ni aralash songa aylantiramiz. 6.3 - olti ball uch. Avval oltita butun sonni yozamiz:

va o'ndan uchdan keyin:

2-misol. 3.002 kasrini aralash songa aylantiring

3.002 - uchta butun va ikki mingdan bir. Avval uchta butun sonni yozamiz

va uning yonida biz ikki mingdan bir qismini yozamiz:

3-misol. O'nlik 4,50ni aralash songa aylantiring

4.50 - to'rt ball ellik. To'rtta butun sonni yozing

va keyingi ellik yuzdan bir qismi:

Aytgancha, oldingi mavzudagi oxirgi misolni eslaylik. 4.50 va 4.5 oʻnli kasrlar teng ekanligini aytdik. Biz nolni tashlab yuborish mumkinligini ham aytdik. Keling, 4,50 va 4,5 o'nli kasrlar teng ekanligini isbotlashga harakat qilaylik. Buning uchun ikkala o'nli kasrni aralash sonlarga aylantiramiz.

Aralash songa aylantirilganda kasr 4,50 ga, kasr esa 4,5 ga aylanadi.

Bizda ikkita aralash raqam bor va . Keling, bu aralash raqamlarni noto'g'ri kasrlarga aylantiramiz:

Endi bizda ikkita kasr bor va . Kasrning asosiy xususiyatini eslash vaqti keldi, ya'ni kasrning soni va maxrajini bir xil songa ko'paytirish (yoki bo'lish) paytida kasrning qiymati o'zgarmaydi.

Birinchi kasrni 10 ga ajratamiz

Bizga ega bo'ldik va bu ikkinchi kasr. Bu shuni anglatadiki, ikkalasi ham bir-biriga teng va bir xil qiymatga teng:

Kalkulyatordan foydalanib, avval 450 ni 100 ga, keyin esa 45 ni 10 ga bo‘lishga harakat qilib ko‘ring. Bu kulgili bo‘ladi.

O'nli kasrni kasrga aylantirish

Har qanday kasr kasrni kasrga aylantirish mumkin. Buning uchun yana o'nlik kasrlarni o'qiy olish kifoya. Masalan, 0,3 ni oddiy kasrga aylantiramiz. 0,3 - nol nuqta uch. Avval nol butun sonlarni yozamiz:

va o'ndan uch 0 yonida. Nol an'anaviy tarzda yozilmaydi, shuning uchun yakuniy javob 0 emas, balki oddiygina bo'ladi.

2-misol. 0,02 o'nlik kasrni kasrga aylantiring.

0,02 - nol nuqta ikki. Biz nolni yozmaymiz, shuning uchun biz darhol ikki yuzdan bir qismini yozamiz

3-misol. 0,00005 ni kasrga aylantiring

0.00005 - nol besh nuqta. Biz nolni yozmaymiz, shuning uchun darhol besh yuz mingdan bir qismini yozamiz

Dars sizga yoqdimi?
Bizning yangi VKontakte guruhimizga qo'shiling va yangi darslar haqida bildirishnomalarni olishni boshlang