Fizika va matematikaga oid ayrim masalalarni sonlar qatorining xossalari yordamida yechish mumkin. Maktablarda o'qitiladigan ikkita eng oddiy raqamlar ketma-ketligi algebraik va geometrikdir. Ushbu maqolada biz cheksiz kamayuvchi geometrik progressiyaning yig'indisini qanday topish masalasini batafsil ko'rib chiqamiz.
Geometrik progressiya
Bu so'zlar a i elementlari ifodani qanoatlantiradigan haqiqiy sonlar qatorini bildiradi:
Bu yerda i qatordagi elementning soni, r doimiy son maxraj deb ataladi.
Ushbu ta'rif shuni ko'rsatadiki, progressiyaning har qanday a'zosi va uning maxrajini bilib, siz raqamlarning butun seriyasini tiklashingiz mumkin. Misol uchun, agar 10-element ma'lum bo'lsa, uni r ga bo'lish 9-elementni oladi, keyin uni yana bo'lish 8-chi elementni oladi va hokazo. Ushbu oddiy argumentlar ko'rib chiqilayotgan raqamlar qatori uchun amal qiladigan ifodani yozishga imkon beradi:
2 maxrajiga ega bo'lgan progressiyaga quyidagi qator misol bo'lishi mumkin:
1, 2, 4, 8, 16, 32, ...
Agar maxraj -2 ga teng bo'lsa, u holda butunlay boshqa qator olinadi:
1, -2, 4, -8, 16, -32, ...
Geometrik progressiya algebraik progressiyaga qaraganda ancha tezdir, ya’ni uning hadlari tez ortib, tez kamayadi.
Progressiyaning i shartlari yig'indisi
Amaliy masalalarni hal qilish uchun ko'pincha ko'rib chiqilayotgan sonli ketma-ketlikning bir nechta elementlari yig'indisini hisoblash kerak bo'ladi. Bu holda quyidagi formula amal qiladi:
S i = a 1 *(r i -1)/(r-1)
Ko'rinib turibdiki, i hadlar yig'indisini hisoblash uchun siz faqat ikkita raqamni bilishingiz kerak: a 1 va r, bu mantiqiydir, chunki ular butun ketma-ketlikni yagona tarzda aniqlaydi.
Ketma-ketlik va uning shartlari yig'indisi
Endi ko'rib chiqaylik maxsus holat. Faraz qilamizki, maxrajning moduli birdan oshmaydi, ya'ni -1 Kamayuvchi geometrik progressiyani ko'rib chiqish qiziq, chunki uning hadlarining cheksiz yig'indisi chekli haqiqiy songa intiladi. Keling, yig'indining formulasini olamiz, agar siz oldingi paragrafda berilgan S i ifodasini yozsangiz, buni qilish oson. Bizda ... bor: S i = a 1 *(r i -1)/(r-1) i->∞ bo'lgan holatni ko'rib chiqamiz. Maxrajning moduli 1 dan kichik bo'lgani uchun uni cheksiz kuchga ko'tarish nolga teng bo'ladi. Buni r=0,5 misoli yordamida tekshirish mumkin: 0,5 2 = 0,25; 0,5 3 = 0,125; ...., 0,5 20 = 0,0000009. Natijada, cheksiz kamayuvchi geometrik progressiyaning hadlari yig'indisi quyidagi shaklni oladi: Ushbu formula ko'pincha amaliyotda, masalan, raqamlarning maydonlarini hisoblash uchun ishlatiladi. Bundan tashqari, toshbaqa va Axilles bilan Elea Zenon paradoksini hal qilish uchun ishlatiladi. Ko'rinib turibdiki, cheksiz geometrik ortib boruvchi progressiyaning yig'indisini (r>1) hisobga olsak, S ∞ = +∞ natijaga olib keladi. Keling, masalani yechish misolidan foydalanib, yuqoridagi formulalarni qanday qo'llashni ko'rsatamiz. Ma'lumki, cheksiz geometrik progressiyaning yig'indisi 11 ga teng. Bundan tashqari, uning 7-chi hadi uchinchi haddan 6 marta kichik. Bu raqamlar qatorining birinchi elementi nima? Birinchidan, 7 va 3-elementlarni aniqlash uchun ikkita ifoda yozamiz. Biz olamiz: Birinchi ifodani ikkinchisiga bo'lib, maxrajni ifodalasak, biz: a 7 /a 3 = r 4 => r = 4 √(a 7 /a 3) Masala gapida yettinchi va uchinchi hadlarning nisbati berilganligi sababli, uni almashtirib, r ni topish mumkin: r = 4 √(a 7 /a 3) = 4 √(1/6) ≈ 0,63894 Biz r dan beshta kasrgacha hisobladik. Olingan qiymat birdan kichik bo'lgani uchun progressiya pasayib bormoqda, bu uning cheksiz yig'indisi uchun formuladan foydalanishni oqlaydi. S ∞ yig‘indisi orqali birinchi hadning ifodasini yozamiz: Ushbu formulaga ma'lum qiymatlarni almashtiramiz va javobni olamiz: a 1 = 11 * (1-0,63894) = 3,97166. Eleyalik Zenon - miloddan avvalgi V asrda yashagan mashhur yunon faylasufi. e. Uning bir qancha apogeylari yoki paradokslari bugungi kungacha yetib keldi, unda matematikada cheksiz katta va cheksiz kichik muammosi shakllantiriladi. Zenonning mashhur paradokslaridan biri bu Axilles va toshbaqa o'rtasidagi raqobatdir. Zenon, agar Axilles toshbaqaga masofada qandaydir ustunlik bersa, u hech qachon unga yeta olmasligiga ishongan. Masalan, Axilles sudralayotgan hayvondan 10 baravar tezroq yugursin, masalan, uning oldida 100 metr. Jangchi 100 metr yugurganda, toshbaqa yana 10 metr yugurib chiqib, Axilles toshbaqa yana 1 metr emaklayotganini ko'radi. Siz shu tarzda infinitum bahslashishingiz mumkin, raqobatchilar orasidagi masofa haqiqatan ham kamayadi, lekin toshbaqa har doim oldinda bo'ladi. Zenon harakat mavjud emas va ob'ektlarning barcha atrofidagi harakatlari illyuziya degan xulosaga keldi. Albatta, qadimgi yunon faylasufi xato qilgan. Paradoksning yechimi shundan iboratki, doimiy kamayib boruvchi segmentlarning cheksiz yig'indisi chekli songa intiladi. Yuqoridagi holatda, Axilles yugurgan masofa uchun biz quyidagilarni olamiz: 100 + 10 + 1 + 0,1 + 0,01 + ... Cheksiz geometrik progressiya yig'indisi formulasini qo'llash orqali biz quyidagilarga erishamiz: S ∞ = 100 /(1-0,1) ≈ 111,111 metr Bu natija shuni ko'rsatadiki, Axilles toshbaqa bor-yo'g'i 11,111 metr emaklaganida uni quvib yetadi. Qadimgi yunonlar matematikada cheksiz miqdorlar bilan ishlashni bilishmagan. Biroq, agar biz Axilles engib o'tishi kerak bo'lgan cheksiz bo'shliqlarga emas, balki yuguruvchi o'z maqsadiga erishish uchun kerak bo'lgan cheksiz qadamlarga e'tibor qaratsak, bu paradoksni hal qilish mumkin. Darsning maqsadi: talabalarni ketma-ketlikning yangi turi - cheksiz kamayuvchi geometrik progressiya bilan tanishtirish. Mavzu bo'yicha dars “Cheksiz kamayuvchi geometrik progressiya” (algebra, 10-sinf) Darsning maqsadi: o'quvchilarni ketma-ketlikning yangi turi - cheksiz kamayuvchi geometrik progressiya bilan tanishtirish. Vazifalar: sonli ketma-ketlik chegarasining dastlabki g'oyasini shakllantirish; cheksiz kamayuvchi geometrik progressiya yig‘indisi formulasidan foydalanib, cheksiz davriy kasrlarni oddiy kasrlarga aylantirishning boshqa usuli bilan tanishish; maktab o'quvchilarining mantiqiy fikrlash, baholash harakatlari va umumlashtirish kabi intellektual fazilatlarini rivojlantirish; faollikni, o'zaro yordamni, jamoaviylikni va mavzuga qiziqishni tarbiyalash. Uskunalar: kompyuter sinfi, proyektor, ekran. Dars turi: dars - yangi mavzuni o'rganish. Darslar davomida I. Org. moment. Darsning mavzusi va maqsadini ayting. II. Talabalarning bilimlarini yangilash. 9-sinfda siz arifmetik va geometrik progressiyalarni o'rgandingiz. Savollar 1. Ta'rif arifmetik progressiya.
(Arifmetik progressiya - bu har bir a'zo bo'lgan ketma-ketlik Ikkinchidan boshlab, xuddi shu raqamga qo'shilgan oldingi atamaga teng). 2. Formula n arifmetik progressiyaning uchinchi hadi 3. Birinchisining yig'indisi formulasi n arifmetik progressiyaning shartlari. (yoki) 4. Geometrik progressiyaning ta’rifi. (Geometrik progressiya - bu nolga teng bo'lmagan sonlar ketma-ketligi Har bir a'zo ikkinchisidan boshlab oldingi hadga ko'paytiriladi Xuddi shu raqam). 5. Formula n geometrik progressiyaning uchinchi hadi 6. Birinchisining yig'indisi formulasi n geometrik progressiyaning a'zolari. 7. Yana qanday formulalarni bilasiz? (, Qaerda ; ; ;
,
)
Vazifalar 1. Arifmetik progressiya formula bilan berilgan a n = 7 – 4n. 10 ni toping. (-33) 2. Arifmetik progressiyada a 3 = 7 va 5 = 1. 4 ni toping. (4) 3. Arifmetik progressiyada a 3 = 7 va 5 = 1. 17 ni toping. (-35) 4. Arifmetik progressiyada a 3 = 7 va 5 = 1. S 17 ni toping. (-187) 5. Geometrik progressiya uchunbeshinchi hadni toping. 6. Geometrik progressiya uchun n-sonni toping. 7. Eksponensial b 3 = 8 va b 5 = 2. b 4 ni toping. (4) 8. Eksponensial b 3 = 8 va b 5 = 2. b 1 va q ni toping. 9. Eksponensial b 3 = 8 va b 5 = 2. S5 ni toping. (62) III. Yangi mavzuni o'rganish(taqdimot namoyishi). Tomoni 1 ga teng bo'lgan kvadratni ko'rib chiqaylik. Keling, tomoni birinchi kvadratning yarmiga teng bo'lgan boshqa kvadratni chizamiz, keyin tomoni ikkinchi yarmiga teng bo'lgan boshqasini, keyin keyingisini va hokazo. Har safar yangi kvadratning tomoni avvalgisining yarmiga teng bo'ladi. Natijada biz kvadratchalar ketma-ketligini oldikmaxraj bilan geometrik progressiya hosil qilish.
Va, eng muhimi, biz bunday kvadratlarni qanchalik ko'p qursak, kvadratning yon tomoni shunchalik kichik bo'ladi. Masalan , Bular. n soni ortishi bilan progressiyaning shartlari nolga yaqinlashadi. Ushbu raqamdan foydalanib, siz boshqa ketma-ketlikni ko'rib chiqishingiz mumkin. Masalan, kvadrat maydonlarining ketma-ketligi: Va yana, agar n bo'lsa cheksiz ortadi, keyin maydon siz xohlagancha yaqin nolga yaqinlashadi. Keling, yana bir misolni ko'rib chiqaylik. Tomonlari 1 sm ga teng bo'lgan teng tomonli uchburchak. Quyidagi uchburchakni uchburchakning o‘rta chizig‘i haqidagi teoremaga ko‘ra, 1-uchburchak tomonlarining o‘rtalaridagi uchlari bilan quramiz - 2-chi tomoni birinchi tomonning yarmiga, 3-chi tomonining yarmiga teng. 2-chi tomonining yarmiga teng va hokazo. Yana uchburchaklar tomonlarining uzunliklari ketma-ketligini olamiz. Da . bilan geometrik progressiyani ko'rib chiqsak manfiy maxraj.
Keyin, yana, ortib borayotgan raqamlar bilan n progressiyaning shartlari nolga yaqinlashadi. Keling, ushbu ketma-ketliklarning maxrajlariga e'tibor qaratamiz. Hamma joyda denominatorlar mutlaq qiymatda 1 dan kam edi. Xulosa qilishimiz mumkin: geometrik progressiya, agar uning maxrajining moduli 1 dan kichik bo'lsa, u cheksiz kamayadi. Frontal ish. Ta'rifi: Geometrik progressiya uning maxrajining moduli birdan kichik bo'lsa, cheksiz kamayuvchi deyiladi..
Ta'rifdan foydalanib, siz geometrik progressiyaning cheksiz kamayishini yoki yo'qligini hal qilishingiz mumkin. Vazifa Ketma-ketlik quyidagi formula bilan berilgan bo'lsa, u cheksiz kamayuvchi geometrik progressiya bo'ladimi: Yechim: q ni topamiz. ;
;
;
.
bu geometrik progressiya cheksiz kamayib bormoqda. b) bu ketma-ketlik cheksiz kamayuvchi geometrik progressiya emas. Yoni 1 ga teng bo'lgan kvadratni ko'rib chiqing. Uni yarmiga bo'ling, yarmidan birini yarmiga bo'ling va hokazo. Olingan barcha to'rtburchaklarning maydonlari cheksiz kamayuvchi geometrik progressiyani hosil qiladi: Shu tarzda olingan barcha to'rtburchaklar maydonlarining yig'indisi 1-kvadratning maydoniga va 1 ga teng bo'ladi. Ammo bu tenglikning chap tomonida cheksiz sonli hadlar yig'indisi joylashgan. Birinchi n ta hadning yig'indisini ko'rib chiqamiz. Geometrik progressiyaning birinchi n ta hadining yig'indisi formulasiga ko'ra, u ga teng.
Agar n cheksiz ortadi, keyin yoki . Shuning uchun, ya'ni. . Cheksiz kamayuvchi geometrik progressiya yig'indisiketma-ketlik chegarasi mavjud S 1, S 2, S 3, …, S n, …. Masalan, taraqqiyot uchun,
bizda ... bor Chunki Cheksiz kamayuvchi geometrik progressiya yig'indisiformuladan foydalanib topish mumkin.
III. Tushunish va mustahkamlash(topshiriqlarni bajarish). №13; №14; №15(1,3); №16(1,3); №18(1,3); №19; №20.
IV. Xulosa qilish. Bugun qanday ketma-ketlik bilan tanishdingiz? Cheksiz kamayuvchi geometrik progressiyani aniqlang. Geometrik progressiyaning cheksiz kamayishini qanday isbotlash mumkin? Cheksiz kamayuvchi geometrik progressiya yig‘indisi formulasini keltiring. V. Uyga vazifa. 2. № 15(2,4); №16(2,4); 18(2,4).
Taqdimotni oldindan ko‘rishdan foydalanish uchun Google hisobini yarating va unga kiring: https://accounts.google.com Har bir inson izchil fikr yuritishi, dalillar bilan hukm qilishi va noto‘g‘ri xulosalarni rad eta olishi kerak: fizik va shoir, traktorchi va kimyogar. E. Kolman Matematikada formulalarni emas, balki fikrlash jarayonlarini esga olish kerak. V.P.Ermakov Matematikni aldashdan ko'ra, aylana kvadratini topish osonroq. Avgust de Morgan Qaysi fan insoniyat uchun matematikadan ham olijanobroq, hayratlanarliroq va foydaliroq bo'lishi mumkin? Franklin Cheksiz kamayuvchi geometrik progressiya 10-darajali I. Arifmetik va geometrik progressiyalar. Savollar 1. Arifmetik progressiyaning ta’rifi. Arifmetik progressiya - ikkinchidan boshlab har bir had bir xil songa qo'shilgan oldingi hadga teng bo'lgan ketma-ketlikdir. 2. Arifmetik progressiyaning n-chi hadi formulasi. 3. Arifmetik progressiyaning birinchi n ta hadi yig’indisining formulasi. 4. Geometrik progressiyaning ta’rifi. Geometrik progressiya nolga teng boʻlmagan sonlar ketma-ketligi boʻlib, ularning har bir aʼzosi ikkinchisidan boshlab oldingi hadning bir xil songa koʻpaytirilganiga teng 5. Geometrik progressiyaning n-chi hadi formulasi. 6. Geometrik progressiyaning birinchi n ta hadi yig’indisining formulasi. II. Arifmetik progressiya. Vazifalar Arifmetik progressiya a n = 7 – 4 n formula bilan berilgan a 10 ni toping. (-33) 2. Arifmetik progressiyada a 3 = 7 va 5 = 1. 4 ni toping. (4) 3. Arifmetik progressiyada a 3 = 7 va a 5 = 1. 17 ni toping. (-35) 4. Arifmetik progressiyada a 3 = 7 va 5 = 1. S 17 ni toping. (-187) II. Geometrik progressiya. Topshiriqlar 5. Geometrik progressiya uchun beshinchi hadni toping 6. Geometrik progressiya uchun n-sonni toping. 7. Geometrik progressiyada b 3 = 8 va b 5 = 2. b 4 ni toping. (4) 8. Geometrik progressiyada b 3 = 8 va b 5 = 2. b 1 va q ni toping. 9. Geometrik progressiyada b 3 = 8 va b 5 = 2. S5 ni toping. (62) Ta'rif: Geometrik progressiya, agar uning maxrajining moduli birdan kichik bo'lsa, cheksiz kamayuvchi deyiladi. 1-masala Ketma-ketlik cheksiz kamayuvchi geometrik progressiya bo’ladimi, agar u formula bilan berilgan bo’lsa: Yechish: a) bu geometrik progressiya cheksiz kamayib bormoqda. b) bu ketma-ketlik cheksiz kamayuvchi geometrik progressiya emas. Cheksiz kamayuvchi geometrik progressiya yig‘indisi S 1, S 2, S 3, ..., S n, ... ketma-ketlikning chegarasi hisoblanadi. Masalan, bizda mavjud progressiya uchun, chunki cheksiz kamayuvchi geometrik progressiyaning yig'indisini formuladan foydalanib topish mumkin. Topshiriqlarni bajarish Birinchi hadi 3, ikkinchisi 0,3 bo‘lgan cheksiz kamayuvchi geometrik progressiyaning yig‘indisini toping. 2. № 13; № 14; darslik, 138-bet 3. No 15(1;3); No16(1;3) No18(1;3); 4. № 19; № 20. Bugun qanday ketma-ketlik bilan tanishdingiz? Cheksiz kamayuvchi geometrik progressiyani aniqlang. Geometrik progressiyaning cheksiz kamayishini qanday isbotlash mumkin? Cheksiz kamayuvchi geometrik progressiya yig‘indisi formulasini keltiring. Savollar Mashhur polshalik matematik Gyugo Shtaynxaus hazil bilan shunday tuzilgan qonun borligini ta'kidlaydi: matematik buni yaxshiroq bajaradi. Ya'ni, agar siz ikki kishiga, ulardan biri matematik bo'lgan, ularga notanish bo'lgan har qanday ishni bajarishni ishonib topshirsangiz, natija har doim quyidagicha bo'ladi: matematik buni yaxshiroq bajaradi. Hugo Steinhaus 14.01.1887-25.02.1972 Raqamli ketma-ketliklar VI § l48. Cheksiz kamayuvchi geometrik progressiya yig'indisi Shu paytgacha summalar haqida gapirganda, biz bu yig‘indilardagi atamalar sonini chekli (masalan, 2, 15, 1000 va hokazo) deb hisoblardik. Ammo ba'zi muammolarni (ayniqsa oliy matematika) yechishda cheksiz sonli atamalar yig'indisi bilan shug'ullanish kerak. S= a
1 + a
2 + ... + a
n
+ ... . (1) Bu miqdorlar qanday? A-prior cheksiz sonli hadlar yig'indisi a
1 , a
2 , ..., a
n
, ... yig‘indining limiti S deyiladi n
birinchi P
raqamlar qachon P
-> ∞
: S=S n
= (a
1 + a
2 + ... + a
n
). (2) Limit (2), albatta, mavjud yoki bo'lmasligi mumkin. Shunga ko'ra, ular yig'indi (1) mavjud yoki yo'qligini aytadilar. Har bir alohida holatda summa (1) mavjudligini qanday aniqlash mumkin? Umumiy qaror Bu masala dasturimiz doirasidan ancha chiqib ketadi. Biroq, biz hozir ko'rib chiqishimiz kerak bo'lgan bitta muhim alohida holat mavjud. Biz cheksiz kamayuvchi geometrik progressiyaning hadlarini yig'ish haqida gapiramiz. Mayli a
1 , a
1 q
, a
1 q
2, ... cheksiz kamayuvchi geometrik progressiya. Bu shuni anglatadiki | q
|< 1. Сумма первых P
bu progressiyaning shartlari teng O'zgaruvchilar chegaralari haqidagi asosiy teoremalardan (136-§ ga qarang) biz quyidagilarni olamiz: Lekin 1 = 1, a qn
= 0. Shuning uchun Demak, cheksiz kamayib boruvchi geometrik progressiya yig‘indisi bu progressiyaning birinchi hadini bir minus shu progressiyaning maxrajiga bo‘linganiga teng. 1) Geometrik progressiyaning yig‘indisi 1, 1/3, 1/9, 1/27, ... ga teng. geometrik progressiya yig‘indisi esa 12 ga teng; -6; 3; - 3/2 , ... teng 2) 0,454545 ... oddiy davriy kasrni oddiy kasrga aylantiring. Ushbu muammoni hal qilish uchun bu kasrni cheksiz yig'indi sifatida tasavvur qiling: O'ng qism Bu tenglik cheksiz kamayuvchi geometrik progressiya yig’indisidir, uning birinchi hadi 45/100 ga, maxraj esa 1/100 ga teng. Shunung uchun Ta'riflangan usuldan foydalanib, uni ham olish mumkin umumiy qoida oddiy davriy kasrlarni oddiy kasrlarga aylantirish (II bob, § 38 ga qarang): Oddiy davriy kasrni oddiy kasrga aylantirish uchun siz quyidagilarni bajarishingiz kerak: hisoblagichga o'nli kasrning davrini qo'ying va maxrajda - davrdagi raqamlar qancha bo'lsa, shuncha marta olingan to'qqizdan iborat raqam. o'nlik kasr.
3) 0,58333 .... aralash davriy kasrni oddiy kasrga aylantiring. Keling, bu kasrni cheksiz yig'indi sifatida tasavvur qilaylik: Bu tenglikning o'ng tomonida 3/1000 dan boshlab barcha hadlar cheksiz kamayuvchi geometrik progressiya hosil qiladi, birinchi hadi 3/1000 ga, maxraj esa 1/10 ga teng. Shunung uchun Ta'riflangan usuldan foydalanib, aralash davriy kasrlarni oddiy kasrlarga aylantirishning umumiy qoidasini olish mumkin (II bob, § 38-bandga qarang). Biz buni ataylab bu erda taqdim qilmaymiz. Ushbu noqulay qoidani eslab qolishning hojati yo'q. Har qanday aralash davriy kasrni cheksiz kamayuvchi geometrik progressiya va ma'lum bir sonning yig'indisi sifatida ifodalash mumkinligini bilish ancha foydalidir. Va formula cheksiz kamayuvchi geometrik progressiyaning yig'indisi uchun, albatta, eslab qolish kerak. Mashq sifatida quyida keltirilgan 995-1000-sonli masalalardan tashqari yana bir bor 301-§ 38-masalaga murojaat qilishingizni taklif qilamiz. Mashqlar
995. Cheksiz kamayuvchi geometrik progressiya yig‘indisi nima deyiladi? 996. Cheksiz kamayuvchi geometrik progressiyalar yig‘indilarini toping: 997. Qaysi qiymatlarda X
taraqqiyot cheksiz kamayib ketyaptimi? Bunday progressiyaning yig‘indisini toping. 998. Yoni bilan teng yonli uchburchakda A
uning tomonlarining o'rta nuqtalarini tutashtirib, yangi uchburchak chizilgan; yangi uchburchak bu uchburchak ichiga xuddi shu tarzda yozilgan va hokazo. a) barcha bu uchburchaklarning perimetrlari yig'indisi; b) ularning maydonlarining yig'indisi. 999. Yoni bilan kvadrat A
uning yon tomonlarining o'rta nuqtalarini birlashtirib, yangi kvadrat chizilgan; kvadrat xuddi shu tarzda bu kvadratga yozilgan va hokazo. Bu barcha kvadratlarning perimetrlari yig‘indisini va ularning maydonlari yig‘indisini toping. 1000. Cheksiz kamayuvchi geometrik progressiya tuzing, uning yig‘indisi 25/4 ga, hadlari kvadratlari yig‘indisi 625/24 ga teng bo‘lsin. Shunday qilib, keling, o'tiramiz va bir nechta raqamlarni yozishni boshlaymiz. Masalan: Siz har qanday raqamlarni yozishingiz mumkin va ular xohlaganingizcha ko'p bo'lishi mumkin (bizning holatlarimizda ular bor). Qancha son yozmaylik, qaysi biri birinchi, qaysi biri ikkinchi va shunga o'xshash oxirgisiga qadar ayta olamiz, ya'ni ularni raqamlashimiz mumkin. Bu raqamlar ketma-ketligiga misol: Raqamlar ketma-ketligi raqamlar to'plami bo'lib, ularning har biriga o'ziga xos raqam berilishi mumkin. Masalan, bizning ketma-ketligimiz uchun: Belgilangan raqam ketma-ketlikda faqat bitta raqamga xosdir. Boshqacha qilib aytganda, ketma-ketlikda uchta ikkinchi raqam yo'q. Ikkinchi raqam (chi raqam kabi) har doim bir xil bo'ladi. Raqamli raqam ketma-ketlikning n-azosi deyiladi. Biz odatda butun ketma-ketlikni qandaydir harf bilan chaqiramiz (masalan,) va bu ketma-ketlikning har bir a'zosi indeksi shu a'zoning soniga teng bo'lgan bir xil harf: . Bizning holatda: Progressiyaning eng keng tarqalgan turlari arifmetik va geometrikdir. Ushbu mavzuda biz ikkinchi tur haqida gaplashamiz - geometrik progressiya. Hatto qadimgi davrlarda ham italiyalik matematik rohib Pizalik Leonardo (yaxshiroq Fibonachchi nomi bilan mashhur) savdoning amaliy ehtiyojlari bilan shug'ullangan. Rohibning oldida mahsulotni tortish uchun ishlatilishi mumkin bo'lgan eng kichik og'irliklarni aniqlash vazifasi bor edi? Fibonachchi o'z asarlarida bunday og'irliklar tizimi maqbul ekanligini isbotlaydi: Bu odamlar geometrik progressiya bilan shug'ullanishi kerak bo'lgan birinchi vaziyatlardan biri bo'lib, siz allaqachon eshitgansiz va hech bo'lmaganda bor. umumiy tushuncha. Mavzuni to'liq tushunganingizdan so'ng, nima uchun bunday tizim optimal ekanligini o'ylab ko'ring? Hozirgi vaqtda hayot amaliyotida geometrik progressiya bankka pul mablag'larini investitsiya qilishda, oldingi davr uchun hisobvaraqda to'plangan summaga foizlar hisoblanganda o'zini namoyon qiladi. Boshqacha qilib aytadigan bo'lsak, agar siz omonat kassasiga muddatli depozitga pul qo'ysangiz, unda bir yildan so'ng depozit dastlabki miqdorga ko'payadi, ya'ni. yangi summa ko'paytirilgan hissaga teng bo'ladi. Yana bir yilda bu miqdor oshadi, ya'ni. o'sha paytda olingan miqdor yana ko'paytiriladi va hokazo. Shunga o'xshash holat deb atalmish hisoblash muammolarida tasvirlangan murakkab foiz- foiz har safar hisobdagi summadan oldingi foizlarni hisobga olgan holda olinadi. Bu vazifalar haqida biroz keyinroq gaplashamiz. Geometrik progressiya qo'llaniladigan yana ko'p oddiy holatlar mavjud. Masalan, grippning tarqalishi: bir kishi boshqa odamni yuqtirgan, ular o'z navbatida boshqa odamni yuqtirgan va shuning uchun infektsiyaning ikkinchi to'lqini odam bo'lib, ular o'z navbatida boshqa odamni yuqtirgan ... va hokazo. . Aytgancha, moliyaviy piramida, xuddi shu MMM, geometrik progressiyaning xususiyatlariga asoslangan oddiy va quruq hisob-kitobdir. Qiziqmi? Keling, buni aniqlaylik. Aytaylik, bizda raqamlar ketma-ketligi bor: Siz darhol javob berasiz, bu oson va bunday ketma-ketlikning nomi uning shartlari farqi bilan arifmetik progressiyadir. Bu haqida nima deyish mumkin: Agar siz oldingi raqamni keyingi raqamdan ayirsangiz, har safar yangi farq (va hokazo) paydo bo'lishini ko'rasiz, lekin ketma-ketlik aniq mavjud va uni sezish oson - har bir keyingi raqam avvalgisidan bir necha baravar katta! Ushbu turdagi raqamlar ketma-ketligi deyiladi geometrik progressiya va belgilanadi. Geometrik progressiya () - sonli ketma-ketlik bo'lib, uning birinchi hadi noldan farq qiladi va ikkinchisidan boshlab har bir a'zo avvalgisiga teng bo'lib, bir xil songa ko'paytiriladi. Bu son geometrik progressiyaning maxraji deb ataladi. Birinchi atama ( ) teng emas va tasodifiy bo'lmagan cheklovlar. Faraz qilaylik, hech kim yo‘q va birinchi had hali ham teng, q esa teng, hmm.. shunday bo‘lsin, keyin shunday bo‘ladi: Bu endi taraqqiyot emasligiga rozi bo'ling. Siz tushunganingizdek, noldan boshqa raqam bo'lsa, biz bir xil natijalarga erishamiz, a. Bunday hollarda, hech qanday progressiya bo'lmaydi, chunki butun sonlar seriyasi yoki hammasi nol bo'ladi, yoki bitta raqam, qolganlari esa nolga teng bo'ladi. Endi geometrik progressiyaning maxraji, ya'ni o ga to'liqroq to'xtalib o'tamiz. Yana takrorlaymiz: - bu raqam har bir keyingi atama necha marta o'zgaradi? geometrik progressiya. Sizningcha, bu nima bo'lishi mumkin? To'g'ri, ijobiy va salbiy, lekin nolga teng emas (biz bu haqda biroz yuqoriroq gaplashdik). Keling, bizniki ijobiy deb faraz qilaylik. Bizning holatimizda a. Ikkinchi muddatning qiymati nima va? Bunga osongina javob berishingiz mumkin: Hammasi to'g'ri. Shunga ko'ra, agar bo'lsa, progressiyaning barcha keyingi shartlari bir xil belgiga ega - ular ijobiydir. Agar salbiy bo'lsa-chi? Masalan, a. Ikkinchi muddatning qiymati nima va? Bu butunlay boshqacha hikoya Ushbu progressiyaning shartlarini sanashga harakat qiling. Qancha oldingiz? Menda. Shunday qilib, agar, u holda geometrik progressiya hadlarining belgilari almashinadi. Ya'ni, agar siz uning a'zolari uchun o'zgaruvchan belgilar bilan progressiyani ko'rsangiz, unda uning maxraji salbiy hisoblanadi. Ushbu bilim ushbu mavzu bo'yicha muammolarni hal qilishda o'zingizni sinab ko'rishga yordam beradi. Endi biroz mashq qilaylik: qaysi sonlar ketma-ketligi geometrik progressiya, qaysilari arifmetik progressiya ekanligini aniqlashga harakat qiling: Tushundim? Keling, javoblarimizni taqqoslaylik: Keling, oxirgi progressiyamizga qaytaylik va arifmetikadagi kabi uning a'zosini topishga harakat qilaylik. Siz taxmin qilganingizdek, uni topishning ikki yo'li mavjud. Har bir atamani ketma-ket ko'paytiramiz. Demak, tasvirlangan geometrik progressiyaning uchinchi hadi ga teng. Siz allaqachon taxmin qilganingizdek, endi siz o'zingiz geometrik progressiyaning istalgan a'zosini topishga yordam beradigan formulani olasiz. Yoki siz uni o'zingiz uchun ishlab chiqdingizmi, bosqichma-bosqich th a'zosini qanday topishni tasvirlab berdingizmi? Agar shunday bo'lsa, unda fikringizning to'g'riligini tekshiring. Keling, buni ushbu progressiyaning uchinchi hadini topish misolida ko'rsatamiz: Boshqa so'zlar bilan aytganda: Berilgan geometrik progressiya hadining qiymatini o‘zingiz toping. Bo'ldimi? Keling, javoblarimizni taqqoslaylik: E'tibor bering, siz geometrik progressiyaning har bir oldingi hadiga ketma-ket ko'paytirganda oldingi usulda bo'lgani kabi bir xil raqamni oldingiz. Olingan formula barcha qiymatlar uchun to'g'ri keladi - ham ijobiy, ham salbiy. Buni geometrik progressiyaning shartlarini hisoblab, o'zingiz tekshiring quyidagi shartlar: , A. Hisobladingizmi? Keling, natijalarni taqqoslaylik: Progressiya hadini atama kabi topish mumkinligiga rozi bo'ling, ammo noto'g'ri hisoblash imkoniyati mavjud. Va agar biz allaqachon geometrik progressiyaning uchinchi hadini topgan bo'lsak, unda formulaning "kesilgan" qismini ishlatishdan ko'ra oddiyroq narsa bo'lishi mumkin. Yaqinda biz u noldan katta yoki kichik bo'lishi mumkinligi haqida gapirgan edik, ammo geometrik progressiya deb ataladigan maxsus qiymatlar mavjud. cheksiz kamayadi. Nima uchun bu nom berilgan deb o'ylaysiz? Biz har bir keyingi atama oldingisidan bir koeffitsientga kam ekanligini ko'ramiz, lekin biron bir raqam bo'ladimi? Siz darhol javob berasiz - "yo'q". Shuning uchun u cheksiz kamayib boradi - u kamayadi va kamayadi, lekin hech qachon nolga aylanmaydi. Bu vizual tarzda qanday ko'rinishini aniq tushunish uchun keling, progressiyamizning grafigini chizishga harakat qilaylik. Shunday qilib, bizning holatlarimiz uchun formula quyidagi shaklni oladi: Grafiklarda biz qaramlikni chizishga odatlanganmiz, shuning uchun: Ifodaning mohiyati o‘zgarmagan: birinchi yozuvda biz geometrik progressiya a’zosi qiymatining uning tartib raqamiga bog‘liqligini ko‘rsatdik, ikkinchi yozuvda esa oddiygina geometrik progressiya a’zosining qiymatini quyidagicha qabul qildik. , va tartib sonni sifatida emas, balki kabi belgilagan. Bajarilishi kerak bo'lgan narsa faqat grafik yaratishdir. Ko'ryapsizmi? Funktsiya kamayadi, nolga intiladi, lekin uni hech qachon kesib o'tmaydi, shuning uchun u cheksiz kamayadi. Grafikdagi nuqtalarimizni va shu bilan birga koordinata va nimani anglatishini belgilaymiz: Geometrik progressiyaning grafigini sxematik tasvirlashga harakat qiling, agar uning birinchi hadi ham teng bo'lsa. Tahlil qiling, oldingi grafik bilan qanday farq bor? Siz boshqardingizmi? Mana men o'ylab topgan grafik: Endi siz geometrik progressiya mavzusining asoslarini to‘liq tushunib oldingiz: siz uning nima ekanligini bilasiz, uning hadini qanday topishni bilasiz, shuningdek, cheksiz kamayuvchi geometrik progressiya nima ekanligini ham bilasiz, keling, uning asosiy xususiyatiga o‘tamiz. Arifmetik progressiya hadlari xossasini eslaysizmi? Ha, ha, bu progressiya shartlarining oldingi va keyingi qiymatlari mavjud bo'lganda, progressiyaning ma'lum sonining qiymatini qanday topish mumkin. Esingizdami? Bu: Endi biz geometrik progressiyaning shartlari uchun aynan bir xil savolga duch kelamiz. Bunday formulani olish uchun, keling, chizish va fikrlashni boshlaylik. Ko'rasiz, bu juda oson, agar unutib qo'ysangiz, uni o'zingiz chiqarib olishingiz mumkin. Keling, yana bir oddiy geometrik progressiyani olaylik, unda biz bilamiz va. Qanday topish mumkin? Arifmetik progressiya bilan bu oson va sodda, ammo bu erda nima deyish mumkin? Aslida, geometrikda ham murakkab narsa yo'q - siz bizga berilgan har bir qiymatni formula bo'yicha yozishingiz kerak. Siz so'rashingiz mumkin, endi bu haqda nima qilishimiz kerak? Ha, juda oddiy. Birinchidan, ushbu formulalarni rasmda tasvirlaymiz va ular bilan ishlashga harakat qilamiz turli xil manipulyatsiyalar qiymatga erishish. Keling, bizga berilgan raqamlardan mavhumlashamiz, ularning faqat formula orqali ifodalanishiga e'tibor qaratamiz. Biz unga qo'shni shartlarni bilib, to'q sariq rangda ta'kidlangan qiymatni topishimiz kerak. Keling, ular bilan ishlab chiqarishga harakat qilaylik turli harakatlar, buning natijasida biz olishimiz mumkin. Qo'shish. Ko'rib turganingizdek, bu iboradan biz uni hech qanday tarzda ifodalay olmaymiz, shuning uchun biz boshqa variantni - ayirishni sinab ko'ramiz. Ayirish. Ko'rib turganingizdek, biz buni ham ifodalay olmaymiz, shuning uchun keling, bu iboralarni bir-biriga ko'paytirishga harakat qilaylik. Ko'paytirish. Endi topilishi kerak bo'lgan narsalar bilan solishtirganda bizga berilgan geometrik progressiyaning shartlarini ko'paytirish orqali bizda nima borligini diqqat bilan ko'rib chiqing: O'ylab ko'ring, men nima haqida gapiryapman? To'g'ri, topish uchun biz olishimiz kerak Kvadrat ildiz Kerakliga ulashgan geometrik progressiya raqamlaridan bir-biriga ko'paytiriladi: Mana. Siz geometrik progressiya xususiyatini o'zingiz yaratgansiz. Ushbu formulani yozishga harakat qiling umumiy ko'rinish. Bo'ldimi? Shartni unutdingizmi? Nima uchun muhimligini o'ylab ko'ring, masalan, uni o'zingiz hisoblashga harakat qiling. Bu holatda nima bo'ladi? To'g'ri, mutlaqo bema'nilik, chunki formula quyidagicha ko'rinadi: Shunga ko'ra, bu cheklovni unutmang. Endi u nimaga teng ekanligini hisoblaylik To'g'ri javob -! Hisoblashda ikkinchisini unutmagan bo'lsangiz mumkin bo'lgan ma'no, keyin siz ajoyibsiz va darhol mashg'ulotlarga o'tishingiz mumkin va agar unutgan bo'lsangiz, quyida muhokama qilinadigan narsalarni o'qing va javobda nima uchun ikkala ildiz ham yozilishi kerakligiga e'tibor bering. Keling, ikkala geometrik progressiyamizni chizamiz - biri qiymatga ega, ikkinchisi esa qiymatga ega va ularning ikkalasi ham mavjud bo'lish huquqiga ega yoki yo'qligini tekshiramiz: Bunday geometrik progressiya bor yoki yo'qligini tekshirish uchun uning barcha berilgan hadlari bir xil yoki yo'qligini ko'rish kerakmi? Birinchi va ikkinchi holatlar uchun q ni hisoblang. Qarang, nega ikkita javob yozishimiz kerak? Chunki siz izlayotgan atamaning belgisi uning ijobiy yoki salbiy ekanligiga bog'liq! Va biz nima ekanligini bilmasligimiz uchun ikkala javobni ham ortiqcha va minus bilan yozishimiz kerak. Endi siz asosiy fikrlarni o‘zlashtirib, geometrik progressiya xossasining formulasini chiqarganingizdan so‘ng, toping, biling va Javoblaringizni to'g'ri javoblar bilan solishtiring: Nima deb o'ylaysiz, agar bizga geometrik progressiya shartlarining qiymatlari kerakli songa qo'shni emas, balki undan teng masofada berilsa nima bo'ladi? Masalan, topishimiz kerak, va berilgan va. Bu holatda biz olingan formuladan foydalana olamizmi? Ushbu imkoniyatni xuddi shu tarzda tasdiqlash yoki rad etishga harakat qiling, har bir qiymat nimadan iboratligini tasvirlab ko'ring, siz formulani dastlab olganingizda qilganingizdek. Endi yana diqqat bilan qarang. Bundan xulosa qilishimiz mumkinki, formula ishlaydi nafaqat qo'shni bilan geometrik progressiyaning kerakli shartlari bilan, balki teng masofada a'zolar qidirayotgan narsadan. Shunday qilib, bizning dastlabki formulamiz quyidagi shaklni oladi: Ya'ni, agar biz birinchi holatda shunday degan bo'lsak, endi biz har qanday narsaga teng bo'lishi mumkinligini aytamiz natural son, qaysi kichikroq. Asosiysi, berilgan ikkala raqam uchun ham bir xil. Aniq misollar bilan mashq qiling, juda ehtiyot bo'ling! Qaror qildingizmi? Umid qilamanki, siz juda ehtiyot bo'ldingiz va kichik bir ovni payqadingiz. Keling, natijalarni taqqoslaylik. Birinchi ikkita holatda biz yuqoridagi formulani xotirjamlik bilan qo'llaymiz va quyidagi qiymatlarni olamiz: Uchinchi holatda, yaqinroq tekshirilganda seriya raqamlari bizga berilgan raqamlar, biz ular izlayotgan raqamdan bir xil masofada emasligini tushunamiz: bu oldingi raqam, lekin pozitsiyada olib tashlangan, shuning uchun formulani qo'llash mumkin emas. Uni qanday hal qilish kerak? Bu aslida ko'rinadigan darajada qiyin emas! Keling, bizga berilgan har bir raqam va biz izlayotgan raqam nimadan iboratligini yozamiz. Shunday qilib, bizda va. Keling, ular bilan nima qilishimiz mumkinligini ko'rib chiqaylik? ga ajratishni taklif qilaman. Biz olamiz: Biz ma'lumotlarimizni formulaga almashtiramiz: Biz topishimiz mumkin bo'lgan keyingi qadam - buning uchun natijada olingan raqamning kub ildizini olishimiz kerak. Endi bizda nima borligini yana bir bor ko'rib chiqaylik. Bizda bor, lekin biz uni topishimiz kerak va u o'z navbatida quyidagilarga teng: Hisoblash uchun barcha kerakli ma'lumotlarni topdik. Formulaga almashtiring: Bizning javobimiz: . Boshqa shunga o'xshash muammoni o'zingiz hal qilib ko'ring: Qancha oldingiz? Menda - . Ko'rib turganingizdek, aslida sizga kerak faqat bitta formulani eslang- . Qolganlarini istalgan vaqtda hech qanday qiyinchiliksiz o'zingiz olib qo'yishingiz mumkin. Buning uchun qog'ozga eng oddiy geometrik progressiyani yozing va yuqorida tavsiflangan formula bo'yicha uning har bir soni nimaga teng ekanligini yozing. Endi berilgan oraliqdagi geometrik progressiya hadlari yig‘indisini tez hisoblash imkonini beruvchi formulalarni ko‘rib chiqamiz: Cheklangan geometrik progressiyaning hadlari yig‘indisi formulasini chiqarish uchun yuqoridagi tenglamaning barcha qismlarini ga ko‘paytiring. Biz olamiz: Diqqat bilan qarang: oxirgi ikkita formulada qanday umumiylik bor? To'g'ri, umumiy a'zolar, masalan, va hokazo, birinchi va oxirgi a'zodan tashqari. Keling, 2-tenglamadan 1-ni ayirishga harakat qilaylik. Nima oldingiz? Endi geometrik progressiyaning hadini formula orqali ifodalang va olingan ifodani oxirgi formulamizga almashtiring: Ifodani guruhlash. Siz olishingiz kerak: Bajarilishi kerak bo'lgan yagona narsa: Shunga ko'ra, bu holatda. Agar .. bo'lsa nima bo'ladi? Keyin qanday formula ishlaydi? Geometrik progressiyani tasavvur qiling. U qanday? Bir xil raqamlar qatori to'g'ri, shuning uchun formula quyidagicha ko'rinadi: Arifmetik va geometrik progressiya haqida ko'plab afsonalar mavjud. Ulardan biri shaxmatning yaratuvchisi Set haqidagi afsonadir. Shaxmat o‘yini Hindistonda ixtiro qilinganini ko‘pchilik biladi. Hind qiroli u bilan uchrashganda, u uning aql-zakovati va undagi turli xil pozitsiyalardan xursand bo'ldi. Buni o'z fuqarolaridan biri ixtiro qilganini bilib, qirol uni shaxsan mukofotlashga qaror qildi. U ixtirochini o'ziga chaqirdi va undan o'zi xohlagan hamma narsani so'rashni buyurdi, hatto eng mohir istakni bajarishga va'da berdi. Seta o'ylash uchun vaqt so'radi va ertasi kuni Seta qirolning huzuriga kelganida, u o'z iltimosining misli ko'rilmagan kamtarligi bilan qirolni hayratda qoldirdi. U shaxmat taxtasining birinchi kvadratiga bir dona bug'doy, ikkinchisiga bir bug'doy, uchinchi, to'rtinchi va hokazo bug'doy donini berishni so'radi. Podshoh g'azablanib, xizmatkorning iltimosi shohning saxiyligiga loyiq emasligini aytib, Setni haydab yubordi, lekin xizmatkor uning donalarini taxtaning barcha kvadratlari uchun olishini va'da qildi. Va endi savol: geometrik progressiyaning shartlari yig'indisi formulasidan foydalanib, Set qancha don olishi kerakligini hisoblang? Keling, fikr yuritishni boshlaylik. Shartga ko'ra, Set shaxmat taxtasining birinchi kvadrati uchun, ikkinchisi, uchinchisi, to'rtinchisi va boshqalar uchun bug'doy donini so'raganligi sababli, muammo geometrik progressiya haqida ekanligini ko'ramiz. Bu holatda u nimaga teng? Shaxmat taxtasining umumiy kvadratlari. Tegishli ravishda, . Bizda barcha ma'lumotlar bor, qolgani uni formulaga ulash va hisoblash. Hech bo'lmaganda berilgan raqamning "miqyosi" ni tasavvur qilish uchun biz daraja xususiyatlaridan foydalanib o'zgartiramiz: Albatta, agar xohlasangiz, kalkulyatorni olib, qaysi raqam bilan yakunlanganingizni hisoblashingiz mumkin, agar bo'lmasa, mening so'zlarimni qabul qilishingiz kerak bo'ladi: ifodaning yakuniy qiymati bo'ladi. kvintilion kvadrillion trillion milliard million ming. Phew) Agar siz bu raqamning ulkanligini tasavvur qilmoqchi bo'lsangiz, unda butun don miqdorini sig'dirish uchun qancha katta ombor kerak bo'lishini hisoblang. Agar podshoh matematikada kuchli bo‘lganida, donlarni sanashga olimning o‘zini taklif qilishi mumkin edi, chunki million donni sanash uchun unga hech bo‘lmaganda bir kun tinimsiz hisoblash kerak bo‘lardi va kvintilionlarni sanash zarurligini hisobga olsak, donlarni sanash kerak edi. butun umri davomida hisoblanishi kerak edi. Endi geometrik progressiyaning hadlari yig‘indisidan iborat oddiy masalani yechamiz. Demak, geometrik progressiyaning birinchi hadi Vasya, ya’ni odam. Geometrik progressiyaning uchinchi muddati - u kelishining birinchi kunida yuqtirgan ikki kishi. umumiy qiymat progressiya a'zolari 5A o'quvchilar soniga teng. Shunga ko'ra, biz rivojlanish haqida gapiramiz, unda: Keling, ma'lumotlarimizni geometrik progressiyaning hadlari yig'indisi formulasiga almashtiramiz: Bir necha kun ichida butun sinf kasal bo'lib qoladi. Formulalar va raqamlarga ishonmaysizmi? Talabalarning "infektsiyasini" o'zingiz tasvirlashga harakat qiling. Bo'ldimi? Menga qanday qarashini qarang: O'zingiz hisoblab ko'ring, agar o'quvchilarning har biri bir odamga yuqsa va sinfda faqat bitta odam bo'lsa, o'quvchilar gripp bilan necha kun kasal bo'lib qolishlarini. Siz qanday qiymatga ega bo'ldingiz? Ma'lum bo'lishicha, bir kundan keyin hamma kasal bo'la boshlagan. Ko'rib turganingizdek, bunday vazifa va uning chizmasi piramidaga o'xshaydi, unda har bir keyingi yangi odamlarni "olib keladi". Biroq, ertami-kechmi, ikkinchisi hech kimni jalb qila olmaydigan payt keladi. Bizning holatda, agar sinf izolyatsiya qilingan deb tasavvur qilsak, dan kelgan kishi zanjirni yopadi (). Shunday qilib, agar biror kishi ishtirok etgan bo'lsa moliyaviy piramida, unda pul berilgan bo'lsa, agar siz boshqa ikkita ishtirokchini olib kelsangiz, u holda odam (yoki umumiy holat) hech kimni olib kelmagan bo'lardi va shuning uchun bu moliyaviy firibgarlikka sarmoya kiritgan hamma narsani yo'qotgan bo'lar edi. Yuqorida aytilganlarning barchasi kamayib borayotgan yoki ortib borayotgan geometrik progressiyani anglatadi, lekin siz eslayotganingizdek, bizda alohida tur bor - cheksiz kamayuvchi geometrik progressiya. Uning a'zolari yig'indisini qanday hisoblash mumkin? Va nima uchun bu turdagi progressiya ma'lum xususiyatlarga ega? Keling, buni birgalikda aniqlaylik. Shunday qilib, birinchi navbatda, bizning misolimizdan cheksiz kamayuvchi geometrik progressiyaning ushbu chizmasini yana bir bor ko'rib chiqamiz: Keling, biroz oldin olingan geometrik progressiya yig'indisi formulasini ko'rib chiqaylik: Biz nimaga intilyapmiz? To'g'ri, grafik uning nolga moyilligini ko'rsatadi. Ya'ni, at, mos ravishda deyarli teng bo'ladi, ifodani hisoblashda biz deyarli olamiz. Shu munosabat bilan, biz cheksiz kamayuvchi geometrik progressiyaning yig'indisini hisoblashda, bu qavsni e'tiborsiz qoldirish mumkin deb hisoblaymiz, chunki u teng bo'ladi. - formula - cheksiz kamayuvchi geometrik progressiyaning hadlari yig'indisi. MUHIM! Cheksiz kamayib boruvchi geometrik progressiyaning hadlari yig‘indisi formulasidan faqat shart yig‘indini topishimiz kerakligini aniq ko‘rsatsagina foydalanamiz. cheksiz a'zolar soni. Agar ma'lum bir n raqami ko'rsatilgan bo'lsa, u holda biz yoki bo'lsa ham, n ta a'zolar yig'indisi uchun formuladan foydalanamiz. Endi mashq qilaylik. Umid qilamanki, siz juda ehtiyot bo'ldingiz. Keling, javoblarimizni taqqoslaylik: Endi siz geometrik progressiya haqida hamma narsani bilasiz va nazariyadan amaliyotga o'tish vaqti keldi. Imtihonda eng ko'p uchraydigan geometrik progressiya muammolari murakkab foizlarni hisoblash masalalari hisoblanadi. Bular haqida biz gaplashamiz. Murakkab foiz formulasi haqida eshitgandirsiz. Bu nimani anglatishini tushunyapsizmi? Agar yo'q bo'lsa, keling, buni aniqlaylik, chunki jarayonning o'zini tushunganingizdan so'ng, geometrik progressiyaning u bilan qanday aloqasi borligini darhol tushunasiz. Biz hammamiz bankka boramiz va borligini bilamiz turli sharoitlar depozitlar bo'yicha: bu muddat va qo'shimcha xizmat va ikkita foiz turli yo'llar bilan uning hisob-kitoblari - oddiy va murakkab. BILAN oddiy qiziqish hamma narsa ko'proq yoki kamroq aniq: foizlar depozit muddati oxirida bir marta hisoblanadi. Ya'ni, biz bir yil davomida 100 rubl depozit qilamiz, desak, ular faqat yil oxirida hisobga olinadi. Shunga ko'ra, depozitning oxirigacha biz rubl olamiz. Murakkab foiz- bu sodir bo'ladigan variant foiz kapitallashuvi, ya'ni. ularning depozit summasiga qo'shilishi va keyinchalik daromadning dastlabki emas, balki to'plangan depozit summasidan hisoblanishi. Kapitallashtirish doimiy ravishda sodir bo'lmaydi, lekin ma'lum bir chastota bilan. Qoida tariqasida, bunday davrlar tengdir va ko'pincha banklar oy, chorak yoki yilni ishlatadilar. Faraz qilaylik, biz har yili bir xil rubllarni depozit qilamiz, lekin omonatning oylik kapitallashuvi bilan. Biz nima qilyapmiz? Bu erda hamma narsani tushunyapsizmi? Agar yo'q bo'lsa, keling, buni bosqichma-bosqich aniqlaymiz. Biz bankka rubl olib keldik. Oyning oxiriga kelib, bizning hisobimizda rubllarimiz va ularga nisbatan foizlardan iborat miqdor bo'lishi kerak, ya'ni: Rozimisiz? Biz uni qavslardan olib tashlashimiz mumkin va keyin biz quyidagilarni olamiz: Qabul qiling, bu formula biz boshida yozganimizga ko'proq o'xshaydi. Faqat foizlarni aniqlash qoladi Muammo bayonotida bizga yillik stavkalar haqida aytiladi. Ma'lumki, biz ko'paytirmaymiz - foizlarni ga aylantiramiz o'nli kasrlar, ya'ni: To'g'rimi? Endi siz so'rashingiz mumkin, raqam qaerdan kelgan? Juda oddiy! Tushundingizmi? Endi foizlar har kuni hisoblab chiqiladi, desam formulaning bu qismi qanday ko'rinishini yozishga harakat qiling. Juda qoyil! Keling, vazifamizga qaytaylik: to'plangan depozit summasiga foizlar hisoblanganligini hisobga olib, ikkinchi oyda hisobimizga qancha pul tushishini yozing. Yoki boshqacha aytganda: O'ylaymanki, siz allaqachon naqshni payqadingiz va bularning barchasida geometrik progressiyani ko'rdingiz. Uning a'zosi nimaga teng bo'lishini yoki boshqacha qilib aytganda, oy oxirida qancha pul olishimizni yozing. Ko'rib turganingizdek, oddiy foiz stavkasi bo'yicha bir yil davomida bankka pul qo'ysangiz, siz rubl olasiz, agar murakkab foiz stavkasi bo'lsa, rubl olasiz. Foyda kichik, lekin bu faqat th yil davomida sodir bo'ladi, lekin ko'proq uchun uzoq muddat kapitallashtirish ancha foydali: Keling, murakkab foizlar bilan bog'liq boshqa turdagi masalalarni ko'rib chiqaylik. Siz tushunganingizdan so'ng, bu siz uchun oddiy bo'ladi. Shunday qilib, vazifa: "Zvezda" kompaniyasi 2000 yilda sanoatga sarmoya kirita boshlagan, kapitali dollarda. 2001 yildan boshlab har yili o'tgan yilgi kapitalga teng foyda oldi. Agar foyda muomaladan olinmasa, Zvezda kompaniyasi 2003 yil oxirida qancha foyda oladi? 2000 yilda Zvezda kompaniyasining kapitali. Yoki qisqacha yozishimiz mumkin: Bizning holatimiz uchun: 2000, 2001, 2002 va 2003 yillar. Javoblar: 2003, 2004, 2005, 2006, 2007 yillar. 2005, 2006, 2007 yillar. 1) Geometrik progressiya ( ) sonli ketma-ketlik boʻlib, uning birinchi hadi noldan farq qiladi va ikkinchisidan boshlab har bir had oldingisiga teng boʻlib, bir xil songa koʻpaytiriladi. Bu son geometrik progressiyaning maxraji deb ataladi. 2) Geometrik progressiya hadlari tenglamasi. 3) va dan tashqari har qanday qiymatlarni qabul qilishi mumkin. 4) , bilan - geometrik progressiya xossasi (qo‘shni hadlar) yoki Uni topganingizda, buni unutmang ikkita javob bo'lishi kerak. Masalan, 5) Geometrik progressiya hadlari yig‘indisi quyidagi formula bilan hisoblanadi: Agar progressiya cheksiz kamayib borayotgan bo'lsa, unda: MUHIM! Cheksiz kamayib boruvchi geometrik progressiya hadlari yig‘indisi formulasidan faqat shart cheksiz sonli hadlar yig‘indisini topish zarurligini aniq ko‘rsatsagina foydalanamiz. 6) Murakkab foizli masalalar ham geometrik progressiyaning uchinchi hadi formulasi yordamida hisoblab chiqiladi. pul mablag'lari muomaladan chiqarilmagan: Geometrik progressiya( ) - sonli ketma-ketlik bo'lib, uning birinchi hadi noldan farq qiladi va ikkinchisidan boshlab har bir a'zo avvalgisiga teng bo'lib, bir xil songa ko'paytiriladi. Bu raqam chaqiriladi geometrik progressiyaning maxraji. Geometrik progressiyaning maxraji vadan tashqari har qanday qiymatni qabul qilishi mumkin. Geometrik progressiya hadlari tenglamasi - . Geometrik progressiya hadlari yig'indisi formula bo'yicha hisoblanadi: Mavzu bo'yicha dars “Cheksiz kamayuvchi geometrik progressiya” (algebra, 10-sinf)
Darsning maqsadi: o'quvchilarni ketma-ketlikning yangi turi - cheksiz kamayuvchi geometrik progressiya bilan tanishtirish. Uskunalar: proyektor, ekran. Dars turi: dars - yangi mavzuni o'rganish. Darslar davomida I
. Org. moment. Darsning mavzusi va maqsadini ayting. II
. Talabalarning bilimlarini yangilash. 9-sinfda siz arifmetik va geometrik progressiyalarni o'rgandingiz. Savollar 1. Arifmetik progressiyaning ta’rifi. (Arifmetik progressiya - ikkinchidan boshlab har bir a'zo bir xil songa qo'shilgan oldingi a'zoga teng bo'lgan ketma-ketlikdir). 2. Formula n arifmetik progressiyaning uchinchi hadi ( 3. Birinchisining yig'indisi formulasi n arifmetik progressiyaning shartlari. ( 4. Geometrik progressiyaning ta’rifi. (Geometrik progressiya - bu nolga teng bo'lmagan sonlar ketma-ketligi bo'lib, ularning har bir a'zosi ikkinchisidan boshlab oldingi hadning bir xil songa ko'paytirilishiga teng). 5. Formula n geometrik progressiyaning uchinchi hadi ( 6. Birinchisining yig'indisi formulasi n geometrik progressiyaning a'zolari. ( 7. Yana qanday formulalarni bilasiz? ( 5. Geometrik progressiya uchun 6. Geometrik progressiya uchun 7. Eksponensial b
3
= 8
Va b
5
= 2
. Toping b
4
. (4) 8. Eksponensial b
3
= 8
Va b
5
= 2
. Toping b
1
Va
q
. 9. Eksponensial b
3
= 8
Va b
5
= 2
. Toping S
5
. (62) III
. Yangi mavzuni o'rganish(taqdimot namoyishi). Tomoni 1 ga teng bo'lgan kvadratni ko'rib chiqaylik. Keling, tomoni birinchi kvadratning yarmiga teng bo'lgan boshqa kvadratni chizamiz, keyin tomoni ikkinchi yarmiga teng bo'lgan boshqasini, keyin keyingisini va hokazo. Har safar yangi kvadratning tomoni avvalgisining yarmiga teng bo'ladi. Natijada biz kvadratchalar ketma-ketligini oldik Va, eng muhimi, biz bunday kvadratlarni qanchalik ko'p qursak, kvadratning yon tomoni shunchalik kichik bo'ladi. Masalan, Bular. n soni ortishi bilan progressiyaning shartlari nolga yaqinlashadi. Ushbu raqamdan foydalanib, siz boshqa ketma-ketlikni ko'rib chiqishingiz mumkin. Masalan, kvadrat maydonlarining ketma-ketligi: Keling, yana bir misolni ko'rib chiqaylik. Tomonlari 1 sm ga teng bo'lgan teng tomonli uchburchak. Quyidagi uchburchakni uchburchakning o‘rta chizig‘i haqidagi teoremaga ko‘ra, 1-uchburchak tomonlarining o‘rtalaridagi uchlari bilan quramiz - 2-chi tomoni birinchi tomonning yarmiga, 3-chi tomonining yarmiga teng. 2-chi tomonining yarmiga teng va hokazo. Yana uchburchaklar tomonlarining uzunliklari ketma-ketligini olamiz. Agar manfiy maxrajli geometrik progressiyani ko'rib chiqsak. Keyin, yana, ortib borayotgan raqamlar bilan n progressiyaning shartlari nolga yaqinlashadi. Keling, ushbu ketma-ketliklarning maxrajlariga e'tibor qaratamiz. Hamma joyda denominatorlar mutlaq qiymatda 1 dan kam edi. Xulosa qilishimiz mumkin: geometrik progressiya, agar uning maxrajining moduli 1 dan kichik bo'lsa, u cheksiz kamayadi. Ta'rifi:
Geometrik progressiya, agar uning maxrajining moduli birdan kichik bo'lsa, cheksiz kamayuvchi deyiladi. Ta'rifdan foydalanib, siz geometrik progressiyaning cheksiz kamayishini yoki yo'qligini hal qilishingiz mumkin. Vazifa Ketma-ketlik quyidagi formula bilan berilgan bo'lsa, u cheksiz kamayuvchi geometrik progressiya bo'ladimi: Yechim: bu geometrik progressiya cheksiz kamayib bormoqda. b) bu ketma-ketlik cheksiz kamayuvchi geometrik progressiya emas. Yoni 1 ga teng bo'lgan kvadratni ko'rib chiqing. Uni yarmiga bo'ling, yarmidan birini yarmiga bo'ling va hokazo. Olingan barcha to'rtburchaklarning maydonlari cheksiz kamayuvchi geometrik progressiyani hosil qiladi: Shu tarzda olingan barcha to'rtburchaklar maydonlarining yig'indisi 1-kvadratning maydoniga va 1 ga teng bo'ladi.
Progressiyaning birinchi hadini topish vazifasi
Zenonning tez Axilles va sekin toshbaqa bilan mashhur paradoksi
Vazifalar:
sonli ketma-ketlik chegarasining dastlabki g'oyasini shakllantirish;
cheksiz kamayuvchi geometrik progressiya yig‘indisi formulasidan foydalanib, cheksiz davriy kasrlarni oddiy kasrlarga aylantirishning boshqa usuli bilan tanishish;
maktab o'quvchilarining mantiqiy fikrlash, baholash harakatlari va umumlashtirish kabi intellektual fazilatlarini rivojlantirish;
faollikni, o'zaro yordamni, jamoaviylikni va mavzuga qiziqishni tarbiyalash.Yuklab oling:
Ko‘rib chiqish:
Ko‘rib chiqish:
Slayd sarlavhalari:
Geometrik progressiya. To'liq qo'llanma misollar bilan (2019)
Raqamlar ketma-ketligi
Geometrik progressiya nima uchun kerak va uning tarixi?
Geometrik progressiya.
Keling, "depersonalizatsiya" ga harakat qilaylik bu formula- Keling, uni umumiy shaklga keltiramiz va olamiz:Cheksiz kamayuvchi geometrik progressiya.
Avval haddan iborat geometrik progressiyani yozamiz.
Aytaylik, keyin:
Keling, nima borligini bilib olaylik. Mana men o'ylab topgan grafik:
Geometrik progressiyaning xossasi.
Keling, ikkita iborani qo'shishga harakat qilaylik va biz quyidagilarni olamiz:
Nima oldingiz?
va mos ravishda:
Berilgan: ,
Toping:Geometrik progressiya hadlari yig'indisi.
To'g'ri.
Ya'ni:
Agar ombor balandligi m va kengligi m bo'lsa, uning uzunligi km ga cho'zilishi kerak edi, ya'ni. Yerdan Quyoshgacha bo'lgan masofadan ikki baravar uzoqroqdir.
5A sinf o'quvchisi Vasya gripp bilan kasal bo'lib qoldi, lekin maktabga borishda davom etmoqda. Har kuni Vasya ikki kishini yuqtiradi, ular o'z navbatida yana ikkita odamni yuqtirishadi va hokazo. Sinfda faqat odamlar bor. Necha kundan keyin butun sinf gripp bilan kasallanadi?
yoki
Murakkab foizlarni hisoblash masalalari.
Takror aytaman: muammo bayonotida aytilgan YILLIK hisoblangan foizlar OYLIK. Ma'lumki, bir yil ichida, shunga ko'ra, bank bizdan oyiga yillik foizlarning bir qismini undiradi:
Siz boshqardingizmi? Keling, natijalarni taqqoslaylik:
Mana menda nima bor:
qildimmi? Keling, tekshiramiz!
- 2001 yilda Zvezda kompaniyasining kapitali.
- 2002 yilda Zvezda kompaniyasining kapitali.
- 2003 yilda Zvezda kompaniyasining kapitali.
Mos ravishda:
rubl
E'tibor bering, bu masalada bizda ham, na bo'yicha bo'linish yo'q, chunki foiz YILLIK beriladi va YILLIK hisoblanadi. Ya'ni, murakkab foizlar bo'yicha masalani o'qiyotganda, qancha foiz berilgan va qaysi davrda hisoblanganiga e'tibor bering va shundan keyingina hisob-kitoblarga o'ting.
Endi siz geometrik progressiya haqida hamma narsani bilasiz.Trening.
MDM Capital kompaniyasi:
- 100%, ya'ni 2 barobar ortadi.
Mos ravishda:
rubl
MSK Cash Flows kompaniyasi:
- marta, ya'ni marta ortadi.
Mos ravishda:
rubl
rublKeling, xulosa qilaylik.
, da (teng masofada)
yoki
yokiGEOMETRIK PROGRESSIYA. ASOSIY NARSALAR HAQIDA QISQA
yoki
)
yoki 
)
)
)
, Qayerda 
; 
; 
; 
, 
)
beshinchi hadni toping. 
toping n th a'zosi. 
maxraj bilan geometrik progressiya hosil qilish.
. Va yana, agar n cheksiz ortadi, keyin maydon siz xohlagancha yaqin nolga yaqinlashadi.
da 
.
.
; 
.. Biz topamiz q
.
; 
; 
; 
.
