Geometrik progressiya sonli ketma-ketlik boʻlib, uning birinchi hadi nolga teng boʻlmagan va har bir keyingi had oldingi hadning bir xil nolga teng boʻlmagan songa koʻpaytirilganiga teng.

Geometrik progressiya haqida tushuncha

Geometrik progressiya b1,b2,b3, …, bn, … bilan belgilanadi.

Geometrik xatoning istalgan hadining oldingi hadiga nisbati bir xil songa teng, ya’ni b2/b1 = b3/b2 = b4/b3 = ... = bn/b(n-1) = b( n+1)/bn = … . Bu to'g'ridan-to'g'ri ta'rifdan kelib chiqadi arifmetik progressiya. Bu son geometrik progressiyaning maxraji deb ataladi. Odatda geometrik progressiyaning maxraji q harfi bilan belgilanadi.

|q| uchun cheksiz geometrik progressiya yig'indisi<1

Geometrik progressiyani aniqlash usullaridan biri uning birinchi hadi b1 va q geometrik xatosining maxrajini ko'rsatishdir. Masalan, b1=4, q=-2. Bu ikki shart 4, -8, 16, -32, … geometrik progressiyani aniqlaydi.

Agar q>0 (q 1 ga teng bo'lmasa), progressiya monotonik ketma-ketlikdir. Masalan, 2, 4,8,16,32, ... ketma-ketlik monoton ortib boruvchi ketma-ketlikdir (b1=2, q=2).

Agar geometrik xatodagi maxraj q=1 bo'lsa, geometrik progressiyaning barcha hadlari bir-biriga teng bo'ladi. Bunday hollarda progressiya doimiy ketma-ketlik deyiladi.

Sonlar ketma-ketligi (bn) geometrik progressiya bo'lishi uchun uning har bir a'zosi ikkinchidan boshlab qo'shni a'zolarning geometrik o'rtasi bo'lishi kerak. Ya'ni, quyidagi tenglamani bajarish kerak
(b(n+1))^2 = bn * b(n+2), har qanday n>0 uchun, bunda n N natural sonlar to‘plamiga tegishli.

Endi (Xn) - geometrik progressiyani qo'yaylik. Geometrik progressiyaning maxraji q, va |q|∞).
Agar cheksiz geometrik progressiyaning yig‘indisini S bilan belgilasak, quyidagi formula qo‘llaniladi:
S=x1/(1-q).

Keling, oddiy misolni ko'rib chiqaylik:

Cheksiz geometrik progressiya 2, -2/3, 2/9, - 2/27, … yig‘indisini toping.

S ni topish uchun cheksiz arifmetik progressiya yig‘indisi formulasidan foydalanamiz. |-1/3|< 1. x1 = 2. S=2/(1-(-1/3)) = 3/2.

Agar hamma natural son n haqiqiy raqamga mos keladi a n , keyin berilganligini aytishadi raqamlar ketma-ketligi :

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n , . . . .

Demak, sonlar ketma-ketligi natural argumentning funksiyasidir.

Raqam a 1 chaqirdi ketma-ketlikning birinchi a'zosi , raqam a 2 — ketma-ketlikning ikkinchi muddati , raqam a 3 — uchinchi va hokazo. Raqam a n chaqirdi n-chi davr ketma-ketliklar , va natural son n — uning raqami .

Ikki qo'shni a'zodan a n Va a n +1 ketma-ketlik a'zosi a n +1 chaqirdi keyingi (munosabatga ko'ra a n ), A a n — oldingi (munosabatga ko'ra a n +1 ).

Ketma-ketlikni aniqlash uchun istalgan raqam bilan ketma-ketlik a'zosini topish imkonini beruvchi usulni ko'rsatish kerak.

Ko'pincha ketma-ketlik yordamida belgilanadi n-sonli formulalar , ya'ni ketma-ketlik a'zosini raqami bo'yicha aniqlash imkonini beruvchi formula.

Masalan,

musbat toq sonlar ketma-ketligi formula bilan berilishi mumkin

a n= 2n- 1,

va almashinish ketma-ketligi 1 Va -1 - formula

b n = (-1)n +1 . ◄

Ketma-ketlikni aniqlash mumkin takrorlanuvchi formula, ya'ni qatorning istalgan a'zosini, ba'zilaridan boshlab, oldingi (bir yoki bir nechta) a'zolar orqali ifodalovchi formula.

Masalan,

Agar a 1 = 1 , A a n +1 = a n + 5

a 1 = 1,

a 2 = a 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

a 3 = a 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

a 4 = a 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

a 5 = a 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

Agar a 1= 1, a 2 = 1, a n +2 = a n + a n +1 , keyin raqamli ketma-ketlikning birinchi yettita a'zosi quyidagicha o'rnatiladi:

a 1 = 1,

a 2 = 1,

a 3 = a 1 + a 2 = 1 + 1 = 2,

a 4 = a 2 + a 3 = 1 + 2 = 3,

a 5 = a 3 + a 4 = 2 + 3 = 5,

a 6 = a 4 + a 5 = 3 + 5 = 8,

a 7 = a 5 + a 6 = 5 + 8 = 13. ◄

Ketma-ket bo'lishi mumkin final Va cheksiz .

Ketma-ket deyiladi yakuniy , agar u cheklangan miqdordagi a'zolarga ega bo'lsa. Ketma-ket deyiladi cheksiz , agar u cheksiz ko'p a'zolarga ega bo'lsa.

Masalan,

Ikki xonali natural sonlar ketma-ketligi:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

final.

tub sonlar ketma-ketligi:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

cheksiz. ◄

Ketma-ket deyiladi ortib boradi , agar uning har bir a'zosi, ikkinchisidan boshlab, oldingisidan kattaroq bo'lsa.

Ketma-ket deyiladi kamaymoqda , agar uning har bir a'zosi, ikkinchisidan boshlab, avvalgisidan kamroq bo'lsa.

Masalan,

2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . - ketma-ketlikni oshirish;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /n, . . . - ketma-ketlikni kamaytirish. ◄

Elementlari soni ko'payganda kamaymaydigan yoki aksincha ko'paymaydigan ketma-ketlik deyiladi. monoton ketma-ketlik .

Monotonik ketma-ketliklar, xususan, ketma-ketliklarning ortib borayotgan va kamayuvchi ketma-ketliklardir.

Arifmetik progressiya

Arifmetik progressiya ikkinchidan boshlab har bir a'zo oldingisiga teng bo'lgan ketma-ketlik bo'lib, unga bir xil son qo'shiladi.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n, . . .

har qanday natural son uchun arifmetik progressiyadir n shart bajariladi:

a n +1 = a n + d,

Qayerda d - ma'lum bir raqam.

Shunday qilib, berilgan arifmetik progressiyaning keyingi va oldingi hadlari o'rtasidagi farq doimo doimiy bo'ladi:

a 2 - a 1 = a 3 - a 2 = . . . = a n +1 - a n = d.

Raqam d chaqirdi arifmetik progressiyaning farqi.

Arifmetik progressiyani aniqlash uchun uning birinchi hadini va farqini ko'rsatish kifoya.

Masalan,

Agar a 1 = 3, d = 4 , keyin ketma-ketlikning birinchi beshta hadini quyidagicha topamiz:

a 1 =3,

a 2 = a 1 + d = 3 + 4 = 7,

a 3 = a 2 + d= 7 + 4 = 11,

a 4 = a 3 + d= 11 + 4 = 15,

a 5 = a 4 + d= 15 + 4 = 19. ◄

Birinchi hadli arifmetik progressiya uchun a 1 va farq d uni n

a n = a 1 + (n- 1)d.

Masalan,

arifmetik progressiyaning o‘ttizinchi hadini toping

1, 4, 7, 10, . . .

a 1 =1, d = 3,

a 30 = a 1 + (30 - 1)d = 1 + 29· 3 = 88. ◄

a n-1 = a 1 + (n- 2)d,

a n= a 1 + (n- 1)d,

a n +1 = a 1 + nd,

keyin aniq

a n=	a n-1 + a n+1
	2

Arifmetik progressiyaning har bir a'zosi, ikkinchisidan boshlab, oldingi va keyingi a'zolarning o'rtacha arifmetik qiymatiga teng.

a, b va c raqamlari ba'zi arifmetik progressiyaning ketma-ket hadlari, agar ulardan biri qolgan ikkitasining o'rta arifmetik qiymatiga teng bo'lsa.

Masalan,

a n = 2n- 7 , arifmetik progressiyadir.

Keling, yuqoridagi bayonotdan foydalanamiz. Bizda ... bor:

a n = 2n- 7,

a n-1 = 2(n- 1) - 7 = 2n- 9,

a n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2n- 5.

Demak,

a n+1 + a n-1	=	2n- 5 + 2n- 9	= 2n- 7 = a n,
2		2

◄

Shu esta tutilsinki n Arifmetik progressiyaning uchinchi hadini nafaqat orqali topish mumkin a 1 , balki oldingi har qanday a k

a n = a k + (n- k)d.

Masalan,

Uchun a 5 yozib olish mumkin

a 5 = a 1 + 4d,

a 5 = a 2 + 3d,

a 5 = a 3 + 2d,

a 5 = a 4 + d. ◄

a n = a n-k + kd,

a n = a n+k - kd,

keyin aniq

a n=	a n-k + a n+k
	2

arifmetik progressiyaning ikkinchisidan boshlab istalgan a'zosi bu arifmetik progressiyaning teng oraliqdagi a'zolari yig'indisining yarmiga teng.

Bundan tashqari, har qanday arifmetik progressiya uchun quyidagi tenglik amal qiladi:

a m + a n = a k + a l,

m + n = k + l.

Masalan,

arifmetik progressiyada

1) a 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (a 9 + a 11 )/2;

2) 28 = a 10 = a 3 + 7d= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) a 10= 28 = (19 + 37)/2 = (a 7 + a 13)/2;

4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, chunki

a 2 + a 12= 4 + 34 = 38,

a 5 + a 9 = 13 + 25 = 38. ◄

S n= a 1 + a 2 + a 3 +. . .+ a n,

birinchi n Arifmetik progressiya hadlari ekstremal hadlar va hadlar soni yig‘indisining yarmining ko‘paytmasiga teng:

Bu erdan, xususan, agar shartlarni jamlash kerak bo'lsa, shundan kelib chiqadi

a k, a k +1 , . . . , a n,

keyin oldingi formula o'z tuzilishini saqlab qoladi:

Masalan,

arifmetik progressiyada 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

Agar arifmetik progressiya berilgan bo'lsa, u holda miqdorlar a 1 , a n, d, n VaS n ikkita formula bilan bog'langan:

Shuning uchun, agar bu miqdorlarning uchtasining qiymatlari berilgan bo'lsa, qolgan ikkita miqdorning mos keladigan qiymatlari ikkita noma'lum bo'lgan ikkita tenglamalar tizimiga birlashtirilgan ushbu formulalardan aniqlanadi.

Arifmetik progressiya monotonik ketma-ketlikdir. Bunda:

• Agar d > 0 , keyin u ortib bormoqda;
• Agar d < 0 , keyin u kamayadi;
• Agar d = 0 , keyin ketma-ketlik statsionar bo'ladi.

Geometrik progressiya

Geometrik progressiya ikkinchidan boshlab har bir a'zo oldingi bir xil songa ko'paytiriladigan ketma-ketlikdir.

b 1 , b 2 , b 3 , . . . , b n, . . .

har qanday natural son uchun geometrik progressiyadir n shart bajariladi:

b n +1 = b n · q,

Qayerda q ≠ 0 - ma'lum bir raqam.

Shunday qilib, berilgan geometrik progressiyaning keyingi hadining oldingisiga nisbati doimiy son:

b 2 / b 1 = b 3 / b 2 = . . . = b n +1 / b n = q.

Raqam q chaqirdi geometrik progressiyaning maxraji.

Geometrik progressiyani aniqlash uchun uning birinchi hadini va maxrajini ko'rsatish kifoya.

Masalan,

Agar b 1 = 1, q = -3 , keyin ketma-ketlikning birinchi beshta hadini quyidagicha topamiz:

b 1 = 1,

b 2 = b 1 · q = 1 · (-3) = -3,

b 3 = b 2 · q= -3 · (-3) = 9,

b 4 = b 3 · q= 9 · (-3) = -27,

b 5 = b 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄

b 1 va maxraj q uni n Atamani quyidagi formula yordamida topish mumkin:

b n = b 1 · qn -1 .

Masalan,

geometrik progressiyaning yettinchi hadini toping 1, 2, 4, . . .

b 1 = 1, q = 2,

b 7 = b 1 · q 6 = 1 2 6 = 64. ◄

b n-1 = b 1 · qn -2 ,

b n = b 1 · qn -1 ,

b n +1 = b 1 · qn,

keyin aniq

b n 2 = b n -1 · b n +1 ,

geometrik progressiyaning ikkinchidan boshlab har bir a'zosi oldingi va keyingi a'zolarning geometrik o'rtacha (proporsional) ga teng.

Qarama-qarshilik ham to'g'ri bo'lganligi sababli, quyidagi bayonot amal qiladi:

a, b va c sonlari ba’zi geometrik progressiyaning ketma-ket hadlari bo‘ladi, agar ulardan birining kvadrati qolgan ikkitasining ko‘paytmasiga teng bo‘lsa, ya’ni sonlardan biri qolgan ikkitasining geometrik o‘rtasi bo‘lsa.

Masalan,

Formula bilan berilgan ketma-ketlikni isbotlaylik b n= -3 2 n , geometrik progressiyadir. Keling, yuqoridagi bayonotdan foydalanamiz. Bizda ... bor:

b n= -3 2 n,

b n -1 = -3 2 n -1 ,

b n +1 = -3 2 n +1 .

Demak,

b n 2 = (-3 2 n) 2 = (-3 2 n -1 ) · (-3 · 2 n +1 ) = b n -1 · b n +1 ,

bu kerakli bayonotni isbotlaydi. ◄

Shu esta tutilsinki n Geometrik progressiyaning uchinchi hadini nafaqat orqali topish mumkin b 1 , balki oldingi a'zolar ham b k , buning uchun formuladan foydalanish kifoya

b n = b k · qn - k.

Masalan,

Uchun b 5 yozib olish mumkin

b 5 = b 1 · q 4 ,

b 5 = b 2 · q 3,

b 5 = b 3 · q 2,

b 5 = b 4 · q. ◄

b n = b k · qn - k,

b n = b n - k · q k,

keyin aniq

b n 2 = b n - k· b n + k

ikkinchisidan boshlab geometrik progressiyaning istalgan hadining kvadrati bu progressiyaning teng oraliqdagi hadlarining ko‘paytmasiga teng.

Bundan tashqari, har qanday geometrik progressiya uchun tenglik to'g'ri bo'ladi:

b m· b n= b k· b l,

m+ n= k+ l.

Masalan,

geometrik progressiyada

1) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = b 5 · b 7 ;

2) 1024 = b 11 = b 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = b 4 · b 8 ;

4) b 2 · b 7 = b 4 · b 5 , chunki

b 2 · b 7 = 2 · 64 = 128,

b 4 · b 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S n= b 1 + b 2 + b 3 + . . . + b n

birinchi n maxrajli geometrik progressiyaning a'zolari q ≠ 0 formula bo'yicha hisoblanadi:

Va qachon q = 1 - formula bo'yicha

S n= nb 1

E'tibor bering, agar siz shartlarni jamlashingiz kerak bo'lsa

b k, b k +1 , . . . , b n,

keyin formuladan foydalaniladi:

S n- S k -1 = b k + b k +1 + . . . + b n = b k ·	1 - qn - k +1	.
	1 - q

Masalan,

geometrik progressiyada 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

Agar geometrik progressiya berilgan bo'lsa, u holda miqdorlar b 1 , b n, q, n Va S n ikkita formula bilan bog'langan:

Shuning uchun, agar bu miqdorlarning har qanday uchtasining qiymatlari berilgan bo'lsa, qolgan ikkita miqdorning mos keladigan qiymatlari ikkita noma'lum bo'lgan ikkita tenglamalar tizimiga birlashtirilgan ushbu formulalardan aniqlanadi.

Birinchi hadli geometrik progressiya uchun b 1 va maxraj q quyidagilar sodir bo'ladi monotonlik xususiyatlari :

• Agar quyidagi shartlardan biri bajarilsa, rivojlanish kuchayadi:

b 1 > 0 Va q> 1;

b 1 < 0 Va 0 < q< 1;

• Quyidagi shartlardan biri bajarilsa, rivojlanish pasayadi:

b 1 > 0 Va 0 < q< 1;

b 1 < 0 Va q> 1.

Agar q< 0 , u holda geometrik progressiya almashinadi: uning toq sonli hadlari birinchi hadi bilan bir xil, juft sonli hadlari esa qarama-qarshi belgiga ega. O'zgaruvchan geometrik progressiya monotonik emasligi aniq.

Birinchisining mahsuloti n Geometrik progressiyaning a'zolarini quyidagi formula yordamida hisoblash mumkin:

P n= b 1 · b 2 · b 3 · . . . · b n = (b 1 · b n) n / 2 .

Masalan,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

Cheksiz kamayuvchi geometrik progressiya

Cheksiz kamayuvchi geometrik progressiya maxraj moduli kichik bo'lgan cheksiz geometrik progressiya deyiladi 1 , ya'ni

|q| < 1 .

E'tibor bering, cheksiz kamayuvchi geometrik progressiya kamayuvchi ketma-ketlik bo'lmasligi mumkin. Bu vaziyatga mos keladi

1 < q< 0 .

Bunday maxraj bilan ketma-ketlik almashinadi. Masalan,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

Cheksiz kamayuvchi geometrik progressiya yig'indisi birinchilarining yig'indisi cheksiz yaqinlashadigan sonni nomlang n sonining cheksiz ko'payishi bilan progressiyaning a'zolari n . Bu raqam har doim cheklangan va formula bilan ifodalanadi

S= b 1 + b 2 + b 3 + . . . =	b 1	.
	1 - q

Masalan,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

Arifmetik va geometrik progressiyalar o‘rtasidagi bog‘liqlik

Arifmetika va geometrik progressiya bir-biri bilan chambarchas bog'liqdir. Keling, ikkita misolni ko'rib chiqaylik.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . d , Bu

b a 1 , b a 2 , b a 3 , . . . b d .

Masalan,

1, 3, 5, . . . - farqli arifmetik progressiya 2 Va

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . - maxrajli geometrik progressiya 7 2 . ◄

b 1 , b 2 , b 3 , . . . - maxrajli geometrik progressiya q , Bu

log a b 1, log a b 2, log a b 3, . . . - farqli arifmetik progressiya log aq .

Masalan,

2, 12, 72, . . . - maxrajli geometrik progressiya 6 Va

lg 2, lg 12, lg 72, . . . - farqli arifmetik progressiya lg 6 . ◄

Bu raqam geometrik progressiyaning maxraji deb ataladi, ya'ni har bir a'zo oldingisidan q marta farq qiladi. (Biz q ≠ 1 deb faraz qilamiz, aks holda hamma narsa juda ahamiyatsiz). Buni ko'rish qiyin emas umumiy formula geometrik progressiyaning n-chi hadi b n = b 1 q n – 1; b n va b m sonli atamalar q n – m marta farqlanadi.

Allaqachon Qadimgi Misr nafaqat arifmetik, balki geometrik progressiyani ham bilgan. Bu erda, masalan, Rhind papirusidagi muammo: "Yetti yuzning ettita mushuki bor; Har bir mushuk yettita sichqon yeydi, har bir sichqon yetti boshoq makkajo‘xori yeydi, har bir boshoqdan yetti o‘lcha arpa o‘sishi mumkin. Bu qatordagi sonlar va ularning yig‘indisi qancha katta?

Guruch. 1. Qadimgi Misr geometrik progressiya masalasi

Bu vazifa boshqa vaqtlarda boshqa xalqlar orasida turli xil o'zgarishlar bilan ko'p marta takrorlangan. Masalan, 13-asrda yozilgan. Pizalik Leonardo (Fibonachchi)ning "Abakus kitobi" muammosi bor, unda Rimga ketayotgan 7 ta kampir paydo bo'ladi (aniq ziyoratchilar), ularning har birida 7 ta xachir, har birida 7 ta sumka bor. 7 ta nondan iborat bo'lib, ularning har birida 7 ta pichoq, har birida 7 ta g'ilof bor. Muammo nechta ob'ekt borligini so'raydi.

Geometrik progressiyaning birinchi n ta hadi yig’indisi S n = b 1 (q n – 1) / (q – 1) . Bu formulani, masalan, quyidagicha isbotlash mumkin: S n = b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n – 1.

S n ga b 1 q n sonini qo'shing va quyidagini oling:

S n + b 1 q n = b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n – 1 + b 1 q n = b 1 + (b 1 + b 1 q + b) 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n –1) q = b 1 + S n q .

Bu yerdan S n (q – 1) = b 1 (q n – 1) va kerakli formulani olamiz.

Allaqachon loy tabletkalaridan birida Qadimgi Bobil 6-asrga oid. Miloddan avvalgi e., 1 + 2 + 2 2 + 2 3 + ... + 2 9 = 2 10 – 1 yig'indisini o'z ichiga oladi. To'g'ri, boshqa bir qator holatlarda bo'lgani kabi, biz bu fakt bobilliklarga qanday ma'lum bo'lganini bilmaymiz. .

Bir qator madaniyatlarda, xususan, hindlarda geometrik progressiyaning tez o'sishi koinotning kengligining vizual ramzi sifatida qayta-qayta qo'llaniladi. Shaxmatning paydo bo'lishi haqidagi mashhur afsonada hukmdor o'z ixtirochiga mukofotni o'zi tanlash imkoniyatini beradi va u shaxmat taxtasining birinchi kvadratiga bitta dona qo'yilsa, olinadigan bug'doy donalari sonini so'raydi. ikkinchisi, uchinchisida to'rtta, to'rtinchisida sakkizta va hokazo, har safar raqam ikki barobarga ko'payadi. Vladyka biz ko'pi bilan bir nechta sumkalar haqida gapiramiz deb o'yladi, lekin u noto'g'ri hisobladi. Ko'rinib turibdiki, shaxmat taxtasining barcha 64 kvadrati uchun ixtirochi 20 xonali raqam bilan ifodalangan (2 64 - 1) donni olishi kerak edi; yerning butun yuzasiga ekilgan bo'lsa ham, kerakli miqdordagi donni yig'ish uchun kamida 8 yil kerak bo'ladi. Bu afsona ba'zan shaxmat o'yinida yashiringan deyarli cheksiz imkoniyatlarni ko'rsatuvchi sifatida talqin qilinadi.

Bu raqam haqiqatan ham 20 xonali ekanligini ko'rish oson:

2 64 = 2 4 ∙ (2 10) 6 = 16 ∙ 1024 6 ≈ 16 ∙ 1000 6 = 1,6∙10 19 (aniqroq hisoblash 1,84∙10 19 ni beradi). Qiziq, bu raqam qaysi raqam bilan tugashini bilib olasizmi?

Agar maxraj 1 dan katta bo'lsa, geometrik progressiya ortishi yoki birdan kichik bo'lsa kamayishi mumkin. Ikkinchi holda, etarlicha katta n uchun q n soni o'zboshimchalik bilan kichik bo'lishi mumkin. O'sib borayotgan geometrik progressiya kutilmaganda tez ortib borayotgan bo'lsa, pasayuvchi geometrik progressiya ham xuddi shunday tez kamayadi.

Qanchalik n katta bo'lsa, q n soni noldan shunchalik kuchsizroq bo'ladi va S n = b 1 (1 – q n) / (1 – q) geometrik progressiyaning n ta hadi yig'indisi S = b 1 / ( soniga yaqinroq bo'ladi. 1 – q). (Masalan, F.Vyet shunday fikr yuritgan). S soni cheksiz kamayuvchi geometrik progressiya yig'indisi deyiladi. Biroq, ko'p asrlar davomida cheksiz sonli atamalar bilan BUTUN geometrik progressiyani yig'ishning ma'nosi nima degan savol matematiklar uchun etarlicha tushunarli emas edi.

Masalan, Zenonning “Yarim bo‘linish” va “Axilles va toshbaqa” aporiyalarida pasayib borayotgan geometrik progressiyani ko‘rish mumkin. Birinchi holda, butun yo'l (uzunligi 1 bo'lsa) yig'indi ekanligi aniq ko'rsatilgan cheksiz son segmentlar 1/2, 1/4, 1/8, va hokazo. Shunday qilib, bu, albatta, cheksiz geometrik progressiyaning cheklangan yig'indisi haqidagi g'oyalar nuqtai nazaridan. Va hali - bu qanday bo'lishi mumkin?

Guruch. 2. 1/2 koeffitsientli progressiya

Axilles haqidagi aporiyada vaziyat biroz murakkabroq, chunki bu erda progressiyaning maxraji 1/2 emas, balki boshqa raqamdir. Masalan, Axilles v tezlik bilan yuguradi, toshbaqa u tezlik bilan harakat qiladi va ular orasidagi dastlabki masofa l bo'lsin. Axilles bu masofani l/v vaqt ichida bosib o'tadi va bu vaqt ichida toshbaqa lu/v masofani bosib o'tadi. Axilles bu segmentni yurgizsa, u bilan toshbaqa orasidagi masofa l (u /v) 2 va hokazo ga teng bo'ladi. Ma'lum bo'lishicha, toshbaqani quvib etish birinchi had bilan cheksiz kamayuvchi geometrik progressiyaning yig'indisini topishni anglatadi. l va maxraj u / v. Bu summa - Axilles oxir-oqibat toshbaqa bilan uchrashadigan joyga yuguradigan segment - l / (1 – u / v) = lv / (v – u) ga teng. Ammo, yana, bu natijani qanday talqin qilish kerak va nima uchun bu hech qanday ma'noga ega? uzoq vaqt juda aniq emas edi.

Guruch. 3. Koeffitsienti 2/3 bo’lgan geometrik progressiya

Arximed parabola segmentining maydonini aniqlash uchun geometrik progressiya yig'indisidan foydalangan. Parabolaning bu segmenti AB akkorda bilan chegaralansin va parabolaning D nuqtasidagi tangens AB ga parallel bo'lsin. C AB ning o'rta nuqtasi, E AC ning o'rta nuqtasi, F CB ning o'rta nuqtasi bo'lsin. A, E, F, B nuqtalar orqali DC ga parallel chiziqlar o'tkazamiz; D nuqtaga chizilgan tangens bu chiziqlarni K, L, M, N nuqtalarda kesishsin. AD va DB segmentlarini ham chizamiz. EL to‘g‘ri chiziq AD to‘g‘rini G nuqtada, parabola esa H nuqtada kesishsin; FM chizig‘i DB chizig‘ini Q nuqtada, parabola esa R nuqtada kesishadi. Konus kesimlarining umumiy nazariyasiga ko'ra, DC - parabolaning diametri (ya'ni uning o'qiga parallel bo'lgan segment); u va D nuqtadagi tangens x va y koordinata o'qlari bo'lib xizmat qilishi mumkin, bunda parabolaning tenglamasi y 2 = 2px (x - D dan berilgan diametrning istalgan nuqtasigacha bo'lgan masofa, y - uzunligi. diametrning ushbu nuqtasidan parabolaning o'zidagi biron bir nuqtaga qadar berilgan tangensga parallel bo'lgan segment).

Parabola tenglamasi tufayli DL 2 = 2 ∙ p ∙ LH, DK 2 = 2 ∙ p ∙ KA va DK = 2DL bo'lgani uchun KA = 4LH bo'ladi. Chunki KA = 2LG, LH = HG. Parabolaning ADB segmentining maydoni DADB uchburchagining maydoniga va AHD va DRB segmentlarining birgalikda olingan maydonlariga teng. O'z navbatida, AHD segmentining maydoni xuddi shunday AHD uchburchagi va qolgan AH va HD segmentlari maydoniga teng bo'lib, ularning har biri bilan bir xil operatsiyani bajarishingiz mumkin - uchburchakka bo'linish (D) va qolgan ikkita segment () va boshqalar:

DAHD uchburchakning maydoni DALD uchburchagi maydonining yarmiga teng (ular umumiy AD asosiga ega va balandliklar 2 marta farq qiladi), bu esa o'z navbatida ADD maydonining yarmiga teng. ​DAKD uchburchagi, shuning uchun DACD uchburchak maydonining yarmi. Shunday qilib, DAHD uchburchakning maydoni DACD uchburchak maydonining chorak qismiga teng. Xuddi shunday, DDRB uchburchakning maydoni DDFB uchburchagi maydonining to'rtdan biriga teng. Demak, DAHD va DDRB uchburchaklarining maydonlari birgalikda olingan holda DADB uchburchak maydonining chorak qismiga teng. AH, HD, DR va RB segmentlariga qo'llanganda ushbu amalni takrorlash ulardan uchburchaklarni tanlaydi, ularning maydoni birgalikda olingan DAHD va DDRB uchburchaklar maydonidan 4 baravar kam bo'ladi va shuning uchun DADB uchburchagining maydonidan 16 marta kamroq. Va hokazo:

Shunday qilib, Arximed "to'g'ri chiziq va parabola orasidagi har bir segment bir xil asos va teng balandlikdagi uchburchakning uchdan to'rt qismini tashkil etishini" isbotladi.

Birinchi daraja

Geometrik progressiya. To'liq qo'llanma misollar bilan (2019)

Raqamlar ketma-ketligi

Shunday qilib, keling, o'tiramiz va bir nechta raqamlarni yozishni boshlaymiz. Masalan:

Siz har qanday raqamlarni yozishingiz mumkin va ular xohlaganingizcha ko'p bo'lishi mumkin (bizning holatlarimizda ular bor). Qancha son yozmaylik, qaysi biri birinchi, qaysi biri ikkinchi va shunga o'xshash oxirgisiga qadar ayta olamiz, ya'ni ularni raqamlashimiz mumkin. Bu raqamlar ketma-ketligiga misol:

Raqamlar ketma-ketligi raqamlar to'plami bo'lib, ularning har biriga o'ziga xos raqam berilishi mumkin.

Masalan, bizning ketma-ketligimiz uchun:

Belgilangan raqam ketma-ketlikda faqat bitta raqamga xosdir. Boshqacha qilib aytganda, ketma-ketlikda uchta ikkinchi raqam yo'q. Ikkinchi raqam (chi raqam kabi) har doim bir xil bo'ladi.

Raqamli raqam ketma-ketlikning n-azosi deyiladi.

Biz odatda butun ketma-ketlikni qandaydir harf bilan chaqiramiz (masalan,) va bu ketma-ketlikning har bir a'zosi indeksi shu a'zoning soniga teng bo'lgan bir xil harf: .

Bizning holatda:

Progressiyaning eng keng tarqalgan turlari arifmetik va geometrikdir. Ushbu mavzuda biz ikkinchi tur haqida gapiramiz - geometrik progressiya.

Geometrik progressiya nima uchun kerak va uning tarixi?

Hatto qadimgi davrlarda ham italiyalik matematik rohib Pizalik Leonardo (yaxshiroq Fibonachchi nomi bilan mashhur) savdoning amaliy ehtiyojlari bilan shug'ullangan. Rohibning oldida mahsulotni tortish uchun ishlatilishi mumkin bo'lgan eng kichik og'irliklarni aniqlash vazifasi bor edi? Fibonachchi o'z asarlarida bunday og'irliklar tizimi maqbul ekanligini isbotlaydi: Bu odamlar geometrik progressiya bilan shug'ullanishi kerak bo'lgan birinchi vaziyatlardan biri bo'lib, siz allaqachon eshitgansiz va hech bo'lmaganda bor. umumiy tushuncha. Mavzuni to'liq tushunganingizdan so'ng, nima uchun bunday tizim optimal ekanligini o'ylab ko'ring?

Hozirgi vaqtda hayot amaliyotida geometrik progressiya bankka pul mablag'larini investitsiya qilishda, oldingi davr uchun hisobvaraqda to'plangan summaga foizlar hisoblanganda o'zini namoyon qiladi. Boshqacha qilib aytadigan bo'lsak, agar siz omonat kassasiga muddatli depozitga pul qo'ysangiz, unda bir yildan so'ng depozit dastlabki miqdorga ko'payadi, ya'ni. yangi summa ko'paytirilgan hissaga teng bo'ladi. Yana bir yilda bu miqdor oshadi, ya'ni. o'sha paytda olingan miqdor yana ko'paytiriladi va hokazo. Shunga o'xshash holat deb atalmish hisoblash muammolarida tasvirlangan murakkab foiz- foiz har safar hisobdagi summadan oldingi foizlarni hisobga olgan holda olinadi. Bu vazifalar haqida biroz keyinroq gaplashamiz.

Geometrik progressiya qo'llaniladigan yana ko'p oddiy holatlar mavjud. Masalan, grippning tarqalishi: bir kishi boshqa odamni yuqtirgan, ular o'z navbatida boshqa odamni yuqtirgan va shuning uchun infektsiyaning ikkinchi to'lqini odam bo'lib, ular o'z navbatida boshqa odamni yuqtirgan ... va hokazo. .

Aytgancha, moliyaviy piramida, xuddi shu MMM, geometrik progressiyaning xususiyatlariga asoslangan oddiy va quruq hisob-kitobdir. Qiziqmi? Keling, buni aniqlaylik.

Geometrik progressiya.

Aytaylik, bizda raqamlar ketma-ketligi bor:

Siz darhol javob berasiz, bu oson va bunday ketma-ketlikning nomi uning shartlari farqi bilan arifmetik progressiyadir. Bu haqida nima deyish mumkin:

Agar siz oldingi raqamni keyingi raqamdan ayirsangiz, har safar yangi farq (va hokazo) paydo bo'lishini ko'rasiz, lekin ketma-ketlik aniq mavjud va uni sezish oson - har bir keyingi raqam avvalgisidan bir necha baravar katta!

Ushbu turdagi raqamlar ketma-ketligi deyiladi geometrik progressiya va belgilanadi.

Geometrik progressiya () - sonli ketma-ketlik bo'lib, uning birinchi hadi noldan farq qiladi va ikkinchisidan boshlab har bir a'zo avvalgisiga teng bo'lib, bir xil songa ko'paytiriladi. Bu son geometrik progressiyaning maxraji deb ataladi.

Birinchi atama ( ) teng emas va tasodifiy bo'lmagan cheklovlar. Faraz qilaylik, hech kim yo‘q va birinchi had hali ham teng, q esa teng, hmm.. shunday bo‘lsin, keyin shunday bo‘ladi:

Bu endi taraqqiyot emasligiga rozi bo'ling.

Siz tushunganingizdek, noldan boshqa raqam bo'lsa, biz bir xil natijalarga erishamiz, a. Bunday hollarda, hech qanday progressiya bo'lmaydi, chunki butun sonlar seriyasi yoki hammasi nol bo'ladi, yoki bitta raqam, qolganlari esa nolga teng bo'ladi.

Endi geometrik progressiyaning maxraji, ya'ni o ga to'liqroq to'xtalib o'tamiz.

Yana takrorlaymiz: - bu raqam har bir keyingi atama necha marta o'zgaradi? geometrik progressiya.

Sizningcha, bu nima bo'lishi mumkin? To'g'ri, ijobiy va salbiy, lekin nolga teng emas (biz bu haqda biroz yuqoriroq gaplashdik).

Keling, bizniki ijobiy deb faraz qilaylik. Bizning holatimizda a. Ikkinchi muddatning qiymati nima va? Bunga osongina javob berishingiz mumkin:

Hammasi to'g'ri. Shunga ko'ra, agar bo'lsa, progressiyaning barcha keyingi shartlari bir xil belgiga ega - ular ijobiydir.

Agar salbiy bo'lsa-chi? Masalan, a. Ikkinchi muddatning qiymati nima va?

Bu butunlay boshqacha hikoya

Ushbu progressiyaning shartlarini sanashga harakat qiling. Qancha oldingiz? Menda. Shunday qilib, agar, u holda geometrik progressiya hadlarining belgilari almashinadi. Ya'ni, agar siz uning a'zolari uchun o'zgaruvchan belgilar bilan progressiyani ko'rsangiz, unda uning maxraji salbiy hisoblanadi. Ushbu bilim ushbu mavzu bo'yicha muammolarni hal qilishda o'zingizni sinab ko'rishga yordam beradi.

Endi biroz mashq qilaylik: qaysi sonlar ketma-ketligi geometrik progressiya, qaysi biri arifmetik progressiya ekanligini aniqlashga harakat qiling:

Tushundim? Keling, javoblarimizni taqqoslaylik:

• Geometrik progressiya - 3, 6.
• Arifmetik progressiya - 2, 4.
• Bu arifmetik ham, geometrik progressiya ham emas - 1, 5, 7.

Keling, oxirgi progressiyamizga qaytaylik va arifmetikdagi kabi uning a'zosini topishga harakat qilaylik. Siz taxmin qilganingizdek, uni topishning ikki yo'li mavjud.

Har bir atamani ketma-ket ko'paytiramiz.

Demak, tasvirlangan geometrik progressiyaning uchinchi hadi ga teng.

Siz allaqachon taxmin qilganingizdek, endi siz o'zingiz geometrik progressiyaning istalgan a'zosini topishga yordam beradigan formulani olasiz. Yoki siz uni o'zingiz uchun ishlab chiqdingizmi, bosqichma-bosqich th a'zosini qanday topishni tasvirlab berdingizmi? Agar shunday bo'lsa, unda fikringizning to'g'riligini tekshiring.

Keling, buni ushbu progressiyaning uchinchi hadini topish misolida ko'rsatamiz:

Boshqa so'zlar bilan aytganda:

Berilgan geometrik progressiya hadining qiymatini o‘zingiz toping.

Bo'ldimi? Keling, javoblarimizni taqqoslaylik:

E'tibor bering, siz geometrik progressiyaning har bir oldingi hadiga ketma-ket ko'paytirganda oldingi usulda bo'lgani kabi bir xil raqamni oldingiz.
Keling, "depersonalizatsiya" ga harakat qilaylik bu formula- Keling, uni umumiy shaklga keltiramiz va olamiz:

Olingan formula barcha qiymatlar uchun to'g'ri keladi - ham ijobiy, ham salbiy. Buni geometrik progressiyaning shartlarini hisoblab, o'zingiz tekshiring quyidagi shartlar: , A.

Hisobladingizmi? Keling, natijalarni taqqoslaylik:

Progressiya hadini atama bilan bir xil tarzda topish mumkinligiga rozi bo'ling, ammo noto'g'ri hisoblash imkoniyati mavjud. Va agar biz allaqachon geometrik progressiyaning uchinchi hadini topgan bo'lsak, unda formulaning "kesilgan" qismini ishlatishdan ko'ra oddiyroq narsa bo'lishi mumkin.

Cheksiz kamayuvchi geometrik progressiya.

Yaqinda biz u noldan katta yoki kichik bo'lishi mumkinligi haqida gapirgan edik, ammo geometrik progressiya deb ataladigan maxsus qiymatlar mavjud. cheksiz kamayadi.

Nima uchun bu nom berilgan deb o'ylaysiz?
Avval haddan iborat geometrik progressiyani yozamiz.
Aytaylik, keyin:

Biz har bir keyingi atama oldingisidan bir koeffitsientga kam ekanligini ko'ramiz, lekin biron bir raqam bo'ladimi? Siz darhol javob berasiz - "yo'q". Shuning uchun u cheksiz kamayib boradi - u kamayadi va kamayadi, lekin hech qachon nolga aylanmaydi.

Bu vizual tarzda qanday ko'rinishini aniq tushunish uchun keling, progressiyamizning grafigini chizishga harakat qilaylik. Shunday qilib, bizning holatlarimiz uchun formula quyidagi shaklni oladi:

Grafiklarda biz qaramlikni chizishga odatlanganmiz, shuning uchun:

Ifodaning mohiyati o‘zgarmagan: birinchi yozuvda biz geometrik progressiya a’zosi qiymatining uning tartib raqamiga bog‘liqligini ko‘rsatdik, ikkinchi yozuvda esa oddiygina geometrik progressiya a’zosining qiymatini quyidagicha qabul qildik. , va tartib sonni sifatida emas, balki kabi belgilagan. Bajarilishi kerak bo'lgan narsa faqat grafik yaratishdir.
Keling, nima borligini bilib olaylik. Mana men o'ylab topgan grafik:

Ko'ryapsizmi? Funktsiya kamayadi, nolga intiladi, lekin uni hech qachon kesib o'tmaydi, shuning uchun u cheksiz kamayadi. Grafikdagi nuqtalarimizni va shu bilan birga koordinata va nimani anglatishini belgilaymiz:

Geometrik progressiyaning grafigini sxematik tasvirlashga harakat qiling, agar uning birinchi hadi ham teng bo'lsa. Tahlil qiling, oldingi grafik bilan qanday farq bor?

Siz boshqardingizmi? Mana men o'ylab topgan grafik:

Endi siz geometrik progressiya mavzusining asoslarini to‘liq tushunib oldingiz: siz uning nima ekanligini bilasiz, uning hadini qanday topishni bilasiz, shuningdek, cheksiz kamayuvchi geometrik progressiya nima ekanligini ham bilasiz, keling, uning asosiy xususiyatiga o‘tamiz.

Geometrik progressiyaning xossasi.

Arifmetik progressiya hadlari xossasini eslaysizmi? Ha, ha, bu progressiya shartlarining oldingi va keyingi qiymatlari mavjud bo'lganda progressiyaning ma'lum sonining qiymatini qanday topish mumkin. Esingizdami? Bu:

Endi biz geometrik progressiyaning shartlari uchun aynan bir xil savolga duch kelamiz. Bunday formulani olish uchun, keling, chizish va fikrlashni boshlaylik. Ko'rasiz, bu juda oson, agar unutib qo'ysangiz, uni o'zingiz chiqarib olishingiz mumkin.

Keling, yana bir oddiy geometrik progressiyani olaylik, unda biz bilamiz va. Qanday topish mumkin? Arifmetik progressiya bilan bu oson va sodda, ammo bu erda nima deyish mumkin? Aslida, geometrikda ham murakkab narsa yo'q - siz bizga berilgan har bir qiymatni formula bo'yicha yozishingiz kerak.

Siz so'rashingiz mumkin, endi bu haqda nima qilishimiz kerak? Ha, juda oddiy. Birinchidan, ushbu formulalarni rasmda tasvirlaymiz va ular bilan ishlashga harakat qilamiz turli xil manipulyatsiyalar qiymatga erishish.

Keling, bizga berilgan raqamlardan mavhumlashamiz, ularning faqat formula orqali ifodalanishiga e'tibor qaratamiz. Biz unga qo'shni shartlarni bilib, to'q sariq rangda ta'kidlangan qiymatni topishimiz kerak. Keling, ular bilan ishlab chiqarishga harakat qilaylik turli harakatlar, buning natijasida biz olishimiz mumkin.

Qo'shish.
Keling, ikkita iborani qo'shishga harakat qilaylik va biz quyidagilarni olamiz:

Ko'rib turganingizdek, bu iboradan biz uni hech qanday tarzda ifodalay olmaymiz, shuning uchun biz boshqa variantni - ayirishni sinab ko'ramiz.

Ayirish.

Ko'rib turganingizdek, biz buni ham ifodalay olmaymiz, shuning uchun keling, ushbu iboralarni bir-biriga ko'paytirishga harakat qilaylik.

Ko'paytirish.

Endi topilishi kerak bo'lgan narsalar bilan solishtirganda bizga berilgan geometrik progressiyaning shartlarini ko'paytirish orqali bizda nima borligini diqqat bilan ko'rib chiqing:

O'ylab ko'ring, men nima haqida gapiryapman? To'g'ri, topish uchun biz olishimiz kerak Kvadrat ildiz Kerakliga ulashgan geometrik progressiya raqamlaridan bir-biriga ko'paytiriladi:

Mana. Siz geometrik progressiya xususiyatini o'zingiz yaratgansiz. Ushbu formulani yozishga harakat qiling umumiy ko'rinish. Bo'ldimi?

Shartni unutdingizmi? Nima uchun muhimligini o'ylab ko'ring, masalan, uni o'zingiz hisoblashga harakat qiling. Bu holatda nima bo'ladi? To'g'ri, mutlaqo bema'nilik, chunki formula quyidagicha ko'rinadi:

Shunga ko'ra, bu cheklovni unutmang.

Endi u nimaga teng ekanligini hisoblaylik

To'g'ri javob -! Hisoblashda ikkinchisini unutmagan bo'lsangiz mumkin bo'lgan ma'no, unda siz ajoyib odamsiz va darhol mashg'ulotlarga o'tishingiz mumkin va agar unutgan bo'lsangiz, quyida muhokama qilingan narsalarni o'qing va javobda ikkala ildizni ham yozish kerakligiga e'tibor bering.

Keling, ikkala geometrik progressiyamizni chizamiz - biri qiymatga ega, ikkinchisi esa qiymatga ega va ularning ikkalasi ham mavjud bo'lish huquqiga ega yoki yo'qligini tekshiramiz:

Bunday geometrik progressiya bor yoki yo'qligini tekshirish uchun uning barcha berilgan hadlari bir xil yoki yo'qligini ko'rish kerakmi? Birinchi va ikkinchi holatlar uchun q ni hisoblang.

Qarang, nega ikkita javob yozishimiz kerak? Chunki siz izlayotgan atamaning belgisi uning ijobiy yoki salbiy ekanligiga bog'liq! Va biz nima ekanligini bilmasligimiz uchun ikkala javobni ham ortiqcha va minus bilan yozishimiz kerak.

Endi siz asosiy fikrlarni o‘zlashtirib, geometrik progressiya xossasining formulasini chiqardingiz, toping, biling va

Javoblaringizni to'g'ri javoblar bilan solishtiring:

Nima deb o'ylaysiz, agar bizga geometrik progressiya shartlarining qiymatlari kerakli songa qo'shni emas, balki undan teng masofada berilsa nima bo'ladi? Masalan, topishimiz kerak, va berilgan va. Bu holatda biz olingan formuladan foydalana olamizmi? Ushbu imkoniyatni xuddi shu tarzda tasdiqlash yoki rad etishga harakat qiling, har bir qiymat nimadan iboratligini tasvirlab ko'ring, siz formulani dastlab olganingizda qilganingizdek.
Nima oldingiz?

Endi yana diqqat bilan qarang.
va mos ravishda:

Bundan xulosa qilishimiz mumkinki, formula ishlaydi nafaqat qo'shni bilan geometrik progressiyaning kerakli shartlari bilan, balki teng masofada a'zolar qidirayotgan narsadan.

Shunday qilib, bizning dastlabki formulamiz quyidagi shaklni oladi:

Ya'ni, agar birinchi holatda shunday degan bo'lsak, endi u kichikroq bo'lgan har qanday natural songa teng bo'lishi mumkinligini aytamiz. Asosiysi, berilgan ikkala raqam uchun ham bir xil.

Aniq misollar bilan mashq qiling, juda ehtiyot bo'ling!

1. , . Toping.
2. , . Toping.
3. , . Toping.

Qaror qildingizmi? Umid qilamanki, siz juda ehtiyot bo'ldingiz va kichik bir ovni payqadingiz.

Keling, natijalarni taqqoslaylik.

Birinchi ikkita holatda biz yuqoridagi formulani xotirjamlik bilan qo'llaymiz va quyidagi qiymatlarni olamiz:

Uchinchi holatda, yaqinroq tekshirilganda seriya raqamlari bizga berilgan raqamlar, biz ular izlayotgan raqamdan bir xil masofada emasligini tushunamiz: bu oldingi raqam, lekin pozitsiyada olib tashlangan, shuning uchun formulani qo'llash mumkin emas.

Uni qanday hal qilish mumkin? Bu aslida ko'rinadigan darajada qiyin emas! Keling, bizga berilgan har bir raqam va biz izlayotgan raqam nimadan iboratligini yozamiz.

Shunday qilib, bizda va. Keling, ular bilan nima qilishimiz mumkinligini ko'rib chiqaylik? ga ajratishni taklif qilaman. Biz olamiz:

Biz ma'lumotlarimizni formulaga almashtiramiz:

Biz topishimiz mumkin bo'lgan keyingi qadam - buning uchun natijada olingan raqamning kub ildizini olishimiz kerak.

Endi bizda nima borligini yana bir bor ko'rib chiqaylik. Bizda bor, lekin biz uni topishimiz kerak va u o'z navbatida quyidagilarga teng:

Hisoblash uchun barcha kerakli ma'lumotlarni topdik. Formulaga almashtiring:

Bizning javobimiz: .

Boshqa shunga o'xshash muammoni o'zingiz hal qilib ko'ring:
Berilgan: ,
Toping:

Qancha oldingiz? Menda - .

Ko'rib turganingizdek, aslida sizga kerak faqat bitta formulani eslang- . Qolganlarini istalgan vaqtda hech qanday qiyinchiliksiz o'zingiz olib qo'yishingiz mumkin. Buning uchun qog'ozga eng oddiy geometrik progressiyani yozing va yuqorida tavsiflangan formula bo'yicha uning har bir soni nimaga teng ekanligini yozing.

Geometrik progressiya hadlari yig'indisi.

Endi berilgan oraliqda geometrik progressiyaning hadlari yig‘indisini tez hisoblash imkonini beruvchi formulalarni ko‘rib chiqamiz:

Cheklangan geometrik progressiyaning hadlari yig‘indisi formulasini chiqarish uchun yuqoridagi tenglamaning barcha qismlarini ga ko‘paytiring. Biz olamiz:

Diqqat bilan qarang: oxirgi ikkita formulada qanday umumiylik bor? To'g'ri, umumiy a'zolar, masalan, va hokazo, birinchi va oxirgi a'zodan tashqari. Keling, 2-tenglamadan 1-ni ayirishga harakat qilaylik. Nima oldingiz?

Endi geometrik progressiyaning hadini formula orqali ifodalang va olingan ifodani oxirgi formulamizga almashtiring:

Ifodani guruhlash. Siz olishingiz kerak:

Bajarilishi kerak bo'lgan yagona narsa:

Shunga ko'ra, bu holatda.

Agar .. bo'lsa nima bo'ladi? Keyin qanday formula ishlaydi? Geometrik progressiyani tasavvur qiling. U qanday? Bir xil raqamlar qatori to'g'ri, shuning uchun formula quyidagicha ko'rinadi:

Arifmetik va geometrik progressiya haqida ko'plab afsonalar mavjud. Ulardan biri shaxmatning yaratuvchisi Set haqidagi afsonadir.

Shaxmat o‘yini Hindistonda ixtiro qilinganini ko‘pchilik biladi. Hind qiroli u bilan uchrashganda, u uning aql-zakovati va undagi turli xil pozitsiyalardan xursand bo'ldi. Buni o'z fuqarolaridan biri ixtiro qilganini bilib, qirol uni shaxsan mukofotlashga qaror qildi. U ixtirochini o'ziga chaqirdi va undan o'zi xohlagan hamma narsani so'rashni buyurdi, hatto eng mohir istakni bajarishga va'da berdi.

Seta o'ylash uchun vaqt so'radi va ertasi kuni Seta qirol huzuriga kelganida, u o'z iltimosining misli ko'rilmagan kamtarligi bilan qirolni hayratda qoldirdi. U shaxmat taxtasining birinchi kvadratiga bir dona bug'doy, ikkinchisiga bir bug'doy, uchinchi, to'rtinchi va hokazo bug'doy donini berishni so'radi.

Podshoh g'azablanib, xizmatkorning iltimosi shohning saxiyligiga loyiq emasligini aytib, Setni haydab yubordi, lekin xizmatkor uning donalarini taxtaning barcha kvadratlari uchun olishini va'da qildi.

Va endi savol: geometrik progressiyaning shartlari yig'indisi formulasidan foydalanib, Set qancha don olishi kerakligini hisoblang?

Keling, fikr yuritishni boshlaylik. Shartga ko'ra, Set shaxmat taxtasining birinchi kvadrati uchun, ikkinchisi, uchinchisi, to'rtinchisi va boshqalar uchun bug'doy donini so'raganligi sababli, muammo geometrik progressiya haqida ekanligini ko'ramiz. Bu holatda u nimaga teng?
To'g'ri.

Shaxmat taxtasining umumiy kvadratlari. Tegishli ravishda, . Bizda barcha ma'lumotlar bor, qolgani uni formulaga ulash va hisoblash.

Hech bo'lmaganda berilgan raqamning "miqyosi" ni tasavvur qilish uchun biz daraja xususiyatlaridan foydalanib o'zgartiramiz:

Albatta, agar xohlasangiz, kalkulyatorni olib, qaysi raqam bilan yakunlanganingizni hisoblashingiz mumkin, agar bo'lmasa, mening so'zlarimni qabul qilishingiz kerak bo'ladi: ifodaning yakuniy qiymati bo'ladi.
Ya'ni:

kvintilion kvadrillion trillion milliard million ming.

Phew) Agar siz bu raqamning ulkanligini tasavvur qilmoqchi bo'lsangiz, unda butun don miqdorini sig'dirish uchun qancha katta ombor kerak bo'lishini taxmin qiling.
Agar ombor balandligi m va kengligi m bo'lsa, uning uzunligi km ga cho'zilishi kerak edi, ya'ni. Yerdan Quyoshgacha bo'lgan masofadan ikki baravar uzoqroqdir.

Agar podshoh matematikada kuchli bo‘lganida, donlarni sanashga olimning o‘zini taklif qilishi mumkin edi, chunki million donni sanash uchun unga hech bo‘lmaganda bir kun tinimsiz hisoblash kerak bo‘lardi va kvintilionlarni sanash zarurligini hisobga olsak, donlarni sanash kerak edi. butun umri davomida hisoblanishi kerak edi.

Endi geometrik progressiyaning hadlari yig‘indisidan iborat oddiy masalani yechamiz.
5A sinf o'quvchisi Vasya gripp bilan kasal bo'lib qoldi, lekin maktabga borishda davom etmoqda. Har kuni Vasya ikki kishini yuqtiradi, ular o'z navbatida yana ikkita odamni yuqtirishadi va hokazo. Sinfda faqat odamlar bor. Necha kundan keyin butun sinf gripp bilan kasallanadi?

Demak, geometrik progressiyaning birinchi hadi Vasya, ya’ni odam. Geometrik progressiyaning uchinchi muddati - u kelishining birinchi kunida yuqtirgan ikki kishi. umumiy qiymat progressiya a'zolari 5A o'quvchilar soniga teng. Shunga ko'ra, biz rivojlanish haqida gapiramiz, unda:

Keling, ma'lumotlarimizni geometrik progressiyaning hadlari yig'indisi formulasiga almashtiramiz:

Bir necha kun ichida butun sinf kasal bo'lib qoladi. Formulalar va raqamlarga ishonmaysizmi? Talabalarning "infektsiyasini" o'zingiz tasvirlashga harakat qiling. Bo'ldimi? Menga qanday qarashini qarang:

O'zingiz hisoblab ko'ring, agar o'quvchilarning har biri bir odamga yuqsa va sinfda faqat bitta odam bo'lsa, o'quvchilar gripp bilan necha kun kasal bo'lib qolishadi.

Siz qanday qiymatga ega bo'ldingiz? Ma'lum bo'lishicha, bir kundan keyin hamma kasal bo'la boshlagan.

Ko'rib turganingizdek, bunday vazifa va uning chizmasi piramidaga o'xshaydi, unda har bir keyingi yangi odamlarni "olib keladi". Biroq, ertami-kechmi, ikkinchisi hech kimni jalb qila olmaydigan payt keladi. Bizning holatda, agar sinf izolyatsiya qilingan deb tasavvur qilsak, dan kelgan kishi zanjirni yopadi (). Shunday qilib, agar biror kishi ishtirok etgan bo'lsa moliyaviy piramida, unda pul berilgan bo'lsa, agar siz boshqa ikkita ishtirokchini olib kelsangiz, u holda odam (yoki umumiy holat) hech kimni olib kelmagan bo'lardi va shuning uchun bu moliyaviy firibgarlikka sarmoya kiritgan hamma narsani yo'qotgan bo'lar edi.

Yuqorida aytilganlarning barchasi kamayib borayotgan yoki ortib borayotgan geometrik progressiyani anglatadi, lekin siz eslayotganingizdek, bizda alohida tur bor - cheksiz kamayuvchi geometrik progressiya. Uning a'zolari yig'indisini qanday hisoblash mumkin? Va nima uchun bu turdagi progressiya ma'lum xususiyatlarga ega? Keling, buni birgalikda aniqlaylik.

Shunday qilib, avvalo, bizning misolimizdan cheksiz kamayuvchi geometrik progressiyaning ushbu chizmasini yana bir bor ko'rib chiqamiz:

Endi biroz oldin olingan geometrik progressiya yig‘indisi formulasini ko‘rib chiqamiz:
yoki

Biz nimaga intilyapmiz? To'g'ri, grafik uning nolga moyilligini ko'rsatadi. Ya'ni, at, mos ravishda deyarli teng bo'ladi, ifodani hisoblashda biz deyarli olamiz. Shu munosabat bilan, biz cheksiz kamayuvchi geometrik progressiyaning yig'indisini hisoblashda, bu qavsni e'tiborsiz qoldirish mumkin, deb hisoblaymiz, chunki u teng bo'ladi.

- formula - cheksiz kamayuvchi geometrik progressiyaning hadlari yig'indisi.

MUHIM! Cheksiz kamayib boruvchi geometrik progressiya hadlari yig‘indisi formulasidan faqat shart yig‘indini topishimiz kerakligini aniq ko‘rsatsagina foydalanamiz. cheksiz a'zolar soni.

Agar ma'lum bir n raqami ko'rsatilgan bo'lsa, u holda yoki bo'lsa ham, n ta a'zoning yig'indisi uchun formuladan foydalanamiz.

Endi mashq qilaylik.

1. Geometrik progressiyaning birinchi hadlari yig‘indisini va bilan toping.
2. Cheksiz kamayuvchi geometrik progressiyaning hadlari yig‘indisini va bilan toping.

Umid qilamanki, siz juda ehtiyot bo'ldingiz. Keling, javoblarimizni taqqoslaylik:

Endi siz geometrik progressiya haqida hamma narsani bilasiz va nazariyadan amaliyotga o'tish vaqti keldi. Imtihonda eng ko'p uchraydigan geometrik progressiya muammolari murakkab foizlarni hisoblash masalalari hisoblanadi. Bular haqida biz gaplashamiz.

Murakkab foizlarni hisoblash masalalari.

Murakkab foiz formulasi haqida eshitgandirsiz. Bu nimani anglatishini tushunyapsizmi? Agar yo'q bo'lsa, keling, buni aniqlaylik, chunki jarayonning o'zini tushunganingizdan so'ng, geometrik progressiyaning u bilan qanday aloqasi borligini darhol tushunasiz.

Biz hammamiz bankka boramiz va borligini bilamiz turli sharoitlar depozitlar bo'yicha: bu muddat va qo'shimcha xizmat va ikkita foiz turli yo'llar bilan uning hisob-kitoblari - oddiy va murakkab.

BILAN oddiy qiziqish hamma narsa ko'proq yoki kamroq aniq: foizlar depozit muddati oxirida bir marta hisoblanadi. Ya'ni, biz bir yil davomida 100 rubl depozit qilamiz, desak, ular faqat yil oxirida hisobga olinadi. Shunga ko'ra, depozitning oxirigacha biz rubl olamiz.

Murakkab foiz- bu sodir bo'ladigan variant foizlarni kapitallashtirish, ya'ni. ularning depozit summasiga qo'shilishi va keyinchalik daromadning dastlabki emas, balki to'plangan depozit summasidan hisoblanishi. Kapitallashtirish doimiy ravishda sodir bo'lmaydi, lekin ma'lum bir chastota bilan. Qoida tariqasida, bunday davrlar tengdir va ko'pincha banklar oy, chorak yoki yilni ishlatadilar.

Faraz qilaylik, biz har yili bir xil rubllarni depozit qilamiz, lekin omonatning oylik kapitallashuvi bilan. Biz nima qilyapmiz?

Bu erda hamma narsani tushunyapsizmi? Agar yo'q bo'lsa, keling, buni bosqichma-bosqich aniqlaylik.

Biz bankka rubl olib keldik. Oyning oxiriga kelib, bizning hisobimizda rubllarimiz va ularga nisbatan foizlardan iborat miqdor bo'lishi kerak, ya'ni:

Rozimisiz?

Biz uni qavslardan olib tashlashimiz mumkin va keyin biz quyidagilarni olamiz:

Qabul qiling, bu formula biz boshida yozganimizga ko'proq o'xshaydi. Faqat foizlarni aniqlash qoladi

Muammo bayonotida bizga yillik stavkalar haqida aytiladi. Ma'lumki, biz ko'paytirmaymiz - foizlarni ga aylantiramiz o'nli kasrlar, ya'ni:

To'g'rimi? Endi siz so'rashingiz mumkin, raqam qaerdan kelgan? Juda oddiy!
Takror aytaman: muammo bayonotida aytilgan YILLIK hisoblangan foizlar OYLIK. Ma'lumki, bir yil ichida, shunga ko'ra, bank bizdan oyiga yillik foizlarning bir qismini undiradi:

Tushundingizmi? Endi foizlar har kuni hisoblab chiqiladi, desam formulaning bu qismi qanday ko'rinishini yozishga harakat qiling.
Siz boshqardingizmi? Keling, natijalarni taqqoslaylik:

Juda qoyil! Keling, vazifamizga qaytaylik: to'plangan depozit summasiga foizlar hisoblanganligini hisobga olib, ikkinchi oyda hisobimizga qancha pul tushishini yozing.
Mana menda nima bor:

Yoki boshqacha aytganda:

O'ylaymanki, siz allaqachon naqshni payqadingiz va bularning barchasida geometrik progressiyani ko'rdingiz. Uning a'zosi nimaga teng bo'lishini yoki boshqacha qilib aytganda, oy oxirida qancha pul olishimizni yozing.
qildimi? Keling, tekshiramiz!

Ko'rib turganingizdek, oddiy foiz stavkasida bir yil davomida bankka pul qo'ysangiz, siz rubl olasiz, agar murakkab foiz stavkasi bo'lsa, rubl olasiz. Foyda kichik, lekin bu faqat th yil davomida sodir bo'ladi, lekin ko'proq uchun uzoq muddat kapitallashtirish ancha foydali:

Keling, murakkab foizlar bilan bog'liq boshqa turdagi masalalarni ko'rib chiqaylik. Siz tushunganingizdan so'ng, bu siz uchun oddiy bo'ladi. Shunday qilib, vazifa:

"Zvezda" kompaniyasi 2000 yilda sanoatga sarmoya kirita boshlagan, kapitali dollarda. 2001 yildan boshlab har yili o'tgan yilgi kapitalga teng foyda oldi. Agar foyda muomaladan olinmasa, Zvezda kompaniyasi 2003 yil oxirida qancha foyda oladi?

2000 yilda Zvezda kompaniyasining kapitali.
- 2001 yilda Zvezda kompaniyasining kapitali.
- 2002 yilda Zvezda kompaniyasining kapitali.
- 2003 yilda Zvezda kompaniyasining kapitali.

Yoki qisqacha yozishimiz mumkin:

Bizning holatimiz uchun:

2000, 2001, 2002 va 2003 yillar.

Mos ravishda:
rubl
E'tibor bering, bu masalada bizda ham, na bo'yicha bo'linish yo'q, chunki foiz YILLIK beriladi va YILLIK hisoblanadi. Ya'ni, murakkab foizlar bo'yicha masalani o'qiyotganda, qancha foiz berilgan va qaysi davrda hisoblanganiga e'tibor bering va shundan keyingina hisob-kitoblarga o'ting.
Endi siz geometrik progressiya haqida hamma narsani bilasiz.

Trening.

1. Geometrik progressiyaning hadini toping, agar ma'lum bo'lsa, va
2. Geometrik progressiyaning birinchi hadlari yig’indisini toping, agar ma’lum bo’lsa, va
3. MDM Capital kompaniyasi 2003 yilda sanoatga sarmoya kirita boshlagan, kapitali dollarda. 2004 yildan boshlab har yili o'tgan yilgi kapitalga teng foyda oldi. MSK Cash Flows kompaniyasi 2005 yilda sohaga 10 000 AQSh dollari miqdorida sarmoya kirita boshlagan, 2006 yilda foyda ko'rishni boshlagan. Agar foyda muomaladan olinmagan bo'lsa, 2007 yil oxirida bir kompaniyaning kapitali boshqasidan necha dollarga ko'p?

Javoblar:

1. Muammo bayonida progressiyaning cheksiz ekanligi aytilmaganligi va uning hadlarining ma'lum sonining yig'indisini topish talab qilinganligi sababli, hisoblash quyidagi formula bo'yicha amalga oshiriladi:
2. 
   MDM Capital kompaniyasi:

   2003, 2004, 2005, 2006, 2007 yillar.
   - 100%, ya'ni 2 barobar ortadi.
   Mos ravishda:
   rubl
   MSK Cash Flows kompaniyasi:

   2005, 2006, 2007 yillar.
   - marta, ya'ni marta ortadi.
   Mos ravishda:
   rubl
   rubl

Keling, xulosa qilaylik.

1) Geometrik progressiya ( ) sonli ketma-ketlik boʻlib, uning birinchi hadi noldan farq qiladi va ikkinchisidan boshlab har bir had oldingisiga teng boʻlib, bir xil songa koʻpaytiriladi. Bu son geometrik progressiyaning maxraji deb ataladi.

2) Geometrik progressiya hadlari tenglamasi.

3) va dan tashqari har qanday qiymatlarni qabul qilishi mumkin.

• agar, u holda progressiyaning barcha keyingi shartlari bir xil belgiga ega - ular ijobiydir;
• bo'lsa, progressiyaning barcha keyingi shartlari muqobil belgilar;
• qachon - progressiya cheksiz kamayuvchi deyiladi.

4) , bilan - geometrik progressiya xossasi (qo‘shni hadlar)

yoki
, da (teng masofada)

Uni topganingizda, buni unutmang ikkita javob bo'lishi kerak.

Masalan,

5) Geometrik progressiya hadlari yig‘indisi quyidagi formula bilan hisoblanadi:
yoki

Agar progressiya cheksiz kamayib borayotgan bo'lsa, unda:
yoki

MUHIM! Cheksiz kamayib boruvchi geometrik progressiya hadlari yig‘indisi formulasidan faqat shart cheksiz sonli hadlar yig‘indisini topish zarurligini aniq ko‘rsatsagina foydalanamiz.

6) Murakkab foizli masalalar ham geometrik progressiyaning uchinchi hadi formulasi yordamida hisoblab chiqiladi. pul mablag'lari muomaladan chiqarilmagan:

GEOMETRIK PROGRESSIYA. ASOSIY NARSALAR HAQIDA QISQA

Geometrik progressiya( ) sonli ketma-ketlik boʻlib, uning birinchi hadi noldan farq qiladi va ikkinchisidan boshlab har bir aʼzo avvalgisiga teng boʻlib, bir xil songa koʻpaytiriladi. Bu raqam chaqiriladi geometrik progressiyaning maxraji.

Geometrik progressiyaning maxraji vadan tashqari har qanday qiymatni qabul qilishi mumkin.

• Agar progressiyaning barcha keyingi shartlari bir xil belgiga ega bo'lsa - ular ijobiydir;
• agar, u holda progressiyaning barcha keyingi a'zolari muqobil belgilar;
• qachon - progressiya cheksiz kamayuvchi deyiladi.

Geometrik progressiya hadlari tenglamasi - .

Geometrik progressiya hadlari yig'indisi formula bo'yicha hisoblanadi:
yoki

Geometrik progressiya matematikada arifmetikadan kam ahamiyatga ega emas. Geometrik progressiya b1, b2,..., b[n] sonlar ketma-ketligi bo‘lib, ularning har bir keyingi hadi oldingisini doimiy songa ko‘paytirish yo‘li bilan olinadi. Progressiyaning o'sish yoki pasayish tezligini tavsiflovchi bu raqam deyiladi geometrik progressiyaning maxraji va belgilang

Geometrik progressiyani to'liq ko'rsatish uchun maxrajdan tashqari uning birinchi hadini bilish yoki aniqlash kerak. Maxrajning ijobiy qiymati uchun progressiya monotonik ketma-ketlikdir va agar bu raqamlar ketma-ketligi monoton ravishda kamayib borayotgan bo'lsa va monoton ravishda ortib borayotgan bo'lsa. Maxraj birga teng bo'lgan holat amalda ko'rib chiqilmaydi, chunki bizda bir xil sonlar ketma-ketligi mavjud va ularning yig'indisi amaliy ahamiyatga ega emas.

Geometrik progressiyaning umumiy atamasi formula bo'yicha hisoblanadi

Geometrik progressiyaning birinchi n ta hadining yig‘indisi formula bilan aniqlanadi

Keling, klassik geometrik progressiya masalalarining yechimlarini ko'rib chiqaylik. Keling, tushunish uchun eng oddiylaridan boshlaylik.

1-misol. Geometrik progressiyaning birinchi hadi 27 ga, maxraji esa 1/3 ga teng. Geometrik progressiyaning dastlabki oltita hadini toping.

Yechish: Masalaning shartini shaklga yozamiz

Hisoblash uchun geometrik progressiyaning n-chi hadi formulasidan foydalanamiz

Unga asoslanib, biz progressiyaning noma'lum shartlarini topamiz

Ko'rib turganingizdek, geometrik progressiyaning shartlarini hisoblash qiyin emas. Rivojlanishning o'zi shunday ko'rinadi

2-misol. Geometrik progressiyaning dastlabki uchta hadi berilgan: 6; -12; 24. Ayiruvchi va uning yettinchi hadini toping.

Yechish: Geomitrik progressiyaning maxrajini uning ta’rifi asosida hisoblaymiz

Biz maxraji -2 ga teng bo'lgan o'zgaruvchan geometrik progressiyani oldik. Ettinchi muddat formula yordamida hisoblanadi

Bu muammoni hal qiladi.

3-misol. Geometrik progressiya uning ikkita hadi bilan berilgan . Progressiyaning o‘ninchi hadini toping.

Yechim:

Berilgan qiymatlarni formulalar yordamida yozamiz

Qoidalarga ko'ra, maxrajni topish va keyin izlash kerak bo'ladi istalgan qiymat, lekin o'ninchi muddat uchun biz bor

Xuddi shu formulani kirish ma'lumotlari bilan oddiy manipulyatsiyalar asosida olish mumkin. Seriyaning oltinchi hadini boshqasiga bo'ling va natijada biz olamiz

Olingan qiymat oltinchi muddatga ko'paytirilsa, biz o'ninchini olamiz

Shunday qilib, bunday muammolar uchun oddiy o'zgarishlardan foydalaniladi tez yo'l to'g'ri echimni topishingiz mumkin.

Misol 4. Geometrik progressiya takrorlanuvchi formulalar bilan berilgan

Geometrik progressiyaning maxrajini va birinchi olti hadning yig‘indisini toping.

Yechim:

Berilgan ma’lumotlarni tenglamalar sistemasi ko‘rinishida yozamiz

Ikkinchi tenglamani birinchisiga bo'lish orqali maxrajni ifodalang

Birinchi tenglamadan progressiyaning birinchi hadini topamiz

Geometrik progressiya yig‘indisini topish uchun quyidagi besh hadni hisoblaymiz