Ushbu videoda biz bir xil algoritm yordamida echiladigan chiziqli tenglamalarning butun to'plamini tahlil qilamiz - shuning uchun ular eng oddiy deb ataladi.
Boshlash uchun, keling, aniqlaymiz: chiziqli tenglama nima va ulardan qaysi birini eng oddiy deb atash kerak?
Chiziqli tenglama - bu faqat bitta o'zgaruvchiga ega bo'lgan va faqat birinchi darajali tenglama.
Eng oddiy tenglama qurilishni anglatadi:
Boshqa barcha chiziqli tenglamalar algoritm yordamida eng oddiy tenglamalarga qisqartiriladi:
- Qavslarni oching, agar mavjud bo'lsa;
- Oʻzgaruvchisi boʻlgan shartlarni teng belgisining bir tomoniga, oʻzgaruvchisi boʻlmagan shartlarni ikkinchi tomoniga koʻchiring;
- O'xshash atamalarni teng belgining chap va o'ng tomoniga keltiring;
- Olingan tenglamani $x$ o'zgaruvchining koeffitsientiga bo'ling.
Albatta, bu algoritm har doim ham yordam bermaydi. Gap shundaki, ba'zida barcha bu hiyla-nayranglardan so'ng $x$ o'zgaruvchisining koeffitsienti nolga teng bo'lib chiqadi. Bunday holda, ikkita variant mavjud:
- Tenglama umuman yechimga ega emas. Misol uchun, siz $0\cdot x=8$ kabi biror narsa olganingizda, ya'ni. chap tomonda nol, o'ngda esa nolga teng bo'lmagan raqam. Quyidagi videoda biz bu holatning mumkin bo'lgan bir nechta sabablarini ko'rib chiqamiz.
- Yechim barcha raqamlardir. Bu mumkin bo'lgan yagona holat tenglama $0\cdot x=0$ konstruktsiyasiga qisqartirilganda bo'ladi. Qaysi $x$ ni almashtirsak ham, baribir “nol nolga teng”, ya’ni “nolga teng” bo‘lib chiqishi mantiqan to‘g‘ri. to'g'ri raqamli tenglik.
Va endi keling, bularning barchasi haqiqiy muammolar misolida qanday ishlashini ko'rib chiqaylik.
Tenglamalarni yechishga misollar
Bugun biz chiziqli tenglamalar bilan shug'ullanamiz va faqat eng oddiylari. Umuman olganda, chiziqli tenglama aynan bitta o'zgaruvchini o'z ichiga olgan har qanday tenglikni anglatadi va u faqat birinchi darajaga boradi.
Bunday inshootlar taxminan bir xil tarzda hal qilinadi:
- Avvalo, agar mavjud bo'lsa, qavslarni ochishingiz kerak (oxirgi misolimizda bo'lgani kabi);
- Keyin shunga o'xshash narsalarni olib keling
- Nihoyat, o'zgaruvchini ajratib oling, ya'ni. o'zgaruvchi bilan bog'liq bo'lgan hamma narsa - u mavjud bo'lgan atamalar - bir tomonga, usiz qolgan hamma narsa boshqa tomonga o'tkaziladi.
Keyin, qoida tariqasida, hosil bo'lgan tenglikning har bir tomoniga o'xshash narsalarni olib kelishingiz kerak va shundan keyin faqat "x" koeffitsientiga bo'linish qoladi va biz yakuniy javobni olamiz.
Nazariy jihatdan, bu yoqimli va sodda ko'rinadi, ammo amalda hatto tajribali o'rta maktab o'quvchilari ham juda oddiy chiziqli tenglamalarda haqoratli xatolarga yo'l qo'yishlari mumkin. Odatda, qavslarni ochishda yoki "ortiqcha" va "minuslar" ni hisoblashda xatolarga yo'l qo'yiladi.
Bundan tashqari, shunday bo'ladiki, chiziqli tenglamaning yechimlari umuman bo'lmaydi yoki yechim butun son chizig'i bo'ladi, ya'ni. har qanday raqam. Ushbu nozikliklarni bugungi darsimizda tahlil qilamiz. Ammo siz allaqachon tushunganingizdek, biz eng ko'pini boshlaymiz oddiy vazifalar.
Oddiy chiziqli tenglamalarni yechish sxemasi
Boshlash uchun yana bir bor eng oddiy chiziqli tenglamalarni yechishning butun sxemasini yozishga ijozat bering:
- Agar mavjud bo'lsa, qavslarni kengaytiring.
- Yakka o'zgaruvchilar, ya'ni. "x" ni o'z ichiga olgan hamma narsa bir tomonga, "x"siz esa boshqa tomonga o'tkaziladi.
- Biz shunga o'xshash shartlarni taqdim etamiz.
- Biz hamma narsani "x" koeffitsientiga ajratamiz.
Albatta, bu sxema har doim ham ishlamaydi, u ma'lum nozikliklar va fokuslarga ega va endi biz ular bilan tanishamiz.
Oddiy chiziqli tenglamalarning haqiqiy misollarini yechish
№1 vazifa
Birinchi bosqichda bizdan qavslarni ochish talab qilinadi. Ammo ular bu misolda yo'q, shuning uchun biz bu bosqichni o'tkazib yuboramiz. Ikkinchi bosqichda biz o'zgaruvchilarni ajratishimiz kerak. E'tibor bering: biz faqat individual shartlar haqida gapiramiz. Keling, yozamiz:
Biz chap va o'ngda shunga o'xshash shartlarni beramiz, lekin bu erda allaqachon qilingan. Shuning uchun biz to'rtinchi bosqichga o'tamiz: omilga bo'ling:
\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]
Mana biz javob oldik.
Vazifa №2
Ushbu vazifada biz qavslarni kuzatishimiz mumkin, shuning uchun ularni kengaytiramiz:
Chapda ham, o'ngda ham taxminan bir xil qurilishni ko'ramiz, lekin keling, algoritmga muvofiq harakat qilaylik, ya'ni. sekvestr o'zgaruvchilari:
Mana bir nechtasi:
Bu qanday ildizlarda ishlaydi? Javob: har qanday uchun. Shuning uchun $x$ har qanday raqam ekanligini yozishimiz mumkin.
Vazifa №3
Uchinchi chiziqli tenglama allaqachon qiziqroq:
\[\chap(6-x \o'ng)+\chap(12+x \o'ng)-\chap(3-2x \o'ng)=15\]
Bu erda bir nechta qavslar bor, lekin ular hech narsa bilan ko'paytirilmaydi, faqat ularning oldida turli xil belgilar mavjud. Keling, ularni ajratamiz:
Bizga ma'lum bo'lgan ikkinchi bosqichni bajaramiz:
\[-x+x+2x=15-6-12+3\]
Keling, hisoblab chiqamiz:
Biz oxirgi bosqichni bajaramiz - biz hamma narsani "x" koeffitsientiga ajratamiz:
\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]
Chiziqli tenglamalarni yechishda eslash kerak bo'lgan narsalar
Agar biz juda oddiy vazifalarni e'tiborsiz qoldirsak, men quyidagilarni aytmoqchiman:
- Yuqorida aytganimdek, har bir chiziqli tenglamaning yechimi yo'q - ba'zida oddiygina ildizlar yo'q;
- Ildizlar bo'lsa ham, ularning orasiga nol kirishi mumkin - buning hech qanday yomon joyi yo'q.
Nol qolganlari bilan bir xil raqam, siz uni qandaydir kamsitmasligingiz kerak yoki agar siz nolga ega bo'lsangiz, unda siz noto'g'ri ish qildingiz deb o'ylamasligingiz kerak.
Yana bir xususiyat qavslarni kengaytirish bilan bog'liq. E'tibor bering: ularning oldida "minus" bo'lsa, biz uni olib tashlaymiz, ammo qavs ichida biz belgilarni o'zgartiramiz qarama-qarshi. Va keyin biz uni standart algoritmlarga muvofiq ochishimiz mumkin: biz yuqoridagi hisob-kitoblarda ko'rgan narsamizni olamiz.
Ushbu oddiy haqiqatni tushunish sizga o'rta maktabda ahmoqona va ranjituvchi xatolarga yo'l qo'ymaslikka yordam beradi, chunki bunday xatti-harakatlar odatdagidek qabul qilinadi.
Murakkab chiziqli tenglamalarni yechish
Keling, murakkabroq tenglamalarga o'tamiz. Endi konstruktsiyalar murakkablashadi va har xil o'zgarishlarni amalga oshirishda kvadrat funktsiya paydo bo'ladi. Biroq, siz bundan qo'rqmasligingiz kerak, chunki agar muallifning niyatiga ko'ra, chiziqli tenglamani yechsak, u holda transformatsiya jarayonida kvadrat funktsiyani o'z ichiga olgan barcha monomiallar albatta kamayadi.
№1 misol
Shubhasiz, birinchi qadam qavslarni ochishdir. Buni juda ehtiyotkorlik bilan qilaylik:
Endi maxfiylikni olaylik:
\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]
Mana bir nechtasi:
Shubhasiz, bu tenglamaning yechimlari yo'q, shuning uchun javobda biz quyidagicha yozamiz:
\[\variety\]
yoki ildizlari yo'q.
№2 misol
Biz bir xil qadamlarni bajaramiz. Birinchi qadam:
Keling, o'zgaruvchi bilan hamma narsani chapga, usiz esa o'ngga siljitamiz:
Mana bir nechtasi:
Shubhasiz, bu chiziqli tenglamaning yechimi yo'q, shuning uchun biz uni quyidagicha yozamiz:
\[\varnothing\],
yoki ildizlari yo'q.
Yechimning nuanslari
Ikkala tenglama ham to'liq yechilgan. Ushbu ikkita ifoda misolida biz yana bir bor amin bo'ldikki, hatto eng oddiy chiziqli tenglamalarda ham hamma narsa unchalik oddiy bo'lmasligi mumkin: bitta yoki hech biri yoki cheksiz ko'p bo'lishi mumkin. Bizning holatlarimizda biz ikkita tenglamani ko'rib chiqdik, ikkalasida ham ildiz yo'q.
Lekin men sizning e'tiboringizni yana bir faktga qaratmoqchiman: qavslar bilan qanday ishlash va ularning oldida minus belgisi bo'lsa, ularni qanday kengaytirish kerak. Ushbu ifodani ko'rib chiqing:
Ochishdan oldin hamma narsani "x" ga ko'paytirish kerak. Iltimos, diqqat qiling: ko'paytiring har bir alohida atama. Ichkarida ikkita atama mavjud - mos ravishda ikkita atama va ko'paytiriladi.
Va bu oddiy ko'rinadigan, ammo juda muhim va xavfli o'zgarishlar tugagandan keyingina, qavsni undan keyin minus belgisi borligi nuqtai nazaridan ochish mumkin. Ha, ha: faqat hozir, o'zgartirishlar amalga oshirilganda, biz qavslar oldida minus belgisi borligini eslaymiz, ya'ni pastdagi hamma narsa faqat belgilarni o'zgartiradi. Shu bilan birga, qavslarning o'zi yo'qoladi va eng muhimi, oldingi "minus" ham yo'qoladi.
Ikkinchi tenglama bilan ham xuddi shunday qilamiz:
Men bu mayda-chuyda, arzimasdek ko‘ringan faktlarga bejiz e’tibor bermadim. Chunki tenglamalarni yechish har doim elementar o‘zgarishlar ketma-ketligi bo‘lib, oddiy harakatlarni aniq va malakali bajara olmaslik yuqori sinf o‘quvchilarining mening oldimga kelib, yana shunday oddiy tenglamalarni yechishni o‘rganishiga olib keladi.
Albatta, siz bu ko'nikmalarni avtomatizmga aylantiradigan kun keladi. Endi har safar juda ko'p o'zgarishlarni amalga oshirishingiz shart emas, siz hamma narsani bitta qatorga yozasiz. Ammo endigina o'rganayotganingizda, har bir harakatni alohida yozishingiz kerak.
Bundan ham murakkab chiziqli tenglamalarni yechish
Biz hozir hal qilmoqchi bo'lgan narsani eng oddiy vazifa deb atash qiyin, ammo ma'no o'zgarishsiz qolmoqda.
№1 vazifa
\[\left(7x+1 \o'ng)\left(3x-1 \o'ng)-21((x)^(2))=3\]
Birinchi qismdagi barcha elementlarni ko'paytiramiz:
Keling, chekinamiz:
Mana bir nechtasi:
Keling, oxirgi qadamni bajaramiz:
\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]
Mana bizning yakuniy javobimiz. Va yechish jarayonida bizda kvadratik funktsiyaga ega koeffitsientlar bo'lganiga qaramay, ular o'zaro bekor qilindi, bu esa tenglamani kvadrat emas, balki aniq chiziqli qiladi.
Vazifa №2
\[\chap(1-4x \o'ng)\chap(1-3x \o'ng)=6x\chap(2x-1 \o'ng)\]
Keling, birinchi qadamni ehtiyotkorlik bilan bajaramiz: birinchi qavsdagi har bir elementni ikkinchisidagi har bir elementga ko'paytiring. O'zgarishlardan keyin jami to'rtta yangi atama olinishi kerak:
Va endi har bir muddatda ko'paytirishni diqqat bilan bajaring:
Keling, "x" bilan atamalarni chapga, va bo'lmagan holda - o'ngga siljiymiz:
\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]
Mana shunga o'xshash atamalar:
Biz aniq javob oldik.
Yechimning nuanslari
Ushbu ikki tenglama haqida eng muhim eslatma: biz bir muddatdan ortiq bo'lgan qavslarni ko'paytirishni boshlashimiz bilanoq, bu quyidagi qoidaga muvofiq amalga oshiriladi: biz birinchi haddan birinchisini olamiz va har bir element bilan ko'paytiramiz. ikkinchisidan; keyin birinchi elementdan ikkinchi elementni olamiz va xuddi shunday ikkinchi elementning har bir elementiga ko'paytiramiz. Natijada biz to'rtta shartni olamiz.
Algebraik yig'indi haqida
Oxirgi misol bilan men o'quvchilarga algebraik yig'indi nima ekanligini eslatib o'tmoqchiman. Klassik matematikada $1-7$ deganda biz oddiy qurilishni nazarda tutamiz: biz bittadan yettini ayiramiz. Algebrada bu bilan biz quyidagilarni nazarda tutamiz: “bir” soniga yana bir son, ya’ni “minus yetti” qo‘shamiz. Bu algebraik yig'indi odatdagi arifmetik yig'indidan farq qiladi.
Barcha o'zgarishlarni, har bir qo'shish va ko'paytirishni amalga oshirayotganda, yuqorida tavsiflanganlarga o'xshash konstruktsiyalarni ko'rishni boshlaysiz, polinomlar va tenglamalar bilan ishlashda algebrada hech qanday muammo bo'lmaydi.
Xulosa qilib aytganda, keling, biz ko'rib chiqqanlardan ham murakkabroq bo'lgan yana bir nechta misollarni ko'rib chiqaylik va ularni hal qilish uchun biz standart algoritmimizni biroz kengaytirishimiz kerak.
Kasrli tenglamalarni yechish
Bunday vazifalarni hal qilish uchun bizning algoritmimizga yana bir qadam qo'shish kerak bo'ladi. Lekin birinchi navbatda algoritmimizni eslatib o'taman:
- Ochiq qavslar.
- Alohida o'zgaruvchilar.
- Shunga o'xshash narsalarni keltiring.
- Koeffitsientga bo'ling.
Afsuski, bu ajoyib algoritm, uning barcha samaradorligiga qaramay, oldimizda kasrlar mavjud bo'lganda mutlaqo mos kelmaydi. Va biz quyida ko'rib chiqamiz, biz ikkala tenglamada chap va o'ng tomonda kasrga egamiz.
Bu holatda qanday ishlash kerak? Ha, bu juda oddiy! Buning uchun siz algoritmga yana bir qadam qo'shishingiz kerak, bu birinchi harakatdan oldin ham, undan keyin ham bajarilishi mumkin, ya'ni kasrlardan xalos bo'lish uchun. Shunday qilib, algoritm quyidagicha bo'ladi:
- Fraksiyalardan xalos bo'ling.
- Ochiq qavslar.
- Alohida o'zgaruvchilar.
- Shunga o'xshash narsalarni keltiring.
- Koeffitsientga bo'ling.
"Kasrlardan xalos bo'lish" nimani anglatadi? Va nima uchun buni birinchi standart qadamdan keyin ham, oldin ham qilish mumkin? Aslida, bizning holatlarimizda, barcha kasrlar maxraj jihatidan sonli, ya'ni. hamma joyda maxraj faqat sondir. Shuning uchun, agar biz tenglamaning ikkala qismini ushbu raqamga ko'paytirsak, biz kasrlardan xalos bo'lamiz.
№1 misol
\[\frac(\left(2x+1 \o'ng)\left(2x-3 \o'ng))(4)=((x)^(2))-1\]
Keling, bu tenglamadagi kasrlardan xalos bo'laylik:
\[\frac(\left(2x+1 \o'ng)\left(2x-3 \o'ng)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \o'ng)\cdot 4\]
E'tibor bering: hamma narsa bir marta "to'rt" ga ko'paytiriladi, ya'ni. Sizda ikkita qavs borligi ularning har birini "to'rt" ga ko'paytirish kerak degani emas. Keling, yozamiz:
\[\left(2x+1 \o'ng)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \o'ng)\cdot 4\]
Endi uni ochamiz:
Biz o'zgaruvchini ajratishni amalga oshiramiz:
Biz shunga o'xshash atamalarni qisqartiramiz:
\[-4x=-1\chap| :\left(-4 \o'ng) \o'ng.\]
\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]
Bizda bor yakuniy qaror, biz ikkinchi tenglamaga o'tamiz.
№2 misol
\[\frac(\left(1-x \o'ng)\left(1+5x \o'ng))(5)+(x)^(2))=1\]
Bu erda biz bir xil harakatlarni bajaramiz:
\[\frac(\left(1-x \o'ng)\left(1+5x \o'ng)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]
\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]
Muammo hal qilindi.
Aslida, men bugun aytmoqchi bo'lgan narsam shu edi.
Asosiy fikrlar
Asosiy topilmalar quyidagilardan iborat:
- Chiziqli tenglamalarni yechish algoritmini bilish.
- Qavslarni ochish qobiliyati.
- Agar biror joyingiz bo'lsa, tashvishlanmang kvadratik funktsiyalar, ehtimol, keyingi transformatsiyalar jarayonida ular qisqaradi.
- Chiziqli tenglamalardagi ildizlar, hatto eng oddiylari ham uch xil bo'ladi: bitta ildiz, butun son chizig'i ildiz, umuman ildiz yo'q.
Umid qilamanki, bu dars sizga barcha matematikani qo'shimcha tushunish uchun oddiy, ammo juda muhim mavzuni o'zlashtirishga yordam beradi. Agar biror narsa aniq bo'lmasa, saytga o'ting, u erda keltirilgan misollarni hal qiling. Bizni kuzatib boring, sizni yana ko'plab qiziqarli narsalar kutmoqda!
Chiziqli tenglamalar. Yechim, misollar.
Diqqat!
Qo'shimchalar mavjud
555-sonli maxsus bo'limdagi materiallar.
Qattiq "juda emas..." bo'lganlar uchun.
Va "juda ko'p ..." bo'lganlar uchun)
Chiziqli tenglamalar.
Chiziqli tenglamalar- maktab matematikasining eng qiyin mavzusi emas. Ammo ba'zi hiylalar borki, ular hatto o'qigan talabani ham boshdan kechiradi. Buni tushunamizmi?)
Chiziqli tenglama odatda quyidagi shakldagi tenglama sifatida aniqlanadi:
bolta + b = 0 Qayerda a va b- har qanday raqamlar.
2x + 7 = 0. Bu erda a=2, b=7
0,1x - 2,3 = 0 Bu erda a=0,1, b=-2,3
12x + 1/2 = 0 Bu erda a=12, b=1/2
Hech qanday murakkab narsa yo'q, to'g'rimi? Ayniqsa, agar siz quyidagi so'zlarni sezmasangiz: "Bu erda a va b har qanday raqamlar"... Va agar e'tibor bersangiz, lekin beparvolik bilan bu haqda o'ylaysizmi?) Axir, agar a=0, b=0(har qanday raqamlar mumkinmi?), keyin biz kulgili iborani olamiz:
Lekin bu hammasi emas! Agar aytaylik, a=0, A b=5, Bu juda absurd narsa bo'lib chiqdi:
Matematikaga bo'lgan ishonchni nima buzadi va susaytiradi, ha ...) Ayniqsa imtihonlarda. Ammo bu g'alati ifodalardan siz X ni ham topishingiz kerak! Bu umuman mavjud emas. Va ajablanarlisi shundaki, bu X ni topish juda oson. Biz buni qanday qilishni o'rganamiz. Bu darsda.
Chiziqli tenglamani tashqi ko'rinishida qanday aniqlash mumkin? Bu nimaga bog'liq tashqi ko'rinish.) Ayyorlik shundaki, chiziqli tenglamalar nafaqat shakldagi tenglamalar deb ataladi bolta + b = 0 , balki transformatsiyalar va soddalashtirishlar orqali bu shaklga keltiriladigan har qanday tenglamalar ham. Va u kamayadimi yoki yo'qmi, kim biladi?)
Ba'zi hollarda chiziqli tenglama aniq tan olinishi mumkin. Aytaylik, agar bizda faqat birinchi darajali noma'lumlar mavjud bo'lgan tenglama bo'lsa, ha raqamlar. Va tenglama unday emas ga bo'lingan kasrlar noma'lum , bu muhim! Va bo'linish raqam, yoki raqamli kasr - tamom! Masalan:
Bu chiziqli tenglama. Bu erda kasrlar bor, lekin kvadratda, kubda va hokazolarda x mavjud emas va maxrajlarda x mavjud emas, ya'ni. Yo'q x ga bo'linish. Va bu erda tenglama
chiziqli deb atash mumkin emas. Bu erda x ning barchasi birinchi darajada, lekin bor x bilan ifoda bo'yicha bo'lish. Soddalashtirish va o'zgartirishlardan so'ng siz chiziqli tenglamani, kvadratik tenglamani va o'zingiz yoqtirgan narsani olishingiz mumkin.
Ma'lum bo'lishicha, chiziqli tenglamani deyarli yechmaguningizcha, qandaydir murakkab misolda topish mumkin emas. Xafa qiladi. Ammo topshiriqlarda, qoida tariqasida, ular tenglama shakli haqida so'ramaydilar, to'g'rimi? Topshiriqlarda tenglamalar tartiblangan qaror. Bu quvontiradi.)
Chiziqli tenglamalarni yechish. Misollar.
Chiziqli tenglamalarning butun yechimi tenglamalarni bir xil o'zgartirishlardan iborat. Aytgancha, bu o'zgarishlar (ikkitagacha!) echimlar asosida yotadi matematikaning barcha tenglamalari. Boshqacha aytganda, qaror har qanday Tenglama xuddi shu o'zgarishlar bilan boshlanadi. Chiziqli tenglamalar bo'lsa, bu o'zgarishlar bo'yicha u (yechim) to'liq javob bilan tugaydi. Havolaga amal qilish mantiqan to'g'rimi?) Bundan tashqari, chiziqli tenglamalarni yechish misollari ham mavjud.
Eng oddiy misoldan boshlaylik. Hech qanday tuzoqsiz. Aytaylik, quyidagi tenglamani yechishimiz kerak.
x - 3 = 2 - 4x
Bu chiziqli tenglama. X larning barchasi birinchi darajaga tegishli, X ga bo'linish yo'q. Lekin, aslida, tenglama nima ekanligi bizga qiziq emas. Biz buni hal qilishimiz kerak. Bu erda sxema oddiy. Tenglamaning chap tomonida x bo'lgan hamma narsani, o'ngda esa x (raqamlar)siz hamma narsani to'plang.
Buning uchun siz transfer qilishingiz kerak - 4x dyuym chap tomoni, belgisi o'zgarishi bilan, albatta, va - 3 - O'ngga. Aytgancha, bu tenglamalarning birinchi bir xil konvertatsiyasi. Hayron qoldingizmi? Shunday qilib, ular havolaga rioya qilishmadi, lekin behuda ...) Biz olamiz:
x + 4x = 2 + 3
Biz shunga o'xshash narsalarni beramiz, biz ko'rib chiqamiz:
To'liq baxtli bo'lish uchun bizga nima kerak? Ha, chap tomonda toza X bo'lishi uchun! Beshtasi yo'lda to'sqinlik qiladi. Beshtadan qutuling tenglamalarni ikkinchi bir xil o'zgartirish. Ya'ni, tenglamaning ikkala qismini 5 ga bo'lamiz. Biz tayyor javobni olamiz:
Albatta, oddiy misol. Bu isinish uchun). Ha mayli. Biz buqani shoxlaridan olamiz.) Keling, ta'sirliroq narsani hal qilaylik.
Masalan, bu tenglama:
Qayerdan boshlaymiz? X bilan - chapga, X holda - o'ngga? Shunday bo'lishi mumkin. Uzoq yo'lda kichik qadamlar. Va siz darhol, universal va kuchli tarzda qila olasiz. Albatta, sizning arsenalingizda tenglamalarning bir xil o'zgarishlari mavjud bo'lmasa.
Men sizga asosiy savol beraman: Bu tenglamada sizga ko'proq nima yoqmaydi?
100 kishidan 95 kishi javob beradi: kasrlar ! Javob to'g'ri. Shunday ekan, keling, ulardan qutulaylik. Shunday qilib, biz darhol boshlaymiz ikkinchi bir xil transformatsiya. Chapdagi kasrni maxraj butunlay kamayishi uchun nimaga ko'paytirish kerak? To'g'ri, 3. Va o'ngda? By 4. Lekin matematika bizga ikkala tomonni ko'paytirish imkonini beradi bir xil raqam. Qanday qilib chiqamiz? Keling, ikkala tomonni 12 ga ko'paytiramiz! Bular. umumiy maxrajga. Keyin uchtasi kamayadi va to'rttasi. Har bir qismni ko'paytirish kerakligini unutmang butunlay. Birinchi qadam qanday ko'rinishga ega:
Qavslarni kengaytirish:
Eslatma! Numerator (x+2) Qavs ichida oldim! Buning sababi shundaki, kasrlarni ko'paytirishda hisoblagich butunga ko'paytiriladi, butunlay! Va endi siz kasrlarni kamaytirishingiz va kamaytirishingiz mumkin:
Qolgan qavslarni ochish:
Misol emas, balki sof zavq!) Endi biz afsunni eslaymiz quyi sinflar: x bilan - chapga, x holda - o'ngga! Va bu transformatsiyani qo'llang:
Mana bir nechtasi:
Va biz ikkala qismni 25 ga ajratamiz, ya'ni. ikkinchi transformatsiyani yana qo'llang:
Ana xolos. Javob: X=0,16
E'tibor bering: asl chalkash tenglamani yoqimli shaklga keltirish uchun biz ikkitadan (faqat ikkita!) foydalandik. bir xil o'zgarishlar- belgisini o'zgartirish bilan chapdan o'ngga tarjima qilish va tenglamani bir xil raqamga ko'paytirish-bo'lish. Bu universal yo'l! Biz shu tarzda ishlaymiz har qanday tenglamalar! Mutlaqo har qanday. Shuning uchun men bu o'zgarishlarni doimo takrorlayman.)
Ko'rib turganingizdek, chiziqli tenglamalarni echish printsipi oddiy. Biz tenglamani olamiz va javobni olmaguncha uni bir xil o'zgartirishlar yordamida soddalashtiramiz. Bu erda asosiy muammolar yechim tamoyilida emas, balki hisob-kitoblarda.
Lekin ... Eng elementar chiziqli tenglamalarni yechish jarayonida shunday kutilmagan hodisalar mavjudki, ular kuchli stuporga olib kelishi mumkin ...) Yaxshiyamki, bunday kutilmagan hodisalar faqat ikkita bo'lishi mumkin. Keling, ularni maxsus holatlar deb ataylik.
Chiziqli tenglamalarni yechishdagi maxsus holatlar.
Avval ajablantiring.
Aytaylik, siz elementar tenglamaga duch keldingiz, masalan:
2x+3=5x+5 - 3x - 2
Bir oz zerikib, biz X bilan chapga, X holda - o'ngga o'tkazamiz ... Belgining o'zgarishi bilan hamma narsa chin-chinar ... Biz olamiz:
2x-5x+3x=5-2-3
Biz ishonamiz va ... oh! Biz olamiz:
O'z-o'zidan bu tenglik e'tiroz bildirmaydi. Nol haqiqatan ham nolga teng. Ammo X ketdi! Va biz javobda yozishimiz kerak, x nimaga teng. Aks holda, yechim hisoblanmaydi, ha...) Boshi berk ko'cha?
Sokin! Bunday shubhali holatlarda eng umumiy qoidalar qutqaradi. Tenglamalarni qanday yechish mumkin? Tenglamani yechish nimani anglatadi? Bu degani, almashtirilganda x ning barcha qiymatlarini toping original tenglama, bizga to'g'ri tenglikni beradi.
Ammo bizda to'g'ri tenglik bor allaqachon sodir bo'ldi! 0=0, qayerda?! Bu qaysi x dan olinganligini aniqlash qoladi. X ning qaysi qiymatlarini almashtirish mumkin boshlang'ich tenglama, agar bu x bo'lsa hali ham nolga qisqaradimi? Qo'ysangchi; qani endi?)
Ha!!! X ni almashtirish mumkin har qanday! Nima xohlaysiz. Kamida 5, kamida 0,05, kamida -220. Ular hali ham qisqaradi. Agar menga ishonmasangiz, tekshirib ko'rishingiz mumkin.) Istalgan x qiymatini o'rniga qo'ying boshlang'ich tenglama va hisoblash. Har doim sof haqiqat olinadi: 0=0, 2=2, -7,1=-7,1 va hokazo.
Mana sizning javobingiz: x - har qanday raqam.
Javob turli matematik belgilarda yozilishi mumkin, mohiyat o'zgarmaydi. Bu mutlaqo to'g'ri va to'liq javob.
Ikkinchidan ajablanib.
Keling, bir xil elementar chiziqli tenglamani olaylik va undagi faqat bitta raqamni o'zgartiramiz. Buni biz hal qilamiz:
2x+1=5x+5 - 3x - 2
Xuddi shu o'zgarishlardan so'ng biz qiziqarli narsalarni olamiz:
Mana bunday. Chiziqli tenglamani yechish, g'alati tenglikni oldi. gaplashish matematik til, bizda bor noto'g'ri tenglik. Va gapirish oddiy til, bu haqiqat emas. Rave. Ammo shunga qaramay, bu bema'nilik tenglamani to'g'ri hal qilish uchun juda yaxshi sababdir.)
Shunga qaramay, biz o'ylaymiz umumiy qoidalar. Dastlabki tenglamaga almashtirilganda, x bizga nimani beradi to'g'ri tenglik? Ha, yo'q! Bunday xes yo'q. Siz nimani almashtirsangiz ham, hamma narsa kamayadi, bema'nilik qoladi.)
Mana sizning javobingiz: yechimlar yo'q.
Bu ham mutlaqo to'g'ri javobdir. Matematikada bunday javoblar tez-tez uchraydi.
Mana bunday. Endi, umid qilamanki, har qanday (nafaqat chiziqli) tenglamani yechish jarayonida X ning yo'qolishi sizni umuman bezovta qilmaydi. Masala tanish.)
Endi biz chiziqli tenglamalardagi barcha tuzoqlarni ko'rib chiqdik, ularni hal qilish mantiqan.
Agar sizga bu sayt yoqsa...
Aytgancha, menda siz uchun yana bir nechta qiziqarli saytlar bor.)
Siz misollarni yechishda mashq qilishingiz va o'z darajangizni bilib olishingiz mumkin. Tezkor tekshirish bilan sinov. O'rganish - qiziqish bilan!)
funksiyalar va hosilalar bilan tanishishingiz mumkin.
Ushbu darsda chiziqli tenglamalar tizimini yechish usullarini ko'rib chiqamiz. Oliy matematika kursida chiziqli tenglamalar sistemalarini alohida topshiriqlar shaklida ham, masalan, “Tizimni Kramer formulalari yordamida yechish” va boshqa masalalarni yechish jarayonida ham yechish talab etiladi. Oliy matematikaning deyarli barcha sohalarida chiziqli tenglamalar tizimlari bilan shug'ullanish kerak.
Birinchidan, bir oz nazariya. Nima ichida bu holat"chiziqli" matematik so'zini anglatadimi? Bu shuni anglatadiki, tizim tenglamalarida Hammasi o'zgaruvchilar kiritilgan birinchi darajada: kabi ajoyib narsalar yo'q 
va hokazo, ulardan faqat matematika olimpiadalari ishtirokchilari xursand bo'lishadi.
Oliy matematikada o'zgaruvchilarni belgilash uchun nafaqat bolalikdan tanish bo'lgan harflar qo'llaniladi.
Juda mashhur variant - indeksli o'zgaruvchilar: .
Yoki bosh harflar Lotin alifbosi, kichik va katta:
Yunoncha harflarni topish juda kam emas: - ko'pchilik "alfa, beta, gamma" larga yaxshi ma'lum. Shuningdek, indeksli to'plam, aytaylik, "mu" harfi bilan:
Harflarning u yoki bu to'plamidan foydalanish biz chiziqli tenglamalar tizimiga duch kelgan oliy matematikaning bo'limiga bog'liq. Masalan, integrallarni yechishda uchraydigan chiziqli tenglamalar sistemalarida, differensial tenglamalar an'anaviy ravishda qo'llaniladigan belgi
Ammo o'zgaruvchilar qanday belgilanishidan qat'i nazar, chiziqli tenglamalar tizimini echish tamoyillari, usullari va usullari bundan o'zgarmaydi. Shunday qilib, agar siz dahshatli narsaga duch kelsangiz, qo'rquv bilan muammo daftarini yopishga shoshilmang, chunki uning o'rniga quyoshni chizishingiz mumkin, buning o'rniga - qush va uning o'rniga - yuz (o'qituvchi). Va, g'alati, bu belgilar bilan chiziqli tenglamalar tizimini ham echish mumkin.
Menda shunday bir narsa borki, maqola juda uzun bo'lib chiqadi, shuning uchun kichik jadval. Shunday qilib, ketma-ket "debriefing" quyidagicha bo'ladi:
– chiziqli tenglamalar tizimini almashtirish usuli bilan yechish (“ maktab usuli»)
;
– tizim tenglamalarini muddat bo‘yicha qo‘shish (ayirish) usuli bilan tizimni yechish.;
– Tizimni Kramer formulalari bo'yicha yechish;
– Teskari matritsa yordamida tizimni yechish;
– sistemani Gauss usulida yechish.
Chiziqli tenglamalar tizimlari bilan hamma maktab matematika kursidan tanish. Aslida, biz takrorlashdan boshlaymiz.
Chiziqli tenglamalar sistemasini almashtirish usuli bilan yechish
Bu usul"maktab usuli" yoki noma'lumlarni yo'q qilish usuli deb ham atash mumkin. Majoziy ma'noda uni "yarim tayyor Gauss usuli" deb ham atash mumkin.
1-misol
Bu erda ikkita noma'lumli ikkita tenglamalar tizimi mavjud. E'tibor bering, erkin shartlar (5 va 7 raqamlari) tenglamaning chap tomonida joylashgan. Umuman olganda, ular qaerda, chapda yoki o'ngda bo'lishi muhim emas, faqat oliy matematika muammolarida ular ko'pincha shunday joylashadi. Va bunday yozuv chalkash bo'lmasligi kerak, agar kerak bo'lsa, tizim har doim "odatdagidek" yozilishi mumkin:. Shuni unutmangki, atamani qismdan qismga o'tkazishda siz uning belgisini o'zgartirishingiz kerak.
Chiziqli tenglamalar sistemasini yechish nimani anglatadi? Tenglamalar sistemasini yechish deganda uning yechimlari to‘plamini topish tushuniladi. Tizimning yechimi - bu unga kiritilgan barcha o'zgaruvchilarning qiymatlari to'plami, bu tizimning HAR bir tenglamasini haqiqiy tenglikka aylantiradi. Bundan tashqari, tizim bo'lishi mumkin mos kelmaydigan (hech qanday yechim yo'q).Uyalmang, shunday umumiy ta'rif=) Biz bilan har bir tenglamani qanoatlantiradigan "x" ning faqat bitta qiymati va "y" ning bitta qiymati bo'ladi.
Mavjud grafik usuli darsda topish mumkin bo'lgan tizimning echimlari To'g'ri chiziq bilan eng oddiy muammolar. U erda men gaplashdim geometrik ma'no ikkita noma'lumli ikkita chiziqli tenglamalar tizimi. Ammo hozir hovlida algebra davri, va raqamlar - raqamlar, harakatlar - harakatlar.
Biz qaror qilamiz: birinchi tenglamadan biz ifodalaymiz:
Olingan ifodani ikkinchi tenglamaga almashtiramiz:
Qavslarni ochamiz, o'xshash shartlarni beramiz va qiymatni topamiz: 
Keyin ular nimadan raqsga tushganini eslaymiz:
Biz allaqachon qiymatni bilamiz, topish qoladi:
Javob:
HAR QANDAY tenglamalar tizimi HAR QANDAY tarzda echilgandan so'ng, men tekshirishni tavsiya qilaman (og'zaki, qoralama yoki kalkulyatorda). Yaxshiyamki, bu tez va oson amalga oshiriladi.
1) Topilgan javobni birinchi tenglamaga almashtiring:
- to'g'ri tenglik olinadi.
2) Topilgan javobni ikkinchi tenglamaga almashtiramiz: 
- to'g'ri tenglik olinadi.
Yoki oddiyroq qilib aytganda, "hamma narsa birlashdi"
Ko'rib chiqilgan yechim usuli yagona emas, birinchi tenglamadan uni ifodalash mumkin edi, lekin yo'q.
Siz aksincha - ikkinchi tenglamadan biror narsani ifodalashingiz va uni birinchi tenglamaga almashtirishingiz mumkin. Aytgancha, to'rtta usuldan eng noqulayi ikkinchi tenglamadan ifodalash ekanligini unutmang:
Kasrlar olinadi, lekin nima uchun? Yana oqilona yechim bor.
Biroq, ba'zi hollarda, fraktsiyalar hali ham ajralmasdir. Shu munosabat bilan e'tiboringizni ifodani QANDAY yozganimga qarataman. Bunday emas: va hech qanday tarzda: 
.
Agar siz oliy matematikada shug'ullanayotgan bo'lsangiz kasr sonlar, keyin barcha hisob-kitoblarni oddiy noto'g'ri kasrlarda bajarishga harakat qiling.
Aniqrog'i, yo'q yoki!
Vergul faqat vaqti-vaqti bilan ishlatilishi mumkin, xususan, agar - bu ba'zi bir muammoga yakuniy javob bo'lsa va bu raqam bilan boshqa harakatlarni bajarish kerak emas.
Ko'p o'quvchilar shunday deb o'ylashgan bo'lishi kerak: "Nega bu batafsil tushuntirish, tuzatish sinfiga kelsak, va shuning uchun hamma narsa aniq. Hech narsa o'xshamaydi, bu juda oddiy ko'rinadi maktab namunasi, va qanchalar juda muhim xulosalar! Mana yana biri:
Har qanday vazifani eng oqilona tarzda bajarishga intilish kerak.. Faqat vaqt va asablarni tejaganligi uchun, shuningdek, xato qilish ehtimolini kamaytiradi.
Agar oliy matematikadagi topshiriqda siz ikkita noma'lumli ikkita chiziqli tenglamalar tizimiga duch kelsangiz, har doim almashtirish usulidan foydalanishingiz mumkin (agar tizimni boshqa usul bilan echish kerakligi ko'rsatilmagan bo'lsa) ".
Bundan tashqari, ba'zi hollarda almashtirish usulini ko'proq o'zgaruvchilar bilan ishlatish tavsiya etiladi.
2-misol
Uchta noma’lumli chiziqli tenglamalar sistemasini yeching
Shunga o'xshash tenglamalar tizimi ko'pincha usul deb ataladigan usuldan foydalanganda paydo bo'ladi noaniq koeffitsientlar kasr ratsional funksiyaning integralini topganimizda. Ko'rib chiqilayotgan tizim men tomonidan u erdan olingan.
Integralni topishda - maqsad tez koeffitsientlarning qiymatlarini toping va Kramer formulalari bilan murakkablashmang, usul teskari matritsa va hokazo. Shuning uchun, bu holda, almashtirish usuli mos keladi.
Har qanday tenglamalar tizimi berilganda, birinchi navbatda, buni bilib olish maqsadga muvofiqdir, lekin uni qandaydir tarzda DAVOLA soddalashtirish mumkinmi? Tizim tenglamalarini tahlil qilib, biz tizimning ikkinchi tenglamasini 2 ga bo'lish mumkinligini ko'ramiz, biz buni qilamiz:
Malumot: Matematik belgi "bundan kelib chiqadi" degan ma'noni anglatadi, u ko'pincha muammolarni hal qilishda ishlatiladi.
Endi biz tenglamalarni tahlil qilamiz, qolganlari orqali ba'zi o'zgaruvchilarni ifodalashimiz kerak. Qaysi tenglamani tanlash kerak? Ehtimol, buning uchun eng oson yo'li tizimning birinchi tenglamasini olish ekanligini taxmin qilgandirsiz:
Bu erda qaysi o'zgaruvchini ifodalash muhim emas, yoki ni ifodalash ham mumkin.
Keyinchalik, sistemaning ikkinchi va uchinchi tenglamalariga ifodani almashtiramiz: 
Qavslarni oching va shunga o'xshash shartlarni qo'shing: 
Uchinchi tenglamani 2 ga bo'lamiz: 
Ikkinchi tenglamadan biz ifodalaymiz va uchinchi tenglamaga almashtiramiz:
Deyarli hamma narsa tayyor, uchinchi tenglamadan biz topamiz:
Ikkinchi tenglamadan: 
Birinchi tenglamadan:
Tekshiring: Tizimning har bir tenglamasining chap tomonidagi o'zgaruvchilarning topilgan qiymatlarini almashtiring:
1)
2)
3)
Tenglamalarning mos keladigan o'ng tomonlari olinadi, shuning uchun yechim to'g'ri topiladi.
3-misol
4 ta noma’lumli chiziqli tenglamalar sistemasini yeching
Bu misol uchun mustaqil qaror(javob dars oxirida).
Tizim tenglamalarini davr bo‘yicha qo‘shish (ayirish) yo‘li bilan tizimni yechish
Chiziqli tenglamalar tizimlarini echish jarayonida "maktab usuli" dan emas, balki tizim tenglamalarini muddatlar bo'yicha qo'shish (ayirish) usulidan foydalanishga harakat qilish kerak. Nega? Bu vaqtni tejaydi va hisob-kitoblarni soddalashtiradi, ammo endi bu aniqroq bo'ladi.
4-misol
Chiziqli tenglamalar tizimini yeching: 
Men birinchi misol bilan bir xil tizimni oldim.
Tenglamalar tizimini tahlil qilib, o'zgaruvchining koeffitsientlari mutlaq qiymati bo'yicha bir xil va ishorasi bo'yicha qarama-qarshi (–1 va 1) ekanligini ko'ramiz. Bunday holda, tenglamalarni atama bo'yicha qo'shish mumkin: 
Qizil rangda aylanaga chizilgan harakatlar MENTAL O'ZBEKISTONDA bajariladi.
Ko'rib turganingizdek, terminlarni qo'shish natijasida biz o'zgaruvchini yo'qotdik. Bu, aslida usulning mohiyati o'zgaruvchilardan biridan xalos bo'lishdir.
Chiziqli tenglamalar maktab matematikasida juda zararsiz va tushunarli mavzudir. Ammo, g'alati, chiziqli tenglamalarni echishda noaniq xatolar soni boshqa mavzularga qaraganda bir oz kamroq - kvadrat tenglamalar, logarifmlar, trigonometriya va boshqalar. Ko'pgina xatolarning sabablari tenglamalarni bir xil o'zgartirishlardir. Birinchidan, bu atamalarni tenglamaning bir qismidan ikkinchisiga o'tkazishda belgilardagi chalkashlik, shuningdek, kasrlar va kasr koeffitsientlari bilan ishlashda xatolar. Ha ha! Chiziqli tenglamalarda kasrlar ham uchraydi! Butun atrofda. Bir oz pastroqda, biz bunday yomon tenglamalarni ham tahlil qilamiz.)
Xo'sh, keling, mushukni dumidan tortmaylik va buni aniqlashni boshlaymiz, shunday emasmi? Keyin o'qiymiz va tushunamiz.)
Chiziqli tenglama nima? Misollar.
Odatda, chiziqli tenglama quyidagi shaklga ega:
bolta + b = 0,
Bu erda a va b har qanday raqamlar. Hamma narsa: butun, kasr, salbiy, mantiqsiz - hamma bo'lishi mumkin!
Masalan:
7x + 1 = 0 (bu erda a = 7, b = 1)
x - 3 = 0 (bu erda a = 1, b = -3)
x/2 - 1,1 = 0 (bu erda a = 1/2, b = -1,1)
Umuman olganda, tushunasiz, umid qilamanki.) Hamma narsa oddiy, xuddi ertakdagi kabi. Hozircha... Ax+b=0 umumiy yozuviga yaqinroq nazar tashlasak va bir oz o'ylab ko'rsak? Chunki a va b har qanday raqamlar! Va agar bizda, aytaylik, a = 0 va b = 0 (har qanday raqamlarni olish mumkin!) bo'lsa, biz nimani olamiz?
0 = 0
Lekin bu hammasi qiziq emas! Va agar, aytaylik, a = 0, b = -10? Keyin bu juda bema'nilik bo'lib chiqadi:
0 = 10.
Bu juda va juda zerikarli va ter va qon bilan qo'lga kiritilgan matematikaga bo'lgan ishonchga putur etkazadi ... Ayniqsa, test va imtihonlarda. Ammo bu tushunarsiz va g'alati tengliklardan siz x ni ham topishingiz kerak! Bu umuman mavjud emas! Va bu erda hatto yaxshi tayyorgarlik ko'rgan talabalar ham, ba'zida ular aytganidek, bema'ni bo'lib qolishlari mumkin ... Lekin tashvishlanmang! Ushbu darsda biz barcha bunday kutilmagan hodisalarni ko'rib chiqamiz. Va bunday tengliklardan x ham albatta topiladi.) Qolaversa, aynan shu x juda, juda oddiy qidiriladi. Ha ha! Ajablanarli, lekin haqiqat.)
OK, bu tushunarli. Ammo vazifaning ko'rinishidan bizda boshqasi emas, balki chiziqli tenglama borligini qanday bilish mumkin? Afsuski, tenglama turini faqat tashqi ko'rinish bilan tanib olish har doim ham mumkin emas. Gap shundaki, nafaqat ax + b = 0 ko'rinishidagi tenglamalar, balki bir xil o'zgarishlar bilan u yoki bu shaklga tushiriladigan boshqa tenglamalar ham chiziqli deb ataladi. U mos keladimi yoki yo'qligini qanday bilasiz? Misolni deyarli hal qilmaguningizcha - deyarli hech narsa. Xafa qiladi. Ammo tenglamalarning ba'zi turlari uchun, bir qarashda, uning chiziqli yoki yo'qligini darhol aniq aytish mumkin.
Buning uchun biz yana bir bor har qanday chiziqli tenglamaning umumiy tuzilishiga murojaat qilamiz:
bolta + b = 0
E'tibor bering, chiziqli tenglamada Har doim faqat x o'zgaruvchisi mavjud birinchi darajada va ba'zi raqamlar! Va tamom! Boshqa hech narsa. Shu bilan birga, x kvadrat, kubik, ildiz ostida, logarifm ostida va boshqa ekzotiklar yo'q. Va (eng muhimi!) kasrlar yo'q maxrajlarda x bilan! Lekin maxraj yoki bo'linishda raqamlar bilan kasrlar raqam uchun- oson!
Masalan:
Bu chiziqli tenglama. Tenglama birinchi darajaga faqat x ni va raqamlarni o'z ichiga oladi. Va yuqori kuchlarda xes yo'q - kvadrat, kubik va boshqalar. Ha, bu erda kasrlar bor, lekin ayni paytda ular kasrlarning maxrajlarida o'tirishadi. faqat raqamlar. Ya'ni, ikkita va uchta. Boshqacha aytganda, yo'q x ga bo'linish.
Va bu erda tenglama
Uni endi chiziqli deb atash mumkin emas, garchi bu erda ham birinchi darajali raqamlar va x lar mavjud. Chunki, boshqa narsalar qatorida kasrlar ham bor maxrajlarda x bilan. Va soddalashtirish va o'zgartirishlardan so'ng, bunday tenglama har qanday narsaga aylanishi mumkin: chiziqli va kvadrat - har kim.
Chiziqli tenglamalarni qanday yechish mumkin? Misollar.
Shunday qilib, chiziqli tenglamalarni qanday hal qilasiz? O'qing va hayron bo'ling.) Chiziqli tenglamalarning butun yechimi faqat ikkita asosiy narsaga asoslanadi. Keling, ularni sanab o'tamiz.
1) Matematikaning elementar amallari va qoidalari majmui.
Bu qavslardan foydalanish, qavslarni ochish, kasrlar bilan ishlash, manfiy sonlar bilan ishlash, ko'paytirish jadvali va hokazo. Bu bilim va ko'nikmalar nafaqat chiziqli tenglamalarni yechish uchun, balki butun matematika uchun zarurdir. Va agar bu muammo bo'lsa, quyi sinflarni eslang. Aks holda, sizga qiyin bo'ladi ...
2)
Ulardan faqat ikkitasi bor. Ha ha! Bundan tashqari, bu juda oddiy o'xshash o'zgarishlar nafaqat chiziqli, balki umuman matematikaning har qanday tenglamalarini hal qilish uchun asosdir! Bir so'z bilan aytganda, boshqa har qanday tenglamaning yechimi - kvadratik, logarifmik, trigonometrik, irratsional va boshqalar. - qoida tariqasida, bu juda asosiy o'zgarishlar bilan boshlanadi. Ammo aniq chiziqli tenglamalarni hal qilish, aslida, ular (o'zgarishlar) bilan tugaydi. Javob tayyor).
Menimcha, misollarni tahlil qilishni boshlash vaqti keldi.
Boshlash uchun, isinish sifatida, ba'zi bir elementar narsalarni ko'rib chiqing. Hech qanday kasrlar va boshqa qo'ng'iroqlar va hushtaklarsiz. Masalan, bu tenglama:
x - 2 \u003d 4 - 5x
Bu klassik chiziqli tenglama. Barcha xlar birinchi darajaga maksimal bo'ladi va hech qanday joyda x ga bo'linish yo'q. Bunday tenglamalardagi yechim sxemasi har doim bir xil va dahshatga oddiy: x bilan barcha atamalar chap tomonda to'planishi kerak va barcha x holda (ya'ni raqamlar) o'ngda to'planishi kerak. Shunday qilib, yig'ishni boshlaylik.
Buning uchun biz birinchi o'xshash transformatsiyani ishga tushiramiz. Biz chapga -5x, o'ngga o'tish uchun -2 harakat qilishimiz kerak. Albatta, belgi o'zgarishi bilan.) Shunday qilib, biz o'tkazamiz:
x + 5x = 4 + 2
Mana. Jangning yarmi tugadi: xlar bir qoziqda yig'iladi, raqamlar ham. Endi biz chap tomonda shunga o'xshash narsalarni beramiz va biz o'ngda hisoblaymiz. Biz olamiz:
6x = 6
To'liq baxt uchun bizga nima etishmayapti? Ha, shuning uchun toza X chap tomonda qoladi! Va oltitasi aralashadi. Undan qanday qutulish mumkin? Endi biz ikkinchi bir xil transformatsiyani boshlaymiz - biz tenglamaning ikkala tomonini 6 ga bo'lamiz. Va - voila! Javob tayyor.)
x = 1
Albatta, misol juda ibtidoiy. Umumiy fikrni olish uchun. Keling, yanada muhimroq ish qilaylik. Masalan, quyidagi tenglamani ko'rib chiqing:
Keling, uni batafsil tahlil qilaylik.) Bu ham chiziqli tenglama, garchi bu erda kasrlar bordek tuyulsa ham. Lekin kasrlarda ikkiga bo'linish bor va uchga bo'linish bor, lekin x bilan ifodalangan bo'linish yo'q! Shunday qilib, biz qaror qilamiz. Barcha bir xil o'zgarishlardan foydalanish, ha.)
Biz birinchi navbatda nima qilamiz? X bilan - chapga, X holda - o'ngga? Printsipial jihatdan, bu mumkin va shunga o'xshash. Sochiga Vladivostok orqali uching.) Yoki siz darhol universal va kuchli usuldan foydalanib, eng qisqa yo'lni bosib o'tishingiz mumkin. Agar siz bir xil o'zgarishlarni bilsangiz, albatta.)
Boshlash uchun men asosiy savolni beraman: bu tenglamada nimaga ko'proq e'tibor qaratasiz va yoqtirmaysiz? 100 kishidan 99 tasi shunday deydi: kasrlar! Va ular to'g'ri bo'ladi.) Shunday ekan, keling, avvalo ulardan xalos bo'laylik. Tenglamaning o'zi uchun xavfsiz.) Keling, darhol boshlaylik ikkinchi bir xil transformatsiya- ko'paytirishdan. Maxraj xavfsiz tarzda kamayishi uchun chap tomonni nimaga ko'paytirish kerak? To'g'ri, ikki barobar. A o'ng tomon? Uch uchun! Lekin ... Matematika - injiq xonim. Bilasizmi, u faqat ikkala qismni ko'paytirishni talab qiladi bir xil raqam uchun! Har bir qismni o'z raqamiga ko'paytiring - u ishlamaydi ... Biz nima qilamiz? Nimadir... Murosa izlang. Bizning istaklarimizni qondirish uchun (kasrlardan qutulish) va matematikani xafa qilmaslik uchun.) Va keling, ikkala qismni oltiga ko'paytiramiz!) Ya'ni, tenglamaga kiritilgan barcha kasrlarning umumiy maxraji bilan. Keyin, bir zarbada ikkitasi qisqaradi va uchtasi!)
Bu erda biz ko'payamiz. Butun chap tomoni va butun o'ng tomoni butunlay! Shuning uchun biz qavslardan foydalanamiz. Jarayon shunday ko'rinadi:
Endi qavslarni ochamiz:
Endi, 6 ni 6/1 sifatida ifodalab, oltitani chap va o'ngdagi kasrlarning har biriga ko'paytiring. Bu kasrlarning odatiy ko'payishi, lekin shunday bo'lsin, men batafsil yozaman:
Va bu erda - diqqat! Qavs ichida hisoblagichni (x-3) oldim! Buning hammasi, chunki kasrlarni ko'paytirishda, hisoblagich to'liq, to'liq va to'liq ko'paytiriladi! Va x-3 ifodasi bilan bitta qattiq konstruktsiya bilan ishlash kerak. Ammo agar siz hisoblagichni shunday yozsangiz:
6x - 3,
Lekin bizda hammasi joyida va biz buni tugatishimiz kerak. Keyin nima qilish kerak? Chapdagi hisoblagichdagi qavslar ochilsinmi? Hech qanday holatda! Siz va men kasrlardan xalos bo'lish uchun va qavslarni ochadigan bug 'hammomini olmaslik uchun ikkala qismni 6 ga ko'paytirdik. Ushbu bosqichda bizga kerak kasrlarimizni kamaytiring. Chuqur qoniqish hissi bilan biz barcha maxrajlarni kamaytiramiz va o'lchagichda hech qanday kasrsiz tenglamani olamiz:
3(x-3) + 6x = 30 - 4x
Va endi qolgan qavslarni ochish mumkin:
3x - 9 + 6x = 30 - 4x
Tenglama tobora yaxshilanib bormoqda! Endi biz yana birinchi o'xshash transformatsiyani eslaymiz. Toshli yuz bilan biz quyi sinflardan afsunni takrorlaymiz: x bilan - chapga, x holda - o'ngga. Va bu transformatsiyani qo'llang:
3x + 6x + 4x = 30 + 9
Biz shunga o'xshashlarni chap tomonda beramiz va o'ngda hisoblaymiz:
13x = 39
Ikkala qismni 13 ga bo'lish qoladi. Ya'ni, ikkinchi o'zgartirishni yana qo'llang. Biz ajratamiz va javob olamiz:
x = 3
Ish tugadi. Ko'rib turganingizdek, bu tenglamada biz birinchi o'zgartirishni (terminlarni ko'chirishni) bir marta, ikkinchisini ikki marta qo'llashimiz kerak edi: yechim boshida biz kasrlardan xalos bo'lish uchun ko'paytirishni (6 ga) ishlatdik va yechim oxirida biz x dan oldingi koeffitsientdan xalos bo'lish uchun (13 ga) bo'linishdan foydalandik. Va har qanday (ha, har qanday!) chiziqli tenglamaning yechimi bir xil o'zgarishlarning u yoki bu ketma-ketlikda kombinatsiyasidan iborat. Qayerdan boshlash kerakligi aniq tenglamaga bog'liq. Biror joyda transferdan boshlash foydaliroq, va qaerdadir (bu misolda bo'lgani kabi) - ko'paytirish (yoki bo'linish).
Biz oddiydan murakkabgacha ishlaymiz. Endi Frank Tinni ko'rib chiqing. Bir guruh kasrlar va qavslar bilan. Va men sizga qanday qilib haddan tashqari yuklanmaslik kerakligini aytaman.)
Masalan, bu erda tenglama mavjud:
Biz bir daqiqaga tenglamaga qaraymiz, biz dahshatga tushamiz, lekin baribir o'zimizni birlashtiramiz! Asosiy muammo - qaerdan boshlash kerak? O'ng tomonda kasrlarni qo'shishingiz mumkin. Qavslar ichidagi kasrlarni ayirish mumkin. Ikkala qismni ham biror narsaga ko'paytirishingiz mumkin. Yoki baham ko'ring ... Xo'sh, nima hali ham mumkin? Javob: hamma narsa mumkin! Matematika sanab o'tilgan harakatlarning hech birini taqiqlamaydi. Va qanday harakatlar va o'zgarishlar ketma-ketligini tanlamasligingizdan qat'i nazar, javob har doim bir xil bo'ladi - to'g'ri. Albatta, agar biron bir qadamda siz o'zgarishlaringizning o'ziga xosligini buzmasangiz va shu bilan xato qilmasangiz ...
Xatoga yo'l qo'ymaslik uchun, bu kabi ajoyib misollarda, uning tashqi ko'rinishini baholash va o'z ongingizda tushunish har doim eng foydalidir: misolda nima qilish mumkin? maksimal uni bir qadamda soddalashtirasizmi?
Bu erda biz taxmin qilamiz. Chap tomonda maxrajdagi oltitalar bor. Shaxsan men ularni yoqtirmayman, lekin ularni olib tashlash juda oson. Men tenglamaning ikkala tomonini 6 ga ko'paytiraylik! Keyin chapdagi oltitalar xavfsiz tarzda qisqartiriladi, qavslardagi kasrlar hali hech qaerga ketmaydi. Xo'sh, katta gap yo'q. Biz ular bilan biroz keyinroq shug'ullanamiz.) Lekin o'ng tomonda 2 va 3 maxrajlar kamayadi.Mana shu harakat (6 ga ko'paytirish) bilan biz bir qadamda maksimal soddalashtirishga erishamiz!
Ko'paytirishdan keyin bizning barcha yomon tenglamamiz quyidagicha bo'ladi:
Agar siz ushbu tenglama qanday paydo bo'lganini aniq tushunmasangiz, unda siz oldingi misolni tahlil qilishni yaxshi tushunmadingiz. Aytgancha, men harakat qildim ...
Shunday qilib, keling, uni ochamiz:
Endi eng mantiqiy qadam chapdagi kasrlarni ajratib olish va o'ng tomonga 5x yuborish bo'ladi. Shu bilan birga, biz o'ng tomonda shunga o'xshash narsalarni beramiz. Biz olamiz:
Allaqachon ancha yaxshi. Endi chap tomon o'zini ko'paytirish uchun tayyorladi. Besh va to'rttasi darhol kamayishi uchun chap tomonga nimani ko'paytirish kerak? 20 da! Ammo tenglamaning har ikki tomonida ham salbiy tomonlarimiz bor. Shuning uchun tenglamaning ikkala tomonini 20 ga emas, balki -20 ga ko'paytirish qulayroq bo'ladi. Keyin, bir zarbada, minuslar yo'qoladi va kasrlar.
Bu erda biz ko'paytiramiz:
Bu qadamni hali ham tushunmaganlar uchun bu muammolar tenglamalarda emasligini anglatadi. Muammolar asosda! Yana eslaymiz Oltin qoida qavsni kengaytirish:
Agar raqam qavs ichidagi qandaydir ifoda bilan ko'paytirilsa, bu raqam ketma-ket shu ifodaning har bir a'zosiga ko'paytirilishi kerak. Bundan tashqari, agar raqam ijobiy bo'lsa, kengaytirilgandan keyin iboralarning belgilari saqlanib qoladi. Agar salbiy bo'lsa, ular teskari bo'ladi:
a(b+c) = ab+ac
-a(b+c) = -ab-ac
Minuslar ikkala qismni -20 ga ko'paytirgandan so'ng yo'qoldi. Va endi biz chapdagi kasrli qavslarni o'zimiz bilan ko'paytiramiz ijobiy raqam 20. Shuning uchun bu qavslarni ochishda ularning ichida bo'lgan barcha belgilar saqlanib qoladi. Ammo kasrlar sonidagi qavslar qaerdan kelgan, men oldingi misolda batafsil tushuntirdim.
Va endi siz kasrlarni kamaytirishingiz mumkin:
4(3-5x)-5(3x-2) = 20
Qolgan qavslarni kengaytiring. Yana, biz to'g'ri ochamiz. Birinchi qavslar musbat 4 raqamiga ko'paytiriladi va shuning uchun ular ochilganda barcha belgilar saqlanib qoladi. Ammo ikkinchi qavslar ko'paytiriladi salbiy raqam -5 ga teng va shuning uchun barcha belgilar teskari:
12 - 20x - 15x + 10 = 20
Bo'sh joylar qoldi. X bilan chapga, x holda o'ngga:
-20x - 15x = 20 - 10 - 12
-35x = -2
Bu deyarli hammasi. Chap tomonda sizga toza X kerak va -35 raqami to'sqinlik qiladi. Shunday qilib, ikkala qismni (-35) ga ajratamiz. Sizga shuni eslatib o'tamanki, ikkinchi identifikatsiya konvertatsiyasi ikkala qismni ko'paytirish va bo'lish imkonini beradi nima bo'lsa ham raqam. Shu jumladan salbiy.) Nolga teng bo'lmasa! Bemalol baham ko'ring va javob oling:
X=2/35
Bu safar X kasr bo'lib chiqdi. Hammasi joyida; shu bo'ladi. Bunday misol.)
Ko'rib turganimizdek, chiziqli tenglamalarni echish printsipi (hatto eng o'ralgan bo'lsa ham) juda oddiy: biz asl tenglamani olamiz va bir xil o'zgartirishlar orqali uni javobgacha ketma-ket soddalashtiramiz. Albatta, asoslar bilan! Bu erda asosiy muammolar aniq asoslarga rioya qilmaslik (aytaylik, qavslar oldida minus bor va ular ochishda belgilarni o'zgartirishni unutishdi), shuningdek, banal arifmetikada. Shunday ekan, asoslarni e'tiborsiz qoldirmang! Ular qolgan barcha matematikaning asosidir!
Chiziqli tenglamalarni yechishdagi ba'zi hiylalar. Yoki maxsus holatlar.
Hamma narsa hech narsa bo'lar edi. Biroq... Chiziqli tenglamalar orasida shunday kulgili marvaridlar ham borki, ularni yechish jarayonida ularni kuchli ahmoqlikka solishi mumkin. Hatto a'lo talaba.)
Masalan, bu erda zararsiz ko'rinadigan tenglama mavjud:
7x + 3 = 4x + 5 + 3x - 2
Keng esnab, biroz zerikib, biz chapdagi barcha X ni va o'ngdagi barcha raqamlarni yig'amiz:
7x-4x-3x = 5-2-3
Biz shunga o'xshashlarni beramiz, ko'rib chiqamiz va olamiz:
0 = 0
Bo'ldi shu! Chiqarilgan primerchik fokus! O'z-o'zidan bu tenglik hech qanday e'tiroz bildirmaydi: nol haqiqatan ham nolga teng. Ammo X ketdi! Izsiz! Va biz javobda yozishimiz kerak, x nimaga teng. Aks holda, qaror ko'rib chiqilmaydi, ha.) Nima qilish kerak?
Vahima yo'q! Bunday nostandart holatlarda, eng ko'p umumiy tushunchalar va matematika tamoyillari. Tenglama nima? Tenglamalarni qanday yechish mumkin? Tenglamani yechish nimani anglatadi?
Tenglamani yechish topishni anglatadi Hammasi x o'zgaruvchining qiymatlari, ular almashtirilganda boshlang'ich tenglama bizga to'g'ri tenglikni (o'ziga xoslikni) beradi!
Ammo bizda to'g'ri tenglik bor allaqachon bajarilgan! 0=0, toʻgʻrirogʻi hech qayerda!) Bu tenglikni qaysi x dan olishimiz mumkinligini taxmin qilish kerak. Qanday turdagi x ni almashtirish mumkin boshlang'ich tenglama, agar almashtirilganda, ularning hammasi hali ham nolga qisqaradimi? Hali tushunmadingizmi?
Albatta! X ni almashtirish mumkin har qanday!!! Mutlaqo har qanday. Nimani xohlasangiz, ularni joylashtiring. Kamida 1, kamida -23, kamida 2,7 - nima bo'lishidan qat'iy nazar! Ular hali ham qisqaradi va natijada sof haqiqat qoladi. Sinab ko'ring, almashtiring va o'zingiz ko'ring.)
Mana sizning javobingiz:
x - har qanday raqam.
IN ilmiy rekord bu tenglama quyidagicha yoziladi:
Ushbu yozuv quyidagicha o'qiladi: "X - har qanday haqiqiy raqam."
Yoki boshqa shaklda, interval bilan:
Istaganingizcha tartibga soling. Bu to'g'ri va to'liq javob!
Va endi men asl tenglamamizdagi faqat bitta raqamni o'zgartirmoqchiman. Endi bu tenglamani yechamiz:
7x + 2 = 4x + 5 + 3x - 2
Biz yana shartlarni o'tkazamiz, hisoblaymiz va olamiz:
7x - 4x - 3x = 5 - 2 - 2
0 = 1
Va bu hazil sizga qanday yoqadi? Oddiy chiziqli tenglama bor edi, lekin tushunarsiz tenglik bor edi
0 = 1…
Ilmiy tilda, bizda bor noto'g'ri tenglik. Ammo rus tilida bu to'g'ri emas. Bema'nilik. Bema'nilik.) Chunki nol birga teng emas!
Va endi biz yana o'ylaymizki, asl tenglamaga almashtirilganda bizga qanday x beradi to'g'ri tenglik? Qaysi? Lekin hech kim! Qaysi X-ni almashtirsangiz ham, hamma narsa kamayadi va axloqsizlik bo'ladi.)
Mana javob: yechimlar yo'q.
IN matematik belgilar bunday javob quyidagicha formatlanadi:
Unda: "X bo'sh to'plamga tegishli" deb yozilgan.
Matematikada bunday javoblar ham juda keng tarqalgan: har doim ham har qanday tenglama printsipial ildizlarga ega emas. Ba'zi tenglamalarning ildizlari umuman bo'lmasligi mumkin. Umuman.
Mana ikkita ajablanib. Umid qilamanki, endi tenglamada X ning to'satdan yo'qolishi sizni abadiy adashtirmaydi. Vaziyat juda tanish.)
Va keyin men mantiqiy savolni eshitaman: ular OGE yoki USEda bo'ladimi? Imtihonda, o'zlari tomonidan vazifa sifatida - yo'q. Juda oddiy. Ammo OGEda yoki matn muammolarida - osongina! Endi biz mashq qilamiz va qaror qilamiz:
Javoblar (tartibsiz): -2; -1; har qanday raqam; 2; yechim yo'q; 7/13.
Hammasi chiqdimi? Ajoyib! Imtihonda yaxshi imkoniyatga egasiz.
Nimadir mos emasmi? Hm ... G'amginlik, albatta. Shunday qilib, bir joyda bo'shliqlar mavjud. Yoki asoslarda yoki bir xil transformatsiyalarda. Yoki bu oddiy e'tiborsizlik masalasi. Darsni qayta o'qing. Chunki bu matematikada osonlikcha qila oladigan mavzu emas ...
Omad! U sizga albatta tabassum qiladi, ishoning!)
